Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
|
|
- Krists Ziemelis
- pirms 4 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju gads
2 Saturs 2 1. Skaitļu teorijas pielietojumi informācijas aizsardzībā Vispārēja informācija par šifrēšanu un informācijas aizsardzību Kriptogrāfijas pamatjēdzieni Kriptogrāfijas vēsture Simetriskās atslēgas kriptosistēmas Publiskās atslēgas kriptosistēmas Steganogrāfija Publisko atslēgu kriptosistēmu konkrētas realizācijas Rivest-Shamir-Adleman (RSA) kriptosistēma El Gamala kriptosistēma mājasdarbs 31
3 3 1. Skaitļu teorijas pielietojumi informācijas aizsardzībā 1.1. Vispārēja informācija par šifrēšanu un informācijas aizsardzību Kriptogrāfijas pamatjēdzieni Kā aizsargāt datus no nesankcionētas pieejas? fiziskā barjera- fiziski izolēt informāciju no ienaidniekiem; loǧiskā barjera- uzstādīt sistēmu, kas pārbauda lietotāja pieejas tiesības un kontrolē vai tās tiek pareizi izmantotas; šifrēšana- uzglabāt un pārsūtīt datus tā, lai ienaidnieki nevarētu tos izmantot, pat ja viņu tiem piekļūst. Kriptogrāfija (kriptoloǧija) - mācība par informācijas slēpšanu, tiek pielietota saistībā ar informācijas drošību (interneta sakari, interneta komercija, militārie sakari u.c.).
4 Kriptogrāfijas pamatjēdzieni: šifrēšana - atklātas informācijas (atklātā teksta) pārvēršana nesaprotamā formā (šifrētajā tekstā); dešifrēšana - operācija, kas ir inversa attiecībā uz šifrēšanu: šifrētā teksta pārvēršana atklātajā tekstā; šifri - šifrēšanas un dešifrēšanas algoritmi; šifra atslēga - šifra parametri, kas parasti ir slepeni un tiek bieži mainīti (svarīgos gadījumos tiek izmantoti tikai vienu reizi); Šifrēšana ir funkcija kur A ir atklāto tekstu kopa, E : A K E S, K E ir šifrēšanas atslēgu kopa, S ir šifrēto tekstu kopa. 4
5 5 Dešifrēšana ir funkcija D : S K D A, kur K D ir dešifrēšanas atslēgu kopa. Dešifrēšanai bez informācijas par atslēgu (šifra uzlaušanai) ir jābūt ļoti grūtai problēmai, ko nav iespējams atrisināt reālā laikā. Kā noteikt šifra vērtību? Ja šifra uzlaušanas izmaksa ir mazāka kā šifrētās informācijas vērtība, tad šifru var uzskatīt par labu. Šifrēšanas metode var tikt uzskatīta par drošu, ja izpildās šādi nosacījumi: ir pierādīts vai tiek uzskatīts, ka dešifrēšana nav iespējama bez noteiktas matemātiskas problēmas P atrisināšanas, ir pierādīts vai tiek uzskatīts, ka problēmas P atrisināšana nav iespējama īsā laikā. Pirms datoru parādīšanās kriptogrāfija nodarbojās galvenokārt ar informācijas slepenības nodrošināšanu militāriem, diplomātiskiem,
6 6 ekonomiskiem vai personiskiem mērķiem. Līdz ar datoru ēras sākumu un ar to saistīto informācijas plūsmas palielināšanos kriptogrāfija nodrošina šādas papildus funkcijas: sūtījuma integritātes pārbaude; sūtītāja un saņēmēja autentificēšana; digitālā paraksta nodrošināšana; slepenas informācijas dalīta glabāšana (kādā personu grupā katra persona zina daļu no informācijas, katra k personu grupa var rekonstruēt informāciju, bet grupa, kurā ir mazāk nekā k personu - nevar).
7 Kriptogrāfijas vēsture Vēsturiski pirmais aprakstītais šifrēšanas izmantošanas gadījums - Jūlija Cēzara šifri (ap 50BC). Senos laikos lielākā daļa cilvēku neprata lasīt, tāpēc tika izmantoti šādi vienkāršākie šifrēšanas veidi: burtu kārtības maiņa vārdos; burtu aizvietošana ar citiem burtiem (piemēram, Cēzara šifrs, kurā katrs burts tika aizvietots ar to burtu, kas atrodas n pozīcijas tālāk alfabētā, šajā gadījumā atslēga ir skaitlis n). Ievērosim, ka Cēzara šifrēšana tiek veikta neatkarīgi katram burtam ar formulu E(x) = x + n (mod 26) un dešifrēšana - ar formulu D(x) = x n (mod 26) (burtiem atbilst skaitļi no 0 līdz 26 vai atlikumu klases, burts x tiek aizvietots ar burtu E(x)).
8 Katru sākotnējā teksta burtu x var interpretēt arī kā viendimensionālu vektoru x = (x), un tad Cēzara šifrēšanu var interpretēt arī kā vektoru pārveidojumu kur n = (n). E( x ) = x + n, Aizvietošanas šifri ir viegli uzlaužami, ja izmanto statistisko informāciju par burtu biežumu dotajā valodā. Lai atrastu nobīdi, ir jāatrod simbols x, kas šifrētajā tekstā atkārtojas visbiežāk. Ja dotajā valodā visbiezāk atkārtojas burts y, tad nobīde ir vienāda ar soļu skaitu no y līdz x. Ap 1467.gadu tika izgudrota polialfabētiskā aizvietošana, kurā burti tika aizvietoti ar dažādiem burtiem atkarībā no to atrašanās vietas tekstā. Populārākais polialfabētiskās aizvietošanas šifrs - Vigenère šifrs, kas darbojas saskaņā ar šādu algoritmu: tiek fiksēts atslēgas vārds K = k 1 k 2...k m - parasti vārds vai teikums tajā pašā valodā, kurā tiek rakstīts teksts; 8
9 K tiek savienots pats ar sevi tik ilgi, kamēr savienojums pārsniedz šifrējamā teksta garumu, tiek iegūts vārds K = KK...K; K tiek rakstīts tieši zem šifrējamā teksta; šifrējamā teksta burts τ, zem kura atrodas burts κ tiek aizvietots ar to burtu, kas ir nobīdīts no τ par tādu pašu attālumu, par kuru κ ir nobīdīts no burta a. Ievērosim, ka Vigenère šifrēšana tiek veikta neatkarīgi katram burtam ar formulu un dešifrēšana - ar formulu E(x i ) = x i + k i mod K (mod 26) D(x i ) = x i k i mod K (mod 26) 9 Vigenère šifrēšana var tikt interpretēta kā vektoru pārveidojums šādā veidā:
10 10 sākotnējais šifrējamais teksts X = x 1 x 2... tiek sadalīts virknēs X 1 = (x 1,..., x m ), X 2 = (x m+1,..., x 2m ),... katra virkne X i tiek interpretēta kā m-dimensionāls vektors X i, atslēgas vārds K tiek interpretēts kā m-dimensionāls vektors K, ar katru vektoru X i tiek veikts šifrēšanas pārveidojums E( X i ) = X i + K. 19.gs vidū tika atklātas metodes Vigenère šifra atšifrēšanai, kas balstījās uz šifrētā teksta aritmētisko progresiju apakšvirkņu (formā (x i, x i+d, x i+2d,...)) statistisko analīzi - lai uzlauztu šifru, ir jāatrod tāda aritmētiskās progresijas apakšvirkne, kurā simbolu biežuma sadalījums ir tuvs burtu biežuma sadalījumam dotajā valodā.
11 19.gs beigās kriptogrāfija tika pieņemts Kerkhofa princips - lai šifrēšanas metode būtu droša, tai ir jābalstās tikai uz atslēgas slepenību (ir jāpieņem, ka ienaidnieks zina metodi). Ap 1930.gadu tika izgudrota grūtāk uzlaužama polialfabētiskās šifrēšanas metode - Hilla metode, kurā šifrēšana atšķirībā no Vigenère šifrēšanas tiek veikta ar afīno pārveidojumu kur A ir invertējama matrica. E( X i ) = A X i + K, Uz Otrā pasaules kara beigu laiku polialfabētiskā šifrēšana ar elektromehāniskām ierīcēm sasniedza augstu līmeni (piemēram, vācu Enigma šifrēšanas mašīna). Šifrēšanas tika veikta ar Vigenere vai Hilla tipa metodēm un garām (šifrējamā teksta garumā) vienu reizi izmantojamām atslēgām. Dešifrēšana bija motivējošs faktors elektronisko skaitļošanas ierīču attīstībai. Alans Tjūrings kara laikā bija viens no Britānijas dešifrēšanas darba aktīviem dalībniekiem. 11
12 Pēc Otrā pasaulers kara līdz ar datoru attīstību tika izgudrotas sarežǧītākas šifrēšanas metodes: tiek šifrēti dažāda formāta teksti (piemēram, binārās virknes); šifrēšanas tiek veikta simbolu grupām - blokiem; tiek intensīvi pielietoti matemātikas (skaitļu teorijas, varbūtību teorijas) sasniegumi. Datori tika izmantoti arī dešifrēšanā. Ja abas atslēgas ir slepenas, tādu šifrēšanas metodi sauc par simetriskās atslēgas kriptosistēmu. 70.gadu vidū Lielbritānijā (Ellis- Cocks-Williamson) un ASV (Diffie-Hellman) tika izgudrotas vairākas publiskās atslēgas kriptosistēmas, kurās viena no divām atslēgām ir zināma visiem, bet otra ir slepena gados tika izgudrotas vairākas kriptosistēmas, kuru dešifrēšana balstās vienlaicīgi uz vairākām matemātikas sadaļām (veselo 12
13 skaitļu teoriju, polinomu teoriju u.c.) Mūsdienās kriptogrāfijas attīstība turpinās Simetriskās atslēgas kriptosistēmas Simetriskās atslēgas kriptosistēma (SAK) ir kriptosistēma, kurā sūtītājam un saņēmējam ir kopīga informācija par atslēgu. Līdz gadam bija tikai tādas šifrēšanas metodes. Ir divu veidu simetriskās atslēgas kriptosistēmas: plūsmas šifrēšana; bloku šifrēšana. Plūsmas šifrēšana ir līdzīga Vigenere šifrēšanai, kurā atslēga tiek ǧenerēta ar slepenu algoritmu palīdzību izmantojot nejaušos skaitļus.
14 Bloku šifrēšana ir šifrēšanas metode, kurā teksts tiek dalīts apakšvirknēs - blokos (parasti blokā ir 64 vai 128 biti) un katrs bloks tiek šifrēts ar slepenas atslēgas palīdzību. Kriptogrāfiskā hash-funkcija ir pārveidojums, kas sūtāmo tekstu pārveido par daudz īsāku šifrētu tekstu. 14
15 Publiskās atslēgas kriptosistēmas Publiskās atslēgas jeb asimetriskā kriptosistēma (PAK) ir relatīvi jauna metode, kurā viena no šifrēšanas/dešifrēšanas operācijām ir atklāta, bet otra - slepena. Šī metode tika izstrādāta, lai mazinātu grūtības, kas ir saistītas ar slepeno atslēgu nodošanu visām pusēm, kas piedalās sakaros. Ar šī tipa šifrēšanas metožu palīdzību var vieglāk pārraidīt informāciju pa neaizsargātiem sakaru kanāliem. Precīzāk, katram lietotājam ir divas atslēgas: publiskā atslēga (publiski pieejama visiem) un privātā atslēga (slepena, zināma tikai noteiktam lietotāju lokam). Abas atslēgas ir saistītas ar noteiktiem matemātiskiem algoritmiem, bet zinot publisko atslēgu, ir praktiski neiespējami atrast privāto atslēgu. Tādējādi, katram lietotājam X ir definētas divas sav-
16 16 starpēji inversas funkcijas E X un D X = E 1 X tādas, ka E X D X = id un D X E X = id. Funkcija E X katram X ir publiski zināma.
17 17 Šādā kriptosistēmā ir iespējamas divas operācijas: (šifrēšana ar publisko atslēgu) lai nosūtītu lietotājam X slepenu sūtījumu M, šis sūtījums ir jāaizšifrē ar funkciju E X, šādā gadījumā tikai X varēs izlasīt sūtījumu E X (M), pielietojot tam savu slepeno funkciju D X : D X (E X (M)) = M. (digitālā paraksta nodrošināšana) lai lietotājs X varētu pierādīt savu identitāti, viņš/viņa aizšifrē kādu noteiktu tekstu N (piemēram, savu vārdu) ar savu slepeno funkciju D X, jebkurš sūtījuma D X (N) saņēmējs var pielietot šim sūtījumam publisko funkciju E X, izlasīt rezultātu E X (D X (N) = N un pārliecināties, ka sūtītājs ir bijis X (vai vismaz kāds, kas zina X slepeno atslēgu).
18 1.1. piezīme. Viena no lielākajām PAK problēmām - rūpēties par to, ka ienaidnieki nerada kļūdas publiskajās atslēgās. PAK ir darbietilpīgākas no skaitļošanas viedokļa salīdzinājumā ar SAK piezīme. PAK var tikt lietota kombinācijā ar SAK. Piemēram, sūtītājs aizšifrē sūtījumu M ar slepenu šifrēšanas funkciju A, aizšifrē A ar saņēmēja X publisko atslēgu, un nosūta X pāri (E X (A), A(M)). 18
19 Steganogrāfija Steganogrāfija ir mācība par slepenās informācijas slēpšanu kādā aptverošā informācijas vidē, tā lai ienaidnieks nebūtu informēts par slepenās informācijas esamību. Senos laikos pielietotas steganogrāfijas metodes piemērs - vergam noskuva galvu, uztetovēja sūtījumu un, kad mati atauga, nosūtīja vergu saņēmējam. Viduslaikos tika izgudrotas neredzamās tintes. Steganogrāfisks sūtījums parasti izskatās kā nevainīgs informācijas kopums - attēls, raksts avīzē, mūzikas gabals. Steganogrāfija tiek bieži izmantota mūsdienu datortehnoloǧijās: teksta parametru (pieturzīmju, fontu) izmantošana; neredzamo fontu izmantošana; interneta sūtījumu aiztures laika variēšana; informācijas iekodēšana trokšņa veidā mūzikas failos;
20 1.2. Publisko atslēgu kriptosistēmu konkrētas realizācijas PAK balstās uz matemātiķiem zināmu novērojumu, ka ir funkcijas/algoritmi, kuriem ir grūti atrast inversās funkcijas/algoritmus. Piemēri: reizināt ir vieglāk nekā dalīt; kāpināt kvadrātā ir vieglāk nekā atrast kvadrātsakni; reizināt pirmskaitļus ir vieglāk nekā atrast skaitļa sadalījumu pirmskaitļu reizinājumā; atrast a b (mod m) ir vieglāk nekā atrast ind a (b); izjaukt puzli ir vieglāk nekā salikt; nolobīt olu ir vieglāk nekā salikt atpakaļ čaumalu. PAKā vieglā funkcija tiek izmantota kā publiski pieejamā funkcija, grūtā (inversā) funkcija tiek izmantota kā slepenā privātā funkcija. 20
21 Rivest-Shamir-Adleman (RSA) kriptosistēma RSA kriptosistēmas atslēgu ǧenerēšanas algoritms: 1. Izvēlēties divus lielus pirmskaitļus p un q. 2. Atrast n = pq, n tiek lietots kā palīginformācija (modulis) abās atslēgās. 3. Atrast ϕ(n) = (p 1)(q 1). 4. Atrast invertējamu elementu e U ϕ(n) tādu, ka 1 < e < ϕ(n) (LKD(e, ϕ(n)) = 1), e ir publiskā atslēga. 5. Atrast d e 1 (mod ϕ(n)), piemēram, izmantojot Eiklīda algoritmu, d ir privātā (slepenā) atslēga. d. Publiski pieejamā informācija - n un e. Slepenā informācija - p, q,
22 RSA šifrēšanas algoritms (funkcija E X ): 1. Sadalīt sūtāmo tekstu M daļās m 1 m 2...m k tā, lai katra daļa m i būtu mazāka kā n saskaņā ar publiski zināmu algoritmu. 2. Katru teksta daļu m i pārveidot par c i = m e i (mod n). Šifrēšanas rezultāts ir virkne c 1 c 2...c k. Ievērosim, ka inversā funkcija ir saistīta ar e-tās kārtas saknes aprēķināšanu mod n. RSA dešifrēšanas algoritms (funkcija D X ): 1. Katram i atrast m i = c d i (mod n). 2. Savienot atšifrētās daļas m i vienā virknē. 22
23 teorēma. (RSA dešifrēšanas algoritma pamatojums) Ja tad c m e (mod n), m c d (mod n). un PIERĀDĪJUMS Tā kā ed 1 (mod ϕ(n)), tad ed = 1 + lϕ(n) = 1 + l(p 1)(q 1) c d (m e ) d m ed m 1+lϕ(n) m (m ϕ(n) ) l (mod n). Ja m U n, tad saskaņā ar Eilera teorēmu m ϕ(n) 1 (mod n) un tātad c d m (mod n). Ja m U n, tad vai nu m 0 (mod p), vai arī m 0 (mod q). Apskatīsim tikai pirmo gadījumu. Ja m 0 (mod p), tad m ed 0 m (mod p)
24 24 un m ed m 1+l(p 1)(q 1) m (m q 1 ) p 1 m (mod q). Attiecībā uz m ed esam ieguvuši sistēmu { m ed m (mod p) m ed m (mod q). Saskaņā ar ķīniešu atlikumu teorēmu iegūstam, ka m ed m (mod pq). Esam pierādījuši, ka arī gadījumā, kad m 0 (mod p), izpildās vienādība c d m (mod n). Līdzīgi tiek pierādīts gadījums, kad m 0 (mod q).
25 1.1. piemērs. Atradīsim RSA kriptosistēmas atslēgas un algoritmus, ja p = 17 un q = 19: 1. Ir izvēlēti divi pirmskaitļi p = 17 un q = Atrast n = pq = 323, n tiek lietots kā palīginformācija (modulis) abās atslēgās. 3. Atrast ϕ(n) = (p 1)(q 1) = Atrast invertējamu elementu e U 288 tādu, ka 1 < e < 288 (LKD(e, 288) = 1): izvēlēsimies e = 5, e ir publiskā atslēga. 5. Atrast d e 1 (mod ϕ(n)): d 173 (mod 288), d ir privātā (slepenā) atslēga. Šifrējošā funkcija ir E(m) m 5 (mod 323), dešifrējošā funkcija D(c) c 173 (mod 323). Ja m = 300, tad un E(300) (mod 323) D(E(300)) = D(78) (mod 323). 25
26 26 Atradīsim RSA kriptosistēmas atslēgas un algoritmus, ja p = 911 un q = 919: 1. Izvēlēties divus pirmskaitļus p = 911 un q = Atrast n = pq = , n tiek lietots kā palīginformācija (modulis) abās atslēgās. 3. Atrast ϕ(n) = (p 1)(q 1) = Atrast invertējamu elementu e U 288 tādu, ka 1 < e < (LKD(e, ) = 1): izvēlēsimies e = 11, e ir publiskā atslēga. 5. Atrast d e 1 (mod ϕ(n)): d (mod ), d ir privātā (slepenā) atslēga. Šifrējošā funkcija ir E(m) m 11 (mod ), dešifrējošā funkcija D(c) c (mod ). Ja m = , tad E(830000) (mod )
27 un D(E(830000)) = D(456579) (mod ) El Gamala kriptosistēma El Gamala kriptosistēmas atslēgu ǧenerēšanas algoritms: 1. Izvēlēties lielu pirmskaitli p un grupas U p ǧeneratoru (primitīvo sakni) g. 2. Izvēlēties nejaušu skaitli a, 1 < a < p 1 (slepeno atslēgu) un aprēķināt t = g a (mod p). Publiski pieejamā informācija - p, g un t. Slepenā informācija - a. Ievērosim, ka slepeno informāciju a var uzzināt, ja atrod ind g (t).
28 El Gamala šifrēšanas algoritms (funkcija E X ): 1. Sadalīt sūtāmo tekstu M daļās m 1 m 2...m k tā, lai katra daļa m i būtu mazāka kā p saskaņā ar publiski zināmu algoritmu. 2. Izvēlēties skaitli k, 1 k < p Katrai teksta daļu m i pārveidot par c i = m i t k (mod p). Šifrēšanas rezultāts ir pāris (g k, c 1 c 2...c k ). El Gamala dešifrēšanas algoritms (funkcija D X ): 1. Atrast t k = (g k ) a. 2. Atrast t k. 3. Atrast m i = c i t k 4. Savienot atšifrētās daļas m i vienā virknē. 28
29 1.2. piemērs. Aprakstīsim El Gamala sistēmu, ja p = 19. Atslēgu ǧenerēšanas algoritms: 1. p = 19 un primitīvā sakne ir g = Izvēlamies nejaušu skaitli a, 1 < a < 18 (slepeno atslēgu), a = 7 un aprēķinām t = (mod 19). Publiski pieejamā informācija - p = 19, g = 2 un t = 14. Slepenā informācija - a = 7. Šifrēšanas algoritms (funkcija E X ): 1. Šifrēsim tekstu (11, 12, 13). 2. Izvēlēties skaitli k, 1 k < 18, k = Katrai teksta daļu m i pārveidot par c i = m i 14 3 m i 8 (mod p). Šifrēšanas rezultāts ir pāris (g k, c 1 c 2...c k ) = (8, (12, 1, 9)). Dešifrēšanas algoritms (funkcija D X ): 29
30 1. Atrast t k = (g k ) a = (mod 19). 2. Atrast t k 12 (mod 19). 3. Atrast m i = c i t k : m 1 = = 11, m 2 = 1 12 = 12, m 3 = 9 12 = Savienot atšifrētās daļas m i vienā virknē. 30
31 2. 10.mājasdarbs Izmantojot Cēzara šifru ar nobīdi 11 aizšifrējiet tekstu ienaidnieks mūs ir ielencis izmantojot latviešu alfabēta standarta kārtību Izmantojot Vigenere šifru ar atslēgas vārdu livonija atšifrējiet tekstu iǧtohi izmantojot latviešu alfabēta standarta kārtību Atrodiet atslēgas un aprakstiet šifrēšanas/dešifrēšanas algoritmus RSA sistēmā ar pirmskaitļiem 11 un Uzrakstiet programmu, kas veic šifrēšanu un dešifrēšanu RSA sistēmā ar izvēlētiem pirmskaitļiem.
Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākMicrosoft Word - du_5_2005.doc
005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
SīkākNevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
Sīkāk1
8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
SīkākLU 68 Fizikas sekcija DocBook
Vispārizglītojošās e-fizikas materiālu augstas kvalitātes noformējuma izstrāde, izmantojot DocBook un LaTeX tehnoloģijas Arnis Voitkāns LU 68. konferences Fizikas didaktikas sekcija 5.02.2010. Kas ir augstas
SīkākInstrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem
Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai semināra modulī tiek paplašināta uzdevuma funkcionalitāte.
SīkākIRM in Audit
Fizisko personu datu aizsardzība un tai piemērojamie standarti 07.10.2015 Saturs Esošā likumdošana 2 Standartu un metodoloģiju piemērošana datu aizsardzībai 3 LVS ISO / IEC 27001:2013 standarts 4 PTES
SīkākMicrosoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc
SIA Krāslavas nami Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā Saturs I. Ziņas par operatoru...3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošajām darbībām...4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas
SīkākLATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr , Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977
LATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr.90000068337, Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977310, mob.t. 26181294, e-pasts: dome@incukalns.lv NOTEIKUMI
SīkākPowerPoint Presentation
Liene Kubliņa liene.kublina@cvor.lv www.cvor.lv IT nozares attīstības iespējas ierobežota darba tirgus apstākļos Latvijas darba tirgus Ko dara Latvijas IT uzņēmumi Patiesie motivatori un jēgpilna komandas
SīkākMūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums
Mūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums Algoritmika un datorzinības (Vecums: 8 gadi) Kursa mērķis ir sniegt bērniem kopīgo izpratni par datoru un datorprogrammām.
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
Sīkāk2018 Finanšu pārskats
2018 2 Neatkarīga revidenta ziņojums akcionāram Ziņojums par finanšu pārskatu revīziju Atzinums Mēs esam veikuši (Sabiedrība) finanšu pārskatu, kas ietver atsevišķu ziņojumu par finansiālo stāvokli 2018.
SīkākSūtījuma noformēšana Epaka.lv sūtījumu veidošanas programmā Autorizācija 1. Sekojiet norādei E-pastā, lai atvērtu DPD Epaka programmu. Pēcāk, lai auto
Sūtījuma noformēšana Epaka.lv sūtījumu veidošanas programmā Autorizācija 1. Sekojiet norādei E-pastā, lai atvērtu DPD Epaka programmu. Pēcāk, lai autorizētos programmā, jāatver lapa myprofile.dpd.lv. 2.
SīkākMicrosoft Word - Papildmaterials.doc
SATURS DARBĪBAS AR DARBGRĀMATAS LAPĀM... 2 1.1. Pārvietošanās pa lapām...2 1.2. Lapas nosaukuma maiņa...3 1.3. Jaunas darblapas pievienošana...3 1.4. Lapas pārvietošana un dublēšana, lietojot peli...4
Sīkāk> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši
> > < < > < < 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši vienu reizi ieraksti kādu naturālu skaitli no 1 līdz 5 tā, lai atzīmētās nevienādības būtu patiesas!
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
SīkākMicrosoft Word - ZinojumsLV2015_2.doc
Ziņojums par atklātu konkursu Rīgā 2015.gada 25.jūnijā Iepirkumu komisijas priekšsēdētājs finanšu direktors Heino Spulģis Iepirkumu komisijas locekļi Oficiālo paziņojumu oficiālās publikācijas nodrošināšanas
SīkākMasu plānošanas pamati. Tēma 6
Tēma #6 MEDIJU PLĀNOŠANAS PROCESS. Konstantīns Kuzikovs RISEBAA 2015 Sākotnējo datu izpēte Mediju plānošanas uzdevumu un mērķu formulēšana Mediju plāna izstrāde Brīfs/ galvenās veicamā darba vadlīnijas
SīkākPowerPoint Presentation
Konference Starpdisciplinaritāte, radošums un uzņēmība mūsdienu izglītības aktualitātes, 2014. gada 29. oktobris ESF projekts Atbalsts izglītības pētījumiem 2011/0011/1DP/1.2.2.3.2/11/IPIA/VIAA/001 Pētījums
SīkākPowerPoint Presentation
ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja Dzīvo patstāvīgi un veselīgi Apzinās sevi, savas vēlmes un intereses, Spēj dzīvot patstāvīgi, saskaņā ar savām vērtībām, Saglabā un nostiprina savas garīgās
SīkākAPSTIPRINĀTS ar Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu padomes 2019.gada 16.maija lēmumu Nr.102 Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu pad
APSTIPRINĀTS ar Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu padomes 2019.gada 16.maija lēmumu Nr.102 Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu padomes konkursa Apraides tiesību piešķiršana radio programmas
SīkākAnita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimen
Anita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimenei, kas attīsta, pilnveido bērna lasītprasmi un rakstītprasmi,
SīkākLV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši
LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši, 3 brūni klucīši, 1 spēles laukums, 1 barjera izvēlētā
SīkākAPSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR
APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
Sīkāk2019 QA_Final LV
2019. gada ex-ante iemaksas Vienotajā noregulējuma fondā (VNF) Jautājumi un atbildes Vispārēja informācija par aprēķinu metodoloģiju 1. Kāpēc salīdzinājumā ar pagājušo gadu ir mainījusies aprēķinu metode,
SīkākAPSTIPRINĀTS biedrības Latvijas Transportlīdzekļu apdrošinātāju birojs biedru sapulces gada 9. oktobra sēdē protokols Nr. 5 Ar biedru sapulces 2
APSTIPRINĀTS biedrības Latvijas Transportlīdzekļu apdrošinātāju birojs biedru sapulces 2009. gada 9. oktobra sēdē protokols Nr. 5 Ar biedru sapulces 2009.gada 18.decembra sēdē (protokols Nr.6) un 2011.gada
SīkākMicrosoft Word - SEG_ atskaite_Bolderaja_2008.doc
SIA Bolderaja Ltd Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2008.gadā. Saturs I. Ziņas par operatoru.. 3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošām darbībām. 4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas procesiem
SīkākAPSTIPRINĀTS
APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
SīkākA.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS
DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,
Sīkāk2015 Finanšu pārskats
2015 2 Neatkarīgā revidenta ziņojums akcionāriem Ziņojums par finanšu pārskatiem Mēs esam revidējuši pievienotos ( Uzņēmums ) finanšu pārskatus, kas ietver 2015. gada 31. decembra bilanci, ienākumu pārskatu,
SīkākLaboratorijas darbi mehānikā
Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne
SīkākPresentation
Futbola spēles prasības Sporta skolotāju profesionālo un pedagoģisko kompetenču pilnveide inovatīvo pieeju pielietošanā skolēnu fizisko spēju attīstīšanai 17.03.2014 Futbola mērķis: Uzvarēt Futbola momenti:
SīkākPētījums Nr Datu avotu analīzes un sasaistes rīks Līgums Nr. L-KC Testēšanas rezultātu apraksts Vadošais pētnieks Zinātniskā virziena v
Pētījums Nr. 1.16. Datu avotu analīzes un sasaistes rīks Līgums Nr. L-KC-11-0003 Testēšanas rezultātu apraksts Vadošais pētnieks Zinātniskā virziena vadītāja Atis Kapenieks Renāte Strazdiņa Rīga, 2013
Sīkāk2013 Finanšu pārskats
2013 2 Neatkarīgo revidentu ziņojums akcionāriem Ziņojums par finanšu pārskatiem Esam veikuši auditu klāt pievienotajiem ( Uzņēmums ) finanšu pārskatiem, kas sastāv no 2013.gada 31.decembra bilances, ienākumu
SīkākKlimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt sau
Klimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt saulains, līt lietus vai snigt sniegs, pūst stiprs vējš
SīkākMicrosoft PowerPoint - Disleksija.ppt
Mācīšanās traucējumi: disleksija, disgrāfija, diskalkulija 2012.gada 18. aprīlī Starptautiskā Disleksijas asociācija disleksiju definē kā neiroloģiskas izcelsmes specifisku mācīšanās traucējumu. Pasaules
SīkākMicrosoft Word - Latv_Gaze_SEG atskaite 2007.doc
2.pielikums Ministru kabineta 2004.gada 7.septembra noteikumiem Nr.778 Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā I. Ziņas par operatoru 1. Operators: 1.1. nosaukums vai vārds un uzvārds Akciju
SīkākPowerPoint Presentation
Rīgas Tehniskās universitātes Ģeomātikas katedra LU 77. SZK sekcija «Ģeodinamika un ģeokosmiskie pētījumi 2019» Jānis Kaminskis, Mārtiņš Reiniks, Anete Kiopa 22.03.2019. 1 Atrašanās vieta 2 56 56'39.3"N
SīkākOGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v
OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr.4313900189, Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr.65035929, fakss 65022206, e-pasts: ogres1vsk@ogresnovads.lv, www.ogres1v.lv Iekšējie noteikumi
SīkākОбъект страхования:
PUBLISKAIS CETURKŠŅA PĀRSKATS PĀRSKATA PERIODS 01.01.2014-31.12.2014 AAS BALTIKUMS VALDES UN PADOMES SASTĀVS UZ 2014. GADA 31. DECEMBRI PADOMES SASTĀVS: Padomes priekšsēdētājs: Padomes loceklis, Padomes
SīkākMobila Satura pakalpojumu kodeksa projekts
Mobilo satura pakalpojumu kodekss 1. Ievads 1.1 Satura pakalpojumu piedāvājums arvien paplašinās, ko veicina straujā mobilo tehnoloģiju attīstība un mobilo sakaru Lietotāju augošā vajadzība pēc aizvien
SīkākMicrosoft PowerPoint - 2_sem_10_Rauhvargers_LO nepiec_2013.pptx
Mācīšanās rezultātos balstītas studijas: Ko tās dod augstākajā izglītībā ieinteresētājām pusēm? Vai varam atļauties to neieviest? Prof. Andrejs Rauhvargers Kā aprakstīsim kvalifikācijas? Pateiksim, cik
Sīkākklase gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru ka
11.-12. klase 2017. gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru kalns Robots apkopējs Dzelzceļa izmaksu samazināšana
SīkākОбъект страхования:
PUBLISKAIS CETURKŠŅA PĀRSKATS PĀRSKATA PERIODS 01.01.2014-31.03.2014 AAS BALTIKUMS VALDES UN PADOMES SASTĀVS UZ 2014. GADA 31. MARTU PADOMES SASTĀVS: Padomes priekšsēdētājs: Padomes loceklis, Padomes priekšsēdētāja
SīkākSabiedrība ar ierobežotu atbildību “Biznesa augstskola Turība”
SIA Biznesa augstskola Turība Vienotais reģistrācijas Nr.40003135880 Graudu ielā 68, Rīgā, LV-1058 N97 APSTIPRINĀTS Biznesa augstskola Turība Senāta 28.02.2018. sēdē, protokols Nr.3 SIA Biznesa augstskola
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
SīkākPAZIŅOJUMS PAR LĒMUMU IEPIRKUMU PROCEDŪRĀ KALNOZOLA IELAS PĀRBŪVE, STOPIŅU NOVADĀ 1. Iepirkuma identifikācijas Nr. SND 2018/5 2. Datums, kad paziņojum
PAZIŅOJUMS PAR LĒMUMU IEPIRKUMU PROCEDŪRĀ KALNOZOLA IELAS PĀRBŪVE, STOPIŅU NOVADĀ 1. Iepirkuma identifikācijas Nr. SND 2018/5 2. Datums, kad paziņojums par iepirkumu ievietots Stopiņu novada domes mājas
SīkākMicrosoft Word - kn817p3.doc
Vides ministrijas iesniegtajā redakcijā 3.pielikums Ministru kabineta 2008.gada 30.septembra noteikumiem Nr.817 Projekta iesnieguma veidlapa Eiropas Reģionālās attīstības fonda projekta iesnieguma veidlapa
Sīkāk2
2. pielikums Ministru kabineta 2004. gada 7. septembra noteikumiem 778 Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2012. gadā 1. Ziņas par operatoru 1. Operators: 1.1. nosaukums vai vārds un uzvārds SIA
SīkākPrezentacja programu PowerPoint
EnergoRisku Latvenergo klientiem Jūrmala, 18.02.2015 Regnārs Levenovičs, AAS Balta Galvenais īpašuma un speciālo risku parakstītājs Kas ir EnergoRisku? Īpaši Latvenergo klientiem izstrādāts s pakalpojums.
SīkākEiropas Savienības Padome Briselē, gada 9. februārī (OR. en) Starpiestāžu lieta: 2018/0021 (NLE) 6044/18 FISC 52 ECOFIN 95 PRIEKŠLIKUMS Sūtītājs
Eiropas Savienības Padome Briselē, 2018. gada 9. februārī (OR. en) Starpiestāžu lieta: 2018/0021 (NLE) 6044/18 FISC 52 ECOFIN 95 PRIEKŠLIKUMS Sūtītājs: Direktors Jordi AYET PUIGARNAU kungs, Eiropas Komisijas
SīkākVirsraksts (Heading 2)
Lietotāja rokasgrāmata Saturs IEVADS...4 VISPĀRĒJA INFORMĀCIJA...5 PRIEKŠNOTEIKUMI DIGI::FIRMA INSTALĀCIJAI...5 TEHNISKĀS PRASĪBAS...5 SISTĒMAS DIGI::FIRMA UZSTĀDĪŠANA...5 DIGI::FIRMA datu bāzes servera
SīkākIzskatīts SIA Rīgas veselības centrs 2018.gada 30.novembra valdes sēdē (protokols Nr.38) SIA Rīgas veselības centrs zvērināta revidenta nepārbaudīts s
Izskatīts SIA Rīgas veselības centrs 2018.gada 30.novembra valdes sēdē (protokols Nr.38) SIA Rīgas veselības centrs zvērināta revidenta nepārbaudīts starpperiodu pārskats par 2018. gada deviņiem mēnešiem
SīkākBiznesa plāna novērtējums
[uzņēmuma nosaukums] biznesa plāns laika posmam no [gads] līdz [gads]. Ievads I. Biznesa plāna satura rādītājs II. Biznesa plāna īss kopsavilkums Esošais stāvoklis III. Vispārēja informācija par uzņēmumu
SīkākAPSTIPRINĀTS
APSTIPRINĀTS ar Izglītības un zinātnes ministrijas 2003. gada 3. jūnijs rīkojumu Nr. 262 PROFESIJAS STANDARTS Reģistrācijas numurs PS 0176 Profesija Psihologa asistents Kvalifikācijas līmenis 5 Nodarbinātības
SīkākLatvijas Universitātes Studentu padome Reģ. Nr Raiņa bulvāris , LV-1586, Rīga, Latvija Tālrunis , Fakss , E-pasts: l
Latvijas Universitātes Studentu padome Reģ. Nr.40008009084 Raiņa bulvāris 19-144, LV-1586, Rīga, Latvija Tālrunis 67034317, Fakss 67034316, E-pasts: lusp@lusp.lv APSTIPRINĀTS 22.02.2010. Latvijas Universitātes
SīkākLabdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču
Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču tie ir vārdi, kurus cilvēkbērns apgūst pašus pirmos
Sīkākprotokols_19_01_17_rezultati_ml
Iepirkuma Ēdināšanas pakalpojumu sniegšana Ventspils Augstskolai projekta Juridiskās sistēmas un komercsabiedrību tiesības ES: tulkošana daudzveidībā ietvaros piedāvājumu vērtēšanas sēdes protokols Nr.
Sīkāk8
7. Obligātās kartes aizpildīšanas kārtība autoservisā Nosūtot nodarbinātos uz obligātajām pārbaudēm, darba devējs var pārliecināties par viņu stāvokļa atbilstību veicamajam darbam, lai nodarbinātie ilgstoši
SīkākNintex Workflow 2010 instalēšanas ceļvedis Instalēšanas ceļvedis Nintex USA LLC 2012, visas tiesības paturētas. Kļūdas un izlaidumi novērsti.
Instalēšanas ceļvedis Nintex USA LLC 2012, visas tiesības paturētas. Kļūdas un izlaidumi novērsti. support@nintex.com 1 www.nintex.com Saturs 1. Nintex Workflow 2010 instalēšana... 4 1.1. Instalēšanas
SīkākApstiprināti ar bankas valdes
RIGENSIS BANK AS Reģ. Nr. 40103429440 Teātra iela 3, Rīga, LV 1050, Latvija Tālr.: (+371) 675 555 51 / fakss: (+371) 673 333 03 E-pasts: info@rigensisbank.com / www.rigensisbank.com Norēķinu konts CENRĀDIS
SīkākMicrosoft Word _Internet_bank_LV_ doc
2.2. Attālinātās konta pārvaldīšanas pakalpojuma noteikumi Speciālie termini Lietotājs Klients un/vai cita fiziska persona, kura ir pilnvarota izmantot Attālinātās konta pārvaldīšanas pakalpojumus Klienta
SīkākMicrosoft PowerPoint - RTU_Karjeras_dienas_CV_Mar2012 [Compatibility Mode]
DARBA MEKLĒŠANAS ABC 1. Iepazīstamies 2. Informācija (un, cerams, diskusija) par: o CV izstrādes principi; o Ko rakstīt CV, ja nav darba pieredzes; o Efektīvs pieteikums (motivācijas vēstule); o Pieteikumu
SīkākPresentation title
Tehniskās ekspertīzes un diagnostikas dienests Daudzdzīvokļu ēku elektrotīklu testēšana Uģis Skopans, Dienesta vadītājs 23.01.2014, Jūrmala Saturs Elektrotīklu pieļaujamās slodzes noteikšana Elektroinstalācijas
SīkākTEHNISKĀ SPECIFIKĀCIJA Endoskopijas kabineta aprīkojumam jābūt jaunam, ražotam 2018.gadā, kurš savienojams ar slimnīcā esošo videoendoskopu GIF-Q165 u
TEHNISKĀ SPECIFIKĀCIJA Endoskopijas kabineta aprīkojumam jābūt jaunam, ražotam 2018.gadā, kurš savienojams ar slimnīcā esošo videoendoskopu GIF-Q165 un videokolonoskopu CF-Q165. Nr. p.k. Tehniskie parametri
SīkākIT drošība un personas datu apstrāde ZPR
Mūsdienu aktualitātes kiberdrošībā E-pasta šifrēšana Mg.sc.ing. Nauris Pauliņš e-pasts: nauris.paulins@zpr.gov.lv Tiesiskais regulējums Latvijas Republikā Latvijas Republikas Satversmes 96. pants «Ikvienam
SīkākMicrosoft Word - Abele
LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru
SīkākPM_Izglītības _prasības_v.1.1
Valsts atbalsta programma dzīvojamās telpas iegādei vai būvniecībai PALĪGMATERIĀLS PAR IZGLĪTĪBU PAMATOJOŠAJIEM DOKUMENTIEM MĀJOKĻU GARANTIJU PROGRAMMĀ Mājokļu garantijas VAR piešķirt personām, kuras ieguvušas
SīkākPowerPoint Presentation
No profesijas standarta līdz reformai 2019. gada 16. martā. 19.03.2019 1 Reforma Sieviešu dzimtes vārds Pārkārtojums, pārveidojums, saglabājot galveno no līdzšinējā Pārmaiņa, pārkārtojums kādā sabiedrības
SīkākMicrosoft Word - ! SkG makets 4-5. nodala.doc
1. Ekonomikas priekšmets I variants Vārds Uzvārds Klase Punkti Datums Vērtējums 1. Apvelciet pareizās atbildes burtu (katram jautājumam ir tikai viena pareiza atbilde). (6 punkti) 1. Ražošanas iespēju
Sīkāk