Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
|
|
- Biruta Balodis
- pirms 4 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju gads
2 Saturs 2 1. Fermā un Eilera teorēmas 4 2. Modulārās aritmētikas pielietojumi Pozicionālais pieraksts Informācijas apstrāde Informācijas glabāšana - hashing Informācijas drošība - paritātes un cita veida kongruenču pārbaude Nejaušo skaitļu ǧenerēšana Aritmētisko operāciju pārbaude Dalāmības pazīmes Dalāmība ar 2 un vispārināšana uz 2 l Dalāmība ar Dalāmība ar 5 un vispārināšana uz 5 k Dalāmība ar Dalāmība ar
3 3. 7.mājasdarbs 31 3
4 1. Fermā un Eilera teorēmas piemērs. Atradīsim kāpinātājus, ar kuriem invertējamie elementi ir kongruenti ar 1 gredzenos GF (5), GF (7) teorēma. (Fermā Mazā teorēma) Ja p ir pirmskaitlis un tad a 0(mod p), a p 1 1(mod p) PIERĀDĪJUMS Apskatīsim funkciju kas tiek definēta šādi: f a : U p U p, f a (x) = ax. Apskatīsim piemērus gredzenos GF (5) (a = 2) un GF (7) (a = 2 vai a = 3).
5 Pierādīsim, ka f a ir bijektīva funkcija: injektivitāte - f a (x 1 ) = f a (x 2 ) = ax 1 ax 2, reizinot abas puses ar a 1, iegūsim x 1 x 2, tātad f a ir injektīva; sirjektivitāte - y U p izpildās tātad f a ir sirjektīva. y a(a 1 y) f a (a 1 y), Tā kā f a ir bijektīva funkcija, tad reizinot ar a kopas U p dažādos elementus sakārtotus kādā noteiktā kārtībā (z 1,..., z p 1 ), iegūsim tos pašus elementus citā kārtībā. Apskatīsim reizinājumu (az 1 )(az 2 )... (az p 1 ) divos veidos: no vienas puses, pielietojot reizināšanas komutativitāti, tas ir vienāds ar a p 1 (z 1... z p 1 ), 5
6 un no otras puses, tas ir vienāds ar elementu z i reizinājumu kādā citā kārtībā un, pielietojot vēlreiz atlikumu klašu reizināšanas komutativitātes īpašību, redzam, ka tas ir vienāds ar Tātad z 1... z p 1. a p 1 (z 1... z p 1 ) z 1... z p 1 (mod p) a p 1 1(mod p) piemērs (mod 3), 2 4 1(mod 5), (mod 11), (mod 89). 6
7 teorēma. (Eilera teorēma) Ja LKD(a, m) = 1, tad a ϕ(m) 1(mod m). PIERĀDĪJUMS Tā kā LKD(a, m) = 1, tad a klase ir multiplikatīvi invertējams elements kopā U m. Tālāk pierādījums ir līdzīgs Fermā teorēmas pierādījumam, ievērojot, ka U m = ϕ(m). Apskatīsim funkciju f a : U m U m, kas tiek definēta šādi: f a (x) = ax. Līdzīgi kā Fermā teorēmā pierādām, ka f a ir bijektīva funkcija. Ja f a ir bijektīva funkcija, tad reizinot ar a kopas U m dažādos elementus sakārtotus kādā noteiktā kārtībā (z 1,..., z ϕ(m) ), iegūsim tos
8 8 pašus elementus citā kārtībā. Apskatīsim reizinājumu Tas ir vienāds gan ar gan ar Tātad saīsinot iegūsim (az 1 )(az 2 )... (az ϕ(m) ). a ϕ(m) (z 1... z ϕ(m) ), z 1... z ϕ(m). a ϕ(m) 1(mod m) piezīme. Ievērosim, ka Fermā teorēma ir Eilera teorēmas speciālgadījums piezīme. Dažreiz Fermā teorēmu formulē arī veidā a p a(mod p)
9 9 vai a 1 a p 2 (mod p) piezīme. Fermā un Eilera teorēmu pielietojums - ātrā kāpināšana, ja a 0(mod p), tad : a b a b(mod p 1) (mod p).
10 2. Modulārās aritmētikas pielietojumi Pozicionālais pieraksts Senajos laikos cilvēki izmantoja primitīvu skaitļu pierakstu, kas pēc būtības ir līdzīgs svītriņu vilkšanai (nepozicionālās sistēmas), piemēram: viena svītriņa - vieninieks vai viens objekts, pārsvītrota svītriņa (X) - desmitnieks vai desmit objekti, īpaši simboli (hieroglifiskajās sistēmās), kas apzīmē 100 u.t.t. burti (alfabētiskās sistēmas senajā Grieķijā un Izraēlā) Šādā pierakstā simbola vietai nav lielas nozīmes. Parasti simboli tika sakārtoti noteiktā kārtībā, piemēram, lielākā svara simboli atradās pieraksta sākumā. Problēmas - ar šādu pierakstu grūti veikt aritmētiskās operācijas.
11 Būtiskas izmaiņas notika tad, kad cilvēki sāka pierakstīt skaitļus tā, lai simbola atrašanās vietai būtu lielāka nozīme - pozicionālajās sistēmās. Tāds pieraksts tika ieviests Indijā ap 500 AD. Viduslaikos tas tika pārņemts Eiropā un tiek izmantots līdz pat mūsu dienām teorēma. Ja m > 1 ir vesels skaitlis, tad jebkurš naturāls skaitlis n ir viennozīmīgi izsakāms formā k n = a i m i, i=0 kur a k 0 un katram i izpildās nosacījums 0 a i < m. PIERĀDĪJUMS Aprakstīsim algoritmu, ar kura palīdzību var atrast skaitļus a i : 1. Izdalīsim n ar m: n = q 1 m + a 0 ; 2. Izdalīsim q 1 ar m: q 1 = q 2 m + a 1, 11
12 12 ievērosim, ka n = q 1 m + a 0 = (q 2 m + a 1 )m + a 0 = q 2 m 2 + a 1 m + a 0 ; 3. Izdalīsim q 2 ar m: ievērosim, ka q 2 = q 3 m + a 2, n = q 2 m 2 + a 1 m + a 0 = (q 3 m + a 2 )m 2 + a 1 m + a 0 = q 3 m 3 + a 2 m 2 + a 1 m + a 0 ; Algoritms tiek uzskatīts par pabeigtu, kad kārtējais dalījums ir vienāds ar 0 - pēdējais nenulles atlikums ir a k. Ievērosim, ka algoritma izpilde vienmēr apstājas, jo dalījumu virkne q 1, q 2,... ir stingri dilstoša.
13 Algoritma izpildes rezultātā iegūsim skaitļu virkni (a 0, a 1,..., a k ), kas apmierina vienādību n = a k m k + a k 1 m k a 2 m 2 + a 1 m + a 0, tātad skaitļu virkne, kas ir deklarēta teorēmas apgalvojumā, eksistē. Pierādīsim šādas skaitļu virknes (a 0, a 1,..., a k ) vienīgumu. Pieņemsim, ka eksistē divi izvirzījumi n = a k m k + a k 1 m k a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = b k m k + b k 1 m k b 2 m 2 + b 1 m + b 0 un sāksim salīdzināt skaitļus a i un b i sākot no i = 0: 1. Reducēsim n pēc moduļa m: n a 0 b 0 (mod m), tāpēc a 0 = b 0, 13
14 14 2. Reducēsim n a 0 m pēc moduļa m: n a 0 m tāpēc = a km k a 2 m + a 1 a 1 b k m k b 2 m + b 1 b 1 (mod m), a 1 = b 1, 3. Reducēsim n a 0 a 1 m m 2 pēc moduļa m: n a 0 a 1 m m 2 tāpēc = a k m k a 3 m + a 2 a 2 b k m k b 3 m + b 2 b 2 (mod m), a 2 = b 2,
15 2.1. piezīme. Skaitļa izvirzījumu m pakāpju lineārās kombinācijas veidā sauksim par skaitļa m-āro pozicionālo pierakstu (vai par m- adisko pierakstu) un apzīmēsim ar a k a k 1...a 0 m vai kādā vienkāršākā veidā, ja nav riska pārprast pierakstu. Pēc noklusēšanas pieņemsim a k a k 1...a 0 = a k a k 1...a Skaitli m sauksim par pieraksta bāzi piezīme. Mūsdienās cilvēki gandrīz vienmēr strādā ar decimālo pierakstu (m = 10), arī ciparu skaits ir saskaņots ar šo m vērtību. Plašāk pielietotie pieraksti datorzinātnēs un datortehnoloǧijās - m = 2 - binārais pieraksts, simbolus 0, 1 sauc par bitiem, m = 8 - oktālais pieraksts, m = 16 (ar cipariem 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A = 10,B = 11,C = 12,D = 13,E = 14,F = 15) - heksadecimālais pieraksts piezīme. No binārā pieraksta seko šāds neacīmredzams fakts - katru naturālu skaitli var viennozīmīgi izteikt kā 2 pakāpju summu. 15
16 2.4. piezīme. Algoritms skaitļa n pārveidošanai no decimālās sistēmas uz m-āro sistēmu: 1. izdalīt n ar m: n (q 1, a 0 ), kur n = q 1 m + a 0, ja q 1 0, tad iet tālāk; 2. izdalīt q 1 ar m: (q 1, a 0 ) (q 2, a 1 ), kur q 1 = q 2 m+a 1, ja q 2 0, tad iet tālāk; 3. izdalīt q 2 ar m: (q 2, a 1 ) (q 3, a 2 ), kur q 2 = q 3 m+a 2, ja q 3 0, tad iet tālāk;... izdalīt... k+1. Uzrakstīt simbolus pareizā kārtībā - a k a k 1...a 0 m ; k+2. Veikt pārbaudi: a k m k + a k 1 m k a 0? = n. 16
17 2.1. piemērs. Pārveidosim skaitli ārajā pierakstā: = a 0 = 2, q 1 = 401; = a 1 = 1, q 2 = 80; = a 2 = 0, q 3 = 16; = a 3 = 1, q 4 = 3; 5. 3 = a 4 = 3, q 5 = 0; 6. Pierakstām rezultātu 2007 = ; 7. Veicam pārbaudi: = =
18 2.5. piezīme. Algoritms skaitļa n pārveidošanai no m-ārās sistēmas uz decimālo sistēmu: 1. Ja ir dots skaitlis n = a k a k 1...a 0 m, aprēķināt decimālajā pierakstā summu n = a k m k + a k 1 m k a piemērs. Ja skaitlis 7-ārajā pierakstā ir , tad decimālajā pierakstā tas ir = piezīme. Algoritms skaitļa n pārveidošanai no m 1 -ārās sistēmas uz m 2 -āro sistēmu: 1. Pārveidot skaitli n no m 1 -ārā pieraksta uz decimālo pierakstu, 2. Pārveidot skaitli n no decimālā pieraksta uz m 2 -āro pierakstu piemērs. Pārveidosim skaitli uz heksadecimālo pierakstu: A 16 18
19 2.7. piezīme. Pozicionālās sistēmas plusi: simbolu ekonomija, ērti veikt aritmētiskās operācijas - algoritmi visiem ir zināmi, tos var vispārināt no m = 10 uz jebkuru m vērtību teorēma. 1. Maksimālais naturālais skaitlis, ko var ierakstīt m-ārajā sistēmā ar k simboliem ir vienāds ar m k Lai skaitli n ierakstītu m-ārajā sistēmā, ir nepieciešami simboli. k n = [log m n] + 1 PIERĀDĪJUMS 1. Lielākais skaitlis ar k simboliem m-ārajā pierakstā ir (m 1)(m 1)...(m 1) m = (m 1)(1 + m m k ) = (m 1) mk+1 1 m 1 = m k
20 2. n = m log m n, tāpēc m [log m n] n < m [log m n]+1. m-ārajā pierakstā skaitlis m [log m n] ir }{{} ([log m n] + 1 cipari) [log m n] reizes un m [log m n]+1 ir }{{} ([log m n]+2 cipari). Redzam, ka skaitli [log m n]+1 reizes n var pierakstīt ar [log m n] + 1 cipariem. 20
21 2.2. Informācijas apstrāde Informācijas glabāšana - hashing Lielus informācijas daudzumus labāk ir glabāt sakārtotā veidā - lai varētu ātrāk atrast vajadzīgo informāciju. Viens no informācijas glabāšanas veidiem - sašķirot informāciju noteiktā veidā, saliekot to konteineros. Šādā gadījumā, lai atrastu vajadzīgo informāciju, pietiek pārmeklēt vienu konteineru, nevis visu informācijas kopumu. Viens no informācijas šķirošanas veidiem - hešhings (hashing) jeb hash-funkcijas izmantošana. Metodes būtība: tiek definēta funkcija (hash-funkcija), kas katrai informācijas vienībai (skaitlim, vārdam, simbolu virknei u.c.) piekārto sakārtotas un bieži vien mazākas kopas (atslēgu kopas) elementus,
22 katrai informācijas vienībai tiek pielietota hash-funkcija un informācija tiek glabāta konteineros (failos vai cita veida OS atkarīgās struktūrās) atbilstoši atslēgas vērtībai, lai atrastu doto informācijas vienību, pietiek pārmeklēt tikai to konteineru, kas atbilst tās atslēgas vērtībai. Hash-funkciju piemēri: vārda pirmais burts, f(x) = [xm], ja 0 x 1, f(x) = x (mod m), 22
23 Informācijas drošība - paritātes un cita veida kongruenču pārbaude Ierakstot un pārraidot informāciju var rasties kļūdas. Lai garantētu informācijas saglabāšanos, sākotnējai ierakstāmajai vai pārraidāmajai informācijai pievieno papildus informāciju, kuru izmanto pārbaudē - salīdzina ierakstīto papildus informāciju ar aprēķināto: sūtītājs fiksē pārraidāmo informāciju A, sūtītājs aprēķina pārbaudošo papildus informāciju f(a) (parasti f(a) pēc apjoma ir daudz mazāka kā A), sūtītājs pārraida vai ieraksta pāri (A, f(a)), saņēmējs saņem informāciju (A, B ) (iespējamas kļūdas), saņēmējs aprēķina f(a ), ja B f(a ), tad konstatē, ka notikusi pārraides vai ierakstīšanas kļūda. Papildus informācijas ǧenerēšanai bieži izmanto modulāro aritmētiku. 23
24 Vienkāršākie piemēri: paritātes pārbaude - informācijas vienībai tiek pievienots paritātes bits (0 vai 1) atkarībā no tā, vai dotā informācijas vienība, iekodēta kā vesels skaitlis, ir pāra vai nepāra skaitlis, šī metode ļauj noteikt, ka ir kļūda tieši vienā bitā; 10 ciparu ISBN numurs - informācija tiek iekodēta pirmajos 9 ciparos un pēdējais tiek aprēķināts pēc formulas 1 a a a 9 (mod 11) 24
25 Nejaušo skaitļu ǧenerēšana Nejaušo skaitļu ǧenerēšana - svarīga operācija. Nejaušie skaitļi tiek izmantoti varbūtiskajos algoritmos u.c. Vienkāršs nejaušo skaitļu ǧenerators: x n+1 = ax n + b (mod m), kur LKD(b, m) = 1, x 0 - sēkla (seed) piemērs. Ja m = 13, a = 2, b = 4, x 0 = 5, tad iegūsim virkni 5, 1, 6, 3, 10, 11, 0, 4, 12, 2, 8, 7, 5.
26 Aritmētisko operāciju pārbaude Aritmētisko operāciju rezultātu pareizības pārbaudē var izmantot vienu no modulārās aritmētikas īpašībām: Pretējais apgalvojums: a = b = a b (mod m) m. m : a b (mod m) = a b. Pārbaudes algoritms: 1. Atrodam operācijas rezultātu c = a b, 2. Atrodam c = a b (mod m) un c = c (mod m)), 3. Ja c c, tad konstatējam kļūdu.
27 2.3. Dalāmības pazīmes Dalāmības ar m pazīme - īpašība, kas piemīt m daudzkārtņu cipariem (parasti 10-ārajā pierakstā). Šajā sadaļā pieņemam, ka n = a k a k 1...a 0 = a k 10 k a a Dalāmība ar 2 un vispārināšana uz 2 l Tā kā 10 l = 2 l 5 l 0 (mod 2), ja l 1, tad n a 0 + a k a 0 a 0 (mod 2). Dalāmības pazīme ar 2: 2 n 2 a 0 (ja n pēdējais cipars dalās ar 2 - pieder kopai {0, 2, 4, 6, 8}). Tā kā 10 j = 2 j 5 j 0 (mod 2 l ), ja j l, tad n a l 1 10 l 1 + a l a 0 = a l 1 a l 2...a 0 (mod 2 l ).
28 28 Dalāmības pazīme ar 2 l : 2 l n 2 l a l 1 a l 2...a 0 (ja pēdējo l ciparu veidotais skaitlis dalās ar 2 l ) Dalāmība ar 3 Tā kā 10 l 1 (mod 3), tad n a k 1 + a k a 0 a k + a k a 0 (mod 3). Dalāmības pazīme ar 3: 3 n 3 a k + a k a 0 (ja n ciparu summa dalās ar 3).
29 Dalāmība ar 5 un vispārināšana uz 5 k Tā kā 10 j = 2 j 5 j 0 (mod 5 l ), ja j l, tad n a l 1 10 l 1 + a l a 0 = a l 1 a l 2...a 0 (mod 5 l ). Dalāmības pazīme ar 5 l : 5 l n 5 l a l 1 a l 2...a 0 (ja pēdējo l ciparu veidotais skaitlis dalās ar 5 l ) Dalāmība ar 6 6 = 2 3 un LKD(2, 3) = 1, tāpēc 6 n tad un tikai tad, ja 2 n un 3 n. Dalāmības pazīme ar 6: 6 n tad un tikai tad, ja n pēdējais cipars ir pāra skaitlis un n ciparu summa dalās ar 3.
30 Dalāmība ar 11 Tā kā 10 1 (mod 11), tad 10 2j ( 1) 2j 1 (mod 11) un 10 2j+1 ( 1) 2j+1 1 (mod 11). Redzam, ka n a k ( 1) k a 2 a 1 + a 0 (mod 11). Dalāmības pazīme ar 11: 11 n 11 a 0 a 1 + a a k ( 1) k (ja n ciparu alternējoša summa dalās ar 11).
31 3. 7.mājasdarbs Izmantojot Fermā teorēmu, pierādiet, ka (mod ). 7.2 Dots, ka p > 2 ir pirmskaitlis un n ir naturāls skaitlis. Pierādiet, ka dalot n p 1 2 ar p, atlikumā iegūst 0, 1 vai p Izmantojot Fermā teorēmu pierādiet, ka katram pirmskaitlim p un visām atlikumu klasēm a, b izpildās (a + b) p a p + b p (mod p). 7.4 Skaitli 2008 pārveidojiet šādos pozicionālajos pierakstos: a) binārajā, b) oktālajā, c) heksadecimālajā, d) ternārajā. 7.5 Atrodiet dalāmības pazīmi ar (a) 18; (b) 7.
Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākMicrosoft Word - du_5_2005.doc
005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
Sīkāk1
8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
SīkākMicrosoft Word - du_4_2005.doc
@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
SīkākNevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
SīkākLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu
SīkākInstrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem
Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai semināra modulī tiek paplašināta uzdevuma funkcionalitāte.
SīkākPārskatu aizpildīšana
Atkritumu pārvadājumu pavadzīmju izveides instrukcija Atkritumu Pārvadājumu Uzskaites Sistēma (APUS) ir jālieto ir visiem, kam to nosaka MK noteikumi Nr.494 (07.08.2018) (https://likumi.lv/ta/id/300874-atkritumu-parvadajumuuzskaites-kartiba)
SīkākPārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš
Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss
SīkākMicrosoft Word - Papildmaterials.doc
SATURS DARBĪBAS AR DARBGRĀMATAS LAPĀM... 2 1.1. Pārvietošanās pa lapām...2 1.2. Lapas nosaukuma maiņa...3 1.3. Jaunas darblapas pievienošana...3 1.4. Lapas pārvietošana un dublēšana, lietojot peli...4
SīkākAnita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimen
Anita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimenei, kas attīsta, pilnveido bērna lasītprasmi un rakstītprasmi,
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
Sīkāk> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši
> > < < > < < 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši vienu reizi ieraksti kādu naturālu skaitli no 1 līdz 5 tā, lai atzīmētās nevienādības būtu patiesas!
SīkākAPSTIPRINĀTS
Preiļu novada dome Preiļu 1. pamatskola Reģ. Nr. 4212900356 Daugavpils ielā 34, Preiļu novadā, LV-5301, Tālruņi: 65322749, 65322084, e-pasts: preilu1psk@pvg.edu.lv APSTIPRINĀTS ar Preiļu 1.pamatskolas
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
SīkākAPSTIPRINĀTS
APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa
SīkākVPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN K
VPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz 216. gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU INDEKSS... 1 VEIKTO PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU
SīkākPCK34_atr_kopaa
007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem
SīkākKrājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a
Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.
SīkākLU 68 Fizikas sekcija DocBook
Vispārizglītojošās e-fizikas materiālu augstas kvalitātes noformējuma izstrāde, izmantojot DocBook un LaTeX tehnoloģijas Arnis Voitkāns LU 68. konferences Fizikas didaktikas sekcija 5.02.2010. Kas ir augstas
SīkākLatvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br
5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,
SīkākPrezentacija
LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2016./2017. studiju gadam UZŅEMŠANAS KOMISIJA Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755,
SīkākMicrosoft Word - Vēlēšanu nolikums projekts.docx
Latvijas Universitātes Studentu padome Reģ. Nr.40008009084 Raiņa bulvāris 19-144, LV-1586, Rīga, Latvija Tālrunis 67034317, Fakss 67034316, E-pasts: lusp@lusp.lv APSTIPRINĀTS LU Studentu padomes 2006.gada
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
SīkākProgrammēšanas valoda iesācējiem 4. daļa. Programmēšanas prakse 2007 Alvils Bērziņš
Programmēšanas valoda iesācējiem 4. daļa. Programmēšanas prakse 2007 Alvils Bērziņš Saturs Ievads...3 Algoritmi...4 Uzdevumi...6 1. uzdevums. Olu kastes...6 2. uzdevums. Lielie cipari...6 3. uzdevums.
SīkākR ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis
R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā
SīkākAPSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR
APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā
SīkākLatvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji
Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta 2015. gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznājiem Latvijā nekad nenoriet? (1 p) Kasiopeja Ērglis Vēršu
SīkākMicrosoft Word - Lekcija_Nr3.doc
INFORMĀCIJAS MEKLĒŠANA Jebkuru pētniecības darbu uzsākot, pētniekam ir jāiepazīstas ar informāciju par risināmo jautājumu, t.i., pēc iespējas pilnīgi jāizstudē pieejamā literatūra, kas attiecas uz izraudzīto
SīkākMicrosoft Word - Abele
LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru
SīkākLatvijas Republika BAUSKAS NOVADA DOME BAUSKAS 2. VIDUSSKOLA Reģ. Nr , Dārza iela 9, Bauska, Bauskas nov., LV-3901 tālrunis/fakss ,
Latvijas Republika BAUSKAS NOVADA DOME BAUSKAS 2. VIDUSSKOLA Reģ. Nr. 4513901295, Dārza iela 9, Bauska, Bauskas nov., LV-3901 tālrunis/fakss 63922473, e-pasts: 2.vidusskola@bauska.lv, www.bauska.lv APSTIPRINĀTI
SīkākLaboratorijas darbi mehānikā
Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne
Sīkāk8
7. Obligātās veselības pārbaudes kartes aizpildīšanas kārtība ēdināšanas pakalpojumu nozarē Nosūtot nodarbinātos uz obligātajām veselības pārbaudēm, darba devējs var pārliecināties par nodarbināto veselības
Sīkākklase gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru ka
11.-12. klase 2017. gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru kalns Robots apkopējs Dzelzceļa izmaksu samazināšana
SīkākLATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr , Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977
LATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr.90000068337, Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977310, mob.t. 26181294, e-pasts: dome@incukalns.lv NOTEIKUMI
SīkākPowerPoint Presentation
Šeit top veiksmīgas karjeras Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2019./2020. studiju gadam Uzņemšanas komisija Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755, e-pasts: ukom@llu.lv
SīkākPowerPoint Presentation
ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja Dzīvo patstāvīgi un veselīgi Apzinās sevi, savas vēlmes un intereses, Spēj dzīvot patstāvīgi, saskaņā ar savām vērtībām, Saglabā un nostiprina savas garīgās
SīkākAPSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr
APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 4 2012. gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr. 8 2019. gada 21. janvārī Noteikumi par studiju kursu akadēmisko
SīkākMūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums
Mūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums Algoritmika un datorzinības (Vecums: 8 gadi) Kursa mērķis ir sniegt bērniem kopīgo izpratni par datoru un datorprogrammām.
SīkākBABĪTES NOVADA PAŠVALDĪBAS DOME Reģ. Nr Centra iela 4, Piņķi, Babītes pagasts, Babītes novads, LV-2107 tālr , , fakss 67
BABĪTES NOVADA PAŠVALDĪBAS DOME Reģ. Nr. 90000028870 Centra iela 4, Piņķi, Babītes pagasts, Babītes novads, LV-2107 tālr. 26120706, 67914650, fakss 67914435, e-pasts dome@babite.lv, www.babite.lv Babītes
SīkākA.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS
DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,
Sīkāk2018 Finanšu pārskats
2018 2 Neatkarīga revidenta ziņojums akcionāram Ziņojums par finanšu pārskatu revīziju Atzinums Mēs esam veikuši (Sabiedrība) finanšu pārskatu, kas ietver atsevišķu ziņojumu par finansiālo stāvokli 2018.
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts
SīkākLatvijas ekonomikas akmeņainais ceļš pēc neatkarības atgūšanas
LATVIJAS EKONOMIKAS AKMEŅAINAIS CEĻŠ PĒC NEATKARĪBAS ATGŪŠANAS ARTŪRS KODOLIŅŠ, DR. OEC. PSRS Valsts budžeta rādītāji (1985.-1987.gads) 1985 1986 1987 Ieņēmumi (miljardos rbļ.) 567,7 366,0 360,1 Izdevumi
SīkākPowerPoint Presentation
Rīgas Tehniskās universitātes Ģeomātikas katedra LU 77. SZK sekcija «Ģeodinamika un ģeokosmiskie pētījumi 2019» Jānis Kaminskis, Mārtiņš Reiniks, Anete Kiopa 22.03.2019. 1 Atrašanās vieta 2 56 56'39.3"N
SīkākVirsraksts (Heading 2)
Lietotāja rokasgrāmata Saturs IEVADS...4 VISPĀRĒJA INFORMĀCIJA...5 PRIEKŠNOTEIKUMI DIGI::FIRMA INSTALĀCIJAI...5 TEHNISKĀS PRASĪBAS...5 SISTĒMAS DIGI::FIRMA UZSTĀDĪŠANA...5 DIGI::FIRMA datu bāzes servera
SīkākMatemātikas uzdevumu krājums 6. klasei / Zane Kūlaine/ Pelču speciālā internātpamatskola – attīstības centrs
2 5.klases atkārtojums Vieni ir pirmās sķiras vienības; tos skaitlī raksta pirmajā vietā no labās puses. Desmiti ir otrās šķiras vienības; tos skaitlī raksta otrajā vietā no labās puses. Simti ir trešās
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
SīkākLATVIJAS UNIVERSITĀTE
Ar grozījumiem, kas izdarīti līdz 25.06.2019. 1. pielikums Grozījumi: LU 03.01.2019. rīkojums Nr. 1/2 APSTIPRINĀTS LU 13.03.2019. rīkojums Nr. 1/95 ar LU 26.10.2018. LU 28.05.2019. rīkojums Nr. 1/211 LU
SīkākKlimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt sau
Klimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt saulains, līt lietus vai snigt sniegs, pūst stiprs vējš
SīkākB_Briede
LLU pirmā kursa studentu pašvirzītās studijas LLU TF IMI prof. Baiba Briede Saturs Pašvirzīto studiju būtība Aktualitāte Pasaules ekonomikas foruma 2018 un Boloņas procesa kontekstā LLU 1. kursa studentu
SīkākStudiju programmas nosaukums
Latvijas augstāko izglītības iestāžu ieguldījums mērniecības izglītībā Latvijā Jauno jomas speciālistu sagatavošana Latvijas Lauksaimniecības specialitātē Vivita Puķīte LLU VBF Zemes pārvaldības un ģeodēzijas
SīkākNintex Workflow 2010 instalēšanas ceļvedis Instalēšanas ceļvedis Nintex USA LLC 2012, visas tiesības paturētas. Kļūdas un izlaidumi novērsti.
Instalēšanas ceļvedis Nintex USA LLC 2012, visas tiesības paturētas. Kļūdas un izlaidumi novērsti. support@nintex.com 1 www.nintex.com Saturs 1. Nintex Workflow 2010 instalēšana... 4 1.1. Instalēšanas
SīkākValsts bioloģijas olimpiāde klase Teorētiskie uzdevumi Dalībnieka kods 1. uzdevums (10 p) Sportistu energoapgādi limitējošais faktors vienmēr
1. uzdevums (10 p) Sportistu energoapgādi limitējošais faktors vienmēr ir ogļhidrāti neatkarīgi no tā, cik lieli ir tauku uzkrājumi ķermenī. Uzkrātās ogļhidrātu rezerves ir visai ierobežotas: aknās vidēji
SīkākFMzino_
Informatīvais ziņojums par Latvijas gatavību Eiropas Savienības finanšu resursu apguvei Šajā ziņojumā ir ietverta informācija par ES struktūrfondu (turpmāk - SF) un Kohēzijas fonda īstenošanas gaitu uz
SīkākLīgums Nr
Līgums Nr. par sadzīves atkritumu apsaimniekošanas pakalpojuma sniegšanu Ventspilī, 2015.gada Pašvaldības SIA Ventspils labiekārtošanas kombināts, vienotais reģistrācijas numurs 41203001052, turpmāk -
SīkākPowerPoint Presentation
Tālizpētes datu izmantošana ESRI programmatūrā Harijs Ijabs Rīga, 2017 Lauku atbalsta dienests Lauku atbalsta dienests (LAD) ir Zemkopības ministrijas padotībā esoša valsts tiešās pārvaldes iestāde, kas
SīkākPowerPoint Presentation
Konference Starpdisciplinaritāte, radošums un uzņēmība mūsdienu izglītības aktualitātes, 2014. gada 29. oktobris ESF projekts Atbalsts izglītības pētījumiem 2011/0011/1DP/1.2.2.3.2/11/IPIA/VIAA/001 Pētījums
Sīkāk8
7. Obligātās kartes aizpildīšanas kārtība autoservisā Nosūtot nodarbinātos uz obligātajām pārbaudēm, darba devējs var pārliecināties par viņu stāvokļa atbilstību veicamajam darbam, lai nodarbinātie ilgstoši
SīkākSlide 1
IZM VISC Eiropas Sociālā fonda projekts Dabaszinātnes un matemātika SKOLOTĀJU STUDIJU PROGRAMMU NODARBĪBU MATERIĀLI DABASZINĀTŅU UN MATEMĀTIKAS DIDAKTIKĀ Latvijas Universitāte Liepājas Universitāte Daugavpils
SīkākEiropas Savienības Padome Briselē, gada 3. novembrī (OR. en) 15041/14 PAVADVĒSTULE Sūtītājs: ENT 251 MI 843 CONSOM 227 COMPET 600 DELACT 213 Dir
Eiropas Savienības Padome Briselē, 2014. gada 3. novembrī (OR. en) 15041/14 PAVADVĒSTULE Sūtītājs: ENT 251 MI 843 CONSOM 227 COMPET 600 DELACT 213 Direktors Jordi AYET PUIGARNAU kungs, Eiropas Komisijas
SīkākLATVIJAS UNIVERSITĀTE
LATVIJAS UNIVERSITĀTE ERASMUS+ PROGRAMMAS MOBILITĀTES ORGANIZĒŠANAS KĀRTĪBA LATVIJAS UNIVERSITĀTĒ Pielikums APSTIPRINĀTS ar LU 18.12.2014. rīkojumu Nr.1/363 Ar grozījumiem, kas izdarīti līdz 04.08.2015.
SīkākSlide 1
Pasaules valstu izglītības sistēmas Japāna Vēsturisks apskats Skolu sistēmas aizsākumi Japānā no 1603 gada. Mācījās samuraju bērni, galvenais izglītības saturs bija konfuciānisma klasika, lielākā vērtības
SīkākSlide 1
FORUMS PAR BŪTISKAJĀM PĀRMAIŅĀM 2014.gada 5.februāris 1 Mērķis AI/SI apmainīties ar pieredzi būtisko pārmaiņu vērtēšanā un vienoties par vienotas prakses piemērošanu būtisko pārmaiņu identificēšanā un
SīkākLV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši
LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši, 3 brūni klucīši, 1 spēles laukums, 1 barjera izvēlētā
SīkākEiro viltojumi Latvijā
Eiro drošības pazīmes un to pārbaude Andris Tauriņš Kases un naudas apgrozības pārvaldes Naudas tehnoloģiju daļas vadītājs 5, 10, 20 eiro naudas zīmes 120 x 62 mm 127 x 67 mm 133 x 72 mm Jaunā 5 eiro naudas
Sīkāk5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a
5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta adatas Skolēna darba lapa M_11_LD_05_P1 Izloze Skolēna
Sīkākv, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace
v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi
SīkākPowerPoint Presentation
Mācību satura un pieejas piedāvājums: aktualitātes, sabiedriskā apspriešana LPS, 2018.gada 17.aprīlī GUNTARS CATLAKS, VISC vadītājs Daudzviet pasaulē un arī Latvijā izpratne par to, kādas zināšanas un
SīkākSIA Liepājas latviešu biedrības nams 2016.gada pārskats (Vadības ziľojums un finanšu pārskats) un revidenta ziľojums 1
SIA Liepājas latviešu biedrības nams 2016.gada pārskats (Vadības ziľojums un finanšu pārskats) un revidenta ziľojums 1 2 SATURS Vispārīga informācija par Sabiedrību 3 Vadības ziľojums 4 Finanšu pārskats
SīkākMicrosoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc
SIA Krāslavas nami Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā Saturs I. Ziņas par operatoru...3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošajām darbībām...4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas
SīkākKas mums izdodas un ko darīsim tālāk?
Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis
Sīkāk