G (l), G (l) b (l) i, d (l)

Æ ÑÐ Ò Ö Ô Ö ÓÐ Ù ÙÒ ÓÒ Ð¹ Ö Ò Ð Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ÔÐÓÑ ÑÙÒ ÒÝ ý Ñ Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Ø Ñ Ø Ù Þ Ì Ñ Ú Þ Ø Ë ÑÓÒ Ä ÞÐ Ý Ø Ñ Ø Ò Ö Ð ÐÑ ÞÓØØ Ò Ð Þ Ì Ò Þ ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö ¾¼¼ º

Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ð Þ ½º Ð ÞÒ ÐØ Ñ Ö Ø ½º½º Ý ÒÐ ØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º L ¹Ø Ö ËÞÓ ÓÐ Ú¹Ø Ö ÞÓÖÞ ØØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ú ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ËÔ Ð ÓÔ Ö ØÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Þ L,T;V Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÃÐ Þ Ù Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö ½¾ ¾º½º Ý ÒÐ Ø Ý Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾º ýøø Ö Ö Ò Þ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º Ý Ò Ñ ÓÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½º Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Â Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐØ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾º Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Þ Ö ¾ º½º Ý Ò Ñ ÓÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½º ÐØ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º¾º Ä Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º È Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½º ýðø Ð ÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º¾º ÃÓÒ Ö Ø Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º H l ÓÔ Ö ØÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º G l, G l ÓÔ Ö ØÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º b l i, d l i Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ý ÖØ ÐÑò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ÓÐ Ó [, ¹ Ò ¾ º½º [, ¹ Ð Ñ ÓÐ Ó Ð Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º Ñ ÓÐ Ó ÓÖÐ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËØ Ð Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÖÓ ÐÓÑ ÝÞ ¾

Ð Þ Ò ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ñ Ó Ö Ò ò Ô Ö ÓÐ Ù Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ú Ð Ó ¹ Ð Ð ÓÞÙÒ º Þ Ò Ð Ð ÓÐÝ Ò Ö Ò Þ Ö Ð Ñ ÐÝ Ò Þ Ý ØØ Ø Ú ÒÝ ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ò Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ø Ðº ÁÐÝ Ò Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ô Ð ÙÐ ÓÐÝ Ò Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ ¹ Ò ÓÖ ÙÐ ØÒ Ð Ñ ÐÝ Ò Þ Ý ØØ Ø Ò ÑÐÓ Ð Ñ ÒÒÝ Ø Ð º ÒØ Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ð Ô ÓÐ ØÓ ÐÑ Ð Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ º Â Ð Ò ÓÐ¹ ÓÞ Ø Ð Ö Ñ ÒÝ Ò Ö Ò Þ Ö Ö Ú Ð Ø Ö ÞØ Ú Ø º Á ÞÓÐ Ù Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ø Ô Ð Ø Ò Þ Ý ÖØ ÐÑò Øº ÞØ Ú Ø Ò Ð Ø Ù [, ¹ Ð Ñ ÓÐ Ó µ Ð Ø Þ Ø ÓÖÐ ØÓ Ø Ñ Ú Þ Ð Ù Ú Ø Ð Ò Ð Ú Ð Øº Þ Þ ÞØ Ò Ø Âº Ö ÓÚ Ø Îº ÅÙ ØÓÒ Ò Ò Ø Ø Ð Ó ÞØÓ Ø Ò º Ø Ø Ð ÑÓÒÓØÓÒ Ø ÔÙ ÔÓÒØÓ Ò Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÐÑ Ð Ø Þ ÞÓÖÓ Ò Ô ÓÐ º È Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ð Þ Ð º º ÖÓÛ Ö Ñ ÐÝ Ø Ñ Ø Ö Ý ÐÒ Ó ÙÒ º Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ø Ð Þ Ö ÓÐÝ Ò Ò ÑÐ Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ö ÞÓÐ Ù Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø Ö¹ Ø ÐÑ ÞÒ ÙÒ ÓÒ Ð Ø Ñ ÞØ Þ Ö Ñ ÒÝØ Ð ÐÑ ÞÞÙ ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ö Ò ¹ Þ Ö Ö º ÒØ Ò Ú Ð Ò Ý Ò ÐÝØ Ø Ø Ò Þ ÞØÖ Ø Ø Ø Ð Þ Ô ÓÐ ÓÒ Ö Ø Ô Ð ÑÙØ Ø Ö º Ú Ø ÓÞ Ó Ý Þ Öò Ø Ö Ò ÓÐ ÓÞ Ø Ð Ò Þ Ó Ð ÐØÙ Ò Þ¹ Ò ÐØ Ó ÐÑ Ø Ø Ø Ð Øº ÓÐ ÓÞ Ø Ò ÞÒ ÐØ Ð Ð Ñ Ý Ö Þ Ø Ú Ý ØØ Ø Ð Ð Ø Ú Ý Ô ¾º º½ Þ Þ Â Ð Ð º Ö Þ Òº Þ ØÓÒ ÑÓÒ Ó Þ Ò Ø Ø Ë ÑÓÒ Ä ÞÐ Ò ØÓÖ Ø ÖØ Ø Ñ Ò ÒÝ ØÓØØ ÖØ Ø ÖØº

½º Þ Ø Ð ÞÒ ÐØ Ñ Ö Ø Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ÐÑ Ð Ø Ø Ö Ý Ð Ð ÔÞ Ð Ø ØÐ Ò Þ Ò Ð Þ ÙÒ Ó¹ Ò Ð Ò Ð Þ Ñ Ð Ð Ø Ø Ð Ò Ð ÐÑ Þ Ò Ð Ðº Þ ÖØ Ò Ö Þ Ò Ò ÝÖ ÞØµ ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Þ Ó Ð Ð Ù ÞÓÒ Ø Ø Ð Ø ÐÐ ØÚ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö Þ Ò Ð Þ Þ Ø Òº Þ Ò Ð Ð ÐØ Ð Ò ÞÓ Ö Ø Ö Ò Ñ ÐÝ ØÐ Ò Ñ Þ Ö Ô ÐÒ Ø Ò¹ ÒÝ Ò Ú Ý Ñ ÐÝ Ø Ñ ÞÓ ÓØØ Ð ÐØ Ö Ò ÞÒ ÐÙÒ º Ã Ð Ò Ú Ø ÓÞ Ò Ð Ð ÞÒ Ð Ù Ú ÞÓÒØ Ø ØØ Ò Ñ ÑÐ Ø ØØ Ø Ò ÒÝ Ò Ð ÓÖ ÙÐ µ Ó ÐÑ Øº ½º½º Ý ÒÐ ØÐ Ò ½º½º ýðð Ø º ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µ Ä Ý Ò a 1,a 2,...,a n R k º ÓÖ a 1 + a 2 + + a n a 1 + a 2 + + a n. ½º¾º ýðð Ø º Ä Ý Ò a 1,a 2,...,a n R k s > 1 Ú Ð Þ Ñº ÓÖ ½º½µ a 1 + a 2 + + a n s n s 1 a 1 s + a 2 s + + a n s. ½º º ýðð Ø º Ä Ý Ò a 1,a 2,...,a n Ò ÑÒ Ø Ú Ú Ð Þ ÑÓ s > Ú Ð Þ Ñº ÓÖ ½º¾µ a s 1 + a s 2 + + a s n a 1 + a 2 + + a n s. ½º º ýðð Ø º ÓÙÒ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µ Ä Ý Ò q Ú ÓÒ Ù ÐØ Ø Ú Þ Þ 1 <,q < 1 + 1 = 1º ÓÖ a b Ø Ò q ab a + bq q. ½º º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝº ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µ Ä Ý Ò ε > ÓÖ Þ Ð Þ ÐÐ Ø ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ ab ε a + bq ε q q. ½º º ýðð Ø º Ä Ý Ò c Ø Ø Þ Ð b s > Ú Ð Þ Ñº ÓÖ ½º µ 1 c + τb s dτ 1 2 s s + 1 b s. ÞÓÒÝ Ø º Ã Ø Ø Ø Ð Ò ÞØ Ø Ò Ñ º Ð Þ Ö Ø Ý Ð Ó Ý c c+b Ð Ò Þ Ð Ðòº Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÞÓÖ Ø Ò Ð Ð ÐØ Ø Ó Ý c < c + b > Ý Þ ÔÔ Ò b > µº

ÓÖ [,1 ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ c + τb Ð Ð Þ Ö ÒØ Ø Ö ÞÖ ÓÒØ Ø Ù ÞÓ ÓÒ Ð Ò¹ Ð Ò ÐÚ Þ Ø Þ ÒØ Ö Ð Ø Ñ ÔÓØØ Ö Ñ ÒÝØ ÐÙÐÖ Ð Ð Ø Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð 1 c + τb s dτ = = [ c b c τbs+1 bs + 1 1 c + τb s dτ + c + τb s dτ = c b c [ b c + τb s+1 1 τ= + bs + 1 τ= c b = c b 1 c τb s dτ + c + τb s dτ = c b 1 c s+1 + c + b s+1 bs + 1 2 s bs + 1 c + b 1 c s+1 = 2 s s + 1 b s. Ñ Ø Ò Ø Ý Ð Ó Ý c c + b ÞÓÒÓ Ð Ðòº ÓÖ [,1 ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ c + τb Ò Ñ Ú ÐØ Ð Ð Ø Ý 1 c + τb s dτ 1 [ τ τb s dτ = b s s+1 1 = 1 s + 1 τ= s + 1 1 b s 2 s s + 1 b s. Å Ò Ø Ø Ò ÖÚ ÒÝ ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Þ Ò Ú ÝÙÒ º ÒÒÝ Ø Ñ Ö Ñ Ñ ¹ Ý ÞÒ Ò Ó Ý Ð Ð Þ Ò c = b 2 Ø Ò Ý ÒÐ ÐÐ ÒÒº ½º¾º L ¹Ø Ö ËÞÓ ÓÐ Ú¹Ø Ö ÞÓÖÞ ØØ Ö ËÞÓ ÓÐ Ú¹Ø Ö Ð Ú Ø Þ Ò Þ L ¹Ø Ö ÞÒ Ð Ø Ð Ò Ø ØÐ Ò Ð Þ ÑÙÒ Ò Òº Å Ú Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ú Ð Ó ÙÒ Ó Ð Ð ÓÞÒ Þ ÖØ Ú Ð Ó Ó Ý Ø Ö ÞÓÖ¹ Þ ØØ Ö Ò ÐÐ ÓÐ ÓÞÒÙÒ º Ú Þ Ð ÓÖ Ò ÒÝ ÐÑ Ð Þ Þ ÑÙÒ Ö Þ Ø Ò Ñ Ñ ÞÓ ÓØØ ÒÓÖÑ Ð Ð Ø Ù Ðº Ò Þ Þ Ò Ð Þ Ö Ú Þ Ø Þ Ò ÒÓÖÑ Ø Ñ ÑÐ ÞØ Ø Ò Ò ÒÝ Ð ÔÚ Ø Þ Ö Ð Ø Ñ Ö Ðº Þ Ò Ð Ð ÞÓÒ Ô Ð Ø Ö Ñ ÐÝ Ø Ø ÒÝÐ Ò Ð ÐÑ ÞÒ Ó ÙÒ º ÌÓÚ Ö ÞÐ Ø Ø ÐÐ Ø Ò Ð Ô Ð ÙÐ Þ ½ ÑÓÒÓ Ö Øº ØÓÚ Ò Ð Ý Ò n 1 Ö Þ Ø ØØ Þ Þ Ñ Ð Ð λ Þ n¹ Ñ ÒÞ Ä Ù ¹ Ñ ÖØ Øº Å Ú Ð Þ Þ Ò Ñ Ò ÞØ Ñ ÖØ Ø ÞÒ Ð Ù Þ ÖØ Þ ÒØ Ö ÐÓ Ò Ð Ý Ù dλ Ð Øº ½º º Ò º Ä Ý Ò 1 < R n u: R Ä Ù ¹µÑ Ö Ø Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö 1 u L := u <. λ¹ñ Ö Ø ÐÑ Þº ÓÖ L Ð Ð ÞÓÒ ½º º Ò º Ä Ý Ò 1 < R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø º Â Ð Ð D i Þ x i Ú ÐØÓÞ Þ Ö ÒØ ÞØÖ ÖØ Ð Ñ Ò Ú ØØ Ô Ö Ð Ö Ú Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ØÓÚ Ð Ý Ò D = D 1,...,D n Þ Þ Du = D 1 u,...,d n u Ö Ò Ú ØÓÖº ÓÖ Ñ ÐÝ Ø Þ Ð ÒÓÖÑ Ú Ð Ð ØÙÒ Ð W 1, := {u L : D i u L, 1 i n}, u W 1, = [ u + Du 1. Â Ð Ð ØÓÚ W 1, ÞÓÒ u W 1, Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö u = ÒÝÓÑ ÖØ ¹ Ð Ñ Òµº ÓÖ W 1, Þ ÖØ Ð Ò Ö ÐØ Ö W 1, Ø ÖÒ º

ØÓÚ Ò W 1, Ø Ö Ò Ñ Ò ÒØ ÒÓÖÑ Ø ÞÒ Ð Ù º ½º º Å ÝÞ º Þ ÖÓ ÐÓÑ Ò Ò u W 1, = [ u + D i u 1 ÒÓÖÑ ÞÒ Ð ØÓ Þ ½º½µ ½º¾µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ø ÒÓÖÑ Ú Ú Ð Ò º ½º½¼º ýðð Ø º À 1 < < ÓÖ W 1, Ø Ö Ö Ü Úº Þ L W 1, Ø Ö Ô ÓÐ Ø Ö Ð Þ Ð Ú Ø Þ Ø Ø Ðº ½º½½º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ð Ý Ò 1 < º ÓÖ W 1, L Ý Þ ÓÑÔ Øº Ú Ø Þ Ò Ò Ð Ù ÒØ Ø Ö Ö Ø ÞÓÖÞ Ø Øº ½º½¾º Ò º Ä Ý Ò 1 < Ú Ð N 1 Þ Þ Ñ R n Ø ÖØÓÑ ÒÝº ÓÖ L N Ð Ð ÞÓÒ u = u 1,...,u N : R N Ñ Ö Ø Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö u l L Ñ Ò Ò 1 l N Þ Þ Ñ Ø Òº Î Þ Ø Ö Ò Ú Ø Þ ÒÓÖÑ Ø u L N := u 1. Ã ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Þ ½º½µ ½º¾µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ðµ Ó Ý ÒØ ÒÓÖÑ Ú Ú Ð Ò N 1 Ð Ø Þ Ö ÞÒ ÐØ u l L ÒÓÖÑ Ú Ð Ý Ñ Ò Ò ÞÓÖÞ ØØ Ö Ö Ñ ÖØ ÐÐ Ø ÖÚ ÒÝ Ò Ñ Ö º ËÔ Ð Ò = 2 Ø Ò L 2 N À Ð ÖØ¹Ø Ö Ú Ø Þ Ð Ö ÞÓÖÞ ØØ Ð N u,v L2 N := u l v l. ½º½ º Ò º Ä Ý Ò 1 < Ú Ð N 1 Þ Þ Ñ R n Ø ÖØÓÑ ÒÝº ÓÖ W 1, N Ð Ð ÞÓÒ u = u 1,...,u N : R N Ñ Ö Ø Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö u l W 1, Ñ Ò Ò 1 l N Þ Þ Ñ Ø Òº Ø Ö Ò Ú Ø Þ ÒÓÖÑ Ø Ú Þ Ø u W 1, N := ÓÐ Du = D 1 u 1,...,D 1 u N,...,D n u 1,...,D n u N º u + Du 1, ½º½ º ýðð Ø º À 1 < < ÓÖ W 1, N Ö Ü Ú Ø Öº ½º½ º ýðð Ø º Ä Ý Ò R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ð Ý Ò 1 < º ÓÖ W 1, N L N Ý Þ ÓÑÔ Øº ½º º Ú ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Ò Ð Þ Ý Ú Ñ ÖØ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ø ÐÖ º ¹ Þ Ð Þ Ö ÐÐ Ú Þ ØÒ Ò Þ Ú ÒØ Ö Ð Ø Ó ÐÑ Øº ØÓÚ Ò Ð Ý Ò R n λ¹ñ Ö Ø ÐÑ Þ ÓÐ Þ Ð Þ Ö ÞÒ Ñ Ð Ð Òµ λ Þ n Ñ ÒÞ Ä Ù ¹Ñ ÖØ Ú Ð ¹ Ñ ÒØ Ð Ý Ò 1 < Ú Ð Þ Ñº

½º½ º Ò º Ä Ý Ò f k k N Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø L ¹ Òº Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ε > Ø Ò Ð Ø Þ A ε Ú Ñ ÖØ ò ÐÑ Þ δε > Ý Ó Ý Ñ Ò Ò k N¹Ö ½º µ f k < ε, \A ε Ú Ð Ñ ÒØ Ø Ø Þ Ð λs < δε Ñ Ö Ø ÐÑ ÞÖ f k < ε. ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ú ÒØ Ö Ð Ø L ¹ Òº S ½º½ º Å ÝÞ º À ÓÖÐ ØÓ ÓÖ ½º µ Þ A ε = Ú Ð ÞØ Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ø Ð Ð Ý ÓÖ Þ ÐØ Ø Ð Ð Ý Ø º ½º½ º Å ÝÞ º Ö Ñ Ñ Ý ÞÒ Þ Ð ØÖ Ú Ð Ò ÞÖ Ú Ø ÐØ Ñ ÐÝ Ø ¹ Ú Ø ÓÞ Ò Ð Ð ÞÒ ÐÙÒ º À f k g k L ¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ñ ÐÝ Ö f k g k Ñ Ò Ò k¹ö g k Ú ÒØ Ö Ð Ø L ¹ Ò ÓÖ f k Ú ÒØ Ö Ð Ø L ¹ Òº ½º½ º ýðð Ø º À Þ f k ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò L ÒÓÖÑ Ò ÓÖ Ú ÒØ Ö Ð Ø º ½º¾¼º Ì Ø Ðº Î Ø Ð µ Ì Ý Ð Ó Ý Þ f k ÓÖÓÞ Ø Ú ÒØ Ö Ð Ø L ¹ Ò f k f Ñ ¹ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Òº ÓÖ f k f L ÒÓÖÑ Ò º Þ Ð Þ Ò Ú Ð ÞÒ ÐÒ Ó Ù Þ Ð Ê Þ Ö Ý Ø Ð Þ ÖÑ Þ Ú Ð ÞØ Ø Ø ÐØ º ½º¾½º Ä ÑÑ º Ê Þµ Ä Ý Ò f k Ù Ý¹ ÓÖÓÞ Ø L ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò f k f k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø f L Ñ ÐÝ Ö f k f Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Òº ½º¾¾º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝº Ì Ý Ð Ó Ý f k f L ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ f k f k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ f k f Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Òº ½º¾ º Å ÝÞ º ÒØ Ò Ò ÐÐ ØÚ ÐÐ Ø Ó Ò ÒÝ ÐÚ Ò ÑÑ Þ Ö Ô Ò Ñ ÚÓÐØ ÒÒÒ Ó Ý ÔÔ Ò Ä Ù ¹ Ð Ñ ÖØ Ø Ö Ø ÞÒ ÐØÙ º ½º º Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò À ÖÓÑ ÐÐ Ø Ö Ð Þ Þ Ò Ð Ø Ñ Ö Ðº ½º¾ º ýðð Ø º ÆÓÖÑ ÐØ Ø Ö Ò Ñ Ò Ò Ý Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ º À Ò ¹Ø Ö ÓÖ Ñ Ò Ò X ¹ Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ º ½º¾ º ýðð Ø º Ê Ü Ú Ò ¹Ø Ö Ò Ô Ð Ò À Ð ÖØ¹Ø Ö Òµ Ñ Ò Ò ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ ØÒ Ú Ò Ý Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø º ½º¾ º ýðð Ø º Ì Ý Ð Ó Ý Þ X ÒÓÖÑ ÐØ Ø Ö Ò x k x Ý Ò Òº ÓÖ x X liminf k x k X.

½º º ËÔ Ð ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ä Ý Ò X Ö Ü Ú Ò ¹Ø Ö Ù Ð Ø Ð Ð X º Ý x X Ø Ò ÞÒ Ð Ù Þ x, = x Ð Ð Øº ½º¾ º Ò º Ì ÒØ Ò Ý T : X DT X ÓÔ Ö ØÓÖØº ÓÖ T ÓÖÐ ØÓ X¹ Ð µ ÓÖÐ ØÓ ÐÑ ÞØ X ¹ Ð µ ÓÖÐ ØÓ ÐÑ Þ Ô Þº T Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ø Ø Þ Ð u, v, w X Ø Ò R λ Tu λv,w X Ð Ô Þ ÓÐÝØÓÒÓ º T Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ò Ò u k DT ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u DT X¹ Ò Ú Ø¹ Þ Ó Ý Tu k Tu Ý Ò Ò X ¹ Òº T ÑÓÒÓØÓÒ Tu Tv,u v Ñ Ò Ò u,v DT Ø Òº À ØØ Ý ÒÐ u = v Ø Ò ÐÐ ÒÒ ÓÖ T Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒº T Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ ØÓÚ u X b X Ñ ÐÝ Ö Ñ Ò Ò v X Ø Ò b Tv,u v ÓÖ Tu = bº T Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ò Ò u k DT ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò lim su Tu k,u k u Ú Ø Þ Ó Ý k Ý Ò Ò X ¹ Òº T Ó Ö Ø Ú Tu,u lim = º u X u X lim Tu k,u k u = Tu k Tu k ½º¾ º Å ÝÞ º À T Ð Ò Ö ÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ú Ú Ð Ò Tu,u ÐØ Ø ÐÐ Ðº Ò Ñ Ð ØÓ Ö Ò Ð ÔÚ Ø ÓÒØÓ Þ Ð Ñ ÓÐ Ø Ø Ø Ðº ½º¾ º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò X Ö Ü Ú Ò ¹Ø Öº Ì Ý Ð Ó Ý T : X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ó Ö Ø Úº ÓÖ Ñ Ò Ò v X Ø Ò Ð Ø Þ u X Ñ ÐÝÖ Tu = vº Þ Ý ÖØ ÐÑò Ñ ÓÐ Ø Ö Ð Þ Ð Ú Ø Þ Ø Ø Ðº ½º ¼º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò X Ö Ü Ú Ò ¹Ø Öº Ì Ý Ð Ó Ý T : X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ó Ö Ø Úº ÓÖ Ñ Ò Ò v X Ø Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ u X Ñ ÐÝÖ Tu = vº Þ ÚÓÐ µ Ð ØÓ Ö Ò S = L + T Ð ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö ÐÒ Ð ÓÐ L: X DL X òöòò Ò ÐØ Þ ÖØ Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ T : X X ÓÔ Ö ØÓÖ Ô Þ Ù ÓÑÓÒØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º ½º ½º Ò º T ÓÔ Ö ØÓÖ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ Ñ Ò Ò u k DL ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò Lu k Lu Ý Ò Ò X ¹ Ò limsu Tu k,u k u k Ú Ø Þ Ó Ý lim Tu k,u k u = Tu k Tu Ý Ò Ò X ¹ Òº k Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò Ò Ð Ø Ó ÐÑ Þ ÞÒÓ Ó Ð Þ ÞÓÒÝ Ø Ò Òº ½º ¾º Ä ÑÑ º Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ µ

µ T ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ò Ò u k DT ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u DT X¹ Ò Ð Ø Þ ũ u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ý Ó Ý Tũ Tu Ý Ò Ò X ¹ Òº µ T ÓÔ Ö ØÓÖ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ Ñ Ò Ò u k DL ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò Lu k Lu Ý Ò Ò X ¹ Ò limsu Tu k,u k u Ð Ø Þ ũ k u k k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ý Ó Ý lim Tũ k,ũ k u = Tũ k Tu Ý Ò Ò X ¹ Òº k ÞÓÒÝ Ø º Þ µ Ö ÞØ ÞÓÐ Ù Ñ Ø Ð Ò ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ñ Ýº ÁÒ Ö Ø Ø Ý Ð Ó Ý Ø Ð Ð ÐØ Ø Ð T Ò Ñ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ º ÓÖ Ð Ø Þ ε > v X u k DT ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ Ö u k u DT X¹ Ò Tu k Tu,v εº ÓÖ Ú ÞÓÒØ u k ¹Ò Ò Ò ÓÐÝ Ò ũ k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ Tũ k Tu Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò ÒÒ ÐÐÒ º Î Ý Þ Ò Ö Ø ÐØ Ú Ò ÐÝØ Ð Ò ÚÓÐØº Þ Ð ØÓ Ö Ò Þ Ð Ø Ø Ð Ð ¹ Òµ Ð Þ Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ò ÙÐ º ½º º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò X Ö Ü Ú Ò ¹Ø Ö L: X DL X òöòò Ò ÐØ Þ ÖØ Ñ Ü Ñ ¹ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ØÓÚ Ð Ý Ò T : X X ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º ÓÖ L + TDL = X º ½º º Þ L, T; V Ø Ö Ê Ú Ò Ú Þ Ø Þ ÚÓÐ µ Ý ÒÐ Ø ÞØÖ Ø Ø Ö Ý Ð Ñ Øº Å Ú Ð Ñ ÐÙÒ Ò Ñ Þ ÐÑ Ð Ø Ð Ô Ø Ò Ñ Ò ÒÒ Ð ÐÑ Þ Þ ÖØ ÑÓ Ø Ú Ø Þ Þ ¹ Þ Ò Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù ÑÓÒ ÓØØ ÐÐ Ø Ó Øº Ö ÞÐ Ø ÐÐ ØÚ ÞÓÒÝ Ø Ó Ñ Ö Ø Ò Ñ ¹ Ø Ð Ð Ø Ô Ð ÙÐ ½¼ ÒÝÚ Òº ½º º Ò º Ä Ý Ò V Ò ¹Ø Ö ØÓÚ 1 < < T < º ÓÖ L,T;V ÞÓÒ u:,t V Ñ Ö Ø Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ö T ut V dt < º ½º º ýðð Ø º Þ L,T;V Ø Ö Ø Ð ÒÓÖÑ ÐØ Ø Ö Þ Ð ÒÓÖÑ Ú Ð u L,T;V = T ut V dt 1. ½º º ýðð Ø º Ä Ý Ò V Ö Ü Ú Ò ¹Ø Ö, q Ú ÓÒ Ù ÐØ Ø Ú º ÓÖ Þ L,T;V Ø Ö Ö Ü Ú Ñ ÐÝÒ Ù Ð L q,t;v Ñ Ô Ú Ø Þ Ñ Ð ÐØ Ø Ð v L q,t;v ÙÒ ÓÒ Ð u L,T;V ÐÝ Ò ÐÚ ØØ ÖØ [v,u := T vt,ut dt. ØÓÚ Ò Þ L,T;V Ø Ö Ø Ö Ý Ð Ò Ñ Ò w, ØÐ w, V Ø Ø ÖÖ Ð ÓÐ ÓÞÙÒ µ Ð Ð w V [v, v L q,t;v ÙÒ ÓÒ ÐÓ Øº Ä Ý Ò V Ò ¹Ø Ö H Ú Ð µ À ÖØ¹Ø Öº Ì Ý Ð Ó Ý V H V òöò H¹ Ò V H Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º Â Ð Ð V V ¹ Ð ÒÓÖÑ Ø, H H¹ Ð Ð Ö ÞÓÖÞ ØÓØº ÓÖ Ý Ø Ø Þ Ð f H Ð ÑÒ Ñ Ð ÐØ Ø Ø Ò Ý F V Ð Ñ Ø Þ Ð Ñ ÓÒ F, := f, H º Å Ú Ð V òöò H¹ Ò Þ ÖØ Þ Ú Þ Ð Þ Ú Ý Ý F V ÙÒ ÓÒ Ð Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ Þ f H Ð Ñ Øº ÁÐÝ Ò Ñ ÓÒ Ý Ø Ð Ø Ø Ø Ò H V Ý Ö Þ ÐÑ Þ Þ ØØ Ý H V º Ë Ø Þ Ú Ð Ó Ó Ý ÞÞ Ð B V Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º ½º º Ò º V H V ÖÑ Ø ÚÓÐ ÖÑ Ò Ò Ú ÞÞ º

½º º Ò º Ä Ý Ò u L,T;V º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ v L q,t;v Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò w V ϕ C,T Ø Ò T ut,w ϕ tdt = T vt, w ϕt dt. ÓÖ v¹ø Ñ ÐÝ Ð Ø Þ ÓÖ Ý ÖØ ÐÑòµ Þ u ÞØÖ µ Ö Ú ÐØ Ò Ò Ú ÞÞ v = u Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù º ½º º Ò º Â Ð Ð W 1,,T;V,H Þ ÓÐÝ Ò u L,T;V Ú ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ Ø Ñ ÐÝ Ö u L q,t;v º Î Þ Ú Ø Þ ÒÓÖÑ Ø u W 1,,T;V,H := u L,T;V + u Lq,T;V. ½º ¼º ýðð Ø º W 1,,T;V,H Ø Ö Ò ¹Ø Ö ÒØ Ú Þ Ø ØØ ÒÓÖÑ Ú Ðº ½º ½º ýðð Ø º Ä Ý Ò u W 1,,T;V,Hº ÓÖ u 2 H Ú ÒÝ,T¹Òº ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÞÓÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ Ú Ð ½º ¾º ýðð Ø º W 1,,T;V,H C[,T,H Ø W 1,,T;V,H C[,T,H Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º ÈÓÒØÓ Ò u W 1,,T;V,H ÓÖ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ ū: [,T H ÓÐÝØÓ¹ ÒÓ Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ ū = u ÑºÑº [,T¹ Ò max s [,T ūs H const u W 1,,T;V,H. ½º º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝº À u L,T;V Ñ ÐÝÖ u L q,t;v ÓÖ ÖØ ÐÑ u ÔÓÒØ Ð ÖØ Ô Ð Ò u ÖØ ÐÑ º ½º º Ì Ø Ðº Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð µ Ä Ý Ò u, v W 1,,T;V,Hº ÓÖ s t T Ø Ò t s [ u τ,vτ + v τ,uτ dτ = ut,vt H us,vs H. ½º º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝº Ä Ý Ò u W 1,,T;V,Hº ÓÖ s t T Ø Ò 2 t s u τ,uτ dτ = ut 2 H us 2 H. ½º º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝº Ä Ý Ò u W 1,,T;V,H Ñ ÐÝÖ u = º ÓÖ [u,u º ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º º Ú Ø ÞÑ ÒÝØ Þ s = t = T Þ Ö ÔÓ ÞØ Ð Ð ÐÑ ÞÚ ÞÓÒÒ Ð Ò ÑÒ Ø Ú Ø º ÖØ ÐÑ ÞÞ Ú Ø Þ L: L,T;V DL L q,t;v ÓÔ Ö ØÓÖØ Ä Ý Ò DL := {u L,T;V : u L q,t;v, u = } Lu = u º ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý L Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Ý Þ ½º º Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý L ÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖº Ë Ø ÒÒ Ð Ø Þº ½º º ýðð Ø º ÒØ L òöòò Ò ÐØ Þ ÖØ Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖº ½º º Å ÝÞ º Þ ÐÐ Ø Þ Ñ Ö ÓÖ DL¹ Ò u = ÐÝ ØØ u = ut ÐØ Ø ÐØ Ú Ø Ð Ò Ñ º ½¼

ÅÓ Ø Ñ Ö Ñ Ó ÐÑ Þ Ø Ù ÞØÖ Ø Ñ ÓÒ Ó Ý Ñ Ø ÖØ Ò Ô Ö ÓÐ Ù Ð ØÓÒº ÓØØ V H V ÚÓÐ ÖÑ º Þ Ò Ú Ð Ð Ý Ò A: L,T;V L q,t;v Ò ÑÐ Ò Ö µ ÓÔ Ö ØÓÖ b L q,t;v º Ã Ö Ò ÓÐÝ Ò u W 1,,T;V,H Ú ÒÝØ Ñ ÐÝÖ Ñ Þ Ú Ð u + Au = b u = u, u t + [Aut = bt u = u ÑºÑº t,t¹ö ÓÐ u H ÓØØº Ð Ö Ð ÞÓÒÒ Ð Ð Ø Þ Ó Ý Ò Ñ Ø ÐÐ Ø ÒÒ Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÞº Í Ý Ò Þ ½º º ÐÐ Ø Ð ØÙ Ù Ó Ý Þ Lu = u ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ý Þ ½º º Ø Ø Ð Ñ ØØ Ð Ò Þ A ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÒÝ Ô Ð ØÙÐ ÓÒ Ø ÞÓÐÒÙÒ º Î Þ Ø Ð Ñ ÑÐ Ø Ò Ò ÒÝ ÓÒØÓ Ý Þ Ø Ø ÐØ Ñ ÐÝ Ú Ø ÞÑ ÒÝ µ ÞÒÓ Ð ÞÒ ÞÓÒÝ Ø Ò Òº ½º º ýðð Ø º Ä Ý Ò R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø 1 Ú Ð N 1 Þ Þ Ñº ÓÖ Þ L,T;W 1, N L,T;L N Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º ½º ¼º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò V H V ÚÓÐ ÖÑ ÓÐ V Ö Ü Ú Ò ¹Ø Öº Ì Ý Ð Ó Ý B Ö Ü Ú Ò ¹Ø Ö Ñ ÐÝÖ V B V ÓÐ V B Ý Þ ÓÑÔ Ø B V Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º ÓÖ W 1,,T;V,H L,T;B Ý Þ ÓÑÔ Ø 1 < < º ½º ½º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝº Ä Ý Ò R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò¹ Ð Ø 2 < Ú Ð N 1 Þ Þ Ñº ÓÖ W 1,,T;W 1, N,L 2 N L,T;L N Ý Þ ÓÑÔ Øº ÞÓÒÝ Ø º Å Ú Ð 2 < Ø Ò W 1, N L 2 N W 1, N ÚÓÐ ÖÑ W 1, N Ö Ü Ú Þ ÖØ Þ ½º½ º ÐÐ Ø Ð Þ Ð Þ Ø Ø Ð Ð Ú Ø Þ Þ ÐÐ Ø º ½º ¾º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝº Ì Ý Ð Ó Ý Þ u k W 1,,T;W 1, N,L 2 N ÓÖÓÞ ØÖ u k u Ý Ò Ò L,T;W 1, N ¹ Ò u k u Ý Ò Ò L q,t;w 1, N ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ũ k u L,T;L N ¹ Òº ÞÓÒÝ Ø º Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ u k ÓÖÐ ØÓ L,T;W 1, N ¹ Ò u k ÓÖÐ ¹ ØÓ L,T;W 1, N ¹ Ò Ú Ý u k ÓÖÐ ØÓ W 1,,T;W 1, N,L 2 N ¹ Òº Ý Þ ½º ½º Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ L,T;L N ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò º Þ L,T;W 1, N Ø Ö Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Ð Ú Ø Þ Þ L,T;L N Ø Ö Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ L,T;L N Ø Ö Ö ÓÒÚ Ö Ò Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ ÖØ Ý Ò Ð Ñ Þ Ý ÖØ ÐÑò Ñ ØØ Þ ÔÔ Ò ũ k u L,T;L N ¹ Òº ½½

¾º Þ Ø ÃÐ Þ Ù Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ö Þ Ò Ð Þ Ù Ð Ñ Ó Ö Ò ò Ò ÑÐ Ò Ö Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò ¹ Þ Ö Ø Ú Þ Ð Ù Ñ ÓÞÞ Þ Ò Þ Ø ¹Ô Ö Ñ ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Øº Þ Ú Þ Ð Ø ÓÞ ÑÓ¹ ÒÓØÓÒ Ø ÔÙ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Þ Ò Ð Ð Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÐÑ Ð Ø Ø ÞÒ Ð Ù º Å ¹ Ú Ð ÓÐ ÓÞ ØÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ø Ó Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Ò Þ Ö Ú Þ Ð Ø Þ ÖØ ¹ Ò Þ Ø Ò Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ø Ð Ö º Ú Þ Ø Ý Ò Ñ ÓÐ Ó Ó ÐÑ Ø Ý Þ ÞØ Ò ¹Ø Ø ÐØ ÞÓÒÝ ØÙÒ Ñ ÐÝ Ñ Ú Ø Þ Þ Ø Ò Ñ ÒÒÝ Ø ÑÙÒ Ò Øº Ý Ò Ð Ð Ú Þ Ø Ø ÑÓØ Ú Ò Þ Ò Ù ÖÖ Ú Ð ØÙÒ Ö Ó Ý Þ ÐØ ÐÙÒ Ú Þ ÐØ ÞØÖ Ø Ð Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ý Ñ ÒØ Ý Ð ÐÑ µ Ð Þ Ù Ñ Ó Ö Ò ò Þ Ø ¹Ô Ö Ñ ÖØ Ð Ø Ý Ò Ð º ÞØ Ý Ò Ð ÓØ Þ Ý Þ Öò Ú ÖØµ Ð Þ Ö Ý ÒÐ Ø Ö Ö Ù Ð Ð Ö Ò Þ Ö Ý Ò Ð ÞÓÒÒ Ð Ð Ø Þ Ò Ó º Ý Ò Ñ ÓÐ Ô Ö Þ Ò Ñ Ñ Ò Ð Ø Þ º ÓÞ Ó Ý ÞØ Ö ÒØ Ð Ù Ñ Ð Ð ØÙÐ ÓÒ Ý ØØ Ø Ò ÐÐ Þ Ö Ô ÐÒ Ö Ò Þ Ö Ò Òº Å Ú Ð Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð Ô ÓÐ ØÓ ½º º Ø Ø Ð Ò Ø Þ Ö ØÒ Ò Ð ÐÑ ÞÒ Ý Ú Ð Ó Ó Ý ÐØ Ø Ð ÞÓÒÝÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ú ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ó Ö¹ Ø Ú Ø ÐØ Ø Ð Ð ÞÒ º Þ ÖÓ ÐÓÑ Ò Þ Ø ÔÓÒØÓ Ò Þ Ò Ý ÒÐ Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ Ð Ð Øµ ÞÓ Ð Þ Ù Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð Ò ÚÒ º ¾º½º Ý ÒÐ Ø Ý Ò Ð Ì ÒØ Ú Ø Þ Ú Ö Ò ¹ Ð Ò Ð ÖØ Ð Þ Ù Ñ Ó Ö Ò ò Ô Ö ÓÐ Ù Ú Þ Ð Ò ¹ Ö Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø ¾º½µ [ D t ut,x D i ai t,x,ut,x,dut,x + a t,x,ut,x,dut,x = ft,x, t,x =,T, a i : R n+1 R, ÓÐ D i Þ x i Ú ÐØÓÞ Þ Ö ÒØ ÞØÖ ÖØ Ð Ñ Ò Ú ØØµ Ô Ö Ð Ö Ú Ð Ø Ð Ð Ñ D t t µ Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐØ Ø ÞÓ Ó Ñ ÓÒ Du = D 1 u,...,d n u Ö Ò Ú ØÓÖº ÒØ Ý Ò¹ Ð Ø Þ Ø ÖØÓÞ Ý Ô Ö Ñ¹ ÐÐ ØÚ Þ Ø ÐØ Ø Ðº Þ Ø ÐØ Ø Ð Ð Ý Ò u,x = u x x Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ô Ð Ý Ò ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð Ö Ð Ó Ý Ñ ÖØµº Þ Ò ÑÐ Ò Ö Ø Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý a i t,x,ut,x,dut,xν i x =, t,x Γ T =,T ÓÐ νx = ν 1 x,...,ν n x Ð ÒÓÖÑ Ð Ý Ú ØÓÖ Þ x ÔÓÒØ Òº ½¾

Å Ò Ø ÑÓ Ø Ò Ñ Ð Þ Ù Ñ ÓÐ Ö Ð Ò Ñ Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ý Ò Ð Ø Þ Ö ØÒ Ò ÖØ ÐÑ ÞÒ ÒÒ Ñ ÓÐ Ø Ö Ò º Þ ÖØ ÒÒÝ Ø Ø Þ Ò Ð Ó Ý Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ð Þ Ô Ô Ð ÙÐ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø µ ØÓÚ Þ Ð Þ Ö ÔÐ Ú ÒÝ Ñ Ð Ð Ò Ñ ÓÞ Ó Ý Ú Ø Þ Ø Ð Ø Ó Ø Ð Ð Ò Ú ÞÒ µº Ý Ò Ð ÓØ Ô Ö Þ Ð Ñ ÖØ Ñ ÓÒ ÐÐ Ø Ø Ù Ð º ÐØ Þ Ó Ý Ð Ø Þ ¾º½µ Ð ØÒ Ñ ÓØØ Ô Ö Ñ¹ Þ Ø ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ u C 1 Ñ ÓÐ º ÓÖ ÞÓÖÓÞÞÙ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ý v C 1 Ø ÞØ Ú ÒÒÝ Ð Ñ ÒØ Ö Ð Ù Þ Þ Ø ¹Ò D t ut,xvt,xdtdx [ D i ai t,x,ut,x,dut,x vt,xdtdx+ + a t,x,ut,x,dut,xvt,xdtdx = ft,xvt,xdtdx. ÁØØ Ð ÓÐ ÐÓÒ Þ Ö ÔÐ Ñ Ó ÒØ Ö ÐØ Ò Ø Ú Ð Ð Ò Ð Ðµ Ù ¹Ç ÞØÖÓ Ö Þ ¹Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ú Ø Þ Ð Ö Ø Ù Ø T a i t,x,ut,x,dut,xd i vt,xdxdt+ T + a i t,x,ut,x,dut,xν i xvt,xdσ x dt, ÓÐ dσ x Ð Þ Ò Þ Ö ÒØ ÒØ Ö Ð Ø Ð ÒØ º Ý Ð Ñ Ú Ú Ô Ö Ñ ÐØ Ø ÐØ ØØ ÞÒ Ð Ù Ó Ý ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ðµ Ð ØÙÒ Ú Ð Ú Ø Þ Ð ÓØ ÐØ [ n ¾º¾µ D t uv + a i t,x,u,dud i v + a t,x,u,duv = fv Ñ Ò Ò v C 1 ¹Ö u,x = u xº ÒØ ÞÖ Ú Ø Ð Þ Ó Ý ÒØ Ý ÒÐ Ø ÖØ ÐÑ Ø Ø Þ Ð v W 1,,T;W 1,,L 2 2 µ Ú ÒÝ Ø Ò u¹ø Ö Ø Ð Ø Ö Ðº Æ ÞÞ ÞØ Ñ Ý Ø Ö ÞÐ Ø Ò Ð Þ Ö 2 Ø Ò W 1, L 2 W 1, ÒÝ ÐÚ Ò ÚÓÐ ÖÑ Þ Ò W 1, L L 2 ÓÐÝØÓÒÓ Ò òöò Ò Ý ÞÚ º ÓÖ Þ ½º Þ ÞÒ Ñ Ð ¹ Ð Ò ÖØ ÐÑ Þ Ø Þ L,T;W 1, L q,t;w 1, W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ö ¹ Øº À ÞÒ Ð Ù Þ ÑÐ Ø ØØ ÐÐ ØÚ Þ ½º¾ Þ Þ Ð Ð Ø Å Ú Ð u L,T;W 1, Ø Ò ut =: ut, W 1, Þ ÖØ Ø Ø Þ Ð u L,T;W 1, v L q,t;w 1, Ø Ò 1 T 1 u L = ut,t;w 1, W 1, dt = ut,x + Dut,x dtdx, [v,u = T vt,,ut, W 1, dt. ØÓÚ Ò Ý u W 1,,T;W 1,,L 2 Ú ÒÝ u Ö Ú ÐØ Ø D t u¹ú Ð Ð Ð Þ Þ Ø Ø Þ Ð u W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ò D t u L q,t;w 1, Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò v W 1, ϕ C,T Ø Ò T D t ut,,v W 1, ϕ tdt = ut,,v W 1, ϕtdt. W 1, ¹ Ð v, ÙÒ ÓÒ ÐÓ ÓÒ Ö Ø Ð ÐØ Ð Ò Ò Þ Ò Ø Ñ Þ Þ Þ¹ ØÖ Ø Ð Ö Ñ ØØµ Þ ÑÙÒ Ö Ò Ñ Ð ÒÝ º ÒÒÝ ÞÓÒ Ò Þ Ó Ý v L 2 ÓÖ v, W 1, = v, L2 ½

ÒÒÝ ÐÑ Ð Ø Ð Þ Ð Ø ÙØ Ò ÑÓ Ø Ñ Ö ÒÒÝ Ò Ð Ö Ø Ù Þ ÐØ ÐÙÒ Ú Þ ÐØ ¾º¾µ Ý Ò¹ Ð Ø Ø W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ö Òº Þ Ú Þ Ú Ø Þ A: L,T;W 1, L q,t;w 1, ÓÔ Ö ØÓÖØ u, v L,T;W 1, Ø Ò Ð Ý Ò [ n [Au,v := a i t,x,ut,x,dut,xd i vt,x + a t,x,ut,x,dut,xvt,x dtdx. Å Þ Ú Ð ÑºÑº t,t¹ö w W 1, Ø Ò [ n [Aut,w := a i t,x,ut,x,dut,xd i wx + a t,x,ut,x,dut,xwx dx. Þ Ò Ú Ð Ð Ý Ò F L q,t;w 1, Ñ ÐÝÖ [F,v := ft,xvt,xdtdx, ØÓÚ Ø Ý Ð Ó Ý u W 1, º Î Ð Lu := D t u ÓÐ DL = { u: u L,T;W 1,, D t u L q,t;w 1, }. ÓÖ ¾º¾µ Ð Ø Ð Ú Ø Þ [Lu,v + [Au,v = [F,v u = u Ñ Ò Ò v L,T;W 1, ¹Ö º Þ Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð Ò ¾º µ Lu + Au = F u = u. À Ý u L,T;W 1, Ú ÒÝ Ð Ø Þ Ð ÞØÖ Ø Ð ØÓØ ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý u ¾º½µ Ð Ø Ý Ò Ñ ÓÐ º ÅÓ Ø Ý Ö Ù ÓÖ ÙÒ Ú Þ Ò ÙÐ ¾º½µ Ð Ø ÓÞ ÔÓÒØÓ Ò ÒÒ Ô Ö Ñ ÐØ ¹ Ø Ð Þº Ì Ý Ð Ó Ý ÑÓ Ø ÓÑÓ Ò Ö Ð Ø¹ Ð Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð ÓØØº Ã ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý ÓÖ Ð ÙØ ØÙÒ ¾º¾µ Ð ÓÞ Ñ Ô ÓÖ ÓÐÝ Ò v C 1 Ø ÞØ Ú ÒÝ Ø Ú Ð ÞØÙÒ Ñ ÐÝ Ö vt,x = Ñ Ò Ò t,x Γ T Ø Òº Ò Þ Ø Ò Ø Ø v Ø ÞØ ¹ Ú ÒÝ Ø Ò Ñ Þ ÐØ Ð ÒÓ v W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ö Ð Ó Ù Ú Ð ÞØ Ò Ò Ñ v W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ö Ðº Ë Ø u¹ø Ö Ø Ð Ø Ö Ðº ÒÒ Ñ Ð Ð Ò ÑÓ Ø F L q,t;w 1, Ñ Ó Ø ÒÙÒ ÐÐ Þ A L ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ø W 1, ¹Ø Ñ Ò Ò ØØ W 1, ¹Ö ÐÐ Ö ÐÒ Ò º Þ ÙØ Ò Ø Ö Ò Ú Þ Ò ÙÐ ÔÖÓ Ð Ñ ¾º µ ÞØÖ Øµ Ý Ò Ð ÓÞ Þ Þ ¹ ÑÙÒ Ö Ñ Ö Þ Ð Ø Þ Ò ÓÑÓ Ò Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò Þ L ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ô ØÙÐ ÓÒ Ý ÒØ Ð Ø Ñ ÓÐ Ò Ð Ø Þ Þ Ð Ò Þ A ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ð Þ Ò ÒÝ Ô Ð ØÙÐ ÓÒ Ðº ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Ó ÙÒ Þ a i Ú ÒÝ Ö ÐØ Ø Ð Ø Þ Ò º ¾º¾º ýøø Ö Ö Ò Þ Ö Ö Å ÙØ Ò Þ Ð Þ Þ Þ Ò Ñ Ñ Ö Ø Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ý Ò Ð Ú Ð ÑÓ Ø Ñ Ö Ý ¹ Ö Ø Ð Þ Ö Ò Þ Ö Ý Ò Ð Ø Ò ÐÒ º ½

¾º½µ Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ Ö Ò Þ Ö Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Þ ¾º µ D t u l t,x [ D i a l i t,x,u 1 t,x,...,u N t,x,du 1 t,x,...,du N t,x + + a l t,x,u1 t,x,...,u N t,x,du 1 t,x,...,du N t,x = f l t,x, t,x =,T, R n, l = 1,...,N. Þ Ô Ö Þ Ø ÖØÓÞ Þ Ø Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ö Ò Þ Ö º Ì ÒØ Ò ÑÓ Ø Ð Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð¹ Ö Ò Þ Ö ÓÒ Ö Ø Ð Ø Ð ÒÒÝ Ø Ø Ý Ò Ð Ó Ý ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð º Þ Ø Ð¹ Ø Ø Ð Ö Ò Þ Ö Ð Ý Ò u l,x = u l x x ; l = 1,...,Nµº Ý Ò Ð Ð Ö ÓÞ Þ Ò Ú Ò Ò ÒÝ Ð Þ Ø Ñ ÝÞ Ö º ØÓÚ Ò ÞÞ Ð ÐØ Ø Ð Þ Ð Ð Ò Ó Ý n 1 Ö Þ Ø ØØ Þ Þ Ñ R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø 2 Ö Þ Ø ØØ Ú Ð Þ Ñº ¾º µ Ð Ø Ñ ÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ò ut,x = u 1 t,x,...,u N t,x Ð Ò Ö º Þ Ð Þ Þ Þ Ð Ô Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý ÑÓ Ø u L,T;W 1, N Ý Ò Ñ ÓÐ Ó Ø ÖØ ÐÑ Þ Ò Þ Þ Ñ ÐÝ Ö ut, W 1, N º Ð Ð Ý Þ Öò Ø Ö Ò ÞÒ ÐÒ Ó Ù V = W 1, N X = L,T;V Ð Ð Øº Þ Ð Þ Þ Þ Ò Ð ØÓØØ Ñ ÓÒ ÑÓ Ø ÒÒÝ Ò Ô Ð Þ Ð Ø Ù Þ L,T;V Ø Ö Ó ÐÑ Ø ÓÒ Ö Ø V = W 1, N ØÖ º Ê Ú Ò Ò ÞÞ Ñ Þ Ø Ì Ø Þ Ð u = u 1,...,u N L,T;W 1, N Ø Ò T u = ut dt L,T;W 1, N W 1, N 1 ØÓÚ v = v 1,...,v N L q,t;w 1, N Ø Ò [v,u = T vt,,ut, W 1, N dt = N = ut,x + Dut,x dtdx T v l t,,u l t, W 1, dt. Þ Ò Ú Ð 2 Ø Ò W 1, N L 2 N W 1, N ÚÓÐ ÖÑ Ý ÖØ Ð¹ Ñ Þ Ø W 1,,T;W 1, N,L 2 N Ø Öº ÓÖ u W 1,,T;W 1, N,L 2 N Ø Ò D t u L q,t;w 1, N Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò v W 1, N ϕ C,T Ø Ò T D t u l t,,v l W 1, ϕ tdt = T u l t, v l W 1, ϕtdt. Ã ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý ÓÖ D t u = D t u 1,...,D t u N Þ Ð v =,...,,v j,,..., Ø ÞØ Ú ÒÝ Ø Ú Ð ÞØÙÒ µº Þ ÙØ Ò Ø Ö Ò Ú Þ Ò ÙÐ ¾º µ Ð Ø ÓÞ Ý Ò Ð ÓØ Þ Ð Þ Ö Þ Þ ÓÒ¹ Ð Òµ Ñ ÒØ Ý ÐÐ Ø Ù Ð Ó Ý ÐØ Þ Ð Ø Þ Ñ Ð Ð Ò Ñ Ñ ÓÐ ÓÖ Þ l¹ Ý ÒÐ Ø Ø ÞÓÖÓÞÞÙ v l Ø ÞØ Ú ÒÒÝ Ð Ñ ÒØ Ö ÐÙÒ ¹Ò ÒØ Ö Ð Ø Ð Ø Ø Ø ÐØ Þ¹ Ò ÐÙÒ º ÞÙØ Ò Þ Þ Ø Ý Ú Ø Ö Ò Ø ÒØ Ñ ÑÓ Ø Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð Ô Ö Ñ Ð Ø Ð Ñ ØØµ W 1,,T;W 1, N,L 2 N Ø Öº Ã ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý ÓÖ Ú Ø Þ Ð Ö Ò Þ Ö [D t u 1,v 1 + [A 1 u,v 1 = F 1 v 1 [D t u N,v N + [A N u,v N = F N v N º u = u 1, ½

Ñ Ò Ò v = v 1,...,v N L,T;V ¹Ö º ÁØØ A l : L,T;V L q,t;w 1, ÓÔ Ö ØÓÖ l = 1,...,N Ñ ÐÝÖ u = u 1,...,u N L,T;V v = v 1,...,v N L,T;V Ø Ò [ n [A l u,v := a l i t,x,ut,x,dut,xd i v l t,x + a l t,x,ut,x,dut,xvl t,x Þ Ò Ú Ð F l L q,t;w 1, l = 1,...,N Ñ ÐÝÖ [F l,v := f l t,xv l t,xdtdx, dtdx. Ú Ð Ñ ÒØ u V º Ý Ò Ð Ò Ñ Ò Ñ ÒØ ÞØÖ Ø Ö Ò Þ ÖØ Ø ÒØ º Î Ý ÞÖ Ù Ý Ò Ó Ý ÒØ Ö Ò Þ Ö Ú Ú Ð Ò Ú Ø Þ Ú Ð [D t u,v + [A 1 u,v 1 + + [A N u,v N = F 1 v 1 + + F N v 1 Ñ Ò Ò v = v 1,...,v N L,T;V ¹Ö u = u º Î Ð Ò Ö Ò Þ Ö Ð Ú Ø Þ Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ñ Ö ÞØ v =,...,,v j,,...,¹ø Ú Ð ÞØÚ Ð Ò¹ Ð Ò Ú Ø ÞÒ Ö Ò Þ Ö Ð Ý ÒÐ Ø º ÒÒ Ð Ô Ò Ð Ý Ò A: L,T;V L q,t;v Ñ ÐÝÖ u = u 1,...,u N L,T;V v = v 1,...,v N L,T;V Ø Ò ÓÖ ¾º µ Ý Ò Ð [Au,v := [A l,v l. D t u + Au = F u = u. ÒØ Ð Ô Ò ÞØ ÑÓÒ Ø Ù Ø Ø Ó Ý Þ Ð ÞØÖ Ø Ð ØÒ Ý u L,T;V Ñ ÓÐ ¾º µ Ö Ò Þ Ö Ý Ò Ñ ÓÐ Ñ Ð Ð Þ Ø Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØµº Þ Ð Þ Þ Þ Ò Ð ÖØ Ð Ô Ò ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ù Ó Ý Ô Ö Ñ ÐØ Ø ÐØ ÓÑÓ Ò Ö Ð Ø¹ Ð Ò Ú Ð ÞØÓØØÙ ÚÓÐÒ ÓÖ Þ Ð Þ Ð Ö Þ Ö Ð¹ Þ Ö Ú Ú Ø ÞÞ Ð Ñ Ó ¹ Ø Ð Ó Ý Ò Þ Ø Ò V = W 1, N º Å Ò Ò Ò Ú Ø Þ Ø Ø Ð ÖÚ ÒÝ Ò Ú Ò Ò Ñ V = W 1, N Ú Ð ÞØ Ð Ò Ñ ÓÖ V Ø Ø Þ Ð ÓÐÝ Ò Þ ÖØ Ð Ò Ö ÐØ Ö W 1, N ¹Ò Ñ ÐÝ òöò L 2 N ¹ Ò Ô Ð Ò V = W 1, N µº Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ ÞÓÒ Ò Ñ Ú V = W 1, N Ø ÖÖ Ð Ó ÙÒ ÓÐ ÓÞÒ º Ú Ø Þ Ò Ú Þ Ø Ú Þ Ø Ò Ñ Ö ÑÐ Ø ØØ Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð Ø ÒÒ Ø Ú Ð Ð Ø Ù Ó Ý ÒØ Ð ØÒ Ð Ø Þ Ý Ò Ñ ÓÐ º ¾º º ¾º º½º Ý Ò Ñ ÓÐ Ó Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð Â Ð Ð ÓÞ Ó Ý ÔÖ Þ Ò Ð ØÙ Ù ÖÒ ÐØ Ø Ð Ø ÐÐ Ú Þ ØÒ Ò Ý Ð Ð Ö Ò Þ ÖØº Þ Ò Ð Ð Ý Ö Þ Ø Þ Ð Þ Þ Þ Ò Ñ Ö Ú Þ ØØ Ø Ð Ú ÖØ ÑÓ Ø Ñ Ñ Ø Ð ½

Þ Ø º ØÓÚ Ò Þ Ð Ð ÓÖÓÐØ Ð Ð Ò Ú Ø ÓÞ Ò Ð Ðµ Ñ Ò ÑÓ Ø Ò ÐØ Ð ÒØ Ø ØÙÐ ÓÒ Ø Ù º Ä Ý Ò n 1 Ö Þ Ø ØØ Þ Þ Ñ R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø º Ä Ý Ò V = W 1, N ÓÐ 2 < Ú Ð N 1 Þ Þ Ñº Å Ò Ò Ø Ò q Ð Ð ÓÒ Ù ÐØ Ø Ú Ø Ñ Þ Ú Ð 1 + 1 q = 1º Ä Ý Ò < T < Ú Ð Þ Ñ ÓÖ ÞÒ Ð Ù =,T X = L,T;V Y = L,T;L N H = L 2 N Ð Ð Øº Ý u X Ð ÑÖ u = u 1,...,u N ÓÐ u l L,T;W 1, l = 1,...,Nº Þ Ò Ú Ð ξ R n+1n Ú ØÓÖÓ Ø ξ = ζ,ζ Ð Ò Ö Ù ÓÐ ζ = ζ 1,...,ζN R N ζ = ζ 1,...,ζ N R nn l = 1,...,Nº ÁØØ ζ l = ζ l 1,...,ζl n R n l = 1,...,Nº ÐØ Ø Ð Ä½º Ì Ý Ð Ó Ý Þ a l i : R n+1n R Ú ÒÝ Ø Ð Ø Ö Ø Ó ÓÖÝ¹ Ð ÐØ ¹ Ø Ð Øº Þ Þ Ñ Ö Ø t,x¹ Ò Ñ Ò Ò Ö Þ Ø ØØ ζ,ζ R n+1n Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ ζ,ζ¹ Ò ÑºÑº t,x Ø Ò i =,...,n; l = 1,...,Nµº Ä¾º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ c 1 > ÓÒ Ø Ò k 1 L q Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö a l i t,x,ζ,ζ c 1 ζ 1 + ζ 1 + k 1 t,x ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö i =,...,n; l = 1,...,Nµº Ä º Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ζ η R nn Ø Ò ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ R N ¹Ö º a l i t,x,ζ,ζ a l i t,x,ζ,η ζ l i η l i > Ä º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ c 2 > ÓÒ Ø Ò k 2 L 1 Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö i= a l i t,x,ζ,ζζ l i c 2 ζ + ζ k 2 t,x ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö º ¾º º¾º Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Þ Ø Ö Ñ ÒÝ ¾º½º Ø Ø Ð Ñ ÐÝ Ð Ö Ð Ó Ý Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ Ð Ø Ð Ð Ò ÓÞ Ó Ý Þ Ð Þ Þ Þ Ú Ò Ò ÐØ A ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ø Þ ½º º Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Øº Ä Ý Ò Ø Ø A: L,T;V L q,t;v ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÖ u = u 1,...,u N L,T;V v = v 1,...,v N L,T;V Ø Ò [ n [Au,v := a l i t,x,ut,x,dut,xd i v l t,x + a l t,x,ut,x,dut,xvl t,x dtdx. Î Ð Ò Ý Ð Ö Ò Ñ ØÙ Ù Ó Ý A ÒØ Ò Ú Ð Ò ÖØ ÐÑ Ø ÒÝÐ L q,t;v ¹ Ô Þº Þ ÞÓÒ Ò Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ö Þ Ð Ó Ö ÐÒ º Î Ð ÞÓ Ó Ñ ÓÒ Ð Ý Ò L: L,T;V L q,t;v Ú Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖ DL = {u X : D t u X, u = }, Lu = D t u. ½

¾º½º Ì Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ Ä½ Ä ÐØ Ø Ð º ÓÖ Þ A: X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ¹ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º ÞÓÒÝ Ø º ÞÓÒÝ Ø Þ Ò Ð Ñ Ø Ò ÓÒ À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ò Ò ÒÝ ÙÒ ¹ ÓÒ Ð Ò Ð Þ Ð Ø Ø Ð Ò Ð ÔÙÐº ÃÓÖÐ ØÓ º ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ ÒÝ ÐÚ Ò Ð Ò Þ [Au,v Ò Ò Þ Ö ÔÐ ÒØ Ö ÐÓ Ø Ø ÞÓ Ò Ý¹ Ý Ø Ø Ð Ò¹ Ð Ò Ú Þ ÐÒÙÒ º Ý ÐÝ Ò Ø ÓØ À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð Ð ÐÖ Ð Ð Ø Ò ¾º µ a l i t,x,ut,x,dut,xd i v l t,xdtdx a l i t,x,ut,x,dut,x q dtdx 1 q QT 1 D i v l t,x dtdx. Ì ÖÑ Þ Ø Ò i = Ø Ò ÓÒÐ ÖÚ ÒÝ D i v l ÐÝ ØØ v l ¹Ð Ðºµ ÁØØ Ñ Ó Ø ÒÝ Þ ÒÝ Ð¹ Ú Ò Ð Ð ÓÖ Ñ ÒØ v X Þ Ð Ø ÒÝ Þ Ø Ô Þ Ä¾ ÐØ Ø Ð Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Þ Ö µ Ð ÐÑ Þ Ú Ð ØÓÚ Ð Ø ¾º µ 1 q a l i t,x,ut,x,dut,x q dtdx [ const c q 1 ut,x 1q + Dut,x 1q + k 1 t,x q 1 q dtdx const [ c q 1 [ u 1 + Du q + 1 q = k 1 q q = const c 1 u X + k 1 Lq. c 1 ÓÒ Ø Ò Ø Ý Ð ÐÑ Þ Ñ ØØ ÝØÙ Ñ ºµ ÒØ Ø Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø i¹ö l¹ö ÞÙÑÑ ÞÚ Ð ÞÒ ÐÚ ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Øµ [Au,v ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð Ø ÒÝ Ö Ò q [Au,v const c 1 u X + k 1 Lq v X. Þ Ú ÞÓÒØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý q ¾º µ Au X const c 1 u X + k 1 L q, Ø Ø A: X X ÓÖÐ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖº Ñ ÓÐÝØÓÒÓ º Ì Ý Ð Ó Ý Þ u k X ÓÖÓÞ ØÖ u k u Þ X ÒÓÖÑ Þ Ö ÒØº ÓÖ Ñ Ò Ò 1 i n, 1 l N Ø Ò Þ u l k D iu l k ÓÖÓÞ ØÓ L ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ ÖØ Ê Þ¹Ð ÑÑ ½º¾½º Ð ÑÑ µ Ñ ØØ Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ũ k u Dũ k Du ÑºÑº t,x ¹Ö º Ð Ø Ù Ó Ý Ñ Ò Ò v X Ø Ò [Aũ k Au,v ÓÖ Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ ½º ¾º Ð ÑÑ µ Ð Ô Ò Þ Ò Ð Þ Ò º Þ [Aũ k Au,v¹ Ò Ð Ú Ø Ó Ø ÓÖÐ ØÓ ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Ö ÔÐ ¾º µ À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ ÓÒÐ Ò Ð Ø ¾º µ [ a l i t,x,ũ k t,x,dũ k t,x a l i t,x,ut,x,dut,x D i v l t,xdtdx Ð Ú Ø Þ Ò Ð Ò Ð ØÒÙÒ Ó Ý a l i,ũ k,dũ k a l i,u,du Lq v X. lim k al i,ũ k,dũ k a l i,u,du Lq = ½

Ñ Ò Ò i n¹ö 1 l N¹Ö º Þ Ð Þ Ö Ú Ý ÞÖ Ó Ý Þ Ä½ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ a l i ζ,ζ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ý lim k al i t,x,ũ k t,x,dũ k t,x = a l i t,x,ut,x,dut,x ÑºÑº t,x ¹Ö, Ð ÞÒ ÐÚ Þ ũ k Dũ k ÓÖÓÞ ØÓ Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ Ú Ð ÓÒÚ Ö Ò Ø ¹ Òº ÌÓ¹ Ú Þ Ä¾ ÐØ Ø Ð Ð Ú Ø Þ Ò Ð ÔÐº ¾º µµ a l i t,x,ũ k t,x,dũ k t,x q c q 1 ũ kt,x + Dũ k t,x + k 1 t,x q = f k t,x. Þ ũ k ÓÖÓÞ Ø X¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ Þ ũ k Dũ k Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓ L ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ ÖØ Þ ũ k Dũ k ÓÖÓÞ ØÓ L 1 ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò º Ì Ø Þ f k ¹ Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø L 1 ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ý Ú ÒØ Ö Ð Ø L 1 ¹ Ò ½º½ º ÐÐ Ø µº Ã Ú Ø ¹ Þ ÔÔ Ò Þ a l i,ũ k,dũ k Ú ÒÝ Ú ÒØ Ö Ð Ø L q ¹ Òº ÓÖ Ú ÞÓÒØ k N Ú ÒÝ Ð Ø Î Ø Ð ¹Ø Ø Ð ½º¾¼º Ø Ø Ðµ ÐØ Ø Ð Ø Ý ÔÔ Ò ÞØ ÖØÙ Ð ØÒ º lim k al i,ũ k,dũ k a l i,u,du Lq =. ÃÓ Ö Ø Ú Ø º Þ Ä ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ [ [Au,u c2 ut,x + Dut,x k 2 t,x dtdx = c 2 u X k 2 L1, ÓÒÒ Ò [ [Au,u lim lim c 2 u 1 k 2 L 1 = lim u X u X u X u c 2 u 1 X = +. X u X Þ ÔÔ Ò A Ó Ö Ø Ú Ø Ø Ð ÒØ º È Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø º ÞÓÒÝ Ø Ð Ô ÙÐ ÞÓÐ Ðº ÒÒ Ð ÐÑ ÞÓØØ Ø Ò ¹ Þ Ò Ð Ñ Ñ ÞÓÒÝ Ø Ò Ý Ý ÐÑ Ø ÒÝ Ðº Þ ÖØ Ñ Ò Ø Þ Ò Ñ Ò Ð Ö Ð ÞÞ ÓÒØÓ ÐÓ Ø ÐÐ ØÚ ÓÒ ÓÐ ØÓ Ø Ò Ó Ý ÐÚ Þ Ò Ö ÞÐ Ø Òº Ì ÒØ Ò Ý Ø Ø Þ Ð u k ÓÖÓÞ ØÓØ X¹ Ò Ñ ÐÝÖ ¾º µ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò D t u k D t u Ý Ò Ò X ¹ Ò Ú Ð Ñ ÒØ ¾º½¼µ lim su[au k,u k u. k Ð Ø Ù Ó Ý Ý Ð ÐÑ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ ØÖ lim k [Aũ k,ũ k u = Aũ k Au Ý Ò Ò X ¹ Òº ÓÖ Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ Ñ ØØ Þ Ò Ð Þ Ò º Å Ò Ò Ð ØØ Ø Ý Ò Ñ Ò ÒÝ Ð Þ Ð Ø Ð Ô Ø Ð Þ Ö Þ Ò Ð Þ Þ u k Ý Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ö ØÓÚ Ò ÞÞ Ð Ó ÙÒ ÓÐ ÓÞÒ º Þ Ú ¹ Ý ÞÖ Ó Ý ¾º µ Ñ ØØ Ð ÐÑ Þ Ø Ù Þ ½º ¾º Ú Ø ÞÑ ÒÝØ Ý Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ũ k u Y ¹ Òº Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ Ñ ØØ ÐØ Ø Ó Ý ũ k u k Ý ØÓÚ Ò ÐØ Þ Ó Ý u k u Y ¹ Òº ÓÖ Ô Ö Þ Þ ½º¾¾º Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ Ð Ø Þ Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ù Ý Ò ÐØ Ø Ó Ý Þ Ö Ø ÓÖÓÞ Øµ Ñ ÐÝÖ u k u ÑºÑº ¹ Òº Î Ö Ñ ÒÝ Ò Ø Ø ÐØ Þ Ó Ý u k u ÑºÑº ¹ Òº ½

ÞÓÒÝ Ø Ñ ÓÒØÓ Ð Þ Ð Ø Ð Ô Ó Ý Ú Þ Ø k t,x Ú ÒÝ Ø Ñ ÐÝ Ö k t,x := [ a l i t,x,u k t,x,du k t,x a l i t,x,ut,x,dut,x D i u l k u,x D iu l u,x+ + [ a l t,x,u kt,x,du k t,x a l t,x,ut,x,dut,x u l k u,x ul u,x. Ò ÞÒ Ð Ù ÞÓ Ó + k t,x = max kt,x, k t,x = min kt,x, Ð Ð Øº Î Ý ÞÖ Ó Ý k ÒØ Ò Ð Ò ¾º½½µ [Au k Au,u k u = k t,xdtdx. Å Ú Ð u k u Ý Ò Ò X¹ Ò Þ ÖØ lim k [Au,u k u = Ý lim su k [Au k,u k u = limsu[au k Au,u k u. k Þ ¾º½¼µ ¾º½½µ Ð Ô Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý ¾º½¾µ lim su k t,xdtdx. k ÞÓÒÝ Ø Ñ Ò Ø ÒÒ Ò Ú Ø Þ º Ð Þ Ö Ð Ø Ù Ó Ý k Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¼¹ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ð Ñ Ð Ú Ø ÞÒ Ó Ó Ý ÓÒÚ Ö Ò L 1 ¹ Ò Ø Ð Ðº ÒÒ Ø Ú Ð ÞÓÐ Ù Ó Ý k L 1 ¹ Ò Ý Ý Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ÓÒÚ Ö Ðº Å Þ Ð Ø Ð ÞÒ ÐÚ Du k ÓÖÓÞ Ø Ð Ú Ð ÞØÙÒ Ý Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓØ Ñ ÐÝÖ Ð Ó Ö ÐÒ Ó Ý Ú Ð Ò Du¹ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ðº Å Ò Þ Ð Ô Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø Ñ Ö Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø º ØÓÚ Ò ÔÐ Ø Ý Þ Öò Ø Ö Ò Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý Ý Ú ÒÝ Ö Ù¹ Ñ ÒØÙÑ Ø Ò Ñ Ó ÓÞ ÐÖ ÖØ Øµ Ò Ñ Ö Ù º Ä ÙÒ Ò ÞÓÒÝ Ø Ö Ñ Ö Þ Ò Ö Ù k ¹Ø Ú Ø Þ Ð Ò [ n k t,x = a l i t,x,u k,du k D i u l k + al t,x,u k,du k u l k [ n a l i t,x,u,dud i u l k D iu l + a l t,x,u,duul k ul [ n a l i t,x,u k,du k D i u l + a l t,x,u k,du k u l = Þ Ä ÐØ Ø Ð Ð Ô Ò Ú Ð Ó Ó Ý = f k t,x g k t,x h k t,x. ¾º½ µ f k t,x c 2 u k t,x + Du k t,x k 2 t,x c 2 Du k t,x k 2 t,x. Î Þ Ð Ù ÑÓ Ø Ñ Ó Ý Ñ Ø ÑÓÒ ØÙÒ g k ¹ Ò ÐÐ ØÚ h k ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ø Ó Ö Ðº Þ Ä½ ÐØ Ø ÐØ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð D i u l Du Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ô Ù Ó Ý a l i t,x,u,dud i u l k D iu l c 1 u 1 + Du 1 + k 1 Du k + Du. ¾¼

Du k ¹ Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ó Ø, q Ø Ú Ð Ð ÐÑ ÞÓØØ ÓÙÒ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð Ð Ø º ÓÖ ÞØ Ô Ù Ó Ý u 1 + Du 1 + k 1 Du 1 u 1q + Du 1q + k 1 q + 1 q Du const u + Du + k 1 q. Du k ¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ó Ø Ô Þ ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð Ð ÓÐ ε¹ø Ø ÖÓÞÞÙ Ñ µ u 1 + Du 1 + k 1 Duk 1 u 1q ε q + Du 1q + k 1 q + ε q Du k cε u + Du + k 1 q + ε 1 Du k, ÓÐ cε ØÓÚ Ò Ñ Ò Ý ε¹ø Ð ÔÓÞ Ø Ú ÓÒ Ø Ò Ø Ð ÒØº Þ Ð Ø Ð Ø Þ Ú ØÚ Ú Ð ÞØ ÔØÙ Ó Ý ¾º½ µ a l i t,x,u,dud i u l k D iu l cε u + Du + k 1 q + ε 1 Du k. Þ Ð Ø Ò ÓÞ ÓÒÐ Ò Ð Ø g k ¹ Ò h k ¹ Ò Ð Ú Ø Ø ÓØº Þ Þ Ð Þ Ö Þ Ä½ ÐØ Ø ÐØ ÞÒ Ð Ù ÞØ Ò ÔÓØØ Þ Du k ¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Þ Ø Þ ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Ø Ø Ô ÓÙÒ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Ð º À Þ Ý ÔÓØØ Ð Ø ÞÙÑÑ ÞÞÙ Ð ÞÒ Ð Ù ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Øµ ÓÖ ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ò ÞØ Ô Ù Ó Ý ¾º½ µ g k t,x + h k t,x δε Du k + cε u + Du + u k + k 1 q, ÓÐ δε Þ ε Ñ Ð Ð Ú Ð ÞØ Ú Ð Ø Ø Þ Ð Ò Ú Ø Ø º Þ ÖØ Ú Ð ÞÙ Ñ ε¹ø Ý Ó Ý δε < c 2 2 =: c Ø Ð Ð Òº ÓÖ ¾º½ µ ¾º½ µ Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý ¾º½ µ k t,x c Du k t,x d ut,x + Dut,x + u k t,x + k 1 t,x q. Ä Ý Ò N k = {t,x : k < } Ú Ý k Ø ÖØ Ð Ð χ N k ÐÑ Þ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ Øº ÓÖ Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Þ u k k N ÓÖÓÞ Ø ÑºÑº Ú Ð ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ ÑºÑº ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØ Ò Ú Ø Þ Ó Ý ¾º½ µ c χ Nk Du k t,x d χ Nk ut,x + χ Nk Dut,x + χ Nk u k t,x + χ Nk k 1 t,x q + χ Nk k t,x ÓÐ b Ú ÒÝ ØÐ Ò k¹ø Ðº d χ Nk ut,x + χ Nk Dut,x + χ Nk u k t,x + χ Nk k 1 t,x q bt,x, Þ Ò Ö Ñ ÒÝ Ø Ú Ð Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý k Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Ò Ñ Ð Ô Ú Ø ÞÒ Ó Ó Ý k L 1 ¹ Òº Þ ÞÒÓ Ð Þ k Ú ÒÝ Ø Þ Ð Ð Ò ÖÒ ¾º½ µ k t,x = [ = a l i t,x,u k t,x,du k t,x a l i t,x,u k t,x,dut,x D i u l k u,x D iu l u,x+ + + [ a l i t,x,u k t,x,dut,x a l i t,x,ut,x,dut,x D i u l k u,x D iu l u,x+ [ a l t,x,u kt,x,du k t,x a l t,x,ut,x,dut,x u l k u,x ul u,x = = q k t,x + r k t,x + s k t,x. ¾½

Þ Ä½ ÓÐÝØÓÒÓ ÐØ Ø Ð Ú Ø ÞØ Ò k Ø Ò a l i,u k,du a l i,u,du ÑºÑº ¹ Ò Þ Ò u k u ÑºÑº ¹ Òº Ý Ð ÞÒ ÐÚ χ Nk Du k Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø ÔÓÒ¹ ØÓÒ ÒØ ÑºÑº Ú Ð ÓÖÐ ØÓ Ø Ð ¾º½ µµ Ú Ø Þ Ó Ý χ Nk r k t,x ÑºÑº t,x ¹ Ö º Þ s k Ø Ò ÔÓÒØ ÓÖ ØÚ Ó Ó Ó ÙÒ º ÓÖ Ù Ý Ò u k u ÑºÑº ¹ Òº ÌÓÚ χ Nk a l i,u k,du k Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÑºÑº ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ Ä¾ Ð Ô Ò k N χ Nk a l i t,x,u k t,x,du k t,x c 1 χ Nk u k t,x + χ Nk Du k t,x + χ Nk k 1 t,x, ØØ Ó ÓÐ ÐÓÒ Ñ Ò Ò Ø ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÖÐ ØÓ º Ð Ú Ø Þ Ò χ Nk s k ÑºÑº ¹ Òº Î Þ Ø Ð q k ¹Ú Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ú Ý ÞÖ Ó Ý Ä Ñ ØØ q k t,x ÑºÑº t,x ¹Ö º Þ Ó Ð ÐÚ Þ Ð Þ Ò Ð ÖØ Ø ÞØ ÑÓÒ Ø Ù Ó Ý k = χ N k q k + χ Nk r k + χ Nk s k χ Nk r k + χ Nk s k ÑºÑº ¹ Ò Ú Ø Þ ÔÔ Ò k ÑºÑº ¹ Òº ÅÓ Ø Ñ Ö ÒÒÝ Ò ÞÓÐ Ø Ù Ó Ý k L 1 ¹ Òº Þ Ð Þ Ö Ú Ý ÞÖ Ó Ý ¾º½ µ Ñ ØØ k t,x d ut,x + Dut,x + u k t,x + k 1 t,x q = d k t,x, Þ Þ k d k º ÁØØ u X Ñ ØØ u, Du L 1 k 1 L q Ñ ØØ k 1 q L 1 º ÌÓ¹ Ú Þ u k u X¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ u k u L ¹ Ò Ý u k u L 1 ¹ Òº Ì Ø d k ÓÒÚ Ö Ò L 1 ¹ Ò Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ú ÒØ Ö Ð Ø L 1 ¹ Òº Å Ú Ð k d k Þ ÖØ k Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø Ú ÒØ Ö Ð Ø L1 ¹ Òº ÓÖ Ú ÞÓÒØ Î Ø Ð Ø Ø Ð Ð Ô Ò Þ ÔÔ Ò k L1 ¹ Òº ÞØ ¾º½¾µ¹Ø Ð ÞÒ ÐÚ limsu + k t,xdtdx limsu k t,xdtdx + limsu k k k k t,xdtdx. Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý + k L1 ¹ Ò Ú Ö Ñ ÒÝ Ò Ø Ø k L 1 ¹ Òº ÓÖ Þ ½º¾¾º Ú Ð ÞØ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ð Ø Þ ˆ k k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ˆ k Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ L 1 ¹ Òº ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Ð Ò Ø Ð Ú ÝÙÒ ÑÓ Ø Ñ Ý ÔÖ Ú Ð ÞØ Ñ ÓÒ ÓÐ Ö Ú Ò Þ Ò ÙØ Ò Ñ Ö Ð Ò Ò Þ Ò Ð Ð ØÙ Ù ÞÒ ÞÓÒÝ Ø Øº Ð Þ Ö Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ Ú Ð ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ ˆ k ÓÖÓÞ Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò t,x ¹Ö ÓÖÐ ØÓ º Þ ÖØ ¾º½ µ¹ Ð Ú Ø Þ Ò c Dû k t,x d ut,x + Dut,x + û k t,x + k 1 t,x q + ˆ k t,x b t,x. ÁØØ û k Þ u k ÓÖÓÞ Ø ˆ k ¹Ò Ñ Ð Ð Ö Þ ÓÖÓÞ Ø º Ò Þ ÖØ Ð Ñ Ò ÞÒ Ð Ù Ð Ð Ø ºµ Þ Þ Dû k t,x Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò t,x Ø Ò ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ Øº ÓÖ Ô Ö Þ Ð Ø Þ ũ k û k ÑºÑº ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ Dũ k t,x v ÑºÑº ¹ Ò ÓÐ v Ñ Ö Ø µº Ë Ø ÑÓ Ø Ñ Ö Þ Ú Ø Þ Ó Ý r k s k Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Ò Þ Ò Ù Ý Ò ÞØ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ø Ú Ø Ø Ñ ÒØ k ÓÒÚ Ö Ò Ò ÞÓÒÝ Ø Ò ÑÓ Ø χ Nk Ò Ð Ðº Å Ò Þ Ð Ô Ò Ð ÞÒ ÐÚ Ö Ø Ó ÓÖÝ¹ Ð ÓÐÝØÓÒÓ ÐØ Ø ÐØ ũ k ÐÐº Dũ k ÑºÑº ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý = lim kt,x = k [ = a l i t,x,ut,x,vt,x a l i t,x,ut,x,dut,x D i u l t,x v l i t,x, ¾¾

ÓÒÒ Ò Ä Ð Ô Ò Þ ÔÔ Ò v = Du Ú Ø Þ Ú Ý D t ũ k D t u ÑºÑº ¹ Òº Î Ý ÞÖ Ó Ý ¾º½ µ [Aũ k,ũ k u = = [Aũ k Au,ũ k u + [Au,ũ k u = k t,xdtdx + [Au,ũ k u, Þ Ò k L 1 ¹ Ò Ú Ð Ñ ÒØ ũ k u Ý Ò Ò X ¹ Òº Þ Ò Ú Ð ØÙ Ù Ó Ý Ø Ø Þ Ð v X Ø Ò [Aũ k,v = [ n a l i t,x,ũ k t,x,dũ k t,xd i v l t,x + a l t,x,ũ kt,x,dũ k t,xv l t,x dtdx. ÁØØ Þ ÒØ Ö Ò Ù Ó ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Þ ũ k u X¹ Ð ÐÐº Dũ k Du X ¹ Ð ÓÒÚ Ö¹ Ò Ö Ø Ó ÓÖÝ¹ Ð ÐØ Ø Ð Ñ ØØº Ê ÙÐ Þ ÒØ Ö Ò Ù Ó Ú ÒØ Ö Ð Ø Ñ ÖØ Ó Ý ÓÒÐ Ø Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ØØÙÒ ÔÐº ¾º½ µµ a l i t,x,ũ k,dũ k D i v l const ũ k + Dũ k + k 1 q + D i v l, ÓÐ Ó ÓÐ Ð L 1 ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò º Ý Î Ø Ð ¹Ø Ø Ð Ð Ô Ò [Aũ k,v [Au,vº Þ ¾º½ µ¹ Ð Ý ØØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý A Ú Ð Ò Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º Ã Þ Ô Þ Ù ÓÑÓ¹ ÒÓØÓÒ Ø ÞÓÒÝ Ø º ÞÞ Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ø ÞØ º ¾º¾º Å ÝÞ º Þ A ÓÔ Ö ØÓÖ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø ÓÞ Ä ÐÝ ØØ Ú Ø Þ Ý Ò ÐØ Ø Ð Ð Ò i= a l i t,x,ζ,ζζ l i c 2 ζ k 2 t,x ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö º Î Ð Ò Þ Ä ÐØ Ø ÐØ ¾º½ µ Ð Þ ÞÒ ÐØÙ ÓÐ Ú Ð Ò Þ Ð Ý Ò ÐØ Ø ÐÖ ÚÓÐØ Þ º ¾º º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝº Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Ä½ Ä ÐØ Ø Ð º ÓÖ Ø Ø Þ Ð F X Ø Ò D t u + Au = F u = ÞØÖ Ø Ð ØÒ Ú Ò u W 1,,T;V,H Ñ ÓÐ º ÞÓÒÝ Ø º Å Ú Ð Þ L,T;V Ø Ö Ö Ü Ú Ð Þ ½º½ º ½º º ÐÐ Ø Ó Øµ Ú Ð Ñ ÒØ Þ L : DL L q,t;v Lu = D t u ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ ½º º ÐÐ Ø µ Ý Þ Ð Þ Ø Ø Ð Ð Þ ½º º Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ú Ø Þ Ó Ý Þ Lu + Au = F Ý ÒÐ ØÒ Ú Ò u DL Ñ ÓÐ º ¾

º Þ Ø ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Þ Ö Ú Ø Þ Ò ÓÐÝ Ò Ò ÑÐ Ò Ö Ñ Ó Ö Ò ò Ô Ö ÓÐ Ù Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ Ñ ÐÝ Ò Þ Ý ØØ Ø Ú ÒÝ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ø Ð Ý ÙÒ ÓÒ ÐÓÒ Ö ÞØ Ð Ò º Þ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ø Ø Þ ØØµ Ë ÑÓÒ Ä ÞÐ Ú Þ ÐØ Ò Ñ ÐÝ Ò Ú Ø Þ Ð Ý ÒÐ Ø Þ Ö Ô ÐØ [ D t ut,x D i ai t,x,ut,x,dut,x;u + a t,x,ut,x,dut,x;u = ft,x, t,x =,T, a i : R n+1 L,T;W 1, R, ÓÐ 2 < º Å ÑÓ Ø ÒØ Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ Ö Ò Þ ÖØ Ó Ù Ú Þ ÐÒ Ú Ý Þ Ð Ý ÒÐ Ø¹ Ö Ò Þ ÖØ º½µ D t u l t,x [ D i a l i t,x,u 1 t,x,...,u N t,x,du 1 t,x,...,du N t,x;u 1,...,u N + + a l t,x,u1 t,x,...,u N t,x,du 1 t,x,...,du N t,x;u 1,...,u N = f l t,x, t,x =,T, R n, l = 1,...,N. Þ Ô Ö Þ Ø ÖØÓÞ Þ Ø Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ö Ò Þ Ö Ó Ý ÓÖ Ò ÑÓ Ø Ñ Ø Ö Ò ÞÓ ÓÒ Ö Ø Ð Ú Ð ÒÒÝ Ø Ø Þ Ò Ð Ó Ý Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð º Ú Ø Þ Ö Þ Ò Þ Ð Þ Þ Ø Þ ÓÒÐ Ò Ò Ð Ù º½µ Ð Ø Ý Ò Ð Ø Ñ Þ Ý ØØ Ø Ö Ø ØØ ÐØ Ø Ð Ø Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ù Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Øº ÐØ ¹ Ø Ð ÓÖ Ò Ñ Ñ ÖØ Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Þ ØÚ ÒØ Ø ÔÙ Ý Ò¹ Ð Ø Ñ ÓÐ Ø ÓÞ Ð Ò Ô Ð ÐØ Ø Ð Ðº ÞØ Ú Ø Ò Ò ÒÝ Ô Ð Ø ÑÙØ ØÙÒ Ñ Ð Ð Ý ØØ Ø Ú ÒÝ Ö º Î Ð Ý Ô Ð Ø Ò ÞÓÐ Ù Ý Ò Ñ ÓÐ Ý¹ ÖØ ÐÑò Øº Þ Ø Ò ØÓÚ Ö ¾º º½ Þ Þ Ò Ú Þ Ø ØØ Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù º ¾

º½º Ý Ò Ñ ÓÐ Ó ÖØ ÐÑ ÞÞ B: L,T;V L q,t;v ÓÔ Ö ØÓÖØ Ú Ø Þ Ñ ÓÒº Ä Ý Ò u = u 1,...,u N L,T;V v = v 1,...,v N L,T;V Ø Ò [ n [Bu,v := a l i t,x,ut,x,dut,x;ud i v l t,x + a l t,x,ut,x,dut,x;uvl t,x Î Ý ÑºÑº t,t¹ö w = w 1,...,w N V Ø Ò º¾µ [ n [But,w := a l i t,x,ut,x,dut,x;ud i w l x + a l t,x,ut,x,dut,x;uwl x Þ Ò Ú Ð ÞÓ ÓØØ Ñ ÓÒ Ð Ý Ò L: L,T;V L q,t;v ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÖ DL = {u X : D t u X, u = }, Lu = D t u. dtdx. dx. Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ð ÖØ Ð Ô Ò ÑÓ Ø Ñ Ö ÒÒÝ Ò Ð Ö Ø Ù º½µ Ø ÔÙ Ö Ò Þ Ö Ý Ò Ð Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ Ø ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØµ B ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ú Ðº Æ Ú Þ Ø Ò D t u + Bu = F u = u, ÓÐ F L q,t;v u V = W 1, N º º½º½º ÐØ Ø Ð ½º Ì Ý Ð Ó Ý Þ a l i : R n+1n L,T;V R Ú ÒÝ Ñ Ò Ò Ö Þ Ø ØØµ v L,T;V Ø Ò Ø Ð Ø Ö Ø Ó ÓÖÝ¹ Ð ÐØ Ø Ð Øº Þ Þ Ñ Ö Ø t,x¹ Ò Ñ Ò Ò Ö Þ Ø ØØ ζ,ζ R n+1n Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ ζ,ζ¹ Ò ÑºÑº t,x Ø Ò i =,...,n; l = 1,...,Nµº ¾º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø ÞÒ g 1 : L,T;V R + k 1 : L,T;V L q ÓÖÐ ØÓ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖÓ Ñ ÐÝ Ö a l i t,x,ζ,ζ;v g 1 v ζ 1 + ζ 1 + [k 1 v t,x ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö v L,T;V ¹Ö i =,...,n; l = 1,...,Nµº º Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ζ η R nn Ø Ò a l i t,x,ζ,ζ;v a l i t,x,ζ,η;v ζ l i η l i > ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ R N ¹Ö Ñ Ò Ò v L,T;V ¹Ö º º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø ÞÒ g 2 : L,T;V R k 2 : L,T;V L 1 ÓÖÐ ØÓ ÓÔ Ö ØÓ¹ ÖÓ Ñ ÐÝ Ö i= a l i t,x,ζ,ζ;vζ l i g 2 v ζ + ζ [k 2 vt,x ¾

ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö v L,T;V ¹Ö º ÌÓÚ g 2, k 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ò Ð ÞÒ Þ Ð ØÙÐ ÓÒ Ð º µ lim g 2 v v 1 L v L,T;V,T;V k 2v L 1 v L,T;V = +. º Ì Ý Ð Ó Ý u k u Ý Ò Ò L,T;V ¹ Ò ÒÓÖÑ Þ Ö ÒØ L,T;L N ¹ Ò ÓÖ Ñ Ò Ò i =,...,n l = 1,...,N Ø Ò lim k al i,u k,du k ;u k a l i,u k,du k ;u L q =. º½º¾º Ä Ø Þ ÑÓ Ø Ú Ø Þ Ø Ø Ð ¾º½º Ø Ø Ð Ô Ö ÓÒÐ Ø ÐÐ Ø B ÓÔ Ö ØÓÖÖ Ðº º½º Ì Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ ½ ÐØ Ø Ð º ÓÖ B: X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ¹ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º º¾º Å ÝÞ º ÞÓÒÝ Ø Ö Þ Ò Þ ¾º½º Ø Ø ÐÖ Ú Ð Ú Þ Ú Þ Ø Ò Ð ÔÙÐ Þ ÖØ Ö Ñ ÞÓÒÝ Ø Ð ØØ Ñ Ø ÒÒ Ò Ò ÒÝ ÔÖ Ð Þ Ð Ø Øº Î Þ Ö Þ Ø ØØ w X Ø Ò B w : X X ÓÔ Ö ØÓÖØ Ñ ÐÝÖ u X v X Ø Ò [ n [ B w u,v := a l i t,x,ut,x,dut,x;wd i v l t,x + a l t,x,ut,x,dut,x;wvl t,x dtdx. ÓÖ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ ½ ÐØ Ø Ð ÓÖ B w ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ø ¾º º½ Þ Þ Ò Þ Ö ÔÐ Ä½ Ä ÐØ Ø Ð Ø Ñ Ô k 1 t,x = [k 1 wt,x k 2 t,x = [k 2 wt,x c 1 = g 1 w c 2 = g 2 w Ñ Ð ÐØ Ø Ðº Ì Ø ¾º½º Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ñ Ò Ò w X Ø Ò B w ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º Þ ÙØ Ò Ð ÙÒ ÓÞÞ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ ÞÓÒÝ Ø º½º Ø Ø Ð º ÃÓÖÐ ØÓ º Ä Ý Ò v X Ö Þ Ø ØØº ÓÖ Þ Ð Þ Ø Ñ ÝÞ Ñ ØØ B v ÓÔ Ö ØÓÖÖ Þ ¾º µ Ð c 1 = g 1 v¹ú Ð k 1 = k 1 v¹ú Ð Þ Þ B q v u X const g 1 v u X + k 1v Lq. Å Ú Ð Bu u = Bu Þ ÖØ v = u Ø Ò Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò q º µ Bu X const g 1 u u X + k 1u L q Ð ÓØ ÐØ º Ð Ô g 1 k 1 ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØ Ò Ú Ø Þ B ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ º Ñ ÓÐÝØÓÒÓ º Ä Ý Ò u k X¹ Ð ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ u k u Þ X ÒÓÖÑ Þ Ö ÒØº Å ¹ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ñ Ò Ò v X Ø Ò [Bu k Bu,v ÓÖ Þ Ò Ð Þ Ò º Þ Ð Ò Ð ØÒÙÒ Ó Ý Bu k B u u k B u u k Bu Ý Ò Ò X ¹ Òº Þ ÙØ ÓÞ Ñ ÒØ Ú Ý ÞÖ Ó Ý B u u = Bu Ý B u Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ð Ú Ø Þ Ò B u u k B u u = Bu Ý Ò Ò X ¹ Òº [Bu k B u u k,v ÓÒÚ Ö Ò ÓÞ Ô ¾º½º Ø Ø Ð Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Ö ÔÐ µ ¾º µ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ò Ø ÓÒ ÒØ Ð ÐÑ Þ Ø Ù À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø [ º µ a l i t,x,u k,du k ;u k a l i t,x,u k,du k ;u D i v l dtdx a l i,u k,du k ;u k a l i,u k,du k ;u Lq v X. ¾

Ð Ú Ø Þ Ò Ð Ð ØÒÙÒ Ó Ý º µ lim k al i,u k,du k ;u k a l i,u k,du k ;u Lq = Ñ Ò Ò i n¹ö 1 l N¹Ö º Þ Ú ÞÓÒØ Ð Ô Ò Ú Ð Ò Ø Ð Ð Þ Ò u k X¹ Ð Ö ÓÒÚ Ö Ò Ð Ú Ø Þ Þ X¹ Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ X Y ÓÐÝØÓÒÓ Ý Þ Ð ½º º ÐÐ Ø µ Ñ ØØ Þ Y ¹ Ð Ö ÓÒÚ Ö Ò º º º Å ÝÞ º Bu k B u u k Ý Ò X ¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò ÐÝ ØØ Þ Þ Ö [Bu k B u u k,v k ÐÐ Ø ÓÐ v k ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ Ø X¹ Òº Í Ý Ò v = v k Ø Ò º µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð v k ÓÖÐ ØÓ Ñ ØØ Ú Ø Þ Ó Ý Þ Ð Þ Ð º µ ÒÒ ÐÐ u k ¹Ö º Î Ý ÞÖ Ó Ý º µ Ø Ð Ð Þ Ñ ØØµ u k X¹ Ð Ý Ò Y ¹ Ð Ö ÓÒÚ Ö Ò Þ º º µ ÃÓ Ö Ø Ú Ø º Þ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ [Bu,u [ g2 u ut,x + Dut,x [k 2 ut,x dtdx = g 2 u u X k 2u L1, ÓÒÒ Ò g 2, k 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ º µ ÐØ Ø ÐØ ÞÒ ÐÚ Ó Ý [ [Bu,u lim lim g 2 u u 1 X u X u k 2u L 1 = +. X u X u X È Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý º µ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò D t u k D t u Ý Ò Ò X ¹ Ò Ú Ð Ñ ÒØ º µ limsu[bu k,u k u. k Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ Ø Ð ÐÑ ÞÚ Ð ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý Ý ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ ØÖ lim k [Bũ k,ũ k u = Bũ k Bu Ý Ò Ò X ¹ Òº º µ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ Þ ½º ¾º Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ð Ô Ò Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ũ k u Y ¹ Òº ÓÖ Ð ÐÑ Þ Ø Ù Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ö Ð Þ Ð Ö Þ Ú Ò Þ Ö ÔÐ µ º º Ñ ¹ ÝÞ Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý º½¼µ ÞØ º µ¹ Ð Þ Ú ØÚ º½½µ lim [Bũ k B u ũ k,ũ k u =. k lim su[ B u ũ k,ũ k u k º Å Ú Ð B u Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ Ý º µ º½½µ ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ú Ø Þ Ó Ý º½¾µ lim k [ B u ũ k,ũ k u = Bu ũ k B u u= Bu Ý Ò Ò X ¹ Òº ÁÒÒ Ò º½¼µ Ñ ØØ ÝÖ ÞØ lim k [Bũ k,ũ k u = Ú Ø Þ º Å Ö ÞØ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÞÓ¹ ÒÝ Ø Ð ØÙ Ù Ó Ý ũ k u Ý Ò Ò X¹ Ò Ö Ò Y ¹ Ò ÓÖµ B u ũ k Bũ k Ý Ò Ò X ¹ Ò Ý º½¾µ Ñ Ó Ð Ð Bũ k Bu Ý Ò X ¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ú Ø ¹ Þ º ÞÞ Ð Þ º½º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º Å Ý ÞÞ Ó Ý ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò ÓÐ Ò Ñ ÞÒ ÐØÙ g 2 k 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÓÖÐ ØÓ Øº ÞØ ÐØ Ø ÐØ Ý Ð ÐÑ Þ Ñ ØØ Ú ØØ Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Þ º ¾

º º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝº Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ ½ ÐØ Ø Ð º ÓÖ Ø Ø Þ Ð F X Ø Ò º½ µ D t u + Bu = F u = ÞØÖ Ø Ð ØÒ Ú Ò u W 1,,T;V,H Ñ ÓÐ º ÞÓÒÝ Ø º Þ ÐÐ Ø ÞÓÐ Ø Ð Ò ÓÒÐ Ò Ñ Ý Ñ ÒØ ÓÖ ¾º º Ú Ø ÞÑ ÒÝ ¹ ÞÓÒÝ Ø º ÒØ Ú Ø ÞÑ ÒÝ Þ Ö ÒØ ÓÑÓ Ò Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ñ ÓÐ º½ µ Ð ØÒ º Ë ÒÓ Þ ½ ÐØ Ø Ð Ð Ñ Ò Ñ Ú Ø Þ Ó Ý Ò ÓÑÓ Ò Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ñ ÓÐ º Þ Ò ÓÑÓ Ò Ø Ú Þ Ð Ø ÞÓ ÓØØ Ñ ÓÒµ ÓÑÓ Ò ØÖ Ú Ð Ú Þ Ú Þ Ø Ð Ø ÖØ Ò Øº Ì ÒØ Ú Ø Þ ÞØÖ Ø Ð ØÓØ D t u + Bu = F u = u, ÓÐ u V º Ä Ý Ò u t,x u x Ø Ö ÞØ L,T;V ¹Ö Ö Ñ ÓÐ Ø u = v+u Ð Ò ÓÖ Þ Ð Ð Ø Ú Ø Þ Ð ÓØ ÐØ D t v + ˆBv = F v =, ÓÐ ˆBv = Bv+u º Ð Ø Ø ÞÓÐÒÙÒ Þ ½º º Ø Ø Ð Ð Ô Òµ Ó Ý ˆB: X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º Ã ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ù Ó Ý Ó Ö Ø Ú Ø Ú Ø Ð Ú Ð B ÓÔ Ö ØÓÖ ØÙÐ ÓÒ Ø Ö Ð Ò ˆB¹Ö º ÓÖÐ ØÓ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Þ Ò Ý X¹ Ð ÓÖÐ ØÓ ÐÑ Þ u ¹Ð Ð Ú Ð ÐØÓÐØ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÐÝ Ø B ÓÖÐ ØÓ X ¹ Ð ÐÑ Þ Ô Þº Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÒØ Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º Í Ý Ò v k v X¹ Ò ÓÖ v k +u v+u X¹ Òº ÓÖ B Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ Bv k + u Bv + u Ý Ò Ò X ¹ Òº Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø ÓÞ Ø ÒØ Ò Ý v k ÓÖÓÞ ØÓØ Ñ ÐÝÖ v k v Ý Ò Ò X¹ Ò D t v k D t v Ý Ò Ò X ¹ Ò Ú Ð Ñ ÒØ º½ µ limsu[ ˆBv k,v k v. k Å Ò Þ Ý Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý v k + u v + u Ý Ò Ò X¹ Ò D t v k + u D t v + u Ý Ò Ò X ¹ Ò ØÓÚ lim su[bv k + u,v k + u v + u. k ÓÖ B Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø Ñ ØØ Þ Ð limsu Ú Ð Ò Ð Ñ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò ÐÝ ØØ Ý ÒÐ ÐÐ ÒÒ Ý º½ µ¹ Ò Þ Ø Ð ÐÒ º Þ Ò Ú Ð B Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø Ð Þ Ú Ø Þ Ó Ý Bv k + u Bv + u Ý Ò Ò X ¹ Ò Ñ Þ Ú Ð ˆBvk ˆBv Ý Ò Ò X ¹ Òº Ì Ø ˆB Ú Ð Ò Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º º½ µ ÈÖ Ð ÓÞÞÙÒ ÑÓ Ø Ó Ö Ø Ú Ø ÞÓÐ Ú Ð Î Ý ÞÖ Ð ÞÒ ÐÚ º µ¹ Øµ Ó Ý [ ˆBv,v v X = v + u X v X v + u X v X [ ˆBv,v = v + u [ X [Bv + u,v + u [Bv + u,u v + u X v X v + u X v + u X [ g 2 v + u v + u 1 X k 2v + u L1 v + u X Bv + u X u X v + u X. ¾

À v + u X ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò v X v + u X 1 Ý Ó ÓÐ ÐÓÒ Þ Ð v X Ø ÒÝ Þ Ò Ú Ø Ò Ñ ÓÐÝ ÓÐ ØÓÚ Ñ ØØ Ñ Ó Ø ÒÝ Þ Ð Ø Ø + ¹ Þ Ø ÖØº ÖÑ Ø Ò Ý Ö Ò Ö Ð Ð Ö Ò Þ Ö Ò Ñ ØÙ ÙÒ ÑÑ Ø ÞÓÒ Ò º µ Ð Ô Ò Ð Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý q = 1µ Bv + u X u X const g 1 v + u v + u 2 X v + u + k 1v + u L q u X. X v + u X Þ Ð ÒÒ Þ ÑÙÒ Ö Ñ Ð Ð ÒØ Þ Ð Ò Ø ÖØ Ò + ¹ Þ Ñ ÒØ º½ µ Ó ÓÐ Ð Ò ÐÐ Ð Ø Ø Þ º ÒÒ Ð Ô Ò Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ð ÐØ Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý Þ ½ ÐØ Ø Ð Ò Ò ÐØ g 1, k 1, g 2, k 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ø Ð ÐÒ Þ Ð Þ º Ä Ø Þ C 2 > ÓÒ Ø Ò Ñ ÐÝÖ g 2 v C 2 Ñ Ò Ò v L,T;V ¹Ö ØÓÚ º½ µ lim v L,T;V g 1 v =, v L,T;V º½ µ º½ µ k 1 v Lq Q lim T v L,T;V v =, L,T;V k 2 v L1 Q lim T v L,T;V v =. L,T;V º º ýðð Ø º Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ ½ ÐØ Ø Ð º ÓÖ Ø Ø Þ Ð F X u V Ø Ò D t u + Bu = F u = u ÞØÖ Ø Ð ØÒ Ú Ò u W 1,,T;V,H Ñ ÓÐ º ÞÓÒÝ Ø º Þ Ð Ð Ô Ò Ñ Ö ˆB ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ö Ø Ú Ø Ø ÐÐ ÞÓÐÒÙÒ º Ë Ø Þ Ú Ð Ó Ó Ý Þ Ð Ò Ð ØÒÙÒ Ó Ý v X Ø Ò g 2 v v 1 X k 2v L1 const g 1 v v 2 X v + k 1v Lq. X v X Ñ Ð Ò ÒØ Þ Ð v 1 X ¹ Ø [ v 1 X g 2 v k 2v L1 v const X g1 v + k 1v Lq v X v X Þ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ v X Ø Ò Þ Ð Ø Þ Ö Ð Ò Ð Ú Þ g 2 ¹Ø Ú Ú ¼¹ ÓÞ Ø ÖØ Ò ØÓÚ g 2 v C 2 Ú Ø Þ ÔÔ Ò Þ Þ Þ + ¹ Þ Ø ÖØº Ì Ø ˆB Ú Ð Ò Ó Ö Ø Ú ÞÞ Ð Þ ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Þº º¾º È Ð Ò Ö Þ Ò Þ a l i Ý ØØ Ø Ú ÒÝ Ö ÑÙØ ØÙÒ Ô Ð Øº Ð Þ Ö Ý ÐØ Ð ÒÓ Ð Ò Ð ÖØ Ô Ð Ø ÙÒ Ñ ÐÝÖ Ð Ð Ø Ù Ó Ý Ñ Ð Ð ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ö Ò Ð Þ Þ Ð Þ Ö Þ Ò Ñ Ñ ÖØ ½ ØÙÐ ÓÒ Ó Ðº ÞØ Ú Ø Ò Þ ÐØ Ð ÒÓ Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ú ÒÝ Ö ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö ÙÒ ÓÒ Ö Ø Ô Ð Øº ¾

º¾º½º ýðø Ð ÒÓ Ø º½ µ º¾¼µ Ì Ý Ð Ó Ý Þ a l i i =,...,n; l = 1,...,N Ú ÒÝ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò ÞÒ a l i t,x,ζ,ζ;v = [H l vt,xb l i t,x,ζ,ζ + [G l vt,xd l i t,x,ζ,ζ, i, a l t,x,ζ,ζ;v = [H l vt,xb l t,x,ζ,ζ + [G l vt,xdl t,x,ζ,ζ, ÓÐ b l i,d l i,h l,g l,g l Ú ÒÝ ÐÐº ÓÔ Ö ØÓÖÓ Þ Ð ÐØ Ø Ð Ò Ø ÞÒ Ð Øº Ã½º Ì Ý Ð Ó Ý b l i : R n+1n R d l i : R n+1n R Ú ÒÝ Ø Ð Ø Ö Ø Ó ÓÖÝ¹ Ð ÐØ Ø Ð Øº Þ Þ Ñ Ö Ø t,x¹ Ò Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ ζ,ζ¹ Ò ÑºÑº t,x Ø Ò i =,...,n; l = 1,...,Nµº Ã¾º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø ÞÒ c 1 > r < 1 ÓÒ Ø Ò Ó k 1 L q Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö µ b l i t,x,ζ,ζ c 1 ζ 1 + ζ 1 + k 1 x µ d l i t,x,ζ,ζ c 1 ζ r + ζ r ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö i =,...,n; l = 1,...,Nµº Ã º Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ζ η R nn Ø Ò µ µ b l i t,x,ζ,ζ b l i t,x,ζ,η ζ l i η l i > d l i t,x,ζ,ζ d l i t,x,ζ,η ζ l i η l i ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ R N ¹Ö l = 1,...,Nº Ã º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ c 2 > ÓÒ Ø Ò k 2 L 1 Ú ÒÝ Ý Ó Ý µ µ i= b l i t,x,ζ,ζζ l i c 2 ζ l + ζ l k 2 x d l i t,x,ζ,ζζ l i ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö l = 1,...,Nº Ã º µ Ì Ý Ð Ó Ý H l : L,T;L N L ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÖ Ø Ð Ð Ø ÓÐÝ Ò c 3 > ÓÒ Ø Ò Ó Ý Ñ Ò Ò v L,T;L N Ø Ò [H l vt,x c 3 Ø Ð Ð ÑºÑº t,x ¹Ö l = 1,...,Nµº µ Ì Ý Ð Ó Ý G l,g l : L,T;L N L 1 r QT ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖÓ ÓÐ r Ã¾» ¹ Ò Ò ÐØ ÓÒ Ø Ò º ÌÓÚ Ñ Ò Ò v L,T;L N Ø Ò [G l vt,x ÑºÑº t,x ¹Ö l = 1,...,N Ø Ò [G l vt,x 1 r dtdx Q º¾½µ lim T v L,T;V v =. L,T;V º º ýðð Ø º À Ø Ð ÐÒ Ã½ Ã ÐØ Ø Ð ÓÖ º½ µ º¾¼µ Ú ÒÝ Ð Ø Þ ½ ÐØ Ø Ð Øº ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Þ Ò Ú Ò Ý Ø Ò ÐÐ ò Ð ÑÑ Ö Ð Þ Ö ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ù º ¼

º º Ä ÑÑ º Î Þ Ú Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø [H vt,x := [G vt,x := [G vt,x := [H l vt,x, [G l vt,x, [G l vt,x. ÓÖ H, G G ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ò Ö Ø Ð Ø Ã ¹ Ò H l ¹Ö G l ¹Ö G l ¹Ö Þ ÓØØ ÐØ Ø Ð Øº ÞÓÒÝ Ø º º Ð ÑÑ º Ý Ð º¾½µ Þ Ø Ð Ð Ò Ñ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º Þ Ú ÞÓÒØ Ú Ø Þ Ð Ó Ý Þ ÒØ Ö Ò Ù Ø Ð Ø Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð Ý Ø ÓÒ ÒØ Ú Ú Ð Ñ ÞØ Ø Ö ÖØ Ú Ð Ò ¼º ÞÓÒÝ Ø º º ÐÐ Ø º ½ ÐØ Ø Ðº Ã½ ØÙÐ ÓÒ Ñ ØØ ÒÝ ÐÚ Ò Ø Ð ÐÒ Þ ½¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ö Ø Ó ÓÖÝ¹ ÐØ Ø Ð º ¾ ÐØ Ø Ðº Ä Ý Ò i > Ð Þ Ö < r < 1º ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý [H l vt,xb l i t,x,ζ,ζ H v L c1 ζ 1 + ζ 1 + k 1 x. Å Ö ÞØ ÓÙÒ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø 1 < 1 = 1 r Ð ÐÑ ÞÚ < q 1 = 1 1 r ÓÒ Ù ÐØ Ø Ú Ð º¾¾µ [G l vt,xd l i t,x,ζ,ζ [G vt,xd l i t,x,ζ,ζ dl i t,x,ζ,ζ 1 + [G vt,x q1. 1 q 1 ÌÓÚ ÐÚ Ã¾» Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý º¾ µ [G l vt,xd l i t,x,ζ,ζ const ζ r1 + ζ r1 + [Gvt,x q1 = = const ζ 1 + ζ 1 + [G vt,x q1. ÒØ Ð Ø Þ Ú ØÚ º¾ µ a l i t,x,ζ,ζ;v const [ H v L + 1 ζ 1 + ζ 1 + H v L k 1 x + [G vt,x q1 º ÁØØ H ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Þ X Y ÓÐÝØÓÒÓ Ý Þ Ñ ØØ H L ÓÖÐ ØÓ X R + ÙÒ ÓÒ Ðº Å Ö ÞØ k 1 L q ÓÐÝØ Ò H L k 1 ÓÖÐ ØÓ X L q ÓÔ Ö ØÓÖº Î Ý ÞÖ ÞØ Ó Ý q 1 q = 1 r Ý º¾ µ [G vt,x q1 q dtdx = [G vt,x 1 r dtdx = G 1 r v. L 1 r Þ Ú ÞÓÒØ G ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý G q1 ÓÖÐ ØÓ X L q ÓÔ Ö ØÓÖº ÅÓ Ø Ò ÞÞ Þ r = Ø Ø Î Ý ÞÖ Ó Ý ÓÖ q 1 = 1 Þ Ò Ú Ð Ã¾» ¹ Ð Ú Ø Þ Ò d l i t,x,ζ,ζ 2c 1 º Ý Ò Þ Ø Ò Þ Ý º¾ µ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ö µ Ð [G l vt,xd l i t,x,ζ,ζ const [G vt,x q1. ½

ÒØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø ÞÒ ÐÚ Þ r = Ø Ò Þ º¾ µ Ð Ý ÞÓÒÝ Ø Þ Ð Ö Þ Þ ÓÒÐ Ò Þ Ø º ÞÞ Ð Þ i > Ø Ò Ð ØØÙ Þ ¾ ØÙÐ ÓÒ ÓØº Þ i = Ø ÞÓÒÝ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Ù Ý Ò Þ G ÐÝ ØØ G Þ Ö Ô Ðº ÐØ Ø Ðº À ÞÒ Ð Ù Ð G l Ò ÑÒ Ø Ú Ø Ø H l ÔÓÞ Ø Ú Ø Ø Ã ÐØ Ø ÐØ ÓÖ Ø Ø Þ Ð ζ η R nn Ø Ò a l i t,x,ζ,ζ;v a l i t,x,ζ,η;v ζ l i η l i = = [H l vt,x b l i t,x,ζ,ζ b l i t,x,ζ,η ζ l i η l i + + [G l vt,x d l i t,x,ζ,ζ d l i t,x,ζ,η ζ l i η l i >. ÐØ Ø Ðº Ý Ð Ñ Ú Ú Ã Ã ÐØ Ø Ð Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý º¾ µ i= a l i t,x,ζ,ζ;vζ l i = + [G l vt,x [H l vt,x d l i t,x,ζ,ζζ l i + [ c 3 c 2 ζ l + ζ l c 3 k 2 x + i= c 3c 2 N 1 ζ + ζ c 3 Nk 2 x + b l i t,x,ζ,ζζ l i + [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l. ÁØØ Þ ÙØÓÐ Ð Ô Ò Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø ÞÒ ÐØÙ º Ä Ý Ò c = c 3c 2 > Ú Þ Ð Ù N 1 ÒØ Ý ÒÐ Ó ÓÐ Ð Ò ÐÐ ÞÙÑÑ Øº Ð ÐÑ ÞÞÙ Þ ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø, q Ø Ú Ð ÓÖ Ô Ù Ó Ý [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l [G vt,xd l t,x,ζ,ζζ l ε ζl + ε q q [G vt,xd l t,x,ζ,ζ q. Ä Ý Ò ε > Ñ ÐÝÖ ε c 3N ÓÖ Þ Ð Ø Ð Ð ÓÖ Ñ ÒØ c 3N ζ + ζ º Ñ Ó Ø Ò Ô Þ ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø µ > Ñ Ø ÖÓÞ Ò µ Þ ÑÑ Ð ÓÖ Ò Þ ¾ ÐØ Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Òµ Ú Þ Ø ØØ 1, q 1 Ø Ú Ð Ð ÐÑ ÞÚ º¾¾µ º¾ µ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ú Ø Þ Ð [G l vt,xdl t,x,ζ,ζ q const µ 1 ζ 1 + ζ 1 + µ q1 [G vt,x q1 q c µ 1q ζ + ζ + c µ q1q [G vt,x q1q. Î Ð ÞÙ µ¹ø Ý Ó Ý c µ 1q ε q q c 3N Ø Ð Ð Òº ÓÖ Þ Ð Þ Ø Ð Ð Ó Ý [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l c 3N ζ + ζ + d [G vt,x q1q. ÞØ º¾ µ¹ ÐÝ ØØ ØÚ º¾ µ i= a l i t,x,ζ,ζ;vζ l i c 3 ζ + ζ c 3 Nk 2 x + Nd [G vt,x q1q }{{} =: [hvt,x ¾

ÓÐ º¾ µ¹ Ð k 2 L 1 ¹ Ðµ Ú Ø Þ Ò hv L 1 º Ê ÙÐ hv L1 c 3 NT k 2 L1 + Nd [G vt,x 1 r dtdx. Å Ú Ð Ð ÑÑ Þ Ö ÒØ G ØÓÚ º¾ µ ÓÖÐ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝ Ø Ð Ø º¾½µ Þ Ø Ý h ÓÖÐ ØÓ hv L1 Q lim T v X v =, X Þ ÖØ c lim v v 1 X X 3 hv L1 c v = lim X v X 3 v 1 X = +. ÞÞ Ð Þ ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ð ØØÙ º ÐØ Ø Ðº Ä Ý Ò i > < r < 1º Ì Ý Ð Ó Ý u k u Ý Ò Ò X¹ Ò ÒÓÖÑ Þ Ö ÒØ Y ¹ Òº ÓÖ Ô Ö Þ u k ÓÖÐ ØÓ X¹ Òº Ý Ã¾» Ñ ØØ b l i,u k,du k k N ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ Ø L q ¹ Ò Ù Ý Ò ¾º µ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ð Ø Ø Ó Ý b l i t,x,u k t,x,du k t,x q dtdx [ const u k t,x 1q + Du k t,x 1q + k 1 x q dtdx Î Ý ÞÖ ÞØ Ó Ý Ñ ØØ d l i,u k,du k k N d l i t,x,u k t,x,du k t,x r dtdx const u k X + T k 1 q L q K. ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ Ø L r ¹ Ò Þ Ò Ã¾» [ u k t,x r r + Duk t,x r r dtdx = u k X M. Þ Ð Ô Ò ÝÖ ÞØ [H l u k t,x [H l ut,x b l i t,x,u k t,x,du k t,x q dtdx H l u k H l u q L b l i t,x,u k t,x,du k t,x q dtdx K H l u k H l u L k, Ð ÞÒ ÐÚ H l ÓÐÝØÓÒÓ Ø u k Y ¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Øµº Å Ö ÞÖ Ð 1, q 1 Ø Ú Ð Ð Þ ¾ ÐØ Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Òµ Ð ÐÑ ÞÓØØ À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ö ÒØ [G l u k t,x [G l ut,x d l i t,x,u k t,x,du k t,x q dtdx d l i t,x,u k t,x,du k t,x 1 1 r 1 1 dtdx [G l u k t,x [G l ut,x 1 1 1 r dtdx 1 M 1 1 G l u k G l u q 1 1 r L 1 r Þ Ò G l ÓÐÝØÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ u k ÓÒÚ Ö Ò Y ¹ Òµº Å Ò Þ Ô ÞØ Ð ÒØ Ó Ý k, º¾ µ a l i,u k,du k ;u k a l i,u k,du k ;u L q H l u k H l ub l i,u k,du k L q + + G l u k G l ud l i,u k,du k L q k.

À r = ÓÖ º¾ µ Ó ÓÐ Ð Ò Þ Ð Ø ØÓÚ Ö ¼¹ ÓÞ Ø ÖØº Ñ Ø Ô ÙØÓÑ Ø Ù Ò ¹ ÓÞ Ø ÖØ Þ Ò ÓÖ 1 r = 1 = q Ú Ý G ÓÔ Ö ØÓÖ Lq ¹ Ô Þ ÓÐÝØÓÒÓ Òµ d l i t,x,ζ,ζ 2c 1 Ý G l u k G l ud l i,u k,du k L q 2c 1 G l u k G l u L q k. Ì ÖÑ Þ Ø Ò i = Ø Ò ÓÒÐ Þ G l ÐÝ ØØ G l ¹Ð Ðº Þ ÔÔ Ò Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÖØÙÒ º ÞÞ Ð º º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Þº ÅÓ Ø Ú Þ Ð Ù Ñ Ú ÓÒ Þ ÐØ Ø ÐØ Ø Ð Ø ¹ ÒØ ÐØ Ð ÒÓ Ô Ð º Ð Þ Ö Ú Ý ÞÖ º¾ µ º¾ µ Ð Ô Òµ Ó Ý ÑÓ Ø g 1 v = H v L + 1 g 2 v = c 3 ØÓÚ k 1 v = H v L k 1 x + [G vt,x q1 + [G vt,x q1 k 2 v = hvº ÁØØ k 1 ¹ Þ ÖØ Ö ÐØ Ð G Ñ ÖØ º¾ µ Þ i Ø Ò ÖÚ ÒÝ i = Ø Ò G ÐÝ ØØ G Þ Ö Ô Ðºµ Þ Ð Ð Ô Ò Þ ÐØ Ø Ð g 2 ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Þ ÒÝ ÐÚ Ò Ø Ð Ðº Ë Ø k 2 ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ º½ µ ÐØ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Þ Ò ÔÔ Ò ÞØ ÑÓÒ º¾ µº g 1 ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐØ Ø Ð Þ ÒÝ ÐÚ Ò Ð Ò ÐØ ÒÒ Ò Ó Ý Ñ Ò Ò l¹ö º ¼µ H l v L lim =. v L,T;V v L,T;V k 1 ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ º½ µ ÐØ Ø Ð ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØµ Ð Ò Ø ÓÒ ÒØ Ø Ð Ðº Þ Ð Ø Ö ÒÒ ÐÐ º½ µ Þ Ö º ¼µ Ø Ð Ðº Å Ú Ð G v q1 Lq = G v qq1 1 q L 1 Ý q > 1 º¾ µ Ñ ØØ k 1¹ Ò Þ ÙØÓÐ Ø Ø Ð Ø º½ µ¹ Øº Ñ Ó Ø Ø Ð Ø ÐØ Þ Ó Ý G ¹Ö ÒÒ ÐÐ º¾½µº Å Þ Ú Ð Ð Ò Ñ Ò Ò l¹ö G l Ø Ð Ø º¾½µ¹ Øº Î Ö Ñ ÒÝ Ò Þ ÐØ Ø Ð H l G l ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ð ÒØ ÔÐÙ Þ ÐØ Ø ÐØº º¾º¾º ÃÓÒ Ö Ø Ô Ð H l ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ä Ý Ò φ: R R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ Ð Ø Þ c > ÓÒ Ø Ò Ý Ó Ý φτ c Ñ Ò Ò τ R Ø Òº ÖØ ÐÑ ÞÞ L,T;L N ¹Ò Þ Ð ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø [ H 1 vt,x := φ b j τ,ξv j τ,ξdτ dξ, ÓÐ b j L q 1 j N, [ H 2 vt,x := φ [ Q t j=1 Q t vτ,ξ α dτ dξ 1 α, ÓÐ < α. º º ýðð Ø º ÒØ H1 H 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø Ð Ø Ã» ÐØ Ø ÐØº ÞÓÒÝ Ø º Æ ÞÞ Ð Þ Ö H 1 ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Øº À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ b j v j L 1 Ú Ý H 1 Ð Ò ÐØ ÒÝ ÐÚ Ò H 1 v c > º Å Ö ÞØ v Y K Ø Ò b j v j Q t b j v j K b j L q, j=1 j=1 Ñ Ð φ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ Ú Ø Þ Ó Ý H 1 Ú Ð Ò L ¹ Ô Þ ÓÖÐ ØÓ º Þ Ò ¹ Ú Ð v k v L,T;L N ¹ Ò ÓÖ b j v j 1 1 k b j v j Q t Q t b j q q v j k v j, QT j=1 j=1 j=1 j=1