48repol_atr

Transkripts

1 Materāls ņemts o grāmatas: Adžās Ags, Bērzņa Aa, Bērzņš Avars "Latvjas Reublkas 6-5 matemātkas olmādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 48 Tā kā grafka arabolas zar vērst uz augšu, tad koefcetam e oztīvam, t, > 0 a Pēc grafka arī redzams, ka, ( 0 ) = c > 0 jābūt f Tā kā a > 0 u c > 0, tad, la e oztīvām vērtībām varētu gadītes y < 0, eecešams, la b < 0 Tā kā f ( ) = a + b + c < 0 u c > 0, tad arī a + b < 0 48 Azīmējam skatl labējā augšējā rdņā ar Tad o labējās koloas redzam, ka katrā lījā summa r + 8 Tagad tabulu var azldīt veozīmīg; turklāt tabulas dagoālē (o kresā aakšējā stūra uz labo augšējo stūr) atradīses skatļ Tātad ( 8 ) + ( 4) + = + 8 8, 4,, u = 0 Tātad tabula r Azīmējam meklējamo skatl ar ; tad skatļa caru summa r 8 0 = 8, tātad dalās ar 9 Bez tam 00 jādalās ar 8, tātad jādalās ar 7 Tāēc dalās ar 9 7 = 63 Mazākas aturālas skatls, kas dalās ar 63 u kura caru summa r 8, r 63 3 = 89 Tam atblst meklējamas skatls Atlekam AL = DM = DN (skat 484 zīm)

2 B C O L N K A M D 484 zīm Tad trjstūr LAD u MDC r veād (ēc dvām katetēm) Tātad CKD = LDM + CMD = 90 ; u CM u DL krustukts r mētas ukts K Tā kā BCNL r tasstūrs, tad a to var avlkt rņķa līju ar cetru dagoāļu krustuktā O Tā kā LKC = 90, tad šī rņķa līja et caur uktu K Tātad BKN = Nē, evar Peņemsm, ka rmajā rezē bja vadītāj, otrajā + ; eņemsm retējo, ka arī otrā sadale bja veksmīga Tad dv otrā sadalījuma kateņ A u B oāca veā komadā rmajā sadalījumā; tās kates bja kāds trešas skolēs C, jo A u B saskaņā ar doto av draug Tātad C draudzējas ga ar A ga ar B; tāēc otrajā sadalījumā ga A, ga B grbēs ekļaut savā komadā C, bet tas av esējams 486 No rmā veādojuma zsakām y = ; egūto zteksm evetojam otrajā veādojumā: ( ) 4 = + + = + ( + )( ) = 0 Dotaja veādojumu sstēma r četr atrsājum: (0; ), ( ; 0), ; u ; 487 Peņemsm o retējā, ka eveam o dotajem veādojumem reālu sakņu av Tādā gadījumā to dskrmatem jābūt mazākem ar ull, t 4q < 0 u q 4 < 0 Līdz ar to egūstam eveādību sstēmu < 4q q < 4

3 Tā kā eveādību sstēma r smetrska ret u q, tad varam eņemt, ka Sarezot eveādības, egūstam Tātad < 6 q u {,, 3} q < 6 q, jeb q < 6 < q Vegl ārbaudīt, ka vsos šajos gadījumos 4 0, tātad veādojumam + q + = 0 r reāla sake, kas arī bja jāerāda 488 Katram aturāla skatļa dalītājam d atblst otrs dalītājs d Tātad vs dalītāj sadalās āros La dalītāju skats būtu eāra skatls eecešams, la veā ārī ab dalītāj būtu veād, t d = = d d Tādējād skadrs, ka īatēje skatļ r aturālo skatļu kvadrāt Tātad = = y, + 4 ; o šejees = y = ( + y)( y) ( + y) u ( y) 4 Tā kā skatļu artātes r veādas, tad skatl 4 r jāsadala dvu āra skatļu rezājumā; to var zdarīt dvos vedos 4 = = 6 4 Iegūstam veādojumu sstēmas y = + y = u y = 4 + y = 6 To atrsājum r (7, 5) u (5, ) Atblstošās vērtības r 5 u 489 Azīmēsm C bsektrses u trjstūra amata krustuktu ar M (sk 485 zīm) Tā kā ACB r veādsāu, tad C bsektrse r arī augstums, tāēc AMC = 90 C F G N A E M O B 485 zīm Tā kā CN bsektrse, tad FCN = GCN () Tā kā ēc kostrukcjas GC FN (kā aralelograma CFEG retējās malas), tad GCN = CNF () No () u () seko, ka FCN = CNF, bet tas ozīmē, ka CFN r veādsāu, t,

4 CF = FN (3) Tā kā CF u GE r aralelograma CFEG retējās malas, tad CF = GE (4) No tā, ka aralelograma CFEG retējās malas r aralēlas, t, CF GE, zret, ka arī CB GE Līdz ar to ACB u AGE r līdzīg (AE u AB atrodas uz veas tases; tāat AG u AC, bet CB GE, kā tkko erādīts) No tā seko, ka arī AGE r veādsāu trjstūrs u tāēc AG = GE (5) No (3), (4) u (5) zret, ka FN = CF = GE = AG (6) No tā, ka aralelograma CFEG retējās malas r aralēlas, zret, ka arī FN AG, (7) No (6) u (7) seko, ka FNAG r aralelograms ; o tā, savukārt, seko, ka AN GF (8) Līdz ar to uzdevuma a) daļa r erādīta Tālāk ārejam e b) daļas erādīšaas No tā, ka aralelograma CFEG retējās malas CG u FE r aralēlas, zret, ka arī CG NE (9) No dotā seko, ka CG AO No tā u o (9) zret, ka NE AO (0) Zāms, ka CM r ACB augstums, tāēc arī AM NO () Alūkosm AON No (0) u () seko, ka ukts E r AON augstumu krustukts Bet tādējād arī augstums ret malu AN et caur uktu E, t, OE AN () No (8) u () seko, ka OE GF Līdz ar to arī uzdevuma b) daļa r erādīta 480 Peņemsm retējo: av tāda brīža, kad e Segbaltītes velacīg būtu cemojušes vsmaz trīs rūķīš Tā kā r zāms, ka e Segbaltītes r satkušes katr dv rūķīš (u ekad trīs rezē), tad var arēķāt, ck dažādu āru (dažādos lakos) bjuš; šādu āru r 36

5 No uzdevuma osacījumem seko, ka otkušas 9 4 = 36 rūķīšu erašaās Alūkosm tos mometus, kad kāds rūķīšu ārs rmo rez r e Segbaltītes Skadrs, ka jebkurā tādā mometā r otkus vsmaz vea rūķīša erašaās Acīmredzot, rms rmā osma bja jāerodas dvem rūķīšem u rms katra ākošā osma jāerodas vēl vsmaz veam rūķītm Tātad jāotek vsmaz 37 rūķīšu atākšaām, bet to r tka 36; egūta retrua 48 Agalvojums seko o dettātes a 3 ( a + b + c) ( a + b + c ab ac bc) b + c 3abc = 48 a) Ja r eāra skatls, tad ( ) ( mod3) u evar būt rmskatls (jo dalās ar 3 u r lelāks ar 3), b) Tātad r āra skatls Perādīsm, ka tas evar būt skatls 4 k + Tešām, k+ 4k+ k 4 ( 3 ) ( mod5) Tas ozīmē, ka dotas skatls dalās ar 5, u evar būt rmskatls a) Aaloģsk kā erekšējos gadījumos ārbaudām, ka, gadījumā, ja = 4k edalās ar 3, tad dotā zteksme dalās ar 7, u evar būt rmskatls 483 Skat 486 zīm M t C C ω l A B ω B ω 486 zīm Saveojam C ar C ; ovelkam uktā B koējo eskar l rņķa lījām ω u ω No teorēmas ar eskares kvadrātu egūstam: MC MB = MA = MC MB ; u

6 MC MB = MC MB Tātad trjstūr MC C u MB B r līdzīg; o šejees MCC = MBB Savukārt MBB = lbm kā evlkts u hordas eskares leņķ Tātad tcb = lbc ; bet l r rņķa lījas lījasω eskare uktā C Līdzīg erāda, ka C C eskaras arī rņķa līja ω 484 Azīmējam + + = t Tad t > 0 u ω eskare uktā B, tāēc arī t r rņķa + = t + = t t + ; o šejees zsakām t a t = ; līdzīg egūstam y = Tāēc t at t a t at a + a t + y = + = = t at at ( a )( t + a) a a a a a = t + t = at a t a t a a Veādība astāv tad u tka tad, kad = y = a 485 a) Alūkosm 0 melos uktus (skat 487 zīm) 487 zīm Peņemsm, ka skudras esatekas Alūkosm 0 skudras, kas sākotēj atradās melajos uktos Tad ēc vea gājea tās atradīses baltajos uktos Alūkosm vēl 0 skudras, kas ēc rmā gājea atradās melajos uktos Pēc otrā gājea tās atradīses baltajos uktos; arī rmās 0 skudras atradīses baltajos uktos (jo dvos gājeos evar azet o melā ukta uz melo) Tātad vsmaz 0 skudras atradīses baltajos uktos, taču šādu uktu r tka 8 Iegūta retrua b) Nē, e otekt Pemēram, skudras var kustētes cklsk akārt 488 zīmējumā ekrāsotajem trjstūrem va rombem

7 488 zīm 486 Izteksme eveādības kresajā usē, alelotes argumeta vērtība ar, alelās varāk kā ar, bet zteksme eveādības labajā usē, alelotes argumeta vērtība ar, alelās ar Tā kā 0 < , bet > + 998, tad der vērtības, kas eārsedz Pēc moduļa 3 egūstam kogruec y 3 = 7 Tātad r āra skatls k ( ) ( mod3) Līdzīg, ēc moduļa 4 egūstam y y ( ) ( mod 4) ( ) ( mod 4) k y 3 = 7 0 tātad arī y r āra skatls m ; Iegūstam k 9 m ( k 3 m )( k 3 m ) 7 4 = + = k k m m = = 7 3 k m No šejees = 4 k =, m = = 3 = 4, y = 488 a) Daudzskalds ar 8 vrsotēm arādīts 489 zīmējumā 489 zīm

8 b) Perādīsm, ka daudzskaldm evar būt mazāk ar 8 vrsotēm Veīgas daudzskalds ar 4 skaldēm r tetraedrs, tas mums eder Tāēc jābūt vsmaz 5 skaldēm Tad mmāle šķautņu skat tām r 3, 3, 4, 4, 5; tātad r vsmaz vea skalde ar vsmaz 5 šķautēm; ta r vsmaz 5 blakus skaldes (koā 6 skaldes) Mmāle šķautņu skat tām r 3, 3, 4, 4, 5, 5 Askatām abas skaldes, kurām r e mazāk ar 5 vrsotēm; tām r e varāk ar koīgām vrsotēm Tātad koīgas vrsotņu skats r e mazāks ar = a) Veādību f ( a b) = c erakstīt šād: ( y) y = u ( y) = y Saskaņā ar rmo aksomu [ ( y) ] ( y) =, erakstīsm šād: a b = c Tad dotās aksomas var Saskaņā ar otro aksomu kvadrātekavās erakstītā zteksme r veāda ar y Tātad ( y) = y [ y ( y) ] y = ; o šejees y = (zmatojam aksomu) = y, kas arī bja jāerāda b) Azīmēsm = 0; tad atblstošo oerācju var defēt šād: ( mod ) y y 480 a) Vegl erādīt, ka mērķ var sasegt, ja zdarām a vea zmaņa vrsotēs, kurās eet eāra skats sarkao šķautņu 48 Atrodam uz dagoāles AC tādu uktu S, ka AKN = ASD (skat 480 zīm) B C M S N A K D 480 zīm

9 Tad trjstūr AKN u ASD r līdzīg, u līdzības seko veādība AM = AN SC CD Iegūstam AK = AN AS AD AK AD = AS AN u AM CD = AN SC, jeb AM AB = AN SC Saskatot asvītrotās veādības, egūstam rasīto 48 Alūkosm dvus gadījumus: No trjstūru AMN u CSD ) = Iegūstam veādojumu = y + ; tātad y r eāra skatls y = +, = Veādojuma labā use dalās ar, bet edalās ar 4 Tāēc = ; o šejees seko, ka y = ) eāra rmskatls Tad veādība ārvedojas formā ( y + )( y + y + y ) y + = ( ) + = = L No tās seko, ka y = = C ( ) ( ) + C L C + Labās uses zteksme dalās ar +`, bet edalās ar + ; egūstam = + + Tāēc erekšējo veādību, atrodam veīgo atrsājumu = 3, = y = 483 No eveādības star vdējo artmētsko u vdējo ģeometrsko zret, ka Izmatojot = a + b = a + a a b u = a + b = a + b b b Saskatot šīs eveādības, egūstam vajadzīgo, jo labajā usē egūstam veeku 484 Doto veādību amera fukcjas ( ) = c u g ( ) + d f + = 485 Nē, tā evar otkt Iekrāsosm kuba vrsotes dvās krāsās melā u baltā tā, ka katra šķaute satur melu u baltu vrsot; u zkrāsosm arī lakes režģa vrsotes šaha galdņa kārtībā (skat 48 zīm)

10 48 zīm Saskaņosm krāsojumu tā, la sākuma ozīcjā melās kuba vrsotes sakrstu ar melajām režģa vrsotēm Vegl redzēt, ka šī īašība saglabājas, kad kubs ārveļas kāda o atbalsta skaldes šķautēm Tātad šī īašība saglabāses līdz kustības begām Bet, ja kubs būtu agrezts ar 90 a vertkālo as, tā ebūtu saglabājuses