Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
|
|
- Žanis Sproģis
- pirms 4 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju gads
2 Saturs 2 1. Polinomu faktorizācija Pamatfakti Polinoma saturs Lineārie polinomi un saknes Bezout teorēma Polinomu interpolācija Polinomu atvasināšana un tās pielietojumi faktorizācijā Pamatfakti Vairākkārtīgās saknes kritērijs Polinoma kvadrātbrīvās faktorizācijas atrašana mājasdarbs Obligātie uzdevumi Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 31
3 Lekcijas mērķis - apgūt pamatfaktus par polinomu faktorizāciju, nedalāmo polinomu īpašībām, polinomu sadalīšanu lināros faktoros, atvasinājuma izmantošanu polinomu faktorizācijā Polinomu faktorizācija 1.1. Pamatfakti Gredzena R[X] nedalāmos elementus sauc par nedalāmiem polinomiem. Polinomu sauksim par normalizētu, ja tā vecākais koeficients ir vienāds ar 1.
4 1.1. teorēma. Ja k ir lauks, tad polinomu gredzenā k[x] ir bezgalīgi daudz nedalāmu normalizētu polinomu. PIERĀDĪJUMS 1.apakšgadījums. Ja k ir bezgalīgs lauks, tad visi lineārie polinomi X a, a k, veido nedalāmu normalizētu polinomu kopu. 2.apakšgadījums. Ja k ir galīgs lauks, tad pierādījums ir līdzīgs pirmskaitļu kopas bezgalīguma pierādījumam. Pieņemsim pretējo: eksistē tikai galīgs skaits nedalāmu normalizētu polinomu p 1,..., p k. Apskatīsim polinomu f = p 1...p k + 1. Tā kā deg(f) > 0, tad tam eksistē vismaz viens nedalāms dalītājs p l. p l nevar piederēt kopai {p 1,..., p k }, jo šādā gadījumā būtu spēkā dalāmība p l f p 1...p k un sekotu, ka p l 1, tātad p l būtu invertējams. Ir iegūta pretruna, jo pēc pieņēmuma kopa {p 1,..., p k } satur visus nedalāmos polinomus. 4
5 1.2. teorēma. Ja k ir galīgs lauks, tad gredzenā k[x] nedalāmu polinomu pakāpes nav ierobežotas. PIERĀDĪJUMS Ja k ir galīgs lauks, tad katram n N eksistē galīgs skaits polinomu, kuru pakāpē ir vienāda ar n. Tā kā nedalāmu polinomu kopa ir bezgalīga, tad to pakāpes nevar būt ierobežotas. 5
6 1.2. Polinoma saturs Vienkāršākā ar polinomu faktorizāciju saistītā darbība ir kopīgo reizinātāju iznešana. Ja R ir gredzens, kurā visām elementu apakškopām eksistē LKD, tad par polinoma f(x) R[X] saturu sauksim tā koeficientu LKD, to apzīmēsim ar cont(f). Ja cont(f) ir invertējams elements gredzenā R, tad f sauksim par primitīvu polinomu piemērs. Normalizēts polinoms ir primitīvs polinoms. Visi polinomi ar koeficientiem laukā ir primitīvi. Jebkuru polinomu f var izteikt formā kur f 0 ir primitīvs polinoms. f = cont(f)f 0, 1.2. piemērs. Ja 2X + 4 Z[X], tad f(x) = 2(X + 2). 6
7 1.3. teorēma. (Gausa lemma) Dots, ka R ir VFG, f, g R[X]. Tad ir spēkā satura multiplikatīvā īpašība: cont(f g) cont(f)cont(g). 7 PIERĀDĪJUMS Reducēšana uz speciālgadījumu. Ja f = cont(f)f 0 un g = cont(g)g 0, tad cont(fg) cont(f)cont(g) cont(f 0 g 0 ). }{{}? Redzam, ka pietiek pierādīt, ka primitīvu polinomu reizinājums ir primitīvs polinoms. Speciālgadījums - f un g ir primitīvi polinomi, jāpierāda, ka f g ir primitīvs polinoms. Pierādījums no pretējā.
8 Ir doti primitīvi polinomi f(x) = g(x) = n a i X i, i=0 m b j X j. j=0 Pieņemsim, ka cont(f g) nav invertējams, tātad eksistē nedalāms elements p R[X] tāds, ka p cont(fg). Seko, ka p dala katru fg koeficientu. Pieņemsim, ka k ir mazākais indekss, kuram p a k, un l ir mazākais indekss, kuram p b l. Tādi indeksi eksistē, jo pretējā gadījumā visi f un g koeficieni dalītos ar p, un tie nebūtu primitīvi polinomi. Apskatīsim koeficientu pie X k+l reizinājumam fg, tas ir vienāds 8
9 ar k+l a i b k+l i = (a 0 b k+l a k 1 b l+1 ) +a k b l +(a k+1 b l a k+l b 0 ). }{{}}{{} i=0 }{{} dalās ar p dalās ar p dalās ar p 9 Redzam, ka p a k b l. Tā ir pretruna, jo seko, ka p a k vai p b l.
10 1.3. Lineārie polinomi un saknes Bezout teorēma Pieņemsim, ka ir doti gredzeni R S. Teiksim, ka elements a S ir nekonstanta polinoma f R[X] sakne, ja f(a) = S 0. Polinoma f sakņu kopu apzīmēsim, ar V(f) teorēma. Ja R ir integrāls gredzens, tad visiem f, g R[X] izpildās V(fg) = V(f) V(g) PIERĀDĪJUMS V(f) V(g) V(fg).
11 Ja f(a) = 0 vai g(a) = 0, tad f(a)g(a) = 0. V(fg) V(f) V(g). Ja f(a)g(a) = 0, tad f(a) = 0 vai g(a) = 0, jo R ir integrāls gredzens. 11
12 1.5. teorēma. (Bezout) a R ir polinoma f(x) R[X] sakne tad un tikai tad, ja (X a) f(x). PIERĀDĪJUMS Izdalīsim f(x) ar X a: f(x) = q(x)(x a) + r(x), kur deg(r(x)) < deg(x a) = 1. Redzam, ka deg(r(x)) = 0 vai r(x) = 0, tāpēc r(x) = r 0 - konstants polinoms. Atradīsim r 0. Ja X = a, tad tātad r 0 = f(a) un f(a) = q(a)(a a) + r 0, f(x) = q(x)(x a) + f(a). Redzam, ka f(a) = 0 tad un tikai tad, ja f(x) = q(x)(x a) jeb (X a) f(x) piezīme. No Bezout teorēmas seko, ka kvadrātisks vai kubisks polinoms f ir nedalāms tad un tikai tad, ja f nav sakņu. 12
13 Teiksim, ka elements a R ir nekonstanta polinoma f R[X] k-kārtīga sakne, ja Citiem vārdiem sakot (X a) k f(x) un (X a) k+1 f(x). f(x) = (X a) k g(x), kur LKD(g(X), (X a)) = teorēma. Ja gredzena R dažādi elementi a 1,..., a m ir polinoma f(x) R[X] saknes ar kārtām k 1,..., k m, tad f(x) = (X a 1 ) k1...(x a m ) km g(x), kur g(a i ) 0 visiem 1 i m. PIERĀDĪJUMS Izmantosim matemātisko indukciju pēc m. Indukcijas bāze. Ja m = 1, tad apgalvojums seko no vairākkārtīgas saknes definīcijas. Indukcijas solis.
14 Pieņemsim,ka apgalvojums ir spēkā, ja sakņu skaits ir vienāds vai mazāks kā m 1 un pierādīsim, ka tas ir spēkā, ja sakņu skaits ir vienāds ar m. Tātad f(x) = (X a 1 ) k1...(x a m 1 ) km 1 h(x). Tā kā a m a i, 1 i m 1, tad h(a m ) = 0, tādējādi f(x) = (X a 1 ) k 1...(X a m 1 ) k m 1 (X a m ) u g(x), kur g(a m ) 0. Tā kā m ir k m -kārtīga sakne, tad u = k m un viss ir pierādīts piezīme. Nekonstanta polinoma sakņu kārtu summa nevar pārsniegt polinoma pakāpi. 14
15 Polinomu interpolācija 1.3. piezīme. Ja divi polinomi f un g ar pakāpi n pieņem vienādas vērtības pēc n + 1 substitūcijas ar dažādiem elementiem a 1,..., a n+1, tad tie ir vienādi. Tiešām, ja h = f g, tad deg(h) n. Pēc pieņēmuma h(a 1 ) =... = h(a n+1 ) = 0, tātad h ir vismaz n + 1 dažāda sakne - pretruna, ja h nav vienāds ar piezīme. Polinomu ar pakāpi n var viennozīmīgi noteikt, ja ir zināmas tā vērtības n + 1 punktos teorēma. (Lagranža interpolācijas formula) Dots, ka k ir lauks. Ja ir doti n+1 dažādi k elementi a 0,..., a n un n+1 k elementi b 0,..., b n, tad eksistē viens un tikai viens polinoms f(x) k[x] tāds, ka f(a i ) = b i visiem 0 i n. Polinoms f var tikt atrasts pēc šādas formulas: n (X a 0 )...(X a i 1 )(X a i+1 )...(X a n ) f(x) = b i (a i a 0 )...(a i a i 1 )(a i a i+1 )...(a i a n ) i=0
16 16 PIERĀDĪJUMS Vienīgums. Ja eksistē divi polinomi f un g tādi, ka f(a i ) = g(a i ) = b i visiem 0 i n, tad polinomam h(x) = f(x) g(x) pakāpe nav lielāka kā n un tam ir n + 1 dažāda sakne a 0,..., a n. Seko, ka h(x) = 0. Eksistence. Jāveic formulas tieša pārbaude piemērs. Atradīsim polinomu f F 5 [X],kura pakāpe ir vienāda ar 2, un kuram izpildās nosacījumi f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3.
17 17 Saskaņā ar Lagranža interpolācijas formulu f(x) = 2 (X 2)(X 3) (1 2)(1 3) 1)(X 3) 1)(X 2) +1(X +3(X = (2 1)(2 3) (3 1)(3 2) = (X 2)(X 3) (X 1)(X 3) (X 1)(X 2) = = X 2 + 2X + 1 = 4X 2 + 2X + 1
18 1.4. Polinomu atvasināšana un tās pielietojumi faktorizācijā Pamatfakti Par polinoma f(x) = n a i X i R[X] i=0 (formālo) atvasinājumu sauksim polinomu f (X) = n a i ix i 1 R[X] i=1 18 Atvasinājumu var apzīmēt arī šādi: f (X) = (Df)(X). Var definēt arī augstāku kārtu atvasinājumus piemērs. (a 0 + a 1 X) = a 1.
19 19 (X p ) = 0 gredzenā F p [X].
20 teorēma. 1. (af + bg) = af + bg, 2. (fg) = f g + fg, 3. (f n ) = nf n 1 f. PIERĀDĪJUMS Ir zināms no matemātiskās analīzes kursa.
21 Vairākkārtīgās saknes kritērijs 1.9. teorēma. Dots, ka k, K ir lauki, k K. Polinomam f(x) k[x] elements a K ir vairākkārtīga sakne tad un tikai tad, ja f(a) = 0 un f (a) = 0. PIERĀDĪJUMS Izdalīsim f(x) ar (X a)2 : kur deg(r(x)) < 2. r(x) izdalīsim ar (X a): f(x) = q(x)(x a) 2 + r(x), r(x) = q 1 (X)(X a) + r 1, kur deg(r 1 ) < 1. Apvienojot abus rezultātus vienā vienādībā, iegūsim f(x) = q(x)(x a) 2 + q 1 (X)(X a) + r 1.
22 22 Ievērosim, ka f (X) = (q(x)(x a) 2 + q 1 (X)(X a) + r 1 ) = = q (X)(X a) 2 + q(x) 2(X a) + q 1(X)(X a) + q 1 (X). Ja elements a K ir vairākkārtīga sakne, tad f(a) = 0 un f (a) = 0. Ja elements a K ir vairākkārtīga sakne, tad f(x) = q(x)(x a) 2, tātad q 1 (X) = 0 un r 1 = 0. Redzam, ka f(a) = 0 un f (a) = 0. Ja f(a) = 0 un f (a) = 0, tad elements a K ir vairākkārtīga sakne.
23 Ja f(a) = 0 un f (a) = 0, tad q 1 (a) = 0 un r 1 = 0. Tātad (X a) q 1 (X) un f(x) = q 2 (X)(X a) 2 un a ir vairākkārtīga sakne. 23
24 Polinoma kvadrātbrīvās faktorizācijas atrašana Teiksim, ka laukam k harakteristika (raksturojums) ir vienāda ar pozitīvu pirmskaitli χ, ja χ 1 = 0. Ja nekādam naturālam skaitlim N neizpildās N 1 = 0, teiksim, ka lauka harakteristika ir vienāda ar 0. Lauka k harakteristiku apzīmē ar char(k) piemērs. Q, R, C - lauki ar harakteristiku 0. F q - lauks ar harakteristiku q. Šajā sadaļā pētīsim polinomus virs laukiem k ar harakteristiku 0. Ja p k[x] ir nedalāms polinoms, kuram izpildās p k f, p k+1 f, tad p sauksim par f k-kārtīgu nedalāmu dalītāju (faktoru).
25 PIERĀDĪJUMS Ir dots, ka f = p k g, Redzam, ka katru polinomu f var viennozīmīgi, ar precizitāti līdz kārtībai un invertējamiem reizinātajiem, izteikt formā f = p k pkm m teorēma. Ja p ir k-kārtīgs nedalāms dalītājs polinomam f k[x], tad tas ir k 1-kārtīgs dalītājs polinomam f. kur LKD(p, g) = 1. Redzam, ka f = kp k 1 p g + p k g = p k 1 (kp g + pg ).
26 26 Redzam, ka p k 1 f. Jāpierāda, ka p (kp g + pg ). Ja p (kp g + pg ), tad p kp g. Bet p g, jo LKD(p, g) = 1 un p p, jo deg(p) > deg(p ). No tā, ka k[x] ir VFG seko, ka p (kp g + pg ).
27 teorēma. (Kvadrātbrīvās faktorizācijas formula) Ja tad f = p k1 1...pk m m, f LKD(f, f ) = p 1...p m. PIERĀDĪJUMS no iepriekšējās teorēmas zinām, ka kur p i h. Seko, ka f = p k p k m 1 m h, LKD(f, f ) = p k p k m 1 m. Izdalot f ar LKD(f, f ), iegūsim vēlamo formulu.
28 piemērs. Atradīsim polinoma faktorizāciju. f(x) = X 5 X 4 2X 3 + 2X 2 + X 1 Q[X] Atrodam f (X) = 5X 4 4X 3 6X 2 + 4X + 1. Atrodam LKD(f, f ) = X 3 X 2 X + 1. Atrodam f LKD(f, f ) = X2 1 = (X 1)(X + 1). Dalot f vairākas reizes ar X 1 un X + 1, iegūsim faktorizāciju f(x) = (X 1) 3 (X + 1) 2.
29 2. 3.mājasdarbs Obligātie uzdevumi 3.1 Sadaliet doto polinomu nedalāmos reizinātājos virs dotā lauka: (a) f(x) = X , virs Q, virs R, (b) f(x) = X 5 X, virs F Atrodiet visus nedalāmos polinomus (a) ar pakāpi 4 virs F 2, (b) ar pakāpi 3 virs F 3, (c) ar pakāpi 2 virs F Pierādiet, ka polinomam f(x) = X n + a n 1 X n a 0 F 2 [X] eksistē lineārs dalītājs tad un tikai tad, ja n 1 a 0 = 0 vai a i = 0. i=0
30 Nosakiet saknes a kārtu dotajā polinomā f: (a) f(x) = X 4 X 3 X + 1, a = 1, virs Q, (b) f(x) = X 3 + X + 1, a = 1, virs F 3, 3.5 Atrodiet polinomu f(x) F 3 [X] ar šādu definējošo īpašību: f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 2.
31 2.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 3.6 Izpētiet, kādos gadījumos polinoms f F p [X] atbilst injektīvai funkcijai F p F p, un kādos - neinjektīvai. Kāda ir saistība starp funkcijas grafa struktūru un polinoma struktūru? 31
Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākMicrosoft Word - du_5_2005.doc
005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
SīkākLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
SīkākNevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
SīkākMicrosoft Word - du_4_2005.doc
@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
SīkākPCK34_atr_kopaa
007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
SīkākStudiju programmas nosaukums
Latvijas augstāko izglītības iestāžu ieguldījums mērniecības izglītībā Latvijā Jauno jomas speciālistu sagatavošana Latvijas Lauksaimniecības specialitātē Vivita Puķīte LLU VBF Zemes pārvaldības un ģeodēzijas
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss
SīkākMicrosoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc
SIA Krāslavas nami Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā Saturs I. Ziņas par operatoru...3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošajām darbībām...4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas
SīkākPrezentacija
LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2016./2017. studiju gadam UZŅEMŠANAS KOMISIJA Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755,
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
SīkākPowerPoint Presentation
ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja Dzīvo patstāvīgi un veselīgi Apzinās sevi, savas vēlmes un intereses, Spēj dzīvot patstāvīgi, saskaņā ar savām vērtībām, Saglabā un nostiprina savas garīgās
SīkākVPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN K
VPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz 216. gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU INDEKSS... 1 VEIKTO PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU
SīkākPowerPoint Presentation
Akadēmiskā personāla darba samaksa Vidzemes Augstskolā Gatis Krūmiņš Vidzemes Augstskolas rektors Iveta Putniņa Vidzemes Augstskolas administratīvā prorektore Vispārējie principi Docēšana Pētniecība Administratīvais
SīkākPowerPoint Presentation
Ultraplatjoslas (UWB) radaru sensoru signālu apstrāde objektu izsekošanai VPP SOPHIS GUDPILS UWB sensoru (radaru) grupa Rolands Šāvelis Pētnieks Elektronikas un datorzinātņu institūts 1 UWB sensoru signālu
Sīkākro40_atr
Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
SīkākFizikas valsts 64. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 11. klasei 11 1: Paātrinājums 1. (3 punkti) Lācis izdomāja nopirkt automašīnu, taču pirms pirkšanas n
Fizikas valsts 64. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 11. klasei 11 1: Paātrinājums 1. (3 punkti) Lācis izdomāja nopirkt automašīnu, taču pirms pirkšanas nolēma izpētīt, cik ātri varēs sasniegt ar to ātrumu
SīkākPowerPoint Presentation
Darbības programmas Izaugsme un nodarbinātība PROJEKTA SAM 8.2.1. ĪSTENOŠANA DAUGAVPILS UNIVERSITĀTĒ Starpdisciplinārais seminārs Daugavpils Universitātē, 06.11.2018. Eiropas Sociālā fonda projekta Daugavpils
SīkākMicrosoft Word - Kartiba_Cemex_ RTUAF-341.doc
Nodibinājums «Rīgas Tehniskās universitātes Attīstības fonds», Reģ. Nr. 40008067097, Kaļķu iela 1, Rīga, LV-1658, Latvija Tālr. 67089429, e-pasts: fonds@rtu.lv, www.fonds.rtu.lv Kārtība SIA CEMEX praktisko
SīkākLaboratorijas darbi mehānikā
Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne
SīkākLATVIJAS UNIVERSITĀTE
Ar grozījumiem, kas izdarīti līdz 25.06.2019. 1. pielikums Grozījumi: LU 03.01.2019. rīkojums Nr. 1/2 APSTIPRINĀTS LU 13.03.2019. rīkojums Nr. 1/95 ar LU 26.10.2018. LU 28.05.2019. rīkojums Nr. 1/211 LU
SīkākPowerPoint Presentation
Rīgas Tehniskās universitātes Ģeomātikas katedra LU 77. SZK sekcija «Ģeodinamika un ģeokosmiskie pētījumi 2019» Jānis Kaminskis, Mārtiņš Reiniks, Anete Kiopa 22.03.2019. 1 Atrašanās vieta 2 56 56'39.3"N
SīkākLatvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji
Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta 2015. gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznājiem Latvijā nekad nenoriet? (1 p) Kasiopeja Ērglis Vēršu
SīkākSocial Activities and Practices Institute 1 Victor Grigorovich Street, Sofia 1606, Bulgaria Phone: Kas ir
Kas ir interaktīvās studijas? Iztrādāja: Nelija Petrova-Dimitrova Uzdevums 1 Interaktīvās studijas ir mijiedarbība, nevis iedarbība! Uzdevums 2 Interaktīvo studiju pamatā ir grupas dinamika! Grupa ir apmācību
SīkākPowerPoint Presentation
Vērtības cilvēka dzīvē. Pētniecība. Praktiskais pielietojums profesionālajā darbībā. Sintija Vaska Bc.psych. Pētnieciskās intereses Petroviča, S. (2016). Vērtību saistība ar izdegšanu palīdzošo profesiju
Sīkāk> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši
> > < < > < < 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši vienu reizi ieraksti kādu naturālu skaitli no 1 līdz 5 tā, lai atzīmētās nevienādības būtu patiesas!
SīkākEIROPAS KOMISIJA Briselē, COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 PIELIKUMI dokumentam Priekšlikums Eiropas Parlamenta un Padomes regulai, ar ko
EIROPAS KOMISIJA Briselē, 17.5.2018 COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 PIELIKUMI dokumentam Priekšlikums Eiropas Parlamenta un Padomes regulai, ar ko nosaka CO2 emisijas standartus jauniem lielas noslodzes
SīkākInformācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs
Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs Mūsdienu tendence! Dažādas dzīves sfēras = mācību priekšmeti Arvien nozīmīgāka ir informācijas un komunikāciju tehnoloģiju pielietošanas
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 10. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās
Sīkākv, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace
v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi
SīkākMicrosoft Word - Abele
LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru
SīkākBiznesa plāna novērtējums
[uzņēmuma nosaukums] biznesa plāns laika posmam no [gads] līdz [gads]. Ievads I. Biznesa plāna satura rādītājs II. Biznesa plāna īss kopsavilkums Esošais stāvoklis III. Vispārēja informācija par uzņēmumu
SīkākLatvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br
5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,
SīkākKrājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a
Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.
SīkākSV_Mehanika_parskats_2014_2015
Latvijas Lauksaimniecības universitāte STUDIJU VIRZIENA Mehānika un metālapstrāde, siltumenerģētika, siltumtehnika un mašīnzinības PĀRSKATS par 2014./2015. studiju gadu Apstiprināts Senātā 09.12.2015.
SīkākSērijas apraksts: Wilo-Yonos PICO Līdzīgs attēlā redzamajam piemēram Modelis Aprīkojums / funkcija Slapjā rotora cirkulācijas sūknis ar skrūvsavienoju
Sērijas apraksts: Wilo-Yonos PICO Līdzīgs attēlā redzamajam piemēram Modelis Aprīkojums / funkcija Slapjā rotora cirkulācijas sūknis ar skrūvsavienojumu, bloķējošās strāvas pārbaudes EC motors un integrēta
SīkākMicrosoft Word - Latv_Gaze_SEG atskaite 2007.doc
2.pielikums Ministru kabineta 2004.gada 7.septembra noteikumiem Nr.778 Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā I. Ziņas par operatoru 1. Operators: 1.1. nosaukums vai vārds un uzvārds Akciju
SīkākDārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē
Dārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē, zaķīt! Māmiņas puķes nevar ēst! Zaķis lēkā mūsu dārzā.
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2016
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2016 Rektors APSTIPRINU Daugavpils Universitātes A.Barševskis 2015.gada 15.decembrī Daugavpilī shēma Indeksi Struktūrvienība 1 Satversmes sapulce 2 Senāts 3
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts
SīkākAPSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR
APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā
SīkākLATVIJAS REPUBLIKA ALŪKSNES NOVADA PAŠVALDĪBA Nodokļu maksātāja reģistrācijas kods DĀRZA IELĀ 11, ALŪKSNĒ, ALŪKSNES NOVADĀ, LV 4301, TĀLRU
LATVIJAS REPUBLIKA ALŪKSNES NOVADA PAŠVALDĪBA Nodokļu maksātāja reģistrācijas kods 90000018622 DĀRZA IELĀ 11, ALŪKSNĒ, ALŪKSNES NOVADĀ, LV 4301, TĀLRUNIS 64381496, FAKSS 64381150, E-PASTS: dome@aluksne.lv
SīkākStudiju programmas raksturojums
Studiju programmas raksturojums Doktora studiju programma Politikas zinātne studiju programmas nosaukums 2015./2016. akadēmiskais gads 1. Studiju programmas nosaukums, iegūstamais grāds, profesionālā kvalifikācija
SīkākPowerPoint Presentation
Konference Starpdisciplinaritāte, radošums un uzņēmība mūsdienu izglītības aktualitātes, 2014. gada 29. oktobris ESF projekts Atbalsts izglītības pētījumiem 2011/0011/1DP/1.2.2.3.2/11/IPIA/VIAA/001 Pētījums
SīkākLieta Nr
ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A420687310 143/AA43-0685-13/8 Rīgā 2013.gada 21.maijā Administratīvā apgabaltiesa šādā sastāvā: tiesnese referente I.Kaļiņina, tiesnese
SīkākLĪGUMS
Id. nr. CSDD 2014/84 Nolikuma 3.pielikums Iepirkuma Informatīvā tālruņa apkalpošanas pakalpojuma nodrošināšana nolikumam, Id. Nr. CSDD 2014/84 LĪGUMS par informatīvā tālruņa apkalpošanu VAS Ceļu satiksmes
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017 Rektors APSTIPRINU Daugavpils Universitātes A.Barševskis 2016.gada 19.decembrī Daugavpilī shēma Indeksi Struktūrvienība 1 Satversmes sapulce 2 Senāts 3
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
SīkākGAISA TEMPERATŪRAS ĢEOGRĀFISKAIS SADALĪJUMS LATVIJĀ PIE ATŠĶIRĪGIEM GAISA MASU TIPIEM
Klimata pārmaiņu raksturs Latvijas klimata mainība A.Briede, M.Kļaviņš, LU ĢZZF Globālās klimata izmaiņas- novērojumi un paredzējumi ES mājas Sarunu istaba, 2012.gada 16.maijā Gaisa temperatūras raksturs
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
SīkākA.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS
DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,
Sīkāk55repol_atr
9 Pieskitot pierādāmās vienādīs L()+L()+L(3)=L(4) ām pusēm L(5)+L(6)+L(), iegūstm ekvivlentu vienādīu L()+L()=L(NM), ks cīmredzmi izriet no trijstūr un prlelogrm lukumu formulām L = h un L=h 9 ) =7, =7
SīkākPowerPoint Presentation
Šeit top veiksmīgas karjeras Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2019./2020. studiju gadam Uzņemšanas komisija Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755, e-pasts: ukom@llu.lv
SīkākMicrosoft Word - Dokument1
Page 1 Izdrukas identifikators: XXXXXXXXXLappuse 1 no 9 VALSTS TIESAS REĢISTRA CENTRĀLĀ INFORMĀCIJAS NODAĻA VALSTS TIESAS REĢISTRS Statuss uz XXXXX. gada XXXX. XXXX plkst. XXXXXXX Valsts Tiesas Reģistra
SīkākR ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis
R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā
SīkākMicrosoft Word - SEG_ atskaite_Bolderaja_2008.doc
SIA Bolderaja Ltd Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2008.gadā. Saturs I. Ziņas par operatoru.. 3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošām darbībām. 4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas procesiem
SīkākMicrosoft Word - IeskaisuGrafiks_10b.doc
Priekšmets - angļu valoda Klase 10.a,b Mācību gads 2008/09. Skolotājs - Gesja Živa Nr. tēma saturs 1. Unit 1. Dwellings, household chores, the Present Tenses, phrasal verbs. 2. Unit 2. Life events, the
SīkākPowerPoint Presentation
Ekspeditora un pārvadātāja atbildības problēmjautājumi 02.06.2016 Līga Fjodorova, COBALT zvērināta advokāte Biežākie strīdus iemesli 1. Vai atbild kā ekspeditors vai kā pārvadātājs 2. Vai pārvadātājs rīkojies
SīkākOGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v
OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr.4313900189, Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr.65035929, fakss 65022206, e-pasts: ogres1vsk@ogresnovads.lv, www.ogres1v.lv Iekšējie noteikumi
SīkākA9R1q9nsan_v63m4l_2ow.tmp
Studiju programmas raksturojums 2015./2016. a 1. uzdevumi. Programm Studiju programmas. 1. Sagatavot. 2. N. 3. N 1 2. 4. V. 5., balstoties noteikt izm Studiju programmas uzdevumi. 1.. 2. V ir. 3. Nodro.
SīkākAPSTIPRINĀTS
Preiļu novada dome Preiļu 1. pamatskola Reģ. Nr. 4212900356 Daugavpils ielā 34, Preiļu novadā, LV-5301, Tālruņi: 65322749, 65322084, e-pasts: preilu1psk@pvg.edu.lv APSTIPRINĀTS ar Preiļu 1.pamatskolas
SīkākAPSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr
APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 4 2012. gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr. 8 2019. gada 21. janvārī Noteikumi par studiju kursu akadēmisko
SīkākPM_Izglītības _prasības_v.1.1
Valsts atbalsta programma dzīvojamās telpas iegādei vai būvniecībai PALĪGMATERIĀLS PAR IZGLĪTĪBU PAMATOJOŠAJIEM DOKUMENTIEM MĀJOKĻU GARANTIJU PROGRAMMĀ Mājokļu garantijas VAR piešķirt personām, kuras ieguvušas
SīkākSlide 1
IZM VISC Eiropas Sociālā fonda projekts Dabaszinātnes un matemātika SKOLOTĀJU STUDIJU PROGRAMMU NODARBĪBU MATERIĀLI DABASZINĀTŅU UN MATEMĀTIKAS DIDAKTIKĀ Latvijas Universitāte Liepājas Universitāte Daugavpils
SīkākAMV 655/658 SU / 658 SD / 659 SD
Datu lapa Izpildmehānismi trīs punktu vadībai bez drošības funkcijas SU, SD ar drošības funkciju (atspere uz augšu/uz leju) Apraksts Izpildmehānismus bez jebkāda adaptera var izmantot kopā ar: - Vārstu
SīkākMicrosoft Word - Vēlēšanu nolikums projekts.docx
Latvijas Universitātes Studentu padome Reģ. Nr.40008009084 Raiņa bulvāris 19-144, LV-1586, Rīga, Latvija Tālrunis 67034317, Fakss 67034316, E-pasts: lusp@lusp.lv APSTIPRINĀTS LU Studentu padomes 2006.gada
SīkākLatvijas Republika BAUSKAS NOVADA DOME BAUSKAS 2. VIDUSSKOLA Reģ. Nr , Dārza iela 9, Bauska, Bauskas nov., LV-3901 tālrunis/fakss ,
Latvijas Republika BAUSKAS NOVADA DOME BAUSKAS 2. VIDUSSKOLA Reģ. Nr. 4513901295, Dārza iela 9, Bauska, Bauskas nov., LV-3901 tālrunis/fakss 63922473, e-pasts: 2.vidusskola@bauska.lv, www.bauska.lv APSTIPRINĀTI
SīkākKŪDRAS ĪPAŠĪBU PĒTĪJUMI DAŽĀDI IETEKMĒTAJĀS LAUGAS PURVA TERITORIJĀS
KŪDRAS ĪPAŠĪBU IZMAIŅAS DABAS APSTĀKĻU UN CILVĒKA DARBĪBAS IETEKMES REZULTĀTĀ Laimdota KALNIŅA 1,5, Jānis Dreimanis 1, Ilze OZOLA 2, Elīza PLATPĪRE 1,2, ReInis BITENIEKS 1, Inārs DREIMANIS 3, Ingrīda KRĪGERE
SīkākROKASGRĀMATA. SATIKSMES INTENSITĀTES UZSKAITES SISTĒMA Rīgā, gads
ROKASGRĀMATA. SATIKSMES INTENSITĀTES UZSKAITES SISTĒMA Rīgā, 2018. gads Rokasgrāmata par satiksmes intensitātes uzskaites sistēmu. Rokas grāmatas izstrādi veica SIA,,PROJEKTS EAE Rokasgrāmatu izstrādāja:
SīkākMicrosoft Word - JAL_vid_new_1-4.doc
Labdien, jaunieši! Vai vēl atceraties, ko mācījāties 8.klasē? Kā sauca priekšmetu par sabiedrību un attiecībām tajā? Pirms sāc apgūt vidusskolas kursu, atrisini šo krustvārdu mīklu! 1. Problēma ekonomikā,
SīkākKas mums izdodas un ko darīsim tālāk?
Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis
Sīkāk