1

Transkripts

1 . ndžāns, L. Rmān,. Johnnessons VEKTORI. DĻ y X M M O N X N x K Rīg 006

2 UDK. ndžāns, L. Rmān,. Johnnessons. Vektori.. dļ. Rīg: Ltvijs Universitātes kdēmiskis pgāds, lpp. Šjā drbā plūkoti pmtjutājumi, ks sistīti r vektor jēdzienu, un glvenās lineārās operācijs r tiem. Grāmt stur teorētiskā mteriāl izklāstu, piemērus, vingrinājumus izprtnes pārbudei un uzdevumus ptstāvīgi risināšni. Predzms, k drbu vrēs izmntot skolēni, skolotāji, mtemātiks pulciņu dlībnieki un vdītāji, kā rī pirmo kursu studenti. Drbs iekļuts Ltvijs Islndes kopprojekt LIM ietvros izdotjā grāmtu sērijā. Drbu izdošni sgtvojušs Inese ērziņ un gnese Zlcmne. gnis ndžāns, Līg Rmān, enedikts Johnnessons, 006 ISN

3 STUR RĀDĪTĀJS IEVDS PMTJĒDZIENI Vektor definīcij Vektorus rksturojošie lielumi Vektor grums Vektor virziens Vektor vērsums Vienādi vektori Vektor tlikšn no punkt Pretēji vektori Vektor reizināšn r skitli Jēdziens pr vektor reizināšnu r skitli Svrīgākās īpšībs, ks piemīt vektor reizināšni r skitli Tisnes punktu izteikšn r vektoru plīdzību Vektoru sskitīšn Vektoru sskitīšns definīcij Lemm pr vienādu vektoru līdztiesību (VVL lemm) Vektoru sskitīšns pmtlikumi Vektoru sskitīšns likumi virāku sskitāmo gdījumā Noscījums, li virāku vektoru summ būtu nulles vektors Vektoru summs īpšību lietošn vienu vektoru izteikšnā r citiem Vektoru tņemšn Vektoru tņemšns definīcij Vektoru strpībs īpšībs nloģijs strp vektoru un skitļu tņemšnu Lineārās vektoriālās izteiksmes un drbībs r tām Vispārīgis secinājums pr vienādu vektoru līdztiesību Sīsināts vektoru pierksts

4 . KOLINEĀRI UN NEKOLINEĀRI VEKTORI Definīcij un vienkāršākās īpšībs Kolineritātes lietojumi uzdevumos pr punktu piederību vieni tisnei Ievduzdevumi Vektoru lietojum vispārīgā shēm Menelāj teorēm un tās lietojumi Kolineritātes lietojumi uzdevumos pr tišņu prlelitāti Vektoru izteikšn r diviem nekolineāriem vektoriem Vektoru izteikšns iespējmīb un vienīgums Vektori koordinātu formā Vektor koordinātu definīcij Drbībs r vektoriem koordinātu formā Vektor koordinātu skrs r tā glpunktu koordinātām Pr vektoriālā pierkst priekšrocībām un trūkumiem RĀDIUSVEKTORS Rādiusvektor definīcij un īpšībs Nogriežņ iekšējā punkt rādiusvektors Trijstūr ugstumu krustpunkt rādiusvektors Tisnes punktu rādiusvektori Pmtrezultāti Lietojumi uzdevumu risināšnā Mss centr rādiusvektors un bricentriskās koordināts Mss centr rādiusvektors Trijstūr iekšējā punkt bricentriskās koordināts ricentrisko koordinātu vispārinājums ptvļīgm plknes punktm Formālā definīcij Ģeometriskā jēg SĒRIJ LIM MTEMĀTIKĀ... 6 SĒRIJS LIM GRĀMTS

5 IEVDS No visām mtemātiks nodļām skolēniem trdicionāli vislielākās grūtībs sgādā ģeometrij, glvenokārt pierādījum uzdevumi. Tm ir virāki dziļi iemesli: ģeometrij skolā tiek būvēt dudzu gdu grumā kā deduktīv sistēm; reiz rdušies robi ptstāvīgi tsucs uz izprtni turpmākjā mācību procesā. Pretēji tm lgebr un mtemātiskās nlīzes elementi skolā sstāv no virākām reltīvi izolētām dļām, un pmtjēdzieni tiek ieviesti intuitīvi; grūtāki ģeometrijs uzdevumi un jutājumi lielākoties ir kvlittīv rkstur - tādi jutājumi, uz kuriem tbilde ir jā vi nē (piemērm: vi trijstūr ugstumi krustojs vienā punktā?). Ģeometriskos uzdevumos ktr soļ mtemātiskji jēgi jāseko dudz dziļāk nekā lgebrā, kur mērķi prsti ssniedz, lietojot formāls mnipulācijs r mtemātiskām izteiksmēm. Vektori ir viens no trim formāljiem prātiem, ks ļuj kvlittīvo jutājumu risināšnā izmntot kvntittīvs metodes, pārtulkojot ģeometriskus pglvojumus formulu vlodā. Tādējādi šos pglvojumus vr pētīt, izmntojot mtemātiks lgebriskā prāt vreno spēku; mēs it kā ļujm formulām domāt mūsu vietā. Liel vektoru priekšrocīb, slīdzinot r sintētiskās ģeometrijs metodēm, ir spriedumu netkrīb no konkrētā zīmējum, ks ļuj vienā risinājumā ptvert visus iespējmos gdījumus. Tomēr pr minētjām priekšrocībām ir rī jāmksā. Risinājumi r vektoru plīdzību ir ērti un idejiski skidri, bet nereti tie ir gri, prs precizitāti un nevinojmu lgebrisko pārveidojumu tehniku. Prsti vislbākie rezultāti grūtu uzdevumu risināšnā ssniedzmi, kombinējot vektoriālās un sintētiskās metodes un ktrā uzdevumā (džreiz pt ktrā uzdevum etpā) izvēloties piemērotāko. Grāmtā izmntoti virāki specifiski pzīmējumi: * grūts uzdevums k ļoti grūts uzdevums pierādījum sākums pierādījum beigs utori izsk sirsnīgu pteicību Rīgs Ebreju vidusskols mtemātiks skolotāji Elīni Flkenšteini. Kut rī viņ nv piedlījusies neviens rindiņs tpšnā šjā grāmtā, drbs kopā r viņu citu drbu srkstīšnā ļoti dudz devis mūsu izprtnei pr to, kā veidojmi mācību līdzekļi, kurus predzēts lsīt ne tiki elitārās lsītāju grupās. Noslēgumā sirsnīgi pteicmies LU rektorm I.Lācim, LU Mtemātiks un informātiks institūtm (direktors prof. J.ārzdiņš) un LU Fiziks un mtemātiks fkultātei (dekāns prof. M.uziņš) pr izrādīto tblstu, kā rī visiem tiem pedgogiem,vecākiem un skolēniem, ks r svu drbu pdrījuši vjdzīgu un iespējmu šīs grāmts tpšnu. Rīgā, 006. gd 6. septembrī utori 5

6 . PMTJĒDZIENI.. Vektor definīcij. r nogriežņ un nogriežņ grum jēdzien plīdzību mtemātikā pēt ttālumus; r leņķ un leņķ lielum jēdzien plīdzību mtemātikā pēt virzienus. Vektor jēdziens ļuj vienlicīgi pētīt gn ttālumus, gn virzienus. Definīcij. Tisnes nogriezni, kurm viens glpunkts nosukts pr sākum punktu, bet otrs pr beigu punktu, suc pr nenulles vektoru. J nogriežņ glpunkts nosukts pr sākum punktu, bet pr beigu punktu, td ttiecīgo vektoru pzīmē r pr beigu punktu, td ttiecīgo vektoru pzīmē r Zīmējumā, ttēlojot vektoru punktā Y.. J nogriežņ glpunkts nosukts pr sākum punktu, bet XY., nogrieznim XY pievieno bultiņu, ks ieiet vektor beigu Piemēri.. Vektori,, izveidoti no trijstūr mlām (skt.. zīm.).. zīm.. tkrībā no tā, kā izvēlmies vektor sākum punktu,. zīm. ttēloti vektori M ; M; M. M 3. Vektori un ttēloti 3. zīmējumā.. zīm. 3. zīm. Definīcij. Ktru punktu suc pr nulles vektoru, kurm gn sākum, gn beigu punkts ir. To pzīmē r. Zīmējumā nulles vektorm bultiņs nepievieno. 6

7 Svrīg norāde. Dtorslikum īptnību dēļ vektoru pzīmējumos lietotās bultiņs šjā grāmtā glvenokārt sstāv no virākiem gbliem (ir pārtrukts). Tm nv nekāds dziļāks jēgs; bultiņ vektor pzīmējumā vienmēr jāuztver kā vienots simbols, un prsti grāmtās un žurnālos tā rī sstāv no vien gbl. Nenulles un nulles vektorus kopā suc pr vektoriem. Definīcij. Pr nenulles vektor grums pēc definīcijs ir 0. Vektor.. Vektorus rksturojošie lielumi.... Vektor grums. XY grumu suc nogriežņ grumu. Nulles vektor grumu pzīmēsim r XY. Piemēri.. J D kvdrāts r mls grumu, td D D, D, DD 0 (4. zīm.).. J rūtiņs mls grums ir (5. zīm.), td D 4. zīm. 4, GF 4, EE 0, D 5 (pielietojot Pitgor teorēmu!) 7

8 ... Vektor virziens. Definīcij. Pr nenulles vektor virzienu suc tās tisnes virzienu, uz kurs šis vektors trods. Nulles vektorm virzien jēdziens netiek definēts. Piemēri.. Vektoru,, GF virzieni 5. zīm. ir vienādi un tšķirīgi no vektor D virzien. Vektorm EE virzien nv.. J D prlelogrms, td vektoru D D,, D, D virzieni ir vienādi (skrīt). rī vektoru,,, virzieni svā strpā ir vienādi, bet tšķirs no iepriekš minēto četru vektoru virzieniem. Viegli sprst, k divu nenulles vektoru virzieni ir vienādi (skrīt) td un tiki td, j tie trods uz viens un tās pšs tisnes vi uz prlēlām tisnēm...3. Vektor vērsums. Definīcij. Nulles vektorm vērsum jēdziens netiek definēts. Pieņemsim, k dots nenulles XY vektors. Sk, k vektors skrīt r str XY vērsumu. Piemēri. XY vērsts str XY virzienā vi k vektor. Vektoru,, D vērsumi ir vienādi svā strpā. rī vektoru,, vērsumi vienādi svā strpā, bet tšķirs no triju iepriekšminēto vektoru vērsumiem (6. zīm.). D XY vērsums D. J - nenulles vektors, td vektoru 3. J D prlelogrms, td vektoru D vērsumi ir pretēji. D un un 6. zīm. vērsumi noteikti tšķirs. D vērsumi skrīt, bet vektoru Definīcij. J stri un D ir vienādi vērsti, td sk, k vektori vērsti; j stri un D ir pretēji vērsti, td sk, k vektori un un D ir vienādi un D ir pretēji vērsti. Visos trijos iepriekšējos piemēros tie vektori, kuru vērsumi tšķirs, ir pretēji vērsti. 8

9 Pārbudi pts sevi!. Ko suc pr nenulles vektoru?. Ko suc pr nulles vektoru? 3. Ko suc pr ) nenulles, b) nulles vektor grumu? 4. Kādiem vektoriem pskt virzien jēdzienu? Ko suc pr vektor virzienu? 5. Kādiem vektoriem pskt vērsum jēdzienu? Ko suc pr vektor vērsumu? 6. Kādus vektorus suc pr ) vienādi vērstiem, b) pretējiem vērstiem? Uzdevumi.. Strp 7. zīm. ttēlotjiem vektoriem trodi ) vienād grum vektorus, b) vien virzien vektorus, c) vien vērsum vektorus. 7. zīm.. Vi divi vektori vr būt r vienādiem virzieniem, bet džādiem vērsumiem? 3. Vi divi vektori vr būt r vienādiem vērsumiem, bet džādiem virzieniem? 4. Dots, k 5. Vektoru prlelogrms. O, O O O OD. Ko vr secināt pr punktu,,, D izvietojumu? un D virzieni skrīt. Pierādīt, k četrstūris D ir vi nu trpece, vi 6. Dots, k DEF regulārs sešstūris, O tā centrs. Kuriem no vektoriem OD,,, DF, E, D, D, F ir ) vienādi grumi, b) vienādi virzieni, c) vienādi vērsumi? O, O, 9

10 7. Doti trīs vektori r vienādiem virzieniem. Pierādīt, k strp tiem vr trst divus, kuru vērsumi ir vienādi. 8. Kādu lielāko skitu nenulles vektoru vr izvēlēties tā, li to sākum un beigu punkti trstos rūtiņu virsotnēs (8. zīm.), bet visu vektoru vērsumi būtu džādi? 8. zīm. 9.* Dots, k,,, n - izliekts dudzstūris. Kādm lielākjm dudzumm no vektoriem i j ( i, j n, i j) vr būt vienādi virzieni? 0. k trisināt iepriekšējo uzdevumu, j n - ptvļīgs dudzstūris (ne noteikti izliekts).. ) dots, k. Vi noteikti ir regulārs trijstūris? b)* dots, k D D. Vi D noteikti ir rombs?. Pieņemsim, k punkti,,, D uz skitļu ss ttēlo ttiecīgi skitļus, b, c, d. Pierādīt: vektori un D ir vienādi vērsti td un tiki td, j bc d 0.3. Vienādi vektori.. Definīcij. Sk, k nenulles vektors vienāds r nenulles vektoru, j tiem ir vienādi grumi, virzieni un vērsumi. rī ktrus divus nulles vektorus suc pr vienādiem. Vektoru vienādībs pierkstīšni lieto zīmi = ; to, k divi vektori nv vienādi, pierkst, lietojot zīmi (līdzīgi kā skitļu, figūru utt. gdījumā). D Piemēri.. J D kvdrāts, td D. Tiešām (skt. 9. zīm.), D 9. zīm. 0

11 ) kvdrāt mlu grumi ir vienādi, tāpēc D, b) kvdrāt pretējās mls ir prlēls, tāpēc c) stri un D ir vienādi vērsti, tāpēc un un. J D trpece, td nekādi divi no vektoriem Tiešām:, D virzieni skrīt, D vērsumi skrīt., D, D nv vienādi. D 0. zīm. ) šjā gdījumā vektori, km ir kopīgi glpunkti, nv vienādi tāpēc, k tšķirs to virzieni (tātd rī vērsumi), grumi, b) trpeces pmtu vektori (0. zīm c) trpeces sānu mlu vektori (0. zīm virzieni (tātd rī vērsumi). O un un 3. J O riņķ līnijs centrs, bet, tās džādi punkti, td un O vērsumi (virzieni vr rī skrist). 4. J DEF regulārs sešstūris r centru O, td D) nv vienādi tāpēc, k tšķirs to D) nv vienādi tāpēc, k tšķirs to O O, jo noteikti tšķirs O, O D, DE, jo šo divu vektoru grumi un virzieni gn skrīt, bet vērsumi tšķirs. FD ; F O D E. zīm. 5. Pieņemsim, k četri džādi punkti,,, D netrods uz viens tisnes.

12 Teorēm. D ir prlelogrms td un tiki td, j D. Pierādījums.. Pieņemsim, k D prlelogrms (skt.. zīm.). Tā pretējās mls un D ir D. zīm. ) vienāds, td D, b) prlēls, td un D virzieni skrīt. ez tm stri un D ir vienādi vērsti. Tātd vektoriem virzieni, gn vērsumi; tātd D. un D skrīt gn grumi, gn. Pieņemsim, k četrstūrī D pstāv vienādīb D. Td mls un D ir vienāds un prlēls. Sskņā r prlelogrm pzīmi D ir prlelogrms. 6. J un ptvļīgi punkti, td. 7. J un ir džādi punkti, td,. Tieši no vektoru vienādībs definīcijs izriet sekojošs vektoru vienādībs pmtīpšībs:. Ktrs vektors vienāds pts r sevi: (vektoru vienādībs refleksivitāte). J pirmis vektors vienāds r otru, td otris vektors vienāds r pirmo: j D, td D (vektoru vienādībs simetrij). 3. J pirmis vektors vienāds r otru, bet otris r trešo, td pirmis vektors vienāds r trešo: j D un D EF, td EF (vektoru vienādībs trnsitivitāte). Kā redzēsim tālāk, vienādus vektorus ļoti dudzos gdījumos vr izstāt vienu r otru. Uzdevumi.. Dots, k D. Pierādīt, k D.. Kādu lielāko dudzumu p pāriem džādu vektoru vr uzzīmēt, j vektoru glpunktiem jābūt 8. zīm. ttēlotā režģ rūtiņu virsotnēs?

13 3. Dots, k un,, netrods uz viens tisnes. Pierādīt, k. 4.* Plknē doti n džādi punkti. Kāds ir lielākis un kāds mzākis dudzums nenulles vektoru, ks visi p pāriem džādi un kuru glpunkti ir divi no dotjiem punktiem?.4. Vektor tlikšn no punkt. Definīcij. J OX. OX, td sk, k vektors ir tlikts no punkt O, iegūstot vektoru Piemēri.. tliekot vektoru punkt O, iegūstm vektoru no punkt O, iegūstm vektoru OX (3. zīm.). OX ; tliekot vektoru D no O X D X 3. zīm. tlikts no punkt O, iegūstot vektoru. J, td vi nu O, X,, trods uz viens tisnes (4. zīm.), vi rī OX ir prlelogrms (5. zīm.). OX O X 4. zīm. O X 5. zīm. 3. J - regulārs trijstūris, td, tliekot vektorus,, iegūto vektoru glpunkti ir jun regulār trijstūr virsotnes (6. zīm.). no vien punkt, 3

14 O 6. zīm. No vektoru vienādībs definīcijs tieši seko Teorēm pr vektoru tlikšnu. tliekot vektorus no vien punkt, tlikto vektoru beigu punkti skrīt td un tiki td, j tliktie vektori ir svā strpā vienādi. Uzdevumi.. Uzzīmēt vektorus, kurus iegūst, tliekot no punkt O vektorus (7. zīm.).,, MN, KL, M O K N L 7. zīm.. No vien punkt tlikti vektori,, ( - ptvļīgs). Pierādīt, k tlikto vektoru glpunkti ir tād trijstūr virsotnes, kur lukums 3 reizes lielāks pr lukumu. 3.* Vispāriniet iepriekšējo uzdevumu, j vietā pskt ptvļīgu izliektu četrstūri D. 4. Četrstūr D pēc kārts ņemtu mlu viduspunkti ir M, N, L, K. No punkt M tliek vektoru KL. Ks ir tliktā vektor beigu punkts?.5. Pretēji vektori. Definīcij. Sk, k vektors D ir pretējs vektorm, j vi nu tie bi ir nulles vektori,vi rī to grumi un virzieni skrīt, bet vērsumi tšķirs. Minētjā situācijā lieto pierkstu D. 4

15 Piemēri.. J D prlelogrms, td vektors. Vektors 3. Vektors 4. Vektors ir pretējs pts sev ( D ir pretējs vektorm ).. zīm. ir pretējs vektorm 5. J vektors D, td ir pretējs vektorm ir pretējs vektorm D ). DE ( ). D., td vektors D ( D ). ir pretējs vektorm (j LEMM PR VIENĀDU VEKTORU LĪDZTIESĪU (VVL LEMM). Vienādu vektoru pretējie vektori ir vienādi svā strpā. Pierādījums. J bi vienādie vektori ir nulles vektori, td rī to pretējie vektori ir nulles vektori un tāpēc vienādi. J bi vienādie vektori nv nulles vektori, td tiem ir vienādi grumi, virzieni un vērsumi; tāpēc rī tiem pretējo vektoru grumi, virzieni un vērsumi ir vienādi, tātd pretējie vektori ir vienādi svā strpā. No definīcijs seko, k ktrm vektorm ir dudz pretēju vektoru. (Piemērm,. zīm. vektorm DE pretējs ir gn O, gn ). tomēr no VVL lemms seko, k tie visi ir vienādi svā strpā. Pārbudi pts sevi!. Kādus nenulles vektorus suc pr vienādiem?. Vi ktri divi nulles vektori ir vienādi svā strpā? 3. Ko nozīmē vārdi vektoru vienādībi piemīt refleksivitāte, simetrij un trnsitivitāte? 4. Pmtojiet vektoru vienādībs refleksivitāti, simetriju un trnsitivitāti. 5. Kādus nenulles vektorus suc pr pretējiem? 6. Vi divi vektori vr būt vienlikus gn vienādi, gn pretēji? vektorm 7. Vi vienm vektorm vr būt divi pretēji vektori, ks nv svā strpā vienādi? 8. Viens no vektorm D. pretējiem vektoriem ir D. Uzrādi vektoru, ks ir pretējs Uzdevumi.. trodi 7. zīm. visus vienādu un pretēju vektoru pārus!. Dots, k DE regulārs piecstūris. Strp vektoriem, km bi glpunkti ir piecstūr virsotnēs, nv ne divu vienādu, ne divu pretēju nenulles vektoru. Pierādi to! 3. Dots, k DEF regulārs sešstūris un O tā centrs. Strp vektoriem, km bi glpunkti ir sešstūr virsotnēs vi centrā, trodi visus vienādo vektoru pārus un visus pretējo vektoru pārus. 4. Ktri divi no n vektoriem ir pretēji viens otrm. Pierādīt: vi nu n, vi rī visi vektori ir nulles vektori. 5

16 vektors Vektor 5. Prlelogrm D mlu un D viduspunkti ir tbilstoši M un N. Pierādīt, k M 6. Vektors Definīcij. J ir pretējs vektorm N ir pretējs vektorm. D. Pierādīt, k D.6. Vektor reizināšn r skitli..6..jēdziens pr vektor reizināšnu r skitli. reizinājums r skitli k ir vektors, kur sākumpunkts ir ; to pzīmē r. k. ir nulles vektors (t.i., un skrīt) vi rī k = 0, td k. J nv nulles vektors un k un virzienu, ks skrīt r vērsumu, j k > 0, un ir pretējs k 0, td k virzienu. Vektor vērsumm, j k < 0. ir vektors r sākumpunktu, grumu k vērsums skrīt r Piemēri.. J M ir viduspunkts, td M un M (8. zīm.). M (9. zīm.). 8. zīm.. J M ir mediānu krustpunkts, bet ir mls viduspunkts, td M 9. zīm. O D 0. zīm. M 3 3. J O ir prlelogrm D digonāļu krustpunkts, td O (0. zīm.). 4. J trpeces D pmts divs reizes īsāks pr pmtu D un trpeces digonāļu krustpunkts ir O, td D, O O un O OD. Pmtojumm ievērojiet, k OD~ O (skt.. zīm.)! 6

17 O D. zīm. 5. Vektoriem. zīmējumā pstāv skrībs GH HG. 3 D, HG EF, KK 0D, E H F D G K. zīm..6.. Svrīgākās īpšībs, ks piemīt vektor reizināšni r skitli. tzīmēsim svrīgākās īpšībs, ks piemīt vektor reizināšni r skitli, slīdzinot tās r skitļu reizināšns īpšībām.. Vektor. reizināšn r skitli Skitļu reizināšn x x vektoru reizinot r (-), iegūst pretēju vektoru 3. k l kl socitivitāte 4. J D, td k k D Pmtosim 3. īpšību. J k = 0, l = 0 vi x x skitli reizinot r (-), iegūst pretēju skitli yz xy z x socitivitāte J = b, td x = xb ir nulles vektors, bās pierādāmās vienādībs pusēs trods nulles vektors, tātd vienādīb ir preiz. Pretējā gdījumā ) gn l, gn k l, gn kl sākumpunkts ir, 7

18 vienādi, b) k l k l k l kl kl, tātd bu vektoru grumi ir c) bu vektoru virzieni skrīt r virzienu, tātd skrīt rī svā strpā, d) j k > 0 un l > 0, td rī kl > 0; tāpēc l, k l un vērsumi skrīt r l vērsums skrīt r, bet k l vērsums un vērsums pretējs vērsumu, tātd skrīt rī svā strpā. J k < 0, l > 0, td kl < 0; tāpēc kl kl vērsumm, tātd skrīt svā strpā. Līdzīgi pierād, k k l vērsums skrīt r vērsumu,j k > 0, l < 0 vi k < 0, l < 0; tstājm to izdrīt lsītājm ptstāvīgi. Esm pierādījuši,k vektoriem k l un kl skrīt grumi, virzieni un vērsumi; tātd tie ir vienādi. Līdz r to 3. īpšīb pilnībā pmtot..,. un 4. īpšību pierādījumi ir gndrīz cīmredzmi. Formulēsim 4. īpšību lemms formā. kl LEMM PR VIENĀDU VEKTORU LĪDZTIESĪU (VVL LEM) Reizinot vienādus vektorus r vienu un to pšu skitli, tkl iegūst vienādus vektorus. plūkosim vektoru k K Tisnes punktu izteikšn r vektoru plīdzību. k pie fiksēt nenulles vektor. J k = 0, td k. Tātd K skrīt r.. J k > 0, td K virziens un vērsums skrīt r K k un minīg skitļ k. pzīmēsim virzienu un vērsumu, bet. Tātd, k plielinoties no 0 līdz, punkts K slīd no stāvokļ uz stāvokli. J k =, td k, t.i., punkts K skrīt r (3. zīm.). 3 K ; K ; K 3 ; 3 4 K 4 3. J k pārsniedz un turpin plielināties, punkts K, ko nosk vienādīb šķērso stāvokli un turpin kustību p lbi no punkt. K k, 8

19 4. Līdzīgi, j k < 0, td, k smzinoties (tātd tā bsolūtji vērtībi jeb modulim pieugot), punkts K, ko nosk vienādīb K k, slīd p tisni izvien tālāk p kreisi no punkt. Esm ieguvuši svrīgu rezultātu. TEORĒM PR TISNES PUNKTU IZTEIKŠNU. Ktrm tisnes punktm K eksistē tāds viennozīmīgi noteikts skitlis k, k K k. Ktrm skitlim k eksistē tāds viennozīmīgi noteikts tisnes punkts K, k K k. Turpmāk šī teorēm ļus pētīt tisnes punktus, izmntojot drbībs r vektoriem. Pārbudi pts sevi!. Vi vektor reizinājums r skitli ir vektors vi skitlis?. Ks ir nulles vektor reizinājums r jebkuru skitli? 3. Ks ir jebkur vektor reizinājums r 0? 4. Kā svā strpā sistīti nenulles vektor ) grumi, b) virzieni, c) vērsumi, j k < 0 un l > 0? un vektoru k un l Uzdevumi.. Pierādi 3. īpšību, j ) k > 0, l < 0, b) k < 0, l < 0.. Dots, k D trpece r pmtiem D un un digonāļu krustpunktu O; trpeces sānu mlu pgrinājumi krustojs punktā S. Zināms, k D 3. S trodi tādu k, k ) S k S, b) SD k S, O 3. zīm. D 9

20 c) d) O k O, OD k O, e)* O k O. 3. Trijstūr mlu un viduspunkti ir ttiecīgi M un N. trst tādu k, k k NM. 4. Dots, k D prlelogrms; r M un N pzīmējm ttiecīgi trijstūru un D mediānu krustpunktus. trst tādu k, k MN k. 5. Dots, k četrstūrī D pstāv skrīb k D. Pierādīt, k D ir prlelogrms vi trpece. 6. Pierādi, k k k, un formulē pierādīto īpšību vārdiem, izmntojot jēdzienus pr pretējo vektoru un pretējo skitli..7. Vektoru sskitīšn..7.. Vektoru sskitīšns definīcij. Definīcij. J no vektor glpunkt tliek vektoru, ks vienāds r vektoru td vektoru suc pr vektoru un summu un pzīmē r D : X D X D, D X X D 4. zīm.. secinājums. Jebkuriem 3 plknes punktiem,, ir spēkā vienādīb (trijstūr likums). Vektoru sskitīšn vienādi un pretēji vērstu sskitāmo gdījumos ttēlot 5. ), b), c) zīm. 0

21 D D D X X,X ) b) c) 5. zīm.. secinājums. Ptvļīgm vektorm pieskitot jebkuru nulles vektoru, iegūst vektoru : ZZ. 3. secinājums. Ptvļīgm vektorm pieskitot tm pretēju vektoru, iegūst nulles vektoru; skt. 5. c) zīm..7.. Lemm pr vienādu vektoru līdztiesību (VVL lemm). Lemm. Sskitot vienādus vektorus r vienādiem, iegūst vienāds summs. Formulu vlodā šo VVL lemmu vr pierkstīt sekojoši: j un D D, td D D. Pierādīsim VVL lemmu. Tieši no vektoru sskitīšns definīcijs izriet, k divu vektoru summā lbo sskitāmo vr izstāt r tm vienādu vektoru: j D EF, td D EF. (*) Pierādīsim, k rī kreiso sskitāmo vr izstāt r tm vienādu vektoru: j D, td EF D EF. (**) probežosimies r gdījumu, kd F E un X EF virzieni tšķirs (skt. 6. zīm.) O D t X 6. zīm. Tā kā X EF un DX EF, td X DX. Tāpēc = D un X = DX. Tā kā X un DX mls, ks iziet no virsotnēm un D, ir prlēls un vienādi vērsts, td X DX. Tāpēc X DX ; tātd X = X, turklāt, trijstūrus svietojot,

22 X X skrīt r un X r X. J vēl pierādīsim, k X X, vektoru un vienādīb būs pierādīt. Tā kā D t, td XD X Ot. Tā kā X DX, td X X D. Tāpēc X X Ot. Tāpēc X X (prlēlu tišņu pzīme pēc kāpšļu leņķiem), k.b.j. Tgd vrm pierādīt VVL-lemmu: (*) (**) D D D.7.3. Vektoru sskitīšns pmtlikumi. Tgd psktīsim vektoru sskitīšns pmtlikumus.. VEKTORU SSKITĪŠNS KOMUTTĪVIS LIKUMS. Ktriem diviem vektoriem un pstāv vienādīb D D. D Pierādījumā probežosimies r gdījumu, kd un D virzieni ir džādi. D N K O M 7. zīm. Konstruējm prlelogrmu OMKN tā, k NK un MK D. Sskņā r VVL lemmu ON D un D OM MK OK un D ON NK OK. No šīm vienādībām seko vjdzīgis. OM (7. zīm.). Td rī Ievērosim, k no nupt veiktā pierādījum seko. PRLELOGRM LIKUMS. J divus vektorus tliek no vien punkt O un uz tiem kā mlām konstruē prlelogrmu, td prlelogrm digonālvektors, ks iziet no O, vienāds r bu tlikto vektoru summu (skt. 7. zīm.)

23 3. VEKTORU SSKITĪŠNS SOITĪVIS LIKUMS. Ktriem trim vektoriem, D, EF pstāv vienādīb D EF DEF. Pierādījumm tliksim vienu otrm glā vektorus MN, NK D, KL EF (8. zīm.). K N MN, NK, KL tā, k Td D EF MN NK KL MK KL M L 8. zīm. ML MN NL MN NK KL D EF, k.b.j. Ievērojiet, k pierādījumā dudzkārt tik izmntot VVL lemm un trijstūr likums. 4. R VEKTORU SSKITĪŠNU SISTĪTIE DISTRIUTĪVIE LIKUMI. D Ktriem skitļiem m un n un ktriem vektoriem un ir spēkā vienādībs m n m n (*) m D m m D (**) un D kā vektorus (9. zīm.). Pierādīsim īpšību (**) džād virzien vektoru gdījumā, j 0<m<. tliksim vektorus OK un OL no vien punkt O un konstruēsim prlelogrmu OKXL L L Y X O K K 9. zīm. 3

24 tliksim uz OX tādu punktu Y, k OY mox ; td OY m OX m OK OL. NovelkmYL OK un YK OL; td pēc Tles teorēms OK m OK un OL m OL. Tā kā OLYK prlelogrms, td Sskņā r VVL-lemmu OL OK OY jeb m OL m OK m OL OK. m D m m D, k.b.j. 5. VEKTORU SUMMS PRETĒJIS VEKTORS. Divu vektoru summs pretējis vektors vienāds r tsevišķjiem sskitāmjiem pretējo vektoru summu: D D tceroties, k vektorm pretējis vektors vienāds r šī vektor reizinājumu r (-), iegūstm D D D D, k.b.j Vektoru sskitīšns likumi virāku sskitāmo gdījumā. Nupt minētās īpšībs r mtemātiskās indukcijs metodes plīdzību viegli vispārināt ptvļīgm skitm sskitāmo. Formulēsim tās, pierādījumu tstājot lsītājm. VISPĀRĪGIS KOMUTTĪVIS LIKUMS. J summā 33 nn sskitāmos ptvļīgā secībā min vietām, iegūtās summs vektors vienāds r sākotnējās summs vektoru. VISPĀRĪGIS SOITĪVIS LIKUMS. Visi summu vektori, ko iegūst, džādā secībā veicot sskitīšnu izteiksmē nn, vienādi svā strpā. VISPĀRĪGIE DISTRIUTĪVIE LIKUMI. Ktriem skitļiem n, n,...,nk un ktrm vektorm pstāv skrīb 4

25 n n n k n n n k Ktrm skitlim k un ktriem vektoriem,,, nn pstāv vienādīb k nn k k nn VEKTORU SUMMS PRETĒJIS VEKTORS. Ptvļīg dudzum vektoru summs pretējis vektors vienāds r sskitāmjiem pretējo vektoru summu Noscījums, li virāku vektoru summ būtu nulles vektors. Teorēm. Virāku vektoru summ ir nulles vektors td un tiki td, j, uzzīmējot šos vektorus vienu otrm glā, pēdējā uzzīmētā vektor beigu punkts skrīt r pirmā uzzīmētā vektor sākumpunktu. Teorēms pierādījums tieši izriet no vektoru summs un nulles vektor definīcijs; to ilustrē 9. zīm. un 9. zīm. E D D 9. zīm 9. zīm ir nulles vektors E F F nv nulles vektors Piemērs.* Izliekt sešstūr DEF mlu,, D, DE, EF un F viduspunkti ir ttiecīgi M, N, K, P, R, T. Pierādīt, k eksistē trijstūris, kur mls vienāds un prlēls r nogriežņiem MN, KP un RT. Pierādījums. cīmredzot pietiek pierādīt, k MN KP RT ir nulles vektors; td, tliekot šos vektorus vienu otrm glā iegūsim tād trijstūr kontūru, kur mls vienāds un prlēls r MN, KP un RT. tzīmēsim, k MN ir viduslīnij. Tātd MN un MN ; no šīm īpšībām seko, k MN. Līdzīgi pierād, k KP E un RT E (skt. 9. zīm.). 5

26 M T N K D P F R E 9. zīm. et tādā gdījumā MN KP RT E E E E E E, tātd ir nulles vektors. Vjdzīgis pierādīts Vektoru summs īpšību lietošn vienu vektoru izteikšnā r citiem. Piemērs. Dots, k plīdzību. D EF un MN D EF. Izteikt trisinājums. Sskņā r VVL lemmu. lpp., izteiksmē MN r vektoru MN vektorus D un un EF MN vr izvietot r tiem vienādiem vektoriem D EF un D EF. Tātd MN D EF D EF. Sskņā r vispārīgo komuttīvo likumu četrus sskitāmos D, EF, D un EF vr ptvļīgi minīt vietām; tātd MN D D EF EF. Sskņā r vispārīgo socitīvo likumu iegūtjā summā sskitāmos vr ptvļīgi grupēt, tāpēc MN D D EF EF. Sskņā r 3. secinājumu no vektoru sskitīšns definīcijs. Sskņā r distributīvo likumu EF EF EF D D ir nulles vektors EF EF 3EF. 6

27 Sskņā r VVL lemmu vektorus vektoriem un 3 EF ; tātd Sskņā r komuttīvo likumu D D un MN 3EF. MN 3EF. EF Sskņā r. secinājumu no vektoru sskitīšns definīcijs EF vr izstāt r tiem vienādiem 3 EF 3EF, tātd MN 3EF. Protms, ikdienā uzdevumu risināšnā ktru soli tik sīki nepmto. Tālāk,.9. punktā, mēs formulēsim vispārīgu likumu, ks ļuj ērti pārveidot vektorus sturošs izteiksmes. Piemērs. Četrstūr D mlu un D viduspunkti ir ttiecīgi M un N. Pierādīt, k MN D. trisinājums. (skt. 9. zīm.) M N D 9. zīm. Viegli redzēt, k MN M N un MN M D DN. Tāpēc MN MN MN M N M D DN M M D N DN MM D D, k.b.j. Norādiet ptstāvīgi, uz kādām vektoru summs īpšībām blstījās ktrs no izdrītjiem pārveidojumiem! Sekojošā teorēm tiek plši lietot uzdevumu risināšnā. TEORĒM PR NOGRIEŽŅ VIDUSPUNKTU J viduspunkts ir M un O ptvļīgs plknes punkts, td OM O O. Pierādījums. Li demonstrētu vektoru metodes spēku, neizmntosim pierādījumā nekādu zīmējumu. 7

28 Tā kā M ir viduspunkts, td nulles vektors. No trijstūr likum seko vienādībs OM O M M un M ir viens otrm pretēji vektori. Tāpēc M M OM O M Tāpēc OM OM OM O M O M O O M M. Tā kā M M ir nulles vektors, td Reizinot vienādos vektorus D OM un OM O O O O. O O r skitli OM O O, k.b.j..8. Vektoru tņemšn.8.. Vektoru tņemšns definīcij D Definīcij. Pr divu vektoru un strpību suc vektoru. Minēto strpību pzīmē r D., iegūstm vienādus vektorus; tātd summu r vektorm D ir pretējo Tātd sskņā r definīciju D D, ks lbi sskņojs r līdzīgiem likumiem skitļu sskitīšnā un tņemšnā. Piemēri.. J - trijstūris, td (30. zīm.) 30. zīm. 8

29 . J - trijstūris un ir mls viduspunkts, td (3. zīm.) 3. ZZ ZZ 4. J D - prlelogrms, td. 3. zīm. D D D D D D D (3. zīm.) D 3. zīm. Vektoru strpībs nosukumu ttisno sekojoš īpšīb, ks nlog divu skitļu strpībs īpšībi. Vektoru Tiešām, pēc definīcijs un D strpību sskitot r "mzinātāju" D, iegūst "mzināmo" D D. Tāpēc D D D D D D..8.. Vektoru strpībs īpšībs. Divu vektoru strpībi piemīt virkne īpšību, ks nlogs divu vektoru summs īpšībām. LEMM PR VIENĀDU VEKTORU LĪDZTIESĪU (VVL LEMM) Lemm. No vienādiem vektoriem tņemot vienādus, strpībs iznāk vienāds. "Formulu vlodā" VVL lemmu vr izteikt šādi: j un D D, td D D.. 9

30 R VEKTORU TŅEMŠNU SISTĪTIE DISTRIUTĪVIE LIKUMI Ktriem skitļiem m un n un ktriem vektoriem un ir spēkā vienādībs m n m n m D m m D D.8.3. nloģijs strp vektoru un skitļu tņemšnu. Sekojošs vektoru tņemšns īpšībs nlogs skitļu tņemšns īpšībām. NULLES VEKTOR TŅEMŠN Nulles vektor tņemšn nemin vektoru, no kur to tņem: ZZ TŅEMŠN NO NULLES VEKTOR tņemot kādu vektoru no nulles vektor, iegūst tņemtjm pretēju vektoru: ZZ. PRETĒJĀ VEKTOR TŅEMŠN Pretējā vektor tņemšnu izstājot r pš vektor pieskitīšnu, bu drbību rezultāti ir vienādi: D D. SUMMS PKĀPENISK TŅEMŠN Li tņemtu divu vektoru summ, vr pēc kārts tņemt tās sskitāmos: DEF D EF. Šo īpšību viegli vispārināt ptvļīg skit sskitāmo summs tņemšni: x y x y x x y x y n y x n n n y Uzticm lsītājm ptstāvīgi pmtot šīs īpšībs. Pārbudi pts sevi!. Ko suc pr vektoru un D 30

31 ) summu, b) strpību?. Formulē vektoru sskitīšns trijstūr likumu! Izveido tbilstošo zīmējumu! 3. Formulē vektoru sskitīšns prlelogrm likumu! Izveido tbilstošo zīmējumu! 4. Uzzīmē vektorus D ; D ; EF ; FF (skt. 33. zīm.) F D E 33. zīm 5. Formulē vektoru sskitīšns komuttīvo un socitīvo likumu! 6. Formulē r vektoru sskitīšnu un tņemšnu sistītos distributīvos likumus! Uzdevumi.. Dots, k D - prlelogrms. Pierādīt, no D un D D.. Dots, k mlu,, viduspunkti ir ttiecīgi,,, bet mediānu krustpunkts ir M. Pierādīt, k ) M M, b) ir nulles vektors, c) M M M ir nulles vektors. 3. Četrstūr D mlu un D viduspunkti ir ttiecīgi M un N. Pierādīt, k MN D. 4.* Pierādīt vektoru sskitīšns VVL lemmu (skt. lpp.) gdījumiem, kd sskitāmo vektoru virzieni skrīt vi vismz viens no tiem ir nulles vektors. 5.* Pierādīt divu vektoru sskitīšns komuttīvo likumu gdījumm, kd sskitāmo virzieni skrīt vi rī vismz viens no tiem ir nulles vektors. 6.* Pierādi r vektoru sskitīšns sistītos distributīvos likumus vispārīgā gdījumā. 7.* Pierādi 4. lpp. minētās vektoru sskitīšns īpšībs. 8.* Dots, k DEF - regulārs sešstūris un O - tā centrs. Izski vektorus D, OE, un reizinājumus r skitļiem un to summs DF, F, izmntojot vektoru vi strpībs. 9.* Uz trijstūr mlām ārpus tā konstruēti prlelogrmi,, (skt. 34. zīm.) 3

32 34. zīm Pierādi, k eksistē trijstūris, kur mls prlēls un vienāds r nogriežņiem,,. 0. Dots izliekts piecstūris. Pierādi, k eksistē cits piecstūris, kur mls vienāds un prlēls r dotā piecstūr digonālēm.. Četru vektoru grumi ir vienādi, bet to summ ir nulles vektors. Pierādi, k šos vektorus vr sdlīt p pāriem tā, li ktrā pārī ieejošie vektori būtu viens otrm pretēji.. Dots trijstūris. Pierādīt, k eksistē otrs trijstūris, kur mls vienāds un prlēls r dotā trijstūr mediānām. 3.* Pierādi.8. punktā minētās un nepierādītās vektoru strpībs īpšībs. 4.* Četrstūri D, EFG, DFH, FIJE un IJ ir prlelogrmi. Pierādīt, k rī četrstūris FHG ir prlelogrms. 5.* Doti n vektori, kuru summ ir nulles vektors. Pierādīt, k tos vr tā pzīmēt r,,...,, k ktrm k, k n, vektors n n kk trods vien un tā pš 60 o liel leņķ r virsotni iekšpusē. 6.* Kādiem četrstūriem uz to mlām un digonālēm vr uzzīmēt bultiņs, pārvēršot šos nogriežņus pr vektoriem, li iegūto vektoru summ būtu nulles vektors? 7.* trst minimālo perimetru izliektm dudzstūrim r 3 virsotnēm, kur viss virsotnes trods punktos r veselām koordinātām. 8.* Pierādīt, k vektors O O O O vērsts p O bisektrisi. 9.* Regulār sešstūr DEF centrs ir O. Pierādīt, k O O OE O OD OF un D D. 0.* Pierādīt, k ktriem četriem plknes punktiem,,, D pstāv vienādībs D D un D D..* Trijstūrī ievilktā riņķ līnij pieskrs mlām,, tbilstoši punktos M, N, P. Zināms, k regulārs. N P M ir nulles vektors. Pierādīt, k ir 3

33 .9. Lineārās vektoriālās izteiksmes un drbībs r tām..9.. Vispārīgis secinājums pr vienādu vektoru līdztiesību. plūkosim izteiksmes, ks izveidots no vien vi virākiem vektoriem, lietojot vektoru sskitīšnu, vektoru tņemšnu, vektor reizināšnu r skitli un pretējā vektor tršns operāciju. Tāds izteiksmes ir, piemērm, LS 4 OK 3 LS 7OK. 6 D ; 4 3 MK ; Ox Oy Tāds izteiksmes suc pr lineārām vektoriālām izteiksmēm (LVI). Ktri šādi izteiksmei ir vērtīb - vektors, kuru vr trst, norādītjā secībā izpildot drbībs r izteiksmē ieejošiem vektoriem. No lemmām pr vektoru līdztiesību (skt.. lpp.) cīmredzmi seko TEORĒM PR IZVIETOŠNU LVI. J džus vektorus, ks ietilpst LVI, izstāj r tiem vienādiem vektoriem, td junās LVI un sākotnējās LVI vērtībs ir vienāds. Šī teorēm ļuj LVI pārveidojumos netsukties uz VVL lemmām, bet brīvi izstāt vienādus vektorus vienu r otru. Izmntojot šo teorēmu, smērā gris piemēr risinājums lpp. izsktītos šādi: MN D EF D EF D D EF EF EF EF 3 EF 3 FF 3 EF (Izlidām tsuces uz komuttīvo, socitīvo, distributīvo likumu un nulles vektor pieskitīšnu). lstoties uz pierādītjām (un rī uz tiki minētjām) īpšībām, ks piemīt vektoru sskitīšni, tņemšni un reizināšni r skitli, konsttējm, k ir spēkā rī TEORĒM PR LVI PĀRVEIDOŠNU. Lineār vektoriāls izteiksmes vr pārveidot pēc tiem pšiem likumiem, pēc kādiem pārveido lineārs lgebrisks izteiksmes r minīgjiem, ktru vektoru uzsktot pr citu minīgo; sākotnējās un iegūtās izteiksmes vērtībs ir vienāds. Pie tm r nulles vektoru rīkojs tāpt kā r skitli 0, bet r pretējo vektoru tāpt, kā r tbilstošjm minīgjm pretējo minīgo. ; Piemēri. LVI pārveidošn D D MN 6MN 7 MN lgebrisks izteiksmes pārveidošn b b b 6b 7b 33

34 3 ZZ) 9 ZZ 9 6 ZZ 6 ZZ ( ) 6 ZZ 3 0 b Sīsināts vektoru pierksts. 6 0 b 6 0 Vektor pzīmējums, norādot tā sākum un beigu punktu, norād ne tiki vektor grumu, virzienu un vērsumu, bet rī tā tršnās vietu plknē. Tādējādi vienādiem vektoriem iespējmi džādi pzīmējumi. Pieļusim turpmāk vektoru pzīmēt rī r vienu burtu, virs kur rkstīsim vektor zīmi - bultiņu. J divi vektori pzīmēti r vienu un to pšu mzo burtu, td tie noteikti ir vienādi. Piemērm, j DEF - regulārs sešstūris, O tā centrs un, td b O D E b F O, ED, OF. 35. zīm. Nupt izdrītā vienošnās neizslēdz iespēju vienādus vektorus pzīmēt rī r džādiem mzjiem burtiem. Džreiz ts vr būt pt nepieciešmi, j mums, piemērm, jāpierād divu vektoru vienādīb; td drb sākumā šī vienādīb nv zinām, un mēs esm spiesti šos vektorus pzīmēt r džādiem burtiem. Sīsinātā vektoru pierkst form sniedz mzāk informācijs nekā līdz šim lietotā. Piemērm, j 35. zīm. un D b, td rī E b. J mēs psktām summu b, td bez ppildus informācijs nevrm zināt, vi domāt vektoru summ kād cit. D, O E, Tomēr sskņā r teorēmu pr izvietošnu LVI visi vektori, kurus iegūst, izteiksmē ED D vi vēl b ievietojot vietā kādu no vienādjiem vektoriem, ks pzīmēti r, bet b vietā - kādu no 34

35 35 vienādjiem vektoriem, ks pzīmēti r b, ir svā strpā vienādi. cīmredzmi, k ts pts ttiecs uz jebkuru virāku vektoru izteiksmi, ks stur vien vi virāku vektoru sīsinātus pierkstus. Vienosimies sīsinātā pierkstā nulles vektoru pzīmēt r 0, bet vektoriem pretējos vektorus pzīmēt r. Vektor grumu pzīmēsim r. No iepriekš pierādītjām (un rī no tiki minētjām) vektoru sskitīšns, tņemšns utt. īpšībām izriet tbilstošs vienādībs, ks preizs jebkuriem sīsinātā formā pierkstītiem vektoriem (tcerēsimies, k tās suc pr identitātēm!) tzīmēsim džs no tām.. b b. c b c b b k k b k 5. k k l l k k 9. b b 0. J x b, td x b. b k k b k. J summā n 3 ptvļīgi min vietām sskitāmos, td visām iegūtjām summām ir vienāds vērtībs. 3. J summā n sskitāmos ptvļīgi grupē, td visām iegūtjām summām ir vienāds vērtībs. utt. Viegli sprst, k teorēm pr LVI pārveidošnu ir spēkā rī td, j tjā ietilpst vien un tā pš vektor virāki sīsinātie pierksti; r ktru no sīsinātjiem pierkstiem rīkojs kā r svu minīgo.

36 Piemēri.. b b b b b b 0 0 b x 7 y 6 y x 3 x y 6 y 6 x 3 x 7 y. J vienādību bās pusēs trods lineārs vektoriāls izteiksmes, td šīs vienādībs vr sskitīt, tņemt vienu no otrs, reizināt r reālu skitli tāpt, kā lgebrisks vienādībs. (Ts izriet no VVL lemmām 8,. un 9. lpp.) Uzmnību! Pgidām vektoriāls vienādībs nedrīkst reizināt vienu r otru, jo mēs neesm definējuši, ko nozīmē sreizināt divus vektorus. Vēl jo virāk šīs vienādībs nedrīkst dlīt vienu r otru. Piemēri.. J b c d un d c, td, sskitot šīs vienādībs, iegūstm b c d d c 0.. J b b, td, sīsinot bs vienādībs puses r sskitāmo b - ts ir ts pts, kā pieskitīt dotji vienādībi vienādību b b - iegūstm, k b. 3. J b 3 b, td, pārnesot b (ts ir ts pts, kā pieskitīt dotji vienādībi vienādību Uzdevumi. b.. tliec no punkt O vektorus, ks vienādi r ) b, b) 3 b, c) 4 b 0, d) b 3 b b. (skt. 36. zīm.) no vienādībs kreisās puses uz lbo r pretējo zīmi b b ), iegūstm, k 36

37 b O 36. zīm. Pierādi, k b b c c Dots, k 3 b 4 b. Pierādi, k 0 b. 4. Dots, k D - prlelogrms, b un D d. Izski un D r b un d plīdzību. 5. Dots, k OX b, OY b un punkti X un Y skrīt. Pierādi, k b 6. Dots, k D - kvdrāts r centru O, b, D d, S - ptvļīgs punkts. Izski vektorus S, S, S, SD r vektoru SO, b un d plīdzību. 7.* Sstādi un trisini 6. uzdevumm līdzīgu uzdevumu, j kvdrāt vietā dots regulārs sešstūris. 8.* Izliektā četrstūrī D, D b, digonāļu un D viduspunkti ir tbilstoši M un N. Pierādīt, k MN b. 9.* Trijstūr mls viduspunkts ir ; b, c. Pierādīt, k b c. 0.* Trpecē D r pmtiem D un punkti M un N ir sānu mlu un D viduspunkti. Pierādīt, k MN D. Vi šis rezultāts spēkā rī, j D nv trpece?.* Dots, k O O O 0. Pierādīt, k ptvļīgm punktm S pstāv vienādīb 3 SO S S S.. 37

38 . KOLINEĀRI UN NEKOLINEĀRI VEKTORI.. Definīcij un vienkāršākās īpšībs. Definīcij. J vektori trods uz viens un tās pšs tisnes vi uz prlēlām tisnēm, td tos suc pr kolineāriem. Piemēri.. J D trpece r pmtiem D un, td vektori un ir kolineāri.. Nulles vektors ir kolineārs r jebkuru citu vektoru. 3. Ktrs vektors ir kolineārs r ktru sev pretēji vērstu vektoru. 4. J divi vektori ir vienādi, td tie ir kolineāri. Ievērosim, k nenulles vektoru kolineritātei piemīt trnsitīvā īpšīb: j pirmis vektors kolineārs r otro, bet otris r trešo, td pirmis kolineārs r trešo. To grntē pstāklis, k ktrs nenulles vektors trods tieši uz viens tisnes. Turpretī jebkuru vektoru kolineritāte nv trnsitīv: piemērm, D un ZZ D un ir kolineāri vektori (trods uz prlēlām tisnēm z un q), bet vektori (tisnes p un q nv prlēls), skt. 37. zīm. ir kolineāri vektori (trods uz prlēlām tisnēm p un z), un D ZZ nv kolineāri Z D p z z q 37. zīm. tšķirīb strp biem gdījumiem rods tāpēc, k nulles vektorm nv viennozīmīgi noteikts tisnes, uz kurs ts trods. Teorēm. Divi nenulles vektori ir kolineāri td un tiki td, j viens no tiem ir otr reizinājums r kādu skitli. Pierādījums.. J un D nv nulles vektori un virzieni, tātd rī un prlēlām tisnēm. D virzieni skrīt. Tātd. Pieņemsim, k nenulles vektori (skt. 38. zīm.) k D, td k 0. Td vektoru un un un k D D trods uz viens tisnes vi uz D trods uz viens vi prlēlām tisnēm 38

39 D D 38. zīm. Viegli pārliecināties, k ) ) D, j D D, j D un un D D ir vienādi vērsti vektori, ir pretēji vērsti vektori. Pārbudi pts sevi!. Kādus nenulles vektorus suc pr kolineāriem?. Formulē nepieciešmo un pietiekmo noscījumu tm, li divi vektori būtu kolineāri! 3. Pierādi nepieciešmo un pietiekmo noscījumu tm, li divi vektori būtu kolineāri. 4. Uzzīmē divus ) vienādi vērstus kolineārus vektorus, b) pretēji vērstus kolineārus vektorus. Uzdevumi.. Dots, k D. Pierādi, k un D ir kolineāri vektori.. Dots, k k D, un ir kolineāri? 3. trodi kolineāru vektoru pārus 7. zīmējumā. 4. Dots, k D prlelogrms, O tā digonāļu krustpunkts, M un N ttiecīgi mlu un viduspunkti (39. zīm.). k. Pie kādiem noscījumiem D M O N D 39. zīm. Kuri no vektoriem, MO, ON, MN,, D, D ir kolineāri viens r otru? 39

40 .. Kolineritātes lietojumi uzdevumos pr punktu piederību vieni tisnei. Tieši no kolineritātes definīcijs izriet sekojoš pglvojum preizīb: punkti,, trods uz viens tisnes td un tiki td, j vektori Ilustrāciji skt. 40. zīm. un ir kolineāri., 40. zīm Sskņā r iepriekšējā punktā pierādīto teorēmu, li pierādītu, k un ir kolineāri, mums pietiek pierādīt, k k vi k, kur k ptvļīgs skitlis. Šādos pierādījumos mēs plši izmntosim. nodļā izstrādāto tehniku drbībām r vektoriem.... Ievduzdevumi. Piemērs. Izliektā četrstūrī D mlu un D viduspunkti ir ttiecīgi M un N, bet punkti K K L un L dl ttiecīgi mls un D ttiecībā : :. Nogriežņ KL viduspunkts ir K LD S. Pierādīt, k punkti K, L, S trods uz viens tisnes (skt. 4. zīm.). K M S L N D 4. zīm. trisinājums. pzīmēsim DN c ) un un L d (td M (td M ), D 3 d ). Td K b (td MN M N 3 b c (*) 3 b ), MN M D DN 3 d c (**) Sskitot vienādībs (*) un (**), vektori un, c un c sīsinās, tātd N c (td 40

41 Līdzīgi, pzīmējot kurs sskitot iegūstm No () un () seko, k KS e (td MN 3 b d un 3 MN b d () LS e ), iegūstm vienādībs MS b e MS b e, MS b d un MS b d. () MN 3 MS. Tātd punkti M, N un S trods uz viens tisnes. Piemērs. Četrstūrī D mlu un D viduspunkti un digonāļu krustpunkts O trods uz viens tisnes. Pierādīt, k D ir trpece vi prlelogrms. trisinājums. (skt. 4. zīm.) b M O N D 4. zīm. pzīmēsim un D viduspunktus tbilstoši r M un N. pzīmēsim rī kā O un OD ir kolineāri vektori, td eksistē tāds skitlis k, k tāds skitlis k, k O k c ; pie tm k 0 un k 0. O b ; O c. Tā OD k b ; līdzīgi eksistē Sskņā r teorēmu pr nogriežņ viduspunktu (skt. 7. lpp.) OM b c un ON k b k c. Tā kā OM un ON ir kolineāri vektori sskņā r uzdevumā doto, td eksistē tāds (mūsu gdījumā cīmredzmi tšķirīgs no nulles) skitlis k, k OM k ON. 4

42 OM ON Ievērojot iepriekš iegūtās un izteiksmes, no šīs vienādībs seko k b k c k b c (*) Pārveidojot vienādību (*) sskņā r. nodļā pmtotjiem likumiem, pkāpeniski iegūstm J k k 0 k b k c k k b k k c k b k c (**) k k, td no (**) seko, k b c, tātd vektori c k k cīmredzm neptiesīb. Tātd mūsu pieņēmums ir nepreizs un k un b k 0 ir kolineāri. et tā ir. Td no (**) seko, k k k c o. Tā kā c nv nulles vektors, td jābūt. No vienādībām un k k 0 seko, k k = k = k. Tātd OD k O un O k O. Tāpēc OD~ O (vienādi leņķi un proporcionāls tos ietverošās mls). Tāpēc O OD; bet td no prlēlu tišņu pzīmes pēc iekšējiem šķērsleņķiem izriet, k D. Tātd D ir prlelogrms (j D = ) vi trpece (j D ). k k 0 k k 0 O D 4. zīm. Uzdevumi.. Pierādīt, k trpeces sānu mlu pgrinājumu krustpunkts un pmtu viduspunkti trods uz viens tisnes.. trisināt.. pkšpunkt pirmā piemēr vrintu, j M, S, N pmierin skrībs M KS N K L, bet K un L pmierin skrībs ( un - konstntes). M SL ND K LD 3. Uz prlelogrm D digonāles ņemts tāds punkts M, k M ; punkts N 3 ir mls viduspunkts. Pierādīt, k punkti M, N un D trods uz viens tisnes. 4. Četrstūr D mlu un D viduspunkti ir ttiecīgi M un N. Pierādīt, k, MN viduspunkts un D mediānu krustpunkts trods uz viens tisnes. 5. Četrstūr D mlu un D viduspunkti ir ttiecīgi M un N; nogriežņ MN viduspunkts trods uz digonāles. Pierādīt, k digonāļu krustpunkts dl digonāli D uz pusēm. 6.* Pierādīt, k ptvļīgā trijstūrī mediānu krustpunkts, ugstumu krustpunkts un pvilktā riņķ centrs trods uz viens tisnes. 7.* Dots trijstūris un tisne t, ks krusto tisnes,, tbilstoši punktos P, Q, R. No punktiem P, Q, R novelkm perpendikulus tbilstoši pret un ; un ; un 4

43 . Šo perpendikulu pmtus pzīmējm ttiecīgi r P, P; Q, Q; R, R. Pierādīt, k nogriežņu PP; QQ; RR viduspunkti trods uz viens tisnes. 8.* Punkti,, netrods uz viens tisnes. Uz str izvēls ptvļīgu punktu D un trijstūrī D ievelk riņķ līniju; pieskršnās punktus mlām D un D pzīmē ttiecīgi r E un F. Pierādīt, k viss tisnes EF, kurs iegūst džādiem D stāvokļiem uz str, iet cur vienu punktu.... Vektoru lietojum vispārīgā shēm. psktīsim... pkšpunkt otrā piemēr trisinājumu. Pirmjā cu uzmetienā ts vr likties grš. Ptiesību skot, liel dļ tbildībs pr to jāuzņems utoru vēlmei sīki pmtot visus risinājum soļus, tomēr jātzīst, k spriedums nebūtu no visīsākjiem rī td, j dudzi pskidrojumi tiktu izlisti. Tomēr risinājumā kā skidrā votā tspoguļojs visi glvenie posmi, ks piemīt vektoru metodes lietošni ģeometrijs uzdevumos. Tos vrētu slīdzināt r tekst uzdevumu risināšnu lgebrā. Vektori plnimetrijā Uzdevum noscījumu pārtulkošn vektoru vlodā (mūsu gdījumā formuls (*) iegūšn) Iegūtā tulkojum pārveidošn sskņā r īpšībām, ks piemīt vektoriem vi drbībām r tiem (mūsu gdījumā rezultāt k k iegūšn) Pārveidojumos iegūtā rezultāt pārtulkošn tpkļ prstjā ģeometrijs vlodā (mūsu gdījumā secinājums pr līdzību) Tekst uzdevumi lgebrā Vienādojum sstādīšn jeb uzdevum noscījumu pārtulkošn lgebrs vlodā Vienādojum pārveidošn pēc lgebrs likumiem izvien vienkāršākā formā Pārveidojumos iegūtā rezultāt pārtulkošn tpkļ uzdevumā lietotjos jēdzienos Uzdevum risinājum pēdējā dļ ju ir tīri ģeometrisk, un ti r vektoriem virs nv nekād skr. rī lgebrs uzdevumu risinājumos spriedum beigu posmm (piemērm, lieko skņu tmešni) nv skr r risināšns gitā sstādītjiem vienādojumiem. Vienādojumu sstādīšni lgebrā, slīdzinot r tekst uzdevumu risināšnu r jutājumiem, glvenās priekšrocībs ir tieši otrjā posmā vienādojum pārveidošnā, ko mēs vrm izdrīt pēc vienkāršiem un formāliem likumiem, nedomājot pr veicmo pārveidojumu jēgu. rī vektoru lietošn ģeometrijā glvenās priekšrocībs sniedz tieši uzdevumu risināšns otrjā posmā: ) vektoriālo izteiksmju pārveidojumos vrm lietot visu bgātīgo lgebrisko pārveidojumu pieredzi, ) vektori it kā domā mūsu vietā, neprsot veidot plīgkonstrukcijs, ppildināt zīmējumu utt. 43

44 ..3. Menelāj teorēm un tās lietojumi. Menelāj teorēm. Pieņemsim, k dots trijstūris. Punkti M, N, K trods ttiecīgi uz tisnēm,, un pmierin skrībs M α M, N β N, K γ K. Pierādīt: punkti M, N, K trods uz viens tisnes td un tiki td, j α β γ. Pierādījums. Uzzīmēsim vispirms divus no iespējmiem stāvokļiem, kā tisne vr krustot viss trīs tisnes, uz kurām trods ) tisne krusto divs mls un trešās mls pgrinājumu, b) tisne krusto visu mlu pgrinājumus. mls: x x z M y N K M z y N K ) b) 43. zīm. pzīmēsim Tā kā M x, N y, K z ; td M x,, td α x M M γ z. Tā kā 0, td strp vektoriem x, y, z Ievērosim, k N y, K z. N N β y un ; līdzīgi x y pstāv skrīb z 0 () KN K N z y un viens tisnes td un tiki td, j vektori tāds skitlis, k Izmntojot iegūtās KM un KM K M z x. Punkti K, M, N trods uz KN un KM KN () KM ir kolineāri, t.i., td un tiki td, j eksistē KN izteiksmes, iegūstm, k () vr pārrkstīt formā z x z y (3) 44

45 No pšs uzdevum jēgs seko, k ; tāpēc no () iegūstm x y z. Ievietojot šo izteiksmi vienādībā (3), mums jānoskidro, pie kādiem noscījumiem eksistē tāds skitlis, k z y z z y (4) Vienādīb (4) identisku pārveidojumu rezultātā pkāpeniski pārveidojs pr z y z z y z z y y z z z y z y Skidrs, k ne z, ne y y z (5) nv nulles vektori (j tā būtu, td vi nu 0, vi rī 0 nevr būt). tā kā y un z ir nekolineāri vektori (trods uz neprlēlām tisnēm un ), td vienādīb (5) iespējm vienīgi, j 0 (6) un 0 (7) Preizinām vienādību (7) r y; iegūstm 0 (8) Pielīdzinot (6) un (8) kreisās puses, iegūstm, ks rī bij jāpierād. Menelāj teorēm pierādīt. Šeit dotis pierādījums, protms, nv vienkāršs un nv īss. Tomēr tzīmēsim tā stiprās puses.. Pierādījums vienlīdz lbi der gn 43.. zīm., gn 43. b. zīm. prādītjām situācijām, gn vēl citā,, kurs mēs vrbūt nemz nespējm iztēloties vi rī neiedomājmies, k tāds jāpskt (piemērm, j M, N vi K skrīt r kādu no virsotnēm). Ptiesībā visus minētos spriedumus vrēj izdrīt, pt neuzzīmējot nekādu zīmējumu; pārliecinieties pr to ptstāvīgi!. Pierādījums, tāpt kā visi pierādījumi r vektoru plīdzību, ir curspīdīgs ; mēs no pš sākum zinām, kād vienādīb mums jāizmnto un kād jāiegūst, un viss spriedums ir viens vienādībs formāl pārveidošn pr otru vienādību. Uzdevumi. Izmntojot Menelāj teorēmu, pierādīt sekojošus rezultātus.. Pskāl teorēm. J riņķ līnijā ievilkt sešstūr pretējās mls p pāriem krustojs, td to krustpunkti trods uz viens tisnes.. Simpson teorēm. J no trijstūrim pvilktās riņķ līnijs punkt novelk perpendikulus pret tisnēm,,, td perpendikulu pmti trods uz viens tisnes., ks 45

46 3. Čevs teorēm. Pieņemsim, k dots trijstūris. Punkti M, N, K trods ttiecīgi uz tisnēm,, un pmierin skrībs M M, N N, K K. Pierādīt: tisnes N, K, M krustojs vienā punktā td un tiki td, j. 4. Krno teorēm. Trim džādām riņķ līnijām p pāriem trsti kopējo ārējo pieskru krustpunkti. Pierādīt, k tie trods uz viens tisnes. 5. Trijstūr leņķu un bisektrises krusto pretējās mls ttiecīgi punktos un ; trijstūr virsotnes ārējā leņķ bisektrise krusto tisni punktā. Pierādīt, k punkti,, trods uz viens tisnes..3. Kolineritātes lietojumi uzdevumos pr tišņu prlelitāti. Tieši no kolineritātes definīcijs izriet sekojoš pglvojum preizīb: j uz divām džādām tisnēm vr trst p nenulles vektorm, ks svā strpā kolineāri, td minētās tisnes ir prlēls. Sskņā r kolineritātes nepieciešmo un pietiekmo noscījumu tišņu t un t prlelitāte būs pierādīt, j pierādīsim vienādību (skt. 44. zīm.), kur vektori uz tisnēm t un t, bet k ptvļīgs skitlis. k b un b -kut kādi nenulles b t t 44. zīm. Piemērs. Pierādīt, k trpeces viduslīnij prlēl pmtiem. trisinājums. pzīmēsim D ; td k, k kut kāds reāls skitlis (45. zīm.). k M N D 45. zīm. J M un N četrstūr mlu un D viduspunkti, td MN D ; ts pierādīts 7. lpp. Mūsu gdījumā k MN k k D. Tātd tisnes MN un D ir prlēls. 46

47 Piemērs. Dots, k trijstūr mediāns prlēls trijstūr MNK mlām. Pierādīt, k trijstūr MNK mediāns prlēls trijstūr mlām (pieņemm, k nevien ml netrods uz viens tisnes ne r vienu mediānu). trisinājums. pzīmēsim mediāns r,,. Sskņā r teorēmu pr nogriežņ viduspunktu (skt. 7. lpp.).,,. Viegli pārbudīt, k 0. Tātd eksistē trijstūris PQR, kur mls vienāds un prlēls r mediānām (skt. 46. zīm.). Q K P R M N M 46. zīm. Tātd trijstūru PQR un MNK mls ir p pāriem prlēls; tātd to leņķi ir tbilstoši vienādi un trijstūri PQR un MNK ir līdzīgi. pzīmēsim līdzībs koeficientu r k; vrm pieņemt, k līdzībā tbilstošo virsotņu pāri ir P un M, Q un N, R un K. Td MN k PQ, NK k QR, KM k RP ; tātd r M, iegūstm, k MN k PQ, NK k QR, KM k RP. pzīmējot mls KN viduspunktu k MM MN MK k PQ k RP PQ RP k k k k 3k. Tātd MNK mediān MM prlēl mli. Līdzīgi pierād pglvojumus pr pārējām MNK mediānām. Uzdevumi.. Piecstūr DE mlu,, D, DE viduspunkti ir tbilstoši M, N, K, L; četrstūris MNKS ir prlelogrms. Pierādīt, k SL E.. Izmntojot iepriekšējā uzdevum pzīmējumus, pierādīt, k nogrieznis, ks svieno MK un NL viduspunktus, rī prlēls nogrieznim E. 3. Pierādīt: j četrstūr viduslīnij prlēl vieni no tā mlām, td četrstūris ir prlelogrms vi trpece. 47

48 4. Trijstūr iekšpusē ņemts punkts O. Pierādīt, k nogrieznis, ks svieno trijstūru O un O mediānu krustpunktus, prlēls mli. Vi rezultāts un pierādījums minās, j O trods ārpus? 5.* Ktrs no n vektoriem kolineārs r visu pārējo vektoru summu. Pierādīt: vi nu visu vektoru summ ir 0, vi rī tie visi ir kolineāri. 6.* Izliektā piecstūrī DE zināms, k,, un. Pierādīt, k 7. Nogrieznis, ks svieno četrstūr D digonāļu viduspunktus, prlēls vieni no četrstūr mlām. Pierādīt, k D ir trpece. E D. E D D E.4. Vektoru izteikšn r diviem nekolineāriem vektoriem. DE Jebkuru informāciju uztvert ir vieglāk, j to pierkst stndrtizētā formā. Tāpēc džādus dokumentus izpild uz ju sgtvotām veidlpām; persons kodā ktri cipru grupi ir stingri noteikt nozīme; skitļ decimāljā pierkstā pēdējis ciprs vienmēr norād vienu skitu, priekšpēdējis desmitu skitu utt. rī plknes vektoru izteikšni izstrādāts virāks stndrtforms..4.. Vektoru izteikšns iespējmīb un vienīgums. Pieņemsim, k plknē fiksēti divi nekolineāri (tātd noteikti nenulles) vektori; pzīmēsim tos r un b. TEORĒM PR PLKNES VEKTORU IZTEIKŠNU. Ktrm vektorm turklāt skitļi α XY un β vr trst tādus skitļus α un, k XY α β b (*) ir noteikti viennozīmīgi. β Piemēri. J D kvdrāts, (skt. 47. zīm.). D un b, td b ; šeit un b D 47. zīm. 48

49 . J trijstūris,, b un M mls viduspunkts, td sskņā r teorēmu pr nogriežņ viduspunktu (7. lpp). M b ; te un. O M S N 48. zīm. 3. J. O, O b, td (skt. 48. zīm.) MN MSSN b ; te un Pierādīsim teorēmu.. Prādīsim, k minētos skitļus noteikti vr trst. Šķirosim divus gdījumus. ) J XY kolineārs vektorm skitlis, k XY. Td pskt līdzīgi. b) J XY (ti skitā, j XY XY 0 b. Gdījumu, kd nv kolineārs ne vektorm b ir nulles vektors), eksistē tāds XY kolineārs vektorm b,, ne vektorm b, psktām tisnes un b, uz kurām trods vektori un. Novelkm cur X un Y tisnes prlēli un b; tišņu krustpunktus pzīmējm, kā prādīts 49. zīm. b b X M N Y 49. zīm. Izveidojs prlelogrms XMYN. Sskņā r prlelogrm likumu XY XN XM. et kolineārs vektorm un XM kolineārs vektorm b, tātd eksistē tādi skitļi un, k XN un XM b. Tāpēc esm ieguvuši vjdzīgo skrību XY b XN 49

50 . Mēs esm prādījuši vienu veidu, kā trst vjdzīgos skitļus un. Tomēr nv izslēgts, k eksistē vēl kāds cits to tršns ceļš. Pierādīsim, k netkrīgi no skitļu un tršns ceļ to vērtībs dotjm vektorm Pieņemsim, k No () un () seko J 0, td no (3) seko Tātd 0 un Esm pierādījuši vjdzīgo. Definīcij. J un b β b suc pr vektor XY vienmēr ir viens un tās pšs. XY b () XY b () b b, no kurienes b (3) b, t.i., vektori un b. Td no (3) seko, k - nekolineāri vektori un XY komponentēm vektoru kādiem virzieniem tiek runāts, tos suc vienkārši pr b 0. Tā kā ir kolineāri; tā ir pretrun. b 0, td XY α β b, td vektorus XY un b komponentēm. No nupt pierādītās teorēms un teorēms pr izvietošnu (33. lpp) seko. α un virzienos. J skidrs, pr VEKTORU VIENĀDĪS NOSĪJUMS KOMPONENTU FORMĀ. Divi vektori ir vienādi td un tiki td, j to tbilstošās komponentes ir p pāriem vienāds. Izskot visus vektorus r un b plīdzību, pšus vektorus un b suc pr bāzes vektoriem. XY Td vr scīt, k r formulu (*) vektors izteikts kā bāzes vektoru lineār kombinācij. No teorēms pr izvietošnu seko, k, izstājot bāzes vektorus r tiem vienādiem vektoriem (kurus rī vr pzīmēt r un b ), koeficienti un formulā (*) neminās. Piemērs. Izteikt vektorus un b kā vektoru b un b lineāru kombināciju. trisinājums. Viegli uzminēt, k b b un 50

51 b b b ; pārbudiet vienādību preizību ptstāvīgi. Piemērs. Izteikt vektoru b kā vektoru b un 3 b lineāru kombināciju. trisinājums. tšķirībā no iepriekšējā gdījum koeficientus uzminēt virs nv tik vienkārši. trdīsim tos sistemātiskā ceļā. Pieņemm, k b b 3 b () Šo vienādību vr cīmredzmi vr pārveidot pr 3 b b () Viegli sprst, k iegūtā vienādīb noteikti izpildīsies, j un 3 (j gdījumā un b ir nekolineāri vektori, td šo noscījumu izpilde ir vienīgā iespēj vienādībi () izpildīties). trisinot vienādojumu sistēmu, 3 7 iegūstm ;. Tie rī ir vjdzīgie koeficienti. 5 5 Ievērosim: j un b būtu kolineāri vektori, td () un līdz r to rī () vr izpildīties rī citām un vērtībām. Piemērm, j b, td () izpildās rī, j 4 b 5α β b, un šī vienādīb preiz pie jebkuriem un, ks pmierin skrību 5α β 4. Piemērs. Uz trijstūr mls ņemts punkts M, bet uz mls punkts N tā, k M : M : un N: : 3. Nogriežņi M un N krustojs punktā O. prēķināt ttiecību O : M (50. zīm.) O M N 50. zīm. 5

52 trisinājums. pzīmēsim O: M x un sstādīsim vienādojumu, kurā ietilpst x. No šī vienādojum centīsimies trst x vērtību. Tā kā M ir kolineāri un vienādi vērsti vektori, td no vienādībs O x M seko O un O x M (). Mēģināsim izscīt un izteiksmēm rī trdīsim x. O M r vienu un to pšu bāzes vektoru plīdzību. No iegūtjām Izvēlēsimies pr bāzes vektoriem b un c.. Izscīsim M. Skidrs, k M M b M. Tā kā M un un 3 ir kolineāri un vienādi vērsti vektori, td M. Tā kā, 3 c b un M c b. Tāpēc M b 3 c b b c () Izscīsim O N krustpunkts. Pstāv tāds skitlis y, k O M. Skidrs, k jāizmnto ts, kā punkts O definēts, t.i., ts, k O ir M un O O b yn, jo vektori un N ir M izscīšnā trodm c kolineāri. Līdzīgi kā N b ; tāpēc pēc pārveidojumiem iegūstm 4 y O y b c (3) 4 3. No formulām (), (), (3) seko vienādojums y x x y b c b c (4) Vektori b un c ir nekolineāri. Sskņā r teorēmu pr plknes vektoru izteikšnu no vienādībs x x y x y 3 (4) seko y un. trisinot vienādojumu sistēmu, piemērm, r y x 4 3 ievietošns metodi, iegūstm y un x. 3 Tātd O: M x :. Uzdevums trisināts. Vienlicīgi esm trduši rī ttiecību O: N :3. Piezīme. lgebrā vienm lineārm vienādojumm r minīgjiem ir vi nu bezgl dudzi, vi neviens trisinājums. Nupt mēs redzējām, k, j vienādojums stur koeficientus vektorus, situācij vr būt principiāli citād. Šī efekt dziļākie cēloņi tiks izskidroti pkšpunktā. 5

53 Piemērs. Pierādīsim no plnimetrijs kurs pzīstmo teorēmu: trijstūr iekšējā leņķ bisektrise dl pretējo mlu tieši proporcionāli sānu mlām. trisinājums. pzīmēsim c, (skt. 5. zīm.) M 5. zīm. Mums jāpierād, k Tā kā M un prtīsim pierādīt, k Koeficientu x skrībā vektoru plīdzību. M: M c: jeb, ks ir ts pts, M: c : c. ir kolineāri vektori, td eksistē tāds skitlis x, k c x, uzdevums būs trisināts. c M x tkl meklēsim, izskot vektorus M x. J mēs M un r bāzes Šoreiz pr bāzes vektoriem ņemsim vienībs vektorus (t.i., vektorus r grumu ) e kolineāri un vienādi vērsti r vektoriem un (skt. 5. zīm.) un f, ks e f K L O X S M 5. zīm. Y 53. zīm. Tā kā vektor grums ir c, bet vektor grums ir, td c e un f. Ievērosim: j OX un OY ir nekolineāri vienād grum vektori, td OX OY trods uz XOY bisektrises. Tiešām (skt. 53. zīm.), prlelogrms OYSX ir rombs, tāpēc tā digonāle OS dl leņķi XOY uz pusēm. Tāpēc vektors M kolineārs r vektoru e f ; tātd eksistē tāds 53

54 skitlis y, k M y e f (). No otrs puses, M M x c e x f c e () No () un () seko vienādīb y e f c e x f c e, ks viegli pārveidojs pr Tā kā e k un f y c cx Piezīme. un y e y f c cx e x f (3) - nekolineāri vektori, td sskņā r teorēmu pr vektor izteikšnu no (3) seko, y x. No šejienes x c cx un c x c, k.b.j. Minēto spriedumu nedudz turpinot, viegli iegūt bisektrises grum formulu. Tiešām, no c iepriekšējā trisinājum seko, k y x c. Tātd c M y e f e f c un M c c M e f e f. tliek prēķināt c c e f grumu. Kā ju tzīmējām, vektors S e f iet p bisektrisi; tāpēc, j, td KS. Tāpēc e f S cos un S K cos cos cos.līdzīgi c cos M. c SS cos, tāpēc K S L S M 54. zīm. 54

55 Pārbudi pts sevi!. Kāds īpšībs jāpmierin diviem bāzes vektoriem, r kuriem vr izteikt jebkuru plknes vektoru?. Formulē teorēmu pr plknes vektoru izteikšnu! 3. J XY b, td ko suc pr b XY 4. Dots, k un - nekolineāri vektori un pstāv strp skitļiem,, x, y? komponenti vektor virzienā? b x y b. Kāds vienādībs 5. Kādā gdījumā vektor komponente vektor virzienā ir nulles vektors? 6. Kādiem vektoriem bs komponentes ir nulles vektori? XY Uzdevumi.. Uzzīmē vektoru (skt. 55. zīm.) OM, XY, XN, N komponentes vektoru un b virzienos X N M Y b O 55. zīm. e un e virzienos. trodi vektoru m, n, p, q, r komponentes un to grumus (skt. 56. zīm.), j koordinātu sis Ox un Oy iet p rūtiņu režģ līnijām un rūtiņs mls grums ir. y m n r q p e O e x 56. zīm. 3. Dots, k DEF regulārs sešstūris, O - tā centrs. pzīmēsim Izski vektorus F, E, DF kā un b lineārs kombinācijs., D b. 55

56 4. Izski b un b kā vektoru b un b lineārs kombinācijs. 5. Izski un n kā vektoru 3 m n un 6 m 7 n lineārs kombinācijs. 6. Uz trijstūr mls ņemts tāds punkts M, k M : M : 3. Uz nogriežņ M ņemts tāds punkts K, k K: KM :. Tisne K krusto punktā L. trst. 7. Uz trijstūr mlām un ņemti ttiecīgi punkti M un N tā, k M : M 3: 4 un N: N : 7. Nogriežņi M un N krustojs punktā O. prēķināt ttiecībs. 8. Pierādīt: trijstūr virsotnes ārējā leņķ bisektrise krusto tisni tādā punktā, k : :. Izteikt grumu r neizmntojot kvdrātsknes zīmi. 9.* Trijstūrī ievilktās riņķ līnijs centrs ir I,. Pierādīt, k b c I. b c b c O : ON m L: L O: OM un mlu grumiem un leņķu lielumiem, c,.4.. Vektori koordinātu formā Vektor koordinātu definīcij. b, Iedomāsimies, k plknē uzzīmēts tisnleņķ (Dekrt) koordinātu sistēms sis. To sākumpunktu (nullpunktu) pzīmēsim r O. Vienībs vektorus, ks no O tlikti ttiecīgi su Ox un Oy virzienos, pzīmēsim tbilstoši r e y un e (skt. 57. zīm.) e O (0;) e (;0) x 57. zīm. Skidrs, k e un e kā nekolineāri vektori vr tikt lietoti pr bāzes vektoriem, r kuru plīdzību izsk jebkuru plknes vektoru. Definīcij. J x e y e, td skitļus x un y suc pr vektor (x pr bscisu, y pr ordinātu) un vektorm pzīmējumu x; y. koordinātām līdz r citiem pzīmējumiem lieto rī 56

57 Piemēri. 0 e.. plūkojot 57. zīmējumu, e ; un 0;. Tā kā MN MN 3e e MN, td 3; MN (skt. 58. zīm.) 3. Pārliecinieties ptstāvīgi, k MN ; 0, OM ; 3, O 4; 0, 0; 3 O (skt. 59. zīm.) ; O, N e e M M 3e N e e M N 58. zīm. Gndrīz cīmredzms ir sekojošs īpšībs. y O M e N x 59. zīm.. Divi vektori ir vienādi td un tiki td, j tiem ir vienāds gn bsciss, gn ordināts.. Vektor OM bscis un ordināt skrīt ttiecīgi r punkt M bscisu un ordinātu.4... Drbībs r vektoriem koordinātu formā. Teorēm. Divus vektorus sskitot vi tņemot, tbilstošās koordināts tiek sskitīts (tņemts). Reizinot vektoru r skitli, bs koordināts tiek reizināts r šo skitli. Piemēri.. MN 3; un D ; 4, td D 5; 6 MN D ; (skt. 60. zīm. b).. ; 3, td 4; 6 (skt. 60. zīm. c). MN (skt. 60. zīm. ), bet 57

58 y e O M e MN D N D x y e O M e N D x y e O e x ) b) 60. zīm. c) Pierādījums. J x ; y un D x ; y, td sskņā r definīciju x e y e D x e y e. Tāpēc D x e y e x e y e x x e y y e () D x e y e x e y e e un x x e y y un (), ks svukārt sskņā r definīciju nozīmē, k x ;y x ;y D x x;y y un x ;y x ;y D x x;y y, k.b.j. x ; y, td k x ;y k k x e ye kxe kye kx; ky Svukārt, j k skitlis un, k.b.j. Tā kā, iegūstm secinājumu: pretēju vektoru tbilstošās koordināts ir viens otrm pretēji skitļi. Nupt pierādīto teorēmu un secinājumu no tās pierkstīsim rī koordinātu formā: y x ;y x;y x x;y y x ;y x ;y x x ;y k x;y kx; ky x ;y x; y 58

59 Gn uzdevumu risinājumos, gn spriedumos mēs lietosim viss vektoru pierkst forms norādot glpunktu, r vienu burtu un r koordinātu plīdzību un bieži pāriesim no viens forms uz citu Vektor koordinātu skrs r tā glpunktu koordinātām. Vienā speciālā gdījumā kd vektor sākumpunkts skrīt r koordinātu sistēms sākumpunktu O mēs šādu skrību ju tzīmējām (skt.. īpšību 57. lpp.): j punkt M koordināts ir (x, y), td OM x, y. Ievērosim, k mēs vrētu rī rkstīt OM x 0, y 0. tceroties, k O koordināts ir (0; 0), iegūstm: j vektor sākumpunkts ir koordinātu sākumpunktā, td tā koordināts vr iegūt, no beigu punkt koordinātām tņemot sākumpunkt koordināts. Prādīsim, k tāpt vr rīkoties rī vispārīgā gdījumā. Teorēm. Vektor bscisu (ordinātu) iegūst, no tā beigu punkt bsciss (ordināts) tņemot sākum punkt bscisu (ordinātu). Piemērs. J koordinātu plknē doti punkti M (; ) un N (4; 3), td 4 ; 3 3; skt. 60. zīm. Pierādījums. kā y MN, y Pieņemsim, k doti punkti M (x; y) un N (x; y). Td OM x ; un ON x ; OM MN ON (trijstūr likums), td Piemērs. MN ON OM y x ;y x ;y x x ;y, k.b.j. Krlsons trods plknes punktā (4; 3). Ktru minūti viņš pārvietojs pr vektoru 3 ;. Kurā punktā Krlsons trdīsies pēc stunds? trisinājums. pzīmēsim Krlson tršnās viets pēc,, 3,, 60 minūtēm ttiecīgi r K; K; ; K60. K K60 K KK K58K59 K59K ; 80; 0. OK O K60 4;3 80;0 84; 33 Sskņā r uzdevum noscījumiem K K K K K K K K 3;. Tā. Tātd Tāpēc 60. Tātd Krlsons pēc stunds trdīsies punktā, kur bscis ir 84 un ordināt ir

60 Piemērs. Plkst. 00 Krlsons trdās punktā (33; 65), bet plkst punktā (93; 85). Šjā likā viņš pārvietojās no uz p tisni r neminīgu ātrumu. Kurā punktā Krlsons trdās plkst. 35? trisinājums. M 6. zīm. pzīmēsim meklējmo punktu r M. Tā kā Krlsons pārvietojs p nogriezni r konstntu ātrumu, td viņ noietis ceļš proporcionāls likm; tāpēc 7 un M. Tā kā vektori 7 M seko 7 M. Sskņā r šjā pkšpunktā pierādīto teorēmu M un M ir kolineāri un vienādi vērsti, td no vienādībs 93 33; ; 0, tāpēc M 60;0 35; ; 65 35; 70 68; OM O M 35. Tātd Krlsons plkst. 35 trdās punktā M (68; 35), ko rī vjdzēj prēķināt.. No šejienes Piemērs. Plknē novietots divs svstrpēji perpendikulārs tisnes spoguļi. Gisms strs vispirms tstrojs no vien spoguļ, pēc tm no otr sskņā r tstrošnās likumu krītošis un tstrojošis strs veido r spoguli vienādus leņķus. Kāds pēc divkārtējās tstrošnās ir str virziens, slīdzinot r sākotnējā str virzienu? trisinājums. Ieviesīsim koordinātu sistēmu tā, li koordinātu sis būtu uzdevumā minētās spoguļtisnes. plūkosim tstrošnos no vien spoguļ. y x 6. zīm. 60

61 Izvēlēsimies uz str pirms tstrošnās vektoru, bet pēc tstrošnās vektoru tā, k =. No tā, k, seko, k, tātd = un =. ez tm vektori un ir kolineāri un vienādi vērsti, tāpēc. Līdzīgi konsttējm, k. bscis sglbājusies, bet ordināt Redzm, k vektorm slīdzinājumā r vektoru minījusies uz pretējo. Līdzīgi pierādām, k pēc tstrošnās no otr spoguļ str virzien vektor ordināt neminīsies, bet bscis minīsies uz pretējo. Tātd pēc bām tstrošnām str virzien vektor bs koordināts minījušās uz pretējo, tātd rī pts vektors minījies uz pretējo. Tātd strs pēc bām tstrošnām min svu virzienu uz pretējo sākotnējm virzienm Pr vektoriālā pierkst priekšrocībām un trūkumiem 5. lpp. mēs no vien vienādojum y x x y b c b c, ks stur minīgos x un y un kā koeficientus vektorus b un c, spējām viennozīmīgi trst minīgo x un y vērtībs, sstādot lineāru vienādojumu sistēmu x y 3. y x 4 3 Ts bij krsā pretrunā r mūsu līdzšinējo pieredzi, k lineārm vienādojumm r skitliskiem koeficientiem un minīgjiem ir vi nu bezglīgi dudzi, vi neviens trisinājums. Vektoru pierksts koordinātu formā izskidro šo šķietmi negidīto fktu. J ; b b x ; b y, td vien vektoru vienādīb un b ietver sevī divs skitlisks vienādībs strp un b bscisām un strp un b ordinātām; vr scīt, k vienādīb b ir ekvivlent r vienādību sistēmu x bx. y by Līdzīgs mehānisms bij pmtā minētjm trisinājumm. Tiki tur no vektoriālās vienādībs mēs ieguvām nevis skitlisks vienādībs strp vektoru koordinātām, bet skitlisks vienādībs, ks izscīj vektoru komponenšu vienādībs b un c virzienos. Kā redzms, vektor jēdziens ļuj mtemātiskus pglvojumus pierkstīt īsāk; skidrs, k vien vienādīb strp vektoriem ir pārsktāmāk nekā divs skitlisks vienādībs. Tomēr pr šo ērtību (kā pr visu dzīvē) ir jāmksā. r skitliskām vienādībām mēs vrm izdrīt ļoti dudzs operācijs: sskitīt tās vi tņemt vienu no otrs, reizināt vienu r otru, dlīt vienu r otru, dlīt x y 6

62 bs puses r nenulles skitli utt. Turpretī vektoriāls vienādībs mēs gn mākm sskitīt, tņemt un reizināt r skitli, bet nemākm reizināt (ties, to iemācīsimies vēlāk) un nemākm dlīt ne vienu r otru, ne r nenulles vektoru (to vr drīt tiki ļoti specifiskos izņēmum gdījumos, un mēs tāds iespējs neplūkosim). Tāpēc ktrā konkrētā gdījumā, izšķiroties strp vektoriālu pierkst formu un pierkstu r virākām skitliskām vienādībām, jāizvērtē visi plusi un mīnusi. Pārbudi pts sevi!. Vienībs vektori e un e ) vektoru, ko pzīmē r ; trods uz sīm Ox un Oy un vērsti šo su virzienos. Uzrksti 4 3! x; y b) vektoru, ko pzīmē r. Pieņemsim, k MN p; q! MN bscisu un ordinātu!. Pierksti vektor 3. Vi vienādu vektoru bsciss vr tšķirties vien no otrs? et ordināts? 4. Kād ir 0 ) bscis, b) ordināt? 5. Kāds skitlisks vienādībs izriet no vektoru vienādībs, r, s k l? 6. Formulē teorēmu pr drbībām r vektoriem koordinātu formā. 7. Uzrksti vienādībs, ks izsk teorēmu pr drbībām r vektoriem koordinātu formā. MN koordināts, j tā glpunkti ir M (; 7) un N (3; 6)? 8. Kāds ir vektor 9. Formulē teorēmu pr vektor koordinātu izteikšnu r tā glpunktu koordinātām! Uzdevumi.. Pierksti koordinātu formā 63. zīm. ttēlotos vektorus!. tliec no punkt (3; 4) vektorus ; ; 0 ; ; 5 3. prēķini ) ; 5; 4 b) 3 ; 3 4; c) 6; 5 d) 0 4; 5 e) ; 7 3; 0 43; f) 8 ; 3; 4. Pierksti kā vienu vektoru izteiksmi 5. trisini vienādojumu x ; y x ; y 3; ; ; 3 ; ; 0! 6

63 x 3; y ; 3 y ; x 6. Kāds ir nepieciešmis un pietiekmis noscījums, li vektori n yn ; y, x ; y,, x ; x, uzzīmēti cits citm glā veidotu noslēgtu līniju? 7. P tisni vienmērīgi rāpo skudr. Plkst tā trdās punktā (3; ), plkst punktā (73; -99). Kādā punktā tā trdās plkst. 7 30? 8. Kvdrāt D virsotnes trods punktos (; ), (; 5), (6; 5), D (6; ). Punkts S ir kvdrāt centrs. Uz str S ņemts tāds punkts K, k K 3 S. trst K koordināts. 9. Trīs prlelogrm virsotnes trods punktos (; 4), (3; 8) un (7; 9). Kur vr trsties ceturtā virsotne? 0. Trīs prlelogrm virsotnes trods punktos r veselām koordinātām. Pierādi, k rī ceturtā virsotne trods punktā r veselām koordinātām..* Pierādi: regulār piecstūr virsotnes viss vienlicīgi nevr trsties punktos r veselām koordinātām..* Plkne sdlīt vienādos kvdrātiņos kā rūtiņu lp. Izliekt piecstūr viss virsotnes trods rūtiņu virsotnēs. Pierādi: piecstūr iekšpusē trods vismz vien rūtiņu virsotne. 3. k (Minkovsk teorēm). Izliekts figūrs lukums lielāks pr 4, un tās simetrijs centrs ir punktā (0; 0). Pierādīt, k figūrs iekšpusē trods vismz vēl citi punkti r veselām koordinātām. 3. RĀDIUSVEKTORS Tisnleņķ koordinātu sistēmā koordinātu sākumpunkts (0; 0) spēlē īpšu lomu r koordinātu plīdzību tiek rksturots ktr punkt novietojums ttiecībā pret sākumpunktu un cur to ejošjām sīm. Līdzīgi, lietojot rādiusvektor jēdzienu, viens punkts tiek izvēlēts kā īpšs punkts; to suc pr polu. 3.. Rādiusvektor definīcij un īpšībs. Pieņemsim, k punkts O nosukts pr polu. Definīcij. Vektoru O suc pr punkt rādiusvektoru ttiecībā pret punktu O. J ir skidrs, pr kādu polu tiek runāts, td O suc vienkārši pr punkt rādiusvektoru. Tātd visi rādiusvektori iziet no vien un tā pš punkt pol; 63. zīm. ttēloti punktu,, X rādiusvektori. X O 63. zīm. 63

64 Skidrs, k pš pol rādiusvektors ir nulles vektors OO 0. tzīmēsim trīs svrīgākās rādiusvektor īpšībs. To pierādījumi ir cīmredzmi un tiek tstāti lsītājm ptstāvīgm drbm.. Divi punkti skrīt td un tiki td, j to rādiusvektori ir vienādi: un skrīt O O. Ktriem diviem punktiem X un Y XY OY OX (likums gls mīnus sākums ) 3. J pr polu O izvēls koordinātu sākumpunktu un j punkt koordināts ir (x; y), td x; y O x; y, td punkt koordināts ir (x; y). O. rī otrādi, j Otrā īpšīb ļuj jebkuru plknes vektoru izscīt r rādiusvektoru plīdzību. Tātd rādiusvektori dod vēl vienu iespēju visus vektorus izteikt stndrtceļā (pirmā iespēj, r kuru iepzināmies, bij vektor izteikšn r divu nekolineāru vektoru plīdzību). Pirmā īpšīb nozīmē to, k rādiusvektors viennozīmīgi prkst vietu plknē svu glpunktu. Tā kā r vektoriem vr veikt drbībs sskitīšnu, reizināšnu r skitli utt. td mēs iegūstm iespējs lgebriskā ceļā risināt jutājumus pr punktu tršnās vietu plknē. Trešā īpšīb dod iespēju pāriet no plknes punktu prkst r rādiusvektoru plīdzību uz prkstu r koordinātu plīdzību un otrādi. Prādīsim rādiusvektor lietošns piemēru uzdevumu risināšnā. Piemērs. Plknē tzīmēti n punkti. Dži no tiem svienoti r tisnes nogriežņiem. Uz ktr no nogriežņiem vienā glā uzzīmēt bultiņ, pārvēršot to pr vektoru. Zināms, k ktrā no minētjiem n punktiem ieiet tikpt dudz vektoru, cik no tā iziet. Pierādīt, k visu vektoru summ ir 0. trisinājums. Izscīsim ktru no uzdevumā minētjiem vektoriem r tā glpunktu rādiusvektoriem: XY OY OX. J S ptvļīgs no minētjiem n punktiem, td rādiusvektors OS prādās r + zīmi ktru reizi, kd S ir kād uzdevumā minētā vektor beigu punkts, un rādiusvektors prādās r - zīmi ktru reizi, kd S ir kād uzdevumā minētā vektor sākumpunkts. Sskņā r uzdevum noscījumiem OS sīsinās. Tā kā sīsinās visu uzdevumā minēto punktu rādiusvektori, td sākotnējo vektoru summ tiešām ir 0. Piemērs. Prlelogrm D trīs virsotņu koordināts ir (x; y), (x; y), (x3; y3). trst virsotnes D koordināts. OS 64

65 trisinājums. y y O x3; y3. Tāpēc O O x x;y y.tāpēc O OD x x;y y un OD O x x;y y x3;y3 x x;y y x3 x x;y3 y y J pr polu izvēlmies koordinātu sākumpunktu, td O x ;, x ; D vjdzēj prēķināt. O,. J D prlelogrms, td 3.. Nogriežņ iekšējā punkt rādiusvektors. Ļoti dudzus uzdevumus vr trisināt, blstoties uz sekojošu rezultātu., ko rī TEORĒM PR NOGRIEŽŅ IEKŠĒJĀ PUNKT RĀDIUSVEKTORU (NIPR teorēm). J M ir tāds nogriežņ punkts, k M: M x : y, td x y OM O O (skt. 64. zīm.) x y x y x : y M O 64. zīm. Pierādījums. M un ir x J M: M x : y, td M: x : x y, tātd M. Tā kā x y kolineāri un vienādi vērsti, td no iegūtās vienādībs strp nogriežņu grumiem seko vienādīb strp vektoriem x x M O O x y x y Tāpēc x OM O M O O O x y x x y x O O O O, k.b.j. x y x y x y x y 65

66 Piemēri.. J M nogriežņ viduspunkts, td M: M :. Ievietojot formulā () m = n =, iegūstm šādu svrīgu rezultātu: TEORĒM PR NOGRIEŽŅ VIDUSPUNKT RĀDIUSVEKTORU. Nogriežņ viduspunkt rādiusvektors ir bu tā glpunktu rādiusvektoru vidējis ritmētiskis: OM OO (skt. 65. zīm.) M O 65. zīm.. Pieņemsim, k. Sskņā r nupt pierādīto O O O. () Tā kā mediānu krustpunkts dl mediānu ttiecībā :, skitot no virsotnes, td M : M = :. Tāpēc OM O O. () 3 3 No formulām () un () seko OM O O O O O O mediānu krustpunkts ir M. pzīmēsim mls viduspunktu r TEORĒM PR TRIJSTŪR MEDIĀNU KRUSTPUNKT RĀDIUSVEKTORU. Trijstūr mediānu krustpunkt rādiusvektors ir visu trijstūr virsotņu rādiusvektoru vidējis ritmētiskis: OM OOO. 3 M O 66. zīm. 66

67 3. J kurs, : : (skt. 67. zīm.) J pzīmējm = c, = b, td : c : b b c un (slīdzini r piemēru 53. lpp.) b c b c leņķ bisektrise krusto mlu punktā, td, kā zināms no plnimetrijs c b 67. zīm. Komentārs. Formulā x y OM O O pirmjā brīdī vērojms šķietms neloģiskums : x y x y nogrieznis x stur punktu, bet koeficients r skitītāju x tiek reizināts r vektoru O, un otrādi. Ts džreiz rd grūtībs formulu tcerēties. Nedudz pdomājot, vr sprst, k tieši šād x y formuls struktūr ir loģisk. Jo lielāks koeficients un tātd mzāks koeficients,jo x y x y punkts M ir tuvāk glpunktm, un tāpēc loģiski pieņemt, k O O iespido OM spēcīgāk, bet vektors - izvien mzāk, ks rī izriet no rādiusvektor formuls. Prādīsim, kā teorēmu pr nogriežņ iekšējā punkt rādiusvektoru lieto uzdevumu risināšnā. OM izvien Piemērs. Četrstūr D mlu,, D, D viduspunkti ir ttiecīgi M, K, N, L, bet digonālu un D viduspunkti ir S un T. Pierādīt, k nogriežņi MN, KL un ST krustojs vienā punktā un dlās tjā uz pusēm. trisinājums. Izscīsim uzdevumu citiem vārdiem: jāpierād, k nogriežņu NM, KL, ST viduspunkti skrīt. K M S T N L D 68. zīm. 67

68 Pierādīsim to, prādot, k šo viduspunktu rādiusvektori ir vienādi. Izvēlēsimies pr O ptvļīgu punktu. Td sskņā r NIPR teorēmu vi teorēmu pr nogriežņ viduspunkt rādiusvektoru OM O O () OK O O () ON O OD (3) OL OD O (4) OS O O (5) OT O OD (6) pzīmēsim MN viduspunktu r V. Td OV OM ON O O O OD O O O OD, izmntojot formuls () un (3). 4 Līdzīgi no () un (4) iegūstm formulu OV O O OD O 4, bet no (5) un (6) formulu OV 3 O O O OD 4, kur V un V3 tbilstoši KL un ST viduspunkti. OV OV3 Tā kā OV, td sskņā r rādiusvektor. īpšību skrīt rī punkti V, V, V3, k.b.j. Definīcij. Punktu, kur rādiusvektors ir OOOOD, suc pr četrstūr D 4 centroīdu. No pierādītā seko, k centroīd stāvoklis nv tkrīgs no rādiusvektoru sākumpunkt izvēles: centroīds ir četrstūr viduslīniju krustpunkts, un cur to iet rī nogrieznis, ks svieno digonāļu viduspunktus. Turklāt gn viduslīnijs, gn digonāļu viduspunktus svienojošis nogrieznis centroīdā dlās uz pusēm. Pieņemsim: jāpierād, k vienā punktā krustojs virāki nogriežņi, pr kuru glpunktiem mums pieejm plš informācij (tād, ks ļuj izscīt šo glpunktu rādiusvektorus). Td pierādījum git vr būt līdzīg iepriekšējā piemēr risinājumm: uz ktr nogriežņ izvēls p punktm un 68

69 pierād, k izvēlēto punktu rādiusvektori skrīt, izskot tos r ttiecīgo nogriežņu glpunktu rādiusvektoriem. Piemērs. Pierādīt, k 4 nogriežņi, ktrs no kuriem izliektā četrstūrī svieno virsotni r pārējo triju virsotņu veidotā trijstūr mediānu krustpunktu, krustojs vienā punktā. trisinājums. tšķirībā no iepriekšējā uzdevum mums nv zināms, kādā ttiecībā šie nogriežņi krustpunktā dlās (un vi tie vispār dlās vienā un ti pšā ttiecībā). pzīmēsim četrstūri r D, bet D mediānu krustpunktu r. J punkts 0 dl nogriezni ttiecībā x :, td x O0 O O. x x Tā kā sskņā r 66. lpp. pierādīto O O O OD 3, td iegūstm x x x O 0 O O O OD () x 3x 3x 3x Līdzīgi pzīmējot D, D un mediānu krustpunktus r, un D un ņemot uz nogriežņiem,, DD ttiecīgi punktus 0, 0, D0, ks dl šos nogriežņus ttiecībā y :, z :, t : iegūstm y y y O 0 O O O OD () 3 y y 3 y 3 y z z z O 0 O O O OD (3) 3 z 3z z 3z t t t OD 0 O O O OD (4) 3 t t 3t 3t Formulās () (4) jāizvēls tāds x, y, z, t vērtībs, li būtu punkti 0, 0, 0, D0 skritīs. Visvienkāršāk pnākt, li 0 O0 O0 OD0 O 0 O0 O0 OD0 O ; td, vrētu td, j formulās () (4) izdotos OD. Nedudz izveidot vienādus koeficientus gn pie O, gn pie O, gn pie O, gn pie plūkojot () (4), redzm, k ts iegūstms, j x = y = z = t = 3. Td O0 O0 O0 OD0 O O O OD 4. Esm pierādījuši vjdzīgo. Piedevām esm ieguvuši, k visi minētie nogriežņi iet cur D centroīdu un dlās tjā ttiecībā 3 :, skitot no četrstūr virsotnes. 69

70 Komentārs pr uzminēšnu. Lsītājm vr neptikt ts, k risinājum pēdējā dļā mēs x, y, z, t vērtībs uzminējām, nevis viennozīmīgi ieguvām prēķinu ceļā. Pirmkārt, jātzīmē, k veiksmīg minēšn un hipotēžu izvirzīšn, kurs pēc tm tiek stingri pmtots, vispār ir vis pētniecībs drb pmtā. Otrkārt, iedomāties, k jāņem x = y = z = t = 3, nv ne r ko ne lbāk, ne sliktāk nekā, piemērm, ģeometrijs uzdevum klsiskā risinājumā iedomāties novilkt perpendikulu no dot punkt pret dotu tisni; gn vienu, gn otru mēs nolemjm drīt pēc tm, kd esm pārdomājuši uzdevum risinājum gitā rdušos situāciju (formuls () (4) mūsu gdījumā vi tbilstošo zīmējumu klsiskjā risinājumā). Piemērs. Trijstūr ievilktās riņķ līnijs centrs ir I, bet mlu grumi tbilstoši = c, =, = b. Pierādīt, k b c OI O O O. trisinājums. (skt. 69. zīm.) b c b c b c c I b 69. zīm. Mēs zinām, k bisektrise dl trijstūr pretējo mlu tieši proporcionāli sānu mlām, t.i., : c : b. Tāpēc b c O O O () b c b c No vienādojumu sistēms c b b viegli trst (kut vi r ievietošns metodi), k. Ievērosim, k I ir b c b bisektrise; tāpēc I: I : b : : b c:. Tāpēc b c b c b c OI O O b c b c () Ievietojot formulā () formulu (), iegūstm 70

71 b c b c OI O O O b c b c b c b c b c O O O, k.b.j. b c b c b c Piemērs.* Trijstūrī ievilktās riņķ līnijs centrs ir O, un tā pieskrs mli punktā K. Nogriežņ K viduspunkts ir M, mls viduspunkts ir N. Pierādīt, k punkti M, O, N trods uz viens tisnes (skt. 70. zīm.) M O K N trisinājums. 70. zīm. Izscīsim punktu N, O, M rādiusvektorus, pr to sākumpunktu izvēloties virsotni. Td r šo MO un rādiusvektoru plīdzību izscīsim vektorus un prādīsim, k tie ir kolineāri. Līdz r to uzdevums būs trisināts. Lietosim pzīmējumus = c, = b, =, + b + c = p (p - pusperimetrs).. N () (skt. 7. lpp.) b c b c. O () (izmntojām iepriekšējā p p p p p piemēr rezultātu un to, k 0 ). 3. cīmredzot M K. Li trstu Noskidrosim to (skt. 7. zīm.): ON K, mums jāzin, kādā ttiecībā K dl mlu. y P x x T y K z z 7. zīm. j P = T = x, P = K = y, T = K = z, td iegūstm vienādojumu sistēmu 7

72 no kurienes viegli iegūt K : K y : z b c x p, : p c, un iegūstm p b x y c x z b y z, y p b, z p c. Tātd p c p b p c p b K, p b p c p b p c tātd p c p b M (3) 4. No formulām (), () un (3) seko p MO O M b c p c p b p p b pp c c pp b p p b c b c b c 8p p 8p b c b c c b 4b b c b c 4c b c b c 8p 8p c b b c c bc b b cb c c b 8p p c b b c un ON N O b p p c p p b p c (4) b c b c b c 7

73 4p No formulām (4) un (5) redzm, k bi vektori vektorm c b b c MO un ON (5) ir kolineāri vienm un tm pšm c b b c, tātd tie ir kolineāri rī svā strpā (jātcers, k tie ir nenulles vektori). Ppildus no (4) un (5) seko, k c b c b p MO: ON : p :. 8p 4p Piemērs. Izliekt sešstūr DEF pēc kārts ņemtu mlu viduspunkti ir L, N, K, P, R, T. Pierādīt, k trijstūru LKR un NPT mediānu krustpunkti skrīt. trisinājums. Izvēlēsimies plknē ptvļīgu punktu O. Td (skt. 7. zīm.) L N K D P E T R F 7. zīm. OL O O () ON O O () OK O OD (3) OP OD OE (4) OR OE OF (5) OT OF O (6) 73

74 J M un M ttiecīgi krustpunkt rādiusvektoru Tā kā OM OM Piemērs*(Čevs teorēm). LKR un NPT mediānu krustpunkti, td no teorēms pr mediānu OM OL OK OR 3 O O O OD OE OF 3 O O O OD OE OF. 6 Līdzīgi OM ON OP OT 3 O O OD OE OF O 3 O O O OD OE OF. 6, td punkti M un M skrīt, k.b.j. Uz mlām,, ttiecīgi ņemti iekšēji punkti,,. Pierādīt: tisnes,, krustojs vienā punktā td un tiki td, j pstāv skrīb () trisinājums. (skt. 73. zīm.) x y 73. zīm. pzīmēsim krustpunktus r un ttiecīgi r Y un r X. Tisnes,, krustojs vienā punktā td un tiki td, j skrīt punkti X un Y jeb j skrīt to rādiusvektori. 74

75 Izvēlēsimies pr polu virsotni un pzīmēsim :, : un : Izscīsim X un No : : Y r,,, un. seko, k : :, tāpēc trods uz nogriežņ, td eksistē tādi p un q, k p q p q X. p q p q p q p q p pzīmējot k, iegūstm vienādību p q No otrs puses, X k k () X ir kolineārs vektorm, tāpēc, jo : :. Iegūstm X k k (3).. Tā kā punkts X X k. Svukārt Formuls () un (3) dod divus veidus, kā Xizscīts r nekolineāru vektoru kombinācijs plīdzību. Tā kā iespējm tiki vien tād lineār kombinācij, td iegūstm vienādībs k k k k k Sskitot vienādojumus, iegūstm k ; tālāk r ievietošns metodi iegūstm k un k (4). pzīmējot r k3 tādu skitli, k Y k 3 k 3, līdzīgi iegūstm, k (5) un lineārs (formulu (5) vr iegūt rī tieši no formuls (4), izstājot r un r - pdomājiet pši, kāpēc!) Vektori X un Y ir vienādi td un tiki td, j k k3, jo X un Y k 3. k 75

76 Noscījums k k3 ekvivlenti pārveidojs pr, k.b.j. Čevs teorēm pierādīt. Piemērs.* Plknē bij dots izliekts piecstūris DE. Uz striem,, D, DE, E tlikti ttiecīgi punkti,, D, E, tā, k,, D D, DE DE un E E. Pēc tm piecstūris DE nodzēsts, un plikuši tiki punkti,,, D, E. Kā r cirkuļ un lineāl plīdzību tjunot piecstūri DE? D E D trisinājums. E 74. zīm. Izvēlmies plknē ptvļīgu punktu O. Td no teorēms pr nogriežņ viduspunkt rādiusvektoru Vektori O, O, O, OD, O OE O O O O O O O OD O OD OE OD OE () () (3) (4) (5) O, O, OD, OE, uzdevums būs trisināts. Izscīsim meklējmos vektorus r zināmo vektoru plīdzību. No () (5) iegūstm OE mums ir zināmi. J prtīsim konstruēt vektorus O O OE O, 76

77 No šejienes No vienādībs viegli iegūstm Tā kā vektori OE O O O O O O O OD OD OD OE OE OE O O O O O 4O O O 4 O O O O 8O 4O O O 8 OD OD 4O O O 6OD 8OD 4O O O O 6 OE OE 8OD 4O O O 3 OE6OE 8OD 4O O O OE 3OE6OE 8OD 4O O O OE 6OE 8OD 4O O O (6) 3, O, O, OD, OE ir zināmi, td vienādīb (6) ļuj konstruēt vektoru, tātd rī punktu E. Pēc tm trodm kā E viduspunktu, kā viduspunktu utt. Vr rī iegūt rādiusvektoru O, O utt. formuls, ks nlogs (6), un rīkoties sskņā r tām. Piemērs. Koordinātu plknē doti punkti (x; y) un (x; y). Punkts K ir tāds nogriežņ iekšējs punkts, k K : K = : k. trst punkt K koordināts. trisinājums. plūkosim visu punktu rādiusvektorus no koordinātu sākumpunkt. Td x ; x ; y O un y O, kx x ky y ;. k k OK O O x ; y x ; y k k k k k k 77

78 Tāpēc punkt K bscis ir kx x k, bet K ordināt ir ky y k. Pārbudi pts sevi!. Ko suc pr punkt rādiusvektoru ttiecībā pret polu O?. Uzzīmē un pierksti punktu,,, O rādiusvektorus, j pols ir O (skt. 75. zīm.) O 75. zīm. 3. Pols O un punkti un trods uz viens tisnes. Ko vr teikt pr punktu un rādiusvektoriem? 4. Vi džādiem punktiem vr būt vienādi rādiusvektori? 5. Pierksti punkt (x; y) rādiusvektoru, j pr polu izvēls koordinātu sākumpunktu MN r punktu M un N rādiusvektoriem. 6. Izski vektoru 7. Izski nogriežņ viduspunkt rādiusvektoru r tā glpunktu un un rādiusvektoriem! 8. Punkts X ir nogriežņ iekšējs punkts un dl to ttiecībā X : X = m : n. Izski punkt X rādiusvektoru r punktu un rādiusvektoriem! 9. Izski mediānu krustpunkt rādiusvektoru r tā virsotņu,, rādiusvektoriem! Uzdevumi.. Dots, k OX O O O 3. Pierādi, k X X X 0. Pierādi pgriezto pglvojumu. Formulē bus pglvojumus bez vektoru plīdzībs.. psktām ptvļīgu izliektu piecstūri. Pierādīt, k viss 5 tisnes, ks svieno ) kāds mls viduspunktu r pārējo triju punktu veidotā trijstūr mediānu krustpunktu, b) kāds digonāles viduspunktu r pārējo triju punktu veidotā trijstūr mediānu krustpunktu, c) kādu virsotni r pārējo četru virsotņu veidotā četrstūr centroīdu (skt. 68. lpp), krustojs vienā punktā. 3.* Formulējiet un pierādiet līdzīgu pglvojumu sešstūriem (3 tisne), septiņstūriem (63 tisnes) utt. 4. Dots prlelogrms D. Punkti K, M, N, L ir tbilstoši mlu,, D, D iekšēji punkti; ML, KN D, ML un KN krustojs punktā S. Pierādīt, k S, prlelogrm D centrs un četrstūr KMNL viduslīniju krustpunkts trods uz viens tisnes. 5. Dots. Uz striem,, ņemti punkti,, tā, k =, =, =. Pierādīt, k trijstūru un mediānu krustpunkti skrīt. 6. Dots. No punkt O tlikti vektori k trijstūr mediānu krustpunkts ir O. O, O, O. Pierādīt, 78

79 7. Pierādīt: četrstūris D ir prlelogrms td un tiki td, j O O O OD. 8.* No 64 šh gldiņ rūtiņām 3 nokrāsots blts un 3 melns tā, k ktrā rindā un ktrā kolonā ir 4 blts un 4 melns rūtiņs. lto rūtiņu centrus pzīmēsim r,,, 3, melno rūtiņu centrus r M,M,, M3. Pierādiet, k O O O3 OM OM OM3. 9.* D četrstūris, G tā centroīds (skt. 68. lpp.), O ptvļīgs punkts. Pierādīt, k tā četrstūr viduslīniju krustpunkts, kur virsotnes ir O, O, OD, krustpunkti, trods uz tisnes OG. 0. Dots punktu ttiecībā pret, iegūto punktu pret, iegūto pret, iegūto pret, iegūto pret. Pierādīt, k pēc sestās ttēlošns iegūtis punkts skrīt r O.. Dots ttiecībā pret mlu,, viduspunktiem. Pierādīt, k: ) tisnes,, krustojs vienā punktā Q, b) O, Q un mediānu krustpunkts trods uz viens tisnes.. k Dot n posmu slēgt luzt līnij (n nepār skitlis) 3 n. Tās posmu viduspunktus svienojm pēc kārts, p vienm izližot ( viduspunktu svieno r 34 viduspunktu, 3 viduspunktu r 45 viduspunktu,, n-n viduspunktu r 3 viduspunktu). r iegūto slēgto luzto līniju tkārto tādu pšu operāciju, utt. Pierādīt, k ) pēc soļiem, j n = 5, b) pēc 3 soļiem, j n =7, c) pēc soļu skit, ks tkrīgs tiki no n, nevis no sākotnējās luztās līnijs mēs iegūsim luztu līniju, ks līdzīg sākotnēji. 3. Trijstūrī punkti M un N dl mls un ttiecīgi ttiecībās 3 : un 4 : 3. O r OD mediānu un ptvļīgs punkts O. ttēlojm to simetriski vispirms pret, iegūto un punkts O. r,, pzīmējm punktus, ks simetriski punktm O un plīdzību, j O dl nogriezni MN ttiecībā :. Izscīt 4. Punkti M un N dl mls un vienādās ttiecībās. Svukārt punkti K un L dl nogriežņus MN un vienādās ttiecībās. Pierādīt, k punkti, K, L trods uz viens tisnes. N L M K 5. Dots, k un (76. zīm.) N LD M KD N M O K L D 76. zīm. Pierādīt, k MO OK un NO. OL 79

80 6. ur ktru trijstūr virsotni novilkts tisnes, ks sdl pretējo mlu 3 vienādās dļās (77. zīm.) 77. zīm. Pierādīt, k šo tišņu veidotā sešstūr digonāles, ks svieno tā pretējās virsotnes, krustojs vienā punktā. 7. Punkti,, trods uz mlām (78. zīm.) bez tm pstāv vienādībs. Pierādīt, k ~. mlām, bet punkti,, uz 78. zīm. 8. Tisne t krusto prlelogrm D mls un digonāli tbilstoši punktos, D, (skt. 79. zīm.) D D 79. zīm. Pie tm x, y, Pierādīt, k x + z = y. D D z. 80

81 9. Uz mlām un ņemti tbilstoši punkti un tā, k x un y. Tisnes un krustojs punktā O (80. zīm.) O 80. zīm. prēķināt 0. Punkti M un N ir nogriežņu un D viduspunkti. Pierādīt, k, MN viduspunkts un mediānu krustpunkts trods uz viens tisnes.. Dots mediānu krustpunktus. Pierādīt, k mediānu krustpunkts, mediānu krustpunkts un O trods uz viens tisnes. 3. Trijstūr bisektrises ir, un. Nogriežņi un krustojs punktā X. ur X novilkt tisne prlēli, ks krusto un ttiecīgi punktos Y un Z. Pierādīt, k YZ Y Z. D O un lukumu ttiecību. un punkts O. r,, pzīmējm ttiecīgi trijstūru O, O, O 4.* Trijstūr iekšienē ņemts punkts O tā, k O x y. ur O vilkt tisne, ks krusto un ttiecīgi punktos un. Pierādīt, k L 4xy. L 5.* Uz mls ņemts punkts Z, ks nv šīs mls viduspunkts. Trijstūru Z un Z priņķu centri ir tbilstoši O un O. Pierādīt, k tās trijstūr mediāns vidusperpendikuls, kur iziet no virsotnes, dl OO uz pusēm. 6.* Izmntojot Čevs teorēmu (skt. 74. lpp.), pierādi sekojošus pglvojumus: ) ktrā trijstūrī nogriežņi, ks svieno virsotnes r punktiem, kuros ievilktā riņķ līnij pieskrs pretējām mlām, krustojs vienā punktā, b) ktrā trijstūrī nogriežņi, ks svieno virsotnes r punktiem, kuros tbilstošās pievilktās riņķ līnijs pieskrs pretējām mlām, krustojs vienā punktā, c) mlu,, viduspunkti ir tbilstoši,, ; uz šīm mlām ņemti tbilstoši vēl punkti,,. Dots, k,, krustojs vienā punktā. Pierādīt, k tisnes, ks iet cur un viduspunktu, un viduspunktu, un viduspunktu, krustojs vienā punktā, d) ktrā šurleņķu trijstūrī ugstumi krustojs vienā punktā, e) tisnes,, krustojs vienā punktā (8. zīm.) 8

82 8. zīm. 7.* Izmntojot 4. uzdevum rezultātu, pierādīt: ) tisne, ks iet cur trijstūr mediānu krustpunktu, dl to dļās, kuru lukumu 4 5 ttiecīb pieder intervālm ; 5 4 ; b) j trijstūrī pusperimetru pzīmējm r p, = b, = un tisne, ks vilkt cur iecentru, krusto mls un, td tās tšķeltā trijstūr lukums nv mzāks pr b L p Trijstūr ugstumu krustpunkt rādiusvektors. Iepriekš ttēlotjos uzdevumos rādiusvektorus vrēj tlikt no jebkur punkt (dudzos gdījumos mēs šo punktu pt nenorādījām), un rādiusvektoru sākumpunkt specifisk izvēle tik izdrīt tiki trisinājum vienkāršošns lbd (piemērm, 7. lpp.). Šjā punktā psktāmjos uzdevumos rādiusvektoru sākumpunkts (pols) būs dudzstūrim pvilktās riņķ līnijs centrs. TEORĒM PR TRIJSTŪR UGSTUMU KRUSTPUNKT RĀDIUSVEKTORU. J Δ ugstumu krustpunkts ir H un pcentrs ir O, td OH OOO. Pierādījums. plūkosim gdījumu, kd ir šurleņķu. Td gn H, gn O trods tā iekšpusē. pzīmēsim mlu, un viduspunktus ttiecīgi r, un. H O 8. zīm. 8

83 Td O H kā leņķi r svstrpēji prlēlām mlām; līdzīgi O H. Tāpēc O ~ H. Tā kā, td rī O H, tāpēc O H ; līdzīgi O H un O H, tāpēc O O O H H H () Ievērosim, k OH O H, OH O H un OH O H ; sskitot šīs vienādībs un ņemot vērā (), iegūstm 3 OH O O O O O O () Svukārt O O un O O ; tāpēc O O O O O O O O un O O O, jo un ir pretēji vektori. Līdzīgi iegūstm. Sskitot trīs pēdējās iegūtās vienādībs, iegūstm O O O O O O (3) No () un (3) seko, k 3 OH 3 O O O, no kurienes izriet vjdzīgis. Teorēms pierādījumu tisnleņķ un pltleņķ trijstūr gdījumā tstājm veikt lsītājm ptstāvīgi. Prādīsim šīs teorēms pielietojumus uzdevumu risināšnā. Īsum lbd trijstūr ugstumu krustpunktu suksim pr tā ortocentru. Piemērs. Pierādīt, k ktrā trijstūrī pcentrs, ortocentrs un mediānu krustpunkts trods uz viens tisnes. trisinājums. pzīmēsim pcentru, ortocentru un mediānu krustpunktu ttiecīgi r O, H un M. Tā kā OH O O O un OM O O O 3 (skt. 66. lpp.), td OM OH. Tāpēc M 3 pieder nogrieznim OH un dl to ttiecībā OM : MH = :, kā redzms 83. zīm. O M H 83. zīm. Piemērā minēto tisni suc pr Eiler tisni. 83

84 Piemērs. Riņķ līnijā ievilkts četrstūris D. Trijstūru, D, D, D ugstumu krustpunktus pzīmējm ttiecīgi r HD, H, H un H. Pierādīt, k četrstūri D un HHHHD ir vienādi. Dosim divus trisinājumus.. trisinājums. pzīmēsim riņķ līnijs centru r O. Sskņā r nupt pierādīto OH O O OD. Tāpēc nogriežņ H viduspunkt rādiusvektors ir O O OH O O O OD. Līdzīgi pierād, k rī H, H, DHD viduspunktu rādiusvektori ir O O O OD. Tātd nogriežņu H, H, H, DHD viduspunkti skrīt. Tāpēc D un HHHHD ir viens otrm simetriski (ttiecībā pret punktu, kur rādiusvektors ir O O O OD ), tātd vienādi.. trisinājums. pzīmēsim riņķ līnijs centru r O. Sskņā r ortocentr rādiusvektor formulu HH OH OH O O OD O O OD O O. H H, H H D D, Līdzīgi HD H D. No šejienes rī izriet vjdzīgis: HHHHD mls vienāds r tbilstošjām D mlām un veido tādus pšus (tiki pretēji vērstus) leņķus kā tbilstošās D mls. Definīcij. Pr četrstūr D ugstumu suc nogriezni, ks svieno vienu no četrstūr virsotnēm r pārējo triju virsotņu veidotā trijstūr ugstumu krustpunktu. Vispārīgā gdījumā četrstūrim ir 4 ugstumi. J kād no virsotnēm skrīt r pārējo triju veidotā trijstūr ugstumu krustpunktu (skt., piem., 84. zīm.), td šād īpšīb piemīt rī pārējām virsotnēm; td šādm četrstūrim ugstum jēdzienu neievieš. tzīmēsim, k ts iespējms tiki ļoti specifiskos ieliektu četrstūru gdījumos. 84. zīm. Skidrs, k vispārīgā gdījumā četrstūr ugstumi nekrustojs vienā punktā. Pierādiet ptstāvīgi, k, piemērm, četrstūr ED ugstumi (84. zīm.) nekrustojs vienā punktā, j D kvdrāts. 84

85 E D 84. zīm. J četrstūr ugstumi krustojs vienā punktā, td šo punktu suc pr četrstūr ugstumu krustpunktu jeb ortocentru, bet pšu četrstūri pr ortocentrisku četrstūri. Nupt plūkotā piemēru rezultātu vr formulēt šādi. Teorēm. Ktrs ievilkts četrstūris ir ortocentrisks, un tā ugstumi ortocentrā dlās uz pusēm. Piemērs. Uz riņķ līnijs tzīmēti 6 punkti,,, 6. Trijstūr mnl mediānu krustpunktu pzīmēsim r Mmnl, bet ugstumu krustpunktu r Hmnl. Pierādīt: viss 0 iespējmās tisnes MijkHrst (i, j, k, r, s, t džādi nturāli skitļi no līdz 6) krustojs vienā punktā. trisinājums. pzīmēsim riņķ līnijs centru r O. Td OM mn l Om On O l 3 () un rst OH Or Os Ot () psktīsim punktu Xmnlrst, ks dl nogriezni MmnlHrst ttiecībā : 3: M mnl X mnlrst M rst 85. zīm. 3 Šī punkt rādiusvektors ir OXmnl rst OM mnl OHrst ; sskņā r formulām () un () 4 4 viegli iegūstm, k OXmnl rst Om On Ol Or Os Ot 4 O O O3 O4 O5 O6 (3) 4 Formul (3) izsk vien un tā pš punkt rādiusvektoru netkrīgi no tā, kuri trīs no nturāliem skitļiem ; ; 3; 4; 5; 6 ņemti pr indeksiem m; n; l un kuri pr indeksiem r, s, t. Tāpēc visi nogriežņi MmnlHrst krustojs vienā punktā, ko rī vjdzēj pierādīt. Ppildus esm ieguvuši, k tie visi dlās ttiecībā : 3, skitot no mediānu krustpunkt. 85

86 Piemērs.* Uz riņķ līnijs doti 7 punkti. tmetot vienu no tiem, pliek seši punkti, kuriem vr psktīt iepriekšējā piemērā minētās tisnes; tās krustojs vienā punktā. Tā kā vr tmest jebkuru no 7 punktiem, šādā ceļā vrm iegūt 7 džādus punktus, ktrā no kuriem krustojs p 0 tisnēm. Pierādīt, k šie 7 punkti visi trods uz viens riņķ līnijs. trisinājumi. pzīmēsim sākotnējās riņķ līnijs centru r O, bet uz tās izvietotos 7 punktus r,,, 7. Izslēgsim uz liku no psktes punktu 7; pārējie 6 punkti sskņā r iepriekšējo piemēru nosk 0 tisnes, ks krustojs punktā r rādiusvektoru OY7 O O O6 4. psktām nogriezni Y77 un uz tā punktu Z7, ks to sdl ttiecībā : 4 (skt. 86. zīm.) : Y 7 Z 7 7 Td 86. zīm. 4 OZ7 OY7 O7 O O O3 O4 O5 O6 O Līdzīgā ceļā definējot punktus Z6, Z5,, Z, Z, iegūstm, k OZ OZ OZ7. Tātd visi punkti Z, Z,, Z7 skrīt; pzīmēsim to kopīgo tršnās vietu r Z. Tātd nogriežņi Y, Y,, Y7 7 visi krustojs punktā Z un dlās tjā ttiecībā : 4. Tāpēc septiņstūris Y Y Y7 ir homotētisks septiņstūrim 7 (r homotētijs centru Z un koeficientu 4 ). Tā kā p 7 ir pvilkt riņķ līnij, td no šejienes seko, k rī p Y Y Y7 vr pvilkt riņķ līniju (r 4 reizes mzāku rādiusu nekā sākotnējā). Piemērs. Uz riņķ līnijs doti 4 punkti. No ktru divu punktu veidotās hords viduspunkt novilkts perpendikuls pret bu pārējo punktu veidoto hordu. Pierādīt, k visi 6 perpendikuli krustojs vienā punktā. trisinājums. pzīmēsim dotos punktus r,,, D. pzīmēsim hords viduspunktu r K, hords D viduspunktu r L, KL viduspunktu r M; r T pzīmējm tā perpendikul pmtu, ks no K novilkts pret D. Riņķ līnijs centrs ir O, bet tisnes OM krustpunkts r KT ir H (skt. 87. zīm.) 7. 86

87 K H M O T L D 87. zīm. Td OK O O, OL O OD un OM OK OL O O O OD () 4 Tā kā MK =ML (pēc konstrukcijs), HMK OML (krustleņķi) un HKM OLM (iekšējie šķērsleņķi pie prlēlām tisnēm), td HMK OML. Tāpēc OM = HM, tātd OH OM un OH O O O OD () Tā kā visi punkti,,, D formulā () ietilpst līdztiesīgi, td, konstruējot punktu H līdzīgā ceļā uz perpendikul, ks vilkts no viduspunkt pret D, no viduspunkt pret D utt., iegūsim tādu pšu formulu (). Ts nozīmē, k punkts, kur rādiusvektors ir O O O OD, trods uz visiem sešiem psktāmjiem perpendikuliem; tātd visi šie 6 perpendikuli iet cur vienu punktu, k.b.j. tceroties piemēru 84. lpp., redzm, k cur šo pšu punktu iet rī 4 nogriežņi, ks svieno vienu ievilktā četrstūr virsotni r pārējo triju virsotņu veidotā trijstūr ugstumu krustpunktu, t.i., punkts H ir četrstūr D ugstumu krustpunkts (skt. 84. lpp.) tceroties, k M ir četrstūr D centroīds (skt. 68. lpp.), iegūstm rezultātu, ks nlogs teorēmi pr Eiler tisni (skt. 83. lpp.): Teorēm. Ievilktā četrstūrī centroīds dl uz pusēm nogriezni strp pcentru un ortocentru. Piemērs.* Uz hiperbols y zriem ņemti divi punkti un, ks simetriski viens otrm ttiecībā pret x koordinātu sākumpunktu O. r centru un rādiusu novilkt riņķ līnij, ks krusto hiperbolu bez punkt vēl punktos M, N un K (skt. 88. zīm.) 87

88 y X M M - O X = N X N x K 88. zīm. Pierādīt, k trisinājums. pglvojums, k MNK ir regulārs. MNK ir regulārs, ir līdzvērtīgs pglvojumm, k krustpunkts H un pvilktā riņķ centrs skrīt, jeb, ks ir ts pts, k H M N K, td pietiek pierādīt, k M, N K M N K 0. MNK ugstumu H 0. Tā kā Pētīsim vektorus, koordinātu formā. pzīmēsim punkt bscisu r ; td tā ordināt ir, jo trods uz funkcijs y grfik. Tā kā un ir simetriski ttiecībā pret x koordinātu sākumpunktu,td koordināts ir ;. Riņķ līnijs vienādojums ir () x y Tā kā Y Y X X, td () pārveidojs pr y 4 x x y 4 () Punkti M, N, K trods uz riņķ līnijs, tātd to koordināts pmierin (). Tie trods rī uz hiperbols,tātd to koordināts pmierin vienādojumu y (3) x Meklēsim punktu M, N, K bsciss x M, x N, x K risinot vienādojumu sistēmu, ks sstāv no vienādojumiem () un (3). 3 Ievietojot y vienādojumā (), iegūstm x x 3, ks pārveidojs pr x x x 88

89 4 3 3 x x 3 x x 0 (4) Tā kā riņķ līnij un hiperbol krustojs 4 punktos M,, N, K, td vienādojumm (4) ir četrs sknes punktu M,, N, K bsciss,,,. Sskņā r Vjet teorēmu 4. pkāpes reducētm vienādojumm šo skņu summ ir vienād r kubiskā locekļ koeficientm pretējo skitli, t.i., x x x x (5) Tā kā x et skitļi M x M N x, td no (4) seko, k x x x 3, ko vr pārrkstīt kā x M ( x x M utt.) M, M N K x N K x K x x x 0 M x N Tāpēc no (6) seko, k vektor, (6) N x K K ir ttiecīgi vektoru ordināt ir 0 (vienādojumā () ievieto nevis vienādojumu, kur x izstāts r y). Tātd Uzdevumi. M, N, K bsciss M N K bscis ir 0. Līdzīgi iegūst, k rī šī vektor y x, bet M N K 0, k.b.j. x y un iegūst (4) nlogu. Pierādīt, k uz Eiler tisnes trods rī tā trijstūr pcentrs, kur virsotnes ir mlu viduspunkti.. Četrstūris D ievilkts riņķ līnijā r rādiusu R. Pierādīt, k riņķ līnijs, kuru centri ir, D, D un D ortocentros, bet rādiusi vienādi r R, krustojs vienā punktā. 3. Četrstūris D ievilkts riņķ līnijā. Pierādīt, k 4 riņķ līnijs, kurs iet ttiecīgi cur, D, D, D mlu viduspunktiem, krustojs vienā punktā. 4. Četrstūris D ievilkts riņķ līnijā. ) pierādīt, k punkt Simpson tisne ttiecībā pret D (skt. 45. lpp.) iet cur H viduspunktu, kur H ir D ortocentrs, b) pierādīt: j ktri no D virsotnēm konstruē Simpson tisni ttiecībā pret pārējo virsotņu veidoto trijstūri, td viss šīs Simpson tisnes krustojs vienā punktā. 5. Dots, k M trods uz pvilktās riņķ līnijs. Punkti M, M, M simetriski punktm M ttiecībā pret,,. Pierādīt, k M, M, M un ortocentrs H trods uz viens tisnes. 6.* Vispārināt 85. lpp. piemēr rezultātu gdījumm, j uz riņķ līnijs trods 8, 9, punkti. 7.* Pierādīt, k cur 85. lpp. piemērā minēto punktu iet rī viss 0 tisnes, ks svieno to riņķ līniju centrus, kurs pvilkts r mnk un rst mlu viduspunktu veidotjiem trijstūriem (m, n, k,r, s, t džādi nturāli skitļi no līdz 6). 8.* Uz riņķ līnijs trods pieci punkti. No ktru triju punktu veidotā trijstūr mediānu krustpunkt novilkts perpendikuls pret bu pārējo punktu veidoto hordu. Pierādīt, k visi šie perpendikuli krustojs vienā punktā. 89

90 9.* Uz riņķ līnijs trods seši punkti. No ktru četru punktu veidotā četrstūr centroīd (skt. 68. lpp.) novilkts perpendikuls pret bu pārējo punktu veidoto hordu. Pierādīt, k visi šie perpendikuli krustojs vienā punktā. 0.* trodiet ttiecībs, kādās krustpunktā dlās 8. un 9. uzdevumos minētos perpendikuli..* (Tēm ptstāvīgiem pētījumiem). Vispārināt 8. un 9. uzdevumos minētos fktus..* (Tēm ptstāvīgiem pētījumiem). Pieņemsim, k riņķ līnijā ievilkts piecstūris DE. Ktrs četrs tā virsotnes veido ortocentrisku četrstūri; tiem kopā ir 5 ortocentri. Kād ir šo ortocentru veidotās figūrs sistīb r sākotnējo piecstūri DE? 3.* (Tēm ptstāvīgiem pētījumiem). Vispārināt. uzdevum jutājumu, ņemot citu punktu skitu uz riņķ līnijs un citu punktu skitu pkškopās, kurām meklējm ortocentrus. 4.* Dots, k virsotnes pieder hiperbols ortocentrs pieder šim grfikm. 5.* Dots, k virsotnes pieder hiperbols y grfikm. Pierādīt, k rī x y x viduspunkti un koordinātu sākumpunkts trods uz viens riņķ līnijs. grfikm. Pierādīt, k 3.4. Tisnes punktu rādiusvektori Pmtrezultāti. Mēs ju tzīmējām 3.. punktā, k formul k mlu OX O k O, kur 0 k, izsk nogriežņ punktu rādiusvektorus, turklāt ktri k vērtībi tbilst cits punkts un otrādi ktrm punktm tbilst cit k vērtīb. Prmetrm k pieugot no 0 līdz, punkts X slīd p nogriezni no līdz. Izrādās, k līdzīgā ceļā vr prkstīt rī tisnes punktu rādiusvektorus. Teorēm. Formul () OX k Ok O, kur k ptvļīgs reāls skitlis, izsk tisnes punktu rādiusvektorus, turklāt strp prmetr k vērtībām un tisnes punktiem pstāv svstrpēji viennozīmīg tbilstīb: ktrm tisnes punktm tbilst tieši vien k vērtīb, un ktri k vērtībi tbilst tieši viens tisnes punkts. Pierādījums. (skt. 89. zīm.) X O 89. zīm. 90

91 Skidrs, k ktrm tisnes punktm eksistē tieši viens tāds reāls skitlis k, k X k. J X skrīt r vi, td k = 0 (tbilstoši ); j X trods strp un, td 0 < k < ; j X trods iz, td k > ; j X trods pirms, td k < 0. Tātd OX O k O k O O ko k O. Tātd ktrm tisnes punktm eksistē tāds reāls skitlis k, k izpildās (). Nupt izklāstītis spriedums prād vienu ceļu, kā trst skitli k formulā (). Tomēr nv izslēgts, k eksistē vēl cits ceļš, ks dod citu k vērtību. Prādīsim, k ts nv iespējms. Pieņemsim, k kādm tisnes punktm X vienlicīgi () k O k O un k OX No () seko k O k O k Tā kā k k teorēm pierādīt. Piemērs. O k O k k O k k OX O k O, kur un tālāk, no šīs vienādībs seko O k k. O O - pretrun, jo punkti un neskrīt. Tātd (skt. 90. zīm.) J X, td k = (jo X ), tātd OX O O; j 3 X, td k (jo X ), tātd OX O O, utt. X X 90. zīm. Līdz r nupt iegūto formulu, ks izsk tisnes punktu rādiusvektorus, džreiz izdevīgāk lietot rī citu formulu, kurā vektori O un OX O O. Tātd tisnes punktu X rādiusvektorus vr izteikt formā O ieiet simetriski. pzīmēsim rī otrādi, j OX O O, kur punkts sskņā r iepriekšējo teorēmu. (3) OX O O, kur (4), td OX k un k. Td O O, t.i., X ir tisnes Izskot tisnes punktu rādiusvektorus sskņā r (3) un (4), koeficientiem un ir uzsktām ģeometrisk jēg. Li to noskidrotu, mums jāievieš orientētā grum jēdziens. 9

92 Definīcij. J punkti un trods uz ss (t.i., tisnes, uz kurs izvēlēts virziens), td pr nogriežņ orientēto grumu suc grumu, j grumu r mīnus zīmi, j grumu pzīmē r. J un skrīt, td uzskt, k 0. vērsums skrīt r ss vērsumu, un vērsums ir pretējs ss vērsumm. Nogriežņ orientēto Piemērs., D D,, D D (skt. 9. zīm.) D Piemērs. 9. zīm. Ptvļīgiem trim punktiem,, uz viens tisnes pstāv skrīb (*). J,, trods šādā secībā ss virzienā, td vienādīb (*) līdzvērtīg vienādībi + = (skt. 9. zīm.) 9. zīm. J,, uz ss izvietoti secībā,, (skt. 93. zīm.), 93. zīm. td vienādīb (*) līdzvērtīg vienādībi jeb, ks ir preiz. itus gdījumus pārbud līdzīgi; tstājm to izdrīt lsītājm ptstāvīgi. X X Teorēm. Tisnes punkt X rādiusvektors izskās r formulu OX O O. Pierādījums. X X X X Tiešām, OX O O O O O O X X X X X X X X O O O O O O, k.b.j. 9

93 Piezīme. Viegli sprst, k ttiecībs X un X nv tkrīgs no tā, kurš no diviem iespējmiem tisnes vērsumiem tiek izvēlēts pr ss vērsumu. Dudzkārt uzdevumu risināšnā noderīgs sekojošs rezultāts, ks simetriskā formā izsk 3 punktu tršnos uz viens tisnes. Teorēm. Punkti,, trods uz viens tisnes td un tiki td, j eksistē tādi skitļi, ks visi vienlicīgi pmierin sekojošus noscījumus: ) α O β O γ O 0, b) α β γ 0, c) vismz viens no skitļiem nv nulle. α, β, γ Pierādījums. α, β, γ. J,, trods uz viens tisnes un, džādi punkti, td O k O k O; tātd () O ko k O 0 J visi punkti,, skrīt, td () O O 0O 0 Gn (), gn () ir vjdzīgās vektoriālās vienādībs.. Pieņemsim, k O O O 0, 0 un,, visi vienlikus nv 0. Vrm pieņemt, k 0. Td Ievietojot, iegūstm O O O 0. 0 O O O k O ko, k. J un neskrīt, td no šīs formuls seko, k pieder tisnei ; j un skrīt, td punkti,, noteikti trods uz viens tisnes. Līdz r to teorēm pierādīt Lietojumi uzdevumu risināšnā. Piemērs. Punkts vienmērīgi kusts p tisni t, bet punkts p tisni t. Pierādīt, k viduspunkts rī kusts vienmērīgi p kādu tisni. trisinājums. Izvēlmies ptvļīgu polu O. Pieņemsim, k lik momentā t = 0 punkts trods stāvoklī 0, bet punkts stāvoklī 0. Pieņemsim, k punkts vienā lik vienībā pārvietojs pr vektoru 93

94 , bet punkts pr vektoru b. Td, pzīmējot punktu un stāvokļus lik momentā t ttiecīgi r (t) un (t), iegūstm Ot O0 t, Ot O0 b t Nogriežņ (t) (t) viduspunkt V (t) rādiusvektors ir b OVt Ot Ot O0 t O0 b t O0 O0 t. Iegūtā formul ir tāds tisnes vienādojums, ks iet cur 00 viduspunktu prlēli vektorm b ; tā kā vienā lik vienībā V pārvietojs pr vektoru ātrum vektors ir Piemērs. b.. b, td vrm secināt, k V Stru e un e sākumpunkts ir O; p un q kut kāds konstntes. Punkti un pārvietojs p q ttiecīgi p e un e tā, k lielums neminās. Pierādīt, k tisne visu liku iet cur O O vienu fiksētu punktu. trisinājums. p q pzīmēsim neminīgo lielum vērtību r c, bet vienībs vektorus, ks trods uz O O striem e un e un kuru vērsumi skrīt r stru e un e vērsumiem, r O O, O O b un tisnes punktu rādiusvektorus prkst formul un b. Td (*) OX O O b,. Li pierādītu, k viss tisnes iet cur vienu punktu, pietiek uzrādīt tād punkt rādiusvektoru, ks izskāms formā (*), izvēloties tbilstošus un. Meklēsim šo rādiusvektoru formā u v b ; lielumi u un v vr būt tkrīgi no p, q un c, bet nedrīkst būt tkrīgi no O un O, li rādiusvektors u v b neminītos līdz r tisnes miņu. p q p q Noscījumu c vr pārrkstīt formā. J formulā (*) ievieto O O co co p q p q p q,, iegūst OX O O b b. co co co co c c p q J OM b, td punkts M nemin svu stāvokli tkrībā no tisnes izmiņām. c c Sskņā r to, kā izvēlējāmies OM, punkts M pieder visām psktāmjām tisnēm. Tātd viss tisnes iet cur vienu punktu M, k.b.j. 94

95 Piemērs (Gus teorēm). Pieņemsim, k četrstūr D mlu un D pgrinājumi krustojs punktā E, bet un D pgrinājumi krustojs punktā F. Pierādīt, k nogriežņu, D, EF viduspunkti trods uz viens tisnes. trisinājums. pzīmēsim šos viduspunktus ttiecīgi r M, N un K un pierādīsim, k vektori kolineāri (skt. 94. zīm.) No tā sekos vjdzīgis. MN un MK ir E K F b M N d D 94. zīm. Izscīsim virsotni. pzīmēsim MN un MK r punktu M, N, K rādiusvektoriem, pr to sākumpunktu izvēloties b, D d, E b, F d ( un - tbilstošie skitliskie reizinātāji). Tā kā vektori b un d nv kolineāri, td eksistē tādi (viennozīmīgi noteikti) skitļi u un v, k Td u b v d. u v M b d () N b d () K E F (3) Izteiksim E un F r lielumiem b, d,,, u, v. Punkts E ir tišņu un D krustpunkts. Tātd ts trods gn uz tisnes, gn uz tisnes D. Tāpēc eksistē tādi skitļi x un y, k E x b un E d yd d y u b v d d. 95

96 No vienādībs x b d y u b v d d, pielīdzinot koeficientus pie b un d, iegūstm un y v u x v x yu 0 yv y, u no kurienes, un E b. v v Līdzīgi iegūstm F d un u K u v b d v u (4) Tātd, izmntojot (), () un (3), iegūstm u v MN N M b d (5) un u v u v uv uv MK K M b d b d b d v u v u No (5) un (6) cīmredzmi seko, k uv MK MN. u v Tātd MN un MK ir kolineāri vektori, k.b.j. (6) Piemērs. Koordinātu plknē Oxy cur punktu x 0; y 0 novilkt tisne, ks prlēl vektorm x; y. trst šīs tisnes vienādojumu, j nv nulles vektors. trisinājums. Sskņā r vispārīgo teorēmu ( 9. lpp) minētās tisnes punkti M (x; y) ir tieši tie punkti, ks pmierin skrību OM x0;y0 k jeb () x ; y x ;y k ; 0 0 x y, k ptvļīgs reāls skitlis. Vektoru vienādīb () ir līdzvērtīg vienādībām strp koordinātām x x0 x k, k ptvļīgs reāls skitlis. y y k No () seko 0 x x y y 0 0 y x y k k, no kurienes (3) x x y y y 0 x 0 96

97 Prādīsim, k rī otrādi j skitļi x un y pmierin (3), td eksistē tāds reāls skitlis k, k pstāv (). Td būs pierādīts, k () un (3) ir līdzvērtīgi pglvojumi. J nv nulles vektors, td vi nu tāds reāls skitlis k, k x x 0 x Ievietojot (4) formulā (3), iegūstm x 0 k, tātd, vi y 0 x x k (4) y 0 x x k x k y y y y y 0 0 y k y y (5) ; vrm pieņemt, k 0 x 0. Td eksistē Formuls (4) un (5) izsk to pšu, ko (). Tātd tiešām () un (3) ir līdzvērtīgi pglvojumi. Formuls () suc pr tisnes vienādojumu prmetriskā formā, bet (3), ks pārveidots izsktā x y x y - pr tisnes vienādojumu knoniskā formā. y x y 0 x 0 Piemērs. ur trijstūr mediānu krustpunktu M novilkt tisne t, ks krusto tisnes,, ttiecīgi punktos,,. Pierādīt, k () 0 M M M trisinājums. M b t 95. zīm. (Skt. 95. zīm.) tcermies ( 3. lpp.), k M M M 0. pzīmējm un izmntosim un b kā bāzes vektorus, izskot M, M un Tā kā trods uz, td eksistē tāds k, k M k k M. un uz M; tāpēc eksistē tādi x un y, k M, M b b. Punkts trods uz M x M xk x k b un M M y b y M M b y b b y b y. No šīm formulām seko xk y y x k ; trisinot vienādojumu sistēmu (kut vi r ievietošns pņēmienu), iegūstm un k y un 3k M M 3k. 97

98 nloģiski M M M 3 k M z 3k. J izvēlmies uz t vērsumu, ks skrīt r M 3k 3k vērsumu, un pzīmējm, td 0, k.b.j. M M M z z z J vērsums uz t izvēlēts otrādi, vienādīb () pliek spēkā, jo visi sskitāmie min zīmi uz pretējo. Piezīme: nelietojot orientētā grum jēdzienu, nupt pierādītis rezultāts vrētu tikt formulēts sekojošā nesimetriskā formā: viens no lielumiem M, M, M vienāds r bu pārējo summu. Piemērs (Dezrg teorēm). J trijstūri un novietoti tā, k tisnes,, krustojs vienā punktā, td punkti, kuros krustojs tisnes un, un, un, trods uz viens tisnes (j šādi krustpunkti vispār eksistē).. pierādījums. pzīmēsim tišņu,, kopīgo punktu r O; O c (sk. 96. zīm.) O, O b, O Z W Y 96. zīm. Td eksistē tādi skitļi,,, k O O, O O, O O; turklāt visi skitļi,, ir džādi, jo pretējā gdījumā kāds no psktāmjiem krustpunktiem neeksistētu (tbilstošās tisnes būtu prlēls). pzīmēsim un krustpunktu r W un izscīsim OW r grāk ieviestjiem lielumiem. 98

99 Punkts W trods uz tisnēm un, tāpēc eksistē tādi skitļi x un y, k OW x x b un OW yα yβ b. No šejienes iegūstm skitlisks vienādībs x y un x y ; trisinot vienādojumu sistēmu, iegūstm y OW b () Līdzīgi, pzīmējot un krustpunktu r Y, bet un krustpunktu r Z, iegūstm OY b c () OZ c (3) Tā vietā, li tieši meklētu tādus skitliskus reizinātājus p, q, r, k p OW q OY r OZ 0, rīkosimies netieši: pierādīsim tiki to eksistenci. Skidrs, k p OW q OY r OZ p q 0 r p q r 0 b p0 q r c J eksistētu tādi skitļi p, q, r, ks visi reizē nv 0, k formulā (*) visi koeficienti pie (*) un, b, c vienlikus ir 0, td p OW q OY r OZ 0, un vjdzīgis būs pierādīts. Tātd jutājums vi vienādojumu sistēmi r minīgjiem p, q, r, kuru iegūst, pielīdzinot nullei izteiksmes (*) koeficientus pie, b, c, eksistē tāds trisinājums, k ne visi p, q, r ir nulles? Kā zināms, šāds trisinājums eksistē td un tiki td, j sistēms determinnts ir 0. Pārbudīsim to: (Iznesām no kolonām un rindām kopīgos reizinātājus) 0. Līdz r to vjdzīgis pierādīts.. pierādījums. Nupt izklāstītis pierādījums ir dbisks mēs tieši izteicām vektorus OW, OY, OZ un pēc tm pierādījām, k strp tiem pstāv vjdzīgā skrīb. Tomēr vr iedomāties, k šāds ceļš ir 99

100 pārāk pmtīgs. Pši vektori OW, OY, OZ mums tču nemz nv vjdzīgi; mums vjdzīg tiki šo vektoru speciāl tip lineār kombinācij. Prādīsim, kā šādu kombināciju vrēj trst, neizskot pšus vektorus. tzīmēsim, k punkts O trods uz tisnēm un. Tāpēc vrm izscīt (S ptvļīgs punkts). SO α S α S, SO β S β S, No šejienes α S α S β S β S () S S S S No skrībām un seko un. Tāpēc no () S S S S () Tā kā, td () kreisā puse izsk kād tisnes punkt rādiusvektoru; līdzīgi () lbā puse izsk kād tisnes punkt rādiusvektoru. Tātd gn () kreisā, gn lbā puse izsk Līdzīgi, pzīmējot SW (3) S S. Tāpēc SW un SW S S SO S S, iegūstm (4) SY S S ; (5) SZ S S No formulām (3), (4) un (5), tās sskitot, iegūstm SW SZ 0 Formulā (6) koeficientu summ pie vektoriem SW, SY, SZ cīmredzmi ir 0. Tālāk, neviens no tiem nv 0; j, piemērm,, td tisnes un būtu prlēls un to krustpunkts W vispār neeksistētu. Tādēļ formuli (6) vr pielietot teorēmu pr 3 punktu kolineritāti simetriskā formā (skt. 93. lpp.), un Dezrg teorēm pierādīt. Pārbudi pts sevi! (6) SY. Kāds k vērtībs tiek lietots tisnes vienādojumā OX k O k O, j punkts X 00

101 ) skrīt r, b) skrīt r, c) ir nogriežņ iekšējs punkts, d) trods uz tisnes otrā pusē punktm nekā punkts, e) trods uz tisnes otrā pusē punktm nekā punkts?. tlieciet uz tisnes punktu X, km pstāv vienādīb: ) OX O O, 3 3 b) c) OX 3O O, OX 3O 4O. 3. Trijstūr mediānu krustpunkts ir M. Izscīt ir mls viduspunkts. r vektoriem 4. Kuri no punktiem X, Y, Z pieder tisnei, j OY, O 0, O, OZ O O ( un - kut kādi skitļi)? un M, j 7 OX O 0,4 O, Uzrkstīt tāds tisnes vienādojumu, ks iet cur punktu (3; 4) prlēli vektorm ;. Uzdevumi.. Trīs punkti ktrs kusts p svu tisni r neminīgu ātrumu. Pierādīt, k to veidotā trijstūr mediānu krustpunkts rī kusts p kādu tisni r neminīgu ātrumu.. Punkti un ktrs kusts p svu tisni r neminīgu ātrumu. Tisne visu liku iet cur vienu un to pšu punktu. Pierādīt, k un kusts p prlēlām tisnēm. 3. k Punkti,, 3 ir nekustīgi un trods uz viens tisnes. Punkti,, 3 pārvietojs plknē. Turklāt zināms, k un pārvietojs ktrs p svu tisni, tisne visu liku iet cur 3, tisne 3 cur, bet tisne 3 cur. Pierādīt, k 3 rī pārvietojs p tisni. 4. k Vispārināt iepriekšējā uzdevum rezultātu punktu sistēmām,, n,,, n, kur n Vi trīs punkti vr kustēties ktrs p svu tisni r konstntu ātrumu tā, li visi ātrumi būtu džādi pēc skitliskās vērtībs, strp tisnēm nebūtu prlēlu un minētie punkti nevienu brīdi netrstos uz viens tisnes (pieņemm, k kustīb sākusies bezglīgi ilgi tpkļ un turpināsies bezglīgi ilgi uz priekšu)? 6.* Strp 5 tisnēm nekāds nv prlēls un nekāds 3 neiet cur vienu punktu. psktām visus 5 četrstūrus, ktru no kuriem veido 4 no šīm tisnēm; ktrm no šiem četrstūriem psktām tisni, ks iet cur tā digonāļu viduspunktiem. Pierādīt, k iegūtās 5 tisnes iet cur vienu punktu. 7. k Vispārināt iepriekšējā uzdevum rezultātu. 8. Dots, k trijstūris, P ptvļīgs punkts, ks neskrīt ne r, ne r, ne r. ur P velkm tisnes prlēli,, ; to krustpunktus tbilstoši r,, pzīmējm r K, L, T. 0

102 Pierādīt, k krustpunkts. 9. Dots, k trijstūris, P mls punkts. ur P vilkts tisnes prlēli mediānām un ; šo tišņu krustpunktus tbilstoši r un pzīmējm r un. Kādu figūru izpild P M mediānu krustpunkts, j P kusts p nogriezni no uz? 0. ur prlelogrm D virsotni vilkt tisne krusto tisnes D,, D tbilstoši punktos K, L, M. pierādīt, k 0. K KN KM. Pierādīt Dezrg teorēmi pgriezto teorēmu.. Noskidrojiet, pr kādu pglvojumu pārveidojs Dezrg teorēm, j, bet pārējie mlu pāri krustojs (skt. 98. lpp.) 3. Pierādi sekojošu Čevs teorēms vispārinājumu (skt. 74. lpp.): j trijstūris un punkti,, trods ttiecīgi uz tisnēm,,, td tisnes,, krustojs vienā punktā td un tiki td, j 4. Pierādi sekojošu Menlāj teorēms vispārinājumu (skt. 44. lpp.): j trijstūris un punkti,, trods ttiecīgi uz tisnēm,,, td,, pieder vieni tisnei td un tiki td, j. KLT mediānu krustpunkts trods PM viduspunktā, kur M mediānu 3.5. Mss centr rādiusvektors un bricentriskās koordināts Mss centr rādiusvektors. Mēs pieņemm, k lsītājs ir pzīstms r mss centr jēdzienu un īpšībām. Teorēm pr msu centr rādiusvektoru. J punktos,,, n izvietots ttiecīgi mss m, m,, mn un M -to mss centrs, td ptvļīgm vektoru sākumpunktm O m () O m OM O mn On. m m mn Pierādījums. Izmntosim mtemātisko indukciju. J n =, td vienīgās mss m mss centrs M skrīt r tās tršnās vietu. Td, protms, m O OM O. m J n =, td msu m un m mss pēc rhimed svirs likum dl nogriezni pgriezti proporcionāli punktos un esošjām msām. Tāpēc sskņā r nogriežņ iekšējā punkt rādiusvektor formulu (skt. 97. zīm.) 0

103 m m M 97. zīm. M M M M OM O O O O M M M M M m M m O O O O M M m m M M m m m O m O, k.b.j. m m Pieņemsim tgd, k formul () pierādīt k punktu gdījumm. psktīsim k + punktus,,, k, k, kuros izvietots ttiecīgi mss m, m,, mk, mk; pzīmēsim pirmo k msu centru r Mk, bet visu k + msu centru r Mk+. Sskņā r pieņēmumu m O m O mk Ok OMk. m m mk Punktu Mk+ vr trst kā mss centru divām msām: punktā k+ esošji msi mk+ un punktā Mk esošji pvienotji msi m m mk. tršnā lietosim ju pierādīto formulu n = (skt. 98. zīm.): m +...+m k m k+ M k M k+ k+ 98. zīm. OMk m m m m k m mk OM m m m k mk m k m O mk O m mk m m m m k k k k k m O m O mk Ok m m m m m k k O k k O k Ok Induktīvā pārej izdrīt, tātd mūsu formul pierādīt visiem nturāliem n. Formul () ir simetrisk ; tā neminās, j punktu un msu m nosuc pr un m un otrādi. Tāpēc mēs redzm, k mss centr stāvoklis nv tkrīgs no tā, kādā kārtībā mēs pvienojm punktus, vispirms trodot punktos un novietoto msu m un m mss centru 03

104 m m M, pēc tm punktā M novietotās mss utt. Sekojošā teorēm ievērojmi tvieglo mss centr tršnu. un punktā 3 novietotās mss m3 centru M3, TEORĒM PR GRUPĒŠNU. J punktos,,, n izvietots mss m, m,, mn un punktos,,, k izvietots mss m, m,, mk, pie tm punktos i izvietoto msu centrs ir M un punktos i izvietoto msu centrs ir M, td visu msu centrm M pstāv vienādīb m mn OM m m m k OM () OM. m mn m m m k Teorēms pierādījumm tliek 3 reizes lietot formulu (), izskot,,. Teorēmi pr grupēšnu ir uzsktām fizikāl jēg: tā pglvo, k mss centru vr trst, sdlot mss divās grupās, trodot mss centru ktri grupi tsevišķi un pēc tm trodot mss centru biem trstjiem mss centriem, kuros skoncentrēts tbilstošo grupu kopīgās mss. Lsītājs bez grūtībām vr pierādīt līdzīgu teorēmu, j sākotnējās mss tiek sdlīts nevis divās, bet lielākā skitā grupu. OM OM OM Definīcij. J visos punktos,,, n izvietots vienāds mss, td to centru suc pr punktu sistēms,,, n centroīdu. J izvietotās mss ir m, td centroīdm M sskņā r () mo On m O m O mn O n O On OM, t.i., m m m n m n centroīd stāvoklis nv tkrīgs no tā, cik liels vienāds mss izvietots punktos,,,. n cīmredzot, divu punktu centroīds ir to veidotā nogriežņ viduspunkts, triju punktu centroīds - to veidotā tristūr mediānu krustpunkts, četru punktu centroīds - to veidotā četrstūr viduslīniju krustpunkts (skt. ttiecīgi 7., 66., 68. lpp.) No teorēms pr grupēšnu izriet šāds rezultāts. Teorēm. J n punktu sistēmu ptvļīgā veidā sdl divās k un n - k punktu pkšsistēmās un svieno iegūto pkšsistēmu centroīdus r tišņu nogriežņiem, td visi šādā ceļā iegūtie nogriežņi krustojs vienā punktā - un dlās tjā ttiecībā (n - k) : k. tstājm to lsītājm pmtot ptstāvīgi. Dudzus iepriekš pierādītus rezultātus (piem., tos, ks blstās uz Čevs teorēmu) vr ērti pmtot, izmntojot centroīd jēdzienu; tstājm to izdrīt lsītājm ptstāvīgi. Piemērs. Pieņemsim, k trijstūr virsotnēs ievietots ttiecīgi mss m, m un m. ur to mss centru vilkt tisne krusto tisnes,, ttiecīgi punktos,,. Pierādīt, k m m m 0. M M M 04

105 trisinājums. Ņemot formulā () O = M, mūsu gdījumā iegūstm (3) m M m M m M 0. M e t 99. zīm. Izvēlmies uz tisnes t vienībs vektoru e Skidrs, k M netrods uz mls. Tāpēc un, k Mēs pglvojm, k e M td no punkt M tliktā vektor (4) e. Tiešām M e un tādu vērsumu, ks skrīt r e M un e M vērsumu. M nv kolineāri vektori; td eksistē tādi M M; tā kā, glpunkts trods uz tisnes, bet ts trods rī uz tisnes t, jo tliktis vektors kolineārs vektorm e. Tātd tliktā vektor glpunkts ir t un krustpunkts, t.i.,. Tā kā M M e un M e, td M un ( 4 ) M Līdzīgi iegūst formuls e M M (5) (5 ) M 05

106 Mums jāpierād, k e M M (6) ( 6) M γ α (7) m m 0 m No formulām (4) un (5) iegūstm, ņemot vērā (3), k m m M M M M M m m Tā kā M un M - nekolineāri vektori, ts iespējms tiki td, j bās vienādībs pusēs skrīt m koeficienti gn pie M, gn pie α γ jeb m Līdzīgi iegūstm skrībs M; tātd m m (8) 0. (9) m m 0 m m (0) 0 Sskitot (8), (9) un (0), iegūstm (7). Uzdevums trisināts. Ļoti dudzu uzdevumu risināšns pmtā ir sekojoš teorēm, ks ļuj izscīt trijstūr iekšēj punkt rādiusvektoru r tā virsotņu rādiusvektoriem. Teorēm. J trijstūr iekšpusē trods punkts M un virsotnēs,, ievietots tbilstoši mss L (M), L (M) un L (M), td msu centrs ir punktā M. Pierādījums. pzīmēsim M pgrinājum krustpunktu r r. Pieņemsim, k būtu pierādīts: virsotnēs un ievietoto msu centrs ir. Td visu triju msu centrm jātrods uz tisnes jeb, ks ir ts pts, uz tisnes M. Līdzīgi tm jātrods rī uz tisnēm M un M; tātd ts trods punktā M. Li pierādītu izcelto pglvojumu, sskņā r rhimed svirs likumu jāpierād, k 06