Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Lekciju konspekts. Kompleksā mainīgā funkciju teorijas nozīme Kompleksā mainīgā funkciju teo

Transkripts

1 Kompleksā mainīgā funkciju teoijas noīme Kompleksā mainīgā funkciju teoija adās 8 gadsimtā, un tās pamatlicēji i fanču matemātiķis Žans Leons Dalambēs un šveiciešu matemātiķis Leonads Eiles Daud ieguldījumu kompleksā mainīgā funkciju teoijā snieguši aī fanču matemātiķis Ogistēns Košī un vācu matemātiķi Benhads Rīmanis un Kals Veieštāss Kompleksā mainīgā funkciju teoijai i plaši lietojumi gan teoētiskajā matemātikā (algebā, skaitļu teoijā, difeenciālvienādojumos uc), gan aī dažādās lietišķās matemātikas noaēs, piemēam, teoētiskajā fiikā, hidomehānikā, elastības teoijā, debess mehānikā, adiotehnikā Minēsim dažus sasniegumus, kas iegūti, lietojot šo teoiju: ) Novēģu matemātiķis Nils Ābels, imantojot kompleksā mainīgā funkciju teoijas metodes, pieādīja algebas pamatteoēmu, kas apgalvo, ka jebkuam polinomam i visma viena eāla vai kompleksa sakne ) Rīmanis pieādīja, ka gūtākās pimskaitļu sadalījuma poblēmas i atkaīgas no kādas kompleksā mainīgā funkcijas nuļļu sadalījuma ) Angļu matemātiķi Godfijs Heolds Hādijs un Džons Litlvuds a kompleksā mainīgā funkciju teoijas metodēm atisināja poblēmu pa natuāla skaitļa iteikšanu a dažādām skaitļu pakāpēm galīgā skaitā 4) Kievu matemātiķe Sofija Kovaļevska savā dabā Udevums pa cieta ķemeņa giešanos ap nekustīgu punktu aī imantoja kompleksā mainīgā funkciju teoijas metodes 5) Kievu aviācijas tēvs Nikolajs Žukovskis, pamatojoties u kompleksā mainīgā funkciju teoijas metodēm, istādāja lidmašīnas spāna teoiju 6) Rīgā dimušais padomju inātnieks Mstislavs Keldišs kompleksā mainīgā funkciju teoijas metodes imantoja savos dabos pa kaitīgo vibāciju novēšanu lidmašīnās Šeit vaētu minēt vēl veselu vikni slavenu sasniegumu, kas balstās u kompleksā mainīgā funkciju teoijas metodēm, taču pāiesim u pašu teoiju, vispims atceoties kompleksā skaitļa jēdienu Kompleksie skaitļi un eāla agumenta kompleksas funkcijas Komplekso skaitli va udot veidos: ) Algebiskā fomā a bi, ku a un b i eāli skaitļi, i - imagināā vienība Skaitli a Re sauc pa kompleksā skaitļa eālo daļu, skaitli b pa imagināo daļu ) Tigonometiskā fomā cos isin, ku - i kompleksā skaitļa modulis, b ag - kompleksā skaitļa aguments i ) Eksponentfomā e O a Re īm Komplekso skaitli va attēlot kompleksajā plaknē kā punktu vai vektou ( īm) Tad kompleksā skaitļa modulis sakīt a attālumu no 4 nodaļas paagāfs lpp Matemātikas papildnodaļas

2 punkta O līd skaitlim, savukāt aguments i vienāds a leņķi, ko kompleksā skaitļa vektos veido a eālās ass poitīvo pusasi Paasti imanto agumenta galvenās vētības, ti, Stap lielumiem a, b,, pastāv šādas sakaības: a cos, b sin a b b tg a Atceēsimies, kā veic dabības a kompleksajiem skaitļiem: ) Saskaitīšana un atņemšana Šīs dabības tiek veiktas algebiskā fomā: ) Reiināšana: a a b b i ; algebiskā fomā a a b b a b a b i ; tigonometiskā fomā cos i eksponentfomā ) Dalīšana: ; sin i e algebiskā fomā aa bb ab ab i ; a b a b tigonometiskā fomā cos isin eksponentfomā 4) Kāpināšana: i e n n tigonometiskā fomā cos n isin n ; ; eksponentfomā n n in e 5) Saknes vilkšana: n n k k tigonometiskā fomā cos isin, k 0,,,, n ; n n eksponentfomā n k i n e n, k 0,,,, n 4 nodaļas paagāfs lpp Matemātikas papildnodaļas

3 Reāla agumenta t kompleksu funkciju definē a vienādību t xt iyt, ku x t un y t i eālas viena agumenta t funkcijas Ja x t un t y i nepātauktas funkcijas un aguments t mainās nepātaukti kādā intevālā, funkcija t apaksta līniju kompleksajā plaknē Šo līniju sauc pa funkcijas t hodogāfu Hodogāfa paametiskie vienādojumi i x xt, t t t y yt Piemēam, eāla mainīgā kompleksas funkcijas t Rcost i sin t hodogāfa paametiskie vienādojumi i, 0 t x R cos t, y R sin t 0 t Vienādojums nosaka iņķa līniju a centu koodinātu sistēmas sākumpunktā un ādiusu R Imantojot Eilea fomulu e it cost isin t, šo vienādojumu va uakstīt aī fomā it R e, 0 t t Ņemot vēā, ka visiem iņķa līnijas punktiem attālums līd centam i R, iegūsim vienādojumu šādā fomā R Punktu kopas un apgabali kompleksajā plaknē 0 īm Kā jau minējām iepiekš, katu kompleksu skaitli va attēlot kā punktu plaknē Definīcija Pa punkta 0 apkātni sauc vaļēju iņķi a centu punktā 0 un ādiusu ( īm) Visiem šīs apkātnes punktiem ipildās nevienādība 0 Pieņemsim, ka kompleksā plaknē dota kāda punktu kopa D D 0 īm Definīcija Punktu 0 sauc pa kopas D iekšēju punktu, ja līd a punktu 0 kopa D satu aī kādu šī punkta apkātni ( īm) Definīcija Kompleksās plaknes punktu kopu D sauc pa apgabalu, ja šī kopa apmieina šādus nosacījumus: ) kopa D satu tikai iekšējus punktus (kopa i vaļēja); 4 nodaļas paagāfs lpp Matemātikas papildnodaļas

4 ) jebkuus divus kopas D punktus va savienot a nepātauktu līniju, kuas visi punkti piede kopai D (kopa i sakaīga) Apgabalus paasti nosaka a vienu vai vaiākām stingām nevienādībām Piemēam, nevienādība i nosaka iekšpusi vaļējam iņķim a centu punktā i un ādiusu (4 īm), i - āpusi iņķim a centu punktā i un ādiusu (5 īm), - pusplakni u leju no taisnes (6 īm), Re un - labo pusiņķi a centu punktā un ādiusu (7 īm), ag un 4 - sektos iņķim a centu koodinātu sistēmas 4 sākumpunktā un ādiusu 4 (8 īm) O Re - O Re O Re 4 īm 5 īm 6 īm Definīcija Punktu sauc pa apgabala obežpunktu, ja ) šis punkts nepiede apgabalam; ) pēc patikas tuvu šim punktam atodas apgabala punkti 4 - O Re O 4 Re 7 īm 8 īm Apgabala obežpunkti veido apgabala obežu Apgabala obežu udod a vienādībām Piemēam, 4 īmējumā attēlotā apgabala obeža i iņķa līnija i, 6 īmējumā taisne Apgabala obeža va sastāvēt aī no iolētiem punktiem 4 nodaļas paagāfs 4 lpp Matemātikas papildnodaļas

5 Definīcija Punktu kopu, ko iegūst apgabalam D pievienojot tā obežu, sauc pa slēgtu apgabalu un apīmē D Definīcija Apgabalu sauc pa ieobežotu, ja to va aptvet a iņķa līniju Definīcija Ieobežotu apgabalu sauc pa vienkātsakaīgu, ja tā obeža sastāv no vienas līnijas Apgabalu sauc pa divkātsakaīgu, ja tā obeža sastāv no divām savstapēji nesaistītām līnijām Analogi definē tīskātsakaīgu un daudkātsakaīgu apgabalu Piemēam, 9 īmējumā attēlotais apgabals i vienkātsakaīgs, 0 īmējumā divkātsakaīgs, īmējumā četkātsakaīgs 9 īm 0 īm īm Kompleksā mainīgā funkcijas jēdiens Definīcija Ja katam kompleksam skaitlim no kādas kopas Z pēc noteikta likuma piekāto vienu noteiktu kompleksā mainīgā w vētību, tad w sauc pa kompleksā mainīgā funkciju un aksta w f Piemēam, kompleksā mainīgā funkcijas i w, w, w Otajai funkcijai vienai vētībai atbilst divas w vētības Šādas funkcijas, kuām vienai vētībai atbilst vaiākas w vētības, sauc pa vaiākvētīgām Petējā gadījumā, kad vienai vētībai atbilst viena w vētība, funkciju sauc pa vienvētīgu Vaiākvētīgām funkcijām pēc papildus nounas paasti ivēlas vienu noteiktu vētību Kompleksu skaitli algebiskā fomā pieaksta kā x iy Līdīgi va iteikt kompleksu funkciju w u iv, u u x, y v v x, y ku, Piemēam, funkcijai w, iegūsim x iy x ixy i y x y ixy w, tātad u x y, v xy Daudi pamatjēdieni un teoēmas komplekso mainīgo funkciju teoijā i analogi atbilstošajiem pamatjēdieniem un teoēmām eālā agumenta funkciju teoijā, tāpēc tos neapskatīsim 4 nodaļas paagāfs 5 lpp Matemātikas papildnodaļas

6 Kompleksā mainīgā elementāās funkcijas Daudas matemātiskajā analīē paīstamas funkcijas, kā, piemēam, e, sin, cos, nav definētas, ja aguments i komplekss skaitlis Šīs funkcijas va definēt, imantojot pakāpju indas: n e,! n! sin! 5 5! n n n!, cos! 4 4! n n n! Rindas vienādību labajā pusē konveģē jebkuai kompleksai vētībai Minētas funkcijas savā stapā saista Eilea fomula: e i cos isin ) Eksponentfunkcija Ja x iy, tad, imantojot Eilea fomulu, iegūsim e e xiy e x e iy e x cos y i sin y No pēdējās fomulas iiet, ka eksponentfunkcijas imagināā daļa x Ime e sin y, modulis Eksponentfunkcija e eālā daļa x Ree e cos y, x e e, aguments Ag y k e i peiodiska funkcija a imagināu peiodu i, jo e i e e i e cos isin e ) Tigonometiskās funkcijas Eilea fomulā vietā ņemot, iegūsim e i cos isin Saskaitot šo fomulu a Eilea fomulu un idalot a, dabūsim cos Savukāt no Eilea fomulas atņemot pēdējo fomulu un idalot a i, iegūsim sin : i i e e cos, i i e e sin i Viegli pieādīt, ka šīs funkcijas i peiodiskas a peiodu Šīm funkcijām i spēka aī citas tigonometisko funkciju sakaības, taču va būt aī atšķiības, piemēam, va gadīties, ka sin vai cos Funkcijas tg un ctg definē tāpat kā analogas funkcijas eālam agumentam, ti, 4 nodaļas paagāfs 6 lpp Matemātikas papildnodaļas

7 i i tg sin e e cos i i ie e i i, cos i e e sin i i e e Šīs funkcijas i peiodiskas a peiodu ctg ) Hipeboliskās funkcijas Kompleksā mainīgā hipeboliskās funkcijas definē tāpat kā atbilstošās eālā agumenta funkcijas: e e sh, e e ch, sh th, ch ch cth sh Ievēojot tigonometisko un hipebolisko funkciju definīcijas, viegli pamanīt sakaības stap tām: sh i sin i, ch cosi, th i tgi, cth i ctgi No pēdējām fomulām va secināt, ka funkcijas sh un ch i peiodiskas a imagināu peiodu i, bet funkcijas th un cth - a peiodu i 4) Logaitmiskā funkcija Logaitmisko funkciju definē kā eksponentfunkcijas inveso funkciju Ja e w ( 0 ), tad w sauc pa skaitļa logaitmu un apīmē w Ln Tā kā eksponentfunkcija a kompleksu kāpinātāju i peiodiska funkcija, tad invesā funkcija modulis Ln i vaiākvētīga Ja w u iv, tad eksponentfunkcijas e w w u e e, no kuienes seko u ln ( i eāls poitīvs skaitlis) Savukāt aguments Ag Ag e w v k Tādējādi iegūsim w Ln u iv ln iag ln i ag ki, ku k 0,,, Tātad kompleksā skaitļa logaitms i vaiākkātīga funkcija Ja ņemsim k 0, tad iegūsim vienvētīgu funkciju, kuu sauc pa logaitmiskās funkcijas galveno vētību un apīmē a ln : ln ln i ag Kompleksā mainīgā logaitmiskajai funkcijai saglabājas eiinājuma un dalījuma logaitma īpašības 5) Ciklometiskās funkcijas Ciklometiskās funkcijas definē kā invesās tigonometiskās funkcijas, ti, ja sin w, tad w Acsin Ņemot vēā tigonometisko funkciju definīcijas, ciklometiskās funkcijas isakās a logaitmiskajām funkcijām: Acsin i Ln i, Accos i Ln, 4 nodaļas paagāfs 7 lpp Matemātikas papildnodaļas

8 i i Actg Ln, i i i Acctg Ln i Visas ciklometiskās funkcijas i vaiākvētīgas funkcijas, tāpēc tām, līdīgi kā logaitmiskai funkcijai idala galvenās vētības Piemēs Apēķināt i e, ln i, Ln i, Acctg i 0 e i Risinājums e cos isin Tā kā i, agi, tad ln i ln i i, Ln i i ki k i, k 0,,, i i i i i i Acctg i Ln Ln ln ki ln k, k 0,,, i i 4 nodaļas paagāfs 8 lpp Matemātikas papildnodaļas