Microsoft Word - du_4_2005.doc

Lielums: px
Sāciet demonstrējumu ar lapu:

Download "Microsoft Word - du_4_2005.doc"

Transkripts

1 @ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops A un B suc pr izomorām vi ekvivlentām vi vienlielām (pzīmē r pierkstu A B ) td un tiki td j eksistē bijektīv unkcij : A B. TEORĒMA 1 Attiecīb ttieksme. ir ekvivlences PIERĀDĪJUMS. Attiecīb ir releksīv jo ktri kopi A vienībs ttēlojums id A : A A ir bijektīvs ttēlojums tātd A A. J A B td eksistē bijektīv unkcij : A B kuri ir deinēt inversā unkcij 1 : B A ks rī ir bijektīv tātd B A un ttiecīb ir simetrisk. A B un B C A B J unkcijs td eksistē bijektīvs : un g : B C kuru

2 @ 2004 Pēteris Dugulis 2 kompozīcij g o : A C ir bijektīv unkcij tātd A C un ttieksme ir trnzitīv. DEFINĪCIJA Pr kops A pjomu (elementu skitu krdinlitāti) c (A) suc kops ekvivlences klsi ttiecībā uz ttiecību. Glīgs kops TEORĒMA 2 J A un B ir glīgs kops td A B td un tiki td j A = B. PIERĀDĪJUMS J unkcij : A B ir bijektīv td tā ir sirjektīv (ktrm elementm kopā B eksistē netukšs inversis ttēls) tātd A B. Bijektīv unkcij ir rī injektīv (ktr kops B element inversis ttēls stur tieši vienu elementu) tātd A B. Apvienojot nevienādībs A B un A B iegūstm vienādību A = B. Pieņemsim tgd k kops A un B pmierin noscījumu A = B. Snumurēsim kopu A un B elementus ptvļīgā kārtībā: A = { 1... n} B = { b1... bn}. Deinēsim unkciju : A B r šādu ormulu: ktrm i A izpildās noscījums ( i ) = bi. Acīmredzmi

3 @ 2004 Pēteris Dugulis 3 unkcij ir injektīv un surjektīv tātd bijektīv. QED. J kop A ir glīg td sskņā r Teorēmu 2 tās pjomu vr identiicēt r tās elementu skitu A ks ir nturāls skitlis. Bezglīgs kops Visvienkāršākā bezglīgā kop ks ir vienlicīgi vēsturiski pirmis bezglīgs kops piemērs r kuru ir nācies sstpties mtemātiķiem ir nturālo skitļu kop N = {123...} - visi skitļi kurus vr iegūt dbiskā skitīšns rezultātā. Kops N konstrukcijs vienkāršīb motivē slīdzināt bezglīgās kops r šo kopu. DEFINĪCIJA J kop A ir vienliel visu nturālo skitļu kopi N td to suc pr snumurējmu. Nosukum izvēle ir sistīt r to k bijektīv unkcij : A N ks eksistē sskņā r kopu vienlielum deinīciju ktrm kops A elementm piekārto nturālu skitli () ko vr interpretēt kā element numuru unkciju : A N vi tās inverso unkciju bieži suc pr kops A numurējošo unkciju.

4 @ 2004 Pēteris Dugulis 4 Snumurējmu kopu piemēri: pti nturālo skitļu N visu pozitīvo pār skitļu kop visu veselo skitļu kop Z visu rcionālo skitļu kop Q m visu kops N elementu kop kur m ir nturāls skitlis u.c. Pierādīsim k visu pozitīvo pār skitļu kop 2 N ir snumurējm: li to izdrītu ir jāuzrād bijektīv unkcij : N 2N deinēsim šādu unkciju r ormulu ( x) = 2x viegli redzēt k tā ir bijektīv. TEORĒMA 3 Ktr snumurējms kops pkškop ir glīg vi snumurējm. PIERĀDĪJUMS Pieņemsim k A ir snumurējm kop un B A. Snumurēsim kops A elementus: A = { } pieņemsim k B = { i...} 1 i2 kur i k < i k + 1 ktrm k. J kop B nv glīg td unkcij : B N ks deinēt r ormulu ( bi ) = k k ir kops B numurējošā unkcij. TEORĒMA 5 Pieņemsim k ir dot glīg vi snumurējm kop { Ai } i N kur ktrs elements ir

5 @ 2004 Pēteris Dugulis 5 snumurējm kop. Apvienojums U snumurējm kop. PIERĀDĪJUMS Uzsktīsim k Ai I A j = j i j jo pretējā gdījumā mēs vrm pāriet uz n 1 1 U i= 1 kopu { A A2 \ A1 A3 \ ( A1 U A2 )... A n \ ( A i )..}. elementu pvienojums ir vienāds r U divu elementu šķēlums ir tukš kop. i N A i i N A i ir kurs bet ktru Ktrā kopā A i snumurēsim elementus: A i = { i1 i2...} un ierkstīsim visu kopu elementus tbulā šādā veidā: Tbul turpinās bezglīgi pr lbi un uz leju. Ievērosim k ktrs psktāmā pvienojum elements šjā tbulā tiek ierkstīts vienu un tieši vienu reizi. Snumurēsim tbuls elementus šādā veidā: sāksim r elementu 11 iesim p lbi uz elementu 12 p digonāli uz leju un p kreisi uz elementu 21 uz leju uz elementu 31 p digonāli uz ugšu un p

6 @ 2004 Pēteris Dugulis 6 lbi uz elementiem 22 un 13 pēc tm p lbi uz elementu 14. Deinēsim tgd nākošo numurējmo elementu vispārīgā gdījumā izmntosim pzīmējumu ij kl ks nozīmē to k elements kl seko elementm ij. Pārejs ir šāds: 1 n 1 n + 1 j n ir nepār skitlis 1 n 2 n 1 j n ir pār skitlis n 1 n + 11 j n ir pār skitlis n 1 n 1 2 j n ir nepār skitlis i. j i 1 j + 1 j ne i ne j nv vienādi r 1 un i + j ir pār skitlis i. j i + 1 j 1 j ne i ne j nv vienādi r 1 un i + j ir nepār skitlis. Konstruētā numerācij pierād k psktāmis pvienojums ir snumurējm kop. TEORĒMA Glīg skit snumurējmu kopu Dekrt reizinājums ir snumurējm kop. PIERĀDĪJUMS Ir dots snumurējms kops A A A n jāpierād k A 1 A2... An ir snumurējm kop. TEORĒMA 6 Ktr bezglīg kop stur snumurējmu pkškopu.

7 @ 2004 Pēteris Dugulis 7 PIERĀDĪJUMS Pieņemsim k A ir bezglīg kop. Izvēlēsimies ptvļīgu kops A elementu un pzīmēsim to r 1. Tā kā kop A ir bezglīg td tjā eksistē elements ks nv vienāds r 1 pzīmēsim to r 2. Tā kā kop A ir bezglīg td tjā eksistē elements ks nv vienāds ne r 1 ne r 2 pzīmēsim šo elementu r 3 un yā tālāk. Šis elementu pzīmēšns process nevr pārtrukties tā kā kopā A ir bezglīgi dudz elementu. Rezultātā iegūsim pkškopu { } ks ir snumurējm. KONTINUĀLĀS KOPAS Vi eksistē kops ks nv ne glīgs ne snumurējms? Atbilde ir pozitīv un vienkāršākis nesnumurējms kops piemērs bezglīgu virkņu kop. TEORĒMA J A ir snumurējm kop un B 2 td Fun ( A nv snumurējm kop.

8 @ 2004 Pēteris Dugulis 8 PIERĀDĪJUMS metodi. Izmntosim digonlizācijs Skārtosim kops A tbilstoši numerāciji. Funkcij : A B ir bezglīg virkne kur i B. Pieņemsim k kop Fun ( A ir snumurējm td skārtosim tās elementus kādā noteiktā kārtībā... : k k k Konstruēsim unkciju 0 tā li 0 i ii td 0 i i un tātd Fun ( A elementus nevr snumurēt. Bez nturāliem un rcionāliem skitļiem mtemātikā plši izmnto rī reālos skitļus kurus vr deinēt kā bezglīgus ne obligāti periodiskus dļskitļus. Reālo skitļu kops vr interpretēt rī ģeometriski piemērm reālo skitļu intervālu [ 01] vr interpretēt kā tisnes nogriezni.

9 @ 2004 Pēteris Dugulis 9 DEFINĪCIJA Kopu ks ir ekvivlent reālo skitļu kops pkškopi I = [01] suc pr kontinuumu vi kontinuālu kopu. TEORĒMA 7 Kop I nv snumurējm. PIERĀDĪJUMS (Kntor digonlizācijs process) Pierādīsim k nekād snumurējm kop nevr sturēt visus reālos skitļus intervālā I = [01]. Atgādināsim k visu reālo skitļu kops pkškopu I = [01] vr interpretēt kā kopu ks stur visus pozitīvus bezglīgus decimāldļskitļus kuru veselā dļ ir 0 un vēl skitļus 0 un 1. Pieņemsim pretējo: eksistē kop A I ks ir snumurējm un A = I. Snumurēsim visus kops A elementus un srkstīsim tos stbiņā: = 0. = 0. = n = 0. Konstruēsim reālu skitli x = 0. x1x2 x3... sskņā r šādu konstrukciju: xi ii. Viegli redzēt k n n n

10 @ 2004 Pēteris Dugulis 10 nekādm n skitlis x nv vienāds r n jo x tšķirs no n n tjā pozīcijā. Tātd kop A nevr sturēt visus kops I elementus. Kontinuālu kopu piemēri: vis reālo skitļu kop visu ircionālo skitļu kop visu jebkurs nepārtrukts līknes punktu kop plknes un telps punktu kop plknes vi telps pgbl punktu kop Dži pmtkti pr kopu pjomu TEORĒMA (Kntor-Bernštein teorēm) 8 Dots divs kops A un B. J eksistē injektīv unkcij : A B un injektīv unkcij g : B A td B A. PIERĀDĪJUMS Uzsktīsim k A I B =. Fiksēsim elementu A un konstruēsim elementu virkni { } šādā veidā: 0 = j n ir pār skitlis td n +1 B j eksistē pmierin noscījumu g ( ) n + 1 = n j n ir nepār skitlis td n+ 1 j eksistē pmierin noscījumu ( ) n + 1 = n. Ir iespējmi divi vrinti: ) eksistē n tāds k n+ 1 neeksistē citiem vārdiem skot virkne { } ir glīg šjā gdījumā suksim

11 @ 2004 Pēteris Dugulis 11 n pr element kārtu; b) virkne...} { 0 1 ir bezglīg šjā gdījumā teiksim k element kārt ir bezglīg. Deinēsim trīs pkškops kopā A : A P - visu to elementu kop kuru kārt ir pār skitlis A N - visu to elementu kop kuru kārt ir nepār skitlis A - visu to elementu kop kuru kārt ir bezglīg. Acīmredzmi šīs pkškops deinē kops sdlījumu: A = AP U AN U A. A Līdzīgā veidā ktrm elementm b B konstruēsim elementu virkni { b b } kur b 0 = b j n ir pār skitlis td b n +1 A j eksistē pmierin noscījumu ( b ) n + 1 = bn j n ir nepār skitlis td b n+ 1 j eksistē pmierin noscījumu g ( b ) n + 1 = b n. Deinēsim element kārtu tāpt kā kops A gdījumā deinēsim tbilstošo kops B sdlījumu: B = BP U BN U B. Viegli redzēt k AP ir sirjektīv unkcij no A P uz B N ir sirjektīv unkcij no A uz B 1 g AN A ir sirjektīv unkcij no A N uz B P.

12 @ 2004 Pēteris Dugulis 12 1 Funkcij ' = ( A ) U ( ) ( ) P A U g A N ir bijektīv unkcij no A uz B un līdz r to teorēm ir pierādīt. Kopām A un B ir iespējmi 4 gdījumi: ) eksistē injektīv unkcij : A B un injektīv unkcij g : B A b) eksistē injektīv unkcij : A B un neeksistē injektīv unkcij g : B A b) neeksistē injektīv unkcij : A B un eksistē injektīv unkcij g : B A c) neeksistē injektīv unkcij : A B un neeksistē injektīv unkcij g : B A. J ir spēkā gdījums ) td sskņā r Teorēmu kops ir ekvivlents. Vr pierādīt k gdījums d) nekd nerelizējs. Gdījumi b) un c) relizējs j kopām ir džādi pjomi. J eksistē injektīv unkcij : A B td sk k kops A pjoms ir mzāks vi vienāds nekā kops B pjoms (pzīmē r pierkstu c( A) c( ). J eksistē injektīv unkcij : A B un neeksistē injektīv unkcij g : B A td sk

13 @ 2004 Pēteris Dugulis 13 k kops A pjoms ir stingri mzāks nekā kops B pjoms (pzīmē r pierkstu c ( A) < c( ). Viegli redzēt k jebkuri glīgi kopi A un jebkuri bezglīgi kopi B izpildās noscījums c ( A) < c(. J A ir snumurējm un B ir jebkur bezglīg kop td no Teorēms 6 seko k c( A) c(. J kop B ir kontinuāl td ko Teorēms T.9 seko k c ( A) < c(. TEORĒMA 9 Jebkuri kopi A izpildās noscījums c ( A) < c( P( A)). PIERĀDĪJUMS Tā kā A P(A) td dbiskā immersij i : A P( A) ir injektīv unkcij no A uz pkškopu A P(A). Atliek pierādīt k neeksistē injektīv unkcij no (A) P uz kopu A. Pieņemsim pretējo: eksistē injektīv unkcij : P( A) A. Konstruēsim kops A pkškopu C šādā veidā: c C td un tiki td j c 1 ( c ) un 1 ( c).

14 @ 2004 Pēteris Dugulis 14 Apsktīsim kops A elementu x = (C). J x C td sskņā r kops C konstrukciju x C jo x = (C). J x C td x C jo tkl jāievēro ts kts k x = (C). Mēs esm ieguvuši pretrunu ks nozīmē to k nv iespējm konstruēt injektīvu unkciju P( A) A. Kā mēs noskidrojām iepriekš j kop A ir glīg n kop un A = n td P( A) = 2. Šis novērojums džreiz stimulē pzīmēt kopu P (A) r pierkstu A 2. (Vr pierādīt k kop P (N) kur N - nturālo skitļu kop ir kontinuāl ts ir tās pjoms ir vienāds r kops I = [01] pjomu). Krdinālie skitļi un drbībs r tiem Kopu pjomu suc rī pr kops krdinālo skitli jo ts vispārin skitļ jēdzienu. Vr mēģināt deinēt operācijs r krdināljiem skitļiem ks vispārin operācijs r prstjiem skitļiem.

15 @ 2004 Pēteris Dugulis 15 Krdinālo skitli (KS) m suksim pr KS n 1 un n 2 summu n 1 + n2 j m ir vienāds r n 1 un n 2 pjomu kopu pvienojum pjomu. Krdinālo skitli (KS) r suksim pr KS n 1 un n 2 reizinājumu n 1n2 j r ir vienāds r n 1 un n 2 pjomu kopu Dekrt reizinājum pjomu. Krdinālo skitli (KS) e suksim pr KS n 1 un n2 n 2 pkāpi n 1 j e ir vienāds r jebkurs kops Fun(A pjomu kur A pjoms ir n 2 un B pjoms ir n 1. TEORĒMA (krdinālo skitļu īpšībs) 1) +b=b+ b=b; 2) (+b)+c=+(b+c); 3) (+b)c=c+bc; b+ c b c 4) =.

55repol_atr

55repol_atr 9 Pieskitot pierādāmās vienādīs L()+L()+L(3)=L(4) ām pusēm L(5)+L(6)+L(), iegūstm ekvivlentu vienādīu L()+L()=L(NM), ks cīmredzmi izriet no trijstūr un prlelogrm lukumu formulām L = h un L=h 9 ) =7, =7

Sīkāk

1

1 . ndžāns, L. Rmān,. Johnnessons VEKTORI. DĻ y X M M O N X N x K Rīg 006 UDK. ndžāns, L. Rmān,. Johnnessons. Vektori.. dļ. Rīg: Ltvijs Universitātes kdēmiskis pgāds, 006. 7 lpp. Šjā drbā plūkoti pmtjutājumi,

Sīkāk

Komandu olimpiāde matemātikā Atrisinājumi 9. klasei 1. Arbūza sastāvā ir 99% ūdens, tomēr, kad to atstāja saulē uz stundu, daļa ūdens iztvaikoja, un t

Komandu olimpiāde matemātikā Atrisinājumi 9. klasei 1. Arbūza sastāvā ir 99% ūdens, tomēr, kad to atstāja saulē uz stundu, daļa ūdens iztvaikoja, un t Komndu olimpiāde mtemātikā Atrisinājumi 9. klsei 1. Arūz sstāvā ir 99% ūdens, tomēr, kd to tstāj sulē uz stundu, dļ ūdens iztvikoj, un tgd tiki 98% rūz ir ūdens. Kādu dļu sākotnējās mss rūzs ir zudējis?

Sīkāk

Ievads

Ievads K.Čerāns KAS IR MATEMĀTISKS PIERĀDĪJUMS?. dļ Rīg 009 UDK 5(075) Če 58 K.Čerāns. Ks ir mtemātisks pierādījums?. dļ. (. izdevums) Rīg: Ltvijs Universitāte, 009. 78 lpp. Grāmts pmttēm nostiprināt un preizēt

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Ekstrēmu uzdevumu risināšanas metodes

Ekstrēmu uzdevumu risināšanas metodes LU A. Lieps Neklātienes mtemātiks skol A. Vsiļevsk, L. Rmān, A. Andžāns EKSTRĒMU UZDEVUMU RISINĀŠANAS METODES Rīg, 997 Sturs Ievds.... Kvdrātfunkcij... Uzdevumi.... Skrī strp divu skitļu vidējo ritmētisko

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

Microsoft Word - geom_psk_origami.doc

Microsoft Word - geom_psk_origami.doc git ERKMNE, gnis NDŽĀNS ĢEOMETRIJS PMTSKOLS KURS MODELĒŠN R PPĪR LOĪŠNS PLĪDZĪU Rīg, 2005 notācij Drā izklāstīt ģeometrijs pmtskols kurs vizulizēšn r ppīr lps locīšnu. Tjā plūkots pmtelementu locīšn, figūru

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju

Sīkāk

Microsoft Word - du_5_2005.doc

Microsoft Word - du_5_2005.doc 005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju

Sīkāk

IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni

IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv

Sīkāk

so50_atr

so50_atr 50. SAGATAVOŠANĀS OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ 999./000. m.g. ATRISINĀJUMI 00.. Trīscipru skitļi, kuru cipru reiziājums vieāds r 0, ir 56, 65, 56, 56, 65, 65, 5, 5, 5, 5, 5, 5. 00.. Jā. Skt., piemērm,. zīm..zīm.

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk 8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna

Sīkāk

Nevienādības starp vidējiem

Nevienādības starp vidējiem Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību

Sīkāk

Paralelograma likums Ja diviem nekolineāriem vektoriem ir kopīgs sākumpunkts, tad par abu vektoru summu sauc vektoru, kurš sākas to kopīgajā sākumpunk

Paralelograma likums Ja diviem nekolineāriem vektoriem ir kopīgs sākumpunkts, tad par abu vektoru summu sauc vektoru, kurš sākas to kopīgajā sākumpunk Prlelogrm likums J iviem nekolineāriem vektoriem ir kopīgs sākumpunkts, t pr u vektoru summu su vektoru, kurš sāks to kopīgjā sākumpunktā un skrīt r tā prlelogrm igonāli, kur mls ir i otie vektori Šo vektoru

Sīkāk

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām

Sīkāk

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n 7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas

Sīkāk

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.

Sīkāk

32repol_uzd

32repol_uzd Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas

Sīkāk

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā

Sīkāk

1

1 . Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir

Sīkāk

Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija

Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās

Sīkāk

1

1 8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

ro41_uzd

ro41_uzd Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a

Sīkāk

Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a

Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.

Sīkāk

2018. gada jūlijs Latvija šogad ir vairāk apdraudēta nekā jebkad Šajās Saeimas vēlēšanās divi svešai valstij kalpojoši spēki draud iegūt varu Latvijā

2018. gada jūlijs Latvija šogad ir vairāk apdraudēta nekā jebkad Šajās Saeimas vēlēšanās divi svešai valstij kalpojoši spēki draud iegūt varu Latvijā 2018. gd jūlijs Ltvij šogd ir virāk pdrdēt nekā jebkd Šjās Seims vēlēšnās divi sveši vlstij klpojoši spēki drd iegūt vr Ltvijā 2. lpp. Bez providences tik liels liets nenotiek Dziedātāj Iev Akrtere srnājs

Sīkāk

PCK34_atr_kopaa

PCK34_atr_kopaa 007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem

Sīkāk

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu

Sīkāk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,

Sīkāk

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br 5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,

Sīkāk

Pamatnostādnes Pamatnostādnes par stresa testa scenārijiem atbilstoši NTF regulas 28. pantam 21/03/2018 ESMA LV

Pamatnostādnes Pamatnostādnes par stresa testa scenārijiem atbilstoši NTF regulas 28. pantam 21/03/2018 ESMA LV Pamatnostādnes Pamatnostādnes par stresa testa scenārijiem atbilstoši NTF regulas 28. pantam 21/03/2018 ESMA34-49-115 LV Satura rādītājs 1 Piemērošanas joma... 3 2 Mērķis... 4 3 Ievērošanas un ziņošanas

Sīkāk

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)

Sīkāk

1.STĀVA PLĀNS Silnieku iela 26-1, būvniecības 2.kārta 1. STĀVA TELPU EKSPLIKĀCIJA 26-1 Silnieku iela 26-2, būvniecības 1.kārta A L stikla blok

1.STĀVA PLĀNS Silnieku iela 26-1, būvniecības 2.kārta 1. STĀVA TELPU EKSPLIKĀCIJA 26-1 Silnieku iela 26-2, būvniecības 1.kārta A L stikla blok STĀV PLĀNS Silnieku iela -, būvniecības kārta STĀV TELPU EKSPLIKĀCIJ - Silnieku iela -, būvniecības kārta stikla bloki BD BD Viesistaba Vējtveris Halle ar kāpnēm Katlu telpa Priekšnams stāva kopējā platība

Sīkāk

skaitampuzle instrukcija

skaitampuzle instrukcija MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā

Sīkāk

A/S"Fēnikss""(reģ.nr.: ) Apstiprinu: Pumpuru vidusskolas direktore Irēna Kausiniece Pumpuru vidusskola 2019.gada Dienas ēdienkarte pirmsskol

A/SFēnikss(reģ.nr.: ) Apstiprinu: Pumpuru vidusskolas direktore Irēna Kausiniece Pumpuru vidusskola 2019.gada Dienas ēdienkarte pirmsskol Pumpuru vidusskol 2019.gd s ēdienkrte pirmsskols izglītojmjiem (5-6g) 5dienām Dtu ms Lik posmā: 27.05.19.-31.05.19. Tuki Ogļhidr āti 27.05. Rīsu pārslu biezputr r ievārījumu PK 150/10 189,2 6,2 2,3 24

Sīkāk

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas

Sīkāk

48repol_uzd

48repol_uzd Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots

Sīkāk

SNP3000_UM_LV_2.2.indd

SNP3000_UM_LV_2.2.indd Register your product and get support at www.philips.com/welcome Philips Presenter SNP3000 LV Lietotāja rokasgrāmata 1 a b c d e g f h 2 3 4 LASER LIGHT DO NOT STARE INTO BEAM CLASS 2 LASER PRODUCT Wavelength

Sīkāk

LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši

LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši, 3 brūni klucīši, 1 spēles laukums, 1 barjera izvēlētā

Sīkāk

Microsoft PowerPoint - 10 sesija kampana.ppt

Microsoft PowerPoint - 10 sesija kampana.ppt Kas ir komunikāciju kampaņa? Case Study Jauns cilvēks ienāk kafejnīcā un pie galdiņa pamana jauku vientuļi sēdošu meiteni. Ko darīt? Ķerties vērsim pie ragiem, lieki nedomājot? Tas var būt kļūdaini. Taču

Sīkāk

OPEL ZAFIRA paneļa apgaismojuma lampu maiņa Kā nomainīt apgaismojuma lampiņas ZAFIRA mēraparātu panelī tas ir viens no jautājumiem, kuru var lasīt daž

OPEL ZAFIRA paneļa apgaismojuma lampu maiņa Kā nomainīt apgaismojuma lampiņas ZAFIRA mēraparātu panelī tas ir viens no jautājumiem, kuru var lasīt daž OPEL ZAFIRA paneļa apgaismojuma lampu maiņa Kā nomainīt apgaismojuma lampiņas ZAFIRA mēraparātu panelī tas ir viens no jautājumiem, kuru var lasīt dažādos OPEL Zafira autoīpašnieku forumos. Līdz šim man

Sīkāk

2015 Finanšu pārskats

2015 Finanšu pārskats 2015 2 Neatkarīgā revidenta ziņojums akcionāriem Ziņojums par finanšu pārskatiem Mēs esam revidējuši pievienotos ( Uzņēmums ) finanšu pārskatus, kas ietver 2015. gada 31. decembra bilanci, ienākumu pārskatu,

Sīkāk

> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši

> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši > > < < > < < 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši vienu reizi ieraksti kādu naturālu skaitli no 1 līdz 5 tā, lai atzīmētās nevienādības būtu patiesas!

Sīkāk

Recent economic developments in Latvia

Recent economic developments in Latvia Eiro ieviešana Latvijā Ilmārs Rimšēvičs Latvijas Bankas prezidents 2012. gada 15. decembris Iedzīvotāji no eiro ieviešanas necietīs Eiro ieviešana NAV naudas reforma Latus Latvijas Bankā varēs apmainīt

Sīkāk

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at 2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai

Sīkāk

Lieta Nr

Lieta Nr ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A420687310 143/AA43-0685-13/8 Rīgā 2013.gada 21.maijā Administratīvā apgabaltiesa šādā sastāvā: tiesnese referente I.Kaļiņina, tiesnese

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Ultraplatjoslas (UWB) radaru sensoru signālu apstrāde objektu izsekošanai VPP SOPHIS GUDPILS UWB sensoru (radaru) grupa Rolands Šāvelis Pētnieks Elektronikas un datorzinātņu institūts 1 UWB sensoru signālu

Sīkāk

S-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā

S-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical

Sīkāk

User reference guide; Installer reference guide

User reference guide; Installer reference guide Uzstāītāj un lietotāj roksgrāmt Giszeses slēšns iekārts kompresor un konensāijs LRMEQ3BY1 LRMEQ4BY1 LRLEQ3BY1 LRLEQ4BY1 Ltviski Sturs Sturs 1 Vispārīgs rošīs piesrzīs psākumi 3 1.1 Inormāij pr okumentāiju...

Sīkāk

5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a

5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a 5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta adatas Skolēna darba lapa M_11_LD_05_P1 Izloze Skolēna

Sīkāk

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.

Sīkāk

Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī

Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis

Sīkāk

v, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace

v, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi

Sīkāk

2013 Finanšu pārskats

2013 Finanšu pārskats 2013 2 Neatkarīgo revidentu ziņojums akcionāriem Ziņojums par finanšu pārskatiem Esam veikuši auditu klāt pievienotajiem ( Uzņēmums ) finanšu pārskatiem, kas sastāv no 2013.gada 31.decembra bilances, ienākumu

Sīkāk

APSTIPRINĀTS

APSTIPRINĀTS APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa

Sīkāk

Ģeotelpisko datu infrastruktūras nozīme Viedās pilsētas pārvaldībā Ervins Stūrmanis SIA «Mikrokods» Bismart konference «Vieda pilsētvid

Ģeotelpisko datu infrastruktūras nozīme Viedās pilsētas pārvaldībā Ervins Stūrmanis SIA «Mikrokods» Bismart konference «Vieda pilsētvid Ģeotelpisko datu infrastruktūras nozīme Viedās pilsētas pārvaldībā Ervins Stūrmanis SIA «Mikrokods» ervins@miko.lv Bismart konference «Vieda pilsētvide jeb Smart city» ZRKAC, Svētes 33, Jelgava 15.09.2017

Sīkāk

Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji

Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta 2015. gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznājiem Latvijā nekad nenoriet? (1 p) Kasiopeja Ērglis Vēršu

Sīkāk

R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis

R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā

Sīkāk

Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk?

Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis

Sīkāk

ro40_atr

ro40_atr Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais

Sīkāk

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo 7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00

Sīkāk

Microsoft Word - scooter-lv-rules.docx

Microsoft Word - scooter-lv-rules.docx Preču loterijas Laimē elektrisko skūteri! noteikumi 1) Loterijas preču ražotājs ir SIA Colgate-Palmolive (Latvia), Reģ. Nr. 40003274802, juridiskā adrese: Duntes iela 23A, Rīga, Latvija, LV-1005. 2) Loterijas

Sīkāk

Publiskā apspriešana

Publiskā apspriešana BŪVNIECĪBS IECERES PUBLISKĀ PSPRIEŠN JUNS TRMVJU INFRSTRUKTŪRS POSM IZBŪVE UN ESOŠS TRMVJU LĪNIJS PĀRBŪVE. BŪVNIECĪBS IEROSINĀTĀJS: Rīgas Pašvaldības SI Rīgas satiksme Reģ.Nr.40003619950, Kleistu 28, Rīga,

Sīkāk

APSTIPRINU VAS Starptautiskā lidosta Rīga Valdes priekšsēdētāja Ilona Līce (vārds, uzvārds) [personiskais paraksts] ) GROZĪJUMI Nr.1 Cenu a

APSTIPRINU VAS Starptautiskā lidosta Rīga Valdes priekšsēdētāja Ilona Līce (vārds, uzvārds) [personiskais paraksts] ) GROZĪJUMI Nr.1 Cenu a APSTIPRINU Starptautisā lidosta Rīga Valdes priešsēdētāja Ilona Līce (vārds, uzvārds) [personisais parasts] 16.11.2018.) GROZĪJUMI Nr.1 Cenu aptaujas Lidostas transportlīdzeļu KASKO apdrošināšana (Identifiācs

Sīkāk

klase gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru ka

klase gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru ka 11.-12. klase 2017. gada 1. kārtas uzdevumi 3 punktu uzdevumi: Sabiedriskais transports Ielaušanās Medus kāre Zivis Robots 4 punktu uzdevumi: Bebru kalns Robots apkopējs Dzelzceļa izmaksu samazināšana

Sīkāk

Microsoft Word - Papildmaterials.doc

Microsoft Word - Papildmaterials.doc SATURS DARBĪBAS AR DARBGRĀMATAS LAPĀM... 2 1.1. Pārvietošanās pa lapām...2 1.2. Lapas nosaukuma maiņa...3 1.3. Jaunas darblapas pievienošana...3 1.4. Lapas pārvietošana un dublēšana, lietojot peli...4

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Velosipēdisti ceļu satiksmē 2018. gada 11.janvārī, Ādaži Valda Kjaspere, Mag.Ped. Trieciena spēks un iespējamība, ka ies bojā Velosipēdu vadītāju rīcība - veicinošs aspekti CSN izraisīšanā: nepareizi veikts

Sīkāk

Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču

Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču tie ir vārdi, kurus cilvēkbērns apgūst pašus pirmos

Sīkāk

User reference guide; Installer reference guide

User reference guide; Installer reference guide Uzstāītāj un lietotāj uzziņu grāmt FF252VEB FF352VEB FF502VEB FF602VEB FF252VEB9 FF352VEB9 FF502VEB9 FF602VEB9 Ltviski Sturs Sturs 1 Vispārīgs rošīs piesrzīs psākumi 3 1.1 Informāij pr okumentāiju... 3

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Neformālās un ikdienas mācīšanās rezultātu atzīšanas pieredze LKI 2-4.līmenī 2018 Izglītības kvalitātes valsts dienesta pārvaldes vecākā referente Līva Šmaukstele Neformālās un ikdienas mācīšanās rezultātu

Sīkāk

Guide for the application of TSI Loc&Pas

Guide for the application of TSI Loc&Pas Lokomotīvju un pasažieru ritošā sastāva savstarpējās izmantojamības tehnisko specifikāciju (LOC un PAS SITS) piemērošanas rokasgrāmata Saskaņā ar pamatpilnvarām (2010. gada 29. aprīļa Lēmums C(2010) 2576,

Sīkāk

Latvijas gada čenpionāta alpīnismā nolikums

Latvijas gada čenpionāta alpīnismā nolikums Latvijas Alpīnistu savienība APSTIPRINU Aiga Rakēviča LAS prezidents Rīgā, 2015. gada 26.februāri NOLIKUMS I MĒRĶIS UN UZDEVUMI 1.1.Popularizēt un veicināt kalnos kāpšanu, alpīnismu; 1.2.Noteikt labākos

Sīkāk

Biznesa plāna novērtējums

Biznesa plāna novērtējums [uzņēmuma nosaukums] biznesa plāns laika posmam no [gads] līdz [gads]. Ievads I. Biznesa plāna satura rādītājs II. Biznesa plāna īss kopsavilkums Esošais stāvoklis III. Vispārēja informācija par uzņēmumu

Sīkāk

Taisnes nogriežņu telpiskas tīklveida konfigurācijas algoritmiska atpazīšana no stereopāra Paulis Ķikusts Rīga, 2017 Anotācija. Mācību rakstura mēģinā

Taisnes nogriežņu telpiskas tīklveida konfigurācijas algoritmiska atpazīšana no stereopāra Paulis Ķikusts Rīga, 2017 Anotācija. Mācību rakstura mēģinā Taisnes nogriežņu telpiskas tīklveida konfigurācijas algoritmiska atpazīšana no stereopāra Paulis Ķikusts Rīga, 2017 Anotācija. Mācību rakstura mēģinājums telpiski atpazīt specifiskus stereopārus, kurus

Sīkāk

Valsts meža dienests meža īpašniekiem Meža nozares konference gada 7. decembrī Andis Krēsliņš Valsts meža dienesta ģenerāldirektors V

Valsts meža dienests meža īpašniekiem Meža nozares konference gada 7. decembrī Andis Krēsliņš Valsts meža dienesta ģenerāldirektors V Valsts meža dienests meža īpašniekiem Meža nozares konference 2016. gada 7. decembrī Andis Krēsliņš Valsts meža dienesta ģenerāldirektors Kāpēc ĢIS? jo praktiski visa uzraudzība, ko veic VMD meža nogabali,

Sīkāk

Folie 1

Folie 1 Priekšnosacījumi un izaicinājumi modernai koka būvniecībai Latvijā Andrejs Domkins Meža un koksnes produktu pētniecības un attīstības institūts SIA (MeKA) Koks ir izcils konstrukciju materiāls 100 m 190

Sīkāk

Page 1 of 8 Biedrību, nodibinājumu un arodbiedrību gada pārskats: Bilance - Aktīvs Taksācijas periods no: 01.01.2009 līdz: 31.12.2009 Bilance - Aktīvs Bilancē summas jānorāda veselos latos. Nr. p.k. Posteņa

Sīkāk

HORIZONTĀLAIS SAULES PULKSTENIS. LUDZA Laukuma rekonstrukcija pie Ludzas novada ēkas Raiņa un Stacijas ielau krustojumā. Stacijas iela 38, Ludza LD -1

HORIZONTĀLAIS SAULES PULKSTENIS. LUDZA Laukuma rekonstrukcija pie Ludzas novada ēkas Raiņa un Stacijas ielau krustojumā. Stacijas iela 38, Ludza LD -1 HORIZONTĀLAIS SAULES PULKSTENIS. LUDZA LD - GRANĪTA BRUĢA RAKSTS SP LAUKUMA IEKLĀŠANA R 00,00 cm 7 2 4 Tianshan red 4 6 2 4 N 4 GRANĪTA TONĀLS SALIKUMS 4 Granīts G 60 6 Granīts G 60 M=:0 PASŪTĪTĀJS: LUDZAS

Sīkāk

Microsoft Word - kompozicija.doc

Microsoft Word - kompozicija.doc Ulbrokas Mūzikas un mākslas skola profesionālās ievirzes izglītības programma Vizuāli plastiskā māksla Mācību priekšmeta Kompozīcija programma 1. Mērķi: 1.1 veicināt izglītojamā māksliniecisko, intelektuālo

Sīkāk

30repol_atr

30repol_atr Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republias 6.-. matemātias olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 0. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 0.. Vieādojumu pārveidojam formā ( x + )

Sīkāk

OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v

OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr.4313900189, Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr.65035929, fakss 65022206, e-pasts: ogres1vsk@ogresnovads.lv, www.ogres1v.lv Izglītojamo mācību

Sīkāk

Oracle SQL teikuma izpildes plāns (execution plan)

Oracle SQL teikuma izpildes plāns (execution plan) SQL teikuma izpildes plāns gints.plivna@gmail.com Kas es esmu? Pieredze darbā ar Oracle kopš 1997 Oficiālais amats sistēmanalītiėis Rix Technologies Oracle sertificēto kursu pasniedzējs Affecto Latvija

Sīkāk

Microsoft Word - Vēlēšanu nolikums projekts.docx

Microsoft Word - Vēlēšanu nolikums projekts.docx Latvijas Universitātes Studentu padome Reģ. Nr.40008009084 Raiņa bulvāris 19-144, LV-1586, Rīga, Latvija Tālrunis 67034317, Fakss 67034316, E-pasts: lusp@lusp.lv APSTIPRINĀTS LU Studentu padomes 2006.gada

Sīkāk

ER

ER Eiropas Parlaments 2014-2019 Sesijas dokuments 29.6.2015 A8-0203/2015/err01 ADDENDUM ziņojumā par grozīto priekšlikumu Eiropas Parlamenta un Padomes Regulai, ar ko nosaka Savienības procedūras kopējās

Sīkāk

Pamatnostādnes Sadarbība starp iestādēm saskaņā ar Regulas (ES) Nr. 909/ un 23. pantu 28/03/2018 ESMA LV

Pamatnostādnes Sadarbība starp iestādēm saskaņā ar Regulas (ES) Nr. 909/ un 23. pantu 28/03/2018 ESMA LV Pamatnostādnes Sadarbība starp iestādēm saskaņā ar Regulas (ES) Nr. 909/2014 17. un 23. pantu 28/03/2018 ESMA70-151-435 LV Satura rādītājs 1 Piemērošanas joma... 3 2 Mērķis... 5 3 Atbilstības un ziņošanas

Sīkāk

Matemātikas uzdevumu krājums 6. klasei / Zane Kūlaine/ Pelču speciālā internātpamatskola – attīstības centrs

Matemātikas uzdevumu krājums 6. klasei / Zane Kūlaine/ Pelču speciālā internātpamatskola – attīstības centrs 2 5.klases atkārtojums Vieni ir pirmās sķiras vienības; tos skaitlī raksta pirmajā vietā no labās puses. Desmiti ir otrās šķiras vienības; tos skaitlī raksta otrajā vietā no labās puses. Simti ir trešās

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Mācīšanās Virtuālajā Realitātē P O T E N C I Ā L S I N O VAT Ī VĀ M M Ā C Ī B U S T R AT Ē Ģ I J Ā M UN M Ā C Ī B U M Ē R Ķ U S A S N I E G Š A N A I L a n a D r e i m a n e KUR SĀKSIM? KĀPĒC VR MĀCĪBU

Sīkāk