Mèroc Bþ. Pijanìthtec & Katanomèc. c Kajhght c KwnstantÐnoc AdamÐdhc, Apìspasma apì to biblðo {Merikˆ Maj mata Statistik c, Tìmoc I}.

Lielums: px
Sāciet demonstrējumu ar lapu:

Download "Mèroc Bþ. Pijanìthtec & Katanomèc. c Kajhght c KwnstantÐnoc AdamÐdhc, Apìspasma apì to biblðo {Merikˆ Maj mata Statistik c, Tìmoc I}."

Transkripts

1 Mèroc Bþ Pijanìthtec & Katanomèc c Kajhght c KwnstantÐnoc AdamÐdhc, Apìspasma apì to biblðo {Merikˆ Maj mata Statistik c, Tìmoc I}. 49

2

3 Perieqìmena Bþ Pijanìthtec & Katanomèc 49 3 Pijanìthtec TuqaÐa peirˆmata kai pijanìthta Deigmatikìc q roc, endeqìmena Prˆxeic endeqomènwn Majhmatikìc orismìc kai idiìthtec Desmeumènh pijanìthta AnexarthsÐa endeqomènwn Ta Jewr mata Olik c Pijanìthtac kai tou Bayes TuqaÐec metablhtèc & katanomèc pijanot twn TuqaÐec metablhtèc Sunart seic pijanot twn Sunˆrthsh pijanìthtac Sunˆrthsh puknìthtac pijanìthtac Anamenìmenh tim kai diakômansh Katanomèc pijanot twn H katanom tou Bernoulli H diwnumik katanom H katanom tou Poisson H kanonik katanom Parˆrthma Aþ PÐnakec pijanot twn 107 Aþ.1 Diwnumik katanom Aþ.2 Katanom tou Poisson Aþ.3 Kanonik katanom

4

5 Kefˆlaio 3 Pijanìthtec 3.1 TuqaÐa peirˆmata kai pijanìthta GiatÐ pijanìthtec (sth Statistik )? GiatÐ, ìpwc proanafèrjhke sthn Eisagwg, ta statistikˆ peirˆmata gðnontai ìtan to qarakthristikì pou endiafèrei metabˆlletai sta mèlh tou plhjusmoô kai èna mèroc aut c thc metablhtìthtac ofeðletai se anex ghtouc-aprosdiìristouc parˆgontec, stouc opoðouc suqnˆ anaferìmaste me th lèxh {tôqh}. Gi' autì ta apotelèsmata statistikoô peirˆmatoc den mporoôn na problefjoôn me akrðbeia. Parˆdeigma: S' èna tuqaðo deðgma et n epibðwshc anjr pwn ja diapist soume shmantik metablhtìthta. 'Ena mèroc thc mporoôme na to katano soume sumperilambˆnontac prìsjetec metablhtèc ìpwc to fôlo, eˆn kapnðzei, diatrofikèc sun jeiec (ebdomadiaða katanˆlwsh lðpouc k.lp.), klhronomikìthta (mèsh epibðwsh gonèwn, istorikì asjenei n, k.lp.) k.ˆ. Wstìso, ìsec metablhtèc kai na sumperilˆboume apokleðetai na exaleðyoume entel c th metablhtìthta thc epibðwshc, akìmh kai se anjr pouc me Ðdiec parapl siec timèc. Anˆloga, kaneðc den mporeð na: elègxei apìluta eˆn ja uposteð kˆpoio atôqhma. exhg sei me apìluth bebaiìthta giatð èna dèntro dðnei perissìterouc karpoôc apì kˆpoio ˆllo Ðdiac poikilðac, ìtan kai ta dôo èqoun deqteð thn Ðdia peripoðhsh kai èqoun paremfer genikˆ qarakthristikˆ. TuqaÐo peðrama: eðnai autì pou h èkbas tou dièpetai apì thn tôqh kai sunep c to apotèlesma den mporeð na problefjeð me akrðbeia. Ta statistikˆ peirˆmata eðnai tuqaða peirˆmata (random experiments), ki ìla ta sumperˆsmata pou aporrèoun ap' autˆ emperièqoun kˆpoia abebaiìthta (uncertainty). Gia parˆdeigma, to statistikì sumpèrasma ìti to prosdìkimo zw c twn gunaik n eðnai megalôtero ap' autì twn andr n emperièqei kˆpoia abebaiìthta, ofeilomènh se tuqaðouc parˆgontec pou epidroôn sth zw tou anjr pou kai eðnai katˆ kanìna anexèlegktoi. H mètrhsh thc abebaiìthtac epitugqˆnetai me th JewrÐa Pijanot twn, mia majhmatikˆ domhmènh jewrða me antikeðmeno th jewrhtik perigraf montelopoðhsh tuqaðwn fainomènwn. 53

6 Ti ennooôme me ton ìro {pijanìthta} (probability)? Diaisjhtikˆ, eðnai h apotðmhsh twn endeqomènwn pou sunjètoun thn èkbash mellontik c katˆstashc enèrgeiac mellontikoô fainomènou. Sunep c, mporeð na jewrhjeð wc ektðmhsh pou basðzetai sth logik, kai èqei stìqo thn prìbleyh tou epikratèsterou endeqomènou apotelèsmatoc prin thn pragmatopoðhs tou. O trìpoc skèyhc me pijanìthtec: eðnai sumfu c me th logik kai mˆllon èmfutoc ston ˆnjrwpo parˆ epðkthtoc. ApoteleÐ basikì ergaleðo akìmh kai gia tic aplèc kajhmerinèc apofˆseic tou. Gia parˆdeigma, prin perˆsoume sto apènanti pezodrìmio strèfoume to kefˆli aristerˆ-dexiˆ gia na ektim soume eˆn h prospèlash tou drìmou eðnai asfal c, ìtan o ouranìc eðnai nefoskep c ektimoôme me mia matiˆ eˆn ja brèxei katˆ th diˆrkeia thc exìdou mac kai anˆloga paðrnoume omprèla ìqi. Wstìso, h logik mporeð na eðnai upokeimenik kai gi' autì tan anagkaða h tupopoðhsh thc diaðsjhshc me th sugkekrimenopoðhsh tou ìrou {pijanìthta}, ste na domhjeð mia jewrða me nìmouc kai kanìnec. H JewrÐa Pijanot twn: diamorf jhke kai exelðqjhke me bˆsh treic orismoôc tou ìrou {pijanìthta}. O kajènac shmatodìthse kai ta stˆdia thc exèlix c thc, apì th melèth kai katanìhsh twn tuqer n paignidi n èwc thn kataskeu montèlwn gia thn perigraf fainomènwn katastˆsewn pou h èkbas touc dièpetai apì touc nìmouc thc tôqhc. Oi dôo pr toi orismoð: epikrˆthsan wc tic arqèc tou 20ou ai na, eðnai gnwstoð wc o {klasikìc} kai o {empeirikìc}, kai eðnai polô kontˆ sth diaisjhtik antðlhyh pou èqoume gia thn ènnoia thc pijanìthtac. Klasikìc orismìc Sun jwc, gia na upologðsoume thn pijanìthta enìc apotelèsmatoc, pr ta aparijmoôme ìla ta dunatˆ apotelèsmatˆ thc (me ˆlla lìgia ti eðnai dunatìn na sumbeð) kai metˆ upologðzoume thn pijanìthta wc to posostì pou kalôptei to sugkekrimèno apotèlesma pou mac endiafèrei sto sônolo twn dunat n apotelesmˆtwn. Autì odhgeð ston epìmeno orismì thc pijanìthtac. Eˆn èna apotèlesma, E, mporeð na sumbeð f forèc sta N dunatˆ kai isopðjana apotelèsmata tuqaðou peirˆmatoc, tìte h pijanìthta pragmatopoðhs c tou, P (E), eðnai P (E) = f N, (3.1) dhlad h sqetik suqnìthta tou apotelèsmatoc pou endiafèrei sto sônolo twn dunat n apotelesmˆtwn. O orismìc eðnai anepark c diìti qrhsimopoieð thn ènnoia {isopðjana} pou filodoxeð na orðsei. Mèroc Bþ: 54

7 Empeirikìc orismìc Sun jwc, h ermhneða pou dðnoume sômfwna me th diaðsjhs mac se èna apotèlesma pou pragmatopoieðtai me pijanìthta, ac poôme 60%, eðnai ìti perimènoume na sumbeð perðpou ex nta forèc stic e- katì epanal yeic tou sqetikoô peirˆmatoc. Prˆgmati, h empeirða deðqnei ìti h sqetik suqnìthta emfˆnishc enìc apotelèsmatoc, f/n, teðnei na stajeropoihjeð metˆ apì pollèc epanal yeic stic Ðdiec sunj kec. Ja anafèroume to klasikì parˆdeigma thc rðyhc nomðsmatoc. 'Etsi, ston diplanì pðnaka dðnontai ta apotelèsmata rðyewn e- nìc nomðsmatoc. ParathroÔme ìti oi auxomei seic tou arijmoô twn {kefal n} elatt nontai kaj c auxˆnoun oi rðyeic kai to posostì teðnei na stajeropoihjeð sthn tim 0.5. Genikˆ, h oriak tim thc sqetik c suqnìthtac orðzei thn pijanìthta P (E) tou apotelèsmatoc E pou endiafèrei, dhlad f P (E) = lim N N. RÐyeic {Kefalèc} Posostì (N) (f) (f/n) SÔmfwna me ton orismì h pijanìthta eðnai ˆgnwsth. H tim thc proseggðzetai ektimˆtai apì th sqetik suqnìthta. Sunep c, h pijanìthta den kajorðzetai akrib c allˆ ektimˆtai me akrðbeia pou exartˆtai ap' ton arijmì twn epanal yewn. Me ton empeirikì orismì Ðswc kai na ègine to pr to b ma sth sôndesh JewrÐac Pijanot twn kai Statistik c. Par' ìla autˆ, o orismìc eðnai aìristoc giatð den kajorðzetai o arijmìc twn epanal yewn; eðnai asaf c h frˆsh {pollèc epanal yeic}. Istorik exèlixh H JewrÐa Pijanot twn arqðzei ton 17o ai na wc ergaleðo se probl mata tuqer n paignðwn genikìtera sunduastik c, èwc tic arqèc tou 18ou ai na pou dhmiourgeðtai to pr to pijanojewrhtikì montèlo katanom pijanot twn apì ton James Bernoulli gia thn perigraf sugkekrimènwn katastˆsewn thc kajhmerinìthtac, h diwnumik katanom. AkoloujoÔn ki ˆllec katanomèc metaxô twn opoðwn h eisagwg thc kanonik c katanom c apì ton Abraham de Moivre, perðpou sta mèsa tou 18ou ai na, pou metˆ tic ergasðec twn Pierre Laplace kai Karl Friedrich Gauss stic arqèc tou 19ou ai na, oriojèthse thn arq miac kainoôrgiac epoq c tìso gia th JewrÐa Pijanot twn ìso kai gia th Statistik. Wstìso, oi pio drastikèc allagèc sth JewrÐa Pijanot twn, pou thc èdwsan kai to shmerinì thc Ôfoc, èginan stic arqèc tou eikostoô ai na apì touc R. A. Fisher, R. von Mises kai A. Kolmogorov. O Kolmogorov diatup nei to majhmatikì orismì thc pijanìthtac me trða axi mata kai ètsi dhmiourgeðtai to antikeðmeno twn Majhmatik n pou merikèc forèc anafèretai wc {Montèrna} JewrÐa Pijanot twn, me plhj ra efarmog n se pollèc epist mec metaxô twn opoðwn eðnai kai h Statistik. Mèroc Bþ: 55

8 P c sundèetai h JewrÐa Pijanot twn me th Statistik? 'Opwc ja doôme sto trðto mèroc, thc Statistik c SumperasmatologÐac, h JewrÐa Pijanot twn ja proteðnei èna jewrhtikì montèlomia majhmatik kataskeu gia to qarakthristikì tou plhjusmoô pou endiafèrei. H Statistik, metˆ th deigmatolhyða tuqaðou deðgmatoc apì ton plhjusmì, afenìc ja elègxei thn katallhlìthta tou montèlou kai afetèrou, qrhsimopoi ntac tic jewrhtikèc idiìthtec tou montèlou, ja sumperasmatolog sei me dedomènh kai elegqìmenh akrðbeia Deigmatikìc q roc, endeqìmena To pr to b ma sth dhmiourgða thc JewrÐac Pijanot twn tan h je rhsh ìtita apotelèsmata twn tuqaðwn peiramˆtwn mporoôn na perigrafoôn me sônola, me ìfeloc pou ja faneð sthn epìmenh upoenìthta O ap teroc stìqoc tan h diatôpwsh tou majhmatikoô orismoô thc pijanìthtac, pou ja parousiasteð sthn upoenìthta AkoloujoÔn oi jemeli deic orismoð. Deigmatikìc q roc O deigmatikìc q roc (sample space) tuqaðou peirˆmatoc, eðnai: to sônolo twn dunat n apotelesmˆtwn tou. sumbolðzetai: me S Ω. diakrðnetai: se peperasmèno, ˆpeiro allˆ arijm simo kai ˆpeiro kai mh arijm simo; oi ˆpeiroi allˆ arijm simoi deigmatikoð q roi anafèrontai kai wc diakritoð. Parˆdeigma 3.1 Ja broôme touc deigmatikoô q rouc: (aþ) (bþ) (gþ) Stic xeqwristèc rðyeic enìc zarioô kai enìc nomðsmatoc. Sth rðyh dôo nomismˆtwn; tautìqrona diadoqikˆ eðnai to Ðdio. Ston arijmì twn klhr sewn tuqeroô paignidioô, gia parˆdeigma tou TZO- KER, pou ja mesolab soun èwc thn emfˆnish sugkekrimènhc exˆdac arijm n. (dþ) bˆroc sto diˆsthma 100 B 160 gr. Sthn katagraf tou bˆrouc enìc m lou pou eklègetai tuqaða apì poikilða me (aþ) Oi deigmatikoð q roi gia th rðyh tou zarioô kai tou nomðsmatoc eðnai S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kai S = {K, G}, ìpou ta K kai G upokajistoôn tic lèxeic {kefal } kai {grˆmmata}; shmei noume ìti ja mporoôsan na qrhsimopoihjoôn oi lèxeic. Kai oi dôo deigmatikoð q roi eðnai peperasmènoi. (bþ) O peperasmènoc deigmatikìc q roc gia th rðyh dôo nomismˆtwn mporeð na parastajeð wc S = {KK, KG, GK, GG }. (gþ) O deigmatikìc q roc gia ton arijmì twn klhr sewn c th sugkekrimènh exˆda arijm n (pou endeqomènwc paðzoume) eðnai S = {1, 2, 3,...}, dhlad eðnai ˆpeirocìpwc Mèroc Bþ: 56

9 deðqnei kai h sqetikˆ odunhr empeirða twn perissotèrwn apì macallˆ arijm simoc katametr simoc. (dþ) O deigmatikìc q roc gia thn tuqaða eklog m lou kai thn katagraf tou bˆrouc tou, eðnai to sônolo twn ˆpeirwn arijm nepeid eðnai adônato na katametrhjoôn pou an koun sto diˆsthma twn bar n thc poikilðac, dhlad S = {B : 100 B 160}. 'Ara eðnai ˆpeiroc kai mh arijm simoc. Aplì endeqìmeno kai endeqìmeno Aplì endeqìmeno (simple event): eðnai to kˆje èna stoiqeðo tou S kai apoteleð èna sônolo me èna stoiqeðo. Endeqìmeno (event): eðnai èna uposônolo tou S. SumbolÐzontai: me kefalaða grˆmmata, sun jwc me E me E i. To endeqìmeno pou den mporeð na sumbeð onomˆzetai adônato kai sumbolðzetai me to kenì sônolo. Parˆdeigma 3.2 (Sunèqeia tou ParadeÐgmatoc 3.1.) Ja anafèroume ta aplˆ endeqìmena kai adônata endeqìmena sta aþ dþ tou ParadeÐgmatoc 3.1, kai ja d soume apì èna parˆdeigma endeqomènou. (aþ) Sth rðyh tou zarioô, ta aplˆ endeqìmena eðnai ta èxi sônola E 1 = {1}, E 2 = {2},..., E 6 = {6}, èna endeqìmeno eðnai to E = {2, 4, 6} pou shmaðnei to apotèlesma na eðnai ˆrtioc arijmìc, kai adônata endeqìmena eðnai kˆje arijmìc megalôteroc tou 6 mikrìteroc tou 1. Sth rðyh tou nomðsmatoc, ta aplˆ endeqìmena eðnai ta dôo sônola E 1 = {K}, E 2 = {Γ }, ta endeqìmena tautðzontai me ta aplˆ endeqìmenaden upˆrqei kˆti ˆllo pou na mporeð na sumbeðkai adônata endeqìmena eðnai otid pote ˆllo ektìc twn dôo apl n endeqomènwn. (bþ) Sth rðyh dôo nomismˆtwn, ta aplˆ endeqìmena eðnai ta tèssera sônola E 1 = {KK }, E 2 = {KG }, E 3 = {GK }, E 4 = {GG }, èna endeqìmeno eðnai to E = {KG, GK, KK } pou shmaðnei na emfanisteð toulˆqiston mða kefal, kai adônata endeqìmena otid pote ˆllo ektìc tou deigmatikoô q rou. (gþ) Ston arijmì twn klhr sewn c thn sugkekrimènh exˆda, ta aplˆ endeqìmena eðnai ta ˆpeira allˆ arijm sima sônola E 1 = {1}, E 2 = {2},..., èna endeqìmeno eðnai to E = {1, 2, 3} pou shmaðnei ìti ja qreiastoôn to polô treic klhr seic c thn emfˆnish thc exˆdac, kai adônata endeqìmena eðnai kˆje arijmìc ektìc tou deigmatikoô q rou; gia parˆdeigma to mhdèn. (dþ) Sthn eklog m lou kai mètrhsh tou bˆrouc tou, ta aplˆ endeqìmena eðnai ˆpeira, èna endeqìmeno eðnai to bˆroc tou na eðnai mikrìtero apì 120 gr, dhlad E = {B : 100 B 120}, kai to adônato endeqìmeno eðnai mètrhsh ektìc twn orðwn tou diast matoc pou orðzei to deigmatikì q ro. Mèroc Bþ: 57

10 Dendrodiˆgramma To dendrodiˆgramma (tree diagram) ˆrqise na qrhsimopoieðtai gia thn anˆlush thc genealogik c seirˆc katagwg c tou anjr pou. EÐnai diˆgramma pou moiˆzei me kladiˆ dèndrou kai sth JewrÐa Pijanot twn, metaxô ˆllwn, bohjˆ kai ston prosdiorismì tou deigmatikoô q rou apì seirˆ tuqaðwn peiramˆtwn. ArqÐzontac apì thn upojetik rðza tou dèndrou, pou shmei netai me èntonh koukkðda, sqediˆzontai tìsa kladiˆ ìsa eðnai ta apotelèsmata tou pr tou peirˆmatoc. Stic apol xeic twn kladi n shmei nontai ta apotelèsmata. Sth sunèqeia, anˆloga me th sôndesh tou pr tou kai deôterou peirˆmatoc, to kˆje sqetikì kladð apoteleð kìmbo, pou shmei netai me mikrì kôklo kai diakladðzetai se tìsa kladiˆ ìsa ta apotelèsmata tou deôterou peirˆmatoc k.o.k., èwc ta apotelèsmata tou teleutaðou peirˆmatoc pou apoteloôn ta telikˆ kladiˆ tic apol xeic tou dèndrou. H katamètrhsh twn telik n kladi n dðnei ton arijmì twn apl n endeqomènwn tou deigmatikoô q rou. To kajèna aplì endeqìmeno eðnai o sunduasmìc twn apotelesmˆtwn pou brðskontai stouc kìmbouc kˆje diadrom c, apì th rðza c to kˆje teleutaðo kladð. Parˆdeigma 3.3 Ja qrhsimopoi soume dendrodiˆgramma gia to deigmatikì q ro tou tuqaðou peirˆmatoc pou sunðstatai apì th rðyh tri n nomismˆtwn. (aþ) Κ (ΚΚΚ) To apotèlesma thc rðyhc kˆje nomðsmatoc mporeð na jewrhjeð kai èna tuqaðo peðrama kai Κ Γ (ΚΚΓ) ta apotelèsmata thc kˆje rðyhc mporoôn na sunduastoôn. 'Etsi, to dèndro arqðzei me ta dôo kla- Κ Κ (ΚΓΚ) Γ diˆ gia ta apotelèsmata tou pr tou nomðsmatoc, sth sunèqeia to kˆje kladð apoteleð kìmbo pou Γ (ΚΓΓ) diakladðzetai sta apotelèsmata tou deôterou nomðsmatoc kai tèloc, apì ton kˆje kìmbo twn apotelesmˆtwn tou deôterou nomðsmatoc diakladðzo- Κ (ΓΚΚ) Κ ntai ta apotelèsmata tou trðtou nomðsmatoc pou Γ (ΓΚΓ) eðnai ta teleutaða kladiˆ. To dendrodiˆgramma Γ Κ (ΓΓΚ) dðnetai sto diplanì sq ma ìpou ta apotelèsmata sumbolðzontai ìpwc sto Parˆdeigma 3.1bþ kai Γ Γ (ΓΓΓ) shmei nontai epˆnw stouc kìmbouc. DÐpla sta teleutaða kladiˆ dðnontai se parenjèseic ta aplˆ endeqìmena pou eðnai oi sunduasmoð twn apotelesmˆtwn stouc kìmbouc kˆje diadrom c apì th rðza c to kˆje teleutaðo kladð. O deigmatikìc q roc eðnai to sônolo S = {KKK, KKG, KGK, KGG, GKK, GKG, GGK, GGG } Prˆxeic endeqomènwn Apì thn perigraf twn apotelesmˆtwn tuqaðou peirˆmatoc me sônola, kajðstantai e- fiktoð oi orismoð prˆxewn metaxô twn apotelesmˆtwnme thn dh upˆrqousa JewrÐa Mèroc Bþ: 58

11 A B A B S S A B A B A\B A B A c A, A S S A B A B Sq ma 3.1 Diagrˆmmata Venn twn prˆxewn endeqomènwn. Sunìlwnkai h majhmatik perigraf kai dhmiourgða sônjetwn apotelesmˆtwn; ta pio basikˆ parousiˆzontai parakˆtw. 'Ola autˆ od ghsan ston orismì thc pijanìthtac me ta axi mata tou Kolmogorov, sthn epìmenh upoenìthta 'Enwsh H ènwsh (union) dôo endeqomènwn A kai B, EÐnai: to endeqìmeno na sumbeð to A /kai to B. Dhlad na sumbeð mìnon to A mìnon to B kai ta dôo mazð; kontologðc, na sumbeð toulˆqiston èna apì ta dôo endeqìmena. ApartÐzetai: apì ìla ta aplˆ endeqìmena twn A kai B; h anaparˆstash thc ènwshc eðnai to skiasmèno mèroc tou epˆnw aristeroô diagrˆmmatoc sto Sq ma 3.1. SumbolÐzetai: me A B. Profan c Parˆdeigma 3.4 B A A B = A kai A B A B = B. 'Estw ìti o deigmatikìc q roc eðnai noshleuìmenoi asjeneðc ogkologik c klinik c no- Mèroc Bþ: 59

12 sokomeðou, sômfwna me to fôlo kai to eðdoc karkðnou. Epiplèon èstw ta endeqìmena A = {ˆndrac me karkðno}, Γ = {gunaðka me karkðno}, C ω = {asjen c me karkðno wojhk n}, C π = {asjen c me karkðno pneômona}. Tìte Γ C π = {gunaðka me karkðno /kai asjen c me karkðno pnèumona}, dhlad gunaðka me karkðno asjen c me karkðno pneômona (pou mporeð na eðnai ˆndrac gunaðka) gunaðka me karkðno pneômona. Anˆloga, Γ C ω = {gunaðka me karkðno /kai asjen c me karkðno wojhk n}, = Γ, giatð C ω Γ, dhlad gunaðka me karkðno asjen c me karkðno wojhk n (pou upoqrewtikˆ eðnai gunaðka) gunaðka me karkðno wojhk n, pou (telikˆ) shmaðnei gunaðka me karkðno. Tom H tom (intersection) dôo endeqomènwn A kai B, EÐnai: to endeqìmeno na sumbeð to A kai to B, dhlad na sumboôn tautìqrona ( mazð) ta dôo endeqìmena. ApartÐzetai: apì ta aplˆ endeqìmena pou eðnai koinˆ sta A kai B; h anaparˆstash thc tom c eðnai to skiasmèno mèroc tou epˆnw dexioô diagrˆmmatoc sto Sq ma 3.1. SumbolÐzetai: me A B. Profan c B A A B = B kai A B A B = A. S A B A B Eˆn dôo endeqìmena A kai B den mporoôn na sumboôn mazð tìte den upˆrqei h tom touc, dhlad A B =, kai ta endeqìmena onomˆzontai asumbðbasta (mutually exclusive); to sqetikì diˆgramma Venn dðnetai sto diplanì sq ma. Parˆdeigma 3.5 (Sunèqeia tou ParadeÐgmatoc 3.4.) Oi perigrafèc twn tom n twn endeqomènwn Γ C π kai Γ C ω eðnai: Γ C π = {gunaðka me karkðno pneômona} kai Γ C ω = {gunaðka me karkðno wojhk n} = C ω, giatð C ω Γ. Epiplèon, A C ω = {ˆndrac me karkðno wojhk n} =, giatð ta endeqìmena eðnai asumbðbasta. Mèroc Bþ: 60

13 Diaforˆ sqetikì sumpl rwma H diaforˆ (dierence) dôo endeqomènwn A meðon B to (sqetikì) sumpl rwma (relative complement) tou B wc proc to A, EÐnai: to endeqìmeno na sumbeð to A kai ìqi to B. ApartÐzetai: apì ta aplˆ endeqìmena tou A pou den an koun sto B; h anaparˆstash thc diaforˆc eðnai to skiasmèno mèroc tou kˆtw aristeroô diagrˆmmatoc sto Sq ma 3.1. SumbolÐzetai: me A B A\B. Profan c A B B A kai A B A B =, Parˆdeigma 3.6 (Sunèqeia tou ParadeÐgmatoc 3.4.) Oi perigrafèc twn diafor n twn endeqomènwn Γ C π kai Γ C ω eðnai: Wstìso, Γ C π = {gunaðka me karkðno pou den eðnai karkðnoc pneômona} kai Γ C ω = {gunaðka me karkðno pou den eðnai karkðnoc wojhk n}. C π Γ = {asjen c me karkðno pneômona pou den eðnai gunaðka} = C π A kai C ω Γ = {asjen c me karkðno wojhk n pou den eðnai gunaðka} =, giatð C ω Γ. Sumpl rwma antðjeto To (apìluto) sumpl rwma (complement) antðjeto tou endeqomènou A wc proc to deigmatikì q ro S, EÐnai: to endeqìmeno na mh sumbeð to A na sumbeð to antðjeto tou A. ApartÐzetai: apì ta aplˆ endeqìmena tou S pou den an koun sto A; h anaparˆstash tou sumplhr matoc eðnai to skiasmèno mèroc tou kˆtw dexioô diagrˆmmatoc sto Sq ma 3.1. SumbolÐzetai: me A c A Ā. Profan c Parˆdeigma 3.7 (Sunèqeia tou ParadeÐgmatoc 3.4.) Oi perigrafèc twn antðjetwn endeqomènwn eðnai A B = A B c. (3.2) A c = {gunaðka me karkðno} = Γ, C c ω = {asjen c me karkðno pou den eðnai karkðnoc Γ c = {ˆndrac me karkðno} = A, wojhk n}, C c π = {asjen c me karkðno pou den eðnai karkðnoc pneômona}. Mèroc Bþ: 61

14 Idiìthtec prˆxewn Gia tic en seic kai tomèc endeqomènwn isqôoun ìlec oi gnwstèc idiìthtec apì th JewrÐa Sunìlwn, gia parˆdeigma: A A A B = B ( A B C) = ( A B) ( C B C) = ( A B) ( A C) (antimetajetik idiìthta), (prosetairistik idiìthta), (epimeristik idiìthta), ìpou oi epˆnw prˆxeic sta dexiˆ mèlh antistoiqoôn stic epˆnw prˆxeic sta aristerˆ mèlh kai anˆloga oi kˆtw. SÔmfwna me touc nìmouc kanìnec tou De Morgan sth JewrÐa Sunìlwn, ta antðjeta thc ènwshc kai tom c dôo endeqomènwn ekfrˆzontai antðstoiqa me thn tom kai ènwsh twn antðjetwn endeqomènwn. Sugkekrimèna, (A B) c = A c B c, (3.3) (A B) c = A c B c. (3.4) Oi isodunamðec twn dôo mel n epibebai nontai kai me ta sqetikˆ diagrˆmmata Venn af nontai gia ˆskhshallˆ kai diaisjhtikˆ. Sthn (3.3) to endeqìmeno (A B) c shmaðnei na mh sumbeð: to A to B kai ta dôo (na mh sumbeð toulˆqiston èna apì ta dôo), dhlad oôte to A oôte to B (dhlad na mh sumbeð kanèna apì ta dôo); autì eðnai isodônamo me to endeqìmeno na mh sumbeð to A kai na mh sumbeð to B. Anˆloga, sthn (3.4) to endeqìmeno (A B) c shmaðnei na mh sumbeð: to A kai to B mazðdhlad na sumbeð otid pote ektìc thc tautìqronhc pragmatopoðhshc twn A kai Bpou eðnai isodônamo me to endeqìmeno na mh sumbeð to A /kai na mh sumbeð to B. Parˆdeigma 3.8 (aþ) 'Estw ta endeqìmena A = {akribì proðìn} kai B = {proðìn kal c poiìthtac}. Tìte Anˆloga, (A B) c = {proðìn pou den eðnai: akribì kal c poiìthtac akribì kai kal c poiìthtac} = {proðìn pou den eðnai oôte akribì oôte kal c poiìthtac} = {proðìn pou den eðnai akribì kai den eðnai kal c poiìthtac} = A c B c. (A B) c = {proðìn pou den eðnai: akribì kai kal c poiìthtac} = {proðìn pou den eðnai akribì den eðnai kal c poiìthtac den eðnai akribì kai den eðnai kal c poiìthtac} = A c B c. (bþ) 'Estw ta endeqìmena E i = {ergˆzetai to i paidð}, i = 1, 2, miac oikogèneiac. Mèroc Bþ: 62

15 Tìte Anˆloga, (E 1 E 2 ) c = {den ergˆzetai: toulˆqiston èna paidð} = {den ergˆzetai oôte to èna oôte to ˆllo paidð} = {den ergˆzetai kanèna paidð} = E1 c E2. c (E 1 E 2 ) c = {den ergˆzontai: kai ta dôo paidiˆ} = {den ergˆzetai to èna paidð den ergˆzetai to ˆllo den ergˆzetai to èna kai den ergˆzetai to ˆllo paidð} = E1 c E2. c Parˆdeigma 3.9 (Sunèqeia tou ParadeÐgmatoc 3.1bþ.) 'Estw ta endeqìmena A = {toulˆqiston mða {kefal }} kai B = {to deôtero nìmisma deðqnei {grˆmmata}} sth rðyh dôo nomismˆtwn. Ja prosdiorðsoume ta endeqìmena: (aþ) A B. (bþ) A B. (gþ) A c. (dþ) A B. O deigmatikìc q roc upologðsthke sto Parˆdeigma 3.1bþ. Qrhsimopoi ntac tic ekeð suntomografðec èqoume ìti A = {KK, KG, GK } kai B = {KG, GG }. 'Ara: (aþ) A B = {KK, KG, GK, GG } = S. (bþ) A B = {KG }. (gþ) A c = {GG }. (dþ) A B = {KK, GK } Majhmatikìc orismìc kai idiìthtec H pijanìthta eðnai mða sunˆrthsh, P, pou orðzetai sto deigmatikì q ro S kai ikanopoieð ta parakˆtw axi mata, pou eðnai gnwstˆ wc ta axi mata tou Kolmogorov: AxÐwma 3.1 diˆsthma [0, 1], dhlad, AxÐwma 3.2 AxÐwma 3.3 H pijanìthta pragmatopoðhshc tou endeqomènou E eðnai arijmìc sto 0 P (E) 1. P (S) = 1, o deigmatikìc q roc eðnai to bèbaio endeqìmeno. Eˆn ta E 1, E 2,..., E k eðnai anˆ dôo asumbðbasta endeqìmena, tìte P (E 1 E 2 E k ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) + + P (E k ). Apì to majhmatikì orismì prokôptoun diˆforec idiìthtec pijanot twn, oi pio basikèc gia dôo endeqìmena A kai B eðnai: P (A c ) = 1 P (A), (3.5) P (A B) = P (A) P (A B), (3.6) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (3.7) = P (A) + P (B), eˆn A B =, P (A) = P (A B) + P (A B c ). (3.8) Mèroc Bþ: 63

16 Shmei noume ìti o axiwmatikìc orismìc den upodeiknôei ton trìpo upologismoô thc pijanìthtac, ìpwc o klasikìc orismìc sthn (3.1), allˆ efodiˆzei me kanìnec kai tôpouc gia touc upologismoôc twn pijanot twn sônjetwn endeqomènwn; ìpwc ja doôme sta epìmena paradeðgmata, se praktikˆ probl mata oi dôo orismoð sunduˆzontai. Parˆdeigma 3.10 Se pìlh pou mastðzetai apì anergða, ta endeqìmena ergasðac kai anergðac eðnai isopðjana gia touc nèouc èwc kai triˆnta et n; me th lèxh isopðjana ennooôme ìti o lìgoc pijanot twn ergasðac kai anergðac eðnai 1:1. 'Estw oikogèneia me trða paidiˆ sthn proanaferjeðsa hlikiak omˆda. Ja upologðsoume thn pijanìthta: (aþ) Na ergˆzontai ìla ta paidiˆ. (bþ) Na ergˆzontai dôo paidiˆ. (gþ) Na ergˆzetai èna paidð. (dþ) Na mhn ergˆzetai kanèna paidð. (eþ) Na ergˆzontai ligìtera apì dôo paidiˆ. Gia eukolða ja antistoiq soume touc arijmoôc 1, 2, 3 sto kˆje paidð kai ja sumbolðsoume me E i kai Ei c ta endeqìmena ergasðac kai anergðac tou paidioô i = 1, 2, 3. 'Etsi, o deigmatikìc q roc tou peirˆmatoc eðnai to sônolo, S = {E 1 E 2 E 3, E c 1E 2 E 3, E 1 E c 2E 3, E 1 E 2 E c 3, E c 1E c 2E 3, E c 1E 2 E c 3, E 1 E c 2E c 3, E c 1E c 2E c 3}, To kajèna apì ta okt stoiqeða tou deigmatikoô q rou apoteloôn èna aplì endeqìmeno. OrÐzoume ta endeqìmena A i = {ergˆzontai i paidiˆ}, i = 0, 1, 2, 3. 'Olec oi zhtoômenec pijanìthtec upologðzontai eôkola me ton klasikì orismì sthn (3.1), wstìso sta dôo teleutaða erwt mata mporoôn na qrhsimopoihjoôn kai idiìthtec pijanot twn. (aþ) A 3 = {E 1 E 2 E 3 }, ˆra P (A 3 ) = 1/8. (bþ) A 2 = {E1E c 2 E 3, E 1 E2E c 3, E 1 E 2 E3}, c ˆra P (A 2 ) = 3/8. (gþ) A 1 = {E1E c 2E c 3, E1E c 2 E3, c E 1 E2E c 3}, c ˆra P (A 1 ) = 3/8. (dþ) A 0 = {E1E c 2E c 3}, c ˆra P (A 0 ) = 1/8 apì ton klasikì orismì. Enallaktikˆ, to zhtoômeno endeqìmeno mporoôse na upologisteð apì thn (3.5) kai ta a' g' wc to sumpl rwma touc, dhlad P (A 0 ) = 1 P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) = 1/8, giatð ta A i eðnai asumbðbasta. (eþ) A 0 A 1 = {E1E c 2E c 3, c E1E c 2E c 3, E1E c 2 E3, c E 1 E2E c 3}, c ˆra P (A 0 A 1 ) = 4/8 = 1/2 apì ton klasikì orismì. Enallaktikˆ, apì thn (3.7) gia asumbðbasta endeqìmena kai ta g', d' P (A 0 A 1 ) = P (A 0 ) + P (A 1 ) P (A 0 A 1 ) = = 1 2. Parˆdeigma 3.11 Katˆsthma super market promhjeôetai epitrapèzia m la Stˆrkin apì dôo paragwgoôc, touc A kai B, gnwrðzontac ìti to 2% twn telˆrwn thc paraggelðac ap' ton kajèna perilambˆnei m la deôterhc poiìthtac; dhlad ˆgourouc karpoôc pr imhc sugkomid c pou de diakrðnontai apì thn exwterik touc emfˆnish. 'Etsi, eˆn sta yugeða tou katast matoc sunthroôntai dôo prìsfatec paraggelðec eðkosi telˆrwn apì ton paragwgì A kai Mèroc Bþ: 64

17 dèka apì ton B, tìte h taxinìmhsh twn diajèsimwn telˆrwn sômfwna me thn proèleush kai thn poiìthta ja eðnai ìpwc ston pðnaka pou akoloujeð. Poiìthta Paragwgìc Pr th DeÔterh SÔnolo A B SÔnolo 'Estw ìti eklègetai tuqaða èna telˆro m lwn apì to sônolo, gia na diatejeð sto shmeðo p lhshc froôtwn kai laqanik n. Ja upologðsoume thn pijanìthta to telˆro: (aþ) Na eðnai pr thc poiìthtac. (bþ) Na proèrqetai apì ton paragwgì A. (gþ) Na eðnai pr thc poiìthtac kai na proèrqetai apì ton paragwgì A. (dþ) Na eðnai deôterhc poiìthtac na proèrqetai apì ton paragwgì B. O deigmatikìc q roc tou peirˆmatoc eðnai to sônolo twn triˆnta telˆrwn sto yugeðo tou katast matoc. SÔmfwna me ta zhtoômena orðzoume ta endeqìmena Π = {to telˆro eðnai pr thc poiìthtac} kai A = {to telˆro proèrqetai apì ton paragwgì A}. Apì ta dedomèna tou pðnaka brðskoume: (aþ) Apì to pr to stoiqeðo thc perij riac gramm c, pou anafèretai sthn pr th poiìthta, brðskoume ìti P (Π) = = 4 5. (bþ) Apì to pr to stoiqeðo thc perij riac st lhc, pou anafèretai ston paragwgì A, brðskoume ìti P (A) = = 2 3. (gþ) Apì to pr to stoiqeðo tou pðnakasth diastaôrwsh thc pr thc gramm c kai st lhcpou anafèretai sthn pr th poiìthta kai ston paragwgì A, brðskoume ìti P (A Π) = = (dþ) Anˆloga me ta prohgoômena erwt mata brðskoume ìti P (Π c ) = 6 30, P (Ac ) = kai P (Ac Π c ) = 2 30, ˆra apì thn (3.7) P (A c Π c ) = = = Enallaktikˆ, mporoôme na qrhsimopoi soume to deôtero nìmo tou De Morgan sthn (3.4) kai to apotèlesma sto g', ste na broôme ˆmesa ìti P (A c Π c ) = P { (A Π) c} = 1 P (A Π) = = Desmeumènh pijanìthta Er thsh: Eˆn, sto Parˆdeigma 3.11, tan bèbaio ìti to telˆro pou ja eklegeð ja èqei m la pr thc poiìthtac, poia eðnai h pijanìthta to telˆro na proèrqetai apì ton paragwgì A? Mèroc Bþ: 65

18 Apˆnthsh: AfoÔ to endeqìmeno Π = {to telˆro eðnai pr thc poiìthtac} eðnai bèbaio, autì shmaðnei ìti sunèbh kai, ousiastikˆ, anazhtoôme p c ja ephreˆsei to Π thn pragmatopoðhsh tou A. Prin sumbeð to Π, S = {triˆnta telˆra m lwn apì touc dôo paragwgoôc}. 'Omwc, afoô sunèbh to Π, S = Π, dhlad o deigmatikìc q roc surrikn jhke sta 24 m la pr thc poiìthtac, apì ta opoða ta 16 proèrqontai apì ton A. 'Ara, me ton klasikì orismì, h zhtoômenh pijanìthta eðnai = 16/30 24/30 P (A Π) =, P (Π) ìpou h isìthta aporrèei apì ta dedomèna tou pðnaka. H teleutaða sqèsh orðzei thn pijanìthta pragmatopoðhshc tou endeqomènou A ìtan èqei sumbeð to endeqìmeno Π kai onomˆzetai desmeumènh pijanìthta tou A dojèntoc tou Π. Genikˆ, gia dôo endeqìmena A kai B, to endeqìmeno na sumbeð to A dojèntoc ìti èqei sumbeð to B sumbolðzetai me A B. H pijanìthta pragmatopoðhshc tou A B onomˆzetai desmeumènh upì sunj kh (conditional) pijanìthta thc pragmatopoðhshc tou A, dojèntoc ìti èqei sumbeð to B, kai orðzetai apì th sqèsh P (A B) = P (A B). (3.9) P (B) Merikèc forèc h P (A) anafèretai, se antidiastol, kai wc h adèsmeuth (unconditional) apìluth pijanìthta pragmatopoðhshc tou A. S H desmeumènh pijanìthta apotimˆ thn epirro pou askeð to endeqìmeno B A B B pou sunèbh, sthn pragmatopoðhsh tou A pou ja sumbeð. 'Opwc faðnetai sto diplanì sq ma me th diagrammatik A anaparˆstash tou A B, upì mða ènnoia, h P (A B) metrˆ th sqetik pijanìthta pragmatopoðhshc tou endeqomènou A wc proc to surriknwmèno deigmatikì q ro, B. Pìte eðnai qr simoc o upologismìc thc P (A B)? Sun jwc ìtan jèloume na apotim soume thn epirro tou B sthn pragmatopoðhsh tou A, giatð pisteôoume ìti to B eðnai h pijan aitða pragmatopoðhshc tou A. 'Etsi, h desmeumènh pijanìthta qrhsimopoieðtai sun jwc sth diereônhsh sqèshc aitðac-apotelèsmatoc metaxô dôo endeqomènwn. Profan c, kai antðjeta me thn ènwsh kai tom dôo endeqomènwn, h antimetajetik idiìthta den isqôei sth dèsmeush, dhlad A B B A kai ˆra genikˆ P (B A) = P (A B) P (A) P (A B), Mèroc Bþ: 66 ektìc eˆn P (A) = P (B).

19 ApodeiknÔetai ìti h desmeumènh pijanìthta ikanopoieð ta Axi mata (3.1) (3.3) tou orismoô thc pijanìthtac kai ìti Apì thn (3.9) paðrnoume thn enallaktik sqèsh, P (A c B) = 1 P (A B). (3.10) P (A B) = P (A B)P (B), = P (B A)P (A), (3.11) pou onomˆzetai pollaplasiastikìc nìmoc kanìnac kai apoteleð trìpo upologismoô thc pijanìthtac thc tom c dôo endeqomènwn ìtan eðnai gnwst h desmeumènh pijanìthta. Parˆdeigma 3.12 (Sunèqeia tou ParadeÐgmatoc 3.11.) 'Estw ìti eklègontai tuqaða dôo telˆra me m la. Ja upologðsoume thn pijanìthta na eðnai pr thc poiìthtac. OrÐzoume ta endeqìmena Π i = {to telˆro i eðnai pr thc poiìthtac}, i = 1, 2. Apì thn (3.11) brðskoume ìti P (Π 1 Π 2 ) = P (Π 1 )P (Π 2 Π 1 ) = = Parˆdeigma 3.13 O upeôjunoc promhjei n alusðdac katasthmˆtwn H/U apofˆsise ìti ja aporrðyei mia megˆlh paraggelða DVD apì nèo promhjeut, eˆn brejeð toulˆqiston èna elattwmatikì DVD sta dôo pou ja eklèxei tuqaða apì pakèto twn sarˆnta. Eˆn to posostì twn elattwmatik n eðnai 10% ja upologðsoume thn pijanìthta: (aþ) Ta dôo DVD na eðnai elattwmatikˆ. (bþ) To deôtero DVD na eðnai elattwmatikì. (gþ) H paraggelða na gðnei dekt. SÔmfwna me ta dedomèna to pakèto perièqei tèssera elattwmatikˆ DVD. OrÐzoume ta endeqìmena, E i = {to DVD i eðnai elattwmatikì}, i = 1, 2. (aþ) Apì thn (3.11) brðskoume ìti P (E 1 E 2 ) = P (E 1 )P (E 2 E 1 ) = = (bþ) Profan c E 2 = (E 1 E 2 ) (E1 c E 2 ), ìpou ta dôo epimèrouc endeqìmena eðnai asumbðbasta. 'Ara, P (E 2 ) = P (E 1 E 2 ) + P (E c 1 E 2 ) apì thn (3.8) = P (E 1 E 2 ) + P (E c 1)P (E 2 E c 1) apì thn (3.11) = = ParathroÔme ìti P (E 2 ) = P (E 1 ) ki autì den eðnai sômptwsh, allˆ isqôei pˆnta se tètoiec katastˆseic (bl. sto biblðo). H paraggelða gðnetai dekt eˆn kai ta dôo DVD den eðnai elattwmatikˆ, dh- H sqetik pijanìthta mporeð na (gþ) lad eˆn pragmatopoihjeð to endeqìmeno E1 c E2 c. Mèroc Bþ: 67

20 upologisteð me dôo trìpouc. Me ton pollaplasiastikì nìmo sthn (3.11) wc P (E c 1 E c 2) = P (E c 1)P (E c 2 E c 1) = = 21 26, me ton pr to kanìna tou De Morgan sthn (3.3) wc P (E c 1 E c 2) = P { (E 1 E 2 ) c} = 1 P (E 1 E 2 ) = = AnexarthsÐa endeqomènwn Er thsh: Profan c, sugkrðnontac th desmeumènh pijanìthta P (A B) me thn P (A) ja isqôei ìti P (A B) > < P (A). MporeÐ ìmwc na isqôei ìti P (A B) = P (A)? Apˆnthsh: Nai, ìtan h pragmatopoðhsh tou B den ephreˆzei de metabˆllei thn pragmatopoðhsh tou A, dhlad ìtan h h pragmatopoðhsh tou A den exartˆtai a- pì thn pragmatopoðhsh tou B; kontologðc, ìtan ta A kai B eðnai anexˆrthta (independent) endeqìmena. 'Etsi, èstw dôo endeqìmena A, B kai P (A) > 0, P (B) > 0. Ta A kai B eðnai anexˆrthta eˆn isqôei ìti P (A B) = P (A), (3.12) P (A B) = P (A)P (B), (3.13) ìpou h (3.13) aporrèei ˆmesa apì thn (3.12) kai ton pollaplasiastikì nìmo sthn (3.11). Eˆn ta endeqìmena A kai B eðnai anexˆrthta tìte, P (A B) = P (A) P (B A) = P (B) (3.14) giatð, profan c, eˆn isqôei h mða apì tic dôo sqèseic thc sunepagwg c tìtep (A B) = P (A)P (B), ˆra ja isqôei kai h ˆllh. Sunep c, gia na apodeiqjeð h anexarthsða arkeð na epalhjeuteð èna apì ta dôo krit ria sunj kec stic (3.12) kai (3.13); h epilog exartˆtai apì ta dedomèna tou probl matoc. H idiìthta thc anexarthsðac dôo endeqomènwn metafèretai sta antðjetˆ touc. 'Etsi, eˆn ta A kai B eðnai anexˆrthta tìte kai ta endeqìmena: (aþ) A c kai B, (bþ) B c kai A, (gþ) A c kai B c, eðnai anexˆrthta; gia tic eôkolec apodeðxeic bl. sto biblðo. Er thsh: Eˆn ta A, B eðnai tètoia ste P (A) > 0 kai P (B) > 0, isqôei ìqi ìti A, B asumbðbasta? A, B anexˆrthta? Mèroc Bþ: 68

21 Apˆnthsh: (Pollèc forèc kˆti {faðnetai na eðnai} allˆ {den eðnai}, kai kˆti {de faðnetai na eðnai} allˆ {eðnai}!) 'Etsi ki ed, me gr gorh skèyh faðnetai na isqôei giatð sugqèoume thn èlleiyh koin n stoiqeðwn (asumbðbasta) me thn èlleiyh sqèshc (anexˆrthta)allˆ me lðgo perissìterh skèyh katal goume ìti den isqôei, dhlad A, B asumbðbasta A, B anexˆrthta. Mˆlista, h èlleiyh koin n stoiqeðwn apokleðei thn anexarthsða kai h anexarthsða apokleðei thn èlleiyh koin n stoiqeðwn. GiatÐ: A B = P (A B) = 0 P (A)P (B) > 0 A, B anexˆrthta kai P (A B) = P (A B)/P (B) = 0 pou shmaðnei ìti h pragmatopoðhsh tou B apokleðei thn pragmatopoðhsh tou A; h gn sh ìti ègine to B ephreˆzei thn pijanìthta na sumbeð to A. FaÐnetai loipìn ìti gia na eðnai dôo endeqìmena anexˆrthta prèpei na èqoun tom, dhlad kˆpoia koinˆ stoiqeða. Apì thn ˆllh meriˆ, A, B anexˆrthta P (A B) = P (A)P (B) > 0 A B. Sunep c, ìtan dôo endeqìmena eðnai asumbðbasta den mporoôn na eðnai anexˆrthta kai eˆn eðnai anexˆrthta den mporoôn na eðnai asumbðbasta... ìpwc epibebai netai kai sthn kajhmerinìthtˆ mac. Parˆdeigma 3.14 Se mða kallièrgeia èqei parathrhjeð ìti to 15% twn fut n prosbˆllontai apì thn arr stia A, to 20% apì thn arr stia B kai to 32% apì toulˆqiston mða apì tic dôo. Ja elègxoume eˆn oi emfanðseic twn dôo asjenei n eðnai anexˆrthtec. Eˆn orðsoume ta endeqìmena A = {prosbol apì thn asjèneia A} kai B = {prosbol apì thn asjèneia B}, tìte dðnetai ìti P (A) = 0.15, P (B) = 0.20 kai P (A B) = 'Etsi, apì thn (3.7) brðskoume ìti P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = 0.03 = P (A)P (B), ˆra h (3.13) epalhjeôetai kai sunep c oi emfanðseic twn dôo asjenei n eðnai anexˆrthtec. Mèroc Bþ: 69

22 3.4 Ta Jewr mata Olik c Pijanìthtac kai tou Bayes Ti èqoume: H pragmatopoðhsh tou endeqomènou pou endiafèrei, E 2, exartˆtai apì ˆlla dôo sumplhrwmatikˆ asumbðbasta endeqìmena, E 1 kai E c 1. Ti jèloume: GnwrÐzontac thn P (E 1 ) kai tic P (E 2 E 1 ) kai P (E 2 E c 1) jèloume na upologðsoume tic P (E 2 ) kai P (E 1 E 2 ). ParadeÐgmata: 1 (Asjèneia apì FÔlo) H emfˆnish asjèneiac (E 2 ) se plhjusmì exartˆtai apì to fôlo, E 1 = {GunaÐkec} kai E c 1 = {'Andrec}. GnwrÐzoume to posostì twn gunaik n ston plhjusmì, P (E 1 ), kai ta posostˆ noshrìthtac stic gunaðkec kai stouc ˆndrec, P (E 2 E 1 ) kai P (E 2 E c 1). Jèloume to posostì asjen n ston plhjusmì, P (E 2 ), kai to posostì twn gunaik n stouc asjeneðc, P (E 1 E 2 ). 2 (Iatrikì test apì nìso) To jetikì apotèlesma iatrik c exètashc-test (E 2 ) gia thn anðqneush nìsou exartˆtai apì thn Ôparxh ìqi thc nìsou ston organismì, dhlad apì ta E 1 = {parousða nìsou (asjen c me th nìso)} kai E c 1 = {apousða nìsou (mh asjen c ugi c apì th nìso)}. GnwrÐzoume to posostì twn asjen n me th nìso, P (E 1 ), kai ta posostˆ jetikoô apotelèsmatoc stic exetˆseic asjen n kai mh asjen n, P (E 2 E 1 ) kai P (E 2 E c 1). Jèloume to posostì jetik n apotelesmˆtwn tou test, P (E 2 ), kai to posostì twn asjen n s' autoôc pou diagn sthkan jetikoð sthn nìso, P (E 1 E 2 ). 3 (AnergÐa apì FÔlo HlikÐa) H anergða (E 2 ) se plhjusmì exartˆtai apì to fôlo, E 1 = {GunaÐka} kai E c 1 = {'Andrac}. GnwrÐzoume to posostì twn gunaik n ston plhjusmì, P (E 1 ), kai ta posostˆ anergðac stic gunaðkec kai stouc ˆndrec, P (E 2 E 1 ) kai P (E 2 E c 1). Jèloume to posostì anergðac tou plhjusmoô, P (E 2 ), kai to posostì twn gunaik n stouc anèrgouc tou plhjusmoô, P (E 1 E 2 ). Parapl sia eðnai h katˆstash ìtan E 1 = {HlikÐa 30 et n} kai E c 1 = {HlikÐa > 30 et n}. 4 (Akatˆllhlh ulikˆ apì Promhjeutèc) H akatˆllhlh pr th Ôlh (E 2 ) se paraggelða epiqeðrhshc exartˆtai apì touc dôo promhjeutèc, E 1 = {Promhjeut c 1} kai E c 1 = {Promhjeut c 2}. GnwrÐzoume to posostì pr thc Ôlhc pou promhjeôetai h epiqeðrhsh apì ton 1, P (E 1 ), kai ta posostˆ akatˆllhlhc pr thc Ôlhc stic prom jeiec twn 1 kai 2, P (E 2 E 1 ) kai P (E 2 E c 1). Jèloume to posostì akatˆllhlhc pr thc Ôlhc sto sônolo thc paraggelðac, P (E 2 ), kai to posostì prom jeiac tou 1 sto sônolo thc akatˆllhlhc pr thc Ôlhc sthn paraggelða, P (E 1 E 2 ). 5 (Elattwmatikˆ apì Mhqanèc paragwg c) Oi elattwmatikèc monˆdec proðìntoc (E 2 ) pou diapist nontai stouc poiotikoôc elègqouc exart ntai apì tic dôo mhqanèc paragwg c, E 1 = {Mhqan 1} kai E c 1 = {Mhqan 2}. GnwrÐzoume to Mèroc Bþ: 70

23 S E 1 E2 E1 E 2 S E 1 E 3 E E k 1 E 2 E c 1 E c 1 E 2 E 4 E k (aþ) (bþ) Sq ma 3.2 Diagrˆmmata Venn exarthmènhc pragmatopoðhshc: (aþ) tou E 2 apì ta E 1 kai E c 1 kai (bþ) tou E apì ta E i, i = 1,..., k, sto Je rhma 3.1. posostì paragwg c pou sunteleðtai apì thn 1, P (E 1 ), kai ta posostˆ elattwmatik n pou parˆgontai apì tic mhqanèc 1 kai 2, P (E 2 E 1 ) kai P (E 2 E c 1). Jèloume to (sunolikì) posostì elattwmatik n monˆdwn sthn paragwg proðìntoc,p (E 2 ), kai to posostì paragwg c thc 1 sto sônolo twn elattwmatik n pou diapist jhkan, P (E 1 E 2 ). P c ja upologðsoume ta zhtoômena? EÔkola!..., ìpwc ja doôme amèswc è- qoume dh kˆnei tètoiouc upologismoôc. Sto diˆgramma aþ tou Sq matoc 3.2 anaparistˆnetai h exˆrthsh thc pragmatopoðhshc tou E 2 apì ta E 1 kai E1 c, gia ìla ta paradeðgmata pou proanafèrjhkan. Sthn (3.8) eðdame ìti ìpoia kai na eðnai h sqèsh dôo endeqomènwn A kai B, to A mporeð na dhmiourghjeð apì thn ènwsh thc tom c tou me to B kai thc tom c tou me to B c, dhlad A = (A B) (A B c ) P (A) = P (A B) + P (A B c ), giatð ta endeqìmena twn tom n eðnai asumbðbasta. Jètontac A = E 2, B = E 1 kai qrhsimopoi ntac ton pollaplasiastikì nìmo sthn (3.11) paðrnoume kai P (E 2 ) = P (E 2 E 1 ) + P (E 2 E c 1) = P (E 2 E 1 )P (E 1 ) + P (E 2 E c 1)P (E c 1), (3.15) P (E 1 E 2 ) = P (E 1 E 2 ) P (E 2 ) = P (E 2 E 1 )P (E 1 ). (3.16) P (E 2 ) Oi (3.15) kai (3.16) apoteloôn tic aploôsterec peript seic twn jewrhmˆtwn thcolik c Pijanìthtac kai tou Bayes antðstoiqa, pou diatup nontai genikˆ sto Je rhma 3.1. Je rhma 3.1 Eˆn o deigmatikìc q roc enìc tuqaðou peirˆmatoc, S, diameristeð se k asumbðbasta endeqìmena E i kai P (E i ) > 0, i = 1,..., k, tìteìpwc faðnetai kai sto Mèroc Bþ: 71

24 diˆgramma bþ tou Sq matoc 3.2gia kˆje endeqìmeno E: P (E) = = k P (E E i ) i=1 k P (E E i )P (E i ) (Je rhma Olik c Pijanìthtac), (3.17) i=1 P (E i E) = P (E E i) P (E) = P (E E i)p (E i ) P (E) (Je rhma tou Bayes). (3.18) Merikèc forèc, oi P (E i ) anafèrontai wc prìterec (prior) ek twn protèrwn (a priori) pijanìthtec na sumboôn ta endeqìmena E i. Oi P (E i E) anafèrontai wc Ôsterec (posterior) ek twn ustèrwn (a posteriori) anajewrhmènec (revised) pijanìthtec pragmatopoðhshc kajenìc apì ta E i, efìson èqei sumbeð to E. Tèloc, oi P (E E i ) anafèrontai wc oi pijanofˆneiec (likelihood) tou endeqomènou E se kajèna apì ta endeqìmena E i ( ìtan èqei sumbeð to kajèna apì ta E i ). Epiplèon, h Iatrik èqei th dik thc orologða sto Parˆdeigma 2 sthn arq thc enìthtac, me thn exˆrthsh tou jetikoô apotelèsmatoc kˆpoiou test apì thn parousða apousða miac asjèneiac ston organismì. 'Etsi, oi P (E 2 E c 1) kai P (E c 2 E 1 ), stic (3.15) kai (3.16), eðnai oi pijanìthtec esfalmèna jetikoô (false positive) kai esfalmèna arnhtikoô (false negative) test antðstoiqa. H P (E 2 E 1 ), pou eðnai h pijanìthta swstoô jetikoô test (to antðjeto tou esfalmèna arnhtikoô), anafèretai wc euaisjhsða (sensitivity) tou iatrikoô test, giatð metrˆ thn apotelesmatikìthta thc exètashc sthn anðqneush thc nìsou. H P (E c 2 E c 1), pou eðnai h pijanìthta swstoô arnhtikoô test (to antðjeto tou esfalmèna jetikoô), anafèretai wc eidikìthta exeidðkeush (specicity) tou test, giatð metrˆ thn apotelesmatikìthta thc exètashc sth diˆkrish thc nìsou apì parìmoiec sumptwmatologðec. Tèloc, h Ôsterh pijanìthta P (E 1 E 2 )aut pou upologðzetai me to je rhma tou Bayesanafèretai wc h jetik probleptik axða (positive predictive value) tou test sth diˆgnwsh thc nìsou; ìso pio megˆlh eðnai h P (E 1 E 2 ) tìso pio isqurì eðnai to test wc diagnwstikì ergaleðo. Parˆdeigma 3.15 Se plhjusmì me Ðso arijmì andr n kai gunaik n, to 5% twn andr n kai to 0.25% (25 stic 10000) twn gunaik n èqoun aqrwmatoyða. Ja upologðsoume thn pijanìthta me thn opoða, èna ˆtomo pou ja eklegeð tuqaða apì ton plhjusmì: (aþ) Ja èqei aqrwmatoyða. (bþ) Ja eðnai ˆndrac dojèntoc ìti èqei aqrwmatoyða. SÔmfwna me ta zhtoômena, eˆn orðsoume ta endeqìmena A χ = {ˆtomo me aqrwmatoyða} kai A = {ˆndrac}, tìte dðnetai ìti, P (A χ A) = 0.05, P (A χ A c ) = kai Mèroc Bþ: 72

25 P (A) = (aþ) Apì thn (3.17) me k = 2 brðskoume ìti P (A χ ) = P (A χ A)P (A) + P (A χ A c )P (A c ) = = = , ˆra to posostì atìmwn me aqrwmatoyða ston plhjusmì eðnai perðpou 2.6%, isodônama, èna ˆtomo tou plhjusmoô èqei aqrwmatoyða me pijanìthta perðpou 2.6%. (bþ) Apì thn (3.18) kai to a' brðskoume ìti P (A A χ ) = P (A χ A)P (A) P (A χ ) = = , pou shmaðnei ìti èna ˆtomo me aqrwmatoyða ja eðnai ˆndrac me pijanìthta perðpou 95%, isodônama, ìti to posostì twn andr n sta ˆtoma tou plhjusmoô me aqrwmatoyða eðnai perðpou 95%. Parˆdeigma 3.16 H epiqeðrhsh eisagwg n-exagwg n A ja analˆbei thn prom jeia agrotik n mhqanhmˆtwn kai ergaleðwn se mða anaptussìmenh q ra me pijanìthta 45%, eˆn den upobˆllei upoyhfiìthta sto sqetikì diagwnismì h antagwnistik thc epiqeðrhsh B; ìtan h a- ntagwnðstria upobˆllei h pijanìthta mei netai sto 25%. Eˆn h pijanìthta upobol c upoyhfiìthtac thc B eðnai 40%, ja upologðsoume thn pijanìthta me thn opoða: (aþ) H prom jeia ja katakurwjeð sthn A. (bþ) Den upèbale upoyhfiìthta h B, dojèntoc ìti h prom jeia katakur jhke telikˆ sthn A. Profan c, to eunoðkì apotèlesma tou diagwnismoô gia thn epiqeðrhsh A exartˆtai apì to an ja upobˆlei upoyhfiìthta ìqi h antagwnðstriˆ thc B. SÔmfwna me ta zhtoômena, eˆn orðsoume ta endeqìmena K A = {katakôrwsh prom jeiac sthn A} kai Y B = A P (A χ A) A χ = P (A)P (A χ A) Y B P (K A Y B ) K A = P (YB )P (K A Y B ) P (A) P (A c χ A) A c χ = P (A)P (A c χ A) P (Y B ) P (K c A Y B) K ca = P (Y B )P (K c A Y B) P (A c ) P (A χ A c ) A χ = P (A c )P (A χ A c ) P (Y c B ) P (K A Y c B ) K A = P (Y c B )P (K A Y c B ) A c Y c B P (A c χ A c ) A c χ = P (A c )P (A c χ A c ) P (K c A Y c B ) K ca = P (Y c B )P (Kc A Y c B ) Sq ma 3.3 Ta dendrodiagrˆmmata sta ParadeÐgmata 3.15 (aristerˆ) kai 3.16 (dexiˆ). Mèroc Bþ: 73

26 {upobol upoyhfiìthtac thc B}, tìte dðnetai ìti, P (K A YB c) = 0.45, P (K A Y B ) = 0.25 kai P (Y B ) = (aþ) Apì thn (3.17) me k = 2 brðskoume ìti P (K A ) = P (K A Y B )P (Y B ) + P (K A Y c B)P (Y c B) = = , pou shmaðnei ìti h A ja analˆbei to èrgo me pijanìthta 37%. (bþ) Apì thn (3.18) kai to a' brðskoume ìti P (Y c B K A ) = P (K A Y c B )P (Y c B ) P (K A ) = = , ˆra me dedomèno ìti h A telikˆ anèlabe thn prom jeia, h pijanìthta me thn opoða to èkane qwrðc antagwnismì eðnai perðpou 72%. Shmei noume ìti ta dendrodiagrˆmmata, pou suzht jhkan sthn upoenìthta gia touc deigmatikoôc q rouc, mporoôn na qrhsimopoihjoôn kai gia touc anagkaðouc upologismoôc sthn efarmog tou Jewr matoc 3.1. Ta dendrodiagrˆmmata gia ta ParadeÐgmata 3.15 kai 3.16 dðnontai sto Sq ma 3.3. Mèroc Bþ: 74

27 Kefˆlaio 4 TuqaÐec metablhtèc & katanomèc pijanot twn 4.1 TuqaÐec metablhtèc QrhsimopoioÔntai: gia na perigrˆyoun ta apotelèsmata tuqaðwn peiramˆtwn me arijmoôc kai sunep c oi timèc touc kajorðzontai, toulˆqiston en mèrei, apì thn epðdrash tuqaðwn paragìntwn sthn èkbash tou peirˆmatoc. ParadeÐgmata: h diˆrkeia zw c tou anjr pou suskeu c epiqeðrhshc, h diˆrkeia taxidioô, ta et sia èsoda epiqeðrhshc tou krˆtouc, o arijmìc twn for n pou ja asjen soume ja upostoôme atôqhma, h apìdosh opoiasd pote kallièrgeiac, o arijmìc twn anametr sewn pou ja kerdðsei mia ajlhtik omˆda se mia agwnistik perðodo k.ˆ. Ta paradeðgmata eðnai pollˆ giatð, ousiastikˆ, se ìlec tic perioqèc thc Epist mhc emplèkontai metr seic pou èqoun apokthjeð upì thn epirro, mèqri kˆpoiou shmeðou, tuqaðwn paragìntwn. Prˆgmati, h mejodologða tou episthmonikoô peiramatismoô katal gei me thn apotôpwsh tou apotelèsmatoc tou peirˆmatoc se èna arijmì pou apoteleð thn parathroômenh tim miac tuqaðac metablht c. 'Omwc, ti eðnai akrib c kai p c proèkuyan? To epðteugma c t ra: Ta apotelèsmata tuqaðou peirˆmatoc perigrˆfhkan me sônola. O deigmatikìc q roc kai ta endeqìmena tan sônola lèxewn, frˆsewn arijm n pou mporoôsan na diaqeiristoôn apì th JewrÐa Sunìlwn, ste na oristoôn sônjeta endeqìmena kai prˆxeic kaj c kai h ènnoia thc pijanìthtac. Prìblhma: H anomoiogèneia twn stoiqeðwn tou deigmatikoô q rou den epitrèpei thn endeqìmenh dhmiourgða eidik n majhmatik n montèlwn-sunart sewn, gia tic perigrafèc kai touc upologismoôc pijanot twn kajhmerin n katastˆsewn. Profan c, se mia sunˆrthsh den mporeðc na eisˆgeic to endeqìmeno pou endiafèrei wc lèxh frˆsh, gia na upologðseic thn pijanìthta pragmatopoðhs c tou. P c xeperniètai? Me thn eniaða perigraf twn apl n endeqomènwn (opoioud pote) tuqaðou peirˆmatoc me arijmoôc, ste o deigmatikìc q roc na apeikonðzetai se sônolo arijm n. 'Etsi, o kˆje arijmìc ja paristˆnei èna aplì endeqìmeno kai endeqìmena sônjeta endeqìmena ja mporoôn na paristˆnontai me arijmoôc. 75

28 P c ja gðnei autì? Ja antistoiqðsoume ta aplˆ endeqìmena se arijmoôc, orðzontac mia metablht sômfwna m' autì pou endiafèrei sto tuqaðo peðrama. Aut h metablht onomˆzetai tuqaða metablht. Sugkekrimèna: Me ton katˆllhlo orismì thc tuqaðac metablht c, to kˆje aplì endeqìmeno antistoiqeðtai se èna kai mìno èna arijmì, pou ìmwc mporeð na eðnai o Ðdioc gia dôo perissìtera endeqìmena. Sunep c, me thn tuqaða metablht orðzetai amfimonos manth monos manth antistoiqða; apokleðontai antistoiqðec me tic opoðec èna aplì endeqìmeno tou deigmatikoô q rou antistoiqeðtai se perissìterouc apì ènan arijmì. Autì to sônolo twn arijm n apoteleð to pedðo tim n thc tuqaðac metablht c pou mporeð na eðnai to R èna uposônolì tou. Oi tuqaðec metablhtèc, SumbolÐzontai: me kefalaða grˆmmata, X, Y, X 1 k.lp., mða opoiad pote tim touc me ta antðstoiqa pezˆ x, y, x 1, k.lp., kai perissìterec apì mða timèc touc me to antðstoiqo pezì grˆmma kai deðkth; gia parˆdeigma, treic timèc thc metablht c X sumbolðzontai me x 1, x 2, x 3 kai treic timèc thc X 1 me x 11, x 12, x 13. O genikìc sumbolismìc tou pedðou tim n miac tuqaðac metablht c X eðnai D X. Sto Sq ma 4.1 apeikonðzetai h ènnoia thc tuqaðac metablht c. A X X A x S A 3 A 2 A 1 A 7 X A 2 X A 3 A 4 A 5 A 6 X A 1 X A 4 X A 5 X A 7 X A 6 0 S D X x : x X A R D X Sq ma 4.1 Diagrammatik apeikìnish thc ènnoiac thc tuqaðac metablht c. Mèroc Bþ: 76

29 EÐnai: (ousiastikˆ) sunart seic ki ìqi metablhtèc! Epiplèon den eðnai kajìlou tuqaðec, me thn ènnoia ìti ìtan ta endeqìmena gðnoun gnwstˆ kajorðzontai kai oi timèc touc; to endeqìmeno eðnai tuqaðo, ìqi h antistoiqða. O ìroc {tuqaða metablht } diathreðtai gia paradosiakoôc lìgouc, ìpwc ki ˆlloi sth Statistik, kai o orismìc tou eðnai o akìloujoc. H tuqaða metablht (random variable) X eðnai sunˆrthsh me pedðo orismoô to deigmatikì q ro S enìc tuqaðou peirˆmatoc kai pedðo tim n, D X, to R uposônolì tou. Parˆdeigma 4.1 (Sunèqeia tou ParadeÐgmatoc 3.1bþ.) 'Estw to tuqaðo peðrama pou sunðstatai apì th rðyh dôo nomismˆtwn kai ìti endiafèrei o arijmìc twn for n pou emfanðzetai {kefal } ( o arijmìc twn nomismˆtwn pou ja deðxoun {kefal }). Ja perigrˆyoume to deigmatikì q ro me tuqaða metablht. Sto Parˆdeigma 3.1bþ o deigmatikìc q roc tan to sônolo S = {KK, KG, GK, GG }. Eˆn orðsoume thn tuqaða metablht X na paristˆnei {ton arijmì twn for n pou emfanðzetai kefal sth rðyh dôo nomismˆtwn}, tìte oi dunatèc timèc thc X eðnai oi arijmoð S ΓΓ ΚΓ ΓΚ ΚΚ X(ΓΓ) X(ΚΓ) D X X(ΓΚ) X(ΚΚ) 0, 1 kai 2. 'Opwc faðnetai sto diplanì sq ma, h X antistoiqeð to kˆje stoiqeðo tou deigmatikoô q rou se èna kai mìno èna stoiqeðo tou sunìlou D X = {0, 1, 2}. Sunep c h X plhroð tic proôpojèseic gia na eðnai tuqaða metablht kai o o arqikìc deigmatikìc q roc S antistoiqeðtai sto sônolo D X. Parˆdeigma 4.2 (Sunèqeia tou ParadeÐgmatoc 3.10.) Anˆloga, eˆn sto Parˆdeigma 3.10 orðsoume thn tuqaða metablht X na paristˆnei {ton arijmì twn ergazìmenwn paidi n sto sônolo twn tri n thc oikogèneiac}, tìte to pedðo tim n thc eðnai to sônolo D X = {0, 1, 2, 3}. Qrhsimopoi ntac touc sumbolismoôc tou ParadeÐgmatoc 3.10, h X antistoiqeð to aplì endeqìmeno A 0 = {E c 1E c 2E c 3} ston arijmì 0, to kˆje aplì endeqìmeno sto to kˆje aplì endeqìmeno sto A 1 = {E c 1E c 2E 3, E c 1E 2 E c 3, E 1 E c 2E c 3} ston arijmì 1, A 2 = {E c 1E 2 E 3, E 1 E c 2E 3, E 1 E 2 E c 3} ston arijmì 2, kai tèloc to A 3 = {E 1 E 2 E 3 } ston arijmì 3. 'Etsi, h X orðzei mða monos manth antistoiqða metaxô tou deigmatikoô q rou kai tou pedðou tim n thc D X = {0, 1, 2, 3} kai katˆ sunèpeia eðnai tuqaða metablht. Mèroc Bþ: 77

30 Parˆdeigma 4.3 (Sunèqeia tou ParadeÐgmatoc 3.1dþ.) Eˆn sto Parˆdeigma 3.1dþ orðsoume thn tuqaða metablht B na paristˆnei {to bˆroc thc poikilðac mhliˆc sth sugkekrimènh kallièrgeia}, tìte h kˆje katagraf tou bˆrouc enìc karpoô ja orðzei kai mia tim thc B sto diˆsthma [100, 160], kai sunep c eðnai tuqaða metablht. Sth JewrÐa Pijanot twn oi tuqaðec metablhtèc diakrðnontai se diakritèc: ìtan D X Z pio suqnˆ ìtan D X = N {0}; to pedðo tim n thc mporeð na eðnai peperasmèno ˆpeiro allˆ arijm simo. ParadeÐgmata: o arijmìc twn kl sewn pou dèqetai thlefwnikì kèntro se sugkekrimèno qronikì diˆsthma thc hmèrac, o arijmìc atuqhmˆtwn se sugkekrimènh topojesða se kˆpoio diˆsthma, o arijmìc pelat n trˆpezac se kˆpoio diˆsthma thc hmèrac, o arijmìc karp n pou apodðdei èna dèntro miac poikilðac k.lp. suneqeðc: ìtan D X R. ParadeÐgmata: to bˆroc, to Ôyoc, to eisìdhma, h diˆrkeia zw c k.lp. 4.2 Sunart seic pijanot twn Sthn poreða proc th dhmiourgða twn montèlwn pijanot twn, To pr to b ma tan: h antistoiqða tou deigmatikoô q rou S se sônolo arijm n me ton orismì katˆllhlhc tuqaðac metablht c. Dhlad, to pedðo tim n thc X. S X D X, To epìmeno b ma eðnai: h eôresh enìc majhmatikoô tôpou pou na sundèei tic timèc tuqaðac metablht c me tic pijanìthtec emfanðse n touc. Dhlad, thn eôresh sunˆrthshc me thn opoða kˆje tim tou D X ja antistoiqeðtai sthn pijanìthta pragmatopoðhs c thc, pou prèpei na eðnai arijmìc sto diˆsthma [0, 1]. To pedðo tim n thc X ja eðnai to pedðo orismoô thc sunˆrthshc. 'Opwc ja doôme stic epìmenec enìthtec, aut h sunˆrthsh onomˆzetai: Sunˆrthsh pijanìthtac ìtan h X eðnai diakrit, sumbolðzetai me p(x) kai sundèei ˆmesa thc timèc thc X me tic pijanìthtèc touc, dhlad x D X p p(x) [0, 1]. Sunˆrthsh puknìthtac pijanìthtac ìtan h X eðnai suneq c, sumbolðzetai me f(x) kai perigrˆfei thc timèc thc X, en oi pijanìthtèc touc apokt ntai èmmesa mèsw olokl rwshc, dhlad x 1 X x 2 D X f(x) dx x2 Mèroc Bþ: 78 x 1 f(x) dx = P (x 1 X x 2 ) [0, 1].