G (l), G (l) b (l) i, d (l)
|
|
- Paulīna Priede
- pirms 4 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 Æ ÑÐ Ò Ö Ô Ö ÓÐ Ù ÙÒ ÓÒ Ð¹ Ö Ò Ð Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ÔÐÓÑ ÑÙÒ ÒÝ ý Ñ Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Ø Ñ Ø Ù Þ Ì Ñ Ú Þ Ø Ë ÑÓÒ Ä ÞÐ Ý Ø Ñ Ø Ò Ö Ð ÐÑ ÞÓØØ Ò Ð Þ Ì Ò Þ ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö ¾¼¼ º
2 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ð Þ ½º Ð ÞÒ ÐØ Ñ Ö Ø ½º½º Ý ÒÐ ØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º L ¹Ø Ö ËÞÓ ÓÐ Ú¹Ø Ö ÞÓÖÞ ØØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ú ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ËÔ Ð ÓÔ Ö ØÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Þ L,T;V Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÃÐ Þ Ù Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö ½¾ ¾º½º Ý ÒÐ Ø Ý Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾º ýøø Ö Ö Ò Þ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º Ý Ò Ñ ÓÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½º Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½  РРº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐØ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾º Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Þ Ö ¾ º½º Ý Ò Ñ ÓÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½º ÐØ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º¾º Ä Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º È Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½º ýðø Ð ÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º¾º ÃÓÒ Ö Ø Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º H l ÓÔ Ö ØÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º G l, G l ÓÔ Ö ØÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º b l i, d l i Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ý ÖØ ÐÑò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ÓÐ Ó [, ¹ Ò ¾ º½º [, ¹ Ð Ñ ÓÐ Ó Ð Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º Ñ ÓÐ Ó ÓÖÐ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËØ Ð Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÖÓ ÐÓÑ ÝÞ ¾
3 Ð Þ Ò ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ñ Ó Ö Ò ò Ô Ö ÓÐ Ù Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ú Ð Ó ¹ Ð Ð ÓÞÙÒ º Þ Ò Ð Ð ÓÐÝ Ò Ö Ò Þ Ö Ð Ñ ÐÝ Ò Þ Ý ØØ Ø Ú ÒÝ ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ò Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ø Ðº ÁÐÝ Ò Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ô Ð ÙÐ ÓÐÝ Ò Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ ¹ Ò ÓÖ ÙÐ ØÒ Ð Ñ ÐÝ Ò Þ Ý ØØ Ø Ò ÑÐÓ Ð Ñ ÒÒÝ Ø Ð º ÒØ Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ð Ô ÓÐ ØÓ ÐÑ Ð Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ º Â Ð Ò Óй ÓÞ Ø Ð Ö Ñ ÒÝ Ò Ö Ò Þ Ö Ö Ú Ð Ø Ö ÞØ Ú Ø º Á ÞÓÐ Ù Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ø Ô Ð Ø Ò Þ Ý ÖØ ÐÑò غ ÞØ Ú Ø Ò Ð Ø Ù [, ¹ Ð Ñ ÓÐ Ó µ Ð Ø Þ Ø ÓÖÐ ØÓ Ø Ñ Ú Þ Ð Ù Ú Ø Ð Ò Ð Ú Ð Øº Þ Þ ÞØ Ò Ø Âº Ö ÓÚ Ø Îº ÅÙ ØÓÒ Ò Ò Ø Ø Ð Ó ÞØÓ Ø Ò º Ø Ø Ð ÑÓÒÓØÓÒ Ø ÔÙ ÔÓÒØÓ Ò Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÐÑ Ð Ø Þ ÞÓÖÓ Ò Ô ÓÐ º È Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ð Þ Ð º º ÖÓÛ Ö Ñ ÐÝ Ø Ñ Ø Ö Ý ÐÒ Ó ÙÒ º Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ø Ð Þ Ö ÓÐÝ Ò Ò ÑÐ Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ö ÞÓÐ Ù Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø Ö¹ Ø ÐÑ ÞÒ ÙÒ ÓÒ Ð Ø Ñ ÞØ Þ Ö Ñ ÒÝØ Ð ÐÑ ÞÞÙ ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ö Ò ¹ Þ Ö Ö º ÒØ Ò Ú Ð Ò Ý Ò ÐÝØ Ø Ø Ò Þ ÞØÖ Ø Ø Ø Ð Þ Ô ÓÐ ÓÒ Ö Ø Ô Ð ÑÙØ Ø Ö º Ú Ø ÓÞ Ó Ý Þ Öò Ø Ö Ò ÓÐ ÓÞ Ø Ð Ò Þ Ó Ð ÐØÙ Ò Þ¹ Ò ÐØ Ó ÐÑ Ø Ø Ø Ð Øº ÓÐ ÓÞ Ø Ò ÞÒ ÐØ Ð Ð Ñ Ý Ö Þ Ø Ú Ý ØØ Ø Ð Ð Ø Ú Ý Ô ¾º º½ Þ Þ Â Ð Ð º Ö Þ Òº Þ ØÓÒ ÑÓÒ Ó Þ Ò Ø Ø Ë ÑÓÒ Ä ÞÐ Ò ØÓÖ Ø ÖØ Ø Ñ Ò ÒÝ ØÓØØ ÖØ Ø Öغ
4 ½º Þ Ø Ð ÞÒ ÐØ Ñ Ö Ø Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ÐÑ Ð Ø Ø Ö Ý Ð Ð ÔÞ Ð Ø ØÐ Ò Þ Ò Ð Þ ÙÒ Ó¹ Ò Ð Ò Ð Þ Ñ Ð Ð Ø Ø Ð Ò Ð ÐÑ Þ Ò Ð Ðº Þ ÖØ Ò Ö Þ Ò Ò ÝÖ Þص ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Þ Ó Ð Ð Ù ÞÓÒ Ø Ø Ð Ø ÐÐ ØÚ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö Þ Ò Ð Þ Þ Ø Òº Þ Ò Ð Ð ÐØ Ð Ò ÞÓ Ö Ø Ö Ò Ñ ÐÝ ØÐ Ò Ñ Þ Ö Ô ÐÒ Ø Ò¹ ÒÝ Ò Ú Ý Ñ ÐÝ Ø Ñ ÞÓ ÓØØ Ð ÐØ Ö Ò ÞÒ ÐÙÒ º Ã Ð Ò Ú Ø ÓÞ Ò Ð Ð ÞÒ Ð Ù Ú ÞÓÒØ Ø ØØ Ò Ñ ÑÐ Ø ØØ Ø Ò ÒÝ Ò Ð ÓÖ ÙÐ µ Ó ÐÑ Øº ½º½º Ý ÒÐ ØÐ Ò ½º½º ýðð Ø º ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µ Ä Ý Ò a 1,a 2,...,a n R k º ÓÖ a 1 + a a n a 1 + a a n. ½º¾º ýðð Ø º Ä Ý Ò a 1,a 2,...,a n R k s > 1 Ú Ð Þ Ñº ÓÖ ½º½µ a 1 + a a n s n s 1 a 1 s + a 2 s + + a n s. ½º º ýðð Ø º Ä Ý Ò a 1,a 2,...,a n Ò ÑÒ Ø Ú Ú Ð Þ ÑÓ s > Ú Ð Þ Ñº ÓÖ ½º¾µ a s 1 + a s a s n a 1 + a a n s. ½º º ýðð Ø º ÓÙÒ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µ Ä Ý Ò q Ú ÓÒ Ù ÐØ Ø Ú Þ Þ 1 <,q < = 1º ÓÖ a b Ø Ò q ab a + bq q. ½º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µ Ä Ý Ò ε > ÓÖ Þ Ð Þ ÐÐ Ø ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ ab ε a + bq ε q q. ½º º ýðð Ø º Ä Ý Ò c Ø Ø Þ Ð b s > Ú Ð Þ Ñº ÓÖ ½º µ 1 c + τb s dτ 1 2 s s + 1 b s. ÞÓÒÝ Ø º Ã Ø Ø Ø Ð Ò ÞØ Ø Ò Ñ º Ð Þ Ö Ø Ý Ð Ó Ý c c+b Ð Ò Þ Ð Ðòº Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÞÓÖ Ø Ò Ð Ð ÐØ Ø Ó Ý c < c + b > Ý Þ ÔÔ Ò b > µº
5 ÓÖ [,1 ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ c + τb Ð Ð Þ Ö ÒØ Ø Ö ÞÖ ÓÒØ Ø Ù ÞÓ ÓÒ Ð Ò¹ Ð Ò ÐÚ Þ Ø Þ ÒØ Ö Ð Ø Ñ ÔÓØØ Ö Ñ ÒÝØ ÐÙÐÖ Ð Ð Ø Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð 1 c + τb s dτ = = [ c b c τbs+1 bs c + τb s dτ + c + τb s dτ = c b c [ b c + τb s+1 1 τ= + bs + 1 τ= c b = c b 1 c τb s dτ + c + τb s dτ = c b 1 c s+1 + c + b s+1 bs s bs + 1 c + b 1 c s+1 = 2 s s + 1 b s. Ñ Ø Ò Ø Ý Ð Ó Ý c c + b ÞÓÒÓ Ð Ðòº ÓÖ [,1 ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ c + τb Ò Ñ Ú ÐØ Ð Ð Ø Ý 1 c + τb s dτ 1 [ τ τb s dτ = b s s+1 1 = 1 s + 1 τ= s b s 2 s s + 1 b s. Å Ò Ø Ø Ò ÖÚ ÒÝ ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Þ Ò Ú ÝÙÒ º ÒÒÝ Ø Ñ Ö Ñ Ñ ¹ Ý ÞÒ Ò Ó Ý Ð Ð Þ Ò c = b 2 Ø Ò Ý ÒÐ ÐÐ ÒÒº ½º¾º L ¹Ø Ö ËÞÓ ÓÐ Ú¹Ø Ö ÞÓÖÞ ØØ Ö ËÞÓ ÓÐ Ú¹Ø Ö Ð Ú Ø Þ Ò Þ L ¹Ø Ö ÞÒ Ð Ø Ð Ò Ø ØÐ Ò Ð Þ ÑÙÒ Ò Òº Å Ú Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ú Ð Ó ÙÒ Ó Ð Ð ÓÞÒ Þ ÖØ Ú Ð Ó Ó Ý Ø Ö ÞÓÖ¹ Þ ØØ Ö Ò ÐÐ ÓÐ ÓÞÒÙÒ º Ú Þ Ð ÓÖ Ò ÒÝ ÐÑ Ð Þ Þ ÑÙÒ Ö Þ Ø Ò Ñ Ñ ÞÓ ÓØØ ÒÓÖÑ Ð Ð Ø Ù Ðº Ò Þ Þ Ò Ð Þ Ö Ú Þ Ø Þ Ò ÒÓÖÑ Ø Ñ ÑÐ ÞØ Ø Ò Ò ÒÝ Ð ÔÚ Ø Þ Ö Ð Ø Ñ Ö Ðº Þ Ò Ð Ð ÞÓÒ Ô Ð Ø Ö Ñ ÐÝ Ø Ø ÒÝÐ Ò Ð ÐÑ ÞÒ Ó ÙÒ º ÌÓÚ Ö ÞÐ Ø Ø ÐÐ Ø Ò Ð Ô Ð ÙÐ Þ ½ ÑÓÒÓ Ö Øº ØÓÚ Ò Ð Ý Ò n 1 Ö Þ Ø ØØ Þ Þ Ñ Ð Ð λ Þ n¹ Ñ ÒÞ Ä Ù ¹ Ñ ÖØ Øº Å Ú Ð Þ Þ Ò Ñ Ò ÞØ Ñ ÖØ Ø ÞÒ Ð Ù Þ ÖØ Þ ÒØ Ö ÐÓ Ò Ð Ý Ù dλ Рغ ½º º Ò º Ä Ý Ò 1 < R n u: R Ä Ù ¹µÑ Ö Ø Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö 1 u L := u <. λ¹ñ Ö Ø ÐÑ Þº ÓÖ L Ð Ð ÞÓÒ ½º º Ò º Ä Ý Ò 1 < R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø º  РРD i Þ x i Ú ÐØÓÞ Þ Ö ÒØ ÞØÖ ÖØ Ð Ñ Ò Ú ØØ Ô Ö Ð Ö Ú Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ØÓÚ Ð Ý Ò D = D 1,...,D n Þ Þ Du = D 1 u,...,d n u Ö Ò Ú ØÓÖº ÓÖ Ñ ÐÝ Ø Þ Ð ÒÓÖÑ Ú Ð Ð ØÙÒ Ð W 1, := {u L : D i u L, 1 i n}, u W 1, = [ u + Du 1.  РРØÓÚ W 1, ÞÓÒ u W 1, Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö u = ÒÝÓÑ ÖØ ¹ Ð Ñ Òµº ÓÖ W 1, Þ ÖØ Ð Ò Ö ÐØ Ö W 1, Ø ÖÒ º
6 ØÓÚ Ò W 1, Ø Ö Ò Ñ Ò ÒØ ÒÓÖÑ Ø ÞÒ Ð Ù º ½º º Å ÝÞ º Þ ÖÓ ÐÓÑ Ò Ò u W 1, = [ u + D i u 1 ÒÓÖÑ ÞÒ Ð ØÓ Þ ½º½µ ½º¾µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ø ÒÓÖÑ Ú Ú Ð Ò º ½º½¼º ýðð Ø º À 1 < < ÓÖ W 1, Ø Ö Ö Ü Úº Þ L W 1, Ø Ö Ô ÓÐ Ø Ö Ð Þ Ð Ú Ø Þ Ø Ø Ðº ½º½½º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ð Ý Ò 1 < º ÓÖ W 1, L Ý Þ ÓÑÔ Øº Ú Ø Þ Ò Ò Ð Ù ÒØ Ø Ö Ö Ø ÞÓÖÞ Ø Øº ½º½¾º Ò º Ä Ý Ò 1 < Ú Ð N 1 Þ Þ Ñ R n Ø ÖØÓÑ Òݺ ÓÖ L N Ð Ð ÞÓÒ u = u 1,...,u N : R N Ñ Ö Ø Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö u l L Ñ Ò Ò 1 l N Þ Þ Ñ Ø Òº Î Þ Ø Ö Ò Ú Ø Þ ÒÓÖÑ Ø u L N := u 1. à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Þ ½º½µ ½º¾µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ðµ Ó Ý ÒØ ÒÓÖÑ Ú Ú Ð Ò N 1 Ð Ø Þ Ö ÞÒ ÐØ u l L ÒÓÖÑ Ú Ð Ý Ñ Ò Ò ÞÓÖÞ ØØ Ö Ö Ñ ÖØ ÐÐ Ø ÖÚ ÒÝ Ò Ñ Ö º ËÔ Ð Ò = 2 Ø Ò L 2 N À Ð ÖØ¹Ø Ö Ú Ø Þ Ð Ö ÞÓÖÞ ØØ Ð N u,v L2 N := u l v l. ½º½ º Ò º Ä Ý Ò 1 < Ú Ð N 1 Þ Þ Ñ R n Ø ÖØÓÑ Òݺ ÓÖ W 1, N Ð Ð ÞÓÒ u = u 1,...,u N : R N Ñ Ö Ø Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ Ö u l W 1, Ñ Ò Ò 1 l N Þ Þ Ñ Ø Òº Ø Ö Ò Ú Ø Þ ÒÓÖÑ Ø Ú Þ Ø u W 1, N := ÓÐ Du = D 1 u 1,...,D 1 u N,...,D n u 1,...,D n u N º u + Du 1, ½º½ º ýðð Ø º À 1 < < ÓÖ W 1, N Ö Ü Ú Ø Öº ½º½ º ýðð Ø º Ä Ý Ò R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ð Ý Ò 1 < º ÓÖ W 1, N L N Ý Þ ÓÑÔ Øº ½º º Ú ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Ò Ð Þ Ý Ú Ñ ÖØ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ø ÐÖ º ¹ Þ Ð Þ Ö ÐÐ Ú Þ ØÒ Ò Þ Ú ÒØ Ö Ð Ø Ó ÐÑ Øº ØÓÚ Ò Ð Ý Ò R n λ¹ñ Ö Ø ÐÑ Þ ÓÐ Þ Ð Þ Ö ÞÒ Ñ Ð Ð Òµ λ Þ n Ñ ÒÞ Ä Ù ¹Ñ ÖØ Ú Ð ¹ Ñ ÒØ Ð Ý Ò 1 < Ú Ð Þ Ñº
7 ½º½ º Ò º Ä Ý Ò f k k N Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø L ¹ Òº Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ε > Ø Ò Ð Ø Þ A ε Ú Ñ ÖØ ò ÐÑ Þ δε > Ý Ó Ý Ñ Ò Ò k N¹Ö ½º µ f k < ε, \A ε Ú Ð Ñ ÒØ Ø Ø Þ Ð λs < δε Ñ Ö Ø ÐÑ ÞÖ f k < ε. ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ú ÒØ Ö Ð Ø L ¹ Òº S ½º½ º Å ÝÞ º À ÓÖÐ ØÓ ÓÖ ½º µ Þ A ε = Ú Ð ÞØ Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ø Ð Ð Ý ÓÖ Þ ÐØ Ø Ð Ð Ý Ø º ½º½ º Å ÝÞ º Ö Ñ Ñ Ý ÞÒ Þ Ð ØÖ Ú Ð Ò ÞÖ Ú Ø ÐØ Ñ ÐÝ Ø ¹ Ú Ø ÓÞ Ò Ð Ð ÞÒ ÐÙÒ º À f k g k L ¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ñ ÐÝ Ö f k g k Ñ Ò Ò k¹ö g k Ú ÒØ Ö Ð Ø L ¹ Ò ÓÖ f k Ú ÒØ Ö Ð Ø L ¹ Òº ½º½ º ýðð Ø º À Þ f k ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò L ÒÓÖÑ Ò ÓÖ Ú ÒØ Ö Ð Ø º ½º¾¼º Ì Ø Ðº Î Ø Ð µ Ì Ý Ð Ó Ý Þ f k ÓÖÓÞ Ø Ú ÒØ Ö Ð Ø L ¹ Ò f k f Ñ ¹ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Òº ÓÖ f k f L ÒÓÖÑ Ò º Þ Ð Þ Ò Ú Ð ÞÒ ÐÒ Ó Ù Þ Ð Ê Þ Ö Ý Ø Ð Þ ÖÑ Þ Ú Ð ÞØ Ø Ø ÐØ º ½º¾½º Ä ÑÑ º Ê Þµ Ä Ý Ò f k ٠ݹ ÓÖÓÞ Ø L ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò f k f k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø f L Ñ ÐÝ Ö f k f Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Òº ½º¾¾º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ì Ý Ð Ó Ý f k f L ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ f k f k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ f k f Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Òº ½º¾ º Å ÝÞ º ÒØ Ò Ò ÐÐ ØÚ ÐÐ Ø Ó Ò ÒÝ ÐÚ Ò ÑÑ Þ Ö Ô Ò Ñ ÚÓÐØ ÒÒÒ Ó Ý ÔÔ Ò Ä Ù ¹ Ð Ñ ÖØ Ø Ö Ø ÞÒ ÐØÙ º ½º º Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò À ÖÓÑ ÐÐ Ø Ö Ð Þ Þ Ò Ð Ø Ñ Ö Ðº ½º¾ º ýðð Ø º ÆÓÖÑ ÐØ Ø Ö Ò Ñ Ò Ò Ý Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ º À Ò ¹Ø Ö ÓÖ Ñ Ò Ò X ¹ Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ º ½º¾ º ýðð Ø º Ê Ü Ú Ò ¹Ø Ö Ò Ô Ð Ò À Ð ÖØ¹Ø Ö Òµ Ñ Ò Ò ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ ØÒ Ú Ò Ý Ò Ò ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø º ½º¾ º ýðð Ø º Ì Ý Ð Ó Ý Þ X ÒÓÖÑ ÐØ Ø Ö Ò x k x Ý Ò Òº ÓÖ x X liminf k x k X.
8 ½º º ËÔ Ð ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ä Ý Ò X Ö Ü Ú Ò ¹Ø Ö Ù Ð Ø Ð Ð X º Ý x X Ø Ò ÞÒ Ð Ù Þ x, = x РРغ ½º¾ º Ò º Ì ÒØ Ò Ý T : X DT X ÓÔ Ö ØÓÖغ ÓÖ T ÓÖÐ ØÓ X¹ Ð µ ÓÖÐ ØÓ ÐÑ ÞØ X ¹ Ð µ ÓÖÐ ØÓ ÐÑ Þ Ô Þº T Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ø Ø Þ Ð u, v, w X Ø Ò R λ Tu λv,w X Ð Ô Þ ÓÐÝØÓÒÓ º T Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ò Ò u k DT ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u DT X¹ Ò Ú Ø¹ Þ Ó Ý Tu k Tu Ý Ò Ò X ¹ Òº T ÑÓÒÓØÓÒ Tu Tv,u v Ñ Ò Ò u,v DT Ø Òº À ØØ Ý ÒÐ u = v Ø Ò ÐÐ ÒÒ ÓÖ T Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒº T Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ ØÓÚ u X b X Ñ ÐÝ Ö Ñ Ò Ò v X Ø Ò b Tv,u v ÓÖ Tu = bº T Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ò Ò u k DT ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò lim su Tu k,u k u Ú Ø Þ Ó Ý k Ý Ò Ò X ¹ Òº T Ó Ö Ø Ú Tu,u lim = º u X u X lim Tu k,u k u = Tu k Tu k ½º¾ º Å ÝÞ º À T Ð Ò Ö ÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ú Ú Ð Ò Tu,u ÐØ Ø ÐРк Ò Ñ Ð ØÓ Ö Ò Ð ÔÚ Ø ÓÒØÓ Þ Ð Ñ ÓÐ Ø Ø Ø Ðº ½º¾ º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò X Ö Ü Ú Ò ¹Ø Öº Ì Ý Ð Ó Ý T : X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ó Ö Ø Úº ÓÖ Ñ Ò Ò v X Ø Ò Ð Ø Þ u X Ñ ÐÝÖ Tu = vº Þ Ý ÖØ ÐÑò Ñ ÓÐ Ø Ö Ð Þ Ð Ú Ø Þ Ø Ø Ðº ½º ¼º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò X Ö Ü Ú Ò ¹Ø Öº Ì Ý Ð Ó Ý T : X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ó Ö Ø Úº ÓÖ Ñ Ò Ò v X Ø Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ u X Ñ ÐÝÖ Tu = vº Þ ÚÓÐ µ Ð ØÓ Ö Ò S = L + T Ð ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö ÐÒ Ð ÓÐ L: X DL X òöòò Ò ÐØ Þ ÖØ Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ T : X X ÓÔ Ö ØÓÖ Ô Þ Ù ÓÑÓÒØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º ½º ½º Ò º T ÓÔ Ö ØÓÖ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ Ñ Ò Ò u k DL ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò Lu k Lu Ý Ò Ò X ¹ Ò limsu Tu k,u k u k Ú Ø Þ Ó Ý lim Tu k,u k u = Tu k Tu Ý Ò Ò X ¹ Òº k Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò Ò Ð Ø Ó ÐÑ Þ ÞÒÓ Ó Ð Þ ÞÓÒÝ Ø Ò Òº ½º ¾º Ä ÑÑ º Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ µ
9 µ T ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ò Ò u k DT ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u DT X¹ Ò Ð Ø Þ ũ u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ý Ó Ý Tũ Tu Ý Ò Ò X ¹ Òº µ T ÓÔ Ö ØÓÖ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ Ñ Ò Ò u k DL ÓÖÓÞ ØÖ Ñ ÐÝÖ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò Lu k Lu Ý Ò Ò X ¹ Ò limsu Tu k,u k u Ð Ø Þ ũ k u k k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ý Ó Ý lim Tũ k,ũ k u = Tũ k Tu Ý Ò Ò X ¹ Òº k ÞÓÒÝ Ø º Þ µ Ö ÞØ ÞÓÐ Ù Ñ Ø Ð Ò ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ñ Ýº ÁÒ Ö Ø Ø Ý Ð Ó Ý Ø Ð Ð ÐØ Ø Ð T Ò Ñ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ º ÓÖ Ð Ø Þ ε > v X u k DT ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ Ö u k u DT X¹ Ò Tu k Tu,v εº ÓÖ Ú ÞÓÒØ u k ¹Ò Ò Ò ÓÐÝ Ò ũ k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ Tũ k Tu Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò ÒÒ ÐÐÒ º Î Ý Þ Ò Ö Ø ÐØ Ú Ò ÐÝØ Ð Ò ÚÓÐغ Þ Ð ØÓ Ö Ò Þ Ð Ø Ø Ð Ð ¹ Òµ Ð Þ Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ò ÙÐ º ½º º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò X Ö Ü Ú Ò ¹Ø Ö L: X DL X òöòò Ò ÐØ Þ ÖØ Ñ Ü Ñ ¹ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ØÓÚ Ð Ý Ò T : X X ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º ÓÖ L + TDL = X º ½º º Þ L, T; V Ø Ö Ê Ú Ò Ú Þ Ø Þ ÚÓÐ µ Ý ÒÐ Ø ÞØÖ Ø Ø Ö Ý Ð Ñ Øº Å Ú Ð Ñ ÐÙÒ Ò Ñ Þ ÐÑ Ð Ø Ð Ô Ø Ò Ñ Ò ÒÒ Ð ÐÑ Þ Þ ÖØ ÑÓ Ø Ú Ø Þ Þ ¹ Þ Ò Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù ÑÓÒ ÓØØ ÐÐ Ø Ó Øº Ö ÞÐ Ø ÐÐ ØÚ ÞÓÒÝ Ø Ó Ñ Ö Ø Ò Ñ ¹ Ø Ð Ð Ø Ô Ð ÙÐ ½¼ ÒÝÚ Òº ½º º Ò º Ä Ý Ò V Ò ¹Ø Ö ØÓÚ 1 < < T < º ÓÖ L,T;V ÞÓÒ u:,t V Ñ Ö Ø Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ö T ut V dt < º ½º º ýðð Ø º Þ L,T;V Ø Ö Ø Ð ÒÓÖÑ ÐØ Ø Ö Þ Ð ÒÓÖÑ Ú Ð u L,T;V = T ut V dt 1. ½º º ýðð Ø º Ä Ý Ò V Ö Ü Ú Ò ¹Ø Ö, q Ú ÓÒ Ù ÐØ Ø Ú º ÓÖ Þ L,T;V Ø Ö Ö Ü Ú Ñ ÐÝÒ Ù Ð L q,t;v Ñ Ô Ú Ø Þ Ñ Ð ÐØ Ø Ð v L q,t;v ÙÒ ÓÒ Ð u L,T;V ÐÝ Ò ÐÚ ØØ ÖØ [v,u := T vt,ut dt. ØÓÚ Ò Þ L,T;V Ø Ö Ø Ö Ý Ð Ò Ñ Ò w, ØÐ w, V Ø Ø ÖÖ Ð ÓÐ ÓÞÙÒ µ Ð Ð w V [v, v L q,t;v ÙÒ ÓÒ ÐÓ Øº Ä Ý Ò V Ò ¹Ø Ö H Ú Ð µ À ÖØ¹Ø Öº Ì Ý Ð Ó Ý V H V òöò H¹ Ò V H Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º  РРV V ¹ Ð ÒÓÖÑ Ø, H H¹ Ð Ð Ö ÞÓÖÞ ØÓغ ÓÖ Ý Ø Ø Þ Ð f H Ð ÑÒ Ñ Ð ÐØ Ø Ø Ò Ý F V Ð Ñ Ø Þ Ð Ñ ÓÒ F, := f, H º Å Ú Ð V òöò H¹ Ò Þ ÖØ Þ Ú Þ Ð Þ Ú Ý Ý F V ÙÒ ÓÒ Ð Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ Þ f H Ð Ñ Øº ÁÐÝ Ò Ñ ÓÒ Ý Ø Ð Ø Ø Ø Ò H V Ý Ö Þ ÐÑ Þ Þ ØØ Ý H V º Ë Ø Þ Ú Ð Ó Ó Ý ÞÞ Ð B V Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º ½º º Ò º V H V ÖÑ Ø ÚÓÐ ÖÑ Ò Ò Ú ÞÞ º
10 ½º º Ò º Ä Ý Ò u L,T;V º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ v L q,t;v Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò w V ϕ C,T Ø Ò T ut,w ϕ tdt = T vt, w ϕt dt. ÓÖ v¹ø Ñ ÐÝ Ð Ø Þ ÓÖ Ý ÖØ ÐÑòµ Þ u ÞØÖ µ Ö Ú ÐØ Ò Ò Ú ÞÞ v = u Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù º ½º º Ò º  РРW 1,,T;V,H Þ ÓÐÝ Ò u L,T;V Ú ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ Ø Ñ ÐÝ Ö u L q,t;v º Î Þ Ú Ø Þ ÒÓÖÑ Ø u W 1,,T;V,H := u L,T;V + u Lq,T;V. ½º ¼º ýðð Ø º W 1,,T;V,H Ø Ö Ò ¹Ø Ö ÒØ Ú Þ Ø ØØ ÒÓÖÑ Ú Ðº ½º ½º ýðð Ø º Ä Ý Ò u W 1,,T;V,Hº ÓÖ u 2 H Ú ÒÝ,T¹Òº ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÞÓÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ Ú Ð ½º ¾º ýðð Ø º W 1,,T;V,H C[,T,H Ø W 1,,T;V,H C[,T,H Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º ÈÓÒØÓ Ò u W 1,,T;V,H ÓÖ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ ū: [,T H ÓÐÝØÓ¹ ÒÓ Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ ū = u ѺѺ [,T¹ Ò max s [,T ūs H const u W 1,,T;V,H. ½º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ À u L,T;V Ñ ÐÝÖ u L q,t;v ÓÖ ÖØ ÐÑ u ÔÓÒØ Ð ÖØ Ô Ð Ò u ÖØ ÐÑ º ½º º Ì Ø Ðº Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð µ Ä Ý Ò u, v W 1,,T;V,Hº ÓÖ s t T Ø Ò t s [ u τ,vτ + v τ,uτ dτ = ut,vt H us,vs H. ½º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ä Ý Ò u W 1,,T;V,Hº ÓÖ s t T Ø Ò 2 t s u τ,uτ dτ = ut 2 H us 2 H. ½º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ä Ý Ò u W 1,,T;V,H Ñ ÐÝÖ u = º ÓÖ [u,u º ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º º Ú Ø ÞÑ ÒÝØ Þ s = t = T Þ Ö ÔÓ ÞØ Ð Ð ÐÑ ÞÚ ÞÓÒÒ Ð Ò ÑÒ Ø Ú Ø º ÖØ ÐÑ ÞÞ Ú Ø Þ L: L,T;V DL L q,t;v ÓÔ Ö ØÓÖØ Ä Ý Ò DL := {u L,T;V : u L q,t;v, u = } Lu = u º ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý L Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Ý Þ ½º º Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý L ÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖº Ë Ø ÒÒ Ð Ø Þº ½º º ýðð Ø º ÒØ L òöòò Ò ÐØ Þ ÖØ Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖº ½º º Å ÝÞ º Þ ÐÐ Ø Þ Ñ Ö ÓÖ DL¹ Ò u = ÐÝ ØØ u = ut ÐØ Ø ÐØ Ú Ø Ð Ò Ñ º ½¼
11 ÅÓ Ø Ñ Ö Ñ Ó ÐÑ Þ Ø Ù ÞØÖ Ø Ñ ÓÒ Ó Ý Ñ Ø ÖØ Ò Ô Ö ÓÐ Ù Ð ØÓÒº ÓØØ V H V ÚÓÐ ÖÑ º Þ Ò Ú Ð Ð Ý Ò A: L,T;V L q,t;v Ò ÑÐ Ò Ö µ ÓÔ Ö ØÓÖ b L q,t;v º Ã Ö Ò ÓÐÝ Ò u W 1,,T;V,H Ú ÒÝØ Ñ ÐÝÖ Ñ Þ Ú Ð u + Au = b u = u, u t + [Aut = bt u = u ѺѺ t,t¹ö ÓÐ u H ÓØغ Ð Ö Ð ÞÓÒÒ Ð Ð Ø Þ Ó Ý Ò Ñ Ø ÐÐ Ø ÒÒ Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÞº Í Ý Ò Þ ½º º ÐÐ Ø Ð ØÙ Ù Ó Ý Þ Lu = u ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ý Þ ½º º Ø Ø Ð Ñ ØØ Ð Ò Þ A ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÒÝ Ô Ð ØÙÐ ÓÒ Ø ÞÓÐÒÙÒ º Î Þ Ø Ð Ñ ÑÐ Ø Ò Ò ÒÝ ÓÒØÓ Ý Þ Ø Ø ÐØ Ñ ÐÝ Ú Ø ÞÑ ÒÝ µ ÞÒÓ Ð ÞÒ ÞÓÒÝ Ø Ò Òº ½º º ýðð Ø º Ä Ý Ò R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø 1 Ú Ð N 1 Þ Þ Ñº ÓÖ Þ L,T;W 1, N L,T;L N Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º ½º ¼º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò V H V ÚÓÐ ÖÑ ÓÐ V Ö Ü Ú Ò ¹Ø Öº Ì Ý Ð Ó Ý B Ö Ü Ú Ò ¹Ø Ö Ñ ÐÝÖ V B V ÓÐ V B Ý Þ ÓÑÔ Ø B V Ý Þ ÓÐÝØÓÒÓ º ÓÖ W 1,,T;V,H L,T;B Ý Þ ÓÑÔ Ø 1 < < º ½º ½º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ä Ý Ò R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò¹ Ð Ø 2 < Ú Ð N 1 Þ Þ Ñº ÓÖ W 1,,T;W 1, N,L 2 N L,T;L N Ý Þ ÓÑÔ Øº ÞÓÒÝ Ø º Å Ú Ð 2 < Ø Ò W 1, N L 2 N W 1, N ÚÓÐ ÖÑ W 1, N Ö Ü Ú Þ ÖØ Þ ½º½ º ÐÐ Ø Ð Þ Ð Þ Ø Ø Ð Ð Ú Ø Þ Þ ÐÐ Ø º ½º ¾º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ì Ý Ð Ó Ý Þ u k W 1,,T;W 1, N,L 2 N ÓÖÓÞ ØÖ u k u Ý Ò Ò L,T;W 1, N ¹ Ò u k u Ý Ò Ò L q,t;w 1, N ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ũ k u L,T;L N ¹ Òº ÞÓÒÝ Ø º Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ u k ÓÖÐ ØÓ L,T;W 1, N ¹ Ò u k ÓÖÐ ¹ ØÓ L,T;W 1, N ¹ Ò Ú Ý u k ÓÖÐ ØÓ W 1,,T;W 1, N,L 2 N ¹ Òº Ý Þ ½º ½º Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ L,T;L N ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò º Þ L,T;W 1, N Ø Ö Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Ð Ú Ø Þ Þ L,T;L N Ø Ö Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ L,T;L N Ø Ö Ö ÓÒÚ Ö Ò Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ ÖØ Ý Ò Ð Ñ Þ Ý ÖØ ÐÑò Ñ ØØ Þ ÔÔ Ò ũ k u L,T;L N ¹ Òº ½½
12 ¾º Þ Ø ÃÐ Þ Ù Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ö Þ Ò Ð Þ Ù Ð Ñ Ó Ö Ò ò Ò ÑÐ Ò Ö Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò ¹ Þ Ö Ø Ú Þ Ð Ù Ñ ÓÞÞ Þ Ò Þ Ø ¹Ô Ö Ñ ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Øº Þ Ú Þ Ð Ø ÓÞ ÑÓ¹ ÒÓØÓÒ Ø ÔÙ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Þ Ò Ð Ð Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÐÑ Ð Ø Ø ÞÒ Ð Ù º Å ¹ Ú Ð ÓÐ ÓÞ ØÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ø Ó Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Ò Þ Ö Ú Þ Ð Ø Þ ÖØ ¹ Ò Þ Ø Ò Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ø Ð Ö º Ú Þ Ø Ý Ò Ñ ÓÐ Ó Ó ÐÑ Ø Ý Þ ÞØ Ò ¹Ø Ø ÐØ ÞÓÒÝ ØÙÒ Ñ ÐÝ Ñ Ú Ø Þ Þ Ø Ò Ñ ÒÒÝ Ø ÑÙÒ Ò Øº Ý Ò Ð Ð Ú Þ Ø Ø ÑÓØ Ú Ò Þ Ò Ù ÖÖ Ú Ð ØÙÒ Ö Ó Ý Þ ÐØ ÐÙÒ Ú Þ ÐØ ÞØÖ Ø Ð Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ý Ñ ÒØ Ý Ð ÐÑ µ Ð Þ Ù Ñ Ó Ö Ò ò Þ Ø ¹Ô Ö Ñ ÖØ Ð Ø Ý Ò Ð º ÞØ Ý Ò Ð ÓØ Þ Ý Þ Öò Ú Öص Ð Þ Ö Ý ÒÐ Ø Ö Ö Ù Ð Ð Ö Ò Þ Ö Ý Ò Ð ÞÓÒÒ Ð Ð Ø Þ Ò Ó º Ý Ò Ñ ÓÐ Ô Ö Þ Ò Ñ Ñ Ò Ð Ø Þ º ÓÞ Ó Ý ÞØ Ö ÒØ Ð Ù Ñ Ð Ð ØÙÐ ÓÒ Ý ØØ Ø Ò ÐÐ Þ Ö Ô ÐÒ Ö Ò Þ Ö Ò Òº Å Ú Ð Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð Ô ÓÐ ØÓ ½º º Ø Ø Ð Ò Ø Þ Ö ØÒ Ò Ð ÐÑ ÞÒ Ý Ú Ð Ó Ó Ý ÐØ Ø Ð ÞÓÒÝÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ú ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ó Ö¹ Ø Ú Ø ÐØ Ø Ð Ð ÞÒ º Þ ÖÓ ÐÓÑ Ò Þ Ø ÔÓÒØÓ Ò Þ Ò Ý ÒÐ Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ Ð Ð Øµ ÞÓ Ð Þ Ù Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð Ò ÚÒ º ¾º½º Ý ÒÐ Ø Ý Ò Ð Ì ÒØ Ú Ø Þ Ú Ö Ò ¹ Ð Ò Ð ÖØ Ð Þ Ù Ñ Ó Ö Ò ò Ô Ö ÓÐ Ù Ú Þ Ð Ò ¹ Ö Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø ¾º½µ [ D t ut,x D i ai t,x,ut,x,dut,x + a t,x,ut,x,dut,x = ft,x, t,x =,T, a i : R n+1 R, ÓÐ D i Þ x i Ú ÐØÓÞ Þ Ö ÒØ ÞØÖ ÖØ Ð Ñ Ò Ú Øص Ô Ö Ð Ö Ú Ð Ø Ð Ð Ñ D t t µ Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐØ Ø ÞÓ Ó Ñ ÓÒ Du = D 1 u,...,d n u Ö Ò Ú ØÓÖº ÒØ Ý Ò¹ Ð Ø Þ Ø ÖØÓÞ Ý Ô Ö Ñ¹ ÐÐ ØÚ Þ Ø ÐØ Ø Ðº Þ Ø ÐØ Ø Ð Ð Ý Ò u,x = u x x Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ô Ð Ý Ò ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð Ö Ð Ó Ý Ñ Öصº Þ Ò ÑÐ Ò Ö Ø Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý a i t,x,ut,x,dut,xν i x =, t,x Γ T =,T ÓÐ νx = ν 1 x,...,ν n x Ð ÒÓÖÑ Ð Ý Ú ØÓÖ Þ x ÔÓÒØ Òº ½¾
13 Å Ò Ø ÑÓ Ø Ò Ñ Ð Þ Ù Ñ ÓÐ Ö Ð Ò Ñ Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ý Ò Ð Ø Þ Ö ØÒ Ò ÖØ ÐÑ ÞÒ ÒÒ Ñ ÓÐ Ø Ö Ò º Þ ÖØ ÒÒÝ Ø Ø Þ Ò Ð Ó Ý Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ð Þ Ô Ô Ð ÙÐ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø µ ØÓÚ Þ Ð Þ Ö ÔÐ Ú ÒÝ Ñ Ð Ð Ò Ñ ÓÞ Ó Ý Ú Ø Þ Ø Ð Ø Ó Ø Ð Ð Ò Ú ÞÒ µº Ý Ò Ð ÓØ Ô Ö Þ Ð Ñ ÖØ Ñ ÓÒ ÐÐ Ø Ø Ù Ð º ÐØ Þ Ó Ý Ð Ø Þ ¾º½µ Ð ØÒ Ñ ÓØØ Ô Ö Ñ¹ Þ Ø ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ u C 1 Ñ ÓÐ º ÓÖ ÞÓÖÓÞÞÙ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ý v C 1 Ø ÞØ Ú ÒÒÝ Ð Ñ ÒØ Ö Ð Ù Þ Þ Ø ¹Ò D t ut,xvt,xdtdx [ D i ai t,x,ut,x,dut,x vt,xdtdx+ + a t,x,ut,x,dut,xvt,xdtdx = ft,xvt,xdtdx. ÁØØ Ð ÓÐ ÐÓÒ Þ Ö ÔÐ Ñ Ó ÒØ Ö ÐØ Ò Ø Ú Ð Ð Ò Ð Ðµ Ù ¹Ç ÞØÖÓ Ö Þ ¹Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ú Ø Þ Ð Ö Ø Ù Ø T a i t,x,ut,x,dut,xd i vt,xdxdt+ T + a i t,x,ut,x,dut,xν i xvt,xdσ x dt, ÓÐ dσ x Ð Þ Ò Þ Ö ÒØ ÒØ Ö Ð Ø Ð ÒØ º Ý Ð Ñ Ú Ú Ô Ö Ñ ÐØ Ø ÐØ ØØ ÞÒ Ð Ù Ó Ý ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ðµ Ð ØÙÒ Ú Ð Ú Ø Þ Ð ÓØ ÐØ [ n ¾º¾µ D t uv + a i t,x,u,dud i v + a t,x,u,duv = fv Ñ Ò Ò v C 1 ¹Ö u,x = u xº ÒØ ÞÖ Ú Ø Ð Þ Ó Ý ÒØ Ý ÒÐ Ø ÖØ ÐÑ Ø Ø Þ Ð v W 1,,T;W 1,,L 2 2 µ Ú ÒÝ Ø Ò u¹ø Ö Ø Ð Ø Ö Ðº Æ ÞÞ ÞØ Ñ Ý Ø Ö ÞÐ Ø Ò Ð Þ Ö 2 Ø Ò W 1, L 2 W 1, ÒÝ ÐÚ Ò ÚÓÐ ÖÑ Þ Ò W 1, L L 2 ÓÐÝØÓÒÓ Ò òöò Ò Ý ÞÚ º ÓÖ Þ ½º Þ ÞÒ Ñ Ð ¹ Ð Ò ÖØ ÐÑ Þ Ø Þ L,T;W 1, L q,t;w 1, W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ö ¹ غ À ÞÒ Ð Ù Þ ÑÐ Ø ØØ ÐÐ ØÚ Þ ½º¾ Þ Þ Ð Ð Ø Å Ú Ð u L,T;W 1, Ø Ò ut =: ut, W 1, Þ ÖØ Ø Ø Þ Ð u L,T;W 1, v L q,t;w 1, Ø Ò 1 T 1 u L = ut,t;w 1, W 1, dt = ut,x + Dut,x dtdx, [v,u = T vt,,ut, W 1, dt. ØÓÚ Ò Ý u W 1,,T;W 1,,L 2 Ú ÒÝ u Ö Ú ÐØ Ø D t u¹ú Ð Ð Ð Þ Þ Ø Ø Þ Ð u W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ò D t u L q,t;w 1, Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò v W 1, ϕ C,T Ø Ò T D t ut,,v W 1, ϕ tdt = ut,,v W 1, ϕtdt. W 1, ¹ Ð v, ÙÒ ÓÒ ÐÓ ÓÒ Ö Ø Ð ÐØ Ð Ò Ò Þ Ò Ø Ñ Þ Þ Þ¹ ØÖ Ø Ð Ö Ñ Øص Þ ÑÙÒ Ö Ò Ñ Ð ÒÝ º ÒÒÝ ÞÓÒ Ò Þ Ó Ý v L 2 ÓÖ v, W 1, = v, L2 ½
14 ÒÒÝ ÐÑ Ð Ø Ð Þ Ð Ø ÙØ Ò ÑÓ Ø Ñ Ö ÒÒÝ Ò Ð Ö Ø Ù Þ ÐØ ÐÙÒ Ú Þ ÐØ ¾º¾µ Ý Ò¹ Ð Ø Ø W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ö Òº Þ Ú Þ Ú Ø Þ A: L,T;W 1, L q,t;w 1, ÓÔ Ö ØÓÖØ u, v L,T;W 1, Ø Ò Ð Ý Ò [ n [Au,v := a i t,x,ut,x,dut,xd i vt,x + a t,x,ut,x,dut,xvt,x dtdx. Å Þ Ú Ð ÑºÑº t,t¹ö w W 1, Ø Ò [ n [Aut,w := a i t,x,ut,x,dut,xd i wx + a t,x,ut,x,dut,xwx dx. Þ Ò Ú Ð Ð Ý Ò F L q,t;w 1, Ñ ÐÝÖ [F,v := ft,xvt,xdtdx, ØÓÚ Ø Ý Ð Ó Ý u W 1, º Î Ð Lu := D t u ÓÐ DL = { u: u L,T;W 1,, D t u L q,t;w 1, }. ÓÖ ¾º¾µ Ð Ø Ð Ú Ø Þ [Lu,v + [Au,v = [F,v u = u Ñ Ò Ò v L,T;W 1, ¹Ö º Þ Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð Ò ¾º µ Lu + Au = F u = u. À Ý u L,T;W 1, Ú ÒÝ Ð Ø Þ Ð ÞØÖ Ø Ð ØÓØ ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý u ¾º½µ Ð Ø Ý Ò Ñ ÓÐ º ÅÓ Ø Ý Ö Ù ÓÖ ÙÒ Ú Þ Ò ÙÐ ¾º½µ Ð Ø ÓÞ ÔÓÒØÓ Ò ÒÒ Ô Ö Ñ ÐØ ¹ Ø Ð Þº Ì Ý Ð Ó Ý ÑÓ Ø ÓÑÓ Ò Ö Ð Ø¹ Ð Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð ÓØغ à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý ÓÖ Ð ÙØ ØÙÒ ¾º¾µ Ð ÓÞ Ñ Ô ÓÖ ÓÐÝ Ò v C 1 Ø ÞØ Ú ÒÝ Ø Ú Ð ÞØÙÒ Ñ ÐÝ Ö vt,x = Ñ Ò Ò t,x Γ T Ø Òº Ò Þ Ø Ò Ø Ø v Ø ÞØ ¹ Ú ÒÝ Ø Ò Ñ Þ ÐØ Ð ÒÓ v W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ö Ð Ó Ù Ú Ð ÞØ Ò Ò Ñ v W 1,,T;W 1,,L 2 Ø Ö Ðº Ë Ø u¹ø Ö Ø Ð Ø Ö Ðº ÒÒ Ñ Ð Ð Ò ÑÓ Ø F L q,t;w 1, Ñ Ó Ø ÒÙÒ ÐÐ Þ A L ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ø W 1, ¹Ø Ñ Ò Ò ØØ W 1, ¹Ö ÐÐ Ö ÐÒ Ò º Þ ÙØ Ò Ø Ö Ò Ú Þ Ò ÙÐ ÔÖÓ Ð Ñ ¾º µ ÞØÖ Øµ Ý Ò Ð ÓÞ Þ Þ ¹ ÑÙÒ Ö Ñ Ö Þ Ð Ø Þ Ò ÓÑÓ Ò Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò Þ L ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ô ØÙÐ ÓÒ Ý ÒØ Ð Ø Ñ ÓÐ Ò Ð Ø Þ Þ Ð Ò Þ A ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ð Þ Ò ÒÝ Ô Ð ØÙÐ ÓÒ Ðº ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Ó ÙÒ Þ a i Ú ÒÝ Ö ÐØ Ø Ð Ø Þ Ò º ¾º¾º ýøø Ö Ö Ò Þ Ö Ö Å ÙØ Ò Þ Ð Þ Þ Þ Ò Ñ Ñ Ö Ø Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ý Ò Ð Ú Ð ÑÓ Ø Ñ Ö Ý ¹ Ö Ø Ð Þ Ö Ò Þ Ö Ý Ò Ð Ø Ò ÐÒ º ½
15 ¾º½µ Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ Ö Ò Þ Ö Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Þ ¾º µ D t u l t,x [ D i a l i t,x,u 1 t,x,...,u N t,x,du 1 t,x,...,du N t,x + + a l t,x,u1 t,x,...,u N t,x,du 1 t,x,...,du N t,x = f l t,x, t,x =,T, R n, l = 1,...,N. Þ Ô Ö Þ Ø ÖØÓÞ Þ Ø Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ö Ò Þ Ö º Ì ÒØ Ò ÑÓ Ø Ð Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð¹ Ö Ò Þ Ö ÓÒ Ö Ø Ð Ø Ð ÒÒÝ Ø Ø Ý Ò Ð Ó Ý ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð º Þ Ø Ð¹ Ø Ø Ð Ö Ò Þ Ö Ð Ý Ò u l,x = u l x x ; l = 1,...,Nµº Ý Ò Ð Ð Ö ÓÞ Þ Ò Ú Ò Ò ÒÝ Ð Þ Ø Ñ ÝÞ Ö º ØÓÚ Ò ÞÞ Ð ÐØ Ø Ð Þ Ð Ð Ò Ó Ý n 1 Ö Þ Ø ØØ Þ Þ Ñ R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø 2 Ö Þ Ø ØØ Ú Ð Þ Ñº ¾º µ Ð Ø Ñ ÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ò ut,x = u 1 t,x,...,u N t,x Ð Ò Ö º Þ Ð Þ Þ Þ Ð Ô Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý ÑÓ Ø u L,T;W 1, N Ý Ò Ñ ÓÐ Ó Ø ÖØ ÐÑ Þ Ò Þ Þ Ñ ÐÝ Ö ut, W 1, N º Ð Ð Ý Þ Öò Ø Ö Ò ÞÒ ÐÒ Ó Ù V = W 1, N X = L,T;V РРغ Þ Ð Þ Þ Þ Ò Ð ØÓØØ Ñ ÓÒ ÑÓ Ø ÒÒÝ Ò Ô Ð Þ Ð Ø Ù Þ L,T;V Ø Ö Ó ÐÑ Ø ÓÒ Ö Ø V = W 1, N ØÖ º Ê Ú Ò Ò ÞÞ Ñ Þ Ø Ì Ø Þ Ð u = u 1,...,u N L,T;W 1, N Ø Ò T u = ut dt L,T;W 1, N W 1, N 1 ØÓÚ v = v 1,...,v N L q,t;w 1, N Ø Ò [v,u = T vt,,ut, W 1, N dt = N = ut,x + Dut,x dtdx T v l t,,u l t, W 1, dt. Þ Ò Ú Ð 2 Ø Ò W 1, N L 2 N W 1, N ÚÓÐ ÖÑ Ý ÖØ Ð¹ Ñ Þ Ø W 1,,T;W 1, N,L 2 N Ø Öº ÓÖ u W 1,,T;W 1, N,L 2 N Ø Ò D t u L q,t;w 1, N Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò v W 1, N ϕ C,T Ø Ò T D t u l t,,v l W 1, ϕ tdt = T u l t, v l W 1, ϕtdt. à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý ÓÖ D t u = D t u 1,...,D t u N Þ Ð v =,...,,v j,,..., Ø ÞØ Ú ÒÝ Ø Ú Ð ÞØÙÒ µº Þ ÙØ Ò Ø Ö Ò Ú Þ Ò ÙÐ ¾º µ Ð Ø ÓÞ Ý Ò Ð ÓØ Þ Ð Þ Ö Þ Þ ÓÒ¹ Ð Òµ Ñ ÒØ Ý ÐÐ Ø Ù Ð Ó Ý ÐØ Þ Ð Ø Þ Ñ Ð Ð Ò Ñ Ñ ÓÐ ÓÖ Þ l¹ Ý ÒÐ Ø Ø ÞÓÖÓÞÞÙ v l Ø ÞØ Ú ÒÒÝ Ð Ñ ÒØ Ö ÐÙÒ ¹Ò ÒØ Ö Ð Ø Ð Ø Ø Ø ÐØ Þ¹ Ò ÐÙÒ º ÞÙØ Ò Þ Þ Ø Ý Ú Ø Ö Ò Ø ÒØ Ñ ÑÓ Ø Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð Ô Ö Ñ Ð Ø Ð Ñ Øص W 1,,T;W 1, N,L 2 N Ø Öº à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý ÓÖ Ú Ø Þ Ð Ö Ò Þ Ö [D t u 1,v 1 + [A 1 u,v 1 = F 1 v 1 [D t u N,v N + [A N u,v N = F N v N º u = u 1, ½
16 Ñ Ò Ò v = v 1,...,v N L,T;V ¹Ö º ÁØØ A l : L,T;V L q,t;w 1, ÓÔ Ö ØÓÖ l = 1,...,N Ñ ÐÝÖ u = u 1,...,u N L,T;V v = v 1,...,v N L,T;V Ø Ò [ n [A l u,v := a l i t,x,ut,x,dut,xd i v l t,x + a l t,x,ut,x,dut,xvl t,x Þ Ò Ú Ð F l L q,t;w 1, l = 1,...,N Ñ ÐÝÖ [F l,v := f l t,xv l t,xdtdx, dtdx. Ú Ð Ñ ÒØ u V º Ý Ò Ð Ò Ñ Ò Ñ ÒØ ÞØÖ Ø Ö Ò Þ ÖØ Ø ÒØ º Î Ý ÞÖ Ù Ý Ò Ó Ý ÒØ Ö Ò Þ Ö Ú Ú Ð Ò Ú Ø Þ Ú Ð [D t u,v + [A 1 u,v [A N u,v N = F 1 v F N v 1 Ñ Ò Ò v = v 1,...,v N L,T;V ¹Ö u = u º Î Ð Ò Ö Ò Þ Ö Ð Ú Ø Þ Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ñ Ö ÞØ v =,...,,v j,,...,¹ø Ú Ð ÞØÚ Ð Ò¹ Ð Ò Ú Ø ÞÒ Ö Ò Þ Ö Ð Ý ÒÐ Ø º ÒÒ Ð Ô Ò Ð Ý Ò A: L,T;V L q,t;v Ñ ÐÝÖ u = u 1,...,u N L,T;V v = v 1,...,v N L,T;V Ø Ò ÓÖ ¾º µ Ý Ò Ð [Au,v := [A l,v l. D t u + Au = F u = u. ÒØ Ð Ô Ò ÞØ ÑÓÒ Ø Ù Ø Ø Ó Ý Þ Ð ÞØÖ Ø Ð ØÒ Ý u L,T;V Ñ ÓÐ ¾º µ Ö Ò Þ Ö Ý Ò Ñ ÓÐ Ñ Ð Ð Þ Ø Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ Øصº Þ Ð Þ Þ Þ Ò Ð ÖØ Ð Ô Ò ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ù Ó Ý Ô Ö Ñ ÐØ Ø ÐØ ÓÑÓ Ò Ö Ð Ø¹ Ð Ò Ú Ð ÞØÓØØÙ ÚÓÐÒ ÓÖ Þ Ð Þ Ð Ö Þ Ö Ð¹ Þ Ö Ú Ú Ø ÞÞ Ð Ñ Ó ¹ Ø Ð Ó Ý Ò Þ Ø Ò V = W 1, N º Å Ò Ò Ò Ú Ø Þ Ø Ø Ð ÖÚ ÒÝ Ò Ú Ò Ò Ñ V = W 1, N Ú Ð ÞØ Ð Ò Ñ ÓÖ V Ø Ø Þ Ð ÓÐÝ Ò Þ ÖØ Ð Ò Ö ÐØ Ö W 1, N ¹Ò Ñ ÐÝ òöò L 2 N ¹ Ò Ô Ð Ò V = W 1, N µº Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ ÞÓÒ Ò Ñ Ú V = W 1, N Ø ÖÖ Ð Ó ÙÒ ÓÐ ÓÞÒ º Ú Ø Þ Ò Ú Þ Ø Ú Þ Ø Ò Ñ Ö ÑÐ Ø ØØ Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð Ø ÒÒ Ø Ú Ð Ð Ø Ù Ó Ý ÒØ Ð ØÒ Ð Ø Þ Ý Ò Ñ ÓÐ º ¾º º ¾º º½º Ý Ò Ñ ÓÐ Ó Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð Â Ð Ð ÓÞ Ó Ý ÔÖ Þ Ò Ð ØÙ Ù ÖÒ ÐØ Ø Ð Ø ÐÐ Ú Þ ØÒ Ò Ý Ð Ð Ö Ò Þ Öغ Þ Ò Ð Ð Ý Ö Þ Ø Þ Ð Þ Þ Þ Ò Ñ Ö Ú Þ ØØ Ø Ð Ú ÖØ ÑÓ Ø Ñ Ñ Ø Ð ½
17 Þ Ø º ØÓÚ Ò Þ Ð Ð ÓÖÓÐØ Ð Ð Ò Ú Ø ÓÞ Ò Ð Ðµ Ñ Ò ÑÓ Ø Ò ÐØ Ð ÒØ Ø ØÙÐ ÓÒ Ø Ù º Ä Ý Ò n 1 Ö Þ Ø ØØ Þ Þ Ñ R n ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø º Ä Ý Ò V = W 1, N ÓÐ 2 < Ú Ð N 1 Þ Þ Ñº Å Ò Ò Ø Ò q Ð Ð ÓÒ Ù ÐØ Ø Ú Ø Ñ Þ Ú Ð q = 1º Ä Ý Ò < T < Ú Ð Þ Ñ ÓÖ ÞÒ Ð Ù =,T X = L,T;V Y = L,T;L N H = L 2 N РРغ Ý u X Ð ÑÖ u = u 1,...,u N ÓÐ u l L,T;W 1, l = 1,...,Nº Þ Ò Ú Ð ξ R n+1n Ú ØÓÖÓ Ø ξ = ζ,ζ Ð Ò Ö Ù ÓÐ ζ = ζ 1,...,ζN R N ζ = ζ 1,...,ζ N R nn l = 1,...,Nº ÁØØ ζ l = ζ l 1,...,ζl n R n l = 1,...,Nº ÐØ Ø Ð Ä½º Ì Ý Ð Ó Ý Þ a l i : R n+1n R Ú ÒÝ Ø Ð Ø Ö Ø Ó ÓÖݹ Ð ÐØ ¹ Ø Ð Øº Þ Þ Ñ Ö Ø t,x¹ Ò Ñ Ò Ò Ö Þ Ø ØØ ζ,ζ R n+1n Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ ζ,ζ¹ Ò ÑºÑº t,x Ø Ò i =,...,n; l = 1,...,Nµº ľº Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ c 1 > ÓÒ Ø Ò k 1 L q Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö a l i t,x,ζ,ζ c 1 ζ 1 + ζ 1 + k 1 t,x ѺѺ t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö i =,...,n; l = 1,...,Nµº Ä º Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ζ η R nn Ø Ò ÑºÑº t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ R N ¹Ö º a l i t,x,ζ,ζ a l i t,x,ζ,η ζ l i η l i > Ä º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ c 2 > ÓÒ Ø Ò k 2 L 1 Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö i= a l i t,x,ζ,ζζ l i c 2 ζ + ζ k 2 t,x ѺѺ t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö º ¾º º¾º Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Þ Ø Ö Ñ ÒÝ ¾º½º Ø Ø Ð Ñ ÐÝ Ð Ö Ð Ó Ý Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ Ð Ø Ð Ð Ò ÓÞ Ó Ý Þ Ð Þ Þ Þ Ú Ò Ò ÐØ A ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ø Þ ½º º Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Øº Ä Ý Ò Ø Ø A: L,T;V L q,t;v ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÖ u = u 1,...,u N L,T;V v = v 1,...,v N L,T;V Ø Ò [ n [Au,v := a l i t,x,ut,x,dut,xd i v l t,x + a l t,x,ut,x,dut,xvl t,x dtdx. Î Ð Ò Ý Ð Ö Ò Ñ ØÙ Ù Ó Ý A ÒØ Ò Ú Ð Ò ÖØ ÐÑ Ø ÒÝÐ L q,t;v ¹ Ô Þº Þ ÞÓÒ Ò Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ö Þ Ð Ó Ö ÐÒ º Î Ð ÞÓ Ó Ñ ÓÒ Ð Ý Ò L: L,T;V L q,t;v Ú Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖ DL = {u X : D t u X, u = }, Lu = D t u. ½
18 ¾º½º Ì Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ Ä½ Ä ÐØ Ø Ð º ÓÖ Þ A: X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ¹ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º ÞÓÒÝ Ø º ÞÓÒÝ Ø Þ Ò Ð Ñ Ø Ò ÓÒ À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ò Ò ÒÝ ÙÒ ¹ ÓÒ Ð Ò Ð Þ Ð Ø Ø Ð Ò Ð ÔÙк ÃÓÖÐ ØÓ º ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ ÒÝ ÐÚ Ò Ð Ò Þ [Au,v Ò Ò Þ Ö ÔÐ ÒØ Ö ÐÓ Ø Ø ÞÓ Ò Ý¹ Ý Ø Ø Ð Ò¹ Ð Ò Ú Þ ÐÒÙÒ º Ý ÐÝ Ò Ø ÓØ À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð Ð ÐÖ Ð Ð Ø Ò ¾º µ a l i t,x,ut,x,dut,xd i v l t,xdtdx a l i t,x,ut,x,dut,x q dtdx 1 q QT 1 D i v l t,x dtdx. Ì ÖÑ Þ Ø Ò i = Ø Ò ÓÒÐ ÖÚ ÒÝ D i v l ÐÝ ØØ v l ¹Ð кµ ÁØØ Ñ Ó Ø ÒÝ Þ ÒÝ Ð¹ Ú Ò Ð Ð ÓÖ Ñ ÒØ v X Þ Ð Ø ÒÝ Þ Ø Ô Þ Ä¾ ÐØ Ø Ð Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Þ Ö µ Ð ÐÑ Þ Ú Ð ØÓÚ Ð Ø ¾º µ 1 q a l i t,x,ut,x,dut,x q dtdx [ const c q 1 ut,x 1q + Dut,x 1q + k 1 t,x q 1 q dtdx const [ c q 1 [ u 1 + Du q + 1 q = k 1 q q = const c 1 u X + k 1 Lq. c 1 ÓÒ Ø Ò Ø Ý Ð ÐÑ Þ Ñ ØØ ÝØÙ Ñ ºµ ÒØ Ø Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø i¹ö l¹ö ÞÙÑÑ ÞÚ Ð ÞÒ ÐÚ ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Øµ [Au,v ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð Ø ÒÝ Ö Ò q [Au,v const c 1 u X + k 1 Lq v X. Þ Ú ÞÓÒØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý q ¾º µ Au X const c 1 u X + k 1 L q, Ø Ø A: X X ÓÖÐ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖº Ñ ÓÐÝØÓÒÓ º Ì Ý Ð Ó Ý Þ u k X ÓÖÓÞ ØÖ u k u Þ X ÒÓÖÑ Þ Ö Òغ ÓÖ Ñ Ò Ò 1 i n, 1 l N Ø Ò Þ u l k D iu l k ÓÖÓÞ ØÓ L ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ ÖØ Ê Þ¹Ð ÑÑ ½º¾½º Ð ÑÑ µ Ñ ØØ Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ũ k u Dũ k Du ѺѺ t,x ¹Ö º Ð Ø Ù Ó Ý Ñ Ò Ò v X Ø Ò [Aũ k Au,v ÓÖ Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ ½º ¾º Ð ÑÑ µ Ð Ô Ò Þ Ò Ð Þ Ò º Þ [Aũ k Au,v¹ Ò Ð Ú Ø Ó Ø ÓÖÐ ØÓ ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Ö ÔÐ ¾º µ À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ ÓÒÐ Ò Ð Ø ¾º µ [ a l i t,x,ũ k t,x,dũ k t,x a l i t,x,ut,x,dut,x D i v l t,xdtdx Ð Ú Ø Þ Ò Ð Ò Ð ØÒÙÒ Ó Ý a l i,ũ k,dũ k a l i,u,du Lq v X. lim k al i,ũ k,dũ k a l i,u,du Lq = ½
19 Ñ Ò Ò i n¹ö 1 l N¹Ö º Þ Ð Þ Ö Ú Ý ÞÖ Ó Ý Þ Ä½ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ a l i ζ,ζ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ý lim k al i t,x,ũ k t,x,dũ k t,x = a l i t,x,ut,x,dut,x ѺѺ t,x ¹Ö, Ð ÞÒ ÐÚ Þ ũ k Dũ k ÓÖÓÞ ØÓ Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ Ú Ð ÓÒÚ Ö Ò Ø ¹ Òº ÌÓ¹ Ú Þ Ä¾ ÐØ Ø Ð Ð Ú Ø Þ Ò Ð Ôк ¾º µµ a l i t,x,ũ k t,x,dũ k t,x q c q 1 ũ kt,x + Dũ k t,x + k 1 t,x q = f k t,x. Þ ũ k ÓÖÓÞ Ø X¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ Þ ũ k Dũ k Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓ L ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ ÖØ Þ ũ k Dũ k ÓÖÓÞ ØÓ L 1 ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò º Ì Ø Þ f k ¹ Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø L 1 ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ý Ú ÒØ Ö Ð Ø L 1 ¹ Ò ½º½ º ÐÐ Ø µº Ã Ú Ø ¹ Þ ÔÔ Ò Þ a l i,ũ k,dũ k Ú ÒÝ Ú ÒØ Ö Ð Ø L q ¹ Òº ÓÖ Ú ÞÓÒØ k N Ú ÒÝ Ð Ø Î Ø Ð ¹Ø Ø Ð ½º¾¼º Ø Ø Ðµ ÐØ Ø Ð Ø Ý ÔÔ Ò ÞØ ÖØÙ Ð ØÒ º lim k al i,ũ k,dũ k a l i,u,du Lq =. ÃÓ Ö Ø Ú Ø º Þ Ä ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ [ [Au,u c2 ut,x + Dut,x k 2 t,x dtdx = c 2 u X k 2 L1, ÓÒÒ Ò [ [Au,u lim lim c 2 u 1 k 2 L 1 = lim u X u X u X u c 2 u 1 X = +. X u X Þ ÔÔ Ò A Ó Ö Ø Ú Ø Ø Ð ÒØ º È Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø º ÞÓÒÝ Ø Ð Ô ÙÐ ÞÓРк ÒÒ Ð ÐÑ ÞÓØØ Ø Ò ¹ Þ Ò Ð Ñ Ñ ÞÓÒÝ Ø Ò Ý Ý ÐÑ Ø ÒÝ Ðº Þ ÖØ Ñ Ò Ø Þ Ò Ñ Ò Ð Ö Ð ÞÞ ÓÒØÓ ÐÓ Ø ÐÐ ØÚ ÓÒ ÓÐ ØÓ Ø Ò Ó Ý ÐÚ Þ Ò Ö ÞÐ Ø Òº Ì ÒØ Ò Ý Ø Ø Þ Ð u k ÓÖÓÞ ØÓØ X¹ Ò Ñ ÐÝÖ ¾º µ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò D t u k D t u Ý Ò Ò X ¹ Ò Ú Ð Ñ ÒØ ¾º½¼µ lim su[au k,u k u. k Ð Ø Ù Ó Ý Ý Ð ÐÑ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ ØÖ lim k [Aũ k,ũ k u = Aũ k Au Ý Ò Ò X ¹ Òº ÓÖ Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ Ñ ØØ Þ Ò Ð Þ Ò º Å Ò Ò Ð ØØ Ø Ý Ò Ñ Ò ÒÝ Ð Þ Ð Ø Ð Ô Ø Ð Þ Ö Þ Ò Ð Þ Þ u k Ý Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ö ØÓÚ Ò ÞÞ Ð Ó ÙÒ ÓÐ ÓÞÒ º Þ Ú ¹ Ý ÞÖ Ó Ý ¾º µ Ñ ØØ Ð ÐÑ Þ Ø Ù Þ ½º ¾º Ú Ø ÞÑ ÒÝØ Ý Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ũ k u Y ¹ Òº Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ Ñ ØØ ÐØ Ø Ó Ý ũ k u k Ý ØÓÚ Ò ÐØ Þ Ó Ý u k u Y ¹ Òº ÓÖ Ô Ö Þ Þ ½º¾¾º Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ Ð Ø Þ Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ù Ý Ò ÐØ Ø Ó Ý Þ Ö Ø ÓÖÓÞ Øµ Ñ ÐÝÖ u k u ѺѺ ¹ Òº Î Ö Ñ ÒÝ Ò Ø Ø ÐØ Þ Ó Ý u k u ѺѺ ¹ Òº ½
20 ÞÓÒÝ Ø Ñ ÓÒØÓ Ð Þ Ð Ø Ð Ô Ó Ý Ú Þ Ø k t,x Ú ÒÝ Ø Ñ ÐÝ Ö k t,x := [ a l i t,x,u k t,x,du k t,x a l i t,x,ut,x,dut,x D i u l k u,x D iu l u,x+ + [ a l t,x,u kt,x,du k t,x a l t,x,ut,x,dut,x u l k u,x ul u,x. Ò ÞÒ Ð Ù ÞÓ Ó + k t,x = max kt,x, k t,x = min kt,x, РРغ Î Ý ÞÖ Ó Ý k ÒØ Ò Ð Ò ¾º½½µ [Au k Au,u k u = k t,xdtdx. Å Ú Ð u k u Ý Ò Ò X¹ Ò Þ ÖØ lim k [Au,u k u = Ý lim su k [Au k,u k u = limsu[au k Au,u k u. k Þ ¾º½¼µ ¾º½½µ Ð Ô Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý ¾º½¾µ lim su k t,xdtdx. k ÞÓÒÝ Ø Ñ Ò Ø ÒÒ Ò Ú Ø Þ º Ð Þ Ö Ð Ø Ù Ó Ý k Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¼¹ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ð Ñ Ð Ú Ø ÞÒ Ó Ó Ý ÓÒÚ Ö Ò L 1 ¹ Ò Ø Ð Ðº ÒÒ Ø Ú Ð ÞÓÐ Ù Ó Ý k L 1 ¹ Ò Ý Ý Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ÓÒÚ Ö Ðº Å Þ Ð Ø Ð ÞÒ ÐÚ Du k ÓÖÓÞ Ø Ð Ú Ð ÞØÙÒ Ý Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓØ Ñ ÐÝÖ Ð Ó Ö ÐÒ Ó Ý Ú Ð Ò Du¹ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ðº Å Ò Þ Ð Ô Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø Ñ Ö Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø º ØÓÚ Ò ÔÐ Ø Ý Þ Öò Ø Ö Ò Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý Ý Ú ÒÝ Ö Ù¹ Ñ ÒØÙÑ Ø Ò Ñ Ó ÓÞ ÐÖ ÖØ Øµ Ò Ñ Ö Ù º Ä ÙÒ Ò ÞÓÒÝ Ø Ö Ñ Ö Þ Ò Ö Ù k ¹Ø Ú Ø Þ Ð Ò [ n k t,x = a l i t,x,u k,du k D i u l k + al t,x,u k,du k u l k [ n a l i t,x,u,dud i u l k D iu l + a l t,x,u,duul k ul [ n a l i t,x,u k,du k D i u l + a l t,x,u k,du k u l = Þ Ä ÐØ Ø Ð Ð Ô Ò Ú Ð Ó Ó Ý = f k t,x g k t,x h k t,x. ¾º½ µ f k t,x c 2 u k t,x + Du k t,x k 2 t,x c 2 Du k t,x k 2 t,x. Î Þ Ð Ù ÑÓ Ø Ñ Ó Ý Ñ Ø ÑÓÒ ØÙÒ g k ¹ Ò ÐÐ ØÚ h k ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ø Ó Ö Ðº Þ Ä½ ÐØ Ø ÐØ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð D i u l Du Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ô Ù Ó Ý a l i t,x,u,dud i u l k D iu l c 1 u 1 + Du 1 + k 1 Du k + Du. ¾¼
21 Du k ¹ Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ó Ø, q Ø Ú Ð Ð ÐÑ ÞÓØØ ÓÙÒ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð Ð Ø º ÓÖ ÞØ Ô Ù Ó Ý u 1 + Du 1 + k 1 Du 1 u 1q + Du 1q + k 1 q + 1 q Du const u + Du + k 1 q. Du k ¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ó Ø Ô Þ ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð Ð ÓÐ ε¹ø Ø ÖÓÞÞÙ Ñ µ u 1 + Du 1 + k 1 Duk 1 u 1q ε q + Du 1q + k 1 q + ε q Du k cε u + Du + k 1 q + ε 1 Du k, ÓÐ cε ØÓÚ Ò Ñ Ò Ý ε¹ø Ð ÔÓÞ Ø Ú ÓÒ Ø Ò Ø Ð Òغ Þ Ð Ø Ð Ø Þ Ú ØÚ Ú Ð ÞØ ÔØÙ Ó Ý ¾º½ µ a l i t,x,u,dud i u l k D iu l cε u + Du + k 1 q + ε 1 Du k. Þ Ð Ø Ò ÓÞ ÓÒÐ Ò Ð Ø g k ¹ Ò h k ¹ Ò Ð Ú Ø Ø Óغ Þ Þ Ð Þ Ö Þ Ä½ ÐØ Ø ÐØ ÞÒ Ð Ù ÞØ Ò ÔÓØØ Þ Du k ¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Þ Ø Þ ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Ø Ø Ô ÓÙÒ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Ð º À Þ Ý ÔÓØØ Ð Ø ÞÙÑÑ ÞÞÙ Ð ÞÒ Ð Ù ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Øµ ÓÖ ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ò ÞØ Ô Ù Ó Ý ¾º½ µ g k t,x + h k t,x δε Du k + cε u + Du + u k + k 1 q, ÓÐ δε Þ ε Ñ Ð Ð Ú Ð ÞØ Ú Ð Ø Ø Þ Ð Ò Ú Ø Ø º Þ ÖØ Ú Ð ÞÙ Ñ ε¹ø Ý Ó Ý δε < c 2 2 =: c Ø Ð Ð Òº ÓÖ ¾º½ µ ¾º½ µ Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý ¾º½ µ k t,x c Du k t,x d ut,x + Dut,x + u k t,x + k 1 t,x q. Ä Ý Ò N k = {t,x : k < } Ú Ý k Ø ÖØ Ð Ð χ N k ÐÑ Þ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ Øº ÓÖ Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Þ u k k N ÓÖÓÞ Ø ÑºÑº Ú Ð ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ ÑºÑº ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØ Ò Ú Ø Þ Ó Ý ¾º½ µ c χ Nk Du k t,x d χ Nk ut,x + χ Nk Dut,x + χ Nk u k t,x + χ Nk k 1 t,x q + χ Nk k t,x ÓÐ b Ú ÒÝ ØÐ Ò k¹ø к d χ Nk ut,x + χ Nk Dut,x + χ Nk u k t,x + χ Nk k 1 t,x q bt,x, Þ Ò Ö Ñ ÒÝ Ø Ú Ð Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý k Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Ò Ñ Ð Ô Ú Ø ÞÒ Ó Ó Ý k L 1 ¹ Òº Þ ÞÒÓ Ð Þ k Ú ÒÝ Ø Þ Ð Ð Ò ÖÒ ¾º½ µ k t,x = [ = a l i t,x,u k t,x,du k t,x a l i t,x,u k t,x,dut,x D i u l k u,x D iu l u,x+ + + [ a l i t,x,u k t,x,dut,x a l i t,x,ut,x,dut,x D i u l k u,x D iu l u,x+ [ a l t,x,u kt,x,du k t,x a l t,x,ut,x,dut,x u l k u,x ul u,x = = q k t,x + r k t,x + s k t,x. ¾½
22 Þ Ä½ ÓÐÝØÓÒÓ ÐØ Ø Ð Ú Ø ÞØ Ò k Ø Ò a l i,u k,du a l i,u,du ѺѺ ¹ Ò Þ Ò u k u ѺѺ ¹ Òº Ý Ð ÞÒ ÐÚ χ Nk Du k Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø ÔÓÒ¹ ØÓÒ ÒØ ÑºÑº Ú Ð ÓÖÐ ØÓ Ø Ð ¾º½ µµ Ú Ø Þ Ó Ý χ Nk r k t,x ѺѺ t,x ¹ Ö º Þ s k Ø Ò ÔÓÒØ ÓÖ ØÚ Ó Ó Ó ÙÒ º ÓÖ Ù Ý Ò u k u ѺѺ ¹ Òº ÌÓÚ χ Nk a l i,u k,du k Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÑºÑº ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ Ä¾ Ð Ô Ò k N χ Nk a l i t,x,u k t,x,du k t,x c 1 χ Nk u k t,x + χ Nk Du k t,x + χ Nk k 1 t,x, ØØ Ó ÓÐ ÐÓÒ Ñ Ò Ò Ø ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÖÐ ØÓ º Ð Ú Ø Þ Ò χ Nk s k ѺѺ ¹ Òº Î Þ Ø Ð q k ¹Ú Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ú Ý ÞÖ Ó Ý Ä Ñ ØØ q k t,x ѺѺ t,x ¹Ö º Þ Ó Ð ÐÚ Þ Ð Þ Ò Ð ÖØ Ø ÞØ ÑÓÒ Ø Ù Ó Ý k = χ N k q k + χ Nk r k + χ Nk s k χ Nk r k + χ Nk s k ѺѺ ¹ Ò Ú Ø Þ ÔÔ Ò k ѺѺ ¹ Òº ÅÓ Ø Ñ Ö ÒÒÝ Ò ÞÓÐ Ø Ù Ó Ý k L 1 ¹ Òº Þ Ð Þ Ö Ú Ý ÞÖ Ó Ý ¾º½ µ Ñ ØØ k t,x d ut,x + Dut,x + u k t,x + k 1 t,x q = d k t,x, Þ Þ k d k º ÁØØ u X Ñ ØØ u, Du L 1 k 1 L q Ñ ØØ k 1 q L 1 º ÌÓ¹ Ú Þ u k u X¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ u k u L ¹ Ò Ý u k u L 1 ¹ Òº Ì Ø d k ÓÒÚ Ö Ò L 1 ¹ Ò Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ú ÒØ Ö Ð Ø L 1 ¹ Òº Å Ú Ð k d k Þ ÖØ k Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø Ú ÒØ Ö Ð Ø L1 ¹ Òº ÓÖ Ú ÞÓÒØ Î Ø Ð Ø Ø Ð Ð Ô Ò Þ ÔÔ Ò k L1 ¹ Òº ÞØ ¾º½¾µ¹Ø Ð ÞÒ ÐÚ limsu + k t,xdtdx limsu k t,xdtdx + limsu k k k k t,xdtdx. Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý + k L1 ¹ Ò Ú Ö Ñ ÒÝ Ò Ø Ø k L 1 ¹ Òº ÓÖ Þ ½º¾¾º Ú Ð ÞØ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ð Ø Þ ˆ k k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ˆ k Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ L 1 ¹ Òº ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Ð Ò Ø Ð Ú ÝÙÒ ÑÓ Ø Ñ Ý ÔÖ Ú Ð ÞØ Ñ ÓÒ ÓÐ Ö Ú Ò Þ Ò ÙØ Ò Ñ Ö Ð Ò Ò Þ Ò Ð Ð ØÙ Ù ÞÒ ÞÓÒÝ Ø Øº Ð Þ Ö Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ Ú Ð ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ ˆ k ÓÖÓÞ Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò t,x ¹Ö ÓÖÐ ØÓ º Þ ÖØ ¾º½ µ¹ Ð Ú Ø Þ Ò c Dû k t,x d ut,x + Dut,x + û k t,x + k 1 t,x q + ˆ k t,x b t,x. ÁØØ û k Þ u k ÓÖÓÞ Ø ˆ k ¹Ò Ñ Ð Ð Ö Þ ÓÖÓÞ Ø º Ò Þ ÖØ Ð Ñ Ò ÞÒ Ð Ù Ð Ð Ø ºµ Þ Þ Dû k t,x Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò t,x Ø Ò ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ Øº ÓÖ Ô Ö Þ Ð Ø Þ ũ k û k ѺѺ ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ Dũ k t,x v ѺѺ ¹ Ò ÓÐ v Ñ Ö Ø µº Ë Ø ÑÓ Ø Ñ Ö Þ Ú Ø Þ Ó Ý r k s k Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ ¹ Ò Þ Ò Ù Ý Ò ÞØ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ø Ú Ø Ø Ñ ÒØ k ÓÒÚ Ö Ò Ò ÞÓÒÝ Ø Ò ÑÓ Ø χ Nk Ò Ð Ðº Å Ò Þ Ð Ô Ò Ð ÞÒ ÐÚ Ö Ø Ó ÓÖݹ Ð ÓÐÝØÓÒÓ ÐØ Ø ÐØ ũ k Ðк Dũ k ѺѺ ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý = lim kt,x = k [ = a l i t,x,ut,x,vt,x a l i t,x,ut,x,dut,x D i u l t,x v l i t,x, ¾¾
23 ÓÒÒ Ò Ä Ð Ô Ò Þ ÔÔ Ò v = Du Ú Ø Þ Ú Ý D t ũ k D t u ѺѺ ¹ Òº Î Ý ÞÖ Ó Ý ¾º½ µ [Aũ k,ũ k u = = [Aũ k Au,ũ k u + [Au,ũ k u = k t,xdtdx + [Au,ũ k u, Þ Ò k L 1 ¹ Ò Ú Ð Ñ ÒØ ũ k u Ý Ò Ò X ¹ Òº Þ Ò Ú Ð ØÙ Ù Ó Ý Ø Ø Þ Ð v X Ø Ò [Aũ k,v = [ n a l i t,x,ũ k t,x,dũ k t,xd i v l t,x + a l t,x,ũ kt,x,dũ k t,xv l t,x dtdx. ÁØØ Þ ÒØ Ö Ò Ù Ó ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Þ ũ k u X¹ Ð Ðк Dũ k Du X ¹ Ð ÓÒÚ Ö¹ Ò Ö Ø Ó ÓÖݹ Ð ÐØ Ø Ð Ñ Øغ Ê ÙÐ Þ ÒØ Ö Ò Ù Ó Ú ÒØ Ö Ð Ø Ñ ÖØ Ó Ý ÓÒÐ Ø Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ØØÙÒ Ôк ¾º½ µµ a l i t,x,ũ k,dũ k D i v l const ũ k + Dũ k + k 1 q + D i v l, ÓÐ Ó ÓÐ Ð L 1 ¹ Ò ÓÒÚ Ö Ò º Ý Î Ø Ð ¹Ø Ø Ð Ð Ô Ò [Aũ k,v [Au,vº Þ ¾º½ µ¹ Ð Ý ØØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý A Ú Ð Ò Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º Ã Þ Ô Þ Ù ÓÑÓ¹ ÒÓØÓÒ Ø ÞÓÒÝ Ø º ÞÞ Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ø ÞØ º ¾º¾º Å ÝÞ º Þ A ÓÔ Ö ØÓÖ Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø ÓÞ Ä ÐÝ ØØ Ú Ø Þ Ý Ò ÐØ Ø Ð Ð Ò i= a l i t,x,ζ,ζζ l i c 2 ζ k 2 t,x ѺѺ t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö º Î Ð Ò Þ Ä ÐØ Ø ÐØ ¾º½ µ Ð Þ ÞÒ ÐØÙ ÓÐ Ú Ð Ò Þ Ð Ý Ò ÐØ Ø ÐÖ ÚÓÐØ Þ º ¾º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Ä½ Ä ÐØ Ø Ð º ÓÖ Ø Ø Þ Ð F X Ø Ò D t u + Au = F u = ÞØÖ Ø Ð ØÒ Ú Ò u W 1,,T;V,H Ñ ÓÐ º ÞÓÒÝ Ø º Å Ú Ð Þ L,T;V Ø Ö Ö Ü Ú Ð Þ ½º½ º ½º º ÐÐ Ø Ó Øµ Ú Ð Ñ ÒØ Þ L : DL L q,t;v Lu = D t u ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ü Ñ Ð Ò ÑÓÒÓØÓÒ ½º º ÐÐ Ø µ Ý Þ Ð Þ Ø Ø Ð Ð Þ ½º º Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ú Ø Þ Ó Ý Þ Lu + Au = F Ý ÒÐ ØÒ Ú Ò u DL Ñ ÓÐ º ¾
24 º Þ Ø ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Þ Ö Ú Ø Þ Ò ÓÐÝ Ò Ò ÑÐ Ò Ö Ñ Ó Ö Ò ò Ô Ö ÓÐ Ù Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ Ñ ÐÝ Ò Þ Ý ØØ Ø Ú ÒÝ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ø Ð Ý ÙÒ ÓÒ ÐÓÒ Ö ÞØ Ð Ò º Þ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ø Ø Þ Øص Ë ÑÓÒ Ä ÞÐ Ú Þ ÐØ Ò Ñ ÐÝ Ò Ú Ø Þ Ð Ý ÒÐ Ø Þ Ö Ô ÐØ [ D t ut,x D i ai t,x,ut,x,dut,x;u + a t,x,ut,x,dut,x;u = ft,x, t,x =,T, a i : R n+1 L,T;W 1, R, ÓÐ 2 < º Å ÑÓ Ø ÒØ Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ Ö Ò Þ ÖØ Ó Ù Ú Þ ÐÒ Ú Ý Þ Ð Ý ÒРع Ö Ò Þ ÖØ º½µ D t u l t,x [ D i a l i t,x,u 1 t,x,...,u N t,x,du 1 t,x,...,du N t,x;u 1,...,u N + + a l t,x,u1 t,x,...,u N t,x,du 1 t,x,...,du N t,x;u 1,...,u N = f l t,x, t,x =,T, R n, l = 1,...,N. Þ Ô Ö Þ Ø ÖØÓÞ Þ Ø Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ö Ò Þ Ö Ó Ý ÓÖ Ò ÑÓ Ø Ñ Ø Ö Ò ÞÓ ÓÒ Ö Ø Ð Ú Ð ÒÒÝ Ø Ø Þ Ò Ð Ó Ý Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹ Ð º Ú Ø Þ Ö Þ Ò Þ Ð Þ Þ Ø Þ ÓÒÐ Ò Ò Ð Ù º½µ Ð Ø Ý Ò Ð Ø Ñ Þ Ý ØØ Ø Ö Ø ØØ ÐØ Ø Ð Ø Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ù Ý Ò Ñ ÓÐ Ð Ø Þ Øº ÐØ ¹ Ø Ð ÓÖ Ò Ñ Ñ ÖØ Ä Ö Ý¹Ä ÓÒ ÐØ Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Þ ØÚ ÒØ Ø ÔÙ Ý Ò¹ Ð Ø Ñ ÓÐ Ø ÓÞ Ð Ò Ô Ð ÐØ Ø Ð Ðº ÞØ Ú Ø Ò Ò ÒÝ Ô Ð Ø ÑÙØ ØÙÒ Ñ Ð Ð Ý ØØ Ø Ú ÒÝ Ö º Î Ð Ý Ô Ð Ø Ò ÞÓÐ Ù Ý Ò Ñ ÓРݹ ÖØ ÐÑò غ Þ Ø Ò ØÓÚ Ö ¾º º½ Þ Þ Ò Ú Þ Ø ØØ Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù º ¾
25 º½º Ý Ò Ñ ÓÐ Ó ÖØ ÐÑ ÞÞ B: L,T;V L q,t;v ÓÔ Ö ØÓÖØ Ú Ø Þ Ñ ÓÒº Ä Ý Ò u = u 1,...,u N L,T;V v = v 1,...,v N L,T;V Ø Ò [ n [Bu,v := a l i t,x,ut,x,dut,x;ud i v l t,x + a l t,x,ut,x,dut,x;uvl t,x Î Ý ÑºÑº t,t¹ö w = w 1,...,w N V Ø Ò º¾µ [ n [But,w := a l i t,x,ut,x,dut,x;ud i w l x + a l t,x,ut,x,dut,x;uwl x Þ Ò Ú Ð ÞÓ ÓØØ Ñ ÓÒ Ð Ý Ò L: L,T;V L q,t;v ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÖ DL = {u X : D t u X, u = }, Lu = D t u. dtdx. dx. Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ð ÖØ Ð Ô Ò ÑÓ Ø Ñ Ö ÒÒÝ Ò Ð Ö Ø Ù º½µ Ø ÔÙ Ö Ò Þ Ö Ý Ò Ð Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ Ø ÓÑÓ Ò Æ ÙÑ ÒÒ¹Ô Ö Ñ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ Øص B ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ú Ðº Æ Ú Þ Ø Ò D t u + Bu = F u = u, ÓÐ F L q,t;v u V = W 1, N º º½º½º ÐØ Ø Ð ½º Ì Ý Ð Ó Ý Þ a l i : R n+1n L,T;V R Ú ÒÝ Ñ Ò Ò Ö Þ Ø Øص v L,T;V Ø Ò Ø Ð Ø Ö Ø Ó ÓÖݹ Ð ÐØ Ø Ð Øº Þ Þ Ñ Ö Ø t,x¹ Ò Ñ Ò Ò Ö Þ Ø ØØ ζ,ζ R n+1n Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ ζ,ζ¹ Ò ÑºÑº t,x Ø Ò i =,...,n; l = 1,...,Nµº ¾º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø ÞÒ g 1 : L,T;V R + k 1 : L,T;V L q ÓÖÐ ØÓ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖÓ Ñ ÐÝ Ö a l i t,x,ζ,ζ;v g 1 v ζ 1 + ζ 1 + [k 1 v t,x ѺѺ t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö v L,T;V ¹Ö i =,...,n; l = 1,...,Nµº º Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ζ η R nn Ø Ò a l i t,x,ζ,ζ;v a l i t,x,ζ,η;v ζ l i η l i > ѺѺ t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ R N ¹Ö Ñ Ò Ò v L,T;V ¹Ö º º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø ÞÒ g 2 : L,T;V R k 2 : L,T;V L 1 ÓÖÐ ØÓ ÓÔ Ö ØÓ¹ ÖÓ Ñ ÐÝ Ö i= a l i t,x,ζ,ζ;vζ l i g 2 v ζ + ζ [k 2 vt,x ¾
26 ѺѺ t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö v L,T;V ¹Ö º ÌÓÚ g 2, k 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ò Ð ÞÒ Þ Ð ØÙÐ ÓÒ Ð º µ lim g 2 v v 1 L v L,T;V,T;V k 2v L 1 v L,T;V = +. º Ì Ý Ð Ó Ý u k u Ý Ò Ò L,T;V ¹ Ò ÒÓÖÑ Þ Ö ÒØ L,T;L N ¹ Ò ÓÖ Ñ Ò Ò i =,...,n l = 1,...,N Ø Ò lim k al i,u k,du k ;u k a l i,u k,du k ;u L q =. º½º¾º Ä Ø Þ ÑÓ Ø Ú Ø Þ Ø Ø Ð ¾º½º Ø Ø Ð Ô Ö ÓÒÐ Ø ÐÐ Ø B ÓÔ Ö ØÓÖÖ Ðº º½º Ì Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ ½ ÐØ Ø Ð º ÓÖ B: X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ¹ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º º¾º Å ÝÞ º ÞÓÒÝ Ø Ö Þ Ò Þ ¾º½º Ø Ø ÐÖ Ú Ð Ú Þ Ú Þ Ø Ò Ð ÔÙÐ Þ ÖØ Ö Ñ ÞÓÒÝ Ø Ð ØØ Ñ Ø ÒÒ Ò Ò ÒÝ ÔÖ Ð Þ Ð Ø Øº Î Þ Ö Þ Ø ØØ w X Ø Ò B w : X X ÓÔ Ö ØÓÖØ Ñ ÐÝÖ u X v X Ø Ò [ n [ B w u,v := a l i t,x,ut,x,dut,x;wd i v l t,x + a l t,x,ut,x,dut,x;wvl t,x dtdx. ÓÖ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ ½ ÐØ Ø Ð ÓÖ B w ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ø ¾º º½ Þ Þ Ò Þ Ö ÔРĽ Ä ÐØ Ø Ð Ø Ñ Ô k 1 t,x = [k 1 wt,x k 2 t,x = [k 2 wt,x c 1 = g 1 w c 2 = g 2 w Ñ Ð ÐØ Ø Ðº Ì Ø ¾º½º Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ñ Ò Ò w X Ø Ò B w ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º Þ ÙØ Ò Ð ÙÒ ÓÞÞ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ ÞÓÒÝ Ø º½º Ø Ø Ð º ÃÓÖÐ ØÓ º Ä Ý Ò v X Ö Þ Ø Øغ ÓÖ Þ Ð Þ Ø Ñ ÝÞ Ñ ØØ B v ÓÔ Ö ØÓÖÖ Þ ¾º µ Ð c 1 = g 1 v¹ú Ð k 1 = k 1 v¹ú Ð Þ Þ B q v u X const g 1 v u X + k 1v Lq. Å Ú Ð Bu u = Bu Þ ÖØ v = u Ø Ò Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò q º µ Bu X const g 1 u u X + k 1u L q Ð ÓØ ÐØ º Ð Ô g 1 k 1 ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØ Ò Ú Ø Þ B ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ º Ñ ÓÐÝØÓÒÓ º Ä Ý Ò u k X¹ Ð ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ u k u Þ X ÒÓÖÑ Þ Ö Òغ Å ¹ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ñ Ò Ò v X Ø Ò [Bu k Bu,v ÓÖ Þ Ò Ð Þ Ò º Þ Ð Ò Ð ØÒÙÒ Ó Ý Bu k B u u k B u u k Bu Ý Ò Ò X ¹ Òº Þ ÙØ ÓÞ Ñ ÒØ Ú Ý ÞÖ Ó Ý B u u = Bu Ý B u Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ð Ú Ø Þ Ò B u u k B u u = Bu Ý Ò Ò X ¹ Òº [Bu k B u u k,v ÓÒÚ Ö Ò ÓÞ Ô ¾º½º Ø Ø Ð Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Ö ÔÐ µ ¾º µ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ò Ø ÓÒ ÒØ Ð ÐÑ Þ Ø Ù À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø [ º µ a l i t,x,u k,du k ;u k a l i t,x,u k,du k ;u D i v l dtdx a l i,u k,du k ;u k a l i,u k,du k ;u Lq v X. ¾
27 Ð Ú Ø Þ Ò Ð Ð ØÒÙÒ Ó Ý º µ lim k al i,u k,du k ;u k a l i,u k,du k ;u Lq = Ñ Ò Ò i n¹ö 1 l N¹Ö º Þ Ú ÞÓÒØ Ð Ô Ò Ú Ð Ò Ø Ð Ð Þ Ò u k X¹ Ð Ö ÓÒÚ Ö Ò Ð Ú Ø Þ Þ X¹ Ð Ý Ò ÓÒÚ Ö Ò Þ X Y ÓÐÝØÓÒÓ Ý Þ Ð ½º º ÐÐ Ø µ Ñ ØØ Þ Y ¹ Ð Ö ÓÒÚ Ö Ò º º º Å ÝÞ º Bu k B u u k Ý Ò X ¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò ÐÝ ØØ Þ Þ Ö [Bu k B u u k,v k ÐÐ Ø ÓÐ v k ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ Ø X¹ Òº Í Ý Ò v = v k Ø Ò º µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð v k ÓÖÐ ØÓ Ñ ØØ Ú Ø Þ Ó Ý Þ Ð Þ Ð º µ ÒÒ ÐÐ u k ¹Ö º Î Ý ÞÖ Ó Ý º µ Ø Ð Ð Þ Ñ Øص u k X¹ Ð Ý Ò Y ¹ Ð Ö ÓÒÚ Ö Ò Þ º º µ ÃÓ Ö Ø Ú Ø º Þ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ [Bu,u [ g2 u ut,x + Dut,x [k 2 ut,x dtdx = g 2 u u X k 2u L1, ÓÒÒ Ò g 2, k 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ º µ ÐØ Ø ÐØ ÞÒ ÐÚ Ó Ý [ [Bu,u lim lim g 2 u u 1 X u X u k 2u L 1 = +. X u X u X È Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý º µ u k u Ý Ò Ò X¹ Ò D t u k D t u Ý Ò Ò X ¹ Ò Ú Ð Ñ ÒØ º µ limsu[bu k,u k u. k Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ ØÖ Ø Ð ÐÑ ÞÚ Ð ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý Ý ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ ØÖ lim k [Bũ k,ũ k u = Bũ k Bu Ý Ò Ò X ¹ Òº º µ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ Þ ½º ¾º Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ð Ô Ò Ð Ø Þ ũ k u k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ ũ k u Y ¹ Òº ÓÖ Ð ÐÑ Þ Ø Ù Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ö Ð Þ Ð Ö Þ Ú Ò Þ Ö ÔÐ µ º º Ñ ¹ ÝÞ Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý º½¼µ ÞØ º µ¹ Ð Þ Ú ØÚ º½½µ lim [Bũ k B u ũ k,ũ k u =. k lim su[ B u ũ k,ũ k u k º Å Ú Ð B u Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ Ý º µ º½½µ ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ú Ø Þ Ó Ý º½¾µ lim k [ B u ũ k,ũ k u = Bu ũ k B u u= Bu Ý Ò Ò X ¹ Òº ÁÒÒ Ò º½¼µ Ñ ØØ ÝÖ ÞØ lim k [Bũ k,ũ k u = Ú Ø Þ º Å Ö ÞØ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÞÓ¹ ÒÝ Ø Ð ØÙ Ù Ó Ý ũ k u Ý Ò Ò X¹ Ò Ö Ò Y ¹ Ò ÓÖµ B u ũ k Bũ k Ý Ò Ò X ¹ Ò Ý º½¾µ Ñ Ó Ð Ð Bũ k Bu Ý Ò X ¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ú Ø ¹ Þ º ÞÞ Ð Þ º½º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º Å Ý ÞÞ Ó Ý ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò ÓÐ Ò Ñ ÞÒ ÐØÙ g 2 k 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÓÖÐ ØÓ Øº ÞØ ÐØ Ø ÐØ Ý Ð ÐÑ Þ Ñ ØØ Ú ØØ Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Þ º ¾
28 º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ ½ ÐØ Ø Ð º ÓÖ Ø Ø Þ Ð F X Ø Ò º½ µ D t u + Bu = F u = ÞØÖ Ø Ð ØÒ Ú Ò u W 1,,T;V,H Ñ ÓÐ º ÞÓÒÝ Ø º Þ ÐÐ Ø ÞÓÐ Ø Ð Ò ÓÒÐ Ò Ñ Ý Ñ ÒØ ÓÖ ¾º º Ú Ø ÞÑ ÒÝ ¹ ÞÓÒÝ Ø º ÒØ Ú Ø ÞÑ ÒÝ Þ Ö ÒØ ÓÑÓ Ò Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ñ ÓÐ º½ µ Ð ØÒ º Ë ÒÓ Þ ½ ÐØ Ø Ð Ð Ñ Ò Ñ Ú Ø Þ Ó Ý Ò ÓÑÓ Ò Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Ñ ÓÐ º Þ Ò ÓÑÓ Ò Ø Ú Þ Ð Ø ÞÓ ÓØØ Ñ ÓÒµ ÓÑÓ Ò ØÖ Ú Ð Ú Þ Ú Þ Ø Ð Ø ÖØ Ò Øº Ì ÒØ Ú Ø Þ ÞØÖ Ø Ð ØÓØ D t u + Bu = F u = u, ÓÐ u V º Ä Ý Ò u t,x u x Ø Ö ÞØ L,T;V ¹Ö Ö Ñ ÓÐ Ø u = v+u Ð Ò ÓÖ Þ Ð Ð Ø Ú Ø Þ Ð ÓØ ÐØ D t v + ˆBv = F v =, ÓÐ ˆBv = Bv+u º Ð Ø Ø ÞÓÐÒÙÒ Þ ½º º Ø Ø Ð Ð Ô Òµ Ó Ý ˆB: X X ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ó Ö Ø Ú Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ù Ó Ý Ó Ö Ø Ú Ø Ú Ø Ð Ú Ð B ÓÔ Ö ØÓÖ ØÙÐ ÓÒ Ø Ö Ð Ò ˆB¹Ö º ÓÖÐ ØÓ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Þ Ò Ý X¹ Ð ÓÖÐ ØÓ ÐÑ Þ u ¹Ð Ð Ú Ð ÐØÓÐØ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÐÝ Ø B ÓÖÐ ØÓ X ¹ Ð ÐÑ Þ Ô Þº Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÒØ Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º Í Ý Ò v k v X¹ Ò ÓÖ v k +u v+u X¹ Òº ÓÖ B Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ Bv k + u Bv + u Ý Ò Ò X ¹ Òº Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø ÓÞ Ø ÒØ Ò Ý v k ÓÖÓÞ ØÓØ Ñ ÐÝÖ v k v Ý Ò Ò X¹ Ò D t v k D t v Ý Ò Ò X ¹ Ò Ú Ð Ñ ÒØ º½ µ limsu[ ˆBv k,v k v. k Å Ò Þ Ý Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý v k + u v + u Ý Ò Ò X¹ Ò D t v k + u D t v + u Ý Ò Ò X ¹ Ò ØÓÚ lim su[bv k + u,v k + u v + u. k ÓÖ B Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø Ñ ØØ Þ Ð limsu Ú Ð Ò Ð Ñ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò ÐÝ ØØ Ý ÒÐ ÐÐ ÒÒ Ý º½ µ¹ Ò Þ Ø Ð ÐÒ º Þ Ò Ú Ð B Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ Ø Ð Þ Ú Ø Þ Ó Ý Bv k + u Bv + u Ý Ò Ò X ¹ Ò Ñ Þ Ú Ð ˆBvk ˆBv Ý Ò Ò X ¹ Òº Ì Ø ˆB Ú Ð Ò Ô Þ Ù ÓÑÓÒÓØÓÒ DL¹Ö Ò ÞÚ º º½ µ ÈÖ Ð ÓÞÞÙÒ ÑÓ Ø Ó Ö Ø Ú Ø ÞÓÐ Ú Ð Î Ý ÞÖ Ð ÞÒ ÐÚ º µ¹ ص Ó Ý [ ˆBv,v v X = v + u X v X v + u X v X [ ˆBv,v = v + u [ X [Bv + u,v + u [Bv + u,u v + u X v X v + u X v + u X [ g 2 v + u v + u 1 X k 2v + u L1 v + u X Bv + u X u X v + u X. ¾
29 À v + u X ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò v X v + u X 1 Ý Ó ÓÐ ÐÓÒ Þ Ð v X Ø ÒÝ Þ Ò Ú Ø Ò Ñ ÓÐÝ ÓÐ ØÓÚ Ñ ØØ Ñ Ó Ø ÒÝ Þ Ð Ø Ø + ¹ Þ Ø Öغ ÖÑ Ø Ò Ý Ö Ò Ö Ð Ð Ö Ò Þ Ö Ò Ñ ØÙ ÙÒ ÑÑ Ø ÞÓÒ Ò º µ Ð Ô Ò Ð Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý q = 1µ Bv + u X u X const g 1 v + u v + u 2 X v + u + k 1v + u L q u X. X v + u X Þ Ð ÒÒ Þ ÑÙÒ Ö Ñ Ð Ð ÒØ Þ Ð Ò Ø ÖØ Ò + ¹ Þ Ñ ÒØ º½ µ Ó ÓÐ Ð Ò ÐÐ Ð Ø Ø Þ º ÒÒ Ð Ô Ò Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ð ÐØ Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý Þ ½ ÐØ Ø Ð Ò Ò ÐØ g 1, k 1, g 2, k 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ø Ð ÐÒ Þ Ð Þ º Ä Ø Þ C 2 > ÓÒ Ø Ò Ñ ÐÝÖ g 2 v C 2 Ñ Ò Ò v L,T;V ¹Ö ØÓÚ º½ µ lim v L,T;V g 1 v =, v L,T;V º½ µ º½ µ k 1 v Lq Q lim T v L,T;V v =, L,T;V k 2 v L1 Q lim T v L,T;V v =. L,T;V º º ýðð Ø º Ì Ý Ð Ó Ý Ø Ð ÐÒ Þ ½ ÐØ Ø Ð º ÓÖ Ø Ø Þ Ð F X u V Ø Ò D t u + Bu = F u = u ÞØÖ Ø Ð ØÒ Ú Ò u W 1,,T;V,H Ñ ÓÐ º ÞÓÒÝ Ø º Þ Ð Ð Ô Ò Ñ Ö ˆB ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ö Ø Ú Ø Ø ÐÐ ÞÓÐÒÙÒ º Ë Ø Þ Ú Ð Ó Ó Ý Þ Ð Ò Ð ØÒÙÒ Ó Ý v X Ø Ò g 2 v v 1 X k 2v L1 const g 1 v v 2 X v + k 1v Lq. X v X Ñ Ð Ò ÒØ Þ Ð v 1 X ¹ Ø [ v 1 X g 2 v k 2v L1 v const X g1 v + k 1v Lq v X v X Þ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ v X Ø Ò Þ Ð Ø Þ Ö Ð Ò Ð Ú Þ g 2 ¹Ø Ú Ú ¼¹ ÓÞ Ø ÖØ Ò ØÓÚ g 2 v C 2 Ú Ø Þ ÔÔ Ò Þ Þ Þ + ¹ Þ Ø Öغ Ì Ø ˆB Ú Ð Ò Ó Ö Ø Ú ÞÞ Ð Þ ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Þº º¾º È Ð Ò Ö Þ Ò Þ a l i Ý ØØ Ø Ú ÒÝ Ö ÑÙØ ØÙÒ Ô Ð Øº Ð Þ Ö Ý ÐØ Ð ÒÓ Ð Ò Ð ÖØ Ô Ð Ø ÙÒ Ñ ÐÝÖ Ð Ð Ø Ù Ó Ý Ñ Ð Ð ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ö Ò Ð Þ Þ Ð Þ Ö Þ Ò Ñ Ñ ÖØ ½ ØÙÐ ÓÒ Ó Ðº ÞØ Ú Ø Ò Þ ÐØ Ð ÒÓ Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ú ÒÝ Ö ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö ÙÒ ÓÒ Ö Ø Ô Ð Øº ¾
30 º¾º½º ýðø Ð ÒÓ Ø º½ µ º¾¼µ Ì Ý Ð Ó Ý Þ a l i i =,...,n; l = 1,...,N Ú ÒÝ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò ÞÒ a l i t,x,ζ,ζ;v = [H l vt,xb l i t,x,ζ,ζ + [G l vt,xd l i t,x,ζ,ζ, i, a l t,x,ζ,ζ;v = [H l vt,xb l t,x,ζ,ζ + [G l vt,xdl t,x,ζ,ζ, ÓÐ b l i,d l i,h l,g l,g l Ú ÒÝ Ðк ÓÔ Ö ØÓÖÓ Þ Ð ÐØ Ø Ð Ò Ø ÞÒ Ð Øº ýº Ì Ý Ð Ó Ý b l i : R n+1n R d l i : R n+1n R Ú ÒÝ Ø Ð Ø Ö Ø Ó ÓÖݹ Ð ÐØ Ø Ð Øº Þ Þ Ñ Ö Ø t,x¹ Ò Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ ζ,ζ¹ Ò ÑºÑº t,x Ø Ò i =,...,n; l = 1,...,Nµº þº Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø ÞÒ c 1 > r < 1 ÓÒ Ø Ò Ó k 1 L q Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö µ b l i t,x,ζ,ζ c 1 ζ 1 + ζ 1 + k 1 x µ d l i t,x,ζ,ζ c 1 ζ r + ζ r ѺѺ t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö i =,...,n; l = 1,...,Nµº à º Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ζ η R nn Ø Ò µ µ b l i t,x,ζ,ζ b l i t,x,ζ,η ζ l i η l i > d l i t,x,ζ,ζ d l i t,x,ζ,η ζ l i η l i ѺѺ t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ R N ¹Ö l = 1,...,Nº à º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ c 2 > ÓÒ Ø Ò k 2 L 1 Ú ÒÝ Ý Ó Ý µ µ i= b l i t,x,ζ,ζζ l i c 2 ζ l + ζ l k 2 x d l i t,x,ζ,ζζ l i ѺѺ t,x ¹Ö Ñ Ò Ò ζ,ζ R n+1n ¹Ö l = 1,...,Nº à º µ Ì Ý Ð Ó Ý H l : L,T;L N L ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÖ Ø Ð Ð Ø ÓÐÝ Ò c 3 > ÓÒ Ø Ò Ó Ý Ñ Ò Ò v L,T;L N Ø Ò [H l vt,x c 3 Ø Ð Ð ÑºÑº t,x ¹Ö l = 1,...,Nµº µ Ì Ý Ð Ó Ý G l,g l : L,T;L N L 1 r QT ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖÓ ÓÐ r þ» ¹ Ò Ò ÐØ ÓÒ Ø Ò º ÌÓÚ Ñ Ò Ò v L,T;L N Ø Ò [G l vt,x ѺѺ t,x ¹Ö l = 1,...,N Ø Ò [G l vt,x 1 r dtdx Q º¾½µ lim T v L,T;V v =. L,T;V º º ýðð Ø º À Ø Ð ÐÒ Ã½ à ÐØ Ø Ð ÓÖ º½ µ º¾¼µ Ú ÒÝ Ð Ø Þ ½ ÐØ Ø Ð Øº ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Þ Ò Ú Ò Ý Ø Ò ÐÐ ò Ð ÑÑ Ö Ð Þ Ö ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ù º ¼
31 º º Ä ÑÑ º Î Þ Ú Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø [H vt,x := [G vt,x := [G vt,x := [H l vt,x, [G l vt,x, [G l vt,x. ÓÖ H, G G ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ò Ö Ø Ð Ø Ã ¹ Ò H l ¹Ö G l ¹Ö G l ¹Ö Þ ÓØØ ÐØ Ø Ð Øº ÞÓÒÝ Ø º º Ð ÑÑ º Ý Ð º¾½µ Þ Ø Ð Ð Ò Ñ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º Þ Ú ÞÓÒØ Ú Ø Þ Ð Ó Ý Þ ÒØ Ö Ò Ù Ø Ð Ø Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð Ý Ø ÓÒ ÒØ Ú Ú Ð Ñ ÞØ Ø Ö ÖØ Ú Ð Ò ¼º ÞÓÒÝ Ø º º ÐÐ Ø º ½ ÐØ Ø Ðº ý ØÙÐ ÓÒ Ñ ØØ ÒÝ ÐÚ Ò Ø Ð ÐÒ Þ ½¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ö Ø Ó ÓÖݹ ÐØ Ø Ð º ¾ ÐØ Ø Ðº Ä Ý Ò i > Ð Þ Ö < r < 1º ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý [H l vt,xb l i t,x,ζ,ζ H v L c1 ζ 1 + ζ 1 + k 1 x. Å Ö ÞØ ÓÙÒ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø 1 < 1 = 1 r Ð ÐÑ ÞÚ < q 1 = 1 1 r ÓÒ Ù ÐØ Ø Ú Ð º¾¾µ [G l vt,xd l i t,x,ζ,ζ [G vt,xd l i t,x,ζ,ζ dl i t,x,ζ,ζ 1 + [G vt,x q1. 1 q 1 ÌÓÚ ÐÚ Ã¾» Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ú Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý º¾ µ [G l vt,xd l i t,x,ζ,ζ const ζ r1 + ζ r1 + [Gvt,x q1 = = const ζ 1 + ζ 1 + [G vt,x q1. ÒØ Ð Ø Þ Ú ØÚ º¾ µ a l i t,x,ζ,ζ;v const [ H v L + 1 ζ 1 + ζ 1 + H v L k 1 x + [G vt,x q1 º ÁØØ H ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÐ ØÓ Þ X Y ÓÐÝØÓÒÓ Ý Þ Ñ ØØ H L ÓÖÐ ØÓ X R + ÙÒ ÓÒ Ðº Å Ö ÞØ k 1 L q ÓÐÝØ Ò H L k 1 ÓÖÐ ØÓ X L q ÓÔ Ö ØÓÖº Î Ý ÞÖ ÞØ Ó Ý q 1 q = 1 r Ý º¾ µ [G vt,x q1 q dtdx = [G vt,x 1 r dtdx = G 1 r v. L 1 r Þ Ú ÞÓÒØ G ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý G q1 ÓÖÐ ØÓ X L q ÓÔ Ö ØÓÖº ÅÓ Ø Ò ÞÞ Þ r = Ø Ø Î Ý ÞÖ Ó Ý ÓÖ q 1 = 1 Þ Ò Ú Ð Ã¾» ¹ Ð Ú Ø Þ Ò d l i t,x,ζ,ζ 2c 1 º Ý Ò Þ Ø Ò Þ Ý º¾ µ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ö µ Ð [G l vt,xd l i t,x,ζ,ζ const [G vt,x q1. ½
32 ÒØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø ÞÒ ÐÚ Þ r = Ø Ò Þ º¾ µ Ð Ý ÞÓÒÝ Ø Þ Ð Ö Þ Þ ÓÒÐ Ò Þ Ø º ÞÞ Ð Þ i > Ø Ò Ð ØØÙ Þ ¾ ØÙÐ ÓÒ Óغ Þ i = Ø ÞÓÒÝ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Ù Ý Ò Þ G ÐÝ ØØ G Þ Ö Ô Ðº ÐØ Ø Ðº À ÞÒ Ð Ù Ð G l Ò ÑÒ Ø Ú Ø Ø H l ÔÓÞ Ø Ú Ø Ø Ã ÐØ Ø ÐØ ÓÖ Ø Ø Þ Ð ζ η R nn Ø Ò a l i t,x,ζ,ζ;v a l i t,x,ζ,η;v ζ l i η l i = = [H l vt,x b l i t,x,ζ,ζ b l i t,x,ζ,η ζ l i η l i + + [G l vt,x d l i t,x,ζ,ζ d l i t,x,ζ,η ζ l i η l i >. ÐØ Ø Ðº Ý Ð Ñ Ú Ú Ã Ã ÐØ Ø Ð Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý º¾ µ i= a l i t,x,ζ,ζ;vζ l i = + [G l vt,x [H l vt,x d l i t,x,ζ,ζζ l i + [ c 3 c 2 ζ l + ζ l c 3 k 2 x + i= c 3c 2 N 1 ζ + ζ c 3 Nk 2 x + b l i t,x,ζ,ζζ l i + [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l. ÁØØ Þ ÙØÓÐ Ð Ô Ò Þ ½º½µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø ÞÒ ÐØÙ º Ä Ý Ò c = c 3c 2 > Ú Þ Ð Ù N 1 ÒØ Ý ÒÐ Ó ÓÐ Ð Ò ÐÐ ÞÙÑÑ Øº Ð ÐÑ ÞÞÙ Þ ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø, q Ø Ú Ð ÓÖ Ô Ù Ó Ý [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l [G vt,xd l t,x,ζ,ζζ l ε ζl + ε q q [G vt,xd l t,x,ζ,ζ q. Ä Ý Ò ε > Ñ ÐÝÖ ε c 3N ÓÖ Þ Ð Ø Ð Ð ÓÖ Ñ ÒØ c 3N ζ + ζ º Ñ Ó Ø Ò Ô Þ ε¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø µ > Ñ Ø ÖÓÞ Ò µ Þ ÑÑ Ð ÓÖ Ò Þ ¾ ÐØ Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Òµ Ú Þ Ø ØØ 1, q 1 Ø Ú Ð Ð ÐÑ ÞÚ º¾¾µ º¾ µ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ú Ø Þ Ð [G l vt,xdl t,x,ζ,ζ q const µ 1 ζ 1 + ζ 1 + µ q1 [G vt,x q1 q c µ 1q ζ + ζ + c µ q1q [G vt,x q1q. Î Ð ÞÙ µ¹ø Ý Ó Ý c µ 1q ε q q c 3N Ø Ð Ð Òº ÓÖ Þ Ð Þ Ø Ð Ð Ó Ý [G l vt,xdl t,x,ζ,ζζ l c 3N ζ + ζ + d [G vt,x q1q. ÞØ º¾ µ¹ ÐÝ ØØ ØÚ º¾ µ i= a l i t,x,ζ,ζ;vζ l i c 3 ζ + ζ c 3 Nk 2 x + Nd [G vt,x q1q }{{} =: [hvt,x ¾
33 ÓÐ º¾ µ¹ Ð k 2 L 1 ¹ е Ú Ø Þ Ò hv L 1 º Ê ÙÐ hv L1 c 3 NT k 2 L1 + Nd [G vt,x 1 r dtdx. Å Ú Ð Ð ÑÑ Þ Ö ÒØ G ØÓÚ º¾ µ ÓÖÐ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝ Ø Ð Ø º¾½µ Þ Ø Ý h ÓÖÐ ØÓ hv L1 Q lim T v X v =, X Þ ÖØ c lim v v 1 X X 3 hv L1 c v = lim X v X 3 v 1 X = +. ÞÞ Ð Þ ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ð ØØÙ º ÐØ Ø Ðº Ä Ý Ò i > < r < 1º Ì Ý Ð Ó Ý u k u Ý Ò Ò X¹ Ò ÒÓÖÑ Þ Ö ÒØ Y ¹ Òº ÓÖ Ô Ö Þ u k ÓÖÐ ØÓ X¹ Òº Ý Ã¾» Ñ ØØ b l i,u k,du k k N ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ Ø L q ¹ Ò Ù Ý Ò ¾º µ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ð Ø Ø Ó Ý b l i t,x,u k t,x,du k t,x q dtdx [ const u k t,x 1q + Du k t,x 1q + k 1 x q dtdx Î Ý ÞÖ ÞØ Ó Ý Ñ ØØ d l i,u k,du k k N d l i t,x,u k t,x,du k t,x r dtdx const u k X + T k 1 q L q K. ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ Ø L r ¹ Ò Þ Ò Ã¾» [ u k t,x r r + Duk t,x r r dtdx = u k X M. Þ Ð Ô Ò ÝÖ ÞØ [H l u k t,x [H l ut,x b l i t,x,u k t,x,du k t,x q dtdx H l u k H l u q L b l i t,x,u k t,x,du k t,x q dtdx K H l u k H l u L k, Ð ÞÒ ÐÚ H l ÓÐÝØÓÒÓ Ø u k Y ¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Øµº Å Ö ÞÖ Ð 1, q 1 Ø Ú Ð Ð Þ ¾ ÐØ Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Òµ Ð ÐÑ ÞÓØØ À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ö ÒØ [G l u k t,x [G l ut,x d l i t,x,u k t,x,du k t,x q dtdx d l i t,x,u k t,x,du k t,x 1 1 r 1 1 dtdx [G l u k t,x [G l ut,x r dtdx 1 M 1 1 G l u k G l u q 1 1 r L 1 r Þ Ò G l ÓÐÝØÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ u k ÓÒÚ Ö Ò Y ¹ Òµº Å Ò Þ Ô ÞØ Ð ÒØ Ó Ý k, º¾ µ a l i,u k,du k ;u k a l i,u k,du k ;u L q H l u k H l ub l i,u k,du k L q + + G l u k G l ud l i,u k,du k L q k.
34 À r = ÓÖ º¾ µ Ó ÓÐ Ð Ò Þ Ð Ø ØÓÚ Ö ¼¹ ÓÞ Ø Öغ Ñ Ø Ô ÙØÓÑ Ø Ù Ò ¹ ÓÞ Ø ÖØ Þ Ò ÓÖ 1 r = 1 = q Ú Ý G ÓÔ Ö ØÓÖ Lq ¹ Ô Þ ÓÐÝØÓÒÓ Òµ d l i t,x,ζ,ζ 2c 1 Ý G l u k G l ud l i,u k,du k L q 2c 1 G l u k G l u L q k. Ì ÖÑ Þ Ø Ò i = Ø Ò ÓÒÐ Þ G l ÐÝ ØØ G l ¹Ð к Þ ÔÔ Ò Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÖØÙÒ º ÞÞ Ð º º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Þº ÅÓ Ø Ú Þ Ð Ù Ñ Ú ÓÒ Þ ÐØ Ø ÐØ Ø Ð Ø ¹ ÒØ ÐØ Ð ÒÓ Ô Ð º Ð Þ Ö Ú Ý ÞÖ º¾ µ º¾ µ Ð Ô Òµ Ó Ý ÑÓ Ø g 1 v = H v L + 1 g 2 v = c 3 ØÓÚ k 1 v = H v L k 1 x + [G vt,x q1 + [G vt,x q1 k 2 v = hvº ÁØØ k 1 ¹ Þ ÖØ Ö ÐØ Ð G Ñ ÖØ º¾ µ Þ i Ø Ò ÖÚ ÒÝ i = Ø Ò G ÐÝ ØØ G Þ Ö Ô Ðºµ Þ Ð Ð Ô Ò Þ ÐØ Ø Ð g 2 ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Þ ÒÝ ÐÚ Ò Ø Ð Ðº Ë Ø k 2 ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ º½ µ ÐØ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Þ Ò ÔÔ Ò ÞØ ÑÓÒ º¾ µº g 1 ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐØ Ø Ð Þ ÒÝ ÐÚ Ò Ð Ò ÐØ ÒÒ Ò Ó Ý Ñ Ò Ò l¹ö º ¼µ H l v L lim =. v L,T;V v L,T;V k 1 ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ º½ µ ÐØ Ø Ð ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ Øص Ð Ò Ø ÓÒ ÒØ Ø Ð Ðº Þ Ð Ø Ö ÒÒ ÐÐ º½ µ Þ Ö º ¼µ Ø Ð Ðº Å Ú Ð G v q1 Lq = G v qq1 1 q L 1 Ý q > 1 º¾ µ Ñ ØØ k 1¹ Ò Þ ÙØÓÐ Ø Ø Ð Ø º½ µ¹ غ Ñ Ó Ø Ø Ð Ø ÐØ Þ Ó Ý G ¹Ö ÒÒ ÐÐ º¾½µº Å Þ Ú Ð Ð Ò Ñ Ò Ò l¹ö G l Ø Ð Ø º¾½µ¹ غ Î Ö Ñ ÒÝ Ò Þ ÐØ Ø Ð H l G l ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ö Ð ÒØ ÔÐÙ Þ ÐØ Ø Ðغ º¾º¾º ÃÓÒ Ö Ø Ô Ð H l ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ä Ý Ò φ: R R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ Ð Ø Þ c > ÓÒ Ø Ò Ý Ó Ý φτ c Ñ Ò Ò τ R Ø Òº ÖØ ÐÑ ÞÞ L,T;L N ¹Ò Þ Ð ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø [ H 1 vt,x := φ b j τ,ξv j τ,ξdτ dξ, ÓÐ b j L q 1 j N, [ H 2 vt,x := φ [ Q t j=1 Q t vτ,ξ α dτ dξ 1 α, ÓÐ < α. º º ýðð Ø º ÒØ H1 H 2 ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø Ð Ø Ã» ÐØ Ø Ðغ ÞÓÒÝ Ø º Æ ÞÞ Ð Þ Ö H 1 ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Øº À Ð Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ b j v j L 1 Ú Ý H 1 Ð Ò ÐØ ÒÝ ÐÚ Ò H 1 v c > º Å Ö ÞØ v Y K Ø Ò b j v j Q t b j v j K b j L q, j=1 j=1 Ñ Ð φ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ Ú Ø Þ Ó Ý H 1 Ú Ð Ò L ¹ Ô Þ ÓÖÐ ØÓ º Þ Ò ¹ Ú Ð v k v L,T;L N ¹ Ò ÓÖ b j v j 1 1 k b j v j Q t Q t b j q q v j k v j, QT j=1 j=1 j=1 j=1
Nevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
SīkākCOMBO LIFE
COMBO LIFE Opel COMBO LIFE Combo Life Pārnesumkārba kw ZS CO 2 izmeši (g/km) WLTP L1H1 L1H1 L2H1 1.2 Turbo ECOTEC Start/Stop 0DL26 EH61 / XIAA M6 81 110 157 1.5 DT ECOTEC Start/Stop 0DL26 HE51 / XIAA M5
SīkākTirgus dal bnieka nosaukums: Ieguld jumu p rvaldes akciju sabiedr ba "Finasta Asset Management" Kods: 100 Invalda konservativais ieguldijumu plans 1.
Tirgus dal bnieka nosaukums: p rvaldes akciju sabiedr ba "Finasta Asset Management" 1. pielikums Finanšu un kapit la tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 UPDK 0651293 J iesniedz Finanšu un
SīkākTirgus dalībnieka nosaukums: DNB Asset Management Kods: 241 DNB Konservativais ieguldijumu plans 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.
Tirgus dalībnieka nosaukums: DNB Asset Management 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 līdz 15. aprīlim, 15. jūlijam, 15. oktobrim un 15. janvārim Ieguldījumu
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
Sīkāk(Microsoft Word - Retransl\347jamo%20programmu%20saraksts,%202014[1].doc)
Retranslācijas atļajas Nr. RR-19 pielikms Nr. 1 Retranslējamo programm saraksts Nr. p.k. Programmas nosakms Tematiskā ievirze Valoda Izplatīšana s laiks Jrisdikcija Programmas tiesīb īpašnieks / tiesīb
SīkākPowerPoint Presentation
Ultraplatjoslas (UWB) radaru sensoru signālu apstrāde objektu izsekošanai VPP SOPHIS GUDPILS UWB sensoru (radaru) grupa Rolands Šāvelis Pētnieks Elektronikas un datorzinātņu institūts 1 UWB sensoru signālu
SīkākFORD ECOSPORT Spēkā no Dzinējs, transmisija Aprīkojums Degviela CO 2 (g/km) Cena, EUR ar PVN Atlaide Akcijas cena, EUR ar PVN 1,0l EcoBoos
Dzinējs, transmisija Aprīkojums Degviela CO 2 (g/km) ar PVN Atlaide Akcijas cena, EUR 1,0l EcoBoost 125 ZS M6 Trend Benzīns 119 17.880 2.040 15.840 1,0l EcoBoost 125 ZS A6 Trend Benzīns 134 19.270 2.120
Sīkāk(Microsoft Word - Retransl\347jamo programmu izv\347les koncepcija Elektrons&K 2015, febru\342ris)
Retranslācijas atļaujas Nr. RR-12 pielikums Nr.1 Retranslējamo programmu saraksts N. p.k. Programmas nosaukums Tematiskā ievirze Valoda Izplatīšanas laiks Jurisdikcija Programmas tiesību īpašnieks/tiesību
SīkākTirgus dalībnieka nosaukums: NORVIK ieguldījumu pārvaldes sabiedrība 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas noteikumiem Nr. 125
Tirgus dalībnieka nosaukums: NORVIK ieguldījumu pārvaldes sabiedrība 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 līdz 15. aprīlim, 15. jūlijam, 15. oktobrim un 15.
SīkākMicrosoft Word - L.A.T., 2015.
N. p.k. Programmas nosaukums 1. Pirmais Baltijas kanāls 2. NTV Mir Baltic 3. REN TV Baltic RETRANSLĀCIJAS ATĻAUJAS Nr. RR - 39 pielikums Retranslējamo programmu saraksts Tematiskā ievirze Valoda Izplatīšanas
SīkākAPSTIPRINU VAS Starptautiskā lidosta Rīga Valdes priekšsēdētāja Ilona Līce (vārds, uzvārds) [personiskais paraksts] ) GROZĪJUMI Nr.1 Cenu a
APSTIPRINU Starptautisā lidosta Rīga Valdes priešsēdētāja Ilona Līce (vārds, uzvārds) [personisais parasts] 16.11.2018.) GROZĪJUMI Nr.1 Cenu aptaujas Lidostas transportlīdzeļu KASKO apdrošināšana (Identifiācs
SīkākTirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārval
Tirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārvaldīšanas pārskatu sagatavošanas noteikumu" 1. Pielikums
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
SīkākPacket Core Network 2018
Packet Core Network 2018 Training Program Core Learning Levels & Areas Packet Core Fundamentals Operation, Configuration and Troubleshooting Delta Training Solution Training 5G EPC 5G Core 494/22109-FAP130506
SīkākVacon 100 FLOW Application Manual
vacon 100 flow FREKVENCES PĀRVEIDOTĀJI LIETOŠANAS ROKASGRĀMATA PRIEKŠVĀRDS VACON 3 PRIEKŠVĀRDS Dokumenta ID: DPD01525E Datums: 18.3.2016 Programmatūras versija: FW0159V013 PAR ŠO ROKASGRĀMATU Šīs rokasgrāmatas
Sīkāk(Microsoft Word - Koncepcija_ElektronsS,%20preciz\347jumi%202014[1].doc)
Retranslācijas atļaujas Nr. RR-29 pielikums Nr. 1 Retranslējamo programmu saraksts Programmas nosaukums Tematiskā ievirze Valoda Izplatīšanas laiks Jurisdikcija Programmas tiesību īpašnieks/tiesību īpašnieka
SīkākInformatīvo spektra joslu izvēle hiperspektrālo attēlu klasifikācijai
Informatīvo spektra joslu zvēle hperspektrālo attēlu klasfkācja Mg.math. Jurs Sņca Sņavsks Dr.habl.math. Avars Lorencs Dr.sc.comp. Ints Medneks VPP projekta Nr.4 "GUDPILS" semnārs par 2. etapa rezultātem
SīkākApgaismes produktu izpārdošanas cenas 2019
Ielu gaismeklis 1x250W E40 IP65 HORNET 250S Montāžas metode: No augšas/sāniem Spuldze: Augstspiediena nātrija spuldze Spuldzes turētājs: E40 Nosegvāka materiāls: Plastmass matēts Staba augšas diametrs:
SīkākKia Niro HEV MY20 Cenu lapa KIA Niro HEV MY20 ĀTRĀS SAITES Piedziņa Dzinējs Pārnesumu kārba Komplektācija Cena 4x2 1.6 GDI 6DCT Automātiskā LX
Cenu lapa KIA Niro HEV MY20 ĀTRĀS SAITES Piedziņa Dzinējs Pārnesumu kārba Komplektācija Cena 4x2 1.6 GDI 6DCT Automātiskā LX 23 490 4x2 1.6 GDI 6DCT Automātiskā EX 26 990 4x2 1.6 GDI 6DCT Automātiskā TX
SīkākTirgus dalībnieka nosaukums: IPAS "DnB NORD Fondi" Kods: 241 Aktivais ieguldijumu plans DnB NORD 3 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 1
Tirgus dalībnieka nosaukums: IPAS "DnB NORD Fondi" Kods: 241 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 UPDK 0651293 Jāiesniedz Finanšu un kapitāla tirgus komisijai
SīkākKia Niro HEV MY20 Cenu lapa KIA Niro HEV MY20 ĀTRĀS SAITES Piedziņa Dzinējs Pārnesumu kārba Komplektācija Cena 4x2 1.6 GDI 6DCT Automātiskā LX
Cenu lapa KIA Niro HEV MY20 ĀTRĀS SAITES Piedziņa Dzinējs Pārnesumu kārba Komplektācija Cena 4x2 1.6 GDI 6DCT Automātiskā LX 23 490 4x2 1.6 GDI 6DCT Automātiskā EX 26 990 4x2 1.6 GDI 6DCT Automātiskā TX
SīkākTirgus dalībnieka nosaukums: IPAS "DnB NORD Fondi" Kods: 241 Sabalansetais ieguldijumu plans DnB NORD 2 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisi
Tirgus dalībnieka nosaukums: IPAS "DnB NORD Fondi" Kods: 241 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 UPDK 0651293 Jāiesniedz Finanšu un kapitāla tirgus komisijai
SīkākOPEL Corsavan
OPEL Corsavan Opel Corsa 1 1.2 TWINPORT ECOTEC 51 kw/7 Z 1. TWINPORT ECOTEC 55 kw/75 Z 1. ECOTEC 66 kw/9 Z 1. ECOTEC tart/top 66 kw/9 Z Pārnesumkārba 1 338 1 5 1 73 11 51 Dīzeļdegviela 55 kw/75 Z tart/top
SīkākOPEL Corsavan
OPEL Corsavan Opel Corsa 1 1.2 TWINPORT ECOTEC 51 kw/7 Z 1. TWINPORT ECOTEC 55 kw/75 Z 1. ECOTEC 66 kw/9 Z 1. ECOTEC tart/top 66 kw/9 Z Pārnesumkārba 1 338 1 5 1 73 11 51 Dīzeļdegviela 55 kw/75 Z tart/top
Sīkākuntitled
Luonnos 190307 Stora Enso WoodPax ēvelēti kokmateriāli būvniecībai un Stora Enso WoodPax ēvelēti kokmateriāli būvniecībai un WoodPax izstrādājumu sērija piedāvā Tev uzstādīšanai gatavus ēvelētus kokmateriālus:
SīkākKablolar ve Adaptörler Ürün Marka Stok Fiyat INCA IPW-15TP POWER KABLO 1,5 METRE Inca 10+ 2,10 USD INCA IPR-01 USB 2.0 YAZICI KABLOSU+ASKILI (1.5MT) I
Kablolar ve Adaptörler Ürün Marka Stok Fiyat INCA IPW-15TP POWER KABLO 1,5 METRE Inca 10+ 2,10 USD INCA IPR-01 USB 2.0 YAZICI KABLOSU+ASKILI (1.5MT) Inca 10+ 3,15 USD INCA IMHD-15T HDMI KABLO 1,8 METRE
SīkākKablolar ve Adaptörler Ürün Marka Stok Fiyat INCA IMHD-15T HDMI KABLO 1,8 METRE Inca 1 3,15 USD DIGITUS USB UZATMA KABLOSU 1.8MT(AK S) Digi
Kablolar ve Adaptörler Ürün Marka Stok Fiyat INCA IMHD-15T HDMI KABLO 1,8 METRE Inca 1 3,15 USD DIGITUS USB UZATMA KABLOSU 1.8MT(AK-300200-018-S) Digitus 3 3,68 USD INCA INPW-06TP NOTEBOOK POWER KABLO
SīkākTirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārval
Tirgus dalībnieka nosaukums: "Parex Asset Management" Ieguldījumu pārvaldes akciju sabiedrība Kods: 098 "Valsts fondēto pensiju shēmas līdzekļu pārvaldīšanas pārskatu sagatavošanas noteikumu" 1. Pielikums
Sīkāk/Logo/ UAB GEOBALTIC Savanoriu 11A-76, LT Viļņa, Lietuva, tel: , web: KARJERĀ TŪRKALNE
/Logo/ UAB GEOBALTIC Savanoriu 11A-76, LT-03116 Viļņa, Lietuva, tel: +370 699 54953, e-mail: info@geobaltic.lt, web: www.geobaltic.lt KARJERĀ TŪRKALNE DOLOMĪTA SPRIDZINĀŠANAS LAIKĀ IZRAISĪTO SVĀRSTĪBU
SīkākEnvironment. Technology. Resorces 1999 LITERATŪRA 1. Bankovskis P. Ekoloģijas makdonalds vai bruņinieku ordenis //Diena - SestDiena. i aug. 2.
LITERATŪRA 1. Bankovskis P. Ekoloģijas makdonalds vai bruņinieku ordenis //Diena - SestDiena. i 995. 12.aug. 2. Bērziņa I. Ceļā uz ekoloģisko kultūru //Vide. Nr.2. - 1991. 3. Bojārs J. Starptautiskās tiesības.
Sīkāk[Type here] Būvniecības ieceres 2017.gadā. Paskaidrojuma raksti, apliecinājuma kartes, tehniskās shēmas Nr. p.p. Iesnieguma datums Lietas Nr
Būvniecības ieceres 2017.gadā. Paskaidrojuma raksti, apliecinājuma kartes, tehniskās shēmas Nr. p.p. esnieguma datums Lietas Nr. 1. 03.01.2017. 3.5.10/01-PR2017 BS-23664-173 2. 06.01.2017. 3.5.10/02-PR2017
SīkākNr. p.k.* Transporta līdzekļa marka / modelis Transporta līdzekļa veids Valsts Reģ. Nr. saraksts un sākuma cenas izsolei Stopiņu novada Lī
1 FIAT DOBLO Kravas transporta HA8036 2008 1368 Benzīns 95 159 724 2 (slikts) 1 000.00 826.45 TEC-2, Acone, 2 FIAT DOBLO Kravas transporta HA8085 2008 1368 Benzīns 95 167 599 3 (viduvējs) 1 700.00 1404.96
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākKŪDRAS ĪPAŠĪBU PĒTĪJUMI DAŽĀDI IETEKMĒTAJĀS LAUGAS PURVA TERITORIJĀS
KŪDRAS ĪPAŠĪBU IZMAIŅAS DABAS APSTĀKĻU UN CILVĒKA DARBĪBAS IETEKMES REZULTĀTĀ Laimdota KALNIŅA 1,5, Jānis Dreimanis 1, Ilze OZOLA 2, Elīza PLATPĪRE 1,2, ReInis BITENIEKS 1, Inārs DREIMANIS 3, Ingrīda KRĪGERE
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
Sīkāk2013 Finanšu pārskats
2013 2 Neatkarīgo revidentu ziņojums akcionāriem Ziņojums par finanšu pārskatiem Esam veikuši auditu klāt pievienotajiem ( Uzņēmums ) finanšu pārskatiem, kas sastāv no 2013.gada 31.decembra bilances, ienākumu
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
SīkākPalyginamasis ekspertinis vertinimas (PEV). Vertinami vienoje mokslo srityje veikiantys institucijos vertinamieji vienetai (VV). Kriterijai MTEP kokyb
Palyginamasis ekspertinis vertinimas (PEV). Vertinami vienoje mokslo srityje veikiantys institucijos vertinamieji vienetai (VV). Kriterijai MTEP kokybė (svoris,65), MTEP socio-ekonominis poveikis (,2),
SīkākMicrosoft Word - Noteikumi_Dizaina pakalpojumi_
VAS STARPTAUTISKĀ LIDOSTA RĪGA Tirgus izpētes Dizaina pakalpojumu sniegšana VAS Starptautiskā lidosta Rīgā (Identifikācijas Nr. TI-13/60) NOTEIKUMI M rupes novad 1. VISPĀRĪGĀ INFORMĀCIJA 1.1. Pasūtītājs
Sīkāk[Type here] Būvniecības ieceres 2016.gadā. Paskaidrojuma raksti un apliecinājuma kartes Nr. p.p. Iesnieguma datums Lietas Nr /01-
Būvniecības ieceres 2016.gadā. Paskaidrojuma raksti un apliecinājuma kartes Nr. p.p. esnieguma datums Lietas Nr. 1. 15.01.2016 3.5.10/01-PR2016 BS-955-6 2. 19.01.2016 3.5.11/01-AK2016 BS-1041-7 3. 09.02.2016
SīkākC instructions Kit 754 Rapid System 480R Rapid Traverse (North America) 480 Traverse (North America) ISO E 1522 CHEVROLET S
C.20110509. 503-1522-02instructions Kit 754 Rapid System 480R Rapid Traverse 480 Traverse ISO 11154-E 1522 CHEVROLET Silverado / Silverado Classic, 2-dr Standard Cab, 99-07 CHEVROLET Silverado / Silverado
SīkākPeriods: Luminor Progresīvais ieguldījumu plāns Ieguldījumu plāna aktīvu un saistību pārskats NETO AKTĪVI ( ) AKTĪVI (01
Periods: 01.04.2018-30.06.2018 Luminor Progresīvais ieguldījumu plāns aktīvu un saistību pārskats NETO AKTĪVI (0500-1500) AKTĪVI (0100+0200+0300+0400) SAISTĪBAS (1000+1200+1300+1400) Finanšu ieguldījumi
SīkākTargocid Art 30 - CHMP Opinion
I pielikums Zāļu nosaukumi, zāļu formas, stiprumi, lietošanas veidi, reģistrācijas apliecības īpašnieki dalībvalstīs 1 Beļģija Beļģija Bulgārija Čehija Čehija Dānija GmbH, Targocid 100 mg Leonard-Bernstein-Straße
SīkākPowerPoint Presentation
2018./2019.m.g. rezultāti un prioritātes 2019./2020.m.g. Daugavpils pilsētas Izglītības pārvaldes vadītāja Marina Isupova 09.07.2019. Mācību gada noslēgums vispārizglītojošo skolu 12.kl.absolventiem Ministru
SīkākTirgus dalībnieka nosaukums: DNB Asset Management Kods: 241 DNB Sabalansetais ieguldijumu plans 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.0
Tirgus dalībnieka nosaukums: DNB Asset Management Kods: 241 1. pielikums Finanšu un kapitāla tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 Jāiesniedz Finanšu un kapitāla tirgus komisijai līdz 15. aprīlim,
SīkākPeriods: Luminor Aktīvais ieguldījumu plāns Ieguldījumu plāna aktīvu un saistību pārskats Uzskaites vērtība iepriekšējā pārskata
Periods: 01.01.2019-31.03.2019 Luminor Aktīvais ieguldījumu plāns aktīvu un saistību pārskats iepriekšējā pārskata gada beigās NETO AKTĪVI (0500-1500) AKTĪVI (0100+0200+0300+0 400) Finanšu ieguldījumi
Sīkāk(Microsoft Word - Retransl\342cijas at\357aujas porgrammu saraksts, 2015., j\373lijs)
Retranslācijas atļaujas Nr.RR-40 pielikums Nr.1 Retranslējamo programmu saraksts N.p.k. Programmas nosaukums Tematiskā ievirze Valoda Izplatīšanas laiks Jurisdikcija Programmas tiesību īpašnieks/tiesību
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
SīkākMicrosoft PowerPoint - IRASA APHP CONSENSUS UZ no ppt [Read-Only] [Compatibility Mode]
Primārs hiperparatireoidisms. Asimptomātisks hiperparatireoidisms. 4 th Consensus Statement: Guidelines for the management of asymptomatic primary hyperparathyroidism Ingvars Rasa LOKMSA prezidents Mob.
SīkākMicrosoft Word - klientiem_lat_ doc
Tagad spēkā esošie tarifi: Tarifi, kuri stāsies spēkā no 7.0.20.: Kontu atvēršana, maksājumi Norēķinu konts Rezidents Nerezidents Neaktīva norēķinu konta uzturēšana: privātpersonām, ja gadu nav notikušas
SīkākABLV aktīvais ieguldījumu plāns Stāvoklis uz Pozīcijas nosaukums AKTĪVI Finanšu ieguldījumi Debitoru parādi 0200
Stāvoklis uz 31.03.2019. AKTĪVI Finanšu ieguldījumi 0100 7 492 217 8 144 604 Debitoru parādi 0200 Nākamo periodu izdevumi un uzkrātie ienākumi 0300 Pārējie aktīvi 0400 KOPĀ AKTĪVI (0100+0200+0300+0400)
SīkākABLV aktīvais ieguldījumu plāns Stāvoklis uz Pozīcijas nosaukums AKTĪVI Finanšu ieguldījumi Debitoru parādi 0200
Stāvoklis uz 30.06.2019. AKTĪVI Finanšu ieguldījumi 0100 7 492 217 8 486 410 Debitoru parādi 0200 Nākamo periodu izdevumi un uzkrātie ienākumi 0300 Pārējie aktīvi 0400 KOPĀ AKTĪVI (0100+0200+0300+0400)
SīkākRSU PowerPointa prezentācijas sagatave bez apakšējās sarkanās joslas
M.Sc. Pāvels Sudmalis, RSU Darba drošības un vides veselības institūts, Higiēnas un arodslimību laboratorija 20.10. 2011, Rīga Svarīgākie fizikālie riska faktori autotransporta nozarē 1 Fizikālie riska
SīkākNakts_labirints.xlsx
IZAICINĀJUMS 1 GR3186 Normunds Laipnieks Suzuki Jimny 16:46 23:27:28 06:41 0 16:56:18 00:10:18 618 5 45 20 2645 1 2 PT98 Uldis Moisejs MITSUBISHI PAJERO 16:32 23:15:22 06:43 0 16:42:09 00:10:09 609 4 41
SīkākParskats_Dinamika xls
1.pielikums UPDK 0651101 1.daļa KTĪVI kods šējā pārskata gada septembrī 1 2 3 0100 Finansu ieguldījumi 0100 3 935 663.81 0200 Prasības uz pieprasījumu pret kredītiestādēm 0200 537 410.55 0300 Nākamo periodu
SīkākEnkuru tehnika Hilti. Strādā vislabāk. Kalpo visilgāk. 171
Enkuru tehnika Hilti. Strādā vislabāk. Kalpo visilgāk. 171 Diametru diapazons Betons Betons ar plaisām Putu betons Bāzes materiāls Ciets dabīgais akmens Mīksts dabīgais akmens Pilnais ķieģelis Dobķieģelis
SīkākOpel Vivaro Cenas
Cenas 1.01.2019 Combi L1H1 1.2m³ Combi 1.6 D Start/Stop 0VF06IXL1XIAA M6 89 121 191 2840 29,645 L2H1 2.2m³ Combi 1.6 D Start/Stop 0VF06IXL1XIAE M6 89 121 191 3020 30,653 CargoVan L1H1 5.2m³ CargoVan 1.6
Sīkāk(Microsoft Word - PROGsaraksts OSTKOM 2015, febru\342ris)
Retranslācijas atļaujas Nr. RR-3 pielikums Nr. 1 Retranslējamo programmu saraksts N. p.k. Programmas nosaukums Tematiskā ievirze Valoda Izplatīšanas laiks Jurisdikcija Programmas tiesību īpašnieks/tiesību
SīkākAS VALMIERAS STIKLA ŠĶIEDRA INFORMĀCIJA PAR UZŅĒMUMU UN GRUPU NEAUDITĒTA KONSOLIDĒTA FINANŠU INFORMĀCIJA PAR GADA 9 MĒNEŠIEM Sagatavots saskaņā
INFORMĀCIJA PAR UZŅĒMUMU UN GRUPU NEAUDITĒTA KONSOLIDĒTA FINANŠU INFORMĀCIJA PAR 2018. GADA 9 MĒNEŠIEM Sagatavots saskaņā ar starptautiskajiem grāmatvedības standartiem VALMIERA 2018 1 SATURS Lpp. INFORMĀCIJA
SīkākOPEL Astra 4-durvju
OPEL Astra Opel Astra 1 Benzīns Dzinējs 1.6 ECOTEC 85 kw/115 Z 1.6 ECOTEC 85 kw/115 Z tart/top LPG Pārnesumkārba 5-pakāpju mehāniskā 15 42 12 975 16 411 13 824 16 18 13 569 16 73 14 71 17 117 14 419 17
SīkākOPEL Astra 4-durvju
OPEL Astra Opel Astra 1 Benzīns Dzinējs 1.6 85 kw/115 Z 1.6 85 kw/115 Z 1.4 Turbo 1.4 Turbo tart/top 1.4 Turbo 1.4 LPG ECOTEC Pārnesumkārba 5-pakāpju mehāniskā 15 573 13 119 16 582 13 969 16 279 13 714
SīkākKorupcijas apkarošanas bilance – notiesājoši spriedumi
Domnīca PROVIDUS Korupcijas iztiesāšanas statistika 2004-2016. gadā 1. tabula. Panti no Krimināllikuma 24. nodaļas Noziedzīgi nodarījumi valsts institūciju dienestā 317.pants. Dienesta pilnvaru pārsniegšana
SīkākBŪTISKĀS PRASĪBAS INDIVIDUĀLAJIEM AIZSARDZĪBAS LĪDZEKĻIEM (turpmāk – IAL)
Reglamentētās sfēras būvizstrādājumu uzraudzība 01.01.2013.-28.04.2014. Par prasībām reglamentētās sfēras būvizstrādājumiem: Reglamentētās sfēras būvizstrādājumi - ja attiecināmi saskaņotās saskaņotie
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
SīkākOPEL INSIGNIA
OPEL INSIGNIA Grand Sport GS GS Insignia Grand Sport Piezīme Pārnesumkārba kw ZS CO 2 izmeši (g/km) WLTP Enjoy 1.5 Turbo 0JM68Hi61 M6 103 140 147 B 1.5 Turbo 0JM68HK61 M6 121 165 149 1.5 Turbo 0JM68HBF1
Sīkāk