R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis

Transkripts

1

2 R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis

3 PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā apkopoti sistem atizēti p aaugstinātas grūtību pakāpes uzdevumi klašu skolēniem. Šāda veida uzdevumi skolēniem ir jārisina m atem ātikas pulciņu nodarbībās, m atem ātikas olim piādēs un laikraksta «Pionieris» rīkotajā m atem ātikas uzdevumu risināšanas konkursā «P rofesora Cipariņa klubs». Uzdevum u izvēli un sadalījumu pa tēm ām ietekm ējušas tās izmaiņas, kas pēdējā laikā notikušas m atem ātikā. Elektronisko skaitļotāju plaša izm antošana informācijas ap strādē, zinātnes un tehnikas u zdevumu risināšanā, sarežģītu p ro cesu vadīšanā ir ievērojami izmainījusi arī m atem ātikas pētījumu tem atiku un m eto d es. Šīs m atem ātikas zinātnē n otiekošās pārm aiņas ietekm ējušas arī ele m e n tā rās m atem ā tikas uzdevumu saturu. Tāpēc līdz ar uzdevumiem aritm ētikā, algebrā un klasiskajā ģeom etrijā g rām atā ir arī skolēniem neparastāki u z d e vumi par algoritm iem, par konfigurācijām, par kom binatoriskās ģ e o metrijas jautājumiem. Grām atai ir divas daļas un pielikums. I daļā ir doti septiņās nodaļās sakārtoti uzdevumi, II daļā ievietoti uzdevumu atrisinājumi. Pilnīgi atrisinājumi ir doti tikai tiem uzdevumiem, kas satur negaidītas idejas vai ir ļoti grūti. G rām atas pielikumā atrodam i to uzdevumu numuri, kas izm antoti m atem ātikas olim piādēs. Strādājot ar šo grām atu, vispirms vajadzētu iepazīties ar pirmās nodaļas saturu. Šajā nodaļā ar piem ēriem p ask aid ro tas trīs ļoti svarīgas risināšanas m eto d es invariantu m eto d e, Dirihlē princips un ekstrem ālā elem enta m eto d e. M inētās m eto d es vienlīdz plaši izmanto visās m atem ātikas no zarēs.

4 Ja izraudzīto uzdevumu neizdodas uzreiz ntrisinfif, tad nevajadzētu pēc pirmā neveiksmīgā mēģinājumu skatīties uzdevuma atbildi, jo īstu gandarījumu par paveikto darbu var gut tikai tad, ja uzdevums ir atrisināts patstāvīgi. Visi patstāvīgi iegūtie atrisinājumi jāpieraksta iespējami precīzi un pilnīgi. J<«uidevuma formulējumā vai atrisinājumā ir lietoti jēdzieni, kas matemātikas stundās vēl nav aplūkoti, šo jēdzienu saturs jānoskaidro mācību grāmatās vai konsultējoties ar matemātikas skolotāju. Lai pārbaudītu savus spēkus pirms matemātikas olimpiādes, ieteicams mēģināt atrisināt kādu olimpiāžu uzdevumu komplektu (sk. pielikumu). Kad ir izdevies atrisināt vairākus līdzīga satura uzdevumus, iesakām padomāt par iespējām šos uzdevumus vispārināt. Varbūt jums izdodas pašiem izdomāt uzdevumus, kurus var atrisināt ar kādu no šajā grāmatā aprakstītajām metodēm.

5 1. d a ļa UZDEVUMI 1. nodaļa DAŽAS VISPĀRĪGAS RISINĀŠANAS METODES Matemātikas uzdevumi ir ļoti daudzveidīgi. To risināšanai ir izstrādātas daudzas metodes. Dažas no tām ir lietojamas tikai atsevišķu uzdevumu tipu risināšanā, citas daudzās matemātikas nozarēs. Jau kopš viduslaikiem zinātnieki centušies izstrādāt vispārīgu metodi, ar kuru varētu atrisināt jebkuru matemātisku uzdevumu. Mūsu gadsimtā veikto pētījumu rezultātā' noskaidrots, ka tāda vispārīga metode nemaz nav iespējama. Tāpēc matemātiķiem jaunu uzdevumu atrisināšanai ir jāizdomā aizvien jauni paņēmieni. 5ajā nodaļā aplūkotas trīs risināšanas metodes, kuras var lietot samērā plašām uzdevumu grupām. Katras metodes apraksts sākas ar piemēriem, tālāk seko uzdevumi patstāvīgai risināšanai INVARIANTU METODE Terminu invariants lieto ne tikai matemātika. Ar šo vārdu apzīmē īpašību būt nemainīgam kādā procesā (franču valodā vārds i n v a r i a n t nozīmē nemainīgs). Tā, piemēram, no rudzu grauda var izaugt tikai rudzu vērpa. Iesējot šīs vārpas graudus, no tiem savukārt var izaugt tikai rudzi utt. Lai cik reizes sētu graudus, kas iegūti, novācot rudzus, no tiem vienmēr izaugs rudzi, bet ne mieži vai kvieši. Tā īpašība, ka no 5

6 rudzu graudiem atkal izaug rudzi, šajā procev'l ii nemainīga invarianta. Lai ilustrētu jēdziena invariants izmantošanu m<ii<jm<hlkā, aplūkosim šādu uzdevumu. 1. uzdevums. Ar naturālu sk;iitli drīkst izdarīt šādus pārveidojumus: a) pieskaitīt 6; b) dalīt ar 2, ja skaitlis, ir pāra skaitlis; c) mainīt vietām skaitļa ciparus (skaitļa priekša nedrīkst nonākt nulle). Par kādu vismazāko skaitli var pārveidot skaitli 76? Skaitli 15? Atrisinājums. Samērā viegli atrast pārveidojumu virknes 76 * v 40 > > *-8 -*-4-»- -»-2 *-1 un 15 > >-6 >-3. Skaidrs, ka 76 pārveidot par mazāku skaitli nekā 1 neizdosies. Bet varbūt 15 var pārveidot par skaitli 2 vai 1? Tomēr, vairākkārt mēģinot to izdarīt, nekādus panākumus negūstam, bet tas nav pierādījums, ka šads mērķis nav sasniedzams. Eksperimentējot ar skaitļiem, tomēr arvien vairāk pārliecināmies, ka ar norādītajām operācijām no skaitļa 15 nevar iegūt ne 1, ne 2. Taču kā pierādīt, ka to nevar izdarīt? Paskatieties uz lapām, uz kurām esat veikuši savus eksperimentus! Vai nevar saskatīt kādu kopigu iezīmi visiem skaitļiem, kas iegūti no skaitļa 15? Jā, patiešām tie visi dalās ar 3. Vai tā ir nejaušība? Nē. Sākumā dotais skaitlis 15 daļas ar 3. Ja a dalās ar 3, tad ari a-ļ-6 dalās ar 3. Ja a dalās ar 3 un ir 'pāra skaitlis, tad arī ~ dalās ar 3. Ja a dalās, ar 3, tad tā ciparu summa dalās ar 3; tāpēc ar 3 dalās ari katrs skaitlis, ko iegūst, pārkārtojot a ciparus. Tātad varam iegūt tikai tādus skaitļus, kas dalās ar 3. Bet ne 1, ne 2 ar 3 nedalās, tātad šos skaitļus iegūt nevar. 5ajā uzdevumā redzams, kā invariantu metodi lieto, lai pierādītu, ka nevar iegūt vēlamo rezultātu. Jāatrod īpašība (t. s. invariants), kas piem īt sākumā dotajam skaitlim, figūrai u. tml. un saglabājas, veicot pieļaujamās operācijas, bet nepiem īt vēlamajam galarezultātam. Ja šādu īpašību izdodas atrast, tad skaidrs, ka galarezultātu ar pieļaujamām operācijām nevar iegūt. Aplūkosim vēl dažus līdzīgus uzdevumus. 2. uzdevums. Kādā valstī ceļojošam cirkam pieder 7 ziloņi i:n 11 lauvas, bet jaunās svētku programmas sagatavošanai nepieciešami 10 ziloņi un 15 lauvas. (Lielāka dzīvnieku skaita ilgstošai uzturēšanai cirkam nav līdzekļu.) Cirka vadībai iespējama tikai dzīvnieku apmaiņa, nevis pirkšana vai pārdošana. Kāds tirgotājs ir ar mieru dot cirkam 8 lauvas, pretī saņemot 4 ziloņus; otrs tirgotājs dot 3 ziloņus, pretī saņemot 5 lauvas. Abi jeb

7 tirgotāji ir ar mieru maiņu izdarīt vairākkārt. Vai iecerēto svētku programmu izdosies sagatavot? Atrisinājums. Sākumā starpība starp ziloņu un lauvu skaitu ir 4. Slēdzot darījumu ar pirmo tirgotāju, tā mainās par 4, slēdzot darījumu ar otro tirgotāju, par 2. Tātad šī starpība noteikti arvien ir pāra skaitlis. Bet cirkam ir nepieciešami 10 ziloņi un 15 lauvas. So skaitļu starpība ir nepāra skaitlis, un tāpēc programmu sagatavot nevarēs. 3. uzdevums. Saha galdiņa kreisajā apakšējā stūrī atrodas zirdziņš. Vai, izdarot gājienus saskaņā ar spēles noteikumiem, zirdziņš var nonākt labajā augšējā stūrī, katrā lauciņā atrazdamies tikai vienu reizi? Atrisinājums. Zirdziņam būtu jāveic 8-8 1=63 gājieni. Pēc katra gājiena zirdziņš nonāk uz pretējas krāsas lauciņa, tātad pēc pāra skaita gājieniem zirdziņš ir uz melnā lauciņa, bet pēc nepāra skaita gājieniem uz baltā lauciņa. 63 ir nepāra skaitlis, tātad pēc 63 gājieniem zirdziņš būs uz baltā lauciņa, taču labais augšējais lauciņš ir melns. UZDEVUM I 4. Mežā dzīvoja 12 rūķīši. Pirmās dienas rītausmā viens rūķītis pārcēlās uz citu mežu, bet uz šo mežu atnāca dzīvot četri citi rūķīši. Tapat notiek katrā nākamajā dienā viens rūķītis aiziet, četri atnāk. Kura dienā šajā mežā dzīvos tieši rūķīši? zīmējumā attēlotajā tabulā drīkst samainīt vietām jebkuras divas rindas vai jebkuras divas kolonnas (šādas maiņas drīkst izdarīt vairākas reizes). Pierādīt, ka nevar iegūt 2. zīmējumā attēloto tabulu. 6. Vai var uzzīmēt tādu 1982-stūri un tādu taisni, kas krusto visas šī 1982-stūra malas un neiet caur tā virsotnēm? Vai var uzzīmēt 1983-stūri un tādu taisni, kas krusto visas tā malas un neiet caur virsotnēm? monētas sakārtotas rindā. Drīkst samainīt vietām jebkuras divas monētas, ja starp tām atrodas vēl viena monēta. Vai var panākt, vairākas reizes izdarot šādu operāciju, lai visas simts monētas būtu sakārtotas tieši pretēji sākotnējam sakārtojumam? XX v X X 1 X XX 1. zīm. 2, zīm. 7

8 8. Uz galda stāv četra-s glāzes ar vaļējo galu uz augšu. Vienā gājienā drīkst apgriezt otrādi jebkuras 3 glāzes. Šādus gājienus var izdarīt vairākas reizes. Kādi gājieni jāizdara, lai beigās visas četras glāzes būtu ar vaļējo galu uz leju? Vai to varētu izdarīt, ja būtu piecas glāzes un vienā gājienā būtu atļauts apgriezt jebkuras 4 glazēs? 9. Kvadrāta virsotnēs ierakstīti skaitļi 0 un 1 ta, ka parādīts 3. zīmējumā. Vienā gājienā drīkst pieskaitīt vieninieku jebkuriem skaitļiem, kas atrodas pie divām blakus esošām virsotnēm. Vai iespējams, izdarot vairākus šādus gājienus, pie visām kvadrāta virsotnēm iegūt vienādus skaitļus? 10. Bezgalīgu skaitļu virkni 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5,... veido pēc šāda likuma: pirmie divi skaitļi ir 1, bet katrs nākamais skaitlis, sākot ar trešo, ir divu iepriekšējo skaitļu summas pēdējais cipars. Vai šajā skaitļu virknē kaut kur blakus atrodas skaitļi 6 un 8? 11. Skaitļu virkni au at, a.3, veido šādi: a i= l, 02=1, an+2 anan+i-\-\, kur n 1, 2, 3,... (t. i., katru nākamo virknes locekli iegūst, abu iepriekšējo locekļu reizinājumam pieskaitot vieninieku), Pierādīt, ka «1964 nedalās ar Dota virkne alt a2,..., ai9s2, kuras visi locekļi ir cipari. Katru divu blakus stāvošu virknes locekļu veidotais skaitlis dalās vai nu ar 17, vai ar 23. Ir zināms, ka a{= 2. Noteikt atggž! 13. Koka dēlī iedzītas 1977 dzelzs naglas. Spclē divi spēlētāji, kas pēc kartas izdara gājienus. Gājiens ir divu naglu savienošana ar vadu. Nedrīkst savienot divas naglas, kas jau iepriekš savienotas ar vadu. Uzvar tas spēlētājs, pēc kura gājiena rodas noslēgta ķēde. Kurš spēlētājs, pareizi spēlējot, uzvar vai tas, kurš izdara pirmo gājienu, vai tas, kurš izdara otro gājienu? 14. Rūtiņu lapas (rūtiņu izmēri 1 dmxl dm) vienas rūtiņas trīs virsotnēs atrodas trīs sienāži. Viņi rotaļādamies iec pāri viens otram. Ja sienāzis A lec pāri sienāzim B, tad pēc lēciena A ir tāda pašā attālumā no B kā pirms lēciena un atrodas uz vienas taisnes ar sienāzi B un savu iepriekšējo pozīciju. Vai kāds no sienāžiem var nokļūt sākotnējās rūtiņas ceturtajā virsotnē? 15. Uz galdiņa, kura izmēri ir 8X8 lauciņi, novietoti dam- o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 5

9 bretes kauliņi tā, kā parādīts 4. zīmējumā. Ja kādā pozīcijā daži (varbūt viens) kauliņi ir pa sitienam citiem kauliņiem, tad vienu kauliņu, kas ir pa sitienam kādam citam kauliņam, drīkst nosist pēc dambretes noteikumiem. Kauliņus nedrīkst pārbīdīt pa galdiņu bez sitiena. Vai var panākt, vairākas reizes pēc kārtas atkārtojot šādus sitienus, lai uz galdiņa paliktu viens vienīgs dambretes kauliņš? p x_1 16. Racionalu skaitli x = pārveido par -, ja un 2x par ja 0 < jc< 1. Ar iegūto rezultātu dara to pašu utt.. 1 A Pierādīt apgalvojumu: ja > 0, tad šādā veidā no ~ iegūst tikai galīgu skaitu dažādu skaitļu. 17. Dots 1984-stūris un tiek aplūkoti visi trijstūri, kuru virsotnes atrodas daudzstūra virsotnēs, Pierādīt, ka katrs plaknes punkts, kas neatrodas uz šo trijstūru malām, ir pārklāts ar pāra skaitu šādu trijstūru. 18. Uz tāfeles uzrakstīta ciparu un zvaigznīšu virkne 1*2*3* *4*5*6*7*8*9. Andris šaja virknē dažas zvaigznītes aizvietoja ar plusa zīmi, bet pārējās ar mīnusa zīmi, izpildīja darbības un ieguva skail!i 16. Juris dažas «+» zīmes aizstāja ar zīmēm un dažas- zīmes ar «+» zīmēm, izpildīja darbības un ieguva skaitli 21. Pierādīt, ka vismaz viens no zēniem, izpildot darbības, ir kļūdījies. 19. Daži no skaitļiem x\, x2l,.., xn ir -ļ-l, citi 1. Zināms,, ka A'iJC2 -vj-ļ-...-\-xn-ļxn-\-xnxi 0. Pierādīt, ka n dalās ar 4. Ļoti svarīgs jēdziens matemātikā ir kopas elementu skaits. Viegli saprast, ka, skaitot kopas elementus dažādā kārtībā (piemēram, skaitot, cik skolēnu ir klasē), vienmēr iegūstam vienu un to pašu skaitli. Citiem vārdiem, kopas elementu skaits attiecībā pret skaitīšanas kārtību ir invariants lielums. Invarianti lielumi ir arī, piemēram, vairāku skaitļu summa vai reizinājums attiecībā pret saskaitāmo vai reizinātāju sakārtojumu. Teiktā ilustrācijai aplūkosim dažus uzdevumus. 20. uzdevums. Vai kvadrātveida zemes gabalu, kura izmēri ir loinklom, var sadalīt taisnstūrveida lauciņos, kuru izmēri ir 1 mx4 m? Atrisinājums. Sadalām zemes gabalu 100 kvadrātos, kuru izmēri ir 1 m X l m, un iekrāsojam kvadrātus tā, kā parādīts 5. zīmējumā. Saskaitām melnos kvadrātus. To skaits ir 26. Pieņemam, ka zemes gabalu var sadalīt taisnstūrveida lauciņos, kuru izmēri ir lmx4m. Sādu lauciņu skaits ir 25. Kvadrāti iekrāsoti tā, ka katrā lauciņā ir tieši viens melns kvadrāts, kura izmēri ir 1 mx 1m. Skaitām melnos kvadrātus «pa lauciņiem»: viens kvadrāts no pirmā lauciņa, viens kvadrāts no otrā lauciņa,..., viens- 9

10 . m % % m m % y/ 4 //Ž d % b ļ % l % m % 5. zīm. kvadrāts no 25. lauciņa. Tātad ir 25 melnie kvadrāti. Radusies pretruna, jo 25=7^26. Tātad zemes gabalu ta nevar sadalīt. 21. uzdevums. Kvadrātveida tabulā, kurā ir 8X8 rūtiņas, ierakstīti skaitļi, kā parādīts 6. zīmējumā a. Katrā rinda un katrā kolonnā tieši 4 skaitļiem priekšā pieraksta zīmi (tātad zīme pierakstīta 32 tabulas skaitļiem). Pierādīt, ka šādi pārveidotā tabulā visu ierakstīto skaitļu summa ir 0. Atrisinājums. Atradīsim pārveidotās tabulas skaitļu summu, mainot saskaitāmo kārtību. Katrai tabulas rindai un kolonnai ārpus tabulas pierakstīsim skaitli tā, kā parādīts 6. zīmējumā b. Sie skaitļi ir izraudzīti tā, ka katrā rūtiņā ierakstītais skaitlis ir šīs rūtiņas atbilstošajai rindai un kolonnai pierakstīto skaitļu summa, piemēram, 21 = = Tabulas rindām blakus pierakstītos skaitļus nosauksim par pirmajiem saskaitāmajiem, bet zem kolonnām pierakstītos skaitļus par otrajiem saskaitāmajiem. Tos skaitļus, kuriem pierakstītas zīmes, iekrāsosim, bet pārējos atstāsim baltus. Pierakstītās zīmes nodzēsīsim. Jāpierāda, ka «krāsaino» skaitļu summa ir vienāda ar «balto» skaitļu summu. Tā kā katrā rindā ir 4 «krāsainie» skaitļi un 4 «baltie» skaitļi, tad «krāsaino» skaitļu pirmo saskaitāmo summa vienāda ar «balto» skaitļu pirmo saskaitāmo summu. Tā kā katrā kolonnā ir 4 «krāsainie» skaitļi un 4 «baltie» skaitļi, tad «krāsaino» i o ' ' b 6. zīm. 10

11 skaitļu otro saskaitāmo summa vienāda ar «balto» skaitļu otro saskaitāmo summu. Tā kā «balto» («krāsaino») skaitļu summu iegūst, saskaitot tiem atbilstošo pirmo saskaitāmo summu ar otro saskaitāmo summu, tad «krāsaino» skaitļu summa vienāda ar «balto» skaitļu summu. 22. uzdevums. Dots, ka neviens no skaitļiem a, b, c, d, e, f, g, h, i nav nulle. Pierādīt, a) ka vismaz viens no skaitļiem ab, bc, ac ir negatīvs; b) ka vismaz viens no skaitļiem aei, bfg, dhc, gec, bdi, hfa ir negatīvs. Atrisinājums. Ievērosim, ka (ab)-(bc)-( ac) = a2b2c2 <0. Tātad vismaz viens no reizinātājiem ab, bc un ac ir negatīvs. Uzdevumā otro daļu atrisina iīdzīgi. Sājā risinājumā izmantota reizināšanas komutatīvā īpašība: reizinājuma vērtība nemainās, mainot reizinātāju kārtību. 23. uzdevums. Vai 1985 telefonus var savienot savā starpā tā, lai katrs no tiem būtu savienots tieši ar 13 citiem telefoniem? Atrisinājums. Attēlosim telefonus ar punktiem, bet vadus, kas tos savieno, ar līnijām. Saskaitīsim, cik ir līnijām galu. Ta kā no katra punkta jāiziet 13 līnijām, tad līniju galu ir nepāra skaitlis. Taču, ja līniju skaitu apzīmē ar n, tad līniju galu skaits ir 2n, jo katrai līnijai ir divi gali. Tā kā 2 n (pāra skaitlis nav vienāds ar nepāra skaitli), tad telefonus šādi savienot nav iespējams. 24. uzdevums. Vai var sanumurēt kuba šķautnes ar skaitļiem no 1 līdz 12 tā, lai no virsotnes izejošo šķautņu numuru summa visām virsotnēm būtu viena un tā pati? Atrisinājums. Pieņemsim, ka tas izdarīts. Apzīmēsim no vienas virsotnes izejošo šķautņu numuru summu ar S. Tad no visām virsotnēm izejošo šķautņu numuru summa ir 85. So pašu summu var iegūt citādi, proti, ievērojot, ka katra šķautne savieno tieši divas kuba virsotnes, tāpēc 85 = 2 ( ) jeb 5=19,5. Tā ir pretruna, jo 5 ir naturālu skaitļu smnma, tātad naturāls skaitlis. Tas nozīmē, ka pieņēmums ir nepareizs un kuba šķautnes prasītajā veidā nevar sanumurēt. 25. uzdevums. Vai var uz riņķa līnijas uzrakstīt 40 skaitļus tā, lai katru 7 pēc kārtas rakstīto skaitļu summa būtu negatīva, bet katru 11 pēc kārtas uzrakstīto skaitļu summa pozitīva? Atrisinājums. Pieņemsim, ka to var izdarīt. Izvēlēsimies uz riņķa iīnijas kādu skaitli un, sākot no tā, atrādīsim skaitļu summu pulksteņa rādītāju kustības virzienā. Tādejādi katrs no 40 skaitļiem tiks pieskaitīts 7-11 reizes. Apzīmēsim visu 40 uzrakstīto skaitļu summu ar 5; tad iegūtais rezultāts ir 775. Grupējot saskaitāmos pa 7, iegūstam grupas, katrā no tām skaitļu summa ir negatīva, tātad 77S<0. Grupējot saskaitāmos pa 11, iegūstam 7-40 grupas, katrā no tām skaitļu summa ir pozitīva, tātad 77S>0. Radusies pretruna, tātad skaitļus nevar tā uzrakstīt. it

12 26. uzdevums. Divdesmitstūrim 10 virsotnes nokrāsotās baltas, bet 10 melnas. Pierādīt, ka tādu malu, kurām abi gali ir balti, ir tikpat, cik tādu malu, kurām abi gali ir melni. Atrisinājums. Iedomāsimies, ka katra virsotne sastav no 2 vienādas krāsas punktiem un katrs no tiem ir kādas daudzstūra malas galapunkts. Izsvītrosim tās malas, kurām galapunkti ir dažādās krasās (malas izsvītrojam kopā ar to galapunktiem). Tad būs izsvītrots vienāds skaits balto un melno punktu. Tā kā atlicis vienāds skaits melno un balto punktu un katrs punkts ir tieši vienas malas galapunkts, tad ir vienāds skaits malu ar melniem un baltiem galapunktiem. 27. uzdevums. Pierādīt, ka zvaigznītes nevar aizstāt ar cipariem (katru zvaigznīti ar citu ciparu) tā, lai iegūtu pareizas vienādības: * =3? ļ * * g * * 3 * *=4, *» g Atrisinājums. Pieņemsim pretējo, ka zvaigznītes var aizstāt ar cipariem tā, lai uzdevuma nosacījumi būtu izpildīti. Tad iegūstam 5 pareizas vienādības: a b = \ c d = 2 e - f = 3 (1) g h = 4 i - j = 6, kurās ar a, b, c, d, e, /, g, h, i, j apzīmēti cipari 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tajā secībā, kādā tie rakstīti zvaigznīšu vietā. Saskaitot vienādības (1), iegūstam, ka (<z+c+e+g+t) (6 + d + f+ ft+ /) = 16. So vienādību var pārveidot šādi: (a+ ^ + c+ ^ + e+ / + + ^ + I'+/) ~ 2 ( >+d+ +/i+/) = 16. (2) Bet o c + e f+ e + /+ g + A + t+ / 0 + I = 4 5, jo ar katru no 10 burtiem apzīmēts cits cipars. Tāpēc no vienādības (2) iegūstam, ka 2 ( b + d + f + h + j ) = 45 16=29 jeb 6 + d + f + * + / = 14 -y. Piecu ciparu summa nevar būt daļskaitlis. Tātad mūsu pieņēmums ir aplams un zvaigznītes ar burtiem prasītajā veidā nevar aizstāt. Aplūkosim vēl vienu šī uzdevuma atrisinājumu. Tajās uzdevuma nosacījumos dotajās vienādībās, kurās labajā pusē ir nepāra cipars, viena zvaigznīte jāaizstāj ar pāra ciparu, 12

13 otra ar nepāra ciparu. Tātad pirmajā un trešajā vienādībā kopā jābūt diviem nepāra cipariem. Tajās vienādībās, kurās labajā pusē ir pāra cipars, abas zvaigznītes jāaizstāj vai nu ar pāra cipariem, vai arī ar nepāra cipariem Tāpēc otrajā, ceturtajā un piektajā vienādībā katrā jābūt 0 vai 2 pāra cipariem un kopā tajās jābūt pāra skaitam pāra ciparu. Tātad arī visās vienādībās kopā jābūt pāra skaitam pāra ciparu. Taču saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem pieci pāra cipari 0, 2, 4, 6, 8 jāizmanto katrs tieši vienu reizi. Tāpēc uzdevuma prasības nav izpildāmas. Iespējami arī citi atrisinājuma varianti. UZDEVUM I 28. Noskaidrot, vai taisnstūri ar izmēriem 7X9 var sagriezt trīs daļās tā, lai no tām varētu salikt kvadrātu, kura malu garumi ir veseli skaitļi. Saliekot kvadrātu, daļas nedrīkst pārklāties. 29. Sacensībās piedalās 6 komandas. Katrai komandai ar katru citu komandu jāizspēlē viena spēle. Katra komanda jau ir izspēlējusi divas spēles. Cik spēlēm vēl jānotiek? 30. Klasē saskaitīja, ar cik meitenēm draudzējas katrs zēns un ar cik zēniem katra meitene (tikai šīs klases ietvaros). Saskaitot kopā visus iegūtos skaitļus par zēniem, summā ieguva 42. Saskaitot kopā visus iegūtos skaitļus par meitenēm, summā ieguva 37. Pierādīt, ka aprēķinos pieļauta kļūda. 31. Vai 7. zīmējumā attēlotajā figūrā rūtiņas var iekrāsot tā, lai katrā rindā un kolonnā iekrāsoto rūtiņu skaits sakristu ar zīmējumā norādīto skaitli? 32. Dots kvadrāts, kura izmēri ir 8X8 rūtiņas. Divas pretējās stūra rūtiņas ir izgrieztas. Pārklāt kvadrāta atlikušo daļu ar 31 taisnstūri, kura izmēri ir 1X2 rūtiņas. 33. Kvadrātam, kura izmēri ir 8X8 rūtiņas, izgriezta viena stūra rūtiņa. Vai atlikušo daļu var pārklāt ar taisnstūriem, kuri katrs sastāv no 3 rūtiņām? 34. Taisnstūris sastāv no 9x10 kvadrātveida rūtiņām, kuru izmēri ir 1 cmx 1 cm. Tas pārklāts ar 45 kartiņām, kuru izmēri 7. ztm. 8. zīrrv 13

14 1 cmx2cm. Vai taisnstūri var pārklāt ar tām pašām kartiņām tā, lai tās kartiņas, kas pirmajā pārklājumā atradās horizontāli, tagad atrastos vertikāli, un otrādi? (Taisnstūra novietojums nemainās.) 35. Kādā valstī ir 14 pilsētas, kas izvietotas tā, kā parādīts 8. zīmējumā. Celi starp tām attēloti ar taisnes nogriežņiem. Citu ceļu starp pilsētām nav. Vai ceļotājs var apceļot visas pilsētas tā, lai katrā pabūtu tieši vienu reizi? 36. Taisnstūrveida tabula sadalīta mxn kvadrātiskās rūtiņās, kas izvietotas m rindās un n kolonnās. Katrā rūtiņā ierakstīts kāds skaitlis (dažādās rūtiņās var būt ierakstīti vienādi skaitļi vai dažādi skaitļi). Katrā rindā ierakstīto skaitļu summa ir 3, bet katrā kolonnā ierakstīto skaitļu summa ir 1. Vai tabulā var būt tieši 1983 rūtiņas? Vai tajā var būt tieši 2028 rūtiņas? 37. Kubs ar izmēriem 3 x 3 x 3 sastāv no 14 baltiem un 13 melniem kubiņiem; katra kubiņa izmēri ir lxlxl; trīs kubiņus, kas novietoti rindā paralēli kādai kuba šķautnei, sauksim par stabiņu. Vai var būt tā, ka katrā stabiņā ir nepāra skaits baltu kubiņu? Vai var būt tā, ka katrā stabiņā ir nepāra skaits melnu kubiņu? 38. Rūtiņu papīra lapa, kuras izmēri ir 5X«rūtiņas, aizpildīta ar kartiņām, kuru izmēri ir 1x2 rūtiņas. Katra kartiņa aizņem divas blakus esošās rūtiņas; kartiņas viena ar otru nepārklājas. Uz katras kartiņas vienā rūtiņā ierakstīts skaitlis +1, otrā skaitlis 1. Ir zināms, ka katrā rindā un katrā kolonnā ierakstīto skaitļu reizinājums ir pozitīvs. Kādām n vērtībām tas iespējams? 39. Anita, Maija, Ināra un Sandra uzstājās koncertā. Katru dziesmu dziedāja 3 meitenes. Cik dziesmu meitenes nodziedāja pavisam, ja Anita dziedāja 7 dziesmas (vairāk nekā jebkura cita meitene), bet Sandra četras dziesmas (mazāk nekā jebkura cita meitene)? 40. Futbola turnīrā piedalījās 29 komandas. Pierādīt, ka katrā momentā vismaz viena komanda ir nospēlējusi pāra skaitu spēļu (spēļu skaits var būt arī 0). 41. Vai 9. zīmējumā attēloto figūru var uzzīmēt, neatraujot zīmuli no papīra, pie tam tā, lai pa katru līnijas posmu zīmulis tiktu novilkts tikai vienu reizi? 42. No stieples gabaliem jā izveido kuba karkass. Stieples gabalu gali drīkst atrasties tikai kuba virsotnēs, stieple nedrīkst divas vai vairākas reizes iet pa vienu un to pašu kuba šķautni. Noteikt vismazāko iespējamo stieples gabalu skaitu, kas nepieciešams, lai izveidotu kuba karkasu. 43. Galvaspilsētu aviolīnijas savieno ar 100 pilsētām, bet katru citu pilsētu aviolīnijas savieno tieši ar 10 pilsētām. 9. zīm. No ikvienas pilsētas var aizlidot uz jebkuru 14

15 & % n % % % V /, y/a h % '4 % % r t f, % % % % % m % V r1 % T ' N % % % % N d % % 1 % % 10. zīm. citu pilsētu (var būt ar pārsēšanos). Pierādīt, ka var slēgt pusi no aviolīnijām, kas sākas galvaspilsētā tā, lai joprojām būtu iespējams aizlidot no ikvienas pilsētas uz jebkuru citu pilsētu. (Ja pilsēta A ir savienota ar pilsētu B, tad B ir savienota ar A.) 44. Slēpošanas trase vairākas reizes krusto pati sevi, tomēr ne caur vienu punktu neiet vairāk kā 2 reizes. Pirms sacensību sākuma galvenais tiesnesis izbrauca trasi un pie katra trases krustojuma iesprauda karodziņu ar numuru: pie pirmā krustojuma karodziņu ar numuru 1, pie otrā krustojuma karodziņu ar numuru 2 utt. Tādējādi pie katra krustojuma ir iesprausti divi karodziņi. Vai ir iespējams, ka pie viena krustojuma iesprausti karodziņi ar numuriem 11 un 29? 45. Gliemezis rāpo ar nemainīgu ātrumu. Ik pēc 15 minūtēm gliemezis pagriežas par 90 pa labi vai pa kreisi, bet laikā starp pagriezieniem rāpo pa taisni. Pēc zināma laika gliemezis atgriežas izejas punktā. Pierādīt, ka kopš kustības sākuma pagājis vesels skaits stundu. 46. Dots izliekts 100-stūris M. Izliekta daudzstūra N visas malas atrodas uz 100-stūra M diagonālēm. Pierādīt, ka daudzstūrim N nav vairāk kā 100 malu. 47. Uz trim lapām (10X10 rūtiņas) ir uzzīmēti raksti (10. zīm.). Jaunus rakstus iegūst šādi. Divas lapas ar rakstiem uzliek vienu uz otras tā, lai rūtiņas sakristu. Tur, kur viena uz otras ir uzklājušās divas vienādas krāsas rūtiņas (divas baltas un divas melnas), rūtiņa kļūst balta, bet tur, kur viena uz otras uzklājušās dažādas krāsas rūtiņas (baltā un melnā), rūtiņa kļūst melna, piemēram, uzliekot vienu uz otra rakstus Ē8 un 3 1 > iegūst rakstu ^. Esiet uzmanīgi lapas jāuzliek viena uz otras tā, lai tās pilnīgi sakristu, pagriezt lapas nedrīkst! Rakstu veidošanā drīkst izmantot arī visus jauniegūtos rakstus. Uzziniet visus rakstus,'kurus var iegūt no 10. zīmējumā dotajiem rakstiem. 15

16 t.2. DIRIHLē PRINCIPS Ja 10 kastēs tiek ievietoti 11 priekšmeti, tad vismaz vienā kastē ir vism az 2 priekšmeti. Tiešām, ja katrā kastē bulu ne vairāk kā viens priekšmets, tad kopējais priekšmetu skaits nepārsniegtu 10, bet to ir 11. Ievērojiet, ka neko nezinām par priekšmetu izvietojumu, par iecerēm, no kādām vadījies tas, kas priekšmetus salicis pa kastēm. Spriedums pamatojas uz faktu, ka priekšmetu ir par daudz, lai katrā kastē būtu ne vairāk kā viens no tiem. Šāda sprieduma vispārinājumu: «ja n kastēs novietoti /1 ļ 1 priekšmeti, tad vismaz vienā kastē ir vismaz 2 priekšmeti» sauc par Dirihlē principu par godu vācu matemātiķim P. G. L, Dirihlē. Veiksmīgi izvēloties «kastes» un «priekšmetus», ar Dirihlē principu un līdzīgiem spriedumiem izdodas atrisināt daudzus grūtus uzdevumus. 48. uzdevums. 30 skolēnu rakstīja diktātu. Viena skolēna diktātā bija 13 kļūdas, pārējo skolēnu diktātos kļūdu bija mazāk. Pierādit, ka vismaz 3 skolēnu diktātos bija vienāds skaits kļūdu. Atrisinājums. Ņemsim 14 kastītes, kuras apzīmēsim ar numuriem no 0 līdz 13. Katrā kastītē ievietosim zīmītes ar to skolēnu vārdiem, kuriem kļūdu skaits diktātā sakrīt ar šīs kastītes numuru. Ja katrā kastītē būtu ne vairāk kā divas zīmītes, tad skolēnu skaits nepārsniegtu 2-14=28, bet tas ir 30. Tātad uzdevuma apgalvojums pierādīts. 49. uzdevums. Futbola turnīrā piedalās 10 komandas, katrai komandai ar katru citu komandu jāspēlē vienu reizi. Pierādīt, ka jebkurā brīdī ir divas komandas, kas spēlējušas vienādu spēļu skaitu. Atrisinājums. Ņemsim 10 kastes un sanumurēsim tās ar skaitļiem no 0 līdz 9. Katrā kastē ieliksim zīmītes ar to komandu nosaukumiem, kas attiecīgajā brīdī izspēlējušas tādu spēļu skaitu, kāds ir šīs kastes numurs. Šķirosim divus gadījumus: 1) ir kāda komanda A, kas nav izspēlējusi nevienu spēli (šīs komandas zīmīte atrodas kastē ar numuru 0). Tad kastē ar numuru 9 nav nevienas zīmītes, jo neviena komanda nav spēlējusi ar A; tātad visas 10 zīmītes ir sadalītas pa 9 kastēm, un vienā kastē ir vismaz 2 zīmītes; 2) tādas komandas, kas nav izspēlējusi nevienu spēli, nav; tad kaste ar numuru 0 ir tukša, un 10 zīmītes sadalītas 9 kastēs ar numuriem no 1 līdz 9. Atkal izmantojam Dirihlē principu. 50. uzdevums. Kvadrāts sastāv no 5x5 rūtiņām. Katrā rūtiņā atrodas figūriņa. Figūriņas noņem un novieto citās vietās. Vai ir iespējams, ka katra figūriņa nonāk blakus tai rūtiņai, kur tā atradās sākumā? (Blakus esošā rūtiņa ir tāda, kurai ar doto rūtiņu ir kopēja mala.) Atrisinājums. Iekrāsojam kvadrātu šaha galdiņa kārtībā. Tām figūriņām, kas sākumā atradās uz melnajām rūtiņām (tādu ir 13), 16

17 jānonāk baltajās rūtiņās (tādu ir 12). a Tātad divām figūriņām janonāk vienā rūtiņā, bet tas nav atļauts. 51. uzdevums. Autobusā iekāpj 6 cilvēki. Pierādīt, ka starp tiem var atrast vai nu 3 tādus cilvēkus, kas visi pazīst cits citu, vai arī 3 tādus eilvē- x kus, no kuriem jebkuri divi viens otru nepazīst. Atrisinājums. Attēlosim cilvēkus ar punktiem. Savienosim divus punktus ar taisnu līniju, ja atbilstošie cilvēki ir pazīstami, un ar viļņotu līniju, ja tie nav pazīstami. Jāpierāda, ka eksistē tads trijstūris ar virsotnēm trijos no dotajiem sešiem punktiem, kuram visas malas ir viena tipa vai nu visas taisnas, vai visas viļņotas. Apskatīsim punktu A (11. zīm.). No tā iziet 5 līnijas. Starp tām vismaz 3 ir viena tipa līnijas. (Tiešām, ja no A iziet ne vairāk kā 2 taisnas līnijas un ne vairāk kā 2 viļņotas līnijas, tad pavisam no A iziet ne vairāk kā 4 līnijas pretruna.) Pieņemsim, ka no A iziet vismaz 3 taisnas līnijas, un izraudzīsimies 3 no tām. Tos punktus, uz kuriem šīs taisnās līnijas novilktas, apzīmēsim ar X, Y, Z. Ja divus no punktiem X, Y un Z savieno taisna līnija, tad šie punkti kopā ar A veido trijstūri, kuram visas malas ir taisnas. Ja turpretī visi punkti X, Y un Z savā starpā savienoti ar viļņotām līnijām, tad XYZ ir trijstūris, kura visas malas ir viļņotas līnijas. Gadījumu, kad no punkta A iziet vismaz trīs viļņotas līnijas, apskata līdzīgi. 52. uzdevums, a, b un c naturāli skaitļi. Pierādīt, ka skaitlis (a b) (b c) (c a) dalās ar 2. Atrisinājums. Ņemsim divas «kastes»; vienā ievietosim pāra skaitļus, otrā nepāra skaitļus. Vismaz 2 no skaitļiem a, b, c nonāk vienā «kastē». Tātad to starpība dalās ar 2 un ari apskatāmais reizinājums dalās ar uzdevums. Dota skaitļu tabula ! Izraudzīties 5 skaitļus tā, lai nekādi divi skaitļi neatrastos ne vienā rindā, ne vienā kolonnā, un pie tam mazākais no izraudzītajiem skaitļiem būtu tik liels, cik vien iespējams. Atrisinājums. Izvēloties 5 skaitļus saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem, ne vairāk kā 4 no tiem var būt pie tabulas malas, 17

18 pretējā gadījumā divi no tiem atradīsies vai nu vienā rindā, vai vienā kolonnā. Tātad vismaz vienam skaitlim jāatrodas iekšējā kvadrātā, kura izmēri ir 3 x 3 rūtiņas. Lielākais skaitlis šajā kvadrātā ir 15. Tātad mazākais no izraudzītajiem skaitļiem nevar būt lielāks par 15. To, ka šis skaitlis var būt 15, parādā piemērs. Izvēlamies skaitļus 25, 15, 18, 23, 20. UZDEVUM I 54. Vai starp 25 vara monētām (t. i., monētām, kuru vērtība ir viena kapeika, divas kapeikas, trīs kapeikas un piecas kapeikas) noteikti ir 7 vienādas monētas? 55. Dots kubs, kurā novilktas visas taisnes, kas iet caur divām no kuba virsotnēm. Kāds ir lielākais taišņu skaits, kuras no šīm taisnēm var izvēlēties tā, lai jebkuras divas izraudzītās taisnes nebūtu paralēlas? 56. Klasē ir 40 skolēnu. Vai noteikti ir tāds mēnesis, kurā savu dzimšanas dienu atzīmē ne mazāk kā četri šis klases skolēni? 57. Skolā ir 30 klases, un tajā mācās 1000 skolēnu. Pierādīt, ka šajā skolā ir klase, kurā mācās ne mazāk kā 34 skolēni. 58. Katrā mazajā trijstūrī (12. zīm.) atrodas viena figūriņa. Visas figūriņas noņem un pēc tam atkal kaut kā citādi novieto pa vienai figūriņai katrā trijstūrī. Vai var gadīties, ka katra figūriņa atrodas blakus tam trijstūrim, kurā tā atradās sākumā (trijstūri atrodas blakus viens otram, ja tiem ir kopēja mala)? 59. Pierādīt, ka starp katriem 5 cilvēkiem var atrast 2 cilvēkus, kuriem starp šiem 5 cilvēkiem ir vienāds paziņu skaits. 60. Skapja atvilktnē Jānim ir 17 melnas, 23 zilas un 19 pelēkas zeķes. Viņam jāsteidzas uz teātri, bet istabā izdzisusi spuldze, un tā ir tumša. Jānis uz labu laimi ņem dažas zeķes un iet blakus istabā, kura ir apgaismota. Kāds mazākais zeķu skaits Jānim jāpaņem no atvilktnes, lai starp tām noteikti būtu vismaz divas vienādas krāsas zeķes? 61. Kastē atrodas 16 lodītes, kas sanumurētas ar skaitļiem no I līdz 36 (katrai lodītei ir cits numurs). Kāds minimālais lodīšu skaits jāizņem, neskatoties uz tām, lai varētu garantēt, ka uz vienas no izņemtajām lodītēm ir kādas citas izņemtās lodītes numura kvadrāts? 62. No skaitļiem 1, 2, 3,..., 200 patvaļīgi izvēlas 101 skaitli. Pierādīt, ka starp izraudzītajiem skaitļiem var atrast divus tādus dažādus skaitļus a un b, ka a dalās ar b cilvēku grupā katram 12, ztm. patīk tieši k citi cilvēki. Kāda 18

19 ir mazākā k vērtība, iai noteikti varētu garantēt, ka grupa ir divi cilvēki, kas viens otram patīk? 64. Vai var uzrakstīt deviņciparu skaitli, kas satur katru no cipariem 1, 2, 3,..., 9, pie tam tā, lai šī skaitļa pierakstā starp cipariem 1 un 2, 2 un 3,..., 8 un 9 būtu nepāra skaits citu ciparu? 65. Pa riņķi izvietoti deviņi aplīši. Vai var ierakstīt katrā aplītī pa vienam ciparam no 1 līdz 9 (katrā aplītī citu ciparu) tā, lai nekādos divos blakus esošos aplīšos ierakstīto ciparu summa nebūtu pāra skaitlis? 66. Vienā un tajā pašā riņķa līnijā ievilkts kvadrāts un regulārs trijstūris. Visas 7 virsotnes atrodas dažādos punktos un sadala riņķa līniju 7 lokos. Pierādīt, ka vismaz viena loka lielums nepārsniedz Plaknē dotas 11 taisnes, starp kurām nav paralēlu taišņu. Pierādīt, ka var atrast divas tādas taisnes, kuru veidotais leņķis ir mazāks nekā EKSTREM ĀLA ELEM ENTA METODE Matemātikā, pētot dažādas kopas, bieži ir izdevīgi aplūkot tos šo kopu elementus, kas kaut kādā nozīmē ir visizcilākie: pašu lielāko skaitli, trijstūri ar vislielāko laukumu, daudzstūra vismazāko leņķi utt. 68. uzdevums. Kā zināms, pienu un kefīru pārdod gan pudelēs, gan trijstūra piramīdas formā izveidotās paciņās (t. s. tetrapaketēs). Profesors Cipariņš izsludina prēmiju tam konkursa dalībniekam, kas izdomās tādu paketes modeli, kurā pie katras šķautnes būtu vismaz viens plats leņķis. Atrisinājums. Pieņemsim, ka tāda pakete eksistē. Apskatīsim tās visgarāko šķautni. Sī šķautne ir visgarākā mata abās tajās skaldnēs, pie kurām tā pieder. Tāpēc tai pieguļošie leņķi visi ir šauri, jo trijstūrī pret garāko malu atrodas lielākais leņķis, un, ja šai šķautnei blakus atrastos kāds plats leņķis, tad attiecīgajā skaldnē būtu divi plati leņķi pretruna. 69. uzdevums. Plaknē atzīmēts galīgs skaits punktu, no kuriem nekādi trīs punkti neatrodas uz vienas taisnes. Jebkuri trīs no atzīmētajiem punktiem ir tāda trijstūra virsotnes, kura laukums nepārsniedz 1 cm2. Pierādīt, ka visus atzīmētos punktus var apklāt ar vienu trijstūri, kura laukums ir 4 cm2. Atrisinājums. Aplūkosim visus trijstūrus, kuriem visas virsotnes atrodas dotajos punktos, un izraudzīsimies trijstūri ar vislielāko laukumu. Pieņemsim, ka tas ir trijstūris ABC, Caur virsotni A novilksim taisni h, kas paralēla malai BC, caur virsotni B taisni ti, kas paralēla malai AC, caur virsotni C malai AB paralēlu taisni t?,. Sīs taisnes ierobežo trijstūri Q, kura laukums ir 4LABc ^ 4 cm2 (pierādīt patstāvīgi!). Ja kāds no 19

20 dotajiem punktiem 5 atrastos ārpus Q, tad trijstūrim, kuram viena virsotne ir punktā S, bet divas citas virsotnes punktos A, B vai C, laukums būtu lielāks nekā Labc Tā ir pretruna. 70. uzdevums. Doti 20 punkti. Je iris punkti no tiem neatrodas uz vienas taisnes. Punkti jāsavieno ar nogriežņiem tā, lai neizveidotos neviens trijstūris ar virsotnēm dotajos punktos. Kāds lielākais no- / griežņu skaits ir novelkams? ' Atrisinājums. Ja 10 punktus nokrāsosim 13. zīm. zilus, bet atlikušos 10 punktus sarkanus un novilksim visus nogriežņus, kuriem gali ir dažādās krāsās, tad būs novilkti 100 nogriežņi. No jebkuriem 3 punktiem divi ir nokrāsoti vienā krāsā, tāpēc nogrieznis, kas tos savieno, nav novilkts. Tātad trijstūris ar virsotnēm dotajos punktos nav izveidojies. Pierādīsim, ka nav iespējams novilkt vairāk kā 100 nogriežņu, kas apmierina uzdevuma nosacījumus. Apskatīsim punktu A, no kura iziet visvairāk nogriežņu; apzīmēsim to skaitu ar n, bet punktus, uz kuriem tie novilkti, ar Bt, B2,..., B. Jebkuri divi no šiem punktiem savā starpā nav savienoti, lai nerastos trijstūris. Tāpēc no katra no šiem n punktiem novilkts ne vairāk kā 20-n nogriežņu. No katra no pārējiem punktiem, izņemot punktus /1, B\, B2,..., Bn, novilkti ne vairāk ka n nogriežņi. Tātad nogriežņu ga!u skaits nepārsniedz. n(20-n)-\- (20 n)n = 2ti(20 n) = 40fi 2rt2 = (n 10)2 ^200, t. i., nogriežņu skaits nepārsniedz uzdevums. Plaknē doti pieci punkti. Jebkuri trīs no tiem neatrodas uz vienas taisnes, jebkuri četri uz vienas riņķa līnijas. Pierādīt, ka var novilkt tādu riņķa līniju, kura iet caur trim no šiem punktiem un kurai viens no abiem pārējiem punktiem atrodas iekšpusē, bet otrs ārpusē. Atrisinājums..Novilksim taisni caur diviem punktiem A un B tā, lai pārējie trīs punkti atrastos vienā pusē no šīs taisnes. Novilksim riņķa līnijas caur punktiem A un B un katru no trim pārējiem punktiem (13. zīm.). Divas riņķa līnijas var krustoties ne vairāk kā divos punktos. Tā kā novilktās riņķa līnijas krustojas punktos A un B, tad vairāk krustpunktu tām nav. Vidējā riņķa līnija ir meklētā, jo abi pārējie punkti ir vienā pusē no taisnes AB un katrs atrodas uz savas riņķa līnijas. UZDEVUM I 72. Kubam ir 6 skaldnes, un tām visām ir vienāds malu skaits: pa četrām. Jānis saderēja ar Andri, ka viņš izveidos no 20

21 plastilīna tādu izliektu ķermeni, kura visām skaldnēm ir dažāds malu skaits. Vai Jānim tas izdosies? 73. Plaknē dots 1981 punkts, jebkuri 3 no tiem neatrodas uz vienas taisnes, jebkuri 4 uz vienas riņķa līnijas. Pierādīt, ka var novilkt riņķa līniju, kura iet caur trim no šiem punktiem un kuras iekšpusē ir tieši 1000 doto punktu. 74. Plaknē atzīmēti 5 punkti, jebkuri 3 no tiem neatrodas uz vienas taisnes. Pierādīt, ka no šiem 5 punktiem var izvēlēties 4 punktus, kas atrodas izliekta četrstūra virsotnēs. 75. Uz taisnes atzīmēti 100 punkti. Aplūkojam viduspunktus visiem tiem nogriežņiem, kuru abi galapunkti atrodas atzīmētajos punktos. Kads ir mazakais iespējamais šādu viduspunktu skaits? (Ja vairāki viduspunkti sakrīt, tos var uzskatit par vienu punktu.) 76. Pa rūtiņu papīra līnijām novilkta slēgta līnija tā, ka tai ir 14 posmi un jebkuri divi posmi neatrodas uz vienas taisnes. Kāds ir lielākais iespējamais punktu skaits, kuros ši līnija pati sevi krusto? 77. Plaknē doti 100 punkti, pie tam attālums starp jebkuriem diviem punktiem nepārsniedz 1 un jebkurš trijstūris, kura virsotnes ir trīs no šiem punktiem, ir platleņķa trijstūris. Pierādīt, ka var konstruēt tādu riņķa līniju ar rādiusu ka neviens punkts neatrodas ārpus tās. 78. Kādā karaļvalstī ir N pilsētu, katras divas pilsētas savienotas ar ceļu. Ceļi krustojas tikai pilsētās, jebkurš cits krustojums ir ierīkots ar ceļa pārvadu (gaisa tiltu). Ļaunais burvis uz visiem ceļiem ievieš vienvirziena kustību tā, lai būtu spēkā šāds nosacījums: ja no kādas pilsētas var izbraukt, tad tajā vairs nevar atgriezties. Pierādīt, a) ka burvis to var izdarīt; b) ka ir tāda pilsēta, no kuras var aizbraukt līdz jebkurai citai pilsētai, un ir tāda pilsēta, no kuras nevar izbraukt; c) ka eksistē tikai viens vienīgs maršruts, pa kuru var apbraukt visas pilsētas.

22 2. nodaļa LOĢISKA RAKSTURA UZDEVUMS 79. Uz ielas satiekas divi draugi A un B, kas ilgi nav redzējušies. Starp viņiem izraisās šāda saruna. A: «Man jau ir trīs meitas.» B: «Cik viņām gadu?» A: «Gadu skaitu reizinājums ir 36, bet summa tik, cik logu šai mājai, pie kuras mēs stāvam.» B: (Pēc pārdomām.) «Es nevaru pateikt, cik katrai meitai gadu.» A: «Vecākajai meitai ir zilas acis.» B: «Tagad es zinu, cik katrai gadu.» Viņš nosauca pareizo atbildi. Cik gadu katrai meitai? 80. Kādas karajvalsts viena daļa (apzīmēsim to ar A) iedzīvotāju uzdod tikai tādus jautājumus, uz kuriem pareizā atbilde ir «jā», bet otra daļa (apzīmēsim to ar B) tikai tādus jautājumus, uz kuriem pareizā atbilde ir «nē». Ceļinieks ieraudzīja brāļus, sarunājoties ar psihologu. Viens brālis jautāja: «Vai es un mans brālis abi esam piederīgi pie B daļas?» Ko ceļinieks varēja secināt par to, pie kuras iedzīvotāju daļas pieskaitāms katrs no brāļiem? 81. Vai ir pareizs apgalvojums: «ja n ir naturāls skaitlis, tad n4+(ft+l)4 ir pirmskaitlis»? 82. Kādā mājā dzīvo 4 jaunekļi. Ir zināms, ka Valdis un šoferis vecāki par Andri; Nils un atslēdznieks nodarbojas ar peldēšanu, bibliotekārs ir visjaunākais. Vakaros Miks un frizieris 22

23 spēlē tenisu pret Andri un bibliotekāru. Kāda katram jauneklim profesija? 83. Ceļotāju kiuba 50 biedri prot angļu valodu, 50 biedri prot vācu valodu un 50 biedri prot spāņu valodu. Ir zināms, ka 18 biedri prot tikai vācu valodu, 14 biedri prot tikai spāņu valodu, 12 biedri prot vācu un spāņu valodu, bet neprot angļu valodu, 2 biedri prot visas trīs valodas. Cik klubā ir tādu biedru, kas prot tikai angļu valodu? 84. Futbolkomandā ir 11 spēlētāju. Trijiem no tiem ir uzvārds Alksnis, četriem Bērziņš, diviem Dimants un diviem Egle. Četriem vārds ir Andris, trim Bruno, trim Didzis un vienam Ervins. Vārtsargu sauc Didzis Egle. Kā sauc pārējos spēlētājus? 85. Pieci skolēni Antons, Evija, Bruno, Kristīne un Jānis visi ir dažāda vecuma. Ir zināms, ka no septiņiem apgalvojumiem 1) Antons ir vecāks nekā Evija, 2) Bruno ir jaunāks nekā Kristīne, 3) Jānis ir jaunāks nekā Antons, 4) Evija ir vecāka nekā Kristīne, 5) Antons ir jaunāks nekā Kristīne, 6) Evija ir vecāka nekā Jānis, 7) Kristīne ir jaunāka nekā Jānis tieši viens ir aplams. Kurš tas ir? Sakārtot skolēnus pēc vecuma. 86. Skolā saņemta vēstule, kurā starp citu teikts: «Mūsu klasē ir zēni un meitenes. Ja es, Pēteris un Ilze sevi neskaitām, tad zēnu ir 6 reizes vairāk nekā meiteņu. Bet, ja es un Ilze tiekam skaitīti, tad zēnu ir 5 reizes vairāk nekā meiteņu.» Cik zēnu un meiteņu ir šajā klasē? 87. Uz papīra lapas uzrakstīti 100 apgalvojumi: «Tieši 1 uz šīs lapas uzrakstītais apgalvojums ir aplams.» «Tieši 2 uz šīs lapas uzrakstītie apgalvojumi ir aplami.» «Tieši 100 uz šis lapas uzrakstītie apgalvojumi ir aplami.» I\uri no šiem apgalvojumiem ir patiesi, kuri aplami? 88. Uz kartītes uzrakstīts šāds teksts: «Sajā teikumā tieši... reizes sastopams cipars 1, tieši... reizes cipars 2, tieši... reizes cipars 3, tieši... reizes cipars 4, tieši... reizes sastopams cipars 5.» Palīdziet Jānim ierakstīt daudzpunktu vietā naturālus skaitļus tā, iai iegūtais apgalvojums būtu patiess! 89. Ja teikumā «Taisnība, ka x» burta x vietā ievieto frāzi «divi plus trīs ir pieci», iegūst patiesu apgalvojumu. Ja šo pašu frāzi ievieto x vietā teikumā «Nav taisnība, ka x», iegūst aplamu apgalvojumu «Nav taisnība, ka divi plus trīs ir pieci». Atrast tādu frāzi x, kuru ievietojot gan teikumā «Taisnība, ka x», gan teikumā «Nav taisniba, ka x», iegūst patiesu apgalvojumu. 90. Kādā ciematā 5 mājiņās dzīvo 5 ļoti gudri rūķīši, bet tuvējā mežā 12 milzīgi plēsīgi putni, starp kuriem ir 10 balti un 2 melni. Katru dienu tieši pīkst uz ciematu atlido 23

24 10 no šiem putniem un nosēžas pa divi uz katras mājiņas skursteņa. Katra rūķīša pienākums ir iedot barību tiem diviem putniem, kas sēž uz viņa mājiņas skursteņa, pie tam katram baltam putnam barība jāieliek melnā traukā, bet katram melnam putnam baltā traukā, un kļūdīties nedrīkst. No katras mājiņas loga ir redzams, kādi putni sēž uz pārējo četru māju skursteņiem, taču sazināties rūķīši nevar un, neizejot no mājas, nevar redzēt, kādas krāsas putni atrodas uz viņu pašu māju skursteņiem. Visās mājiņās ir sienas pulksteņi, kas sit pilnu stundu skaitu (t. i., kad pulkstenis rāda 12.00, utt.). Rūķīši ir ievērojuši, ka putni nevienam neuzbrūk un ir mierīgi tieši tajos brīžos, kad viņu mājās sit pulksteņi (visi pulksteņi sit vienā un tajā pašā iaikā). Pa šo laiku rūķīši gan nevar paspēt ieraudzīt putnus uz sava jumta, taču var paspēt iznest laukā traukus ar barību. Tādēļ rūķīši ir vienojušies, ka barību iznesīs tikai tajos brīžos, kad sitīs pulkstenis, un citā iaikā no mājas taukā neies. Ja kāds no rūķīšiem ir izdomājis, kādas krāsas putni sēž uz viņa mājas skursteņa, tad viņš pirmajā izdevīgajā brīdī trauku ar barību iznes ārā un visi pārējie rūķīši to var redzēt, bet katrs rūķītis iznes savu trauku ārā tikai tad, kad ir pilnīgi pārliecināts par izraudzīto krāsu pareizību. Vai rūķīšiem vienmēr izdosies izdomāt, kādas krāsas trauki katram no viņiem jāiznes?

25 3. nodaļa ARITMĒTIKAS UZDEVUMI 91. Ar kādām naturālām n vērtībām daļa ir vesels 2/i-ļ-l skaitlis? 92. Vai piecu pēc kārtas ņemtu veselu skaitļu summa var būt skaitlis 24? Vai tā var būt 1984? Vai tā var būt 1985? 93. Kādiem naturāliem skaitļiem n ir spēkā apgalvojums, ka katru n pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summa dalās ar n? 94. Vai 3 ' " + 3 l()0 dalās ar skaitli 120? 95. Pulciņa ir mazāk nekā 40 pionieru. Puse no viņiem vāc metāllūžņus, trešā daļa makulatūru, piektā daļa ārstniecības augus. Cik pionieru pulciņa? 96. Klasē ir mazāk nekā 50 skolēnu. Kādā kontroldarbā puse skolēnu saņēma atzīmi «5», trešdaļa atzīmi «4», septītdaļa atzīmi «3», pārējie atzīmi «2». Cik skolēnu saņēma atzīmi 97. Astotā klase nolēma pēc izlaiduma eksāmeniem braukt ekskursijā. Tāpēc septiņus mēnešus katrs skolēns reizi mēnesī iemaksāja brauciena «kasē» vienu un to pašu naudas summu (visi skolēni vienādu). Pēc septiņiem mēnešiem izrādījās, ka «kasē» ir 640 rbļ. 0i кар. Cik skolēnu ir klasē? 98. Četrciparu skaitli reizināja ar skaitli, kas uzrakstīts ar tiem pašiem cipariem apgrieztā kārtībā. Ieguva astoņzīmju skaitli, 25

26 kura trīs pēdējie cipari ir nulles. Kāds četrciparu skaitlis bija ņemts sākumā? Atrast visas iespējas. 99. Ir uzrakstīts sešciparu skaitlis, kura trīs pēdējie cipari ir Ir zināms, ka uzrakstītais skaitlis dalās ar 29. 1) Noteikt, kāds ir dalījuma pēdējais cipars. 2) Atrast vismaz vienu tādu sešciparu skaitli, kas apmierina uzdevuma nosacījumus Pierādīt, ka skaitlis ABCABC dalās ar 7, 11 un a, b, c, d ir veseli skaitļi. Ir zināms, ka izteiksme ax3~f- ~\-bx2-\-cx-\-d dalās ar 5, ja x ir jebkurš vesels skaitlis. Pierādīt, ka katrs no skaitļiem a, b, c un d dalās ar Pierādīt, ka skaitlis s dalās bez atlikuma ar Pierādīt, ka skaitlis dalās ar vieninieki 104. Vai skaitlis, kas sastāv no 243 vieniniekiem, dalās ar 243? Atbildi pamatot Tramvaja taloni numurēti ar skaitļiem no līdz Jānis uzskata, ka talons ir «laimīgs», ja tā visu ciparu summa ir vienāda ar abu pēdējo ciparu veidoto skaitli (piemēram, ir «laimīgs» talons, jo = 24). Pierādīt, ka katram «laimīgajam» talonam pirmo četru ciparu veidotais skaitlis dalās ar 9. (Aplūkotajā piemērā 0954:9=106.) 106. Vai skaitli var iegūt kā triju pēc kārtas 1978 nulles ņemtu veselu skaitļu summu vai kā triju pēc kārtas ņemtu veselu skaitļu reizinājumu? 107. Atrast vismazāko naturālo skaitli, kas samazinās 201 reizi, ja tam nosvītro pirmo ciparu. Vai eksistē tāds naturāls skaitlis, kas samazinās 1982 reizes, ja tam nosvītro pirmo ciparu? 108. Atrast vismaz vienu sešciparu skaitli, kurš satur ciparus 1, 2, 3, 4, 5, 6 (katru vienu reizi) un kuram piemīt šāda īpašība: tā pirmo divu ciparu veidotais skaitlis dalās ar 2, pirmo triju ciparu veidotais skaitlis dalās ar 3, pirmo četru ciparu veidotais skaitlis dalās ar 4, pirmo piecu ciparu veidotais skaitlis dalās ar 5, bet pats skaitlis dalās ar Doti tādi četri naturāli skaitļi a, b, c un d, ka a > b > > O d. Pierādīt, ka reizinājums (a b)(a c) (a d) (b c) (b d) (c d) dalās ar Jānim bija vairākas divdesmitkapeiku un vairākas piecpadsmitkapeiku monētas. Piekto daļu savas naudas divas monētas Jānis atdeva māsai, bet ar pusi no atlikušās naudas trim monētām samaksāja par teātra biļeti. Cik naudas Jānim bija sākumā? vienādas grāmatas maksā 11 rubļus ar kapeikām, bet 13 tādas grāmatas maksā 15 rubļus ar kapeikām. Cik maksā viena grāmata? 26

27 vienas un tās pašas grāmatas eksemplāri maksā 12 rbļ, ar kapeikām, bet 17 šīs pašas grāmatas eksemplāri maksā 20 rbļ. ar kapeikām. Cik maksā šis grāmatas viens eksemplārs? 113. Juris izvietojis savas pastmarkas trijos albumos. Pirmajā albumā ir tieši viena septītā daļa no visām pastmarkām, otrajā dažas piektdaļas {nav zināms, tieši cik) no visām pastmarkām, trešajā 117 pastmarkas. Cik pastmarku ir Jurim? 1 i4. Andris iet uz peldbaseinu katru trešo dienu, Aivars katru ceturto, Kaspars katru piekto dienu. Pagājušo pirmdien visi tris zēni satikās baseinā. Pēc cik dienām un kādā nedēļas dienā viņi satiksies nākamo reizi? 115- Atrast vislielāko naturālo skaitli, ar kuru dalās katrs skaitlis, kas satur visus ciparus (katru tieši vienu reizi) Pierādīt, ka starp 17 dažādiem naturāliem skaitļiem var atrast vai nu 5 tādus skaitļus a, b, c, d un e, ka katrs no šiem skaitļiem, izņemot pēdējo, dalās ar nākamo skaitli virkne a, b, c, d, e, vai ari atrast 5 tādus skaitļus, no kuriem neviens nedalās cits ar citu Jānis saskaitīja divus veselus skaitļus. Andris vispirms vienam saskaitāmajam labaja pusē pierakstīja 0 un pēc tam saskaitīja to ar otro saskaitāmo. Maija no otrā rezultāta atņēma pirmo rezultātu un ieguva Pierādīt, ka vismaz viens no bērniem ir kļūdījies Skaitlis 42x4ij daiās ar 72. Atrast ciparus x un y. I i9. Atrast visus divciparu skaitļus, kuru ciparu summa nemainās, ja šos skaitļus reizina ar jebkuru no skaitļiem 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Dots, ka x ir naturāls skaitlis un skaitļa x ciparu summa vienāda ar skaitļa 2x ciparu summu. Pierādīt, ka x daļas ar Ar kādu mazāko naturālo skaitli jāpareizina 9, lai iegūtu skaitli, kas sastāv no vieniniekiem? 122. n ir naturāls skaitlis. Skaitļa rc6 pierakstā pa vienai reizei sastopami cipari 2, 4 un 5, bet divas reizes cipari 8 un 9; citu ciparu nav. Atrast n Gunta uz tāfeles aprēķināja visu naturālo skaitļu no i līdz 35 reizinājumu, nodzēsa starprezultātus un izgaja no klases. Atgriezusies viņa redzēja, ka kāds nodzēsis vienu ciparu un aizstājis to ar zvaigznīti. Pieraksts tagad bija šāds: * Palīdziet atrast nodzēsto ciparu! 124. No astoņiem dažādiem cipariem, starp kuriem neviens nav nulle, izveidots astoņciparu skaitlis, kurš dalās ar 9 bez atlikuma. Kurš no nulles atšķirīgais cipars nav izmantots šī skaitļa pierakstā? Uzrādīt visas iespējas un pierādīt, ka citu iespēju nav Pircējs nopirka veikalā torti par 5 rbļ., konfektes par 2 rbļ. 80 kap., kā ari 6 vienādas šokolādes tāfelītes un trīs vienādas cepumu paciņas, kuru cenu viņš nezināja. Kasieris 27

28 pieprasīja 9 rb. un 82 kap. Pircējs aizrādīja ka kasieris ir kļūdījies. Kā viņš to zināja? 126. Samainot naturāla skaitļa ciparus vietām, iegūst 3 reizes lielāku skaitli. Pierādīt, ka iegūtais skaitlis dalās ar Izraudzīties jebkurus divus naturālus skaitļus x un-y un aprēķināt to summu, starpību un reizinājumu. Pierādīt, ka vismaz viens no iegūtajiem skaitļiem noteikti dalās ar Atrast vismaz vienu veselu skaitli n, kam piemīt šādas divas īpašības: 1) n nedalās ne ar vienu no skaitļiem 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; 2) n 1 dalas ar katru no skaitļiem 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Dalot 313 un 390 ar vienu un to pašu naturālo divciparu skaitli, iegūst vienādus atlikumus. Kāds var būt šis divciparu skaitlis? 130. Kādu vislielāko daudzumu skaitļu var izvēlēties no skaitļiem 1, 2, 3,..., 1963 ta, lai katru divu izraudzīto skaitļu summa dalītos ar 26? 131. Jānim ir divdesmit monētu (divkapeikas un pieckapcikas), pie tam no katra veida monētām vismaz viena, Jāņa kopējā naudas summa kapeikās dalās ar 10. Cik Jānim naudas? 132. Kāds var būt skaitļa T pēdējais cipars, ja n naturāls skaitlis? 133. Ar kādu ciparu var beigties naturāla skaitļa 16. pakāpe? 134. Atrast skaitļa 3i978-ļ-4'97*-ļ-6l97S pēdējo ciparu Dots, ka x ir naturāls skaitlis un skaitļa -v3 divi pēdējie cipari ir 73. Noskaidrot a) kāds ir skaitļa x pēdējais cipars; b) kāds ir skaitļa x priekšpēdējais cipars Vai skaitlis, kura cipari ir 14 vieninieki un 13 nulles, var būt vesela skaitļa kvadrāts? 137. Pierādit, ka skaitlis, kura ciparu summa ir 5, nevar būt vesela skaitļa kvadrāts Kādā naturālā skaitli 600 cipari ir vieninieki, bet pārējie nulles. Vai šis skaitlis var būt vesela skaitļa kvadrāts? 139. Andrejs ar savu dēlu un Juris ar savu dēlu gāja makšķerēt. Andreja noķerto zivju skaits beidzas ar ciparu 2, viņa dēla noķerto zivju skaits beidzas ar ciparu 3. Jura noķerto zivju skaits ari beidzas ar ciparu 3, bet viņa dēla noķerto zivju skaits beidzas ar ciparu 4. Visu makšķernieku noķerto zivju skaits ir kāda vesela skaitļa kvadrāts. Kā sauc Andreja dēlu? 140. Atrast skaitli, kuram ir tieši 12 pozitīvi dalītāji (ne vairāk un ne mazāk) Cik starp veseliem skaitļiem no 1 līdz ir tādu skaitļu, kas nedalās ne ar 2, ne ar 3, ne ar 5? 142. Ar cik nullēm beidzas visu veselo skaitļu no 1 līdz 50 reizinājums? 28

29 143. Vai eksistē tāds naturāls skaitlis n, ka visu naturālo skaitļu no 1 līdz rt reizinājums beidzas tieši ar 198 nullēm (ne vairāk un ne mazāk)? 144. Pierādīt, ka no 12 pēc kārtas ņemtiem naturaliem skaitļiem vismaz viens ir mazāks par visu savu pozitīvo dalītaju summu (pašu skaitli par tā dalītāju neuzskatām) Dots, ka kādā četrstūrī malu garumi ir veseli skaitļi. Bez tam dots, ka četrstūra perimetrs dalās ar katras malas garumu bez atlikuma. Pierādīt, ka šaja četrstūri vismaz 2 malas ir vienādas Pierādīt, ka naturālam skaitlim n nav vairāk kā 2lļ n pozitīvu dalītāju Atrast visus naturālos skaitļus, kas dalās ar 30 un kam ir tieši 30 dažādi dalītāji Atrast visus tādus naturālus skaitļus.v un y, ka x-y = =x-\~y. Pierādīt, ka bez atrastajiem skaitļiem citu skaitļu ar šādu īpašību nav Uz rūtiņu papīra uzzīmēts taisnstūris, kura malas iet pa rūtiņu līnijām. Tā laukums kvadrātrūtiņās skaitliski vienāds ar tā perimetru, kas izteikts ar rūtiņu malas garumu. Kādi ir taisnstūra izmēri? 150. Atrast tādus naturālus skaitļus a, b un c, ka a-ļ-fr+c= = abc. (Jāatrod visi skaitļi un jāpierāda, ka citu nav.) 151. Atrast visus tos divciparu skaitļus, kas vienādi ar savu ciparu divkāršotu reizinājumu Saskaitot naturālu divciparu skaitli N ar skaitli, kas pierakstīts ar tiem pašiem cipariem, tikai pretējā kārtībā, iegūst vesela skaitļa kvadrātu. Atrast visas iespējamās N vērtības Atrisināt rēbusu (V + I+ J+ A ) -4 = 1 7 JA Vienādībā = i^=laizstāt burtus ar cipariem (vienā- RE KU dus burtus ar vienādiem cipariem, dažadus burtus ar dažādiem cipariem) tā, lai iegūtu pareizu skaitlisku vienādību. Piezīme. KU, ĶA un RE ir divciparu naturāli skaitļi Skolotāja lika Jurim saīsināt daļu Juris to izdarīja kļūdaini, tomēr iegūtais rezultāts bija pareizs. Kādas ir pu citas daļas, kuru skaitītāji un saucēji ir divciparu skaitļi un kuriem piemīt līdzīga īpašība? 156. Naturālam skaitlim, kura pierakstā ir vismaz divi cipari, galā pierakstīja vēl vienu ciparu. Ieguva jaunu skaitli, kas bez atlikuma dalās ar sākotnējo skaitli. Kādu ciparu pierakstīja sākotnējam skaitlim? 157. Jānim eksāmenā uzdoti 16 jautājumi, uz kuriem var atbildēt ar «jā» vai «nē». Par katru pareizu atbildi Jānis saņem 7 punktus; par katru nepareizu atbildi no viņa iegūtās punktu 29

30 summas atņem 4 punktus. Ja Jānis uz kādu jautājumu atsakās atbildēt, viņa punktu summu tas neietekmē. Sākumā Jānim bija 0 punktu, bet, beidzot eksāmenu, viņam bija 1 punkts. Uz cik jautājumiem Jānis atbildēja pareizi? 158. Vai eksistē tādi naturāli skaitļi x un y, ka 11* 8^=1? 159. Atrast tādus dažādus naturālus skaitļus a, b un c, ka =1. Atrast visas atbildes un pierādīt, ka citu atbilžu a b c nav. Vai var atrast tādus dažādus naturālus skaitļus a, b, c, cl un e, ka _! -j. -! j-j. ļ_ J f = a b c d e 160. Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu1 a\ = b\+c\+d\ 161. Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu xy_,yz.zx_ = 3 Z ^ X y 162. Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu y,i=x--\-x, kur > 1, k ^N Dots, ka x, y, z ir veseli skaitļi un x 2-\-y2-\-z2 2xyz. Pierādīt, ka x ~ y z = Atrisināt veselos skaitļos vienādojumu x3 2 tyx 4z3= Kādiem naturāliem a eksistē tādi naturāli skaitļi x un y, ka x2+ y 2= a xy? 166. Noskaidrot, kuri no skaitļiem , , 683, ir pirmskaitļi, kuri nav No cipariem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lietojot katru tieši vienu reizi, sastādīt 6 pirmskaitļus. (Skaitlis 1 nav pirmskaitlis.) 168. Atrast visas tās veselās k vērtības, ar kurām reizinājums {k 2) (A-f-4) ir pirmskaitlis, un pierādīt, ka citu k vērtību nav Dots, ka n un n2-\-9 ir pirmskaitļi. Atrast visas iespējamās n vērtības un pierādīt, ka citu n vērtību nav Pierādīt, ka no 10 pēc kārtas ņemtiem naturāliem skaitļiem ne vairāk kā 5 skaitļi ir pirmskaitļi. Vai 5 no šādiem skaitļiem var būt pirmskaitļi? 171. Atrast 11 pēc kārtas sekojošus naturālus skaitļus, starp kuriem nav neviena pirmskaitļa. (Pietiek uzrādit vienu šādu skaitļu komplektu.) 1 Ar simbolu n! matemātika apzīmē visu naturālu skaitļu no 1 līdz n reizinājumu, t. i., «! = n. p 30

31 172. Dots, ka p ir pirmskaitlis un p~>2. Pierādīt, ka p2 1 dalās ar n ir naturāls skaitlis. Pierādīt, ka abi skaitļi 2n-ļ-5 un 3n+8 vienlaikus nedalās ne ar kādu (vienu un to pašu) naturālu skaitli, kas lielāks nekā Dots, ka n ir naturāls skaitlis un daļa ir saīsi- 8n-ļ-7 nama. Ar kādiem veseliem pozitīviem skaitļiem var saīsināt doto daļu? 175. Atrast visus naturālus skaitļus k, kurus var uzrakstīt kā divu tādu savstarpēju pirmskaitļu summu, kas nav vienādi ar Starp veseliem skaitļiem no 1 līdz 20 uzrādīt tādus 10 skaitļus, lai katriem diviem no tiem būtu kopīgs dalītājs, kas lielāks nekā 1. Pierādīt, ka, izraugoties jebkurus 11 skaitļus, starp tiem noteikti ir divi tādi skaitļi, kuru lielākais kopīgais dalītājs ir Skolā zilacainu skolēnu skaits attiecas pret brūnacainu skolēnu skaitu kā 4:1, bet zilacainu skolēnu skaits attiecas pret melnacainu skolēnu skaitu kā 8:1. Skolēnu ar citu acu krāsu skolā nav. Vai iespējams, ka skolā ir 700 skolēnu? 178. Uzrādīt četru dažādu veselu skaitļu kopu ar īpašību: jebkura skaita (no 1 līdz 4) šīs kopas skaitļu summa dalās ar šo skaitļu skaitu bez atlikuma. Vai var atrast tādu kopu ar minēto īpašību, kurā visi skaitļi būtu nepāra? 179. Dota kvadrātveida tabula ar 8X8 rūtiņām. Vai katrā tās rūtiņā var ierakstīt veselu skaitli no 1 līdz 64 (katrā rūtiņā citu skaitli) tā, lai katrā figūrā tfh ierakstīto skaitļu summa dalītos ar 10? (Figūru drīkst novietot arī citā stāvoklī.) 180. Katrā piecstūra virsotnē ierakstīts kāds vesels skaitlis. Katrai malai un katrai diagonālei tiek aprēķināta tas galos uzrakstīto skaitļu summa. Atbildēt uz šādiem jautājumiem: a) vai sešas no šīm summām var būt pāra skaitļi, bet pārējās nepāra skaitļi; b) vai septiņas no šīm summām var būt pāra skaitļi, bet pārējās nepāra skaitļi.

32 ALGEBRAS UZDEVUMI 181. Trīsciparu skaitlī ciparus sakārtoja citā kārtībā un iegūto skaitli saskaitīja ar sākotnējo. Vai varēja gadīties, ka summa ir 999? Vai, izdarot tādu pašu operāciju ar četrciparu skaitli, rezultātā var iznākt 9999? 182. Aizvietot zvaigznītes ar cipariem (katru zvaigznīti - ar citu ciparu) tā, lai iegūtu piecas pareizas vienādības: *_*-=: ļ *_* 2 * *z=3 * * _ 4 * * = 5 Pietiek parādīt vienu veidu, kā to izdarīt Cik ciparu tiek uzrakstīts, ja pēc kārtas uzraksta visus naturālos skait[us no 1 līdz 1979? 184. No pozitīva trīsciparu skaitļa X cipariem izveidoja 6 dažādus pozitīvus trīsciparu skaitļus (katrā no šiem sešiem skaitļiem katrs skaitļa x cipars izmantots tieši vienu reizi). Visu šo sešu skaitļu summa ir Atrast mazāko iespējamo x vērtibu Atrast mazāko naturālo skaitli, kura ciparu sumina ir 10! Vai eksistē 6 pēc kārtas ņemti naturāli skaitļi, no kuriem nevienam ciparu summa nedalās ar 4? Vai eksistē 7 tadi skaitļi? 187. Vai eksistē tads naturāls skaitlis n, ka gan skaitļa n, gan skaitļa rc-ļ-l ciparu summa dalās ar 13? 32

33 188. Atrast lielāko iespējamo piecciparu skaitli abcde, kuram piemīt šādas īpašības: 1) d> e\ 2) c>d-\-e\ 3) c-\-d-\~b] 4) a>b+c-\-d-\-e Cik ciparu ir skaitlim 2100? 190. Uz tāfeles uzrakstīti skaitļu un decimālie pieraksti. Cik ciparu kopā uzrakstīts? 191. Kaut kādā mēnesī trīs otrdienas bija pāra datumos. Kāda nedēļas diena bija šī mēneša 23. datumā? 192. Klases timuriešu sanāksmes notiek reizi nedēļā vienā un tai pašā dienā. Kāds ir lielākais un kāds ir mazākais iespējamais sanāksmju skaits gada iaikā? 193. Ar [a] apzīmē lielāko veselo skaitli, kas nepārsniedz a, piemēram, [3] = 3, 2-ļ-j 2, [ 2,1] 3. Pierādīt, a) ka katram veselam skaitlim x ir pareiza vienādība [2.t] = - M + [ * + t ] ; b) ka minētā vienādība ir pareiza ne tikai veseliem skaitļiem, bet katram skaitlim <x Dots skaitlis x, kas lielāks nekā 1. Vai vienādība īr pareiza visiem x? 195. Pierādīt vienādību l_, 1 1_ , Pierādīt identitāti 2, 4, 6,, 2 0 = 1! (.v l)(jf+10) ' (x 2)(x+9) 1 1 (x 10) (jc+1) 197. Aprēķināt izteiksmes vērtību: Kvadrāts sastāv no 3x3 rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts kaut kāds skaitlis. Katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto triju skaitļu summa ir 30. Aprēķināt četrās stūra rūtiņās ierakstīto skaitļu summu Jānis veikalā nopirka 4 maizītes, 1 plāksnīti šokolādes un 10 pudeles limonādes. Andris nopirka 3 maizītes, 1 plāksnīti

34 šokolādes un 7 pudeles limonādes. Jānis par pirkumu samaksāja 1 rubli un 64 kapeikas, bet Andris 1 rubli un 26 kapeikas. Cik naudas iztērēja Māris, ja viņš nopirka 1 maizīti, 1 plāksnīti šokolādes un 1 pudeli limonādes? 200. Taisnstūrveida tabula sastāv no mxfi rūtiņām, katrā no tām ierakstīts pozitīvs skaitlis. Pie tam dots, ka katrā rūtiņā ierakstīto skaitli var iegūt, sareizinot divas summas: visu skaitļu summu, kuri ierakstīti tajā rindā, kurā atrodas ši rūtiņa, un visu skaitļu summa, kuri ierakstīti tajā kolonnā, kurā atrodas šī rūtiņa. Pierādīt, ka visu tabulā ierakstīto skaitļu summa ir!. Sastādīt vienas šādas tabulas piemēru Dots, ka a-ļ = 6. Aprēķināt izteiksmju a2+~r> a'ljr H----?, a4+ a5+^r vērtības. aj 1 a 4 a Skaitļi a, b un c apmierina sakarību a2 (b c )+ b2 [c o)-ļ-c2 (a b) =0. Pierādīt, ka vismaz divi no skaitļiem a, b un c ir vienādi Neviens no skaitļiem a, b un c nav vienādi ar 0. Dots, ka a-ļ-fe-f-c a b-\-c a-\-b c a b c Pierādīt, ka vai nu a-\-b-\-c=0, vai a b = c Pierādīt, ka rt6-ļ-n4+ l ir salikts skaitlis visiem n > 1, neiv Viegli pārbaudīt, ka 121 = 112, = 1012, = = 1001-, Pierādīt, ka, ierakstot starp skaitļa 121 cipariem nulles jebkurā skaitā (vienā un tajā pašā), vienmēr iegūst vesela skaitļa kvadrātu Kādu naudas summu (rubļos) var samaksāt gan ar pāra skaitu naudas zīmēm, gan ar nepāra skaitu naudas zīmēm? (Maksātāja rīcībā ir I rbļ., 3 rbļ., 5 rbļ., 10 rbļ., 25 rbļ., 50 rbļ. un 100 rbļ. naudas zīmes.) 207. Uz tāfeles uzrakstīti 1983 skaitļi 1 un 1984 skaitļi +1. Drīkst nodzēst jebkurus divus uz tāfeles uzrakstītos skaitļus, to vietā uzrakstot abu skaitļu reizinājumu. Tā tiek turpināts, kamēr uz tāfeles paliek tikai divi skaitļi. Kādi tie ir? Kāpēc? 208. Uz riņķa līnijas atzīmēti 1984 punkti, kas sadala riņķa līniju 1984 lokos. No šiem punktiem 1000 punkti nokrāsoti zili,, bet 984 punkti sarkani. Katram no iegūtajiem 1984 lokiem tiek pierakstīts skaitlis pēc šāda likuma: a) ja loka abi gali ir zili, tad pieraksta 1; b) ja loga abi gali ir sarkani, tad pieraksta 1; c) ja viens loka gals ir zils, otrs sarkans, tad pieraksta 0. Kāda ir visu pierakstīto skaitļu summa? 34

35 209. Mainīgie lielumi x un y ir proporcionāli. 14. zīmējumā parādītā tabula paredzēta dažu šo x mainīgo lielumu vērtību attēlošanai. Neviena no mainīgo lielumu y vērtībām nav vienāda ar zīm. Kāds ir mazākais tabulas rūtiņu skaits, kuras jāaizpilda, lai pārējās rūtiņas varētu aizpildīt viennozīmīgi? 210. Televīzijas torņa augstums ir 200 m; torņa masa ir tonnas. Noteikt masu torņa precīzam modelim, kurš izgatavots no tā paša materiāla un kura augstums ir 20 cm No 1 kg dzelzs izgatavota skulptūra. Tās nokrāsošanai vajadzēja 100 g krāsas. Pēc mēneša no 1 kg dzelzs izgatavoja 1000 precīzas šīs skulptūras kopijas, katras kopijas masa ir 1 g. Cik krāsas vajadzēs, lai nokrāsotu visas šīs kopijas? 212. Jānis un Juris nopirka konfektes viens 500 g, otrs 300 g un apēda tās kopīgi ar Andri līdzīgās daļās. Andris samaksāja draugiem savu daļu 2 rbļ. 40 kap. Kā lai šo naudu sadala Jānis un Juris? 213. Kāds bagāts romietis testamentā norādīja: ja piedzims dēls, tad tas saņems divas trešdaļas mantojuma, bet atraitne vienu trešdaļu; ja turpretī piedzims meita, tad tā saņems vienu trešdaļu mantojuma, bet atraitne divas trešdaļas. Dažus mēnešus pēc vīra nāves atraitnei piedzima dvīņi dēls un meita. Sāds gadījums testamentā nebija paredzēts. Ka sadalīt mantojumu, lai iespējami precīzāk ievērotu nelaiķa gribu? 214. Veselu skaitli saskaitot ar tā ciparu summu, iegūst 328. Atrast šo veselo skaitli Atrast četrus pēc kārtas ņemtus naturālus skaitļus, kuru reizinājums ir Numurējot pulciņa dienasgrāmatas lappuses, izlietoja divas reizes vairāk ciparu, nekā bija pašu lappušu. Cik lappušu dienasgrāmatā? 217. Atrast koeficientu summu polinomam, ko iegūst, atverot iekavas reizinājumā (5a:2 8A'-ļ-4) (4x2 7x+4) (3jc2 6.V-1-4) Izteiksmē x2+ % + * divi spēlētāji pēc kārtas ieraksta zvaigznīšu vietā pa vienam veselam skaitlim. (Tātad katrs ieraksta vienu skaitli.) Pierādīt, ka otrais spēlētājs savu skaitli var izraudzīties tā, lai iegūto izteiksmi varētu sadalīt divos reizinātājos (jc-f-a) (x-\-b), kur a un b ir veseli skaitļi Katram veselam skaitlim x kvadrāttrinoma ax2-\-bx-\-c vērtība ir vesela skaitļa ceturtā pakāpe (varbūt dažādiem x atbilst dažādas ceturtās pakāpes). Pierādīt, ka a b = 0. 35

36 220. Cik ir tadu veselu skaitļu x, kas vienlaikus apmierina šādus nosacījumus: a) x lielāks nekā ; b) x mazāks nekā ; c) skaitļa x pēdējie 7 cipari ir savā starpā vienādi? 221. Gar taisna ceļa malu vienādos attālumos cits no cita aug koki. Attālums no pirmā koka līdz desmitajam kokam ir 10m. Cik liels ir attālums no pirmā koka līdz simtajam kokam? 222. Ierakstīt katrā tukšajā rūtiņā pa skaitlim tā, lai katrās trijās blakus esošajās rūtiņās ierakstīto skaitļu summa būtu 11. m i i7i i i i i i i3i i i i 223. Atrast visu naturālo divciparu skaitļu summu Atrast visu naturālo skaitļu no 1 līdz 100 visu ciparu summu Dots kvadrāts ar izmēriem 4X4 rūtiņas. Ierakstīt tā rūtiņās skaitļus no 1 līdz 16 tā, lai katrā rindā ierakstīto skaitļu summa būtu viena un tā pati. Tabulas kolonnās ierakstīto skaitļu summas var būt dažādas. Katru skaitli drīkst ierakstīt tikai vienu reizi Doti vairāki atsvari, kuru kopējā masa ir 1 kg. Sie atsvari sanumurēti: pirmais, otrais...pierādīt, ka eksistē tāds numurs /e, ka -tā atsvara masa lielāka nekā 227. Dots, ka virkne ai, a2, a3,... ir monotoni augoša, t. i., katrs nākamais virknes loceklis ir lielāks nekā iepriekšējais. Katram naturālam skaitlim k ir spēkā vienādība a 0h~3k. Atrast fliooo Pierādīt, ka bezgalīgā veselu skaitļu virknē, kuras locekļi ir pa pāriem atšķirīgi un lielāki nekā 1, var atrast 100 skaitļus, kas ir lielāki par savu numuru šai virknē Aplūkojam virkni 1,-g-, ļj-, -j-... Vai no šīs virknes locekļiem var sastādīt aritmētisko progresiju, kurā ir 5 locekļi? Vai var sastādīt patvaļīga garuma aritmētisko progresiju? 230. Plakne sadalīta kvadrātiņos kā rūtiņu lapa. Vienā kvadrātiņā atrodas šaha figūra karalis. No katra kvadrātiņa karalis ar vienu gājienu var aiziet uz jebkuru no 8 blakus esošiem kvadrātiņiem (15. zīm.). Cik ir tādu kvadrātiņu, kuros karalis var nonākt pēc 10 gājieniem, bet nevar nonākt pēc mazāka gājienu skaita? 231. Sastādot bibliotēkas grāmatu katalogu, skolēni nolēma katru grāmatu apzīmēt ar sešciparu numuru un katrā numurā izmantot tikai nepāra ciparus 1, 3, 5, 7, 9. Cik grāmatām pietiks ar šādiem numuriem? Kāda iemesla dēļ skolēni negribēja izmantot pāra ciparus? 36 kg.

37 B 1 A 15. zīm. 16. zīm Cik ir tādu piecciparu skaitļu, kuros katrā ir tieši divi vienādi cipari, bet pārējie cipari atšķiras gan no abiem vienādajiem cipariem, gan savā starpā? 233. Kāpnēm ir 10 pakāpieni. Jānis ar vienu soli var uzkāpt 1 pakāpienu vai 2 pakāpienus. Cik dažādos veidos Jānis var uzkāpt pa kāpnēm? 234. Cik dažādos veidos var aiziet no 16. zīmējumā iezīmētās rūtiņas A uz rūtiņu B, ja katrā gājienā var iet vai nu vienu rūtiņu uz augšu, vai arī vienu rūtiņu pa labi, pie tam nedrīkst ieiet iesvītrotajās rūtiņās? 235. Cik dažādos veidos skaitli 40 var izteikt kā triju veselu pozitīvu saskaitāmo summu? (Tādi divi veidi, kas atšķiras tikai ar saskaitāmo kārtību, tiek uzskatīti par dažādiem.) 236. Planētas Orora iedzīvotājiem ir trīs rokas kreisā, labā un vidējā. Katrai rokai ir vismaz viens pirksts, bet visām rokām kopā ir 15 pirksti. Cik dažādiem triju cimdu komplektiem jābūt pārdošanā uz šīs planētas, lai ikviens Ororas iedzīvotājs varētu iegādāties sev piemērotu pirkstaiņu komplektu? 237. Cik ir dažādu trijstūru, kuru malu garumi ir veseli skaitļi, bet visu triju malu garumu summa ir 25? 238. Pilsētas A un B savieno ceļš, kura garums ir 999 kilometri. Gar ceļu izvietoti kilometru stabi: 0 * 999, 1 * 998,..., 998 * 1, 999 * 0. Uz cik stabiem ir skaitļi, kas sastāv tikai no diviem dažādiem cipariem? 239. Skaitlis 1000 jāizsaka kā triju naturālu skaitļu reizinājums. Cik dažādos veidos to var izdarīt? Tādi sadalījumi reizinātājos, kas atšķiras tikai ar reizinātāju kārtību, tiek uzskatīti par vienādiem Automašīna nobrauca 500 km 10 stundās. Pierādīt, ka var atrast tādu 50 km garu ceļa posmu, kuru automašīna nobrauca tieši vienā stundā Atrisināt vienādojumu x 3?

38 242. Atrisināt vienādojumu xs-\-2xe-\-3xi 6jc2 = Pīkst gliemezis sāk rāpties stabā, kura augstums ir 3 rn. Gliemezis rāpjas ar nemainīgu ātrumu 10 cm/min; vispirms viņš 3 min rāpjas uz augšu, pēc tam 2 min uz leju, tad atkal 3 min uz augšu un 2 min uz leju, utt. Cikos gliemezis sasniedz staba augšējo galu? 244. Attālumu no ostas A līdz ostai B tvaikonis veic tieši 12 diennaktīs. Katru dienu pīkst no ostas A uz ostu B un no ostas B uz ostu A atiet pa tvaikonim. Cik tvaikoņu atklātā jūrā sastop jebkurš no tvaikoņiem viena brauciena laikā? Risinājumu paskaidrot Gar tramvaja līniju ar nemainīgu ātrumu iet gājējs. Ik pēc 5 minūtēm viņš sastop pretimbraucošu tramvaju, un ik pēc 7 minūtēm kāds tramvajs viņu apdzen. Cik liels ir intervāls starp tramvaju atiešanas laikiem no galapunkta? 246. Skolēni novāca 50 kg ābolu, kuri satur 95% ūdens. Pēc žāvēšanas ūdens daudzums samazinājās līdz 90%. Cik svēra āboli pēc žāvēšanas? 247. Trīs futbolkomandas A, B, C katra ar katru nospēlēja vienu spēli. Futbolkomanda A uzvarēja vienā spēlē, C vienu spēli beidza neizšķirti. Komandas A futbolisti visā turnīrā iesita 4 vārtus, komandas C spēlētāji visā turnīrā iesita 2 vārtus, bet komandas B spēlētāji visā turnīrā iesita 3 vārtus, nezaudējot nevienus vārtus. Atrast visu spēļu rezultātus Apaļa galda vidū stāv kubisks metamais kauliņš. Uz tā skaldnēm uzrakstīti skaitļi no 1 līdz 6. Pie galda viens otram pretī sēž divi cilvēki; viens no tiem redz 3 skaldnes, uz kurām uzrakstīto skaitļu summa ir 15, bet otrs redz 3 skaldnes, uz kurām uzrakstīto skaitļu summa ir 7. Kāds skaitlis uzrakstīts uz metamā kauliņa apakšējās skaldnes? 249. Divas laivas ar nemainīgiem ātrumiem (ne obligāti vienādiem) vienlaikus izbrauc viena otrai pretī katra no sava upes krasta, sastopas 700 m attālumā no kreisā krasta un turpina ceļu. Sasniedzot pretējo krastu, katra no laivām uzreiz apgriežas un dodas atpakaļceļā. Otrreiz laivas sastopas 400 m attālumā no labā krasta. Atrast upes platumu Jānis ir saskaitījis trīs dažādus naturālus skaitļus un paziņo Andrim iegūto summu. Zinot šo summu, Andris var precīzi noskaidrot, Jānim neko nejautājot, kādus skaitļus viņš saskaitījis. Kāds var būt Jāņa iegūtais rezultāts? Norādīt visas iespējas un pierādīt, ka citu iespēju nav Klasē pagājušajā ceturksnī 13 skolēni saņēma katrs vismaz vienu divnieku, 8 skolēni katrs vismaz 2 divniekus, 5 skolēni katrs vismaz 3 divniekus, 2 skolēni katrs vismaz 4 divniekus. Vairāk par četriem divniekiem nesaņēma neviens. Cik divnieku šīs klases skolēni saņēmuši ceturkšņa laikā? 38

39 studentu no visiem pieciem Matemātikas fakultātes kursiem sastādīja pavisam 40 uzdevumus. Katrs no viņiem sastādīja vismaz vienu uzdevumu. Jebkuri divi studenti no viena kursa sastādīja vienādu skaitu uzdevumu. Jebkuri divi studenti no dažādiem kursiem sastādīja dažādu skaitu uzdevumu. Cik cilvēku sastādīja tieši vienu uzdevumu? 253. Imants un Valdis skolā saņēmuši katrs pa 26 atzīmēm. Imantam ir tik piecnieku, cik Valdim četrinieku, tik četrinieku, cik Valdim trijnieku, tik trijnieku, cik Valdim divnieku, un tik divnieku, cik Valdim piecnieku. Vai var būt, ka abiem zēniem vidējās atzīmes ir vienādas? 254. Pa apli stāv 10 cilvēki. Visiem kopā ir 10 rubli. Katram cilvēkam ir divas reizes mazāk naudas nekā viņa kaimiņam pa labi un kaimiņam pa kreisi kopā. Pierādīt, ka katram cilvēkam ir tieši viens rublis naudas Vai tabulā ar 3 rindām un 4 kolonnām var ierakstīt katrā rūtiņā pa ciparam tā, lai vienlaikus būtu spēkā šādi nosacījumi: a) vismaz vienā rūtiņā ieraksta 0; b) neviens cipars nav ierakstīts vairāk kā divas reizes; c) rindiņās ierakstīto ciparu summas ir vienādas; d) katra kolonnā ierakstīto ciparu summa ir lielāka nekā 36, bet vismaz vienā kolonnā ierakstīto ciparu summa ir lielāka nekā 21? 256. Atrast tādus astoņus skaitļus a, b, c, d, e, f, g un h, lai reizinājumi ab, gh, cd un ef butu pozitīvi, bet reizinājumi fg, bc, de un ha negatīvi. (Pietiek atrast vienu šādu skaitļu komplektu.) 257. Pozitīvā divciparu skaitlī neviens no cipariem nav 0. Pierādīt, ka, dalot šo skaitli ar tā ciparu reizinājumu, nevar iegūt, 11 mazāku dalījumu ka -ļt 25S. Četrciparu skaitli dala ar tā ciparu summu. Kāda var būt dalījuma vislielākā vērtība? 250. Atrast visus tādus naturālus skaitļus a un b, lai būtu spēkā nevienādība 9 0 < a- -6 < 100 un 0,9< ^-<0, dažādu naturālu skaitļu summa ir 100. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties 3 skaitļus, kuru summa ir mazāka nekā 50. Pieradīt, ka no tiem var izvēlēties 3 skaitļus, kuru summa nav mazāka kā No naturāla četrciparu skaitļa atņem tā ciparu summu, no rezultāta atkal atņem šī rezultāta ciparu summu, no iegūtā rezultāta tāpat, utt. Pierādīt, ka, 1000 reizes atkārtojot šis darbības, iegūst Trīsciparu skaitļa A ciparus uzraksta apgrieztā secībā un iegūst trīsciparu skaitli B. Kāda ir skaitļu A un B starpības vislielākā vērtība? Atrisināt šo uzdevumu, ja A un B ir n-ciparu skaitļi. Vi

40 263. No cipariem 0, 1, 2, 3,..., 9 izveidot piecus divciparu skaitļus, lai to reizinājums būtu vislielākais. Katru ciparu drīkst izmantot tieši vienu reizi Doti 17 naturāli skaitļi ait a%, a3,..., a17 un ir zināms, ka ala> a2a>= a sa<^=... ~ a lsaw= a i^ ^ auct'. Pierādīt, ka ai = a2 a3 =... = ai6 = ai Dots, ka a i> a 2 ^>a3^>a4 un bi>bļ >bļ~>bi. Pierādīt, ka aibi+a2b2+aib3-\-aiba>aib^+a2b3+a3b2-\-aibi Pirmo automašīnu piekrauj 21 minūtē, otro automašīnu 22 minūtēs, trešo 23 minūtēs, ceturto 24 minūtēs, piekto 25 minūtēs un sesto 26 minūtēs. Visas automašīnas pēc kravas ierodas vienlaikus, bet piekraut tās var tikai pa vienai. Par katras automašīnas dīkstāves 1 minūti jāmaksā sods 1 rublis. Kādā secībā jāpiekrauj automašīnas, lai kopējā soda nauda būtu vismazākā? 267. Dots, ka 10. Atrast izteiksmes 5x 4y-\-3z 2u-j-v visliejāko un vismazāko vērtību Dots, ka 0^ O i ^ a ^ a 3^ a 4^ a s^ a 6 un ai-\-a2-\-a3-\- -ļ-a4+ a s+ a B=; 1. Kāda var būt lielākā iespējamā a3 vērtība? 269. No pilsētas var izkļūt, vai nu ejot kājām, vai arī izsaucot taksometru, pagaidot to un pēc tam braucot taksometrā. Gājēja ātrums, taksometra ātrums un gaidīšanas laiks ir nemainīgi, pie tam taksometra ātrums ir lielāks nekā gājēja ātrums. Kāds ir īsākais laiks, kurā var nokļūt 6 km attālumā no pilsētas, ja 1 km attālumā var nokļūt ne ātrāk kā 10 minūtēs, 2 km attālumā ne ātrāk kā 15 minūtēs un 3 km attālumā ne ātrāk kā 17-~ minūtēs Uz skaitļu ass ar punktiem A, B, C, D, E, F attēloja skaitļus 0, 1, x, x, x2 un xi (nav dots, ka tieši šajā secībā). Pēc tam punktus pārbīdīja pa skaitļu asi tā, ka to secība nemainījās, bet_attālumi starp tiem mainījās (17. zīm.). Dots, ka punkts B sakumā attēloja skaitli x, bet punkts E sākumā attēloja skaitli x. Kādu skaitli sākumā attēloja katrs no atlikušajiem 4 punktiem? 271. Aija, Vita, Zigurds un Kaspars sēņoja. Aija salasīja visvairāk sēņu, Kaspars_ vismazāk. Vai ir iespējams, ka abi zēni kopa salasīja tikpat sēņu, cik meitenes? 272. Veikalā pārdod konfektes, kuru cena ir 3 kap. gabalā. Jānim ir vairāk naudas nekā Jurim, Andrim vairāk nekā Jā- A B C D E F -I h a*- v. 17. zīm.

41 nim, Aivaram vairāk nekā Andrim. Vai Aivars var nopirkt vairāk konfekšu nekā Juris? Vai Andris var nopirkt vairāk konfekšu nekā Juris? 273. Divi brāļi sacentās skriešanā 60 m distancē. Katra brāļa skrējiena ātrums ir nemainīgs. Kad vecākais brālis pirmajā skrējienā finišēja, jaunākajam brālim vēl bija jāskrien 4 metri. Otrajā skrējienā vecākais brālis nostājās 4 metrus aiz starta līnijas. Vai otrais skrējiens beigsies neizšķirti? 274. Andris aizmirsa mājās pulksteni. Autobusa pieturā viņš pamanīja stāvam četrus cilvēkus. Katram no tiem Andris pajautāja: «Sakiet, lūdzu., cik ir pulkstenis?» Atbildes bija šādas: A: «Bez 6 minūtēm trīs.» B: «Bez 3 minūtēm trīs.» C: «3 minūtes pāri trijiem.» D: «2 minūtes pāri trijiem.» Izrādījās, ka katram no šiem četriem cilvēkiem pulkstenis rāda nepareizu laiku. Pie tam viena pulksteņa rādītais laiks atšķīrās no patiesā laika par 2 minūtēm, otrā par 3 minūtēm, trešā par 4 minūtēm, ceturtā par 5 minūtēm {nav zināms, kurš pulkstenis kavējas, kurš steidzas). Cik īstenībā bija pulkstenis? 275. Dots, ka a, b, c, d, e, f, g ir nenegatīvi skaitļi un a-ļ- 1. Pierādīt, ka vismaz viena no summām a-ļ-6-f-c, 6-fc-ļ-rf, c-fd-fe, d-ļ-e+f, nav mazāka kā-^-. Vai var apgalvot, ka noteikti vismaz viena no šīm summām nav mazāka kā 0,34? 276. Caur ciemu iet šoseja, kuru ar mājām savieno ceļi (18. zīm,). Kurā vietā uz šosejas jāuzbūvē autobusa pietura, lai attālumu summa no visām mājām kopā līdz pieturai būtu vismazākā? 277. Atrast izteiksmes Ix 1 [ [x 3 ] -ļ- ļ x 5 ļ -ļ- x 7 ļ -ļ- ļx' 111 mazāko iespējamo vērtību Doti 8 l vielas A 75% šķīduma, 6 l tās pašas vielas 50% šķīduma un 20 l šīs vielas 25% šķīduma. Vai no dotajiem šķīdumiem var pagatavot 22 litrus vielas A 55% šķīduma? 279. Vienā pārgājienā zēnu bija 60% no dalībnieku skaita, otrā pārgājienā 75% (daži skolēni piedalījās abos pārgājienos). Gada noslēgumā visi, kas piedalījušies kaut vienā_pārgājienā, sapulcējās pie eglītes, citu cilvēku tur nebija. Pieradīt, ka zēnu bija ne mazāk kā meiteņu. Vai ir iespējams, ka pie eglītes zēnu bija tikpat, cik meiteņu? 4!

42 280. Kurš skaitlis lielāks vai.? ' 281. Ezerā ietek upe. Pie ietekas atrodas ciems A. Pa upi uz augšu atrodas ciems B, bet ezera krastā ir ciems C. Attālums pa upi starp ciemiem A un B ir vienāds ar attālumu pa ezeru starp ciemiem A un C. Zvejnieks brauc ar laivu no /1 uz C un pēc tam atpakaļ. Otrā dienā zvejnieks brauc ar laivu no A uz B un atpakaļ. Kurā dienā zvejnieks braucienam patērē vairāk laika? 282. Pierādīt nevienādību x&y-\-xy6'^ x syi-\-x2y5, ja x un ij ir pozitīvi skaitļi Atrast divus pēc kārtas sekojošus naturālus skaitļus, starp kuriem atrodas izteiksmes V42+}'43 vērtība. n- -J-*, ieradīt, ka 2 4 g g... ļ00< J Dots, ka skaitļi a, b, c apmierina vienādību a-f&-{-c=0. Pierādīt, ka ab-\-ac-\-bc^0. Kādā gadījumā ir spēkā vienādība ab-\-ac-\-bc 0? ) Vai izteiksmes jc2+ 3 vērtība var būt 1, ja x ir reāls skaitlis? 2) Vai izteiksmes x~-\-2x-\-5 vērtība var būt 3, ja x ir reāls skaitlis? 3) Vai izteiksmes 2x--\-2xy-\-y~ 2a'+6 vērtība var būt 4, ja x un y ir reāli skaitļi? 287. Gājēja ātrums ir 5 km/h, bet divvietīga motocikla ātrums 50 km/h. Pīkst punktā A atrodas trīs cilvēki un viens divvietīgs motocikls. Vai visi trīs cilvēki līdz pīkst var nokļūt punktā B, kas atrodas 60 km attālumā no punkta A, izmantojot tikai šo motociklu?

43 5. nodaļa KLASISKĀS ĢEOMETRIJAS UZDEVUMI 288. Trijstūra divu malu garumi ir 7 cm un 13 cm, bet trešās malas garums centimetros ir naturāls skaitlis. Cik gara var būt trešā mala, ja tās garums un visu malu garumu summa (centimetros) ir pirmskaitļi? 289. Doti 9 nogriežņi. Neviens no tiem nav īsāks kā 1 cm un neviens nav garāks kā 30 cm. Pierādīt, ka eksistē trijstūris,, kura malas ir vienādas ar trim no dotajiem nogriežņiem Attālumi starp 5 pilsētām A, B, C, D un E ir šādk AB = 3 km, B C = 6 km, A E=12 km, CD = 2 km, DE 1 km. Aprēķināt attālumu no B līdz D Dots trijstūris ABC un punkts 0 tā iekšpusē. Pierādīt, ka summa OA-\-OB-\-OC ir lielāka nekā puse no trijstūra ABC perimetra Pierādīt, ka izliektā četrstūri ABCD ir spēkā nevienādība A C + B D > ^-{A B + B C + CD+DA) Pierādīt, ka trijstūra mediānu garumu summa ir lielāka 3 nekā -Ķ-p un mazaka neka p (p trijstūra perimetrs) Pierādīt, ka izliekta piecstūra diagonāļu garumu summa ir lielāka nekā šī piecstūra perimetrs Dots daudzstūris, kura perimetrs ir p. Pierādīt, ka no> daudzstūra malām var sastādīt divus nogriežņus, kuru garumu 43

44 starpība nepārsniedz-^-. Katrai malai jābūt izmantotai tieši viena nogrieznī Pierādīt, ka no brīvi izraudzīta četrstūra malām var konstruēt trapeces vai paralelograma kontūru Rajonā ir 12 ciemi. Attālumi starp tiem ir dažādi. Katru ciemu ar tuvāko ciemu savieno taisns ceļš, citu ceļu rajonā nav. Pionieri nolēma katrā ceļu krustojumā iestādīt ozolu. Vai ir iespējams, ka kāds no ozoliem tiks iestādīts ārpus ciema? 298. Cik malu var būt izliektam daudzstūrim, kura visas diagonāles ir vienāda garuma? 299. Divu trijstūru katras malas garums ir 1 m. Trijstūri novietoti tā, ka to kontūras krustojas 6 punktos. Pierādīt, ka trijstūru kopējās daļas kontūras garums mazāks nekā 3 m. Vai var apgalvot, ka tas noteikti mazāks nekā 2,9 m? 300. Noslēgta ceļa garums ir 1 km. Pierādīt, ka var tā uzstādīt prožektoru, kas apgaismo apkārtni 250 m rādiusā, lai viss ceļš būtu apgaismots Punkts E atrodas uz trapeces ABCD pamata AD. Ir zināms, ka trijstūru ABE, BEC un CED perimetri ir vienādi. Pierādīt, ka punkts E ir malas AD viduspunkts Pulksteņa garākais rādītājs ir 2 reizes garāks nekā īsākais rādītājs. Cik reižu diennaktī abu rādītāju galapunkti un ciparnīcas centrs atrodas taisnleņķa trijstūra virsotnēs? 303. Trijstūra mediānu garumu summa ir 3. Noteikt vislielāko iespējamo šī trijstūra augstumu garumu summu Trijstūrī ABC katrs no augstumiem, kas novilkti no virsotnēm A un B, nav īsāks par malu, pret kuru tas novilkts. Aprēķināt trijstūra ABC leņķus Punkts B atrodas trijstūra ADC iekšpusē. Pierādīt, ka leņķis ABC lielāks nekā leņķis ADC Pierādīt, ka leņķu summa pie piecstaru zvaigznes virsotnēm Mļ, Al2, Mt, M4, M 5 ir 180 (19. zīm.) Izliektā četrstūri ABCD ievilkts riņķis ar centru O. Pierādīt, ka <%.AOB-\-< COD 180 (20. zīm.). 44

45 308. Trijstūrim ABC konstruētas trīs dažādas riņķa līnijas, katra no tām pieskaras vienai trijstūra malai un divu pārējo malu pagarinājumiem. Pierādīt, ka riņķa līniju centri 0 1, 0 2 un 0 3 ir šaurleņķa trijstūru visotnes Izliekts LO-stūris pilnīgi jāpārklāj ar trijstūriem, kas neiziet ārpus 10-stūra. Paši trijstūri savā starpā var pārklāties. Noteikt, a) kā to izdarīt ar 8 trijstūriem; b) kāds ir mazākais trijstūru skaits, kas nepieciešams, lai šādu pārklāšanu varētu izdarīt Pierādīt, ka plaknē nevar novietot četrus punktus A, B, un D tā, lai jebkuri trīs no tiem neatrastos uz vienas taisnes un lai katrs trijstūris, kura virsotnes atrodas trijos no šiem punktiem, būtu šaurleņķa trijstūris Cik lieli ir vienādsānu trapeces leņķi, ja diagonāle sadala šo trapeci divos vienādsānu trijstūros? 312. Dots trijstūris ABC. Ir zināms, ka BD = -^-CD, < CBA = =45 un < CZ)/ļ=60 (21. zīm.). Aprēķināt leņķi ACB Riņķa rādiuss ir 1. Riņķa iekšpusē atrodas 200 punkti, jebkuri trīs no tiem neatrodas uz vienas taisnes. Pierādīt, ka no šiem 200 punktiem var izvēlēties 3 punktus tā, ka to veidotā trijstūra laukums nepārsniedz Izliektā četrstūrī ABCD tā iekšējo leņķu A, B un C bisektrises krustojas vienā punktā O. Pierādīt, ka arī leņķa D bisektrise iet caur punktu O Punkti A, B, C un D atrodas vienā plaknē. Nogriežņu AB, BC un CD vidusperpendikuli krustojas vienā punktā O. Pierādīt, ka arī nogriežņa AD vidusperpendikuls iet caur punktu O Trijstūrī ABC ir spēkā vienādība BĶ ĶC un AO OK (22. zīm.). Aprēķināt nogriežņu AD un DC garumu attiecību ) Uz divām trijstūra malām kā uz diametriem konstruētas riņķa līnijas. Pierādīt, ka nav neviena trijstūra punkta, kas atrastos ārpus abām riņķa līnijām. C & 22. ztm. 45

46 2) Uz katras četrstūra malas kā uz diametra konstruētas riņķa līnijas. Pierādīt, ka nav neviena četrstūra punkta, kas atrastosārpus visām četrām riņķa līnijām. 3) Vai līdzīgu apgalvojumu var pierādīt par jebkuru piecstūri? 318. Izliektā piecstūrī novilktas visas diagonāles. Kurus 7 leņķus starp diagonālēm vai starp diagonāli un malām var atzīmēt, lai no šo leņķu vienādības varētu secināt, ka piecstūris ir regulārs? 319. Plaknē doti divi kvadrāti. Pierādīt, ka var novilkt taisni,, kas dala katra kvadrāta laukumu uz pusēm Kā novilkt taisni, lai tā sadalītu iesvītroto laukumu uz pusēm (23. zīm.)? Visi riņķi ir kongruenti, to centri atrodasrūtiņu virsotnēs Ka zināms, kvadrātam ir tieši viens simetrijas centrs tā diagonāļu krustpunkts. Vai varat nosaukt ģeometrisku figūru* kurai ir vairāk nekā viens simetrijas centrs? Vai eksistē ģeometriska figūra, kurai ir tieši divi (un ne vairāk) simetrijas centri? 322. Kvadrāta ABCD iekšpusē izraudzīts punkts M. Pierādīt, ka trijstūru AM B, BMC, CMD un DMA mediānu krustpunkti ir kāda kvadrāta virsotnes Figūru F pagriežot ap centru O par 7 leņķi, iegūst atkal šo pašu figūru F. Pierādīt, ka, pagriežot figūru F ap centru O par 1 lielu leņķi, arī iegūst šo pašu figūru Vienas rūtiņas nokrāsošanai jāizmanto 1 g krāsas. Uzzīmēt visus dažādos taisnstūrus, kuru malas iet pa rūtiņu līnijām un kuru nokrāsošanai jāizmanto tikpat daudz krāsas, cik četrstūra ABDC nokrāsošanai (24. zīm.) Dots četrstūris ABCD, kura divas malas BC un AD ir paralēlas. Pierādīt, ka trijstūru ABO un COD laukumi ir vienādi (O četrstūra ABCD diagonāļu krustpunkts) Regulārā sešstūrī ABCDEF ir spēkā vienādības A K = K B un BL LC (25. zīm.). Pierādīt, ka iesvītroto figūru laukumi ir vienādi zīm.

47 327. Dots riņķis, kura rādiuss ir A K B i?. So riņķi krusto deviņi riņķi, kuru rādiusi ir, pie tam šie deviņi riņķi savā starpā nekrustojas. Pierādīt, _ ka mazo riņķu ārējo daļu laukumu summa vienāda ar to lielā riņķa laukuma daļu, kura nepieder pie mazajiem riņķiem I<urš no iekrāsotajiem lauku- E D miem ir lielāks, ja 26. zīmējumā attēlo- 25 zīm tie kvadrāti ir kongruenti ( 0 centrs)? 329. Četrstūrī ABCD novilkti nogriežņi, kas savieno pretējo malu viduspunktus (27. zīm.). Pierādīt, ka iesvītroto laukumu summa ir puse no četrstūra ABCD laukuma Izliekta četrstūra ABCD laukums ir S. Četrstūra iekšpusē atzīmēts punkts AI Punkti P, Q, R un T ir simetriski punktam M attiecībā pret ABCD matu viduspunktiem. Aprēķināt četrstūra PQRT laukumu Izliekta četrstūra diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras. Pierādīt, ka četrstūra abas viduslīnijas ir vienādas. (Par četrstūra viduslīniju sauc nogriezni, kas savieno tā pretējo malu viduspunktus.) 332. Trijstūra ABC malu garumi ir 6 cm, 8 cm un 10 cm. Vai tā iekšpusē var atrast punktu, kura attālumi līdz visām trijstūra malām ir mazāki par 2 cm? 333. Četrstūrī ABCD malas BC un AD sadalītas trijās vienādās daļās un dalījuma punkti pa pāriem savienoti tā, ka četrstūris ABCD tiek sadalīts trijos četrstūrīšos. Pierādīt, ka vidējā četrstūriša laukums ir viena trešā daļa no ABCD laukuma Kādā trijstūrī neviena mala nav garāka par 1. Pierādīt, ka šī trijstūra laukums nav lielāks par tāda trijstūra laukumu, kura visas malas ir Trijstūra laukums ir 2 cm2, tā malu garumi a, b, c apmierina nevienādību Pierādīt, ka b~^2 cm. 26. zīm. 47

48 27. zīm. 28. iīm Četrstūra diagonāļu garumi ir 8 un 10 cm. Kāds ir lielākais iespējamais šī četrstūra laukums? 337. Aplūkosim visus četrstūrus, kuru laukums ir 1 m2. Katram no šiem četrstūriem ir 2 diagonāles. Aplūkosim garako no tām (ja abu diagonāļu garumi vienādi, tad vienu no tam). Kādiem četrstūriem šī aplūkojamā diagonāle ir visīsākā? 338. Izliekts četrstūris ar diagonālēm sadalīts četros trijstūros. Trijiem no šiem trijstūriem laukumi ir 1 cm2, 2 cm2 un 3 cm2. Kāds var būt ceturtā trijstūra laukums? 339. Trapeces ABCD diagonāles AC un BD krustojas punktā O; trapeces pamati ir AD un BC, Dots, ka trijstūra AOB laukums ir 1 cm2. 1) Aprēķināt trijstūra COD laukumu. 2) Aprēķināt trijstūra AOD laukumu, ja papildus vēl dots, ka trijstūra BOC laukums ir 2 cm Paralelogramā ABCD caur diagonāles AC brīvi izraudzītu punktu P paralēli paralelograma malām novilktas taisnes MN un KL. Pierādīt, ka trijstūru CMN un CĶL laukumi ir vienādi Dots, ka ABCD ir trapece, bet 0 tās viduslīnijas viduspunkts. Caur punktu 0 novilktā taisne krusto AD punktā L un CD punktā K (28. zīm.). Kuras daļas laukums lielāks ABCĶL vai LĶD? 342. Koordinātu plaknē atzīmēti punkti j4(0;0), B(0;1), C(0;2), >(1;0), E{ 1; 1), F{ 1;2), G(2;0), H(2; 1), 7(2;2). Katram nogrieznim, kas savieno divus no šiem punktiem, konstruēts viduspunkts. Cik ir dažādu viduspunktu? 343. Taisnstūra paralēlskaldnis, kura izmēri ir 5X6X8, salikts no baltiem kubiņiem, kuru izmēri ir lxlxl. Paralēlskaldņa ārpuse nokrāsota melnā krāsā. Cik ir tādu kubiņu, kuriem vismaz viena skaldne nokrāsota melna? 344. Trapeces sānu mala sadalīta 3 vienādās daļās. No dalījuma punktiem līdz otrajai sānu malai novilkti nogriežņi, kas 48

49 paralēli trapeces pamatiem; šo nogriežņu garumi ir 6 cm un 8cnu Atrast trapeces pamatu garumu Pierādīt, ka trijstūrī pret garāko malu atrodas īsākais, augstums un īsākā mediāna To divu leņķu summa, kuri trapecē atrodas pie garākā pamata, ir 90. Pierādīt, ka nogrieznis, kas savieno pamatu viduspunktus, ir tikpat garš kā nogrieznis, kas savieno diagonāļu viduspunktus Trijstūrim ABC var konstruēt riņķa līniju, kas pieskaras visām šī trijstūra malām to viduspunktos. Pierādīt, ka ABC ir vienādmalu trijstūris Par trijstūrim pievilktu riņķa līniju sauc tādu riņķa.' līniju, kas pieskaras vienai trijstūra malai un divu malu pagarinājumiem. Konstruēsim nogriezni, kas savieno trijstūrī ievilktās riņķa līnijas centru ar kādas tam pievilktās riņķa līnijas centru. Pierādīt, ka trijstūrim apvilktā riņķa līnija dala šo nogriezni divās vienādās daļās Vai var būt daudzstūris ar 15 diagonālēm? 350. Cik virsotņu ir izliektam daudzstūrim, kuram diagonāļu' ir 14 reizes vairāk nekā malu? 351. Trīs vienāda rādiusa riņķa līnijas, kuru centri ir Oi, Oī,. Oļ, krustojas vienā punktā A. Ar Ait Ā2, A 3 apzīmēti pārējie šo riņķa līniju krustpunkti. Pierādīt, ka trijstūri 0 \0 20 z un AļA 2A 3 ir vienādi Vienā riņķī ievilkti regulārs 10-stūris un regulārs 100- stūris. Kuram no tiem visu malu kvadrātu summa ir lielāka? 353. Kvadrāts sagriezts taisnstūros. Pierādīt, ka ap šiem taisnstūriem apvilkto riņķu laukumu summa nav mazāka kā kvadrātam apvilktā riņķa laukums Dots šaha galdiņš, kura lauciņa malas garums ir 1. Uzzīmēt riņķa līniju ar lielāko iespējamo rādiusu, kura iet tikai pa melnajiem lauciņiem (ieskaitot to virsotnes) cmX70cm liela papīra lapa ar taisnēm sadalīta kvadrātos, kuru izmēri ir 7cmX7cm. Uz šīs lapas uz labu laimi uzmet apaļu kartona ripiņu, kuras rādiuss ir i cm. So darbību atkārto 100 reižu. Novērtēt aptuveni, cik reižu ripina nokrita, nešķērsojot nevienu līniju? Pamatot iegūto novērtējumu un pārbaudīt to praktiski Regulārs 4 -stūris sagriezts paralelogramos. Pierādīt, ka starp tiem ir ne mazāk kā k taisnstūru.

50 6. nodaļa KONFIGURĀCIJAS UN KOMBINATORISKĀ ĢEOMETRIJA Ar vārdu «konfigurācija» saprot galīgu skaitu punktu, taišņu vai citu figūru savstarpējo izvietojumu plaknē vai telpā. Kā konfigurāciju piemērus var minēt vienādmalu trijstūra virsotnēs novietoto triju punktu sistēmu, punktu sistēmas, kurām ir simetrijas centrs vai simetrijas ass u. tml. Kombinatoriskā ģeometrija pēta dažādu figūru optimālās konfigurācijas, t. i.r konfigurācijas, kas kaut kādā nozīmē ir vispiemērotākās vai visizdevīgākās. Tipiskākie kombinatoriskās ģeometrijas uzdevumi parasti ir saistīti ar noteikta veida figūru skaita novērtēšanu. Tā, piemēram, raksturīgs ir šāds uzdevums: kāds ir lielākais skaits riņķu, kurus plaknē var novietot tā, lai katriem diviem riņķiem būtu viens un tikai viens kopējs punkts. Analogi var formulēt uzdevumu par lodēm. Daļa kombinatoriskās ģeometrijas uzdevumu ir saistīti ar figūru pārklāšanu ar citām speciāli izraudzītām figūrām, ar figūru sadalīšanu noteikta veida figūrās, ar figūru izkrāsošanas dažādiem variantiem u. tml. UZDEVUM I 357. Kvadrātā, kura izmēri ir 4X4 rūtiņas, iekrāsot 10 rūtiņas tā, lai iekrāsotajai figūrai būtu simetrijas centrs. Vai iespējams iekrāsot 1 1 rūtiņas tā, lai iekrāsotajai figūrai būtu simetrijas 50

51 centrs? Ja rūtiņā tiek iekrāsots kaut viens punkts, jāfekrāso visa rūtiņa m X l m liels laukums sadalīts 1 cmxl cm lielos kvadrātiņos. Katrs no tiem nokrāsots baltā, melnā, sarkanā vai zaļā krāsā, pie tam nekādiem diviem vienā krāsā nokrāsotiem kvadrātiņiem nav ne kopējas malas, ne kopējas virsotnes. Cik ir balto kvadrātiņu? 359. Kvadrāts sadalīts 1 0x 1 0 rūtiņās. Iezīmēt dažās rūtiņās pa krustiņam tā, lai katrā kvadrātā, kas satur 3X3 rūtiņas, būtu iezīmēts tieši viens krustiņš Vai kvadrātā, kas sadalīts 8X 8 rūtiņās, var iekrāsot 32 baltas un 32 melnas rūtiņas tā, lai katrā rindā un katrā kolonnā vismaz 6 rūtiņas būtu vienā krāsā? 361. Vai kvadrātā, kura izmēri ir 8x 8 rūtiņas, var iekrāsot 16 rūtiņas tā, lai katrai no neiekrāsotajām rūtiņām būtu kopīga mala ar vismaz vienu no iekrāsotajām rūtiņām? 362. No 9 vienādiem kvadrātiņiem izveidots viens liels kvadrāts. Katra no mazo kvadrātiņu 16 virsotnēm jānokrāso melnā vai baltā krāsā tā, lai nekādas trīs vienā krāsā nokrāsotas virsotnes neatrastos uz vienas taisnes. Vai to var izdarīt? Vai to var izdarīt, ja baltā krāsā jānokrāso tieši 7 virsotnes? 363. Kvadrāts sadalīts 5x5 rūtiņās. Kāds ir lielākais rūtiņu skaits, kuras var iekrāsot, lai nevienā kvadrātā 2X2 nebūtu triju iekrāsotu rūtiņu? 364. Kvadrāts sadalīts 4X4 rūtiņās. Nokrāsot tajā 7 rūtiņas zilā krāsā tā, lai būtu spēkā nosacījums: lai kādas 2 kolonnas un 2 rindas pārkrāsotu melnā krāsā, noteikti paliks vismaz viena neaizkrāsota zila rūtiņa Kvadrāts sadalīts 4X4 rūtiņās. Vai var katrā rūtiņā ierakstīt pa veselam (ne noteikti pozitīvam) skaitlim tā, a) lai ne visi ierakstītie skaitli būtu nulles; b) lai katrā horizontālē, vertikālē un diagonālē ierakstīto skaitļu summa būtu vienāda ar nulli? Piezīme. Par diagonālēm sauksim ne tikai abas «lielās» diagonāles, kas katra sastāv no 4 rūtiņām, bet arī tām «paralēlās» rūtiņu virknes, kas sastāv no 3, 2 vai I rūtiņas (stūra rūtiņas), tātad šajā uzdevumā minētajai tabulai ir 14 diagonāles Taisnstūrveida tabula satur vismaz 2 rindas un vismaz 2 kolonnas. Katrā tās rūtiņā ierakstīts skaitlis +1 vai 1; turklāt vismaz divās rūtiņās ierakstīts + 1 un vismaz divās rūtiņās ierakstīts 1. Pierādīt, ka var atrast tādas divas kolonnas un divas rindas, ka to četru skaitļu summa, kuri atrodas šo kolonnu un rindu krustpunktos, ir vienāda ar Kvadrāts sadalīts 5 x 5 kvadrātiskās rūtiņās. Dažas rūtiņu virsotnes atzīmētas (29. zīm.). Cik ir tādu kvadrātu, kuru malas ir paralēlas kvadrāta malām un visas virsotnes ir atzīmētas? 368. Kvadrāts sadalīts 2X2 kvadrātiskās rūtiņās. Atzīmēt piecas no deviņām rūtiņu virsotnēm tā, lai iegūtajai punktu 5i

52 i _ T T 4 < i 29. zīm. sistēmai būtu simetrijas ass. Atrast iespējami daudz dažādu atrisinājumu. (Atrisinājumi, kas iegūstami cits no cita, pagriežot zīmējumu, tiek uzskatīti par vienādiem.) 369. Kvadrāts sadalīts 2 x 2 kvadrātiskās rūtiņās. Uzzīmēt 5 dažādus septiņstūrus tā, lai katram no tiem visas virsotnes atrastos rūtiņu virsotnēs Kvadrāts sadalīts 5x5 kvadrātiskās rūtiņās. Konstruēt 32-stūri, kura virsotnes atrodas rūtiņu virsotnēs, bet neviena mala neiet pa lielā kvadrāta malu Kvadrāts sadalīts 3X3 kvadrātiskās rūtiņās. Neatraujot zīmuli no papīra, novilkt lauztu līniju ar 6 posmiem tā, lai šī līnija ietu caur visām 16 rūtiņu virsotnēm Kvadrāts sadalīts 5X5 kvadrātiskās rūtiņās. Kāds ir mazākais posmu skaits lauztai līnijai, kas iet caur visām 36 rūtiņu virsotnēm? Lauztās līnijas posmus drīkst novilkt tikai paralēli kvadrāta malām Vai var novietot plaknē 6 punktus tā, lai, novelkot taisnes nogriežņus, būtu iespējams katru no tiem savienot tieši ar 4 citiem punldiem, pie tam tā, lai novilktajiem nogriežņiem nebūtu citu kopīgu punktu kā 6 dotie punkti? 374. Vai var novietot plaknē 5 taisnes tā, lai katras divas no tām krustotos un pavisam būtu tieši 6 krustpunkti? 375. Cik krustpunktu var būt četrām taisnēm, ja tās atrodas vienā plaknē? Uzrādīt visas iespējas un pierādīt, ka citu iespēju nav Kāds ir lielākais iespējamais krustpunktu skaits slēgtai lauztai līnijai, kas sastāv no 7 posmiem? 377. Atrast lielāko punktu skaitu plaknē tā, lai katri trīs no tiem būtu taisnleņķa trijstūra virsotnes. 373, Vai eksistē galīga punktu kopa, kuru pagriežot ap centru 0 par 43 leņķi iegūst atkal to pašu kopu? 379. Figūra sastāv no 3 dažādām riņķa līnijām. Cik simetrijas asu figūrai var būt? Uzrādīt visas iespējas, katru no tām ilustrējot ar zīmējumu Kopas M elementi ir plaknes punkti, to skaits ir galīgs. Punktu 0 sauc par kopas M «gandrīz simetrijas centru», ja no kopas M var izslēgt vienu punktu tā, lai visiem atlikušajiem punktiem punkts 0 būtu simetrijas centrs parastajā nozīmē. Cik «gandrīz simetrijas centru» var būt galīgam punktu skaitam plaknē? 381. Astoņi punkti izvietoti uz riņķa līnijas tā, ka tie sadala riņķa līniju vienādās daļās. Savienot punktus pa pāriem ar nogriežņiem tā, lai visu nogriežņu garumi būtu dažādi.

53 382. Dzīvoklis izvietots vienā stāvā. Starp katrām divām blakus telpām ir ne vairāk kā vienas durvis, un no katras telpas ne vairāk kā vienas durvis ved ārā no dzīvokļa. Pavisam dzīvoklī ir 12 durvis. Pierādīt, ka šāds dzīvoklis ar 4 telpām nav iespējams. Uzzīmēt tāda dzīvokļa plānu, kurā ir 5 taisnstūrveida telpas un kurš atbilst minētajiem nosacījumiem Pierādīt, ka plaknē nevar novietot vairāk kā četrus izliektus daudzstūrus tā, lai katriem diviem daudzstūriem būtu kopēja mala Plaknē novietoti vairāki vienāda rādiusa riņķi. Daži riņķi pieskaras cits citam, bet nekādi divi riņķi nekrustojas. Vai šos riņķus noteikti var izkrāsot ar 3 krāsām tā, lai katrs riņķis būtu nokrāsots vienā krāsā un divi vienādi nokrāsoti riņķi nesaskartos? 385. Kvadrāts sadalīts nxti vienādās kvadrātiskās rūtiņās, katras rūtiņas malas garums ir 1. Iezīmēt kvadrātā vairākus trijstūrus tā, a) lai katra trijstūra visas virsotnes atrastos rūtiņu virsotnēs kvadrāta iekšpusē; b) lai dažādiem trijstūriem nebūtu kopīgu punktu; c) lai nebūtu iespējams pievienot nevienu trijstūri tā, lai abas iepriekšējās īpašības saglabātos; fi 2 d) lai visu uzzīmēto trijsturu laukumu summa butu ^ 388. Cik malu var būt divu izliektu četrstūru šķēlumam? Uzrādīt visas iespējas un pierādīt, ka citu iespēju nav Cik daļās plakni var sadalīt divu taisnstūru kontūras? Uzrādīt visus iespējamos variantus Cik daļās plakni var sadalīt 3 dažādas riņķa līnijas? Atrast visas iespējas un pierādīt, ka citu iespēju nav Kāds ir, vislielākais skaits daļu, kurās plakni sadala 1 0 taisnes? 390. Aplūkosim taisnstūri, kas sastāv no 63X37 kvadrātiskām rūtiņām. No taisnstūra kreisās augšējās virsotnes A uz labo apakšējo virsotni B novilkta diagonāle. Ir zināms, ka tā neiet caur citām rūtiņu virsotnēm, izņemot A un B. Cik rūtiņas šķērso šis nogrieznis? 391. Uz rūtiņu papīra uzzīmēts taisnstūris, kura izmēri ir 10X15 rūtiņas un malas iet pa rūtiņu līnijām. Vai var uzzīmēt tādu taisnes nogriezni, kurš pilnīgi atrodas taisnstūra iekšpusē, neiet caur rūtiņu virsotnēm un kuram ir kopēji punkti a) ar 25 rūtiņām; b) ar 24 rūtiņām? 392. Kvadrāts sadalīts 6X 6 kvadrātiskās rūtiņās. Vai var novilkt 5 taisnes tā, lai katru rūtiņu krustotu vismaz viena no šīm taisnēm? (Taisne, kas iet pa rūtiņas malu vai pieskaras tās virsotnei, šo rūtiņu nekrusto.) 393. Izliektā četrstūrī visu malu un diagonāļu garumi mazāki nekā 1 m. Pierādīt, ka četrstūri var ievietot riņķī, kura rādiuss ir 0,9 m. 53

54 394. Dota 13 cm gara balta aukliņa. Uz tās ar sarkanu krāsu jāatzīmē 4 punkti tā, lai ar aukliņu varētu atlikt jebkuru veselu skaitu centimetru no 1 līdz 12 un katru no šiem attālumiem varētu atlikt, pieliekot aukliņu tikai vienu reizi. Vai tas ir iespējams? 395. Sagriezt 30. zīmējumā attēloto figūru 4 daļās tā, lai no tām varētu salikt iesvītroto figūru, kas attēlota 31. zīmējumā Vai uz apaļa šķīvja, kura rādiuss ir 10 cm, var novietot taisnstūrveida torti, kuras izmēri ir 8cmX28cm, ja torte iepriekš tiek sadalīta ar vienu taisni divās daļās? Apgriezt tortes gabalus ar virskārtu uz leju nedrīkst Kvadrāts jāsagriež trijstūros tā, lai nevienā no tiem neviens leņķis nebūtu taisns. Kāds ir mazākais trijstūru skaits? 398. Vai kvadrātu var sagriezt divos vienādos a) desmitstūros; b) vienpadsmitstūros? 399. Dots kvadrāts. Kā to sagriezt 6, 7, 8 kvadrātos? Daži no griežot iegūtajiem kvadrātiem drīkst būt savā starpā vienādi Dace izcepa torti, kurai ir trijstūra forma, bet Jānis šai tortei pagatavoja kasti. Jānis kļūdījās un izgatavoja kasti, kuras forma bija tortes formas spoguļattēls. Kā sagriezt torti gabalos, lai tos visus, attiecīgi izvietojot, varētu ielikt pagatavotajā kastē (likt tortes gabalus kastē otrādi nedrīkst)? 401. Lielu lauku šķērso taisns ceļš. Ceļam katrā pusē ieraktas divas vertikālas asis, un uz katras ass uzmontēts prožektors, kas apgaismo taisnu leņķi (32. zīm.). v. Pierādīt, ka neatkarīgi no tā, no augšas0 kurās vietās ieraktas asis, prožektorus var pagriezt tā, lai viss lauks būtu apgaismots. (Pieņemt, ka nekādas ēnas nerodas.) 402. Plaknē atzīmēts punkts A. Vai var tā novietot plaknē a) 5 riņķus; b) 4 riņķus, kas nepārsedz 32. zīm. punktu A, lai katram staram, kas 54

55 sākas punktā A, būtu kopēji punkti vismaz ar diviem riņķiem? Riņķiem nedrīkst būt kopēju punktu Ja kvadrātiskas istabas vidu novieto sveci, tā pilnīgi apgaismo visas šīs istabas sienas. Uzzīmēt tādu istab u, kurai būtu 15 sienas un visu sienu pilnīgai apgaismošanai būtu nepieciešamas vismaz 5 sveces Regulāra deviņstūra katra vir- 33 ztm sotne nokrāsota vai nu baltā, vai melnā krāsā. Pierādīt, ka var atrast vienādsānu trijstūri, kura visas virsotnes nokrāsotas vienā krāsā Vai iespējams plaknē novietot 7 punktus tā, lai starp katriem četriem no tiem varētu atrast 3 tādus punktus, kas atrodas taisnleņķa trijstūra virsotnēs? 406. Uzzīmēt visas tādas figūras, kuras sastāv no sešiem kvadrātiņiem (malas garums 1 cm) un kuras salokot var iegūt kuba virsmu ar šķautnes garumu 1 cm (viena figūra, kurai piemīt šāda īpašība, parādīta 33. zīmējumā) Vai kubu, kura izmēri ir lx lx l, var ietīt papīra gabalā, kura izmēri ir 1X7? Papīru nedrīkst ieplēst vai sadalīt vairākos gabalos Kuras no 34. zīmējumā attēlotajām figūrām salokot, var iegūt kuba virsmu? Kuba šķautnes garums vienāds ar kvadrāta malas garumu Kuba katra skaldne jāaplīmē ar diviem vienādiem taisnleņķa trijstūriem (viens balts, otrs melns trijstūris). Vai ir iespējams šos trijstūrus izvietot tā, lai katrā kuba virsotnē visu balto leņķu summa būtu vienāda ar visu melno leņķu summu? 410. Cik simetrijas asu ir kubam? Norādīt visas Vai var novietot piecus zīmuļus tā, lai katrs no tiem pieskartos visiem pārējiem zīmuļiem? Bet sešus zīmuļus? Bet septiņus? Zīmuļi nav noasināti Novietot uz horizontāla galda četras vienādas pudelītes tā, lai attālumi starp to kakliņiem būtu vienādi. (Par attālumu starp divu pudelīšu kakliņiem sauc attālumu starp to atvērumu centriem.) 34. xtm. 55

56 413. Cik dažādos sakārtojumos 3 dzeltenas un 7 zaļas lodītesvar savērt uz stieples gredzena? Ja kāds sakārtojums ir cita sakārtojuma spoguļattēls vai arī ja to var iegūt no cita sakārtojuma, pagriežot, tad šos sakārtojumus par dažādiem neuzskata Katras divas no 7 pilsētām A, B, C, D, E, F, G savienotas ar ceļu. Vai uz ceļiem var izvēlēties vienvirziena kustību tā, lai no pilsētas A varētu aizbraukt vismaz 3 virzienos, no B vismaz 2 virzienos, no C vismaz 4 virzienos, no D vismaz 3 virzienos, no E vismaz 4 virzienos, no F vismaz 2 virzienos un no C vismaz 2 virzienos? 415. Uz katras no kuba šķautnēm jāizraugās virziens tā, lai ne no vienas kuba virsotnes nevarētu aiziet uz pretējo virsotni, ejot tikai pa šķautnēm izraudzītajos virzienos. Kā to izdarīt? 416. Vai ir iespējams 36. zīmējumā attēlotos 5 punktus apzīmēt ar burtiem A, B, C, D, E tā, lai bultiņas ietu no viena burta pie otra tieši tāpat kā 35. zīmējumā? 417. Uz šaha galdiņa N x N ir N2 bandinieku. Vai ir iespējams tos samainīt vietām tā, lai jebkuri divi bandinieki, kas sākumā atradās viens no otra zirga gājiena attālumā, tagad atrastos viens no otra karaļa gājiena attālumā (t. ī., atrastos blakus)? Aplūkot divus gadījumus: a) N = 3; b) N Andris, Jānis un Ēvalds vairākas reizes sacentās 100 m skrējienā. Jānis Ēvaldu uzvarēja vairāk reižu, nekā viņam zaudēja; Ēvalds savukārt ari uzvarēja Andri vairāk reižu, nekā viņam zaudēja. Vai ir iespējams, ka Andris ir vairāk reižu uzvarējis Jāni, nekā viņam zaudējis? 419. Izliekta četrstūra iekšpusē atrodas punkts. Vai attālumu summa no šī punkta līdz četrstūra virsotnēm var būt lielāka par četrstūra perimetru? 420. Vai kvadrātā, kura izmēri ir 1 cmxl cm, var ievilkt vairākus riņķus bez kopējiem punktiem tā, lai šo riņķu rādiusu summa būtu vismaz 1 m? 421. Vai eksistē tāds septiņpadsmitstūris, ka uz katras taisnes, uz kuras atrodas viena tā mala, atrodas vēl cita tā mala? B 35. zīm. 36. zīm. 56

57 (Mala atrodas uz taisnes, ja visi šis malas punkti ir ari taisnes punkti.) 422. Vai eksistē deviņciparu skaitlis, kura pierakstā katrs no cipariem 1, 2, 3,..., 8, 9 ir izmantots vienu reizi un kuram piemīt šāda īpašība: izsvītrojot jebkurus piecus šī skaitļa ciparus, atlikušie cipari nav izvietoti ne augošā, ne dilstošā kārtībā? 423. Klasē ir 25 dažāda auguma skolēni. Skolēni sastājās 5 rindās un 5 kolonnās. Katrā rindā atrada garāko skolēnu, bet no šiem pieciem visīsāko skolēnu (to apzīmē ar A). Pēc tam katrā kolonnā atrada īsāko skolēnu, bet no šiem pieciem visgarāko skolēnu (to apzīmē ar B). Vai ir iespējams, ka A uri B ir viens un tas pats skolēns?

58 7. nodaļa ALGORITMISKIE UZDEVUMI A r vārdu algoritms m atem ātikā saprot norādījum u (instrukciju sarakstu), kādas darbības un kādā secībā jā izp ild a, lai no dotajiem lielumiem iegūtu uzdevum a atrisinājum u. Tā piemēram, daudzciparu naturālo skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas tra d ic io nālie paņēm ieni, pierakstot skaitļus citu zem cita, ir skaitļu summas un reizinājum a aprēķināšanas a lg oritm i. A lg oritm u s m atem ātikā ļo ti bieži uzdod ar form ulām. Sevišķi plaši a lg o ritm i tiek lietoti, risin ot uzdevum us ar e le k tro niskajiem skaitļotājiem. A trisinā t uzdevum u ar elektronisko skaitļotāju var tikai tad, ja ir zināms šī uzdevuma atrisināšanas algoritm s, un tas ir ievadīts skaitļotājā tam «saprotamu» instrukciju (kom andu) veidā. A r ī rēķinot ar kalkulatoru, rezultātu var iegūt tikai tad, ja rēķinātājam ir zināms uzdevum a atrisināšanas algoritm s un viņš p ro t to «paziņot» kalkulatoram, nospiežot va ja d zīg o s taustiņus. Sājā nodaļā ie tverti uzdevum i par a lgoritm u sastādīšanu un analīz i. Vairākos uzdevum os ir jāa trod t. s. optim ālais algoritm s, t. i., zināmā nozīm ē vislabākais algoritm s. Tā, piemēram, ir zināms, ka d ivu skaitļu reizināšanai vai dalīšanai elektroniskais skaitļotājs p aiērē vairāk laika nekā saskaitīšanai vai atņemšanai. Tāpēc var m eklēt tādu izteiksmes vē rtīb u aprēķināšanas algoritm u, kurā būtu pēc iespējas maz reizināšanas un dalīšanas d a rb īb u. Dažos uzdevum os ir jā a tro d «visekonom iskākais» algoritm s. 58

59 7.1. UZDEVUMI PAR ALGORITMU ATŠIFRĒŠANU UN ANALĪZI 424. Uzminēt, pēc kāda likuma tiek veidota virkne 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 42, 63, 94, Dots trīsciparu skaitlis. Uzrakstīt otru skaitli, kas pierakstīts ar tiem pašiem cipariem pretējā kārtībā, un no lielākā skaitļa atņemt mazāko skaitli. Iegūto starpību pierakstīt kā trīsciparu skaitli (iespējams, ka šā skaitļa pirmie cipari ir nulles). Ar šo starpību izdarīt tādas pašas darbības kā ar sākumā doto skaitli, ar iegūto starpību atkal utt. Pierādīt, ka iegūst vai nu starpību 495, vai Draugi A, B un C spēlē novusu. Katrā spēlē piedalas divi no viņiem. Neizšķirtu spēļu nav. Tas spēlētājs, kurš zaudē, nākamajā spēlē dod vietu tam spēlētājam, kurš viņa zaudējuma laikā stāvējis malā. Kad draugi beiguši spēlēt, izrādās, ka A ir spēlējis 7 spēles, bet B 15 spēles. Cik spēles vispār tika spēlētas? Cik spēles spēlēja C? Kurš uzvarēja astotajā spēlē? Kurš zaudēja piektajā spēlē? 427. Rindā nostādīti 1978 astotās klases skolēni. Katram no tiem priekšā stāv septītās klases skolēns, kas ir par viņu īsāks; tātad septītās klases skolēni arī veido rindu, kurā ir 1978 skolēni. Astotās klases skolēnus viņu rindā pārkārtoja tā, lai viņi stāvētu augumu samazināšanās kārtībā, un arī septītās klases skolēnus viņu rindā pārkārtoja tā, lai viņi stāvētu augumu samazināšanās kārtībā. Pierādīt, ka pēc šādas pārkārtošanas atkal katram astotās klases skolēnam priekšā stāvošais septītās klases skolēns ir par viņu īsāks. (Visu skolēnu augumi ir dažādi.) 428. Desmit skolēnu augumu garums ir 1,51 m, 1,52 m, 1,53 m,..., 1,59 m, 1,60 m. Skolēni nostājas rindā cits citam blakus un saņem numurus (no kreisās puses uz labo) no 1 līdz 10. Pēc tam katrs no viņiem saskaita, cik ir garāku skolēnu, kas stāv pa kreisi. Tabulas augšējā rindā parādīti skolēnu numuri, apakšējā, cik skolēnu, kas ir garāki par viņu, katrs skolēns redz ierindā pa kreisi no sevis. I Kādā kārtībā skolēni stāvēja? 429. Uz riņķa līnijas atzīmēts 21 punkts, Andris izvēlas vienu no tiem un, sākot ar to, numurē punktus pulksteņa rādītāju kustības virzienā ar skaitļiem 1, 2, 3, 4,..., 21. Jānis izvēlas citu atzīmēto punktu un, sākot ar to, veic tādu pašu numerāciju, tikai pretēji pulksteņa rādītāju kustības virzienam. Pierādīt, ka var atrast punktu, kuram abi zēni piešķīruši vienādu numuru Karaļa Negauša pilī cietuma gaitenī ir 100 kameras, kuru durvis ir aizslēgtas. Katrā kamerā atrodas pa gūsteknim. Pagriežot 59

60 atslēgu vienu reizi, aizslēgtās kameras durvis tiek atslēgtas, bet neaizslēgtās kameras durvis aizslēgtas. Karalis afsūtīja uz cietumu ziņnesi, kuram lika vienu reizi pagriezt atslēgas visu kameru durvis. Tūlīt pēc tam viņš pārdomāja un atsūtīja otru ziņnesi, kuram lika pagriezt atslēgu katras otrās kameras durvīs, pēc tam trešo ziņnesi, kuram lika pagriezt atslēgu katras trešās kameras durvīs, utt., kamēr bija izsūtīti visi 100 karaļa rīcībā esošie ziņneši. Pēc tam karalim šī nodarbošanās apnika, un viņš pavēlēja atbrīvot visus gūstekņus, kuru kameras ir atslēgtas. Cik gūstekņu iznāca brīvībā? 431. Kvadrāts sastāv no 4 X 4 rūtiņām. Četras rūtiņas nokrāsotas melnas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā ir tieši viena melna rūtiņa. Ar vienu gājienu atjauts izvēlēties vienu rindu vai vienu kolonnu un mainīt tajā krāsojumu uz pretējo melnās rūtiņas pārkrāsot baltas, bet baltās rūtiņas melnas. Noskaidrot, a) vai ir iespējams, ka kvadrātā paliek tieši 3 melnas rūtiņas; b) vai melno rūtiņu skaits kvadrātā var kļūt mazāks par skaitli ALGORSTMU IZSTRĀDE Ievaduzdevumi skolēni nostājušies, izveidojot riņķi. Lai at-rastu spēles vadītāju, skolēni pēc kārtas nosauc naturālus skaitļus 1, 2, 3,..., un tas, kurš nosauc pāra skaitli, no riņķa izstājas (skolēns, kurš nosauc skaitli 1, paliek aplī, nākamais, kurš nosauc skaitli 2, no apļa izstājas, nākamais nosauc skaitli 3 un paliek aplī utt.). Skolēnu skaits aplī samazinās, līdz tajā paliek viens skolēns. Kādu skaitli viņš nosauca sākumā? 433. Kādās mājās apstājies pulkstenis. Pareizu laiku var uzzināt, tikai aizejot uz kaimiņu mājām. Taču pēc atgriešanās pareizais laiks jau būs cits nekā tas, kas ievērots kaimiņu mājās. Vai šādā situācijā var nostādīt pulksteni pareizi? 434. Smaragda pilsētas burvim pieder īpatnēja skaitļošanas mašīna. Ja tajā ievada kartīti, uz kuras uzrakstīts skaitlis x, mašīna izvada atpakaļ šo kartīti un vēl otru kartīti, uz kuras uzrakstīts skaitlis. Ja mašīnā ievada divas kartītes, uz vienas x no kurām uzrakstīts skaitlis x, bet uz otras skaitlis y (pie tam x > y ), tad mašīna izvada abas šīs kartītes un vēl trešo kartīti, uz kuras uzrakstīts skaitlis x y. Ja turpretī mašīnā ievada divas kartītes ar vienādiem skaitļiem, tā salūzt. Mazajai Ellai ir tikai viena kartīte, uz kuras uzrakstīts skaitlis Lai glābtu Dzelzsmalkas cirtēju, burvim nepieciešama kartīte ar skaitli 100. Kā Ella var iegūt šādu kartīti? Vai var iegūt kartīti ar skaitli 100 jjļr? 60

61 435. Dota kartīte, uz kuras uzrakstīts skaitlis 2, un divi automāti A un B. Ja automātā A ievada kartīti, uz kuras uzrakstītsskaitlis x, tiek izvadīta šī kartīte un otra kartīte, uz kuras uzrakstīts x3. Ja automātā B ievada kartīti, uz kuras uzrakstīts skaitlis x, atpakaļ tiek izvadīta šī kartīte un vēl otra kartīte, uz X kuras uzrakstīts -5-. Vai, izmantojot šos automatus, var iegūt O kartīti, uz kuras uzrakstīts skaitlis a) 21983, b) 2 984? 436. Dots, ka skaitļu kopā S starp citiem tās elementiem ietilpst arī visi veselie skaitļi un skaitlis ļ/2-ļ-ļ/3. Bez tam dots, ka kopai 5 piemīt šāda īpašība: ja pie tās pieder kaut kādi skaitli x un y, tad pie tās pieder ari skaitļi x-y un x-\-y. Pierādīt, ka skaitlis = = pieder pie kopas 5. y 2 + y Bērnudārza grupā ir 12 bērni, Kads ir lielakais iespējamais dienu skaits, kurās šie bērni var staigāt pa pāriem tā, lai neviens pāris neatkārtotos? Vienas dienas laikā pāri nemainās Kārtības sargu vienībā ir 7 cilvēki. Katru vakaru uz dežūru dodas patruļa trīs cilvēku sastāvā. Vai iespējams noorganizēt dežūras kādā laika posmā tā, lai katri divi vienības locekļi būtu kopīgi gājuši dežurēt tieši vienu vakaru? Kāda būtu atbilde uz šo jautājumu, ja vienībā būtu 8 cilvēki? 439. Vai var uzrakstīt rindā naturālus skaitļus no 1 līdz 10 (katru skaitli vienu reizi) tā, lai blakus uzrakstīto skaitļu starpība būtu 1, 2, 3,.,., 9 (kārtība var būt arī citāda)? 440. Vai regulāra vienpadsmitstūra virsotnes un malas var sanumurēt ar skaitļiem no 1 līdz 22 (visiem numuriem jābūt dažādiem) tā, lai katras malas un tās abu galu numuru stimma būtu viena un tā pati? 441. Uz galda atrodas sviras svari un 8 atsvari, kuru masa ir 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g un 8 g. Atsvarus pēc kārtas liek uz svaru kausiem (ar vienu gājienu no galda paņem jebkuru atsvaru un uzliek uz viena no svaru kausiem; pēc tam atsvaru no svaru kausiem vairs nenoņem). 1) Pierādīt, ka atsvarus var likt uz svaru kausiem tādā secībā, lai vispirms uz leju nosvērtos kreisais svaru kauss, tad labais, tad kreisais, tad labais, tad kreisais, tad labais, tad kreisais, tad labais. 2) Vai var atrast tādu kārtību, lai šī virkne būtu šāda: kreisais, kreisais, labais, kreisais, labais, labais, kreisais, labais svaru kauss? 442. Uz riņķa līnijas atzīmēti punkti, starp tiem nav divu punktu, kas atrastos viena diametra galapunktos. Pierādīt, ka var novilkt diametru tā, ka katrā pusē no tā ir tieši atzīmēto punktu Rūpnīcā sagatavota 13,5 t smagā krava, kas iesaiņota tā. ka neviena kaste nav smagāka par 350 kg. Ekspeditors nezina, cik sver katra kaste; tomēr viņš pasūta kravas aizvešanai 11 auto- 61

62 37. zīm. mašīnas (katras automašīnas kravnesība ir 1,5 t), ar katru no tām var veikt vienu reisu. Vai ir iespējams, ka kravu ar šīm automašīnām nevar aizvest? 444. Pierādīt, ka katrā sešciparu skaitlī ciparus var samainīt vietām tā, lai jauniegūtajā skaitlī pirmo 3 ciparu summa atšķirtos no pēdējo 3 ciparu summas mazāk nekā par Uz katras, no 37. zīmējumā attēlotajām līnijām starp 2 punktiem norādīt ar bultiņu virzienu tā, lai no katra punkta 2 bultiņas izietu un 2 bultiņas tajā ieietu. Pietiek parādīt vienu veidu, kā to izdarīt Katrs no 12 strādniekiem (tie apzīmēti ar numuriem no 1 līdz 12) prot strādāt ar diviem instrumentiem (instrumenti apzīmēti ar burtiem no A līdz L). Tabulā redzams, ar kuriem instrumentiem katrs strādnieks prot strādāt: I A, G C, L 1, c D, K L, H E, / B, A G, D H, I F, B l.e K, F Pierādīt, ka šie strādnieki var vienlaikus strādāt katrs ar savu instrumentu. Cik dažādos veidos tas iespējams? 447. Istabā atrodas taisnstūrveida galds ABCD. Jānis grib pagriezt galdu tā, lai mala AB atrastos tur, kur tagad mala CD, un otrādi. Tomēr galds ir tik smags, ka Jānis to var pārvietot vienīgi šādi: pacelt galdu aiz viena stūra (piemēram, stūra A), pagriezt par kaut kādu leņķi ap pretējo stūri (šajā gadījumā stūri C) un nolaist pacelto stūri zemē. Sadas operācijas Jānis var atkārtot vairākas reizes. Kā Jānis var pārvietot galdu vajadzīgajā stāvoklī, atkārtojot aprakstīto operāciju ne vairāk kā 3 reizes? 448. Pierādīt, ka kubu var sagriezt 38. ztm. 148 kubos. 62

63 449. Trīs taisni gaiteņi veido labirintu, kas attēlots 38. zīmējumā. Katra gaiteņa garums ir d. Labirintā atrodas milicis un noziedznieks. Miliča pārvietošanās maksimālais ātrums 2 reizespārsniedz noziedznieka maksimālo ātrumu. Milicis ierauga noziedznieku, ja atrodas ar to vienā gaitenī un ne lielāka attālumā kā a. Pierādīt, ka milicis var aizturēt noziedznieku,, i d ^ d 1) ja a > - y ; 2) ja c > Uzrakstīt pa apli ciparus I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (katru vienu reizi) tā, lai jebkurš divciparu skaitlis, kuru veido divi pulksteņa rādītāju kustības virzienā blakus esoši cipari, dalītos vai nu ar 13, vai ar 17, vai ar Uzrakstīt pa apli skaitļus 1, 2, 3,..., 9 tā, lai jebkuru divu blakus esošu skaitļu summa nedalītos ne ar 3, ne ar 5, ne ar Uz 19 sarkanām kartītēm uzrakstīti naturāli skaitli no 1 līdz 19 (uz katras kartītes citi). Tādi paši skaitļi uzrakstīti uz 19 zilām kartītēm. Pierādīt, ka kartītes var sadalīt 19 kaudzītēsun tās sanumurēt tā, lai būtu spēkā šādi divi nosacījumi: 1) katrā kaudzītē ir 1 sarkana un 1 zila kartiņa un 2) katra nākamajā kaudzītē uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summa ir par 1 lielāka nekā iepriekšējā kaudzītē. Vai līdzīgu uzdevumu varētu atrisināt, ja būtu 1983 sarkanas un 1983 zilas kartītes? 7.2,2. Induktīvie algoritmi 453. Pierādīt, ka katru naturālu skaitli no 10 līdz 20 var izteikt kā summu 3,t+4y, kur x un tj kaut kādi veseli pozitīvi skaitļi vai 0. Pierādīt, ka šādā veidā var izteikt arī visus naturālos skaitļus, kas lielāki nekā Cik piecstūros var sagriezt kvadrātu? 455. Vai taisnstūri var sadalīt 18 mazākos taisnstūros tā, lai jebkuri divi dalījuma taisnstūri, kas atrodas blakus, kopa neveidotu taisnstūri? zīmējumā aplīšos ierakstīt pa naturālam skaitlim tā. lai katriem diviem skaitļiem, kas savienoti ar līniju (piemēram, skaitļiem A un D), būtu kopīgs dalītājs, kas lielāks par 1, bet katriem diviem skaitļiem, kas nav savienoti ar līniju (piemēram, skaitļiem A un C), lielakais kopīgais dalītājs būtu vienāds ar 1. Pietiek parādīt vienu veidu, kā to izdarīt Pēc kopējas makšķerēšanas Andris un Juris gribēja sadalīt lomu. Kā to izdarīt, lai neviens nejustos neapmie- 39. zīm. 63"

64 rināts, ja visas noķertās zivis bija gan dažāda lieluma, gan dažādu sugu? Pēc pārdomām zēni atrada šādu risinājumu: Andris sadalīja lomu divās pēc viņa domām līdzvērtīgās daļās, bet Juris izvēlējās vienu no šīm daļām. Nākamajā reizē kopā ar viņiem makšķerēja arī Jānis. Kā tagad sadalīt lomu trijās daļās, lai nevienam nebūtu iemesla būt neapmierinātam? 458. Kā jāizvēlas «+» un «> zīmes skaitļu priekšā, lai būtu spēkā vienādība 81 = ± 6 4 ± 3 2 ± 1 6 ± 8 ± 4 ± 2 ± 1? 459. Atrast 6 tādus skaitļus, lai katru naturalu skaitli no 1 līdz 50 ieskaitot varētu izteikt kā summu, kuru veido daži (varbūt viens pats) no šiem 6 skaitļiem. Pie tam katrā summā nevienu no 6 izraudzītajiem skaitļiem par saskaitāmo nedrīkst izmantot vairāk kā vienu reizi. Pietiek uzrādīt vienu šādu skaitļu sistēmu un pierādīt, ka tā apmierina uzdevuma nosacījumus. Vai var atrast 5 skaitļus ar norādīto īpašību? 460. Sakārtot skaitļus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 rindā tā, lai jebkuru divu uzrakstīto skaitļu a un i summas puse būtu atšķirīga no katra skaitļa, kas uzrakstīts starp a un b. Piemēram, sakār- 2+4 tojums neder, jo g = 3 un 3 uzrakstīts starp 2 un Vai kvadrātu, kas sastāv no 8X 8 rūtiņām, var sagriezt daļās tā, lai izveidotos viena figūra O un divdesmit viena figūra tļļ? 462. Vai naturālus skaitļus no 1 līdz 13 var sadalīt trijās grupās tā, lai jebkuru divu skaitļu starpība, ja tie ņemti no vienas grupas, nepiederētu pie tās pašas grupas? 463. Jāatrod četras veselu skaitļu kopas, kas apmierina šādus nosacījumus: a) katra kopa satur 3 skaitļus, b) katru veselu skaitli no 0 līdz 80 var izteikt kā 4 saskaitāmo summu, kurā katrs saskaitāmais ir no savas kopas. Kopām var būt kopēji elementi. Pietiek uzrādīt vienu šādu kopu sistēmu Dotas 9 monētas un ir zināms, ka viena no tām ir smagāka. Sverot divas reizes ar sviras svariem bez atsvariem, atrast smagāko monētu Dotas vairākas pēc ārējā izskata vienādas monētas, kuru masas dažādas. Doti sviras svari bez atsvariem. Vienā svēršanas reizē drīkst uzlikt uz svaru kausiem pa vienai monētai un noskaidrot, kura no uzliktajām monētām ir smagāka. 1) Kā ar 5 svēršanām sakārtot 4 monētas masu pieaugšanas kārtībā? 2) Kā no 8 monētām atdalīt 4 smagākās, ja nav noteikti jāuzzina, kura ir pati smagākā, kura otra smagākā utt? Izstrādāt metodi, kā to izdarīt ar 14 svēršanām Jura draugs iedomājies kādu veselu skaitli starp 1 un Juris drīkst uzdot tikai tādus jautājumus, uz kuriem at 64

65 bilde ir «jā» vai «nē». Kā Jurim jārīkojas, lai uzminētu iedomāto skaitli, uzdodot ne vairāk kā 10 jautājumus? 467. Katrā no 64 traukiem atrodas pa 1 I šķidruma. Vienā traukā ir inde, citos ūdens. Mūsu rīcībā ir neierobežots daudzums mēģeņu, kurās sagatavot dažādus maisījumus, un ļoti jutīgs reaģents, kas uzrāda vismazāko indes piejaukumu. Kā ar fi pārbaudēm noskaidrot, kurā traukā ir inde? Apakšprogrammas tipa algoritmi 468. Vai ar figūrām EF0 var pārsegt visu plakni bez pārklāšanas, neatstājot «caurumus»? 469. Plaknē doti 4000 punkti. Jebkuri 3 no tiem neatrodas uz vienas taisnes. Pierādīt, ka var izveidot 1000 četrstūrus tā, lai katram no tiem visas virsotnes atrastos dotajos punktos un jebkuriem diviem četrstūriem nebūtu kopēju punktu Kaudzē ir pa vienam akmenim ar masu 1 kg, 2 kg, 3 kg,..., 1984 kg, 1985 kg. Vai akmeņus var sadalīt trīs kaudzēs, kuru masas ir vienādas? Akmeņus skaldīt daļās nedrīkst Mājā 100 stāvu. Liftā ir divas pogas. Nospiežot vienu pogu, lifts paceļas 7 stāvus uz augšu; nospiežot otru pogu, lifts nolaižas 9 stāvus uz leju (ja tas vispār iespējams). Pierādīt, ka ar šādu liftu no jebkura stāva var nokļūt jebkurā citā stāvā. Vai apgalvojums ir spēkā, ja, nospiežot vienu no pogām, var pacelties par 12 stāviem, bet, nospiežot otru pogu, nolaisties par 9 stāviem? 472. Doti 100 āboli. Jebkuru divu ābolu masu starpība nepārsniedz 10 gramus. Pierādīt, ka ābolus var sadalīt 2 kaudzēs tā, ka kaudžu masu starpība nepārsniedz 10 gramus Uz vertikālas ass uzvērti 10 dažāda izmēra diski. Augšējos diskus jebkurā skaitā (varbūt visus) drīkst noņemt no ass, apgriezt šo noņemto kaudzīti otrādi un uzvērt atpakaļ. Pierādīt, ka, atkārtojot šādu operāciju vairākas reizes, var panākt, lai diski uz ass būtu sakārtoti izmēru pieaugšanas secībā (apakšā vislielākais, tālāk otrais lielākais utt.) Dotas divas virknes, kas sastāv tikai no skaitļiem +1 un 1. Katrā virknē ir 1958 skaitļi. Vienā gājienā drīkst mainīt zīmes pirmās virknes jebkuriem 11 skaitļiem. Pierādīt, ka ar galīgu gājienu skaitu ir iespējams no pirmās virknes iegūt virkni, kas ir vienāda ar otro virkni. Divas skaitļu virknes uzskatīsim par vienādām, ja tām vienās un tajās pašās vietās atrodas vieni un tie paši skaitļi Dotas divas akmeņu kaudzes. Jura rīcībā ir vēl viena rezerves kaudze, kurā sākumā ir viens akmens. Ar vienu gājienu Juris var vai nu pievienot vienai kaudzei no savas rezerves kaudzes tik daudz akmeņu, cik šajā kaudzē jau ir (ja rezerves kaudzē ir pieliekami daudz akmeņu), vai arī paņemt no abām kaudzēm pa vienam akmenim (ja katrā no tām ir vismaz viens 65

66 akmens) un pievienot tos rezerves kaudzei. Pierādīt, ka Juris var panākt, lai abās kaudzēs būtu vienāds skaits akmeņu Andris uzraksta skaitli 1 un pieraksta tam priekšā «+» vai zīmi. Pēc tam viņš uzraksta skaitli 2 un pieraksta tam priekšā «+» vai zīmi, pēc tam to pašu izdara ar skaitli 3 utt. Pierādīt, ka Andris var šo procesu beigt tādā bridi, kad uzrakstīto skaitļu summa ir 12. Kāds ir mazākais daudzums skaitļu, kas Andrim jāuzraksta? 7.3. ALGORITMU OPTIMALITĀTES PIERĀDĪJUMI figūriņas novietotas, kā parādīts 40. zīmējumā. Ar vienu gājienu vienu figūriņu var pārbīdīt uz blakus esošo rūtiņu, ja tā ir tukša, vai arī pārcelt pāri vienai, divām vai trim figūriņām, ja rūtiņa, uz kuru figūriņu pārceļ, ir tukša. Jāiegūst tads stāvoklis, lai tukšā rūtiņa būtu pa kreisi, aiz tās sekotu 3 melnās figūriņas (vienalga, kāda kartībā), bet aiz tām 3 baltas figūriņas, vienalga kādā kārtībā. Pierādīt, ka to var izdarīt 5 gājienos. Vai to var izdarīt tikai 4 gājienos? 478. Šokolādes tāfelīte sastāv no 10x20 maziem kvadrātiņiem. Kāds ir mazākais lauzienu skaits, ar kuriem tā Ielīti var sadalīt 200 kvadrātiņos? Ar vienu lauzienu drīkst nolauzt tikai vienu šokolādes gabaliņu Turnirā piedalās 20 šahisti, kuriem ir dažāda spēles prasme, pie tam jebkurā spēlē vienmēr uzvar spēcīgākais no abiem partneriem. Cik partijas jāizspēlē, lai noskaidrotu, kurš šahists ir visspēcīgākais? 480. Izmantojot tikai ciparus 1, 2, 3, 4 un 5, uzrakstīt 21-ciparu skaitli, kura pierakstā divi vienādi cipari nekur neatrodas blakus un visi blakus esošo ciparu pāri ir dažādi (pāri, kas atšķiras tikai ar ciparu kārtību, piemēram, 45 un 54, arī tiek uzskatiti par dažādiem). Vai var uzrakstīt garāku skaitli ar šādām īpašībām, izmantojot tikai ciparus no 1 līdz 5? 481. Dota taisne un uz tās atzīmēti divi punkti A un B tā, ka attālums starp A un B ir 1 cm. Izmantojot tikai cirkuli, uz taisnes jāatzīmē trešais punkts C, kura attālums no A ir 88 cm. Kā to izdarīt? Atrast tādu risinājumu, lai cirkuli vajadzētu izmantot pēc iespējas mazāk reižu Jānim ir 7 kartiņas. Uz katras no tām viņš uzrakstījis vienu skaitli vai nu -ļ-l, vai 1. Ar vienu jautājumu Andris var uzzināt uz jebkurām trim kartiņām uzrakstīto skaitļu reizinājumu (pašus skaitļus Jānis viņam nesaka). 1) Pierādīt, ka ar 2 jautājumiem Andris nevar uzzināt visu 7 uz kartiņām uzrakstīto skaitļu reizinājumu. 40. zīm. 66

67 2) Noteikt, kāds ir mazākais jautājumu skaits, kuri Andrim jāuzstāda, lai uzzinātu visu 7 uz kartiņām uzrakstīto skaitļu reizinājumu Andris iedomājas četrus naturālus viencipara skaitļus Xi, x2, x3 un Xn. Jānis izvēlas četrus veselus skaitļus fli, a2, a3 un a4, pasaka tos Andrim un jautā, kāda ir izteiksmes X\U\-\-x2a2-]r + ^ 303+^404 skaitliskā vērtība. (Piemēram, ja Andris iedomājies skaitļus 7, 3, 9, 2, bet Jānis izvēlas skaitļus 1, 2, 0, 1, tad Andra atbilde ir skaitlis 11). Uzzinājis šo vērtību, Jānis izvēlas citus četrus veselus skaitļus bu b2, b3 un un jautā Andrim, kada ir izteiksmes Xibi-^x2b2-\-x3b^-\-X4bi skaitliskā vērtība. Pēc tam Jānis izvēlas citus veselus skaitļus Ci, c2, Cz un utt. Kāds ir mazākais jautājumu skaits, ar kuriem Jānis var atrast visus četrus Andra iedomātos skaitļus? 484. Ja dota x vērtība, tad x5 vērtību var aprēķināt, izmantojot četras reizināšanas: x -x = x 2\ x2-x = x 3; x3-x = x *; x4-x x5. Tomēr to pašu var izdarīt, izmantojot tikai 3 reizināšanas: x -x = x2\ x2-x2= x 4\ x4-x = x 5. Kāds ir mazākais reizināšanas darbību skaits, kuras izpildot var aprēķināt x41, ja dota x vērtība? Dalīšanas un kāpināšanas operācijas lietot nedrīkst Ja automātā A ievada veselu skaitli x, tad automāts izvada skaitli 3*; šī operācija maksā 5 kap. Ja automātā B ievada veselu skaitli x, tas izvada skaitli x+4; šī operācija maksā 2 kap. Nekādas citas operācijas ar automātiem izdarīt nevar. Kā ar šādām operācijām, izmantojot tikai automātus A un B, no skaitļa 1 var iegūt 1979, lai kopējā izmaksa būtu vismazākā? 486. Kārlim ir četri rubļi sīknaudā. Vai Kārlis var samaksāt lieši trīs rubļus (bez izdošanas), ja viņam ir tikai vienkapeiku, divkapeiku, pieckapeiku un desmitkapeiku monētas? 7.4. PIERĀDĪJUMA UZDEVUMI 487. Četri draugi A, B, C un D spēlēja galda tenisy, dubultspēles. Vispirms A un B spēlēja pret C un D, pēc tam A un C pret B un D, pēc tam A un D pret B un C. Pierādīt, ka pēc šīm spēlēm vai nu vismaz viens spēlētājs ir visās 3 spēlēs uzvarējis, vai arī vismaz viens spēlētājs ir visās 3 spēlēs zaudējis Uz kongresu atbraukuši 1000 delegāti no dažādām valstīm. Katrs delegāts prot vairākas valodas. Ir zināms, ka jebkuri 3 delegāti savā starpā var sarunāties (pie tam var gadīties, ka vienam no viņiem jābūt par tulku sarunā starp abiem pārējiem). Pierādīt, ka delegātus var tā izvietot divvietīgos viesnīcas numuros, lai katrā numurā dzīvotu delegāti, kas savā starpā var sarunāties Zālē atrodas 2n cilvēki, n^2. Katrs no tiem pazīst vismaz n citus no zālē esošajiem. Pierādīt, ka var izvēlēties 4 cilvēkus un nosēdināt tos ap apaļu galdu tā, lai katrs no viņiem sēdētu blakus diviem pazīstamiem cilvēkiem. 67

68 490. Ceļinieks apmaldījies mežā, kura forma ir taisnstūris 10kmXl00km. Mežā nav pļavu, izcirtumu vai citu klajumu, ceļinieks pa to var pārvietoties pa jebkuras formas ceļu, taču viņš ir tuvredzīgs un meža malu iztālēm nevar saskatīt. Pierādīt, ka ceļinieks var izvēlēties tādas formas ceļu, pa kuru līdz meža. malai ir ne vairāk kā 32 km. Vai var atrast tādas formas ceļu» pa kuru līdz meža malai ir ne vairāk kā 25 km? 7.5. MATEMĀTISKĀS SPĒLES 491. Divi spēlētāji pēc kārtas iekrāso pa vienai rūtiņai kvadrātā, kas sastāv no 8X 8 rūtiņām, turklāt neviens nedrīkst iekrāsot rūtiņu, kurai ir kopēja mala ar kādu jau agrāk iekrāsoto rūtiņu. Tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kuršspēlētājs, pareizi spēlējot, uzvar tas, kurš izdara pirmo, vai tas, kuiš izdara otro gājienu? Vai atbilde mainās, ja kvadrāta izmēri ir 9X9 rūtiņas? 492. Dota taisnstūrveida tabula, kas sastāv no 10X20 rūtiņām. Divi spēlētāji pēc kārtas izsvītro vai nu vienu rindu, vai vienu kolonnu, ja vien tajā ir kaut viena neizsvītrota rūtiņa. Kurš nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kurš spēlētājs, pareizi spēlējot uzvar: sācējs vai otrais spēlētājs? Kurš uzvarētu, ja tabulā būtu 10X25 rūtiņas? 493. Rindā uzrakstītas 12 mīnusa zīmes. Divi spēlētāji pēc kārtas pārsvītro vai nu vienu, vai divas blakus esošās mīnusa zīmes. Tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu, zaudē. Kurš. spēlētājs, pareizi spēlējot, uzvar pirmais vai otrais? Kurš uzvarētu, ja sākumā būtu uzrakstītas 11 mīnusa zīmes? 494. Kvadrāts sadalīts 6 x 6 kvadrātiskās rūtiņās. Labajā augšējā rūtiņā atrodas figūriņa. Divi spēlētāji pēc kārtas pārbīda figūriņu uz blakus esošu rūtiņu, pie tam aizliegts pārbīdīt figūriņu uz tādu rūtiņu, kurā tā jau reiz bijusi. (Rūtiņas sauc par blakus rūtiņām, ja. tām ir kopīga mala.) Tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu, zaudē. Pierādīt, ka spēlētājs, kurš izdara pirmo gājienu, var uzvarēt, lai kā arī spēlētu pretinieks Rindā uzrakstīti skaitļi no 1 līdz 1984 (ieskaitot). Divi spēlētāji pēc kārtas izsvītro pa vienam skaitlim no rindas tik ilgi, kamēr rindā paliek tikai divi skaitļi (ar katru gājienu var izsvītrot jebkuru no palikušajiem skaitļiem). Pirmā spēlētāja mērķis ir rīkoties tā, lai abiem atlikušajiem skaitļiem būtu kopīgs dalītājs, kas lielāks par 1, bet otrais spēlētājs cenšas viņam traucēt. Vai otrais spēlētājs var izjaukt pirmā nodomus? 496. Jānis un Andris spēlē šādu spēli. Vispirms Jānis nosauc naturālu skaitli no 1 līdz 10; pēc tam Andris pieskaita šim skaitlim naturālu skaitli no I līdz 10 un nosauc summu; pēc tam Jānis pieskaita Andra nosauktajai summai naturālu skaitli no 1 līdz 10 utt. Uzvar tas, kurš nosauc skaitli 100. Kā Jānim jāspēlē, lai noteikti uzvarētu? m

69 497. Uz tāfeles uzrakstīts naturālu skaitļu pāris. Divi spēlētāji pēc kārtas izdara pa vienam gājienam. Ja uz tāfeles uzrakstīts skaitļu pāris (n\m), tad spēlētājs, kuram jāizdara gājiens, drīkst pāri (n; m) nodzēst un tā vietā uzrakstīt jebkuru no šādiem pāriem (bet tikai vienu): («1; m 1), (n 1; m 2), (n 2; m 1), (n x\ m), (n; m jc), kur X jebkurš naturāls skaitlis, ko izvēlas spēlētājs, kas izdara gājienu. Turklāt drīkst uzrakstīt tikai tādu pāri, kura abi skaitļi ir nenegatīvi. Uzvar tas spēlētājs, kurš savā gājienā uzraksta skaitļu pāri (0; 0). Kā jāspēlē pirmajam spēlētājam, lai noteikti uzvarētu, ja sākumā uzrakstītais skaitļu pāris ir (38; 37)? 498. Uz galda atrodas 1983 konfektes. Divi spēlētāji pēc kārtas ņem no galda 1, 2 vai 3 konfektes. Spēle beidzas, kad visas konfektes paņemtas. Uzvar tas spēlētājs, kurš paņēmis pāra skaitu konfekšu. Kurš uzvar, pareizi spēlējot, pirmais vai otrais spēlētājs? 499. Spēle notiek bezgalīgā plaknē. Vispirms pirmais spēlētājs novieto plaknē 1 savu figūru vilku, pēc tam otrais spēlētājs 50 savas figūras aitas. Pēc tam abi spēlētāji pēc kārtas izdara pa vienam gājienam. Katrā gājienā vienu no savām figūrām drīkst pārvietot attālumā, kas nepārsniedz 1 m. Pirmais iet vilks, tad kāda no aitām, tad atkal vilks, tad atkal kāda no aitām, utt. Vai vilks noteikti var noķert kādu aitu? 500. Uz bezgalīgas rūtiņu lapas divi spēlētāji spēlē šādu spēli: pirmais spēlētājs nokrāso kādu rūtiņu sarkanu, otrs kādu nenokrāsotu rūtiņu nokrāso zilu; pēc tam atkal pirmais krāso kādu vēl nenokrāsotu rūtiņu sarkanu, otrais atkal zilu utt. Pirmais spēlētājs vēlas iegūt tādu situāciju, lai 4 sarkano rūtiņu centri veidotu kvadrātu, kura malas ir paralēlas rūtiņu malām, otrs spēlētājs cenšas tam traucēt. Vai pirmais spēlētājs var uzvarēt? 7.6. KONSTflUKC!JAS UZDEVUMI ĢEOMETR'JA 501. Plaknē atzīmēti punkti A ( 1; 4), B (1; 2) un C ( 3; 6). Pēc tam koordinātu asis un līnijas tiek nodzēstas un paliek tikai punkti A, B un C. Izmantojot cirkuli un lineālu, atjaunot vismaz vienu no koordinātu asīm Plaknē uzzīmēts 7 leņķis. Izmantojot cirkuli un lineālu, konstruēt 1 lielu leņķi Konstruēt četrstūri, ja dotas tā malas un attālums starp diagonāļu viduspunktiem Papīra lapā uzzīmēts regulārs trijstūris. Uz tā virsotnēm uzkrita tintes traips, kas nosedza nelielus apgabalus ap tām. Kā atrast trijstūra mediānu krustpunktu, ja apgabalos, kuros uzkrituši tintes traipi, nekādas līnijas vilkt nevar? 505. Jānim ir koka lode, kuras rādiuss viņam nav zināms. Finiera plāksnē viņam jāizzāģē caurums, kura rādiuss vienāds 69

70 ar lodes rādiusu. Kā to izdarīt, ja Jāņa rīcībā bez zāģa ir arī cirkulis un lineāls? 506. Skolotāja uz tāfeles 1 m attālumā vienu no otra atzīmēja divus punktus A un B un palūdza Imantu savienot šos punktus ar taisnes nogriezni. Kā Imantam veikt uzdevumu, ja viņa rīcībā ir tikai lineāls, kura garums ir 25 cm, un cirkulis, kura atvērums nepārsniedz 10 cm? 507. Plaknē uzzīmēts regulārs sešstūris, kura malas garums ir 1. Izmantojot lineālu, uzzīmēt nogriezni, kura garums ir ļ/ Dotas divas paralēlas taisnes un uz vienas no tām nogrieznis AB. Lietojot tikai lineālu bez iedaļām, sadalīt šo nogriezni a) divās vienāda garuma daļās; b) trijās vienāda garuma daļās Dota taisne / un uz tās punkts M. Dots tikai lineāls, kura abas malas paralēlas, un zīmulis. Kā konstruēt perpendikulu pret taisni l punktā Af? 510. Uz papīra lapas uzzīmēts kvadrāts. Dota arī metāla plāksnīte, kuras izmēri precīzi sakrīt ar uzzīmētā kvadrāta izmēriem. Kā, izmantojot tikai šo plāksnīti un zīmuli, atrast kvadrāta diagonāļu krustpunktu? Uz plāksnītes nedrīkst izdarīt nekādas atzīmes Četrstūrainas papīra lapas malas ir taisnas. Kā, nelietojot ģeometriskos instrumentus, pārbaudīt, vai papīra lapa ir kvadrātiska? 512. Dots papīra kvadrāts. Kā, izmantojot tikai papīra griežamo nazīti, var no tā izgriezt regulāru trijstūri?

71 H daļa ATRISINĀJUMI 4. Katru dienu rūķīšu skaits mežā palielinās par 3, tātad mežā dzīvojošo rūķīšu skaits vienmēr dalās ar 3. Tā kā ar 3 nedalās, tad nevienā dienā mežā nebija rūķīšu. 5. Izdarot norādītās operācijas, krustiņu skaits rindā nemainās, tikai pati rinda var mainīt savu atrašanās vietu. Bet 1. zīmējumā ir tikai viena rinda ar 3 krustiņiem, turpretī 2. zīmējumā ir divas šādas rindas. Tātad no 1. zīmējumā attēlotās tabulas nevar iegūt 2. zīmējumā attēloto tabulu. 6. Tādu 1982-stūri un taisni, kas apmierina uzdevuma nosacījumus, var uzzīmēt (41. zīm.). Turpretī tāds 1983-stūris, kuram piemīt uzdevumā norādītā īpašība, neeksistē. Lai to pierādītu, pieņemsim pretējo, ka šāds 1983-stūris eksistē. Sākot no kādas daudzstūra virsotnes A, apiesim visu daudzstūra kontūru. Tad taisne tiks šķērsota 1983 reizes. Tā kā 1983 ir nepāra skaitlis, tad pēc daudzstūra kontūra apiešanas, atgriežoties atkal punktā-4, atradīsimies otrā pusē no taisnes, bet tas nav iespējams. Radusies pretruna norāda, ka tādu 1983-stūri, kuram piemīt uzdevumā norādītā īpašība, uzzīmēt nav iespējams. 71

72 7. Ne, nevar. Monēta, kas sākumā atrodas pirmajā vietā, tiek pārvietota tikai pa vietām ar nepāra numuriem. 8. Četras glāzes var apgriezt četros gājienos: (I., 2., 3.), (L, 2., 4.), (1., 3., 4.), (2., 3., 4.). Piecas glāzes apgriezt saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem nevar. Tiešām, ja tas būtu iespējams, tad katra glāze būtu jāapgriež nepāra skaitu reižu. Ja pirmo glāzi apgriež ū\ reizes, otro a2 reizes,... piekto a5 reizes un pavisam ir izdarītas k apgriešanas, tad š i+ a 2+ -\-aļ,-\-ūa-\-cl&=ak (jo katru reizi tiek apgrieztas 4 glāzes). Taču ai+ ū 24-a3+ «4+ a 5 ir nepāra skaitlis un nedalās ar 4. Iegūta pretruna. 9. Apzīmēsim ar A skaitļu summu pie tām virsotnēm, pie kurām sākumā uzrakstīti vieninieki, bet ar B skaitļu summu pie pārējām divām virsotnēm. Katrā gājienā gan summa A, gan arī summa B palielinās par skaitli 1. Tā kā sākumā A B 2, tad arī visu laiku A B 2 un visās četrās virsotnēs nevar būt vienādi skaitļi. 10. Apzīmēsim pāra skaitļus ar p, bet nepāra skaitļus ar n. Viegli saprast, ka virkne ir šāda: n, n, p, n, n, p, n, n, P,..., t. i., tajā periodiski atkārtojas grupa (n, n, p). Tādā virknē nekur blakus neatrodas divi pāra skaitļi. 11. Noskaidrosim, kādi ir atlikumi, virknes aif a2,..., an,... locekļus dalot ar 4. Ar rn apzīmēsim atlikumu, kas rodas, a,, (n 1, 2,...) dalot ar 4. Acīmredzami r( = 1, r2= l. Lemma. rn+ļ ir vienāds ar atlikumu, kas rodas, skaitli r +i-f«-ļ-l dalot ar 4. Tiešām, an 4--M -[-r J an+i 4-Afn+i+fVM, kur Mn un Mn+1 ir veseli skaitļi (skaitļu an un an+1 dalījumi ar 4). Tad a +2 fln+i an -f- 1 (4-Afn-H+rn+i) (4-Mrt-ļ-rn)-ļ-l = (16-M,iALi+i -ļ- -ļ-4m r n+l-\-4mn+ir n) -ļ- (r nr n+\-\-1). Lemmas apgalvojums izriet no tā, ka pirmā iekava dalās ar 4 bez atlikuma. No lemmas varam secināt, ka atlikums r +2 atkarīgs tikai no fn un r/j+ļ, t. i., no abiem iepriekšējiem atlikumiem. Pēc lemmas viegli iegūt, ka r3 = 2, r4= 3, r5 = 3, r6= 2, r7 = 3. Tā kā /"3= 2, /*4 = 3 un arī r6= 2, r7 = 3, tad arī turpmāk atlikumu virkne ir ar periodu 2; 3; 3. Tātad neviens virknes (an) loceklis, arī «1904, nedalās ar Analizējot, kāds cipars var atrasties aiz 1, aiz 2 utt., iegūstam 42. zīmējumā attēloto ainu. Ja apskatāmā ciparu virkne ir cikliska, tad ai Ja tā ir cikliska līdz loceklim, bet tālāk aiz skaitļa 6 seko nevis skaitlis 9, bet 8, tad « Ja pēc kāda gājiena viena nagla ir savienota ar divām citām naglām, tad spēlētājs, kuram jāizdara gājiens, var uzvarēt. Tātad, pareizi spēlējot, katrs spēlētājs cenšas nepievienot vadu tai naglai, kas jau ir savienota ar kādu citu naglu. 72

73 B 42. zīm. A o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 43. zīm. Rezultātā visas naglas sadalās pāros un šie pāri savā starpanav savienoti. Ja naglu ir 1977, tad var izveidot 988 šādus pārus un paliks vēl viena nagla, kas nav pievienota nevienai citai naglai. Tas notiks pēc 988 gājieniem. Nākamais, 989. gājiens jāizdara 1. spēlētājam. Viņš var vai nu «brīvo» naglu savienot ar kādu citu naglu, vai ari divas naglas, kurām jau ir pāri, savienot savā starpā. Jebkurā no šiem gadijumiem 2. spēlētājs nākamajā gājienā (990. gājienā) izveido noslēgtu ķēdi. 14. Novilksim koordinātu asis tā, lai sākumpunkts atrastos rūtiņas tajā virsotnē, kurā nesēž sienāzis. Tātad vienam no sienāžiem jānokļūst punktā, kura koordinātas ir (0; 0). Sienāžu koordinātas sākumā ir (0; 1), {1; 0), (1; 1). Sienāžu koordinātu starpības ir veseli skaitļi. Ja sienāzis A lec pāri sienāzim B, tad pēc Ieciena sienāzis A ir uz vienas taisnes ar sienāzi B un savu iepriekšējo stāvokli un tādā pašā attālumā no B, kā pirms Ieciena. Tāpēc sienāža A katra koordināta ir izmainījusies par skaitli, kas ir B un A sākotnējā stāvokļa atbilstošo koordinātu divkāršota starpība. Tā kā koordinātu starpības ir veseli skaitļi, tad abas koordinātas izmainās par pāra skaitļiem. Katram sienāzim vismaz viena koordināta sākumā ir nepāra skaitlis. Tātad punktā (0; 0) neviens sienāzis nenokļūs. 15. Nokrāsosim horizontāles krāsās A, B un C tā, kā parādīts 43, zīmējumā. Sākumā uz katras krāsas lauciņiem ir pāra skaits kauliņu, proti, 8 kauliņi. Izdarot gājienu, no vienas krāsas horizontāles aiziet viens kauliņš, nosit kauliņu, kas atrodas uz otras krāsas horizontāles, un apstājas uz trešās krāsas horizontāles. Tātad pēc pirmā gājiena uz katras krāsas lauciņiem ir nepāra skaits kauliņu. Izdarot otro gājienu, uz katras krāsas lauciņiem atkal ir pāra skaits kauliņu utt. Tātad pēc katra gājiena kauliņu skaits, kas atrodas attiecīgi uz A, B un C krāsas lauciņiem, vai nu visi ir pāra skaitļi, vai 73

74 ari visi ir nepāra skaitļi. Bet, ja uz galdiņa paliktu tikai viens kauliņš, tad uz vienas krāsas lauciņiem atrastos 1 kauliņš (nepāra skaits), bet uz abu pārējo krāsu lauciņiem 0 kauliņi (pāra skaits). Tātad tas nav iespējams. 16. Pierādīt, ka darbību rezultātā iegūtajām daļām skaitītāja un saucēja summa ir nemainīga (vai arī samazinās, ja iespējama saīsināšana). 17. Ja punkts M atrodas ārpus 1984-stūra, tad to trijstūru skaits, kas pārklāj punktu M, ir vienāds ar nulli (tātad ir pāra skaits). Bīdīsim punktu M pa plakni tā, lai tas neietu caur daudzstūra virsotnēm vai diagonāļu krustpunktiem; šādā veidā punktu M var aizbīdīt uz jebkuru daudzstūra punktu, kas neatrodas uz daudzstūra malas vai diagonāles. Ja pierādīsim, ka, šķērsojot malu vai diagonāli, to trijstūru skaits, kas pārklāj punktu M, mainās par pāra skaitli, tad uzdevums būs atrisināts, jo citos brīžos šo trijstūru skaits vispār nemainās. Pieņemsim, ka M šķērso malu vai diagonāli, kas savieno divas virsotnes, pie tam vienā pusē no šīs malas vai diagonāles atrodas x daudzstūra virsotnes, bet otrā pusē x virsotnes. Tas nozīmē, ka M «atstāj» x apskatāmos trijstūrus un «ieiet» 1982 x jaunos trijstūros. Tātad to trijstūru skaits, kas pārklāj M, mainās par (1982 x) x = x, t. L, par pāra skaitli. Tā kā sākumā šo trijstūru skaits ir vienāds ar 0, tad tas visu laiku ir pāra skaitlis. 18. Aizstāsim Andra iegūtajā izteiksmē visas zīmes ar «+» zīmēm. Mainot saskaitāmo ( a:) ar x, kopējā summa palielināsies par 2x, t. i., par pāra skaitli. Tā kā Andra sastādītās izteiksmes vērtība ir 16, tad pēc šādas aizstāšanas jāiegūst pāra skaitlis. Bet, tā kā = 45 ir nepāra skaitlis, tad Andris noteikti ir kļūdījies. Vai kļūdījies ir Juris, šādā veidā noskaidrot neizdodas Vispirms pierādīsim, ka n ir pāra skaitlis. Summā X 1X 2+ X 2X 3 +.., + X n- \ X n+ X nx\ ir n saskaitāmie. Katrs no tiem ir vai nu +1, vai 1. Lai summa būtu vienāda ar nulli, «plus vieninieku» skaitam ir jāsakrlt ar «mīnus vieninieku» skaitu. Tātad, ja «plus vieninieku» skaits ir k, tad «mīnus vieninieku» skaits ari ir k un n = 2k. Aplūkosim visu summas locekļu reizinājumu (XiX2) (X2X3) (xn-lxn) (XnX i) = ( 1)* - lfe (reizinājumā ietilpst k «mīnus vieninieki» un k «plus vieninieki»). Tā kā xļx2-x2x3'. Xn-\Xn-xnxi= x i2-x22...-xfļ_ļx,l'2, tad šis reizinājums ir vienāds ar «+1». Iegūstam, ka ( 1) *-1* = 1 jeb ( 1) * = 1. Tātad k ir pāra skaitlis un n dalās ar Nē, nevar. Sagriežot taisnstūri dalās un saliekot no tām citu figūru, laukums nemainās. Ja kvadrāta malas garums ir x, tad tā laukums ir x2= 6 3 un jc=ļ/ 63, bet V 63 nav vesels skaitlis.

75 29. Katrai komandai jaspele vel 3 speles, tatad vel janotiek 6-3 n ^ = 9 spelem. 30. Abiem iegūtajiem skaitļiem jābūt vienādiem. 31. Nē, nevar. Iekrāsoto rūtiņu kopskaitam pa kolonnām un pa rindām ir jāsakrit, bet f-4^ To nevar izdarīt, ja rūtiņām, kas veido figūriņu, ir kopēja mala. Izkrāsojot rūtiņas šaha galdiņa kārtībā, pēc pretējo stūra rūtiņu izgriešanas paliek 30 melnas rūtiņas un 32 baltas rūtiņas vai 32 melnas rūtiņas un 30 baltas rūtiņas, bet katra figūriņa pārklāj vienu baltu un vienu melnu rūtiņu. 33. Nē, nevar. Izkrāsot rūtiņas, kā parādīts 44. zīmējumā. Katrs taisnstūris tad satur tieši i melnu rūtiņu, bet to skaits, ir Nē, nevar. Apskatām taisnstūri, kurā ir 10 vertikāles un 9 horizontāles. Izkrāsosim 1., 3., 5., 7., 9. vertikāles melnas, bet pārējās baltas. Ja šis taisnstūris pārklāts ar 45 kartiņām, tad katra vertikāli novietotā kartiņa pārklāj vai nu 2 melnas,, vai 2 baltas rūtiņas, bet katra horizontāli novietotā kartiņa 1 baltu un 1 melnu rūtiņu. Tāpēc horizontālo kartiņu skaitam jābūt nepāra skaitlim, bet vertikālo kartiņu skaitam pāra skaitlim. 35. Iekrāsosim pilsētas, kā parādīts 45. zīmējumā. No melnas pilsētas var aizbraukt tikai uz baltu pilsētu un otrādi. Tātad ceļotāja apmeklēto balto un melno pilsētu skaits var atšķirties ne vairāk kā par skaitli 1. Taču ir 6 baltas un 8 melnas pilsētas. 36. Tabula, kurā ir 1983 rūtiņas, nav iespējama. Ja visu uzrakstīto skaitļu summa ir S, tad S = 3 m n. Tātad tabulā jābūt i 1 H l i 1 H 1 : 44. zīm. i 75

76 : HH H 1 1 I n n n 1. stāvs 2. stāvs 3. stāvs 46. zīm. 3fn-m =3m 3 rūtiņam. Taču tads naturals m, ar kuru 3/rc2= 1983, neeksistē. Ja tabulā, kurā ir 26 rindas un 78 kolonnas, katrā rūtiņā ieraksta skaitli tad uzdevuma nosacījumi ir apmierināti (26-78=2028). 37. Ja katrā vertikālajā stabiņā būtu nepāra skaits baltu kubiņu, tad balto kubiņu pavisam būtu nepāra skaits; bet to ir 14, Katrā stabiņā nepāra skaits melnu kubiņu var būt (piemērs redzams 46. zīmējumā). 38. Pieņemsim, ka lapa pārklāta tā, ka uzdevuma nosacījumi ir izpildīti. Acīmredzot katrā rindā jābūt pāra skaitam skaitļu I. Tātad ari visā iapā ir pāra skaits skaitļu 1 un uz lapas ir novietots pāra skaits kartiņu. Tā kā katra kartiņa apsedz divas rūtiņas, tad rūtiņu skaitam 5n jādalās ar 4. Skaitļiem 5 un 4 nav citu kopīgu dalītāju kā I un 1, un tāpēc skaitlim n jādalās ar 4. Esam pierādījuši, ka tad, ja lapu var apklāt ar kartiņām tā, kā teikts uzdevuma nosacījumos, skaitlim ti noteikti jādalās ar 4. Citiem vārdiem, ja n nedalās ar 4, lapu apklāt nevar. Taču no tā vēl neizriet, ka tad, ja n dalās ar 4, lapu, kuras izmēri ir 5Xn rūtiņas, noteikti var apklāt tā, lai būtu apmierināti uzdevuma nosacījumi. Pierādīsim arī šo apgalvojumu. 47. zīmējumā redzams, kā saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem var apklāt lapu, kuras izmēri ir 5X4 rūtiņas. Ja lapas izmēri ir 5X4& rūtiņas, tad, saliekot vienu otram blakus k tādus taisnstūrus, kādi parādīti 46. zīmējumā, iegūstam lapas 1 pārklājumu ar kartiņām, kas apmierina uzdevuma nosacījumus Apzīmēsim Maijas un Ināra dziesmu skaitu attiecīgi ar M un /. Tad meiteņu nodziedāto dziesmu skaita summa ir 7-ļ f-Af-ļ-/= 1 l-ļ- (M +/). Pēc uzdevuma nosacījumiem M un I vērtības var būt 5 un Tikai vienā gadījumā ( M = I = 5) summa ll-ļ- 47. zīm. '-ļ- (Al-ļ-/) dalās ar 3; tad dziedāto dziesmu skaits 76

77 ir = 7. Tabula redzams, ka tads koncerts tiešam bija iespejams i) A X X X X X X X M X X X X X / X X X X X S X X X X 40. Sk. 23. uzdevuma atrisinājumu 11. Ipp. 41. Katrā punktā, izņemot varbūt sākumpunktu un beigu punktu, zīmulim tikpat reižu jāieiet, cik no tā jāiziet. Tātad punktu, kuros saiet kopā nepāra skaits posmu, drīkst būt ne vairāk kā divi. Tā kā šādu punktu ir četri, tad figūru uzzīmēt nevar. 42. Vajadzīgi vismaz 4 stieples gabali (sk. 41. uzdevuma atrisinājumu). 43. Sadalīsim visas pilsētas (izņemot galvaspilsētu) grupās. Ja no vienas pilsētas uz otru pilsētu var aizlidot, nelidojot caur galvaspilsētu, tad tās iekļaujam vienā grupā. Tātad no vienas grupas pilsētas uz citas grupas pilsētu var aizlidot tikai caur galvaspilsētu. Apskatīsim vienu grupu un tajā ietilpstošās pilsētas un galvaspilsētu attēlosim ar punktiem. Ja starp divām pilsētām pastāv tieša satiksme, savienosim atbilstošos punktus ar līniju. Pieņemsim, ka grupā ir n pilsētas. Tad no atbilstošajiem n punktiem iziet 10n līniju gali. Ja grupas iekšpusē novilktas k līnijas, tad ir!0m 2k galu tādām līnijām, kas iet uz galvaspilsētu. Tā kā 10ft 2k ir pāra skaitlis, tad uz galvaspilsētu no apskatāmās grupas pilsētām ir vismaz 2 reisi. Tas pats attiecas uz katru citu grupu. Tātad šādu grupu nav vairāk kā 50, jo no galvaspilsētas iziet 100 aviolīnijas. Tādējādi varam katrā grupā atstāt vispirms tikai vienu reisu uz galvaspilsētu, bet pēc tam (ja nepieciešams) atjaunot dažus reisus tā, iai atcelto reisu skaits būtu tieši Ir iespējams, ja starts un finišs atrodas dažādās vietās (uzzīmēt piemēru). Tomēr, ja starts un finišs atrodas vienā un tajā pašā punktā, tad noteikti pie katra krustojuma' viens karodziņš būs ar pāra numuru, bet otrs karodziņš ar nepāra numuru. 45. Nosauksim vienu no iespējamiem gliemeža kustības virzieniem par horizontālo virzienu, bet otru par vertikālo virzienu. Par garuma vienību pieņemsim attālumu, ko gliemezis norāpo 15 minūt,ēs. 77

78 Ja gliemezis atgriežas izejas punktā, tad kopumā viņš ir pārvietojies par 0 vienībām horizontālā virzienā un par 0 vienībām vertikālā virzienā. Tātad, cik vienību gliemezis norāpojis horizontālā virzienā uz labo pusi, tikpat vienību viņš norāpojis horizontālā virzienā uz kreiso pusi, urļ, cik vienību gliemezis norāpojis vertikālā virzienā uz augšu, tikpat vienību viņš norāpojisvertikālā virzienā uz leju. Tas nozīmē, ka horizontālā virzienā gliemezis ir norāpojis pāra skaitu vienību un vertikālā virzienā arī pāra skaitu vienību. Tā kā katras 15 minūtes gliemeža kustības virziens mainās no horizontālā uz vertikālo vai otrādi, tad katras pusstundas laikā gliemezis veic vienu vienību vertikālā virzienā urt vienu vienību horizontāla virzienā. Lai horizontālā un arī vertikālā virzienā būtu veikts pāra skaits vienību, gliemezim jārāpo pāra skaits pusstundu jeb vesels skaits stundu. 46. Apskatīsim izliektu daudzstūri N, kura malas atrodas uz izliekta 100-stūra M diagonālēm. Tā kā N ir izliekts daudzstūris, tad J) uz vienas daudzstūra M diagonāles nevar atrasties vairāk kā viena daudzstūra N mala; 2) no vienas daudzstūra M virsotnes nevar iziet vairāk kā divas diagonāles, uz kurām atrodas daudzstūra N malas. Sanumurēsim daudzstūra M virsotnes pēc kārtas ar skaitļiem. 1, 2, 3, 100. Ar Xļ apzīmēsim to diagonālu skaitu, kas iziet no i-tās virsotnes un uz kurām atrodas daudzstūra N malas. Tā kā uz daudzstūra Af katras diagonāles atrodas ne vairāk kā viena daudzstūra N mala un katrai daudzstūra M diagonālei ir divi galapunkti M virsotnes, tad summa S..+a'ioo ir vienāda ar daudzstūra N malu divkāršotu skaitu. Bet S^200, jo -t/^2 katram /= 1, 2,..., 100. Tātad daudzstūrim N nav vairāk kā 100 malu, kas ari bija jāpierāda. 47. Apzīmējot 10. zīmējumā dotos rakstus ar a, b un c un rakstu savietošanu pēc uzdevuma nosacījumiem nosaucot par rakstu saskaitīšanu, varam iegūt jaunus rakstus a-\-b, a-\-c, č>-ļ-cv a+fc-ļ-c, kā ari «nulles rakstu», kurā visas rūtiņas ir baltas (uzzīmēt šos rakstus patstāvīgi). Vairāk rakstu nevar iegūt. Tiešām, rakstu «saskaitīšanai» piemīt komutativitāte (saskaitāmos var mainīt vietām), asociativitāte (tos var patvaļīgi grupēt), un bez tam, saskaitot divus vienādus rakstus, iegūstam nulles rakstu. Tātad, ja kādā summā ir divi vienādi raksti (divi a, divi b vai divi c) tos var no šis summas svītrot, neizmainot iegūstamo rakstu. 54. Jā, ir taisnes. Tās var izvēlēties 4096 veidos. 56. Jā, ir. 57. Ja katrā klasē mācītos ne vairāk kā 33 skolēni, tad skolēnu skaits skolā nepārsniegtu Izkrāsosim mazos trijstūrīšus, kā parādīts 48. zīmējumā. Figūriņām no melniem trijstūrīšiem jānonāk baltajos trijstūrīšos, bet balto trijstūrīšu ir mazāk nekā melno. Tātad divām figūriņām jānonāk vienā trījstūrīti. 78

79 59. Sk. 49. uzdevuma atrisinājumu 16. lpp zeķes. 61. Jāiegūst viens no pāriem 2 4; 3 9; Ja uz labu laimi izņem 14 lodītes, var gadīties, ka nav izņemtas lodītes 4 un 3 un tad vajadzīgā pāra nav. Izņemot 15 lodītes, vai nu no pāra 2 4, vai no pāra 3 9 ir izņemtas abas lodītes. 62. Uzrakstām katru izraudzīto skaitli.v formā x 2k-y, kur y nepāra skaitlis, t. i., visus divniekus kā reizinātājus izdalām atsevišķi. Piemēram, skaitli 28 uzrakstām formā 2 8 = 2 2-7, skaitli 8 formā 8 = 23-1, skaitli 17 formā 17 = =2-17. Reizinātāju y sauksim par skaitļa x nepāra reizinātāju. Tā kā visi izraudzītie skaitļi ir no 1 līdz 200, tad arī šo skaitļu nepāra reizinātāji nepārsniedz 200. Bet ir tikai 100 tādu nepāra skait u, kas nepārsniedz 200; tie ir skaitļi 1; 3; 5; 7;...; 197; 199. Ta kā pavisam izraudzīts 101 skaitlis, tad starp tiem ir divi tādi skaitļi, kuriem nepāra reizinātāji ir vienādi. Pieņemam, ka tie ir skaitļi A 2n-y un B = 2"l-y. Tā kā A=^=B, tad n^m. Ja n > m, tad -B- = 2 n~m. Ta ka n > m, tad n m ir naturāls skaitlis un D 2«-m arī naturāls skaitlis, tātad A dalās ar B. Ja tn > n, tad līdzīgi pierāda, ka B dalās ar A. 63. Izvietosim 30 cilvēkus pa apli. Ja katram patīk nākamie 14 cilvēki, kas atrodas aiz viņa pulksteņa rādītāju kustības virzienā, tad divu cilvēku ar savstarpējām simpātijām nav. Pieņemsim, ka katram patīk tieši 15 cilvēki; tātad 14 cilvēki viņam nepatīk. Ievērosim, ka ir tāds cilvēks, kurš patīk vismaz 15 citiem cilvēkiem (pierādīt, izmantojot Dirihlē principu), apzīmēsim šo cilvēku ar A. Skaidrs, ka A patīk kādam, kurš patīk viņam. 64. Pieņemsim, ka eksistē tāds 9-ciparu skaitlis, kas apmierina uzdevuma nosacījumus. Katrs šī skaitļa cipars var atrasties vienā no 9 pozīcijām (49. zīm.). Sanumurēsim šīs pozīcijas. Tad četrām pozīcijām numurs ir para skaitlis un piecām pozīcijām numurs ir nepāra skaitlis. Nepāra pozīcijas iekrāsosim melnā krāsā, pāra pozīcijas baltā krāsā. Starp divām vienas krāsas pozīcijām ir nepāra skaits citu ciparu, starp divām dažādu krāsu pozīcijām pāra skaits citu ciparu. Tātad, lai uzdevuma nosacījumi būtu apmierināti, cipariem 1 un 2 jāatrodas vienas krāsas pozīcijās, cipariem 2 un 3 jāatrodas vienas krāsas pozīcijās,..., \zzzzza \zzzza \77777A L zīm. 79

80 cipariem 8 un 9 jāatrodas vienas krāsas pozīcijās. Tas nozīmē, ka visiem deviņiem cipariem jāatrodas vienas krāsas pozīcijās, bet tas nav iespējams, jo ir ne vairāk kā 5 vienas krāsas pozīcijas. 65. Nē, nevar. Ir 5 nepāra cipari, no kuriem vismaz divi noteikti atrodas blakus. 66. Trijstūra virsotnes sadala riņķa līniju trijos 120 lielos lokos. Vienā no tiem atrodas divas kvadrāta virsotnes, kas sadala 120 loku trijās daļās. Vidējās daļas lielums ir 90, tātad abu malējo daļu lielumu summa ir 30. Tātad vismaz viena no tām nepārsniedz Caur vienu punktu paralēli dotajām taisnēm novelkam 11 taisnes. Skaidrs, ka pietiek apskatīt leņķus starp jaunajām taisnēm. Jaunās taisnes sadala 360 lielo pilno leņķi 22 daļās. Ja tās visas ir lielākas par 18 vai vienādas ar 18, tad to summa nav mazāka par = 396 >360. Tā kā tas nav iespējams, tad vismaz viena daļa ir mazāka par Pieņemsim, ka eksistē tāds ķermenis, kura visām skaldnēm ir dažāds malu skaits. Tad vienai no skaldnēm ir visvairāk malu, apzīmēsim tās malu skaitu ar m. Pārējām skaldnēm malu skaits var būt tikai m i, m 2, m 3,..., 5, 4, 3 (mazāk par 3 malām nevar būt); tātad, ja visām skaldnēm malu skaits ir dažāds, tad šo pārējo skaldņu nevar būt vairāk kā m 3, Bet skaldnei ar m malām piekļaujas m citas skaldnes pie katras malas viena. Iegūta pretruna. Tātad šāds ķermenis nav iespējams. 73. Iedomāsimies, ka katrā punktā iedurta adata un mūsu rīcībā ir mazs gumijas gredzens. Izstiepsim to un uzlīksi tā, lai tas aptvertu visas adatas, pēc tam ļausim gredzenam savilkties. Gredzens izveidos izliekta daudzstūra kontūru, kura virsotnes ir daži no dotajiem punktiem. Apskatīsim vienu šī daudzstūra malu AB. Caur A, B un katru no pārējiem punktiem novilksim pa riņķa līnijai. Sakārtosim tās tādā secībā, kādā to centri atrodas uz AB vidusperpendikula. Riņķa līnija ar centru Ir meklētā. 74. Izdarīt tādu pašu konstrukciju kā 73. uzdevuma risinājumā. Pēc tam aplūkot divus gadījumus kad iegūtais daudzstūris ir trijstūris un kad iegūtais daudzstūris ir četrstūris Tieši 197 viduspunkti ir, piemēram, tad, ja 100 punkti ir novietoti uz taisnes 1 cm attālumā cits no cita. Pierādīsim, ka mazāk viduspunktu nevar būt. Pieņemsim, ka A, ir tas punkts, kas atrodas vistālāk pa kreisi, bet Aloa punkts, kas atrodas vistālāk pa labi. Apskatīsim divas riņķa līnijas, kuru rādiusi ir vienādi ar pusi no attāluma AļAl00, bet centri atrodas punktos Ai un Aiqū. Katras riņķa līnijas iekšpusē atrodas vismaz 98 viduspunkti; pie tiem vēl jāpieskaita nogriežņa AiAļ00 viduspunkts. Pavisam iznāk vismaz = 197 viduspunkti. 76. Lauztajai līnijai ir 7 vertikāli un 7 horizontāli posmi, jo tā ir noslēgta lauzta līnija. Tā kā jebkuri divi posmi neatrodas uz vienas taisnes, tad visi horizontālie posmi atrodas uz 7 dažādām horizontālām taisnēm. Aplūkosim pašu augšējo horizontālo posmu. Lauztā līnija to 80

81 nevar krustot nevienā punktā, jo tad tas nebūtu augšējais posms. Nākamo horizontālo posmu lauztā līnija var krustot ne vairāk kā divās vietās, jo augšējam posmam ir tikai divi gali, nākamo horizontālo posmu 4 vietās. Līdzīgi varam spriest par 3 apakšējiem horizontālajiem posmiem. Uz trim augšējiem un trim apakšējiem horizontālajiem posmiem kopā var atrasties ne vairāk kā 2(2+4) = 12 krustpunkti. Aplūkosim vidējo horizontālo posmu. Liekas, ka to iespējams krustot 6 vietās. Taču tad izveidojas 50. zīmējumā a attēlotā aina (visi augšējo un apakšējo horizontālo posmu galapunkti ir «aizņemti» un nav kam pievienot vidējā posma galapunktus). Tātad vidējo posmu līnija nevar krustot 6 vietās un iespējamo krustpunktu kopējais skaits nevar būt 12+6=18. Līniju, kura krusto sevi 17 punktos, konstruēt iespējams. Tā ir 50. zīmējumā b attēlotā līnija ABIHCNĶFELMDGJA. 77. Uzdevuma nosacījumus apmierina, piemēram, riņķa līnija, kuras diametrs ir visgarākais nogrieznis, kura abi galapunkti atrodas divos no dotajiem punktiem. Pierādījumā izmanto šādu lemmu: ja AB ir riņķa līnijas diametrs, punkts M neatrodas uz taisnes AB un ir novietots a) riņķa līnijas iekšpusē, b) uz riņķa līnijas, c) riņķa līnijas ārpusē, tad *Ķ,AMB ir attiecīgi a) plats, b) taisns, c) šaurs. 78. Apzīmēsim pilsētas ar P\, P 2,..., Pn. Burvis sasniegs savu mērķi, ja uz katra ceļa PiPj, i<zj, ieviesīs kustību virzienā no Pt uz Pj. Pierādīsim, ka tā ir vienīgā iespeja burvim sasniegt savu mērķi. Apskatīsim divas pilsētas A un B. Pieņemsim, ka burvis ieviesis kustību virzienā no A uz B\ attēlosim to ar shēmu A-+-B. Apskatīsim trešo pilsētu C. Ja burvis ieviesis kustību C'-*A, tad viņš ir ieviesis arī kustību C-^B] ja ir ieviesta kustība A C, tad ieviesta ir arī kustība C-*-B. Tātad trīs pilsētas noteikti a I H b 50. zīm. 8?

82 savienotas ar ceļiem, uz kuriem kustību attēlo shēma X Z. Pievienojot vel ceturto pilsētu, iegūstam shēmu X -* -Y ^ Z >-T. ļ t Tātad pilsētas noteikti var apzīmēt ar Pu P2,..., Pn tā, ka bultiņas ir novilktas saskaņā ar aprakstīto stratēģiju. No tā izriet arī apgalvojumi b) un c). 79. Skaitli 36 kā triju naturālu skaitļu reizinājumu var izteikt šādos \eidos: , , , 1-4-9, 1-6-6, 2-2-9, 2-3-6, Tikai divos gadījumos reizinātāju summas ir vienādas: l+ 6+ 6= 2+ 2-f-9, un tikai tas varēja traucēt B uzzināt, cik veca ir katra meita. Tā kā starp A meitām viena ir vecākā, tad A meitām ir 2, 2 un 9 gadi. 80. Jautātājs pieder pie B daļas, bet otrs brālis pie A daļas. 81. Nē, nav pareizs. Ja ti = 5, tad = 1921 = Valdis frizieris, Miks šoferis, Andris atslēdznieks, Nils bibliotekārs biedri. Alksnis Bērziņš Dimants Egle Andris * * * * Bruno * Didzis * Ervīns * Ievelkam zvaigznīti rūtiņā, kas atrodas rindā «Didzis» un kolonnā «Egle»; tas nozīmē, ka ir spēlētājs, kuru sauc par Didzi Egli (vārtsargs!). Tā kā komandā ir 4 Andri un 4 Bērziņi, tad zvaigznītes jāievelk visā rindā «Andris» un visā kolonnā «Bērziņš». Tā kā komandā ir viens Ervīns un divi Egles, tad pēdējā rindā un pēdējā kolonnā zvaigznītes vairs nav jāievelk (sk. tabulu). Tā kā komandā ir 3 Alkšņi, tad tie ir Bruno un Didzis (bez jau atzīmētā Andra). Otrais Dimants ir Bruno (ja tas būtu Didzis, tad komandā būtu četri Didži). Komandas sastāvs noskaidrots. 85. Bruno, Kristīne, Jānis, Evija, Antons. 86. Teikums «... es un Ilze tiekam skaitīti...» norāda, ka rakstītājs ir zēns. Tāpēc, sastādot vienādojumu sistēmu, viegli iegūt, ka klasē ir 5 meitenes un 26 zēni. 87. Visi teikumi ir pretrunīgi cits citam. Tāpēc pareizs var būt ne vairāk kā viens no tiem. Ja pareizs nebūtu neviens tei- 82

83 kūms, iegūtu pretrunu pēdējais teikums izrādītos pareizs. Ja: pareizs ir tieši viens teikums, tad pārējie 99 ir nepareizi, un tad pareizais ir 99. teikums. Iesakām lasītājam atrisināt uzdevumu, ja vārdu «tieši» aizstāj ar vārdu «vismaz». 88. Vispirms pierādām, ka visi ierakstāmie skaitļi ir viencipara skaitļi, pēc tam pakāpeniski ka pēdējais ierakstāmais cipars ir 1 un priekšpēdējais cipars arī ir 1. Analizējot visas iespējas, noskaidrojam, ka pirmais cipars ir 3, otrais 2 un trešais Piemēram, frāze «šajā teikumā ir septiņi vārdi». 90. Apskatīsim visus iespējamos gadījumus. A. Atlidojuši divi melni putni un astoņi balti putni, pie tam melnie putni nosēžas uz viena skursteņa. Šajā gadījumā rūķītis, uz kura mājas skursteņa sēž abi melnie putni, uz visām pārējām mājām redz tikai baltus putnus,, tāpēc nevar zināt, kādi putni atrodas uz viņa mājas. Turpretī visi citi rūķīši, kas redz abus melnos putnus, pīkst varēs iznest trauciņus ar barību. B. Atlidojuši divi melni putni un astoņi balti, pie tam melnie putni nosēdušies uz dažādiem skursteņiem. Sajā gadījumā pīkst trauciņus iznesīs trīs rūķīši tie, kas redz abus melnos putnus. C. Atlidojis viens melns putns un deviņi balti putni. D. Atlidojuši desmit balti putni. Gadījumos C un D pīkst trauciņus neiznesīs neviens rūķītis. Kas notiks pīkst ? A. Rūķītis, kas pīkst vienīgais neiznesa savus trauciņus,, redzēja, ka viņa kaimiņi trauciņus iznesa. Tā kā pīkst četrus trauciņus iznes vienīgi A gadījumā, tad šim rūķītim ir skaidrs, ka uz viņa mājas jumta sēž divi melni putni. Tāpēc pīkst arī viņš varēs iznest trauciņus. B. Arī šai gadījuma abi rūķīši, kas nav vel savus trauciņus iznesuši, pīkst to varēs izdarīt. C. Katrs rūķītis, uz kura mājas jumta sēž divi balti putni, doma tā: «Es redzu vienu melnu putnu. Ja uz manas mājas ari būtu melns putns, tad daži rūķīši redzētu divus melnus putnus, izdomātu, ka uz viņu jumtiem ir divi balti putni, un būtu iznesuši barību. Bet viņi to nedarīja. Tātad uz manas mājas jumta melna putna nav, tātad tur ir divi balti putni.» Tas rūķītis, uz kura mājas jumta sēž melnais putns, redz tikai baltus putnus un tātad nevar atšķirt C un D gadījumus. Tātad četri rūķīši iznesīs trauciņus, bet piektais turpinās gaidīt. D. Visi rūķīši turpina gaidīt, jo neviens nezina, vai uz viņa mājas jumta nav viens melns putns. Līdzīgi spriežot, konstatējam, ka visi rūķīši varēs iznest trauciņus ar barību. 83

84 91. Pārveidojam = l + 'ft~tr - Lai daļa-^ļ^-būtu ve- 3 2n+l 2«-ļ-1 2n-ļ- 1 -sels skaitlis, jābūt n = 5 (neder) vai n+ 5 ^ [2n+l - Iegūstam vērtības n = l un n = Tā kā a + (a -f l) + (a + 2) + (a+3) + ( a + 4 )= 5 a = = 5(a+2), tad šai summai jadalas ar 5. Tatad tā nevar būt ne.24, ne Ja a=395, tad summa ir S = (a-j-l)-ļ-(fl- ^2)4-,..-f- (g-ļ-n)=na-ļ- n ^n^~^ dalot ar * _ 5 /1-4 1 _ n, iegūstam =a-ļ-----^. Lai dalījums butu naturals skaitlis, ir nepieciešami un pietiekami, lai n būtu nepāra skaitlis. 94. Dalās, jo 3'-H = = 120 un ,+ 3 lq0= ( ) (l ) = 120(1 + ļ 34 ļ 3a h~ ). 95. Pionieru skaitam jādalās ar 2, ar 3 un ar 5. Tātad pulciņā ir 30 pionieri. 96. Klases skolēnu skaitam jādalās ar 2, ar 3 un ar 7, tātad tas ir 42. Atzīmi «2» saņēma 42 ^ = = = 1 skolēns. 97. Vienā mēnesī kasē tika iemaksāts - j =9143 kap. Ja klasē ir x skolēnu un katrs mēnesī iemaksāja y kap., tad xy = Skaitli 9143 var sadalīt naturālos reizinātājos tikai kā un No skaitļiem 1, 41, 223 un 9143 par klases skolēnu skaitu der tikai skaitlis Apzīmējam doto skaitli ar A, bet «apgriezto» ar B. Lai reizinājums būtu astoņciparu skaitlis, ne A, ne B nebeidzas ar 0, tātad nedalās ar 10. Tā kā AB dalās ar 1000, t. i., ar 8-125, tad viens no skaitļiem A un B dalās ar 8, bet otrs ar 125. Pieņemsim, ka A dalās ar 125. Apzīmēsim A pirmo ciparu ar x, bet triju pēdējo ciparu veidoto skaitli ar y. Tad A = 1000.v-ļ-i/, tātad y dalās ar 125. Tātad y vērtības var būt 125, 375, 625, 875. Cipars x jāmeklē tā, lai B dalītos ar 8. Iegūstam četras A vērtības: 6125, 6375, 4625, Pieņemot, ka B dalās ar 125, iegūstam šos pašus skaitļus kā B vērtības, tātad A vērtības ir 5216, 5736, 5264, Visas iegūtas atbildes japarbauda. 99. Reizinot 29 ar cipariem 0, i,..., 9, redzam, ka tikai reizinājumam ar 9 pēdējais cipars ir 1. Tātad dalījuma pēdējais cipars ir 9. Skaitlis apmierina uzdevuma nosacījumus. (00. ABCABC=ĀBČ. 10Q0+ĀBČ=ABC-1001 = Ā B Č Ievietojot izteiksmē x = 0, iegūstam, ka d dalās ar 5. Ievietojot x I, iegūstam, ka a-\-b-\-c-\-d un a-ļb-\-c dalās ar 5. Ievietojot x = 1, iegūstam, ka a~\-b c-\-d dalās ar 5; no tā un 84

85 no iepriekšējā seko, ka (a-\~b~\-c-\-d)-\-( a-\-b c-ļ-d) 2d = 2b dalās ar 5, tātad ari b dalās ar 5. No šejienes secinām, ka a+ c dalās ar 5. Ievietojot x 2, iegūstam, ka (8a-ļ-4b-j-2c+d) (4b-j-d) =2(4a-ļ-c) dalās ar 5, tātad 4a-ļ-c dalās ar 5. Tātad skaitļi (4a-\-c) (a-ļ-c) = 3a, a un ari c dalās ar 5. Iesakām lasītājam pierādīt līdzīgu apgalvojumu 4. pakāpes polinomam. Vai apgalvojums ir spēkā 5. pakāpes polinomam? Kas notiek, ja 5 aizstāj ar citu skaitli? 102. Ievērosim, ka 26460= Apzīmēsim 2719o=a, 10887=b, = c. Katrs no skaitļiem a, b un c dalās ar 3, tātad apskatāmā izteiksme dalās ar 38. Turpmāk izmantosim vienādību xi ys= (x y) (x-\-y) (x2-\-y2) (J^+ļ/4), no kuras izriet, ka xs ya dalās ar x y, ja x^=y, x un y naturāli skaitļi. Tā kā a dalās ar 5-7, tad a&dalās ar 58-7s. Bet cs b&dalās ar c b = = 735 = , tātad dalās ari ar Tas nozīmē, ka visa izteiksme dalās ar Apskatot izteiksmi (a8 68)-ļ-c8, pierādām, ka tā dalās ar = _ 8 8 Pirmais reizinātājs dalās ar 9, otrais ar Jā, dalās. Sk uzdevuma atrisinājumu Pieņemsim, ka talona numurs ir abcdef. Tad laimīgajam talonam fl+6-ļ-c-f-d-ļ-e+f loe-ļ-f, no kurienes seko, ka a-j-6-ļ- -\~c-\-d=9e, tātad a-\-b-ļc~\-d dalās ar Nē, nevar. Viens no trim pēc kārtas ņemtiem veseliem skaitļiem dalās ar 3, tātad ar 3 dalās arī to reizinājums. Arī to summa a + (a-f 1) + (fl+2) = 3 ( a + l ) dalās ar 3. Bet dotais skaitlis ar 3 nedalās Atbildēsim uz pirmo jautājumu. Apzīmēsim iegūto skaitli ar x. Tad sākotnējais skaitlis ir 201jc. Tā kā x ^ l, tad sākotnējais skaitlis ir vismaz 201. Viegli redzēt, ka skaitlis 201 apmierina uzdevuma nosacījumus. Tāds skaitlis, kas, nosvītrojot pirmo ciparu, samazinās 1982 reizes, neeksistē. Lai to pierādītu, pieņemsim, ka šāds skaitlis eksistē, un apzīmēsim tā pirmo ciparu ar a, bet visu pārējo n ciparu veidoto skaitli ar M. Iegūstam vienādojumu a-\q l-\-m = = 1982-M, no kura izriet, ka a- 10"=7-283-AL Tā kā a ir cipars, skaitļa 10n pirmreizinātāji ir tikai skaitļi 2 un 5, bet 283 ir pirmskaitlis, tad šāda vienādība nav iespējama Ir divi šādi skaitļi: un Pierādīt patstāvīgi, ka tie ir vienīgie Starp četriem veseliem skaitļiem vienmēr var atrast divus skaitļus, kuriem ir vienādi atlikumi, dalot ar 3. So skaitļu starpība dalās ar 3. To, ka reizinājums dalās ar 4, pierāda, izpētot pāra skaitļu daudzumu starp dotajiem četriem skaitļiem Jānim pavisam varēja būt 1 rbl. 50 kap., 1 rbl. 75 kap. vai 2 rbļ. Analizējot visas iespējas, redzams, ka der tikai 1 rbl. 50 kap. es

86 111. Apzīmējot grāmatas cenu kapeikās ar x, iegūstam nevienādības 1101^9*^1199 un 1501^13x^1599. Tā kā x naturāls skaitlis, tad x= rbl. 18 kap Pieņemsim, ka Jurim ir a: markas un otrajā albumā atrodas n piektdaļas. Tad x % =117, no kurienes x = ^ m Skaitlim x jādalās ar 5 un ar 7, tāpēc der tikai n = 3 un x = Pēc 60 dienām, piektdienā. Dienu skaitam jādalās ar 3, ar 4 un ar Apzīmēsim šo skaitli ar n. Tad ar n dalās gan skaitlis , gan skaitlis , tātad ar n dalās arī to starpība, t. i., skaitlis 9. Tāpēc n^.9. Katrs skaitlis, kas satur pa reizei visus ciparus, dalās ar 9, jo tā ciparu summa dalās ar 9. Tāpēc «= Šo uzdevumu olimpiādē pilnīgi pareizi neatrisināja neviens dalībnieks. Tāpēc atstājam to patstāvīgajam darbam Ja pirmais saskaitāmais ir x, bet otrais y, tad iegūtā starpiba ir {\0y-\-x) {x-\-y) = 9y, t. i., tā dalās ar 9. Bet skaitlis ar 9 nedalās Ciparu summai jādalās ar 9 un triju pēdējo ciparu veidotajam skaitlim ar 8. Tāpēc vai nu x = 0, y = 8, vai arī x = 8, y = o Apzīmēsim naturala skaitļa n ciparu summu ar S(n)y bet meklējamo skaitli ar x. Pēc dotā S (x) =S(9,v), bet 9x dalās ar 9, tātad arī S(9%), S (x) un x dalās ar 9. Pārbaudot divciparu skaitļus, kas dalās ar 9, redzam, ka der skaitli 18, 45, 90, Atceramies, ka, naturālu skaitli dalot ar 9, iegūst tādu pašu atlikumu, kā dalot ar 9 tā ciparu summu. Tāpēc 2x x dalot ar 9, dod tādu pašu atlikumu, kādu iegūst, dalot ar 9 starpību 5(2x) S(x) (sk uzdevuma atrisinājumu). Tātad x dalās ar Mazākais skaitlis, kas sastāv no vieniniekiem un dalās, ar 9, ir Dalot šo skaitli ar 9, iegūstam ne> satur 7 ciparus. Mazākais 7-ciparu skaitlis ir 10G. Tā kā 15G= 106> 107, tad 15 satur vismaz 8 ciparus. Tāpēc l l ^ n ^ l 4. Skaitlis l l 6 beidzas ar ciparu 1, bet 14 beidzas ar ciparu 6, tāpēc šīs vērtības neder. Pārbaudot n = 1 2 un «=13, redzam, ka n = 12 der, bet n = 1 3 neder Reizinājums un arī tā ciparu summa dalās ar 9. Tāpēc izdzēstais cipars ir Cipars Par pirkumu samaksātajai summai jādalās ar Apzīmēsim doto skaitli ar x, iegūto skaitli ar ij, bet naturāla skaitļa n ciparu summu ar S(n). Tā kā y = 3x, tad y dalās ar 3, tātad S(y) un arī S(x) dalās ar 3. Tātad x dalās

87 ar 3. Tāpēc y dalās ar 9, tātad arī S(y), S(x) un x dalās ar 9. Tāpēc skaitlis y 3x dalās ar Ja kaut viens no skaitļiem x un y dalās ar 3, tad xy dalās ar 3. Ja ne jc, ne y nedalās- ar 3, bet atlikumi ir vienādi, tad x y dalās ar 3. Ja, x un y dalot ar 3, iegūst dažādus atlikumus, tad viens no šiem atlikumiem ir 1, bet otrs 2, tas nozīmē, ka x-\-y dalās ar Tāds ir, piemēram, skaitlis n = Protams, tas nav mazākais no skaitļiem, kas apmierina uzdevuma nosacījumu Starpība = 77 dalās ar meklējamo skaitli; tātad meklētais divciparu skaitlis var būt vai nu 11, vai 77. Pārbaude parada, ka abi šie skaitļi der Pieņemsim, ka kāds no izraudzītajiem skaitļiem dalās ar 26, apzīmēsim šo skaitli ar x. Pieņemsim, ka y kāds cits izraudzītais skaitlis. Tā kā x-\-y dalās ar 26, tad arī y jādalās ar 26. Tatad šajā gadījumā visiem izraudzītajiem skaitļiem jādalas ar 26. Naturāli skaitļi, kas nepārsniedz 1963 un dalās ar 26, ir skaitļi 26-1, 26-2, Tā kā 1963:26 = 75-^-, tad pēdējais no šiem skaitļiem ir un to skaits ir 75. Tātad aplūkotajā gadījumā (kad viens no izraudzītajiem skaitļiem dalās ar 26) nevaram izvēlēties vairāk kā 75 skaitļus. Skaidrs, ka, izvēloties 75 skaitļus 26-1, 26-2, 26-3,..., 26-75, katru divu skaitļu summa dalās ar 26, tātad minētā 75 skaitļu kopa apmierina uzdevuma nosacījumus. Atliek noskaidrot, vai gadījumā, ja neviens no izraudzītajiem skaitļiem nedalās ar 26, nevar izvēlēties vairāk par 75 skaitļiem, kas apmierinātu uzdevuma nosacījumu. Pieņemsim, ka x ir viens no izraudzītajiem skaitļiem. Tā kā x nedalās ar 26, tad x 26-m-\-r, kur m vesels skaitlis, r vesels skaitlis, 0 < r < 2 6 (r atlikums, kas rodas, skaitli x dalot ar 26). Ja y ir kāds cits izraudzītais skaitlis, tad f/ = 26-/i-ļ-p, kur n un p veseli skaitļi, 0-<p<;26. Tā kā x-\-y dalās ar 26, tad (26-m-ļ-/-)-}-(26-/z+p) = 2 6 (m-fn)- -(r-ļ-p) dalās ar 26. Tātad r-\-p dalās ar 26. Tā kā 0< r, /?<26, tad 0 </ -{-/; <52. Vienīgais skaitlis, kas apmierina šo nosacījumu un dalās ar 26, ir skaitlis 26. Tātad r-f-p = 26. Pieņemsim tagad, ka izraudzīto skaitļu kopa satur vismaz 3 skaitļus, un pierādīsim, ka tad visiem šiem skaitļiem atlikums, dalot ar 26, ir vienāds ar 13. Tiešām, pieņemsim, ka kopā ietilpst skaitļi ai, a2, a3, kurus dalot ar 26 iegūst attiecīgi atlikumus fi, r2»rz. Tad no (1) izriet, ka r i -\-f 3 = 26, r2-ļ-r3= 26, no kurienes ri = 26 r3 = r2. Tā kā ri-ļ-r2= 26, tad ri = r2= 13.

88 Līdzīgi pierāda, ka, ari citus kopas skaitļus dalot ar 26, iegūst atlikumu 13. Tā kā interesējamies par to, vai eksistē kopa, kas satur vairāk nekā 75 skaitļus un apmierina uzdevuma nosacījumus, tad atliek aplūkot gadījumu, kad visi kopas skaitļi, dalot ar 26, dod atlikumu 13. Cik ir tādu naturālu skaitļu, kas nepārsniedz 1963 un kurus dalot ar 26 iegūst atlikumu 13? Ievietojot izteiksmē 26-rc-ļ-13 vērtības n 0, 1, 2,..., 75, iegūstam 76 šādus skaitļus. Tātad šajā gadījumā meklējamā kopa nevar saturēt vairāk kā 76 skaitļus. Skaidrs, ka kopa, kas satur visus 76 minētos skaitļus, apmierina uzdevuma nosacījumus. Tātad meklējamais skaits ir Pieckapeikām jābūt pāra skaitā. Tāpēc tā naudas summa,, kas Jānim ir divkapeikās, dalās ar 10. Tātad divkapeiku skaitsvar būt 5, 10, 15. Atceroties, ka pieckapeikas ir pāra skaitā,- redzam, ka Jānim ir pa 10 divkapeikām un pieckapeikām,. t. U 70 kap ' = 7, 72= 49, 73 = 343, 74= Turpinot reizināšanu* atkal atkārtojas tie paši cipari 7, 9, 3, Atbilde redzama tabulā x pēdējais cipars 1o I pēdējais cipars 1o ļ 1 x l pēdējais cipars! x s pēdējais cipars 1 o J I pēdējais cipars o I TS beidzas ar 9, ar 6, ar 6. Tāpēc summa beidzas ar Ja x beidzas ar 0, tad x3 beidzas ar 0; ja x beidzas ar 1, tad x3 beidzas ar 1, utt. Aplūkojot visas iespējas, redzam, ka x beidzas ar 7, Tālāk apskatot visas priekšpēdējā cipara iespējamās vērtības, redzam, ka tas ir 9. (Ievērojam, ka x3 beidzas ar tādiem pašiem diviem cipariem, ar kādiem beidzas skaitļa x divu pēdējo ciparu veidotā skaitļa kubs.) 136. Dalot skaitli ar 3, atlikums ir tāds pats, kā dalot ar 3 skaitļa ciparu summu. Tāpēc, aplūkojamo skaitli dalot ar 3, atlikums ir 2. Bet, dalot ar 3 naturāla skaitļa kvadrātu, atlikums ir 0 vai 1. Tiešām, ja x=3k, tad x2= 9 k 2; ja x=3k-\-\, k^n, tad Jt2=:9fe2+66-ļ-l=3(3 2+2č)-f-l; ja * = 3A+2, k ^ N r tad *2= =3(3A 2+4fc+l) + l Sk uzdevuma atrisinājumu Sāda skaitļa ciparu summa dalās ar 3, bet nedalās ar 9. Tāpēc arī pats skaitlis dalās ar 3, bet nedalās ar 9. Tātad tas nav vesela skaitļa kvadrāts Ja visi četri minētie makšķernieki būtu dažādi cilvēki, tad noķerto zivju kopējā skaita pēdējais cipars būtu 2. Bet vesela skaitļa kvadrāts nekad nebeidzas ar ciparu 2. Tāpēc visi četri

89 makšķernieki nav dažādi cilvēki. Viena un tā pati persona var būt tikai Andreja dēls un Juris Piemēram, No 1 līdz ir skaitļu, kas dalās ar 2, skaitļu, kas dalās ar 3, un skaitļu, kas dalās ar 5. Starp tiem ir skaitļi, kas dalās ar 2 un 3 (t. i., ar 6), skaitļu, kas dalās ar 2 un 5, un skaitļu, kas dalās ar 3 un 5. Bez tam no šiem skaitļiem dalās ar 2, 3 un 5. Tāpēc tādu skaitļu skaits, kas dalās vai nu ar 2, vai 3, vai 5 (varbūt ar vairākiem no tiem), ir ^ = Tāpēc meklējamais skaits ir = Sadalot reizinājumu reizinātājos, iegūstam 12 reizes reizinātāju 5 un 47 reizes reizinātāju 2. Tātad reizinājums beidzas ar 12 nullēm Nē, neeksistē. Ja n = 799, tad reizinājums beidzas ar 197 nullēm, bet, ja rc=800, jau ar 199 nullēm, un nuļļu skaits reizinājuma beigās nesamazinās Tas ir skaitlis., kas dalās ar Ja četrstūra perimetrs ir p, tad četrstūra malu garumi (ja tie visi ir dažādi) attiecīgi nevar būt lielāki kā-^- ~ ~ (jo visas malas ir īsākas nekā ~ ). Bet-ļj ļ-~ ļ- ~ \-^- = O Z O 4 O O 5 7 ^ ē o p < p Ja skaitlim n ir dalītājs d\, tad tam ir arī dalītajs d2 = fī = -j. Tatad visus dalītajus var apvienot pāros ta, ka abu viena a i pāra dalītāju reizinājums ir n. Mazākais no šiem reizinātājiem nepārsniedz }' ņ, tātad pāru nav vairāk kā ļ/n, t. i., dalītāja nav vairāk kā 2} n Ja naturāls skaitlis n sadalīts pirmreizinātājos, t. i., n = pik'p2k-...pm km, tad tam ir (fti+1) ( & 2 + 1)... (km-\-\) dažādi dalītāji. Ja n dalās ar 30, tad n dalās ar 2, ar 3 un ar 5. Tāpēc dalītāju skaita izteiksmē ir vismaz 3 iekavas, kuru vērtības ir lielākas par 1. Tā kā dalītāju skaits ir 30, tad šo iekavu vērtības var būt tikai 2, 3 un 5. Tāpēc visus meklējamos skaitļus var uzrakstīt formā 2n'3ni5ni, kur skaitļu nt, n2 un n3 vērtības ir 1, 2 un Vienādojumu var pārveidot šādi: (x 1) (y 1) = 1. Tā kā skaitli 1 var sadalīt reizinātājos tikai kā 1-1 un kā ( 1)( 1), tad iegūstam divas iespējas: x = y = 0 un x y = Pārveidojot vienādojumu x-y = 2x-{-2y formā {x 2)(y 2) = 4, iegūstam divus taisnstūrus, kuru izmēri ir 4X4 un 3X Apzīmējot a jc+1, b = y-\-1, c z-ļ-1, iegūstam vienādojumu xyz-\-xy-\-xz-\-yz=2, kur x, y, z^ 0. Vismaz diviem

90 saskaitāmajiem jābūt vienādiem ar nulli. Iegūstam 6 atrisinājumus: viens no skaitļiem a, b, c ir vienāds ar i, otrs - vienāds, ar 2, trešais vienāds ar Apzīmējot meklējamo skaitli ar ab, iegūstam vienādību \0a-ļ-b = 2ab jeb b '6=. Tātad b ^ 5 un b pāra cipars, Izdarot pārbaudi, redzam, ka der tikai 6 = 6; tad a = , 38, 47, 56, 65, 74, 83, Atrisinājuma nav, jo vienādībās kreisas puses lielāka iespējamā vērtība ir 36-4= 144, bet labajā pusē ir četrciparu skaitlis Apzīmējam KU = KA±x, kur.v cipars. Uzdevumā doto vienādību var pārveidot šādi: RE ĶA±2x-\-. Tā kā x2 dalās ar divciparu skaitli, tad 4 ^.v ^ 9, Pārbaudot visas x vērtības, iegūstam šādas atbildes: 20_25_ 3 0 ^ ; AB 155. Apzīmējot saīsināmo daļu ar-ģ^, iegūstam vienādojumu 10A (C B) = C(A B). Šķirojot gadījumus, kad C vai A B dae x las ar o, iegūstam atrisinājumus 95 ; 55 > ģģ" un ļļ ; - *" 99 ' 156..Ja m ir sākumā dotais divciparu skaitlis un a ir galā pierakstītais cipars, tad pēc uzdevuma nosacījumiem skaitlis 10/n-ļ-a dalās ar m. Tātad a dalās ar m. Bet tāpēc a dalās ar m tikai tad, ja a 0. Skaidrs, ka 1= 0 der par atrisinājumu Ja pareizi atbildēto jautājumu skaits ir x, bet nepareizi atbildēto jautājumu skaits ir y, tad 7x Ay \ un. Ievietojot y 0, 1,2,..., 16, redzam, ka x ir vesels skaitlis tikai tad, ja y = 5 un (/=12. Bet, ja //=12, tad A'-ļ-y>16, kas nevar būt. Tāpēc y 5 un x= Neeksistē, jo 11* beidzas ar ciparu I, tātad 11* 1 beidzas ar ciparu 0, bet 8y ar ciparu 0 nebeidzas. I 1 I Pieņemsim, ka a<cb<cc. T ad < un a < 3. a b c a Tā kā 1, tad o = 2. Tāpēc ļļ--!- ļj~= ļļ~ no kurienes un b< 4. Tāpēc b = 3 un c 6.

91 Pārbaudīt patstāvīgi, ka -i f- ^ ~ + ^ - + 4^ + 1^ q =! Pieņemsim, ka b ir lielākais vai viens no lielākajiem starp skaitļiem b, c, d. Tad a\ = b\-\-c\-{-d\^ 3 - b\. Tā kā a > b, tad iegūstam nevienādību b\-(&-1-i). tātad (b-\- -ļ-l)..-a ^ 3 un a ^ 3. Pārbaudot visas iespējas, atrodam, ka a = 3, b c = d ~ 2, 161. Pārveidojam vienādojumu šādi: ( ^ 2 + ^ Z2) + (Z2y2+X 2z2) _f_ (y2x2 + x2z2)=&xyz (ļ ) Saskaitot nevienādības (x y yz)2^ 0, (xy xz)2^ xz)2^z0, iegūstam nevienādību 0 un (zy 2 (x2y2-\-x2z 2-{-y2z2) ^ 2xyz(x-\~y-\-z). (2) No sakarībām (1) un (2) izriet, ka x+(/-ļ-2=sr3. Tā kā x, y, z naturāli skaitļi, tad x = y z i Doto vienādojumu pārveidojām šādi: yk^ x ( x + 1). Tā kā x un a:+ 1 ir savstarpēji pirmskaitļi, tad to reizinājums var būt kāda skaitļa k-tā. pakāpe tikai tad, ja gan x, gan x-ļ- 1 ir k-tā pakāpe. Bet divu k-to pakāpju, kas atšķiras par skaitli 1, nav, 163. Pāra skaitļa kvadrāts dalās ar 4 bez atlikuma, bet, dalot ar 4 nepāra skaitļa kvadrātu, atlikums ir 1. No tā varam secināt, ka visi skaitli x, y, z ir para skaitļi. Apzīmējot x=2xi, y=2yi, z 2zļ un ievietojot dotajā vienādojumā, iegūstam, ka xi2+ y l2+ z l2 = 4xly[zi. Līdzīgi kā iepriekš secinām, ka *1 = 2*2, yx=2ijļ un zt= 2 z 2. Iegūstam vienādojumu X22-\-y22-\-Zļi 8x2y2Z2 utt. Tātad skaitļus x, y un 2 var bezgalīgi daudz reizes dalīt ar 2, iegūstot veselus dalījumus. Tas iespējams tikai tad, ja šie skaitļi ir vienādi ar nulli Risinājums līdzīgs 163. uzdevuma risinājumam. Atbilde: x = y = z Apzīmēsim x = xi -d, y=?yi-d, kur d ir x un y lielākais kopīgais dalītājs. Iegūstam vienādojumu xi2+ y i 2 = axlyl, no kura izriet, ka X\2 dalās ar y{. Tā kā Xi un y, lielākais kopīgais dalītājs ir 1, tad yi = l. Līdzīgi iegūstam, ka JCi = l. Tatad x = y un 0 = 2. Pārbaude parāda, ka vērtība a = 2 der ir pirmskaitlis, citi dotie skaitļi nav pirmskaitļi.

92 167. Iespejamas 5 atbildes: 2, 5, 89, 3, 7, 461; 2, 5, 89, 3, 7, 641; 2, 5, 89, 3, 67, 41; 2, 5, 89, 3, 47, 61; 2, 5, 89, 43, 7, Reizinājums (6 2) ( +4) ir pirmskaitlis tikai tad, ja 6 2 1= I vai 6+4 = 1. Pārbaude parāda, ka der vērtības 6 = 3 un 6 = Ja n nepāra skaitlis, tad n2-\-9 ir pāra skaitlis un nav pirmskaitlis. Pārbaude rāda, ka vērtība rt 2 der Ja pirmais no 10 pēc kārtas ņemtajiem skaitļiem lielāks nekā 2, tad puse no tiem ir pāra skaitļi un tāpēc nav pirmskaitļi. Atliek pārbaudīt gadījumus, kad pirmais skaitlis ir I vai Piemēram, 121+2, 121+3, 121+4,..., p2 1 = (p 1) (p+1). Tā kā p nedalās ar 3, tad vai nu p 1, vai p+1 dalās ar 3. Tā kā p > 2, tad p 1 un p+1 ir pēc kārtas ņemti pāra skaitļi, no kuriem viens dalās ar 2, bet otrs ar 4, un tāpēc p% 1 dalās ar Ievērojam, ka 2(3n+8) 3(2n+5) = l, Tātad skaitlis 1 dalās ar katru skaitli, ar kuru dalās gan 3n+8, gan 2rc No vienādības 8(5rc+6) 5(8n+7) = 13 izriet, ka daļu varēs saīsināt tikai ar 13 (piemēram, ja n = 4) Viegli pārbaudīt, ka 1, 2, 3, 4, 6 tādējādi saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem izteikt nevar, bet 5 = Pieņemsim, ka n ļžl. Ja n ir nepāra skaitlis, n = 26+1, tad f t = 6+ ( 6+l). Ja ti ir pāra skaitlis, kas dalās ar 4, t. i., n 46, tad n = ( 26+1) + + (26 1). Tā kā (26+1) (26 1) = 2, tad skaitļu 26+1 un 26! kopīgais dalītājs var būt 1 vai 2, bet 26+1 un 26 1 ir nepāra skaitļi, tātad ar 2 nedalās. Ja n ir pāra skaitlis, kas nedalās ar 4, t. i., rc = 46+2, tad n = (26+3) + (26 1). Nosacījums n~^7 garantē, ka visi saskaitāmie ir lielāki nekā zīm.

93 176. Var ņemt visus para skaitļus. Izveļoties 11 skaitļus, divi no tiem atšķiras par 1, tie ir savstarpēji pirmskaitļi Ja zilacaino skolēnu skaits ir x, iegūstam vienādojumu jc-ļ L;t_ļ_~ x = 7 0 0, kura atrisinājums ir *=509-r^-. Tas nav 4 o 11 iespējams Varam ņemt 4 dažādus nepāra skaitļus, kas visi dalāsar 3. Ja to summa tomēr nedalās ar 4, tad lielākajam no tiem pieskaitām skaitli Novietojot apskatāmo figūru pozīcijās abccl un abce- (51. zīm.), redzams, ka rūtiņās d un e ierakstīto skaitļu pēdējiem cipariem jābūt vienādiem. Atkārtojot šādu operāciju, secinām, ka' 52. zīmējumā iesvītrotajās rūtiņās ierakstīto skaitļu pēdējiem cipariem jābūt vienādiem. Taču mūsu rīcībā nav 13 skaitļu, kas beigtos ar vienu un to pašu ciparu ]) Jā ir iespējams, 2) nē, nav iespējams. Otrā punkta risinājumā šķirot gadījumus atkarībā no tā, cik virsotnēs ierakstīti pāra skaitļi Skaitli 9999 var iegūt no Skaitli 999 iegūt nevar,, jo pārnesums nevar rasties, un tāpēc divkāršotai sākotnējā skaitļa ciparu summai jābūt vienādai ar Piemēram, 9 8 = 1, 3 1=2, 7 4 = 3, 6 2 = 4, 5 0 = 5.. Pavisam ir 10 atrisinājumi cipari ^ = 289. Ja skaitlis ir abc, iegūstam a-ļ-b-ļ-c= 19. Visiem; cipariem jābūt dažādiem Mazākais iespējamais ciparu skaits šādā skaitlī ir 12, un mazākais iespējamais pirmais cipars ir 2. Meklētais skaitlisir tādi skaitļi eksistē, piemēram, 997, 998,..., tādu skaitļu nav, jo starp katriem 7 pēc kārtas ņemtiem naturāliem skaitļiem var atrast četrus pēc kārtas ņemtus skaitļus,, kuriem pēdējais cipars nav 0, un to ciparu summas arī ir pēc kārtas ņemti naturāli skaitļi. Viena no tām dalās ar Jā, eksistē, piemēram, «= Lai skaitlis abcde būtu vislielākais, par tā pirmo ciparu izvēlēsimies vislielāko iespējamo ciparu, t. i., a= 9. Acīmredzot e^o, tā kā d^>e, tad d~^\. Tā kā c>d-\-e, tad. 2. Tātad c-ļ-d-ļ-e^ 3 un b>c-\-d-\-e^3. Ievērojot nosacījumus, ka 9 = a>č>-fc-\-d-\-e un c-\-d-\-e^3, iegūstam, ka b < 6. Tiešām, ja būtu b ^ 6, tad būtu č>+c-ļ- /+ -j-e^9, un tā ir pretruna. Tā kā b<i6, tad b^.5. Lai skaitlisbūtu lielākais iespējamais, izvēlamies otrā cipara b lielāko iespējamo vērtību, t. i., 5. Tā kā jābūt spēkā nevienādībai 9 = a > 6-ļ-c+d-ļ-e, tad c+ 4, bez tam iepriekš pierādījām, ka c-ļ-d-ļ-e^z3, tātad' 93»

94 <c-\-d-\-e=3. Atceroties, ka e^o, d ^ l, c ^ 2, iegūstam, ka e 0, d l, c 2; meklējamais skaitlis ir Ievērosim, ka 2100= (2 )10= > 1000l0= 103ū un <4-107, tāpēc 2l00 = (225) 4< < Tā kā 1030< 2 100< 1031, tad skaitlim 2100 ir 31 cipars Ja skaitlim ir x ciparu un skaitlim ir y ciparu, tad 10t'-1< 2 l977< 1 0 JCun 10^-1< < 10*. Sareizinot šis nevienādības, iegūstam 10*+^2< 10l977< 10*+^. Tā kā x-\-y vesels skaitlis, tad x-\-y 1 = 1977 un x-ļ-y= Ja viena otrdiena ir pāra datumā, tad nākošā otrdiena ir nepāra datumā un otrādi. Mēnesī var būt ne vairāk kā 5 otrdienas, tāpēc pāra datumos ir 1., 3. un 5. otrdiena. Pārbaude rāda, ka 1. otrdiena var būt tikai 2. datumā, tātad ari 23. datums ir otrdiena Ja pirmā sapulce notikusi 1. janvāri vai garā gada 2. janvāri, tad iespējamas 53 sanāksmes, citos gadījumos 52 sanāksmes Ja n naturāls skaitlis, tad [x] n, j = n, [2x]=2rt. Ja 1, n naturāls skaitlis, tad i[x]=rc, -rf-h-ļ-j [2x ) 2n-\-\ (jo 2n + 1. ^ 2x < < 2n-f 2) Pieņemt, ka ti*^.x<. (n-ļ-l)4, n naturāls skaitlis, un pierādīt, ka uzdevumā dotās vienādības katras puses vērtība ir n Pieskaitīt vienādības abām pusēm 2^-^ ( ^ ļ-,.., q 196. Kreisas puses saskaitāmos sadalīt pec formulas x* a* x a x-\-a bet labās puses saskaitamos pec formulas 1 1 / 1 1 a(a-ļ-ll) 11 \a a Apzīmējam daļas skaitītāju ar n, tad daļas vērtība ir (lon-ļ-l)2 10n (lon-f-2) Apzīmējam skaitļus, kā parādīts 53. zīmējumā. Tad 3e = (a+ c+ 0 + (d+^-ļ-/) + ( ^ + e+ c) (u+ d + ^ ) (c-f-f-ļ-j) = 30 un tapec e=10. No šejienes a -f/= g '+ c = 2 0 un a-f-c4-i+^= kap Ja m kolonnās ierakstīto skaitļu summas ir at, a2,..., am, bet n rindās ierakstīto skaitļu summas ir b\, b2,..., bn, tad 94

95 pēc uzdevuma nosacījumiem meklējamā summa S ir visu iespējamo reizinājumu flcfej summa l^/^ft),t. i., (ai+ a2 +.. (&i + i 2 +.,.-ļ-5rj), Bet šis reizinājums ir S-. Tātad S2= S un 5 = 0 vai 5 = 1. Tā kā visi skaitļi ir pozitīvi, tad 5 = Kāpinot doto vienādību kvadrātā, iegūstam vienādību a un a b c d e f g h i «3 + ^ = 34. (1) Reizinot vienādību (1) ar doto vienādību, iegūstam «3 + ļ ) = ( o + ļ - ) = 198. Līdzīgi iegūstam, ka a^ + ^ j = 1154 un a5+ = Uzdevumā doto vienādību var pārveidot šādi: (a b)(a c) (b c ) = Pieskaitot visām vienādajām izteiksmēm skaitli 2, iegūs-, _,. 2+f>+c ū-\-b-\-c u-\-b-\-c. _ * tam vienādībās = = 1----!, no kuram izriet, a b c ka a + 6+ c = 0 vai a b = c /rā ( az4 ļ 1 = (n2+ rt+ l) (n3 n+1). Ja n>i, abas iekavas lielākas par = 102n ' = (10"+ 1)2. n n 206. Ja 10, tad n rubļus var samaksāt gan ar I desmitrubļu zīmi un n 10 vienrubļa zīmēm (t. i., ar n 9 naudas zīmēm), gan ar 2 piecrubļu zīmēm un n 10 vienrubļa zīmēm (t. i., ar n 8 naudas zīmēm). Viens no skaitļiem n 8 un n 9 ir nepāra skaitlis, otrs pāra skaitlis. Ja rt<c 10, var lietot tikai tādas naudas zīmes, kas vērtas nepāra skaitu rubļu Uzrakstīto skaitļu reizinājums nemainās. Tātad beigās tas ir 1 un uz tāfeles ir palikuši skaitļi + 1 un Pierakstīsim zilam punktam skaitli +1, sarkanam skaitli 1. Lokam pierakstītais skaitlis ir tā galiem pierakstīto skaitļu summas puse. Tāpēc lokiem pierakstīto skaitļu summa vienāda ar punktiem pierakstīto skaitļu summu, t. i., vienāda ar skaitli Jābūt 2 skaitļiem vienā kolonnā un vēl pa vienam skaitlim pārējās kolonnās. Ja ir tikai 5 skaitļi, tad vai nu kādā kolonnā nav neviena skaitļa {un tad to vispār nevar aizpildīt), 95

96 vai ari katrā kolonnā ir tieši viens skaitlis, un tad nav atrodams proporcionalitātes koeficients gramus. Līdzīgu ķermeņu tilpumi ir proporcionāli lineāro izmēru kubiem kg. Līdzīgu ķermeņu virsmas laukumi ir proporcionāli lineāro izmēru kvadrātiem Jānim jāsaņem 2,10 rbļ., Jurim 0,30 rbļ. Jāievēro, ka katrs zēns ir apēdis konfektes par 2,40 rbļ Romiešu jurists Jūlijs Salviāns šo jautājumu atrisināja šādi. Nelaiķis gribējis, lai dēls saņem divas reizes vairāk nekā atraitne, bet meita divas reizes mazāk nekā atraitne. Tāpēc.mantojums starp viņiem jāsadala proporcijā 4:2: Meklējamais skaitlis acīmredzot nav mazāks kā 299 un.nav lielāks kā 328. Pārbaude parāda, ka der tikai skaitlis Tādu skaitļu nav, jo =255024<255124< < = Līdz 99. lappusei ieskaitot izmantoti 189 cipari. Tālāk katras jaunas lappuses numurēšanai vajadzīgi 3 vai vairāk jauni cipari. Ciparu skaita un lappušu skaita attiecība aug, tātad iespējams ne vairāk kā viens atrisinājums. To var uzminēt: 108 lappuses Polinoma P(x) koeficientu summa ir P(l), t. i., vērtība, kuru iegūst, ievietojot polinomā x 1. Tātad meklējamā summa ir Otrais spēlētājs var panākt, lai polinoms būtu X2-ļ- (rt-f-l)x+tt=: (x-ļ-n) (x-ļ-1) Skaidrs, ka a ^ 0. Pieņemsim, ka a> 0. Apskatīsim tikai tās x vērtibas, ar kurām funkcija y(x) = ax2-\-bx-\-c ir augoša. Ja y ( s ) = n 4, tad y {s+ l) > y (s), tātad y (s-ļ-1) ^ (n-ļ-1)4; līdzīgi iegūst nevienādības y (s + 2) ^ (n-ļ-2)4,..., y(s-\-t)^(n-\-t)i. Uzrakstot y(s-\-t) izvērstā formā, savelkot līdzīgos locekļus un ievērojot, ka as--\-bs-\-c n*, iegūstam nevienādību ^-ļ-4n 3+ ( 6»s d)t*+ {4n ^ 2as kas ir spēkā visām naturālām t vērtībām. Pierādīsim, ka katram polinomam P(t) t^+ap+bp-^ct+d var atrast tādu t vērtību, ka P (i) > 0. Tiešām, D /i\ Jil 1 I ^ I ^ l ^ l ^ \ P ( 0 = ( < ļ l + T r + _ ļ. Ja izvēlamies tik lielu,t vērtību, ka h - < ; ~, i 5 t H < -i-, - fm 5. t3 < 1 D_ < T un < -. tad P ( t ) > 0. o t* Tātad iegūta pretruna, un a= 0. Līdzīgi pierāda, ka 6 = 0. "96

97 skaitlis. 22!. Attālums starp blakus esošiem kokiem ir -ģ m, tātad meklējamais attālums ir 110 m Skaitļiem jābūt ierakstītiem periodiski ar periodu 3. Tālāk konstatējam, ka pirmie trīs skaitļi ir 1, 7, Sagrupējam skaitļus pa pāriem: 01 un 98, 02 un 97, 49 un 50. Katrā pārī ciparu summa ir 18. Pieskaitot vel skaitļa 99 un skaitļa 100 ciparu summu, iegūstam Sk. 54. zīmējumu Ja katrai k vērtībai &-tā atsvara masa ir mazāka nekā kg, tad visu masu summa ir mazāka nekā skaitlis 1, jo 2h _1 4 + x ^< t + t + t + ' " + ^ + """= " T ^ t ~ l Ja pieņem, ka at = l, tad no dotās vienādības aak = 3-k izriet, ka ^ = 0 ^ = 3. Radusies pretruna, un tāpēc ai= 1. Ja pieņem, ka a ^ k > 3, tad no dotās vienādības izriet, ka ak = 3. Tā kā virkne ir monotoni augoša, tad jabut speķa nevienādībai aft>flļ un atkal ir radusies pretruna. Tādējādi a,= 2. A B C D x x X E U F G H I J 54. zīm. 55. zīm. 97

98 Izmantojot uzdevuma doto vienādību, pakapeniski iegūstam, ka a2~ a a, = 3 1 = 3, a3= a a, = 3 2 = 6, a6= a Sj = 3 3 = 9, o9= o «0 = 3 6=18, O729= 0 = 3 486=1458, Ol4S.S : = C = = Ū72& Starp virknes locekļiem a7īs un auss atrodas = = 728 virknes locekļi 1730, 0731,., «1457. Tā kā virkne ir monotoni augoša, tad ir spēkā nevienādības 1458<a730 <2187, 1458 < <2187, 1458< a 14s7< Bet starp skaitļiem 1458 un 2187 atrodas tieši = 728 naturāli skaitļi 1459, 1460, Tātad virknes locekļu šajā intervāla starp skaitļiem 1458 un 2187 ir tieši tikpat, cik iespējamo vērtību. Tā kā virkne ir monotoni augoša, tad katram loceklim ir cita vērtība un katrs nākamais virknes loceklis apskatāmajā intervālā ir par skaitli 1 lielāks nekā iepriekšējais loceklis, t. i., 0730 = , <3:7311= 730 ) 1 = *729+2 utt., o729+k Q729-\-k (A=l, 2, 3,..., 728). Tāpēc 01000= ^ = =^ = = Iesākām lasītājam patstavīgi pārliecināties, ka var aprēķinat visu virknes locekļu vērtības Pierādīsim, ka virknē var atrast bezgalīgi daudz tādu skaitļu, kuriem piemīt uzdevumā norādītā īpašība. Apzīmēsim virkni ar o.\, Ū2, o3... Tā kā Q > 1, tad tas ir pirmais šāds skaitlis. Pieņemsim pretējo, ka šādu skaitļu virknē ir tikai galīgs skaits un vislielākais no tiem ir a. M. Apskatīsim virknes locekļus a<, a2,..., ūm. i Saskaņā ar izdarīto pieņēmumu neviens no tiem nepārsniedz M un ir pa pāriem atšķirīgi, bez tam Oi>l. Tādējādi M skaitļiem a\, ai,..., am ir ne vairāk kā M 1 dažādu vērtību, bet tas nevar būt. Iegūta pretruna, tātad meklējamo virknes locekļu ir bezgalīgi daudz (tad, protams, starp tiem nevar atrast vislielāko) Dotā virkne satur n skaitļus., -^7,..., ~, kas * n\ n\ n\ n\ veido aritmētisku progresiju, kurā ir n locekļu (pirmais loceklis ir un diference ir rifi! n! / 98

99 kvadrātiņi, kas izvietojas pa kvadrāta kontūru Pirmo ciparu var izvēlēties 5 veidos. Katram no šiem veidiem otro ciparu var pievienot vēl 5 veidos, tātad pirmo un otro ciparu kopā var izvēlēties 5 '5 = 25 veidos. Kad pirmie divi cipari ir izraudzīti, trešo ciparu var pievienot vēl 5 veidos, tātad trīs pirmos ciparus var izvēlēties 5-5'5 veidos, utt. Tātad numuru pietiks 56= grāmatām. Grāmatas bibliotēkās parasti izvieto tā, lai saturā līdzīgām grāmatām numuri atšķirtos maz. Pāra ciparus tad var izmantot kā «rezervi», katrai jaunai grāmatai piešķirot numuru tā, lai katalogā šī grāmata atrastos starp līdzīga satura grāmatām Vienādie cipari var būt novietoti 10 dažādos veidos (55. zīm.). Pirmajos 4 gadījumos vienādie cipari nevar būt 0, tātad šajos 4 gadījumos pirmo ciparu var izvēlēties 9 veidos. Spriežot tāpat kā 231. uzdevuma atrisinājumā, redzam, ka katrā no gadījumiem A, B, C, D ir 9-9-8'7 skaitļu, bet kopā šiem gadījumiem atbilst = skaitli. Ja neviens no vienādajiem cipariem neatrodas desmittūkstošu pozīcijā un vienādie cipari ir 0, tad ir skaitļi, bet, ja vienādie cipari nav 0, tad ir =24192 skaitļi, Kopējais skaits ir Pieņemsim, ka pa kāpnēm, kurām ir n pakāpieni, var uzkāpt S(ft) veidos. Skaidrs, ka S(l) = l, 5(2) = 2. Pierādīt patstāvīgi formulu 5 (n + 2 )= S (n )+ 5 (rx + l) un aprēķināt S(10) Lai noteiktu, cik veidos var nonākt rūtiņā M, jāsaskaita, cik veidos var nonākt rūtiņā Ķ un cik veidos var nonākt rūtiņā L (56. zīm.). Pie tam, ja kādas no rūtiņām K vai L nemaz nav (M atrodas pie kvadrāta malas) vai tā ir nepieejama, tad attiecīgā saskaitāmā vietā jāņem 0. To ievērojot, pakāpeniski iegūstam 57. zīmējumā parādīto tabulu veidā Apzīmējam planētas Orora iedzīvotāju kreisās rokas pirkstu skaitu ar a, labās rokas pirkstu skaitu ar c, vidējās rokas pirkstu skaitu ar b. Tad a-\-b-\-c 15, a ^ l, 1, cr^l. Vienādībā a+ fr= 1 5 c skaitļus a un b var izvēlēties (15 c) 1 = 14 c veidos. Tā kā c vērtības var būt skaitļi 1, 2, 3,..., K M L 56. zīm. 57. zīm. 99

100 13, tad meklejamo cimdu komplektu skaits ir = Apzīmējam trijstūra malu garumus ar x, y, z. Pieņemam, ka x7^y^z, tad 3x^25 un x~^9. Tā kā x<y-\-z, tad 2jc<25 un, v ^ 12. Apskatot iespējamās x vērtības un ņemot vērā, ka x ir garākā mala, iegūstam 16 atrisinājumus stabi veidos Sadalīsim visu ceļa gabalu 10 posmos pa 50 km (58. zīm.). Ja kādu no šiem posmiem automašīna nobrauc tieši 1 stundā, tad tas ir meklētais. Pieņemsim, ka starp šiem 10 posmiem nav tādu posmu, kurus automašīna nobrauc tieši 1 stundā. Tad noteikti ir posmi, kurus automašīna nobrauc īsākā laikā nekā 1 stunda, un posmi, kurus automašīna brauc ilgāk nekā 1 stundu. (Tā kā visu ceļu 10 posmus automašīna nobrauc 10 stundās, tad nevar būt, ka automašīna visus ceļa posmus brauc ilgāk nekā 1 stundu vai visus mazāk nekā 1 stundu.) Aplūkosim divus blakus esošus posmus, no kuriem vienu automašīna brauc ilgāk nekā 1 stundu, bet otru mazāk nekā 1 stundu (59. zīm.). Pieņemsim, ka pa kreisi ir posms, kuru automašīna nobrauc mazākā laikā nekā 1 stunda. Iedomāsimies, ka mūsu rīcībā ir šablons, kura garums sakrīt ar viena posma garumu, un šo šablonu varam uzlikt uz posma AB. Bīdot šablonu uz labo pusi, pakāpeniski pārvietosim to līdz stāvoklim BC. Ceļa posmu, uz kura sākumā bija uzlikts šablons, automašīna nobrauc mazākā laikā nekā 1 stunda, bet posmu, uz kura šablons atradās beigās, ilgākā laikā nekā 1 stunda. Tātad noteikti kādā bīdīšanas momentā šablons pārsedz tādu ceļa posmu, kuru automašīna nobrauca tieši 1 stundā. Ja pa kreisi atrastos posms, kuru automašīna brauc ilgāk par 1 stundu, un pa labi posms, kuru automašīna brauc mazāk par vienu stundu, spriedumu varētu izdarīt līdzīgi x = \ Viena sakne ir *= 0. Apzīmējot x2 = t/, iegūstam vienādojumu j/3+2(/2+ 3 y 6 = 0 jeb (y 1) (i/2+3(/+6) = 0, kura atrisinājums ir y = 1. Tātad pārējās divas saknes ir x = + l un.v= 243. Pīkst tvaikoņus. Ja vārdus «atklātā jūrā» saprotam tā, ka tvaikoņi, kurus sastop, iebraucot ostā un izbraucot no tās, nav jāskaita, tad 23 tvaikoņus. <1h >1h zīm. 59. zīm. 100

101 245. Vispirms atzīmēsim, ka risinājums «ik pēc ~ = 6 minūtēm» noteikti nav pareizs. Tiešām, iedomāsimies, ka gājējs iet ar gandrīz tadu pašu ātrumu, kāds ir tramvajam, piemēram, tā, ka ik 10 minūtēs sastop tramvaju, bet viņu panāk tikai viens tramvajs 3 stundās. Skaidrs, ka tramvaji atiet no galapunkta aptuveni ik pēc 10 min-2=20 min. Risinot kā iepriekš, iznāktu, ka šis intervāls ir 1 h 35 min. Tagad aplūkosim pareizo atrisinājumu. Attālumu starp diviem tramvajiem, kas pa līniju kursē viens aiz otra, apzīmēsim ar s m, tramvaja ātrumu ar jc m/min, bet gājēja ātrumu ar (/ m/min. No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka x + y 1 x y 1 s 5 s 7 K ' 5 Jānosaka laika intervāls (min). Saskaitot vienādojumus 2x 12 s 5 (*), iegūstam, ka = un - = 5 - ^ - (min). Tātad tramvaji S od X u atiet no galapunkta ik pēc 5-ģ- minūtēm Sausnes ābolos ir 5% no 50 kg, t. i., 2,5 kg. Tāpēc pēc žāvēšanas āboli svēra 25 kg Ta kā komanda B iesita 3 vārtus un nezaudēja nevienus vārtus, tad katra spēle ar B piedalīšanos beidzās vai nu ar B uzvaru, vai neizšķirti. Tā kā pavisam notika 3 spēles, no kurām vienā komanda A uzvarēja, bet otrā komanda C spēlēja neizšķirti, tad komanda B varēja uzvarēt ne vairāk kā 1 spēlē. Saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem komanda B iesita 3 vārtus, bet nezaudēja nevienus, tātad B vienā spēlē uzvarēja ar rezultātu 3 : 0, bet otrā spēlēja neizšķirti ar rezultātu 0 :0. Tā kā notikusi tikai viena spēle ar komandas B piedalīšanos, kura beigusies ar neizšķirtu rezultātu 0:0, tad tā ir B spēle pret C; rezultāts 3:0 ir komandas B spēlei pret komandu /4. Tā kā komanda A iesita 4 vārtus, bet komanda C divus vārtus, un spēlēs ar B ne A, ne C neiesita nevienus vārtus, tad komandas A spēle pret komandu C beidzās ar rezultātu 4 : Ja pieņem, ka reizē nevar redzēt divas pretējās kuba skaldnes, tad atbilde ir 3. Iesakām analizēt uzdevumu, ja šāds pieņēmums netiek izdarīts Līdz pirmajam satikšanās momentam abas laivas kopa nobraukušas vienu upes platumu (60. zīm, a), bet līdz otrajam satikšanās momentam trīs upes platumus (60. zīm, b). Tā kā laivu kustības ātrumi nemainās, tad no kustības sākuma līdz otrajam tikšanās momentam pagājis trīs reizes vairāk laikā nekā līdz pirmajam tikšanās momentam. Tāpēc arī katra laiva atsevišķi no kustibas sākuma līdz otrajam tikšanās 101

102 700 m p. u 400 m '////////////////////////////; b 60. zīm. momentam nobraukusi trīs reizes iielāku attālumu nekā lidz pirmajam tikšanās momentam. Tā kā laiva, kas sāka braukt no kreisā krasta, līdz pirmajam tikšanās momentam nobrauca 700 m, tad līdz otrajam tikšanās momentam tā nobrauca m=2100 m. No 60. zīmējuma b redzams, ka upes platums ir 2100 m 400 m = =1700 m vai 7. Katru citu skaitli, kas lielāks par 7, var dažados veidos izteikt kā 3 dažādu veselu pozitīvu skaitļu summu divniekus Apzīmēsim studentu sastādīto uzdevumu skaitu ar..^ n 2s ^ n 3o- So naturālo skaitļu summa ir 40, un starp tiem ir tieši 5 dažādi skaitļi. Par atrisinājumu der skaitļi tii riī...=«26 = 1, «27 = 2, «23=3, «29 = 4, «30 = 5. Pierādīsim, ka citu atrisinājumu nav. Pieņemsim, ka starp skaitļiem n., «o,..., «ļ0 ir mazāk nekā 26 vieninieki. (Skaidrs, ka ir vismaz viens vieninieks; ja visi saskaitāmie būtu lielāki nekā 1, tad to summa būtu vismaz 2-30 = 60.) Tad starp tiem ir vairāk nekā 4 saskaitāmie, kas lielāki nekā 1, un starp šiem saskaitāmajiem ir 4 dažādi. Atstājam tikai pa vienam no 4 dažādajiem saskaitāmajiem, citus aizstājam ar I; tādējādi visu saskaitāmo summa samazinās, tātad kļūst mazāka nekā 40. Tagad ir 26 saskaitāmie, kas vienādi ar 1, un 4 dažādi saskaitāmie, kas lielāki nekā 1; tātad to visu summa ir vismaz =40. Iegūtā pretruna nozīmē, ka pieņēmums ir nepareizs Pieņemsim, ka vidējās atzīmes vienādas. Apzīmēsim Imanta piecnieku, četrinieku, trijnieku un divnieku skaitu attiecīgi ar x, y, z un w. Tad 5;t+4f/+3z+2 iy = 4jc+ 3 (/+ 2 z+ SinJ, no kurienes x-\-y-\~z=zw. Tā kā x-\-y-\-z-\-w = 26, tadtgj=6 -^-* Tā kā atzīmju skaits ir vesels skaitlis, tad iegūta pretruna Ja ar X apzīmē cilvēku, kuram ir visvairāk naudas, tad abiem viņa blakusstāvētājiem jābūt tikpat naudas, cik naudas ir cilvēkam X. Ņemot X vietā viņa blakusstāvētāju un turpinot šos spriedumus, iegūstam prasīto. 102

103 255. Trijās kolonnās ciparu summa ir vismaz 17, vienā vismaz 22. Tāpēc visu ciparu summa ir vismaz 73. Katrā rindā ierakstīto ciparu summa tātad nav mazāka kā 25. Vienā kolonnā ar skaitli nulle jāieraksta vai nu 8 un 9, vai 9 un 9. Abos gadījumos tajā rindā, kurā atrodas nulle, summa nevar pārsniegt Piemēram, a = b = e = f = 1, c = d = g h = 1. 10a+& 10 t 1 _10, 1,11 ab ~ b ~ 9 ' 1000a+100ft + 10c+<i 9c+99fr+999a 5 ' a -\-b -\-c -Ļ d a -\-b -\-c -\-d Acīmredzot dalījums ir lielākais tad, ja d = 0. Līdzīgi turpinot, iegūstam, ka arī b = c = 0. Cipars a var būt jebkurš nenulles cipars, dalījums ir a = 46 un b = 51 vai a = 47 un 6 = Triju mazāko skaitļu summa noteikti ir mazāka nekā 50. Apzīmēsim uzdevumā minētos skaitļus to pieaugšanas secībā ar burtiem a, b, c, d, e, f, g. Tad un a -\-b-{-c-\-d-\-e-\-i-\-g= 100. Lai pierādītu, ka var izvēlēties trīs skaitļus, kuru summa nav mazāka kā 50, rīkosimies šādi. Pieņemsim, ka triju lielāko skaitļu summa tomēr ir mazāka nekā 50, t. i., +/+ <50. Tad e<16, tāpēc e ^ l5, d=scl4, c ^ l3, 6=^12, c^ll, Tātad (fl-f&+c+d).+ (e+f+ff)<(u H )+50. Si nevienādība ir pretrunā ar doto nosacījumu, ka visu skaitļu summa ir 100. Tādejādi pieņēmums, ka triju lielāko skaitļu summa tomēr ir mazāka nekā 50, ir aplams Pietiek pierādīt, ka ne vēlāk kā pēc 999 atņemšanām iegūst viencipara skaitli abc cba=99(a c). Izteiksmei vislielākā vērtība ir tad, ja c 9, c 1. Nevar būt c 0, jo tad cba nav trīsciparu skaitlis. n-ciparu skaitļa A aiū2a3... an gadījumā rezultāts ir šāds: a) ja n 2k, tad maksimālā starpība ir ar ciparu vērtībām ai = (i2 =.. = ak = 9, ak+\ = ak+2 =... = ^ _,= 0, a = I; b) ja n 2k-\-\, tad maksimālā starpība ir ar ciparu vērtībām ai = a2...^=ak-y=9, ak jebkurš cipars, ak+i = ak+2... = &n I 0, ci,i Kādi var būt divciparu skaitli, kuru reizinājums ir lielākais iespējamais? Acīmredzami katrā no šādiem divciparu skaitļiem pirmajam ciparam jābūt lielākam par otro ciparu. Ja tā nebūtu, tad, mainot šos ciparus vietām, divciparu skaitlis un arī reizinājums tiktu palielināti. Par aplūkojamo divciparu skaitļu pirmajiem cipariem jāizmanto lielākie cipari 9, 8, 7, 6, 5, bet par otrajiem cipariem 4, 3, 2, 1, 0. Atliek noskaidrot vienīgi, kuru desmitu ciparu ar kuru no vienu cipariem jākombinē, veidojot divciparu skaitļus. Lemma. Ja a > b un c > d (a, b, c, d cipari), tad ad-bc>ac-bd, (1) 103

104 Pierādījums. Nevienādība (1) ir līdzvērtīga ar nevienādibu (10a+J) (10č>+c) > (10a+c) (10b-ļ-d). Atverot iekavas un pārveidojot, iegūstam līdzvērtīgu nevienādību (a b) (c d) > 0, kura ir patiesa, ja a > b un O d. No tā izriet, ka patiesa ir arī nevienādība (1). No lemmas izriet, ka maksimālais iespējamais reizinājums ir ' Pieņemam, ka ai < a 2. Tad no vienādībās = a2fls izriet, ka a2> a 3. Līdzīgi turpinot, iegūstam nevienādības a,i<a4, > o s...ais> ai7, fli7<fli, > a 2. Radusies pretruna ar sākotnējo pieņēmumu. Ar līdzīgiem spriedumiem pārbauda, ka nav iespējama arī nevienādība a i > a 2. Tātad ai = a2. Pārējās prasītas vienādības pierāda analogi, 265. Pārnesot visus saskaitāmos uz kreiso pusi un attiecīgi grupējot, iegūstam līdzvērtīgu nevienādību (ai o4) (bi 64) + (a2 a3) (b2 bj)> 0, kuras pareizība ir acīmredzama Automašīnas jāpiekrauj tādā secībā, kadā pieaug to piekraušanai nepieciešamais laiks. Risinājums līdzīgs 263. uzdevuma risinājumam x 4^/ ļ 3^s* <2u~^v 5(x i/)-ļ_3{z w) ļ x/ ļ w ] u y -j- + u-fy^30. Vērtība 30 tiek sasniegta, ja, piemēram, x = y = z = u v = 10. Lai noteiktu mazāko vērtību, pārveidojam šādi: 5* 4y+3z 2u-ļ-v 5x-ļ-4(z y) + 2 (u u) z u ^ z v ^ ^ 20. Vērtība 20 tiek sasniegta, ja x = 0 un y = z u-= v = S. Lielākā iespējamā a3 vērtība ir ~, ja ai = «2 = 0 un a:! = = a4= a ī = a6= -^ -. Lielāka tā nevar būt, jo as+flu +as+ae^ 1 un a3 ir mazākais no četriem saskaitāmajiem Ievērosim, ka nav dots, kādā veidā visātrāk var nokļūt attiecīgi 1 km, 2 km un 3. km attālumā no pilsētas ejot kājām vai sagaidot taksometru un braucot ar to. Lemma. Eksistē tāds attālums So, kuru, ejot kājām, var veikt tādā pašā laikā, kā sagaidot taksometru un braucot ar to. Ja s > s 0, tad attālumu s var veikt ātrāk, braucot ar taksometru, ja s < s 0, tad attālumu s var veikt ātrāk, ejot kājām. Lai pierādītu šo lemmu, aplūkosim 61. zīmējumu, kurā uz horizontālās ass atlikts laiks, uz vertikālās ass ceļš. Stars OC rāda veiktā ceļa atkarību no laika, ejot kājām; lauztā līnija OAB veiktā ceļa atkarību no laika, sagaidot taksometru un braucot ar to. Nogrieznis OA atbilst gaidīšanas posmam laiks rit, bet attālināšanās no pilsētas nenotiek; stars AB atbilst braukšanas posmam. Tā kā automašīnas ātrums ir lielāks nekā gājēja ātrums, tad stars AB ir stāvāks nekā stars OC, un šie stari krustojas. Krustpunktam atbilstošā vērtība s0 ir meklējamais attālums. Ja Si>So, tad attālumā si, ejot kājām, var nonākt laikā /12, bet, sagaidot taksometru un braucot ar to, laikā ču. No 61. žīmē- 104

105 juma redzams, ka tn<ht 12, t. i., kājām jāiet ilgāku laiku. Ja $ī<z < s 0, līdzīgi no zīmējuma redzams, ka kājām jāiet īsāku laiku. Lemma pierādīta. Tagad varam secināt, ka 2 km attālums noteikti sasniegts, braucot ar taksometru. Pieņemsim, ka tā nav un 2 km attālums sasniegts, ejot kājām. Tad pēc lemmas arī 1 km attālums sasniegts, ejot kājām. Bet 1 km sasniegšanai patērētas 10 minūtes, tāpēc 2 km sasniegšanai būtu jāpatērē 20 minūtes radusies pretruna ar uzdevuma nosacījumiem. Tātad 2 km attālums tiešām sasniegts, braucot ar taksometru. Tad pēc lemmas arī 3 km attālums sasniegts, braucot ar taksometru. Tātad vienu kilometru taksometrs nobrauc 17 -min 15 min = 2 -^ - min un taksometra gaidīšanas laiks ir 15 min min = 1 0 min. Tāpēc laiks, kas jāpatērē, lai nokļūtu 6 km attālumā no pilsētas (pēc lemmas to ātrāk var izdarīt ar taksometru), ir ^- = 25 (min.) No dotā izriet, ka jc<0. Skaidrs, ka punkts A attēlo x3, jo visi citi skaitļi atrodas pa labi no x. Tāpēc x >l un punkts F attēlo x2, C - nulli un D vieninieku Apzīmējot salasīto sēņu skaitu attiecīgi ar A, V, Z un Ķ, no dotā izriet, ka A > Z un V > Ķ, tāpēc A-\-V>Z-\-K. Tātad atbilde ir negatīva zēni salasīja mazāk sēņu nekā meitenes Atbilde uz pirmo jautājumu ir pozitīva, jo Aivaram ir vismaz par 3 kap. vairāk naudas nekā Jurim. Atbilde uz otro jautājumu ir negatīva (piemēram, ja Jurim ir 3 kap., Jānim 4 kap., Andrim 5 kap.) Atkal uzvarēs vecākais brālis, jo viņš skrien r reizes 105

106 atrak neka jaunakais brālis, bet distances ir 64 m un 60 m un to attiecība ir lo Ja pareizais laiks ir x, tad Andra saņemtās atbildes ir šādas: vai nu x-ļ-2 min, vai x 2 min; vai nu x+3 min, vai x 3 min; vai nu jc+4 min, vai x 4 min; vai nu -t+5 min, vai x 5 min. Pēc cilvēku A un C atbildēm starpība ir 9 minūtes, pie tam A pulkstenis rāda agrāku laiku. Tas iespējams tikai divos gadījumos: 1) A atbilde ir x 4, bet C atbilde ir.t+5. Tad pareizais laiks ir bez divām minūtēm trīs, bet tad B kļūdījies par 1 minūti. Tā ir pretruna ar uzdevuma nosacījumiem; 2) A atbilde ir x 5, bet C atbilde ir -t+4. Tad pareizais laiks ir bez vienas minūtes trīs. Pārbaude rāda, ka šajā gadījumā visi uzdevuma nosacījumi ir apmierināti Tā kā (a+ ij+ c)+ ( + /+ ) + (<?+/+ ) = (a-\-b-\-c-\-d-\- + e + /+ g ) + (c+e) ^ 1, tad vismaz viena no summām a+ 6 + c, c+ef+č, e-\-f-\-g nav mazāka kā Piemērs a = d = g = - Ļ, b = c ~ e = j ~ 0 parāda, ka skaitļus ir iespējams izvēlēties tā, lai neviena summa nebūtu lielāka kā -ģ-, 276. Pieņemsim, ka pietura P atrodas zem punkta A. Pārvietojot pieturu P uz augšu līdz punktam A, visu māju attālumi līdz P samazināsies. Pārvietojot pieturu P no punkta A līdz punktam B, attālumi no divām mājām līdz P palielināsies, bet attālumi no septiņām mājām līdz P samazināsies. Tā kā šī samazināšanās un palielināšanās katrai mājai notiks par vienu un to pašu attālumu, tad attālumu summa joprojām samazināsies. Tas pats notiks, pārvietojot pieturu P no punkta B līdz punktam C. Kad pieturu P sāksim pārvietot no punkta C uz punktu D, attālumi no P līdz 6 mājām palielināsies, bet attālumi no P līdz 3 mājām samazināsies. Tāpēc kopējā attālumu summa palielināsies. Tātad pietura jāceļ punktā C Pārvietojam punktu x pa skaitļu asi un spriežam tāpat kā 276. uzdevuma atrisinājumā (atgādinām, ka \a b. ir attālums uz skaitļu taisnes starp punktiem a un b). Mazākā vērtība ir 14, un tā tiek sasniegta, ja x Skaidrs, ka maisījumam būs vislielākā vielas A koncentrācija, ja tā pagatavošanai maksimāli daudz izmantos šķīdumus ar lielāko vielas A koncentrāciju. Bet, ņemot visus 8 litrus 75% šķīduma, visus 6 litrus 50% šķīduma un vēl 8 litrus 25% šķīduma, maisījumā būs 8-0,75+6-0,5+8-0,25=11 litri vielas A, t. i., šis maisījums ir 50% šķīdums. Tātad prasīto maisījumu pagatavot nevar. 106

107 279. Apzīmēsim pirmā pārgājienā dalībnieku skaitu ar Pi, bet otrā pārgājiena dalībnieku skaitu ar P2. Tad pirmajā pār- 3 2 gājienā piedalījas -=- P\ zenu un -ģ- Pi meiteņu, bet otraja pargao o 3 1 jienā - P2 zenu un P2 meiteņu. Apzīmēsim zenu un meiteņu skaitu pirmajā pārgājienā attiecīgi ar Zj un Mt, bet otrajā pārgājienā attiecīgi ar Z2 un M2. Tad pēc iepriekš minētā Z\ un Z2 = 3M2, tātad M, = -^-Zi un M2= - Ļ z 2. 2t o o Apzīmēsim zēnu skaitu pie eglītes ar Z, bet meiteņu skaitu pie eglītes ar M. Tā kā pie eglītes bija tikai tās meitenes, kas piedalījās kaut vienā pārgājienā, tad Tā kā katrs zēns, kas piedalījās kaut vienā pārgājienā, bija pie eglītes, tad Z i^ Z un Z2^.Z. Tāpēc A l< M,+ A f> = ļ-z i + -ļ-z2^ - Z + - ļ- Z = 7, (1) kas ari bija jāpierāda. Noskaidrosim, kādā gadījumā zēnu pie eglītes var būt tikpat,, cik meiteņu. No (1) redzams, ka vienādība Z M pastāv tikai tad, ja AI=Af1-ļ-M, un ~Zi-ļ- -ļ-z2= -^-Z-ļ ļ-z. Vienādība M=Mļ-\-M2 iespējama tad un tikai tad, ja katra meitene piedalījusies tikai 2 viena pārgājienā. Ta ka Z(^;Z un Z2=^Z, tad vienādībā -^-Zi-ļo t5-z2= Z-ļ- -Z iespējama tad un tikai tad, ja Zļ Z un 6 o o Zī Z, t. ii, ja katrs zēns piedalījies abos pārgājienos. Atradīsim vispirms zēnu skaitu Z. Tam jābūt tādam, lai ari skaitļi Afi= 2 2 I I = - ^ - Z ļ= ~ Z un Af2 = Z2= Z butu veseli skaitļi. Acīmredzot Z var būt tie un tikai tie skaitļi, kas dalās ar 3. Tātad, ja zēnu bija 3n, n naturāls skaitlis, tad meiteņu pirmajā pārgājienā bija 2n, bet otrajā pārgājienā n Otrais. Atņemt no abiem skaitļiem vieninieku Ja attālums starp ciemiem A un B ir x km, laivas ātrums v km/h, bet straumes ātrums a km/h, tad kustības laiks, braucot 2x pa ezeru, ir, bet, braucot pa upi, x x _ 2xv _ 2x v4-a v a v2 a2~ a2 ' v V Tātad pa upi brauciens ir ilgāks.

108 282. Pārveidot nevienādību forma xy(x l i/4) (x y ) ^ 0 un aplūkot gadījumus x ^ y un x<.y Tā kā 6 < ļ/4 2 < 7 un 6 < V 4 3 < 7, tad 1 2 < y f l3 < <14. Ķapinot kvadratā nevienādības abas puses, var pierādīt, ka y 42+y 4 3 > 13. Tātad V 42+y 43 atrodas starp skaitļiem [3 un Kāpināt pierādāmās nevienādības abas puses kvadrātā: l ' 42 ' 62 ' 82 ' ' ' ' 1002 < 100 Tā kā ^ l ? ' 42 ļoo ' \'2 1 ' * tad ir pietiekami pierādīt nevienādību l _ ļ 42 ļ 1002 \< ' Nevienādību (1) varam pārrakstīt šādi: jeb l (2-1) (2+1) ' (4-1) (4+1) ' (100-1) (100+1) < 100 ļ ^ ļ ' ' * < 100 ' Saīsinot, iegūstam pareizu nevienādībuļ-^ļ-<y^. Tātad arī dotā nevienādība ir pareiza No dotās vienādības izriet, ka ( a + 6+ c )2 0 jeb a2+ +č>2+ c 2+ 2(až?+ zc+frc) = 0. Bet tad ab-\-ac-\-bc= -ļ- (a c 2) ^ 0. Skaidrs, ka ab-\-ac-\-bc= 0 tad un tikai tad, ja a = = b = c ) Nē, nevar būt, jo x2^ 0 un tāpēc x2+ 3 ^ 3 ; 2) nē, nevar būt, jo x2+ 2 x + 5 = (a:+1)2+ 4 ^ 4 ; 3) nē, nevar būt, jo 2jc2+2.v(/+//2 2 x + 6 = (x+ y)2+ + (* 1)2+ 5 ^ Apzīmēsim ceļiniekus ar x, y un z un aplūkosim šādu pārvietošanās shēmu. Vispirms X un y ar motociklu nobrauc s km, bet z šajā laikā iet kājām no punkta A uz punktu B. Pēc tam kad s km nobraukti, y turpina ceļu kājām, bet x ar motociklu griežas atpakaļ, sastop ceļā z, un abi ar motociklu dodas uz B. Noskaidrosim, pēc cik ilga laika visi cilvēki sasniedz punktu B. Laiks, kuru ceļā patērēs y, ir s, 60 s 600 9s

109 Brīdī, kad y sāk ceļu kājām, patērētais laiks ir ^ stundas. s s Sajā laikā z ir nogājis ^ -5=: km, un attālums starp z un s ( s ļ \ =-ļq 9s km. No šī brīža līdz sastapšanas brīdim x un z tuvojas viens otram ar ātrumu 50+ 5= 55 kin/h. Tāpēc tuvošanās ilgums ir 9s 10 9s ḣ _ 9s 9s Sajā laikā z noiet vel 55q "5= [ļļ^km. Tatad sastapšanas bridi līdz punktam B vēl ir palikuši ļ 60 jļj ī ļ ļ j j ~ ļ ^ n j km. Sī attāluma veikšanai ar motociklu jāpatērē 5 m s, h s 9s 660 '2s Tātad i un 2 punktā B nokļūst P^c 5o + 55qH stun' dām kopš kustības sākuma. Lai visi trīs ceļinieki nonāktu punktā B līdz pīkst , nepieciešami, lai viņi ceļā pavadītu ne vairāk kā 3 stundas, t. i., lai vienlaikus būtu spēkā nevienādības 6-9s SQ. (1) s 550 :3. (2) No nevienādības (1) iegūstam, ka s^5 0, no nevienādības (2), ka ss^55. Tātad, ja 50^s=^55, visi ceļinieki var nonākt punktā B līdz pīkst Trijstūra trešā mala ir garāka par abu pārējo malu starpību, bet īsāka par to summu. Pārbaudot atrodam atbildes 11 cm un 17 cm Pieņemsim, ka nogriežņu garumi ir al^ a 2^ a 3^... ^ a s^ag. Tad fli^l, 02^ 1. Lai no au a2, a3 nevarētu izveidot trijstūri, jābūt spēkā nevienādībai a3^ai-ļ-a2^s2. Lai no a2, a3 un a4 nevarētu izveidot trijstūri, jābūt spēkā nevienādībai a ^ a 2-j-a3^ 3. Līdzīgi iegūstam, ka jābūt spēkā nevienādībām a ^ b, 8, a7^1 3, a3^ 2 l, a9^ 34. Bet saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem ag^30. Iegūta pretruna. 109

110 290. No lauztas līnijas īpašībām un no vienādībās A E = A B + B C + C D + D E izriet, ka visi punkti atrodas uz vienas taisnes un BD = 8 km Saskaitīt nevienādības AO-]-OC>AC, BO-\-OC>BC, B O + O A > A B Sk uzdevuma atrisinājumu Papildinot trijstūri ABC līdz paralelogramam ABDC (62. zīm.), iegūstam nevienādību AB-\-BD>AD. Bet A D =2A M, kur M ir malas BC viduspunkts. Tātad AM<i ^-(AB-\-BD) = == -^-(AB-ļ-AC). Uzrakstot līdzīgas nevienādības abām pārējām mediānām un visas trīs nevienādības saskaitot, iegūstam, ka trijstūra mediānu garumu summa ir mazāka nekā perimetrs. Saskaņā ar teorēmu par mediānu krustpunktu 1 a m + 1 c k > a c, ļ C Ķ + ~ B N > B C, _2 B N + ^ -A M > A B. Saskaitot šīs nevienādības, iegūstam pirmo pierādāmo nevienādību Lietojam trijstūra nevienādību trijstūriem AD[B, BE\C, CAļD, DBļE un ECļA (63. zīm.) un iegūtās nevienādības saskaitām. So trijstūru sānu malu garumu summai pieskaitot AļBiCļDļEi perimetru, iegūstam ABCDE diagonāļu garumu summu Atliksim daudzstūra malas vienu aiz otras uz taisnes (64. zīm.). Iegūsim nogriezni AB, kura garums ir p (atliktās daudzstūra malas ir AAU A ia2, A 2A 3,..., An-iAn, AnB). Atzīinē- D 110

111 A 64. zīm. sim ari punktus S un T, kas sadala nogriezni AB trīs vienādā garuma nogriežņos. Ja punkts S sakrīt ar kādu no malu galapunktiem Au A2, An, tad par meklējamiem nogriežņiem var izraudzīties <4S un SB, jo SB AS=^ķ------Līdzīgi rīkojas, ja ar kādu no malu O O o galapunktiem sakrīt T. Ja punkts S nesakrīt ne ar vienu no punktiem A\, Ai,..., An, tad iespējami vairāki gadījumi. t. Nogriežņa ST iekšpusē atrodas kāds punkts At. Tad par meklējamiem nogriežņiem var izraudzīties AAi un AtB. Tiešām, ja punkts Ai ir nogriežņa ST viduspunkts, tad AAi BAi = 0. Ja Ai ir tuvāk punktam A nekā punktam B, tad ~<.AAi<C -^-<A ib < < f un tāpēc 0< A ib AAi< ^ 2. Nogriežņa ST iekšpusē nav neviena punkta Ai. Tad katrs punkts Ai atrodas vai nu pa kreisi no punkta S, vai pa labi no punkta T, pie tam nav iespējams, ka visi punkti Ai pieder vai nu tikai pie nogriežņa *4S, vai tikai pie nogriežņa TB (šajā gadī- 2p juma daudzstura viena mala butu garaka neka, bet tas nav iespējams). Tāpēc daži punkti Ai atrodas pa kreisi no punkta S, citi pa labi no punkta T. Apzīmēsim ar M to punktu At, kas ir pa kreisi no punkta S un atrodas tam vistuvāk, bet ar to punktu Ai, kas ir pa labi no punkta T un atrodas tam vistuvāk. Tad MN ir daudzstūra mala (jo starp M un N citu punktu Ai nav) un tāpēc MN<c. ~ ; bez tam jo ST ietilpst nogrieznī MN. Par vienu no meklētajiem nogriežņiem var ņemt nogriezni MN, bet otru nogriezni izveidot no visām pārējām malām Ja ABCD ir trapece, kuras malu garumi zināmi, tad to var konstruēt, ja izdodas konstruēt trijstūri ECD (65. zīm.). Tāpēc jāpierāda, ka patvaļīga četrstūra malas var tā apzīmēt ar burtiem a, b, c, d, ka no nogriežņiem a c, b un d var konstruēt trijstūri (kura malas a c garums var būt arī vienāds ar 0). Pierādīt, ka to var izdarīt, ja c^ b ^.d ^.a Pieņemsim, ka 2 ceļi AB un CD krustojas punktā 0, pie tam B ir ciemam A tuvākais ciems, bet D ciemam C tuvākais ciems (66. zīm.). Tad AD<iAO-\-OD un CB<c.CO-{-OB. Saskaitot šīs nevienādības, iegūst, ka AD-\-CB<c.AB-\-CD. Tātad vai nu in

112 65. 2īm. 66. zīm. AD <AB, vai arī CB<iCD. Iegūta pretruna ar uzdevuma nosacījumiem. tātad ceļi ārpus ciemiem nekrustojas Četras vai piecas. Piemēri: kvadrāts un regulārs piecstūris. Ja daudzstūrim ir vairāk nekā 5 virsotnes, tad tā visas diagonāles nevar būt vienāda garuma Pielietojot trijstūra nevienādību trijstūriem OPA, PKE, ĶLB, LMF, MNC un NOD (67. zīm.) un iegūtās nevienādības saskaitot, iegūstam, ka kopējās daļas kontūra garums ir mazāks nekā atlikušo trijstūru kontūru daļu garumu summa, tātad tas ir mazāks nekā 3 m. Ja trijstūru centri sakrīt, bet trijstūri viens pret otru ir pagriezti par ļoti mazu leņķi, meklējamais garums ļoti maz atšķiras no trijstūra perimetra un var arī nebūt mazāks kā 2,9 m Izvēlēsimies uz ceļa divus punktus A un B tā, ka tie sadala ceļu 2 posmos, kuru garumi ir 0,5 km. Pierādīt, ka prožektoru var uzstādīt nogriežņa AB viduspunktā Pieņemsim, ka ABCD ir dotā trapece un punkts E uz malas AD ir izraudzīts tā, ka P a b e = P bce= P ecd (68. zīm.). Apzīmēsim AB a, B C =b, CD=c, AE d, B E=e, C E=g, E D =f. Pēc dotā a-\-d-\-e=e,-ļb-\-g = g-\-f-\-c. No pirmās vienādības a-\-d b-\-g izriet, ka b d = a g. Novilksim CE\ ]i BA. Četrstūris ABCEļ ir paralelograms, tāpēc AEļ = b, EiC=a, EE{ = = b d un trijstūrī ECEļ viena mala, proti, mala EEt ir vienāda ar pārējo divu malu starpību a g. Tas ir iespējams tikai tad, ja šis trijstūris deģenerējas par nogriezni, t. i., E E, un EC AB. B

113 Analogi pierāda, ka P b e c P e c d tikai tad, ja četrstūris EBCD ir paralelograms jeb ED BC. Tātad A E = B C ED un E ir nogriežņa AD viduspunkts, ko ari vajadzēja pierādīt reizes Vislielākā iespējamā augstuma summa var būt vienāda ar 3 un tikai regulārā trijstūrī, jo mediāna garāka vai vienāda ar augstumu Apzīmēsim trijstūra malu garumus ar a un b un pret tām novilkto augstumu garumus ar h.a un hb. No slīpnes un perpendikula īpašībām izriet, ka ha^ b un hb^a. Saskaitot šīs nevienādības, iegūstam, ka ha+hb^a+b. Pēc dotā haļ?a un hb^ b, tātad ha-\-hb^a-\-b. Tāpēc a-\-b=ha-\-hb\ bet šī vienādība var pastāvēt tikai taisnleņķa trijstūrī. Tālāk viegli iegūt, ka trijstūris ir vienādsānu trijstūris, tātad leņķi ir 45, 45 un Novelk taisni DB līdz krustpunktam ar malu AC un izmanto trijstūru ABD un CBD ārējo leņķu īpašību Izmanto teorēmu par trijstūra iekšējo leņķu summu trijstūriem AM\B, BMļC, CMļD, DMļE, EM-0A. So trijstūru leņķus pie virsotnēm A, B, C, D, E izsaka ar piecstūra ABCDE iekšējiem leņķiem, kuru summa ir AO, BO, CO un DO ir četrstūra ABCD leņķu bisektrises. Ievērojot to, no trijstūriem AOB un COD izsakām leņķu AOB un COD summu, ņemot vērā, ka četrstūra iekšējo lenku summa ir Tā kā tādas riņķa līnijas centrs, kura pieskaras abām leņķa malām, atrodas uz šī leņķa bisektrisēm (69. zīrn.), tad <Z03BA = ^ -< n B A = :~ (m c-<$abc) un līdzīgi < OaB C = = i-(180 -<v4bc). Tāpēc t. i., punkti 0 3, B un Oļ atrodas uz vienas taisnes. Līdzīgi 113

114 pierāda, ka 0 2, С un 0 i, ka arī Oit A un 0 3 atrodas uz vienas taisnes. Tāpēc < = < Л0:1В. No vienādībām <1сОзВЛ = -^-(180 <^ЛВС) un < 03AB = = - ļ (180 - < В Л С ) izriet, ka < Л 0 3В = < 0,ЛВ - - < 0 3ВЛ = -1 «Л В С + < ВАС) < ~ «Л В С + < ВЛС + +< ЛСВ) =90, t. i., <010 з 0 2= < Л 0 3В ir šaurs, ко arī vajadzēja pierādīt. Līdzīgi pierāda, ka arī <^0 i02c3 = ^CC02B un ^O ļo ļoļ ^COiA ir šauri leņķi Tā kā katrs izliekta 10-stūra iekšējais leņķis ir mazāks nekā 180, tad to var pārklāt ar trijstūru virsotņu leņķiem. Tāpēc visu pārklājumā izmantojamo trijstūru visu iekšējo leņķu summai jābūt vienādai vismaz ar 180 (10 2) = 180-8, tātad jāizmanto vismaz 8 trijstūri. Ar 8 trijstūriem pārklāšanu var izdarīt, novelkot visas diagonāles no vienas virsotnes Ja šie punkti veido izliektu četrstūri, tad tajā vismaz viens leņķis nav šaurs. Ja trīs no šiem punktiem veido trijstūri, bet ceturtais atrodas šī trijstūra iekšpusē, tad no ceturtā punkta vismaz divas trijstūra malas redzamas zem plata leņķa Pieņemsim, ka vienādsānu trapeces ABCD īsākais pamats ir BC (70. zīm.). Noskaidrosim, kuras malas trijstūrī ABC var būt vienāda garuma. Novelkam trapeces augstumu no virsotnes B; tas krusto diagonāli AC punktā E. Tā kā BC<EC<iAC, tad ВСФАС, Novelkam trapeces augstumu AF no virsotnes A. Tā kā BF<zCF un garākajai projekcijai atbilst garākā slīpne, tad arī ЛС>ЛВ, tātad AC^AB. Tādējādi vienādsānu trijstūrī ABC vienādās malas ir ЛВ un BC. Tagad risināsim uzdevumu atkarībā no tā, kuras divas malas ir vienādas trijstūrī ACD. 1. Pieņemsim, ka AC CD (71. zīm.). Tad <$icda=<ķcad (kā vienādsānu trijstūra ACD leņķi pie pamata), < CAD = < ACB (kā iekšējie šķērsleņķi pie paralēlām taisnēm, kuras krusto trešā taisne), < ЛСВ=< ВЛС (kā vienād- 114

115 72. zīm. sanu trijstūra ABC leņķi pie pamata), tapec <^CDA ^-<^BAD. Bet, ja ABCD ir vienādsānu trapece, tad <ļicda = <ļbad. Iegūtā pretruna nozīmē, ka gadījums A C = C D nav iespējams. 2. Pieņemsim, ka AD = CD (72. zīm.). Tad < BAC=< BCA (kā vienādsānu trijstūra ABC leņķi pie pamata), <ļ.bca~<čļ,cad (kā iekšējie šķērsleņķi pie paralēlām taisnēm, kuras krusto trešā taisne), < CAD = <fiacd (kā vienādsānu trijstūra ADC leņķi pie pamata). Tātad < BAC=<ļACD. Taču <$.BAC un <žfcacd ir iekšējie šķērsleņķi pie taisnēm AB un CD, kuras krusto trešā taisne AC, un no šo leņķu vienādības izriet, ka AB CD, bet tā ir pretruna, jo trapeces sānu malas nav paralēlas. Tātad arī gadījums AD = CD nav iespējams. 3. Pieņemsim, ka AC AD (73. zīm.).

116 Apzīmēsim *ĶADC=x\ tad ari <%.ACD=x un < CVU) = 180 2x\ bet < BCA = <$.CAD, tāpēc arī <^BCA 180 2x. Tā kā * BAC=< BCA, tad < B /ic = 180 2jc; tātad <ļ.bad = <ļbac+ +<C/lD=180-2x x = 360 4x. Bet, tā kā ABCD ir vienādsānu trapece, tad <ļbad=x. Tādejādi iegūstam vienādojumu 360 4x x, no kurienes x = 7 2 a. Tātad trapeces leņķi ir 72, 72, 108, Konstruējam perpendikulu CO pret AD (74. zīm.). Tad <^OCD 30, tāpēc O D = ^-C D = DB. Tātad ODB ir vienādsānu trijstūris un < DBO=< DOB = 30, < OBA= 15, < OAB= = 15. Tas nozīmē, ka AOB ir vienādsānu trijstūris un AO = OB. Tā kā <^OCD <^.OBD, tad COB ir vienādsānu trijstūris un CO OB. Tātad AO = CO, t. i., AOC ir vienādsānu trijstūris un < /lco=45 ; tāpēc <^ACB=45 -(-30o= 75o Izvēlamies no riņķa iekšpusē esošajiem 200 punktiem daļu punktu tā, lai tie veidotu izliektu daudzstūri, kura iekšpusē atrodas visi pārējie punkti. (Sāda daudzstūra kontūru sauc par punktu kopas izliekto apvalku, sk. 73. uzdevuma atrisinājumu.) Pieņemsim, ka izliektais daudzstūris ir «-stūris, tātad tā iekšpusē atrodas 200 n punkti. Savienojam dotos 200 punktus ar nogriežņiem, kas savā starpā nekrustojas, tā, ka viss n-stūris tiek sadalīts trijstūros. Atradīsim visu trijstūru visu iekšējo leņķu summu. To leņķu summa, kuru virsotnes atrodas rc-stūra virsotnēs, ir 180 (n 2 ); to leņķu summa, kuru virsotnes atrodas 200 n punktos n-stūra iekšpusē, ir 360 (200 n). Tātad visu leņķu summa ir 180 (n 2) +360 (200 n) un ir izveidojušies (n 2)-1-2(200 n) = trijstūri. Tā kā visu trijstūru laukumu summa mazāka kā n -V n, tad vismaz vienam no tiem laukums nepārsniedz ļg ģ ^ ģ ģ No dotā izriet, ka O ir četrstūrī ABCD ievilktā riņķa centrs, 315. Punkts O ir ap četrstūri ABCD apvilktā riņķa centrs. C D 74, zīm. 116

117 316. Novelkam ĶL\\BD, kur L^AC. Pec Talesa teoremas 4 n i AD DL un DL = LC, tātad ) Abas riņķa līnijas iet caur tā augstuma pamatu, kasnovilkts no abu malu kopīgās virsotnes. 2) Sk. 1) gadījumu.. 3) Nē, nevar; piemēram, regulāra piecstūra centru šādas riņķa iīnijas nepārklāj un neaptver. No regulāra piecstūra centra katru malu redz šaurā (72 ) leņķī, no tās riņķa līnijas punktiem, kuras diametrs ir šī mala, 90 leņķī, bet no riņķa iekšējiem punktiem platā (vai izstieptā) leņķī (sk uzdevuma atrisinājumā lemmas pierādījumu) Vispirms pierādīsim šādu lemmu. Lemma. Ja punkti B un D atrodas vienā pusē no taisnes AC un < 4BC < ADC, tad punkti A, B, C un D atrodas uz vienas riņķa līnijas. Novilksim riņķa līniju caur punktiem A, B un C. Pieņemsim, ka D atrodas ārpus šī riņķa līnijas (75. zīm.). Tad tā krusto AD punktā E. Pēc teorēmas par ievilkta leņķa mērīšanu <ĶAEC =<$:ABC. Bet <$.AEC><$.ADC (teorēma par trijstūra CED ārējo leņķi), tāpēc arī <ļ.abc><ļiadc. Iegūta pretruna, un punkts D nevar atrasties ārpus riņķa līnijas. Līdzīgi pierāda, ka punkts D nevar atrasties riņķa līnijas iekšpusē. Tātad punkts D atrodas uz riņķa iīnijas. Apskatīsim tagad 76. zīmējumu. No leņķu ABE, ACE un ADE vienādības izriet, ka ap piecstūri ABCDE var apvilkt riņķa līniju. No leņķu ACE, BDA, CEB, DAC un EBD vienādības izriet, ka visas piecstūra malas ir vienādas (jo to savilktie loki ir vienādi). Pierādīt patstāvigi, ka tāds riņķī ievilkts piecstūris, kuram visas malas ir vienādas, ir regulārs piecstūris Taisne, kas iet caur abu kvadrātu centriem, dasa to laukumus uz pusēm Taisne jāvelk caur vidējās kolonnas riņķa līniju pieskaršanās punktu un apakšējā riņķa centru. Jāņem vērā, ka katra taisne, kas iet caur figūras simetrijas centru, dala figūras laukumu uz pusēm Pierādīt šādu apgalvojumu: ja punkts Oi ir figūras F simetrijas centrs un 0 2 arī ir figūras F simetrijas centrs, tad arī punkts, kas simetrisks punktam 0 2 attiecībā pret punktu 0\, ir figūras F simetrijas centrs. Tātad neeksistē tādas figūras, kurām būtu tieši 2 simetrijas centri. Figūra, kurai ir vairāk nekā viens simetrijas centrs, eksistē, piemēram, josla starp 2 paralēlām taisnēm. 76. ztm. 117

118 322. Medianu krustpunktu veidotais četrstūris ir hornotetisks 2 (ar koeficientu un ar centru M) četrstūrim, kura virsotnes O ir kvadrāta ABCD malu viduspunkti, tātad kvadrātam Pagriežot figūru 103 reizes ap punktu 0 par T lielu leņķi, tā attēlojas pati par sevi, bet pagrieziens par 103-7D= =721 =2'360 +l ir ekvivalents pagriezienam par! Sadalīt četrstūri ABDC taisnleņķa trijstūros un taisnstūros; vajag 16 gramus krāsas. Tātad vienīgie taisnstūri ir ar izmēriem 1X16, 2x8, 4X Trijstūru ABD un ACD laukumi ir vienādi; atņemt no tiem trijstūra AOD laukumu Sk uzdevuma atrisinājumu Lielā riņķa laukums vienāds ar mazo riņķu laukumu summu. 32S. Laukumi ir vienādi Savienot punktu 0 ar četrstūra virsotnēm un atrast četrus vienlielu trijstūru pārus Pierādīt, ka tā četrstūra laukums, kura virsotnes ir četr- 5 stūra ABCD malu viduspunkti, ir vienāds ar Pec tam pierādīt, ka četrstūra PQRS laukums ir 4 reizes lielāks, t. i., vienāds ar 2S Pierādīt, ka katrā četrstūrī Q, savienojot malu viduspunktus, izveidojas paralelograms, kura malas paralēlas Q diagonālēm. Sī uzdevuma gadījumā minētais paralelograms ir taisnstūris Nē, nevar. Ja tāds punkts būtu, tad, savienojot to ar visām virsotnēm, trijstūris sadalītos trijos mazākos trijstūrīšos, kuru laukumu summa ir mazāka nekā ^ I 9 = 24 (cm2); bet ABC ir taisnleņķa trijstūris (62-f-82 = 102) un tā laukums ir ^ =24. Iegūta pretruna Pierādīt atsevišķi, ka Si, S2, S3 un T\, T2, 73 veido aritmētisku progresiju (77. zīm.). Sajā nolūkā jāpierāda, ka progresijas veido šo trijstūru augstumi. Izmantot teorēmu par trapeces viduslīniju. 1 1 s

119 334. Viens šī trijstūra leņķis nepārsniedz 60 ; pieņemsim, ka tas ir leņķis a (78. zīm.). V3 Ja a=60, tad ; ja cx<60, tad h ir vel mazaks. Tapec -Ļ 1 = -ļp, ko arī vajadzēja pierādīt. i Atrast patstāvīgi piemēru, kas parāda, ka uzdevumā aprakstītais trijstūris var arī nenovietoties tāda trijstūra iekšpuse, kuram visu malu garumi ir 1, 335. Tātad b2^ 4 un b ^ 2 (cm) (79. zīm.) L = - Ļ AC.h2+ ~ A C - h 1= -t-ac{h1+ h 2)^ -^ A C -B D ^ -6*8 24 (cm2). Laukums ir 24 cin2 tad un tikai tad, ja diagonāles ir perpendikulāras (80. zīm,) Četrstūriem, kuriem diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras un vienādas (sk uzdevuma atrisinājumu) Pierādīt, ka katrā izliektā četrstūrī 5i-S3 S (81. zīm.). Iegūstam 3 iespējas: -5- cm2, cm2 un 6 cm2. o ) 1 cm2 (sk uzdevuma risinājumu). 2) - (cm2) (sk uzdevuma atrisinājumu) No &AMP un AAĶP laukumu vienādības izriet, ka punkti M un K atrodas vienādā attālumā no taisnes AP. No tā savukārt izriet A MPC un A ĶPC laukumu vienādība. Tā kā A PLC un A PNC laukumi vienādi, vajadzīgais pierādīts (82. zīm.) Četrstūra ABPL laukums vienāds ar četrstūra ABCM laukumu, jo tie abi ir trapeces ar kopējām viduslīnijām un augstumiem. Tātad abu šo četrstūru laukumi ir vienādi ar pusi no dotās trapeces laukuma (83. zīm.). Tāpēc ABCĶL laukums B 119

120 B L C mazāks nekā puse no trapeces laukuma, tātad trijstūra LKD laukums ir lielāks nekā ABCKL laukums viduspunkts kubiņi cm un 10 cm Pirmā apgalvojuma pierādījums izriet no vienādības a-ha, b-hb,. -,, a hb ļz L jr, no kuras iegūstam, ka -j- jr~ Otro apgalvojumu pierādīt ir nedaudz sarežģītāk. Lemma. Ja taisne l ir nogriežņa AB vidusperpendikuls, tad, lai kāds arī būtu punkts M, nevienādība M A <M B ir spēkā tad un tikai tad, ja punkti M un A atrodas vienā pusē no taisnes l. Pierādījums. I. Pieņemsim, ka punkti M un A atrodas vienā pusē no taisnes /. Ja M atrodas uz taisnes AB, tad skaidrs, ka M A<M B. Tāpēc pieņemsim, ka M neatrodas uz taisnes AB (84. zīm.). Savienosim punktus M un B ar taisnes nogriezni; tā krustpunktu ar taisni l apzīmēsim ar N. Tad A N =N B un tāpēc M B = =MN-\-NB MN-\-NA. Bet MN-\-NA~>MA, jo trijstūrī ANM malas AM garums mazāks par abu pārējo malu garumu summu. Tātad M B>M A. II. Pieņemsim, ka MA<_MB. Punkts M attiecībā pret taisni l var atrasties 3 stāvokļos: 120

121 a) taja puse no taisnes l, S kurā ir ari punkts B\ b) uz taisnes /; c) taja puse no taisnes l, kurā ir arī punkts A. I daļas pierādījumā noskaidrojām, ka a) gadījumā M B cm A, kas ir pretrunā ar / \ nosacījumu MA<iMB\ b) ga- / dījuma MA MB, kas arī 1 / N ir pretrunā ar nosacījumu A* * M A cm B. Tātad noteikti jābūt spēkā c) gadījumam, t. i., S6- z,m' punktiem M un A jāatrodas vienā pusē no taisnes /, ko arī vajadzēja pierādīt. Lemma pierādīta. Pieņemsim tagad, ka trijstūrī ABC ir spēkā nevienādība AB<iBC. Malu AB, BC un AC viduspunktus apzīmēsim attiecīgi ar /VI, jv un Ķ un pierādīsim, ka AN<iCM (85. zīm.). Apzīmēsim A ABC mediānu krustpunktu ar O un novilksim nogriežņa AC vidusperpendikulu l. Šis vidusperpcndikuls iet caur punktu K. Tā kā AB<iBC, tad pēc lemmas punkts B atrodas tajā pašā pusē no taisnes l, kurā atrodas punkts A. Tā kā punkts K atrodas uz taisnes l, tad visi nogriežņa BĶ iekšējie punkti arī atrodas tajā pašā pusē no taisnes l, kurā atrodas punkts A. Tātad arī mediānu krustpunkts O atrodas tajā pašā pusē no l, kurā 2 atrodas A. Bet tad pec lemmas AO<CO. Ta kā /4 0 = AN un CO -Ķ-CM, tad no nevienādības A O <C O izriet, ka AN<cCM, ko arī vajadzēja pierādīt Pierādīsim, ka trapecē, kas aprakstīta uzdevuma nosacījumos, pamatu un diagonāļu viduspunkti ir viena taisnstūra virsotnes. No tā izriet uzdevuma apgalvojums, jo taisnstūra diagonāles ir vienādas. Pagarināsim trapeces sānu malas līdz krustpunktam 5 (86. zīm.). Apskatīsim trijstūri ASD. Tā kā < S/lZ)-ļ-<);SD/ļ =90, tad <ļasd=90. Tātad trapeces sānu malas AB un CD ir savstarpēji perpendikulāras. Tā kā nogrieznis MK ir AABC viduslīnija, tad MK II BA. Līdzīgi pierāda, ka ML f CD. Bet, tā kā BAX.CD, tad no šejienes izriet, ka arī MĶJ_ML, t. i., < <041=90. Līdzīgi pierāda, ka ari pārējie četrstūra KMLN leņķi ir taisni, tātad KLMN ir taisnstūris, ko arī vajadzēja pierādīt Ja trijstūra malu garumi ir a, b un c, bet to nogriežņu garumi, kuros trijstūrī ievilktās riņķa līnijas pieskaršanās punkti sadala tā malas, ir x, y un z, tad f x-\-y=a 121

122 87. zīm. b T y = z = 348. Pieņemsim, ka punkts 0 ir trijstūrī ABC ievilktas riņķa līnijas centrs, punkts O' ir trijstūrim pievilktās riņķa līnijas centrs, bet punkts /< ir 00' viduspunkts. Ja pierādīsim, ka punkti A, B, C un K atrodas uz vienas riņķa līnijas, tad būs pierādīts, ka trijstūrim ABC apvilktā riņķa līnija dala nogriezni 00' uz pusēm (87. zīm.). Ievērosim, ka < OAO' = <ĶOAC -ļ- < CAO' = -^- < BAC + +-j^:cam=~(<3:bac+<3:cam) = -~ -.m o=90, tātad OAO' ir taisnleņķa trijstūris. No tā izriet, ka A Ķ = 0 Ķ = 0 'Ķ, jo taisnleņķa trijstūrī tās mediānas garums, kas vilkta pret hipotenūzu, ir puse no hipotenūzas garuma. Līdzīgi var izspriest, ka C Ķ = O Ķ un tātad CK=AK. Ja izdotos pierādīt, ka < / l W + < 0 / ( C = a, kur a = ^ A B C, (1) tad vajadzīgais būtu pierādīts, jo ap izliektu četrstūri ABCĶ var apvilkt riņķa līniju tad un tikai tad, ja < ABC-\-<%.AĶC= = 180. Apskatīsim trijstūri AOK. Tas ir vienādsānu trijstūris pēc iepriekš pierādītā. Apzīmēsim <ļ.aoķ=ai, tad <ļoi\a = = 180 2cti. Līdzīgi apzīmēsim <ļlkoc=a2 un iegūsim, ka < O ^ C = 180-2a3. Tāpēc < ^ / ( 0 + < 0 / ( C = 180 2oc,-ļ-180 2a2=360 2(ai+az). Pieradāmo vienādību (1) tagad varam pierakstīt šādi: (ai+ 02) = 180 a jeb 122 ai+ a2= 90 + ~ 2. (2)

123 Ieverosim, ka a i+ a 2 = < ĀOC 180 < OAC < OCA = = 180 ļ < BAC Ļ ^ bc a = m ~ y «b a c + ^ b c a ) i- (180 -<,4B C ) = < j45c = 9(f+ Tā tad vienādība (2 ) un līdz ar to arī vienādība (1 ) ir pierādīta No katras virsotnes iziet n 3 diagonāļu gali, tātad diagonāļu galu ir n(n 3), bet diagonāļu i r n(n 3). Tāda naturāla n, ar kuru ~^-n(n 3) = 15, nav No 349. uzdevuma atrisinājumā iegūtās formulas izriet, ka jābūt spēkā vienādībai -i-n (n 3) = 14«. Atrisinot šo vienādojumu, atrodam, ka n = Tā kā četrstūra AOļAļOļ visas malas ir vienādās (tās ir vienādu riņķa līniju rādiusi), tad AOzAiOs 'ir rombs un nogriežņi OoAj un AQ-3 ir paralēli un vienādi. Līdzīgi pierāda, ka nogriežņi A 0 3 un 0,A3 ir paralēli un vienādi. Tātad nogriežņi OiAi un 0 \A2 ir paralēli un kongruenti nogriežņi un četrstūris O1O2A1A2 ir paralelograms, tāpēc arī 0 ]0 2= A 2A\. Līdzīgi pierāda, ka O2O3==A 3/12 un OļOļ = AļA\. Tātad Z^OiO 203^= = AAļAļAļ, jo to malas pa pāriem ir vienādas Novietosim daudzstūrus tā, lai visas desmitstūra virsotnes atrastos simtstūra virsotnēs. Apzīmēsim divas blakus esošas desmitstūra virsotnes ar At un A2, bet tās simtstūra virsotnes, kas atrodas starp At un A 2, apzīmēsim ar B\, B2, B9. Tā kā A\Bc,A2, A\B&B<), A\BtB6,..., A\B\Bļ ir plati leņķi, tad pēc kosinusu teorēmas pakāpeniski iegūstam nevienādības A\A12>A\B<)ī-\- -\-B*Aļ2 AtBs2-ļ-BsBg2-]-Bļ,A221>AiBy2-ļ-BTBs2-\-BiiBrl2-\-BļlA22'^> i>.. > J4 Sr-ļ-BiS22+,.,-\-BļAļ2. Tātad desmitstūra vienas malas kvadrāts ir lielāks nekā simtstūra desmit malu kvadrātu summa. Tāpēc arī visu malu kvadrātu summa desmitstūrim ir lielāka nekā simtstūrim Vispirms pierāda, ka no dotajā riņķī ievilktajiem taisnstūriem lielākais laukums ir kvadrātam. Tālāk apzīmējam riņķa un tajā ievilktā kvadrāta laukumu attiecību ar k. Pieņemsim, ka kvadrāts, kura laukums ir S, sadalīts taisnstūros, kuru laukumi ir Si, S2,..., Sn, bet ap taisnstūriem apvilkto riņķu laukumi ir Tu T2,..., T. Tad T[-\-Tļ-\-,..-ļ-Tnļžk S\-\-k Sa-ļ-..,-ļ-&-Sn = = ^= k ( S i - ļ - S g - ļ ļ Si-i) = k - s. Bet k-s ir ap sākotnējo kvadrātu apvilktā riņķa laukums Apskatīsim vienu no melnajiem lauciņiem ABCD, caur kuru iet uzdevumā minētā riņķa līnija (88. zīm. a). Ja šī riņķa līnija pilnīgi atrodas apskatāmā melnā lauciņa iekšienē, tad tās 123

124 F E h G Am B d\ c b 88. zīm. 89. zīm. rādiuss nepārsniedz. Pieņemsim, ka riņķa līnija iet vel pa kādu cilu melnu lauciņu, piemēram, pa to, kuram ar apskatāmo melno lauciņu ir kopēja virsotne A (88. zīm. b). Bez virsotnes A riņķa līnijai no abiem apskatāmajiem melnajiem lauciņiem jāiziet vēl caur citiem punktiem. Saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem šādi punkti var būt tikai lauciņu virsotnes. Pieņemsim, ka riņķa līnija no lauciņa ABCD iziet caur virsotni C. Tad no lauciņa AEFG tā nevar iziet caur virsotni F, jo punkti C, A un F atrodas uz vienas taisnes, bet taisnei ar riņķa līniju var būt ne vairāk kā 2 kopēji punkti. Tātad no lauciņa AEFG riņķa līnija iziet vai nu caur virsotni G, vai caur virsotni E. Abos gadījumos riņķa līnija ir noteikta viennozīmīgi: pirmajā gadījumā kā riņķa līnija, kas apvilkta ap trijstūri GAC, otrajā gadījumā kā riņķa līnija, kas apvilkta ap trijstūri EAC. Tas centrs ir melnā lauciņa centrā, un tās rādiuss V 10 viegli aprēķinams pec Pitagora teoremas (89. un 90. zīm.). 90. zīm. 91. zīm. 92. zīm. 124

125 Ja riņķa līnija no lauciņa ABCD iziet caur virsotni B vai D, tad, analizējot variantus, kā tā var iziet no lauciņa AEFG, iegūstam vai nu 89. zīmējumā, vai 91. zīmējumā attēloto ainu. Taču 91. zīmējumā attēlotās riņķa līnijas rādiuss Tātad meklējamā riņķa līnija ir tāda, kā attēlota 89. zīmējumā Aplūkosim vienu kvadrātu, kura izmēri ir 7 cmx7 cm, un sadalīsim to rūtiņās, kuru izmēri ir 1 cmxl cm (92. zīm.). Pieņemsim, ka kartona ripiņas centrs nokrīt šī kvadrāta iekšpusē. Acīmredzot ripiņa šķērsos kādu no lielā kvadrāta malām tad un tikai tad, ja tās centrs atradīsies kādas iesvītrotās rūtiņas iekšpusē. Ir 24 iesvītrotās un 25 neiesvītrotas rūtiņas; katras rūtiņas laukums ir 1 cm2. Tātad, ja ripiņas centrs nokritis 24 cm2 laukuma, tad ripiņa šķērsos kādu līniju, bet, ja centrs nokritīs 25 cm3 laukumā, tad nešķērsos. Intuitīvi saprotams, ka, pilnīgi nejauši metot ripiņu, tās centram uz vienādiem laukumiem jānokrīt apmēram vienādi bieži. Tātad minētajā gadījumā tādu metienu skaits, kad ripiņa šķērsos līniju, būs nedaudz mazāks par tādu metienu skaitu, kad ripiņa līniju nešķērsos (ripiņa šķērsos 24 līniju apmēram gadījumos no visu metienu skaita). Tomēr jāņem vērā, ka šis apgalvojums nav pierādīts matemātiski. To arī nemaz nevar izdarīt. Nav neiespējami, ka no 49 metieniem ripina līniju šķērsos 23 vai 27 gadījumos. Par to, kā 24 var precizet vārdus «apmēram gadījumos no visu metienu skaita», māca varbūtību teorijā vienā no praktiski svarīgākajām matemātikas nozarēm. Veicot eksperimentu, var pārliecināties, ka novirzes no aprē- 24 kinata biežuma parasti nav lietas Novietosim 4&-stūrl tā, ka divas malas ir horizontālas, bet divas vertikālas. Apskatīsim apakšējo horizontālo malu. Uz tās atrodas vismaz viena paralelograma Pļ apakšējā mala. Uz P\ augšējās malas atrodas vismaz viena paralelograma P? apakšējā mala. Uz P 2 augšējās malas atrodas vismaz viena paralelograma. P :i apakšējā mala utt. Virknē P\, Pļ, P3,... paralelogramu skaits ir galīgs, un tāpēc šīs virknes pēdējā paralelograma Pn augšējā mala sakrīt ar 4^-stūra augšējo horizontālo malu. Konstruējam līdzīgu paralelogramu virkni Qi, Q2,..., Qm no kreisās vertikālās malas līdz labajai vertikālajai malai. Šīm abām paralelogramu virknēm noteikti ir kopīgs paralelograms. Tas ir taisnstūris, jo tā malas paralēlas četrām sākumā izvēlētajām 4fe-stūra malām. Tā kā šīs četras malas var izvēlēties k veidos, iegūstam k taisnstūrus; tā kā jebkuru divu iegūto taisnstūru malas nav paralēlas, tad tie visi ir dažādi. Pamēģiniet patstāvīgi aprēķināt visu taisnstūru laukumu summu, ja 4&-stūra malas garums ir 1! Vai katru regulāru 4A-stūri var sagriezt paralelogramos? Bet rombos? 125

126 93. zīrt 94. zīm rūtiņas var iekrāsot tā, kā parādīts, piemēram, 93. zīmējumā. Pierādīsim, ka nav iespējams iekrāsot 11 rūtiņas tā, lai būtu spēkā uzdevuma nosacījumi. Pieņemsim pretējo, ka iekrāsotā figūra F satur 11 rūtiņas un šai figūrai ir simetrijas centrs. Pierādīsim, ka kvadrata kreisa apakšējā rūtiņa nepieder pie figūras F. Tiešām, ja tā piederētu pie figūras F, tad punkts A būtu F punkts. Tad punktam A simetriskais punkts A' arī būtu figūras F punkts, bez tam punkts A' būtu rūtiņas virsotne. Ja A' B (93. zīm.), tad figūras F simetrijas centrs ir kvadrāta centra un figūrai F ir pāra skaits rūtiņu. Ja A '=E, tad figūra F atrodas taisnstūra AMEG iekšpusē. Viegli saprast, ka taisnstūrī AMEG nevar iekrāsot 11 rūtiņas (vienu atstājot neiekrāsotu) tā, lai iekrāsotā figūra būtu centrāli simetriska. Ja punkts A' atrodas uz nogriežņa EG, bet nesakrīt ar punktu E, tad figūra F atrodas taisnstūra ASA'G iekšpusē (S ir A' projekcija uz kreisās kvadrāta malas), tātad figūras F laukums ir mazāks nekā 11. Citus gadījumus apskata līdzīgi. Tātad kreisā apakšējā stūra rūtiņa nepieder pie figūras F. Līdzīgi pierada, ka arī citas stūru rūtiņas nepieder pie F. Tādējādi figūra F ir iegūstama no 94. zīmējumā attēlotās figūras, izmetot no tās vienu rūtiņu. Bet šādā gadījumā ir acīmredzami, ka F nav centrāli simetriska figūra Sadalīsim visu laukumu 2cmX2cm lielos kvadrātos. Katrā kvadrātā ir 4 mazie kvadrātiņi, kuriem visiem jābūt nokrāsotiem dažādās krāsās. Tātad balto kvadrātiņu ir Atrisinājums parādīts 95. zīmējumā. Pierādīt patstāvīgi, ka nevar būt mazāk kā 9 vai vairāk kā 16 krustiņi. Vai eksistē tadi atrisinājumi, kuros krustiņu skaits ir lielāks nekā 9 un mazāks nekā 16? 360. Jā, var (sk. 96. zīmējumu) Jā, var (sk. 97. zīmējumu) Ja 7 virsotnes ir baltas, tad 9 virsotnes ir melnas, tāpēc vismaz vienā no 4 horizontālēm būs vismaz 3 melnas virsotnes. 126

127 95. zīm. Uzdevuma nosacījumus var apmierināt, 8 virsotnes nokrāsojot melnā krāsā un 8 virsotnes baltā krāsā (98. zīm.) Var Iekrāsot 15 rūtiņas (99. zīm.). Pieradīsim, ka tas ir maksimālais skaits. Katrā 2x2 rūtiņu kvadrātā (100. zīm.) var būt iekrāsotas ne vairāk kā 2 rūtiņas. Pieņemsim, ka visā kvadrātā iekrāsotās vairāk nekā 15 rūtiņas. Tad joslā gar labo malu un apakšējo malu (apzīmēsim šo joslu ar J) jāiekrāso 8 vai 9 rūtiņas. Skaidrs, ka 9 rūtiņas iekrāsot nedrīkst, jo rūtiņas A, B un C visas iekrāsot nedrīkst. Tātad joslā J jāiekrāso 8 rūtiņas, bet katrā no 4 atzīmētajiem kvadrātiem 2 rūtiņas. Brīvajai rūtiņai joslā J jābūt rūtiņai A, B vai C. Ja ta ir A, tad 1. horizontāle, skaitot no apakšas, visa ir iekrāsota, 2. horizontāle visa ir brīva, 3. horizontāle visa ir iekrāsota. Ta kā rūtiņa D ir iekrāsota, tad iegūstam pretrunu ar pieņēmumu, ka visā kvadrātā ir iekrāsotas vairāk nekā 15 rūtiņas. Ja brīvā rūtiņa joslā / ir C, spriežam līdzīgi. Ja_ brīva rūtiņa ir B, tad visām ar krustiņiem atzīmētajām rūtiņam arī jabut brīvām un atlikušajā 3 x 3 rūtiņu kvadrātā jāiekrāso 8 rūtiņas. To saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem izdarīt nevar Atbilde redzama 101. zīmējumā Atbilde redzama 102. zīmējumā Pieņemsim, ka, mainot dotajā tabulā T kaut ka rindas, tiek iegūta tabula V. Acīmredzot, ja tabulai T piemīt uzdevumā minētā īpašība, tad tā piemīt arī tabulai T, un otrādi. Tas pats attiecas arī uz kolonnu maiņu vietām. y/. 1 Y/ S//'//, : V,% ya '// & % % / / & % & Ļ: r 96. zīm. 97. zīm. 98. zīm, 127

128 X X D X X X X X A c B 99. zīm ztm, Pārkārtosim dotās tabulas T rindas tā, lai, skaitot no augšas uz leju, katrā nākamajā rindā skaitļu + 1 nebūtu vairāk kā iepriekšējā rindā. Kad tas izdarīts, pārkārtojam kolonnas tā, lai augšējā rindiņā skaitļi + 1 atrastos no sākuma, bet skaitļi 1 - pēc tam. Iegūto tabulu apzīmēsim ar T \. Ja 7\ otrajā rindā, skaitot no augšas, kādā no tām kolonnām, kurās pirmajā rindā ir 1, atrodas -ļ-l, tad kādā no tām kolonnām, kurās pirmajā rindā ir + 1, otrajā rindā jābūt l (jo otrajā rindā nav vairāk skaitļu +1 kā pirmajā rindā) Tad var izraudzīties abas šīs kolonnas un pirmo un otro rindu. Tātad atliek aplūkot gadījumu, kad visās tajās kolonnās, kurās pirmajā rinda ir skaitlis 1, arī otrajā rindā ir 1. Tad tās kolonnas, kurās pirmajā rindā ir skaitlis -ļ-l, pārkārtosim tā, lai arī otrajā rindā skaitļi -f-1 atrastos no sākuma. Līdzīgi «sakārtosim» trešo, ceturto,... rindas. Iegūto tabulu apzīmēsim t.r 7Y X X X X X X X !. zīm zīm zīm. 128

129 -+ Hr H - l H» * / \ / z 105. zīm zīm. \ / Tabulā To skaitļi -ļ-l aizņem vienu saistītu apgabalu, bet skaitļi! otru apgabalu. 5os apgabalus vienu no otra atdala lauzta līnija. Ja lauztā līnija satur kaut vienu posmu, kura garums ir 2 vai vairāk, tad pietiek ņemt rūtiņas, kas atrodas abās pusēs šim posmam. Ja tāda posma nav, tad lauztā līnija veido «kāpnes», kuru «pakāpienu» augstums ir 1 (103. zīm.). Izmantojot to, ka gan skaitlis -ļ-l, gan skaitlis I tabulā atkārtojas vismaz divas reizes katrs, kāpņu «augstumam» vai to «platumam» ir jābūt vismaz 2 pakāpienus lielam. Pieņemsim, ka kāpņu augstums ir vismaz 2 pakāpieni. Tad divas rindas, kas atrodas viena otrai blakus un šķērso «kāpnes», var krustot ar 2 kolonnām tā, lai uzdevuma nosacījumi būtu spēkā (104. zīm.) kvadrāti Atbilde redzama 105. zīmējumā Atbilde redzama 106. zīmējumā Atbilde redzama 107. zīmējumā Jā, var (108. zīmējumā līnija ABCDEFG) Viegli konstruēt lauztu līniju, kurai ir 11 posmi. Mazāk 129

130 109. zīm zīm. posmu nevar būt. Tiešām, aiz katra horizontāla posma seko vertikāls posms un otrādi. Ja posmu skaits nepārsniedz 10, tad ir ne vairāk kā 5 vertikāli posmi un ne vairāk kā 5 horizontāli posmi. Tātad ir tāda kolonna a, kas nesatur nevienu posmu, un tāda rinda (ļ, kas nesatur nevienu posmu. Caur punktu, kas atrodas kolonnas a un rindas fļ krustpunktā, lauztā līnija neiet Jā, var (109. zīm.) Jā, var (110. zīm.). Pamēģiniet noskaidrot, vai taišņu krustošanās shēma nevar būt būtiski citāda Var būt 6, 5, 4, 3, 1 vai 0 krustpunkti (konstruēt piemērus). Vairāk kā 6 krustpunkti nevar būt, jo katras 2 taisnes krustojas ne vairāk kā vienā punktā. To, ka nevar būt tieši 2 krustpunkti, pierāda, analizējot visus iespējamos savstarpēji paralēlo taišņu grupu novietojumus Var būt 14 krustpunkti (111. zīm.). Novilksim pirmo posmu un otro posmu. Sie divi posmi nekrustojas. Novelkot otrajam posmam galā trešo posmu, varam iegūt ne vairāk kā vienu krustpunktu, novelkot trešajam posmam galā ceturto posmu, varam iegūt ne vairāk kā divus krustpunktus, utt. Novelkot septīto posmu, varam iegūt ne vairāk kā 4 krustpunktus, jo septītais posms nevar krustoties ar pirmo posmu. Tātad krustpunktu skaits nepārsniedz skaitli = n = , zīm, 112. zīm. 130

131 378. Jā. Piemēram, ja kopa sastāv no 360 punktiem, kas sadala riņķa līniju, kuras centrs ir punkts O, vienādos lokos Figūrai var nebūt neviena simetrijas ass, var būt viena, divas, trīs vai bezgalīgi daudzas simetrijas asis. Jāņem vērā, ka riņķa līnija var simetrijā attēloties vai nu par to pašu riņķa līniju, vai par citu riņķa līniju Atrast patstāvīgi piemērus kopām, kurām ir 0; 1; 2 vai 3 «gandrīz simetrijas centri». Ja kopa sastāv no viena punkta, tad katrs plaknes punkts ir šīs kopas «gandrīz simetrijas centrs». Lai pierādītu, ka kopai nevar būt vairāk kā 3 «gandrīz simetrijas centri», kopa jāprojicē uz taisnes tā, lai visi kopas punkti un visi «gandrīz simetrijas centri» projicētos par dažādiem punktiem. Pēc tam jāpierāda, ka sākotnējās kopas «gandrīz simetrijas centra» projekcija ir projekciju kopas «gandrīz simetrijas centrs» un ka uz taisnes kopai var būt ne vairāk kā 3 «gandrīz simetrijas centri» Atbilde redzama 112. zīmējumā. Atrisināt šo uzdevumu, ja punktu skaits ir 2n Dzīvoklī, kurā ir 4 telpas, var būt ne vairāk kā 6 iekšējās durvis un 4 durvis, kas ved uz ārpusi, tātad kopējais durvju skaits nevar pārsniegt skaitli Ja viens no daudzstūriem ir trijstūris, tad tam blakus var būt ne vairāk kā 3 citi daudzstūri. Ja katram daudzstūrim ir vairāk nekā 3 malas, ņemam vienu no tiem un aplūkojam divas šī daudzstūra malas, kurām nav kopīgas virsotnes. Tie daudzstūri, kas atrodas blakus šīm malām, nevar saskarties tā, lai tiem būtu kopīga mala zīmējumā parādīto riņķu sistēmu nevar izkrāsot saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem. Ja 1. riņķi nokrāso melnu, tad melnam jābūt arī 4., 7., , 34. riņķim. Tātad ar 3 krāsām nepietiek. Pierādīt patstāvīgi, ka ar 4 krāsām vienmēr pietiek Trijstūru izvietošanas shēma redzama 114. zīmējumā Var būt 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 malas (konstruēt piemērus). Divas malas nevar būt, jo daudzstūris ar 2 malām neeksistē. Izliektu četrstūru šķēlums ir izliekts daudzstūris, un tā malas ir doto četrstūru malu daļas. Uz katras dotā četrstūra malas var 131

132 būt ne vairāk kā viena izliektā šķēluma daudzstūra mala, tāpēc šķēluma malu skaits nepārsniedz Mazākais daļu skaits ir 2, ja abas kontūras sakrīt. Pierādīsim, ka vairāk kā 10 daļas nevar būt. Katra viena taisnstūra mala dala otru taisnstūri 2 daļas, tāpēc katrs taisnstūris tiek sadalīts ne vairāk kā 5 daļās. Viena no šim daļām ir kopīga, tātad taisnstūru iekšpusē var būt ne vairāk kā 9 daļas. Kopā ar ārējo daļu iegūstam JO daļas. Konstruēt patstāvīgi piemērus, kad daļu skaits ir 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Konstruēt piemērus, kad rodas 4; 5; 6; 7; 8 daļas. Daļu skaits nevar būt mazāks kā 4. Viena riņķa līnija sadala plakni divās dalās A un B. Ja novelkam otro riņķa līniju, kas nesakrīt ar pirmo riņķa līniju, tad. vismaz vienā no daļām A un B atrodas kāds otrās riņķa līnijas loks. So daļu otrā riņķa līnija sadala divās daļās. Tāpēc divas riņķa līnijas sadala plakni vismaz 3 daļās; apzīmēsim tās ar C, D un E. Kāds trešās riņķa līnijas loks atrodas vienā no šīm daļām; šo daļu trešā riņķa līnija sadala divās daļās, un kopā ir vismaz 4 daļas. Pierādīsim, ka lielākais iespējamais daļu skaits ir 8. Divas riņķa līnijas sadala plakni 3 vai 4 daļās; sauksim tās par pamatdaļām. Trešā riņķa līnija ar katru no abām pirmajām riņķa līnijām krustojas ne vairāk kā divos punktos. Tātad tās krustpunkti ar abām pirmajām riņķa līnijām sadala trešo riņķa līniju ne vairāk kā 4 lokos. Katrs loks dala vienu no pamatdaļām (to skaits ir 3 vai 4) divās daļās. Tātad kopējais daļu skaits nepārsniedz = Ne vairāk kā 56 daļas, ja starp taisnēm nav paralēlu taišņu un nekādas trīs taisnes nekrustojas vienā punktā. Jāņem vērā, ka, pievienojot n taisnēm vēl vienu taisni, tā sadalās ne vairāk kā rc+ 1 nogriežņos, un tātad rodas ne vairāk kā n+ 1 jaunas daļas Nogrieznis krusto 62 horizontālās un 36 vertikālās rūtiņu līnijas dažādos punktos. Sie krustpunkti nogriezni sadala 99 nogriežņos. Tātad nogrieznis šķērso 99 rūtiņas. \ / 391. Ar 25 nevar; ar 24 var 132 \ > X \ >< 7 (sk uzdevuma atrisinājumu) Atrisinājums redzams 115. zīmējumā Vismaz viens no četrstūra ABCD leņķiem (pieņemsim, ka tas ir leņķis pie virsotnes A) ir taisns vai plats. Tad AABD var. pārklāt ar riņķi, kura rādiuss mazāks nekā 0,5 m un centrs atro das BD viduspunktā. Nosauksim < \ šo riņķi par pirmo riņķi. Ja A BDC arī ir platieņķa vai 115. zīm. taisnleņķa trijstūris, to tāpat

133 0 1 -i \------* * f 16. zīm zīm. var apklāt ar riņķi (nosauksim to par otro riņķi), kura rādiuss ir mazāks nekā 0,5 m. Ja A BDC ir šaurleņķa trijstūris, tad viens tā leņķis a ir robežās no 60 līdz 90. Ja trijstūrī šim leņķim pretējā mala ir «, tad otrā riņķa rādiuss ir R = - < ; L=. 2sina y 3 Abos gadījumos otrais riņķis satur pirmā riņķa centru, tāpēc abus riņķus var pārklāt ar riņķi, kura diametrs nepārsniedz /i- Li+O.s] m vai (2-0,5+0,5) m, bet = + 0,5 < 1,8 un 1,5<1,8. \ 1/3 ) ļ'' Punkti uz aukliņas jaatznne ta, ka paradīts 116. zīmējumā Atrisinājums redzams 117. zīmējumā Atrisinājums redzams 118. zīmējumā Mazākais trijstūru skaits ir 4 (119. zīm.). Pierādīsim, ka mazāks trijstūru skaits nav iespējams. Tā kā neviens trijstūris nedrīkst saturēt taisnu leņķi, tad caur katru kvadrāta virsotni jāiet vismaz vienam griezumam. Malai AD vistuvāko griezumu caur virsotni A (120. zīm,) apzīmēsim ar AA', 133

134 122. zīi 123. zīm. malai DC vistuvāko griezumu caur virsotni D apzīmēsim ar DD', malai BC tuvāko griezumu caur virsotni C ar CC' un malai BA tuvāko griezumu caur virsotni B ar BB'. Dotais kvadrāts ir sagriezts tikai trijstūros, tāpčc katrs no izsvītrotajiem leņķiem ir kāda trijstūra daļa. Jebkuri divi no iesvītrotajiem leņķiem nevar būt viena un tā paša trijstūra leņķi, tāpēc kvadrātu nevar sagriezt mazāk kā 4 trijstūros Jā, var (121. zīm.) Atrisinājums redzams 122. zīmējumā Ja tortes forma būtu vienādsānu trijstūris, nekādas problēmas nerastos torti uzreiz varētu ievietot pagatavotā kastē. Kāda iemesla dēļ šajā gadījumā var iztikt bez tortes sagriešanas? Acīmredzot tāpēc, ka vienādsānu trijstūrim ir simetrijas ass. Viegli pārliecināties, ka jebkuras formas torti, kurai ir simetrijas ass, var ievietot kastē, kas ir tās spoguļattēls. Tātad uzdevums ir sagriezt trijstūri tādās daļās, kurām būtu simetrijas ass (piemēram, vienādsānu trijstūros). To var izdarīt, sagriežot vispirms trijstūri divos taisnleņķa trijstūros un pēc tam katru taisnleņķa trijstūri divos vienādsānu trijstūros (savie- # H zīm. 134

135 125. zīm zīm. noiot taisnā leņķa virsotni ar hipotenūzas viduspunktu, sk zīm.). Tādejādi torte jāsagriež 4 daļās. Izrādās, ka var griezt ari 3 daļās, ja trijstūrī ievilktās riņķa līnijas centru savieno ar punktiem, kuros šī riņķa līnija pieskaras trijstūra malām; arī tad 3 iegūtajiem četrstūriem ir simetrijas asis (124. zīm.) Divus prožektorus vienā pusē no ceļa novietojam tā, kā parādīts 125. zīmējumā. Tie apgaismo ceļa pretējo pusi. Ceļa pretējā pusē prožektorus novietojam līdzīgi Katrs riņķis aizsedz plaknē tādu leņķi ar virsotni punktā A, kura lielums mazāks nekā 180. Tāpēc 4 riņķu aizsegto leņķu summa ir mazāka nekā 720. Bet, lai katrs stars krustotu vismaz 2 riņķus, riņķu aizsegto leņķu summai jābūt vismaz 720. Tātad ar 4 riņķiem nepietiek. 5 riņķus var novietot tā, lai būtu apmierināti uzdevuma nosacījumi zīmējumā katrs stars, kas iziet no punkta A, pieder vismaz diviem ar loku atzīmētajiem leņķiem. Ievelkot katrā leņķī riņķa līniju ar tik lielu rādiusu, lai tā nesaskartos ar citos leņķos ievilktajām riņķa līnijām, iegūstam 5 riņķa līnijas, kas apmierina uzdevuma nosacījumus Istabas forma parādīta 127. zīmējumā. Lai apgaismotu sienas pie trijstūru virsotnēm, svecēm jāatrodas šo trijstūru iekšpusē. Tā kā trijstūriem nav kopīgu punktu, ir vajadzīgas vismaz 5 sveces. Pierādīt patstāvīgi, ka katru istabu, kurai ir 3n sienas, var apgaismot ar n svecēm zīm zīm. 135

136 ! I I TU Z E Ļ U. u 129. zīm Apzīmēsim deviņstūri AiAļA^A^AļA^AjA^Ag. Eksistē divas blakus esošas virsotnes, kas ir vienā krāsā. Pieņemsim, ka tās ir virsotnes A4 un A5 un tās abas ir melnas. Lai neveidotos vienkrāsains vienādsānu trijstūris, virsotnēm Aļ un A&jābūt baltām. Apskatām virsotni As. Ja tā ir balta, tad meklējamais trijstūris ir A^AcAg, ja melna, tad AaA5Ac, Ja, ir iespējams (128. zīm.} Pakāpeniski zīmējam visas figūras, kas sastāv no 1; 2; 3; 4 un 5 rūtiņām un, kuras salokot, var iegūt da u no kuba virsmas izklājuma. Pievienojot iegūtajām piecu rūtiņu figūrām vēl vienu rūtiņu, iegūstam 11 meklējamos izklājumus (129. zim.) Jā, var (130. zīm.) No figūrām, kas attēlotas 34. zīmējumā a un d, var iegūt kuba virsmu, no pārējām nevar Iespējami divi dažādi krāsojumi (131. zīm.). Tos var iegūt, iekrāsojot ar krustiņu apzīmētos trijstūrīšus melnus, vai otrādi Deviņas simetrijas asis: trīs taisnes, kas. iet caur kuba centru perpendikulāri tā skaldnēm, un 6 taisnes, kas iet caur kuba centru perpendikulāri ta šķautnēm zīmējumā parādīti daži no iespējamajiem novietojumiem 6 zīmuļu gadījumā. Noņemot jebkuru zīmuli, iegūstam 5 zīmuļu izvietojumu, kas ari apmierina uzdevuma nosacījumus zīmējumā redzams tāds 7 zīmuļu novietojums, kur arī katrs zīmulis pieskaras visiem citiem zīmuļiem. Tomēr viegli saskatīt, ka šajā novietojumā vienam zīmulim jābūt īsākam par pārējiem. Novietot 7 vienāda garuma zīmuļus, lai katrs no tiem pieskartos visiem citiem zīmuļiem, autori prot tikai tā, kā parādīts I / / M Ik 7 Mļjj 130. zīm zīm. 136

137 134. zīmējumā (sešu zīmuļu asis ir paralēlas galda plaknei, bet septītais vidējais zīmulis ir novietots perpendikulāri pret galda plakni). Autoriem nav zināms, vai 7 zīmuļus var novietot tā, tai visu zīmuļu asis butu paralēlas galda plaknei. Interesants uzdevums rodas, ja zīmuļu vietā ņem pieckapeiku monētas. Kāds ir lielākais pieckapeiku monētu skaits, kuras var izvietot tā, lai katra no tām pieskartos visām pārējām monētām? 412. Pudeles uz galda var novietot ar kakliņiem uz augšu, ar kakliņiem uz leju vai arī guļus. Pavisam iespējami 12 dažādi izvietojumi (piemēram, vidējā pudele nolikta ar kakliņu uz leju, bet tai apkārt trīs pudeles ar kakliņiem uz augšu) dažādi sakārtojumi Atrisinājums redzams 135. zīmējumā Atrisinājums redzams 136. zīmējumā Nē, nav iespējams. 35. zīmējumā attēlotajā figūrā katrā punktā ieiet 2 bultiņas, bet 36. zīmējumā ir punkts, kurā ieiet 3 bultiņas zīm zīm. 137

138 135. zīm zīm Ja N = 3, tad ir iespējams (piemēram, tā, kā parādīts 137. zīmējumā). Ja jv = 8, tad nav iespējams. Aplūkosim bandiniekus A un B (138. zīm. a). Kā redzams, ir pavisam 14 bandinieki, kas atrodas viena zirdziņa gājiena attālumā vai nu no 137. zīm. bandinieka A, vai no bandinieka B (neskaitot pašus A un B). Tā kā A un B atrodas viena zirdziņa gājiena attālumā viens no otra, tad pēc pārkārtošanas tiem_jānonāk vai nu rūtiņās ar kopēju malu (138. zīm. b), vaiarī rūtiņās ar kopēju virsotni (138. zīm. c). Pirmajā gadījumā minēto 14 bandinieku izvietošanai paliek ne vairāk kā 10 rūtiņas (tās, kas 138. zīmējumā b ir iesvītrotas), bet otrajā gadījumā ne vairāk kā 12 rūtiņas (tās, kas iesvītrotas 138. zīm. c). Abos gadījumos rūtiņu ir par maz, tātad saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem bandiniekus pārvietot nav iespējams. Atrisināt līdzīgu uzdevumu, ja n 4, 5, 6, Viena iespēja parādīta tabulā. 1 A / E 1. skrējiens ļ I skrējiens i 3. skrējiens 1 3 I Jā, ir iespējams. Tāda četrstūra piemērs parādīts 139. zīmējumā. Punktam četrstūra iekšpusē jābūt ļoti tuvu virsotnei A Sadalām kvadrātu 300x300 mazos kvadrātiņos un katrā no tiem ievelkam riņķi, kura rādiuss ir cm. Tad rādiusu summa ir 1 m Jā, eksistē. Tāda septiņpadsmitstūra piemērs redzams 140. zīmējumā. 138

139 B A 12 7 % u c! Pierādīt patstāvīgi, ka tāds 13-stūris, kas apmierinātu uzdevuma nosacījumus, neeksistē. Pierādīt, ka katram 14 eksistē «-stūris, kas apmierina uzdevuma nosacījumus Jā, eksistē, piemēram, skaitlis 321( Pamēģiniet pierādīt šādu teorēmu: ja 10 dažādi skaitļi ir uzrakstīti rindā, tad no tiem noteikti var izsvītrot 6 skaitļus tā, lai atlikušie skaitļi būtu izvietoti vai nu augošā, vai dilstošā secībā Jā, ir iespējams. Piemēram, ja visi pieci skolēni, kas katrs sava rindā ir garākais, atrodas vienā kolonnā. Pierādīt patstāvīgi, ka īsākais no garākajiem skolēniem nekad nav īsāks par garāko no īsākajiem skolēniem Autori domājuši likumu a^ 2\ a'i==ļ_?r 425. Pirmajā gājienā iegūst skaitli 99-A, kur k pirmā un pēdējā cipara starpība. Tātad ir 10 iespējas, kuras jāanalizē katra atsevišķi Katrs spēlētājs piedalījies vismaz vienā no jebkurām divām vienotrai sekojošām spēlēm. Tāpēc spēļu skaits nav lielāks kā 15. Tā kā B piedalījies 15 spēlēs, tad spēļu skaits ir tieši 15,. tātad B piedalījies visās spēlēs un vismaz pirmajās 14 uzvarējis. Tāpēc B ar A ir spēlējis 2., 4., 6.,..., 14. spēli, bet C pārējās spēles. 139

140 427. Aplūkot no kreisā rindas gala pirmo astotās klases skolēnu, kuram pēc pārkārtošanās stāv priekšā par viņu garāks septītās klases skolēns. Pieņemsim, ka šī astotās klases skolēna kārtas numurs rindā ir n. Tad ari visi septītās klases skolēni, kuri pēc pārkārtošanās stāv priekšā L, 2.,..., (n 1 )-ajarn astotās klases skolēnam, ir garāki nekā «-tais astotās klases skolēns (tātad garāki arī nekā visi tie astotās klases skolēni, kuru kārtas numurs ir lielāks nekā n). Pārliecināties patstāvīgi, ka tad pirms pārkārtošanas nebūtu pieticis septītās klases skolēnu, kurus nostādīt priekšā rc-ajam, (n-ļ-l)-ajam,..., astotklasniekam Noskaidrosim, kur sākotnējā rinda var stāvēt 1,60 m garais skolēns. Skaidrs, ka pa kreisi no sevis viņš neredz nevienu par sevi garāku skolēnu. Tāpēc viņš var stāvēt 1., 5. vai 8. vietā. Ja šis skolēns stāvētu 1. vai 5. vietā, tad 8. vietā stāvētu par viņu īsāks skolēns, un šis skolēns pa kreisi no sevis redzētu par sevi garāku skolēnu, tātad 8. vietā stāvošajam skolēnam atbilstošais skaitlis tabulā nebūtu 0. Tātad 1,60 m garais skolēns var stāvēt tikai 8. vietā. Noskaidrosim, kurā vietā var stāvēt 1,59 m garais skolēns. Sis skolēns pa kreisi no sevis var redzēt vai nu vienu par sevi garaku skolēnu (ja viņš stāv pa labi no 1,60 m garā skolēna), vai nevienu. Bet ne 9., ne 10. vietā nestāv skolēns, kas redzētu pa kreisi tikai vienu par sevi garāku skolēnu; tātad 1,59 m garais skolēns stāv pa kreisi no 1,60 m garā skolēna un pa kreisi no sevis neredz nevienu par sevi garāku skolēnu. Līdzīgi kā iepriekš konstatējam, ka 1,59 m garais skolēns stāv 5. vietā. Turpinot šos spriedumus, katrs nākamais (pēc auguma) skolēns jāievieto pirmajā tam piemērotajā vieta no labās puses. Iegūstam, ka skolēnu augumu secība ir šāda: (8) (5) (6) (10) (1) (2) (7) (4) (3) (9) Ja vieninieki pierakstīti dažādiem punktiem, apskatām to riņķa līnijas daļu, kurā starp vieniniekiem atrodas nepāra skaits punktu, un šīs daļas vidējo punktu Brīvībā tiks tie gūstekņi, kuru kamerās atslēga būs pagriezta nepāra skaitu reizes, t. i., tie gūstekņi, kuru kameru numuriem ir nepāra skaits naturālu dalītāju. Pierādīt, ka tādi numuri ir naturālu skaitļu kvadrāti (sk. i46. uzd. atrisinājumu). Tātad izlaidis 10 gūstekņus Rindā, kurā maina krāsu, ar katru gājienu melno rutiņu skaits mainās par pāra skaitli. Tātad tieši 3 melnas rūtiņas nevar palikt. Pierādīt patstāvīgi, ka, mainot krāsojumu, katras divas rindas joprojām atšķiras tieši 2 vietās. Ja melno rūtiņu skaits kļūtu mazāks nekā 4, tad tas būtu ne lielāks kā 2 (pēc iepriekš pierādītā). Tas nozīmē, ka būtu 2 rindas, kuras ir pilnīgi baltas, t. i., kuras neatšķiras nevienā vietā. Iegūta pretruna. Tātad melno rūtiņu skaits nevar kļūt mazāks par skaitli Pārbaudīt patstāvīgi, ka tad, ja aplī stāv 2, 4, 8, 16,..., 2n bērni, pēdējais paliek bērns, kura numurs ir 1. Lielākā divnieka 140

141 pakāpe, kas nepārsniedz skaitli 1982, ir Brīdī, kad aplī palikuši 1024 bērni, no tā; ir aizgājuši 958 bērni. Tāpēc pirmais, kuru tagad atstāj aplī, ir bērns ar numuru = Viņš arī paliks aplī līdz beigām Uzvelkam savu pulksteni un, aizejot pie kaimiņiem, paskatāmies, cik tas rāda. Kaimiņu mājā jāpaskatās, cik rāda viņa pulkstenis, un jānāk atpakaļ. Atgriežoties mājās, jāpaskatās, cik rāda mūsu pulkstenis. Starpība starp abiem mūsu pulksteņa rādījumiem ir ceļā pavadītais laiks, bet puse no tā ir laiks, kas nepieciešams, lai atnāktu no kaimiņu mājas. Pieskaitot šo laiku kaimiņa pulksteņa rādījumam, iegūstam pareizo laiku. i 434. Pakāpeniski iegūstam šādus skaitļus: _ ; 1; 1981; 1980; ; 100; = 100īoo; ~īoo; ioo Pakāpeniski iegūstam skaitļus 23, 29, 227, 2SI, 2243, 2729, 22187, 22184, 22181, 22*78,..., 21983, Skaitli 2i984 nevar iegūt, jo visām iegūstamajām divnieka pakāpēm kāpinātājs dalās ar Vispirms pierādīt šādus divus apgalvojumus: ja jtes, tad arī ( - x ) ē 5, un ja x<=s un i/es, tad ari x y^s. Pēc tam var pakāpeniski, pierādīt, ka pie kopas S pieder šādi skaitļi: (/2+1/3) 2 = 5+ 2/6; (5+2/6) = 5 2 / 6 = ( / 3 - / 2 ) 2; ( / 3- / 2)2 ( / 3+ / 2) = / 3 - / 2 = - = ^ Ne vairāk kā 11 dienas, jo katram bērnam ir tikai 1i dažādu pārinieku. 11 dienu laikā_ šādas pastaigas var organizēt. Nostādām bērnus regulāra 11-stūra centrā un virsotnes (141. zīm.). Pirmajā dienā pa pāriem staigā tie bērni, kas atrodas ar hordām vai rādiusu savienotajās virsotnēs. Otrajā dienā pagriežam rādiusu un hordu sistēmu pulksteņa rādītāju kustības vir- 360 zienā par -jļ un liekam staigāt pa pāriem tiem bērniem, kas tagad atrodas savienotajās virsotnēs, utt Ja ir 7 kārtības sargi, tad dežūras var organizēt šādi: ABC, ADE, AFG, BDF, BEG, CDG, CEF. Ja vienībā būtu 8 kārtības sargi, tad kārtības sargam A būtu jādežurē kopā ar 7 biedriem, pie tam katru vakaru ar diviem citiem biedriem. Protams, tas nav iespējams Jā, var (142. zīm.) Jā, var (143. zīm.) ) Atsvarus liek masu pieaugšanas kārtībā pēc kārtas uz kreisā un labā svaru kausa. 141

142 2) Atsvarus liek tā, kā paradīts tabula kreisais kauss I 1 2 Ul1 1 1s labais kauss 4 6 ļ 3 7 Pierādīt patstāvīgi, ka jebkuru dažādu atsvaru gadījumā var iegūt jebkuru svaru kausu nosvēršanās kārtību Novelkam diametru, kura galos nav atzīmēto punktu. Ja katrā pusē no diametra ir pa punktiem, tad vajadzīgais diametrs ir atrasts. Ja to punktu skaits, kas atrodas vienā pusē no diametra, nesakrīt ar to punktu skaitu, kas atrodas otrā pusē, nokrāsojam vienu diametra pusi zilu (to, kurā ir mazāk atzīmēto punktu) un griežam diametru ap centru. Kad veikts pagrieziens par 180, zilajā pusē ir vairāk atzīmēto punktu nekā otrā pusē. Tāpēc ir bijis tāds brīdis, kad abās pusēs no diametra atzīmēto punktu skaits ir vienāds Kraujam kastes katrā no 8 automašīnām tik ilgi, kamēr rodas pārslodze. To kasti (pēdējo), kas radīja pārslodzi, noliekam blakus attiecīgajai automašīnai. Kad šis process ir pabeigts, vēl neaiztikto kastu svars nepārsniedz 13,5 t 8-1,5 t =!, 5 t; tās var aizvest ar devīto automašīnu. Astoņas kastes, kas stāv blakus pirmajām 8 automašīnām, var aizvest pa četrām ar 10. un II. automašīnu Sadalām ciparus pa pāriem: un a2, b, un b2, Cļ un c2. Pirmajā grupā ievietojam ciparu a\, otrajā ciparu a-2. Tajā grupā, kurā ir lielākais cipars, ievietojam mazāko ciparu no otrā pāra, bet otrā grupā lielāko ciparu no otrā pāra. Tajā grupā, kurā tagad ir lielākā ciparu summa, ievietojam mazāko ciparu no trešā pāra, bet otrā grupā lielāko ciparu no trešā pāra. Vienas grupas ciparus novietojam skaitļa sākumā, otras grupas ciparus skaitļa beigās Sākam iet pa līnijām no jebkuras brīvi izraudzītas vietas, norādīdami iešanas virzienu un neejot pa vienu un to pašu līniju divas reizes. Iešanu turpinām, kamēr atgriežamies izejas punktā. Ja uz visām līnijām virzieni vēl nav norādīti, atkāriojam šo operāciju. Noskaidrot patstāvīgi, kāpēc nevaram «iestrēgt». 1

143 446. Pastav četras iespejas (sk. tabulu). 1. 2, A C J D L B G H F I K A L C D H / B G I F E K G c ] K L E A D H B I F G L c K H / A D I B E F Izvēloties, ar kuru instrumentu strādā kāds no strādniekiem, kuru numuri ir 1,4, 7, 8, 10, 12, pārējo strādnieku darba instrumenti ir noteikti viennozīmīgi. Tas pats attiecas uz atlikušo 6 strādnieku grupu. Izšķiroša nozīme ir faktam, ka katrs strādnieks var strādāt ar 2 instrumentiem un ar katru instrumentu var strādāt 2 strādnieki Novelkam divus lokus: loku, kura centrs ir B, bet rādiuss Ri BC, un loku, kura centrs ir C, bet rādiuss R2=B D. Sie loki krustojas punktā M. Lai pagrieztu galdu, ir jārīkojas šādi: atstājam B uz vietas, bet C savietojam ar punktu M; atstājam C uz vietas, bet A savietojam ar C sākotnējo stāvokli; atstājam A uz vietas un novietojam galdu vajadzīgajā pozīcijā Sagriežam kubu vispirms 8 kubos, bet pēc tam 20 reizes vienu no iegūtajiem kubiem atkal 8 kubos Vispirms milicis izstaigā gaiteni OA un atgriežas punktā O. 1. Sadalām katru gaiteni trīs daļās, kuru garumi ir, un dalījuma punktus, skaitot no centra, apzīmējam ar A2, Au C2, Ci, B2, Bi. Milici pie mērķa ved maršruts OCļOBi. 2. Sadalot katru gaiteni daļās, kuru garumi ir, un dalījuma punktus apzīmējot līdzīgi kā 1. gadījumā, milicim jāiet pa maršrutu OC2OB\OC\ Vienīgais atrisinājums parādīts 144. zīmējumā Skaitļi jāuzraksta, piemēram, šādā secībā: 1, 7, 4, 9, 2, 6, 5, 8,

144 452. Kartītes kaudzītes jasadala šadi (katra kolonna attēlo vienu kaudzīti): Arī atbilde uz otro jautajumu ir pozitīva Skaitļus no 10 līdz 12 pārbaudām tieši. Ja n=3x-ļ-4y, tad n + 3 = 3(*+l)+ 4y Jebkurā skaita, sākot ar 2. Katru piecstūri var tālāk sagriezt divos jaunos piecstūros (145. zīm.) Jā, var (146. zīm.) Ierakstām vispirms katrā aplīti skaitli 1. Katrai novilktajai līnijai piekārtojam savu pirmskaitli un abos aplīšos šīs līnijas galos ierakstītos skaitļus pareizinām ar šo pirmskaitli Vispirms Andris un Juris sadala visu lomu tā, it kā viņi būtu tikai divi. Pēc tam katrs no viņiem sadala savu daļu trijās pēc sava ieskata līdzvērtīgās daļās, bet Jānis no katra paņem to trešdaļu, kas viņam liekas vērtīgākā. Tad katrs uzskatīs, ka saņēmis vismaz trešdaļu loma. So sadalīšanas metodi viegli vispārināt gadījumam, kad ioms jāsadala n daļās. Atzīmēsim, ka n vērtībām n~^3 nav zināma metode, pēc kuras lomu varētu sadalīt tā, lai katrs uzskatītu, ka neviens cits nav saņēmis vairāk par viņu = Kā pierādīt, ka katru naturālu skaitli var izteikt ar divnieku dažādu pakāpju summu? 459. Tādi ir, piemēram, skaitļi 1, 2, 4, 8, 16, 32. Piecu skaitļu kopā var izveidot tikai 31 dažādu apakškopu, tātad visus 50 skaitļus izteikt nevarēs Četrus skaitļus varam izvietot šādi: 1, 3, 2, 4. Astoņus skaitļus šādi: 2-1, 2-3, 2-2, 2-4, 2-1-1, 2-3 1, 2-2-1, Kvadratu, kura izmēri ir 4x4 rūtiņas, var sagriezt ta, kā parādīts 147. zīmējumā a. Kvadrātu 8x8 rūtiņas var sagriezt pēc shēmas, kas parādīta 147. zīmējumā b, 4 reizes izmantojot 147. zīmējumā a attēloto konstrukciju Jā, var, piemēram, šādi: {2; 3; 11; 12}, {5; 6; 8; 9}, {1; 4; 7; 10; 13}. Jautājums par to, kāds ir lielākais skaits pirmo m * * 1 U 146. zīm zīm, 144

145 naturalo skaitļu, kurus var sadalīt n grupas saskaņa ar uzdevuma nosacījumiem, ir neatrisināta matemātiska problēma {0; 1; 2}, {0; 3; 6 ), {0; 9; 18}, {0; 27; 54} Vispirms uzliekam pa 3 monētām uz katra kausa. Ja kausi stāv līdzsvarā, smagākā monēta ir starp tām monētām, kuras vel nav svērtas. Tātad pēc vienas svēršanas zinām to monētu trijnieku, kurā ir smagākā monēta. Sverot otru reizi, uz svaru kausiem uzliekam pa vienai monētai no šī trijnieka ) Salīdzinām monētu /1 ar monētu B un monētu C ar monētu D, Pēc tam salīdzinām tās monētas, kas savos pāros bijušas smagākās, un tās, kas bijušas vieglākās. Ar pēdējo svēršanu noskaidrojam abu «vidējo» monētu sakārtojumu. 2) Sadai^m monētas divos četriniekos un sakārtojam tos katru atsevišķi. Salīdzinām abu grupu smagākās monētas; smagākā no tām ir vissmagākā monēta. Turpmāk, ja kāda monēta A kādā svēršanā izrādās smagāka, to ievietojam kārtējā vietā kopējā sarakstā, bet monētas A vietā uz kausa novietojam nākošo monētu no tā paša četrinieka, no kura bija A. Šādi ar 14 svēršanām noskaidrojam arī, kura monēta ar smagākā, kura otra smagākā, utt. Ja to nevajag noskaidrot, četras smagākās monētas var atdalīt ar II svēršanām Ja iedomātais skaitlis x atrodas robežās no 1 lidz 1024, tad pirmais jautājums ir šāds: «Vai x apmierina nevienādību l^ x ^ 5 1 2?» Saņemot atbildi, noskaidrojam tos 2* = 512 skaitļus, starp kuriem ir x. Ar nākošo jautājumu šo skaitļu kopu dalām uz pusēm, utt Vienā mēģenē ielejam pa pilienam no 32 traukiem un pārbaudām, vai mēģenē ir inde. Rezultātā noskaidrojam tos 32 traukus, starp kuriem ir indes trauks. Ņemot 16 no šiem traukiem un otrajā mēģenē ielejot pa pilienam no tiem, noskaidrojam tos!6 traukus, starp kuriem ir indes trauks, utt Ar šādām figūrām vispirms pārklājam bezgalīgu joslu (148. zim.), bet pēc tam ar šādām joslām plakni Novelkam taisni t, kas nav paralēla nevienai no taisnēm, kuras iet caur 2 dotajiem punktiem. Šo taisni t velkam tā, lai visi 4000 punkti atrastos vienā pusē no t. Bīdām taisni t paralēli sev uz dotās punktu kopas pusi; t šķērsos dotos punktus pa vienam. Pirmie četri šķērsotie punkti ir pirmā četrstūra virsotnes, nākamie četri punkti otrā četrstūra virsotnes utt Vispirms izveidojam kaudzes {1 kg; 4 kg}; {2 kg; 3 kg}; {5 kg}. Pēc tam pievienojam pa 6 akmeņiem šādā veidā: pirmajai 148. zīm. 145

146 kaudzei ( a + 1 ) kg un (a + 6) kg, otrajai kaudzei (a + 2 ) kg un (a+5) kg, trešajai kaudzei (a+3) kg un (a-j-4) kg Iemācieties pacelties ar liftu par 1 stāvu un nolaisties par 1 stāvu. Otrajā gadījumā lifts pārvietojas par stāvu skaitu, kas dalās ar 3, tāpēc, piemēram, no 1. stāva uz 2. stāvu nokļūt nevar Sk uzdevuma atrisinājumu Noņemam kaudzītes augšējo daļu, kuras pamatā ir vislielākais disks, un apgriežam to; pēc tam apgriežam otrādi visu kaudzīti. Tad lielākais disks nonācis apakšā. Turpmāk lielāko disku vairs neaizskaram un līdzīgas operācijas atkārtojam ar pārējiem diskiem, utt. Ar šo uzdevumu ir saistīta neatrisināta matemātikas problēma kāds ir mazākais operāciju skaits, kuras izpildot, var sakārtot n diskus? 474. Vispirms jāiemācās izmainīt viena skaitļa zīmi, nemainot citu skaitļu zīmes Paņemot vairākas reizes no katras kaudzes pa vienam akmenim, Jurim jāpanāk, lai kādā kaudzē būtu tikai 1 akmens. Ja arī otrā kaudzē ir 1 akmens, tad uzdevums ir atrisināts. Ja otrā kaudzē ir vairāk nekā 1 akmens, Juris pievieno pirmajai kaudzei pa 1 akmenim vajadzīgo skaitu reižu Piemēram, = 1 2. Tā kā = 1 0 < 1 2, tad ar 4 skaitļiem nepietiek. Pierādīt, ka ar skaitļiem no 1 līdz 5 un no 1 līdz 6 rezultāts vienmēr ir nepāra skaitlis Ar 4 gājieniem uzdevums nav atrisināms, jo beigās vismaz 5 figūriņas mainījušas vietu, bet ar katru gājienu vietu maina 1 figūriņa Ar vienu laušanu gabalu skaits palielinās par 1, tāpēc vajag vismaz 199 laušanas Pietiek ar 19 partijām. Piemēram, vispirms spēlē A un B, bet pēc tam zaudētājs izstājas un uzvarētājs spēlē ar šahistu, kurš vēl nav zaudējis. Ar 18 partijām nepietiek. Pēc 18 partiju izspēles būs vismaz 18 šahisti, kas vēl ne reizi nav zaudējuši, un katrs no tiem var pretendēt uz spēcīgākā šahista godu Piemēram, Garāku skaitli uzrakstīt nevar, jo iespējami tikai 20 dažādi ciparu pāri, kas sastāv no cipariem no 1 līdz Ja punkts A ir skaitļu ass sākumpunktā O, bet B punktā 1, tad pakāpeniski atliekam punktus 2, 4, 8, 16, 32, 44 = (16 4), 88. Ar 6 reizēm nepietiek, jo lielākais attālums, ko var atlikt 6 reizes, ir 26= 6 4 cm Ar diviem jautājumiem Andris nevar uzzināt visu skaitļu reizinājumu. Sajā gadījumā Jānis varētu mainīt skaitli uz vienas kartītes un tādējādi izmainīt meklējamo atbildi, bet Andra saņemto informāciju tas neietekmētu. Ar 3 jautājumiem pietiek: (abc) (ade) (afg)= a2- (abcdefg)=abcdefg, jo a

147 483. Pietiek ar vienu jautājumu. Ja Jāņa izraudzītie skaitļi ir 1; 10; 100; 1000, tad atbilde ir četrciparu skaitlis, kura cipari ir meklējamie. Pieradīt patstāvīgi apgalvojumu: ja Andra iedomātie naturālie skaitļi var būt arī vairākciparu skaitļi, pietiek ar diviem jautājumiem, bet ar vienu nē Vajadzīgas 8 reizināšanas darbības: x x x2, x-x'2 x'\ x3-x2 xi, x5-x5=a:10, je10-*10^.!:20, x20 x3 x23, x23 x23= x46, x46-x = x Aplūkosim apgriezto uzdevumu: no skaitļa 1979 iegūt 1, X - ja ar automātu A no skaitļa x iegūst (darbība izmaksa 5kap.) O un ar automātu B no skaitļa x iegūst x 4 (darbība izmaksā 2 kap.). Katru automātu var lietot tikai tad, ja darbības rezultāts ir naturāls skaitlis. Apskatīsim skaitļus x ^ 5. Dažiem skaitļiem var pielietot abus automātus, bet citiem skaitļiem tikai automātu B. Pieņemsim, ka skaitlim x var pielietot abus automātus, t. i., x dalās ar 3. Ja nolemjam uz šo skaitli «iedarboties» ar automātu B, tad arī nākamajos divos soļos būs jāiedarbojas ar B, jo ne skaitlis 4, ne x 8 ar 3 ' nedalās. Pieņemsim, ka, sākot no skaitļa x, 3a reizes pielietojam automātu B un pēc tam vienu reizi A. To pašu rezultātu tad varētu iegūt lētāk, vispirms vienu reizi pielietojot automātu A un pēc tam n reizes automātu B. Iegūstam šādu secinājumu: ja kādā situācijā var pielietot abus automātus un ir paredzēts vēl kaut vienu reizi pielietot automātu A, tad A jāpielieto uzreiz. Tagad apskatām pārveidojumu virkni 1979->-1975-> > 657» v 73-»- 69-»-23 >- 19-v 15-»- 5-»-1. Tā maksā 37 kapeikas. Pasvītroti tie skaitļi, kuriem varēja pielietot abus automātus. Pārliecināties patstāvīgi, ka no skaitļiem 15, 219 un 1971 tikai ar automātu B vispār nevar iegūt skaitli 1, bet, apstrādājot tikai ar automātu B skaitļus 69 vai 657, būtu jāmaksā vairāk nekā 37 kap. Tātad uzrādītā pārveidojumu virkne ir optimālā Jā, var. Vispirms Kārlis sāk maksāt ar desmitkapeiku monētām. Ja šo monētu viņam ir pietiekami daudz, lai samaksātu 3 rubļus, tad uzdevums ir atrisināts. Ja desmitkapeiku monētu 3 rubļu samaksāšanai pietrūkst, Kārlis turpina maksāt ar pieckapeikām. Ja pieckapeikas pietrūkst, pirms ir samaksāti 3 rubļi, iespējami 2 gadījumi: 1) Kārļa samaksātās naudas daudzums kapeikās beidzas ar ciparu 0 (piemēram, 2 rbļ. 40 kap.); 2 ) Kārļa samaksātās naudas daudzums kapeikās beidzas ar ciparu 5 (piemēram, 2 rbļ. 15 kap.). Pirmajā gadījumā Kārlis turpina maksāšanu ar divkapeikām un, kad tās beidzas, ar vienkapeikām. 147

148 Otrajā gadījumā Kārlis ir samaksājis nepāra skaitu kapeiku. Tā kā viņam sākumā bija 4 rubļi, t. i., pāra skaits kapeiku, tad viņam atlikušo kapeiku ir nepāra skaits. Tatad Kārlim ir vismaz viena vienkapeika. Viņš to samaksā un tagad ir samaksājis pāra skaitu kapeiku. Tālāk Kārlis tutpina maksāšanu tāpat kā pirmajā gadījumā. Skaidrs, ka tādā veidā viņš varēs samaksāt 3 rbļ Ir spēlētājs, kas uzvarējis vismaz 2 spēles. Pieņemsim, ka pāris AB uzvarēja pāri CD un pāris AD uzvarēja pāri BC, Ja pāris AC uzvarēja BD, tad spēlētājs A visas spēles uzvarēja, ja pāris AC zaudēja pārim BD, tad spēlētājs C visas spēles zaudēja Izvēlamies jebkurus trīs delegātus. Vismaz divi no viņiem savā starpā var sarunāties bez tulka. Sos divus delegātus izvietojam vienā istabā. Atkārtojam tādu pašu operāciju: izvēlamies trīs delegātus un tos divus no viņiem, kuri savā starpā var sarunāties bez tulka, izvietojam vienā istabā, utt. Tā rīkojamies tik ilgi, kamēr paliek četri delegāti. Aplūkosim divus delegātus A un B, kuri savā starpā var tieši sarunāties «(vismaz diviem tādiem delegātiem ir jābūt). Ja ari C un D savā starpā var tieši sarunāties, tad delegātus A un B izvietojam vienā istabā, bet delegātus C un D otrā istabā. Ja C un D tieši sarunāties nevar, tad aplūkojam to no delegātiem A un B, ar kuru var tieši sarunāties C. (Ja C nevar tieši sarunāties ne ar A, ne ar B, tad trijniekā A, B, C delegāts C nevar sarunāties ne ar A, ne ar B, un tā ir pretruna uzdevuma nosacījumiem.) Pieņemsim, ka delegāts A var tieši sarunāties ar C. Tad delegāts B noteikti var tieši saprasties ar delegātu D: ja B nevarētu tieši sarunāties ar D, tad delegātu trijniekā B, C, D ar delegātu D neviens no pārējiem diviem delegātiem nevarētu sarunāties, tas ir pretrunā ar uzdevuma nosacījumiem. Tātad vienā istabā varam ievietot delegātus A un C, bet otrā istabā delegātus B un D Attēlosim cilvēkus ar punktiem, bet to pazīšanos ar līniju, kas savieno šos punktus. Tā kā katrs cilvēks pazīst vismaz n citus cilvēkus, tad no katra punkta iziet vismaz n līnijas. Izraudzīsimies brīvi kādu punktu A. Iespējami divi gadījumi. 1. Eksistē kaut kādi punkti B un C, kas ir savienoti ar punktu A, bet nav savienoti savā starpā (149. zīm.). Tādā gadījumā katrs no punktiem B un C savienots vismaz ar n 1 citiem punktiem (neskaitot A, B un C). Tāpēc no punktiem B un C kopā ir novilktas vismaz (n l)-ļ-(n \)==2n 2 līnijas, neskaitot tās līnijas, kas novilktas uz punktu A. Sauksim šīs līnijas par būtiskām. Bez punktiem A, B un C ir vēl 2n 3 citi punkti. Katra būtiskā līnija sākas punktā B vai punktā C un beidzas vienā no šiem 2n 3 punktiem. Tā kā 2n 2~>2n 3, tad nav iespējams, ka visas būtiskās līnijas beidzas dažādos punktos. Tāpēc eksistē tāds punkts, kurā beidzas vismaz divas būtiskās līnijas; apzīmēsim šo punktu ar D, Iegūsim ainu, kas attēlota 150. zīmējumā. 148

149 A S 149. ztm zīm. D 2. Jebkuri divi punkti, kas ir savienoti ar punktu A, ir savienoti arī savā starpā. Šķirosim divus apakšgadījumus: a) 3; tādā gadījumā no tiem n punktiem, ar kuriem savienots A, izvēlēsimies kaut kādus 3 punktus B, C un D. Punkti A, B, C un D savā starpā katrs savienots ar katru; tāpēc cilvēkus A, B, C un D var apsēdināt pie galda jebkurā kārtībā; b) n 2; šajā gadījuma visas iespējas pārbaudām tieši Ja ceļinieks ies pa divām tāda regulāra trijstūra malām, kura augstums ir 10 km, viņš noteikti iznāks no meža, pie tam * j.i-1, km-2 40VT, ^ noietais attalums bus ne lielāks ka ' k m < ļ/3 3 <23,2 km Spēlējot 8x 8 rūtiņu kvadrātā, otrais spēlētājs uzvar, iekrāsojot rūtiņu, kas ir simetriska attiecībā pret kvadrāta centru tai rūtiņai, kuru iepriekšējā gājienā iekrāsoja pretspēlētājs. Spēlējot 9X9 rūtiņu kvadrātā, uzvar pirmais spēlētājs, pirmajā gājienā iekrāsojot centrālo rūtiņu un pēc tam izmantojot simetrisko stratēģiju x20 rūtiņu tabulas gadījumā uzvar otrais spēlētājs. Ja pirmais spēlētājs izsvītro kolonnu, tad arī otrais nākošajā gājienā izsvītro kolonnu; ja pirmais spēlētājs izsvītro rindu, tad arī otrais spēlētājs izsvītro rindu. Tāpēc pēc pirmā spēlētāja gājieniem vai nu kolonnu skaits, vai rindu skaits ir nepāra skaits, un tātad viņš nevar uzvarēt Abos gadījumos uzvar pirmais spēlētājs, pirmajā gājiena izsvītrojot divus (resp. vienu) vidējos minusus un pēc tam izdarot gājienus simetriski otrā spēlētāja gājieniem Pirmais spēlētājs ar pirmo gājienu iebīda figūriņu rūtiņā A un turpmāk katrā gājienā iebīda figūriņu otrajā tā paša pāra rūtiņā, kurā nupat to iebīdījis otrais spēlētājs (151. zīm.) Otrais spēlētājs sadala skaitļus domās pa pāriem (1; 2), (3; 4),.(1983; 1984) un kārtējā gājienā izsvītro otru skaitli tajā pārī, kurā nupat vienu skaitli izsvītrojis pirmais spēlētājs. Tādējādi beigās paliek divi skaitļi, kas atšķiras par 1, t. i., paliek savstarpēji pirmskaitļi Jānis nosauc skaitli 1 un pec tam 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89,

150 151. zīm zīm Pirmais spēlētājs uzvar, ja sākotnējais skaitļu pāris nesakrīt ar kādu no pāriem (4&; Ak), (4^+2; Ak+2), (46 + 1; 4 -ļ-3) un (4 - -3; 4&+1), kur k 0, 1, 2,... (sauksim tādus pārus par īpašiem pāriem). Lai to pierādītu, jāpierāda, ka 1 ) no īpaša pāra ar vienu gājienu nevar iegūt īpašu pāri; 2 ) no pāra, kas nav īpašs, ar vienu gājienu var iegūt īpašu pāri; 3) (0; 0) ir īpašs paris. Pirmā spēlētāja stratēģija katrā gājienā iegūt īpašu pāri. Otrais spēlētājs spiests iegūt pāri, kas nav īpašs, tātad viņš nevar iegūt pāri (0; 0). Tā, piemēram, (38; 37) nav īpašs pāris, tātad pirmais spēlētājs uzvar. Viņa pirmais gājiens var būt (38; 37) (36; 36) Sauksim pozīciju par īpašu tad, ja tas spēlētājs, kuram ir jāizdara gājiens, ir paņēmis nepāra skaitu konfekšu un uz galda vēl ir 86 vai 8 -j-5 konfektes (k = 0, 1, 2,...), kā arī tad, ja tas spēlētājs, kuram jāizdara gājiens, ir paņēmis pāra skaitu konfekšu un uz galda vēl ir 86+1 vai 8k-\-A konfektes. Tālākie spriedumi līdzīgi kā 497. uzdevuma atrisinājumā Aitām jānovietojas uz vienas taisnes / 5 m attālumā cita no citas. Caur katru aitu A, novelkam taisnei t perpendikulāru taisni li. Katrai taisnei h abās pusēs 1,1 m attālumā no tās novelkam vēl pa taisnei; joslu starp šīm divām taisnēm sauksim par aitas Ai drošības zonu. Gājiens jāizdara tai aitai, kuras drošības zonā iegājis vilks. Aitai jāiet pa taisni U tā, lai tā attālinātos no vilka projekcijas uz li. Ja vilks neatrodas nevienas aitas drošības zonā, gājienu izdara jebkura aita. Tad vilks nenoķers nevienu aitu Pieņemsim, ka rūtiņas malas garums ir 1. Pēc otrā spēlētāja pirmā gājiena pirmais spēlētājs izvēlas tādu naturālu skaitli k, lai attālums starp abu jau iekrāsoto rūtiņu centriem būtu mazāks nekā k. Savus turpmākos gājienus pirmais spēlētājs izdara tikai tajā rūtiņu apakškopā, kas veido režģi, kurā attālums starp blakus rūtiņu centriem ir k (152. zīm.). 150

151 153, zīm zīm. Tāpēc otrā spēlētāja pirmais gājiens netraucēs pirmo spēlētāju, un varam uzskatīt, ka spēles sākumā pirmais spēlētājs izdara 2 gājienus pēc kārtas. Turpmākajos zīmējumos attēlosim tikai iepriekš minēto rūtiņu kopu, ērtības labad zīmējot parasto rūtiņu režģi un neparādot atstarpes starp izdalītajām rūtiņām. Pirmā spēlētāja divas pirmās iekrāsotās rūtiņas apzīmēsim ar 1 un 2 (153. zīm.). Ja otrais spēlētājs kārtējā gājienā neaizņem nevienu no rūtiņām A, B, C, D, E, F, G, tad pirmais spēlētājs nākamajā gājienā aizņem rūtiņu D, pēc tam rūtiņu B vai rūtiņu F atkarībā no tā, vai brīvas rūtiņas ir A, B, C vai rūtiņas E, F, G, un nākamajā gājienā uzvar. Ja otrais spēlētājs kārtējā gājienā aizņēmis vienu, no rūtiņām A, B, C, D, E, F, G, tad pirmais spēlētājs aizņem rūtiņu 3, pēc tam rūtiņu / vai L atkarībā no tā, vai brīvas ir rūtiņas H, /, / vai rūtiņas K, L, M, un nākamajā gājienā uzvar. Pierādīt šādu rezultātu: pirmais spēlētājs uzvar arī tad, ja uz katru viņa gājienu otrais spēlētājs atbild, iekrāsojot n zilas rūtiņas {n jebkurš naturāls skaitlis). 50t. Ordinātu ass iet caur nogriežņa AB viduspunktu un punktu Af, kas dala nogriezni CB attiecībā 3:1. Punktu M atrod, konstruējot nogriežņa CB viduspunktu N un pēc tam nogriežņa BJV viduspunktu M =721o=2-360o+l Nogriežņi, kas savieno punktus E un F ar punktiem M, N, Ķ un L, ir vienādi ar pusi no četrstūra attiecīgās malas. Tāpēc var konstruēt figūru, kas sastāv no punktiem M, E, N, Ķ, L, F (154. zīm.). Četrstūra malas novelk caur punktiem M, N, Ķ un L paralēli nogriežņiem NE, ME, NF, MF. Vispārīgajā gadījumā ir divi atrisinājumi. Ja EF= 0 un pretējās malas pa pāriem ir vienādas, var konstruēt bezgalīgi daudz paralelogramu Konstruēt taisnei t paralēlu staru MN, leņķa ĶMN bisektrisi l, taisnei l perpendikulāru nogriezni KS. Tad nogriežņa KS vidusperpendikuls v ir dotā trijstūra bisektrise. Līdzīgi konstruē otru bisektrisi, to krustpunkts ir centrs (155. zīm,). 151

152 505. Uz lodes virsmas atzīmējam divus punktus M un Ņ un konstruējam trīs punktus A, B un C tā, lai tie atrastos uz lodes virsmas vienādos attālumos no punktiem M un N. Punkti A, B un C atrodas lodes šķēlumā, kas iet caur tās centru. Finiera plāksnē uzzīmējam trijstūri, kas vienāds ar trijstūri ABC, un konstruējam ap šo trijstūri apvilkto riņķa līniju Novelkam no punkta A taisni, kas iet tuvu gar punktu B un atliekam uz tās nogriezni AC \ m. Savienojam punktu B ar punktu C un konstruējam <1A1BC <^ACB. Pagarinot staru BM, nonākam punktā A (156. zīm.) Pēc kosinusu teorēmas AC ļ / 22- f ļ----= ļ 7 (157. zīm.) Atrisinājums redzams 158. zīmējumā. Punkts M izraudzīts patvajīgi, taišņu novilkšanas secība parādīta ar numuriem. Pierādīt, ka B L = ~ \r AB un BK. = -~~AB. 2, o 509. Novietojam lineālu tā, lai lineāla viena mala iet caur punktu M, novelkam taisnes-^ un tu. Tad noliekam lineālu ta, lai lineāla otra mala ietu caur punktu M, un novelkam taisni tļ tņ (159. zīm.). Pēc tam noliekam lineālu tā, lai viena mala ietu caur punktu M, otra mala caur punktu N} bet malas nesakristu ar taisnēm t2 un 13, un novelkam taisnes h un U. Apzī- B 157. zīm zīm. 152

153 159. zīm zīm. mējam taišņu ft un l2 krustpunktu ar K. Tad SKN ir vienādsānu trijstūris un tāpēc tā mediāna KM ir ari augstums Ļoti tuvu nogrieznim BC novelkam nogriezni MN ļj BC. Novietojam kvadrāta malu tā, lai viena virsotne sakristu ar punktu M, bet otra virsotne atrastos nogriežņa BC punktā K, un novelkam nogriezni MĶ. Līdzīgi novelkam nogriezni ML. Nogriežņu M Ķ un N L kopējais punkts 0 atrodas uz kvadrāta viduslīnijas (160. zīm.). Līdzīgi atrodam otru punktu uz šīs viduslīnijas un novelkam viduslīniju. Pēc tam konstruējam otru viduslīniju. Abu viduslīniju krustpunkts ir kvadrāta centrs Apzīmēsim papīra lapu ar ABCD. Pārlokām lapu tā, lai punkts A sakristu ar punktu B. Ja lapas abas puses nesakrīt, tad lapa nav kvadrāts. Ja sakrīt, tad pārlokām lapu ta, lai punkts B sakrista ar punktu C. Ja lapas abas puses nesakrīt, lapa nav kvadrāts. Ja sakrīt, tad lapa ir taisnstūris. Pārlokām lapu pa nogriezni AC. Lapa ir kvadrāts tad un tikai tad, ja abas puses sakrīt Pārlokām kvadrātu un iegūstam tā viduslīniju LS (161. zīm. a). Pēc tam pārlokam ta, ka parādīts 161. zīmējumā b. Tad <,4 M = 60. Pārlokot kvadrātu pa nogriezni DAt, iegūstam locījuma līniju, kas ar AD veido 60 lielu leņķi (161. zīm. c). Līdzīgu locījuma līniju iegūstam no punkta A. Pa šīm līnijām izgriežam regulāro trijstūri. 161, zīm.

154 PIELIKUMS 1. Uzdevumi, kas izmantoti Latvijas PSR rajonu matemātikas olimpiādēs Mācību gads 3. klase 4. klase 5. klase 6. klase 7. klase 1978./ , 183., , 140., , 217, 323, 379, , 267, 339, / , 408., / , , 110., , 173, 270, , 9 1, 115, 282, / , , 184., 234., 2 51, , 135, 292, 416, , 9 4, , 272., , 92., 256, 368, , 4 41, ,

155 2. Uzdevums, kas izmantoti Latvijas PSR atklātajās matemātikas olimpiādēs O lim p iād es Nr., m ācību gads 4. klase 5 klase 6. klase 7. klase 1. olim piāde, 1973./ , olim piāde, olim piāde, 1977./78. 28, , , , 170, 309, 283, olim piāde, 1978./ , , , 177, 317, 261., olim piāde, , 99, 181., 343, , 389, , 4 8 1, 196, 3 01, , olim piāde, 1980/81. 65, , 429., 144, , 179, , 9. olim piāde, 1981./82. 5., 182,374., 383., , , 22, 279, 126, , , 10. olim piāde, 1982./ , , 403, 359, , , olim piāde, , 186, 367, 446, , , 456, 168, 43 5, , 437, 169,. 384, , 388, 3. Uzdevumi, kas izman'oti Vissavienības neklātienes matemātikas komandu olimpiādēs 7. un 8. klašu grupā 1980./ / / / , 382, , 147, 228, 229., 78, 116, 356, 175, 227, 322, ,

156 4. Uzdevumi, kas izmantoti Maskavas matemātikas olim piādes Mācību gads, klase Uzdevumu numuri 1946./47., 7. un 8. kl. 62., 74., /49., 7. kl. 102, 163, /50., 7. kl. 269, 284, /55., 7. kl. 164, 219, 308, /56., 7. kl. 119, 174, /57., 7. kl. 4 5, 101, /58., 7. kl. 383, 409, /S9., 7. kl. 19, 265, /60., 7. kl 146, 206, 252, /60., 8. kl. 296, /61, 7. kl. 77, /63., 8. kl. 38, 67, 161, 202, , 7. kl. 76, 130, /64., 7. kl. 11, 137, 165, 304, /72., 7. kl. 7, 264, 285, , 8. kl. 14, 7 1, 138, , 7. kl. 75, 298, 391, 42 1, /77., 7. kl. 13, 37, /79., 7. kl. 226, 353, /80, 7. kl. 26, 46, 188, 366, /81., 7. kl. 194,

157 5. Citu autoru sastādīto uzdevumu rādītājs V. Ignatoviča sastādījusi 29, 47, 90, 99, 220, 222, 271, 302, 412, 512. uzdevumu, D. Kriķis 56, 57., 82, 104. uzdevumu, I. Muceniece 370, 385. uzdevumu, T. Ziļicka 396. uzdevumu, M. Opmanis 447. uzdevumu, I. Rambaha 2. uzdevumu. Vairāki uzdevumi ņemti no žurnāliem [1] [5] un no grāmatām [6] un [7]. Daļa uzdevumu pieder pie t. s. «matemātiskās folkloras» un to autorus vairs nav iespējams noskaidrot.

158 LITERATŪRA 1. Žurnāli 1. «Квант», «Математика» (Bulgārija), «Kopzepiskolai matemātikai lapok» (Ungārija), «ALPHA» (VDR), «CRUX MATHEMATICORUM» (Kanāda), Grāmatas 6. Л. Andzāns, P. Zariņš. Matemātiskās indukcijas metode un varbūtību teorijas elementi. R.: Zvaigzne, lpp. 7. E. Riekstiņš, A. Andzāns. Atrisini pats! R.: Zvaigzne, lpp. 8. E. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь. Математические соревнования. Арифметика и алгебра. М.: Наука, с. 9. Заочные математические олимпиады./ Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер, Ж. П. Раббот, А. Л. Тоом. М.: Наука, с. 10. А. А. Леман. Сборник задач московских математических олимпиад. М.: Просвещение, с. 11. Математические задачи./ Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь, А. К. Толпыго. М.: Наука, с. 12. Л. М. Gleason, R. Е. Greenwood, L. М. Kelly. The William Lowell Putnam Mathematical Competition. Problems and Solutions. Washington, The M athem atical Association of America, p. 13. E. R. Emmet. 101 Brain Puzzlers. N. Y, Harper and Row, p. 14. R. Honsberger. M athem atical Morsels. W ashington, The Mathematical Association of America, p. 15. K. Fujimura. The Tokyo Puzzles. N. Y, Charles Scribner s Sons, p.

159 SATURS I d a ļa. U z d e v u m i nodaļa. Dažas vispārīgas risināšanas metodes Invariantu metode Uzdevumi Dirihlē princips jg Uzdevumi jg 1.3. Ekstremālā elementa metode Uzdevumi nodaļa. Loģiska rakstura uzdevumi nodaļa. Aritmētikas uzdevumi nodaļa. Algebras uzdevumi nodaļa. Klasiskās ģeometrijas uzdevumi nodaļa. Konfigurācijas un kombinatoriskā ģeometrija.,5() 7. nodaļa. Algoritmiskie uzdevumi $ 7.1. Uzdevumi par algoritmu atšifrēšanu un analīzi Algoritmu izstrāde gq Ievaduzdevum i qq Induktīvie algoritmi Apakšprogrammas tipa algoritmi......( Algoritma optimalitātes pierādījumi qq 1A. Pierādījuma uzdevumi Matemātiskās spēles gg 7.6. Konstrukcijas uzdevumi ģeom etrijā II daļa. Atrisinājumi....,yļ Pielikums L i t e r a t ū r a...

160 Агнис Анджанс, Ингрида Крейцберга Можешь ли решить? Рига «Звайгзне» 1985 На латышском языке Agnis Andžans, Ingrida Kreicberga VAI VARI ATRISINĀT? Paaugstinātas grūtību pakāpes uzdevumi matemātikā klasei Vāku zīm. A. Alksne-AlksnTte. Redaktors U. Grlnfelds. Māksi, redaktors U. Gulbis. Tehn. redaktore B. Briedē. Korektore V. Stobe A n d ža n s A., K reicb erga I. An 318 Vai vari atrisināt? R.: Zvaigzne, lpp., il. Grāmata satur paaugstinātas grūtību pakāpes uzdevumus par svarīgākajām skolas programmā iekļautajām tēmām, kā arī daudzus loģiska rakstura, kombinatoriskus, iztēles attīstīšanai paredzētus uzdevumus. īpaša uzmanība veltīta tam, lai nostiprinātu skolēnos pareizu priekšstatu par to, kas ir un kas nav matemātisks pierādījums. Atsevišķas nodaļas satur īsus teorētiskus ievadus un piemērus līdz ar to analīzi. Grāmata paredzēta skolēniem, matemātikas pulciņu vadītājiem un skolotajiem darbā ar spējīgākajiem skolēniem.