Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
|
|
- Edīte Celms
- pirms 4 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju gads
2 Saturs 2 1. Algebriskās operācijas Operācijas un algebras Apakšalgebras Slēgums Veidotājelementi Algebru morfismi un izomorfisms Binārās operācijas Ievads Bināro operāciju speciālgadījumi Grupoīdu elementi ar speciālām īpašībām Multiplikatīvais un aditīvais pieraksts Svarīgāko algebrisko struktūru pārskats Asociatīvie grupoīdi Gredzeni Moduļi
3 3.4. Režǧu tipa struktūras Kategorijas Algebras pētījumu virzieni Struktūras pētīšana Morfismu pētīšana Klasifikācija Reprezentāciju teorija Universālā algebra mājasdarbs Obligātie uzdevumi Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 33 3
4 4 Lekcijas mērķis: apgūt algebrisko struktūru teorijas pamatjēdzienus. Lekcijas kopsavilkums: vispārinot dažādas matemātiskas aktivitātes var definēt vairāku tipu algebriskas struktūras. Svarīgākie jēdzieni: n-āra operācija, algebriska struktūra, slēgta kopa, apakšalgebra, slēgums, veidotājsistēma, morfisms, izomorfisms, bināra operācija, asociatīva operācija, komutatīva operācija, vienības elements, invertējams elements, multiplikatīvais pieraksts, aditīvais pieraksts, pusgrupa, monoīds, grupa, gredzens, lauks, modulis, režǧis, kategorija. Svarīgākie fakti un metodes: slēguma īpašības, asociatīvas operācijas pielietošanas neatkarība no kārtības, vienības elementu un invertējamu elementu īpašības.
5 1. Algebriskās operācijas Operācijas un algebras Bieži vien kopās, ar kurām nākas sastapties pielietojumos, ir uzdoti pārveidojumi, kas diviem vai vairākiem kopas elementiem piekārto kādu šīs kopas elementu piemērs. Kopu operācijas, funkciju kompozīcija, aritmētiskās operācijas. Ir lietderīgi pētīt šādus pārveidojumus abstraktā veidā (neatkarīgi no kopu un pārveidojumu dabas), ar to nodarbojas matemātikas nozare - algebra piezīme. Termins algebra tiek lietots trijās nozīmēs: visa algebrisko struktūru teorija, kopa ar operācijām,
6 6 noteikta veida struktūra. A - kopa. Funkciju µ : A n A, (a 1,..., a n ) µ(a 1,..., a n ) sauc par n-āru operāciju, kas uzdota kopā A, n 1. Citiem vārdiem - n-āra operācija piekārto n elementus garai sakārtotai A elementu virknei (a 1,..., a n ) (operandiem) kādu kopas elementu µ(a 1,..., a n ) (operācijas rezultātu). Speciālgadījumi: n = 1 - unāra operācija, n = 2 - bināru operācija, n = 3 - ternāra operācija.
7 Par 0-āru operāciju (konstanti) kopā A sauc funkciju ν : { } A. Var domāt, ka 0-āra operācija definē vienu A elementu. 7 Ja ir dota kopa A un tās operāciju kopa Σ = {µ 1,..., µ l }, kur µ i : A n i A, tad pāri (A, Σ) sauc par algebrisku struktūru (algebru, Σ-algebru), kopu {n 1,..., n l } sauc par tās tipu un kopu Σ - par signatūru. Operācijas var uzdot šādos veidos: pārskaitot operācijas rezultātus visām operandu iespējām, ja kopa A ir galīga un pietiekoši maza (Kēli tabulas, operāciju tabulas), uzdodot operāciju ar tās raksturīgo īpašību vai aprēķināšanas procedūru, kā tas ir, piemēram, aritmētisko operāciju gadījumā.
8 1.2. Apakšalgebras Dota kopa A, S A un n-āra operācija µ. 8 S sauc par slēgtu attiecībā uz µ elementu virknei (s 1,..., s n ) S n izpildās µ(s 1,..., s n ) S. Ja ir dota algebra (A, Σ), tad apakškopu S, kas ir slēgta attiecībā uz visām operācijām sauc par Σ-apakšalgebru vai vienkārši apakšalgebru (S A) piemērs. Apakšalgebru piemēri: A = R reālie skaitļi ar operācijām +,. Racionālie skaitļi - apakšalgebra. A = F un(r, R) (viena reāla argumenta funkcijas), operācijas - saskaitīšana, reizināšana, atvasināšana, apakšalgebras - polinomi, racionālas funkcijas, elementārās funkcijas.
9 1.3. Slēgums Ir dota algebra (A, Σ) un tās apakškopa X. Definēsim Σ(X) = X µ(a 1,..., a n ). (a 1,...,a n) X n,µ Σ Citiem vārdiem sakot, pievienojam kopai X visus iespējamos operāciju rezultātus. Definēsim arī Σ k (X) = Σ(Σ k 1 (X)), Σ 0 (X) = X. Par apakškopas X slēgumu attiecībā uz µ sauc kopas A apakškopu X = X Σ(X) Σ 2 (X)... = i 0 Σ i (X). 9 Citiem vārdiem sakot, X iegūst, vairākkārt pielietojot X elementiem operācijas un pievienojot kopai X visus iegūtos A elementus.
10 piemērs. (Z, +, ), S = {1}, S = N teorēma. (slēguma īpašības) 1. X Y = X Y. 2. X X. 3. X = X. 4. X Y X Y. 5. X ir slēgta kopa. PIERĀDĪJUMS Patstāvīgi Veidotājelementi Algebras (A, Σ) apakškopu X A sauc par veidotājsistēmu un tās elementus par veidotājelementiem, ja X = A. Citiem vārdiem, jebkuru A elementu var iegūt sākot ar kopas X elementiem un vairākkārtīgi pielietojot operācijas.
11 1.4. piemērs. (Z, +). {1, 1} un {1, 1, 2, 3, 4} ir veidotājsistēmas, {1}, N nav veidotājsistēmas. (Z m, +). {1} un {1, 2} ir veidotājsistēmas, {2} nav veidotājsistēma vispārīgā gadījumā. Veidotājsistēmu sauc par minimālu veidotājsistēmu, ja nekāda tās īsta apakškopa nav veidotājsistēma piemērs. (Z, +). {1, 1} ir minimāla veidotājsistēma, bet {1, 1, 2, 3, 4} nav minimāla veidotājsistēma. (Z n, +). {1} ir minimāla veidotājsistēma, bet {1, 2} nav minimāla Algebru morfismi un izomorfisms Kad divas algebras var uzskatīt par vienādām vai līdzīgām (ignorējot kopu un operāciju dabu)?
12 Ja ir dotas 2 algebras (A, Σ) un (B, T ) ar vienādiem tipiem Σ = {σ 1,..., σ l }, T = {τ 1,..., τ l } tad funkciju f : A B sauc par algebru morfismu, ja i un A elementu virknei (a 1,..., a ni ) izpildās f(σ i (a 1,..., a ni )) = τ i (f(a 1 ),..., f(a ni )). Citiem vārdiem, operāciju un funkcijas aprēķināšanu var mainīt vietām. Morfismu sauc par izomorfismu, ja tas ir bijektīvs. Ja algebru (A, Σ) un (B, T ) izomorfisms f : A B, tad saka, ka algebras ir izomorfas (A B) piemērs. (Z, +) (A, ), kur A = {1, a, a 1, a 2, a 2,...} un a > 0, a 1. 12
13 2. Binārās operācijas Ievads Kopu A ar vienu bināru operāciju sauc par grupoīdu (A, ). Pieraksta µ(a 1, a 2 ) vietā parasti lieto atdalošos simbolus - operācijas zīmes, piemēram a 1 a 2, a 1 a 2 vai vispār nelieto atdalošos simbolus, piemēram, µ(a 1, a 2 ) = a 1 a 2. Ja operācijas tiek pielietota vairākas reizes, tad pielietošanas kārtību var viennozīmīgi noteikt izmantojot iekavas un pēctecīgi pielietojot operāciju sākot ar iekšējām iekavām, piemēram: µ(µ(x, y), µ(z, µ(t, u))) = (x y) (z (t u)) piemērs. Bināras operācijas: skaitļu aritmētiskās operācijas, kopu operācijas,
14 virkņu savienošana (alfabēts Σ, virkņu kopa Σ, ja u = u 1...u m un v = v 1...v k, tad savienojums uv = u 1...u m v 1...v k.) vektoru operācijas, ǧeometrisku pārveidojumu kompozīcija Bināro operāciju speciālgadījumi Bināro operāciju speciālgadījumi: asociatīva operācija - a, b, c izpildās (a b) c = a (b c); komutatīva operācija - a, b izpildās a b = b a; idempotenta operācija - a izpildās a a = a.
15 2.2. piemērs. Asociatīvu, komutatīvu un distributīvu operāciju piemēri - skaitļu saskaitīšana, reizināšana, kopu apvienojums un šķēlums. Idempotentas operācijas piemērs - kopu šķēlums un kopu apvienojums piemērs. Asociatīvas operācijas neatkarība no iekavām. a((bc)d) = (a(bc))d = (((ab)c)d). (ab)(cd) = (((ab)c)d) teorēma. Ja bināra operācija ir asociatīva, tad šīs operācijas pielietošanas rezultāts sakārtotai n elementus virknei nav atkarīgs no operācijas pielietošanas kārtības. PIERĀDĪJUMS (A, ) - asociatīvs grupoīds. Pierādījuma ideja - parādīt, ka katru operācijas pielietošanas rezultātu sakārtotai virknei var pārveidot kanoniskā formā izmantojot asociativitāti. 15
16 Izmantosim matemātisko indukciju ar argumentu n - elementu virknes garumu. Indukcijas bāze Ja n = 1 vai n = 2, tad teorēmas apgalvojums ir acīmredzams - ir ne vairāk kā viena operācija. Indukcijas solis Pieņemsim, ka teorēmas apgalvojums ir patiess k < n: operācijas pielietojums sakārtotai elementu virknei, kuras garums nepārsniedz n 1, nav atkarīgs no pielietošanas kārtības (iekavu salikšanas kārtības), apzīmēsim tā rezultātu virknei (a 1,..., a k ) ar (a 1 a 2... a k ). Pierādīsim, ka no pieņēmuma seko, ka operācijas pielietojums sakārtotai elementu virknei, kuras garums ir vienāds ar n, nav atkarīgs no pielietošanas kārtības. Atdalīsim pēdējo pielietoto operāciju. Operāciju pielietošanas rezultāts ir formā (a 1... a i ) (a i+1... a n ), kur i < n. 16
17 17 Pietiek pierādīt, ka i < n ir spēkā sakarība (a 1... a i ) (a i+1... a n ) = ((...(a 1 a 2 )...a n ) (izteiksmi labajā pusē sauc par kreisi normētu). Saskaņā ar indukcijas pieņēmumu, operācijas pielietojums sakārtotai elementu virknei, kuras garums nepārsniedz n 1, ir vienāds ar kreisi normēto. Ja i = n 1, tad (a 1... a n 1 ) a n = (...(a 1...) a n 1 ) a n = ((...(a 1 a 2 )...a n ). }{{}}{{} kreisi normēts kreisi normēts Ja i < n 1, tad saskaņā ar asociativitātes definīciju un indukcijas pieņēmumu
18 18 (a 1... a i ) (a i+1... a n ) = (a 1... a i ) (...(a i+1...) a n ) = }{{} kreisi normēts ((a 1... a i ) (a i+1... a n 1 )) a n = (...(a 1...) a n 1 ) a n = }{{} kreisi normēts (...(a 1...) a n ), }{{} kreisi normēts kas bija jāpierāda piezīme. Viens no teorēmas pielietojumiem ir tāds, ka pieraksta ekonomijas dēļ asociatīvas operācijas gadījumā nav vajadzības rakstīt iekavas, ja tam nav īpašas nepieciešamības. Ja (A, ) ir asociatīvs grupoīds, tad } a {{... a } sauc par a n-to n reizes pakāpi un apzīmē ar a n (multiplikatīvajā pierakstā).
19 2.3. Grupoīdu elementi ar speciālām īpašībām Grupoīda (A, ) elementu a sauc par idempotentu, ja izpildās vienādība a a = a. Elementu e sauc par grupoīda kreiso vienības elementu (kreiso neitrālo elementu, kreiso vieninieku), ja a A izpildās vienādība e a = a. Elementu e sauc par grupoīda labo vienības elementu (labo neitrālo elementu, labo vieninieku), ja a A izpildās vienādība a e = a. Elementu sauc par grupoīda vienības elementu (vieninieku), ja tas ir kreisais un labais vienības elements. Ja grupoīdā vienības elements e, tad elementu a sauc par labēji invertējamu elementu, ja b A tāds, ka a b = e. Ja grupoīdā eksistē vienības elements e, tad elementu a sauc par kreisi invertējamu elementu, ja b A tāds, ka b a = e. 19
20 Ja grupoīdā eksistē vienības elements e, tad elementu a sauc par invertējamu elementu, ja tas ir gan labēji, gan kreisi invertējams teorēma. 1. Ja grupoīdā eksistē vienības elements, tad tas ir vienīgais vienības elements šajā grupoīdā; 2. ja asociatīva grupoīdā ar vienības elementu elementam a eksistē inversais elements, tad tas ir vienīgais a inversais elements; PIERĀDĪJUMS. (Sākot ar šo teorēmu pieraksta ekonomijas dēļ nerakstīsim operācijas atdalošo simbolu, ja tas nerada pārpratumus) Pieņemsim pretējo: grupoīdā A ir divi elementi e un e, kas apmierina vienības elementa īpašību: a A: ae = ea = a, ae = e a = a.
21 a = e = ee = e e = e. a = e = e e = ee = e = e = e. 2. Pieņemsim, ka elementam a asociatīvā grupoīdā ar vienības elementu e ir divi inversie elementi b un b. Saskaņā ar inversā elementa definīciju ab = ba = ab = b a = e. Reizinot vienādības ab = e abas puses ar b no kreisās puses un izmantojot asociativitāti iegūstam b (ab) = b e = b = b Multiplikatīvais un aditīvais pieraksts Strādājot ar binārajām operācijām visbiežāk tiek izmantots viens no diviem pieraksta veidiem - multiplikatīvais pieraksts, aditīvais pieraksts.
22 Multiplikatīvajā pierakstā bināro operāciju visbiežāk apzīmē ar, vai kādu līdzīgu simbolu vai arī vispār neraksta atdalošo simbolu, vienības elementu apzīmē e ar vai 1, elementa a inverso elementu apzīmē ar a 1. Aditīvo pierakstu izmanto, ja binārā operācija ir acīmredzami komutatīva (var mainīt vietām operandus), piemēram, skaitļu vai vektoru saskaitīšana, šajā gadījumā ir pieņemts apzīmēt bināro operāciju ar simbolu + vai kādu tam līdzīgu simbolu, piemēram,, vienības elementu (ja tas eksistē) - ar 0, elementa a inverso elementu - ar a, elementa a pakāpi a n - ar na = a + a a. }{{} n reizes 22
23 23 3. Svarīgāko algebrisko struktūru pārskats Biežāk pētītās algebriskās struktūras ir radušās skaitļošanas un cita veida matemātisko aktivitāšu vispārināšanas rezultātā: asociatīvie grupoīdi (pusgrupas, monoīdi, grupas) - funkciju kopu un kompozīcijas operācijas vispārināšana, gredzeni - skaitļu kopu un aritmētisko operāciju vispārināšana, moduļi - vektoru telpu un vektoru operāciju vispārināšana, režǧi - kopu un kopu operāciju vispārināšana Asociatīvie grupoīdi Algebras ar vienu asociatīvu bināru operāciju ir saistītas ar funkciju kompozīcijas vispārināšanu. Pusgrupa - grupoīds ar asociatīvu bināru operāciju. Monoīds - grupoīds ar asociatīvu bināru operāciju, kas satur vienības elementu.
24 24 Grupa - grupoīds ar asociatīvu bināru operāciju, kas satur vienības elementu, kurā katrs elements ir invertējams piemērs. Pusgrupas - (N, +), (R, ). Monoīdi - (F un(x, X), ). Grupas - (Z, +), (U m, ), (Σ n, ) Gredzeni Gredzena struktūra: divas bināras asociatīvas operācijas reizināšana un saskaitīšana, saskaitīšana ir komutatīva, ir spēkā distributīvā īpašība. Gredzeni ir skaitļu kopu vispārinājumi. Svarīgs speciālgadījums - lauki.
25 3.3. Moduļi R - gredzens. R-modulis (M, +, ): (M, +) - komutatīva grupa, : R M M (R darbība) apmierina aksiomas: 1. r(m + m ) = rm + rm, 2. (r + r )m = rm + r m, 3. (rr )m = r(r m), 4. 1 m = m. 25 Moduļi vispārina lineārās telpas, kurās R ir lauks un R darbība ir reizināšana ar lauka elementu Režǧu tipa struktūras Režǧis - (L,, ), kas apmierina šādas aksiomas: un ir komutatīvas, asociatīvas un idempotentas, a (a b) = a, a (a b) = a (absorpcijas likumi).
26 Režgu tipa struktūras vispārina kopu šķēlumu un apvienojumu, vispārina matemātiskās loǧikas operācijas (konjunkciju un disjunkciju), bieži tiek izmantotas algebru apakšalgebru un faktoralgebru struktūras aprakstīšanai Kategorijas Modernajā matemātikā algebriskas struktūras pēta saistībā ar to morfismiem un apvieno vienā struktūrā - kategorijā. Šajā kursā tās dziļi neapskatīsim, dosim tikai definīciju. Par kategoriju sauc kopu C - kategorijas objektu kopu ar šādām papildstruktūrām un nosacījumiem: X, Y C ir definēta kopa hom(x, Y ) - morfismu kopa, kas saista X un Y, f hom(x, Y ) var apzīmēt ar f : X Y,
27 27 X, Y, Z C ir definēta morfismu kompozīcijas funkcija µ : hom(y, Z) hom(x, Y ) hom(x, Z), µ(g, f) apzīmē ar g f, ir spēkā morfismu kompozīcijas asociativitātes īpašība: h (g f) = (h g) f, A C i A hom(a, A) - vienības morfisms, tāds, ka B C f hom(a, B) izpildās f i A = f, D C g hom(d, A) izpildās i A g = g. Var definēt attēlojumus starp kategorijām - funktorus piemērs. Jebkuras kopas apakškopu kopa (objekti) ar funkcijām starp apakškopām (morfismi),
28 Fiksēta veida algebriskas struktūras (objekti) ar homomorfismiem (morfismi), piemēram, grupu kategorija, gredzenu kategorija u.c. Kategorijas - mūsdienu profesionālu matemātiķu domāšanas līmenis. 28
29 4. Algebras pētījumu virzieni Struktūras pētīšana Algebru uzbūves/struktūras pētīšana satur šādus apakšvirzienus: apakšalgebru definēšana un pētīšana (piemērs: Z un mz), faktoralgebru definēšana un pētīšana (piemērs: Z un Z/mZ), nedalāmu (tādu, kas nesatur netriviālas apakšalgebras vai nevar būt faktorizējamas) algebru pētīšana, lielāku algebru konstruēšana no nedalāmām daļām, veidotājsistēmu un minimālu veidotājsistēmu meklēšana, algebru uzdošanas veidu pētīšana. Parasti apakšalgebru un faktoralgebru kopās arī var uzdot algebriskas struktūras.
30 4.2. Morfismu pētīšana Lietderīgi ir pētīt dotā tipa algebru homomorfismus jeb morfismus dotajā kategorijā. Parasti morfismu kopā arī var uzdot kādu algebrisku struktūru Klasifikācija Viens no jebkura tipa algebru pētīšanas galamērķiem - dotā tipa algebru (dotās kategorijas objektu) klasifikācija ar precizitāti līdz izomorfismam jeb visu savstarpēji neizomorfo algebru atrašana. Netriviālos gadījumos klasifikācija ir ilgtermiņa starptautisks projekts. Daži piemēri: galīgu vienkāršu grupu klasifikācijas projekts, gadi, galīgu vienkāršu p-grupu klasifikācijas projekts.
31 4.4. Reprezentāciju teorija Dažādu tipu algebrisku struktūru savstarpējo sakarību pētīšana ar nolūku izpētīt sarežǧītāko no tām, attēlojumi no vienas kategorijas uz otru (grupu reprezentāciju teorija - grupu vienkāršošana, homoloǧiju/kohomoloǧiju teorijas) - kaut kas līdzīgs faktorizācijai. Dotas divas dažādas algebriskas struktūras (kategorijas), var pētīt attēlojumus no viena tipa algebrām uz otra tipa algebrām Universālā algebra Visas iespējamās algebras var uzskatīt par viena universa elementiem. Var pētīt šī universa apakškopas. Analoǧija ar punktiem telpā: viens punkts - viena algebra.
32 5. 1.mājasdarbs Obligātie uzdevumi 1.1 Atrast minimālas veidotājsistēmas šādām algebrām: (a) (Z/5Z, +) (b) (Z/12Z, ), 1.2 Definēsim [ Pauli ] matricas: [ ] [ ] i 1 0 p 1 =, p =, p i 0 3 =, kur i = 1. Atrast kopas {p 1, p 2, p 3 } slēgumu attiecībā uz matricu reizināšanas operāciju. 1.3 Atrodiet piemērus šādām operācijām: (a) nav ne komutatīva, ne asociatīva, (b) nav komutatīva, bet ir asociatīva, (c) kopa bezgalīga, operācija ir asociatīva, eksistē vienības elements, neviens cits elements nav invertējams.
33 1.4 Apskatīsim grupoīdu (Z, ), kur Z ir veselo skaitļu kopa un operācija ir definēta ar formulu a b = a + b + ab. Pierādīt, ka (Z, ) ir komutatīvs monoīds. Kāds elements ir vienības elements? Atrast visus idempotentos un invertējamos elementus. 1.5 Noteikt, vai dotās funkcijas ir algebrisko struktūru morfismi. (a) A = (Z, +), f : A A, f(x) = x + 1. (b) A = (R[X], +, ), B = (R, +, ), f : A B, f(p) = p(0) Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 1.6 Pierādīt teorēmu par slēguma īpašībām. 1.7 Pierādīt, ka katrā galīgā pusgrupā eksistē idempotents elements.
Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākMicrosoft Word - du_5_2005.doc
005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
SīkākNevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
SīkākLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
Sīkāk1
8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
SīkākKrājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a
Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.
SīkākMicrosoft Word - du_4_2005.doc
@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
SīkākKas mums izdodas un ko darīsim tālāk?
Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
SīkākA.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS
DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,
SīkākAPSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR
APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
SīkākPārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš
Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)
SīkākLU 68 Fizikas sekcija DocBook
Vispārizglītojošās e-fizikas materiālu augstas kvalitātes noformējuma izstrāde, izmantojot DocBook un LaTeX tehnoloģijas Arnis Voitkāns LU 68. konferences Fizikas didaktikas sekcija 5.02.2010. Kas ir augstas
SīkākAPSTIPRINĀTS
Preiļu novada dome Preiļu 1. pamatskola Reģ. Nr. 4212900356 Daugavpils ielā 34, Preiļu novadā, LV-5301, Tālruņi: 65322749, 65322084, e-pasts: preilu1psk@pvg.edu.lv APSTIPRINĀTS ar Preiļu 1.pamatskolas
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 10. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās
SīkākSocial Activities and Practices Institute 1 Victor Grigorovich Street, Sofia 1606, Bulgaria Phone: Kas ir
Kas ir interaktīvās studijas? Iztrādāja: Nelija Petrova-Dimitrova Uzdevums 1 Interaktīvās studijas ir mijiedarbība, nevis iedarbība! Uzdevums 2 Interaktīvo studiju pamatā ir grupas dinamika! Grupa ir apmācību
SīkākMicrosoft Word - Papildmaterials.doc
SATURS DARBĪBAS AR DARBGRĀMATAS LAPĀM... 2 1.1. Pārvietošanās pa lapām...2 1.2. Lapas nosaukuma maiņa...3 1.3. Jaunas darblapas pievienošana...3 1.4. Lapas pārvietošana un dublēšana, lietojot peli...4
SīkākMicrosoft Word - kompozicija.doc
Ulbrokas Mūzikas un mākslas skola profesionālās ievirzes izglītības programma Vizuāli plastiskā māksla Mācību priekšmeta Kompozīcija programma 1. Mērķi: 1.1 veicināt izglītojamā māksliniecisko, intelektuālo
SīkākPowerPoint Presentation
ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja Dzīvo patstāvīgi un veselīgi Apzinās sevi, savas vēlmes un intereses, Spēj dzīvot patstāvīgi, saskaņā ar savām vērtībām, Saglabā un nostiprina savas garīgās
SīkākKONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS
Studiju kursa nosaukums KONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS Apjoms Apjoms kredītpunktos/ ECTS) 3/ 4,5 120 (stundās) Priekšzināšanas Latvijas valsts un tiesību vēsture, Valsts un tiesību teorija Zinātņu nozare Tiesību
SīkākStudiju programmas nosaukums
Latvijas augstāko izglītības iestāžu ieguldījums mērniecības izglītībā Latvijā Jauno jomas speciālistu sagatavošana Latvijas Lauksaimniecības specialitātē Vivita Puķīte LLU VBF Zemes pārvaldības un ģeodēzijas
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
SīkākPowerPoint Presentation
Vērtības cilvēka dzīvē. Pētniecība. Praktiskais pielietojums profesionālajā darbībā. Sintija Vaska Bc.psych. Pētnieciskās intereses Petroviča, S. (2016). Vērtību saistība ar izdegšanu palīdzošo profesiju
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
SīkākMūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums
Mūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums Algoritmika un datorzinības (Vecums: 8 gadi) Kursa mērķis ir sniegt bērniem kopīgo izpratni par datoru un datorprogrammām.
Sīkāk5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a
5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta adatas Skolēna darba lapa M_11_LD_05_P1 Izloze Skolēna
SīkākApstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei gada 18. oktobrī,
Apstiprināts Latvijas farmaceitu biedrības valdes 2012. gada 30. maija sēdē, prot. Nr. 17 Ar grozījumiem līdz LFB valdes sēdei 2018. gada 18. oktobrī, prot. Nr. 9 Dokumenta mērķis: Dokumentā aprakstīti
SīkākLatvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br
5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,
SīkākPowerPoint Presentation
No profesijas standarta līdz reformai 2019. gada 16. martā. 19.03.2019 1 Reforma Sieviešu dzimtes vārds Pārkārtojums, pārveidojums, saglabājot galveno no līdzšinējā Pārmaiņa, pārkārtojums kādā sabiedrības
SīkākInstrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai sem
Instrukcija par semināru Seminārs ir e-studiju aktivitāšu modulis, kas ir līdzīgs uzdevuma modulim, kurā studenti var iesniegt savus darbus. Tikai semināra modulī tiek paplašināta uzdevuma funkcionalitāte.
SīkākLatvijas ekonomiskās attīstības resursi: cilvēkkapitāls, sociālais kapitāls, intelektuālais kapitāls, kultūras kapitāls un radošais kapitāls. Aigars P
Latvijas ekonomiskās attīstības resursi: cilvēkkapitāls, sociālais kapitāls, intelektuālais kapitāls, kultūras kapitāls un radošais kapitāls. Aigars Plotkāns no Zosēniem Vai cilvēkkapitāls ir kapitāls?
SīkākDiapositiva 1
KARJERAS IZGLĪTĪBA VIDUSSKOLAS KLASĒS Pedagoģiskās padomes sēde 27.10.2016. Pārskatu sagatavojusi skolotāja Aina Slesare Nepieciešamais atbalsts vidusskolēniem karjeras izglītībā Vecāku dzīvesveids piemērs
SīkākPrezentacija
LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2016./2017. studiju gadam UZŅEMŠANAS KOMISIJA Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755,
SīkākLaboratorijas darbi mehānikā
Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne
SīkākInformācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs
Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs Mūsdienu tendence! Dažādas dzīves sfēras = mācību priekšmeti Arvien nozīmīgāka ir informācijas un komunikāciju tehnoloģiju pielietošanas
SīkākMicrosoft Word - Abele
LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
SīkākRed button
Piebiedrojies Start(IT)! Attīstīsim IT izglītību kopā! Java Ievads Augusts 2014 Materiālu publicēšana tikai saskaņā ar Start(IT) Saturs Kas ir Java? Pirmā Programma Darbs ar mainīgajiem Sazarojumi un cikli
Sīkāk10.klasei
Par mācību priekšmetu vēsturi... Latvijas un pasaules vēstures skolotājs, Dr.paed. Pāvels JURS www.pavelsjurs.lv Vēsture ir zinātne, kas pēta cilvēku sabiedrības attīstību un šīs attīstības posmus no tālas
SīkākMicrosoft Word - PS Edinas pakalp spec.doc
Ēdināšanas pakalpojumu speciālista profesijas standarts 1. Vispārīgie jautājumi 1. Profesijas nosaukums ēdināšanas pakalpojumu speciālists. 2. Profesijas kods 5121 26. 2. Nodarbinātības apraksts 1. Profesionālās
SīkākMicrosoft Word - IeskaisuGrafiks_10b.doc
Priekšmets - angļu valoda Klase 10.a,b Mācību gads 2008/09. Skolotājs - Gesja Živa Nr. tēma saturs 1. Unit 1. Dwellings, household chores, the Present Tenses, phrasal verbs. 2. Unit 2. Life events, the
SīkākPowerPoint Presentation
Konference Starpdisciplinaritāte, radošums un uzņēmība mūsdienu izglītības aktualitātes, 2014. gada 29. oktobris ESF projekts Atbalsts izglītības pētījumiem 2011/0011/1DP/1.2.2.3.2/11/IPIA/VIAA/001 Pētījums
SīkākPowerPoint Presentation
Mācību satura un pieejas piedāvājums: aktualitātes, sabiedriskā apspriešana LPS, 2018.gada 17.aprīlī GUNTARS CATLAKS, VISC vadītājs Daudzviet pasaulē un arī Latvijā izpratne par to, kādas zināšanas un
SīkākTirgus dalībnieka nosaukums: DNB Asset Management Kods: 241 DNB Konservativais ieguldijumu plans 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.
Tirgus dalībnieka nosaukums: DNB Asset Management 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 līdz 15. aprīlim, 15. jūlijam, 15. oktobrim un 15. janvārim Ieguldījumu
Sīkāk2018 Finanšu pārskats
2018 2 Neatkarīga revidenta ziņojums akcionāram Ziņojums par finanšu pārskatu revīziju Atzinums Mēs esam veikuši (Sabiedrība) finanšu pārskatu, kas ietver atsevišķu ziņojumu par finansiālo stāvokli 2018.
SīkākAmenda Markets AS IBS Klienta statusa noteikšanas politika Versija 3.0 Versija Spēkā stāšanās datums Lappuses nr no
Amenda Markets AS IBS Klienta statusa noteikšanas politika Versija 3.0 Versija Spēkā stāšanās datums Lappuses nr. 1.0 15.01.2014. 1 no 5 2.0 17.06.2016. 1 no 5 3.0 03.01.2018. 1 no 6 Amenda Markets AS
SīkākMicrosoft Word - Lekcija_Nr3.doc
INFORMĀCIJAS MEKLĒŠANA Jebkuru pētniecības darbu uzsākot, pētniekam ir jāiepazīstas ar informāciju par risināmo jautājumu, t.i., pēc iespējas pilnīgi jāizstudē pieejamā literatūra, kas attiecas uz izraudzīto
SīkākPCK34_atr_kopaa
007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem
SīkākAPSTIPRINĀTS
APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa
SīkākRiski: identificēšana un mērīšana
Risku vadība apdrošināšanā Risku identificēšana un mērīšana Jolanta Krastiņa, FAA Latvijas Aktuāru Asociācija 01.12.2011 Saturs Ievads risku vadībā mērķis, ERM, risku vadības process Risku identifikācija
SīkākLatvijas Republika BAUSKAS NOVADA DOME BAUSKAS 2. VIDUSSKOLA Reģ. Nr , Dārza iela 9, Bauska, Bauskas nov., LV-3901 tālrunis/fakss ,
Latvijas Republika BAUSKAS NOVADA DOME BAUSKAS 2. VIDUSSKOLA Reģ. Nr. 4513901295, Dārza iela 9, Bauska, Bauskas nov., LV-3901 tālrunis/fakss 63922473, e-pasts: 2.vidusskola@bauska.lv, www.bauska.lv APSTIPRINĀTI
SīkākMeza skola metodes pirmsskola
FIGŪRU APGŪŠANA Veidot konkrēto figūru sadarbojoties ar citu bērnu Ar maziem solīšiem viens pāris sniegā veido vienu figūru Ar sniegu pārklāts laukums, laminētas kartiņas ar figūrām Bērni sadalās pa pāriem.
SīkākMicrosoft PowerPoint - Disleksija.ppt
Mācīšanās traucējumi: disleksija, disgrāfija, diskalkulija 2012.gada 18. aprīlī Starptautiskā Disleksijas asociācija disleksiju definē kā neiroloģiskas izcelsmes specifisku mācīšanās traucējumu. Pasaules
SīkākKuldīgas 2.vidusskola Celtnieks Pētnieciskais darbs Darba autors: Artis Vidiņš 6aklases skolnieks Darba vadītāja: Daiga Žentiņa klases audzinātāja Kul
Kuldīgas 2.vidusskola Celtnieks Pētnieciskais darbs Darba autors: Artis Vidiņš 6aklases skolnieks Darba vadītāja: Daiga Žentiņa klases audzinātāja Kuldīga 2014 Saturs Ievads...3 1.Ēku celtnieks...4 1.2.Celtnieku
Sīkākv, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace
v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi
SīkākKlientu klasifikācijas politika, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus II Mērķis Klientu klasifikācijas politikas, snied
Klientu klasifikācijas politika, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus II Mērķis Klientu klasifikācijas politikas, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus
SīkākIedzīvotāju viedoklis par teledarba attīstības iespējām Latvijā
2013 Iedzīvotāju viedoklis par teledarba attīstības iespējām Latvijā Aptaujas rezultāti Aptauja daļēji finansēta Eiropas Reģionālās attīstības fonda līdzfinansētā INTERREG IVC programmas projekta Micropol
SīkākZiņojums par Kopienas Augu šķirņu biroja gada pārskatiem ar Biroja atbildēm
C 449/46 LV Eiropas Savienības Oficiālais Vēstnesis 1.12.2016. ZIŅOJUMS par Kopienas Augu šķirņu biroja 2015. gada pārskatiem ar Biroja atbildēm (2016/C 449/08) IEVADS 1. Kopienas Augu šķirņu biroju (turpmāk
Sīkāk2015 Finanšu pārskats
2015 2 Neatkarīgā revidenta ziņojums akcionāriem Ziņojums par finanšu pārskatiem Mēs esam revidējuši pievienotos ( Uzņēmums ) finanšu pārskatus, kas ietver 2015. gada 31. decembra bilanci, ienākumu pārskatu,
SīkākSlide 1
Lifelong Learning Grundtvig Partnership Project 2012-1-LV1-GRU06-03580 1 How to Ensure Qualitative Lifelong Learning for Different Age Groups Adult education teachers will discuss the ways how to involve
SīkākKorupcijas apkarošanas bilance – notiesājoši spriedumi
Domnīca PROVIDUS Korupcijas iztiesāšanas statistika 2004-2016. gadā 1. tabula. Panti no Krimināllikuma 24. nodaļas Noziedzīgi nodarījumi valsts institūciju dienestā 317.pants. Dienesta pilnvaru pārsniegšana
SīkākLATVIJAS UNIVERSITĀTE
Ar grozījumiem, kas izdarīti līdz 25.06.2019. 1. pielikums Grozījumi: LU 03.01.2019. rīkojums Nr. 1/2 APSTIPRINĀTS LU 13.03.2019. rīkojums Nr. 1/95 ar LU 26.10.2018. LU 28.05.2019. rīkojums Nr. 1/211 LU
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS VadZPB10 STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Inovāciju vadība un ekoi
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS VadZPB10 STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Inovāciju vadība un ekoinovācija Kursa nosaukums angliski Innovation Management and Eco Innovation Kursa nosaukums
SīkākALBAU SIA V 03 v1 Lapa 1 Lapas 5 Produkta tehniskā datu lapa RAWLPLUG TFIX-8ST Siltumizolācijas stiprinājums Pielietošana: Siltumizolācijas stiprināju
Lapa 1 Pielietošana: Siltumizolācijas stiprinājumi ir paredzēti minerālvates un putu polistirola stiprināšanai visās pamatnēs (A, B, C, D, E). APSTIPRINĀJUMI Sertificēti saskaņā ar ETAG 014, ETA-09/0144
SīkākEiro viltojumi Latvijā
Eiro drošības pazīmes un to pārbaude Andris Tauriņš Kases un naudas apgrozības pārvaldes Naudas tehnoloģiju daļas vadītājs 5, 10, 20 eiro naudas zīmes 120 x 62 mm 127 x 67 mm 133 x 72 mm Jaunā 5 eiro naudas
SīkākPamatnostādnes Par pozīciju aprēķināšanu, ko saskaņā ar EMIR veic darījumu reģistri 28/03/2019 ESMA LV
Pamatnostādnes Par pozīciju aprēķināšanu, ko saskaņā ar EMIR veic darījumu reģistri 28/03/2019 ESMA70-151-1350 LV Satura rādītājs I. Piemērošanas joma... 3 II. Atsauces uz tiesību aktiem, saīsinājumi un
SīkākAPSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr
APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 4 2012. gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr. 8 2019. gada 21. janvārī Noteikumi par studiju kursu akadēmisko
SīkākMicrosoft Word - VacuValodaBFa003.doc
Studiju kursa nosaukums Vācu 1 1. kurss 2 KP ECTS kredītpunktu 3 ECTS Semestris, kad kurss tiek 2 Kursa īstenošanas mērėis Attīstīt saruns prasmi un spēju lietot valodu ikdienas situācijās, apgūt saruns
SīkākEKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA EĪD Nr CPR-M 561-7/11.14-LV 1. Unikālais izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Fix Master Toge skrūve bet
EKSPLUATĀCIJAS ĪPAŠĪBU DEKLARĀCIJA EĪD Nr. 1343-CPR-M 561-7/11.14-LV 1. Unikālais izstrādājuma tipa identifikācijas numurs: Fix Master Toge skrūve betonam, TSM, augstas ekspluatācijas 2. Tipa, partijas
SīkākVPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN K
VPVKAC darbības atskaite Par laika posmu līdz 216. gada 31. oktobrim Lubānas novada VPVKAC VEIKTIE PAKALPOJUMI UN KONSULTĀCIJAS... 1 PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU INDEKSS... 1 VEIKTO PAKALPOJUMU UN KONSULTĀCIJU
SīkākEIROPAS KOMISIJA Briselē, COM(2017) 423 final KOMISIJAS ZIŅOJUMS EIROPAS PARLAMENTAM UN PADOMEI par to, kā tiek īstenotas pilnvaras pieņemt
EIROPAS KOMISIJA Briselē, 10.8.2017. COM(2017) 423 final KOMISIJAS ZIŅOJUMS EIROPAS PARLAMENTAM UN PADOMEI par to, kā tiek īstenotas pilnvaras pieņemt deleģētos aktus, kas Komisijai piešķirtas ar Eiropas
SīkākEIROPAS KOMISIJA Briselē, COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 PIELIKUMI dokumentam Priekšlikums Eiropas Parlamenta un Padomes regulai, ar ko
EIROPAS KOMISIJA Briselē, 17.5.2018 COM(2018) 284 final ANNEXES 1 to 2 PIELIKUMI dokumentam Priekšlikums Eiropas Parlamenta un Padomes regulai, ar ko nosaka CO2 emisijas standartus jauniem lielas noslodzes
Sīkāk