Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
|
|
- Andris Vītols
- pirms 4 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju gads
2 Saturs 2 1. Polinomu dalīšana ar atlikumu Redukcija Teorēma par polinomu dalīšanu Hornera shēma (metode) LKD un MKD polinomu gredzenos Kopīgie dalītāji un daudzkārtņi vispārīgos gredzenos Dalītāji Daudzkārtņi Eiklīda algoritms polinomu gredzenos virs laukiem Algoritms Eiklīda algoritma saistība ar LKD Secinājumi no Eiklīda algoritma Eiklīda algoritma pielietojums - polinomiālu vienādojumu sistēmu risināšana ar vienu nezināmo Polinomiālas vienādojumu sistēmas PVS seku vienādojumi
3 PVS seku vienādojumu iegūšanas metode PVS risināšanas metode mājasdarbs Obligātie uzdevumi Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 27 Lekcijas mērķis - LKD, MKD, Eiklīda algoritma jēdzienus polinomu gredzenu gadījumā. Lekcijas kopsavilkums: polinomiem var definēt dalīšanu ar atlikumu. polinomu gredzenos virs lauka var izmantot Eiklīda algoritmu. Svarīgākie jēdzieni: redukcija ar polinomu, polinomu dalījums un dalīšanas atlikums, LKD un MKD patvaļīgos gredzenos. Svarīgākie fakti un metodes: redukcija samazina reducējamā polinoma pakāpi, polinomu dalīšana ar atlikumu, nedalāmo ele- 3
4 mentu īpašības, GFG piemēri, Eiklīda algoritms polinomu gredzenos, secinājumi no Eiklīda algoritma. 4
5 1. Polinomu dalīšana ar atlikumu Redukcija R ir IG, f, g R[X], deg(f) deg(g) un g vecākais koeficients ir invertējams. Definēsim operāciju polinomu kopā - f redukciju ar g: ( H(f) ) (f, g) R g (f) = f g. H(g) 1.1. piemērs. R X+1 (X 2 + 1) = (X 2 + 1) X(X + 1) = X + 1. ( ) 1.1. teorēma. deg R g (f) < deg(f). PIERĀDĪJUMS { H(f) = an X n H(g) = b m X m, n m H(f) = H(g) = a n X n m. b m
6 6 ( H(R g (f)) = H f H(f) ) H(g) g ( H f a n X n m (b m X m +...) b m = H (f a nx n ) b m X m g = ) = H(a n X n +... a }{{} n X n...). =f Redzam, ka locekļi ar X n saīsinās, tāpēc apgalvojums ir spēkā Teorēma par polinomu dalīšanu 1.2. teorēma. (viena argumenta polinomu dalīšana ar atlikumu) R ir IG, f, g R[X] un g vecākais koeficients ir invertējams. Tad eksistē tieši viens polinomu pāris d, r R[X]: 1. f = dg + r, 2. deg(r) < deg(g).
7 7 PIERĀDĪJUMS d un r eksistence Veiksim pēctecīgi redukcijas R g sākot ar f, tik ilgi, kamēr redukcija ir definēta. Iegūsim polinomu virkni f R g (f) R 2 g(f)... R l g(f), kur deg R l g(f) < deg g. Ir spēkā polinomiālu vienādību sistēma R g (f) = f d 1 g R 2 g(f) = R g (f) d 2 g... R l g(f) = R l 1 g (f) d l g. Saskaitot vienādību kreisās un labās puses, iegūsim l l 1 l R i g(f) = f + R i g(f) d i g = i=1 i=1 i=1
8 8 d un r vienīgums R l g(f) = f g }{{} =r l i=1 d i }{{} =q = f = dg + r, kur deg r < deg g. Pieņemsim, ka eksistē divi polinomu pāri (d, r), (d, r ): f = dg + r = d g + r = (d d )g = r r. ( ) Zinām, ka deg(r r) max deg r, deg( r) < deg(g). ( ) deg (d d )g deg(d d ) = = = deg(d d ) + deg(g) < deg(g) = { d = d, r = r.
9 piemērs. f = X 5 + X 2 + 1, g = X 2 + X + 1 virs Z. ( H(f) ) R g (f) = f g = f X 3 g = X 4 X 3 + X 2 + 1; H(g) R 2 g(f) = R g (f 1 ) = f 1 ( X 2 ) g = 2X 2 + 1; R 3 g(f) = R g (f 2 ) = f 2 2 g = 2X 1. ( ) R 4 g(f) nav definēts, jo deg R 3 g(f) < deg(g). Rezultātā iegūsim f = (X 3 X 2 + 2)g + ( 2X 1). Vēlams izmantot dalīšanu ar stūrīti. Izdalot šos pašus polinomus virs F 2 iegūsim X 5 + X = (X 3 + X 2 )(X 2 + X + 1) + 1.
10 1.3. Hornera shēma (metode) Dots polinoms f R[X], f = a n X n + a n 1 X n a 0. Redzam, ka f = a 0 + X(a 1 + X(a 2 + X(...(a n 1 + Xa n )...))) Izmantojot polinomu dalīšanu, var redzēt, ka f var iegūt kā polinomu p n, kur polinomu virkne {p i }, 0 i n, tiek iegūta pēc šāda algoritma (Hornera shēma): p 0 = a n, p i = a n i + Xp i piemērs. f = X 3 2X 2 + 4X 3. p 0 = 1, p 1 = 2 + X, p 2 = 4 + X( 2 + X) = X 2 2X + 4, p 3 = f = 3 + X(X 2 2X + 4) = X 3 2X 2 + 4X 3. 10
11 2. LKD un MKD polinomu gredzenos Kopīgie dalītāji un daudzkārtņi vispārīgos gredzenos Dalītāji a R sauc par {b 1,..., b m } R kopīgu dalītāju, ja i : {b 1,..., b n } dalītāju kopu apzīmē ar D(b 1,..., b n ). a b i. Īpatnība patvaļīgos gredzenos: argumentu reizināšana ar invertējamiem elementiem nemaina kopīgo dalītāju kopu piemērs. R = R[X], D(X, X 2 ) = {cx c R\{0}} = D(aX, X 2 ) teorēma. R - IG. Tad D(b 1, b 2 ) = D(ub 1, b 2 ), u U(R).
12 12 PIERĀDĪJUMS x b 1 x ub = 1 x b 2 x b 2 { x ub 1 ub1 = qx = = x b 2 x b 2 { b1 = u 1 qx x b = 1 x b 2 x b 2 Par kopas {b 1,..., b m } lielāko kopīgo dalītāju (LKD) sauksim to kopīgo dalītāju, kurš dalās ar jebkuru šīs kopas kopīgo dalītāju. Citiem vārdiem sakot, d D(b 1,..., b n ) ir LKD, ja d D(b 1,..., b n ) = d d piezīme. LKD ir noteikts ar precizitāti līdz asociācijai (argumentiem b i un rezultātam): d = LKD(a, b) = ud = LKD(a, b), kur u U(R).
13 Var izmainīt LKD definīciju tā, lai tas būtu viennozīmīgi noteikts. Piemēram, polinomu gredzenu gadījumā var pieprasīt, lai vecākais koeficients būtu vienāds ar piemērs. Z[X], LKD(2X + 2, X 2 1) X teorēma. R - IG. 1. b R : LKD(b, 0) b. 2. a, b R : a b = D(a, b) = D(a) un LKD(a, b) a. 3. a, b, k R : D(a, b) = D(a kb, b) un LKD(a, b) LKD(a kb, b). PIERĀDĪJUMS Tāds pats kā Z gadījumā. 13
14 Daudzkārtņi c R sauc par {b 1,..., b m } R kopīgu daudzkārtni, ja i izpildās b i c. b1,..., b n daudzkārtņu kopu apzīmē ar M(b 1,..., b n ). Par kopas {b 1,..., b m } mazāko kopīgo daudzkārtni (MKD) sauc to kopīgo daudzkārtni, kurš dala jebkuru šīs kopas kopīgo daudzkārtni. Citiem vārdiem sakot, c ir mazākais kopīgais daudzkārtnis, ja c M(b 1,..., b n ) = c c piezīme. M KD ir noteikts ar precizitāti līdz asociācijai: c = MKD(a, b) uc = MKD(a, b), kur u U(R) piemērs. Z[X], MKD(2X + 2, X 2 1) 2(X 2 1).
15 2.2. Eiklīda algoritms polinomu gredzenos virs laukiem Algoritms k - lauks, f, g k[x]. Rīkojamies tāpat kā Z gadījumā: sākam ar polinomu pāri [ (f, g) ] kā ar pirmo pāri (f, g) = (f 0, g 0 ), f izmantojam matricas -, g veicam šādus soļus: ja ir iegūts pāris (f i, g i ), deg f i < deg g i, tad izdalam g i ar f i : iegūstam vienādību g i = d i f i + r i, aizvietojam pāri (f i, g i ) ar (f i, g i d i f i ) = [ (f i, ] r i ), kur [ deg ] r i < deg f i, fi fi matricu terminos - veicam REP3, atkārtojam aizvietošanu tik ilgi, kamēr atlikums nav 0. Dalīšana vienmēr ir iespējama, jo koeficienti ir invertējami. Iegūsim g i r i 15
16 dalīšanas atlikumu (polinomu) virkni r 1, r 2,..., r n 1, 0 ar īpašību deg(r 1 ) > deg(r 2 ) >... > deg(r n 1 ). Virkne, kuras elementi ir deg(r), kad r mainās algoritma izpildes gaitā, ir stingri dilstoša virkne, tāpēc šī algoritma realizācijā soļu skaits ir galīgs piezīme. r vietā var ievietot jebkuru elementu ur, kur u U(k[X]) piemērs. R = Q[X]. f = X 3 5X + 2, g = X 2 X f = (X + 1)g + ( 2X + 4), (f, g) ( 2X + 4, g) vai (f, g) (X 2, g), 2. g = ( 1 2 X 1 2 )( 2X + 4) + 0, (g, 2X + 4) ( 2x + 4, 0) 16
17 Eiklīda algoritma saistība ar LKD 2.3. teorēma. k - lauks. Pieņemsim, ka tiek realizēts Eiklīda algoritms gredzenā k[x] ar sākuma datiem (f, g), g f, tiek veikti n soļi, pēdējais nenulles atlikums ir r n D(f, g) = D(r n 1 ). 2. LKD(f, g) r n 1. PIERĀDĪJUMS Tāds, pats kā Z gadījumā piemērs. Q[X]. f = X 3 5X + 2, g = X 2 X 2. Redzam, ka LKD(f, g) 2X + 4 X 2.
18 Secinājumi no Eiklīda algoritma 2.4. teorēma. k - lauks. 1. {f, g} k[x] LKD(f, g). 2. {f, g} k[x] {u, v} k[x] : LKD(f, g) = uf + vg. (LKD(f, g) ir f un g k[x]-lineāra kombinācija) 3. {f 1,..., f n } k[x] {u 1,..., u n } k[x] : n LKD(f 1,..., f n ) = u i f i. 4. { a bc LKD(a, b) 1 = a c. i=1 5. {a, b} k[x] MKD(a, b) : MKD(a, b) ab LKD(a, b).
19 PIERĀDĪJUMS 1. Seko no Eiklīda algoritma. 2. Pierādījums līdzīgs Z gadījumam: jāapskata visas Eiklīda algoritma dalīšanas un jāizsaka LKD kā sākotnējo elementu lineāra kombinācija. Algoritms līdzīgs Z Blankinšipa algoritmam. 3. Izmantot indukciju ar parametru n. Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess visām kopām, kurās ir ne vairāk kā n 1 elementi. Pierādīsim, ka tad tas ir patiess kopai {a 1,..., a n }. LKD(f 1,..., f n 1, f n ) = LKD(LKD(f 1,..., f n 1 ), f n ) = }{{} =b wb + u n f n = w n 1 v i f i + u n f n = n 1 (wv i )f i + u n f n. 4. i=1 { bc = qa 1 = xa + yb i=1 = c = cxa + cyb = 19
20 = acx + y bc }{{} qa = a(cx + yq) = a c. 5. Pierādījums līdzīgs Z gadījumam piezīme. Ja ir doti vairāki polinomi, tad to LKD var atrast pēctecīgi. Piemēram, ja ir doti 3 polinomi f 1 (X), f 2 (X), f 3 (X), tad no sākuma atrod d 12 (X) = LKD(f 1 (X), f 2 (X)), pēc tam LKD(d 12, f 3 ) = LKD(f 1 (X), f 2 (X), f 3 (X)).
21 2.3. Eiklīda algoritma pielietojums - polinomiālu vienādojumu sistēmu risināšana ar vienu nezināmo Polinomiālas vienādojumu sistēmas Vienādojumu sistēmu f 1 (X) = 0... f n (X) = 0, f i R[X], sauc par polinomiālu vienādojumu sistēmu (PVS) ar vienu nezināmo PVS seku vienādojumi R - gredzens. Dota PVS P f 1 (X) = 0... f n (X) = 0, f i R[X].
22 Vienādojumu g(x) = 0 sauc par P seku vienādojumu, ja P atrisinājums t apmierina vienādojumu g(t) = 0 : f 1 (X) = 0... f n (X) = 0 = g(x) = piemērs. Vienkārša seku vienādojumu konstrukcija - kāpināšana naturālā pakāpē: f(x) = 0 = f n (X) = teorēma. Ir dota PVS P un tās seku vienādojums g(x) = 0. Tad { { P P g(x) = 0 22 PIERĀDĪJUMS Ja t apmierina PVS P, tad t apmierina arī papildināto PVS { P g(x) = 0 Ja t apmierina papildināto PVS, pēc seku vienādojuma definīcijas. { P g(x) = 0, tad t apmierina arī
23 23 PVS P, kas satur mazāk vienādojumu PVS seku vienādojumu iegūšanas metode 2.6. teorēma. R - gredzens. Ja ir dota PVS f 1 (X) = 0..., f i R[X], f n (X) = 0 tad jebkuru divu polinomu f i, f j dalīšanas atlikums definē seku vienādojumu. PIERĀDĪJUMS Pieņemsim, ka f i (X) = d(x)f j (X) + r(x). Pieņemsim, ka t ir PVS atrisinājums. Tad { fi (t) = 0 = f f j (t) = 0 i (t) = d(t)f j (t) + r(t) = r(t) = 0.
24 PVS risināšanas metode Veicot redukcijas, agri vai vēlu iegūsim LKD teorēma. k - lauks. Dota PVS ( Apzīmēsim LKD f 1 (X) = 0... f n (X) = 0, f i k[x]. ) f 1 (X), f 2 (X),..., f n (X) ar D(X). Tad f 1 (X) = 0... f n (X) = 0 { D(X) = 0. PIERĀDĪJUMS Seku vienādojumu pievienošanas rezultātā tiek iegūta ekvivalenta sistēma. Sākotnējās PVS atrisinājumi apmierina visus seku vienādojumus.
25 25 Viens no seku vienādojumiem ir vienādojums ( ) LKD f 1 (X),..., f n (X) = D(X) = 0, tātad f 1 (X) = 0... f n (X) = 0 i D(X) f i (X) = = { D(X) = 0. { D(X) = 0 = f 1 (X) = 0... f n (X) = 0 PVS risināšanas metode: atrast PVS polinomu LKD D(X), atrisināt vienādojumu D(X) = 0.
26 3. 2.mājasdarbs Obligātie uzdevumi 2.1 Izdalīt polinomus: a) X 4 + X + 1 ar X + 1 virs Z, b) 2X 4 3X 3 + 5X 2 1 ar X 2 3 virs R, c) X 6 + X 4 + X 3 + X 2 + X ar X 4 + X + 1 virs F 2, d) X n + X n 1 + X ar X virs F 2, katram n Atrast LKD(f, g) un izteikt to lineāras kombinācijas veidā, atrast MKD(f, g). (a) f = X 3 X 2 3X + 3, g = X 2 1, virs Q[X], (b) f = X 4 + X 2 + 1, g = X 3 + 1, virs F 2 [X], (c) f = X 3 + X + 1, g = X 3 + 2, virs F 3 [X]. 2.3 Dotajiem polinomiem f, g Q[X] atrast tādus polinomus a un b, lai izpildītos vienādība a(x)f(x) + b(x)g(x) = 1: (a) f(x) = X 3, g(x) = (1 X) 3, (b) f(x) = X 2, g(x) = (1 X) 4.
27 Atrisināt { PVS. X (a) 3 2X 2 3X + 1 = 0 X 4 + X 2, virs Q. 2X 1 = 0 X 4 X 3 X 2 + 7X 6 = 0 (b) X 4 + 2X 3 + X 2 4 = 0, virs Q. X 5 + 2X 4 X 2 = Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 2.5 Visiem naturāliem n un m polinomiem f(x) = X n un g(x) = (1 X) m virs Q[X] atrast tādus polinomus a un b, lai izpildītos vienādība a(x)f(x) + b(x)g(x) = k - lauks, f, g k[x], d = LKD(f, g). Pierādīt, ka viennozīmīgi noteikti a, b k[x]: (a) d = af + bg; (b) deg a < deg g deg d, (c) deg b < deg f deg d. Izstrādāt algoritmu a un b atrašanai.
Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
SīkākMicrosoft Word - du_5_2005.doc
005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
SīkākNevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
Sīkāk1
8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena
SīkākLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
Sīkākro40_atr
Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
SīkākROKASGRĀMATA. SATIKSMES INTENSITĀTES UZSKAITES SISTĒMA Rīgā, gads
ROKASGRĀMATA. SATIKSMES INTENSITĀTES UZSKAITES SISTĒMA Rīgā, 2018. gads Rokasgrāmata par satiksmes intensitātes uzskaites sistēmu. Rokas grāmatas izstrādi veica SIA,,PROJEKTS EAE Rokasgrāmatu izstrādāja:
SīkākBiznesa plāna novērtējums
[uzņēmuma nosaukums] biznesa plāns laika posmam no [gads] līdz [gads]. Ievads I. Biznesa plāna satura rādītājs II. Biznesa plāna īss kopsavilkums Esošais stāvoklis III. Vispārēja informācija par uzņēmumu
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 10. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās
SīkākPCK34_atr_kopaa
007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem
SīkākStudiju programmas nosaukums
Latvijas augstāko izglītības iestāžu ieguldījums mērniecības izglītībā Latvijā Jauno jomas speciālistu sagatavošana Latvijas Lauksaimniecības specialitātē Vivita Puķīte LLU VBF Zemes pārvaldības un ģeodēzijas
SīkākPowerPoint Presentation
Akadēmiskā personāla darba samaksa Vidzemes Augstskolā Gatis Krūmiņš Vidzemes Augstskolas rektors Iveta Putniņa Vidzemes Augstskolas administratīvā prorektore Vispārējie principi Docēšana Pētniecība Administratīvais
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
SīkākMicrosoft Word - du_4_2005.doc
@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
SīkākPowerPoint Presentation
ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja Dzīvo patstāvīgi un veselīgi Apzinās sevi, savas vēlmes un intereses, Spēj dzīvot patstāvīgi, saskaņā ar savām vērtībām, Saglabā un nostiprina savas garīgās
SīkākKONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS
Studiju kursa nosaukums KONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS Apjoms Apjoms kredītpunktos/ ECTS) 3/ 4,5 120 (stundās) Priekšzināšanas Latvijas valsts un tiesību vēsture, Valsts un tiesību teorija Zinātņu nozare Tiesību
SīkākSocial Activities and Practices Institute 1 Victor Grigorovich Street, Sofia 1606, Bulgaria Phone: Kas ir
Kas ir interaktīvās studijas? Iztrādāja: Nelija Petrova-Dimitrova Uzdevums 1 Interaktīvās studijas ir mijiedarbība, nevis iedarbība! Uzdevums 2 Interaktīvo studiju pamatā ir grupas dinamika! Grupa ir apmācību
SīkākA.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS
DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,
SīkākKas mums izdodas un ko darīsim tālāk?
Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis
SīkākLatvijas ekonomiskās attīstības resursi: cilvēkkapitāls, sociālais kapitāls, intelektuālais kapitāls, kultūras kapitāls un radošais kapitāls. Aigars P
Latvijas ekonomiskās attīstības resursi: cilvēkkapitāls, sociālais kapitāls, intelektuālais kapitāls, kultūras kapitāls un radošais kapitāls. Aigars Plotkāns no Zosēniem Vai cilvēkkapitāls ir kapitāls?
SīkākPowerPoint Presentation
Rīgas Tehniskās universitātes Ģeomātikas katedra LU 77. SZK sekcija «Ģeodinamika un ģeokosmiskie pētījumi 2019» Jānis Kaminskis, Mārtiņš Reiniks, Anete Kiopa 22.03.2019. 1 Atrašanās vieta 2 56 56'39.3"N
SīkākSlide 1
Pētījums Augstas pretestības plāno rezistīvo slāņu pēcapstrādes procesu izzināšana Latvijas elektrisko un optisko iekārtu ražošanas nozares kompetences centrs Pārskata periods 1.6.217. 3.11.217. Pētnieciskie
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2016
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2016 Rektors APSTIPRINU Daugavpils Universitātes A.Barševskis 2015.gada 15.decembrī Daugavpilī shēma Indeksi Struktūrvienība 1 Satversmes sapulce 2 Senāts 3
SīkākLatvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br
5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,
SīkākPALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM
PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM JĀ Ņ A FO M IN A sakārtojums Krājumā «Matem ātikas formulas» sakopotas daudzas elementārās matemātikas un augstākās matemātikas formulas. Krājums galvenokārt paredzēts tiem,
SīkākPowerPoint Presentation
Ultraplatjoslas (UWB) radaru sensoru signālu apstrāde objektu izsekošanai VPP SOPHIS GUDPILS UWB sensoru (radaru) grupa Rolands Šāvelis Pētnieks Elektronikas un datorzinātņu institūts 1 UWB sensoru signālu
SīkākPowerPoint Presentation
No profesijas standarta līdz reformai 2019. gada 16. martā. 19.03.2019 1 Reforma Sieviešu dzimtes vārds Pārkārtojums, pārveidojums, saglabājot galveno no līdzšinējā Pārmaiņa, pārkārtojums kādā sabiedrības
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017 Rektors APSTIPRINU Daugavpils Universitātes A.Barševskis 2016.gada 19.decembrī Daugavpilī shēma Indeksi Struktūrvienība 1 Satversmes sapulce 2 Senāts 3
Sīkākv, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace
v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi
SīkākPrezentacija
LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2016./2017. studiju gadam UZŅEMŠANAS KOMISIJA Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755,
SīkākImants Gorbāns. E-kursa satura rādītāja izveide IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Imants Gorbāns E-kursa satura rādītāja izveide Materiāls izstrādāts ESF Darbī
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Imants Gorbāns E-kursa satura rādītāja izveide Materiāls izstrādāts ESF Darbības programmas 2007. - 2013.gadam Cilvēkresursi un nodarbinātība prioritātes 1.2. Izglītība un prasmes
SīkākSlide 1
IZM VISC Eiropas Sociālā fonda projekts Dabaszinātnes un matemātika SKOLOTĀJU STUDIJU PROGRAMMU NODARBĪBU MATERIĀLI DABASZINĀTŅU UN MATEMĀTIKAS DIDAKTIKĀ Latvijas Universitāte Liepājas Universitāte Daugavpils
SīkākInstrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem
Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai semināra modulī tiek paplašināta uzdevuma funkcionalitāte.
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts
SīkākKlientu klasifikācijas politika, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus II Mērķis Klientu klasifikācijas politikas, snied
Klientu klasifikācijas politika, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus II Mērķis Klientu klasifikācijas politikas, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus
SīkākAPSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR
APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā
SīkākKrājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a
Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.
SīkākLU 68 Fizikas sekcija DocBook
Vispārizglītojošās e-fizikas materiālu augstas kvalitātes noformējuma izstrāde, izmantojot DocBook un LaTeX tehnoloģijas Arnis Voitkāns LU 68. konferences Fizikas didaktikas sekcija 5.02.2010. Kas ir augstas
SīkākFizikas valsts 64. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 11. klasei 11 1: Paātrinājums 1. (3 punkti) Lācis izdomāja nopirkt automašīnu, taču pirms pirkšanas n
Fizikas valsts 64. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 11. klasei 11 1: Paātrinājums 1. (3 punkti) Lācis izdomāja nopirkt automašīnu, taču pirms pirkšanas nolēma izpētīt, cik ātri varēs sasniegt ar to ātrumu
SīkākMicrosoft Word - PS Edinas pakalp spec.doc
Ēdināšanas pakalpojumu speciālista profesijas standarts 1. Vispārīgie jautājumi 1. Profesijas nosaukums ēdināšanas pakalpojumu speciālists. 2. Profesijas kods 5121 26. 2. Nodarbinātības apraksts 1. Profesionālās
Sīkāk2018 Finanšu pārskats
2018 2 Neatkarīga revidenta ziņojums akcionāram Ziņojums par finanšu pārskatu revīziju Atzinums Mēs esam veikuši (Sabiedrība) finanšu pārskatu, kas ietver atsevišķu ziņojumu par finansiālo stāvokli 2018.
SīkākLATVIJAS UNIVERSITĀTE
Ar grozījumiem, kas izdarīti līdz 25.06.2019. 1. pielikums Grozījumi: LU 03.01.2019. rīkojums Nr. 1/2 APSTIPRINĀTS LU 13.03.2019. rīkojums Nr. 1/95 ar LU 26.10.2018. LU 28.05.2019. rīkojums Nr. 1/211 LU
SīkākInformācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs
Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs Mūsdienu tendence! Dažādas dzīves sfēras = mācību priekšmeti Arvien nozīmīgāka ir informācijas un komunikāciju tehnoloģiju pielietošanas
SīkākMicrosoft Word - Abele
LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru
SīkākGAISA TEMPERATŪRAS ĢEOGRĀFISKAIS SADALĪJUMS LATVIJĀ PIE ATŠĶIRĪGIEM GAISA MASU TIPIEM
Klimata pārmaiņu raksturs Latvijas klimata mainība A.Briede, M.Kļaviņš, LU ĢZZF Globālās klimata izmaiņas- novērojumi un paredzējumi ES mājas Sarunu istaba, 2012.gada 16.maijā Gaisa temperatūras raksturs
SīkākAustra Avotiņa autora vai autoru grupas vārds, uzvārds Kultūras izpausmes formas. Māksla kā kultūras forma. Ievads. darba nosaukums Materiāls izstrādā
Austra Avotiņa autora vai autoru grupas vārds, uzvārds Kultūras izpausmes formas. Māksla kā kultūras forma. Ievads. darba nosaukums Materiāls izstrādāts ESF Darbības programmas 2007. - 2013.gadam Cilvēkresursi
SīkākMicrosoft Word - Zinjojums
Valsts sabiedrība ierobežotu atbildību Traumatoloģijas un ortopēdijas slimnīca Duntes iela 22, Rīga, LV-1005 Atklāta konkursa Artroskopisko instrumentu un implantu piegāde, iepirkuma identifikācijas Nr.
SīkākPowerPoint Presentation
Vērtības cilvēka dzīvē. Pētniecība. Praktiskais pielietojums profesionālajā darbībā. Sintija Vaska Bc.psych. Pētnieciskās intereses Petroviča, S. (2016). Vērtību saistība ar izdegšanu palīdzošo profesiju
SīkākLatvijas Universitātes Studentu padome Reģ. Nr Raiņa bulvāris , LV-1586, Rīga, Latvija Tālrunis , Fakss , E-pasts: l
Latvijas Universitātes Studentu padome Reģ. Nr.40008009084 Raiņa bulvāris 19-144, LV-1586, Rīga, Latvija Tālrunis 67034317, Fakss 67034316, E-pasts: lusp@lusp.lv APSTIPRINĀTS 22.02.2010. Latvijas Universitātes
SīkākPowerPoint Presentation
Konference Starpdisciplinaritāte, radošums un uzņēmība mūsdienu izglītības aktualitātes, 2014. gada 29. oktobris ESF projekts Atbalsts izglītības pētījumiem 2011/0011/1DP/1.2.2.3.2/11/IPIA/VIAA/001 Pētījums
SīkākBŪTISKĀS PRASĪBAS INDIVIDUĀLAJIEM AIZSARDZĪBAS LĪDZEKĻIEM (turpmāk – IAL)
Reglamentētās sfēras būvizstrādājumu uzraudzība 01.01.2013.-28.04.2014. Par prasībām reglamentētās sfēras būvizstrādājumiem: Reglamentētās sfēras būvizstrādājumi - ja attiecināmi saskaņotās saskaņotie
SīkākApstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei gada 18. oktobrī,
Apstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes 2012. gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei 2018. gada 18. oktobrī, prot. Nr. 9 Dokumenta mērķis: Dokumentā aprakstīti
SīkākSlide 1
Projekta ziņojums SEG emisijas un klimata politika to ierobežošanai atkritumu saimniecības sektorā Rūta Bendere, Fizikālās enerģētikas institūts Emisijas kvotu sadales plāns 2008. 2012.gadam Latvijas Republikas
SīkākIzlases dizaina optimizācija (kopsavilkums)
LATVIJAS UNIVERSITĀTE Mārtiņš Liberts IZLASES DIZAINA OPTIMIZĀCIJA PROMOCIJAS DARBA KOPSAVILKUMS Doktora grāda iegūšanai matemātikas nozarē Apakšnozare: varbūtību teorija un matemātiskā statistika Rīga,
SīkākPowerPoint Presentation
Šeit top veiksmīgas karjeras Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2019./2020. studiju gadam Uzņemšanas komisija Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755, e-pasts: ukom@llu.lv
SīkākVPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN K
VPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz 216. gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU INDEKSS... 1 VEIKTO PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU
SīkākPārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš
Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)
SīkākAPSTIPRINĀTS
APSTIPRINĀTS ar Izglītības un zinātnes ministrijas 2003. gada 3. jūnijs rīkojumu Nr. 262 PROFESIJAS STANDARTS Reģistrācijas numurs PS 0176 Profesija Psihologa asistents Kvalifikācijas līmenis 5 Nodarbinātības
SīkākDinamiskā Blīvēšana DC
Dinamiskā Blīvēšana DC Dinamiskā Blīvēšana DC Strona główna Tehnoloģijas Dinamiskā Blīvēšana DC Dinamiskās Blīvēšanas (DC) tehnoloģiju, kas zināma arī kā dinamiskās konsolidācijas metode, izgudroja un
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
SīkākMicrosoft PowerPoint - 10 sesija kampana.ppt
Kas ir komunikāciju kampaņa? Case Study Jauns cilvēks ienāk kafejnīcā un pie galdiņa pamana jauku vientuļi sēdošu meiteni. Ko darīt? Ķerties vērsim pie ragiem, lieki nedomājot? Tas var būt kļūdaini. Taču
SīkākPRIME NEW PIE SIENAS STIPRINĀMS GĀZES KONDENSĀCIJAS KATLS
NEW PIE SIENAS STIPRINĀMS GĀZES KONDENSĀCIJAS KATLS Ideāli piemērots nomainot tradicionālos apkures katlus jaunais kondensācijas katlu klāsts iekļauj sevī divus modeļus, 24 un 28 kw apkurei un karstā 24
SīkākR ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis
R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā
SīkākPowerPoint Presentation
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES STUDIJU PROGRAMMAS SKOLOTĀJA KVALIFIKĀCIJAS IEGŪŠANAI Prof. Arvīds Barševskis LR Saeimas Ilgtspējīgas attīstības komisijas un Izglītības un zinātnes ministrijas praktiskā konference
SīkākAM_Ple_LegReport
5.12.2018 A8-0417/141 Nr. 141 1. pants 1. daļa 6. punkts Regula (EK) Nr. 178/2002 39. pants 2. punkts ievaddaļa 2. Iestāde var piekrist kā konfidenciālu apstrādāt tikai turpmāk minēto informāciju, kuras
SīkākSērijas apraksts: Wilo-Yonos PICO Līdzīgs attēlā redzamajam piemēram Modelis Aprīkojums / funkcija Slapjā rotora cirkulācijas sūknis ar skrūvsavienoju
Sērijas apraksts: Wilo-Yonos PICO Līdzīgs attēlā redzamajam piemēram Modelis Aprīkojums / funkcija Slapjā rotora cirkulācijas sūknis ar skrūvsavienojumu, bloķējošās strāvas pārbaudes EC motors un integrēta
Sīkāk