PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM

Transkripts

1 PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM

2 JĀ Ņ A FO M IN A sakārtojums

3 Krājumā «Matem ātikas formulas» sakopotas daudzas elementārās matemātikas un augstākās matemātikas formulas. Krājums galvenokārt paredzēts tiem, kas jau iepazinušies ar attiecīgajām matemātikas nodaļām, tādēļ tajā ir ļoti maz paskaidrojumu un komentāru, Grāmatu var izmantot vidusskolu, koledžu, tehnikumu un citu vidējo mācību iestāžu audzēkņi. Dažu nodaļu viela (piemēram, diferenciālvienādojumi, rindas, lauka teorijas elementi) atbilst augstskolas matemātikas kursam, tādēļ krājums var būt noderīgs arī studentiem un daudzu nozaru speciālistiem, kuriem, risinot visdažādākos uzdevumus, rodas nepieciešamība ātri atrast vajadzīgās formulas. Dotās formulas attiecas uz šādām matemātikas disciplīnām: aritmētika un algebra, ģeometrija, trigonometrija, analītiskā ģeometrija plaknē un telpā, lineārā algebra, vektoru algebra, diferenciālrēķini un integrālrēķini, diferenciālvienādojumi, rindas, lauka teorija, varbūtību teorija un matemātiskā statistika.

4 APZĪMĒJUMI = vien ād s * s= tuvināti vienāds > lielāks < > lielāks vai vienāds < ļ faktoriāls A Z leņķis u 1 perp endikulārs II līdzīgs 0 * m inūte " nav vienāds m azā ks m azā ks vai vienāds trisstūris loks paralēls grāds sekunde 00 bezgalība I sum m a M skaitļa a absolū tā vērtība (m odulis) N visu naturālo skaitļu kopa z Zo Q R R J [a; b] (a; b) visu veselo skaitļu kopa visu nenegatīvo veselo skaitļu kopa visu racionālo skaitļu kopa visu reālo skaitļu kopa, skaitļu taisne skaitļu plakne slēgts intervāls (nogrieznis). kura galapunkti ir a u n b, a < b vaļējs intervāls, kura galapunkti ir a un b, a < b (a; bļ; [a; b) pusvaļēji intervāli (a; «>); [a; ); (-00; b); (-00; b) bezgalīgi intervāli (-00; 00) bezgalīgs intervāls, skaitļu taisne 0 tukša kopa V katrs, ikviens =* seko piederība G n = 2m n = 2m + 1 n ir pāra skaitlis n ir nepāra skaitlis 4

5 I. ARITMĒTIKA 1. Dalāmības pazīmes Skaitlis dalās ar 2, ja tā pēdējais cipars ir pārskaitlis. Skaitlis dalās ar 4, ja tā divi pēdējie cipari veido skaitli, kas dalās ar 4. Ar 3 dalās tie skaitļi, kuru ciparu summa dalās ar 3. Ar 9 dalās tie skaitļi, kuru ciparu summa dalās ar 9. Ar 5 dalās skaitļi, kuru pēdējais cipars ir 5 vai 0. Ar 6 dalās skaitļi, kuri vienlaikus dalās ar 2 un 3. Skaitlis dalās ar 8, ja tā pēdējie trīs cipari veido skaitli, kas dalās ar 8. Vidējais aritmētiskais: a, + a,+...+an vīd. aritm. = n Vidējais ģeometriskais: vīd. ģeometr. = 2...a n. Vidējais harmoniskais: 2. Vidējie lielumi vīd. harm. = -r-----' a-, a2 an 5

6 II. ALGEBRA 1. Darbības ar algebriskām izteiksmēm Skaitļa absolūtā vērtība (modulis): Ja a > 0, tad I al = a; ja a < 0, tad I al = -a. īpašības: a >0; 2 )lai =l-a ; 3 )Iabl = Ial Ifc> ; a _ M. n5) I lai J i -= J a.; 6W aj = lai M Saskaitīšanas un reizināšanas likumi: a + b = b + a (saskaitīšanas komutatīvais likums); (a + b) + c = a + (b + c) (saskaitīšanas asociatīvais likums); ab = ba (reizināšanas komutatīvais likums); (ab)c = a{bc) (reizināšanas asociatīvais likums); la + b)c = ac+ bc (distributīvais likums). Zimju likumi reizināšanai un dalīšanai: 6

7 Darbības ar polinomiem: (a + b + c)x = ax + bx + cx; [a + b + c)(m + n) = a(m + n) + b(m + n) + + c(m + n) = am + an + bm + bn + cm + cn; a + b + c a -b c_ X X X X Darbības ar daļām: a a m a c ad± b c -r = T (m * 0 ); - i ~ =. b b m b d bd a c ac a c _ a d b d b d ' c d bc Saīsinātās reizināšanas un dalīšanas formulas: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + fcr; (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3afcr ± b3; a2 - b2 = (a + b)(a - b)\ a3 + b 3 = (a + b)(a2 - ab + b2); a3 - b 3 = (a - b)(a2 + ab + b2); s m- bm = (a - b)(am_1 + am"2b abm" 2 + bm' 1); (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 +2 ab + 2 ac + 2 bc. Darbības ar pakāpēm: ~ n _ - _m m + n.. _n _ -m~n. d d d d d d d, d. d a, a = 1 (a * 0); a = a; 1 i ( a / O.m e N ) ; a n = v a m (a > 0 ). a 7

8 Darbības ar saknēm: J a b = ^fā =$ bn = a\ ja n = 2 m = > ^ fā (a > 0 ); ja n = 2 m + 1=> V ā (d e r V a ) u n ~^[ā\ ijā b = ifā tfb (a > 0 ; b > 0 ); njā^ fb = nyļambn (a > 0 \b > 0 ); [ ā l[ā 1b=W (až0;b>0>; (Vā ") =yjam* (a>0); [yfā)n-a (a>0); ^ = (a> 0 ); / V am = a " (a > 0 ); ^ f a = m^ ā (a > 0); (njā )m= "Jā (a> 0); x xyjan~] y ā ~ a v iīv r=j f ī E ±j ī E ; x x V ā x x(-jā + -Jb) Ja a V ā ± V b a - b 8

9 Definīcija: 2. Proporcijas a b c d ' Proporcijas pamatīpašība: ad = bc. Proporcijas locekļu atrašana: bc, ad a = \ b =. d c Atvasinātās proporcijas: a b d c d b a±b c ± d c d ' b a ' c a ' b d a+b c + d a± b c ± d a - b c - d ' a c a c b d a±b c ± d ' a± b c ± d ' 3. Kom pleksie skaitļi 2 - a + bi, z e R2 (a,b - reāli skaitļi, / - imaginārā vienība); a - Rez (reālā daļa); b = Imz (imaginārās daļas koeficients); z = z', ja a = a', b = b'\ i2 = - 1 ; i3 = i2i = -/'; ia - Z3; = = -i2-1 utt.; z ± z ' = (a + bi)± (a' + b'i) = {a± a1) + (b ± b')i; (a + bī) + {a - bi) = 2 a; z z' = {a + bi)(a + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + ba')r, 9

10 (a + bi)(a - bi) = a2 + b2\ z a+ bi aa' + bb' b a '- a b '. z ' a'+ b'i a'2 + b'2 + a'2+ b'2 L Kompleksā skaitļa ģeometriskais attēlojums: Punkts M{a,b) attēlo skaitli z = a + bi ( 1. att.)^ z) = r = OM = -Ja2 + b2 - kompleksā skaitļa modulis; b (p = ZN O M = arctg----- d kompleksā skait a arguments. 1 jttt. U(aj3) Kompleksā skaitļa trigonometriskā forma: a + bi = r(cos(p+/sin<p). - z = -a - bi (skaitļa z pretējais skaitlis) (2. att.); z = a - b i (skaitļa z saistītais kompleksais skaitlis); z0 - skaitļa z apgrieztais kompl. skaitlis, ja z - z 0 = 1 =>z0 = -. 10

11 Darbibas ar kompleksiem skait/iem trigonometriskā formā: z = r(cos<p + /sin(p). z' = r\cos(ff + /sin <f/); 2 2' - T f'(cos((p + cp'j + /sin((p+ (p')); 2 r = (cos((p-cp') + /sin(<p (p')) tz '^ O ); Zn = (f (coscp + /.sin(p))n = rn(cosncp + /sin n<p) (ne N); =!y[i = y[r(cos( + k)+isin( + k)) n n n n (k = 0, 1,... n- 1). (s a k ņ u s k a its - n, ja z 7t 0) 4. Vienādojumu atrisināšana Pirmās pakāpes vienādojums (lineārs vienādojums): ax = b (a,b - reāli skaitļi). b Atrisinājums: x ~ ~ (<3*0). Divu pirmās pakāpes vienādojumu sistēma (lineāru vienādojumu sistēma - LVS): aļx + fa,y = c1,, a7x + b2y = c2 ^.,a 2'b,,b 2,CyX2 - reāli skaitļi). 11

12 Atrisinājum s: x = y = <3ļ >2-32b] vai, rakstot ar determinantiem, q b, *1 c2 b2 c2 x = ; /- a, b, a? b2 ^2 a) LVS ir viens vienīgs atrisinājums, ja * - 1 ;; a 2 2 a, b, Ci b) LVS nav atrisinājuma, ja = = k,b e \ *k \ 3ļ b2 Cļ c) LVS ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, ja ai b, c,... = =, bet atrisinājums: a, b, c, (p - jebkurš reāls skaitlis). Ģeometrisko interpretāciju skatīt 3. att. a), b), c)

13 Kvadrātvienādojums., a. Nepilna kvadrātvienādojuma vispārīgais veids: ах2 + с = 0 (а ^ О). Atrisinājums; b. Otrs iespējamais veids: ах2 + bx = 0 (a * 0 ), Atrisinājums: b = 0 ; Xļ = 3 c. Pilna kvadrātvienādojuma vispārīgais veids: ax2 + bx + c = 0 (a,b,c - reāli skaitļi, a * 0 ); x2 + px + q = 0 (p,g - reāli skaitļi, a = 1, reducētais kvadrātvienādojums); ax2 + bx + c = a(x - x,)(x - x2) (x1f x2 - trinoma saknes). Atrisinājums: - b t ^ t f - 4 a c x = (b2-4ac = D -disknminants). (Ja b2 = 4ac, tad saknes ir reālas un vienādas; ja b2 > 4ac, tad saknes ir reālas un dažādas; ja b2 < 4ac, tad saknes ir saistīti kompleksi skaitļi.) 13

14 *1 + x 2 = -P = - - ' c (Vjeta teorēma) Xy*2=q = o d. Kvadrātvienādojums ar pārskaitļa koeficientu: ax2 + 2kx + c = 0. Atrisinājums: Kubiskais vienādojums - k ± y jk 2 - ac ' a. Vispārīgais veids: ax3 + bx2 + cx + d = 0. b b. Kanoniskais veids, ja x = y - : 1 1 3a / + p y + q = 0,, b2 c kur p = V + ; 3a a 2 b 3 bc d ^ 21a' 3a2 + a ' Atrisinājums pēc Kardano formulas: Bikvadrātvienādojums. Vispārīgais veids: ax4 + bx2 + c = 0. 14

15 A trisinājum s: X, - - b + ļ b 2-4 a c 2 a - b + V * r - 4 a c 2 a - b - V b 2-4 a c X3 = + y 2a x4 = - ll ļ - b - V b ' ' - 4 a c 2a 5. Nevienādības Nevienādību īpašības: Ja a > b, tad b < a; ja a > b, b > c, tad a > c; ja a > b, tad a + c > b + c; ja a > b un c > d, tad a + c > b + &, ja a > b un c < d, tad a - c > b - c/; ja a > b un m > 0, tad am > bm, ja a > b un m < 0, tad am < bm; 1 1 ja a > b un ab > 0, tad <~r; a b j a a > b > 0 unn - naturāls skaitlis, tad an > bn. 15

16 Nevienādību ekvivalence: Dotajai nevienādībai ekvivalentu nevienādību iegūst, ja 1) a + c> b => a > b - c ; 2) a > b / m => am > bm (m > 0); 3) a > b/.m => > (m > 0); m m 4) a > b / m => am < bm (m < 0); a b 5) a > b/:m => < (m < 0). m m Dažas nevienādības: I a + b\ < I a + I b\; a + >2 (a > 0 ); d Pirmās pakāpes nevienādība: Ja a > 0, tad x > ; ax > b (> b). ja a < 0, tad x < I < a \ a 16

17 ja a < 0, tad x > a Pirmās pakāpes nevienādību sistēma- Ja a > b, tad x > a; ja a < b, tad x > b. Ja a > b, tad x < b; ja a < b, tad x < a. j x> a; c \ x <b. Ja a > b, tad nav atrisinājuma; ja a < b, tad a < x < b. Ja a < b, tad nav atrisinājuma; ja a > b, tad b < x < a. Otrās pakāpes nevienādība: aj? + bx + c > 0 (> 0, < 0, < 0), a * 0. Kvadrātvienādības atrisinājumi ir atkarīgi no koeficienta a un diskriminanta D (> 0, < 0, = 0) zīmēm. Apzīmēsim ax2 + bx + c > 0 - I; > 0 - II; < 0 - III; < 0 - IV. 17

18 Atrisinājumi: а > 0, D > О а > О, D = О а > О, О < О а < О, D > О а < О, D = О а < О, D < О (-<*>; X,) и (х2; +«>); ( < Xļ] ^ (X2j "t"00)/ ( * ъ Х 2 ) ; [Хь х2]. (- 00; х0) и (х0; + ); R; 0; х0. R; R; 0; 0. ( * Ъ Х 2 ) [ * ь Х 2 ] ; (-ов; X,) и (х2; +ос); (-оо; X,] и [х2; +оо). 0; *о. ( оо ; х0) и (х0; +<*); R 0; 0; R R 18

19 6. Progresija^ Aritmētiskā progresija: <3i, a2, a3, a n_1( an. 3n+i a n d, a2 = a ] + d; <33 = <32 + d = <3ļ + 2d; kur an = a, + d{n - 1), a - aritmētiskās progresijas n-tais loceklis; d - progresijas diference; n - locekļu skaits. Aritmētiskās progresijas locekļu summa: _ (a, + a )n [2 a,+ ( n - 1)d]n 2 2 Ja d > 0, tad progresija ir augoša; ja d < 0, tad progresija ir dilstoša. Ģeometriskā progresija: a i, a2, a3, an_i, an a iq] a3 = a2q = aļq ; kur an = a,qn'', a - ģeometriskās progresijas n-tais loceklis; q - progresijas kvocients; n - locekļu skaits. 19

20 Ģeometriskās progresijas locekļu summa: _ anq - a y q ' 1 ->n ~ q - 1 ' q - 1 bezgalīgi dilstošai progresijai (I q < 1 ) 5n = 1 -q Ja q > 1, tad progresija ir augoša; ja 0 < q < 1, tad progresija ir dilstoša; ja q < 0, tad progresija ir maiņzīmju jeb alternējoša. Definīcija: kur 7. Eksponentfunkcija y = ax, a > 0, a * 1, a - bāze, x - kāpinātājs, y - pakāpe. 4.att. a* > 0 visām x vērtībām. b) 20

21 Ja a > 1, tad eksponentfunkcija ir augoša (4 ^tt a)); ja 0 < a < 1, tad eksponentfunkcija ir dilstoša (4 att b)). īpašības: ja a* - ay, tad x = y; CJ U u, a* b* = (ab)*\ (a 7 = a*y; a = 1; Definīcija: ja a* > ay un a > 1, tad x > y; ja a%> ay un 0 < a < 1, tad x < y. 8. Logaritmi. Logaritmiskā funkcija lo g = c, ja ac = b; a > 0, a * 1, b > 0, kur a - logaritma bāze, b - zemlogaritma skaitlis, c - logaritms. No logaritma definīcijas izriet, ka loga 1 = 0, jo a = 1; log*a = 1, jo a = a; alo&*b = b (logaritma pamatidentitāte). b = b 1 = b lo g d a = lo g a a6. 21

22 Eksponentfunkcijas y = a* inverso funkciju sauc par logaritmisko funkciju y = log*x (a > 0, a * 1, x > 0). 5.att. Ja a > 1, tad logaritmiskā funkcija ir augoša (5. att. a)); ja 0 < a < 1, tad logaritmiskā funkcija ir dilstoša (5. att. b)). Īpašības: loga(xy) = logax + logay; x logay = logax - lo g ay ; l g a *n =nlogdx; ioga^ x = - lo g a x; ioga b = logf b, c > 0,c / 1 (pāreja uz citu bāzi); loge a 1 logab =, logt,^ b > 0,b * l 22

23 Decimāllogaritmi: Naturālie logaritmi: log10b = lgb. log eb = lnb; Pāreja no ln e= lim ļ 1h ļ =2, m /77 ) lg un Ig» In; l g i b = l n b " 0, l n = lge; ln10 6 ln b = lgb = 2, lgb; lge = ln10. lge Risinot logaritmiskās nevienādības jāievēro, ka: ja log^ > log& un a > 1, tad x > y, ja log,,x > log^z un 0 < a < 1, tad x < y. 9. Savienojumu teorija. Ņūtona binoms Savienojumu skaits. Variāciju skaits no m elementiem pa n elementiem katrā variācijā: AU, =m(m-v(m-2)... (m-n +1); K }-m. 23

24 Permutāciju skaits no n elementiem: Pn = K = (n -1 )fi = n!. Jāņem vērā, ka 0! = 1; 1! = 1; 2! = 1 2 = 2, 3! = 1-2*3 = 6 utt. Kombināciju skaits no m elementiem pa n elementiem katrā kombinācijā: r o (m - 1 )(m - 2 )...(m - n + 1) _ ml m Pn (n -1 )n n \(m -n )\' Aizstāšanas formula: C = 1- Cm= 1 Cn = C m~n Aizstāšana ir izdeviga, \a m - n < n. Vēl dažas sakarības: Ņūtona binoms: jeb 'r n p rm-n /-n P _ 1m m~ P P ' n m-n r n + r n_1 = r n v_m ' m+v {a + b)n = an + C'nan~]b + C j ē T V + CnV V C an~wbm+...+c + C bn 24

25 m\ Binoma (a + b jn izvirzījuma locekļa formula: T _ / - 0 'm+1_ ( nd u _ ^.m n. 0 piemeram, Ty = C n a b utt.

26 III. ĢEOMETRIJA A. PLAKNES FIGŪRAS (PLANIMETRIJA) 1. Trijstūri, to elementi, īpašības: B 8.att. Apzīmējumi (6., 7., 8., 9. att.) A,B,C -virsotnes; a, b, c - malas (a + b > c, a - b < c); a, p, y - iekšējie leņķi (a+p+y= 180 ); hb, hc - augstumi (K - augstumu krustpunkts); ma, mb, mc - mediānas (L - mediānu krustpunkts); 26

27 Lv lb, lc~ bisektrises (M - bisektrišu krustpunkts - ievilktā nņķa centrs); i - ievilktā riņķa rādiuss; H - apvilktā riņķa rādiuss; P - perimetrs (P = a + b + c); P a + b + c. p - puspenmetrs (p = = - );,, a h a b h b c h c. S - trijstūra laukums (S = ~ = ~ ~ ~ ī ~,\ABC - AAtBiCi (trijstūru vienādība);,\abc '"b M i5 ic ļ(trijstū ru līdzība). Trijstūra mediānu, bisektrišu un viduslīnijas īpašības: AL BL CL 2 / v = (medianu īpašība, 7.att.) LA] LBy LCļ 1 C A l_ A C AB1 _A B _, ACi AC A ]B ~ AB ' ByC ~ BC C,fi " BC (bisektrišu īpašība, 8.att.) A fliu A B, A,B, = V2AB; f lic jlf lc ; B ļc, = /jsc, A ic j I AC, /A,Ci = '/2/\C (viduslīniju īpašības, 9.att.) / Trijstūra laukuma aprēķināšanas formulas: ( p a m a t s ) ( a u g s t u m s ) a h a 5a =!/2afasiny; SA = J p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) (Hērona formula). 27

28 4. Ap trijstūri apvilktā un trijstūri ievilktā riņķa rādiusa aprēķināšanas formulas R = abc R = - r = 4 Š 7 2sin ot 5. Sinusu teorēma un kosinusu teorēma a b c., ={2R) (sinusu teorēma); sin a sin o siny a: = b2 + c 2-2bc cosa (kosinusu teorēma) 6. Trijstūru lidziba AB BC AC (līdzības koeficients); PABC A B = k\ \ABC AB PA,B.C A 1 - AAfl.C. 7. Vienādsānu trijstūris (10.att.) B a = c; a = y, a / \ j J----H si n / \ a = y = ' (3 = 180-2a, hb = mb = lb. 10.att. 28

29 8. Vienādmalu (regulārs) trijstūris (11.att.) a = b = c, (x = p = y = 60 ; hd = hb= h c - h = a S b ms = mb- mc= m = aj3 ajl h = m = /; P=3a,R = 11. att. ļ-v Š (fl = - h) r + R = h\ sa=- r = a>/3 (r = h). 9. Taisnleņķa trijstūris (12., 13. att.) a, b - katetes; c - hipotenūza, ac, bc - katešu projekcijas uz hipotenūzas; a2 + b2 = c2 (Pitagora teorema); a b sina = ;cosa = ; ac bc iga = -;c tg a = - ; 12. att. <x + (3 = 90 ; y= 90 ; 29

30 bc 13. att. hc c ' ja a = 30, tad a = /7c. Eiklida teorēma: hļ = ac bc\ hc =<Jac bc \ a2 = c ac\ b2 = c b c; az ac b : bc ' 10. Paralelograms (14.att.) d i, d2 - diagonāles AB\ I CD; BC\ I AD AO = OC, 3 0 = OD, AB = CD b, AD = BC = a\ Z A = Z C, Z B = ZD; Z A + ZB =... = = ZD + Z A = 180 P = 2(a + fa); S = a ha = b - h b, S = a b sina. d^dļ sintp 5 = - ; d f + d z2 = 2(a z + b z ). 30

31 11. Rombs (15.att.) AB = BC = CD = DA = a. īpašības: piemīt visas paralelograma īpašības + di 1 d2; d i, d2 - romba leņķu bisektrises. P - 4a; 5 = ah, 5 = a2sina; d, d2 /i 2 ; 15. att. d,2 + do = 4a2. /2. Taisnstūris (16. att.). A = Z B = Z C = ZD = 90c īpašības: piemīt visas paralelograma i MŠības +./, d2 = d. t 2(a + fa); / V a 2 + b 2 ; ab; d2sin(p _ d s 16. att. 31

32 13. Kvadrāts (17.att.) c AB = BC = CD = DA = a. Īpašības: Piemit visas taisnstūra un romba īpašības. P - A a, d = a j 2; 17. att. * 4 '-! 14. Trapece (18., 19. att.) t X v 18. att. E 19. att. F AD\\BC, AB II CD; K i - viduslīnija, KL\\AD; KL = a + b ~ 2 ~ ' a + b 5 = h = K L h \ ja AB = CD, tad vienādsānu trapece (19. att.). 32

33 Vienādsānu trapeces īpašības:, AC = BD; _ a - b 2 ~ ' DE = y = KL; Z A = Z D ; Z B = ZC 75. Ievilkts un apvilkts četrstūris (20., 21. att.), n-stūris 20. att. Apvilktā četrstūrī a + c = b + d (20. att.); Ievilktā četrstūrī a + y= P + S= 180 (21. att.); n-stūrī iekšējo leņķu summa 180 (n - 2); diagonāļu skaits 33

34 16. Regulārs n-stūris (22.att.) Visas malas un visi leņķi vienādi. a - mala, ha - apotēma; a = n (centra leņķis); n / (virsotnes leņķis); / ha = r P = n a\ a 5 = n ha; 1 S = - P ha\ 2 2. att. 180 r - R cos----- n 17. Riņķis un riņķa lini ja (23. att.) 2 3. att. OA, OB,... - rādiusi (/?); A C... - diametrs (co; AB, A D,... - hordas; a - centra leņķis; P - ievilkts leņķis;. AkB - loks; AkBOA - sektors; AkBA - segments; C = 2nR = kd - riņķa līnijas garums; 34

35 Ļ = - - ' - riņķa līnijas loka garums;, nd2 S = nr^ = - rinka laukums; 4 rc/?v R Ļ Ss = ' = ~2 - r,l-1-a se'ctora Tukum s. [i = /2 «18. Riņķa gredzens (24. att.) S = ^r(d2- d 2)\ 4 S = tt(/?2 - r2 ); S = 7i(d + 6) Segments (25. att.),i horda; h - segmenta augstums; a a = 2/?sin ; a a a, a /) = /?(1- c o s ) = fg = 2/?sin : att. / h v \ " ^ a J S 7 a 2 5. att. 35

36 L + y h2: R" пи 5 = Т ( ш - ътау- 20. Hordas, pieskares, sekantes (26. att.) M T - pieskare; D MB, MD - sekantes, A E E B = TEED, B M T2 = M AM B\ M A -MB = M C M D. M T 2 6. att. 36

37 B. TILPUMI UN VIRSMU LAUKUMI (STEREOMETRIJA) 1. Prizma (27. att.) h - augstums; P - pamata perimetrs; V - tilpums; 5 - pamata laukums; Ssānu ~ sānu virsmas laukums. V = Sh] Sssnu = Ph. 2. Regulāra piramīda (28. att.) a - apotēma; h - augstums; P - pamata perimetrs; V - tilpums; S - pamata laukums; Ssanu ~ sānu virsmas laukums. - f ; 2 7. att att. 37

38 3. Nošķelta piramīda (29. att.) a - apotēma; h - augstums; Pu P2 - pamatu perimetri; V - tilpums; 5i, S2 - apakšējā un augšējā pamata laukums; Ssānu ~ sānu virsmas laukums. V = -/7(S, + S2+ J Š ^ ) \ 29. att Cilindrs (30. att.) t & 30. att. h - augstums; r - pamata rādiuss; d - pamata diametrs; V - tilpums; S - pamata laukums; Ssānu - sānu virsmas laukums. V = sh = nr2h = 7t d 2h; 4 5sānu = 2nrh = ndh. 38

39 5. Konuss (31. att.) C - pamata riņķa līnijas garums; d - diametrs; i - rādiuss; / - konusa veidule; h - augstums; V - tilpums; S - pamata laukums; 5-,anu ~sānu virsmas laukums. V = ^ Sh = ^ K i2h = ^ -K d 2h\ Ssanu = nrl = jn d l = - C I. 6. Nošķelts konuss (32. att.) h - nošķeltā konusaaugstums; H - pilnā konusa augstums; r - mazā pamata rādiuss; R - lielā pamata rādiuss; d - mazā pamata diametrs; D - lielā pamata diametrs, / - nošķeltā konusa veidule; V - tilpums; 5 ^ ~ sānu virsmas laukums. 31 att. V = ^ iih (R 2 + r 2 + Rr)\ S,tinu = K(R + r)l = ^ K(D + d)l\ 3 2. att. 3S

40 7. Lode D, R - lodes diametrs un rādiuss; r, r1( r2 - pamatu rādiusi; ' Lodes segmentam un slānim dots sfēriskās virsmas laukums, lodes sektoram - pilnās virsmas laukums. 40

41 FiqCira Virsm as laukum s* Tilpums Lodes sektors ļ ļ g j S j. nr(r + 2h) T * h 41

42 IV. TRIGONOMETRIJA 1.Leņķu mērīšana radiānos «180 1 radiāns = = 57 17'45'; 7t n 1 = -----radiāni ~ 0, radiāni; 180 rrs radiāni «0, radiāni; r = ior> radiāni «0, radiāni Leņķi (grādos) Leņķi (radiānos) 7t cp ,0175 UJ Oo 7t t 0 OlO 4 7t 3 Leņķi (grādos) c p Leņķi (radiānos) 7t (D o t n K 360 2n 42

43 2. Trigonometriskās funkcijas un to zīmes (33. un 34. att.) a b sina = ; cosa = ; C C a b tga = ; ctga = ; b a V I ctg 34. att. K vad rants sina cosa tga ctga seca coscca II III IV

44 3. Dažu leņķu trigonometrisko funkciju vērtības (X s in a c o sa 1 H 2 2 ig a s c ig a oo f3 1 seca 1 C 2 coseca oo 2 o c g NJ O o oc f3 OO - f3 0 OO T 0 1 ' 7? oo 0 oo 7 s f2 2 OO -2-1 oo 1 Ū 2 H 1 2 f3 oo -1 oo 44

45 4. Trigonometrisko funkciju savstarpējās sakarības». Funkcija sina cosa tga sina = cos' «īga i '/l+ lū u cosa = tv' - *in? a ±J]+Xg a tga = sina ±Vi-cos (1 ±Vl - sur «ctga = îvl-sin' «sina seca = iv l-s m 'a coscca = 1 sin a cosa cosa ±Vl-ct»s'' «1 eus a 1 COs' «1 tga ±ļ/l+ lg u + Ig «tga Funkcija c o sa = ctga t^ītčtģpa a y a se c a : \ se 1 sec u coseca u - tg a : ctga = ciga 1+ciÿ' «ctga ±ļ/ 1+ciļ! «tvsef a - 1 ±Všēt7ā- ivsec" a - ' ±Vco$a7iJt -1 ±Vcoscc a- 1 coseca ±Vcosec' a 1 45

46 5. Redukc jas formulas (0 < a < 90 ) n(90" - a ) = +cosa; n(90 + a) = +cosa; n(.18ct - a ) = +sina; n(180" + a) = -sin a; n(270 - a ) = -cosa; n(270 +a)= -cosa; n(360 - a ) = -sin a; n(360 + a) = +sina; cos(90 - a) = +sin a; cos(90 + a) = -sin a; cos( a) = - cos a; cos( a ) = - cos a; cos(270 - a)= -sina; cos(270* + a) = +sina; cos(360 - a ) =+cosa; cos(360 + a) = -fcosa; tg(90 - a ) = +ctga; tg(90 + a) = -ctga; tg(180" - a ) = -tga; tg(180 + a) = + iga; 46

47 tg(270 - a ) =+ctga; ig(270 + a) = -ctga; tg(360' - a ) = -tga; tg(360 + a) = + tga; ctg(9ct - a ) = + tga; ctg(90" + a) = -tga; ctg(180 - a ) = -ctga; ctg( a) = + ctg a; ctg(270 - a ) = + tga; ctg(270 +a) = -tg a; ctg(360 - a) = -ctga; ctg(360r + a) = +ctga. 6. Galvenās identitātes sin2a + cos2a = 1; nk tgactga = 1 (a * :k e Z); 2 sina 1 tga = = ; cosa ctga cosa 1 ctga = -----= - ; sina tga 1 coseca = ; sina 47

48 ctg a = - =cosec a ( a * nk\ke Z); 2 sin a 1 seca = cosa tg a = = sec a 71 ( a * +nk,ke Z). cos a 2 7. Saskaitīšanas un atņemšanas formulas sin(a± p) = sinacosplcosasinp-, cos(a± P) = cosacosp + sinasinp; tg(a± P) = (tga ± tg P): (1 + tga tg p); ctg(a ± P) = ctgactg p + 1):(ctg p ± ctga);. 0 ^. a+ p a - p sina + sinp = 2sin------cos : a + p. a - p s in a - s in p = 2 cos - sin - ; n a+ P a - p cosa + cos p = 2cos - cos - ; a+ p a~ P cosa-cos p = -2sin - sin 2 2 sin(a±p) tga±tgp = cos a cos P sin(p±a) ctga±ctgp = ; smasinp s in 'a - s in -' P = cos2p-cos"a = sin(a+p)sin(a~p); cos a - s in P = cos2p~sin2a = cos(a + P)cos(a- P). 48

49 8. Reizinājuma pārveidošanas formulas n co s(a-p)-co s(a+ p ) sinasinp = ; _ cos(a-p) + cos(a + P) cosacosp = sin(a + P) + sin(a - P) sinacosp = 2 tg a tg p = (tga+ tg p): (ctga + ctg P) = = -(tg a - tg p): (ctg a - ctg p); ctga tg p = (ctga + tg p):(tg a + ctg p) = = -(ctga - tg P):(tga - ctg p); ctg a ctg P = (ctga+ ctg p): (tga + tg p) = = -(ctg a-ctg p):(tga-tgp). 9. Divkāršu leņķu, trīskāršu leņķu un pusleņķu formulas sin2a = 2sinacosa;. a a sina = 2sin-jcos ; sin3a= 3 sin a -4 sin 3a; sinacos""1a - C 3 sin3 ai +C sin5 acos"- a -...; cos2a = cos2a - s in 2a = 1-2sin2a = 2cos2a-1 ; cos3a = 4cos3a -3 c o sa ;. 2 tga 2 tg2a = = ; 1-tg a ctg a -tg a 49

50 2.g f tga = ;, 2 a 2 3 tg a-tg 2a ctg 'a-1 ctg a-tg a Clg2a = ^ ^ = Г ctg2y - 1 ct8a = ' ā - : 2 ctg - ctg3a -3 c tg a ctg 3a = ; 3ctg a -1 1-cosa sin- a ГГ ч Ч - a ГГ 1+ cosa cos-_ ч Ч ~ a sin a 1-cosa 1-cosa ig^ = = : = ±л 2 1+ cosa sina ) 1+ cosa sina 1+ cosa ГГ+cosa ctg = 2 1-cosa sina V 1 -co sa 2 1 a 2igj sina = a 1+ tg2-50

51 , «1 - ^ T cosa = tg" recoša ± sin a = -^Itsin 2a. 10. Sinusa un kosinusa pakāpes 2sin2a = 1-cos2a; 2cos2a=1 +cos2a; o 2sin 2 a «1-cosa;? a 2cos - j = 1+ cosa; 4sin 3a = 3sin u - sin 3a; 4cosJ a = 3cosa + cos3a. 11. Sakarības starp trijstūra leņķu trigonometriskajām funkcijām a p y sina + sin P + sin y = 4cos cos cos-j; a. p. y cosa+cos(3+cosy = 4 sin-j sin sin +1; a P y sina + sin p-siny = 4 sin sin-jcos ; a P Y cosa + cosp-cosy= 4 co sy cos cos -1; 51

52 siir a + sin" P+ sin 2 y = 2cosacosPcosy + 2; sin' a + sin p - s in 2Y = 2sinasin(JcosY; tga + tgp + tgy = tgatgptgy; a P y «3 Y ctg - + c tg - + ctg y = c tg y ctg y ctg- j ; ctg a ctg p + ctg a ctg y + ctg P ctg y = 1; sin 2a + sin 2P + sin 2y = 4sin asin Psin y: sin 2a + sin 2p - sin 2y = 4cosacosPsin y. 12. Trijstūra aprēķināšana, izmantojot trigonometriskās funkcijas Taisnleņķa trijstūris (35. att.): a, b - katetes; c - hipotenūza, a, p - šaurie leņķi, a + p = 90 ; <3= csin a, a = b īga: b = csin p. P = atgp; a b 35. att. c = c = s in a sinp Jebkurš trijstūris (36. att.) a, b, c - malas; a, p, y - malu pretleņķi; R - apvilkta riņķa rādiuss; p - pusperimetrs; 5 - trijstūra laukums. 36. att. a + P + y =

53 , sina, sinß siny a = b b = а ; c = a sinß sina sina sina sinß siny a = c------; b = c : c = b : siny suiy sin p - J - * - ī -. г л sin a sin (3 siny a = bcosy+ ccosß; b = с cos a + a cosy: c = acosß + bcosa: a2= b" + c2-2 b c cosoc; a + b + c P = 2 a siny tga = b - acos у ' f-v a * 2 = f ( p - b ) ( p - c ) be pip-a) C O S =,/ а И (p-bhp-c) 2 = V p(p-a) ab } n 5 = sin у = 2R sin asin ßsin у = I Г а^с = V p (p - a )(p - b )(p - c ) =. 53

54 V. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJA PLAKNĒ 1. Punkts Attālums starp diviem punktiem (37. att.) d = il(x2- x ])2 +(y2- y ])2. Attālums no punkta līdz koordinātu sākumpunktam: d = J x 2+ y 2. Attālums starp diviem punktiem slīpleņķa koordinātu sistēmā (vispārīgā formula): d = <J(x2 - x,)2 + (y2 - y,)2 + 2(x2 - x,)(y2 ~ yi)cosw. 54

55 Nogriežņa viduspunkta koordinātes:, u - h u i 2 ' 2 ' Koordinātes punktam, kas dala nogriezni.... m attiecība : n x _ nxi + mx2 2. Koordinātu sākumpunkta pārnešana (38. att.) ny, + my2 m +n ' m + n jeb x = a + Xi; y = b + yū x] = x - a ; y] = y - b. 3. Polārās koordinātes (39. att.) 0x - polārā ass; 0 - pols; p - rādiusvektors; <p- polārais leņķis. 39. att. 55

56 x - peostp; v = psincp; x2 + y2. s r,\ \ \ y i 40. att. M \\ \ 4. Koordinātu asu pagriešana (40. att.) x, y - punkta M vecās koordinātes; x1f y\ - jaunās koordinātes. x = Xļ c o s a - /, sina; y - x ysina + y, cosa. Vispārīgais veids: 5. Taisnes vienādojums Ax + By + C = 0. Taisnes vienādojums ar virziena koeficientu un sākuma ordināti: y = kx + b\ k - virziena koeficients, k = tgcp, kur tp - leņķis starp taisni un abscisu ass pozitīvo virzienu. ar asu nogriežņiem: 56

57 Taisnes normālvienādojums: m xcosoc + y s in a - p = 0, kur p - attālums no koordinātu sākumpunkta līdz taisnei (P > 0); a - leņķis starp p un abscisu ass pozitīvo virzienu. Normējošais faktors (reizinātājs): 1 M = ± i VA2 + fi2 (zīme jāņem pretēja C zīmei). 6. Divas taisnes Taišņu vienādojumi vispārigā veidā: J A * + B,y + C, = 0; ļ AļX + B2y + C2 = 0. Leņķis starp divām dotajām taisnēm: k? - k, AB? - A?B, tg$ = -L-n L = ^ _L 1+ k^kļ A^A2+B}B2 Divu taišņu paralelitātes nosacījums: * 2 - *, * * Divu taišņu perpendikularitātes nosacījums: k-ļ kļ 1 jeb Ai Ai + Bt B? 0. Krustpunkta koordinātes: ~ ^2 A ~ ia e, ^ - f i 2A ' v ~ b,a2- b2a [ ' 57

58 Vienādojums taisnei, kas iet caur doto punktu A(x,; y,; dotajā virzienā: y - y, = k(x-x,); k - tga. Attālums no punkta līdz taisnei: d = x, cosa + y,sina-p vai 7. Taisne un punkts Ax, + fiy, + C d = ±4Ā2+B2 (zīme jāņem pretēja C zīmei). Vienādojums taisnei, kas iet caur diviem dotajiem punktiem A (x1t y j un B(x2 y 2): y - y, _ X - X ļ y 2- y i *2 * i ' Trīs dotie punkti atrodas uz vienas taisnes, ja y 3~ y i _ y 2 - y i * 2 ~ * i 8. Trijstūra laukums Ja viena virsotne atrodas koordinātu sākumpunktā, s - ± 3 = ±(x,y2- x 2yi). *2 y2 Trijstūra vispārīgajam stāvoklim 58 *2~*1 / 2 - y i k 3 - X, y 3- y.

59 = ±-[< х2- х,)(у3- у,) - (х3- X,)(у2- у, )1* = ±1 (х1(у2- у з ) + х 2(у3- у 1)+ х 3(у1- у 2)]. 9. Riņķa līnijas vienādojums Ja rinka līnijas centrs atrodas koordinātu sākumpunktā, х2 + У2 = А Ja riņķa līnijas centra koordinātes ir a un b, (x -a )2 + ( y - b)2 = r2. Riņķa līnijas parametriskais vienādojums: x = rcosf; у = Asint. 10. Elipse (41. att.) О - centrs; ДА, = 2 a - lielā ass; B6, = 2 b - mazā ass; F, - fokusi; FF, = 2c - fokusa attālums; BF=BF, =AO = a; FM + FļM = A 4 ļ = 2a; a2 - c2 = b2. Elipses kanoniskais vienādojums: 4/. att. a b 59

60 Elipses ekscentricitāte: c -Ja2-b ~ e = = < 1. a a Elipses punkta M(x, y) rādiusvektori: r = a ±ex. Elipses laukums: Elipsei punktā vienādojums: Elipsei punktā M 7(x 7/ vienādojums 5 = Kdb y,) novilktās pieskares * 1* / i / _ 1 a2 b2 novilktās normāles d'vl Elipses fokālais parametrs: b2 P T Elipses direktrišu vienādojumi: a2., a x ± jeb x = ±. c e Elipses diametra vienādojums: b2x y - k 60

61 kur k - saistītā diametra virziena koeficients. Elipses parametriskais vienādojums: x = acosf; 11. Hiperbola (42. att.) 0 - centrs; F, F, - fokusi; FM, F,M - rādiusvektori; FM - F]M = A 4, = 2a; FF, = 2c; c2 - a 2 = b2. y = fosinf Hiperbolas kanoniskais vienādojums: 42. art a2 fc>2 Hiperbolas ekscentricitāte: c Va2 + b e = - = > 1. a a Hiperbolas punkta M(x, y) rādiusvektori: r = x + a = ex + a; a r, = x - a = ex-a. a Hiperbolas asim ptotu vienādojumi: b y = ± x. a 61

62 Hiperbolas pieskares vienādojums: a 2 b 2 Hiperbolas normāles vienādojums: y - y' = - ^ U - x') vai a2y,, a 2x b 2y 2 X: y, Hiperboles fokālais parametrs: P T b 2 Hiperbolas direktrišu vienādojumi: a 2 x = ±. c Hiperbolas diam etra vienādojums: b 2 y = 7 k x- kur k - saistītā diametra virziena koeficients. Vienādsānu hiperbolas vienādojums: X2 - / = a 2. Vienādsānu hiperbolas vienādojums, ja tās asimptotas ir koordinātu asis:

63 12. Parabola (43. att.) AN - direktrise; O - virsotne; F - fokuss; AF = p - parabolas parametrs; 5 - laukums. Parabolas kanoniskais vienādojums: y2=2px. Parabolas ekscentricitāte: FM 6 ~ ~MN ~ au Parabolas punkta M (x, y) rādiusvektors: Parabolas segmenta laukums: Parabolas direktrises vienādojums: Parabolas pieskares vienādojums: yy} =p{x + xi) vai y - y, = ( x - x,). 63

64 Parabolas normāles vienādojums: y-y\- r(x-xo vai y1(x -x,)-p (y -y 1) = Cikloīda (44. att.) a - ritošā riņķa rādiuss; ^ K / ^ T c j \ /, f leņķis, par kādu pagriežas - ^ u - i riņķis, nki s ritot n t pa n a taisni; t a ic n i- 44. att. 5 - laukums zem cikloīdas vienas arkas. x = aarccosļ\ - j - ^2ay - y2; x = a (f-s in f); y = a(1-cosf); S = 3na Tangensoīda (45. att.) y=tgx. 64

65 15. Sinusoīda (46. att.) A - am plitūda; 03 leņķiskā frekvence, (p0- sākuma fāze. y = sinx vai y = Asin((0X + <p0). 46. att. 16. Logaritmiskā līkne (47. att.) y = lnx vai y = log*x (a > 0 un a * 1). 17. Eksponentlīkne (48. att.) y = ex vai y = a* (a > 0 un a * 1). 48. att

66 18. Arhimēda spirāle (49. att.) MM) = - spirāles solis (konstants lielums). p = acp. 49. att. 19. Bernulli lemniskāta (50. att.) 0K = a. Taisnleņķa koordinātēs 50. att. Polārajās koordinātēs p2 = a2cos2cp. 66

67 Racionālais parametriskais vienādojums: t + t 3 t - t 3 x = a ^ r ; y = a ^ 4-, (- 0 0 < f < +0 0). Parametru t un lielumu <p saista sakarība t ^ t g ļ i - p ) Lemniskātas vienas cilpas laukums: 20. Dažas citas līknes Nosaukums, vienādojums Hipocikloīda Grafika yt x 3 + y 3 = R3 Rs> \ jt vai 0 1x = ftc o s 3 <p ļ y = /? s in 3 (p Kardioīda y, (X2 + / + ax)2 = a2(x2 + / ) vai r. p = a(1 - cos(p) V 0 l ) ' 67

68 68

69 Cisoīda y a-x vai asm <p P = cos(p Ķēdes līnija a - y = iea +e (R - liekuma rādiuss, t - pieskares leņķis pret x asi) Logaritmiskā spirāle p = aek<p (k> 0) Riņķa līnijas evolvente x = a(cosa+asina); y = a(sinoc-acosa). vai Vp: ~a2 a (D arccos a p 69

70 VI. ANALĪTISKĀ ĢEOMETRIJA TELPĀ 1. Koordinātu zīmes kvadrantos (51. att.) I (+ X, + y, + Z); II (~x, + y, + z); III (-x, - y, + z); IV (+ x, - y, + z); V (+ x, + y, - z ) ; VI (-x, +y, - z ) ; VII (-x, - y, - z ) ; VIII (+ X, - y, - z ) ; Definīcija (52. att.) ab = AB cos a. 2. Projekcija Sakariba starp virziena kosinusiem telpā brīvi i " izraudzītai asij: 52. att. cos2a +cos2(3+ cos2y= 1. 70

71 3. Punkts Brīvi izraudzīta punkta koordinātes: x = d cosa; y = d cos(i; z = dc osy; no kurienes x y cosa = ; cosp = ; cosy = o o Attālums no punkta līdz koordinātu sākumpunktam: d = J x 2 + y 2 + z 2. Attālums starp diviem punktiem: d = <J(x2- X,)2 + (y2" Yi)2 + (^2 - ^ i ) 2 Nogriežņa dalīšana attiecībā = A.: nx, + mx2 Xļ + n + m 1+ X ny] +my2 yi + ^y2 n + m 1 + \ nzy+ /77Z2 z,+ A z2 n + m 1+ A. Nogriežņa dalīšana uz pusēm: N l'o *1 +*2,. _ yi /ž r _ Z1+Z ' 71

72 Vispārīgais vienādojums taisnei telpā: r/alx + fi1y -»-C^ + Dļ = 0; [A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Taisnes vienādojums ar virziena kosinusiem: x-xy_ y-y, _ Z-Z, cosa cosp cosy Taisnes kanoniskais vienādojums: X-Xp _ y-y o _ z - z 0 Virziena kosinusi: 4. Taisne telpā I m n cosa = cosp = c o s y = V/2+ m2 + n2 m V/2 + m2 + n2 n V /2 +m 2 + n2 Vienādojums taisnei, kas iet caur diviem dotajiem punktiem: * - x 1 _ y ~ y i _ Z -Z ļ *2 "*1 / 2 - / 1 Z2 Z, Leņķis starp divām taisnēm: IJ2 + m,m7 + n,n7 costp = Jl2 + m2 + n2 ^ / 2 + rriļ+n2 72

73 Taišņu paralelitātes nosacījums: /, _ my _ n, Iļ m2 n2 ' Taišņu perpendikularitātes nosacījums: /,/2+ m^m2 + HļH, = Plakne telpā Plaknes vispārīgais vienādojums: Ax + By + Cz + D = 0. Plaknes normālvienādojums: xcosa + ycos3 + zcosy + p = 0. Normējošais faktors: 1 M ±VĀī 7 ē ī 7 č r (H zīme jāņem pretēja D zīmei). Plaknes vienādojums ar asu nogriežņiem: X y z + r H = ^ a b c kur a, b, c - nogriežņi, kurus plakne atšķeļ uz koordinātu asīm. Attālum s no plaknes līdz koordinātu sākumpunktam: -D p ±V A2 +B2 + C2 " (saknes zīme jāņem pretēja D zīmei). 73

74 6. Plaknes vispārīgā vienādojuma analīze Plaknes stāvoklis; vienādojums Shematisks attēls Plakne 1 x asij ' A = 0; By + Cz + D = 0. Plakne 1 y asij 6 = 0; Ax + Cz + D = 0. Plakne 2-asij C = 0; Ax + By + D = 0. Plakne iet caur koordinātu sākumpunktu D = 0; + 8y + Cz = 0. Plakne 11 x un y asim A = B = 0; Cz + D = 0. 74

75 Flakne II x un zasîm A = C = 0; 1By + D = 0. жy ' 7 0 Flakne 11 y un z asiml ß = C = 0; 1Ax + D = 0. xj m yfcx y Flakne iet caur x asi A = D = 0; By + Cz = 0. 2 Flakne iet caur y asi ß = D = 0; A * + Cz = 0. W/y/A y F lakne iet caur z asi С = D = 0; Ax + ßy = 0. 2 y Flakne xoy A = B = D = 0; Cz = 0; z = 0. Z 1 w 75

76 Leņķis starp taisni un plakni: 7. Taisne un plakne X-Xi _ y - y i Z - Z, I m n Ax + By +Cz + D = 0: AI + Bm + Cn sin (p =,. yla2 + B2 + C2yll2 + m2 + n2 Taisnes un plaknes paralelitātes nosacījums: AI + Bm + Cn - 0. Taisnes un plaknes perpendikularitātes nosacījums: I m n ~A= ~B= ~Č' 76

77 Vienādojums plaknei, kas iet caur doto.^punktu: A (x -x,) + B (y - yy)+c(z - z,) = 0. Plakņu šķipsnas vienādojums: Ax + By + Cz + D + A.(/4ļX + 5-,y + Cz + ) 0. Taisnes un plaknes krustpunkta koordinātes: Aa+Bb + Cc + D x = a - l : AI + Bm + Cn Aa + Bb + Cc + D ^ m Al + Bm + Cn Aa + Bb + Cc + D z - c - n Al + Bm + Cn 8. Otrās kārtas virsmas Nosaukums; kanoniskais vienādojums Trīsasu elipsoīds Shematisks attēls X y Z + + =1 a " b" c Viendobuma hiperboloīds X y z T a b c p f 77

78 Divdobumu hiperboloids x y Z a b c Otrās kārtas konuss X X y z + - j - = 0 a b c Eliptiskais paraboloīds 2 2 x y z - + ( p > 0 ;q > 0 ) 2 p 2 q * f*?7 Hiperboliskais paraboloīds 2 2 * / 2 p 2 q Hiperboliskais cilindrs J L., a b2 78

79 Eliptiskais cilindrs 2 2 x y, ~ a +7 T " 1 b Paraboliskais cilindrs r 2 = 2px f --- V 'i- ' cv>. Šķeļošos plakņu pāris 2 2 x y " T - 7 r - ^ a b V J0</ / Paralēlu plaknu pāris X2 - =1 a Sakrītošu plakņu pāris X2 = 0 i 79

80 VII. LINEĀRĀS ALGEBRAS ELEMENTI 1. Determinanti Trešās kārtas determinants: A = a n < * 1 2 a l 3 a 2 i a 2 2 < ^ 2 3 = a i i a 2 2 a a i 2 a 2 3 a a 3 i * 3 2 * a, 3 a 2 1 a a a i! " 3 2 a! 2 a 2 i a 3 3 Sarrusa kārtula (53. att.): - a, 3 a 2 2 a 3, n-tās kārtas determinants: a n a i 2 A = a 2 1 a 2 2 a 2 n a n l a n 2 a n n Determinanta izvirzīšana pēc i-tās rindiņas elementiem: A = a ( 1 / \, + a l 2 A, a t n A, n 80

81 (šeit Ay - elementa a,, algebriskais papildinājums jeb adjunkts: Ay= (-D '+;H ' kur M,j - elementa a,y minors, t.i., (n - 1)-ās kārtās determinants, kas iegūts, izsvītrojot no determinata A /- to rindiņu un j-to kolonnu). Krāmera formulas: a X i + a12x2+...+alnxn = b1; a2]x, + a22x2+...+a2nxn = b2\ 3n^ + an2x2+...+annxn = b n\ <T I < II <2 = *2.. A..;x = *11 *12 *1n [šeit A = <*21 a22 *2n *n1 *n2 *nn sistēmas determinants (A * 0); A, (/= 1,2,... n) - determinants, kas iegūts no sistēmas determinanta, aizvietojot /-to kolonnu ar brīvo locekļu kolonnu). Matricas apzīmējums: 2. Matricas 4 = * 1 1 * 1 2 *2 1 *2 2 *1 n a2n vai 3m1 m2 a mn ) 81

82 kur an a12. ain A = a21 a22 a2n am 1 am2 a/nn m - rindiņu skaits; n - kolonnu skaits. Matricu saskaitīšana: ' a11 *12... aln N /\ + fi = a21 a22... a2/1 ^am1 am2 amn, + ^ 1, ^21 *>12 *>22 - O... b2n J^m'i bm2 bmn j ( an + bu a21 + b2, a12+b, a22+b2 ain + n a2n + b2n,am1 an,2+ b n Matricas reizināšana ar skaitli: 3. i 3. -ļ... 3 a mn + > mn m 1

83 Aa1t ^ 1 2 Xa2, Xa22. - H r, Matricu reizināšana: tem2 H,n, AB = *>11 faļ2.. *>21 b 22.. b 2k - *> 1 b n2 b nk j ' C11 C,2 CU N = C = C21 C22 - kur k^m1 Cm2 ^mk j S = aa j + ai2b2j+-+ainbnj = l a iqbqi <7=1 (/ = 1, 2, m; j = 1, 2...it). Inversā matrica. Matrica /T 1 ir inversa matricai /4 = (av)nn, ja A4_1 = /TM = f, 83

84 f kur E = ;o 0 i y - vieni bas rnb A i A i An A A A M 1 A i A : A 1= A A *" A Ķ _ An An < A A A j kur A = IA ^ 0 - m atricas A determ inants. n lineāru vieādojumu sistēma ar n nezināmajiem matricu veidā: AX = B. Atrisinājums: X = A~]B, kur A = (a(/)n - k o e fic ie n tu m atrica, B = ' M - brīvo locekļu kolonnas matrica; ' V x = - nezināmo kolonnas matrica 84

85 VIII. VEKTORU ALGEBRAS ELEMENTI 1. Lineārās operācijās ar vektoriem Vektors Ā - orientēts nogrieznis, kam ir noteikts garums un virziens. A - \ A\ - vektora garums jeb modulis. 54. att. 55. att. 56. att. Vektoru, kura garums ir 0, sauc par nullvektoru un apzimē 0 Vektoru vienādība (54. att.): Ā = B, Ja A I = l Š\ un Ā 11 B (vienādi virzieni). Vektoru saskaitīšana: Ā + B = Č (55. un 56. att.); Ā + B + Č + D = E (57. att ). 85

86 Pretēji vektori (58.att.). I Ā = Ā, un A it / A ļ (pretēji virzieni) 58. att. Vektoru atņemšana (59. un 60. att.): 59. att. 60. att. Vektorus, kas nav nullvektori, sauc par kolineāriem, ja to virzieni ir vienādi vai pretēji (Ā l l B ; /Ā it Č ). 86

87 87 Vektora reizināšana ar skaitli:, ka = B, kur vektors B apmierina šādus nosacījumus: fi = * 4 B llā, ja A: > 0 ;ļ Ja k = 0 vai Ā = 0, tad B = Č. īpašības: B i'lā, ja <0.J 1) k(mā) = (km)ā\ 2) kā + mā = (k + m)ā\ 3) kā + kb = k{ā + B)= k(b + Ā)\ Leņķis starp vektoriem: Par leņķi starp diviem vektoriem A un B sauc leņķi starp šo vektoru virzieniem 2. Vektora projekcija uz ass vai vektora (61. att.) 61. att.

88 prx/a = pr^/a = MA/ = /4 cos<p = /4 cos Z(A,B). 3. Vektora komponentes un koordinātes (62. att.) Ā=OMi+OM2+OM3 jeb A - Xi + Yj + Zk, kur O M, = X /; OM2=y]\ OM3 = Zk - vektora komponentes X = Acosa\ V' = 4cosP; Z = A cosy - vektora koordinātes (vektora projekcijas uz koordinātu asīm); i,j,k - bāzes vektori; Ā = (X,Y,Z ). 88

89 4. Lineārās darbības ar vektoriem,, kas uzdoti ar koordinātēm laā, = Ā: un Ā] = (X 1;V1;Z 1), Ā, = (X 2;V2;Z 2 ), tad X] X2; V\ /21 Z, Z2. Ja Ā = Ā ± A 2 tad X = X, ± X2; Y = Y}±Y2 Z - Z y±z2. Ja Ā2= \ĀV tad X 2 = X X,; Y2= X Y z2= u v Definīcija: 5. Divu vektoru skalārais reizinājums ĀB = ABcosZ(Ā,B) = Āpr^B = Bpr.Ā. Skalārā reizinājuma īpašības: 4-8 = 0 tad un tikai tad, ja A±B. ĀB = BĀ: (ma)b = m(ba)\ (Ā + B)Č = ĀČ+BČ. Vektoru skalārā reizinājuma izteiksme ar reizinātāju koordinātēm: ā b =x ]x 2+y]y2+ z ]z 2. Vektoru skalārais kvadrāts: ŽT = AA= A4cos0 = A '. 89

90 Vektora moduļa kvadrats: A2 = Ā2 = X 2+Y 2+ Z2. Vektora modulis: Leņķis starp vektoriem: A = \Ā\ = yjx2 +Y2 + Z2. ĀB cos9 = ļ [j r = \ā \\b\ x 1x 2 + y,y + z 1z 2 }/x 2+y2+z2Jx 2+y2 +z2 Vektoru perpendikularitātes nosacījums: Ā l, ja x 1x 2 + y1v,2 + z 1z 2 = o. Vektoru paralelitātes nosacījums: i i J L I l x 2 ~ y2 ~ z 2' Vektora A(X,Y,Z) virziena kosinusi: X Y cosa = f ; cos (3= -p:--. ; Vx2+y2+z2 Z cos v =,. ylx2 +Y2+Z2 Vx2+y2+z2 90

91 6. Divu vektoru vektoriālais reizinājums <63. att.) Definīcija: Ā xb = Č, kur vektors Č apmierina šādus nosacījumus: C= ABsinZ(Ā.B), Č1Ā, Č1B un vektori Ā Š u n Č veido labo (kreiso) triedru, ja koordinātu sistēma ir labā (kreisā). Vektoriālā reizinājuma ipašības: Ā x ē = -B x,a; (mā)xb = m(āxb)\ Āx(nB) = n(āxb)\ (Ā + B)xČ = Ā xč + BxČ\ Č x(ā + B) = Č xā + ČxB. 91

92 Vektoriālā reizinājums izteiksme ar reizinātāju koordinātēm: i j k 4 x 6 = X} V, z, = ( Y /2-Y 2z,)ī+ X2 y, z2 = (Z,X2- Z?X, )7 + (x / 2 - X2yi )fc. Leņķis starp vektoriem: U x s sin Z(Ā.B) = J T ' l 1-,/<y,Z; - 7,2, f +! Z,X; - Z,X, / + 1 x,y, - X,K r 7. Triju vektoru jauktais reizinājums Definīcija ĀBČ = A(BxČ) =(ĀxB)Č. Jauktā reizinājuma īpašības: ABC = BČA = ČAB = -(&4Č) = = -(ĀČB) = -(ČBĀ)- (Ā + B)ČD = ĀČD + BČD; (mā)bč = m( ABC). 92

93 Jauktā reizinājuma ģeometriskā interpretācija (64. att.): \ X \ Ā B Č vienāds ar paralēlskaldņa tilpumu. Triju vektoru komplanaritātes nosacījums: ĀBČ^O. Jauktā reizinājuma izteiksme ar reizinātāju koordinātēm: att. \ \ X, ĀBČ = X, ^2 *3 ^3 Divkāršais vektoriālais reizinājums: Āx(BxČ)=B(ĀČ)-Č(ABy, (Ā xb )xč = B(Ā Č)-Ā(ŠČ). 93

94 IX. DIFERENCIALREĶINI 1. Robežas lim (x-y + Z) = limx - limy + limz; lim( xyz)= limxlimy limz; lim x У lim x =---- ja lim у * 0; lim у sinx lim = 1; *-»o x lim(1 + 3)a=e (e = 2,71828); à >0 ап lim = 0; n * n! tgx lim --- = 1; *-*o x limf 1h T = e*; П ) lim а* = 1; x-»0 л! I lim П -П / = v27t; n-*~ (TS V n (2 n) 1

95 2. Atvasinājums un diferenciālis» Vienkāršākie atvasinājumi: 1) (Cu)' = Cu'\ 2) (u + v + w+...)' = u' + v' + w' galīgam saskaitāmo skaitam; 3) (uvw...)' = u'vw... + v'uw... + w'uv... +galīgam reizinātāju skaitam; 5) (C)' = 0; 6)(x)' = 1; 7) ( / T = n V -1; 10) (ln x)' = ; x 12) (a*y=ax Ina; 13) (exy = e*\ 14) (sinx)' = cosx; 15) (cosx)' = -sinx;

96 17) (ctgx)' = - 5 = -cosec2x; sin x 1 18) (arcsin x Y = j = \ V l - x ) (arccosx)' = ) (arctgx)' = 1+ x ) (arcctgx)' = - 2, 22) (secx)' = secxtgx; 23) (cosecx)' = -cosecxctgx; 1 24) (arcsecx)' =, ; xvx2-1 25) (arccosecx)' =- xv x2-1 26) (uvy = vuv~\uy+ uv ln u(vy. Dažu funkciju augstāku kārtu atvasinājumi: 1)(ln»)1' " = ( - r U 3 in-1) X 2) (a*)(n) = a* ln" a; 3) (ex)(n) = ex; 4) (amx){n) = mn lnn a a mx\ nu 5) (sin x)(n) = sin(x + ); 96

97 6) (uv){n) = uin)v + C'nu{n~])v'+ C u{n 2)v'+..Æuvim\ Funkcijas diferenciālis un tā vienkāršākās īpašības: dy = y'dx; 1) d(cu) = Cdu; 2) d(u + v - w+...) = du + dv + - dw galīgam saskaitāmo skaitam; 3) d(uvw..) = (vw... )du + (uw... )dv + + (uv... )dw galīgam reizinātāju skaitam; Teilora formula: f ( x ) = f (Xq) + kur - ( X xq)n' ] + Rn(x), f <n)[x o + 0 ( x - x o)] «nu) = , ( x - x 0)n (0 < 0 < 1 ). Maklorena formula: kur 97

98 f in](qx) R (x) = ~ xn (0 < < 1). n: 3. Diferenciālrēķinu ģeometriskie pielietojumi Vienādojums pieskarei (tangentei) dotajā punktā: y~y\ = ( /') t(x x,); dy y -Y } = _ U-*i). dx y=yi Vienādojums normālei dotajā punktā: 1 y-/,= ( x - x 1) = - y \ dx dy Subtangentes un subnormāles garums: ( x - x, ). y=y> Pieskares un normāles garums: jeb ( \2 ( V 1 dx +1 = y 1, U*i J y \ = y^j(y\ )2+1-98

99 99 Leņķis starp liknēm: igcx = * \ - y \ Liekums Dekarta koordinātēs: k=d2y dx2 1 i dy 1 + ld ^ k = - Liekums polārajās koordinātēs: M [1+(y')2P k * d2 + / ^ P ' P2 + d p dcp Liekuma rādiuss Dekarta koordinātēs: P + t / ) 2] 1 1 R = - M : *

100 Liekuma rādiuss polārajās koordinātes: Liekuma centra koordinātes: R = 2 ' dup p i U d2 ļ) p p2 + 2(p')2 - pp' f p T p----y \\cf< d <p) p j dtp- c/cpyļ1 + (y')2] a = x ; Nj UJ Vispārīgais veids: 4. Vairākargumentu funkcijas u = f(x, y, 2,...). Parciālais atvasinājums: dil f(x + &X.y,2,...)-f(X.y,2,...), = lim = f' ( ox ax >0 Ax Parciālais diferenciālis:, du d, u ^ d x. Pilnais diferenciālis funkcijai u = f(x, y, z): 100

101 Saliktas funkcijas atvasinājums., Pieņemsim, ka u = f(x, y, z), bet x, y, z ir funkcijas no t. Tad du df dx df dy df dz_ dt ~ dx dt + dy dt + dz dt Teilora formula: \ f (x + Ax. y + Ay) = f ( x, y) + ~ [f'( x, y )Ax + f'(x, y)ay] + V. kur 0 < 0 <1. (x - y )A* 2 + 2Ç ( * / ) * fn {x- y )Ay ļ^ ff~ x(x + 0 A x.y + 0A y)a x3+ +3f* (X + 0Ax, y + 0Ay)Ax2Ay + +3f^y ( x + 0Ax, y + 0Ay)AxAy2 + +f" (x + 0Ax, y + 0 A y)ay3 ], Pieskarplaknes vienādojums virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M(x, y, z): df df df ( X - x ) + ( V '- y ) + ( Z - z ) = 0. dx dy dz kur X, Y, Z - tekošās koordinātes. Normāles vienādojums: X - x Y - y Z - z - 9 T =i r =i r dx dy dz 101

102 X. IN T EG R Ā LRĒĶ IN I Integrāļa definīcija: 1. Nenoteiktais integrālis \f(x)dx = F(x) + C, kur F'{x) = f(x): C - patvaļīga konstante; F - funkcijas f primitīvā funkcija. Vienkāršākās īpašības: 1) \dx = x + C\ 2) \kf(x)dx = klf{x)dx\ 3) \(u + v + w+...)dx = judx + \vdx + \wdx galīgam saskaitāmo skaitam 4) juv'dx = uv - ivu'dx vai \udv = uv - jvdu. Racionālu funkciju integrāļi: x» +1 1) \ x mdx = C (m*-1); m + 1 2) ļ = ln x + C; ( -f /)) ^ ^ 3) \(ax + b)ndx = C a(n + 1) ļ 4) = ln ax-t-b + C; ax + b a r.rax + b, a b c -a d., ^ 5) J dx = x ln cx + a + C; cx + d c c 102

103 dx 1 6)1 (x + a)(x + b) a - b dx 7) J X - ai xdx 8)! 2a x - a x + a 1 In-X +b X +a + C + C; (aln x + a - (x + a)(x + b) a - b -b ln x + b ) + C (a * by, (a b)\ 9) J 1 = ~ ln x 2- a2 + C; x - a 2 ' 1 V r dx 1 X ^ 10) xt7? ' = ā arclgā + 11) J г r = -^ln x2 + a2 + C; x^ + a" г dx 1 X 1 X 12) J --- = T~7 ~ "У + ~ arctg T + C; (X + a ) 2a X + a 2a: xc/x ) J (X 2 + a 2)2 2 X + a" + C; r dx 1 14) J., (X 2 + a 2)3 4a2 (X 2 + a 2)2 + s i F arc'87 +C; xdx ) \ +C; ( X 2 + a 2 ) 3 4 ( x 2 + a 2) 2 dx 16) J (X 2 + a 2)(x + b) 103

104 17) J-.. (x + a )(x + b) 1 x + b b x In,--- = + arctg + C; a2 + b 2 I V * * xdx X IX x + DI b aarctg - b ln - a2 + b2 a л/х2 X + a 18) ^7"?-----Ā = 2 ь2(ь: lnl* + b\+ (x + a ) ( x + b) a '+ b " 1 I I X + a2 In x + a2 - ab arctg ) + C; a dx 19) i r = ax + bx + с + C; 1 = 2ax + b - Vb: - Лас In + C 4ac 2ax + b + Vb - 4ac (b2-4ac > 0); dx 2 2 ax + b ах2 + Ь х + с ~ 1 Лас- ь 2 arctg-jaac-b2 +< (b2-4 a c < 0 ); xdx 21) 1 ax2 + bx + с = - r - ln ax2 + bx + c - у - 1 ^ ; 2a ' ' 2 a ax + bx + с 104

105 22) J dx- =^-ln\a + bx\ + C, a + bx b (a + bx)n+1 23) J (a + bx)"dx = C (n * -1 ); o(n +1) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) - ^ 7- = - y ( a + bx - a ln a + bx ) + C; a + bx b x 2dx _ 1_ a + bx y (a + b x)2-2a(a + bx) + b 3 +a2ln a + bx ] + C; dx 1 a + bx = In + C; x(a + bx) a dx a + bx = b, In + C; x '(a + bx) ax a' X xc/x a = - y ln a + bx + + C; (a + bx)2 b 4 a + bx * 2dx 1.,,» a _ г = т т ( э + bx - 2a In а + bx )+C; (a + bx)2 b3 a + bx dx In a + bx + C; x(a + b x )2 a(a + bx) a xdx (a + bx)3 ~ b2 dx a + bx2 1 a + bx 2(a + b x) + C; 1 lb -==arctg x J +C (ab> 0): Jab Va 105

106 33) j 2 d* 2 = ~~ In J a2- b 2x 2 2 ab a + bx a -b x + C; 3 A )lx "(a + b x*yd x = xn'~n+' ia+bx''r ] - 1 Ь(лр + т + 1) _ a ( m - n + 1), x.-» l3 + b x * y d x. b(np+ m + 1)J 3 5 )Jx-(a + b x -, - d x = f r ^ ± b V r + J np + m f xn(3 + bxny - 1dx; лр + т + 1J 36) f - dx 1 x*-(fl+bx*y (m-'\)axm~\a + bxny~] dx - ( m -n + n p - ^ b l (m>1); J x m-n(a + bxny 37) f d x 1 + ' xm(a + bxny a n (p - \)xm~\a + bxny~' + l (m -n + n p -l) j dx эл (р -1 ) J x m(a + bxny~] (a + bxny dx _ (a + bxn)p^ 38) J x m a (m - 1)x'"~1 Ь ( т - л - л р - 1 ) j {a + bxny dx a {m -1) x m 1 39) j (a + bxnr b x (a + b x n)p x m (л р - m + 'Ox'""1 106

107 xmdx anp n p -m + 1 r(a + bxny 'dx x" is fft -rvfl 4 ^ ( a + bxn)p b (m -n p + 1)(a + bxn)p-1 41) j x mc/x a (m -n + 1) j xm~ndx b(m -np + 1)J (a + b xn)' cfx 1 42) J (a2 + x 2)n 2 (n -1 )a 2 x '"+1 (a + b xn)p a n(p-1)(a + b x ")p 1 m + n - pn +1 j a m p -1) dx + (2 n -3 )j (a2 +X2)" 1 x dx n -1 (a + b xn) 2 \i» -l (a + x ) dx 1 43) J (a + bx2)n 2(n-1)a (a + bx2) 45) J dx + (2 n -3 )j (a + bx2)' dz J (a 7 7+ bx2)n T & J -'(a - + b z)n x 2dx - x (a + bx2)" 2b(n-1)(a + bx2) 1 dx 2 b (n -1 )J (a + bx2y (z = x 2);

108 dx 1 46) I In + C; x(a + bxn) an a + b xn dx 47) J x2(a + bx: ) xdx _ 1 2 à 48) J -In + C; a + bx2 ~2b x + b x2dx - 49) j x _ r dx a + bx2 b hi b J a + bx2 ' dx 1I L/ r dx 51) J x 2(a 2,^ +, bx* ) ax a J a + b * 2 dx dx 52) J {a + bx2)2 2a(a + bx2) ij 2a} - a + bx2' dx 53) J x +px + q dx a J x2(a + bx2)n~1 dx 1 50) j = In x(a + bx ) 2a a + bx2 + C; x + p dx a J (a + bx2)"

109 Iracionālu funkciju integrāļi: 1) \ r: X... = -yļax + b +C; Jax + b a 2-2) \yjax + bdx = (ax + b)2 +C; 3a, xdx 2(ax - 2b),----- _ 3) J. 2 y/ax + b +C; V ax + b 3a 4) ļx>/ax + bc/x = ^ \ ax +b)ī+c: 5) J- * (x + c)vāxtb 1 Jb- ac dx 6)1 (x+c)vax + b V ā x T b - Jb - a c Jax + b + -Jb-ac + C (b-ac> 0): y [ ^ b 1 ax + b _ arctg I C I bu c - b (b-ac<0)\ 7) j ax + ^dx = J(ax + b)(cx + d) - \ cx + d c bc ---^ ln (.ya(cx + d) +7c(ax + b)) + C (a>0); 8)-\ ļ 3X +bdx = - J(a x + b)(cx + d) - V cx + d c 109

110 ad - be la(cx + d) arcie, C (c> 0:a< 0); с Vāc 1 v c(ax + b) 9)1 x V ^ t e d ^ - 2(2a- 3te>^ + te>4 c; 15b 1 0 ) }x 2Va + bxdx = 11) 12) 13) 14) 15) 16) 2(8 a2-1 2abx +15b2x2)J(a + bx)3 _ = C: 105b3 xdx 2(2a-bx), _ -,---- = ---- ;---Va + bx -t-c; Va + bx 3b2 x2dx _ 2( 8 a2-4abx + 3b2x2 ), <Ja + bx 15b3 с/х 1, Va + bx - Va ln xva + bx Va Va + bx + Va + С (a>0); с/х 2 a + f a +C (a <0): ' V ^ arclgv -a dx -Va + bx b dx x2j a + bx ax 2a xva + bx Va + bx dx _ I---г r с/х = 2va + bx +aj xva + bx 3 17) _ /г-----7, xm_1(2ax + X 2) 2 X V 2ax - x dx = m (2m + 1)a j x - 1V Ž ^ d x ; m + 2 J 110

111 dx _ xm~1v2ax-x2» 18) J V2 ax - x 2 m (2m-1)a, m V 2ax - xl V 2ax - x2 (2 ax - x 2)2 19)J dx = x (2m-3)ax" dx 20) 1- rv 2ax -. V 2ax -. 2D1-3 x dx 22) 1 m- 3 f л/2ах + х2 +- -dx; (2 m-3)a J(2ax - X2)- xdx ax -+ C; (2 ax-x2)2 -dx = + C; 3 ax3 x - a + C; a2v 2ax - x x 23) J W 2 ax -. (2ax- x2)2 a> + C; 24) j F(x)<j2ax- x2dx = \F{z + a)^a2+ z2dz (z = x - a); 25) J dx = In x + a +V2ax + x ax + x -t-c; 26) jf(x)v2ax + x3dx = jf(z - ah/z2- a 2dz (z = x + a); 111

112 27) \<Ja + bx-cx2dx = - V a + bx-cx2 + 4c b2-4 ac 2cx-b arcsin 1 r, + C; V b2+ 4 ac 8c 2 28) I ^j^-^dx = J(a - x )(b + x ) + +(a +b) arcsin J +C; V a + b 29) } J- ^ - d x = - J(a + x)(b-x) - -(a + b)arcsin / + C: \ a + b 30) jj~~^-dx = - V l- x + arcsinx + C; 31) f-, ^ =2arcsin+ J ( x - a ) ( p - x ) V ß - a 32) f -7 = -jlln 2ax + b + Vax2+ bx + c V a +2yja(ax2+ bx + c) 3 3 )J7 - / X, - V ax + bx + c 112

113 1. 2ax + b _. = 7= arcsin. --+С ' (a<0); Va v b 2-4ac 34) [Vax2+ bx + cdx = 2aX + ^ Vax2+bx + c + 4a 4a c - b 2, dx + г--- J- 8* J V ax2 +bx + с xdx 1 / j I = Vax +bx + c - 35) J V ax2 + bx + с 36) J XV ax2 + bx + с a dx f - 2* V ax2 + bx + с dx ln + C (c>0); Г с bx + 2c + 2 Jc(ax2+ bx + c) dx 37) J- xv ax2 + bx + с 1 bx + 2c _. -7=arcsin. - + С ( c > 0); Vc xv b2-4ac 38) j V X 2 + a2dx = -jv X2 + a2 + + In 2 + C; 39) jx V x 2 + a 2dx = (X2+ a 2)2 + C; 113

114 40) j x2vx2+ a2dx = ( 2x" + a2)vx2+a2 - a4 In + C; Vx +a 41) \ X -dx \> 42) / dx 7777 v:x +a 43) J X + In л[> + C; xdx = In + C; X 2 + a: +aln 44) j-_p _=,/ c; V X" + a V; + C; x2dx 45) J I vx 4 a ----In a x + Vx' +a2 + C: V 7 T с/х 46) J =-ln + C; x-jx2+ a2 3 a +л/х2+a2 dx 47) J (x + b)vx2+ a2 In Ja2+b~ x + b Va2+ b2'jx2+ a2 + a2 -bx + C; 114

115 dx 48) J- x2y [ 7 ^ 7 3 Vx: + a2 + C: 49) J(x 2+ a2)2dx = ~(2x2+ 5a2h/x: + a + 3 4, + a In x + vj rx 2+a + С; 50) J dx y/(x: + a2)3 X - + C; a: V * : +<э: x(x2+ a2)2 51) ļ(x- + a )2dx = л + 1 "-i +--- j(x~ + a" )2 dx; л + 1 n - (*2+й2)2 52) Jx(x2+ a2)2dx = л C: 53) J x~dx X + In x + v/ x - 2 +a 2 + C; V ( 7 7 P 7 V fx" > a2 54) J- dx 1 2 a V 2a -In a + V? + a + C; 55) j Vx2- a2dx =~ -Jx2- a2 - -y In x + -Jx: - a2 + C: 56) xvx2- a: dx = - (x 2- a2)2 +C: 3 115

116 58 Vх2-а2. г~2 у <э ^ dx = yj ж - a + aarcsin + С; у [ 7 ^? -dx = х dx V x W xdx = ln X + + С; + ln х + + С; / dx = - у [ 7 ^ 7 + \ n x + J 7 ^? + С; у [ 7 ^ dx,------= 1 arcsin а к С; л- x-jx2- а 2 а * dx (x + bh/x2- а2 л/ь2-, bx + а2+ V Ь2- а2vx2- а2 In + С; х + Ь dx 1. Ьх + а2 ^ 65) I « CUVJiU arcsin С ; (х + а)л/х2- b 2 V a2-b2 а(х + Ь)

117 66) 67) 68) 69) dx 1 x + a = + -! C (х±а)л/х2-а2 ац[х±а) dx л/х2- a2 + C; х2л/х2- a 2 a2* dx + C: J ( x 2 - а 2 У a 2 ^ x 2 - a 2 3 ( X2- a2)2dx = - ( 2x2-5a2)V *2- a 2 + 3a +--- In X + + C; 70) 71) 72) 73) 74) 75) x(x2- a 2)2 na (xl - a2)7dx = ----j(x 2- a 2)2 с/х; л +1 n + 1 n.. (х2-й2)2 x(x2- a2)2dx = -f C; n + 2 x2dx +ln X + л/х2-, + С; Vūw7 dx л/х2 - a2 1 X _ = ^ = =--- H arcsec + С; х'л/х2- з /^2 a ->2 2a X 2a3 a л/а2 - x 2dx = л/а2 - x2 + arcsin + C; 2 2 a. 3 хл/а2- x: c/x = (a2- x 2)2 + C; 3 117

118 76) j x2j a 2- x1dx = ( 2x2- a2)-ja2- xj + 8 a4. x + arcsin + C; 8_ a Ja2- X 2dx r~> = V a" -. X" +aln a +4 a2- X Va2-X2dx *Ja2- x 2 x -arcsin hc: X' dx Ja2- > xdx Ja2 = arcsin i-c; a,=_ V? T 7 +C; + C; Ja2- x" + arcsin + С; 2 a dx 1, X + C; Va2-*2 a a + 4a2- x2 dx (x + bh/a2- x2 1. bx + a2 _,, arcsin C (0>a); a(x + b) 118

119 dx 84) j (x + b )Ja 2- x rill Va-' -b: x + b + C (b<ay. J a 1-b2Vai - x1 + a + bx dx 85) ] _ 1 a + * (x± b )V _ vj 2 V a±x + C; a -x dx Va" 86) J- +C; x2va; - x: a x 3 87) J ( a ' -x" )2dx = (5a: - 2x: )Vä~~-x~ + 3aA. x _ +--- arcsin + C; 8 a 88)1 dx x -+C; <J(a: - x2)3 a; - x ; n x(a2- x : )2 a*n 89) J(a ; -x2ydx = / (a '- x ' )2 dx; n +1 n +1 90) fx(a2- x : ydx = ~ + C; n + 2 r 91) J, x dx = x = ~r= x _ -arcsin -fc; J{* r - x )3 J a 1-x2 a 119

120 iii j m - 1 r x ax x r \ 2 92) j [= = = = = yļa" x m m ^ ) J- dx U a 2- x 2 «Ja 2 x + 2a2x2 x + 2? ' " a + -Ja2-x2 + C. Trigonometrisko funkciju integrāļi: 1) Jsinxdx =-cosx+ C; 2) Jcosxdx = sinx + C; 3) fsin2xdx = sin2x + C; X 1 4) [ cos2xdx = + sin 2x + C; ) }sin3xdx = -^cos3x-cosx + C = = cos3x - cosx + C; 12 4 ļ 6) Jcos3xdx = sinx- sinj x+c = = sin3x + sinx + C;

121 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) sinnxdx = -sin" 1X cos x + - f inn "2xdx; n n n I 1 Л 1 n-1. f ' cos xdx = cos xsmx +--- Jcos " xdx ; n n dx = Icosecxdx = In + C; sin x lg? dx = jsecxdx = In ig[ + + C; cosx dx T 2~ = -ctgx + C; sin x dx = tgx + C; cos" X dx cosx 1 + ~ln sin3x 2sin2x 2 x + C; dx sinx 1 X к -+ In cos3x 2cos2x 2 * 2 + 4, + C; sinx cos xdx = cos2x + C; 4 sin" xcosxdx = sin3x + C; 17) 18) sin x cos2xdx = - J cos3 x + С sin2xcos2xdx = X - sin 4x + C; о

122 SmX dx = Itgxdx = -ln cosx + C; cosx sinx 1 ---ö ox = С = sec x + C; cosx dx = In X cosx 4*2 + *2 2X 2 dx =tgx X + C; cos X cosx dx = Ictgxdx = ln sinx + C: sinx cosx -dx = + C = -cosecx + C; sin: x sin X cos2x X dx= In + COSX sinx «2 + C; I - dx = -ctg X - X + C; sin X dx cosxsinx dx sin xcosx я = ln fgx + C; -+ In sinx -sinx +C; > X к tg , + C dx 1 X -+ In + C; sin X cos X cos X '«2 dx = tgx -ctgx + C; sin xcos X

123 f, sin (m + n)x 31) Jsin mxsinnxdx = (m + n) sin(m-n)x ^, t-c (n r *rr); 2(m-n) cos (m + n)x 32) Jsin mx cos nxdx =- 2(m +n) COS(/7) n)x _ j-t + C Irr^ (m2±n2); 2 (m-n) r, sin (m + n)x 33) J cos mx cos nxdx = (m + n) sin (m-n)x,, + ; C (m * rr); 2 (m-n) r dx 1 asinx + b 34) J = arcsin--- + C <a2> b2): a + bsinx y]a2- b 2 a + bsinx dx 35) 1 a + bsinx 1 b + asin x - Vb2- a2cc In 4b2- a2 a + bsinx 36) J- dx a + bcosx 1 acosx + b = + ; -- - arcsin C Vb2- a 2 a + bcosx + C (b2>a2): (a > 0;b < 0 ); 37) J - ^ - a + bcosx 123

124 л / ь 2 а b + acosx + Vb2- a2sinx ln + С (a<b); a + bcosx г dx 1 38) J (ax + bln acosx + bsinx ) + C; a + btgx a2+b2 dx 39) 1 asinx + b cosx 1 bsinx-acoi-x + Va2+b In Va2+b2 asinx + bcosx 40) J - dx 1 cosx m- 2 j dx X m -1 sinm x m -1 sinm"2x tgm-l X 41)jtgmxdx= jtg m_2xdx (m*1); m-1» m-1 j. 42) letgmxdx = Jctgm-2xdx (m *1); m-1 43) J sec x tg xdx = sec x + C; 44) J cosec xctgxdx = -cosecx + C; + C; 45) Jcosmxsinnxdx = - m + n m 1 г m "*. n I Jcos "xsm xdx (m en); m + n 46) Jcosmxsin"xdx = - m + n n -1 Jcosmxsinn 2xdx m +1 (m>n); 124

125 47) J dx 1 1 sinmxcosnx n - 1 sinm 1Xcosn-1x m -i-n - 2 ( dx n - 1 sinmcosn-2x r cosmxdx cosm+1x 48) J- sinnx (n-1)sin/t,*1x m-n + 2 r cosmxdx _ (n * 1); n-1 sin X r cosmxdx cosm-] X 49 sinnx (/77-n)sinn_1X + m -1 fcosm~2xdx J ---- (m *n): m-n sin x r cosn+1x 50) Jsinxcos xdx = i- + C n + 1. r n, sinn+1x 51) Jsin xcosxdx =---- r~ + C; n + 1 r n f dx 1 blsx r- 52) J = 7-arctg C; a cos x + o sin x ab a r xm_1 53) J xmcosaxdx = (axsinax + mcosax)- _ n m - 1 a Dažu citu transcendento funkciju integrāļi: 1) lexdx = ex+c; 125

126 б а a*dx = гт + С: ln a dx., _ --- = ln lnx + C; x\nx xn\nxdx = xn+1 _n +1 j +C; (n + 1) J e " lnx 1 feax e In xdx = J dx: a a x xm+1 n xmin'1xdx = In'1X J x m In'1 xdx; m + 1 m + 1 xmdx xm+1 m + 1j xmdx ln"x (л 1)lnn~ X л 1 In" x, asinbx-bcosbx _ e sinbxdx =-----r ^----edx+ C; аг + b,, acosbx +bsinbx,y e cos bxdx =----- j e " + C; a" +bl lnxdx = xlnx-x + C; arcsin xdx =xarcsin x + V1-x + C; arctgxdx = xarctgx - lnvl + x~ + C; e " edxdx = +C; a ç ê x xeaxdx = y(ax -1) + C; a* X n P ax n r xnej*dx =---- Jx"- e"dx; a a

127 16) amxxndx = a x n J arav " 10x; mina mina 17) J axdx Ina ra*dx (m-1)xr + x ^ ' Integrāļa definīcija: kur F(x) = f(x). 2. Noteiktais integrālis jv(x)dx = F(X)\ba = F(b)~ F(a), Noteiktā integrāļa ģeometriskā interpretācija (65. att.): ]f(x)dx =5, JaABb- 66. att. Laukums polārajās koordinātēs (66. att.): 1 5 = J72d<p. ^ <Pt 127

128 Rotācijas ķermeņa tilpums (67. att.): V = n) y2dx. a Neīstais integrālis: ļv(x)c/x = lim ]f(x)dx. a N-»-a Pieņemsim, ka funkcijai f(x) ir bezgalīgs pārtraukums punktā x0(a < x0 < b). Tad ]f(x)dx = lim \f(x)dx + lim )f(x)dx. a ->0 a _+ 0 x0 +ē Integrāļa aptuvena aprēķināšana, a. Taisnstūru formula: b. Trapeču formula: ]f(x)dx = b-a ( y,+ y y y K~2 2 P~~2 I f(x)dx = ~ ^ ( y 2 ^ + /2+-+yn-i c. Simpsona formula: b -a ]f(x)dx ~ + 2 y- +y1+y2+-+yn-i + y i+ y y, \ 2 2 n 2 V 128

129 Sajās formulās n - vienādo nogriežņu skaits, kuros sadala nogriezni [a,b]; b-a y= f(x l), x, = a+/'---- (/ = 0,1,2,...,n); 1 1 n 1 b-a y y =f(x ļ), x, = a + (/~ )---- (/ = 1,2,...n). 1 ' - I n 3. Vairākkārtīgie integrāji Divkāršais integrālis (68. att.): \\f(x,y)dxdy = )dx \f(x,y)dy. D a <p, (x) Laukumu un tilpumu aprēķināšana ar divkāršo integrāli: 5 = jjdxdy; o V = II f( x. y )dxdy. D 129

130 Plaknes figūras laukuma inerces moments attiecibā pret koordinātu sākumpunktu: /0 = li(x 2+ y2)dxdy. D Plaknes figūras laukuma smaguma centra koordinātes: \ixdxdy \\ydxdy Trīskāršais integrālis: *c JJ dxdy ' ^c Jj dxdy ' D o b <M*> V i(p > ))]f(x,y,z)dxdydz = )dx \dy V a (p,(x) v,(x.y) }f(x,y,z)dz. Ķermeņa inerces moments attiecibā pret koordinātu asīm: +z2)p{x,y,z)dxdydz\ ly = JJI(x 2+ z2)pix,y,z)dxdydz\ V \2= \\i{x2+ y2)p(x,y,z)dxdydz, v kur p(x,y,z) - vielas blīvums. Ķermeņa smaguma centra koordinātes: ļ Xc = JJJ xp(x, y,z)dxdydz\ *ļ yc = TT J/J yp( X, y, z )dxdydz; M v 130

131 zc =-ļ-\l\zp(x,y,z)dxdydz, kur M = 1p(x,y,z)dxdydz - ķermeņa masa. v 4. Līnijintegrālis Līnijintegrālis pēc loka garuma (69. att.): \f(x,y)ds=)f[x,<p(x)}yļ \+l<ņ,(x)]2dx. ļjab a Līnijintegrālis pēc koordinātēm: j X(x,y)dx + Y(x,y)dy = uab = 1X[y(t),\\i(t)]ņ' (t)dt + Y[i$t).y(t)W{t)dt, t, kur x = cp{f) un y = \ļ/(t) - līnijas >46 vienādojums. Līnijas ierobežotā apgabala laukuma aprēķināšana ar linijintegrāli pa šo līniju: S = t \xdy-ydx. 2 \jab Mainīga spēka F = X(x,y)ī + Y(x,y)j paveiktā darba aprēķināšana, ja ceļš ir līnija L: A = jx(x,y)dx + Y(x.y)dy. L 131

132 Grīna formula: ( dy dx ^ \X(x,y)dx + Y(x,y)dy = \j - pxdy, L D \ u X d y J kur D - plaknes apgabals; L - šī apgabala kontūra. Integrāļa definīcija: 5. Virsmas integrālis ij [ X cos(n,x) + Y cos (n. y) + Z cos(n.z)]da= a = U Xdydz + Ydxdz + Zdxdy, cr kur a - virsma; X = X{x, y, z), Y = Y(x, y, z), Z = Z(x, y, z) - funkcijas, kas dotas katrā virsmas a punktā; n - virsmas normāles virziens. Virsmas integrāļa aprēķināšana: IIZ cos (n,z)do= ±\\ Z[x, y,f(x, y)]dxdy, a D kur D - virsmas a projekcija uz plaknes xoy, z = f(x, y) - virsmas a vienādojums. Plusa vai mīnusa zīmi pirms divkāršā integrāļa liek atkarībā no tā, kāds ir cos(n, x) - pozitīvs vai negatīvs. 6. Ostrogradska formula M iy 3Z d v v ĀT+37+3? ^ = JJ f X cos (n, x) + Y cos (n, y) + Z cos (n,z)]do. O kur V - apgabals, ko ierobežo noslēgta virsma a. 132

133 XI. DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMI 1. Diferenciālvienādojumā vispārīgais veids kur n h x.y.y '.y'... y u ) = 0, vienādojuma kārta. 2. Pirmās kartas diferenciālvienādojumi Vienādojums ar atdalītiem mainīgajiem: P(x)dx + Q(y)dy = 0. Vispārīgais atrisinājums: ]p(x)dx +\Q(y)dy = C. Vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem: M., (x )N} ( y )dx +M2(x )N2(y )dy = 0. So vienādojumu var reducēt uz vienādojumu ar atdalītiem maini(jaiiem, dalot to ar izteiksmi N](y)M2(x) Homogens vienādojums: x,y)dx + N(x.y)dy - 0. Vienādojums ir homogēns, ja izteiksmēm M(x, y) un N(x, y) ir viens un tas pats homogemtātes rādītājs, t i., Mitx.ly)- tkm(x.y)\ N(tx,ty) = tkn(x.y). Ar substitüciju y = i i x homogēno vienādojumu var reducet uz vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem 133

134 Lineārs vienādojums. a. Lineārs vienādojums bez labās puses (homogēns): y'+p(x)y = 0. Vispārīgais atrisinājums: y = Cei-pd*. b. Lineārs vienādojums ar labo pusi (nehomogēns): y'+p(x)y = Q(x). Vispārīgais atrisinājums: Bērnulli vienādojums: y = e~^pdx(c + IOeiPdxdx). y' + P(x)y = Q(x)yr (n *0.n *1 ). Šo vienādojumu ar substitūciju z = y~n* ' var reducēt uz lineāru vienādojumu. Vienādojums ar pilno diferenciāli: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, dm dn ja ~dy^~dx Vispārīgais atrisinājums: J M(x,y0 )dx+ f N(x0.y)dy = C. *o Yo 134

135 3. Otras kārtas un augstāku kārtu diferenciālvienādojumi Divi kārtas pazemināšanas gadījumi. a. Vienādojums nesatur y, t.i., F(x,y\ f... y (n ) = 0. Ar substitūciju p = y' var pazemināt ši vienādojuma kārtu par vienu. b. Vienādojums nesatur x, t.i., F( y.y', y... y (n>) = 0. Lai pazeminātu kārtu, par nezināmo funkciju ņem p =y', bet par argumentu -y. Tad, _dy' _ dy' dy dp ^ dx dy dx dy Lidzlgā veidā atrod y " ' utt. Otrās kārtas lineārs vienādojums ar konstantiem koeficientiem: yr + py + qy = f(x). a. Lineārs vienādojums bez labās puses (homogēns): y'+py' +qy = 0. Raksturīgais vienādojums r2+pr + q =0. Ja raksturīgajam vienādojumam ir divas dažādas reālas saknes un r, tad lineārā vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir šāds: 135

136 y = C,eM + C2efjJt; p 4 * ja r, = r2= - ~. tad y = (C, + C2x)e 2 : ja r, = a + P/. r2= a - P/, tad y = ea* ( C, cos Px + C2sin px). b. Lineārs vienādojums ar labo pusi (nehomogēns): y' + py' + qy = f(x). Vispārīgais atrisinājums ir summa, kas sastāv no dotā vienādojuma partikulārā atrisinājuma un atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārīgā atrsisinājuma. Ja labā puse f{x) ir šāda: /'(x) = eajrfp1(x)cospx + /:52(x)sinPxļ, tad partikulāro atrisinājumu atrod pēc formulas y = x; e *l/?,(x)cospx -f-/?2(x)sin pxļ, kur /?,(x) un R2(x) - polinomi, kuru pakāpe vienāda ar polinomu Pļ(x) un P2(x) augstāko pakāpi, bet k - kārta, kāda ir izteiksmei (a±p/) raksturīgā vienādojuma sakņu skaitā. 136

137 XII. RINDAS * 1.Skaitļu rindas Skaitļu rinda: U, i U- +U3+...+Uk+...= 'žfuķ. k=1 Sī rinda konverģe, ja eksistē robeža lim 5n - A. n-»oo n kur Sn l/( parciālsumma.» Rindas konverģences nepieciešamais nosacījums: lim Uk = 0. Dalambera pazīme: U lim k «= 9- Uk Ja q < 1, tad rinda konverģē; ja q > 1, t.ui rinda diverge, ja q = 1, tad ši pazime atbildi nedod, t.i, rinda var gan konverqr>t, gan diverģēt. Koši integrālā pazime. Pieņemsim, ka f(x) ir tāda funkcija, kurai f(k) = Uk (k = 1,?, ) Tad rinda Y*Uk ar pozitīviem locekļiem k=1 137

138 konverģē, ja eksistē neīstais integrālis lf(x)dx, un diverģē pretējā gadījumā. Maiņzimju rindas konverģences pazime. Maiņzīmju rinda Uy-U2+ U3-UA+...= X ( 1)k^Uk k=^ konverģē, ja lim Uk= 0 un Uk> Uk+, (k = 1,2,...). k»» Absolūtā un nosacitā konverģence. Patvaļīgu locekļu rinda Y*Uk konverģē absolūti, ja k=1 konverģē rinda Ž ļuk\. k=r 1 Ja rinda t,uk konverģē, bet rinda X l/j diverģē, tad *=1 <r=t 1 pirmo rindu sauc par nosacīti konverģentu Operācijas ar absolūti konverģentām rindām: iu k± iv t = i(u k±vky. k =1 k=1 *=1 kur II/ * \4 = I«*. k=1 fc=l fc=l o)k=uyk+u2vk_&...+ukvy 138

139 2. Funkciju rindas Funkciju rinda: //,ix) i U2(x)+...+Uk(x)+...= t,uk(x). k=1 Sī rinda konvertē vērtībai x =a, ja konverģē skaitļu rinda f.u k(a) k=\ Funkciju nnd.is konverģences apgabals ir to x vērtību kop.i, km.un imd.i konverģē. Pakāpiti ritui.r. 3. Pakāpju rindas.» i a,x a2x: +...+ak.xk+...= Yakxk *=1 konver/ļci".ipgabals ir intervāls (-/?, /?), kur K ( ihvfii'umkes rādiuss: R - 1im. <r->~ak+] Pakaffju /nīdu integrēšana un diferencēšana: X/A(x) 'k k* 1 J k' k= 1 1 f,uk(x)dx =X ]uk(x)dx. «* 1 k=\ Konvt*iiV'im i.itliuss šīm rindām, kas iegūtas, difeirni «). >1un integrējot doto rindu pa locekļiem, paliek tād*j pat. 139

140 Teilora rinda: f'<xn ) f " ( X ū ) 7 f(x) = f(x0) + ^ - ix - x 0) + ^ - {x - x 0Y+... Maklorēna rinda: o ) ^ ~ (X X q ) n! ^ f'(o) f"(0) 2 r \ 0 ) f(x) = f(0) + x + x x ! 2! n! Binomiālā rinda: kur (1 + x)m=1 + C]mx + C?nx*+...+Cnmxn+..., m" n! Veselām pozitīvām m vērtībām rinda ir galīga, bet pretējā gadījumā - bezgalīga. Rinda konverģē intervālā (-1, +1). Sīs rindas atsevišķi gadījumi: --- = 1+ x + X + x X konverģē, ja -1 < x < 1; = 1-X + X X X konverģē, ja -1 < x < 1; / , 1-3, V1+x = 1+-x- x'+ x - x konverģē, ja 1< x < 1;; ^ = +T T 9 X - T ē T U * * - 140

141 konverģē, ja - 1< x< 1.» Elementāro funkciju izvirzījums pakāpju rindā: X X 2 x 3 x 4 e* = ! 3! 4! konverģē visām x vērtībām;,», Ina lna dn (Ina)", (Ina), a x x * x ! ; 3! konvertē vis.im x vērtībām; x7 sm x = ! 5! 7! konverģe visam x vērtībām; x2 x4 x6 COSX = ! 4! 6! konverģe vi..un x vērtībām; 1, lg x + _ x + _, + x konverģe,.i 7 <x <ļt' 1 f CtK X ; X + x + X + X +... x { konverģe, ļ.i n < x< n ; X X X X ln( lll( 1f 11X X) ) ±x - ±x- ± - ± konverģe, j.i 1 <x < 1; konverģe,.i 1--+ x J x3 x5 lu ----= 2 x X l«.x<1; 141

142 X - 1 1r x -1 V U x-lf ln x = 2 x Vx + lj +5vx + lj + " konverģē visām pozitīvajām x vērtībām; 1 x3 13 x x7 arcsinx = X konverģē, ja - 1< x< 1;; X3 X' arctgx = x - konverģē, ja -1 < x < 1; x^ x5 X shx = x = sh( -x); x~ x4 x^ ch* = = Ch<-X). Pakāpju rindas funkcijām ar kompleksu mainigo z: 1 1 ~ z* e* = 1+ z + z zn+...= X ; 2! n! k=ok\ 1 _3.. / i^n ^ -2/J+1. s,nz = z - z +...+(-1) (2n + ļ)f COSZ = 1-T7Z2+...+(-1)"' 2! (2n)! Eilera formulas: ezi = cosz + /sinz; e~* =cosz-/sinz; e21+ e~* ez' - e~z' cosz = ; sinz = 2/ 142

143 Furje rinda: kur 4. Trigonometriskās* rindas 1 ~ Mx) = - a 0+ 2.(a cosnx + onsinnx), 2 n=i J f(x)co\nxdx\ n - I I /1x )sm nxdx. Jt» (n = 0,1.2...) Ja funkcija /(x) n periodiska ar periodu 27t, gabaliem monotona un ierobežota intervālā [-7t, 7t], tad Furjē rinda, kur.» i/vu/ita ši funkcija, konverģē visos punktos. Ja punkt i x '.āda funkcija f{x) ir nepārtraukta, tad Six) = fix), kur Six) lunt i ijas fix) Furjē rindas summa Ja x ir pārtraukuma punkts, tad fix-0) + f{x + 0) S(x) = , kur f(\ 0) un f{x + 0) - funkcijas fix) robeža no kreisās puses un no labās puses.

144 XIII. LAUKA TEORIJAS ELEMENTI Skalāras funkcijas (p(m) gradients telpas punktā M(x, y, z): t 5<p - d<p r 3 (p gr^ =, _ +, _ + k _ Skalāra lauka <p(m) līmeņa virsmas: <p(x, y, z) = C. Gradienta īpašības: grad( <p+ vy) = grad (p + grad \\r, grad(<piļ/) = tpgradvļf + vļ/grad <p: grad / ((p) = f '((p) grad cp. Vektora cirkulācija pa līniju: J a(m)dr = Jax(x.y,z)dx + ay(x,y,z)dy + az(x,y,z)dz, jab *j AB kur ā(m) = a^x.y.z)i + ay(x.y,z)j + a7(x.y.z)k - vektorfunkcija; dr - punkta M rādiusvektora ī diferenciālis. Vektora plūsma caur virsmu: JJ a( M)dtb=jj axdydz + aydzdx + a2dxdy. s s Vektoru lauka a(m) diverģence: - da dav da,

145 Ostrogradska formula: \\ j(m)dco=\l\ + + ixdydz = fi!di\ādv. y \ ox o y oz j v kur 5 noslēgta virsma, kas ierobežo apgabalu V. Diverģences īpašības: Vektoru lauka rotors: iot.1 I <)a, c)y S to k ij form ula: div(ā + b) = diva + div6; div(<pā) = (pdiv ā +āgradip. day dz id(m )dr = Jjf^ bvdz + c 5 V dz J day day dax ' dxdy =Jj roi ādco, t)/ ()x ) dx dy / s kur ik locjta kontūra, kas ierobežo apgabalu 5. Rotoi.i īpašības: Lapl.n.t operators: rot (a + b)= rotā + roib; roi(<pā) = (protā + gradtpxa. d2(d rj2cp d2<p A<p= -r~r + -r-r +t ^: dx dyc dz~ dx dy 145

146 - d2ā d2ā d2ā A* = "T T + T T + TTTdx r)y ()z Otrās kārtas operācijas: rot grad(p= 0: div rot a = 0: div grad(p= A<p; grad div a = rol rotā + Aa; Simboliskais vektors «nabla» (Hamiltona operators): r 3 - d d grad<p = Vtp; d iva = Vā. 146

147 XIV. VARBŪTĪBU TEORIJAS UN MATEMĀTISKĀS STATISTIKAS ELEMENTI 1. Gadījuma notikumi Relatīvais biežums: m (0=, n kur m - notikuma iestāšanās gadījuma skaits (biežums); n - mēģinājumu skaits. Varbūtības klasiskā definīcija: kur M - notikumam A labvēlīgo gadījumu skaits; A/ vienādi iespējamu un pa pāriem nesavienojamu gadījumu kopējais skaits Varbūtību pamatīpašības: 0 < P(A) < 1; P(u) =1, kur u - nenovēršams notikums; P[A vai B) = P{A) + P(B) ir nesavienojamu notikumu varbūtību saskaitīšanas likums. Notikumu pilna sistēma: P(A}) +P(A2) +...+P(An)= 1, ja A u A2i... Anveido notikumu pilnu sistēmu. 147

148 Pretēja notikuma varbūtība: P (Ā )- ]- P(A ). Nosacītā varbūtība: _ PlAunB) P(B / A) P(A) Varbūtību reizināšanas vispārīgais likums: P(A un B) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B). Neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas likums: P{A un B) = P(A)P{B). Varbūtību saskaitīšanas vispārīgais likums: P(A vai B) = P(A) + P(B) - P(A un B). Pilnās varbūtības formula: P(A) = PiB,)P(Aj'B-) + P(B:)P(A/B2) +. + P(Bn)P(A/Bn), kur B-, B2,... Bn- pa pāriem nesavienojami notikumi, pie tam notikums A var iestāties tikai ar vienu no tiem. Hipotēžu varbūtību formula (Beijesa formula): o o Pi R ļ \ PiB.)P(A/B.) P(B,)PiA/B]) + P(B,)P(A/B,)+...+P(Bn)P(A/Bn) (i= 1,2, n). 2. Gadījuma lielumi Diskrēta gadījuma lieluma varbūtību sadalījuma likums: X *1 *2 P Pl P 2 P n 148

149 Varbūtību sadalījuma blīvums: P(x < X <x + Ax) f(x)= liin ax >o Ax Varbūtību sadalījuma blīvuma īpašības: f(a) > 0; Varbūtība, ka gadījuma lielums X pieņem vērtību dotajā intervāla (70. att.): y.h *) X x / <» \ x,) = \f(x)dx. Matematiskd cfiilm (jeb vidējā vērtība): m x 'Lxß,

150 (diskrētam gadījuma lielumam); MX = \xf(x)dx (nepārtrauktam gadījuma lielumam; šeit f(x) - varbūtības blīvums). Matemātiskās cerības īpašības: MC = C, kur C - konstante; M(CX) = c m x - M(X +Y) = MY +MY jebkuriem X un Y\ M{XY) = MXMY neatkarīgiem X un Y. Dispersija un vidējā kvadrātiskā novirze: DX = M(X - a)2= MX2- a2 (MX =a); o, = Vdx. Dispersijas īpašības: DC = 0; D(CX) = C2DX] D(X + Y) = DX + DY neatkarīgiem X un V. Sadalījuma momenti. a. Sākuma moments ar kārtu k: vk=mxk. b. Centrālais moments ar kārtu k: i k = M (X-a)k (MX = a). 150

151 3. Daži varbūtību sadalījuma likumi Binomiālais likums: P,imi =C A - =, -.P ' V " 1. kur Pn(m) -varbūtība tam, ka, izdarot n neatkarīgus mēģinājumus, notikums iestājas m reižu, p - notikuma iestāšanās varbūtība katrā atsevišķā mēģinājumā, q = 1 - p - pretējā notikuma varbūtība. Visvarbūtigākais notikuma iestāšanās gadijumu skaits: Laplasa lokālā teorēma: kur np - q <m0< np + p. Pn ( m ) ~ i cp( x ). \ npq m-np 1-4fx = i ; (p(x) = r==e yjnpq yj2n Laplasa integrālā teorēma: X, Pn(a< m< b)= J<p(x)dx. kur a-np b-np x : - ļ = : x 2 = i = -. yļnpq yjnpq 151

152 Puasona likums: kur a = MX = ox. P (X - m )~ e~*. m\ Normālais likums. Gadījuma lielumam X ir normālais varbūtību sadalījums, ja tā varbūtības blīvums f(x) = 1,2 ix -ar kur a = M X, o = o*. Gausa līkne (71. att.): Varbūtību integrālis: 'r 2 [ = 2Jcp(x)dx = - T= Je 2dx. 0 v 27t 0 Varbūtība, ka gadījuma lielums, kuram ir varbūtību normālais sadalījums, pieņem vērtību dotajā intervālā 152

153 P(x, <X< X2) = 1 [d X ^ - )-cd (^-^)); 2 G O P(\X - a > e) = 4K-). G 4. Divu gadījuma lielumu sistēma Diskrēta divdimensiju gadījuma lieluma varbūtību sadalījuma likums: Y\X ' Xn /1 /- - Pin K, / ; p - Y,i Pmi >'. _ ß ü m n X X p * = i i=1/k=l Varbūtību sadalījuma blīvums: P{x <X <x + &x, y <Y <y + Ay) f(x,y)= 1im a*->o Ax Ay Ay -»0 Korelācijas moments: (Ixy = /W(X Korelācijas koeficients: - MY). M-)fy ^xy ~ OxOy 153

154 Regresijas taišņu vienādojumi: y- b x-a kur a - MX, b = MY. Vidējais ģenerālais: Gy ~ r*y Ox x-a y-b ---- = rr *y 5. Izlases metode N X,+X2+...+XN _ ļ X g N N ' kur x,- pazimes skaitliskās vērtības; N - ģenerālās kopas apjoms. Izlases vidējais: n x, + x2+...+xn I x t ' *171 'z ~~ n n kur n - izlases apjoms. Ģenerālā dispersija: N _ X (x,-x0r D= - V D. 154

155 Izlases dispersija: I ( x, - x ) 2 D<zi ~ : ~ V^iž/' n Koriģētā izlases dispersija: S "= 7 ^ = '=1 n - T * ' n-1 s = l 1(X,-XIZI)2 1 =1 V n -1 Normāli sadalītas pazīmes ģenerālā vidējā novērtējums: xizl-e<a< xizi + e jeb a- x,z/ <e. a... kur a = x0; e = t f= - novērtējuma precizitāte; y]n n - izlases apjoms. Novērtējuma ticamība: Eilera gamma funkcija: P = P(ļa-x,z/ <e) = <lxn. r(ac) = (Ar 1)! = (/c 1); r(/c + - ) = ^ ( 2 f e - 1 ) 0 = - ^ (2 fc -1 ); ! = ni)=r(2) = l 155

156 Stjūdenta sadalījums. x Gadījuma lielumam T = ^ ir varbūtības blīvums T n t S(t,n) = Bn(1 + ļ) 2, kur n r ( I ) B = i---- :r n 1 ' V7t(n-1)r( ) Vidējā ģenerālā novērtējums maziem izlases apjomiem (n < 30): xlzl - e<a< xlzl + e, 5 kur e = t r=. yln P = P(\a-xizl\<e) = )s(t,n)dt. -t X sadalījums. Gadījuma lielumam X = ^<Jn- 1 ir varbūtības blīvums kur R(t,n) = \ t n~2e~2 (n > 3, f > 0), 1 4,= ^ n H ) 156

157 Vidējais kvadrātiskās novirzes novērtējums: s- <a<s + e, pie tam novērtējuma ticamība kur P = P( a- s < e) = j R{t, n)dt, r, '- f? ; '»-f?

158 Izm antota literatūra 1. D.Kriķis, P.Zariņš, V.Ziobrovskis. Diferencēti uzdevumi matemātikā, i. daja, Rīga, Zvaigzne, D.Kriķis, P.Zariņš, V.Ziobrovskis. Diferencēti uzdevumi matemātikā. II. daļa. Rīga, Zvaigzne, J.Mencis A.Sika. Matemātikas rokasgrāmata skolēniem. Rīga, Zvaigzne, 1990.

159 159 SATURS Apzīmējumi... 4 I. A R IT M Ē T IK A 1. Dalāmības pazīmes Vidējie iielumi....5 ii. ALG EBRA 1. Darbības ar algebriskām izteiksmēm Proporcijas Kompleksie skaitļi Vienādojumu atrisināšana Nevienādības Progresijas Eksponentfunkcija..., Logaritmi. Logaritmiskā funkcija Savienojumu teorija. Ņūtona binoms III. Ģ EO M ETRIJA A. Plaknes figūras (Planimetrija) 1. Trijstūri, to elementi, īpašības Trijstūra mediānu, bisektrišu un viduslīnijas īpašības , Trijstūra laukuma aprēķināšanas formulas...,,..27 4, Ap trijstūri apvilkta un trijstūrī ievilkta riņķa 5, Sinusu teorēma un kosinusu teorēm a... 28

160 Trijstūru līdzība Vienādsānu trijstūris Vienādmalu (regulārs) trijstūris Taisnleņķa trijstūris Paralelograms Rombs Taisnstūris Kvadrāts Trapece Ievilkts un apvilkts četrstūris, n-stūns Regulārs n-stūris..., Riņķis un riņķa līnija Riņķa gredzens Segments Hordas, pieskares, sekantes B. Tilpumi un virsmu laukumi (stereometrija) 1. Prizma Regulāra piramīda Nošķelta piramīda Cilindrs Konuss Nošķelts konuss Lode IV TRIGONOMETRIJA 1. Leņķu mērīšana radiānos Trigonometriskās funkcijas un to zīmes Dažu leņķu trigonometrisko funkciju vērtības Trigonometrisko funkciju savstarpējās sakarības Redukcijas formulas Galvenās identitātes Saskaitīšanas un atņemšanas formulas Reizinājuma pārveidošanas formulas Divkāršu leņķu, trīskāršu leņķu un pusleņķu formulas... 49

161 10, Sinusa un kosinusa pakapes , Sakarības starp trīsstūra leņķu trigonometriskajām funkcijām , Trīsstūra aprēķināšana, izmantojot trigonometriskas funkcijas V. ANALĪTISKA ĢEOMETRIJA PLAKNE 1. Punkts......?4 2. Koordinātu sākumpunkta pārnešana Polārās kordinātes Koordinātu asu pagriešana Taisnes vienādojums Divas taisnes..., Taisne un punkts Trijstūra laukums Riņķa līnijas vienādojums Elipse Hiperbola Parabola Cikloīda Tangensoīda Sinusoīda Logaritmiskā līkne I ksponentlikne Arhimeda spirāle Bernulli iemniskāta Dažas citas līknes VI. ANALĪTISKĀ GEOMETRIA TELPA 1. Koordinātu zīmes kvadrantos Projekcija Punkts Taisne telpā Plakne telpā Plaknes vispārīgā vienādojuma analīze

162 Taisne un plakne , Otrās kārtas virsm as VII. LINEĀRĀS ALGEBRAS ELEMENTI 1. Determinanti Matricas VIII. VEKTORU ALGEBRAS ELEMENTI 1. Lineārās operācijas ar vektoriem Vektora projekcija uz ass vai vektora Vektora komponentes un koordinātes Lineārās darbības ar vektoriem, kas uzdoti ar koordinātēm Divu vektoru skalārais reizinājums Divu vektoru vektoriālais reizinājums Triju vektoru jauktais reizinājums IX. DIFERENCIĀLRĒĶINI 1. Robežas Atvasinājums un diferenciālis Diferen v < -kie pielietojumi Vairākargumentu funkcijas X. INTEGRĀLRĒĶINI 1. Nenoteiktais integrālis Noteiktais integrālis Vairākkārtīgie integrāļi Līnijintegrālis Virsmas integrālis Ostrogradska formula...132

163 XI. DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMI 1. Diferenciālvienādojum a vispārīgais veids..., Pirmās kārtas diferenciālvienādojum i Otrās kārtas un augstāku kārtu diferenciālvienādojum i. 135 XII. RINDAS 1. Skaitļu rindas Funkciju rindas Pakāpju rindas Trigonometriskās rindas XIII. LAU KA T EO R I J AS ELEMENTI XIV. VARBŪTĪBU TEORIJAS UN MATEMĀTISKĀS STATISTIKAS ELEMENTI 1. Gadījuma notikumi..., Gadījuma lielumi Daži varbūtību sadalījuma likumi Divu gadījuma lielumu sistēma..,,...,..., izlases metode Izmantotā literatūra Saturs