O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri

Lielums: px
Sāciet demonstrējumu ar lapu:

Download "O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri"

Transkripts

1 O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri

2 O.Lauce ARITMĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI FORMULAS PIEMĒRI

3 O lg a L a u c e ARITM ĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI, FORMULAS, PIEMĒRI

4 SATURS Priekšvārds... 5 Naturālie skaitli Nezināmā darbības locekļa aprēķināšana...6 Darbību īpašības Darbību secība izteiksm ēs... 8 Skaitļu dalām ība...*...8 Lielākais kopīgais dalītājs...9 Mazākais kopīgais dalāmais...9 Summas dalām ība...9 Reizinājuma dalām ība...10 Skaitļu dalāmības pazīmes...10 Parastās daļas Daļas pam atīpašība Parasto dalu saskaitīšana un atnem šana...11 Parasto dalu? reizināšana...12 _ Parasto dalu dalīšana...13 Decimāldaļas Decimāldaļu saskaitīšana un atnem šana...13 Decimāldaļu reizināšana...14 Decimāldaļu dalīšana...14 Skaitļu noapaļošana Parastās daļas pārveidošana decimāldaļā Periodiskās decimāldaļas...16 P rocenti...17 Dažādi aprēķinu uzdevum i Daļas vērtības aprēķināšana no dotā skaitļa.. 17 Visa skaitļa aprēķināšana...18 Viens skaitlis kā otra skaitļa d a la Attiecība un p ro p o rcija... 19

5 Racionalie skaitli Saskaitīšana un atn em šan a Reizināšana un d alīšana...21 K apinašana...22 Likumi darbībām ar pakāpēm...23 Iekavu atvēršana un ieslēgšana iekavās Saknes n-tās pakāpes sakne Aritmētiskā sakne...25 Aritmētisko sakņu īpašības un to izm antošana Saknes norm ālfo rm a...28 Sakņu 9 saskaitīšana _ un atn9_ em šan a...28 Sakņu reizināšana un d alīšana...28 Kvadrātsakne Piemēri darbībām ar kvadrātsaknēm...30 Kvadrātsaknes aprēķināšana...31 Monomi un polinom i...33 M onom s...33 Polinoms Darbības ar polinom iem...34 Saīsinātās reizināšanas form ulas...34 Polinom a sadalīšana reizinātājos Algebriskas d aļas...38 Algebriskas daļas pam atīpašība Daļas skaitītāja un saucēja zīmju m a iņ a...40 Dalu 9 saskaitīšana _ un atnem _9 šana Dalu 9 reizināšana un dalīšana...41 V ienādojum i Lineāri vienādojumi ar vienu nezināmo...42 Kvadrat vienādojumi...43 Nepilnie kvadrat vienādojumi Pilnie kvadrat vienādojumi Diskriminants...48 Par kvadrātvienādojumiem reducējami vienādojum i Vienādojumu sistēmas...52 Lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmiem Lineāru vienādojumu sistēmu atrisināšanas paņēm ieni.. 53 Otrās pakāpes vienādojumu sistēm as

6 Funkcijas Lineāra funkcija... gļ Funkcija y '\... Funkcija y x Funkcija y=-y/x Kvadratfunkcija...54 Nevienādības Skaitļu intervāli Lineāras nevienādības Lineāru nevienādību sistēm as Otrās pakāpes nevienādības Nevienādību atrisināšana ar intervālu m e to d i...71 Progresijas...73 Aritmētiskā progresija...74 Aritmētiskās progresijas īpašības Ģeometriska progresija...75 Ģeometriskās progresijas īpašības...77 Reizinājumu ta b u la...79 Skaitļu kvadrātu tabula... 80

7

8 PRIEKŠVĀRDS Šajā b ro šū rā apkopota tikai tā pam atskolā aplūkojam ā (dažos gadījum os nedaudz plašāka) aritm ētikas u n algebras viela, kas daudzu gadu darba pieredzē ir izrādījusies pati nepieciešam ākā. B rošūra nav izm antojam a kā m ācību grām ata, jo tajā nav detalizētu paskaidrojum u, b et ir tikai galvenie darbību likum i, form ulas u n p iem ēru risinājum u paraugi. B rošūras nelielais apjom s ļaus to izm antot katru dienu gan klasē, gan mājā, risin o t uzdevum us. Sevišķi šis likum u, form ulu u n p iem ēru apkopojum s noderēs tiem vidējo m ācīb u iestāžu audzēkņiem, kuriem nav saglabājušās iepriekšējo gadu m ācību grām atas. A rī vecāki šajā b ro šū rā atradīs piem irstās form ulas.

9 NATURALIE SKAITLI 9 NEZINĀM Ā DARBĪBAS LOCEKĻA APREĶINAŠANA N ezin ām o saskaitam o x aprēķina, no sum m as atņem ot zinām o saskaitām o: x+a=b, x=b~a; x+ 7 = 18, x = ll; 20 = x+3, 20-3=;c, x=\7. N ezin ām o m azinām o x aprēķina, pie starpības pieskaito t m azinātaju: x-a=b, x=b+a; x 7 = 18, x = , x=25; 3Q = x 8, = x, x=38. N ezin ām o m azinātaju x aprēķina, no m azinām a atņem ot starpību: a-x=b, x=a b; 3 0 -x = 5, x = 3 0-5, x = 25. N ezin ām o reizin ātāju s aprēķina, reizinājum u dalot ar zinām o reizinātāju: 6 a x=b, x=b:a; 8-x=24, x=24:8, x=3.

10 N ezinām o dalāmo x aprēķina, dalījum u reizinot ar dalītāju: x\a=b, x=b a; x:4= 10, x = 10-4, x=40; ~ =3, X 3-4, x l2. N ezin ām o d a lītā ju s aprēķina, dalām o dalot ar dalītāju: a:x=b, x=a:b; 15:x=3, 15:3, x=5; ^2 =8, oc x=32:8, x= 4. d a r b ī b u i p a s i b a s Saskaitīšanas u n reizināšanas kom utatīvā (pārvietojam ības) īpašība: a+ b-b+ a; a b=b a; 9+4 = = =4-9 = 36. Summa nemainās, ja saskaitāmos maina vietām. Reizinājums nemainās, ja reizinātājus maina vietām. Saskaitīšanas u n reizināšanas a s o c ia tīv ā (savienojam ī b as) īpašība: (a+ b) + c=a+(b+c); (a b) c=a (b c); (48+17)+ 13= (17 12) 5 = 17 (12 5) = = 48+ (17+ 13)= =17-60 = = = 68. Reizinājums nemainās, ja reizinātājus savieno gru pās. Summa nemainās, ja saskaitāmos savieno grupās. 7

11 R eizināšanas distributīva (sadalam ības) īpašība: (a+ b) m=a m+b m. Pieņemtajā darbību secībā: ( ) -3 = 11 3=33. Lietojot distributīvo īpašību: ( ) 3 = = 33. DARBĪBU SECĪBA IZTEIKSMES Ja skaitliskajā izteiksm ē nav iekavu, tad vispirm s jā iz dara kāpināšana, p ēc ta m reizin āšan a u n dalīšana tādā secībā, kādā tās uzrakstītas, pēc ta m saskaitīšana u n atn em šan a tā d ā secībā, k ād ā tās uzrakstītas. P ie m ē r i. 1) 2 4 0: :17= = 48; 2) :2 = :2 = = = =54. Iekavas m a in a d arbību secību. V ispirm s jā izp ild a darbības iekavās, p ēc ta m jā izp ild a pārējās darbības, kā n o rād īts iepriekš. A r daļsvītru apzīm ētā dalīšanas darbība izpild ām a kā pēdējā. P ie m ē r i. 1) 120:5 + (500 40) = 120: = = = 556; 2) ( ): 25 = ( ): 25 = ( ): 25 = = 50:25 2; 23 3 (24 19) (21 + 7): 14 28:14 2 ~ 2 ~ ' SKAITĻU DALĀMĪBA P irm s k a itļi ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 u n paši ar sevi: 7; 11; 23. S a lik ti s k a itļi ir skaitļi, kas dalās ar 1, paši ar sevi u n vēl ar citiem dalītājiem: 18; 24; 230.

12 Savstarpēji p irm sk aitļi ir skaitļi, kuru kopīgais dalītājs ir tikai 1: 3 un 5; 4, 17 un 25. Skaitļa pirm reizinātāji ir pirmskaitļi, kuru reizinājums ir dotais skaitlis: 35=5-7; 120= LIELAKAIS KOPĪGAIS DALITAJS Lielākais kopīgais dalītājs (L. k. d.) ir lielākais skaitlis, ar k u ru dalās dotie skaitļi. L. k. d. ir d o to skaitļu kopīgo p irm reizin ātāju reizinājum s. 168 = , 210 = , L. k. d. (168; 210) = 2-3-7= :42 = 4, 210:42 = 5. MAZ AKAI S KOPĪGAIS DALAMAIS M azākais kopīgais dalām ais (M. k. d.) ir m azākais skaitlis, kas dalās ar dotajiem skaitļiem. M. k. d. a tro d šādi: no v iena skaitļa (ieteicam s no lielākā skaitļa) ņ e m visus pirm - reizinātājus, bet n o p ārējiem skaitļiem tos, k u ru nav ņ em tajā skaitlī. 210 = , 18= 2-33, M. k. d. (210; 18) = = 210 3= :210 = 3, 630:18 = 35. SUMMAS DALAMIBA Ja katrs saskaitām ais dalās ar k ād u skaitli, ta d arī su m m a dalās a r to : = 336 dalās ar 21, jo 42, 84 un 210 dalās ar 21.

13 REIZINĀJUMĀ DALAMIBA Ja viens no reizinātājiem daļas ar k ad u skaitli, tad ari reizinājum s dalās ar šo skaitli dalās ar 2; 19; 38, jo 38 dalās a rtie m ; dalās ar 3; 15; 45, jo 45 dalās ar tiem. SKAITĻU DALĀMĪBAS PAZĪMES A r 2 dalās skaitļi, k u ru pēdējais cipars ir 0; 2; 4; 6; 8. A r 5 dalās skaitļi, k u ru pēdējais cipars ir 5 vai 0. A r 4 vai 25 dalās skaitļi, k u ru pēdējie divi cipari apzīm ē skaitli, kurš dalās ar 4 vai 25. A r 8 dalās skaitļi, k u ru pēdējo trīs ciparu izveidotais skaitlis dalās a r 8. A r 3 vai 9 dalās skaitļi, k u ru ciparu sum m a dalās ar 3 vai 9. P i e m ē r i dalās ar 2, jo 8 dalās ar 2; dalās ar 4, jo 28 dalās ar 4; dalās ar 8, jo 328 dalās ar 8; dalās ar 3, jo = 21 u n 21 dalās ar 3; dalās ar 9, jo = 27 u n 27 dalās ar 9. PARASTAS DAĻAS DAĻAS PAMATĪPAŠĪBA D aļas lielum s n em ain ās, ja tā skaitītāju u n saucēju reizin a vai dala ar v ie n u u n to pašu skaitli ^ Daļas p a p lasm asan a: - = - = 7 5! 5 = - =. 6 b lo 1 4

14 ~ Daļas saism asana: = = - ; 12 = D aļas izdevīgi saīsināt ar skaitītāja u n saucēja lielāko kopīgo dalītāju. P ie m ē ri. 1) Saisinat c ' 108 = = L. k. d. (108; 360) = _ ~ Ī0 ' 375 2) Saisinat -. Tā kā 375 = 3 53, 225 = zzo Q7^ļ c o un L. k. d. (375; 225) = 3-52 = 75, tad = - = PARASTO DAĻU SASKAITĪŠANA UN ATŅEMŠANA Saskaitot vai atņ em o t daļas, k u ra m v ie n ā d i sa u c ē ji, saskaita vai atņ em tikai skaitītājus, p atu ro t kopīgo saucēju. a b a+b + c c c ~ 5 5' a b a b 7 4 _ l - c c c ii

15 Saskaitot vai atņem ot daļas, kuru sau cēji n av v ie n ā d i, vispirm s vienādo saucējus. Lai v ienād o tu saucējus, rīkojas šādi: a) atrod kopsaucēju (saucējus sadala pirm reizinātājos, no viena saucēja ņ em visus pirm reizinātājus u n no pārējie m - iztrūkstošos reizinātājus u n sareizina); b) atrod katrai daļai papildreizinātāju (kopsaucēju izdala ar k atras daļas saucēju); c) sareizina papildreizinātāju ar daļas skaitītāju u n saucēju. P ie m ē r i _ 9 ~~ 27 _ 27 * ~ Ž ± PARASTO DAĻU REIZINASANA 12 a c a c b d = b-d* 3 5 = 3-5 = 15, # " 4-9 ~ 9 9' 1,1 a a c. c b C~ b,j C== = V _ ļ ^ 4 _ a 2 v ai = = 8 ^ =

16 ,4,1 a c _ a d 8 2 $ $ 4 1 b' d~ b c 9' 3 = $ Ž = 3 = *3' 3 1 a a. c , : c~ -, jo c= ; :3= h b c a c b. c c:, = jo c= ; 5 : - = =17. b a a :0 nav jēgas. PARASTO DAĻU DALĪŠANA Ja piemērā ir tikai reizināšanas un dalīšanas darbības, tās izpilda reizē uz vienas daļas svītras. a m z a m t b n ' t b n z i 2.* 1-*. 4, 0 ' ' ' $ l 44-4X W $ -5 _ 15 _ ~~ $ 4 ~ J ~ 4' 3 i l DECIMALDALAS ,3 = :-; 0,42= -; 1,014= DECIMALDAĻU S AS KAIT I S AN A UN ATŅEMŠANA 3,58 + 0, ,8 = 18,615; 4,627-3,927 = 0,7; 3,58 4, ,235 3, ,700 18,615 13

17 6,3-1,267 = 5,033; 6,300-1,267 5, ,75 = 22,25. 28,00 5,75 22,25 3, ,40; DECIMALDAĻU REIZINAŠANA 12,65 1, ,240; 0,245 0,03 0, Skaitli reizinot ar 10; 100; 1000 u tt, kom atu pārceļ par vienu, divām utt. vietām uz labo pusi: 3,75 10 = 37,5; = 375; =3750. DECIMALDAĻU DALĪŠANA 2,4:75 = 0,032; :0,8 = =740:8 = 92,5; 2,5:0 nav jēgas. Skaitli dalot ar 10; 100 utt., kom atu p ārceļ p ar vienu, divām utt. v ie tām u z k reiso pusi: 14 3,75:10=0,375; 3,75:100 = 0,0375; 0,0418:100 = 0,

18 SKAITĻU NOAPAĻOŠANA 1.473» 1,47, noapaļots ar precizitāti līdz 0,01; sb 1,5, noapaļots ar precizitāti līdz 0,1; as 1, noapaļots ar precizitāti līdz 1 veselam; 27,8 ss 30, noapaļots ar precizitāti līdz 1 desmitam. N oapaļojot decim āldaļas līdz norādītajai šķirai, jāievēro pirm ā atm etam ā cipara lielum s. Ja šis cipars ir 5 vai lielāks nek ā 5, ta d pēdējais p aliekošais cipars jā p a lie lin a p a r 1. 7 m= 0,21875 m sj 0,22 m =22 cm vai oz 0,21875 m «0,219 m =21 cm 9 mm. ^ kg = 0,(3) kg «0,333 kg = 333 g vai 0,(3) kg «0,33 kg=330 g. PARASTAS DAĻAS PARVEIDOSANA DECIMALDAĻA Galīgā decim āldaļā var pārveidot tās parastās daļas, k u rām p ēc saīsināšanas saucēja p irm reizin ātāji ir tikai 2 u n _ = - =0,35; ^ = 1: 8=0,125; = 0,024 vai (5-2) _ : 125 = 0,

19 Ja saīsinātas parastās daļas saucējā ir k au t v iens n o 2 u n 5 atšķirigs pirm reizin ātājs, tad tā d u d aļu n ev ar pārveidot galīgā decim āldaļā, bet to var pārveidot periodiskā decim āldaļā. 9 ^ = 7:33 = 0,2121.,. =0,(21); ^ = 5:12=0, =0,41(6). JL& PERIODISKAS DECIMĀLDAĻAS P ārv eid o jo t tīru periodisku d e c im ā ld a ļu parastajā daļā, saucējā jā ņ e m tik reižu cipars 9, cik ciparu ir periodā. = 0, =0,(6) ^ 0, ( 6 ) = = ; q 97 Q n =0,(27) ~ 0,(27)= P ārv eid o jo t ja u k tu periodisku d e c im ā ld a ļu parastajā daļā, skaitītājā no skaitļa, kas veidojas aiz kom ata, atņem skaitli, kas veidojas starp k om atu u n periodu, bet saucējā ir tik reižu cipars 9, cik ciparu ir periodā, u n tik nuļļu, cik ciparu ir starp k o m atu u n periodu. 16 ^ 0, 3 ( 7 ) ~ o, 3(7, 0,21(3)

20 PROCENTI Par p ro c e n tu (% ) sauc skaitļa simto daļu. 5%= ^ =0,05; 4 8 % = «-0,«; 316 % = ,7 % = m = umo =0 7: 0,18% =0,0018. DAZADI APRĒĶINU UZDEVUM I 9 DAĻAS VĒRTĪBAS APRĒĶINĀŠANA NO DOTA SKAITĻA Lai aprēķinātu skaitļa daļas vērtību, doto skaitli reizina ar dalu. 9 P ie m ē r i M -3 na - no 40= j- - = 24; , n 3 n _9, 0,7 no 80 = 80 0,7 = 56; 4% no 80 = 80-0,04 = 3,2; 120% no 21 = 21-1,2 = 25,2.

21 VISA SKAITĻA APREĶINAŠANA Lai ap rēķinātu skaitli x, ja zinām a tā daļa u n šīs daļas vērtība, tad daļas vērtība jā d ala ar daļu. P ie m ē r i Aprēķināt skaitli, kura ir Aprēķināt skaitli, ja 0,25 skaitļa ir 50. 0,25x=50, x = 50:0,25 = 50:1= Pirmajā dienā tūristi nobrauca 48 km, un tas bija 12 % no visa paredzētā maršruta. Aprēķināt visa maršruta garumu. 12 % x =48 km, x= 4 8 :0,12 = 4800:12 = 400 (km), g 4. Kad izdeva visas naudas, tad atlika 35 lati. Cik latu s bija sākumā? Ls = 56 (Ls).

22 VIENS SKAITLIS KA OTRA SKAITĻA DAĻA Lai izteiktu v ienu skaitli ka otra skaitļa daļu, pirm ais skaitlis jā d ala ar o tru skaitli. 3. a pret b = c ; pret 7= 3 pret 5= - =0,6. Pirm ajā diena apsēja 15 ha. C ik p ro c e n tu no visas platības apsēja, ja tā ir 300 ha? 15 ha pret 300 ha = 15:300 = 0,05 = 5 %. a t t i e c ī b a u n p r o p o r c i j a P ar skaitļa a a ttie c īb u pret skaitli b sauc skaitļu a u n b dalījum u. A ttiecība ir nenosaukts skaitlis. 18 m pret 3 m = 18:3 = 6; km pret 1 ^ km 7:14= ^ = 2 = 0,5 = 50%; 700:70 = 10. D ivu attiecību vienādību sauc p a r p r o p o rc iju. J a a :fi= m u n c:d = m, tad a'.b C'.d jeb f =. b d Proporcijas pamatīpašība: proporcijas malējo locekļu reizinājums ir vienāds ar vidējo locekļu reizinājumu: ja C,, tad a d = b c. b d

23 Ja 35:5 = 7 un 14:2 = 7, tad 35:5 = 14:2 un 35-2= 514. Proporcijas nezinām ā locekļa aprēķināšana: x:12=36:4, 4x= 12-36, 12 *36 x = P ie m ē rs. Skābēšanai paredzētos gurķus pārlej ar sālsūdeni, kurā sāls un ūdens daudzumu attiecība ir 3:50. Cik kilogramu sāls jāņem uz 30 l ūdens? x - tik kilogramu sāls jāņem. Sastāda proporciju 3:50=x:30 un aprēķina nezināmo T I V \ locekli: * = = - = 1- =1,8 (kg). RACIONĀLIE SKAITLI Pozitīvos u n negatīvos veselos skaitļus, pozitīvos u n negatīvos daļskaitļus, kā ari nulli sauc p a r racio n āliem skaitļiem 9. K atram ra c io n ā la m skaitlim uz k o o rd in ā tu taisnes atbilst viens noteikts punkts. P u n k tam atbilstošo skaitli sauc p a r šī p u n k ta k o o r d in ā tu l +2+2, , ļ, ļ ( _ y 20 B A(2) - lasa: punkts A ar koordinātu 2, B ( - 1) - lasa: punkts B ar kordinātu mīnus 1. Pretējie skaitļi: 1 un 1; 2 un 2. Pozitīva skaitļa modulis: [ + 7 = +7; +12J=12. Negatīva skaitļa modulis: 7] =7; ļ 12] =12. Skaitļa 0 modulis ir nulle: j Oj =0. A

24 s a s k a i t ī š a n a u n a t ņ e m š a n a S ask aito t divus v ie n ā d z īm ju skaitļus, saskaita to m o duļus, pie ta m sum m ai paliek saskaitām o zīm e. (+ 9) + (+ 4,5) = + 13,5; ( 8) + ( 4) = 12. Lai sa sk a itītu divus d a ž ā d z īm ju skaitļus, no lielākā m oduļa jā a tņ e m m azākais, pie ta m sum m ai ir tāda zīm e, kāda ir saskaitām ajam ar lielāko m oduli. (+7) + ( -2 ) = + (7-2 ) = +5; ( 7) -t- ( + 2) (7 2) 5. Skaitļa a tņ e m š a n u var aizstāt ar ta m pretēja skaitļa pie skaitīšanu. (+ 7) ( 3) = (+7) + (+ 3) 10; ( ) - ( + 15) = (-35) + (-1 5 )= REIZINAŠANA UN DALĪŠANA D ivu v ie n ā d z īm ju skaitļu re iz in ā ju m s (dalījum s) ir pozitīvs skaitlis. (+9)-(+3)=27; ( 12) ( 3)= 36; (+9):(+S)=3; (-12): 3)=4. D ivu d a ž ā d z īm ju skaitļu re iz in ā ju m s (dalījum s) ir negatīvs skaitlis. ( 9)-(+2)= 18; 3,5-(-5)= -17,5; ( 9): ( + 2)= 4,5; 1 4 ^ :(-2 )= - 7 *. Izteiksm es ar racio n āliem skaitļiem darbību secība ir 9 tāda pati kā izteiksm ēs ar n atu rāliem skaitļiem. ( 5) ( + 0,8) + (+ 60): (- 15) - ( 2) ( 3) ( 120): ( -ļ-10) = = 4 + ( 4) (+6) ( 12)= = = = 2. 21

25 KAPINAŠANA Simboli: am- pakāpe, a - pakāpes bāze, m - kāpinātājs. Ja n ir naturāls skaitlis, tad an= a a a... a; n reizes x3=x-xx\ 1,22 = 1,2-1,2; 05= Pozitīva skaitļa pakāpe ir pozitīvs skaitlis: 33 = 27; 52 = 25; 122 = 144. Negatīva skaitļa pakāpe ir pozitīvs skaitlis, ja kāpinātājs ir pāra skaitlis: ( 3)2 = ( 3)-(- 3) = 9; ( 2)4 = 16, bet - 2 4=~16. Negatīva skaitļa pakāpe ir negatīvs skaitlis, ja kāpinātājs ir nepāra skaitlis: ( 3)3 = ( 3 ) ( 3)-(~-3)= 27; ( 2)5 = 32. Ja rc = 0 un aj= 0, tad legaume! -4 = 1; 0 nav jēgas. Ja n ir naturals skaitlis una^ ū, tad Iegaumē! 0 2 nav jēgas. 22

26 Ja a>0, m - vesels skaitlis, n - naturāls skaitlis, tad / a»= n/am; = 4 ^ = 4 " = ^ = v ''2^=23 = 8. Iegaumē! 3 _3 0S= 0, bet 0 5 nav jēgas. Negatīvas bāzes pakāpei ar daļveida kāpinātāju, piem., 1 _1 ( - 8 ) 3, (-0,64) 2, nav jēgas. LIKUMI DARBIBAM AR PAKAPEM a4 a3= a 52-5* = 56 = 15625; = = 29 = 512; 1 x = 3 = l. in rļii_ m Jif X "7 iv*3 _ A --i/v j 64:62 = 62=36; 256:23 = 28:23 = 2S= 32; a _4:a3= a 4-(+3)=cT7; 125:5-z = 53_(_2) = 55; _ y3-3_ 70 ļ (am)n=amn; (52)n= 52n; 1253 = (53)3 = 59; 9' 2 = (32)_2= 3 _4'= 81' (ab)m= a"'bm; (xy)2=x3y^] (xzy)4 =xhy Ļ; 6S= (2-3)5 = N3 3, am ~ ļ m

27 IEKAVU ATVĒRŠANA UN IESLĒGŠANA IEKAVAS Ja pirm s iekāvām ir plusa zīm e, tad iekavas var atm est, saglabājot k a tra iekavās ieslēgtā lo c e k ļa zīm i: a+(b+c- d) = a+ b+ c d\ 6 + ( l) = l = 0. Ja pirm s iekavām ir m m u sa zīm e, ta d iekavas var atm est, m ainot katra iekavās ieslēgtā locekļa zīm i: a -(b + c -d ) = a b c+ d; 6 ( ) = = Ieslēdzot izteiksm i iekavās ar plusa zīm i to priekša, izteiksm es lo c ek ļu zīm es nem ainās: 9 a -b + c ~ d = a + (-b + c -d ); = 18 + ( ) = 18 + ( 6) = 12. Ieslēdzot izteiksm i iekavas ar m m u sa zīm i to priekša, izteiksm es lo c ek ļu zīm es m ainās uz pretējām : a b+ c d = a (b~c+d); = 18 ( ) = 18 ( + 6) = 12. SAKNES 12-TĀS PAKĀPES SAKNE P ar rc-tās pakāpes sakni n o skaitļa a sauc tādu skaitli, kura rc -tā pakāpe ir a. ^/27 = 3, jo 33 = 27; ^ / = - 5, jo ( 5)3= 125; ^ 1 6 = 2 u n ^/16 = - 2, jo 24 = 16 u n a rī (~ 2 )4 = 16. Je b k u ra s pakāpes sak n e no skaitļa 0 ir 0: ^ 0 = 0; <*/0 = 0-

28 Ja n ir nepara skaitlis, tad izteiksmei -^fa ir jēga ar jebkuru a vērtību. 4/32 = 2, jo 25 =32; 3 2 = -2, jo (-2 ) 5= Ja n ir pāra skaitlis, tad izteiksmei ir jēga tikai tādā gadījumā, ja a^o, pie tam pozitīva skaitļa pāra pakāpes saknei ir divas pretējas vērtības. V25 = 5 un >/25= - 5, jo 52=25 un ( -5 ) 2 = 25. 4/ 81 nav jēgas, jo nav tāda skaitļa, kura ceturtā pakāpe ir vienāda ar -81. ARITMĒTISKA SAKNE Lai novērstu n enoteik tīb u sakarā ar p āra pakāpju sakņu divējādām vērtībām, tad tiek ieviests aritm ētiskās saknes jēdzien s. N enegatīva skaitļa nenegatīvo sakni sauc p a r šī skaitļa a ritm ētisk o sakni. v/25 = 5; 4/8=2. Negatīvam skaitlim nav aritmētiskās saknes, bet tā nepāra pakāpes negatīvo sakni var aizstāt ar pretējā pozitīvā skaitļa aritmētisko sakni, kuras priekšā ir mīnusa zīme, piemēram, 4/ - 27 = 4/27 = -3. P ie m ē r i. 4/-0,027= -4/0,027= -0,3; 4 /ī= l; ^ 6 4 = 8; V nav jēgas. 25

29 ARITMĒTISKO SAKŅU ĪPAŠĪBAS UN TO IZMANTOŠANA T ālāk aplūkotās sakņu īpašības vispār piem īt tikai aritm ētiskām saknēm, u n tāpēc pieņem sim, ka aplūkotajos piem ēros zem saknes izteiksm ēs b u rtu vērtības ir pozitīvas (ja tas nav īpaši atrunāts). A r šādiem nosacījum iem ir pareiza identitāte 1. Saknes p a m a tīp a šīb a : ja saknes rādītāju u n zem saknes skaitļa kāpinātāju reizina vai dala ar vienu u n to pašu skaitli, tad saknes vērtība nem ainās (saknes rādītājs naturāls skaitlis).. ļļ/jj _ nkļļļink. š/ī* =^49 (sakne saīsināta ar 2); v;42 = 2 (sakne saīsināta ar 4); Šja =%/a2 (sakne paplašināta ar 2). 2. Sakne no re iz in ā ju m a : ļj a b c ļ/b -<ļ/c. P ie m ē r i. ^/ ,04 = 6-5 0,2 = 6 ; ^/ ,008 =3-4-0,2 = 2,4; V'S^SO = v ' = = 40; ^/ = ^/26 35~= 2-34/2 =6^/2. 3. R acio n āla reizinātajā iz n e ša n a pirm s saknes zīm es u n ie n e ša n a zem saknes zīm es. 26 P ie m ē r i. V 27=V /973 = 3 V /3; 4/Ī6 = ^/872 = 2^/2; </Ī62a564 = </81 2aJ a i/ = 3ab <1/2a.

30 2-^/ā = 4/ 2 ^ 3 = y/2 Ā ; la2y/īb = y/72a* 2b = v/98a4'z> 4. Sakne no dalījuma: ja _ P ie m ē r i. /25 _ 5. V 64 8 /25 _ 5 _ 1 >/ Ī6 4 Ī /_ 8 _ 2 Ja8bA V \ / Ī6~ a2b = ~2 5. Sakne no saknes: =5*/ā. P ie m ē r i. v7v a = 4/a ; V ^ 6 4 = 4 /2* = 2; V2y/3 = ^ = ^ 1 2 ; Vp Ī/p* = = # 6. Saknes p a k a p e : P ie m ē r i. {sja )2=;y/ā? =a; Ļj5a3 )2=5 a3; (y/a2b )3=a2b\ {</x2)2=īfxi.

31 SAKNES NORMĀLFORMĀ Ja zem saknes izteiksm e ir atbrīvota n o saucēja, no zem saknes izteiksm es iznesti racio n āli reizinātāji, sakne ir saīsināta, tad tādu sakni sauc p ar sakni norm ālfo rm ā. Š/625aB-.f/i54a a = = ^/25a3 - a = a <J/25a. SAKŅU SAS KAITI S ANA UN ATŅEMŠANA Saknes ir līd zīg as, ja p ēc to pārveidošanas n o rm ālform ā tās atšķiras tikai ar ra c io n ā lie m reizinātājiem pirm s saknes zīm es. Līdzīgas saknes v a r saskaitīt u n atņ em t. V ^ 5-2 V5 =3-s/5 ; + ^ ~s/ib -3-s/ā + 6 N/a 2 +Jb = 9v 'a 2^fb\ v /27x4 -^ /8 S :i' = ^/33-x3-x -y/23-x3-x -3x^/x 2x^/x = x i/x. SAKŅU REIZINASANA UN DALĪŠANA Sareizināt u n izdalīt var saknes, k u rām vienādi sakņu 7? rādītāji. yfa-yfb =^/a b; /2 j/ā :jfb <= «j-^. v;6 V;2 = V Ī2 = v 4 3 = 2 y 3 ; 2^/Sx 0,4v/ax = 0,8^/27x2 = 2,4 ^ T. v 75 : v 3 = V75Ī3 = ^/25 =5; 5 ^ 4 x 2 : 0,2^/2x = 25^ 2x.

32 Ja sakņu rādītāji nav vienādi, tad pirm s darbības izpildīšanas to s v ienād o, izm antojot saknes pam atīpašību: Par skaitļa a kvadrātsakni sauc skaitli (±x), kura kvadrāts ir vienāds ar a. v'ā = ± x, ja (±Af)2 = a; V'ĪOO = ± 10, jo (± 10)2 = 100; y/ī=±l-, v'0=ū. P ar skaitļa a a ritm ē tis k o k v a d rā ts a k n i sauc pozitīvo skaitli x, kura kvadrāts vienāds ar a. V 36 =6, jo 62 = 36; v =0,2, jo 0,22 = 0,04; KVADRATSAKNE Izteiksmei ^Ja nav jēgas, ja a<0. y/ 4 nav jēgas, jo nav tāda skaitļa, kura kvadrāts būtu (-4 ). Ar katru tadu a vērtību, ar kuru izteiksmei v a ir jēga, ir pareiza vienādība (v a )2 = a. {y/rī)2=l\ (^/3x)2 = 3x; (ax/5 )2 = 5a2. Izteiksmei (v^-lo)2 nav jēgas.

33 PIEMĒRI DARBĪBĀM AR KVADRĀTSAKNĒM 1) ^81-0,25^ =9 0,5-^ =3 0,5 = 1,5. 2) ^/144^72 = 12^36^2 = 12 6 ^ 2 = 7 2 3) Ja daļas saucējs nav skaitļa kvadrāts, tad, izmantojot daļas pamatīpašību, to pārveido par kvadrātu un izvelk sakni. 4) A tbrīvot daļu no iracionalitates saucēja. y/5 y/e y/ķ 5 b) 3 = 3 (^ ) _ 3(^ ) _ >/Ī0 2 (V,10"-2)-(Vl0+2) ~ (^ ) VĪO+2. 6 ~ 2 x _ Xy/x-2 _ xyjx~2 _ x J x -2 yfx^2 ~ Jx^2-jx^-2 ~ ~ \x~ 2\ Iegaumē! 4= 22; 25 = 52; bet 5 = (v/5 )2; 7= (V 7)2. d) ~ ~ ~ Ļ = - = ^ - v ^ Ķ ^ + V s) =b+ /5; b -yj 5 b~y/5 b-^j 5 el x2 2 ~^2 ~ ( )2 _ (X \ / 2 ) ( x + \/2 ) i- x+ sļ2 x+ s/2 x+*j2

34 5) D ivas identitātes ar kvadratsaknem : V 2 + >/3 = 3V2, / 2 4^ 2 ^ KVADRATSAKNES APREĶINAŠANA K vadrātsakni no dota pozitīva vesela skaitļa aprēķina ar īpašu p aņ ēm ien u, kas parādīts p iem ēros. 4 1) V ^ ē ē = Z em saknes skaitli sadala grupas pa diviem cip ariem no labās u z k reiso pusi. N o pirm ās grupas (39) velk sakni u n dabū rezultāta p irm o ciparu, t. i., 6. N o pirm ās grupas skaitļa (39) atņ em rezultāta p irm ā cipara kvadrātu (36). Pie atlikum a 3 pieraksta nākošo grupu, iegūstot skaitli 369. A r apostrofu atdala ta m v ienu cip aru no labās puses. Skaitlim 369 priekšā pieraksta divkāršotu rezultāta p irm o cip aru (6-2 = 12), atstājot vietu v ie n am ciparam. 31

35 D alo t p irm s apostro fa skaitli (36) ar 12, n o sak a rezultāta n āk o šo cip aru, t. i., 3. T o raksta blīvajā v ietā blakus skaitlim 12, u n ar 3 reiz in a izveidojušos skaitli 123 (123-3 = = 369). 3 ir a rī rezu ltāta otrais cipars. Tātad v-3969 = ) v'5'34 37 %231; :4^3; :46 «1; (atlikums) 46 = 23-2 vai 46 = Piezīm e. R ezu ltāta visus n āk o šo s cip aru s iegūst, rīk o jo tie s tāpat kā rīkojās, iegūstot 2. ciparu. Ja zem saknes skaitlis ir d ecim āld aļa, to sadala grupās p a 2 c ip a rie m n o k o m a ta p a labi u n p a kreisi. P ie m e r i. 1) V 9 92t25 31,5; :6 «1; 312:62 * 5. 2) x/ ū,ū9,92 25 =0,315. 3) -v/0,00 09:92 25 =0,

36 MONOMI UN POLINOMI MONOMS P ar m onom u sauc algebrisku izteiksm i, kas ir skaitliska reizinātāja u n b u rtie m ap zīm ētu skaitļu reizinājum s. 3xy; 8x2yz\ -0,2 mnz. M o n o m s ir norm ālform ā, ja skaitliskais reizinātājs ir p irm ais u n m ainīgie (b u rtu reizinātāji) sak ārto ti alfabēta kārtībā, pie ta m skaitliskie reizinātāji u n v ie n ā d u b āzu pakāpes ir sareizinātas. 2,3aa3abb=6,9a3b2, 6 x2yz 3 xz3 = 18 xļyz Ļ. P ar m o n o m a pakāpi sauc visu m ain īg o kāpinātāju sum m u. 6x j 3 ir ceturtās pakāpes monoms, 5,4m5n2 ir septītās pakāpes monoms. POLINOMS P a r polinom u sauc m o n o m u algebrisko sum m u. K atru m o n o m u, kas ietilpst p o lin o m ā kā saskaitām ais, sauc p a r polinom a locek li. P o lin o m a lo cek ļu s, k am b u rtu izteiksm es ir vienādas, sauc p a r līdzīgiem locek ļiem, u n to s v a r savilkt. 5x2 + 3x+4 - līdzīgu locekļu nav; l,5a6-3b ab + 7 b1 = 4 b2-0,5 ab - 6. P o lin o m s ir norm ālform ā, ja ir savilkti p o lin o m a līdzīgie locekļi. 4a2a - 3ab2 2a + 7a2 0,4b2-3ab = =4a'Ļ~6a2bz+2,8a2bz 3ab=4a Ļ 3,2a2bz~3ab. 33

37 d a r b ī b a s a r p o l i n o m i e m Saskaitīšana: (a+ b) + (c d)= a+ b + c d; (13o - 5 b) + (la - 4b) = 13a- 5b + la - 4b = 20a - 9b. Atņemšana: (a + b)-(c d) = a+b-c+d] (3a + 7b)-(-4b+a)=3a + lb+4b-a=2a + llb. Reizināšana ar monomu: m (a + b c) ma+mb mc; 2x(3x2-4x+2) = - 8x2 + 4x; (0,5 a - 2b) (-3 4 )= - 17a Dalīšana ar monomu: T. \ 3 b C (a+b c):m= + ; m m m (\4xiy1 2, lxzy 2 + 0,7xy): 0,1xy = 20x2y 3xy + 1. Polinoma reizināšana ar polinomu: (a+l^l}n + n)= am + an+ bm + bn; (2^3xM 4 + x) = 8 + 2x - 12x - 3x2 = 8 10x - 3x2. SAISINATAS REIZINĀŠANAS FORMULAS Summas kvadrāts un starpības kvadrāts: (a+b)2 = a2 + 2ab+ b2; (a - b)2 = a2-2 ab+ b2; (3x+2y)2 = (3x) x 2y + (2y)2 = = 9x2 + I2xy+4y2; (0,2xz - 3y)2 = (0,2x2)2-2 0,2x2 3y + (3y)2 = = 0,04x4-1,2 x2y +9y2; 34

38 Kvadratu starpība: (a-b)(a+b)=a2 - b2; (3x - 4) (3x+ 4) = 9x2 16; (0,5m2 + n) (0,5 m1 -n) = 0,25 nf - n z. Summas kubs un starpības kubs: (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3; (a b)3 = a3 3a2b+3ab2 b3; (2a + 4)3 = (2a)3 + 3 (2a) a = = 8a3 + 48a2 + 96a + 64; (x2-2y)3 = (x2)3 3 (x2)2-2y + 3-xz- (2 y)2 (2j )3 = = x6 6x4j + 12 x2y2-8^3. Kubu summa un kubu starpība: (a+ b) (a2 - ab+ b2) = a 3 + b3; (a - b) (a2 + ab+ b2)= a3 - b3; (2 + b)(4-2b + bz) = 8 + b3] (2-b)(4 + 2b + b2) = 8 -b 3. Iegaumē! az + ab+b2 ir a un b summas nepilnais kvadrāts, a 2 az? + >2 ir a un starpības nepilnais kvadrāts.

39 POLINOMA SADALĪŠANA REIZINĀTAJOS 1. Kopīgā reizinātāja ņemšana pirms iekavām. ain+ bm cm = m(a+ b c); 3a+36=3(a + Z>); 4x3-12x2y = 4x2 (x - 3y). Iegaumē! Kopīgais reizinātājs ir polinoma katra locekļa dalītājs. 2. Grupēšanas paņēmiens. ac + ad + bc + bd= = a(c + d)+b(c + d) = = (c + d)(a + b); 2mn-4n+4-2m = 2n(m 2) + 2(2-m) = =2n(m-2) 2(m-2)=(m 2) (2n-2)=2(n-l) (m -2). 3. Sadalīšana reizinātājos, izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas. Summas kvadrāts un starpības kvadrāts: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2; a2-2ab + b2 (a-b)2; 4x2 + 12x+ 9 = (2x+ 3)2 = (2x+3) (2x + 3); 81a2 18 ab + b2 (9a - b)2 = (9a - b) (9a - b). Kvadrātu starpība: a 2- b2 = (a b)(a + b); 25 - x2 = (5 - x) (5 + X); 0, = (0,2 b2-1) (0,2 b2 +1). Summas kubs un starpības kubs: a a 2Z>+3aZ;2 + b3 = (a + 6)3; a 3 3a2b+3ab2- b3=(a b)3; 8a3+48a2 + 96a + 64 = (2a+4)3; 27x3-27x2y + 9 xy2 y3 = (3x -> )3.

40 Kubu summa un kubu starpība: a = (a + b) (a2-ab + b2); a3- b ļ = (a b)(a2 + ab+b2); l + a3 = (l + a ) ( l - a + a2); 8x3 y6-23x 3 - (y2)3 = (2x-y2) (4x2 + 2 xy2 +y4). 4. Kvadrātrinoma sadalīšana reizinātājos. Polinomu, kurš sastāv no 3 locekļiem un kura vispārīgais veids ir ax2 + hx+c, sauc par kvadrāttrinomu attiecībā pret x. Kvadrāttrinomam ir tās pašas saknes, kas attiecīgajam kvadrātvienādojumam, un, izmantojot šīs saknes, kvadrāttrinomu sadala reizinātājos šādi: ax1 + bx+c a(x-xl)(x x2y, x2+ px+ q= (x-xl) (x~x2). P iem ē ri. 1) x2 4x + 3 = (x - 1) (x - 3), jo kvadrātvienādojuma x 2-4 x + 3 = 0 saknes ir Xj = l un x 2 = 3. 2) 2x2 + 5x+ 2 = 2ļx + (x + 2) = (2x + 1) (x + 2), jo, atrisinot 2x2+ 5x+2= 0, iegūst xt = un x 2= -2. 3) O Saisinat - -*-11 dalu a2-3a a 2 + 2a -8 a2 3a+2 (a l ) ( a - 2) a 1 a a -8 ~~ (a + 4 )(a -2 ) ~ a+ 4 Kvadrātvienādojuma a2-3a+2=0 saknes ir ax= 1 un a2 2, bet a a -8 = 0 saknes ir a1= - 4 un a2 = Sadalīšana reizinātājos ar dažādiem paņēmieniem. Ieteicams rīkoties pēc šāda plāna: a) ņem pirms iekavām visu locekļu kopīgos reizinātājus, ja tādi ir;

41 b) ja polinoma locekļiem nav kopīgu reizinātāju, tad izpēta iespēju lietot formulas; c) ja neder neviens no minētajiem paņēmieniem, tad izmēģina grupēšanas paņēmienu. P ie m ē r i. 4a-ax2=a(4-x2)=a(2-x) (2+x); 54-2x3 = 2(27 x 3) = 2(33 * 3)= 2 (3 x)(9 + 3x + ;c2); (a - 1)2-25 = (a 1 5) (a ) = (a 6) (a+ 4); x x+25 = (x-(-5)z = (x + 5 ) (x+5); x 3 + 3x2-3 x - 9 = x 2(x + 3 )-3 ( x + 3 ) = ( x + 3 ) ( x 3-3 ); p2-2px+x2 c2=(p- x)2 - c 2 = (p-x-c)(p-x+c). ALGEBRISKAS DAĻAS Par algebrisku dalu sauc dalu, kuras skaitītājs u n saucējs ir polinom i, piem ēram, 6x2+x 4y 1 x + l y - 2 2a + b' Algebriskai daļai ir jēga tikai ar tādām mainīgā vērtībām, ar kurām daļas saucējs nav vienāds ar nulli. Tā, piemēram, + X daļa ir definēta ar jebkuru x # 1; X ~I- 1,, 4x, _ dala = - nav defineta ar x = 2 un x=2\ xz-4 4x daļa 2 ir definēta ar mainīgā x jebkuru vērtību, jo X I- 4 x2 + 4 > 0. ALGEBRISKAS DAĻAS PAMATIPAŠD3A A lgebriskām daļām piem īt tāda pati pam atīpašība kā parastajām daļām : ja daļas skaitītāju u n saucēju reizina vai dala ar v ienu u n to pašu izteiksm i, kuras vērtība nav nulle, tad daļas vērtība nem ainās. 38

42 D aļu p a p la šin a, ja skaititaju u n saucēju reizina ar vienu u n to pašu izteiksm i, p iem ēram, 5m 5m(2 + m) _ 10m + 5m2 2 TTi (2 m) (2+m) 4 -m 2 D aļu saīsin a, ja tās skaitītāju u n saucēju dala ar vienu u n to pašu izteiksm i. D aļu var saīsināt tikai ar skaitītāja^ u n saucēja kopīgo reizinātāju. Ja daļas skaitītājs u n saucējs ir polin o m i, tad, lai noskaid ro tu iespēju daļu saīsināt, tie vispirm s jāsadala reizinātājos. Dalu '^X+2 saīsināt nevar, jo skaitītājā 5x ir saskai- 5x(x-4) tāmais, bet saucējā 5x ir reizinātājs. Dalu ^x(a + 2) var saīsināt ar skaitītājam un saucējam ' 5* (* - 4) 5x(a+2) a+2 kopīgo reizinātāju 5x: x_ 4- P iem ēri. a3-b 3 (a-bj(a2+ab+b2) a2 + ab+b2 1} (b-a)2 ~ (a-b)2 a-b a b Iegaumē! (a b)2=(b-a)2; (5 2)2= (2 5)2.. I5a2-I0ab _ 2) Vienkāršot un apreķinat izteiksmes q,ab-2b2 VGr" tību, ja a 2, b= -0,1. Ja a= 2, b~ 0,1, tad 15a2-1 0ab _ 5a(3a-2b) _ 5a?>ab-2b2 ~ b(3a-2b) b _ 5-( 2) _ 10 _ 1Q0-0,1 _

43 DAĻAS SKAITĪTA JA UN SAUCĒJA ZĪMJU MAIŅA D aļas vērtība n em ainas, ja m a in a zīm es uz pretejam a) daļas skaitītājam u n saucējam: a a 6 6 b = -b ' 2 = - 2 = _ 3 b) daļas skaitītājam u n daļas priekšā: -a a 6 6 b = ~b' 2 3; c) daļas saucējam u n daļas priekšā: -a -a b ~ -b ' 2 = ~ ~ 2 = ~ DAĻU SASKAITĪŠANA UN ATŅEMŠANA A lgebriskās daļas saskaita u n atņ em līdzīgi tam, kā saskaita u n a tņ e m p arastās (aritm ētisk ās) daļas. 1. D a ļu saucēji ir vienādi. P ie m ē r i. 3x ļ jc + l 7 _ 3 x + x~f x -6 2(2x~3) 2x~3 4 ^ 4 4 ~ ^ 5x 3(x-4) + 4 5x-3x x+16 X 1 x - l x - l _ x - l x - l 6a+b ^ a 6a+b a 6a + &-a 5a+b a b b a a b a b a b a b (šajā piem ērā dalu saucējus vienādo, m ainot zīmi otrās daļas priekšā un saucējā).

44 2. D aļu s a u c ē j i ir d a ž a d i m o n o m i vai polinom i. P ie m e r i. 2y 3v 5 3v 10v 7v 1 2x 5 2x ^ 5 _ 2x + 5x 7x 7 3 ) a 2- a a + i b 5a-2U ( a - 4 r b (a-4) 25a + a a 4 5(a~ 4 )2 5(a 4)2' DAĻU REIZINĀŠANA UN DALĪŠANA A lgebriskās daļas reizina u n dala tāpat kā parastās (aritm ētisk ās) daļas. a c a c a c a d ~b^d= b^d; 7T: < /= ž r īr P irm s skaitītajā u n saucēja izteiksm ju sareizināšanas tās sadala reizin ātājo s (ja tas iespējam s) u n d aļu saīsina. P ie m ē r i. 5x3z 18ab _ 5x3z 18ab _ 3x2 6a2b 10 xz 6a2bl0xz 2a o 3a + 3 a - 2 3(a + l) (a 2) _ 3 a 2-4 a + 1 ~~ ( a - 2 ) ( a + 2)(a + l) ~~ a + 2 x a+9 (x + 3 )(x 2-3 x + 9 )-3 (4 a + 3) _ 8a + 6 X2 3x + 9 _ 2(4a + 3) (x2-3 x + 9) 3(x+3) 3x+9 "

45 a 2 + 6a + 9 a + 3 (a + 3 )2 a + 3 a 2 2a + 4 ' 9a _ a 2-2 a + 4 ' 9(a3 + 23) ~~ (a + 3) (a + 3) 9(a + 2) (a2 2a + 4) (a2-2 a + 4)-(a+ 3) = 9 (a + 3) (a + 2) = 9 (a2 + 5a + 6) = 9a2 + 45a + 54; x3- l (x-l)(x2+x+l) x - l 3 x+l ' X H:XH _ (x+l)(x2+x+l) _ x+r VIENĀDOJUM I LINEĀRI VIENĀDOJUMI AR VIENU NEZINĀMO Lineāra vienādojum a a r vienu nezinām o vispārīgais veids ir ax+ b= 0, k u r a un b ir kādi reāli skaitļi. Ja a ^ o, tad ax+b 0; ax -b\ x= -. a Piemēram, 7 x -2 1 = 0; 7x=21; x=21:7; x= 3. Ja a = 0, bet b^o, tad vienādojum am atrisinājum a nav. Piemēram, 0 x +2 = 0; 0-x= -2. Nav tāda skaitļa, k u ra reizinājums a r nulli būtu 2. Ja a b 0, tad vienādojum s ir nenoteikts, jo par vienādojuma 0 x =0 sakni der jebkurš skaitlis. Piem ēram, 2,7 0=0; 4^ 0 =0 utt. P ie m ē r i. 1) A trisināt vienādojum u 9 x x x = 1 0 x -6. Jebkuru saskaitām o var pārnest no vienādojum a vienas puses uz otru, m ainot tā zīmi uz pretējo. Tātad 9 x + 2 x 6x 10x= ; 5x 15; x= 3.

46 3 2 6, = 1 (vienādo saucējus); *+15-2* 6, = - (reizina vienādojum ā abas puses ar kopsaucēju); 2lx+ 15-2x= 6; 19ix= -9; 9 2x 5 4(x + 5) _ x + 5 2x - 5-4x - 20 x + 5 = ; 2x-25 x-f- 5 D aļa ir vienāda ar nulli, ja tas skaitītājs ir vienāds ar nulli, bet saucējs nav vienāds ar nulli. Tātad 5 = 0 x+5^0\ x ^ - 5 ; ~2x=25; x = 2 5 :( 2); x = -12,5. KVADRATVIENADO JUMI P ar kvadrātvienādojum u sauc k a tru ax2 + bx + c = 0 veida vienādojum u, k u r a, b, c ir jebkuri skaitļi, izņemot a = 0, bet x ir mainīgais. ax2 + bx+ c=0 ir pilnais vispārīgais kvadrātvienādojum s. 43

47 NEPILNIE KVADRAT VIENĀDO JUMI 1. Ja c = 0, tad ax2 + bx= 0 (vienādojum a kreiso x(co: + yf))=0; pusi sadala reizinā- Xļ = 0 vai ax+b 0; tājos); ax= b; b P ie m e r i. 1) 5x2-3 x = 0 ; x (5 x -3 )= 0 ; x a = 0 vai 5x 3=0; 3 2) 12x2 + 3x=0; ix2+x=0; x(4x + l)= 0; X ļ=0 vai 4 x + l = 0; 1 2. Ja 6 = 0, tad ax2+c= 0; ax2 = - c; 44 P ie m ē r i. 1) 7x2 28 = 0 2) 7x = 0 lx2= 28; xz= 4 (atrisinājum a nav). x=* i \ / 4 ; xl =2\ xz = Ja Z? = 0 un c 0, tad ax2 = 0; x 2 = 0; x~ ±-s/0 ; x1=x2s=0-

48 P ie m e r i. 1) 5.x2= 0; x 2= 0:5; x 2= 0; X1=X;; = 0. 2) - 8x 2 = 0; x 2 = 0; x1=x2=0. PILNIE KVADRATVIENADOJUMI 1. K vadratvienadojum a atrisināšana, atdalot b inom a kvadrātu. P ie m ē r i. 1) x2 8x + 15 = 0; Tā kā (a b)z=a2 2ab+b2, x 2-8 x = 0; tad 8x ir divkāršots abu bi- (x 4)2 1 = 0; ( x - 4 )2 = l; nom a locekļu reizinājum s: x - 4 = +->/ī; x 4= + 1; 8x=2-x-4=> binom a pirm ais x 4 = 1; x x = 5; loceklis ir x, bet otrais - 4. X 4= 1; x z = 3. 2) 2x2-9 x = 0 ; (abas vienādojum a puses 2.1 c x x + 5 = 0 ; dala ar 2); La 1 / 1\ X+( 4 J ~ 42 4 l 1\2 / 1\ = 0 ; = = 4) V V 16 x _ 2ļ Y - l = 0; = - 5 ^ + 5 = - - Ļ 4/ IV 1! 1 4) = Ī 6 X~ 4 = ~ X~ 4 = 4 Xl = 2 2 ; x = x, =

49 2. K vadrātvienādojum a sakņu aprēķināšanas formulas. Pilnā vispārīgā kvadrātvienādojum a ax2 + bx+ c = 0 saknes aprēķina pēc form ulas P ie m ē r s. 5x2-llx + 2 = 0; x v -b±^/nbr Aac 2a - ( - l l ) ± v/īt ll + v^t To ; X z_ ~ īo ~ ī o _0,2 Ja lineārā locekļa koeficients ir pāra skaitlis, t. i., b = 2k, tad vienādojum a ax2 + 2kx+b = 0 saknes aprēķina pēc form ulas - k + J k 2-ac x = P i e m e r s. 35x2+ 2 x - l = 0; l + \ / l 35-( 1) -1 ± V x= X 1 35 ~ ' Ja kvadrātlocekļa koeficients ir 1, tad šī reducētā kvadrātvienādojum a x2+px+ g = 0 saknes atrod pēc form ulas 46

50 P ie m ē r s. X2-8 a :-8 4 = 0; x =4±V ' =4±V Ī0Ū = ; x x = 14; x 2= V jeta teorēm a: ja reducētā kvadrātvienādojum a x2+px+q=0 saknes ir xl u n xz, tad P ie m ē r i. x1 x2=q un xy+ x2 = -p. 1) Noteikt vienādojum a :x:2-5 x = 0 saknes. Sakņu reizinājum s ir <?= 36, bet sakņu sum m a ir -p = 5. Reizinājum u -3 6 iegūst, sareizinot šādus skaitļus: 6 un - 6; 3 un -12; - 3 un 12; 4 un - 9 ; - 4 un 9; 2 un -1 8 utt. Taču tikai 4 un 9 sum m a ir 5. Tātad xl = - 4 un x2 =9. 2) y2-3y+2 0] y1 y2=q= 2; ^1+^2= ~ P = 3. Vienādojum a saknes ir 3^ = 1 un;y2 = 2. Lai pēc Vjeta teorēm as noteiktu saknes vispārīgajam kvadrātvienādojum am ax2+ bx+ c= 0, to pārveido redub c ceta kvadratvienadojum a %2+ - x + - = 0 u n pēc Vjeta teore-. _, a a mas iegūst c b x. x 2= ; x.+x2= a 1 2 a Taču uzm inēt šādus skaitļus ir grūti. Tāpēc der izm antot šādu apsvērum u: kvadrātvienādojum a ax2 + bx+c=0 saknes ir vienādas a r reducētā kvadrātvienādojum a x2 + bx+ac== 0 saknēm, kas dalītas a r koeficientu a. P ie m ē r s. N oteikt kvadrātvienādojum a 3x2-16* - 12 = 0 saknes. Izmantojam reducēto kvadrātvienādojum u x2-16x = 0, kuram sakņu reizinājum s ir - 36, bet sakņu sum m a ir 16. Viegli noteikt, ka tie ir skaitļi - 2 un

51 2 Tatad dotā kvadrātvienādojum a saknes ir xt = - un 18 3 *2 = -ģ = 6. Kā redzams, 2 _, 1 16 b 3 + s = 53 = 3 - = - ā : c x oc = - - 6= - 4 = = a DISKRIMINANTS K vadrātvienādojum a sakņu skaitu nosaka zemsaknes izteiksme jeb diskrim inants ( )=62-4 ac). Ja D > 0, tad vienādojum am ir divas dažādas saknes. Ja >=0, tad vienādojum am ir divas vienādas saknes. J a D < 0, tad vienādojum am sakņu nav. P ie m ē r i. 1) x2-5 x 6 = 0; Vienādojum am ir divas dažādas xl= l] x 2-6. saknes, jo D = a c = = = 49 > 0. 2) x 2+ 6x + 9 0; Vienādojum am ir divas vienādas xļr=x2 = -3. saknes, jo D = ^ - g = 9-9 = 0. 3) 2y2 y Vienādojum am sakņu nav, jo D= = = = 39 <0. 4) Vienādojum am x2+px 35=0 viena no saknēm ir 7. A prēķināt p vērtību un otru sakni. x 2+ p x -3 5 = 0 ; _ - jp+ V /P 2-4 -l-(-3 5 ) _ - p ± ijp1+14d X ~

52 Tā kā 7, tad 7= P + v rf + 140; 14 = - p + s/p ; Lt 14+ p = yjpz +140 (abas vienādojuma puses kāpina kvadrātā); p + 2 = jt?2 +140; 28p=-56; p = 2; 2 v ocz ) Kvadrātvienadojumax2+x + c=0 sakņu starpība ir 6. Aprēķināt c. x2+x+c 0; 1 + v / l 4c "" 2 - l + v/l-4 c -v* Tā ka x 1- x 2 6, tad -1 + V 1-4 C - l - v " l ~ 4 c 2 t t =6: ^ r + x/ l - 4 c + T + V /ī - 4 c = 12; 2-v/l 4c = 12; V " l-4 c = 6 (abas vienādojuma puses kāpina kvadrātā); 1 4c=36; 4 c = -3 5 ; c= 8,75.

53 PAR KVAD RAT VI EN AD O J U MIE M REDUCĒJAMI VIENĀDOJUMI Trešās pakāpes vienkāršākos vienādojum us atrisina, sadalot to k reiso p u si reizinātājos. P ie m ē ri. 1) y j = 0; j>(>>2-36) = 0; 3^=0 vai,y2-3 6 = 0; j>2=36; y=±^/sq; y2= 6; >'3= - 6-2) X1 0,3x2-0,lx= 0; x(x2 0,3x-0,l) = 0; xj 0 vai x2-0,3 x -0,1 = 0 (vienādojuma abas puses reizina ar 10); 10x2-3x- 1 = 0; atrisinot iegūst x2 0,5; x3= -0,2. 3) 9x3 18x2 x+ 2 = 0 (izmantojot grupēšanas paņēmienu, sadala reizinātājos); 9x2(x -2 )-(x -2 ) = 0; (x~2) (9x2 1)=0; x 2 = 0 vai 9x2 1 = 0; xi ~2; (3x 1) (3x+l) 0; 3x 1 = 0 vai 3x+ 1 = 0; 1 1 * 2= 3 ; ^ = - 3- C eturtās pakāpes vienādojum u, kas satur nezinām o tikai pāra pakāpēs, sauc p ar b ik v a d rā tv ie n ā d o ju m u. Šos vienādojum us atrisina, ieviešot ja u n u m ainīgo. B ikvadrātvienādojum a vispārīgais veids u n atrisināju m s ir šāds: ax* + bx2 + c=0; 50

54 ieviešot jaunu mainīgo x2=z, iegūst vienādojumu az2+ bz+ c= 0, un tā saknes ir zx un z2; tā kā x2=z, tad x2= z 1; xz= z 2; ^ l;2 = Xļ-ļ=+y/z2- P ie m ē ri. 1) jc4-5x2 +4=0; apzīmē x2=z un iegūst z2-5 z + 4=0; zt = 1; 2 2 = 4; x2 = l; x2 =4; x=±s/ī; x = + v /4; Xļ = 1; x 3 = 2; x 2= 1; x 4= - 2. Tātad vienādojumam x4-5 x 2+4=0 ir 4 dažādas saknes. 2) 2x4-3x2-2=0; apzīmē x2 = z ; 2z 2 3z 2 = 0; z 1 = 2; z2= 0,5; x2 ^2; x2 = -0,5 (vienādojumam nav reālu sakņu). x= + v '2 ; x 1 = >/2 ; Tātad dotajam vienādojumam ir _ /5 A2. j tikai 2 saknes. 3) (t2-2t)2-2(t2-2t)-3=0ļ tz-2t=z; z2-2 z - 3 = 0; Zļ=3; 2 2 = - l ; t2-2t=3] tz- 2t= 1; f2 2i 3=0; *2-2*+l = 0; ^=3; f2 = - l ; 3 = 4 = 1. 51

55 x2+x=z; x2+ x= -7; x 2+ x + 7 = 0; Z) 1 28= 29 <0, sakņu nav. VIENĀDOJUM U SISTĒM AS LIN EĀ R U V IE N Ā D O JU M U SISEEMAS AR D IV IE M N E Z IN Ā M IE M Vienādojumu sistēmas vispārīgais veids ir f a1x+ b1y = c1 [ a2x+ b2y = c2, kur a, b, c - kaut kādi skaitļi vai burtu izteiksmes. Sistēmas vienādojumu grafiki ir taisnes. Ja ^ f, tad vienādojumu sistēmai ir tikai viens atria2 b2 sinajums un taisnes krustojas. Ja = ~ ^, tad vienādojumu sistēmai nav atrisināj i 2 ^2 juma un taisnes ir paralēlas. Ja ū- = =, tad vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi 2 Cļ daudz atrisinājumu un taisnes sakrīt. Par atrisinājumu der jebkurš skaitļu pāris (x; y), kur brīvi izraugās x, bet y aprēķina. 52

56 LIN EĀ R U V IE N Ā D O JU M U SISLEM U A LRISIN Ā ŠA N A S PA Ņ Ē M IE N I 1. Ievietošan as p aņ ēm ien s. P ie m ē ri. 1) 2x+3y=25 x~y= 5; f 2x + 3y 25 ļ% = j+ 5; 2Cv + 5) + 3 j-2 5 ; 2^+ 10+3^ = 25; 5j=15; jy=3; 2 3 Ta ka - ^ j, tad vienādojumu sistēmai ir tikai viens atrisinājums. No otrā vienādojuma izsaka x ar y, izteikto x = j + 5 ievieto pirmajā vienādojumā, aprēķina y vērtību un pēc tam x vērtību. x=3 + 5; x=8. Tatad sistēmas atrisinājums ir (8; 3) jeb x=8 y = 3 2) 9 x~y = 1 7 (x -l) = - ( l-j;) ; 9x-.y = 8 63x 63 = 1 y, f 9x = 8 ļ 63x+y = 64; ^ = 9x 8; 9x-jy=8 (7x-7)-9 = l -y; 9 1 Ta ka =?, tad vienādojumu 63 1 sistēmai ir tikai viens atrisinājums. 63x + 9x-8 = 64; j>=9-1 8; 72x = 72; x= l; y=l. Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir (1; 1). 53

57 2. S ask aitīšan as vai a tņ e m ša n a s paņem iens. P ie m ē ri. f 9x-j>=:8 9-1 ^=8; 1) x+^=64; jv 8-9; 72x=72; y = l- x \\ Atrisinājums ir (1; 1). 2) - 5x-2^ = 4 Vienādojumu sistēmai ir tikai Ov_0-11_n- y- 3 _2 viens atrisinājums, jo - ^ -. 2x 2y ( 2y) = 4 0; 3 2 2>»=0; 2x-2j>+2j;=4; 2y=6; 2x=4; x=2; ^=3. Sistēmas atrisinājums ir (2; 3) jeb x~2 y=b 5x+ 2;y= -18 T ā k ā ^ = 2 = ^ jeb \ = \ = 3) { l5 x + 6 y = ļ = -, tad vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu. Piemēram, ja x=0, tad y= -9 ; ja x= -2, tad y= -4; ja 3, tad y= -16,5 utt. 4) K - ī s Tākā =^ * * 4=4^ 6 tad vienādojumu sistēmai nav atrisinājuma. 3. G rafisk ais paņēm iens. P ie m ē ri. 2 n 1 r 2x+3y = 7 3 ^ x + 7 \ y=~ 3X+23 1 x - y = 6 ; \-y=-x+g; [ J= ;c_ 6 _

58 X -1 2 y 3 1 X 2 6 y Taišņu krustpunkta M koordinātas 5 un -1 ir vienādojumu sistēmas atrisif x = 5 nājums: \ *jeb (5; - 1). J 3x+y=4. ' \3 x + y = -l y= -3 x + 4 y= -3x~l.,y = -3 x + 4, y = - 3 x - l X 2 3 y X ~ 2 2 y 5-7 Ja lineārām funkcijām y= k1x+b1 y= k2x+b2 ir k1=k2, bet bxi^b2, tad, konstruējot funkciju grafikus, taisnes ir paralēlas. Tādai vienādojumu sistēmai nav atrisinājuma. 3) f 5x+2y 18 15x + 6j>=: -54; y -2,5 x -9 y= 2,5x 9. Abas lineāras funkcijas ir vienādas, tatad grafiki sakrīt. Tas nozīmē, ka sistēmas atrisinājums ir jebkurš skaitļu

59 pāris (x; y), kurā x ir brīvi izraudzīts skaitlis, bet y aprēķināts atkarībā no x vērtības. Tātad vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu. Piemēram, ja x=0, tad y = - 9; ja x = -1 0, tad.y=16 utt. 4. V ienād o ju m u sistēm as atrisinašana ar determ inantu. f alx+b1y=c1 \ a1x+b2y= c2; Ax Ay X = A y = A- Lasa: A - delta; A* - delta x, Ay - delta y. A = a 1 ū2 2 =aib2- a 2b!; A *= =Cļb2 c%bi > A v a i ge2 C, =«ic 2 c2 Ja A^O, tad vienādojumu sistēmai ir tikai viens atrisinājums. Ja A = 0, tad vienādojumu sistēmai atrisinājuma nav. Ja A = A*=A>., tad vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu. 56 P ie m ē ri. f 8x-3j> = 46 Vienādojumu sistēmai ir tikai 1}i1 5x+6y=13; viens atrisinājums, jo A^O. A= 8-3 = ( 3) = = 63; 5 6 Ax= A,= ( 3)= = 315; = = = 126;

60 A* 315 * = X =63 =5: y= 126 = - 2. A 63 Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir (5; -2). 2) A= A x= A,= 0,73c 0,9[y = 1 0,3y-0,2x= 0,2; 0,7-0,9-0,2 0,3 1-0,9-0,2 0,3 0,7 1-0,2-0,2 0,7x-0,9j = l 0,2x+ 0,3jy = 0,2; = 0,21 ( +0,18) = 0,21 0,18=0,03; = 0,3-0,18 = 0,12; = -0,14 + 0,2 = 0,06; _ Ax _ 0,12 ^ A* 0,06 * A 0,03 y A 0,03 Sistēmas atrisinājums ir (4; 2) ) Ax= A,= f ax+2y=s co X1 3 I a a cn Ne1 il a 2 1A= = - 3 a - 8 = -(3 a + 8); x= = 4a-9; y-- 3a+8 ā ^ + 6 4a a (a2 + 6) a ' Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir 3a+ 8 x= a 2 + 6, kur a jebkurš racionals skaitlis. 9-4 a y= a

61 OTRAS PAKAPES VIENĀDOJUMU SISTĒMAS 1. V ie n ā d o ju m u sistēm u a trisin ašan a a r ievieto ša n a s p aņēm ien u. P ie m ē r i. 1) x 2-2 x y = 7 x-3y= - 2. No pirm ās pakāpes vienādojum a izsaka x=3y-2 (1) un ievieto o trās pakāpes vienādojum ā. (3y 2)2 2y (3y 2) = 7; y2 \2y+ 4 Gy2 + 7 = 0; 3y2 8j> - 3 = 0; atrisinot iegūst yt = 3; y2 =. 3 A prēķinātās y vērtības ievieto vienādojum ā (1) un aprēķina x vērtības: x 1 = = 9-2 = 7; x, = 3 Y - - N) - 2 = = 1 2= 3. y x Vienādojumu sistēmas atrisinājum s ir (7; 3) un ( - 3; f 6j + 6x = x j [ 2 x - ^ = 5; y = 2 x -5 ; 6- (2 x -5 )+ 6 x = x (2 x 5); 12x x = 2x2-5x; 2x2-2 3 x = 0 ; atrisinot iegūst x x = 10; x 2 = l,5; j>1 = =15; y a= 2 - l,5-5 = 3-5 = - 2. A trisinājum s ir (10; 15) un (1,5; 2). 2. V ie n ā d o ju m u sistēm u a tris in a š a n a.izm antojot V jeta teorēm u.

62 Pieņem, ka x un> ir kāda reducētā kvadrātvienādojum a saknes zxun z2. Tā kā pēc Vjeta teorēm as, ņem ot vērā doto vienādojum u sistēm u, zļ z2=g- 24 un zl+z1= p=10, tad iegūst vienādojum u z2-10z + 24 = 0. Šī vienādojum a saim es ir Zļ=4 un z 2 = 6, bet dotās sistēm as atrisinājum s ir JCļ=4 ^ = 6 un x2 6 j>2= 4. 2) x-y=7 18; f * + ( -? ) = 7 1 x-( y)= 18. Pieņem, ka x u n -y ir reducētā kvadrātvienādojum a saknes zi un z2. z2-7 z -1 8 = 0 ; Zj = - 2; z 2 = 9; xt= 2-0'i = 9; = 9-2 ^ 1 = - 9 ; x 2 = 9 -y2=- 2 ; 1^2 = 2. Dotās sistēm as atrisinājum s ir (-2 ; -9 ) un (9; 2). 3. V ie n ā d o ju m u sistēm u grafiska atrisināšana. Lai grafiski atrisin ātu vienādojum u sistēm as, k urās ir a rī otrās pakāpes vienādojum i, jāprot konstruēt dažādu funkciju grafiki. Bieži jākonstruē a rī šāda veida vienādojum u grafiki: x2 + y 2 = R2; grafiks - riņķa līnija; centrs O (0; 0); rādiuss R\ (x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = R 2; grafiks - riņķa līnija; centrs O, (a; >); rādiuss R. 59

63 P i e m e r i. 1) K onstruēt riņķa līniju ( x - 4 )2 + (y+2)2 = 25. 2) A trisināt grafiski vienādojum u sistēm u f X2 +yz = 25 l : y = 2* + i. Vienādojum a x2+y2 = 25 grafiks ir rin k a līnija; O (0; 0 R=5. ]ļ Vienādojum ā j; = x + 1 grafiks ir taisn e, kura kru st Z Oy asi punktā (0; 1); ja x=2, tad y= 2. Vienādojum u sistēm as atrisinājum s ir (4; 3) un 60

64 3) A trisināt grafiski vienādojum u sistēm u j 5x 2y=0 1 y=x2. -2y=-5x; y = 2,5x (taisne, kura iet caur O (0; 0)). X 2-1 y 5-2,5 y=x2 (parabola, V (0; 0)). X 0 ± 1 ±2 ± 3 ±4 >> ;6,25) Vienādojum u sistēm as atrisinājum s ir (0; 0) un (2,5; 6,25). FUNKCIJAS LINEĀRA FUNKCUA y=kx+b, k u r k un b jebkuri skaitļi; lin e ā rā fu n k cija; grafiks - taisne, k u ra krusto Oy asi A (0; b). y=kx, k^ 0; tie š ā p ro p o rc io n a litā te ; grafiks - taisne, k u ra iet caur koordinātu sākum punktu O (0; 0). y = b; x=a; x = 0; y = 0; grafiks - taisne, paralēla Ox asij u n krusto Oy asi punktā A (0; b). grafiks - taisne, paralēla Oy asij un krusto Ox asi punktā B (a; 0). grafiks - Oy ass. grafiks - Ox ass.

65 P ie m ē r s. K onstruēt funkciju y= ^x+2, y -3x, y= 2, x = 4 gra- JU fikus. y= \x+2, b=2, A (0; 2); /U y=-3x, 0 ( 0; 0); X y 3-3 y=2, A (0; 2); x= 4, (4; 0). FUNKCIJA y = y 0, x ^ 0; a p g rie ztā p ro p o rc io n a litā te ; grafiks - līkne, k u ru sauc par hiperbolu. P ie m ē r s K onstruēt funkciju y u n j = ^ grafikus. X 1 1, y ,

66 -1-1, y ,4-2 -1,5-1 Abas tabulas sastad itas funkcijai y= y= x3; grafiks - līkne, k u ru sauc par kubisko parabolu. K onstruēt funkcijas y=x2, grafiku. FUNKCIJA y X 1 ± 2 ±1 ±2 ±3 y 1 ± Q ±1 ±8 ±27 63

67 F U N K C I J A y = yjx y = y/x ; grafiks - līkne; x e [ 0; + oc). K onstruēt funkcijas y = y/x grafiku. 0 0, y 0 0,7 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2, y = a x 2+ bx+c; KVADRATFUNKCIJA k v a d rā tfu n k c ija ; grafiks - līkne, k u ru sauc par parabolu. Ja a > 0, tad parabolas zari versti uz augšu. Ja a < 0, tad parabolas zari vērsti uz leju. y=ax2\ parabolas virsotne V(0; 0); y=ax2 + b ; V(0; b); y=a(x+m)2; V(-m; 0); y=a(x+m)z + n; V (-m ; ri)\ y=ax2 + bx vai y=ax2 + bx+c; V(x0;^ 0)> b b2 4ac 4ac b2 X = ~ 2 a ' >,0 = _ 4a = 4a '

68 K vadrātfunkcijas grafika novietojum s attiecībā pret x asi ir atkarīgs no diviem nosacījumiem: kvadrāttrinom a ax2+bx+c koeficienta a un diskrim inanta vērtības D (parabolai un x asij ir vai n u viens, vai divi kopēji punkti, vai arī tām nav kopēju punktu). P i e m e r i. 1) Zīmējumā redzam i kvadrātfunkciju y = 2x2, y = x2, y = x2 un 5 y = - ^ x2 grafiki. 65

69 2) K onstruēt funkcijas y=x2-2 x -3 grafiku. A prēķina parabolai virsotnes V koordinātas: b -2 ~ 2a ~ _ 2 1 i; 4ac b2 J\> = 4a 4 1 -( 3) ( 2) ~ V(l; -4 ). A prēķina koordinātas parabolas un Ox ass k ru stpunktiem : x 2-2 x - 3 = 0; x x = - l ; x 2 = 3; M ( - 1; 0); IV (3; 0). 3) K onstruēt funkcijas y = x 2-6 x + 9 grafiku. j = (x - 3 ) 2; 1/(3; 0). X 1 2 y

70 NEVIENADIBAS SKAITĻU INTERVĀLI? x>a x x>a x (a; +ū0) [a; +G0) x < a x ( - 00; a) ///////// ^ ^ (-c o ;a ] a<x<b ^ 22222^2222^ ^ (a; Z?) a^x<b ^//////////^ ^ x [a; b) ū < X iļb ^ ^ ^ x (a - Jļ] a^x^b >_ x ļ-a - ļjj X jebkurš ^//s////ssssssss/ssss//s//s///,> x (_oo; + oo) skaitlis LINEĀRAS NEVIENĀDĪBAS 1. Ja nevienādības abam p usēm pieskaita v ienu u n to pašu skaitli, tad nevienādības veids nem ainās. P ie m ē r i. 1) 7> -3; 2) 7> -3; 7+4> 3+4; 7 + ( 2 )> 3 + ( 2); 11 >1. 5> 5. S e c i n ā j u m s. N evienādībā je b k u ru locekli var pārnest no vienas nevienādības puses uz o tru pusi ar pretēju zīmi. 67

71 P ie m ē r s. 3x+2^8; o i 2 3 :0 8 2; t/z z //////////) ^ 3x^6; x > 2; xe[2; +oo). 2. ^ n e v ie n ā d īb a s abas puses reizina vai dala ar vienu u n to pasu pozitīvu skaitli, tad nevienādības veids nem ainas. P ie m e r i. 1) 18 < 10; -2 2) 18 < 10; : 2 36 < 20. 9<5. 3) 5 x -8 > x + 6 ; 5 x -x > 6 + 8; 4x>14: x>3,5; h 3,5 x g (3,5, + oo). 3. Ja nevienādības abas puses reizina vai dala ar vienu u n to pasu negatīvu skaitli, tad nevienādības veids m ainās uz pretējo. 68 P ie m ē r i. 1) -18< 10; ( - 2) 36 > ) 5 x -8 > 7 x + 6 ; 5x 7x>6 + 8; 2x>14; ļ :( 2) x < -7 ; x e (-o o ; -7). ^ 2) 18<10; : ( - 2) 9> ^ , ^ ^

72 LINEĀRU NEVIENĀDĪBU SISTĒMAS P ar nevienādību sistēm as atrisinājum u k o p u sauc tās nezinām ā vērtības, ar k u rām katra no sistēm as nevienādībām ir pareiza skaitliska nevienādība. Četras raksturīgas pam atsistēm as ar divām nevienādībām X Sistēmas atrisinājum s: xe(3; co) Sistēmas atrisinājum s: x e ( co; 2], 2 3 x Sistēmas atrisinājum s: x e ( - 2 ; 3] o X Sistēmai atrisinajum a nav. P ie m ē r i. 0 2 Nevienādību sistēm as atrisinājum s ir 0 < x < 2 jeb x e (0; 2).

73 2) f 2x 9<0-18; 2x<9-3 x ig -18; :2 :( - 3 ) [ x<4,5 ļ x^6. 4,5 ^//////////////////^ x Nevienādību sistēm ai atrisinajum a nav. 3) f 0,6x + 7,2>0 [ 0,6x> 7,2 f x> 12 5,25=2,6:*:; 1 2 > x ; ļx < Sistēmas atrisinājum s: < x ^ 2 jeb x e ( - 12; 2]. OTRAS PAKAPES NEVIENADIBAS O trās pakāpes nevienādību ax2 + bx+ c>0 vai ax2 + + bx+ c < 0, (pie tam šīs nevienādības var būt a rī ar zīmi > vai sc) atrisināšana būtībā ir to intervālu noteikšana, kuros atbilstošās kvadrātfunkcijas vērtības ir pozitīvas vai negatīvas. 70 P i e m ē r i. 1) A trisināt nevienādību xz+4x+5<0. Funkcijas y= - x 2 + 4x+5 grafiks ir parabola, kuras zari vērsti uz leju. Vispirms nosaka tās x vērtības, kurām j;= 0. - x 2+ 4x+ 5 = 0; x 2-4 x - 5 = 0 ; Xļ = 1; x2=5. x2 + 4x+5<0, jaxe( oo; l)u(5; +oo).

74 2) A trisināt nevienādību 5x2 + 9 x -2 ^ 0. y=5xz + 4x 2; J y - 0, ja xl= 2, x 2 = 0,2. Parabolas zari vērsti uz augšu. A / 0,2 5x2 + 9.X'-2>0, : \ VM//M////M/ j a x e ( - o o ; - 2] u [ 0,2; +oo). 3) A trisināt nevienādību x2-3x+ 4 > 0. Funkcijas y=xz 3x+4 grafiks ir parabola, kuras zari vērsti uz augšu. x2-3x + 4 = 0,.0 = = 7<0 i y i i un vienādojum am nav sakņu, tā- \ j tad parabolai a r x asi nav kopēju punktu. x 2-3% + 4> 0, ja x e (-o o ; +qo). P ie z īm e. Šajā zīm ējum ā redzams, ka nevienādībai x 2-3 x + 4 < 0 atrisinājum a nav. P i e m ē r i. NEVIENĀDĪBU ATRISINĀŠANA AR INTERVĀLU METODI 1) A trisināt ne vienādību (x + 8) (x - 5) ^ 0. N osakafunkcijas/(x) = (x + 8) ( x - 5 )nulles, t.l, - 8 u n 5. Skaitļi - 8 u n 5 sadala funkcijas definīcijas apgabalu trīs intervālos: (-o o ; - 8), ( - 8; 5), (5; + oo). Nosaka k atra reizinātāja zīmi šajos intervālos, izraugoties vienu vērtību no intervāla. Piem ēram, ja intervālā ( - oo; - 8) ņem x= -1 0, tad x +8 = = 2 (tātad «-» zīme) un x 5= = 15 (arī «-» zīme). Ja intervālā ( 8; 5) izraugās x 0, tad x +8 = 0 + 8=8 (tātad «+» zīme) utt. 71

75 Zīmes sak arto tabulā. ( - 00; -8) (-8; 5) (5; + co) x x 5 + Nosaka reizinājum a zīmi un atzīm e to uz skaitļu ass. *.-8 5 T a ta d /(x )> 0, ja x e ( oo; -8 )w (5 ; + 00); f(x)<0, ja x e ( - 8; 5). Nevienādības (x+ 8) (x - 5) > 0 atrisinājum s ir x e ( qo; 8]u[5; + 00). 2) (3 x -l)(6 x + l)> 0 ; 3 (x' 3) 6 (x + 6) >0; 18( ^ - ^ ) t + g ) > 0 1:18; 1 > Funkcijas /(x )= ( x - g j( * + nulles: * un X~3 1 X+ 6! *- x ( - e - a ) (+3: +OT) (3 x -l)(6 x + l)> 0, ja x e ( -co; +CG ) 72

76 ^ _2 3) A trisināt nevienādību ^ 0. x+l Tā kā divu skaitļu dalījum a zīme sakrīt ar šo pašu skaitļu reizinājum a zīmi, ta d dotās nevienādības vietā v a r aplūkot (x..3) (x + 1)^0, izslēdzot no atrisinājum a tās x vērtības, a r kurām daļas saucējs vienāds ar 0. ^ Daļai nav jēgas, ja 1 = 0, 1. x + 1 Funkcijas f(x) = (x-3 )(x + l) nulles ir skaitļi 3 un ' (-co; - 1) ( i; 3) (3; +oo) x-3 + X+1 + x_3 3s0, j a x e ( oo; -l) w [3 ; +oo). x~\-1 PROGRESIJAS ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA P ar aritm ētisko progresiju sauc skaitļu virkni, kuras katrs loceklis, sākot ar o tro, ir vienāds ar iepriekšējo lo cekli, k am pieskaitīts viens u n tas pats skaitlis. Simboli: ax- progresijas pirm ais loceklis, an- progresijas rc-tais (vispārīgais) loceklis, n - locekļu skaits, d - progresijas diference, S - n locekļu summa. A ritm ētiskās progresijas vispārīgo locekli aprēķina pēc form ulas a = a ^ d { n - 1). 78

77 Aritmētiskās progresijas n locekļu summas formulas: (aļ + all) n < (2at + d (j3 -l)) n S P ie m ē ri. 1) Dots: a : = 3; an=ax+d{n 1); d 0,7] alt= -3+0,7(11-1)= -3+0,7-10 = Ti 11. = = 4. Aprēķināt: atl; Su. S = ^ ; ( 3+4) S n = = 2 =5,5. 2) Aprēķināt aritmētiskās progresijas pirmo locekli, diferenci un uzrakstīt šo progresiju, ja a5 = 27; a21 = 60. Izmanto formulu an=ay + d(n 1). a5= 27 a 27 = 60; aj+ d(5 1) = 27 f a t + 4d = 27 a, + d (2 7 -l) = 60; ļ a 1+ 26o!=60; Gtj + 1,5-4 = 27; a 1 = 27-6 = 21. Progresija: 21; 22,5; 24; 25,5;... 22g?= -33; c?=l,5; 3) Vai aritmētiskas progresijas 2; 9;... loceklis ir skaitlis a) 156; b) 295? a) d=9-2 = 7; b) 295=2 + 7(n 1); a = aļ +d(n l); 295=2 + 7/2-7; 156 = 2 + 7(n~l); 7n = 300; 156=2+7^ 7; 6 n = 42y. In=161; n=23=> ct23 = 156. Tā kā progresijas locekļa kārtas numurs var būt tikai naturāls skaitlis, tad 295 nav šīs progresijas loceklis. 74

78 ARITMĒTISKAS PROGRESIJAS ĪPAŠĪBAS A ritm ētiskajā progresija no galiem v ienād i attalinato lo cek ļu sum m a ir pastāvīgs lielum s. P ie m ē ri. 1) 2; 7; 12; 17; 22; 27. 2) -6 ; -4 ; -2 ; 0; 2; ; = -2 ; = = 2. A ritm ētiskajā progresija katrs loceklis, sakot ar o tro, ir savu blakus esošo lo c ek ļu vidējais aritm ētiskais: a. = a n a «+ l. 1) 7 = = 7; 2) - 4 = = - 4. P ie m ē rs. Starp skaitļiem 8 un 26 ievietot 5 tādus skaitļus, lai tie kopā ar dotajiem skaitļiem veidotu aritmētisko progresiju. Dots: aļ=8; a7=26; n=l. an = a ļ + d ( n - 1); 26=8 + cf(7-l); 26=8 + 6rf; 6rf=18; d = 3. Progresija: 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; ĢEOMETRISKA PROGRESIJA Par ģeometrisko progresiju sauc skaitļu virkni, kuras pirmais loceklis ir atšķirīgs no nulles (ft^o), bet katrs loceklis, sākot ar otro, ir vienāds ar iepriekšējo locekli, kas reizināts ar vienu un to pašu skaitli. 75

79 Simboli: bt - pirmais loceklis, b - n-tais (vispārīgais) loceklis, n - locekļu skaits, q - kvocients, Sn- n locekļu summa. Ģeometriskās progresijas vispārīgo locekli aprēķina pēc formulas b n = b x q n l. Ģeometriskās progresijas n locekļu summas formulas: s b.g-bļ s _= W z ļ > ik u rff# L q P ie m ē ri. 1) Aprēķināt ģeometriskas progresijas septīto locekli, ja b{= -810 ung=ļ. O Dots: bi= -810= -3*10; 1 Q~ 3 n=l. Jāaprēķina bn. n 1- K = b,q Z>7= - 34 loyrv = 3M ) Uzrakstīt ģeometrisko progresiju, ja b2 6 un b5=24. &3 = 6 f blq1 = 6 b^q2 6 b5= 24; [Z?1ģ4 = 24; M 4 _ 24 g2 = 4; g= ± 2; Ģl =2j q2= ~2. 10 Z>i(72 6; = 6; >1-4=6; Z?1 = - = l, 5. 76

80 Progresijas: 1) 1,5; 3; 6; 12;...; 2) 1,5; -3 ; 6; -12;... 3) Aprēķināt dotās ģeometriskās progresijas pirmo sešu locekļu summu: 3; 6;... Dots: bļ= 3; b2= - 6; n = 6. Jāaprēķina S6. bo bx 3 c _ w - 1). q (( 2)6 1) 3 -(64 1) = -63. ĢEOMETRISKAS PROGRESIJAS ĪPAŠĪBAS Ģ eom etriskā progresijā katrs loceklis, sākot ar o tro locekli, ir savu blakus esošo lo cek ļu vidējais ģeom etriskais: P ie m ē r i. b r,= \ b, bn+ļ. 1) Ģeometriskajā progresijā: 3; 6; 12; = V 3 TĪ2; 12 = -x/6-24; utt. 2) Starp skaitļiem 38 un 608 ievietot trīs tādus skaitļus, lai tie kopā ar dotajiem veidotu ģeometrisku progresiju. Dots: >1=38; b = bļ^-gn~1; bs = 608; 608 = 38-ņ4; tf4 = 16; q^ = 2; qz= - 2. n = 5. Progresijas: 1) 38; 76; 152; 304; 608;...; 2) 38; -76; 152; -304; 608;...

81 Ja \q\ < i, tad bezgalīgas ģeometriskas cekļu summa ir r> - 1 (/ riemers. Aprēķināt dotās bezgalīgās ģeometriskās cekļu summu: 1 1 progresijas loprogresijas lo-

82 REIZINĀJUMU TABULA

83 SKAITĻU KVADRATU TABULA 0 l l 3 4 S б l 8 9 l l б б1 1б81 2б б б б 57б 115б 193б 291б 225 б б б7б 129б 211б 313б б б4 3б б l б б б5б б724 84б б б889 8б49 10б09 409б 547б 705б 883б 1081б б б 577б 739б 921б 1123б б б24 б б04 11бб4 47б1 б ll б900 19б б41 171б б б б б 1537б 1795б 2073б 2371б б б 1587б 1849б 2131б 2433б 13б89 1б б9 21б09 24б б б4 141б1 1бб

Nevienādības starp vidējiem

Nevienādības starp vidējiem Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību

Sīkāk

32repol_uzd

32repol_uzd Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem

Sīkāk

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo 7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00

Sīkāk

1

1 . Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir

Sīkāk

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n 7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three

Sīkāk

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

ro41_uzd

ro41_uzd Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a

Sīkāk

Komandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ

Komandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas

Sīkāk

48repol_uzd

48repol_uzd Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.

Sīkāk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,

Sīkāk

1

1 8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena

Sīkāk

IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni

IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv

Sīkāk

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br 5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

skaitampuzle instrukcija

skaitampuzle instrukcija MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā

Sīkāk

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas

Sīkāk

Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a

Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.

Sīkāk

Matemātikas uzdevumu krājums 6. klasei / Zane Kūlaine/ Pelču speciālā internātpamatskola – attīstības centrs

Matemātikas uzdevumu krājums 6. klasei / Zane Kūlaine/ Pelču speciālā internātpamatskola – attīstības centrs 2 5.klases atkārtojums Vieni ir pirmās sķiras vienības; tos skaitlī raksta pirmajā vietā no labās puses. Desmiti ir otrās šķiras vienības; tos skaitlī raksta otrajā vietā no labās puses. Simti ir trešās

Sīkāk

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas

Sīkāk

v, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace

v, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk 8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna

Sīkāk

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu

Sīkāk

Microsoft Word - du_5_2005.doc

Microsoft Word - du_5_2005.doc 005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.

Sīkāk

PCK34_atr_kopaa

PCK34_atr_kopaa 007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem

Sīkāk

PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM

PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM JĀ Ņ A FO M IN A sakārtojums Krājumā «Matem ātikas formulas» sakopotas daudzas elementārās matemātikas un augstākās matemātikas formulas. Krājums galvenokārt paredzēts tiem,

Sīkāk

Uzdevumu krājums matemātikā 8. klasei izglītojamajiem ar speciālajām vajadzībām 1.uzdevums: Decimāļā skaitīšanas sistēma. Skolēniem uz ekrāna parāda t

Uzdevumu krājums matemātikā 8. klasei izglītojamajiem ar speciālajām vajadzībām 1.uzdevums: Decimāļā skaitīšanas sistēma. Skolēniem uz ekrāna parāda t Uzdevumu krājums matemātikā 8. klasei izglītojamajiem ar speciālajām vajadzībām 1.uzdevums: Decimāļā skaitīšanas sistēma. Skolēniem uz ekrāna parāda tabulu un izskaidro kā pa skaitļu šķirām jāievieto dotā

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Ultraplatjoslas (UWB) radaru sensoru signālu apstrāde objektu izsekošanai VPP SOPHIS GUDPILS UWB sensoru (radaru) grupa Rolands Šāvelis Pētnieks Elektronikas un datorzinātņu institūts 1 UWB sensoru signālu

Sīkāk

Laboratorijas darbi mehānikā

Laboratorijas darbi mehānikā Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne

Sīkāk

Microsoft Word - Papildmaterials.doc

Microsoft Word - Papildmaterials.doc SATURS DARBĪBAS AR DARBGRĀMATAS LAPĀM... 2 1.1. Pārvietošanās pa lapām...2 1.2. Lapas nosaukuma maiņa...3 1.3. Jaunas darblapas pievienošana...3 1.4. Lapas pārvietošana un dublēšana, lietojot peli...4

Sīkāk

Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji

Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta 2015. gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznājiem Latvijā nekad nenoriet? (1 p) Kasiopeja Ērglis Vēršu

Sīkāk

Valsts bioloģijas olimpiāde klase Teorētiskie uzdevumi Dalībnieka kods 1. uzdevums (10 p) Sportistu energoapgādi limitējošais faktors vienmēr

Valsts bioloģijas olimpiāde klase Teorētiskie uzdevumi Dalībnieka kods 1. uzdevums (10 p) Sportistu energoapgādi limitējošais faktors vienmēr 1. uzdevums (10 p) Sportistu energoapgādi limitējošais faktors vienmēr ir ogļhidrāti neatkarīgi no tā, cik lieli ir tauku uzkrājumi ķermenī. Uzkrātās ogļhidrātu rezerves ir visai ierobežotas: aknās vidēji

Sīkāk

Tirgus dal bnieka nosaukums: Ieguld jumu p rvaldes akciju sabiedr ba "Finasta Asset Management" Kods: 100 Invalda konservativais ieguldijumu plans 1.

Tirgus dal bnieka nosaukums: Ieguld jumu p rvaldes akciju sabiedr ba Finasta Asset Management Kods: 100 Invalda konservativais ieguldijumu plans 1. Tirgus dal bnieka nosaukums: p rvaldes akciju sabiedr ba "Finasta Asset Management" 1. pielikums Finanšu un kapit la tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 UPDK 0651293 J iesniedz Finanšu un

Sīkāk

> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši

> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši > > < < > < < 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši vienu reizi ieraksti kādu naturālu skaitli no 1 līdz 5 tā, lai atzīmētās nevienādības būtu patiesas!

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.

Sīkāk

Publiskā apspriešana

Publiskā apspriešana BŪVNIECĪBS IECERES PUBLISKĀ PSPRIEŠN JUNS TRMVJU INFRSTRUKTŪRS POSM IZBŪVE UN ESOŠS TRMVJU LĪNIJS PĀRBŪVE. BŪVNIECĪBS IEROSINĀTĀJS: Rīgas Pašvaldības SI Rīgas satiksme Reģ.Nr.40003619950, Kleistu 28, Rīga,

Sīkāk

ro40_atr

ro40_atr Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais

Sīkāk

Microsoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc

Microsoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc SIA Krāslavas nami Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā Saturs I. Ziņas par operatoru...3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošajām darbībām...4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas

Sīkāk

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā

Sīkāk

APSTIPRINĀTS

APSTIPRINĀTS APSTIPRINĀTS ar Sabiedrisko pakalpojumu regulēšanas komisijas padomes 2007.gada 12.decembra lēmumu Nr.592 Elektroenerģijas tarifu aprēķināšanas metodika saistītajiem lietotājiem Izdota saskaņā ar Elektroenerģijas

Sīkāk

APSTIPRINĀTS

APSTIPRINĀTS APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa

Sīkāk

Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija

Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Microsoft Word - Latv_Gaze_SEG atskaite 2007.doc

Microsoft Word - Latv_Gaze_SEG atskaite 2007.doc 2.pielikums Ministru kabineta 2004.gada 7.septembra noteikumiem Nr.778 Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā I. Ziņas par operatoru 1. Operators: 1.1. nosaukums vai vārds un uzvārds Akciju

Sīkāk

Biznesa plāna novērtējums

Biznesa plāna novērtējums [uzņēmuma nosaukums] biznesa plāns laika posmam no [gads] līdz [gads]. Ievads I. Biznesa plāna satura rādītājs II. Biznesa plāna īss kopsavilkums Esošais stāvoklis III. Vispārēja informācija par uzņēmumu

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas

Sīkāk

HORIZONTĀLAIS SAULES PULKSTENIS. LUDZA Laukuma rekonstrukcija pie Ludzas novada ēkas Raiņa un Stacijas ielau krustojumā. Stacijas iela 38, Ludza LD -1

HORIZONTĀLAIS SAULES PULKSTENIS. LUDZA Laukuma rekonstrukcija pie Ludzas novada ēkas Raiņa un Stacijas ielau krustojumā. Stacijas iela 38, Ludza LD -1 HORIZONTĀLAIS SAULES PULKSTENIS. LUDZA LD - GRANĪTA BRUĢA RAKSTS SP LAUKUMA IEKLĀŠANA R 00,00 cm 7 2 4 Tianshan red 4 6 2 4 N 4 GRANĪTA TONĀLS SALIKUMS 4 Granīts G 60 6 Granīts G 60 M=:0 PASŪTĪTĀJS: LUDZAS

Sīkāk

Recent economic developments in Latvia

Recent economic developments in Latvia Eiro ieviešana Latvijā Ilmārs Rimšēvičs Latvijas Bankas prezidents 2012. gada 15. decembris Iedzīvotāji no eiro ieviešanas necietīs Eiro ieviešana NAV naudas reforma Latus Latvijas Bankā varēs apmainīt

Sīkāk

APSTIPRINĀTS Akciju sabiedrības Gaso Valdes gada 15. maija sēdē, protokols Nr. 16 (2019) Sadales sistēmas dabasgāzes neikdienas patēriņa apjoma

APSTIPRINĀTS Akciju sabiedrības Gaso Valdes gada 15. maija sēdē, protokols Nr. 16 (2019) Sadales sistēmas dabasgāzes neikdienas patēriņa apjoma APSTIPRINĀTS Akciju sabiedrības Gaso Valdes 209. gada 5. maija sēdē, protokols Nr. 6 (209) Sadales sistēmas neikdienas apjoma prognozēšanas modelis Rīgā 5.05.209 8/6 Sadales sistēmas apjoma prognozēšanas

Sīkāk

PAMATNOSTĀDNES PAR SFPS 9 PĀREJAS PASĀKUMU VIENOTU INFORMĀCIJAS ATKLĀŠANU EBA/GL/2018/01 16/01/2018 Pamatnostādnes par vienotu informācijas atklāšanu

PAMATNOSTĀDNES PAR SFPS 9 PĀREJAS PASĀKUMU VIENOTU INFORMĀCIJAS ATKLĀŠANU EBA/GL/2018/01 16/01/2018 Pamatnostādnes par vienotu informācijas atklāšanu EBA/GL/2018/01 16/01/2018 Pamatnostādnes par vienotu informācijas atklāšanu saskaņā ar Regulas (ES) Nr. 575/2013 473.a pantu attiecībā uz pārejas pasākumiem saistībā ar SFPS 9 par pašu kapitālu ieviešanas

Sīkāk

Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču

Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču Labdien, mīļo cilvēk! Savās rokās Tu turi puzlīti, gatavotu no vienkārša bērza saplākšņa, ar tikpat vienkāršiem, visiem zināmiem vārdiem uz tās. Taču tie ir vārdi, kurus cilvēkbērns apgūst pašus pirmos

Sīkāk

Nakts_labirints.xlsx

Nakts_labirints.xlsx IZAICINĀJUMS 1 GR3186 Normunds Laipnieks Suzuki Jimny 16:46 23:27:28 06:41 0 16:56:18 00:10:18 618 5 45 20 2645 1 2 PT98 Uldis Moisejs MITSUBISHI PAJERO 16:32 23:15:22 06:43 0 16:42:09 00:10:09 609 4 41

Sīkāk

Eiro viltojumi Latvijā

Eiro viltojumi Latvijā Eiro drošības pazīmes un to pārbaude Andris Tauriņš Kases un naudas apgrozības pārvaldes Naudas tehnoloģiju daļas vadītājs 5, 10, 20 eiro naudas zīmes 120 x 62 mm 127 x 67 mm 133 x 72 mm Jaunā 5 eiro naudas

Sīkāk

Microsoft Word - SEG_ atskaite_Bolderaja_2008.doc

Microsoft Word - SEG_ atskaite_Bolderaja_2008.doc SIA Bolderaja Ltd Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2008.gadā. Saturs I. Ziņas par operatoru.. 3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošām darbībām. 4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas procesiem

Sīkāk

Microsoft Word - Vēlēšanu nolikums projekts.docx

Microsoft Word - Vēlēšanu nolikums projekts.docx Latvijas Universitātes Studentu padome Reģ. Nr.40008009084 Raiņa bulvāris 19-144, LV-1586, Rīga, Latvija Tālrunis 67034317, Fakss 67034316, E-pasts: lusp@lusp.lv APSTIPRINĀTS LU Studentu padomes 2006.gada

Sīkāk

5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a

5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a 5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta adatas Skolēna darba lapa M_11_LD_05_P1 Izloze Skolēna

Sīkāk

R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis

R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā

Sīkāk

2019 QA_Final LV

2019 QA_Final LV 2019. gada ex-ante iemaksas Vienotajā noregulējuma fondā (VNF) Jautājumi un atbildes Vispārēja informācija par aprēķinu metodoloģiju 1. Kāpēc salīdzinājumā ar pagājušo gadu ir mainījusies aprēķinu metode,

Sīkāk

Page 1 of 8 Biedrību, nodibinājumu un arodbiedrību gada pārskats: Bilance - Aktīvs Taksācijas periods no: 01.01.2009 līdz: 31.12.2009 Bilance - Aktīvs Bilancē summas jānorāda veselos latos. Nr. p.k. Posteņa

Sīkāk

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at 2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai

Sīkāk

S-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā

S-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical

Sīkāk

EKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA EĪD Nr CPR-M 561-7/11.14-LV 1. Unikālais izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Fix Master Toge skrūve bet

EKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA EĪD Nr CPR-M 561-7/11.14-LV 1. Unikālais izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Fix Master Toge skrūve bet EKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA EĪD Nr. 1343-CPR-M 561-7/11.14-LV 1. Unikālais izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Fix Master Toge skrūve betonam, TSM, augstas ekspluatācijas 2. Tipa, partijas

Sīkāk

Microsoft Word - IeskaisuGrafiks_10b.doc

Microsoft Word - IeskaisuGrafiks_10b.doc Priekšmets - angļu valoda Klase 10.a,b Mācību gads 2008/09. Skolotājs - Gesja Živa Nr. tēma saturs 1. Unit 1. Dwellings, household chores, the Present Tenses, phrasal verbs. 2. Unit 2. Life events, the

Sīkāk

EIROPAS KOMISIJA Briselē, COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 PIELIKUMI dokumentam Priekšlikums Eiropas Parlamenta un Padomes regulai, ar ko

EIROPAS KOMISIJA Briselē, COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 PIELIKUMI dokumentam Priekšlikums Eiropas Parlamenta un Padomes regulai, ar ko EIROPAS KOMISIJA Briselē, 17.5.2018 COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 PIELIKUMI dokumentam Priekšlikums Eiropas Parlamenta un Padomes regulai, ar ko nosaka CO2 emisijas standartus jauniem lielas noslodzes

Sīkāk

LĪGUMS

LĪGUMS Id. nr. CSDD 2014/84 Nolikuma 3.pielikums Iepirkuma Informatīvā tālruņa apkalpošanas pakalpojuma nodrošināšana nolikumam, Id. Nr. CSDD 2014/84 LĪGUMS par informatīvā tālruņa apkalpošanu VAS Ceļu satiksmes

Sīkāk

Microsoft Word - Noteikumi_Dizaina pakalpojumi_

Microsoft Word - Noteikumi_Dizaina pakalpojumi_ VAS STARPTAUTISKĀ LIDOSTA RĪGA Tirgus izpētes Dizaina pakalpojumu sniegšana VAS Starptautiskā lidosta Rīgā (Identifikācijas Nr. TI-13/60) NOTEIKUMI M rupes novad 1. VISPĀRĪGĀ INFORMĀCIJA 1.1. Pasūtītājs

Sīkāk

Microsoft Word - 1_Teritorijas_izmantosanas_un_apbuves_noteikumi.doc

Microsoft Word - 1_Teritorijas_izmantosanas_un_apbuves_noteikumi.doc Teritorijas izmantošana un apbūves noteikumi 1 Teritorijas izmantošana (zonējums), apbūves noteikumi Ķīpsalas teritorijas izmantošanas (zonējuma) pamatā likti iepriekš minētie nozīmīgie faktori, lai veicinātu

Sīkāk

IETEICAMIE VINGROJUMI

IETEICAMIE VINGROJUMI IETEICAMIE VINGROJUMI Pirkstu un plaukstu vingrojumi 1. Rokas izstieptas uz priekšu, plaukstas vērstas uz leju. Viens izstiept pirkstus, kamēr sajūt sasprindzinājumu, paturēt 5 Trīs savilkt pirkstus dūrēs,

Sīkāk

ROKASGRĀMATA. SATIKSMES INTENSITĀTES UZSKAITES SISTĒMA Rīgā, gads

ROKASGRĀMATA. SATIKSMES INTENSITĀTES UZSKAITES SISTĒMA Rīgā, gads ROKASGRĀMATA. SATIKSMES INTENSITĀTES UZSKAITES SISTĒMA Rīgā, 2018. gads Rokasgrāmata par satiksmes intensitātes uzskaites sistēmu. Rokas grāmatas izstrādi veica SIA,,PROJEKTS EAE Rokasgrāmatu izstrādāja:

Sīkāk

A9R1q9nsan_v63m4l_2ow.tmp

A9R1q9nsan_v63m4l_2ow.tmp Studiju programmas raksturojums 2015./2016. a 1. uzdevumi. Programm Studiju programmas. 1. Sagatavot. 2. N. 3. N 1 2. 4. V. 5., balstoties noteikt izm Studiju programmas uzdevumi. 1.. 2. V ir. 3. Nodro.

Sīkāk

Tirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārval

Tirgus dalībnieka nosaukums: Parex Asset Management Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārval Tirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārvaldīšanas pārskatu sagatavošanas noteikumu" 1. Pielikums

Sīkāk

Slaids 1

Slaids 1 Superstatic 449 Statiskais siltumskaitītājs, statiskais dzesēšanas skaitītājs Pielietošana: Kompaktais siltumskaitītājs Superstatic 449 var tikt darbināts ar akumulatoru vai elektrotīklu. Tas tiek izmantots

Sīkāk

Microsoft Word - du_4_2005.doc

Microsoft Word - du_4_2005.doc @ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops

Sīkāk

Microsoft PowerPoint - RP_ _TV_zinojums_n.akti.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - RP_ _TV_zinojums_n.akti.ppt [Compatibility Mode] Par izmaiņām normatīvajos aktos, kuri skar augstāko izglītību Tatjana Volkov a Rektoru padomes priek s d t ja Banku augstskolas rektore Zi ojums Rektoru padomes 23.05.2008. s d Saturs 2 1. PVN likums 2.

Sīkāk

Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem

Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai semināra modulī tiek paplašināta uzdevuma funkcionalitāte.

Sīkāk

Imants Gorbāns. E-kursa satura rādītāja izveide IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Imants Gorbāns E-kursa satura rādītāja izveide Materiāls izstrādāts ESF Darbī

Imants Gorbāns. E-kursa satura rādītāja izveide IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Imants Gorbāns E-kursa satura rādītāja izveide Materiāls izstrādāts ESF Darbī IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Imants Gorbāns E-kursa satura rādītāja izveide Materiāls izstrādāts ESF Darbības programmas 2007. - 2013.gadam Cilvēkresursi un nodarbinātība prioritātes 1.2. Izglītība un prasmes

Sīkāk

ARI-VI SIA Pērnavas iela 35, Rīga Tālr Fakss Riteņu balansēšanas atsvariņu piedāvājums Mc 30 Uzsitamie

ARI-VI SIA Pērnavas iela 35, Rīga Tālr Fakss Riteņu balansēšanas atsvariņu piedāvājums Mc 30 Uzsitamie ARI-VI SIA Pērnavas iela 35, Rīga Tālr.67310345 Fakss. 67310346 info@mcrolls.lv Riteņu balansēšanas atsvariņu piedāvājums Mc 30 Uzsitamie atsvariņi vieglajām automašīnām tērauda diskiem (universālie) S/2

Sīkāk

Microsoft PowerPoint - Relaksejosie_vingrojumi

Microsoft PowerPoint - Relaksejosie_vingrojumi Darba vingrošana Relaksējoši vingrojumi pleciem, mugurai un rokām 1 2 1. vingrojums 2. vingrojums Izpildot šo vingrojumu, nedaudz ieliekties kājās. Vienu roku pārlikt pāri otras rokas plecam, kā parādīts

Sīkāk

Slide 1

Slide 1 transporta plūsmas monitorēšanai Roberts Kadiķis Kārlis Freivalds Multifunkcionāla inteliģenta transporta sistēmas punkta tehnoloģija Nr.2DP/2.1.1.1.0/10/APIA/VIAA/086 Motivācija Nepieciešamība efektīvāk

Sīkāk

Microsoft Word - Gada_Parskats_2015.g _2_.doc

Microsoft Word - Gada_Parskats_2015.g _2_.doc BIEDRĪBA LATVIJAS AEROKLUBS 215. GADA PĀRSKATS Rīga 216 SATURS VADĪBAS ZIŅOJUMS 3 BILANCE 5 IEŅĒMUMU UN IZDEVUMU PĀRSKATS 6 ZIEDOJUMU UN DĀVINĀJUMU PĀRSKATS 7 ZIEDOTĀJI UN DĀVINĀTĀJI 8 PĀRSKATS PAR ADMINISTRATĪVAJIEM

Sīkāk

Meza skola metodes pirmsskola

Meza skola metodes pirmsskola FIGŪRU APGŪŠANA Veidot konkrēto figūru sadarbojoties ar citu bērnu Ar maziem solīšiem viens pāris sniegā veido vienu figūru Ar sniegu pārklāts laukums, laminētas kartiņas ar figūrām Bērni sadalās pa pāriem.

Sīkāk