Jauno matemātiķu skola
|
|
- Līza Paegle
- pirms 3 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Daugavpils Universitātes Jauno matemātiķu skola Veselo skaitļu teorija /2009.studiju gads Docētājs: Dr. P. Daugulis
2 Saturs 2 1. Modulārā aritmētika - atlikumu klases un to īpašības Motivācija Pāra un nepāra skaitļi Atlikumu pētīšana Definīcijas Atlikumu un kongruences vienkāršākās īpašības Atlikumu un kongruences aritmētiskās īpašības Ekvivalence un atlikumu klases Kongruences attiecība kā ekvivalence Salīdzināmības pēc moduļa m attiecības klases Operācijas ar atlikumu klasēm Atlikumu aritmētikas pielietojumi Pozicionālais pieraksts Aritmētisko operāciju pārbaude Dalāmības pazīmes
3 2. Atlikumu gredzena īpašības Pamatfakti Eilera funkcija un tās īpašības Fermā un Eilera teorēmas
4 4 1. Modulārā aritmētika - atlikumu klases un to īpašības 1.1. Motivācija Pāra un nepāra skaitļi 1.1. piemērs. Vai var samainīt 35 latus izmantojot 10 monētas ar vērtībām 1, 3, 5 lati? Vai ir iespējams salikt maǧisko kvadrātu no pirmajiem 16 pirmskaitļiem? Uz papīra lapas ir uzrakstīti skaitļi 1, 2,..., Ir atļauts izvēlēties jebkurus divus skaitļus, nodzēst tos un to vietā uzrakstīt to starpības absolūto vērtību. Atļauts šādu darbību veikt vairākas reizes. Vai var panākt, ka beigās paliks 0? (nepāra skaitļu skaita paritāte) Nepāra pakāpju virsotņu skaits grafā.
5 Atlikumu pētīšana Fiksēsim veselu (parasti naturālu) skaitli m. Pētīsim skaitļu atlikumus dalot ar m piemērs. Pierādīt, ka n nedalās ar 3 nekādam n Z Definīcijas Fiksēsim veselu skaitli m. Teiksim, ka divi veseli skaitļi a un b ir salīdzināmi vai kongruenti pēc moduļa m, apzīmē ar pierakstu a b(mod m), tad un tikai tad, ja a b dalās ar m, citos terminos, skaitļi a un b dalījumā ar m dod vienādu atlikumu piemērs. 2 5(mod 3), 4 3(mod 7),
6 1.3. Atlikumu un kongruences vienkāršākās īpašības 1.1. teorēma. 1. a = b = a b (mod m), m, 1 m : a b (mod m) = a b, 2. a b (mod m) b a (mod (-m)), 3. m = ±1 = a b (mod m), ( ) 4. m m = a b (mod m) = a b (mod m ), 5. a b (mod m) un a b (mod m ) = a b (mod MKD(m,m )). PIERĀDĪJUMS 1. acīmredzami; 1 no iepriekšējā; 2. ja a b (mod m), tad a b = qm = ( q)( m), un otrādi, 3. a b = (a b) 1 = (b a)( 1), 6
7 7 4. ja m a b un m m, tad saskaņā ar dalāmības tranzitivitāti m a b, 5. katram pirmskaitlim p, kas piedalās m un m faktorizācijās, a b dalās ar tā augstāko kārtu attiecībā uz m vai m, tā kā divu pirmskaitļu pakāpes ir savstarpēji pirmskaitļi, tad no tā, ka a b = q 1 p α 1 1 un a b = q 2 p α 2 2 ir seko, ka p α 1 1 pα 2 2 a b, turpinot šādu secinājumu virkni uz visiem pirmskaitļiem, iegūsim, ka MKD(m, m ) a b teorēma. 1. a b (mod m) = ak bk (mod mk); 2. d a, d b un LKD(d, m) = 1 = (a b (mod m) = a d b d (mod m) ) ; 3. d a, d b un d m = (a b (mod m) = a d b d (mod m d ) ) ;
8 8 PIERĀDĪJUMS 1. Ja a b = mq, tad ak bk = (mk)q. 2. Tā kā a = a 1 d un b = b 1 d, tad a b = (a 1 b 1 )d = q 3 m. Tā kā LKD(d, m) = 1, tad m a 1 b 1, tātad a 1 b 1 (mod m). 3. Šajā gadījumā ir dots, ka a = dq 1, b = dq 2 un m = dq 3. Ja a b = mq, tad dq 1 dq 2 = dq 3 q un q 1 q 2 = q 3 q. Seko, ka q 1 q 2 (mod q 3 ).
9 1.4. Atlikumu un kongruences aritmētiskās īpašības 1.3. teorēma. Ja a b (mod m) un a b (mod m), tad 1. a + a b + b (mod m); 2. aa bb (mod m); 3. a n b n (mod m). PIERĀDĪJUMS 1. m a b un m a b = m (a b) + (a b ). Bet (a b) + (a b ) = (a + a ) (b + b ), tātad m (a + a ) (b + b ). 2. Apskatīsim starpību aa bb : aa bb = aa ab + ab bb = a(a b ) + b (a b). m a b un m a b = m aa bb. 3. Seko no 2.apgalvojuma piemērs. Atrast atlikumu, ko iegūst, dalot ar 7. 9
10 1.4. teorēma. Ja f(x) ir polinoms ar veseliem koeficientiem, tad katram m Z a b (mod m) = f(a) f(b) (mod m). PIERĀDĪJUMS Izmantosim matemātisko indukciju pēc polinoma pakāpes 1.1. piezīme. Pierādītā teorēma kopā apgalvojumu - ja eksistē m tāds, ka izpildās nosacījums a b (mod m) = a b - ir viens no veidiem kā pierādīt, ka vienādojumam vai vienādojumu sistēmai neeksistē atrisinājums veselos skaitļos: 1. meklējam risinājumus vienādojumam f(x) 0(mod m), ar nelielām vai īpaši izvēlētām m vērtībām. 2. Ja ir iespējams atrast veselu skaitli m, tādu, ka vienādojumam f(x) 0 (mod m) nav atrisinājumu, tad vienādojumam f(x) = 0 nav atrisinājumu. 10
11 Lai pierādītu, ka vienādojumam f(x) 0 (mod m) nav atrisinājumu, pietiek apskatīt galīgu skaitu variantu - 0 x m 1. Diemžēl ne vienmēr šāds pierādījums ir iespējams - eksistē vienādojumi, kas ir atrisināmi pēc visiem moduļiem, bet nav atrisināmi veselos skaitļos piezīme. Pierādot, ka vienādojumam nav veselu atrisinājumu ar modulārās aritmētika palīdzību, ir svarīgi atrast labu moduli m. Var izmantot šādas idejas: pārbaudīt mazus pirmskaitļus, pārbaudīt koeficientu dalītājus (tad atbilstošie koeficienti būs 0) piemērs. Pierādiet, ka vienādojumam x 2 2 = 5y 2 nav veselu atrisinājumu (mod 4 vai mod 5). 11
12 Pierādiet, ka vienādojumam x 2 + y 2 = 4n + 3 nav veselu atrisinājumu (mod 4). 12
13 1.5. Ekvivalence un atlikumu klases Kongruences attiecība kā ekvivalence 1.5. teorēma. Skaitļu salīdzināmībai pēc fiksēta moduļa m ir spēkā šādas īpašības: 1. katrs skaitlis a ir salīdzināms ar sevi - a a (refleksivitāte), 2. ja a b, tad b a (simetrija), 3. ja a b un b c, tad a c (tranzitivitāte). PIERĀDĪUMS 1. m a a. 2. m a b = a b = qm, b a = ( q)m = m b a. 3. Ja m a b un m b c, tad a b = qm un b c = q m. Saskaitot šīs vienādības, iegūsim a c = (q + q )m, tāpēc m a c piezīme. No šīs teorēmas seko, ka skaitļi dalās klasēs atkarībā no to atlikuma mod m.
14 Salīdzināmības pēc moduļa m attiecības klases Salīdzināmības attiecībai atbilstošā veselo skaitļu kopas sadalījuma apakškopas vai klases sauc par atlikumu klasēm pēc moduļa m. Katrā atlikumu klasē ir visi veselie skaitļi, kas dalījumā ar m dod vienu un to pašu atlikumu piemērs. Piemēram, ja m = 2, tad Z = C 0 C1, kur C 0 ir 0 klase - pāra skaitļi un C 1 ir 1 klase - nepāra skaitļi. Ja m = 3, tad Z = C 0 C1 C2, kur C 0 ir 0 klase - skaitļi formā 3k, C 1 ir 1 klase - skaitļi formā 3k + 1, C 2 ir 2 klase - skaitļi formā 3k teorēma. Atlikumu klašu skaits pēc moduļa m ir vienāds ar m. PIERĀDĪJUMS Atlikums dalot ar m var būt vesels skaitlis robežās no 0 līdz m 1, tātad klašu skaits ir m.
15 Jebkuru kopas Z apakškopu, kas satur tieši vienu elementu no katras atlikumu klases, sauksim par klašu pārstāvju kopu. Par kanonisko klašu pārstāvju kopu sauksim kopu {0, 1,..., m 1}. Ja m ir nepāra skaitlis, tad var izmantot arī atlikumu klašu pārstāvju kopu, kas ir simetriska attiecībā uz 0: { m 1 2,... 1, 0, 1,..., m 1 }, ja m ir nepāra skaitlis. 2 Skaitlim n atlikumu klasi π m (n) = n sauksim par n redukciju pēc moduļa m. 15
16 1.6. Operācijas ar atlikumu klasēm Fiksēsim skaitli m. Par divu atlikumu klašu (pēc moduļa m) C un C summu C + C, sauksim klasi π m (a + a ), kur a C un a C. Par divu atlikumu klašu C un C reizinājumu CC, sauksim klasi π m (aa ), kur a C un a C. Atlikumu klašu pārstāvju kopu pēc moduļa m ir pieņemts izvēlēties kā {0,..., m 1} piemērs. Atlikumu klases pēc moduļa 5 var identificēt ar kopu {0, 1, 2, 3, 4}. Redzam, ka pēc moduļa 5 izpildās šādas vienādības: , 2 3 1, , u.t.t piezīme. Par atlikumu klašu kopu var domāt kā par veselo skaitļu kopu, kas ir uztīta uz riņķa līnijas. Atbilstoši var interpretēt operācijas ar atlikumu klasēm. 16
17 1.7. teorēma. Katram m un visiem veseliem skaitļiem a un b ir spēkā sakarības π m (a + b) = π m (a) + π m (b) un π m (ab) = π m (a)π m (b). 17 un PIERĀDĪJUMS Ja a = q 1m + r 1 un b = q 2 m + r 2, tad a + b = (q 1 + q 2 )m + (r 1 + r 2 ) ab = q 1 q 2 m 2 + (q 1 + q 2 )m + r 1 r 2, tātad a + b r 1 + r 2 un ab r 1 r 2. Tā kā π m (a) r 1 un π m (b) r 2, tad apgalvojums ir pierādīts.
18 1.7. Atlikumu aritmētikas pielietojumi Pozicionālais pieraksts Senajos laikos cilvēki izmantoja primitīvu skaitļu pierakstu, kas pēc būtības ir līdzīgs svītriņu vilkšanai (nepozicionālās sistēmas), piemēram: viena svītriņa - vieninieks vai viens objekts, pārsvītrota svītriņa (X) - desmitnieks vai desmit objekti, īpaši simboli (hieroglifiskajās sistēmās), kas apzīmē 100 u.t.t. burti (alfabētiskās sistēmas senajā Grieķijā un Izraēlā) Šādā pierakstā simbola vietai nav lielas nozīmes. Parasti simboli tika sakārtoti noteiktā kārtībā, piemēram, lielākā svara simboli atradās pieraksta sākumā. Problēmas - ar šādu pierakstu grūti veikt aritmētiskās operācijas.
19 Būtiskas izmaiņas notika tad, kad cilvēki sāka pierakstīt skaitļus tā, lai simbola atrašanās vietai būtu lielāka nozīme - pozicionālajās sistēmās. Tāds pieraksts tika ieviests Indijā ap 500 AD. Viduslaikos tas tika pārņemts Eiropā un tiek izmantots līdz pat mūsu dienām teorēma. Ja m > 1 ir vesels skaitlis, tad jebkurš naturāls skaitlis n ir viennozīmīgi izsakāms formā k n = a i m i, i=0 kur a k 0 un katram i izpildās nosacījums 0 a i < m. PIERĀDĪJUMS Aprakstīsim algoritmu, ar kura palīdzību var atrast skaitļus a i : 1. Izdalīsim n ar m: n = q 1 m + a 0 ; 2. Izdalīsim q 1 ar m: q 1 = q 2 m + a 1, 19
20 20 ievērosim, ka n = q 1 m + a 0 = (q 2 m + a 1 )m + a 0 = q 2 m 2 + a 1 m + a 0 ; 3. Izdalīsim q 2 ar m: ievērosim, ka q 2 = q 3 m + a 2, n = q 2 m 2 + a 1 m + a 0 = (q 3 m + a 2 )m 2 + a 1 m + a 0 = q 3 m 3 + a 2 m 2 + a 1 m + a 0 ; Algoritms tiek uzskatīts par pabeigtu, kad kārtējais dalījums ir vienāds ar 0 - pēdējais nenulles atlikums ir a k. Ievērosim, ka algoritma izpilde vienmēr apstājas, jo dalījumu virkne q 1, q 2,... ir stingri dilstoša.
21 Algoritma izpildes rezultātā iegūsim skaitļu virkni (a 0, a 1,..., a k ), kas apmierina vienādību n = a k m k + a k 1 m k a 2 m 2 + a 1 m + a 0, tātad skaitļu virkne, kas ir deklarēta teorēmas apgalvojumā, eksistē. Pierādīsim šādas skaitļu virknes (a 0, a 1,..., a k ) vienīgumu. Pieņemsim, ka eksistē divi izvirzījumi n = a k m k + a k 1 m k a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = b k m k + b k 1 m k b 2 m 2 + b 1 m + b 0 un sāksim salīdzināt skaitļus a i un b i sākot no i = 0: 1. Reducēsim n pēc moduļa m: n a 0 b 0 (mod m), tāpēc a 0 = b 0, 21
22 22 2. Reducēsim n a 0 m pēc moduļa m: n a 0 m tāpēc = a km k a 2 m + a 1 a 1 b k m k b 2 m + b 1 b 1 (mod m), a 1 = b 1, 3. Reducēsim n a 0 a 1 m m 2 pēc moduļa m: n a 0 a 1 m m 2 tāpēc = a k m k a 3 m + a 2 a 2 b k m k b 3 m + b 2 b 2 (mod m), a 2 = b 2,
23 1.5. piezīme. Skaitļa izvirzījumu m pakāpju lineārās kombinācijas veidā sauksim par skaitļa m-āro pozicionālo pierakstu (vai par m- adisko pierakstu) un apzīmēsim ar a k a k 1...a 0 m vai kādā vienkāršākā veidā, ja nav riska pārprast pierakstu. Pēc noklusēšanas pieņemsim a k a k 1...a 0 = a k a k 1...a Skaitli m sauksim par pieraksta bāzi piezīme. Mūsdienās cilvēki gandrīz vienmēr strādā ar decimālo pierakstu (m = 10), arī ciparu skaits ir saskaņots ar šo m vērtību. Plašāk pielietotie pieraksti datorzinātnēs un datortehnoloǧijās - m = 2 - binārais pieraksts, simbolus 0, 1 sauc par bitiem, m = 8 - oktālais pieraksts, m = 16 (ar cipariem 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A = 10,B = 11,C = 12,D = 13,E = 14,F = 15) - heksadecimālais pieraksts piezīme. No binārā pieraksta seko šāds neacīmredzams fakts - katru naturālu skaitli var viennozīmīgi izteikt kā 2 pakāpju summu. 23
24 1.8. piezīme. Algoritms skaitļa n pārveidošanai no decimālās sistēmas uz m-āro sistēmu: 1. izdalīt n ar m: n (q 1, a 0 ), kur n = q 1 m + a 0, ja q 1 0, tad iet tālāk; 2. izdalīt q 1 ar m: (q 1, a 0 ) (q 2, a 1 ), kur q 1 = q 2 m+a 1, ja q 2 0, tad iet tālāk; 3. izdalīt q 2 ar m: (q 2, a 1 ) (q 3, a 2 ), kur q 2 = q 3 m+a 2, ja q 3 0, tad iet tālāk;... izdalīt... k+1. Uzrakstīt simbolus pareizā kārtībā - a k a k 1...a 0 m ; k+2. Veikt pārbaudi: a k m k + a k 1 m k a 0? = n. 24
25 1.8. piemērs. Pārveidosim skaitli ārajā pierakstā: = a 0 = 2, q 1 = 401; = a 1 = 1, q 2 = 80; = a 2 = 0, q 3 = 16; = a 3 = 1, q 4 = 3; 5. 3 = a 4 = 3, q 5 = 0; 6. Pierakstām rezultātu 2007 = ; 7. Veicam pārbaudi: = =
26 1.9. piezīme. Algoritms skaitļa n pārveidošanai no m-ārās sistēmas uz decimālo sistēmu: 1. Ja ir dots skaitlis n = a k a k 1...a 0 m, aprēķināt decimālajā pierakstā summu n = a k m k + a k 1 m k a piemērs. Ja skaitlis 7-ārajā pierakstā ir , tad decimālajā pierakstā tas ir = piezīme. Algoritms skaitļa n pārveidošanai no m 1 -ārās sistēmas uz m 2 -āro sistēmu: 1. Pārveidot skaitli n no m 1 -ārā pieraksta uz decimālo pierakstu, 2. Pārveidot skaitli n no decimālā pieraksta uz m 2 -āro pierakstu piemērs. Pārveidosim skaitli uz heksadecimālo pierakstu: A 16 26
27 1.11. piezīme. Pozicionālās sistēmas plusi: simbolu ekonomija, ērti veikt aritmētiskās operācijas - algoritmi visiem ir zināmi, tos var vispārināt no m = 10 uz jebkuru m vērtību teorēma. 1. Maksimālais naturālais skaitlis, ko var ierakstīt m-ārajā sistēmā ar k simboliem ir vienāds ar m k Lai skaitli n ierakstītu m-ārajā sistēmā, ir nepieciešami simboli. k n = [log m n] + 1 PIERĀDĪJUMS 1. Lielākais skaitlis ar k simboliem m-ārajā pierakstā ir (m 1)(m 1)...(m 1) m = (m 1)(1 + m m k ) = (m 1) mk+1 1 m 1 = m k
28 2. n = m log m n, tāpēc m [log m n] n < m [log m n]+1. m-ārajā pierakstā skaitlis m [log m n] ir }{{} ([log m n] + 1 cipari) [log m n] reizes un m [log m n]+1 ir }{{} ([log m n]+2 cipari). Redzam, ka skaitli [log m n]+1 reizes n var pierakstīt ar [log m n] + 1 cipariem. 28
29 Aritmētisko operāciju pārbaude Aritmētisko operāciju rezultātu pareizības pārbaudē var izmantot vienu no modulārās aritmētikas īpašībām: Pretējais apgalvojums: a = b = a b (mod m) m. m : a b (mod m) = a b. Pārbaudes algoritms: 1. Atrodam operācijas rezultātu c = a b, 2. Atrodam c = a b (mod m) un c = c (mod m)), 3. Ja c c, tad konstatējam kļūdu.
30 Dalāmības pazīmes Dalāmības ar m pazīme - īpašība, kas piemīt m daudzkārtņu cipariem (parasti 10-ārajā pierakstā). Šajā sadaļā pieņemam, ka n = a k a k 1...a 0 = a k 10 k a a 0. Dalāmība ar 2 un vispārināšana uz 2 l Tā kā 10 l = 2 l 5 l 0 (mod 2), ja l 1, tad n a 0 + a k a 0 a 0 (mod 2). Dalāmības pazīme ar 2: 2 n 2 a 0 (ja n pēdējais cipars dalās ar 2 - pieder kopai {0, 2, 4, 6, 8}).
31 31 Tā kā 10 j = 2 j 5 j 0 (mod 2 l ), ja j l, tad n a l 1 10 l 1 + a l a 0 = a l 1 a l 2...a 0 (mod 2 l ). Dalāmības pazīme ar 2 l : 2 l n 2 l a l 1 a l 2...a 0 (ja pēdējo l ciparu veidotais skaitlis dalās ar 2 l ). Dalāmība ar 3 Tā kā 10 l 1 (mod 3), tad n a k 1 + a k a 0 a k + a k a 0 (mod 3). Dalāmības pazīme ar 3: 3 n 3 a k + a k a 0 (ja n ciparu summa dalās ar 3). Dalāmība ar 5 un vispārināšana uz 5 k
32 32 Tā kā 10 j = 2 j 5 j 0 (mod 5 l ), ja j l, tad n a l 1 10 l 1 + a l a 0 = a l 1 a l 2...a 0 (mod 5 l ). Dalāmības pazīme ar 5 l : 5 l n 5 l a l 1 a l 2...a 0 (ja pēdējo l ciparu veidotais skaitlis dalās ar 5 l ). Dalāmība ar 6 6 = 2 3 un LKD(2, 3) = 1, tāpēc 6 n tad un tikai tad, ja 2 n un 3 n. Dalāmības pazīme ar 6: 6 n tad un tikai tad, ja n pēdējais cipars ir pāra skaitlis un n ciparu summa dalās ar 3. Dalāmība ar 11 Tā kā 10 1 (mod 11), tad 10 2j ( 1) 2j 1 (mod 11)
33 33 un 10 2j+1 ( 1) 2j+1 1 (mod 11). Redzam, ka n a k ( 1) k a 2 a 1 + a 0 (mod 11). Dalāmības pazīme ar 11: 11 n 11 a 0 a 1 + a a k ( 1) k (ja n ciparu alternējoša summa dalās ar 11).
34 2. Atlikumu gredzena īpašības 34 Atlikumu mod m kopu ar saskaitīšanas un reizināšanas operācijām (atlikumu gredzenu mod m apzīmēsim ar Z m ) Pamatfakti 2.1. teorēma. Atlikumu gredzenā Z m ir spēkā šādas īpašības: 1. katram x Z m eksistē viens un tikai viens y Z m tāds, ka x + y 0(mod m) (aditīvi inversā elementa eksistence un viennozīmīgums), 2. ja p ir pirmskaitlis, tad xy 0(mod p) = x 0(mod p) vai y 0(mod p) (nulles dalītāju neeksistence),
35 3. ja p ir pirmskaitlis, tad katram x Z p tādam, ka x 0(mod p) eksistē viens un tikai viens z Z p, kas apmierina vienādību xz 1(mod p), 4. ja m nav pirmskaitlis, tad eksistē nenulles elementi x un y tādi, ka xy 0(mod m), 5. x ir invertējams attiecībā uz reizināšanu pēc moduļa m (eksistē viens un tikai viens y tāds, ka xy 1(mod m)) tad un tikai tad, ja LKD(x, m) = 1 (multiplikatīvi inversā elementa eksistence). PIERĀDĪJUMS 1. Katram x Z eksistē y Z, tāds, ka x + y = m = x + y (mod m). x + y 1 x + y 2 0(mod m) = y 1 y 2 (mod m). 35
36 2. Ja p ir pirmskaitlis, tad no tā, ka p xy seko, ka p x vai p y. Pārtulkojot to atlikumu klašu terminos: ja xy 0(mod p), tad x 0(mod p) vai y 0(mod p). 3. Ja p ir pirmskaitlis, tad jebkurš vesels skaitlis x robežās no 1 līdz p 1 un p ir savstarpēji pirmskaitļi - LKD(x, p) = 1, tātad saskaņā ar LKD lineārās kombinācijas īpašību eksistē veseli skaitļi a un b tādi, ka ax + bp = 1 un, tādējādi ax + bp ax + b 0 1(mod p), tas nozīmē, ka skaitļa a klase reizinājumā ar x dod klasi 1, 4. Ja m nav pirmskaitlis, tad eksistē vismaz divi skaitļi a > 1 un b > 1, tādi, ka ab = m, no kurienes seko, ka ab m 0(mod m). 36
37 37 5. Ja LKD(x, m) = 1, tad eksistē skaitļi a un b tādi, ka ax + bm = 1 un reducējot abas puses pēc moduļa m, iegūsim, ka ax + bm ax + b 0 ax 1(mod m). Ja eksistē divas klases y 1 un y 2 tādas, ka tad xy 1 xy 2 1(mod m), x(y 1 y 2 ) 0(mod m). Reizinot abas puses ar y 1 vai y 2, iegūsim y 1 y 2 0(mod m), tātad y 1 y 2 (mod m). Ja eksistē y tāds, ka xy 1(mod m), tad xy 1 = mq un xy mq = 1. Reducējot pēc moduļa d = LKD(x, m), iegūsim 0 1(mod d), tātad d = 1.
38 2.2. Eilera funkcija un tās īpašības Par naturāla skaitļa n Eilera funkciju ϕ(n) sauksim tādu veselu skaitļu x skaitu, kuriem izpildās nosacījumi 0 x < n, LKD(x, n) = piezīme. No iepriekšējās teorēmas seko, ka to atlikuma klašu skaits pēc moduļa m, kurām eksistē multiplikatīvi inversais elements, ir vienāds ar ϕ(m). Šādas atlikumu klases sauksim par invertējamām pēc moduļa m. Jebkuru šādu klašu pārstāvju kopu sauksim par reducētu atlikumu klašu kopu pēc moduļa m. Kopas Z m multiplikatīvi invertējamo elementu kopu apzīmēsim ar (Z m ) vai U m piemērs. ϕ(p) = p 1, jo visi skaitļi kopā {1,..., p 1} ir savstarpēji pirmskaitļi ar p un LKD(0, p) = p. ϕ(4) = {1, 3} = 2. 38
39 ϕ(6) = {1, 5} = ϕ(8) = {1, 3, 5, 7} = ϕ(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} = piezīme. No iepriekš pierādītas teorēmas seko, ka to atlikuma klašu skaits pēc moduļa m, kurām eksistē multiplikatīvi inversais elements, ir vienāds ar ϕ(m) piezīme. Ja m m (mod n), tad LKD(m, n) = LKD(m + nq, n) = LKD(m, n), tāpēc jebkurā atlikumu klašu pārstāvju kopā to skaitļu skaits, kas ir savstarpēji pirmskaitļi ar n, ir vienāds ar ϕ(n).
40 teorēma. Eilera funkcijai piemīt šādas īpašības: 1. Eilera funkcija ϕ : N N nav ne injektīva, ne sirjektīva, 2. ja LKD(n, m) = 1, tad ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) (Eilera funkcija ir multiplikatīva), 3. ϕ(p α ) = p α p α 1, 4. ja n = p α pα k k = k k ϕ(n) = (p α i i=1 pα i i i=1 i, tad p α i 1 i ) = n k (1 1 ), p i PIERĀDĪJUMS 1. Eilera funkcija nav injektīva, jo ϕ 1 (2) = {3, 4, 6}. Eilera funkcija nav sirjektīva, jo ϕ 1 (3) =. 2. Pieņemsim, ka n un m ir savstarpēji pirmskaitļi. Sakārtosim skaitļus no 0 līdz nm 1 matricā, kurā ir m rindas un n kolonnas šādā i=1
41 veidā: n 1 n n n n(m 1) n(m 1) nm 1 Skaitīsim, cik šajā matricā ir skaitļu, kas ir savstarpēji pirmskaitļi ar nm. Ievērosim šādus faktus: katra rinda veido atlikumu klašu pārstāvju kopu pēc moduļa n (jo katrā rindā ir n pēc kārtas ejoši skaitļi), katrā kolonnā visi skaitļi ir kongruenti pēc moduļa n, katra kolonna veido atlikumu klašu pārstāvju kopu pēc moduļa m (jo katrā kolonnā ir m skaitļi formā a + nq, kur 0 q < m), 41
42 42 pēc algebriskiem pārveidojumiem redzam, ka a + nq 1 a + nq 2 (mod m) nq 1 nq 2 (mod m) n 1 nq 1 n 1 nq 2 (mod m) q 1 q 2 (mod m). Ievērosim, ka LKD(x, nm) = 1 LKD(x, n) = 1 un LKD(x, m) = 1. Tātad ir spēkā šādi fakti: skaitļi x, kuriem LKD(x, nm) = 1, var atrasties tikai tajās kolonnās, kurās LKD(x, n) = 1, tādu kolonnu skaits ir ϕ(n), katrā kolonnā, kur LKD(x, n) = 1, to skaitļu skaits, kuriem LKD(x, m) = 1, ir vienāds ar ϕ(m). Tādējādi ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).
43 3. Ja n = p α, tad LKD(n, m) 1 tad un tikai tad, ja p m, tātad m = p k, kur 0 p k < p α. Redzam, ka 0 k < p α 1, tātad tādu skaitļu m skaits ir {0, p,..., p α 1 1} = p α 1. Esam ieguvuši, ka ϕ(n) = p α p α Rezultāts seko no iepriekšējiem teorēmas apgalvojumiem un algebriskiem pārveidojumiem. Sadalīsim n pirmskaitļu pakāpju reizinājumā n = p α 1 1 pα pα k k. Ievērosim, ka dažādu pirmskaitļu pakāpes ir savstarpēji pirmskaitļi. 43
44 44 Vairākas reizes pielietosim multiplikatīvo īpašību: ϕ(n) = ϕ(p α1 1 )ϕ(pα2 2...pα k k ) = (pα1 1 pα1 1 1 )ϕ(p α2 2...pα k k ) =... (p α1 1 pα1 1 1 )ϕ(p α2 2 )ϕ(pα3 3...pα k k ) =... = k k i=1 (p α i i k i=1 p α i i p α i 1 i ) = i=1 i=1 p α i i (1 1 p i ) = k (1 1 k ) = n (1 1 ) p i p i i=1
45 2.2. piemērs. ϕ(2007) = ϕ( ) = ( ) 222 = = ϕ(2008) = ϕ( ) = ( ) 250 = = ϕ(1000) = 400, ϕ(400) = 160,... ϕ(160) = 64, 45
46 2.3. Fermā un Eilera teorēmas 2.3. piemērs. Atradīsim kāpinātājus, ar kuriem invertējamie elementi ir kongruenti ar 1 gredzenos GF (5), GF (7) teorēma. (Fermā Mazā teorēma) Ja p ir pirmskaitlis un tad a 0(mod p), a p 1 1(mod p) 46 PIERĀDĪJUMS Apskatīsim funkciju f a : U p U p, kas tiek definēta šādi: f a (x) = ax. Apskatīsim piemērus gredzenos GF (5) (a = 2) un GF (7) (a = 2 vai a = 3). Pierādīsim, ka f a ir bijektīva funkcija:
47 injektivitāte - f a (x 1 ) = f a (x 2 ) = ax 1 ax 2, reizinot abas puses ar a 1, iegūsim x 1 x 2, tātad f a ir injektīva; sirjektivitāte - y U p izpildās tātad f a ir sirjektīva. y a(a 1 y) f a (a 1 y), Tā kā f a ir bijektīva funkcija, tad reizinot ar a kopas U p dažādos elementus sakārtotus kādā noteiktā kārtībā (z 1,..., z p 1 ), iegūsim tos pašus elementus citā kārtībā. Apskatīsim reizinājumu (az 1 )(az 2 )... (az p 1 ) divos veidos: no vienas puses, pielietojot reizināšanas komutativitāti, tas ir vienāds ar a p 1 (z 1... z p 1 ), no otras puses, tas ir vienāds ar elementu z i reizinājumu kādā citā kārtībā un, pielietojot vēlreiz atlikumu klašu reizināšanas 47
48 48 un komutativitātes īpašību, redzam, ka tas ir vienāds ar Tātad z 1... z p 1. a p 1 (z 1... z p 1 ) z 1... z p 1 (mod p) a p 1 1(mod p) piemērs (mod 3), 2 4 1(mod 5), (mod 11), (mod 89).
49 teorēma. (Eilera teorēma) Ja LKD(a, m) = 1, tad a ϕ(m) 1(mod m). PIERĀDĪJUMS Līdzīgs Fermā teorēmas pierādījumam piezīme. Ievērosim, ka Fermā teorēma ir Eilera teorēmas speciālgadījums piezīme. Dažreiz Fermā teorēmu formulē arī veidā a p a(mod p) vai a 1 a p 2 (mod p) piezīme. Fermā un Eilera teorēmu pielietojums - ātrā kāpināšana, ja a 0(mod p), tad : a b a b(mod p 1) (mod p).
Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākMicrosoft Word - du_5_2005.doc
005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
SīkākNevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
Sīkāk1
8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
SīkākMicrosoft Word - du_4_2005.doc
@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
SīkākPCK34_atr_kopaa
007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem
SīkākLatvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br
5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,
SīkākLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
SīkākPārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš
Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)
SīkākKrājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a
Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.
SīkākR ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis
R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā
SīkākLV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši
LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši, 3 brūni klucīši, 1 spēles laukums, 1 barjera izvēlētā
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss
Sīkāk> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši
> > < < > < < 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši vienu reizi ieraksti kādu naturālu skaitli no 1 līdz 5 tā, lai atzīmētās nevienādības būtu patiesas!
SīkākMicrosoft Word - Papildmaterials.doc
SATURS DARBĪBAS AR DARBGRĀMATAS LAPĀM... 2 1.1. Pārvietošanās pa lapām...2 1.2. Lapas nosaukuma maiņa...3 1.3. Jaunas darblapas pievienošana...3 1.4. Lapas pārvietošana un dublēšana, lietojot peli...4
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
Sīkāk55repol_atr
9 Pieskitot pierādāmās vienādīs L()+L()+L(3)=L(4) ām pusēm L(5)+L(6)+L(), iegūstm ekvivlentu vienādīu L()+L()=L(NM), ks cīmredzmi izriet no trijstūr un prlelogrm lukumu formulām L = h un L=h 9 ) =7, =7
SīkākLatvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji
Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta 2015. gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznājiem Latvijā nekad nenoriet? (1 p) Kasiopeja Ērglis Vēršu
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
SīkākEiro viltojumi Latvijā
Eiro drošības pazīmes un to pārbaude Andris Tauriņš Kases un naudas apgrozības pārvaldes Naudas tehnoloģiju daļas vadītājs 5, 10, 20 eiro naudas zīmes 120 x 62 mm 127 x 67 mm 133 x 72 mm Jaunā 5 eiro naudas
SīkākAnita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimen
Anita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimenei, kas attīsta, pilnveido bērna lasītprasmi un rakstītprasmi,
SīkākInstrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem
Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai semināra modulī tiek paplašināta uzdevuma funkcionalitāte.
SīkākMatemātikas uzdevumu krājums 6. klasei / Zane Kūlaine/ Pelču speciālā internātpamatskola – attīstības centrs
2 5.klases atkārtojums Vieni ir pirmās sķiras vienības; tos skaitlī raksta pirmajā vietā no labās puses. Desmiti ir otrās šķiras vienības; tos skaitlī raksta otrajā vietā no labās puses. Simti ir trešās
Sīkākv, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace
v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi
SīkākVPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN K
VPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz 216. gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU INDEKSS... 1 VEIKTO PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU
SīkākSocial Activities and Practices Institute 1 Victor Grigorovich Street, Sofia 1606, Bulgaria Phone: Kas ir
Kas ir interaktīvās studijas? Iztrādāja: Nelija Petrova-Dimitrova Uzdevums 1 Interaktīvās studijas ir mijiedarbība, nevis iedarbība! Uzdevums 2 Interaktīvo studiju pamatā ir grupas dinamika! Grupa ir apmācību
Sīkākklase gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru ka
11.-12. klase 2017. gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru kalns Robots apkopējs Dzelzceļa izmaksu samazināšana
SīkākProgrammēšanas valoda iesācējiem 4. daļa. Programmēšanas prakse 2007 Alvils Bērziņš
Programmēšanas valoda iesācējiem 4. daļa. Programmēšanas prakse 2007 Alvils Bērziņš Saturs Ievads...3 Algoritmi...4 Uzdevumi...6 1. uzdevums. Olu kastes...6 2. uzdevums. Lielie cipari...6 3. uzdevums.
Sīkāk5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a
5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta adatas Skolēna darba lapa M_11_LD_05_P1 Izloze Skolēna
SīkākPowerPoint Presentation
Ultraplatjoslas (UWB) radaru sensoru signālu apstrāde objektu izsekošanai VPP SOPHIS GUDPILS UWB sensoru (radaru) grupa Rolands Šāvelis Pētnieks Elektronikas un datorzinātņu institūts 1 UWB sensoru signālu
SīkākLieta Nr
ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A420687310 143/AA43-0685-13/8 Rīgā 2013.gada 21.maijā Administratīvā apgabaltiesa šādā sastāvā: tiesnese referente I.Kaļiņina, tiesnese
SīkākPrezentacija
LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2016./2017. studiju gadam UZŅEMŠANAS KOMISIJA Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755,
SīkākO.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri
O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri O.Lauce ARITMĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI FORMULAS PIEMĒRI O lg a L a u c e ARITM ĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI, FORMULAS, PIEMĒRI
SīkākAKTĪVĀS METODES SKOLĒNU IZGLĪTOŠANĀ LATVIJAS BANKAS ZINĀŠANU CENTRA "NAUDAS PASAULE" APMEKLĒJUMS DARBA LAPAS PAMATSKOLAI (7. 9. KLASEI) 8 varianti Lat
AKTĪVĀS METODES SKOLĒNU IZGLĪTOŠANĀ LATVIJAS BANKAS ZINĀŠANU CENTRA "NAUDAS PASAULE" APMEKLĒJUMS DARBA LAPAS PAMATSKOLAI (7. 9. KLASEI) 8 varianti Latvijas Banka, 2019 1. darba lapa pamatskolai Atbildi
SīkākMeza skola metodes pirmsskola
FIGŪRU APGŪŠANA Veidot konkrēto figūru sadarbojoties ar citu bērnu Ar maziem solīšiem viens pāris sniegā veido vienu figūru Ar sniegu pārklāts laukums, laminētas kartiņas ar figūrām Bērni sadalās pa pāriem.
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
SīkākKlimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt sau
Klimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt saulains, līt lietus vai snigt sniegs, pūst stiprs vējš
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 10. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās
SīkākAPSTIPRINĀTS
APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa
Sīkākro40_atr
Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais
SīkākPārskatu aizpildīšana
Atkritumu pārvadājumu pavadzīmju izveides instrukcija Atkritumu Pārvadājumu Uzskaites Sistēma (APUS) ir jālieto ir visiem, kam to nosaka MK noteikumi Nr.494 (07.08.2018) (https://likumi.lv/ta/id/300874-atkritumu-parvadajumuuzskaites-kartiba)
SīkākLaboratorijas darbi mehānikā
Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne
SīkākAPSTIPRINĀTS
Preiļu novada dome Preiļu 1. pamatskola Reģ. Nr. 4212900356 Daugavpils ielā 34, Preiļu novadā, LV-5301, Tālruņi: 65322749, 65322084, e-pasts: preilu1psk@pvg.edu.lv APSTIPRINĀTS ar Preiļu 1.pamatskolas
SīkākMicrosoft Word - Vēlēšanu nolikums projekts.docx
Latvijas Universitātes Studentu padome Reģ. Nr.40008009084 Raiņa bulvāris 19-144, LV-1586, Rīga, Latvija Tālrunis 67034317, Fakss 67034316, E-pasts: lusp@lusp.lv APSTIPRINĀTS LU Studentu padomes 2006.gada
SīkākLATVIJAS UNIVERSITĀTE
Ar grozījumiem, kas izdarīti līdz 25.06.2019. 1. pielikums Grozījumi: LU 03.01.2019. rīkojums Nr. 1/2 APSTIPRINĀTS LU 13.03.2019. rīkojums Nr. 1/95 ar LU 26.10.2018. LU 28.05.2019. rīkojums Nr. 1/211 LU
SīkākAPSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR
APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā
SīkākPAZIŅOJUMS PAR LĒMUMU IEPIRKUMU PROCEDŪRĀ KALNOZOLA IELAS PĀRBŪVE, STOPIŅU NOVADĀ 1. Iepirkuma identifikācijas Nr. SND 2018/5 2. Datums, kad paziņojum
PAZIŅOJUMS PAR LĒMUMU IEPIRKUMU PROCEDŪRĀ KALNOZOLA IELAS PĀRBŪVE, STOPIŅU NOVADĀ 1. Iepirkuma identifikācijas Nr. SND 2018/5 2. Datums, kad paziņojums par iepirkumu ievietots Stopiņu novada domes mājas
SīkākInformācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs
Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs Mūsdienu tendence! Dažādas dzīves sfēras = mācību priekšmeti Arvien nozīmīgāka ir informācijas un komunikāciju tehnoloģiju pielietošanas
SīkākMicrosoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc
SIA Krāslavas nami Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā Saturs I. Ziņas par operatoru...3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošajām darbībām...4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas
SīkākMicrosoft Word - Gada_Parskats_2015.g _2_.doc
BIEDRĪBA LATVIJAS AEROKLUBS 215. GADA PĀRSKATS Rīga 216 SATURS VADĪBAS ZIŅOJUMS 3 BILANCE 5 IEŅĒMUMU UN IZDEVUMU PĀRSKATS 6 ZIEDOJUMU UN DĀVINĀJUMU PĀRSKATS 7 ZIEDOTĀJI UN DĀVINĀTĀJI 8 PĀRSKATS PAR ADMINISTRATĪVAJIEM
SīkākROKASGRĀMATA. SATIKSMES INTENSITĀTES UZSKAITES SISTĒMA Rīgā, gads
ROKASGRĀMATA. SATIKSMES INTENSITĀTES UZSKAITES SISTĒMA Rīgā, 2018. gads Rokasgrāmata par satiksmes intensitātes uzskaites sistēmu. Rokas grāmatas izstrādi veica SIA,,PROJEKTS EAE Rokasgrāmatu izstrādāja:
SīkākLATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr , Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977
LATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr.90000068337, Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977310, mob.t. 26181294, e-pasts: dome@incukalns.lv NOTEIKUMI
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts
SīkākLATVIJAS REPUBLIKA LIEPĀJAS PILSĒTAS PAŠVALDĪBAS AĢENTŪRA "LIEPĀJAS SABIEDRISKAIS TRANSPORTS" Jūrmalas iela 23, Liepāja, LV-3401, tālrunis , f
LATVIJAS REPUBLIKA LIEPĀJAS PILSĒTAS PAŠVALDĪBAS AĢENTŪRA "LIEPĀJAS SABIEDRISKAIS TRANSPORTS" Jūrmalas iela 23, Liepāja, LV-3401, tālrunis 63428744, fakss 63428633, reģ. Nr. 90009569239 Dokumenta datums
SīkākMicrosoft Word - Lekcija_Nr3.doc
INFORMĀCIJAS MEKLĒŠANA Jebkuru pētniecības darbu uzsākot, pētniekam ir jāiepazīstas ar informāciju par risināmo jautājumu, t.i., pēc iespējas pilnīgi jāizstudē pieejamā literatūra, kas attiecas uz izraudzīto
SīkākLabdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču
Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču tie ir vārdi, kurus cilvēkbērns apgūst pašus pirmos
SīkākPowerPoint Presentation
Akadēmiskā personāla darba samaksa Vidzemes Augstskolā Gatis Krūmiņš Vidzemes Augstskolas rektors Iveta Putniņa Vidzemes Augstskolas administratīvā prorektore Vispārējie principi Docēšana Pētniecība Administratīvais
SīkākMicrosoft Word - ! SkG makets 4-5. nodala.doc
1. Ekonomikas priekšmets I variants Vārds Uzvārds Klase Punkti Datums Vērtējums 1. Apvelciet pareizās atbildes burtu (katram jautājumam ir tikai viena pareiza atbilde). (6 punkti) 1. Ražošanas iespēju
SīkākLatvijas ekonomikas akmeņainais ceļš pēc neatkarības atgūšanas
LATVIJAS EKONOMIKAS AKMEŅAINAIS CEĻŠ PĒC NEATKARĪBAS ATGŪŠANAS ARTŪRS KODOLIŅŠ, DR. OEC. PSRS Valsts budžeta rādītāji (1985.-1987.gads) 1985 1986 1987 Ieņēmumi (miljardos rbļ.) 567,7 366,0 360,1 Izdevumi
SīkākPALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM
PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM JĀ Ņ A FO M IN A sakārtojums Krājumā «Matem ātikas formulas» sakopotas daudzas elementārās matemātikas un augstākās matemātikas formulas. Krājums galvenokārt paredzēts tiem,
SīkākPowerPoint Presentation
Tālizpētes datu izmantošana ESRI programmatūrā Harijs Ijabs Rīga, 2017 Lauku atbalsta dienests Lauku atbalsta dienests (LAD) ir Zemkopības ministrijas padotībā esoša valsts tiešās pārvaldes iestāde, kas
SīkākPowerPoint Presentation
Biznesa plāna sagatavošana, nauda plūsmas plānošana IZGĀZIES PLĀNS? Biznesa plāns Kāpēc ir vajadzīgs biznesa plāns? - lai finansētājs (banka) spētu izvērtēt riskus saimnieciskās darbības attīstībā; -
Sīkāk2018 Finanšu pārskats
2018 2 Neatkarīga revidenta ziņojums akcionāram Ziņojums par finanšu pārskatu revīziju Atzinums Mēs esam veikuši (Sabiedrība) finanšu pārskatu, kas ietver atsevišķu ziņojumu par finansiālo stāvokli 2018.
SīkākRiski: identificēšana un mērīšana
Risku vadība apdrošināšanā Risku identificēšana un mērīšana Jolanta Krastiņa, FAA Latvijas Aktuāru Asociācija 01.12.2011 Saturs Ievads risku vadībā mērķis, ERM, risku vadības process Risku identifikācija
SīkākPreču loterijas Loteri - JĀ! noteikumi 1. Loterijas preču pārdevējs ir VAS Latvijas Pasts, reģ. nr , juridiskā adrese: Ziemeļu iela 10, Li
Preču loterijas Loteri - JĀ! noteikumi 1. Loterijas preču pārdevējs ir VAS Latvijas Pasts, reģ. nr. 40003052790, juridiskā adrese: Ziemeļu iela 10, Lidosta Rīga, Mārupes nov., Latvija, LV-1000 - turpmāk
SīkākPowerPoint Presentation
Šeit top veiksmīgas karjeras Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2019./2020. studiju gadam Uzņemšanas komisija Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755, e-pasts: ukom@llu.lv
SīkākPROFESIJAS STANDARTA PARAUGS
APSTIPRINĀTS ar Izglītības un zinātnes ministrijas 2002. gada 16. maija rīkojumu Nr. 283 PROFESIJAS STANDARTS Reģistrācijas numurs PS 0061 Profesija Sausās būves celtnieks Kvalifikācijas līmenis 2 Nodarbinātības
SīkākPage 1 of 8 Biedrību, nodibinājumu un arodbiedrību gada pārskats: Bilance - Aktīvs Taksācijas periods no: 01.01.2009 līdz: 31.12.2009 Bilance - Aktīvs Bilancē summas jānorāda veselos latos. Nr. p.k. Posteņa
SīkākPārmērīgs līguma izpildes apgrūtinājums
Pārmērīgs līguma izpildes apgrūtinājums Saturs: 1. Tēmas aktualitāte 2. Institūta būtība 3. Pārmērīgs līguma izpildes apgrūtinājums Latvijas civiltiesībās 4. Ideālās likuma redakcijas meklējumos 1 Tēmas
Sīkāk