IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni

Lielums: px
Sāciet demonstrējumu ar lapu:

Download "IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni"

Transkripts

1 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte LMB 8. konference Valmiera, g aprīlis

2 1. MONĀDE KĀ VISPĀRINĀTU KOPU TEORIJAS FRAGMENTS Kopas un funkcijas (apzīmējumi) X, Y, Z - kopas, α, β, φ.ψ - funkcijas, Set - visu kopu klase, F un - visu funkciju klase. 1

3 Monādes 2

4 Monādes Monāde ir trijnieks (T, η, ), kur T ir attēlojums Set Set, η ir indeksētu funkciju saime (η X : X T X) X Set, ir daļējs attēlojums Fun Fun, kas katram X Set pārveido funkcijas X T Y par funkcijām T X T Y, 3

5 Monādes Monāde ir trijnieks (T, η, ), kur T ir attēlojums Set Set, η ir indeksētu funkciju saime (η X : X T X) X Set, ir daļējs attēlojums Fun Fun, kas katram X Set pārveido funkcijas X T Y par funkcijām T X T Y, un ir izpildītas aksiomas (m1) α η X = α, α: X T Y (m2) η X = id T X, (m3) (β α) = β α α: X T Y, β: Y T Z. 4

6 Monāde ir trijnieks (T, η, ), kur T ir attēlojums Set Set, η ir indeksētu funkciju saime (η X : X T X) X Set, ir daļējs attēlojums Fun Fun, kas katram X Set pārveido funkcijas X T Y par funkcijām T X T Y. Inerpretācija: domāsim T X elementus kā kopas X apakškopas, (katram x X) kopu η X (x) kā X apakškopu {x}, funkciju α: X T Y kā Y apakškopu saimi (α x T Y : x X), piemēram, ηx ir kopas X vienelementa apakškopu saime, (katram p T X) kopu α (p) T Y kā indeksu kopai p atbilstošo saimes α: X T Y locekļu apvienojumu (α x : x p), pašu attēlojumu kā izsvērtu apvienošanu. 5

7 Tātad η X (x) = {x}, ja p T X, tad α (p) = (α x : x p) Tad izpildās visas trīs aksiomas: 6

8 Tātad η X (x) = {x}, ja p T X, tad α (p) = (α x : x p) Tad izpildās visas trīs aksiomas: (m1) α η X = α α: X T Y α (η X (x )) = (α x : x {x }) = α x = α(x ). 7

9 Tātad η X (x) = {x}, ja p T X, tad α (p) = (α x : x p) Tad izpildās visas trīs aksiomas: (m1) α η X = α α: X T Y α (η X (x )) = (α x : x {x }) = α x = α(x ). (m2) η X = id T X η X (p) = ({x}: x p) = p η X : X T X 8

10 Tātad η X (x) = {x}, ja p T X, tad α (p) = (α x : x p) Tad izpildās visas trīs aksiomas: (m1) α η X = α α: X T Y α (η X (x )) = (α x : x {x }) = α x = α(x ). (m2) η X = id T X η X (p) = ({x}: x p) = p η X : X T X (m3) (β α) = β α α: X T Y, β: Y T Z, β α: X T Z (β α)(x) = β (α x ) = (β y : y α x ) (β α) (p) = ((β α) x : x p) = ( (β y : y α x ): x p) (β α )(p) = β (α (p)) = β ( (α x : x p)) = (β y : y (α x : x p)). 9

11 Monāde ir trijnieks (T, η, ), kur T ir attēlojums Set Set, η ir indeksētu funkciju saime (η X : X T X) X Set, ir daļējs attēlojums Fun Fun, kas katram X Set pārveido funkcijas X T Y par funkcijām T X T Y. Vispārīgs piemērs (ieskicēts): Ω - fiksēta kopa, 0, 1 - elementi no Ω (0 1), T (X) - netukša Ω X apakškopa, η X - attēlojums, kas katram x X piesaista delta funkciju kopā X, kas koncentrēta { punktā x: η X (x)(x 1, ja x ) = = x, 0, ja x x. 10

12 Monāde ir trijnieks (T, η, ), kur T ir attēlojums Set Set, η ir indeksētu funkciju saime (η X : X T X) X Set, ir daļējs attēlojums Fun Fun, kas katram X Set pārveido funkcijas X T Y par funkcijām T X T Y. Ņem α: X T (Y ), p T (X), y Y un rēķina α (p)(y): izraugās patvaļīgu x X un ņem α x T Y, sareizina α x (y) ar svaru p(x): p(x)α x (y), summē pa x visus tādus reizinājumus: (p(x)αx (y): x X). iegūto vidējojumu ņem par α (p)(y). 11

13 Aksiomas: (m1) α η X = α, α: X T Y α (η X (x))(y) = α x (y) = α(x)(y). (m2) η X = id T X η X (p)y) = p(y) η X : X T X (m3) (β α) = β α (β α) (p)(z) = (β α )(p)(z). α: X T Y, β: Y T Z, β α: X T Z 12

14 Aksiomas: (m1) α η X = α, α: X T Y α (η X (x))(y) = α x (y) = α(x)(y). (m2) η X = id T X η X (p)y) = p(y) η X : X T X (m3) (β α) = β α (β α) (p)(z) = (β α )(p)(z). α: X T Y, β: Y T Z, β α: X T Z Kādām jābūt (galīgā gadījumā +),, 0, 1 īpašībām, lai visas trīs aksiomas varētu pierādīt? 13

15 2. PUSGREDZENISKA LOĢIKA 14

16 2. PUSGREDZENISKA LOĢIKA Kādēļ pusgredzeni? 15

17 2. PUSGREDZENISKA LOĢIKA Kādēļ pusgredzeni? (a) Klasiskā loǧika un kopu teorija: predikāts kopā X (X apakškopa) ir funkcija X {a, p}, patiesumvērtību kopa {a, p} ir pusgredzens attiecībā uz disjunkciju un konjunkciju ar nulles elementu a un vieninieku p. (a ) Raupjās kopas: raupja X apakškopa ir daļēja funkcija X {a, p}. (b) Zade: predikāts (apakškopa) ir funkcija X [0, 1], vienības segments ([0,1], max, min, 0, 1) ir pusgredzens. (c) Vispārīgāk ar režǧi L: predikāts (apakškopa) ir funkcija X L, ikviens režǧis (L,,, 0, 1) ir pusgredzens. 16

18 (d) Vēl vispārīgāk ar quantāli Q: predikāts (apakškopa) ir funkcija X Q, unitāla stingri divpusēja kvantāle ir pusgredzens (Q,,, 0, 1) ir (nekomutatīvs) pusgredzens. Līdzīgi BL-algebras, MV-algebras u.tml. (e) Varbūtību loǧika: predikāts (varbūtību blīvums) ir normēta funkcija X [0, 1], segments ([0, 1], +,, 0, 1) ir daļējs pusgredzens. (f) Multikopas: multikopa ir funkcija X N, naturālo skaitļu kopa ir pusgredzens (N, +,, 0, 1) (bez vislielākā elementa). 17

19 Aditīvi daļēji pusgredzeni 18

20 Aditīvi daļēji pusgredzeni Daļējs komutatīvs monoids ir algebra (A, +, 0), kur + ir daļēja operācija kopā A, 0 A un izpildās aksiomas x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + z, x + 0 = x (katra vienādība ir lasāma: ja viena puse ir definēta, tad ir arī otra un abas ir vienādas ).!! Arī visur definēta saskaitīšana netiek izslēgta. 19

21 Daļējs monoids ir sakārtots, ja tajā fiksēta sakārtojuma attiecība tā, lai no x y izriet, ka x + z y + z. Sakārtotu monoidu sauc par pozitīvu, ja 0 ir tā mazākais elements, ierobežotu, ja tas ir pozitīvs un tajā ir lielākais elements. 20

22 Pēc summām sakārtots daļējs monoids ir tāds, kas apmierina nosacījumu ja x + y + z = x, tad x + y = x. Tas tā ir tad un tikai tad, ja attiecība, ko definē ar x y tad un tikai tad, ja z x + z = y ir sakārtojums. Ja tā notiek, tad monoids ir sakārtots un pozitīvs. Bez tam, ja x + y eksistē, x x, y y, tad x + y eksistē. 21

23 (Aditīvi) daļējs pusgredzens ir algebra (S, +,, 0), kur (S, +, 0) ir daļējs komutatīvs monoids, (S,, 0) ir pusgrupa ar nulles elementu, reizināšana ir abpusēji distributīva: ja attiecīgās summas ir definētas, tad (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy. Unitāls daļējs pusgredzens ir tāds, kurā reizināšanai ir abpusējs neitrālais elements 1. 22

24 Daļējs pusgredzens ir sakārtots, ja tajā fiksēta sakārtojuma attiecība tā, ka no x y izriet, ka x + z y + z, xz yz un zx zy. Par integrālu sauc tādu unitālu ierobežotu daļēju pusgredzenu, kurā reizināšanas neitrālais elements ir vislielākais. 23

25 Vispārinātā summēšana pusgredzenos 24

26 Vispārinātā summēšana pusgredzenos Par summēšanu pa kopu X pusgredzenā S sauc daļēju funkcionāli X, kas patvaļīgām (ne obligāti visām) funkcijām X S jeb S elementu saimēm ar indeksu kopu X piekārto S elementus tā, 25

27 Vispārinātā summēšana pusgredzenos Par summēšanu pa kopu X pusgredzenā S sauc daļēju funkcionāli X, kas patvaļīgām (ne obligāti visām) funkcijām X S jeb S elementu saimēm ar indeksu kopu X piekārto S elementus tā, ka X(φ + ψ) = φ + ψ, X(sφ) = s X φ katram s S, X φ = 0, ja visi φ locekļi ir 0, X φ = s, kāds φ loceklis ir s, bet visi pārējie ir 0. Tātad funkcionālis X ir lineārs. X φ vietā var rakstīt arī (φ(x): x X).!! Ja saimē φ ir galīgs skaits no 0 atšķirīgu locekļu, tad X φ iznāk vienāds ar to summu. 26

28 Summēšanas funkcionāļiem pa dažādām kopām jābūt saskaņotiem: Pieņemsim, ka X ir savstarpēji šķirtu kopu X i (i I) apvienojums, φ ir patvaļīga funkcija X S, katram i I ψ i := φ X i, χ ir funkcija I S, ko definē ar ζ(i) = X i ψ i. Tad ir spēkā vispārināts asociatīvais likums I ζ = X φ. 27

29 Summēšanas funkcionāļiem pa dažādām kopām jābūt saskaņotiem: Pieņemsim, ka X ir savstarpēji šķirtu kopu X i (i I) apvienojums, φ ir patvaļīga funkcija X S, katram i I ψ i := φ X i, χ ir funkcija I S, ko definē ar ζ(i) = X i ψ i. Tad ir spēkā vispārināts asociatīvais likums I ζ = X φ. Izvērstā formā: ( ( (ψi (x i ): x i X i ): i I) = (φ(x): x X). 28

30 S ir pusgredzens ar summēšanu, ja tajā katrai kopai X ir fiksēta kāda summēšana X tā, ka vispārinātais asociatīvais likums ir spēkā. 29

31 S ir pusgredzens ar summēšanu, ja tajā katrai kopai X ir fiksēta kāda summēšana X tā, ka vispārinātais asociatīvais likums ir spēkā. Visos sākumā apskatītajos piemēros, izņemot multikopas, pieminētie pusgredzeni ir pēc summām sakārtoti integrāli daļēji pusgredzeni ar summēšanu. Turpmāk ar pusgredzenu sapratīsim tieši tādu daļēju pusgredzenu. Pusgredzeniska loǧika (Semiring-like logic) 30

32 Precizēta monādes konstrukcija 31

33 Precizēta monādes konstrukcija Fiksēsim vienu pusgredzenu Ω := (Ω, +,, 0, 1) ar summēšanu un domāsim to kā patiesumvērtību kopu. Apzīmēsim ar F (X) visu funkciju X Ω kopu. Katru funkciju φ F (X) var uzskatīt par Ω elementu saimi (φ(x): x X). 32

34 Precizēta monādes konstrukcija Fiksēsim vienu pusgredzenu Ω := (Ω, +,, 0, 1) ar summēšanu un domāsim to kā patiesumvērtību kopu. Apzīmēsim ar F (X) visu funkciju X Ω kopu. Katru funkciju φ F (X) var uzskatīt par Ω elementu saimi (φ(x): x X). Funkciju φ F (X) saucam par summējamu, ja X φ ir definēts, normētu, ja φ ir summējama un X φ = 1, supersummējamu, ja reizinājums (φ ψ) ir summējams visām funkcijām ψ F (X). 33

35 Apzīmējam ar S(X) visu summējamo funkciju kopu no F (X), N(X) visu normēto funkciju kopu no F (X), SS(X) visu supersummējamo funkciju kopu no F (X). Tad N(X) SS(X) S(X). 34

36 Apzīmējam ar S(X) visu summējamo funkciju kopu no F (X), N(X) visu normēto funkciju kopu no F (X), SS(X) visu supersummējamo funkciju kopu no F (X). Tad N(X) SS(X) S(X). Jebkuru supersummējamu funkciju var uzskatīt par Ω-vērtīgu predikātu kopā X (Xapakškopu). Par T (X) var ņemt kādu SS(X) apakškopu, tomēr jāievēro noteikti (un zināmi) saskaņotības nosacījumi dažādiem X. Tie izpildās, kad T (X) = SS(X) vai T (X) = N(X). 35

37 Apzīmējam ar S(X) visu summējamo funkciju kopu no F (X), N(X) visu normēto funkciju kopu no F (X), SS(X) visu supersummējamo funkciju kopu no F (X). Tad N(X) SS(X) S(X). Jebkuru supersummējamu funkciju var uzskatīt par Ω-vērtīgu predikātu kopā X (Xapakškopu). Par T (X) var ņemt kādu SS(X) apakškopu, tomēr jāievēro noteikti (un zināmi) saskaņotības nosacījumi dažādiem X. Tie izpildās, kad T (X) = SS(X) vai T (X) = N(X). 36

38 Teorēma. Piemērā aprakstītais konstrukts (T, η, ) (ar pēc tam izdarītajiem precizējumiem) ir monāde. Otrādi, ja modāde ir piemērā aprakstītajā veidā izveidota no kādiem Q, +,, 0, 1,, tad (Q, +,, 0, 1) ir pusgredzens ar summēšanu. 37

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Microsoft Word - du_5_2005.doc

Microsoft Word - du_5_2005.doc 005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n 7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three

Sīkāk

Nevienādības starp vidējiem

Nevienādības starp vidējiem Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību

Sīkāk

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām

Sīkāk

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā

Sīkāk

32repol_uzd

32repol_uzd Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem

Sīkāk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,

Sīkāk

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu

Sīkāk

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at 2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai

Sīkāk

ro41_uzd

ro41_uzd Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a

Sīkāk

Microsoft Word - du_4_2005.doc

Microsoft Word - du_4_2005.doc @ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops

Sīkāk

48repol_uzd

48repol_uzd Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots

Sīkāk

Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija

Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās

Sīkāk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk 8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna

Sīkāk

1

1 8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena

Sīkāk

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)

Sīkāk

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas

Sīkāk

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.

Sīkāk

PCK34_atr_kopaa

PCK34_atr_kopaa 007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem

Sīkāk

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo 7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00

Sīkāk

ro40_atr

ro40_atr Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais

Sīkāk

Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī

Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis

Sīkāk

G.Plivna-sistemanalize

G.Plivna-sistemanalize Kvalitatīva sistēmanalīze - labas veiktspējas atslēga gints.plivna@gmail.com Kas es esmu? Pieredze darbā ar Oracle kopš 1997 Oficiālais amats sistēmanalītiķis Rix Technologies Pasniedzu Oracle SQL un PL/SQL

Sīkāk

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br 5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,

Sīkāk

S-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā

S-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.

Sīkāk

1

1 . Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir

Sīkāk

EBA Guidelines on AMA changes and extensions

EBA Guidelines on AMA changes and extensions EBI pamatnostādnes par attīstīto mērīšanas pieeju (AMP) paplašināšana un izmaiņas (EBI/GL/2012/01) Londona, 2012. gada 6. janvāris EBI pamatnostādnes par attīstīto mērīšanas pieeju (AMP) paplašināšana

Sīkāk

5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a

5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a 5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta adatas Skolēna darba lapa M_11_LD_05_P1 Izloze Skolēna

Sīkāk

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu

Sīkāk

Matemātikas uzdevumu krājums 6. klasei / Zane Kūlaine/ Pelču speciālā internātpamatskola – attīstības centrs

Matemātikas uzdevumu krājums 6. klasei / Zane Kūlaine/ Pelču speciālā internātpamatskola – attīstības centrs 2 5.klases atkārtojums Vieni ir pirmās sķiras vienības; tos skaitlī raksta pirmajā vietā no labās puses. Desmiti ir otrās šķiras vienības; tos skaitlī raksta otrajā vietā no labās puses. Simti ir trešās

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Komandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ

Komandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas

Sīkāk

2019 QA_Final LV

2019 QA_Final LV 2019. gada ex-ante iemaksas Vienotajā noregulējuma fondā (VNF) Jautājumi un atbildes Vispārēja informācija par aprēķinu metodoloģiju 1. Kāpēc salīdzinājumā ar pagājušo gadu ir mainījusies aprēķinu metode,

Sīkāk

1020 SIA Knauf, Daugavas iela 4, Saurieši, Stopiņu nov., LV-2118, Latvija CPD Knauf Termo Plus M, ETA 10/0320 sask. ar ETAG 004 Nr.

1020 SIA Knauf, Daugavas iela 4, Saurieši, Stopiņu nov., LV-2118, Latvija CPD Knauf Termo Plus M, ETA 10/0320 sask. ar ETAG 004 Nr. 1020 SIA Knauf, Daugavas iela 4, Saurieši, Stopiņu nov., LV-2118, Latvija 10 1020 CPD 020-024918 Knauf Termo Plus M, ETA 10/0320 sask. ar ETAG 004 Nr. 0115 Knauf Termo Plus M Ārējās siltumizolācijas kombinētā

Sīkāk

Untitled

Untitled 1.pielikums Rīgas domes 2015.gada 15.decembra saistošajiem noteikumiem Nr.185 Lokālplānojums zemesgabaliem Kantora ielā 10 (kadastra Nr.01001062132, kadastra Nr.01001062134) Redakcija 1.1. Teritorijas

Sīkāk

1020 SIA Knauf, Daugavas iela 4, Saurieši, Stopiņu nov., LV-2118, Latvija CPD Knauf Termo Plus P, ETA 10/0390 sask. ar ETAG 004 Nr.

1020 SIA Knauf, Daugavas iela 4, Saurieši, Stopiņu nov., LV-2118, Latvija CPD Knauf Termo Plus P, ETA 10/0390 sask. ar ETAG 004 Nr. 1020 SIA Knauf, Daugavas iela 4, Saurieši, Stopiņu nov., LV-2118, Latvija 10 1020 CPD 020-024916 Knauf Termo Plus P, ETA 10/0390 sask. ar ETAG 004 Nr. 0115 Knauf Termo Plus P Ārējās siltumizolācijas kombinētā

Sīkāk

BABĪTES NOVADA PAŠVALDĪBAS DOME Reģ. Nr Centra iela 4, Piņķi, Babītes pagasts, Babītes novads, LV-2107 tālr , , fakss 67

BABĪTES NOVADA PAŠVALDĪBAS DOME Reģ. Nr Centra iela 4, Piņķi, Babītes pagasts, Babītes novads, LV-2107 tālr , , fakss 67 BABĪTES NOVADA PAŠVALDĪBAS DOME Reģ. Nr. 90000028870 Centra iela 4, Piņķi, Babītes pagasts, Babītes novads, LV-2107 tālr. 26120706, 67914650, fakss 67914435, e-pasts dome@babite.lv, www.babite.lv Babītes

Sīkāk

55repol_atr

55repol_atr 9 Pieskitot pierādāmās vienādīs L()+L()+L(3)=L(4) ām pusēm L(5)+L(6)+L(), iegūstm ekvivlentu vienādīu L()+L()=L(NM), ks cīmredzmi izriet no trijstūr un prlelogrm lukumu formulām L = h un L=h 9 ) =7, =7

Sīkāk

APSTIPRINĀTS

APSTIPRINĀTS APSTIPRINĀTS ar Sabiedrisko pakalpojumu regulēšanas komisijas padomes 2007.gada 12.decembra lēmumu Nr.592 Elektroenerģijas tarifu aprēķināšanas metodika saistītajiem lietotājiem Izdota saskaņā ar Elektroenerģijas

Sīkāk

OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v

OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr.4313900189, Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr.65035929, fakss 65022206, e-pasts: ogres1vsk@ogresnovads.lv, www.ogres1v.lv Iekšējie noteikumi

Sīkāk

Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a

Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.

Sīkāk

OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v

OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr , Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr , fakss , e-pasts: ogres1v OGRES NOVADA PAŠVALDĪBA OGRES 1.VIDUSSKOLA Reģ.Nr.4313900189, Zinību iela 3, Ogre, Ogres nov., LV-5001 Tālr.65035929, fakss 65022206, e-pasts: ogres1vsk@ogresnovads.lv, www.ogres1v.lv Izglītojamo mācību

Sīkāk

Kas ir birža un kā tā strādā?

Kas ir birža un kā tā strādā? BIRŽA- GREZNĪBA VAI TOMĒR NEPIECIEŠAMĪBA? PAR MUMS 2 Group Lielākā biržu grupa pasaulē. Pārstāvēta 6 kontinentos. Grupas biržās kotētas vairāk kā 3 300 kompānijas no 50 valstīm. Piemēram: Pasaulē ātrākā

Sīkāk

R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis

R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā

Sīkāk

NewFeaturesAxisVM X5-LVcKK.pages

NewFeaturesAxisVM X5-LVcKK.pages AxisVM X5 jaunās iespējas VISPĀRĪGĀS IESPĒJAS Ērti mērogojamas slodžu veidu un kombināciju izvēlnes gala komponentu un gala skata veidu izvēlnes galvenajā logā un projektēšanas dialoglogos Pielāgojami

Sīkāk

PRECIZĒTĀ NOLIKUMA REDAKCIJA

PRECIZĒTĀ NOLIKUMA REDAKCIJA Iepirkuma līgums Nr. 3.12.12/2018/7 15.06.2018. Latviešu valodas aģentūra, reģistrācijas Nr. 90009113250, juridiskā adrese: Lāčplēša iela 35-5, Rīga, LV-1011, tās direktora Jāņa Valdmaņa personā, kurš

Sīkāk

PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM

PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM JĀ Ņ A FO M IN A sakārtojums Krājumā «Matem ātikas formulas» sakopotas daudzas elementārās matemātikas un augstākās matemātikas formulas. Krājums galvenokārt paredzēts tiem,

Sīkāk

Lieta Nr

Lieta Nr ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A420687310 143/AA43-0685-13/8 Rīgā 2013.gada 21.maijā Administratīvā apgabaltiesa šādā sastāvā: tiesnese referente I.Kaļiņina, tiesnese

Sīkāk

lemums_Julas_Mazas_Juglas_DP

lemums_Julas_Mazas_Juglas_DP RĪGAS PILSĒTAS BŪVVALDE Reģistrācijas Nr.LV90002719440, Amatu iela 4, Rīga, LV-1050, tālrunis 67105800, fakss 67012805 e-pasts: buvvalde@riga.lv, www.rpbv.lv Rīgā 18.07.2014. Nr. BV-14-8692-nd Uz Uz 02.12.2013.

Sīkāk

COM(2014)520/F1 - LV (annex)

COM(2014)520/F1 - LV (annex) EIROPAS KOMISIJA Briselē, 23.7.2014. COM(2014) 520 final ANNEXES 1 to 3 PIELIKUMI dokumentam KOMISIJAS PAZIŅOJUMS EIROPAS PARLAMENTAM UN PADOMEI Energoefektivitāte un tās ieguldījums enerģētiskajā drošībā

Sīkāk

University of Latvia Faculty of Physics and Mathematics Department of Mathematics Dissertation Fuzzy matrices and generalized aggregation operators: t

University of Latvia Faculty of Physics and Mathematics Department of Mathematics Dissertation Fuzzy matrices and generalized aggregation operators: t University of Latvia Faculty of Physics and Mathematics Department of Mathematics Dissertation Fuzzy matrices and generalized aggregation operators: theoretical foundations and possible applications by

Sīkāk

Atalgojuma politika un prakse gadā Atalgojuma politika un prakse gadā Informācija ir sagatavota saskaņā ar Eiropas Parlamenta un Padomes r

Atalgojuma politika un prakse gadā Atalgojuma politika un prakse gadā Informācija ir sagatavota saskaņā ar Eiropas Parlamenta un Padomes r Informācija ir sagatavota saskaņā ar Eiropas Parlamenta un Padomes regulas (ES) Nr. 575/2013 (2013. gada 26. jūnijs) par prudenciālajām prasībām attiecībā uz kredītiestādēm un ieguldījumu brokeru sabiedrībām,

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Vērtības cilvēka dzīvē. Pētniecība. Praktiskais pielietojums profesionālajā darbībā. Sintija Vaska Bc.psych. Pētnieciskās intereses Petroviča, S. (2016). Vērtību saistība ar izdegšanu palīdzošo profesiju

Sīkāk

A.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS

A.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,

Sīkāk

O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri

O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri O.Lauce ARITMĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI FORMULAS PIEMĒRI O lg a L a u c e ARITM ĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI, FORMULAS, PIEMĒRI

Sīkāk

VALMIERA šodien

VALMIERA šodien Valmieras daudzdzīvokļu dzīvojamo māju renovāciju ieguvumi. IA VALMIERAS NAMSAIMNIEKS 2016.gada 23.februāris Daudzdzīvokļu dzīvojamās mājas Valmierā Apsaimniekošanā nodoto privatizēto māju skaits Valmierā

Sīkāk

Folie 1

Folie 1 Priekšnosacījumi un izaicinājumi modernai koka būvniecībai Latvijā Andrejs Domkins Meža un koksnes produktu pētniecības un attīstības institūts SIA (MeKA) Koks ir izcils konstrukciju materiāls 100 m 190

Sīkāk

Pamatnostādnes Pamatnostādnes par stresa testa scenārijiem atbilstoši NTF regulas 28. pantam 21/03/2018 ESMA LV

Pamatnostādnes Pamatnostādnes par stresa testa scenārijiem atbilstoši NTF regulas 28. pantam 21/03/2018 ESMA LV Pamatnostādnes Pamatnostādnes par stresa testa scenārijiem atbilstoši NTF regulas 28. pantam 21/03/2018 ESMA34-49-115 LV Satura rādītājs 1 Piemērošanas joma... 3 2 Mērķis... 4 3 Ievērošanas un ziņošanas

Sīkāk

Liguma paraugs 2

Liguma paraugs 2 1.pants Līguma priekšmets 1.1. Saskaņā ar šī līguma noteikumiem pasūtītājs uzdod, un uzņēmējs uzņemas saistības veikt pasūtītājam objektā darbus, kas noteikti šajā līgumā, t.i. - pamatojoties uz tehnisko

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Piegādātāju iesaistīšana pirms iepirkuma izsludināšanas neizmantotās iespējas un riski Iepirkumu Gada balva 2017 Māra Stabulniece, zvērināta advokāte IGAUNIJA LATVIJA LIETUVA Rīga, 2018.gada 18.janvāris

Sīkāk

LĪGUMS PAR BĪSTAMO ATKRITUMU APSAIMNIEKOŠANU

LĪGUMS PAR BĪSTAMO ATKRITUMU APSAIMNIEKOŠANU LĪGUMS PAR BĪSTAMO ATKRITUMU APSAIMNIEKOŠANU Nr. BAO/ / AS "BAO" LR VR Nr. 40003320069 PVN reģ. Nr. LV40003320069 Norēķinu konts: A/S Swedbank HABALV22 LV85HABA0551010750161 JURIDISKĀ UN FAKTISKĀ ADRESE:

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Biznesa plāna sagatavošana, nauda plūsmas plānošana IZGĀZIES PLĀNS? Biznesa plāns Kāpēc ir vajadzīgs biznesa plāns? - lai finansētājs (banka) spētu izvērtēt riskus saimnieciskās darbības attīstībā; -

Sīkāk

IEPIRKUMA LĪGUMS Nr. SKUS 565/17 par Paula Stradiņa klīniskās universitātes slimnīcas A korpusa II kārtas būvprojekta izstrādi un autoruzraudzības vei

IEPIRKUMA LĪGUMS Nr. SKUS 565/17 par Paula Stradiņa klīniskās universitātes slimnīcas A korpusa II kārtas būvprojekta izstrādi un autoruzraudzības vei IEPIRKUMA LĪGUMS Nr. SKUS 565/17 par Paula Stradiņa klīniskās universitātes slimnīcas A korpusa II kārtas būvprojekta izstrādi un autoruzraudzības veikšanu Rīgā, 2017. gada 28. augustā Valsts sabiedrība

Sīkāk

Produkta nosaukums

Produkta nosaukums Latvijas Brīvo arodbiedrību savienības un tās dalīborganizāciju publicitātes pārskats 0.gada janvāris decembris Publicitātes pārskats sagatavots Eiropas Sociālā fonda (ESF) projekta nr. DP/.../08/IPIA/NVA/00

Sīkāk

Pielikums Nr

Pielikums Nr Liepājā, Iepirkuma līgums 3/01/2017 2017.gada 12.janvārī. VSIA Liepājas simfoniskais orķestris, reģistrācijas nr.42103049403, Radio iela 8, Liepāja, LV-3401, turpmāk tekstā - Pasūtītājs, tās valdes locekļa

Sīkāk

Microsoft Word - 5_Mehaniskaas_iipash-3.doc

Microsoft Word - 5_Mehaniskaas_iipash-3.doc 5.3.11. ĶERMEŅU SAGRŪŠANA: PLASTISKĀ UN TRAUSLĀ SAGRŪŠANA Pietiekami lielu spriegumu gadījumā attālumi, kuros struktūrvienības pārvietojas var pārsniegt saišu darbības rādiusu r S. Saites sabrūk, kā rezultātā

Sīkāk

Microsoft Word - Lekcija_Nr3.doc

Microsoft Word - Lekcija_Nr3.doc INFORMĀCIJAS MEKLĒŠANA Jebkuru pētniecības darbu uzsākot, pētniekam ir jāiepazīstas ar informāciju par risināmo jautājumu, t.i., pēc iespējas pilnīgi jāizstudē pieejamā literatūra, kas attiecas uz izraudzīto

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Mācību satura un pieejas piedāvājums: aktualitātes, sabiedriskā apspriešana LPS, 2018.gada 17.aprīlī GUNTARS CATLAKS, VISC vadītājs Daudzviet pasaulē un arī Latvijā izpratne par to, kādas zināšanas un

Sīkāk

11

11 LR 12.Saeimas deputāts, profesors Kārlis Krēsliņš PĀRDOMAS UN KOMENTĀRI PAR BUDŽETU - 2016 22.08.2015. IEVADS. Budžeta veidošanas laikā, diskusijas bieži aiziet tikai par atsevišķām nozarēm. Pirms budžetu

Sīkāk

Microsoft Word - Papildmaterials.doc

Microsoft Word - Papildmaterials.doc SATURS DARBĪBAS AR DARBGRĀMATAS LAPĀM... 2 1.1. Pārvietošanās pa lapām...2 1.2. Lapas nosaukuma maiņa...3 1.3. Jaunas darblapas pievienošana...3 1.4. Lapas pārvietošana un dublēšana, lietojot peli...4

Sīkāk

Racionāls finanšu plūsmas plānošana izglītības finansēšanā novadā un reģionā. Izglītības iestāžu sadarbība.

Racionāls finanšu plūsmas plānošana izglītības finansēšanā novadā un reģionā.  Izglītības iestāžu sadarbība. Racionālas finanšu plūsmas plānošana izglītības finansēšanā novadā un reģionā. Izglītības iestāžu sadarbība. Valdis Bārda Alojas novada domes priekšsēdētājs 22.04.2016, Zaļenieki Budžets 1762635 EUR jeb

Sīkāk

Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem

Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai semināra modulī tiek paplašināta uzdevuma funkcionalitāte.

Sīkāk

TEHNISKĀ SPECIFIKĀCIJA Endoskopijas kabineta aprīkojumam jābūt jaunam, ražotam 2018.gadā, kurš savienojams ar slimnīcā esošo videoendoskopu GIF-Q165 u

TEHNISKĀ SPECIFIKĀCIJA Endoskopijas kabineta aprīkojumam jābūt jaunam, ražotam 2018.gadā, kurš savienojams ar slimnīcā esošo videoendoskopu GIF-Q165 u TEHNISKĀ SPECIFIKĀCIJA Endoskopijas kabineta aprīkojumam jābūt jaunam, ražotam 2018.gadā, kurš savienojams ar slimnīcā esošo videoendoskopu GIF-Q165 un videokolonoskopu CF-Q165. Nr. p.k. Tehniskie parametri

Sīkāk

Microsoft Word - kn817p3.doc

Microsoft Word - kn817p3.doc Vides ministrijas iesniegtajā redakcijā 3.pielikums Ministru kabineta 2008.gada 30.septembra noteikumiem Nr.817 Projekta iesnieguma veidlapa Eiropas Reģionālās attīstības fonda projekta iesnieguma veidlapa

Sīkāk

APSTIPRINĀTS

APSTIPRINĀTS APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa

Sīkāk

Rīgā gada. jūnijā 1. PAPILDU VIENOŠANĀS Nr. LB-07/2017/ gada 2. maija līgumam Nr. LB-07/2017/177 Par būvdarbiem, grīdas konstrukcijas u

Rīgā gada. jūnijā 1. PAPILDU VIENOŠANĀS Nr. LB-07/2017/ gada 2. maija līgumam Nr. LB-07/2017/177 Par būvdarbiem, grīdas konstrukcijas u Rīgā 2017. gada. jūnijā 1. PAPILDU VIENOŠANĀS Nr. LB-07/2017/269 2017. gada 2. maija līgumam Nr. LB-07/2017/177 Par būvdarbiem, grīdas konstrukcijas un seguma nomaiņu un starpsienas skaņas izolācijas uzlabošanu,

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Sociālās rehabilitācijas un institūcijām alternatīvu sociālās aprūpes pakalpojumu attīstība reģionos otrās kārtas otrā apakškārta 2011.gada maijs Nodarbinātības valsts aģentūras

Sīkāk

Microsoft Word - kompozicija.doc

Microsoft Word - kompozicija.doc Ulbrokas Mūzikas un mākslas skola profesionālās ievirzes izglītības programma Vizuāli plastiskā māksla Mācību priekšmeta Kompozīcija programma 1. Mērķi: 1.1 veicināt izglītojamā māksliniecisko, intelektuālo

Sīkāk

suvenīru katalogs

suvenīru katalogs SUVENĪRU KATALOGS DOD IESPĒJU CITĀDĀKĀM DĀVANĀM! KĀPĒC DOT PRIEKŠROKU MŪSU PIEDĀVĀJUMAM? ORIĢINĀLI UN CITĀDI! PALIEC VĒL ILGI SAŅĒMĒJA PRĀTĀ! RADĪTS TEPAT LATVIJĀ! Ienes pārmaiņas uzņēmumā ar oriģinālām

Sīkāk

EKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA EĪD Nr CPR-M 561-7/11.14-LV 1. Unikālais izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Fix Master Toge skrūve bet

EKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA EĪD Nr CPR-M 561-7/11.14-LV 1. Unikālais izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Fix Master Toge skrūve bet EKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA EĪD Nr. 1343-CPR-M 561-7/11.14-LV 1. Unikālais izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Fix Master Toge skrūve betonam, TSM, augstas ekspluatācijas 2. Tipa, partijas

Sīkāk

Rēzeknes novada pašvaldības 2012.gada konsolidētā pamatbudžeta un speciālā budžeta izpilde Atbilstoši spēkā esošajiem normatīvajiem aktiem Rēzeknes no

Rēzeknes novada pašvaldības 2012.gada konsolidētā pamatbudžeta un speciālā budžeta izpilde Atbilstoši spēkā esošajiem normatīvajiem aktiem Rēzeknes no Rēzeknes novada pašvaldības 2012.gada konsolidētā pamatbudžeta un speciālā budžeta izpilde Atbilstoši spēkā esošajiem normatīvajiem aktiem Rēzeknes novada pašvaldības budžets ir iedalīts pamatbudžetā,

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Rīgas Tehniskās universitātes Ģeomātikas katedra LU 77. SZK sekcija «Ģeodinamika un ģeokosmiskie pētījumi 2019» Jānis Kaminskis, Mārtiņš Reiniks, Anete Kiopa 22.03.2019. 1 Atrašanās vieta 2 56 56'39.3"N

Sīkāk

series_155

series_155 RAILING SERIES 155 RIPO fabrika SIA Hanzas Street 2, Pinki, Babite district, LV 2107, Latvia 155 Alumīnija margu sērija Aluminum railing series AL.01 AL.02 AL.03 AL.04 AL.05 AL.06 AL.07 AL.08 AL.09 155

Sīkāk

Pētījums Nr Datu avotu analīzes un sasaistes rīks Līgums Nr. L-KC Testēšanas rezultātu apraksts Vadošais pētnieks Zinātniskā virziena v

Pētījums Nr Datu avotu analīzes un sasaistes rīks Līgums Nr. L-KC Testēšanas rezultātu apraksts Vadošais pētnieks Zinātniskā virziena v Pētījums Nr. 1.16. Datu avotu analīzes un sasaistes rīks Līgums Nr. L-KC-11-0003 Testēšanas rezultātu apraksts Vadošais pētnieks Zinātniskā virziena vadītāja Atis Kapenieks Renāte Strazdiņa Rīga, 2013

Sīkāk

LU 68 Fizikas sekcija DocBook

LU 68 Fizikas sekcija DocBook Vispārizglītojošās e-fizikas materiālu augstas kvalitātes noformējuma izstrāde, izmantojot DocBook un LaTeX tehnoloģijas Arnis Voitkāns LU 68. konferences Fizikas didaktikas sekcija 5.02.2010. Kas ir augstas

Sīkāk

Microsoft Word - 6.pielikums.Priekšlikumi un institūciju atzinumi

Microsoft Word - 6.pielikums.PriekÅ¡likumi un institÅ«ciju atzinumi Atzinuma /iesnieguma iesniedzējs Inese Silamiķele Pēteris Strancis Arhitekts, Mag.geogr., Jaunciema gatves 47b iedzīvotājs Dabas aizsardzības pārvalde Atzinuma /Iesnieguma Nr., datums Epasta priekšlikums

Sīkāk