Algebriskās struktūras 5.lekcija

Lielums: px
Sāciet demonstrējumu ar lapu:

Download "Algebriskās struktūras 5.lekcija"

Transkripts

1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju gads

2 Saturs 2 1. Grupu reizinājumi Tiešais reizinājums Ārējais tiešais reizinājums Iekšējais tiešais reizinājums Pustiešais reizinājums Iekšējais pustiešais reizinājums Grupu automorfismi Ārējais pustiešais reizinājums Zappa-Szep reizinājums mājasdarbs 22

3 1. Grupu reizinājumi Tiešais reizinājums Ārējais tiešais reizinājums Ja G, H ir grupas, tad par to (ārējo) tiešo reizinājumu sauksim (G H, ), kur operācija tiek uzdota šādi: (g, h) (g, h ) = (gg, hh ) teorēma. (G H, ) ir grupa. PIERĀDĪJUMS Asociativitāte Visiem g, g, g G un h, h, h H izpildās ((g, h)(g, h ))(g, h ) = (gg, hh )(g, h ) = ((gg )g, (hh )h ) = (g(g g ), h(h h )) = (g, h)((g, h )(g, h )).

4 4 Vienības elements Visiem g G, h H izpildās (g, h)(e, e) = (ge, he) = (eg, eh) = (g, h), tāpēc (e, e) ir vienības elements. Inversais elements Visiem g G, h H izpildās (g, h)(g 1, h 1 ) = (gg 1, hh 1 ) = (e, e), tāpēc katram G H elementam eksistē inversais elements piezīme. Ja G un H ir komutatīvas, tad G H arī ir komutatīva. Ja G un H ir galīgas, tad G H ir galīga un G H = G H. G H H G, izomorfisms f : G H H G var tikt definēts šādi: f((g, h)) = (h, g).

5 5 (G H) I G (H I), izomorfisms f : (G H) I G (H I) var tikt definēts šādi: f(((g, h), i)) = (h, (g, i)). Tādējādi grupu tiešais reizinājums ir ar precizitāti līdz izomorfismam komutatīva un asociatīva operācija grupu kopā. Eksistē vienības elements - triviālā grupa E = {e}: G izpildās G E G. Tiešo reizinājumu var vispārināt uz patvaļīgas galīgas grupu kopas gadījumu: ja ir dotas n kopas G 1,..., G n, tad par to tiešo reizinājumu sauc kopu G 1... G n ar šādu operāciju: (a 1,..., a n )(a 1,..., a n) = (a 1 a 1,..., a n a n).

6 piemērs. Vektoru kopas: Taisnstūra rotācijas. Atlikumi. R n R R... R piezīme. Aditīvajā pierakstā (ja visas grupas G i ir komutatīvas) izmanto apzīmējumu G 1 G 2... G n piezīme. Ja G = N M, tad definēsim Ñ = {x G x = (n, e), kur n N}, M = {x G x = (e, m), kur m M}. Var redzēt, ka Ñ G, M G un g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = ñ m = mñ,

7 7 kur ñ Ñ un m M (G = Ñ M = MÑ): (n, m ) 1 (n, e)(n, m ) = (n 1 nn, m 1 em ) = (n } 1 {{ nn }, e) Ñ, N (n, m) = (n, e)(e, m) Ñ M Iekšējais tiešais reizinājums 1.2. teorēma. Ja grupa G satur n normālas apakšgrupas N 1,..., N n un g G ir viennozīmīgi izsakāms formā kur g i N i, tad g = g 1 g 2...g n, G N 1 N 2... N n. PIERĀDĪJUMS Definēsim funkciju f : N 1 N 2... N n G,

8 8 f(a 1,,, a n ) = a 1...a n. Pierādīsim, ka f ir grupu izomorfisms. Sirjektivitāte g G ir uzrakstāms formā g = g 1 g 2...g n, kur g i N i, tāpēc g = f(g 1,..., g n ). tad Injektivitāte Ja f(a 1,..., a n ) = f(b 1,..., b n ), a 1...a n = b 1...b n. Tā kā katrs G elements ir viennozīmīgi izsakāms reizinājuma formā, tad seko, ka a i = b i, i.

9 Homomorfisms No sākuma pierādīsim, ka N i N j = {e}, ja i j. 9 Ja N i N j reizinājumu: Seko, ka a = e. a, tad a var divos dažādos veidos uzrakstīt kā }{{} e...e ae...e = }{{} e...e ae...e. i 1 j 1 No viena mājasdarba uzdevuma seko, ka ja a i N i un a j N j, tad a i a j = a j a i. Tagad redzam, ka f((a 1,..., a n )(b 1,..., b n )) = f((a 1 b 1,..., a n b n )) = a 1 b 1 a 2 b 2...a n b n = a 1 a 2...a n b 1 b 2...b n = f((a 1,..., a n ))f(b 1,..., b n ).

10 teorēma. Ja N, N G, N N = {e} un G = NN, tad G N N, PIERĀDĪJUMS Jāpierāda, ka g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = hh, kur h N, h N. Tad apgalvojums sekos no iepriekšējās teorēmas. Pieņemsim, ka kur h, t N, h, t N. Redzam, ka t 1 h }{{} N g = hh = tt, = t h 1 }{{} N = e. Seko, ka h = t un h = t, tātad g ir izsakāms viennozīmīgi reizinājuma veidā.

11 1.4. piezīme. Iepriekšējās teorēmas terminos G ir apakšgrupu N un N iekšējais tiešais reizinājums- G = N N piezīme. Grupu sauc par nedalāmu, ja tā nav izsakāma kā netriviāls iekšējais tiešais reizinājums: G = N N N = {e} vai N = {e} teorēma. Ja G = N N (iekšējais reizinājums), tad G/N N. PIERĀDĪJUMS Definēsim ϕ : G/N N, ϕ(n(aa )) = a, kur a N, a N. Pierādīsim, ka ϕ ir grupu izomorfisms.

12 Homomorfisms ϕ((h(aa ))(Hbb )) = ϕ(h(aba b )) = a b = ϕ(h(aa ))ϕ(h(bb )). 12 Sirjektivitāte Katram a N izpildās a = ϕ(n(ea )). Injektivitāte Ja ϕ(n(aa )) = ϕ(n(bb )), tad a = b un Na = Nb. Seko, ka N(aa ) = N(bb ).

13 1.2. Pustiešais reizinājums Iekšējais pustiešais reizinājums Ja N G, A G, N A = {e} un G = NA, tad saka, ka G ir N un A (iekšējais) pustiešais reizinājums (semidirect product) - G = N A piemērs teorēma. Dots, ka N G, A G. Sekojošie apgalvojumi ir ekvivalenti: 1. N A = {e} un G = NA (G = N A); 2. N A = {e} un G = AN; 3. g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = ha, kur h N, a A; 4. g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = a h, kur h N, a A;

14 PIERĀDĪJUMS Ja G = NA, tad g G izpildās nosacījums g = ha, kur h N, a A. Redzam, ka g = ha = a } a 1 {{ ha } = ah AN. N 14 Ja G = AN, tad g G izpildās nosacījums g = a h, kur h N, a A. Redzam, ka g = a h = a } h {{ a 1 } a = h a NA. N Pieņemsim, ka N A = {e} un G = NA. Pieņemsim, ka g G, kurš ir izsakāms kā reizinājums divos veidos: g = ha = hã, kur h, h N, a, ã A. Pārnesīsim elementus tā, lai katrā pusē būtu

15 15 vienas apakšgrupas elementi: Seko, ka tātad h = h un a = ã Pierāda līdzīgi. ha = hã h } 1 {{ h } = ãa }{{ 1 }. N A h 1 h = ãa 1 = e, 1.6. piezīme. Ja G = N A, tad G = N A Grupu automorfismi Par grupas automorfismu sauc grupu izomorfismu G G. Visu G automorfismu kopu apzīmē ar Aut(G). Tā ir grupa ar funkciju kompozīcijas operāciju.

16 Grupas G automorfismu η Aut(G) sauksim par iekšēju automorfismu, ja η(g) = aga 1 = η a (g) kādam fiksētam a. Var redzēt, ka η a (gg ) = a(gg )a 1 = (aga 1 )(ag a 1 ) = η a (g)η a (g ). 16 Fakti: Visu iekšējo automorfismu kopa Inn(G) veido normālu apakšgrupu: Inn(G) Aut(G). Faktorgrupu Aut(G)/Inn(G) = Out(G) sauc par ārējo automorfismu grupu. Inn(G) G/Z(G).

17 Ārējais pustiešais reizinājums Dotas grupas N, A un grupu homomorfisms ϕ : A Aut(N). Apzīmēsim ϕ(a)(g) = ϕ a (g). Izpildās nosacījumi ϕ a (gg ) = ϕ a (g)ϕ a (g ), a, g, g, ϕ ab (g) = ϕ a (ϕ b (g)). Kopā N A definēsim šādu operāciju: (h, a)(h a ) = (h, ϕ a (h ), aa ). Var pierādīt, ka ar šo operāciju tiek definēta grupa, ko sauc par N un A ārējo pustiešo reizinājumu - N ϕ A teorēma. N ϕ A ir grupa. PIERĀDĪJUMS

18 18 Asociativitāte No vienas puses: ((h, a)(h, a ))(h, a ) = (hϕ a (h ), aa )(h, a ) = (hϕ a (h )ϕ aa (h ), aa a ) = (hϕ a (h )ϕ a (ϕ a (h )), aa a ). No otras puses: (h, a)((h, a )(h, a )) = (h, a)(h ϕ a (h ), a a ) = (hϕ a (h ϕ a (h )), aa a ) = (hϕ a (h )ϕ a (ϕ a (h )), aa a ). Redzam, ka ir vienādība. Vienības elements Redzam, ka (h, a)(e, e) = (hϕ a (e), ae) = (h, e), (e, e)(h, a) = (eϕ e (h), ea) = (h, a).

19 19 Seko, ka (e, e) ir vienības elements. Inversais elements Pierādīsim, ka (h, a) 1 = (ϕ 1 a (h 1 ), a 1 ) = (ϕ a 1(h 1 ), a 1 ). Redzam, ka (h, a)(ϕ a 1(h 1 ), a 1 ) = (hϕ a (ϕ a 1(h 1 )), aa 1 ) = (hϕ aa 1(h 1 ), e) = (hϕ e (h 1 ), e) = (hh 1, e) = (e, e) piezīme. Ja ir dots iekšējais pustiešais reizinājums G = N A, tad šādā gadījumā ϕ a (h) = aha piezīme. Ja a A ϕ(a) = id, tad iegūsim tiešo reizinājumu.

20 1.3. Zappa-Szep reizinājums Ja H G, A G, H A = {e} un G = HA, tad saka, ka G ir H un A (iekšējais) Zappa-Szep reizinājums - G = H A piemērs teorēma. Dots, ka H G, A G. Sekojošie apgalvojumi ir ekvivalenti: 1. H A = {e} un G = HA (G = H A); 2. g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = ha, kur h H, a A. PIERĀDĪJUMS Pieņemsim, ka H A = {e} un G = HA. Pieņemsim, ka g G, kurš ir izsakāms kā reizinājums divos veidos: g = ha = hã, kur h, h H, a, ã A. Pārnesīsim elementus tā, lai katrā pusē būtu 20

21 21 vienas apakšgrupas elementi: Seko, ka tātad h = h un a = ã. ha = hã h } 1 {{ h } = ãa }{{ 1 }. H A h 1 h = ãa 1 = e,

22 2. 5.mājasdarbs Atrodiet visas apakšgrupas šādām grupām: (a) (Z/2Z) (Z/2Z); (b) (Z/2Z) (Z/3Z); (c) (Z/2Z) (Z/2Z) (Z/2Z). 5.2 Izsakiet grupu Z/12Z kā netriviālu iekšējo tiešo reizinājumu. 5.3 Pierādiet, ka dotās grupas ir nedalāmas, bet ir izsakāmas kā iekšējie pustiešie reizinājumi: (a) Σ 3 ; (b) kvadrāta rotāciju grupa. 5.4 G ir grupa no uzdevuma 4.4, kurā reālo skaitļu lauks tiek aizvietots ar lauku F 2. Vai G ir izsakāma kā (a) tiešais reizinājums, (b) pustiešais reizinājums, (c) Zappa-Szep reizinājums? Pozitīvu atbilžu gadījumā atrodiet atbilstošās apakšgrupas.

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Microsoft Word - du_5_2005.doc

Microsoft Word - du_5_2005.doc 005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju

Sīkāk

IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni

IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv

Sīkāk

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums

2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums 01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām

Sīkāk

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n

7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n 7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju

Sīkāk

Nevienādības starp vidējiem

Nevienādības starp vidējiem Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas

Sīkāk

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij

Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.

Sīkāk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk

8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk 8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna

Sīkāk

48repol_uzd

48repol_uzd Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots

Sīkāk

32repol_uzd

32repol_uzd Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem

Sīkāk

ro41_uzd

ro41_uzd Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a

Sīkāk

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas

Sīkāk

1

1 . Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir

Sīkāk

Microsoft Word - du_4_2005.doc

Microsoft Word - du_4_2005.doc @ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops

Sīkāk

Komandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ

Komandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas

Sīkāk

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude

Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā

Sīkāk

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu

Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas

Sīkāk

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br

Latvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br 5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,

Sīkāk

PCK34_atr_kopaa

PCK34_atr_kopaa 007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem

Sīkāk

1

1 8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena

Sīkāk

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija

Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.

Sīkāk

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu

Sīkāk

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo

7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo 7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00

Sīkāk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk

Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,

Sīkāk

Nr. p.k.* Transporta līdzekļa marka / modelis Transporta līdzekļa veids Valsts Reģ. Nr. saraksts un sākuma cenas izsolei Stopiņu novada Lī

Nr. p.k.* Transporta līdzekļa marka / modelis Transporta līdzekļa veids Valsts Reģ. Nr. saraksts un sākuma cenas izsolei Stopiņu novada Lī 1 FIAT DOBLO Kravas transporta HA8036 2008 1368 Benzīns 95 159 724 2 (slikts) 1 000.00 826.45 TEC-2, Acone, 2 FIAT DOBLO Kravas transporta HA8085 2008 1368 Benzīns 95 167 599 3 (viduvējs) 1 700.00 1404.96

Sīkāk

Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a

Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.

Sīkāk

Slide 1

Slide 1 IZM VISC Eiropas Sociālā fonda projekts Dabaszinātnes un matemātika SKOLOTĀJU STUDIJU PROGRAMMU NODARBĪBU MATERIĀLI DABASZINĀTŅU UN MATEMĀTIKAS DIDAKTIKĀ Latvijas Universitāte Liepājas Universitāte Daugavpils

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2016

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2016 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2016 Rektors APSTIPRINU Daugavpils Universitātes A.Barševskis 2015.gada 15.decembrī Daugavpilī shēma Indeksi Struktūrvienība 1 Satversmes sapulce 2 Senāts 3

Sīkāk

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017

DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017 Rektors APSTIPRINU Daugavpils Universitātes A.Barševskis 2016.gada 19.decembrī Daugavpilī shēma Indeksi Struktūrvienība 1 Satversmes sapulce 2 Senāts 3

Sīkāk

Lieta Nr

Lieta Nr ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A420687310 143/AA43-0685-13/8 Rīgā 2013.gada 21.maijā Administratīvā apgabaltiesa šādā sastāvā: tiesnese referente I.Kaļiņina, tiesnese

Sīkāk

Studiju programmas nosaukums

Studiju programmas nosaukums Latvijas augstāko izglītības iestāžu ieguldījums mērniecības izglītībā Latvijā Jauno jomas speciālistu sagatavošana Latvijas Lauksaimniecības specialitātē Vivita Puķīte LLU VBF Zemes pārvaldības un ģeodēzijas

Sīkāk

PowerPoint Template

PowerPoint Template ĢENĒTISKĀ TESTĒŠANA MEDICĪNĀ: MĒRĶI PAŠREIZĒJĀ SITUĀCIJA NĀKOTNES PERSPEKTĪVAS Jānis Kloviņš, PhD Latvijas Biomedicīnas pētījumu un studiju centrs ĢENĒTISKĀS TESTĒŠANAS IDEĀLS NOVĒRST SLIMĪBU Noteikt ģenētisko

Sīkāk

R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis

R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Rīgas Tehniskās universitātes Ģeomātikas katedra LU 77. SZK sekcija «Ģeodinamika un ģeokosmiskie pētījumi 2019» Jānis Kaminskis, Mārtiņš Reiniks, Anete Kiopa 22.03.2019. 1 Atrašanās vieta 2 56 56'39.3"N

Sīkāk

ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A /AA /15 Rīgā 2013.gada 23.maijā Administratīvā apgabal

ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A /AA /15 Rīgā 2013.gada 23.maijā Administratīvā apgabal ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A420704610 143/AA43-0607-13/15 Rīgā 2013.gada 23.maijā Administratīvā apgabaltiesa šādā sastāvā: tiesnesis referents M.Birzgalis,

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Darbības programmas Izaugsme un nodarbinātība PROJEKTA SAM 8.2.1. ĪSTENOŠANA DAUGAVPILS UNIVERSITĀTĒ Starpdisciplinārais seminārs Daugavpils Universitātē, 06.11.2018. Eiropas Sociālā fonda projekta Daugavpils

Sīkāk

APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR

APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā

Sīkāk

Prezentacija

Prezentacija LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2016./2017. studiju gadam UZŅEMŠANAS KOMISIJA Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755,

Sīkāk

Social Activities and Practices Institute 1 Victor Grigorovich Street, Sofia 1606, Bulgaria Phone: Kas ir

Social Activities and Practices Institute 1 Victor Grigorovich Street, Sofia 1606, Bulgaria Phone: Kas ir Kas ir interaktīvās studijas? Iztrādāja: Nelija Petrova-Dimitrova Uzdevums 1 Interaktīvās studijas ir mijiedarbība, nevis iedarbība! Uzdevums 2 Interaktīvo studiju pamatā ir grupas dinamika! Grupa ir apmācību

Sīkāk

LATVIJAS UNIVERSITĀTE

LATVIJAS UNIVERSITĀTE LATVIJAS UNIVERSITĀTE ERASMUS+ PROGRAMMAS MOBILITĀTES ORGANIZĒŠANAS KĀRTĪBA LATVIJAS UNIVERSITĀTĒ Pielikums APSTIPRINĀTS ar LU 18.12.2014. rīkojumu Nr.1/363 Ar grozījumiem, kas izdarīti līdz 04.08.2015.

Sīkāk

PM_Izglītības _prasības_v.1.1

PM_Izglītības _prasības_v.1.1 Valsts atbalsta programma dzīvojamās telpas iegādei vai būvniecībai PALĪGMATERIĀLS PAR IZGLĪTĪBU PAMATOJOŠAJIEM DOKUMENTIEM MĀJOKĻU GARANTIJU PROGRAMMĀ Mājokļu garantijas VAR piešķirt personām, kuras ieguvušas

Sīkāk

KURSA KODS

KURSA KODS Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss

Sīkāk

Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī

Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis

Sīkāk

Tirgus dalībnieka nosaukums: DNB Asset Management Kods: 241 DNB Sabalansetais ieguldijumu plans 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.0

Tirgus dalībnieka nosaukums: DNB Asset Management Kods: 241 DNB Sabalansetais ieguldijumu plans 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.0 Tirgus dalībnieka nosaukums: DNB Asset Management Kods: 241 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 Jāiesniedz Finanšu un kapitāla tirgus komisijai līdz 15. aprīlim,

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Akadēmiskā personāla darba samaksa Vidzemes Augstskolā Gatis Krūmiņš Vidzemes Augstskolas rektors Iveta Putniņa Vidzemes Augstskolas administratīvā prorektore Vispārējie principi Docēšana Pētniecība Administratīvais

Sīkāk

Izlases dizaina optimizācija (kopsavilkums)

Izlases dizaina optimizācija (kopsavilkums) LATVIJAS UNIVERSITĀTE Mārtiņš Liberts IZLASES DIZAINA OPTIMIZĀCIJA PROMOCIJAS DARBA KOPSAVILKUMS Doktora grāda iegūšanai matemātikas nozarē Apakšnozare: varbūtību teorija un matemātiskā statistika Rīga,

Sīkāk

1

1 . ndžāns, L. Rmān,. Johnnessons VEKTORI. DĻ y X M M O N X N x K Rīg 006 UDK. ndžāns, L. Rmān,. Johnnessons. Vektori.. dļ. Rīg: Ltvijs Universitātes kdēmiskis pgāds, 006. 7 lpp. Šjā drbā plūkoti pmtjutājumi,

Sīkāk

A.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS

A.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,

Sīkāk

APSTIPRINĀTS

APSTIPRINĀTS APSTIPRINU: Profesionālās izglītības kompetences centra Liepājas Valsts tehnikums direktors A. Ruperts 2013.gada 7. maijā Profesionālās izglītības kompetenču centrs Liepājas Valsts tehnikums audzēkņu biznesa

Sīkāk

Microsoft Word - Abele

Microsoft Word - Abele LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru

Sīkāk

Rektora rīkojums

Rektora rīkojums RĪGAS STRADIŅA UNIVERSITĀTE Reģistrācijas Nr. 90000013771 Dzirciema 16, Rīga, LV-1007, Latvija Tālr. 67409230, fakss 67471815 E-pasts: rsu@rsu.lv, www.rsu.lv REKTORA RĪKOJUMS 21.01.2019 Rīgā Nr. 5-1/32/2019

Sīkāk

APSTIPRINU VAS Starptautiskā lidosta Rīga Valdes priekšsēdētāja Ilona Līce (vārds, uzvārds) [personiskais paraksts] ) GROZĪJUMI Nr.1 Cenu a

APSTIPRINU VAS Starptautiskā lidosta Rīga Valdes priekšsēdētāja Ilona Līce (vārds, uzvārds) [personiskais paraksts] ) GROZĪJUMI Nr.1 Cenu a APSTIPRINU Starptautisā lidosta Rīga Valdes priešsēdētāja Ilona Līce (vārds, uzvārds) [personisais parasts] 16.11.2018.) GROZĪJUMI Nr.1 Cenu aptaujas Lidostas transportlīdzeļu KASKO apdrošināšana (Identifiācs

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation No profesijas standarta līdz reformai 2019. gada 16. martā. 19.03.2019 1 Reforma Sieviešu dzimtes vārds Pārkārtojums, pārveidojums, saglabājot galveno no līdzšinējā Pārmaiņa, pārkārtojums kādā sabiedrības

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES STUDIJU PROGRAMMAS SKOLOTĀJA KVALIFIKĀCIJAS IEGŪŠANAI Prof. Arvīds Barševskis LR Saeimas Ilgtspējīgas attīstības komisijas un Izglītības un zinātnes ministrijas praktiskā konference

Sīkāk

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš

Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)

Sīkāk

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at

2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at 2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai

Sīkāk

APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr

APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 4 2012. gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr. 8 2019. gada 21. janvārī Noteikumi par studiju kursu akadēmisko

Sīkāk

skaitampuzle instrukcija

skaitampuzle instrukcija MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā

Sīkāk

Lat Met MKD kopā

Lat Met MKD kopā !"#!!$#%!$# " &'%"()""* +, -+ +!. "+"#/////////////////////////////////////////////////////////////// 0 )# + "#" 7#+!+" "" +!+ 8////////////////////////////////////////////////// % # 9+!.:+;* + 7 8 9 0

Sīkāk

• ATKLĀTS KONKURSS saskaņā ar Publisko iepirkumu likuma 8.panta pirmās daļas 1.punktu un Ministru kabineta 2017.gada 28.februāra noteikumu Nr.107 Iepirkuma procedūru un metu konkursu norises kārtība 2.1.apakšnodaļu

Sīkāk

2015 Finanšu pārskats

2015 Finanšu pārskats 2015 2 Neatkarīgā revidenta ziņojums akcionāriem Ziņojums par finanšu pārskatiem Mēs esam revidējuši pievienotos ( Uzņēmums ) finanšu pārskatus, kas ietver 2015. gada 31. decembra bilanci, ienākumu pārskatu,

Sīkāk

2013 Finanšu pārskats

2013 Finanšu pārskats 2013 2 Neatkarīgo revidentu ziņojums akcionāriem Ziņojums par finanšu pārskatiem Esam veikuši auditu klāt pievienotajiem ( Uzņēmums ) finanšu pārskatiem, kas sastāv no 2013.gada 31.decembra bilances, ienākumu

Sīkāk

Tirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārval

Tirgus dalībnieka nosaukums: Parex Asset Management Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārval Tirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārvaldīšanas pārskatu sagatavošanas noteikumu" 1. Pielikums

Sīkāk

Sabiedrība ar ierobežotu atbildību “Biznesa augstskola Turība”

Sabiedrība ar ierobežotu atbildību “Biznesa augstskola Turība” SIA Biznesa augstskola Turība Vienotais reģistrācijas Nr.40003135880 Graudu ielā 68, Rīgā, LV-1058 N97 APSTIPRINĀTS Biznesa augstskola Turība Senāta 28.02.2018. sēdē, protokols Nr.3 SIA Biznesa augstskola

Sīkāk

Studiju programmas raksturojums

Studiju programmas raksturojums Studiju programmas raksturojums Doktora studiju programma Politikas zinātne studiju programmas nosaukums 2015./2016. akadēmiskais gads 1. Studiju programmas nosaukums, iegūstamais grāds, profesionālā kvalifikācija

Sīkāk

Esi biodaudzveidības detektīvs! Tulkots no: HTFC Education ( Piemērots skolēniem vecuma

Esi biodaudzveidības detektīvs! Tulkots no: HTFC Education (  Piemērots skolēniem vecuma Esi biodaudzveidības detektīvs! Tulkots no: HTFC Education (http://hctfeducation.ca/lessons/earth-ecosystems-and-ecology/) Piemērots skolēniem vecuma posmā: Pirmsskola līdz 8. klase Kategorija: Ekosistēmas

Sīkāk

Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk?

Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis

Sīkāk

SV_Mehanika_parskats_2014_2015

SV_Mehanika_parskats_2014_2015 Latvijas Lauksaimniecības universitāte STUDIJU VIRZIENA Mehānika un metālapstrāde, siltumenerģētika, siltumtehnika un mašīnzinības PĀRSKATS par 2014./2015. studiju gadu Apstiprināts Senātā 09.12.2015.

Sīkāk

Microsoft Word - Lekcija_Nr3.doc

Microsoft Word - Lekcija_Nr3.doc INFORMĀCIJAS MEKLĒŠANA Jebkuru pētniecības darbu uzsākot, pētniekam ir jāiepazīstas ar informāciju par risināmo jautājumu, t.i., pēc iespējas pilnīgi jāizstudē pieejamā literatūra, kas attiecas uz izraudzīto

Sīkāk

NORAKSTS

NORAKSTS NORAKSTS Lieta Nr.142283312 (1-1088-13/17) ADMINISTRATĪVĀ RAJONA TIESA RĪGAS TIESU NAMS S P R I E D U M S LATVIJAS REPUBLIKAS VĀRDĀ Rīgā 2013.gada 13.februārī Administratīvā rajona tiesa šādā sastāvā:

Sīkāk

*Pareizā atbilde un pareizo atbilžu daudzums procentos zaļā krāsā. 3. klase 1. Ja Tu esi sadraudzējies un vēlies satikties ar kādu, ar ko esi iepazini

*Pareizā atbilde un pareizo atbilžu daudzums procentos zaļā krāsā. 3. klase 1. Ja Tu esi sadraudzējies un vēlies satikties ar kādu, ar ko esi iepazini 1. Ja Tu esi sadraudzējies un vēlies satikties ar kādu, ar ko esi iepazinies internetā, bet dzīvē nekad neesi saticis, kā visdrošāk būtu rīkoties?: Pareizas atbildes: 6728 no 8404 1) Tikties publiskā vietā.

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Šeit top veiksmīgas karjeras Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2019./2020. studiju gadam Uzņemšanas komisija Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755, e-pasts: ukom@llu.lv

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Liene Kubliņa liene.kublina@cvor.lv www.cvor.lv IT nozares attīstības iespējas ierobežota darba tirgus apstākļos Latvijas darba tirgus Ko dara Latvijas IT uzņēmumi Patiesie motivatori un jēgpilna komandas

Sīkāk

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Mācību satura un pieejas piedāvājums: aktualitātes, sabiedriskā apspriešana LPS, 2018.gada 17.aprīlī GUNTARS CATLAKS, VISC vadītājs Daudzviet pasaulē un arī Latvijā izpratne par to, kādas zināšanas un

Sīkāk

Klimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt sau

Klimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt sau Klimata valoda eksperimenta būtība Klimats vai laikapstākļi? Kurš ir kurš? Kas ir kas? Laikapstākļi ir tas, ko mēs šobrīd redzam aiz loga. Var būt saulains, līt lietus vai snigt sniegs, pūst stiprs vējš

Sīkāk

Austra Avotiņa autora vai autoru grupas vārds, uzvārds Kultūras izpausmes formas. Māksla kā kultūras forma. Ievads. darba nosaukums Materiāls izstrādā

Austra Avotiņa autora vai autoru grupas vārds, uzvārds Kultūras izpausmes formas. Māksla kā kultūras forma. Ievads. darba nosaukums Materiāls izstrādā Austra Avotiņa autora vai autoru grupas vārds, uzvārds Kultūras izpausmes formas. Māksla kā kultūras forma. Ievads. darba nosaukums Materiāls izstrādāts ESF Darbības programmas 2007. - 2013.gadam Cilvēkresursi

Sīkāk

Drives, PLC and automation products for all needs

Drives, PLC and automation products for all needs BU Drives and Controls, May Frekvenču pārveidotāji visām vajadzībām. Slide 1 Biznesa struktūra piedziņa un vadība Pielietojuma nozares HVAC Pārtikas rūpniecība Dzērienu industrija Tīrais un netīrais ūdens

Sīkāk

Slide 1

Slide 1 Pasaules valstu izglītības sistēmas Japāna Vēsturisks apskats Skolu sistēmas aizsākumi Japānā no 1603 gada. Mācījās samuraju bērni, galvenais izglītības saturs bija konfuciānisma klasika, lielākā vērtības

Sīkāk

Dārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē

Dārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē Dārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē, zaķīt! Māmiņas puķes nevar ēst! Zaķis lēkā mūsu dārzā.

Sīkāk

APSTIPRINĀTS

APSTIPRINĀTS Preiļu novada dome Preiļu 1. pamatskola Reģ. Nr. 4212900356 Daugavpils ielā 34, Preiļu novadā, LV-5301, Tālruņi: 65322749, 65322084, e-pasts: preilu1psk@pvg.edu.lv APSTIPRINĀTS ar Preiļu 1.pamatskolas

Sīkāk

2014. gada L`ORÉAL Latvijas stipendijas Sievietēm zinātnē ar UNESCO Latvijas Nacionālās komisijas un Latvijas Zinātņu akadēmijas atbalstu saņēmēja Dr.

2014. gada L`ORÉAL Latvijas stipendijas Sievietēm zinātnē ar UNESCO Latvijas Nacionālās komisijas un Latvijas Zinātņu akadēmijas atbalstu saņēmēja Dr. 2014. gada L`ORÉAL Latvijas stipendijas Sievietēm zinātnē ar UNESCO Latvijas Nacionālās komisijas un Latvijas Zinātņu akadēmijas atbalstu saņēmēja Dr. biol. Dace Pjanova Molekulārā bioloģija Latvijas Biomedicīnas

Sīkāk

Datums

Datums DAUGAVPILS KRIEVU VIDUSSKOLAS-LICEJA PASĀKUMU PLĀNS 2016. gada decembrim APSTIPRINĀTS Ar Daugavpils Krievu vidusskolas-liceja direktora 2016. gada 30. novembra rīkojumu Nr. 352 01.12.2016.- Labdarības

Sīkāk

Tirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārval

Tirgus dalībnieka nosaukums: Parex Asset Management Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārval Tirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārvaldīšanas pārskatu sagatavošanas noteikumu" 1. Pielikums

Sīkāk

Dimensionālā pieeja Latvijas klīniskā personības testa izstrādē

Dimensionālā pieeja Latvijas klīniskā personības testa izstrādē Valsts pētījumu programmas BIOMEDICINE apakšprojektu par nozīmīgāko psihisko slimību un kognitīvās disfunkcijas radīto veselības problēmu izpēti un sloga samazināšanu 4. posma pārskata seminārs, 2017.

Sīkāk