DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002

Transkripts

1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002

2 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas sistēmā, neizmantojot ciparus un 3. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. 0, ja x P, 3 n, ja x pieder kādam Kantora kopas P blakusintervālam ar garumu 3 n. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [; 2]. Vai funkcija f ir summējama kopā [; 2]? { x, ja x [; 2] I, x 3, ja x [; 2] Q, kur Q - visu racionālo skaitļu kopa, bet I - visu iracionālo skaitļu kopa.

3 2. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 2 skaitīšanas sistēmā tā, ka visās pāra pozīcijās atrodas vieninieki. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. sin 2x, ja x [ 0; 2] P, x 2, ja x ( 2 ; ] P, cos 5x, ja x P, kur P - Kantora kopa, P = [0; ] \ P - Kantora kopas papildkopa līdz kopai [0; ]. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [0; ]. Vai funkcija f ir summējama kopā [0; ]? { 0, ja x P, 5 x, ja x [0; ] \ P.

4 3. variants. No nogriežņa [0; ] izmet vaļēju intervālu ( 3 8 ; 8) 5 ; no pāri palikušajiem nogriežņiem izmet divus vaļējus intervālus ar centriem šo nogriežņu viduspunktos un kopējo garumu 8 ; no pāri palikušajiem nogriežņiem izmet četrus vaļējus intervālus ar centriem šo nogriežņu viduspunktos un kopējo garumu 6 u.t.t. Ar F apzīmēsim kopu, kas paliek pāri no nogriežņa [0; ], bezgalīgi turpinot šo konstrukciju. Pierādīt, ka kopa F ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. cos x, ja x P, 2 7 n, ja x pieder kādam Kantora kopas P blakusintervālam ar garumu 3 n. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [4; 5). Vai funkcija f ir summējama kopā [4; 5)?. 5 x

5 4. variants skaitļiem, kuru pierakstā 5 skaitīšanas sistēmā pēc komata tiek izmantoti tikai cipari, 2, 3 un 4. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. 0 x +, ja x [ 0; 6) P, 0x +, ja x [ 6 ; ] P, 0, ja x P, kur P - Kantora kopa, P = [0; ] \ P - Kantora kopas papildkopa līdz kopai [0; ]. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā (3; 5]. Vai funkcija f ir summējama kopā (3; 5]?. x 3

6 5. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas sistēmā, izmantojot tikai ciparus 0, 2, un 4. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. { 2 x, ja x [0; ] I,, ja x [0; ] Q, kur Q - visu racionālo skaitļu kopa, bet I - visu iracionālo skaitļu kopa. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [; 3]. Vai funkcija f ir summējama kopā [; 3]? { 3 x, ja x [; 3] I, x, ja x [; 3] Q, kur Q - visu racionālo skaitļu kopa, bet I - visu iracionālo skaitļu kopa.

7 . Pierādīt, ka kopa E = n= 6. variants ( 5 n 40 ; 5 + ) n 40 ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. x 3, ja x [ 0; 3) I, x 2 +, ja x [ 3 ; ] I, 0, ja x [0; ] Q, kur Q - visu racionālo skaitļu kopa, bet I - visu iracionālo skaitļu kopa. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā (; 4]. Vai funkcija f ir summējama kopā (; 4]? (x ) 2.

8 7. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 7 skaitīšanas sistēmā, neizmantojot ciparu 5. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. 0, ja x [ 0; 2) P, 0, ja x [ 2 ; ] P, 0, ja x pieder kādam Kantora kopas P n blakusintervālam ar garumu 3. n 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [0; ]. Vai funkcija f ir summējama kopā [0; ]? { x, ja x [0; ] \ P, x 2, ja x P, kur P - Kantora kopa.

9 8. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 0 skaitīšanas sistēmā, neizmantojot ciparu 0 pēc komata (izmantojot ciparu 0 pēc komata). Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. x ln(x + ), ja x P, 2 3 2n, ja x pieder kādam Kantora kopas P blakusintervālam ar garumu 3 n. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [2; 3]. Vai funkcija f ir summējama kopā [2; 3]? { x 2, ja x [2; 3] I, x 4, ja x [2; 3] Q, kur Q - visu racionālo skaitļu kopa, bet I - visu iracionālo skaitļu kopa.

10 9. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 0 skaitīšanas sistēmā, obligāti izmantojot katru ciparu no līdz 9 ieskaitot. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. sin 3x, ja x [ 0; 3) P, x, ja x [ 3 ; ] P, cos 3x, ja x P, kur P - Kantora kopa, P = [0; ] \ P - Kantora kopas papildkopa līdz kopai [0; ]. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [2; 3]. Vai funkcija f ir summējama kopā [2; 3]? { ln(x + ), ja x P, ja x P, 7 x, kur P - Kantora kopa, P = [0; ] \ P - Kantora kopas papildkopa līdz kopai [0; ].

11 0. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 7 skaitīšanas sistēmā, pēc komata neizmantojot ciparus 0 un 5. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. 2 x, ja x P, 5 3 2n, ja x pieder kādam Kantora kopas P blakusintervālam ar garumu 3 n. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā ( 5; 0). Vai funkcija f ir summējama kopā ( 5; 0)? 5 + x.

12 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 2 skaitīšanas sistēmā tā, ka visās nepāra pozīcijās atrodas vieninieki. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. 2x +, ja x [ 0; 5 6) P, 2 x, ja x [ 5 6 ; ] P,, ja x P, kur P - Kantora kopa, P = [0; ] \ P - Kantora kopas papildkopa līdz kopai [0; ]. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā ( 3; 2]. Vai funkcija f ir summējama kopā ( 3; 2]? 3 + x.

13 2. variants. No nogriežņa [0; ] izmet vaļēju intervālu ( 7 6 ; 6) 9 ; no pāri palikušajiem nogriežņiem izmet divus vaļējus intervālus ar centriem šo nogriežņu viduspunktos un kopējo garumu 6 ; no pāri palikušajiem nogriežņiem izmet četrus vaļējus intervālus ar centriem šo nogriežņu viduspunktos un kopējo garumu 32 u.t.t. Ar F apzīmēsim kopu, kas paliek pāri no nogriežņa [0; ], bezgalīgi turpinot šo konstrukciju. Pierādīt, ka kopa F ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. { xe x, ja x [0; ] I, e x, ja x [0; ] Q, kur Q - visu racionālo skaitļu kopa, bet I - visu iracionālo skaitļu kopa. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [ 2; ]. Vai funkcija f ir summējama kopā [ 2; ]? { 3 x+2, ja x [ 2; ] I, 2x, ja x [ 2; ] Q, kur Q - visu racionālo skaitļu kopa, bet I - visu iracionālo skaitļu kopa.

14 3. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 0 skaitīšanas sistēmā, pēc komata neizmantojot ciparus 0 un 9. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. x 2 +, ja x [ 0; 3) I, x 5, ja x [ 3 ; ] I, 5 x, ja x [0; ] Q, kur Q - visu racionālo skaitļu kopa, bet I - visu iracionālo skaitļu kopa. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [; 2). Vai funkcija f ir summējama kopā [; 2)? 3 (x 2) 4.

15 4. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas sistēmā, pēc komata neizmantojot ciparus 0, 2 un 4. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. 25 sin πx, ja x [ 0; 6) 5 P, 25 cos πx, ja x [ 5 6 ; ] P, 9 n, ja x pieder kādam Kantora kopas P blakusintervālam ar garumu 3 n. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [0; ]. Vai funkcija f ir summējama kopā [0; ]? { 3 x, ja x [0; ] \ P, x 3, ja x P, kur P - Kantora kopa.

16 . Pierādīt, ka kopa E = n= 5. variants ( 3 n 20 ; 3 + ) n 20 ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. sin 5x, ja x [ 0; 4] P, x 3, ja x ( 4 ; ] P, cos 5x, ja x P, kur P - Kantora kopa, P = [0; ] \ P - Kantora kopas papildkopa līdz kopai [0; ]. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [0; ]. Vai funkcija f ir summējama kopā [0; ]? { 0x 2, ja x P, 7 x, ja x [0; ] \ P, kur P - Kantora kopa.

17 6. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 2 skaitīšanas sistēmā tā, ka visās nepāra pozīcijās atrodas nulles. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. lg x, ja x P, 2 n, ja x pieder kādam Kantora kopas P blakusintervālam ar garumu 3 n. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā [6; 7). Vai funkcija f ir summējama kopā [6; 7)?. 7 x

18 7. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas sistēmā, pēc komata izmantojot tikai ciparus un 3. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. 0, ja x P,, ja x pieder Kantora kopas P blakusintervālam (α; β). x α β α 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā (0; 5]. Vai funkcija f ir summējama kopā (0; 5]? 3 x.

19 8. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 0 skaitīšanas sistēmā, neizmantojot ciparu 9 pēc komata (izmantojot ciparu 9 pēc komata). Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. 0 x, ja x P, (x α) 3, ja x pieder Kantora kopas P blakusintervālam (α; β). 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā (0; 2]. Vai funkcija f ir summējama kopā (0; 2]? 5 x 3.

20 9. variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 2 skaitīšanas sistēmā tā, ka visās pāra pozīcijās atrodas nulles. Pierādīt, ka kopa E ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. Funkcija f ir definēta šādi: patvaļīgā Kantora kopas P punktā x funkcijas f vērtība sin x, savukārt funkcijas f grafiks Kantora kopas patvaļīgā blakusintervālā ir vienādsānu trijstūra sānu malas, pie tam trijstūra pamats sakrīt ar attiecīgo blakusintervālu, bet trijstūra augstums ir vienāds ar pamata pusi. 3. Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā ( 3; 0]. Vai funkcija f ir summējama kopā ( 3; 0]? 3 x + 3.

21 . Pierādīt, ka kopa E = n= 20. variants ( 3 2n 30 ; 3 + ) 2n 30 ir mērojama Lebega nozīmē un atrast tās Lebega mēru. Funkcija f ir definēta šādi: Kantora kopas punktos funkcijas f vērtība ir vienāda ar 0, Kantora kopas blakusintervālu viduspunktos funkcijas f vērtība ir vienāda ar 2, bet uz nogriežņiem [ ] [ a n n ; a n+b n 2 un an ] +b n 2 ; b n funkcija f ir lineāra, kur Kantora kopas blakusintervāli (a n ; b n ) ir sanumurēti šādi: ( (a ; b ) = 3 ; 2 3 ( 7 (a 3 ; b 3 ) = 9 ; 8 9 ) (, (a 2 ; b 2 ) = ), (a 4 ; b 4 ) = ), 9 ; 2 9 ( 27 ; 2 27 ), Aprēķināt funkcijas f Lebega integrāli kopā (; 3]. Vai funkcija f ir summējama kopā (; 3]? 5. x