Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju

Transkripts

1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju gads

2 Saturs 2 1. Veidotājfunkciju metode Pamatfakti Definīcijas Teilora rindas Vairāku argumentu veidotājfunkcijas Veidotājfunkciju pielietojumi kombinatorikā Rekurento sakarību risināšana Veidotājfunkciju konstruēšana skaitīšanas mērķiem Operācijas ar veidotājfunkcijām un to kombinatoriskā interpretācija Summa Reizinājums Virknes Apakškopu kopas veidotājfunkcija Iezīmēšana Daži triki

3 2. 5.mājasdarbs Obligātie uzdevumi Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 22 Lekcijas mērķis: apgūt veidotājfunkciju metodes pamatus. Lekcijas kopsavilkums: kombinatorikas uzdevumus var risināt izmantojot veidotājfunkcijas. Svarīgākie jēdzieni: veidotājfunkcija, eksponenciāla veidotājfunkcija, kombinatoriskā klase, veidotājfunkciju summa un reizinājums, Katalāna skaitļi. Svarīgākie fakti un metodes: skaitošo veidotājfunkciju konstruēšana, veidotājfunkciju summas un reizinājuma kombinatoriskā interpretācija, virkņu kopas, apakškopu veidotājfunkcijas atrašana, iezīmēto objektu kopas veidotājfunkcija. 3

4 1. Veidotājfunkciju metode Pamatfakti Definīcijas Veidotājfunkcija ir matemātiska konstrukcija, kas kompaktā veidā satur informāciju par doto kombinatorikas uzdevumu kopumā. Ja ir dota skaitļu virkne {a n } n n0 (piemēram, kādas diskrētu objektu klases {A n } skaitošā funkcija), tad A(x) = a n x n - veidotājfunkcija n=n 0 A exp (x) = ( an ) x n - eksponenciālā veidotājfunkcija. n=n 0 n! Divas veidotājfuncijas sauksim par vienādām jeb formāli vienādām, ja attiecīgie koeficienti pie vienādām argumenta pakāpēm ir vienādi.

5 Ja ir dota veidotājfunkcija A(x), tad ar [x n ]A(x) apzīmē tās koeficientu pie x n Teilora rindas Veidotājfunkcija A(x) var tikt interpretēta kā Teilora rinda punkta x = 0 apkārtnē. Ja ir iespējams, veidotājfunkciju ir jāmēǧina pierakstīt elementāras funkcijas veidā. Veidotājfunkcijas konverǧence vai konverǧences rādiuss klasiskajā nozīmē parasti kombinatorikā nespēlē izšķirošo lomu. Ja f(x) ir bezgalīgi daudzas reizes atvasināma funkcija un kādā punkta x = 0 apkārtnē var tikt izvirzīta pakāpju rindā f(x) = n 0 a n x n = a n = f (n) (0). n! Izmantojot Teilora rindu teoriju virknes veidotājfunkciju var identificēt ar tās kompakto pierakstu elementāras funkcijas veidā.

6 Vairāku argumentu veidotājfunkcijas Veidotājfunkcijas ideju var vispārināt uz virknēm, kas ir atkarīgas no vairākiem indeksiem. Ja ir dota skaitļu virkne {a i1,...,i n } ij N, kas ir atkarīga no n naturāliem indeksiem, tad formālu pakāpju rindu A(x 1,..., x n ) = i 1 >0,...,i n >0 a i1,...,i n x i1 1...xi k n sauksim par virknei atbilstošo daudzargumentu veidotājfunkciju piemērs. 1 y xy = 1 1 (1 + x)y = 1+(1+x)y+(1+x)2 y = (1 + x) n y n = ( n Cn m x m )y n. n 0 n 0 m=0

7 1.2. Veidotājfunkciju pielietojumi kombinatorikā Rekurento sakarību risināšana Rekurento sakarību risināšana, izmantojot veidotājfunkcijas, parasti notiek pēc šāda algoritma: 1) rekurentās sakarības un sākuma nosacījumi tiek pārveidoti nosacījumos, kurus apmierina veidotājfunkcijas; 2) tiek atrastas veidotājfunkcijas vai izdarīti iespējamie secinājumi par to dabu; 3) izmantojot Teilora rindu teoriju, tiek atrasti veidotājfunkciju koeficienti piemērs. Lineāru rekurentu sakarību risināšana ar veidotājfunkciju metodi. 7

8 Veidotājfunkciju konstruēšana skaitīšanas mērķiem Kombinatorikas uzdevumi var tikt risināti izmantojot veidotājfunkcijas, vadoties pēc šāda algoritma: 1. tiek konstruēta veidotājfunkcija A(x), kuras koeficientus a n var interpretēt kā dotā kombinatorikas uzdevuma atrisinājumus; 2. veidotājfunkcija A(x) tiek pārveidota un/vai vienkāršota; 3. koeficienti a n tiek atrast izmantojot, piemēram, Teilora rindu teoriju piemērs. Ko skaita funkcija (1 + x + x 2 + x )(1 + x + x 2 )? Atverot iekavas, locekļi ir formā x a 1 x a 2 = x a 1+a 2, kur 0 a 1, 0 a 2 3. Seko, ka koeficients pie x n ir vienādojuma a 1 + a 2 = n veselu atrisinājumu skaits, kur 0 a 1, 0 a piemērs. 20 identiski datori tiek sadalīti pa 5 istabām tā, ka katrā istabā ir vismaz 2 un ne vairāk kā 7 datori. Cik veidos to var

9 9 izdarīt? Skaitošā veidotājfunkcija ir Jāatrod koeficients pie x 20. (x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ) piemērs. Sadalījumu skaita p(n) veidotājfunkcija ir (1 + x + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x ) = i x i. Reizinājuma saskaitāmie pēc iekavu atvēršanas ir formā x a 1 x 2a 2 x 3a 3... Koeficients pie x n ir vienādojuma a 1 + 2a 2 + 3a = n atrisinājumu skaits naturālos skaitļos - n sadalījumu skaits naturālu skaitļu summā piemērs. Apzīmēsim ar q(n) naturāla skaitļa n sadalījumu skaitu summās ar dažādiem naturāliem saskaitāmiem. q(n) veidotājfunkcija

10 10 ir (1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 3 )... = i 1(1 + x i ) Operācijas ar veidotājfunkcijām un to kombinatoriskā interpretācija No diskrētu objektu saimēm jeb kombinatoriskajām klasēm var konstruēt citu, sarežǧītāku diskrētu objektu saimes, veicot kopu teorētiskās un citas operācijas. Lai skaitītu šādus jaunizveidotus objektus, var mēǧināt veikt tādas operācijas ar veidotājfunkcijām, kas iekodē operācijas ar skaitāmajiem objektiem. Operācijas ar veidotājfuncijām var būt ar algebrisku vai analītisku raksturu. Tālāk mēs izmantosim kombinatorisko klašu terminoloǧiju: kombinatoriskā klase - A = {A n },

11 ja a A n, tad teiksim, ka objekta a izmērs a ir vienāds ar n, par kombinatoriskās klases A skaitošo virkni sauksim virkni {a n } = { A n }, objekti sastāv no atomiem, visbiežāk atomi ir kopu elementi, simboli u.c Summa Divu veidotājfunkciju summu definē šādi: ( a n x n) ( + b n x n) = (a n + b n )x n. n 0 n 0 n 0 Ja ir dotas divas kombinatoriskās klases A = {A n }, B = {B n }, kurām izpildās nosacījums A B =, tad par to summu sauksim

12 12 klasi C = A B. Par objekta c C izmēru sauksim tā izmēru sākotnējā klasē. = C n = A n + B n, = C(x) = C n x n = n + B n )x n 0 n 0( A n = A(x) + B(x). Veidotājfunkciju summa skaita kombinatorisko klašu apvienojuma objektus Reizinājums Divu veidotājfunkciju reizinājumu definē kā pakāpju rindu formālu reizinājumu, atverot iekavas: ( a n x n) ( b n x n) = c n x n, kur c n = n a i b n i. i=0 n=0 n=0 n=0

13 13 Ja ir dotas divas kombinatoriskās klases A = {A n }, B = {B n }, tad par to reizinājumu sauksim klasi C = A B. Par objekta c = (a, b) C izmēru sauksim lielumu c = a + b. Redzam, ka saskaņā ar reizināšanas un summas likumu n C n = A 0 B n + A 1 B n A n B 0 = A i B n i, tāpēc C(x) = ( C n x n = A n x n) ( B n x n) = A(x)B(x). n 0 n 0 n 0 i=0

14 Veidotājfunkciju reizinājums skaita kombinatorisko klašu reizinājuma objektus piemērs. Katalāna skaitļi C n. Cik veidos var triangulēt (sadalīt trijstūros ar diagonālēm, tā lai tās nekrustotos) n + 2-stūri (fiksētu)? 14 Definēsim C 0 = 1, C 1 = 1. Redzam, ka C 2 = 2, C 3 = 5. Pierādīsim, ka visiem n 1 izpildās rekurenta sakarība n 1 C n = C k C n 1 k. k=0 n = 1 = vienādība izpildās: C 1 = 1 = C 0 C 0. n = 2 = vienādība izpildās: C 2 = 2 = C 0 C 1 +C 1 C 0 = 1+1 = 2. n ir patvaļīgs = fiksēsim vienu n + 2-stūra malu. Ievērosim šādus faktus: šī mala ir viena no kāda trijstūra T malām,

15 visa triangulācija sastāv no sakārtotas virknes (X 1, T, X 2 ), kur X 1 ir kāda triangulācija k+2-stūrim un X 2 ir kāda triangulācija n + 1 k-stūrim (skaitām atlikušās virsotnes), 0 k n 1, kopējais triangulāciju skaits ar fiksētu k + 2 ir vienāds ar C k C n 1 k, kopējais triangulāciju skaits C n saskaņā ar summas likumu ir vienāds ar n 1 C k C n 1 k. k=0 Apskatīsim atbilstošo veidotājfunkciju C(x) = n 0 C n x n. 15 Salīdzināsim veidotājfunkcijas C(x) un C 2 (x).

16 16 Redzam, ka C 2 (x) = (C 0 + C 1 x + C 2 x )(C 0 + C 1 x + C 2 x ) = (C 0 C 0 ) + (C 0 C 1 + C 1 C 0 )x + (C 0 C 2 + C 1 C 1 + C 2 C 0 )x = C 1 + C 2 x + C 3 x = C 2 (x)x + 1 = C(x). Atrisinot attiecībā uz C(x), iegūstam C(x) = 1 ± 1 4x. 2x Jāņem mīnus zīme. Tālāk izvirzām Teilora rindā un iegūstam, ka C n = 1 n + 1 Cn 2n Virknes Apzīmēsim ar E kombinatorisku klasi, kurai ir tikai viens elements ar izmēru 0 (tukšā objekta klase).

17 Ir dota kombinatoriska klase A, kurai A 0 =. Tās elementu virkņu kopa SEQ(A) ir izsakāma veidā SEQ(A) = E A A 2 A 3... Redzam, ka SEQ(A) veidotājfunkcija SA(x) ir vienāda ar 1 + A(x) + A 2 (x) +... = 1 1 A(x) piemērs. A = A 1 un A 1 = n. Tad A(x) = nx un SA(x) = 1 1 nx Apakškopu kopas veidotājfunkcija Ir dota kombinatoriska klase A. Tās elementu apakškopa kopa PSET(A) ir izsakāma veidā PSET(A) = ( + {a 1 }) ( + {a 2 })... = a A( + {a})

18 18 ( elementu a var vai nu iekļaut vai arī neiekļaut apakškopā). Redzam, ka PSET(A) veidotājfunkcija P A(x) ir vienāda ar + x a A(1 a ) = (1 + x n ) a n. n Iezīmēšana Veidotājfunkcijas atvasināšana tiek definēta šādi: ( a n x n) = a n nx n 1. n=0 Ir dota kombinatoriska klase A. Tās iezīmēto objektu klase B = Θ(A) ir klase, kuras elementi ir A elementi ar vienu iezīmētu atomu. n=0 Iezīmēt vienu atomu objektam a A n nozīmē uzdot pāri (a, i), kur i {1,..., n} ir iezīmētā atoma kārtas numurs fiksēta atomu sakārtojumā. = B n = n A n = B(x) = xa (x).

19 1.9. piemērs. Cik veidos no n elementu kopas var izvēlēties komandu un treneri (treneris var būt arī komandas loceklis). Bināru virkņu terminos - cik ir bināru virkņu ar garumu n un vienu iezīmētu elementu? Atradīsim meklējamās virknes veidotājfunkciju. Zinām, ka bināru virkņu skaita veidotājfunkcija ir A(x) = 1 1 2x, tāpēc meklējamā veidotājfunkcija ir ( B(x) = x 1 1 2x ) = 2x (1 2x) Daži triki Atzīmēsim vēl dažus lietderīgus trikus, kurus izmanto darbā ar veidotājfunkcijām:

20 20 A(x) A(x) a n x n - n-tā koeficienta anulēšana, iegūstam virkni (a 0, a 1,..., a n 1, 0, a n+1,...); A(x) A(x 2 ) - koeficientu izretināšana, iegūstam virkni (a 0, 0, a 1, 0,...); A(x) A(x) a 0 - koeficientu nobīde negatīvajā virzienā par x vienu vienību, iegūstam virkni (a 1, a 2,...); x A(x) A(t)dt - koeficientu dalīšana ar naturāliem skaitļiem, 0 iegūstam virkni (0, a 1 /2, a 2 /3,...);

21 2. 5.mājasdarbs Obligātie uzdevumi 5.1 Atrast veidotājfunkciju augļu kopu skaitam, kas satur ābolus, apelsīnus, mandarīnus un banānus (katras šķirnes augļi ir neatšķirami), ja ābolu skaits ir nepara skaitlis, apelsīnu skaits ir pāra skaitlis, mandarīnu skaits ir starp 3 un 8, ir vismaz viens banāns. 5.2 Atrast, cik veidos var izmainīt n santīmus izmantojot neierobežotu skaitu Latvijā 2013.gadā piejamo monētu (pastāv 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 santīmu monētas). 5.3 Atrast veidotājfunkciju virknei {b n }, ja veidotājfunkcija virknei {a n } ir zināma un ir spēkā sakarība b n = a n+1 a n. 5.4 Apzīmēsim ar a n visu iespējamo virkņu (bez atkārtojumiem, ieskaitot tukšo virkni) skaitu, kuras var izveidot no n-kopas elementiem, definēsim a 0 = 1. Pierādiet, ka ir spēkā rekurenta

22 22 sakarība a n = na n 1 + 1, atrodiet virknes {a n } eksponenciālo veidotājfunkciju Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 5.5 Pieņemsim, ka A(x) ir veidotājfunkcija ar konstanto locekli 1. Pierādīt, ka eksistē A(x) inversā veidotājfunkcija - veidotājfunkcija B(x) tāda, ka A(x)B(x) = 1 un atrast rekurento sakarību inversās veidotājfunkcijas koeficientiem. 5.6 Definēsim harmoniskos skaitļus ar šādiem nosacījumiem: n 1 h 0 = 0, h n = i. Pierādīt, ka harmoniskie skaitļi apmierina šādas rekurentas sakarības visiem n 1: i=1

23 (a) (b) n h i = (n + 1)(h n+1 1), i=1 n ih i = Cn+1(h 2 n ), i=1 n (c) Ci kh i = Cn+1 k+1 (h n+1 1 i=1 k + 1 ). Pierādīt, ka harmonisko skaitļu virknes veidotājfunkcija ir vienāda ar 1 ( 1 ) 1 x ln. 1 x 23