Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Lielums: px
Sāciet demonstrējumu ar lapu:

Download "Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij"

Transkripts

1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju gads

2 Saturs 2 1. Skaitļu teorijas lietojumi informācijas aizsardzībā Pamatfakti par šifrēšanu un informācijas aizsardzību Kriptogrāfijas pamatjēdzieni Kriptogrāfijas vēsture Simetriskās atslēgas kriptosistēmas Publiskās atslēgas kriptosistēmas Publisko atslēgu kriptosistēmu konkrēta realizācija Ievads Rivest-Shamir-Adleman (RSA) kriptosistēma mājasdarbs 25

3 Lekcijas mērķis: apgūt kriptoloǧijas un publisko šifrēšanas sistēmu pamatjēdzienus. Lekcijas kopsavilkums: kriptogrāfija ir saistīta ar matemātiku, veselo skaitļu teoriju var izmantot kriptogrāfijas vajadzībām. Svarīgākie jēdzieni: kriptogrāfija, šifrs, šifrēšana, dešifrēšana, Cēzara šifrs, Vigenère šifrs, Hilla šifrs, simetriskās atslēgas šifrēšana, publiskās atslēgas šifrēšana, RSA kriptosistēma. Svarīgākie fakti un metodes: Cēzara, Vigenère un Hilla šifra dešifrēšana, iespējamās operācijas publiskās atslēgas kriptosistēmās, RSA šifrēšana un dešifrēšana. 3

4 4 1. Skaitļu teorijas lietojumi informācijas aizsardzībā 1.1. Pamatfakti par šifrēšanu un informācijas aizsardzību Kriptogrāfijas pamatjēdzieni Kā aizsargāt datus no nesankcionētas pieejas? fiziskā/loǧiskā barjera- izolēt informāciju no ienaidniekiem, šifrēšana- uzglabāt un pārsūtīt datus tā, lai ienaidnieki nevarētu tos izmantot, pat ja viņi tiem piekļūst. Kriptogrāfija (kriptoloǧija) - mācība par informācijas slēpšanu, tiek pielietota saistībā ar informācijas drošību (interneta sakari, interneta komercija, militārie sakari u.c.).

5 Kriptogrāfijas pamatjēdzieni: šifrēšana - atklātas informācijas (atklātā teksta) pārvēršana nesaprotamā formā (šifrētajā tekstā); dešifrēšana - operācija, kas ir inversa attiecībā uz šifrēšanu: šifrētā teksta pārvēršana atklātajā tekstā; šifri - šifrēšanas un dešifrēšanas algoritmi; šifra atslēga - šifra parametri, kas parasti ir slepeni un tiek bieži mainīti (svarīgos gadījumos tiek izmantoti tikai vienu reizi); Šifrēšana ir funkcija A ir atklāto tekstu kopa, E : A K E S, kur K E ir šifrēšanas atslēgu kopa, S ir šifrēto tekstu kopa. 5

6 6 Dešifrēšana ir funkcija K D ir dešifrēšanas atslēgu kopa. D : S K D A, kur Dešifrēšanai bez informācijas par atslēgu (šifra uzlaušanai) ir jābūt ļoti grūtai problēmai, ko nav iespējams atrisināt reālā laikā. Kā noteikt šifra vērtību? Ja šifra uzlaušanas izmaksa ir lielāka kā šifrētās informācijas vērtība, tad šifru var uzskatīt par labu. Šifrēšanas metode var tikt uzskatīta par drošu, ja izpildās šādi nosacījumi: ir pierādīts vai tiek uzskatīts, ka dešifrēšana nav iespējama bez noteiktas matemātiskas problēmas P atrisināšanas, ir pierādīts vai tiek uzskatīts, ka problēmas P atrisināšana nav iespējama īsā laikā.

7 Pirms datoru parādīšanās kriptogrāfija nodarbojās galvenokārt ar informācijas slepenības nodrošināšanu militāriem, diplomātiskiem vai ekonomiskiem mērķiem. Līdz ar datoru ēras sākumu un ar to saistīto informācijas plūsmas palielināšanos kriptogrāfija nodrošina šādas papildus funkcijas: sūtījuma integritātes pārbaude; sūtītāja un saņēmēja autentificēšana; digitālā paraksta nodrošināšana; slepenas informācijas dalīta glabāšana (kādā personu grupā katra persona zina daļu no informācijas, katra k personu grupa var rekonstruēt informāciju, bet grupa, kurā ir mazāk nekā k personu - nevar). 7

8 Kriptogrāfijas vēsture Cēzara šifrs Senos laikos lielākā daļa cilvēku neprata lasīt, tāpēc tika izmantoti šādi vienkāršākie šifrēšanas veidi: burtu kārtības maiņa vārdos, burtu aizvietošana ar citiem burtiem (piemēram, Cēzara šifrs (ap 50BC), kurā katrs burts tika aizvietots ar to burtu, kas atrodas n pozīcijas tālāk alfabētā, šajā gadījumā atslēga ir skaitlis n). Cēzara šifru var interpretēt veselo skaitļu terminos šādā veidā: katru burtu aizstājam ar atlikumu mod 26: A = 0, B = 1,..., Z = 25; šifrēšana tiek veikta neatkarīgi katram burtam ar formulu E(x) x + n (mod 26);

9 dešifrēšana tiek veikta ar formulu D(x) = E 1 (x) x n (mod 26). Aizvietošanas šifri ir viegli uzlaužami, ja izmanto statistisko informāciju par burtu biežumu dotajā valodā, katrā valodā ir specisks burtu sadalījums: lai atrastu nobīdi, ir jāatrod simbols x, kas šifrētajā tekstā atkārtojas visbiežāk, ja dotajā valodā visbiežāk atkārtojas burts y, tad nobīde ir vienāda ar soļu skaitu no y līdz x. Vigenère šifrs Ap 1467.gadu tika izgudrota polialfabētiskā aizvietošana, kurā burti tika aizvietoti ar dažādiem burtiem atkarībā no to atrašanās vietas tekstā. Populārākais polialfabētiskās aizvietošanas šifrs - Vigenère šifrs, kas darbojas saskaņā ar šādu algoritmu: tiek fiksēts atslēgas vārds K = k 0 k 1...k m 1 - parasti vārds vai teikums tajā pašā valodā, kurā tiek rakstīts teksts; 9

10 K tiek savienots pats ar sevi tik ilgi, kamēr savienojums pārsniedz šifrējamā teksta garumu, tiek iegūts vārds K = KK...K; K tiek rakstīts tieši zem šifrējamā teksta; šifrējamā teksta burts τ, zem kura atrodas burts κ tiek aizvietots ar to burtu, kas ir nobīdīts no τ par tādu pašu attālumu, par kuru κ ir nobīdīts no burta a. Vigenère šifrēšana var tikt interpretēta kā vektoru jeb lineāras telpas elementu pārveidojums šādā veidā: sākotnējais šifrējamais teksts X = x 0 x 1... tiek sadalīts virknēs X 1 = [x 0... x m 1 ], X 2 = [x m... x 2m 1 ],... katra virkne X i tiek interpretēta kā m-dimensionāls vektors x i, atslēgas vārds K tiek interpretēts kā m-dimensionāls vektors k, 10

11 ar katru vektoru x i tiek veikts šifrēšanas pārveidojums E(x i ) = x i + k. 19.gs vidū tika atklātas metodes Vigenère šifra atšifrēšanai, kas balstījās uz šifrētā teksta aritmētisko progresiju apakšvirkņu (formā (x i, x i+d, x i+2d,...)) statistisko analīzi - lai uzlauztu šifru, ir jāatrod tādas aritmētiskās progresijas apakšvirknes, kurās simbolu biežuma sadalījums ir tuvs burtu biežuma sadalījumam dotajā valodā. Kerkhofa princips 19.gs beigās kriptogrāfijā tika pieņemts Kerkhofa princips - lai šifrēšanas metode būtu droša, tai ir jābalstās tikai uz atslēgas slepenību (ir jāpieņem, ka ienaidnieks zina metodi). Hilla šifrs Ap 1930.gadu tika izgudrota grūtāk uzlaužama polialfabētiskās šifrēšanas metode - Hilla šifrs, kurā šifrēšana atšķirībā no Vigenère 11

12 12 šifrēšanas tiek veikta ar afīno pārveidojumu E(x) = Ax + b, kur A invertējama matrica. Dešifrēšana tiek veikta ar pārveidojumu D(x) = E 1 (x) = A 1 (x b). Uz Otrā pasaules kara beigu laiku polialfabētiskā šifrēšana ar elektromehāniskām ierīcēm sasniedza augstu līmeni (piemēram, vācu Enigma šifrēšanas mašīna). Šifrēšana tika veikta ar Vigenère vai Hilla tipa metodēm un garām (šifrējamā teksta garumā) vienu reizi izmantojamām atslēgām. Dešifrēšana bija motivējošs faktors elektronisko skaitļošanas ierīču attīstībai. Alans Tjūrings (teorētiskās datorzinātnes pamatlicējs) kara laikā bija viens no Lielbritānijas dešifrēšanas darba aktīviem dalībniekiem. Pēc Otrā pasaules kara līdz ar datoru attīstību tika izgudrotas sarežǧītākas šifrēšanas metodes:

13 tiek šifrēti dažāda formāta teksti (piemēram, binārās virknes); šifrēšanas tiek veikta simbolu grupām - blokiem; tiek intensīvi pielietoti matemātikas (skaitļu teorijas, varbūtību teorijas) sasniegumi. Datori tika izmantoti arī dešifrēšanā. Ja abas atslēgas ir slepenas, tādu šifrēšanas metodi sauc par simetriskās atslēgas kriptosistēmu. 70.gadu vidū Lielbritānijā (Ellis-Cocks-Williamson) un ASV (Diffie-Hellman) tika izgudrotas vairākas publiskās atslēgas kriptosistēmas, kurās viena no divām atslēgām ir zināma visiem, bet otra ir slepena gados tika izgudrotas vairākas kriptosistēmas (piemēram, Imai-Matsumoto kriptosistēmas), kuru dešifrēšana balstās vienlaicīgi uz vairākām matemātikas sadaļām (veselo skaitļu teoriju, polinomu teoriju u.c.) Mūsdienās kriptogrāfijas attīstība turpinās, jo tai ir liels 13

14 pieprasījums (militārie un drošības pielietojumi, interneta drošība un komercija u.c.) Simetriskās atslēgas kriptosistēmas Simetriskās atslēgas kriptosistēma (SAK) ir kriptosistēma, kurā sūtītājam un saņēmējam ir kopīga informācija par atslēgu. Līdz gadam bija tikai tādas šifrēšanas metodes. Ir divu veidu simetriskās atslēgas kriptosistēmas: plūsmas šifrēšana; bloku šifrēšana. Plūsmas šifrēšana ir līdzīga Vigenere šifrēšanai, kurā atslēga tiek ǧenerēta ar slepenu algoritmu palīdzību izmantojot nejaušos skaitļus. Bloku šifrēšana ir šifrēšanas metode, kurā teksts tiek dalīts apakšvirknēs - blokos (parasti blokā ir 64 vai 128 biti) un katrs bloks tiek šifrēts ar slepenas atslēgas palīdzību.

15 Publiskās atslēgas kriptosistēmas Publiskās atslēgas jeb asimetriskā kriptosistēma (PAK) ir salīdzinoši jauna (70.gadi) metode, kurā viena no šifrēšanas/dešifrēšanas operācijām ir atklāta, bet otra - slepena. Šī metode tika izstrādāta, lai mazinātu grūtības, kas ir saistītas ar slepeno atslēgu nodošanu visām pusēm, kas piedalās sakaros. Ar šī tipa šifrēšanas metožu palīdzību var vieglāk pārraidīt informāciju pa neaizsargātiem sakaru kanāliem. Precīzāk, katram lietotājam ir divas atslēgas: publiskā atslēga (publiski pieejama visiem) un privātā atslēga (slepena, zināma tikai noteiktam lietotāju lokam). Abas atslēgas ir saistītas ar matemātiskiem algoritmiem, bet zinot publisko atslēgu, ir praktiski neiespējami atrast privāto atslēgu.

16 Tādējādi, katram lietotājam X ir definētas divas savstarpēji inversas funkcijas E X un D X = E 1 X tādas, ka E X D X = id, D X E X = id. Funkcija E X katram X ir publiski zināma. Šādā kriptosistēmā ir iespējamas divas operācijas: (šifrēšana ar publisko atslēgu) lai nosūtītu lietotājam X slepenu sūtījumu M, šis sūtījums ir jāaizšifrē ar funkciju E X, šādā gadījumā tikai X varēs izlasīt sūtījumu E X (M), pielietojot tam savu slepeno funkciju D X : ) ) D X ((E X (M) = (D X E X (M) = id(m) = M. (digitālā paraksta nodrošināšana) lai lietotājs X varētu pierādīt savu identitāti, X aizšifrē kādu noteiktu tekstu N (piemēram, savu vārdu) ar savu slepeno funkciju D X, jebkurš sūtījuma 16

17 D X (N) saņēmējs var pielietot šim sūtījumam publisko funkciju E X, izlasīt rezultātu ) ) E X (D X (N) = (E X D X (N) = id(n) = N un pārliecināties, ka sūtītājs ir bijis X (vai vismaz kāds, kas zina X slepeno atslēgu) piezīme. PAK var tikt lietota kombinācijā ar SAK. PAK mēǧina uzlauzt, provocējot X aizšifrēt vienu vai vairākus tekstus ar noteiktām īpašībām, kas atvieglo dešifrēšanu. 17

18 1.2. Publisko atslēgu kriptosistēmu konkrēta realizācija Ievads PAK balstās uz matemātiķiem zināmu novērojumu, ka ir funkcijas/algoritmi, kuriem ir grūti atrast inversās funkcijas/algoritmus. Piemēri: 1. reizināt ir vieglāk nekā dalīt; 2. kāpināt ir vieglāk nekā atrast sakni; 3. reizināt pirmskaitļus ir vieglāk nekā atrast skaitļa sadalījumu pirmskaitļu reizinājumā; 4. izjaukt puzli ir vieglāk nekā salikt. 18 PAKā vieglā funkcija - publiski pieejamā funkcija, grūtā (inversā) funkcija - slepenā privātā funkcija.

19 Rivest-Shamir-Adleman (RSA) kriptosistēma Pamatideja: meklēsim šifrējošo funkciju pakāpes funkcijas formā a a e (mod n), = dešifrējošā funkcija arī var būt pakāpes funkcija ar kāpinātāju d: (a e ) d a ed a(mod n), = ed 1(mod ϕ(n)), lai būtu grūti dešifrēt - atrast d mod ϕ(n), nepieciešams izvēlēties n tā, lai ϕ(n) ir grūti atrast, = n jābūt tādam, lai n ir grūti faktorizēt.

20 RSA kriptosistēmas atslēgu ǧenerēšanas algoritms: 1. Izvēlēties divus lielus pirmskaitļus p un q. 2. Atrast n = pq, n tiek lietots kā palīginformācija (modulis) abās atslēgās. 3. Atrast ϕ(n) = (p 1)(q 1). 4. Atrast netriviālu elementu e U ϕ(n) : { LKD(e, ϕ(n)) = 1 1 < e < ϕ(n) 1 e ir publiskā atslēga. 5. Atrast d e 1 (mod ϕ(n)), piemēram, izmantojot Eiklīda algoritmu, d ir privātā (slepenā) atslēga. Publiski pieejamā informācija - (n, e). Slepenā informācija - (p, q, d). 20

21 RSA šifrēšanas algoritms (funkcija E X ): 1. Sadalīt sūtāmo tekstu M daļās m 1 m 2...m k tā, lai m i pēc iekodēšanas decimālajā vai binārajā pierakstā ar publiski zināmu algoritmu būtu mazāka nekā n. 2. m i pārveidot par c i = m e i (mod n). Šifrēšanas rezultāts ir virkne c 1 c 2...c k. RSA dešifrēšanas algoritms (funkcija D X ): 1. Katram i atrast m i = c d i (mod n). 2. Savienot atšifrētās daļas m i vienā virknē teorēma. (RSA dešifrēšanas algoritma pamatojums) ( ) ( ) c m e (mod n) = m c d (mod n). 21 PIERĀDĪJUMS ed 1 (mod ϕ(n)) = ed = 1 + lϕ(n) = c d (m e ) d m ed m 1+lϕ(n) m (m ϕ(n) ) l (mod n).

22 22 Jāapskata divi gadījumi: m U n vai m U n. m U n = m ϕ(n) 1(mod n)(eilera teorēma) = c d m(mod n). m U n = LKD(m, }{{} n ) > 1 = =pq m 0(mod p) m 0(mod q). Apskatīsim gadījumu m 0(mod p). m 0(mod p) = m ed 0 m(mod p) = m ed m 1+l(p 1)(q 1) m (m q 1 ) p 1 m(mod q). Attiecībā uz m ed esam ieguvuši sistēmu { m ed m(mod p) m ed m(mod q).

23 Saskaņā ar ķīniešu atlikumu teorēmu = m ed c d m(mod pq). Līdzīgi tiek pierādīts gadījums, kad m 0(mod q) piemērs. Lai uzlauztu RSA kriptosistēmu, ir jāzina d(mod ϕ(n)). Lai atrastu d un ϕ(n), ir jāzina p un q, kas ir grūti piemērs. Atradīsim RSA kriptosistēmas atslēgas un algoritmus, ja p = 17 un q = 19: 1. Ir izvēlēti divi pirmskaitļi p = 17 un q = Atrast n = pq = 323, n tiek lietots kā palīginformācija (modulis) abās atslēgās. 3. Atrast ϕ(n) = (p 1)(q 1) = Atrast invertējamu elementu e U 288 tādu, ka 1 < e < 288 (LKD(e, 288) = 1): izvēlēsimies e = 5, e ir publiskā atslēga. 5. Atrast d e 1 (mod ϕ(n)): d 173 (mod 288), d ir privātā (slepenā) atslēga. 23

24 24 Šifrējošā funkcija ir E(m) m 5 (mod 323), dešifrējošā funkcija D(c) c 173 (mod 323). Ja m = 300, tad E(300) (mod 323) D(E(300)) = D(78) (mod 323).

25 2. 11.mājasdarbs Izmantojot Cēzara šifru ar nobīdi 11 un latīņu alfabēta standarta kārtību, aizšifrējiet tekstu Gallia est omnis divisa in partes tres Izmantojot Vigenère šifru ar atslēgas vārdu livonija atšifrējiet tekstu iǧtohi izmantojot latviešu alfabēta standarta kārtību Latīņu alfabēts un vēl 3 simboli [.],[ ],[?] ir iekodēti kā atlikumi mod 29: A = 0, B = 1,..., Z = 25, [.] = 26, [ ] = 27, [?] = 28. Teksts tiek sadalīts kolonnās pa 4 simboli, katra kolonna tiek šifrēta ar Hilla šifru E(x) = Ax + b, kur A = ,

26 b = Tika pārtvertas vairākas šifrētas kolonnas , , , , , Atšifrējiet pārtverto sūtījumu (teksts ir angļu valodā, kolonnu kārtība var būt sajaukta) Atrodiet atslēgas un aprakstiet šifrēšanas/dešifrēšanas algoritmus RSA sistēmā ar pirmskaitļiem 83 un

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju

Sīkāk

Microsoft Word - du_5_2005.doc

Microsoft Word - du_5_2005.doc 005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

KURSA KODS

KURSA KODS Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss

Sīkāk

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā

Sīkāk

32repol_uzd

32repol_uzd Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem

Sīkāk

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n 7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three

Sīkāk

1

1 8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena

Sīkāk

Komandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ

Komandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas

Sīkāk

KURSA KODS

KURSA KODS Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts

Sīkāk

ro41_uzd

ro41_uzd Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a

Sīkāk

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām

Sīkāk

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.

Sīkāk

Nevienādības starp vidējiem

Nevienādības starp vidējiem Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību

Sīkāk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,

Sīkāk

> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši

> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši > > < < > < < 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši vienu reizi ieraksti kādu naturālu skaitli no 1 līdz 5 tā, lai atzīmētās nevienādības būtu patiesas!

Sīkāk

Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī

Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis

Sīkāk

Mūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums

Mūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums Mūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums Algoritmika un datorzinības (Vecums: 8 gadi) Kursa mērķis ir sniegt bērniem kopīgo izpratni par datoru un datorprogrammām.

Sīkāk

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas

Sīkāk

IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni

IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv

Sīkāk

A.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS

A.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,

Sīkāk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk 8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna

Sīkāk

Anita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimen

Anita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimen Anita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimenei, kas attīsta, pilnveido bērna lasītprasmi un rakstītprasmi,

Sīkāk

Sūtījuma noformēšana Epaka.lv sūtījumu veidošanas programmā Autorizācija 1. Sekojiet norādei E-pastā, lai atvērtu DPD Epaka programmu. Pēcāk, lai auto

Sūtījuma noformēšana Epaka.lv sūtījumu veidošanas programmā Autorizācija 1. Sekojiet norādei E-pastā, lai atvērtu DPD Epaka programmu. Pēcāk, lai auto Sūtījuma noformēšana Epaka.lv sūtījumu veidošanas programmā Autorizācija 1. Sekojiet norādei E-pastā, lai atvērtu DPD Epaka programmu. Pēcāk, lai autorizētos programmā, jāatver lapa myprofile.dpd.lv. 2.

Sīkāk

LATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr , Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977

LATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr , Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977 LATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr.90000068337, Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977310, mob.t. 26181294, e-pasts: dome@incukalns.lv NOTEIKUMI

Sīkāk

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo 7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Liene Kubliņa liene.kublina@cvor.lv www.cvor.lv IT nozares attīstības iespējas ierobežota darba tirgus apstākļos Latvijas darba tirgus Ko dara Latvijas IT uzņēmumi Patiesie motivatori un jēgpilna komandas

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Konference Starpdisciplinaritāte, radošums un uzņēmība mūsdienu izglītības aktualitātes, 2014. gada 29. oktobris ESF projekts Atbalsts izglītības pētījumiem 2011/0011/1DP/1.2.2.3.2/11/IPIA/VIAA/001 Pētījums

Sīkāk

S-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā

S-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical

Sīkāk

LU 68 Fizikas sekcija DocBook

LU 68 Fizikas sekcija DocBook Vispārizglītojošās e-fizikas materiālu augstas kvalitātes noformējuma izstrāde, izmantojot DocBook un LaTeX tehnoloģijas Arnis Voitkāns LU 68. konferences Fizikas didaktikas sekcija 5.02.2010. Kas ir augstas

Sīkāk

APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR

APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā

Sīkāk

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas

Sīkāk

Microsoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc

Microsoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc SIA Krāslavas nami Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā Saturs I. Ziņas par operatoru...3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošajām darbībām...4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas

Sīkāk

OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v

OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr.4313900189, Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr.65035929, fakss 65022206, e-pasts: ogres1vsk@ogresnovads.lv, www.ogres1v.lv Iekšējie noteikumi

Sīkāk

Masu plānošanas pamati. Tēma 6

Masu plānošanas pamati. Tēma 6 Tēma #6 MEDIJU PLĀNOŠANAS PROCESS. Konstantīns Kuzikovs RISEBAA 2015 Sākotnējo datu izpēte Mediju plānošanas uzdevumu un mērķu formulēšana Mediju plāna izstrāde Brīfs/ galvenās veicamā darba vadlīnijas

Sīkāk

Ievads par privātumu Dalībnieki izpētīs savu attieksmi pret privātumu, kā arī privātuma nozīmi savā dzīvē. Dalībnieki izvērtēs, kāda veida informāciju

Ievads par privātumu Dalībnieki izpētīs savu attieksmi pret privātumu, kā arī privātuma nozīmi savā dzīvē. Dalībnieki izvērtēs, kāda veida informāciju Ievads par privātumu Dalībnieki izpētīs savu attieksmi pret privātumu, kā arī privātuma nozīmi savā dzīvē. Dalībnieki izvērtēs, kāda veida informāciju viņi nepubliskotu, kā arī aplūkos situācijas, kad

Sīkāk

Virsraksts (Heading 2)

Virsraksts (Heading 2) Lietotāja rokasgrāmata Saturs IEVADS...4 VISPĀRĒJA INFORMĀCIJA...5 PRIEKŠNOTEIKUMI DIGI::FIRMA INSTALĀCIJAI...5 TEHNISKĀS PRASĪBAS...5 SISTĒMAS DIGI::FIRMA UZSTĀDĪŠANA...5 DIGI::FIRMA datu bāzes servera

Sīkāk

Presentation

Presentation Futbola spēles prasības Sporta skolotāju profesionālo un pedagoģisko kompetenču pilnveide inovatīvo pieeju pielietošanā skolēnu fizisko spēju attīstīšanai 17.03.2014 Futbola mērķis: Uzvarēt Futbola momenti:

Sīkāk

skaitampuzle instrukcija

skaitampuzle instrukcija MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā

Sīkāk

LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši

LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši, 3 brūni klucīši, 1 spēles laukums, 1 barjera izvēlētā

Sīkāk

Microsoft PowerPoint - Disleksija.ppt

Microsoft PowerPoint - Disleksija.ppt Mācīšanās traucējumi: disleksija, disgrāfija, diskalkulija 2012.gada 18. aprīlī Starptautiskā Disleksijas asociācija disleksiju definē kā neiroloģiskas izcelsmes specifisku mācīšanās traucējumu. Pasaules

Sīkāk

Microsoft Word _Internet_bank_LV_ doc

Microsoft Word _Internet_bank_LV_ doc 2.2. Attālinātās konta pārvaldīšanas pakalpojuma noteikumi Speciālie termini Lietotājs Klients un/vai cita fiziska persona, kura ir pilnvarota izmantot Attālinātās konta pārvaldīšanas pakalpojumus Klienta

Sīkāk

2018 Finanšu pārskats

2018 Finanšu pārskats 2018 2 Neatkarīga revidenta ziņojums akcionāram Ziņojums par finanšu pārskatu revīziju Atzinums Mēs esam veikuši (Sabiedrība) finanšu pārskatu, kas ietver atsevišķu ziņojumu par finansiālo stāvokli 2018.

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation No profesijas standarta līdz reformai 2019. gada 16. martā. 19.03.2019 1 Reforma Sieviešu dzimtes vārds Pārkārtojums, pārveidojums, saglabājot galveno no līdzšinējā Pārmaiņa, pārkārtojums kādā sabiedrības

Sīkāk

48repol_uzd

48repol_uzd Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots

Sīkāk

Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs

Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs Mūsdienu tendence! Dažādas dzīves sfēras = mācību priekšmeti Arvien nozīmīgāka ir informācijas un komunikāciju tehnoloģiju pielietošanas

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja Dzīvo patstāvīgi un veselīgi Apzinās sevi, savas vēlmes un intereses, Spēj dzīvot patstāvīgi, saskaņā ar savām vērtībām, Saglabā un nostiprina savas garīgās

Sīkāk

Biznesa plāna novērtējums

Biznesa plāna novērtējums [uzņēmuma nosaukums] biznesa plāns laika posmam no [gads] līdz [gads]. Ievads I. Biznesa plāna satura rādītājs II. Biznesa plāna īss kopsavilkums Esošais stāvoklis III. Vispārēja informācija par uzņēmumu

Sīkāk

KONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS

KONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS Studiju kursa nosaukums KONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS Apjoms Apjoms kredītpunktos/ ECTS) 3/ 4,5 120 (stundās) Priekšzināšanas Latvijas valsts un tiesību vēsture, Valsts un tiesību teorija Zinātņu nozare Tiesību

Sīkāk

APSTIPRINĀTS

APSTIPRINĀTS APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa

Sīkāk

APSTIPRINĀTS

APSTIPRINĀTS APSTIPRINĀTS ar Izglītības un zinātnes ministrijas 2003. gada 3. jūnijs rīkojumu Nr. 262 PROFESIJAS STANDARTS Reģistrācijas numurs PS 0176 Profesija Psihologa asistents Kvalifikācijas līmenis 5 Nodarbinātības

Sīkāk

Microsoft Word - Papildmaterials.doc

Microsoft Word - Papildmaterials.doc SATURS DARBĪBAS AR DARBGRĀMATAS LAPĀM... 2 1.1. Pārvietošanās pa lapām...2 1.2. Lapas nosaukuma maiņa...3 1.3. Jaunas darblapas pievienošana...3 1.4. Lapas pārvietošana un dublēšana, lietojot peli...4

Sīkāk

APSTIPRINĀTS ar Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu padomes 2019.gada 16.maija lēmumu Nr.102 Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu pad

APSTIPRINĀTS ar Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu padomes 2019.gada 16.maija lēmumu Nr.102 Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu pad APSTIPRINĀTS ar Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu padomes 2019.gada 16.maija lēmumu Nr.102 Nacionālās elektronisko plašsaziņas līdzekļu padomes konkursa Apraides tiesību piešķiršana radio programmas

Sīkāk

Microsoft Word - ZinojumsLV2015_2.doc

Microsoft Word - ZinojumsLV2015_2.doc Ziņojums par atklātu konkursu Rīgā 2015.gada 25.jūnijā Iepirkumu komisijas priekšsēdētājs finanšu direktors Heino Spulģis Iepirkumu komisijas locekļi Oficiālo paziņojumu oficiālās publikācijas nodrošināšanas

Sīkāk

Prezentacija

Prezentacija LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2016./2017. studiju gadam UZŅEMŠANAS KOMISIJA Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755,

Sīkāk

Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču

Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču tie ir vārdi, kurus cilvēkbērns apgūst pašus pirmos

Sīkāk

TEHNISKĀ SPECIFIKĀCIJA Endoskopijas kabineta aprīkojumam jābūt jaunam, ražotam 2018.gadā, kurš savienojams ar slimnīcā esošo videoendoskopu GIF-Q165 u

TEHNISKĀ SPECIFIKĀCIJA Endoskopijas kabineta aprīkojumam jābūt jaunam, ražotam 2018.gadā, kurš savienojams ar slimnīcā esošo videoendoskopu GIF-Q165 u TEHNISKĀ SPECIFIKĀCIJA Endoskopijas kabineta aprīkojumam jābūt jaunam, ražotam 2018.gadā, kurš savienojams ar slimnīcā esošo videoendoskopu GIF-Q165 un videokolonoskopu CF-Q165. Nr. p.k. Tehniskie parametri

Sīkāk

Microsoft Word - SEG_ atskaite_Bolderaja_2008.doc

Microsoft Word - SEG_ atskaite_Bolderaja_2008.doc SIA Bolderaja Ltd Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2008.gadā. Saturs I. Ziņas par operatoru.. 3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošām darbībām. 4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas procesiem

Sīkāk

Studiju programmas nosaukums

Studiju programmas nosaukums Latvijas augstāko izglītības iestāžu ieguldījums mērniecības izglītībā Latvijā Jauno jomas speciālistu sagatavošana Latvijas Lauksaimniecības specialitātē Vivita Puķīte LLU VBF Zemes pārvaldības un ģeodēzijas

Sīkāk

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at 2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai

Sīkāk

Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji

Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta 2015. gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznājiem Latvijā nekad nenoriet? (1 p) Kasiopeja Ērglis Vēršu

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Rīgas Tehniskās universitātes Ģeomātikas katedra LU 77. SZK sekcija «Ģeodinamika un ģeokosmiskie pētījumi 2019» Jānis Kaminskis, Mārtiņš Reiniks, Anete Kiopa 22.03.2019. 1 Atrašanās vieta 2 56 56'39.3"N

Sīkāk

Sabiedrība ar ierobežotu atbildību “Biznesa augstskola Turība”

Sabiedrība ar ierobežotu atbildību “Biznesa augstskola Turība” SIA Biznesa augstskola Turība Vienotais reģistrācijas Nr.40003135880 Graudu ielā 68, Rīgā, LV-1058 N97 APSTIPRINĀTS Biznesa augstskola Turība Senāta 28.02.2018. sēdē, protokols Nr.3 SIA Biznesa augstskola

Sīkāk

PM_Izglītības _prasības_v.1.1

PM_Izglītības _prasības_v.1.1 Valsts atbalsta programma dzīvojamās telpas iegādei vai būvniecībai PALĪGMATERIĀLS PAR IZGLĪTĪBU PAMATOJOŠAJIEM DOKUMENTIEM MĀJOKĻU GARANTIJU PROGRAMMĀ Mājokļu garantijas VAR piešķirt personām, kuras ieguvušas

Sīkāk

Klimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt sau

Klimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt sau Klimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt saulains, līt lietus vai snigt sniegs, pūst stiprs vējš

Sīkāk

Microsoft Word - kn817p3.doc

Microsoft Word - kn817p3.doc Vides ministrijas iesniegtajā redakcijā 3.pielikums Ministru kabineta 2008.gada 30.septembra noteikumiem Nr.817 Projekta iesnieguma veidlapa Eiropas Reģionālās attīstības fonda projekta iesnieguma veidlapa

Sīkāk

APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr

APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 4 2012. gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr. 8 2019. gada 21. janvārī Noteikumi par studiju kursu akadēmisko

Sīkāk

1

1 . Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir

Sīkāk

APSTIPRINĀTS biedrības Latvijas Transportlīdzekļu apdrošinātāju birojs biedru sapulces gada 9. oktobra sēdē protokols Nr. 5 Ar biedru sapulces 2

APSTIPRINĀTS biedrības Latvijas Transportlīdzekļu apdrošinātāju birojs biedru sapulces gada 9. oktobra sēdē protokols Nr. 5 Ar biedru sapulces 2 APSTIPRINĀTS biedrības Latvijas Transportlīdzekļu apdrošinātāju birojs biedru sapulces 2009. gada 9. oktobra sēdē protokols Nr. 5 Ar biedru sapulces 2009.gada 18.decembra sēdē (protokols Nr.6) un 2011.gada

Sīkāk

Tehniskās prasības darbam ar VISMA Horizon un HoP Aktualizēts

Tehniskās prasības darbam ar VISMA Horizon un HoP Aktualizēts Tehniskās prasības darbam ar VISMA Horizon un HoP Aktualizēts 21.08.2019. 2 Saturs Interneta pieslēgums 4 Darbstacija un ierīces 4 DBVS serveris 6 Servera rekomendācijas 6 Horizon datu bāzu vadības sistēmas

Sīkāk

PAZIŅOJUMS PAR LĒMUMU IEPIRKUMU PROCEDŪRĀ KALNOZOLA IELAS PĀRBŪVE, STOPIŅU NOVADĀ 1. Iepirkuma identifikācijas Nr. SND 2018/5 2. Datums, kad paziņojum

PAZIŅOJUMS PAR LĒMUMU IEPIRKUMU PROCEDŪRĀ KALNOZOLA IELAS PĀRBŪVE, STOPIŅU NOVADĀ 1. Iepirkuma identifikācijas Nr. SND 2018/5 2. Datums, kad paziņojum PAZIŅOJUMS PAR LĒMUMU IEPIRKUMU PROCEDŪRĀ KALNOZOLA IELAS PĀRBŪVE, STOPIŅU NOVADĀ 1. Iepirkuma identifikācijas Nr. SND 2018/5 2. Datums, kad paziņojums par iepirkumu ievietots Stopiņu novada domes mājas

Sīkāk

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br 5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,

Sīkāk

Microsoft Word - Latv_Gaze_SEG atskaite 2007.doc

Microsoft Word - Latv_Gaze_SEG atskaite 2007.doc 2.pielikums Ministru kabineta 2004.gada 7.septembra noteikumiem Nr.778 Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā I. Ziņas par operatoru 1. Operators: 1.1. nosaukums vai vārds un uzvārds Akciju

Sīkāk

Latvijas ekonomiskās attīstības resursi: cilvēkkapitāls, sociālais kapitāls, intelektuālais kapitāls, kultūras kapitāls un radošais kapitāls. Aigars P

Latvijas ekonomiskās attīstības resursi: cilvēkkapitāls, sociālais kapitāls, intelektuālais kapitāls, kultūras kapitāls un radošais kapitāls. Aigars P Latvijas ekonomiskās attīstības resursi: cilvēkkapitāls, sociālais kapitāls, intelektuālais kapitāls, kultūras kapitāls un radošais kapitāls. Aigars Plotkāns no Zosēniem Vai cilvēkkapitāls ir kapitāls?

Sīkāk

IRM in Audit

IRM in Audit Fizisko personu datu aizsardzība un tai piemērojamie standarti 07.10.2015 Saturs Esošā likumdošana 2 Standartu un metodoloģiju piemērošana datu aizsardzībai 3 LVS ISO / IEC 27001:2013 standarts 4 PTES

Sīkāk

Microsoft PowerPoint - 2_sem_10_Rauhvargers_LO nepiec_2013.pptx

Microsoft PowerPoint - 2_sem_10_Rauhvargers_LO nepiec_2013.pptx Mācīšanās rezultātos balstītas studijas: Ko tās dod augstākajā izglītībā ieinteresētājām pusēm? Vai varam atļauties to neieviest? Prof. Andrejs Rauhvargers Kā aprakstīsim kvalifikācijas? Pateiksim, cik

Sīkāk

Microsoft Word - Abele

Microsoft Word - Abele LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru

Sīkāk

CEĻVEDIS PIRCĒJIEM LIDHULT dīvāni DIZAINS Henriks Preics (Henrik Preutz) MODUĻI Vienvietīgs modulis Divvietīgs modulis Trīsvietīgs modulis Divvietīgs

CEĻVEDIS PIRCĒJIEM LIDHULT dīvāni DIZAINS Henriks Preics (Henrik Preutz) MODUĻI Vienvietīgs modulis Divvietīgs modulis Trīsvietīgs modulis Divvietīgs CEĻVEDIS PIRCĒJIEM LIDHULT dīvāni DIZAINS Henriks Preics (Henrik Preutz) MODUĻI Vienvietīgs modulis Divvietīgs modulis Trīsvietīgs modulis Divvietīgs modulis ar guļvietu Stūra modulis Zvilnis Modulis ar

Sīkāk

Apstiprināti ar bankas valdes

Apstiprināti ar bankas valdes RIGENSIS BANK AS Reģ. Nr. 40103429440 Teātra iela 3, Rīga, LV 1050, Latvija Tālr.: (+371) 675 555 51 / fakss: (+371) 673 333 03 E-pasts: info@rigensisbank.com / www.rigensisbank.com Norēķinu konts CENRĀDIS

Sīkāk

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas

Sīkāk

Slide 1

Slide 1 IZM VISC Eiropas Sociālā fonda projekts Dabaszinātnes un matemātika SKOLOTĀJU STUDIJU PROGRAMMU NODARBĪBU MATERIĀLI DABASZINĀTŅU UN MATEMĀTIKAS DIDAKTIKĀ Latvijas Universitāte Liepājas Universitāte Daugavpils

Sīkāk

Apstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei gada 18. oktobrī,

Apstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei gada 18. oktobrī, Apstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes 2012. gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei 2018. gada 18. oktobrī, prot. Nr. 9 Dokumenta mērķis: Dokumentā aprakstīti

Sīkāk

Saturs Krājuma sastādītāja priekšvārds (J.Pleps) Profesors Edgars Meļķisis (E.Danovskis) Kristāla pūce (I.Ziemele) Atmiņu mirkļi (D.

Saturs Krājuma sastādītāja priekšvārds (J.Pleps) Profesors Edgars Meļķisis (E.Danovskis) Kristāla pūce (I.Ziemele) Atmiņu mirkļi (D. Saturs Krājuma sastādītāja priekšvārds (J.Pleps)... 10 Profesors Edgars Meļķisis (E.Danovskis)... 12 Kristāla pūce (I.Ziemele)... 15 Atmiņu mirkļi (D.Rezevska)... 17 I nodaļa. Tiesību filozofija No tiesību

Sīkāk

Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk?

Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis

Sīkāk

2015 Finanšu pārskats

2015 Finanšu pārskats 2015 2 Neatkarīgā revidenta ziņojums akcionāriem Ziņojums par finanšu pārskatiem Mēs esam revidējuši pievienotos ( Uzņēmums ) finanšu pārskatus, kas ietver 2015. gada 31. decembra bilanci, ienākumu pārskatu,

Sīkāk

Prezentacja programu PowerPoint

Prezentacja programu PowerPoint EnergoRisku Latvenergo klientiem Jūrmala, 18.02.2015 Regnārs Levenovičs, AAS Balta Galvenais īpašuma un speciālo risku parakstītājs Kas ir EnergoRisku? Īpaši Latvenergo klientiem izstrādāts s pakalpojums.

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Ultraplatjoslas (UWB) radaru sensoru signālu apstrāde objektu izsekošanai VPP SOPHIS GUDPILS UWB sensoru (radaru) grupa Rolands Šāvelis Pētnieks Elektronikas un datorzinātņu institūts 1 UWB sensoru signālu

Sīkāk

*Pareizā atbilde un pareizo atbilžu daudzums procentos zaļā krāsā. 3. klase 1. Ja Tu esi sadraudzējies un vēlies satikties ar kādu, ar ko esi iepazini

*Pareizā atbilde un pareizo atbilžu daudzums procentos zaļā krāsā. 3. klase 1. Ja Tu esi sadraudzējies un vēlies satikties ar kādu, ar ko esi iepazini 1. Ja Tu esi sadraudzējies un vēlies satikties ar kādu, ar ko esi iepazinies internetā, bet dzīvē nekad neesi saticis, kā visdrošāk būtu rīkoties?: Pareizas atbildes: 6728 no 8404 1) Tikties publiskā vietā.

Sīkāk

Dārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē

Dārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē Dārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē, zaķīt! Māmiņas puķes nevar ēst! Zaķis lēkā mūsu dārzā.

Sīkāk