11.lekcija (papildmateriāls)

Transkripts

1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 11.lekcija (papildmateriāls) Docētājs: Dr. P. Daugulis 2009./2010.studiju gads

2 Saturs 2 1. Determinanta īpašības Definīcijas korektuma pierādījums Kolonna ar vienu nenulles elementu Viena matricas elementa izmaiņas iespaids uz determinantu Determinanta rekursīvā definīcija Kombinatoriskā formula Izvirzījums pēc rindas vai kolonnas Binet-Cauchy formula

3 1. Determinanta īpašības Definīcijas korektuma pierādījums Kolonna ar vienu nenulles elementu Ar ko ir vienāds determinants, ja matricai kādā rindā vai kolonnā ir tikai viens nenulles elements? 1.1. teorēma. [ a11 r det A = det 1 0 A PIERĀDĪJUMS a 11 = 0 = det A = 0 = 0 det A. ] = a 11 det A. a 11 = 0 = var veikt šādus elementāros pārveidojumus: 1. ar a 11 anulēt visu bloku r 1, bloks A neizmainīsies,

4 4 2. pārveidot bloku A trijstūrveida formā neaiztiekot pirmo rindu un pirmo kolonnu. Pēc šiem pārveidojumiem iegūsim matricas [ ] a11 0 RAK = 0 T R A K = T, kur R, K ir R,K sašaurinājumi uz bloku A = { det R = det R = det K = det K { det R det A det K = a11 det T det R det A det K = det T = det A = a 11 det A piezīme. [ No īpašības ] det A T = det A seko analoǧisks apgalvojums matricai a11 0 k 1 A.

5 Viena matricas elementa izmaiņas iespaids uz determinantu Kā mainās determinants, ja mainās tieši viens elements matricā? [ ] a11 r 1.2. teorēma. Dota n n matrica A = 1 k 1 A. Tad [ ] [ ] [ a11 + b r det 1 a11 r k 1 A = det 1 b r1 k 1 A + det 0 A A+bE 11 A ]. B 5 PIERĀDĪJUMS Ar matricām A, A + be 11 un B veiksim vienu un to pašu elementāro pārveidojumu virkni: 1. bloku A pārveidosim normālajā formā neaiztiekot pirmo rindu

6 un pirmo kolonnu, iegūsim matricas a 11 E 0, 0 0 no A a 11 + b E no A+bE 11, b 0 E no B 2. izmantojot vienības matricas bloku E ar 3.veida pārveidojumiem anulēsim daļu no pirmās kolonnas, iegūsim matricas a 11 + c 0 E 0, } k 0 {{ 0 } no A a 11 + b + c 0 E 0 k 0 0. no A+bE 11 k garums ir vismaz 2 = det A = det(a + be 11 ) = det B = 0 = apgalvojums ir patiess. 6

7 7 k garums ir 0 = esam ieguvuši matricas [ ] [ ] [ ] a11 + c a11 + b + c b,, 0 E 0 E 0 E }{{}}{{}}{{} no A no A+bE 11 no B = Seko, ka det A = (a 11 + c)q det(a + be 11 ) = (a 11 + b + c)q det B = bq = det(a + be 11 ) = det A + det B. Dota matrica A = [a ij ] n,n. Apzīmēsim ar A ij matricu, ko iegūst no A izsvītrojot i-to rindu un j-to kolonnu piemērs. A = , A 11 = [ ].

8 Determinanta rekursīvā definīcija 1.3. teorēma. Dota n n matrica A = [a ij ] n,n. Tad n det A = a i1 ( 1) i+1 det A i1. i=1 PIERĀDĪJUMS Vairākas reizes pielietosim iepriekšējo teorēmu. a 11 a a 1n det a 21 a a 2n = a n1 a n2... a nn det 0 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn + det a 11 a a 1n 0 a a 2n a n2... a nn =a 11 det A 11 =

9 = a 11 det A 11 + det = a 11 det A 11 + ( 1) det ( a 11 det A 11 +( 1) a 21 det A 21 +( 1) det a 11 det A 11 +( 1)a 21 det A 21 +det 0 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn = a 21 a a 2n 0 a a 1n a n1 a n2... a nn = 0 a 12 a a 1n 0 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n a n1 a n2 a n3... a nn 0 a 12 a a 1n 0 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n a n1 a n2 a n3... a nn 9 ) = =... =

10 10 a 11 det A 11 + ( 1)a 21 det A ( 1) 1+n a n1 det A n piezīme. Iepriekšējā teorēma ļauj definēt determinantu rekursīvi - sākot no 1 1 līdz jebkuram izmēram piemērs. [ ] a11 a det 12 = a a 21 a 11 det[a 22 ] a 21 det[a12] = a 11 a 22 a 21 a Kombinatoriskā formula 1.4. teorēma. A = [a ij ] n,n. Tad det A = σ Σ n ɛ(σ)a 1σ(1) a 2σ(2)...a nσ(n). PIERĀDĪJUMS Izmantot matemātisko indukciju ar parametru n.

11 1.3. Izvirzījums pēc rindas vai kolonnas 1.5. teorēma. (Laplasa izvirzījuma formulas) n ) n ) det(a) = a ij (( 1) i+j det(a ij ) = a ij (( 1) i+j det(a ij ). i=1 kolonnas izvirzījums j=1 rindas izvirzījums PIERĀDĪJUMS Veicam i + j otrā veida elementāros pārveidojumus, lai elements a i,j nokļūtu adresē (1, 1) un visu pārējo rindu un kolonnu kārtība saglabātos. Lai pierādītu apgalvojumu par kolonnāsm, izmantojam determinanta izvirzījumu pēc pirmās kolonnas. Lai pierādītu apgalvojumu par rindām, veicam transponēšanu. 11

12 1.4. Binet-Cauchy formula A = [a ij ] m,n, B = [b ij ] n,m par det AB? 1.6. teorēma. 1. m = n = det AB = det A det B. 2. m > n = det AB = 0. PIERĀDĪJUMS 1. Determinanta multiplikatīvā īpašība. 2. AB ir m m matrica. 12 = AB = [c ij ] m,m. Ko var pateikt Var pierādīt, ka r(ab) min(m, n) = n < m = det AB = 0. S {1, 2,..., n}, S = m. Definēsim

13 A S kā matricu, kas ir iegūta no A atstājot tikai kolonnas ar indeksiem no kopas S, B S kā matricu, kas ir iegūta no B atstājot tikai rindas ar indeksiem no kopas S, 1.3. piemērs. A = [234], B = 1 2, AB = [24], 5 det AB = det[2] det[ 1] + det[3] det[2] + det[4] det[5] = teorēma. det AB = det A S det B S. S {1,...,n} PIERĀDĪJUMS