GAS TEHNISK UNIVERSIT TE Transporta un maš nzin bu fakult te Transportmaš nu tehnolo iju instit ts Andrejs KAŠURINS Doktora studiju programmas Transpo

Transkripts

1 GAS TEHNISK UNIVERSITTE Transporta un mašnzinbu faultte Transportmašnu tehnoloiu institts Andres KAŠURINS Dotora studiu programmas Transports dotorants OPTIM APKALPOŠANAS OBJEKTU IZVIETOŠANA ESOŠAS TRANSPORTA INFRASTRUKTRAS GADJUM Promocias darba opsavilums Zintnisais vads Dr. habil. sc. ing. profesors A.ANDRONOVS ga 0

2 UDK 656.0: Ka 780-o Kašurins A. Optim apalpošanas obetu izvietošana esošas transporta infrastrutras gadum. Promocias darba opsavilums.- R.:RTU 0.-4 lpp. Iespiests sasa ar RTU P-0 promocias padomes 0. gada 9.augusta lmumu protools Nr. 0/0. Šis darbs izstrts ar Eiropas Soci fonda atbalstu proet «Atbalsts RTU dotora studiu stenošanai». ISBN

3 PROMOCIJAS DARBS IZVIRZTS INŽENIERZINU DOKTORA GRDA IEGŠANAI GAS TEHNISKAJ UNIVERSIT Promocias darbs inženierzinu dotora grda iegšanai tie publisi aizstts 0. gada 6. decembr plst. 4:30 Rgas Tehniss universittes TMF Transportmašnu tehnoloiu instit Lomonosova iel orpus V 8. auditori. OFICILIE RECENZENTI: Profesors Dr. habil. sc. ing. Juris Merurevs gas Tehnis universitte Latvia Profesore Dr. sc. ing. Irina Jaciva Transporta un saaru institts Latvia Profesors Ph.D. Kalev Pärna Tartu universitte Igaunia APSTIPRINJUMS Apstiprinu a esmu izstris doto promocias darbu as iesniegts izsatšanai Rgas Tehnisa universit inženierzinu dotora grda iegšanai. Promocias darbs nav iesniegts nevien cit universit zintnis grda iegšanai. Andres Kašurins. Parasts Datums: 0. gada. novembr Promocias darbs ir uzrastts angu valod satur ievadu 8 nodaas secinumus literatras sarastu 6 pieliumus 45 zumus un ilustrcias op 6 lappuse. Literatras sarast ir 8 nosauums. 3

4 ANOTCIJA Promocias darbu «Optim apalpošanas obetu izvietošana esošas transporta infrastrutras gadum» izstris Andres Kašurins inženierzinu dotora zintnis grda iegšanai. Darba zintnisais vads ir Dr. habil. sc. ing. profesors Alesandrs Andronovs. Promocias darba mis ir izstrt matemtisus modeus metodes algoritmus un datorprogrammas as au risint optimlo apalpošanas obetu izvietošanas uzdevumu esošs transporta infrastrutras gadum ar izpt to efetivitti un pielietot iegtos rezulttus pras. Optim apalpošanas obetu izvietošana ir pratisi nozgs uzdevums. Pastv daždi apalpošanas veidi: tehnis apalpošana medicnis paldzba sporta bzes izmantošana utt. Optimlo izvietošanas uzdevumu nepieciešams risint piemroot daždus fatorus vispirms izmantoot esistošo infrastrutru. Ša saar tia izvirzti un atrisinti seooši uzdevumi: Iedzvotu blvuma sadaluma Latvias teritori datu analtisais aprasts. Tas au noteitm Latvias teritorias oordinm aprint atbilstošu iedzvotu blvumu. Matemtis modea izstrde apalpoošo obetu optimlaam telpisaam izvietošanas uzdevumam. Šim nolam tie izmantotas sdiengas optimizcias teorias metodes. Specializtas datorprogrammas izstrde Mathcad un MATLAB vid augstminto uzdevumu atrisinšanai. Izstrto metožu un programmu esperimentlais pums. Tia paradta entis algoritma priešrocba saldzinot ar algoritmiem uri tie pamatoti uz gradienta metodm daudzestrmu uzdevumu multietreme problems atrisinšanai. Tia noteits a vislabos rezulttus dos entis algoritma un gradienta metodes ombincia. Optims apalpoošo obetu telpiss izvietošanas pratis uzdevuma atrisinšana pamatooties uz izstrtaiem modeiem metodm un algoritmiem izmantoot izstrtas datorprogrammas. 4

5 SATURS. IEVADS PROBLMAS AKTUALITTE PROMOCIJAS DARBA MI UN UZDEVUMI PROMOCIJAS DARBA PJUMA METODES ZINTNISK NOVITTE PROMOCIJAS DARBA PRAKTISK NOZME PROMOCIJAS DARBA STRUKTRA AIZSTVAMS TZES PROMOCIJAS DARBA APROBCIJA.... PROMOCIJAS DARBA REZULTTU KOPSAVILKUMS IEDZVOTJU BLVUMA SADALJUMA LATVIJAS TERITORIJ STATISTISKAIS APRAKSTS APKALPOJOŠO OBJEKTU TELPISKS IZVIETOŠANAS UZDEVUMA MATEMTISKAIS MODELIS OPTIMIZCIJAS METODES GRADIENTA OPTIMIZCIJA KVAZITONA METODE. BFGS METODE ENTISKAIS ALGORITMS APSKATTO METOŽU PIELIETOJUMS SECINJUMI LITERATRAS SARAKSTS

6 . IEVADS Promocias darbs «Optim apalpošanas obetu izvietošana esošas transporta infrastrutras gadum» veltts apalpošanas obetu telpiss izvietošanas problmai as balstta uz modernm matemtisam metodm m varbbas teoria neline optimizcia un entisais algoritms... Problmas atualitte Apalpošanas obetu izvietošana gan šobrd gan ieprieš ir biis vispratzts Operciu Izptes Operation Research pšanas laus. Par to liecina daudzi žurnli un grmatas [8]. Amerias Matemtias Biedrba American Mathematical Society pat ir izveidousi specifisus odus izvietošanas problm 90B80 disrtai izvietošanai 90B85 neprtrautai izvietošanai. Tomr izvietouma modeu pielietouma autums oprom palie atlts [38]. Apalpošanas obetu izvietošanas galven problma ietver sev telpisi sadaltu lientu opu un apalpošanas obetu opu as apmierina lientu vaadzbas [8] [5]. Risinmie autumi ir seooši: Kuriem apalpošanas obetiem t izmantotiem atvrtiem? Kurus lientus vaadztu apalpot un no ura apalpošanas obeta apalpošanas obetiem lai samazintu ops izmasas [38]? Apalpošanas obetu izvietošana ir pazstama ar izvietošanas analze location analysis t ir operciu izptes nozare as pa tiešo attiecs uz matemtiso modelšanu un problmu risinšanu as sar optimlo apalpošanas obetu izvietošanu lai samazintu transporta izmasas izvairtos no bstamo materilu izvietouma blaus dzvoamm zonm utt. Izvietošanas modeus izmanto daždiem pielietoumiem tdiem nolitavu izvietošana piegdes des robežs lai samazintu vido laia patriu ldz realizcias tirgum indgu materilu izvietošana lai palielintu attlumu ldz sabiedrisam vietm utt. Optim apalpošanas obetu izvietošana ir oti svargs pratiss uzdevums. Galvenais mis ir samazint lientu vaadzbu opas apmierinšanas izmasas attiec uz du ierobežouma opu. Apalpošanas obetu izvietošanas risinumi ir ritisi elementi stratisa plnošan plašam privtfirmu un sabiedriso firmu diapazonam [77]. Visu apalpošanas obetu izvietošanas problmu variantu pamatuzdevums ir seoošs: ompnia vs atvrt du apalpošanas obetu saitu lai apalpotu savus lientus. Gan apalpošanas obeta atvršana noteit zon gan atseviša lienta apalpošana caur apalpošanas obetu 6

7 izmas noteitu summu. Mis ir samazint pilns izmasas as saisttas ar apalpošanas obetu atvršanas veidu un lientu apalpošanu []. apalpošanas obeti alpo vienas lases obeti as apmierina seoošas prasbas: Visi obeti ir viena tipa t.i. tie veic vienus un tos pašus ražošanas vai transporta uzdevumus; Visi lienti as izmanto atbilstošos paalpoumus princip var izmantot ebura obeta paalpoumu. piemru var mint: Tehniss apopes stacias; Uzpildes stacias; Sporta bzes utt. su darb tie apsatts apalpošanas obetu izvietošanas uzdevums Latvias teritori. Ir nepieciešams izvietot noteitu obetu saitu lai samazintu zauduma funciu transporta izdevumus. Š problma tie risinta izmantoot apalpoam obeta izvietouma blvuma funciu un pieemto zauduma funciu... Promocias darba mi un uzdevumi Promocias darba mis ir: Matemtiso modeu metožu un datorprogrammu izstrde apalpošanas obetu optimlaam izvietošanas uzdevumam. dz ar to tia apsatti seooši uzdevumi:. Apalpošanas obetu optims izvietošanas esistošo metožu un modeu izpte.. Iedzvotu blvuma sadaluma Latvias teritori statistisais aprasts. 3. Informats datu bzes izstrde as satur statistisos datu apopoumu par Latvias reioniem. 4. Iedzvotu blvuma sadaluma Latvias teritori datu analtis aprasta izstrde. Tas au noteitm Latvias oordinm aprint atbilstošu iedzvotu blvumu. 5. Matemtis modea izstrde apalpoošo obetu optims telpiss izvietošanas problmas atrisinšanai. 6. Saitliss optimizcias numerical optimization principu aprasts un dažu esistošo optimizcias saitliso metožu un algoritmu apsats. 7. Optimizcias metožu pilnveidošana izstrtaam matemtisaam modelim. 7

8 8. Izstrto optimizcias metožu efetivittes pšana. 9. Specializtu datorprogrammu izstrde piedtam optimizcias metodm. 0. Optimlo apalpoošo obetu telpiss izvietošanas Latvias teritori pratis uzdevuma apsatšana pamatooties uz izstrtaiem modeiem metodm un algoritmiem izmantoot izstrtas datorprogrammas..3. Promocias darba puma metodes Promocias darba pums balsts uz:. sdienm optimizcias metodm un algoritmiem tdiem lnias melšanas metode line search methods step length the Wolfe conditions bactracing line search gradienta optimizcia vazi- tona metodes quasi-newton methods BFGS method un entisais algoritms.. Varbbas teorias un matemtiss statistias metodm. 3. Statistisiem datiem as iegti no LR Centrs statistias prvaldes LR CSP un Latvias Republias Izglbas un zintnes ministrias Sporta departamenta datu bzes Sporta bzu reistrs ura bia radta sadarbooties ar promocias darba autoru. 4. Zintniso literatru publicim un interneta resursiem as veltti mam problm. 5. Datorprogrammas nepieciešamaiem apriniem un pumiem as radtas PTC Mathcad 4 MathWors MATLAB R009b vid..4. Zintnis novitte Promocias darba novitte saistta ar:. Iedzvotu blvuma sadaluma Latvias teritori datu analtiso aprastu. Tas au noteitm Latvias oordinm aprint atbilstošu iedzvotu blvumu.. Optimlo apalpoošo obetu telpiss izvietošanas oriinlo matemtiso modeli. 3. Uzlaboto optimizcias metodi ur tie izmantota entis algoritma un gradienta metodes ombincia. 8

9 4. Specializs datorprogrammas paetes izstrdi optimlo apalpoošo obetu telpiss izvietošanas uzdevuma risinšanai..5. Promocias darba pratis nozme. Uz iegto rezulttu bzes tia sagatavota daa priešmeta Inženieruzdevumu risinšanas datormetodes leciu un pratiso darbu Rgas Tehniss universittes Transportmašnu Tehnoloiu Institta maistratras pirm ursa studentiem.. Autora izstrtie iedzvotu blvuma sadaluma Latvias teritori aprasta modei un metodes tia izmantoti zintnisa proet Matemtiso modeu algoritmu un datorprogrammu izstršana Latvias transporta sistmas analzei attstbas prognozšanai un optimizciai as bia zintnis proeta Zintniss darbbas attstba augstsols daa un realizs no 008. gada. nia ldz 3. decembrim. 3. Atbilstoši Sporta liuma. pantam Sporta bzes Nacionlaai sporta attstbas programmai gadam apstiprinta ar Ministru abineta 006. gada 3. otobra roumu Nr. 838 un Ministru abineta 004. gada 4. augusta sdei prot. Nr mintie lmumi sasan ar Latvias Nacionla attstbas plna uzdevumiem Ministru abineta 006. gada 4. lia noteiumi Nr. 564 aunu vieglatltias manžu optim izvietouma Latvias teritori problma risinta sadarb ar Latvias Republias Izglbas un zintnes ministrias Sporta departamentu. 4. Iegtos modeus un algoritmus var izmantot privtfirmas un valsts firmas optimlai apalpošanas obetu izvietošanai piemram automobiu tehniss apopes stacias sporta bzes degvielas uzpildes stacias u.c..6. Promocias darba strutra. nodaa. Optimlo apalpoošo obetu izvietošanas metodes un modei. Tia aprastta apalpošanas obetu optims izvietošanas problma. Tia apsattas vairas attluma funciu iestatumu pieeas. Tia analizti daždi izvietošanas problmu matemtisie modei un metodes.. nodaa. Iedzvotu blvuma sadaluma Latvias teritori statistisais aprasts. Š nodaa veltta iedzvotu sadaluma Latvias teritori statistiso datu analzei. Rezult tia iegta iedzvotu blvuma analtis 9

10 izteisme. Tas au noteitm Latvias oordinm aprint atbilstošu iedzvotu blvumu. Pamatooties uz to ir risints seoošs uzdevums: tie atrasts vidi svrtais Latvias centrs t.i. tdas oordintes ldz urm ir minimls summrais attlums no visiem Latvias puntiem emot v iedzvotu blvumu. Nepieciešam statistis informcia tia iegta no LR Centrs statistias prvaldes. 3. nodaa. Esistošo optimizcias saitliso metožu apsats. Ša noda apsatti daži saitliss optimizcias un dažu esistošo metožu principi. Tia aprasttas msu darb izmantots nelines optimizcias metodes un algoritmi the line search the Wolfe conditions the bactracing line u.c.. 4. nodaa. Apalpošanas obetu telpis izvietouma matemtisais modelis. Tia noteits seoošs uzdevums. Ir zinma blvuma funcia un attluma funcia. Izvietouma efetivittes ritris ir zaudumu vid op summa t.i. transporta izdevumi. Ir nepieciešams izvietot noteitu obetu saitu lai samazintu zauduma funciu. Tia aploti viendimensias un divdimensiu problmu gadumi. 5. nodaa. Gradienta un vazi-tona optimizcias algoritmi. Abi algoritmi tie izmantoti optimlai apalpoošo obetu telpisai izvietošanai. Izstr melšanas procedra apmierina Vulfa noteiumus the Wolfe conditions. K piemrs tia apsatta 4 apalpoošo obetu izvietošana Latvias teritori. 6. nodaa. entisais algoritms. Š nodaa veltta funciu optimizciai izmantoot evolcias algoritmu tdu entisais algoritms. Tia aprastts anonisais entisais algoritms. Tia apsatts entis algoritma pielietoums optims apalpoošo obetu telpiss izvietošanas problmas risinšanai. Lai novrttu algoritma efetivitti tia izstrts esperimentu plns. Tia veiti saitlisie esperimenti. Labie rezultti tia iegti ar entis algoritma un gradienta metodes ombinciu. 7. nodaa. Programmu aprasts. Tia aprasttas datorprogrammas optimlai apalpoošo obetu izvietošanai. Tia izstrtas divas galvens programmas. Pirm programma gradienta un vazi-tona optimizcia tia uzrastta Mathcad vid. Otr programma entis algoritma optimizcia tia uzrastta MATLAB vid. Tia apsatta programmu strutra funcias maingie un sintase. 8. nodaa. Apsatto metožu pielietoums. Tia apsatta vieglatltias manžu atu telpiss izvietošanas problma. Ir zinma blvuma funcia un attluma funcia. Ir nepieciešams izvietot noteitu obetu saitu lai samazintu zauduma funciu transporta izdevumus. Esistošo vieglatltias manžu sarasts un oordintes ir emtas no Latvias Republias 0

11 Izglbas un zintnes ministrias Sporta departamenta datu bzes Sporta bzu reistrs Iegtos rezulttus atzingi novrta Latvias Republias Izglbas un zintnes ministria..7. Aizstvams tzes Autors ša darb aizstv:. Matemtiso modeu izstrdi apalpošanas obetu optimlaam izvietošanas uzdevumam.. Optimizcias metožu un algoritmu izstrdi piedtaam matemtisaam modelim. 3. Datorprogrammu izstrdi modeu un metožu realizciai. 4. Izstrto optimizcias metožu efetivittes pšanu..8. Promocias darba aprobcia Par promocias darba galvenaiem rezulttiem ziots 9 starptautisas zintnisas onferencs:. RTU 48. starptautis zintnis onference 007. gada.-3. otobris Rga Latvia. RTU 49. starptautis zintnis onference Informcias tehnoloia un vadbas zintne 008. gada otobris Rga Latvia 3. RTU 49. starptautis zintnis onference Transporta sistmu vadbas matemtiss metodes 008. gada otobris Rga Latvia 4. RTU Inovciu un auno tehnoloiu onference 009. gada 0.-. anvris Rga Latvia 5. RTU 50. starptautis zintnis onference 009. gada.-6. otobris Rga Latvia 6. International Conference on Accelerated Life Testing Reliability-based Analysis and Design 00. gada 9.-. mais Klermonferna Francia 7. RTU 5. starptautis zintnis onference 00. gada otobris Rga Latvia 8. Applied Stochastic Models and Data Analysis ASMDA0 The 4th Conference of the ASMDA International 0. gada nis Roma Itlia 9. 8th International Scientific and Practical Conference Environment. Technology. Resources. 0. gada 0.-. Jnis Rzene Latvia

12 Promocias darba autors ir 8 zintnisi ptnieciso publiciu autors un dzautors. Publiciu sarasts:. Andronovs A. Kashurin A. On a problem of spatial arrangement of service stations // Computer modelling and new technologies Vol. N lpp.. Kashurin A. Statistical description of a distribution of population density over the Latvian territory // Scientific ournal of RTU. 5th series. Datorzintne. - Vol lpp. 3. Kashurin A. Problem of optimal spatial arrangement of service stations // Third international conference on accelerated life testing Reliabilitybased analysis and design France Clermont-Ferrand May lpp. 4. Kashurin A. A problem of arrangement of service stations on the given territory // Scientific ournal of RTU. 6th series Mašnzintne un transports vol lpp. 5. Kashurin A. Parova I. Genetic algorithm of optimal spatial arrangement of service stations // Scientific proceedings of the 4th conference of the ASMDA International Society Italy Rome June lpp. 6. Parova I. Kashurin A. Valishevsy A. Vilumsone A. Maing decisions on arrangement of electronics in smart garment // Proceedings of the 8th International Scientific and Practical Conference Environment. Technology. Resources. Latvia Rezene 0.-. June lpp. 7. Parova I. Valishevsy A. Kashurin A. Vilumsone A. Integration of fleible eypad into clothing // Proceedings of the 8th International Scientific and Practical Conference Environment. Technology. Resources. Latvia Rezene 0.-. June lpp. 8. Kashurin A. Application of the problem of optimal location of service stations // Scientific ournal of RTU. Mašnzintne un transports 6th series - Riga: RTU 0. - vol.34. Pieemts publicšanai.

13 . PROMOCIJAS DARBA REZULTTU KOPSAVILKUMS.. Iedzvotu blvuma sadaluma Latvias teritori statistisais aprasts Daudziem pratisiem uzdevumiem nepieciešams aprasts par iedzvotu izvietoumu noteit teritori. Ldz ar to tia izvirzts uzdevums analtis form aprastt pieeamos datus par iedzvotiem Latvi. su uzdevums sastv no analtiso atarbu izstrdes as au noteitm Latvias oordinm aprint atbilstošu iedzvotu blvumu. Pamatooties uz to ir risints seoošs uzdevums: tie atrasts vidi svrtais Latvias centrs t.i. tdas oordintes ldz urm ir minimls summrais attlums no visiem Latvias puntiem emot v iedzvotu blvumu. Tabuls.. un.. attloti dati par Latvias iedzvotiem un Latvias teritorias pilstu un raonu lauumi ar to oordintes. Ldz 009. gada. liam Latvias teritoria bia sadalta 6 raonos un 7 lielpilss. Visus statistisos datus sniedza LR Centrs statistias prvalde. Att.. parta Latvias iedzvotu blvuma arte. Informcias avots: Latvias Pašvaldbu savienba LPS Daždas rsas parda attiecgo blvumu noteitos reionos... att. Latvias iedzvotu blvuma arte 3

14 Latvias lielpilstu rasturoumi.. tabula Indess Pilsta Koordinte z Koordinte y Iedzvoti Lauums m² ga Daugavpils Jelgava rmala Liepa zene Ventspils Latvias raonu rasturoumi.. tabula Indess Raons Koordinte z Koordinte y Iedzvoti Lauums m² Aizraules raons Alsnes raons Balvu raons Bausas raons Csu raons Daugavpils raons Dobeles raons Gulbenes raons Jelgavas raons Jabpils raons Krslavas raons Kuldgas raons Liepas raons Limbažu raons Ludzas raons Madonas raons Ogres raons Preiu raons Rzenes raons Rgas raons Saldus raons Talsu raons Tuuma raons Valas raons Valmieras raons Ventspils raons

15 Ir lietdergi lielpilstu un raonu iedzvotu saitu apsatt atseviši. Raonu iedzvoti Pieemsim a ir raona indess = w ur w ir apsatmo raonu indess. T tis izmantoti seooši apzumi: SR ir -t raona teritoria ts punts zy SR ; zy ir -t raona indiatora funcia: zy= a zy SR 0 citdi ir -t raona iedzvoti P ir -t raona lauums m h ir -t raona iedzvotu blvums: h = / P. su aprina nosacumos ir pieemts atru raonu aprastt ar apli. Latvias teritoria sadalta apos ts rasturoums dots.4. tabul. Apa rdiusu aprina pc nosacumiem a apa lauums sart ar raona lauumu un viu op saritba ir masimla. Pieemsim a: z y ir -t raona centra oordintes r ir -t raona rdiuss as aprints pc formulas r P.. Ša gadum funcia zy ir aprastta seooši a y r y y r z r y y z z r y y zy=. 0 citdi. Tie pieemts a iedzvotu blvums vis raon ir vienmgs. Tc iedzvotu blvums punt zy ir aprastts seooši f r z y w i h z y..3 5

16 Lielpilstu iedzvoti Tagad tis apsattas lielpilstas. Pieemsim a ir pilstas indess = m ur m ir apsatto lielpilstu saits. Pieemsim a: SP ir -ts pilstas teritoria; z y ir -ts pilstas centra oordintes; zy ir -ts pilstas indiatora funcia: zy= a zy SP 0 citdi. Indiatora funcia zy ir aprastta seooši a y r y y r z r y y z z r y y zy=.4 0 citdi. z y - -ts pilstas centra oordintes; r -ts pilstas rdiuss r aprints pc formulas.. Iedzvotu blvumi pilss aprinti pc formulas h = / P ur: -ts pilstas iedzvoti; P -ts pilstas lauums m. -ts pilstas iedzvotu sadaluma blvums aprastts ar divdimensiu normla sadaluma blvumu: f p h zy ep z z y y.5 ur ir iedzvotu sadaluma blvuma standartnovirze as aprinta pc formulas: r.6 ur >05 pilstas pievilšanas oeficients coefficient of city s attraction Vispga iedzvotu blvuma izteisme punt z y ir f z y f r z y m p z y f z y..7 6

17 Galvenie raonu un pilstu rasturlielumi attloti tabuls.3. un.4. Pilstu iedzvotu blvums rdiuss un standartnovirze Pilsta Blvums Rdiuss ga Daugavpils Jelgava rmala Liepa zene Ventspils tabula Raonu iedzvotu blvums un rdiuss Pilsta / Raons Blvums diuss.4. tabula Aizraules raons Alsnes raons Balvu raons Bausas raons su raons Daugavpils raons Dobeles raons Gulbenes raons Jelgavas raons abpils raons Krslavas raons Kuldgas raons Liepas raons Limbažu raons Ludzas raons Madonas raons Ogres raons Preiu raons zenes raons gas raons Saldus raons Talsu raons Tuuma raons Valas raons Valmieras raons Ventspils raons

18 8 Latvias vidi svrts oordintes Latvias vidi svrts oordintes ir punts u v uram ir atbilst seoošiem nosacumiem: a visi Latvias iedzvoti sans vien punt tad punts u v s tas punts ldz uram visu iedzvotu opais noietais attlums bs vismazais. Vienršošanai tie pieemts a visi -ts pilstas iedzvoti oncentrs oordintu centr z y. Tas ir pieauams piemums o pilstu lauumi ir mazi par raonu lauumiem. Tagad matemtis problma ir formulta seooši: atrast puntu u v as minimiz ma funciu m w y r z y r z r y r y H v y u z dzd v u q h v u g..8 Ir iespams atrast minimuma puntu u v izmantoot gradienta metodi. Funcias gradients.8 ir dots izteism: m w y r z y r z r y r y i m w y r z y r z r y r y i H v y v y u z dqd v v u q h H u z v y u z dqd u q v u q h v u g v v u g u v u g. em v a gradienta metodi izmanto uzmangi o ma funciai ir prtrumi raonu robežs. Ldz ar to gradienta metodes standarta algoritm tia veitas dažas izmaias. T ms nevaram pilngi uzticties gradienta metodei tas tia prbaudts ar ar minimizšanas funcias paldzbu. Esperimenti ra metodes efetivitti pie neliela soa. Tia izstrta specila programmatra Mathcad 4 vid. Programmu ompless au aprint Latvias iedzvotu blvumu dotaai oordintei z y ar formulas.7 paldzbu. K piemrs.5. tabul tia attloti daži blvumi attiecs oordins z y.

19 .5. tabula Iedzvotu blvumi oordins zy Koordintes zy Blvums fzy tas redzams msu piem - vismazais blvums ir oordins tabula a funcias vrtba dažs oordins Koordintes u v a funcia gu v.856 * * * * * 0 8 Minim ma funcias vrtba atrodas punt Šis programmu ompless au mums noteit Latvias vidi svrts oordintes izmantoot ar gradienta metodi. Aprini para a Latvias vidi svrts oordintes ir Šs oordintes attiecs uz pilstu Rga. SECINJUMI Ir apsatts analtiss atarbas izstrdes uzdevums as au nortam oordinm Latvias teritori aprint atbilstošu iedzvotu blvumu. Izstrtais problmas risinuma algoritms ir bts uz gradienta metodi. Tia atrast vidi svrtais Latvias centrs. Apsattie saitlisie piemri a t efetivitti... Apalpoošo obetu telpiss izvietošanas uzdevuma matemtisais modelis Formlais uzdevuma aprasts ir seoošs. Tie apsatta re telpa X ur onrts punts bs apzts ar planei tas ir divdimensiu vetors var apsatt ar citu dimensiu. Ir noteits attlums l * starp puntiem un * as apmierina parastos attluma asiomu nosacumus: l 0 l * 0 l * l ' l ' *. Ša telp ir izvietoti daži obeti piemram dzvo cilvi dzvniei atrodas sporta bzes. Obets as atrodas punt tie nosauts par obetu. Obeta izvietošanas blvums ir aprastts ar zinmo blvuma funciu f 0 ldz ar to 9

20 f. Telp t izvietotiem dažiem apalpošanas obetiem uru saits viends ar. Ir nepieciešams noteit šo puntu oordintes uras tie apztas ar.... Ja obets tie apalpots i-ta apalpošanas obet tad atbilstoši zaudumi ir viendi ar g i i i g g. Pieemsim a piemram g ir zauduma funcia un i i paredzsim a t ir simetrisa attiec pret nulli: g = g un ir izlieta uz leu. Varbba a -obeta apalpošana notie i-ta apalpošanas obet ir seooša i l l i. Tagad problmu var formult seooši: atrast apalpošanas obetu izvietošanas oordintes... as minimiz opos zaudumus D i i l g f d i i l i Maingie tie apzti vetors.... Turpm tis izmantota attluma funcia un zauduma funcia: t l t t.0 g t t t...3. Optimizcias metodes.3.. Gradienta optimizcia Pieemsim a obeta oordintes ir T R -t obeta oordintes ir 0

21 T. Kritria minimizšanai tis izmantota gradienta metode.9. Šim mim tis aprints attiecgais gradients. Parcilaam gradientam attiec uz -to obetu tis izmantota seooša izteisme: T D D D ur.... d f l l g l l d f g l l l g l d f g l l D q i i i i i q i q i i i i i i i q q. Tagad ms varam pasniegt gradientu no.9 parcilo atvasinumu -matricu D D D D D..3 Tad mums ir seooši atvasinumi: i i q t t t t l t.4 citdi. t a t t g t t g t i i q q.5 Optimizciai tie izmantots divu etapu process. Pirma stadi paoordintu component-wise coordinate-wise optimizcia tie izmantota seooši. -ts itercias = funcia.9 ir minimizta attiec uz abm -t obeta oordinm ta pat lai ps

22 oordintes nemains. Otra etap ms stram ar pilno gradientu Kvazi-tona metode. BFGS metode. Kvazi-tona metodm ir nepieciešams tiai ma funcias gradients D D... as tie izmantots atr iterci. Mrot izmaias gradientos ts b ma funcias modeli as ir pietieami labs lai radtu superlineras onverences superlinear convergence. Vispopulais vazi-tona algoritms ir BFGS metode as nosauta par godu ts atliem Brodenam Fleeram Godfarbam Šanno Broyden Fletcher Goldfarb Shanno. Meluma virziens p etap ir dots p B D ur B ir n n simetrisa pozitvi definta matrica positive definite matri as tis ataunota atr iterci. Pieemsim a sotn 0 rtba ir fista. D ir funcias.9 parci atvasinumu -matrica. Jaun itercia nosaa p ur soa garums izvts lai titu izpildts Vulfa nosacums. Vulfa nosacums ir populrs netiešs lnias melšanas ineact line search nosacums as paredz a vispirms dod nepieciešamo samazinumu ma funci D tas noteits seooš nevien: D p D c D T p dai onstantei c 0 tipis c vrtba ir 0.9 ad melšanas virziens p ir izvts pc tona vai vazi-tona metodes. Citiem vrdiem saot samazinumam funci D t proporcionlam gan soa garumam gan atvasinumam pa virzienu directional derivative D T p. Lai realiztu BFGS metodi soa garums tie rints no lnias melšanas procedras as apmierina Vulfa nosacumus.

23 Algoritms atpaaeoša lnias melšana Bactracing line search Izvties > 0 0 c 0 ; Uzstt T atrtot dz D p D c D p Uzstt ; beigt atrtot rtraut pie = Ša proced sotnais soa garums tie izvts tona un vazi- tona metods. Pras ontracias fatoram contraction factor bieži vien ir pieauami mainties pie atras lnias melšanas itercias. s varam iegt BFGS algoritma versiu as str ar Hesiana aprosimciu Hessian approimation B. Algoritms BFGS metode Ir dots sotnais punts 0 onverences tolerance > 0 Inversa Hesiana aprosimcia B 0 ; 0; amr D ; Aprint D un melšanas virzienu p B D Uzstt + = + p ur ir aprints no lnias melšanas procedras as atbilst Vulfa nosacumiem; Noteit s = + un D D ; Aprint B s s B B B ;.6 T T s B s T T s Uzstt + ; beigt amr Algoritms ir drošs un t onverences trums ir superliners as ir pietieami trs daudziem pratisiem miem. Tabulas.7 un.8 satur optimizcias rezulttus. 3

24 .7. tabula Gradientu optimizcias rezultti Itercias numurs D.4*.9*.*.04*.98 * *0 8 *0 8 *0 8 *0 8 * tabula BFGS metodes rezultti Itercias numurs D.4*.3 *.0 *.07 *.88 *

25 Tabuls var redzt a gradienta un BFGS metodes neprtrauti uzlabo ritria vrtbu. K tas redzams abm metodm ir viendas vrtbas; ldz ar to s varam izmantot gradienta metodi vienršo metodi. SECINJUMI Tia apsatts apalpošanas obetu izvietošanas telp uzdevums. Uzlabotais uzdevuma risinuma algoritms ir balstts uz gradienta un vazi- tona metodm. Iegtie saitlisie piemri rda to efetivitti entisais algoritms entisie algoritmi ir gaduma melšanas metodes uras pamatoas uz Darvina evolcias teoriu. Katru teošo vetoru ~... urš atbilst nosacumam.4 sauc par pieemamu hromosomu. Vienlaius tie apsattas daudzas hromosomas uru opu sauc par paaudzi. Paaudze ir opa P ~ ~... ~ } [6]. { n entis algoritma darbbas gait paaudzes nomaina viena otru atbilstoši evolcias procesam. Jaunas paaudzes tie veidotas ar divu operciu paldzbu uras sauc par entisam un evolcias opercim. entiss opercias rada aunas hromosomas. Ir divas entiss opercias - rustošans crossover un mutcia mutation. Evolcias opercia atspoguo dabiss izlases mehnismu pielietoot to hromosomm auna paaudz. Parasti evolcias operciu sauc par seleciu selection. Krustošans operci piedals divas hromosomas ~... un ~.... Vispirms ener vesels gaduma saitlis R urš ir vienmgi sadalts interv [ ]. Izvel punt R hromosomas dals divs das: ~ R R ~ R R Pc tam saombinam vienas hromosomas reiso pusi ar otras hromosomas labo pusi. Iegsim divas aunas hromosomas: ~ R R ~ R R Piemram a R=5 = un tad ~ ~ ~ 0000 ~

26 ~ Mutcia ir entisa opercia hromosomai... ura maina vrtbu R-ta šir uz preto. Preczi sot mutcias maina R rtbu 0 vai R- omponent uz preto vrtbu : ~ R R R R pat agr R vrtba tie izvta neauš veid neatargi no iepriešas izvles R. Piemram a R = un ~ 0000 ir ieprieš iegtas hromosomas tad pc mutcias ~ 000. Selecias opercia veido aunu paaudzi. Hromosoma ~... no vecs paaudzes tie izvta auna paaudz sasa ar s ma funcias vrtbu D s. formulu.9. Ja nepieciešams masimizt ma funciu tad izvles varbba p hromosomai ~ ir: p n D ~ / D ~..9 v v Minimizcias gadum:. ~ n p ~ D v D.0 v Lai izveidotu aunu paaudzi veisim n neatargus gaduma inumus. Turlt atr minum eneram vienmgi sadaltu gaduma lielumu R no intervla 0. Izvlamies hromosomu ar numuru a ir sp nevienba: F R F... n. ur F 0 0 F n un F p v v... n. atz a viena un t pati hromosoma auna paaudz var bt izvta vairas reizes. c auns paaudzes noformšanas veic rustošans un mutcias opercias. Turlt ir dotas rustošans p c un mutcias p m varbbas. To 6

27 rtbas noz vido hromosomu dau uras tie iesaisttas atbilstoša operci. Krustošans opercia sas no hromosomu izvles šai operciai. Veisim n neatargus gaduma minumus. Pašreiz minum eneram vienmgi sadaltu gaduma lielumu R no intervla 0. Ja ir sp nevienba R p c. tad hromosoma ~ tie izvta rustošans operciai. Pieemsim a s ir izvelto hromosomu saits. c tam grupam izvs hromosomas pa priem un veicam rustošans operciu.7 mainot teoša paaudz vecs hromosomas pret aunam hromosomm. c tam priesim pie mutcias opercias. Atal veisim n neatargus inumus. Pašreiz minumeneram vienmgi sadaltu gaduma lielumu R interv 0. Ja R p m.3 tad hromosomai veic mutcias operciu.8. Pieemsim a sm ir izvelto hromosomu saits. Tagad varam aprastt entiso algoritmu optimizciai. Ieea: ma funcia.9; ierobežoumu opa T.4; 3 algoritma parametri: n populcias apoms; h apsatmo populciu saits; p c un p m rustošans pieemsim p c =0.95 un mutcias pieemsim p m =0.0 varbbas. Izea: uzdevuma vislabais risinums urš tie atrasts ar entiso algoritmu. 7

28 Algoritms 3 enert suma populciu OP n matricu. Pieemt t=. Turpint a t h. a Selecia. Izmantoot veco populciu OP ar selecias operciu izveidot aunu populciu NP n matricu. b Krustošans. i Izveidot sasa ar formulu. vetoru V=V V V s as satur s hromosomu numurus no auns populcias NP uras piedals rustošans operci. ii Turpint a s. Veit rustošans operciu hromosomm ~ s un ~ s un izveidot aunas hromosomas ~ s un ~ s. Ja ~ s atbilst nosacumiem.4 un D ~ s vrtba ir laba ne D ~ s tad populci NP samaina hromosoma ~ s ar ~ s. Atrtot šo procedru ar ~ s un ~. Pieemt s=s-. s c Mutcia. i Izveidot sasa ar formula.3 vetoru W=W W W sm as satur sm hromosomu numurus no NP uras piedals mutcias operci. ii Katrai hromosomai hromosomu ~. Ja rtba ir laba ne ~ ur W veit mutciu un iegt ~ atbilst nosacumiem.4 un D ~ D ~ populci NP samaina hromosoma ~ ar ~. iii Izvties no ps populcias OP=NP t=t+ un priet uz.soli. 3 Izvties no ps populcias NP hromosomu NP ar vislabo ma funcias vrtbu un pieemt par uzdevuma risinumu [6]. su gadum funcia D no.9 tie izmantota ma funcia. Problma ir formulta seooši: atrast obetu izvietošanas oordintes... as minimiz opos zaudumus D pie nosacuma a... i l i i i l g f d i 8

29 i T.4 ur T apz apsatmo teritoriu. maingie tie apzti vetors ~.... su gadum apsatmais vetors ir vetors as satur visas oordintas oordintu opu. Katra oordinte satur saitus. Hromosoma ~... ur ir pirm apalpošanas obeta oordintes ir otr apalpošanas obeta oordintes ir - apalpošanas obeta oordintes. Matrica A s... att. aprasta Latvias teritoriu T. Katram matricas elementam atbilst Latvias teritorias taisnstris as tie uztverts punts oordintu pris. i.. att. Matrica A Matrica A satur šdu informciu: A = a oordintes pieder Latvias teritoriai 0 citdi. i c pieemams nosacums.4 puntam 9 i

30 ir izpildts a A i. MATLAB R009b vid tia izstrtas specilas programmas. Programmu ompless au optimizt ma funciu.9 izmantoot entiso algoritmu Algoritms 3. Tia veiti desmit esperimenti ar daždiem datiem tia veiti. Vispie esperimentu rezultti.9. tabula D Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr * tabul punti ir optimla lmuma oordintes un D ir ma funcias vrtba. No tabulas ms redzam entisais algoritms uzlabo ritria vrtbu. entisais algoritms sniedz labus rezulttus ne gradienta metode. Iemesls ir seoošs: gradienta metode beidz strt lola minimum. Bet su uzdevums ir daudzestrms. Tas a uzdevums ir daudzestrms entiso algoritmu ietem maz. Vislabie rezultti sasniedzami apvienoot abas metodes..0. tabul ms redzam gradienta metodes rezulttus as sas no puntiem urus izsaitoa entisais algoritms. Optimizcias metode entisais entisa algoritma un gradienta metodes ombincia.0. tabula algoritms *0 8 Gradienta metode * D 30

31 No tabulas var redzt uzlabos ma funcias vrtba. Nama gradienta optimizci funcias vrtba nemains. Visi saemtie punti atrodas Latvias teritori. SECINJUMI Tia apsatts apalpošanas obetu izvietošanas telp uzdevums. Izstrtais uzdevuma risinuma algoritms ir balstts uz gradienta metodes un entisa algoritma ombincias. Iegtie saitlisie piemri rda to efetivitti..4. Apsatto metožu pielietoums. Latvi ir vieglatltias manžu trums s..3. att. un šodien t ir viena no atuam sporta bažu truma problm..3. att. Esistošo vieglatltias manžu izvietoums Esistošo vieglatltias manžu sarasts un oordintes dotas.. tabul. Dati ir emti no Latvias Republias Izglbas un zintnes ministrias Sporta departamenta datu bzes Sporta bzu reistrs ura bia izveidota sadarbooties ar promocias darba autoru. 3

32 Esistošo vieglatltias manžu sarasts un oordintes Sporta bzes nosauums Atrašanas vieta Koordinta z.. tabula Koordinta y Baldones sporta ompless Baldones novads 583 Biedrbas Latvias Olimpis ga Ziemeu raons omitea olimpisais sporta centrs Daugavpils SP Brnu aunatnes sporta Daugavpils sola abpils 3.vidussola abpils novads Jelgavas sporta halle Jelgava Kuldgas sporta aentras Kuldgas novads vieglatltias manža Latvias sporta pedagoias aadmia ga Vidzemes priešpilsta Liepas sporta manža Liepa Ludzas novada Sporta sola Ludzas novads Muru sporta imnzia as novads Preiu.vidussola Preiu novads gas pašvaldbas sporta iestde ga Latgales priešpilsta "Rgas Nacion sporta manža" SIA "Olimpisais centrs "Limbaži" Limbažu novads "sporta ompless SIA "Olimpisais centrs "Ventspils"" Ventspils sporta ompless Sporta biedrba "Vrpa" Aizraules novads Sporta ompless "Vrpa" Ludzas novads Ugles vidussola Ventspils novads VSIA "Kultras un sporta centrs "Daugavas stadions"" ga Latgales priešpilsta Sasa ar šo informciu ms definam msu problmu seooši. Mums ir pieprasums no Sporta departamenta izvietot 4 aunas vieglatltias manžas Latvias teritori. Galgais atrisinums ir atargs no iedzvotu izvietouma Latvias teritori. Attiecgie dati un analtis izteisme dota.. noda. Optimizciai tie izmantots entisais algoritms Algoritms 3. Esperimentu rezultti tie attloti apaš. Tia veiti desmit esperimenti iegtie rezultti attloti.. tabul. Pris nosaa -t obeta atrašans vietas oordintes. D ir ma funcias vrtba. 3

33 Vispie esperimentu rezultti.. tabula D Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 Esperiments Nr *0 8 No tabulas ms redzam entisais algoritms uzlabo ritria vrtbu. Labos rezulttus parada esperiments Nr.6 s..4. att.. Šeit aunas vieglatltias manžas apztas ar baltiem puntiem..4. att. Jauno vieglatltias manžu izvietoums Tia apsatta vieglatltias manžu atu telpiss izvietošanas problma. Izstrtais uzdevuma risinuma algoritms ir balstts uz entis algoritma pamata. MATLAB R009b vid tia izstrtas specilas programmas. Iegtie saitlisie piemri attlo to efetivitti. Msu pieredze da a programma str efetvi un pass ir novrtis iegtos rezulttus. 33

34 3. SECINJUMI I. ZINTNISK NOVITTE UN GALVENIE PJUMU REZULTTI. Promocias darbs veltts matemtiso modeu metodes algoritmu un datorprogrammu izstrdei as au atrisint optims apalpošanas obetu izvietošanas uzdevumu esošs transporta infrastrutras gadum ar izpt to efetivitti un pielietot iegtos rezulttus pras. T msdienu optim apalpošanas obetu izvietošana ir pratisi svargs uzdevums piedtais darbs ir atuls.. Promocias darb ir izpildti visi sum fistie uzdevumi. 3. Tia veita statistiso datu analze iedzvotu sadalumam Latvias teritori. Rezult tia iegta iedzvotu blvuma analtis izteisme. Tas au noteitm Latvias oordinm aprint atbilstošu iedzvotu blvumu. Pamatooties uz to ir risints seoošs uzdevums: tia atrasts vidi svrtais Latvias centrs t.i. tdas oordintes ldz urm ir minimls summrais attlums no visiem Latvias puntiem emot v iedzvotu blvumu. Nepieciešam statistis informcia tia iegta no LR Centrs statistias prvaldes. 4. Tia izstrts optimls apalpoošo obetu telpiss izvietošanas oriinlais matemtisais modelis. Tia izmantotas msdiengas optimizcias metodes un algoritmi tdi lnias melšanas metode line search methods step length the Wolfe conditions bactracing line search gradienta optimizcia vazi-tona metodes quasi- Newton methods BFGS metode un entisais algoritms. Augstminto uzdevumu atrisinšanai tia izstrtas specializtas datorprogrammas Mathcad un MATLAB vid. 5. Izstrtais modelis un programmnodrošinums ir dergs eburam transporta izdevumu tratumam. Svargi ir tiai tas a šie izdevumi atargi iespams nelineri no dislocias attluma starp lientu un obetu. K attlumi var figurt atar no risin uzdevuma nosacumiem: eogrfisie attlumi Attlumi ilometros pa esošo ceu tliem Lais as patts nepieciešam attluma veišanai Brauciena izmasas 6. Tia veits izstrto metožu un programmu esperimentlais pums. Parta entis algoritma priešrocba saldzinot ar algoritmiem uri pamatoti uz gradienta metodm daudzestrmu uzdevumu risinšanai. Noteits a vislabos rezulttus dos entis algoritma un gradienta metodes ombincia. Tia secints a vislabos rezulttus var iegt a sotnos puntus optimizciai izvs esperti. 34

35 II. APROBCIJA. Izstrtie iedzvotu blvuma sadaluma Latvias teritori aprasta modei un metodes tia izmantotas zintnisa proet Matemtiso modeu algoritmu un datorprogrammu izstršana Latvias transporta sistmas analzei attstbas prognozšanai un optimizciai as bia zintnis proeta Zintniss darbbas attstba augstsols daa un realizs no 008. gada. nia ldz 3. decembrim.. Uz iegto rezulttu bzes tia sagatavota daa priešmeta Inženieruzdevumu risinšanas datormetodes leciu un pratiso darbu Rgas Tehniss universittes Transportmašnu Tehnoloiu Institta maistratras pirm ursa studentiem. 3. Jaunu vieglatltias manžu optim izvietouma Latvias teritori uzdevums risints sadarb ar Latvias Republias Izglbas un zintnes ministrias Sporta departamentu. Statistisas dati iegti no LR Centrs statistias prvaldes LR CSP un Latvias Republias Izglbas un zintnes ministrias Sporta departamenta datu bzes Sporta bzu reistrs ura bia radta sadarbooties ar promocias darba autoru. 4. Iegtie modei un algoritmi var tit izmantoti privtiem un valsts uzmumiem optimlo apalpoošo obetu telpiss izvietošanas uzdevumam t.i. automašnu tehniss apopes stacias sporta bzes degvielas uzpildes stacias u.c. 5. Par promocias darba galvenaiem rezulttiem ziots 9 starptautisas zintnisas onferencs un promocias darba autors ir 8 zintnisi tnieciso publiciu autors un ldzautors. 35

36 LITERATRAS SARAKSTS. Administratvo teritoriu un apdzvoto vietu liums in Latvian. / Internet. An introductory course in MATLAB Internet. / 3. Andronov A. On Some Approach to an Estimation of Correspondence Matri of Transport Networ // Proceedings of the International Conference Mathematical Methods for Analysis and Optimisation of Information Telecommunication Networs. Mins: Belarusian State University 009. pp Andronov A. Santalova D. On Nonlinear Regression Model for Correspondence Matri of Transport Networ // ASMDA-009 Selected papers. L.Saalausas C.Siadas and E.K.Zavadsas Eds.. Vilnius 009. pp Andronov A. Kashurin A. On a problem of spatial arrangement of service stations // Computer Modeling and New Technologies - Riga: TSI Vol. No. - pp Andronovs A. Sarežtu sistmu vadbas loisie pamati: Mbu dzelis. RTU Izdevniecba Rga 006. p Brimberg J. Hansen P. Mladenovic N. Taillard E.D. Improvements and comparison of heuristics for solving the uncapacitated multi source Weber problem. Oper Res pp Brimberg J. Mladenovic N. Solving the continuous Location-Allocation problem with tabu search. Stud Locational Ann pp Busetti F. Simulated annealing overview. Internet. / df 0. Cao Y.J. Wu Q.H. Teaching genetic algorithm using Matlab // Int. J. Elect. Enging. Educ. - Manchester: Manchester U.P Vol. 36 pp Central Statistical Bureau of Latvia / Internet. - Chapman S.J. MATLAB Programming for Engineers. edition - CL- Engineering p Chipperfield A. Fleming P. Pohlheim H. Fonseca C. Genetic Algorithm TOOLBOX For Use with MATLAB. - Department of automatic contral and systems engineering University of Sheffield p COMMIN - the Baltic spatial conceptshare. National Planning Systems: Latvia / Internet. - POPULATION.html 36

37 5. Cooper L. Location-Allocation problems. Oper Res pp Davidon W.C. Variable metric method for minimization Technical ReportANL 5990 revised. Argonne IL: Argonne National Laboratory Drezner Z Wesolowsy G. On the collection depots location problem. Eur J Oper Res pp Drezner Z. Hamacher H.W. Facility location: Applications and theory. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg p Eo U. K uzrastt diplomdarbu. Rga: Ja Rozes apgds p Ernst A.T. Krishnamoorthy M. Solution algorithms for the capacitated single allocation hub location problem. Ann Oper Res pp Ezilon maps. / Internet. Fellows M. H. Fernau. Facility Location Problems: A Parameterized View // AAIM '08 Proceedings of the 4th international conference on Algorithmic Aspects in Information and Management - Springer-Verlag Berlin Heidelberg pp Floudas C.A. Pardalos P.M. Encyclopedia of Optimization. Second Edition. - Springer p Fouard C. Malandain G. 3-D chamfer distances and norms in anisotropic grids. Image Vision Comput pp Genetic Algorithm and Direct Search Toolbo For Use with MATLAB User s Guide Version. - The MathWors Inc. Natic MA p.. 6. Gill P. Murray W. Wright M. Practical Optimization. London: Academic Press 98. p Gong D. Gen M. Yamazai G. Xu W. Hybrid evolutionary method for capacitated locationallocation problem. Comput Ind Eng pp Hansen P. Jaumard B. Taillard E. Heuristic solution of the multi source Weber problem as a p-median problem. Oper Res Lett pp Heragu S.S. Facilities design. PWS publishing company a division of International Thomson Publishing Inc. Boston Holland J. H. Adaptation in Natural and Artificial Systems: An Introductory Analysis with Applications to Biology Control and Artificial Intelligence. - The MIT Press p

38 3. Kashurin A. A problem of arrangement of service stations on the given territory // Scientific ournal of RTU. Mašnzintne un transports 6th series - Riga: RTU vol.34 pp Kashurin A. Statistical description of a distribution of population density over the Latvian territory // Scientific proceedings of Riga Technical University Computer science 5th series - Riga: RTU Vol.36 pp Kashurin A. Parova I. Genetic algorithm of optimal spatial arrangement of service stations// Scientific proceedings of Applied Stochastic Models and Data Analysis ASMDA0 The 4th Conference of the ASMDA International Society - Rome Italy: 0. pp Kashurin A. Problem of optimal spatial arrangement of service stations // Third International Conference on Accelerated Life Testing Reliability-based Analysis and Design - France Clermont-Ferrand: Polytech Clermont-Ferrand pp Kashurin A. Application of the problem of optimal location of service stations // Scientific ournal of RTU. Mašnzintne un transports 6th series - Riga: RTU 0. - vol.34 - Pieemts publicšanai. 36. Latvian environment agency. Sustainable Development Indicators in Latvia Riga: Jelgavas tipogrfia 003. p Mafield B. Essential Mathcad for Engineering Science and Math. United States of America: Academic Press; edition p Melo T. Nicel S. Saldanha da Gama F. Facility Location and Supply Chain. Management A comprehensive review. - Berichte des Fraunhofer ITWM Berichte des Fraunhofer ITWM Nr. 30 Germany p Ministry of Regional Development and Local Government and State Regional Development Agency Latvia. National report of Latvia on implementation of cemat guiding principles for sustainable spatial development of the European continent / Internet /5eCEMAT_National_Report_Latvia_00_EN.pdf 40. Mitchell M. An Introduction to Genetic Algorithms. Cambridge Massachusetts London England: Massachusetts Institute of Technology p Municipalities of Latvia. / Internet Murray A.T Church RL 996 Applying simulated annealing to location-planning models. J Heuristics pp Nacion sporta attstbas programma gadam. / Internet. 38

39 44. Nocedal J. Wright S.J. Numerical Optimization. - Springer-Verlag New Yor Inc p Nocedal J. Wright S.J. Numerical Optimization. Second Edition. - Springer Science+Business Media LLC p Ogrycza W. Inequality measures and equitable approaches to location problems. Eur J Oper Res pp Ohlemuller M. Tabu search for large location-allocation problems. J Oper Res Soc pp Parametric Technology Corporation. Mathcad 4.0. Internet. / Parova I. Kašurins A. Vališevsis A. Viumsone A. Maing Decisions on Arrangement of Electronics in Smart Garment // Proceedings of the 8th International Scientific and Practical Conference Environment. Technology. Resources. - Rezene: 0. pp Parova I. Vališevsis A. Kašurins A. Viumsone A. Integration of Fleible Keypad into Clothing // Proceedings of the 8th International Scientific and Practical Conference Environment. Technology. Resources. - Rezene: 0. pp rna K. Viiart A. Algorithm for Finding Optimal Circles to Cover n Points on Plane // Tartu Conference on Computational Statistics & Statistical Education. Abstracts Tartu Estonia: IASE p Plastria F. Nicel S. Puerto J. Location Theory: A Unified Approach // Springer pp R00b MathWors Documentation / Internet R00b MathWors Documentation / Internet Register A.H. A Guide to MATLAB Obect-Oriented Programming - Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Group p ReVelle C.S. Eiselt H.A. Location analysis: A synthesis and survey // European Journal of Operational Research p Santalova D. Semi-parametric regression models for analysis and forecasting of freight and passenger transportation volumes. Doctoral thesis. Riga: Riga Technical University 009. p Santalova D. Vairumtirdzniecbas nolitavas prdošanu lieluma regresias modelis // RTU zintnisie rasti: Mašnzintne un Transports. Rga: RTU 005. pp Shopova E.G. Valieva-Bancheva N.G. BASIC A genetic algorithm for engineering problems solution // Computers and Chemical Engineering Sofia Bulgaria: Institute of Chemical Engineering Bulgarian Academy of Sciences 005. p