Microsoft Word - du_5_2005.doc
|
|
- Raimonds Lukstiņš
- pirms 5 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}. Lietderīgums ir saistīts ar to, ka skaitļus un jebkādus objektus var iekodēt bināru virkņu veidā. Vēsturiski (sākot no Aristoteļa laikiem) matemātikā un loģikā ir pētīti izteikumi, kas var būt patiesi vai aplami, veidi kā konstruēt saliktus izteikumus no vienkāršiem. 9.gs un sevišķi 0.gs pēc datoru ieviešanas loģika un bināro (Būla) funkciju teorija tiek tieši vai netieši apvienotas. DEFINĪCIJA Izteikums (matemātisks izteikums) ir frāze vai apgalvojums, kuras jēga normālā cilvēku izpratnē var būt patiesa vai nepatiesa (aplama). Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. Matemātiskā loģika ir matemātikas nozare, kas pēta izteikumus un operācijas ar izteikumiem.
2 005, Pēteris Daugulis Izteikumu patiesumu vai nepatiesumu sauc par patiesumvērtībām. PIEMĒRI: A = x=5, B = Rīga ir Latvijas galvaspilsēta 00. gadā, C = uz Marsa ir dzīvība A, B, C ir izteikumi, pie tam izteikums A ir aplams, izteikums B ir patiess un par izteikumu C uz šī teksta rakstīšanas brīdi nav zināms, vai tas ir patiess vai aplams. Frāzes šodien ir labs laiks, 3, cik laika ir palicis līdz lekcijas beigām? nav izteikumi mūsu definīcijas nozīmē, jo par tiem nevar nekādā nozīmē apgalvot, ka tie ir pareizi vai aplami. Par predikātiem ir jādomā kā par funkcijām, kuru vērtības apgabals ir patiesumvērtību kopa. Predikātu piemēri: P (u) = u ir pāra skaitlis, P (u) ir patiess apgalvojums, ja u ir pāra skaitlis
3 005, Pēteris Daugulis 3 un aplams, ja u ir nepāra skaitlis; Q ( u, v) = u dalās ar v, ( u, v) (6,) (6,4 Q patiess, ja u dalās ar v, piemēram, Q ir patiess, un aplams, ja u nedalās ar v, piemēram, Q ) ir aplams. Izteikumu un predikātu pielietojumi: Nosacītās pārejas un ciklu operatori programmēšanā: if ( ja ) operators, while ( kamēr ) operators. until ( līdz ) operators PIEMĒRS: programma, kas drukā, ja ievadīts pozitīvs skaitlis un 0, ja ievadīts 0 vai negatīvs skaitlis. Operators if then A else B : ja izteikums, kas seko pēc if ir patiess, tad izpildīt komandu A, ja aplams, tad izpildīt komandu B. input n; if n>0 then print ; else print 0;
4 005, Pēteris Daugulis 4 OPERĀCIJAS AR IZTEIKUMIEM Sakarā ar to, ka mūs interesē tikai izteikuma patiesumvērtība, var identificēt izteikumus ar to patiesumvērtībām un domāt par operācijām ar izteikumiem kā funkcijām no bināru virkņu kopas uz kopu {0,}. Viena argumenta operācijas DEFINĪCIJA Par izteikuma noliegumu vai negāciju ( ) sauc izteikumu, kas ir patiess tad un tikai tad, ja ir aplams. Izteikumu parasti konstruē veidā nav tiesa, ka vai, saīsināti, ne-. Attēlosim izteikuma patiesumvērtību tabulu: vērtības ar tā saucamo 0 0 Vēl ir 3 viena argumenta operācijas: ) identiskā operācija (izteikums); ) (jebkuram izteikumam tiek piekārtots patiess izteikums );
5 005, Pēteris Daugulis 5 3) 0 (jebkuram izteikumam tiek piekārtots aplams izteikums 0). Divu argumentu operācijas Par divu izteikumu un Y konjunkciju Y sauc izteikumu, kas ir patiess tad un tikai tad, ja abi izteikumi ir patiesi. Konjunkcijai Y atbilst tabula Y Y Izteikumu Y. Y parasti konstruē veidā un Var vispārināt uz vairāku izteikumu gadījumu. Ja ir dota (iespējams, bezgalīga) izteikumu kopa { α } α I, tad par šīs kopas izteikumu konjunkciju α α I sauc izteikumu, kas ir patiess tad un tikai tad, ja visi izteikumi šajā kopā ir patiesi.
6 005, Pēteris Daugulis 6 Par divu izteikumu un Y disjunkciju Y sauc izteikumu, kas ir patiess tad un tikai tad, ja vismaz viens no izteikumiem ir patiess. Disjunkcijai Y atbilst šāda tabula Y Y Izteikumu Y konstruē veidā vai Y. { } α α I, tad par šīs Ja ir dota izteikumu kopa kopas izteikumu disjunkciju α α I sauc izteikumu, kas ir patiess tad un tikai tad, ja vismaz izteikums šajā kopā ir patiess. Konjunkciju dažreiz pieraksta bez atdalošā simbola - Y un disjunkciju bieži apzīmē ar pierakstu Y +. Noliegums, konjunkcija un disjunkcija ir vienkāršākās operācijas kā no dotiem izteikumiem konstruēt saliktus izteikumus.
7 005, Pēteris Daugulis 7 Par implikāciju no uz Y sauc izteikumu Y, kas ir aplams tad un tikai tad, ja ir Y patiess un Y ir aplams. Izteikumu konstruē veidā ja, tad Y. Implikācijai Y atbilst šāda tabula: Y Y Par divu izteikumu un Y ekvivalenci Y sauc izteikumu, kas ir patiess tad un tikai tad, ja izteikumu un Y patiesumvērtības ir vienādas. Ekvivalencei Y atbilst šāda tabula: Y Y
8 005, Pēteris Daugulis 8 Izteikumu tikai tad, ja Y. PIEMĒRI: Y konstruē veidā tad un = Jānis dzīvo Rīgā, tad ka Jānis dzīvo Rīgā, ja Y = Andris dzīvo Rīgā, Y Y tad = nav tiesa, = Jānis un Andris dzīvo Rīgā, = Jānis vai Andris dzīvo Rīgā. Implikācija un ekvivalence ir operācijas ar izteikumiem, kuras ir lietderīgi izmantot pierādot matemātiskus apgalvojumus. To patiesumvērtību izvēles motivācija ir saistīta ar šādiem novērojumiem: no patiesa apgalvojuma loģisku secinājumu ceļā var iegūt kādu citu patiesu apgalvojumu un nav iespējams iegūt aplamu apgalvojumu, savukārt no aplama apgalvojuma var iegūt gan aplamu, gan patiesu apgalvojumu, tātad izteikums ja, tad Y ir noteikti aplams tad, ja ir patiess un Y ir aplams, un var būt patiess visos citos gadījumos.
9 005, Pēteris Daugulis 9 Vērtību tabula izteikumam izteikumam ( ) Y. Y ir tāda pati kā Par izteikumu un Y ekvivalenci ir jādomā kā par konjunkciju ( Y ) ( Y ), tiem vērtību tabulas ir vienādas. Implikāciju un ekvivalenci pielietojumos izmanto relatīvi retāk nekā konjunkciju un disjunkciju. Vēl ir dažas praktiski bieži sastopamas matemātiskās loģikas operācijas, piemēram xor: xory = Y = ( Y ) ( Y ) Kopā ir 6 dažādas divu argumentu operācijas. Atlikušās ir šādas: ) f(,y)= vai 0; ) f(,y)= vai, Y vai Y ; f, Y ) = 3) ( Y (, bet ne Y); 4) f (, Y ) = Y (ne, bet Y); 5) f (, Y ) = Y = Y (ne, ne Y, Pīrsa bulta); 6) f (, Y ) = Y (, ja Y); 7) f (, Y ) = Y = Y (ne abi un Y, nand, Šefera svītra)
10 005, Pēteris Daugulis 0 Trīs argumentu operācijas sīkāk neapskatīsim. n- argumentu operāciju skaits ir n. MATEMĀTISKĀ LOĢIKAS FORMULAS UN TO ĪPAŠĪBAS Matemātiskajā loģikā ir lietderīgi uzskatīt saliktus izteikumus par formulām vai vārdiem noteiktā alfabētā. DEFINĪCIJA netukšu kopu A. Par alfabētu sauksim jebkuru Par vārdu alfabētā sauc jebkuru virkni, kuras elementi ir alfabēta elementi. Vārdu x sauc par apakšvārdu vārdā w, ja eksistē vārdi u un v tādi, ka w = uxv. Par matemātiskās loģikas alfabētu sauksim alfabētu, kas satur elementāro izteikumu apakškopu, operāciju simbolus,,,, un iekavu simbolus (,). Vārdu matemātiskās loģikas alfabētā sauksim par matemātiskās loģikas formulu vai vienkārši formulu, ja izpildās šādi nosacījumi:
11 005, Pēteris Daugulis ) jebkurš elementārais izteikums ir formula; ) ja A un B ir formulas, tad vārdi ( A),( A B),( A B), ( A B),( A B) arī ir formulas; 3) citu formulu nav. Par formulas F apakšformulu sauc jebkuru F apakšvārdu, kas ir formula. Matemātiskās loģikas formula ir jebkurš izteikums, ko var konstruēt no dotajiem (elementārajiem) izteikumiem izmantojot definētās operācijas ar izteikumiem. Pieņemsim, ka elementāro izteikumu kopa ir vienāda ar, }. { Vārds ( ) ( ) ir formula, bet vārds nav formula. DEFINĪCIJA Ja ir dots matemātiskās loģikas alfabēts un katra elementārā izteikuma patiesumvērtība, tad par formulas patiesumvērtību sauc formulai atbilstošā izteikuma patiesumvērtību.
12 005, Pēteris Daugulis Pieņemsim, ka ir doti 3 elementārie izteikumi,, 3 un formula ((( ) ) 3). Ja elementāro izteikumu,, 3 patiesumvērtības ir, attiecīgi, patiess, aplams, patiess(,0,), tad formulas patiesumvērtība ir patiess(). Izteikumus, kuru patiesumvērtības ir zināmas, ir pieņemts apzīmēt ar (patiess izteikums) vai 0 (aplams izteikums). Ja ir dota formula, tad elementāro izteikumu virkni (,..., n ), kas piedalās formulā, sauksim par formulas argumentu sarakstu. Funkciju, kas katram formulas mainīgajam piekārto patiesumvērtību, sauksim, par saraksta novērtējumu vai vērtību sarakstu. Mēs apzīmēsim vērtību sarakstu kā virkni, kuras elementi ir skaitļi vai 0. Piemēram, ja formulā ir trīs elementārie mainīgie,, tad pieraksts,, ) (,0, ), 3 ( 3 = nozīmē, ka izteikums ir patiess, izteikums ir aplams un izteikums 3 ir patiess.
13 005, Pēteris Daugulis 3 Formulas patiesumvērtību, ja mainīgo vērtības ir vienādas ar saraksta vērtībām, sauksim par formulas vērtību ar doto vērtību sarakstu. Piemēram, formulas ((( ) ) 3) patiesumvērtība ar elementāro notikumu vērtību sarakstu (,, 3) = (,0, ) ir (patiess). Bieži elementāro izteikumu vērtību sarakstu apzīmē ar vienu burtu (piemēram, ) un formulas A vērtību ar šo sarakstu apzīmē ar A ( ). DEFINĪCIJA Divas formulas A un B, kas ir atkarīgas no viena mainīgo saraksta sauc par A līdzvērtīgām (apzīmē ar pierakstu ), ja šo formulu vērtības ir vienādas ar jebkurām saraksta vērtībām, tas ir, jebkuram vērtību sarakstam izpildās vienādība ( ) B( ) A =. Formulu līdzvērtība ir ekvivalences attieksme formulu kopā līdzīgi kā funkciju vienādība ir ekvivalence funkciju kopā. PIEMĒRI: formulas ((( ) ) 3) un (( 3 ) ( 3)) ir līdzvērtīgas. B
14 005, Pēteris Daugulis 4 TEORĒMA (formulu līdzvērtības un pārveidojumu pamatīpašības) Jebkurām formulām A, B, C ir spēkā šādas līdzvērtības: ) ( A A) A,( A A) A (idempotences likumi); ) ( ( A)) A (nolieguma involūcijas likums); 3) ( A B) ( B A),( A B) ( B A) (komutativitātes likumi, var mainīt kārtību konjunkcijās un disjunkcijās); 4) (( A B) C) ( A ( B C)) (asociativitātes likumi, var nerakstīt iekavas); 5) ( A ( B C)) (( A B) ( A C)), ( A ( B C)) (( A B) ( A C)) ( distributivitātes likumi); 6) ( A ( A B)) A,( A ( A B)) A (absorbcijas likumi); 7) ( ( A B)) ( A) ( B), ( ( A B)) ( A) ( B) (dualitātes likumi);
15 005, Pēteris Daugulis 5 8) A (( A B) ( A ( B))) A (( A B) ( A ( B))), (sašķelšanas likumi). 9) ( A B) ( A) B,( A B) ( A B) (( A) ( B)) (implikācijas un ekvivalences aizvietošanas likumi); 0) Ja A B, tad A B, A C B C, A C B C, ( A C) ( B C), ( C A) ( C B), ( A C) ( B C) ; PIERĀDĪJUMS. Visas formulas pierāda aprēķinot labo un kreiso pušu vērtības visām mainīgo vērtībām. DEFINĪCIJA Matemātiskās loģikas formulu sauc par tautoloģiju vai identiski patiesu, ja ar jebkuru elementāro mainīgo vērtību sarakstu formula ir patiesa. Formulu sauc par izpildāmu, ja eksistē mainīgo vērtību saraksts, ar kuru formula ir patiesa. Formulu sauc par identiski aplamu vai pretrunīgu, ja jebkurai mainīgo vērtību sarakstam formula ir aplama.
16 005, Pēteris Daugulis 6 Formulu sauc par apgāžamu, ja eksistē mainīgo vērtību saraksts, ar kuru formula ir aplama. Formulu vidū īpaši svarīgu lomu ieņem tautoloģijas. Par tautoloģijām ir jādomā kā par loģikas likumiem, kas izpildās visiem izteikumiem. Svarīgākās tautoloģijas: ) A A ; ) ( A ( B A)) ; 3) ( A ( A)) (trešās iespējas izslēgšanas likums, tertium non datur); 4) (( A B) (( B C) ( A C))) (pēctecīgas secināšanas likums); 5) (( A B) A) ; 6) ( A ( A B)) ; Ja formula A B ir tautoloģija, tad saka, ka formula B ir loģisks secinājums no formulas A.
17 005, Pēteris Daugulis 7 Ja A B ir tautoloģija, tad saka, ka formulas A un B ir loģiski ekvivalentas. Izteikumu, ko iegūst ievietojot kādas tautoloģijas elementāro izteikumu vietā konkrētus izteikumus, sauc par loģiski pareizu izteikumu, loģiski pareizs izteikums ir patiess neatkarīgi no tā vai konkrētie to veidojošie izteikumi ir patiesi. TEORĒMA Ja formulas A un A B ir tautoloģijas, tad formula B ir tautoloģija. PIERĀDĪJUMS. Ja eksistē elementāro mainīgo vērtību saraksts tāds, ka B ( ) = 0, tad A ( ) =, jo A ir tautoloģija un ( A B)( ) = 0, kas ir pretrunā ar to, ka A B ir tautoloģija, tātad B ir tautoloģija. DEFINĪCIJA Ja ir dota formula A, tad formulu * A, kuru iegūst apmainot vietām simbolus un, sauc par duālo formulu attiecībā uz A. Ja ir dots elementāro mainīgo vērtību saraksts, * tad par tā duālo vērtību sauc vērtību sarakstu, kurā elementāro mainīgo patiesumvērtības ir
18 005, Pēteris Daugulis 8 mainītas vietām, tas ir 0 tiek aizvietots ar un tiek aizvietots ar 0. PIEMĒRI Formulas (( ) ( 3)) duālā formula ir (( ) ( 3 )). Ja (,, 3) (0,,0 ), tad duālā vērtība ir (,0,). = TEORĒMA A ir formula, kas ir atkarīga no argumentu saraksta = (,..., n ). A vērtība * ar sarakstu S ir tad un tikai tad, ja A vērtība ar * ir 0. PIERĀDĪJUMS Patstāvīgi. Izmantot matemātisko indukciju pēc operāciju skaita. Pieņemam, ka teorēma ir patiesa, ja operāciju skaits ir mazāks kā k un pierādām, ka tad teorēma ir patiesa, ja A ir veidā B, B C, B C, kur B un C satur ne vairāk kā k operācijas. TEORĒMA Jebkurai formulai A, kas satur tikai operācijas,, un jebkuram vērtību sarakstam ir spēkā vienādība A ( ) ( ( A * ( * ))). Ja A B * * A B., tad PIERĀDĪJUMS. Patstāvīgs darbs.
Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
Sīkāk1
8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.
SīkākNevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
SīkākKas mums izdodas un ko darīsim tālāk?
Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis
SīkākLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
SīkākMūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums
Mūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums Algoritmika un datorzinības (Vecums: 8 gadi) Kursa mērķis ir sniegt bērniem kopīgo izpratni par datoru un datorprogrammām.
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
SīkākMicrosoft Word - Papildmaterials.doc
SATURS DARBĪBAS AR DARBGRĀMATAS LAPĀM... 2 1.1. Pārvietošanās pa lapām...2 1.2. Lapas nosaukuma maiņa...3 1.3. Jaunas darblapas pievienošana...3 1.4. Lapas pārvietošana un dublēšana, lietojot peli...4
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
SīkākPārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš
Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)
SīkākRed button
Piebiedrojies Start(IT)! Attīstīsim IT izglītību kopā! Java Ievads Augusts 2014 Materiālu publicēšana tikai saskaņā ar Start(IT) Saturs Kas ir Java? Pirmā Programma Darbs ar mainīgajiem Sazarojumi un cikli
SīkākInformācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs
Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs Mūsdienu tendence! Dažādas dzīves sfēras = mācību priekšmeti Arvien nozīmīgāka ir informācijas un komunikāciju tehnoloģiju pielietošanas
SīkākKrājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a
Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
SīkākAtalgojuma politika un prakse gadā Atalgojuma politika un prakse gadā Informācija ir sagatavota saskaņā ar Eiropas Parlamenta un Padomes r
Informācija ir sagatavota saskaņā ar Eiropas Parlamenta un Padomes regulas (ES) Nr. 575/2013 (2013. gada 26. jūnijs) par prudenciālajām prasībām attiecībā uz kredītiestādēm un ieguldījumu brokeru sabiedrībām,
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
SīkākMicrosoft Word - du_4_2005.doc
@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
SīkākPowerPoint Presentation
ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja Dzīvo patstāvīgi un veselīgi Apzinās sevi, savas vēlmes un intereses, Spēj dzīvot patstāvīgi, saskaņā ar savām vērtībām, Saglabā un nostiprina savas garīgās
SīkākMācību sasniegumu vērtēšanas formas un metodiskie paņēmieni
3.pielikums Vērtēšanas formas (pēc vietas mācību procesā) Ievadvērtēšana mācību procesa sākumā pirms temata vai mācību priekšmeta apguves, nosakot izglītojamā zināšanu un prasmju apguves līmeni, lai pieņemtu
SīkākProgrammēšanas valoda iesācējiem 4. daļa. Programmēšanas prakse 2007 Alvils Bērziņš
Programmēšanas valoda iesācējiem 4. daļa. Programmēšanas prakse 2007 Alvils Bērziņš Saturs Ievads...3 Algoritmi...4 Uzdevumi...6 1. uzdevums. Olu kastes...6 2. uzdevums. Lielie cipari...6 3. uzdevums.
SīkākLV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši
LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši, 3 brūni klucīši, 1 spēles laukums, 1 barjera izvēlētā
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
SīkākIzglitiba musdienigai lietpratibai ZO
ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja, Skola2030 1 Projekta mērķis Aprobēt, pilnveidot, pēctecīgi ieviest vispārējās izglītības saturu un pieeju mācīšanai, kas skolēnos attīstītu dzīvei 21. gadsimtā
SīkākEs esmu vadītājs –> es esmu profesionāls vadītājs
BRABANTIA LATVIA DARBINIEKU IEKŠĒJĀ MĀCĪBU UN ATTĪSTĪBAS SISTĒMA EVA NOLENDORFA 2019 MĒS ESAM DAĻA NO RISINĀJUMA, NEVIS DAĻA NO PROBLĒMAS SPĒJ SASNIEGT 112 KM/H Attīstības programmas vai sistēmas ieviešana
SīkākPamatnostādnes Par pozīciju aprēķināšanu, ko saskaņā ar EMIR veic darījumu reģistri 28/03/2019 ESMA LV
Pamatnostādnes Par pozīciju aprēķināšanu, ko saskaņā ar EMIR veic darījumu reģistri 28/03/2019 ESMA70-151-1350 LV Satura rādītājs I. Piemērošanas joma... 3 II. Atsauces uz tiesību aktiem, saīsinājumi un
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
SīkākAPSTIPRINĀTS Akciju sabiedrības Gaso Valdes gada 15. maija sēdē, protokols Nr. 16 (2019) Sadales sistēmas dabasgāzes neikdienas patēriņa apjoma
APSTIPRINĀTS Akciju sabiedrības Gaso Valdes 209. gada 5. maija sēdē, protokols Nr. 6 (209) Sadales sistēmas neikdienas apjoma prognozēšanas modelis Rīgā 5.05.209 8/6 Sadales sistēmas apjoma prognozēšanas
Sīkākklase gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru ka
11.-12. klase 2017. gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru kalns Robots apkopējs Dzelzceļa izmaksu samazināšana
SīkākDATORMĀCĪBA
5. Darbs ar lieliem dokumentiem Praktiskajā darbā bieži iznāk veidot, rediģēt, noformēt liela apjoma dokumentus, piemērām, atskaites, projekti, kursa vai diploma darbi utt. Šo dokumentu apjoms parasti
SīkākMicrosoft Word - Lekcija_Nr3.doc
INFORMĀCIJAS MEKLĒŠANA Jebkuru pētniecības darbu uzsākot, pētniekam ir jāiepazīstas ar informāciju par risināmo jautājumu, t.i., pēc iespējas pilnīgi jāizstudē pieejamā literatūra, kas attiecas uz izraudzīto
SīkākMicrosoft Word - Abele
LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
SīkākSocial Activities and Practices Institute 1 Victor Grigorovich Street, Sofia 1606, Bulgaria Phone: Kas ir
Kas ir interaktīvās studijas? Iztrādāja: Nelija Petrova-Dimitrova Uzdevums 1 Interaktīvās studijas ir mijiedarbība, nevis iedarbība! Uzdevums 2 Interaktīvo studiju pamatā ir grupas dinamika! Grupa ir apmācību
SīkākLieta Nr
ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A420687310 143/AA43-0685-13/8 Rīgā 2013.gada 21.maijā Administratīvā apgabaltiesa šādā sastāvā: tiesnese referente I.Kaļiņina, tiesnese
SīkākPowerPoint Presentation
No profesijas standarta līdz reformai 2019. gada 16. martā. 19.03.2019 1 Reforma Sieviešu dzimtes vārds Pārkārtojums, pārveidojums, saglabājot galveno no līdzšinējā Pārmaiņa, pārkārtojums kādā sabiedrības
SīkākKlientu klasifikācijas politika, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus II Mērķis Klientu klasifikācijas politikas, snied
Klientu klasifikācijas politika, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus II Mērķis Klientu klasifikācijas politikas, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
Sīkāk2018 Finanšu pārskats
2018 2 Neatkarīga revidenta ziņojums akcionāram Ziņojums par finanšu pārskatu revīziju Atzinums Mēs esam veikuši (Sabiedrība) finanšu pārskatu, kas ietver atsevišķu ziņojumu par finansiālo stāvokli 2018.
SīkākEiro viltojumi Latvijā
Eiro drošības pazīmes un to pārbaude Andris Tauriņš Kases un naudas apgrozības pārvaldes Naudas tehnoloģiju daļas vadītājs 5, 10, 20 eiro naudas zīmes 120 x 62 mm 127 x 67 mm 133 x 72 mm Jaunā 5 eiro naudas
SīkākMicrosoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc
SIA Krāslavas nami Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā Saturs I. Ziņas par operatoru...3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošajām darbībām...4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas
SīkākLatvijas Republika BAUSKAS NOVADA DOME BAUSKAS 2. VIDUSSKOLA Reģ. Nr , Dārza iela 9, Bauska, Bauskas nov., LV-3901 tālrunis/fakss ,
Latvijas Republika BAUSKAS NOVADA DOME BAUSKAS 2. VIDUSSKOLA Reģ. Nr. 4513901295, Dārza iela 9, Bauska, Bauskas nov., LV-3901 tālrunis/fakss 63922473, e-pasts: 2.vidusskola@bauska.lv, www.bauska.lv APSTIPRINĀTI
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts
SīkākLATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr , Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977
LATVIJAS REPUBLIKA INČUKALNA NOVADA DOME Reģ.Nr.90000068337, Atmodas iela 4, Inčukalns, Inčukalna pagasts, Inčukalna novads, LV-2141 Tālr./fakss 67977310, mob.t. 26181294, e-pasts: dome@incukalns.lv NOTEIKUMI
SīkākR ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis
R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā
SīkākInformatīvs paziņojums par datu pārsūtīšanu saskaņā ar VDAR, bez vienošanās Brexit gadījumā Pieņemts gada 12. februārī Ievads Ja starp Eiropas E
Informatīvs paziņojums par datu pārsūtīšanu saskaņā ar VDAR, bez vienošanās Brexit gadījumā Pieņemts 2019. gada 12. februārī Ievads Ja starp Eiropas Ekonomiskajā zonas valstīm (EEZ) un Apvienoto Karalisti
SīkākRise & Tell
E-pasta mārketings ir tikai rīks. Tas ir visefektīvākais digitālā mārketinga un pārdošanas rīks. Precīzāk 1:43 EUR atdeve. Bet... Tas ir vienkārši instruments nevis burvju nūjiņa. Rezultāti būs, ja to
SīkākLU 68 Fizikas sekcija DocBook
Vispārizglītojošās e-fizikas materiālu augstas kvalitātes noformējuma izstrāde, izmantojot DocBook un LaTeX tehnoloģijas Arnis Voitkāns LU 68. konferences Fizikas didaktikas sekcija 5.02.2010. Kas ir augstas
SīkākG.Plivna-sistemanalize
Kvalitatīva sistēmanalīze - labas veiktspējas atslēga gints.plivna@gmail.com Kas es esmu? Pieredze darbā ar Oracle kopš 1997 Oficiālais amats sistēmanalītiķis Rix Technologies Pasniedzu Oracle SQL un PL/SQL
SīkākLatvijas Organizāciju psihologu biedrība Pētījums par profesiju segregācijas cēloņiem un stereotipiem Kvantitatīvais pētījums Atskaite Rīga 2006
Latvijas Organizāciju psihologu biedrība Pētījums par profesiju segregācijas cēloņiem un stereotipiem Kvantitatīvais pētījums Atskaite Rīga 006 Saturs Ievads... Uzdevumi... Metode... Pētījuma respondenti...
SīkākUzņēmīgums un uzņēmējdarbība
Atbalsta pasākumi jaunajiem uzņēmējiem Kas ir uzņēmējs? Uzņēmējs ir uzņēmuma īpašnieks, kurš, uzņemoties riskus un atbildību, cenšas gūt peļņu. Biznesa ideju var realizēt tikai tad, ja ir uzņēmējs cilvēks
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
SīkākLatvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br
5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
SīkākKONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS
Studiju kursa nosaukums KONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS Apjoms Apjoms kredītpunktos/ ECTS) 3/ 4,5 120 (stundās) Priekšzināšanas Latvijas valsts un tiesību vēsture, Valsts un tiesību teorija Zinātņu nozare Tiesību
SīkākZiņojums par Kopienas Augu šķirņu biroja gada pārskatiem ar Biroja atbildēm
C 449/46 LV Eiropas Savienības Oficiālais Vēstnesis 1.12.2016. ZIŅOJUMS par Kopienas Augu šķirņu biroja 2015. gada pārskatiem ar Biroja atbildēm (2016/C 449/08) IEVADS 1. Kopienas Augu šķirņu biroju (turpmāk
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 10. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās
SīkākAPSTIPRINĀTS biedrības Latvijas Transportlīdzekļu apdrošinātāju birojs biedru sapulces gada 9. oktobra sēdē protokols Nr. 5 Ar biedru sapulces 2
APSTIPRINĀTS biedrības Latvijas Transportlīdzekļu apdrošinātāju birojs biedru sapulces 2009. gada 9. oktobra sēdē protokols Nr. 5 Ar biedru sapulces 2009.gada 18.decembra sēdē (protokols Nr.6) un 2011.gada
SīkākJanis Irbe_resursi un iespejas
Resursi un Ilgtspēja VIETĒJĀS ENERĢIJAS VEICINĀŠANAS LIKUMS LAEF - Latvijas Atjaunojamās Enerģijas Federācijas valdes priekšsēdētājs Jānis Irbe Rīga, 2015.gada 21. oktobris BALTIC ENERGY FORUM 2015 1 Īsumā
SīkākPowerPoint Presentation
Koksnes biomasas produktu uzskaite: pieejamie dati Vides un enerģētikas statistikas daļa Anna Paturska 2016.gada 15.februāris Saturs Koksnes biomasa - CSP statistikas veidlapās - gada - reizi piecos gados
SīkākApstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei gada 18. oktobrī,
Apstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes 2012. gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei 2018. gada 18. oktobrī, prot. Nr. 9 Dokumenta mērķis: Dokumentā aprakstīti
SīkākPowerPoint Presentation
Konsolidētie 216. gada nerevidētie saīsinātie finanšu pārskati 28.2.217 / RĪGA Atruna Šo prezentāciju un visus materiālus, kas izplatīti vai darīti pieejami saistībā ar to (turpmāk kopā saukti - prezentācija),
SīkākMicrosoft Word - Latv_Gaze_SEG atskaite 2007.doc
2.pielikums Ministru kabineta 2004.gada 7.septembra noteikumiem Nr.778 Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā I. Ziņas par operatoru 1. Operators: 1.1. nosaukums vai vārds un uzvārds Akciju
SīkākEBA Guidelines on AMA changes and extensions
EBI pamatnostādnes par attīstīto mērīšanas pieeju (AMP) paplašināšana un izmaiņas (EBI/GL/2012/01) Londona, 2012. gada 6. janvāris EBI pamatnostādnes par attīstīto mērīšanas pieeju (AMP) paplašināšana
Sīkāk4. TEMATS GRAVITĀCIJA UN KUSTĪBA GRAVITĀCIJAS LAUKĀ Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri F_10_SP_04_P1 Brīvās kriš
4. TEMATS GRAVITĀCIJA UN KUSTĪBA GRAVITĀCIJAS LAUKĀ Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri F_10_SP_04_P1 Brīvās krišanas paātrinājums Skolēna darba lapa F_10_SP_04_P2
SīkākPirkuma objekta (parasti, kapitālsabiedrības, uzņēmuma vai nekustamā īpašuma) padziļinātā juridiskā izpēte (angliski – „legal due diligence”) nu jau l
KAS IR PĀRDEVĒJA JURIDISKĀ IZPĒTE UN KAD TĀ IR VAJADZĪGA? Guntars Zīle, zvērināts advokāts, Zvērinātu advokātu biroja Lejiņš, Torgāns un Partneri Pirkuma objekta (parasti, kapitālsabiedrības, uzņēmuma
SīkākAPSTIPRINĀTS
APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa
SīkākLaboratorijas darbi mehānikā
Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne
SīkākValsts meža dienests meža īpašniekiem Meža nozares konference gada 7. decembrī Andis Krēsliņš Valsts meža dienesta ģenerāldirektors V
Valsts meža dienests meža īpašniekiem Meža nozares konference 2016. gada 7. decembrī Andis Krēsliņš Valsts meža dienesta ģenerāldirektors Kāpēc ĢIS? jo praktiski visa uzraudzība, ko veic VMD meža nogabali,
SīkākPCK34_atr_kopaa
007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem
SīkākSlide 1
Online interactive Risk Assessment Riska interaktīvā novērtēšana tiešsaistē Normatīvie dokumenti Darba aizsardzības likums MK not.nr.660 «Darba vides iekšējās uzraudzības veikšanas kārtība» (pieņemti 02.10.2007.):
SīkākPowerPoint prezentācija
VALSTS PĀRBAUDĪJUMU NORISE 2017./2018.MĀCĪBU GADĀ Juta Upīte, Siguldas Valsts ģimnāzijas direktora vietniece juta.upite@svg.lv 2017 NOTEIKUMI PAR VALSTS PAMATIZGLĪTĪBAS STANDARTU (MK Nr.468) 23. Valsts
SīkākAudzēkņu mācību sasniegumu vērtēšanas kartība
TUKUMA VAKARA UN NEKLĀTIENES VIDUSSKOLA Izglītības iestādes reģistrācijas Nr.4314900206 Nodokļu maksātāja reģistrācijas Nr.90001637109 Zemītes iela 5/1, Tukums, Tukuma novads, LV-3101 63129196 - direktors,
SīkākPreču loterijas Loteri - JĀ! noteikumi 1. Loterijas preču pārdevējs ir VAS Latvijas Pasts, reģ. nr , juridiskā adrese: Ziemeļu iela 10, Li
Preču loterijas Loteri - JĀ! noteikumi 1. Loterijas preču pārdevējs ir VAS Latvijas Pasts, reģ. nr. 40003052790, juridiskā adrese: Ziemeļu iela 10, Lidosta Rīga, Mārupes nov., Latvija, LV-1000 - turpmāk
SīkākAnita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimen
Anita Palapa Liepājas Universitātes Studiju programmas Logopēdija 3. kursa studente Liepājas Katoļu pamatskolas praktikante Jautras spēles visai ģimenei, kas attīsta, pilnveido bērna lasītprasmi un rakstītprasmi,
SīkākV.1.0. ATALGOJUMA POLITIKA UN PRAKSE GADĀ ATALGOJUMA POLITIKA UN PRAKSE GADĀ Informācija ir sagatavota saskaņā ar Eiropas Parlamenta un Pa
Informācija ir sagatavota saskaņā ar Eiropas Parlamenta un Padomes regulas (ES) Nr. 575/2013 (2013. gada 26. jūnijs) par prudenciālajām prasībām attiecībā uz kredītiestādēm un ieguldījumu brokeru sabiedrībām,
SīkākMicrosoft PowerPoint - VMF LATVIA 2018_2
SIA VMF LATVIA 2017.gada darbības rezultāti un uzdevumi 2018.gadam Jānis Buļs Valdes priekšsēdētājs SIA VMF LATVIA 23.03.2018. Esošie VMF LATVIA stratēģiskie mērķi 1. Nodrošināt efektīvu un ilgtspējīgu
SīkākVPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN K
VPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz 216. gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU INDEKSS... 1 VEIKTO PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU
Sīkāk