Nevienādības starp vidējiem
|
|
- Mare Liepa
- pirms 4 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07
2 Ievads
3 Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību ar vienu vai vairākiem mainīgajiem nozīmē pamatot, ka nevienādība ir patiesa pie jebkurām piel, aujamajām mainīgo vērtībām.
4 Galvenās nevienādību pierādīšanas metodes Ekvivalenti pārveidojumi: algebriski pārveidojumi (nevienādības vienas puses vai abu pušu sadalīšana reizinātājos); pilno kvadrātu atdalīšana; Nevienādību pastiprināšana: saskaitāmo / reizinātāju novērtēšana; sakarība starp vidējo aritmētisko un vidējo ǧeometrisko; klasisko nevienādību izmantošana (Košī, Jensena, utt).
5 Pilno kvadrātu atdalīšana Ja A, A,..., A n ir algebriskas izteiksmes un c,..., c n ir nenegatīvas izteiksmes, tad c A c A... c n A n 0.
6 Daudzas sarežǧītākas nevienādības būtu grūti pierādīt, neizmantojot speciālas nevienādības un teorēmas.
7 Daudzas sarežǧītākas nevienādības būtu grūti pierādīt, neizmantojot speciālas nevienādības un teorēmas. Klasiskākā un visnozīmīgākā ir t.s. nevienādība starp nenegatīvu skaitl, u vidējo aritmētisko un vidējo ǧeometrisko.
8 Vide jo lielumu definı cijas
9 Vide jais aritme tiskais (arithmetic mean, AM) Par n skaitl,u a, a,..., an vide jo aritme tisko sauc lielumu a a... an an. n Vide jais g eometriskais (geometric mean, GM) Par n nenegatı vu skaitl,u a, a,..., an vide jo g eometrisko sauc n-ta s paka pes sakni no šo skaitl,u reizina juma, t.i., lielumu n a a... an an.
10 Skaitl, u, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir = 6 4 = 3.
11 Skaitl, u, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir = 6 4 = 3. Vidējais ǧeometriskais nav definēts, jo starp dotajiem ir arī nenegatīvi skaitl, i (ceturtās pakāpes sakne no negatīva skaitl, a??)!
12 Skaitl, u, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir = 6 4 = 3. Vidējais ǧeometriskais nav definēts, jo starp dotajiem ir arī nenegatīvi skaitl, i (ceturtās pakāpes sakne no negatīva skaitl, a??)! Cits piemērs: ja doti skaitl, i, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir = 0 4 = 5 =.5.
13 Skaitl, u, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir = 6 4 = 3. Vidējais ǧeometriskais nav definēts, jo starp dotajiem ir arī nenegatīvi skaitl, i (ceturtās pakāpes sakne no negatīva skaitl, a??)! Cits piemērs: ja doti skaitl, i, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir = 0 4 = 5 =.5. Šo skaitl, u vidējais ǧeometriskais ir =
14 . uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; ; 5; 45; 54.
15 . uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; Vide jais aritme tiskais: ; 5; 45; 54.
16 . uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; ; 5; 45; 54. Vide jais aritme tiskais: = =
17 . uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; ; 5; 45; 54. Vide jais aritme tiskais: = = Vide jais g eometriskais:
18 . uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; ; 5; 45; 54. Vide jais aritme tiskais: = = Vide jais g eometriskais: = r 6 (3 5) (3 5) (33 ) = = 5 6 = 36 = 3.
19 AM-GM neviena dı ba
20 AM-GM neviena dı ba Ja a, a,..., an ir nenegatı vi skaitl,i, tad a a... an an n a a... an an, n t.i., nenegatı vu skaitl,u vide jais aritme tiskais ir liela ks vai viena ds ar šo skaitl,u vide jo g eometrisko, turkla t viena dı ba ir tad un tikai tad, ja visi skaitl,i ir viena di, t.i., a = a =... = an.
21 AM-GM nevienādība gadījumā n = Ja n =, tad iegūstam: visiem nenegatīviem a, a izpildās a a a a jeb a a a a.
22 AM-GM nevienādība gadījumā n = Pierādījums Apzīmē x = a un y = a, tad ir jāpierāda x y xy.
23 AM-GM nevienādība gadījumā n = Pierādījums Apzīmē x = a un y = a, tad ir jāpierāda x y xy. Taču šī nevienādība ir patiesa, jo tā ir ekvivalenta nevienādībai (x y) 0, kas ir patiesa, tā kā tās kreisajā pusē ir reāla skaitl, a kvadrāts. Ievērosim, ka (x y) = 0 tikai gadījumā, ja x = y, t.i., a = a!!
24 AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Ja n = 3, tad iegūstam: visiem nenegatīviem a, a izpildās a a a a a a 3 jeb a a a a a a 3.
25 AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Pierādījums Apzīmē x = 3 a un y = 3 a un z = 3 a 3, tad ir jāpierāda x 3 y 3 z 3 3xyz.
26 AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Pierādījums Apzīmē x = 3 a un y = 3 a un z = 3 a 3, tad ir jāpierāda x 3 y 3 z 3 3xyz. Izmantosim identitāti ( (x y) x 3 y 3 z 3 3xyz = (x y z) (y z) ) (z x).
27 AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Pierādījums Apzīmē x = 3 a un y = 3 a un z = 3 a 3, tad ir jāpierāda x 3 y 3 z 3 3xyz. Izmantosim identitāti ( (x y) x 3 y 3 z 3 3xyz = (x y z) (y z) ) (z x). Tā kā x, y, z 0, tad x y z 0. Arī katrs no saskaitāmajiem (x y), (y z), (z x) ir nenegatīvs.
28 AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Pierādījums Apzīmē x = 3 a un y = 3 a un z = 3 a 3, tad ir jāpierāda x 3 y 3 z 3 3xyz. Izmantosim identitāti ( (x y) x 3 y 3 z 3 3xyz = (x y z) (y z) ) (z x). Tā kā x, y, z 0, tad x y z 0. Arī katrs no saskaitāmajiem (x y) (y z), (z x), ir nenegatīvs. Secinām, ka x 3 y 3 z 3 3xyz 0, kas ir ekvivalenti pierādāmajai nevienādībai. Vienādība pastāv tikai tad, ja x = y = z.
29 . pieme rs Piera dı t, ka pozitı viem x un y pasta v neviena dı ba x y x y xy 4xy.
30 . pieme rs Piera dı t, ka pozitı viem x un y pasta v neviena dı ba x y x y xy 4xy. No AM-GM neviena dı bas seko, ka p x y y x y = xy. un xy x p x y = xy.
31 . pieme rs Piera dı t, ka pozitı viem x un y pasta v neviena dı ba x y x y xy 4xy. No AM-GM neviena dı bas seko, ka p x y y x y = xy. un xy x p x y = xy. Ta tad x y x y xy 4xy, kas arı bija ja piera da.
32 . pieme rs Piera dı t, ka jebkura pozitı va skaitl,a summa ar ta apgriezto skaitli ir vismaz!
33 . pieme rs Piera dı t, ka jebkura pozitı va skaitl,a summa ar ta apgriezto skaitli ir vismaz! Pien, emsim, ka x > 0; ja piera da x. x
34 . pieme rs Piera dı t, ka jebkura pozitı va skaitl,a summa ar ta apgriezto skaitli ir vismaz! Pien, emsim, ka x > 0; ja piera da x. x No AM-GM neviena dı bas seko, ka r x x = =, x x kas arı bija ja piera da.
35 . uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a ir ne maza ki par 3. un a b c c a b
36 . uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a un a b c c a b ir ne maza ki par 3. Pielietosim AM-GM neviena dı bu skaitl,iem ba, b c c, a:
37 . uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a un a b c c a b ir ne maza ki par 3. Pielietosim AM-GM neviena dı bu skaitl,iem ba, a b b c 3 c a r 3 a b c. b c a b c c, a:
38 . uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a un a b c c a b ir ne maza ki par 3. Pielietosim AM-GM neviena dı bu skaitl,iem ba, a b b c c a r b c c, a: a b c. 3 b c a Iegu ta s neviena dı bas labaja puse ir 3 = ; reizina neviena dı bu ar 3, iegu stot... 3
39 . uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a a b c c a b un ir ne maza ki par 3. Pielietosim AM-GM neviena dı bu skaitl,iem ba, a b b c c a r b c c, a: a b c. 3 b c a Iegu ta s neviena dı bas labaja puse ir 3 = ; reizina neviena dı bu ar 3, iegu stot... a b c 3. b c a Analog iski pamato, ka arı a c 3 b a c b 3.
40 3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8.
41 3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Dala abas neviena dı bas puses ar 8, iegu stot ekvivalentu neviena dı bu: ab bc c a.
42 3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Dala abas neviena dı bas puses ar 8, iegu stot ekvivalentu neviena dı bu: ab bc c a. No AM-GM seko neviena dı bas ab ab; bc bc; c a ca.
43 3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Sareizinot šı s neviena dı bas, iegu stam ab bc c a ab bc ca = abc.
44 3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Sareizinot šı s neviena dı bas, iegu stam bc c a ab ab bc ca = abc. Izmantojot nosacı jumu abc =, secina m ab bc c a abc =.
45 3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Piera dı ta neviena dı ba ab bc c a ; ta tad arı sa kotne ja, ekvivalenta neviena dı ba ir patiesa.
46 4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a
47 4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a Apzı me x = a b, y = b c, z = c a, tad piera da ma neviena dı ba kl,u st x y z jeb, ekvivalenti, x. y z x Reizina m iegu to neviena dı bu ar pozitı vu skaitli (x )(y )(z ), iegu stot...
48 4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a Reizina m iegu to neviena dı bu ar pozitı vu skaitli (x )(y )(z ), iegu stot (z )(x ) (y )(x ) x(y )(z ) jeb x y z xyz. Atgriežamies pie mainı gajiem a, b, c, iegu stot...
49 4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a Atgriežamies pie mainı gajiem a, b, c, iegu stot... (a b c) (a b)(b c)(c a) jeb (a b c) a b ab a c ac b c bc abc. No dota abc = izriet, ka dota neviena dı ba ir ekvivalenta ar...
50 4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a No dota abc = izriet, ka dota neviena dı ba ir ekvivalenta ar... (a b c) a b ab a c ac b c bc. No AM-GM neviena dı bas izriet, ka a b a c...
51 4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a No AM-GM neviena dı bas izriet, ka 3 3 a b a c 3 a b a c = 3 a3 abc = 3a. Lı dzı gi iegu st b c b a 3b un c a c b 3c. Ta tad piera da ma s neviena dı bas laba puse a b ab a c ac b c bc apmierina a b ab a c ac b c bc 3(a b c) 3. Vai var para dı t, ka (a b c) 3(a b c) 3?
52 4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a Pietiekami para dı t, ka 3 a b c. Taču tas izriet no AM-GM neviena dı bas: abc 3 abc =. 3 Ta tad (abc) 3(abc) 3 a bab a c ac b c bc, un arı sa kotne ja neviena dı ba, kas ir ekvivalenta iegu tajai, ir patiesa.
53 3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y.
54 3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Pa rveido: P(x, y ) = (x y )x y Šk, irosim divus gadı jumus: x y un x y <.. 7
55 3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Ja x y, tad (x y ) 0 pe c pien, e muma; x y = (xy ) 0 ka rea la skaitl, a kvadra ts; /7 > 0, ta tad P(x, y ) > 0.
56 3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Apskata gadı jumu x y <.
57 3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Apskata gadı jumu x y <. Pielietosim AM-GM neviena dı bu reizina jumam ( x y )x y.
58 3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. No AM-GM neviena dı bas izriet, ka q ( x y ) x y 3 =, ( x y )x y 3 3 t.i., ( x y )x y. 7
59 3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Taču tad P(x, y ) = ( x y )x y 0, 7 k.b.j. Ve rts atzı me t, ka P(x, y ) nevar izteikt ka vaira ku polinomu (ar rea liem koeficientiem) kvadra tu summu: P(x, y ) 6= (Q (x, y )) (Q (x, y ))... (Qn (x, y )).
60 5. pieme rs Piera dı t neviena dı bu n n! (n )n, kur n! nozı me skaitl,a n faktoria lu: n! = 3... n.
61 5. pieme rs Piera dı t neviena dı bu n n! (n )n, kur n! nozı me skaitl,a n faktoria lu: n! = 3... n. Pielietosim AM-GM neviena dı bu pirmajiem n natura liem skaitl,iem:... n n... n. n
62 5. pieme rs Piera dı t neviena dı bu n n! (n )n, kur n! nozı me skaitl,a n faktoria lu: n! = 3... n. Pielietosim AM-GM neviena dı bu pirmajiem n natura liem skaitl,iem:... n n... n. n Pirmo n natura lo skaitl,u summa ir... n = n(n ), ta tad pamatota neviena dı ba n n n!.
63 5. pieme rs Piera dı t neviena dı bu n n! (n )n, kur n! nozı me skaitl,a n faktoria lu: n! = 3... n. Reizina iegu to neviena dı bu ar un ka pina n-taja paka pe, iegu stot n n (n )n n! = n n!, kas bija ja piera da.
64 min mean max
65 Ja n skaitl,u a, a,..., an vide jais aritme tiskais ir A, tad maza kais no skaitliem a,..., a ir maza ks vai viena ds ar A;, n liela kais no skaitliem a,..., a ir liela ks vai viena ds ar A., n Citiem va rdiem, min {a, a,..., an } a a... an max {a, a,..., an }. n Viena dı ba pasta v tad un tikai tad, ja a = a =... = an.
66 Ja n nenegatı vu skaitl,u a, a,..., an vide jais g eometriskais ir G, tad maza kais no skaitl,iem a,..., an ir maza ks vai viena ds ar G ; liela kais no skaitl,iem a,..., an ir liela ks vai viena ds ar G. Citiem va rdiem, min {a, a,..., an } n a a... an max {a, a,..., an }. Viena dı ba pasta v tad un tikai tad, ja a = a =... = an.
67 Ja n nenegatı vu skaitl,u a, a,..., an vide jais g eometriskais ir G, tad maza kais no skaitl,iem a,..., an ir maza ks vai viena ds ar G ; liela kais no skaitl,iem a,..., an ir liela ks vai viena ds ar G. Citiem va rdiem, min {a, a,..., an } n a a... an max {a, a,..., an }. Viena dı ba pasta v tad un tikai tad, ja a = a =... = an. Analog isks apgalvojums spe ka arı citiem vide jiem (QM, HM, mα ), sk. na kamo nodal,u.
68 6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7.
69 6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7. No AM-GM neviena dı bas seko, ka 3 a b c 3 abc jeb, saskan, a ar doto, 3 abc 3 abc.
70 6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7. No AM-GM neviena dı bas seko, ka 3 a b c 3 abc jeb, saskan, a ar doto, 3 abc 3 abc. Apzı me x = 3 abc, tad x ir pozitı vs skaitlis, kas apmierina neviena dı bu x 3 3x.
71 6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7. No AM-GM neviena dı bas seko, ka 3 a b c 3 abc jeb, saskan, a ar doto, 3 abc 3 abc. Apzı me x = 3 abc, tad x ir pozitı vs skaitlis, kas apmierina neviena dı bu x 3 3x. Ta tad x 3 un x 3 (jo x ir pozitı vs!!). Secina m, ka 3 abc 3.
72 6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7. Skaitl,u a, b, c vide jais g eometriskais ir vismaz 3; ta tad arı liela kais no skaitl,iem a, b, c ir vismaz 3 >.89 =.7, kas arı bija ja piera da.
73 Citi vide jie lielumi
74 Vide jais harmoniskais (harmonic mean, HM) Par n pozitı vu skaitl,u a, a,..., an vide jo harmonisko sauc lielumu a a n... an an. Vide jais kvadra tiskais (quadratic mean, QM) Par n skaitl,u a, a,..., an vide jo kvadra tisko sauc lielumu s a a... an an. n
75 n pozitı viem skaitl,iem a, a,..., an ir spe ka neviena dı bas QM AM GM HM, t.i., r a a... an a a... an n n a a... an n a a... an n n a a... an a a n... an QM AM AM GM GM HM
76 Pien, emsim, ka a,..., an ir pozitı vi skaitl,i, bet α ir rea ls skaitlis. α-vide jais (α-mean) Ja α 6= 0, par šo skaitl,u α-vide jo sauc lielumu mα, kas define ts ka α α a aα... an anα α mα =. n Ja α = 0, par doto skaitl,u 0-vide jo sauc šo skaitl,u vide jo g eometrisko: m 0 = n a a... an. Neviena dı bas starp vide jiem Ja α > β, tad mα mβ, turkla t viena dı ba pasta v tad un tikai tad, ja a = a =... = an.
77 Ievērosim: ja α =, tad m = ir vidējais kvadrātiskais; ja α =, tad ( a a... a n a n m = a a... a n a n n ir vidējais aritmētiskais; ja α = 0, tad m 0 ir vidējais ǧeometriskais; ja α =, tad m = ir vidējais harmoniskais. n ) / ( a a... an ) a n n
78 7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu b c a. ab bc c a
79 7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a Ekvivalenti pa rveidojam doto neviena dı bu: bc ca ab b c ; a ab bc c a
80 7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a Ekvivalenti pa rveidojam doto neviena dı bu: ab bc ca a b c ; ab bc c a ab bc ca abc = ; ab bc c a
81 7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a Ekvivalenti pa rveidojam doto neviena dı bu: ab bc ca a b c ; ab bc c a ab bc ca abc = ; ab bc c a ab bc ca. ab bc c a
82 7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a No neviena dı bas starp vide jo aritme tisko un vide jo harmonisko izriet, ka visiem pozitı viem x, y izpilda s x y x y jeb xy x y. x y Ievietojot šaja neviena dı ba x un y vieta skaitl,us a un b; b un c; c un a, iegu stam, ka...
83 7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a... iegu stam, ka ab ab, ab bc bc, bc ca c a. c a Saskaitot šı s trı s neviena dı bas, secina m, ka ir patiesa arı neviena dı ba ab bc ca ab bc c a =. ab bc c a Ta tad arı sa kotne ja, tai ekvivalenta neviena dı ba ir patiesa.
84 4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8.
85 4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. Ieve rosim, ka ab ac ad bc bd cd var izteikt ka starpı bu (a b c d) (a b c d ).
86 4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. Ieve rosim, ka ab ac ad bc bd cd var izteikt ka starpı bu (a b c d) (a b c d ). Ta tad ja piera da neviena dı ba (a b c d) 3 a b c d 8.
87 4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. No AM - QM neviena dı bas seko, ka r a b c d abc d 4 4 jeb (a b c d) a b c d. 4
88 4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. No AM - QM neviena dı bas seko, ka r abc d a b c d 4 4 jeb (a b c d) a b c d. 4 Ta tad 3 3 a b c d (a b c d). 8
89 4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. Secina m, ka ab ac ad bc bd cd a b c d = (a b c d) 3 = a b c d (a b c d) 3 (a b c d) = = 8 = 8, 8 kas arı bija ja piera da.
90 Citas neviena dı bas
91 Košı Švarca (Cauchy-Schwarz inequality) Visiem rea liem skaitl,iem a, a,..., an un b, b,..., bn ir spe ka ša da neviena dı ba: (a b a b... an bn ) a a... an b b... bn.
92 Košı Švarca (Cauchy-Schwarz inequality) Visiem rea liem skaitl,iem a, a,..., an un b, b,..., bn ir spe ka ša da neviena dı ba: (a b a b... an bn ) a a... an b b... bn. Pa rka rtojuma neviena dı ba (Rearrangement inequality); Jensena neviena dı ba; Čebiševa un Bernulli neviena dı bas;...
93
94
95
96 Paldies par uzmanību!
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju
SīkākTirgus dal bnieka nosaukums: Ieguld jumu p rvaldes akciju sabiedr ba "Finasta Asset Management" Kods: 100 Invalda konservativais ieguldijumu plans 1.
Tirgus dal bnieka nosaukums: p rvaldes akciju sabiedr ba "Finasta Asset Management" 1. pielikums Finanšu un kapit la tirgus komisijas 14.09.2007. noteikumiem Nr. 125 UPDK 0651293 J iesniedz Finanšu un
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
SīkākMicrosoft Word - du_5_2005.doc
005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
SīkākPCK34_atr_kopaa
007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem
SīkākDeleg e s anas li gums Pielikums Cēsu novada domes sēdes lēmumam Nr.340 Cēsi s, 2016.gada decembri Ce su novada pas valdi ba, reg istra cij
Deleg e s anas li gums Pielikums Cēsu novada domes sēdes 29.12.2016.lēmumam Nr.340 Cēsi s, 2016.gada decembri Ce su novada pas valdi ba, reg istra cijas Nr.90000031048, juridiska adrese: Bērzaines iela
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
SīkākLatvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br
5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
SīkākMicrosoft Word - du_4_2005.doc
@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
Sīkāk1
8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena
SīkākAAS BALTA gada pārskats, kas sagatavots saskaņā ar Eiropas Savien bā apstiprinātajiem Starptautiskajiem finanšu pārskatu standartiem, un neatkar
AAS BALTA 2017. gada pārskats, kas sagatavots saskaņā ar Eiropas Savien bā apstiprinātajiem Starptautiskajiem finanšu pārskatu standartiem, un neatkar gu revidentu ziņojums. Saturs LAPA Inform cija par
SīkākKrājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a
Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.
SīkākMicrosoft PowerPoint - RP_ _TV_zinojums_n.akti.ppt [Compatibility Mode]
Par izmaiņām normatīvajos aktos, kuri skar augstāko izglītību Tatjana Volkov a Rektoru padomes priek s d t ja Banku augstskolas rektore Zi ojums Rektoru padomes 23.05.2008. s d Saturs 2 1. PVN likums 2.
SīkākMicrosoft PowerPoint - rektoru_padome_09_09_2011.ppt [Compatibility Mode]
Eiropas Sociālā fonda projekts Augstākās izglītības studiju programmu izvērtēšana un priekšlikumi kvalitātes paaugstināšanai. Vieno an s Nr. 2011/0012/1DP/1.1.2.2.1/11/IPIA/VIAA/001 Latvijas Rektoru padome
SīkākSIA Daugavpils reģion la slimnīca vid ja termiņa darbības strat ģija gadam Daugavpils, 2016 SIA DAUGAVPILS RE ION L SLIMN CA VID J TERMI A
SIA Daugavpils reģion la slimnīca vid ja termiņa darbības strat ģija 2017.-2020.gadam Daugavpils, 2016 SIA DAUGAVPILS RE ION L SLIMN CA VID J TERMI A DARB BAS STRAT IJA 2017.-2020. 1 Saīsin jumu saraksts
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
SīkākEiropas Parlamenta un Padomes Regula (ES) 2019/ (2019. gada 17. aprīlis) par ENISA (Eiropas Savienības Kiberdrošības aģentūra) un par informācijas un
151/15 bas Ofici lais V stnesis L EIROPAS PARLAMENTA UN PADOMES REGULA (ES) 2019/881 (2019. gada 17. apr lis) par ENISA (Eiropas Savien bas Kiberdroš bas a ent ra) un par inform cijas un komunik cijas
SīkākMicrosoft Word - Noteikumi_Dizaina pakalpojumi_
VAS STARPTAUTISKĀ LIDOSTA RĪGA Tirgus izpētes Dizaina pakalpojumu sniegšana VAS Starptautiskā lidosta Rīgā (Identifikācijas Nr. TI-13/60) NOTEIKUMI M rupes novad 1. VISPĀRĪGĀ INFORMĀCIJA 1.1. Pasūtītājs
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 10. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās
Sīkākro40_atr
Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais
SīkākPubliskā apspriešana
BŪVNIECĪBS IECERES PUBLISKĀ PSPRIEŠN JUNS TRMVJU INFRSTRUKTŪRS POSM IZBŪVE UN ESOŠS TRMVJU LĪNIJS PĀRBŪVE. BŪVNIECĪBS IEROSINĀTĀJS: Rīgas Pašvaldības SI Rīgas satiksme Reģ.Nr.40003619950, Kleistu 28, Rīga,
SīkākHP Deskjet 3840 series
1. izdevums, 09/2004 Autorties bas 2004 Hewlett-Packard Company Pazi ojums 2004 Copyright Hewlett-Packard Development Company, L.P. Pavairošana, piem rošana vai tulkošana bez iepriekš jas rakstiskas at
SīkākMicrosoft Word - Entcom-WP5-IO2_ECVET_LV.docx
IO2 ECVET Vadlnijas un instrumenti Tojas, Portugale Dokumenta v sture Versija (v) Datums Atbalstītāji Ieguldījums Statuss 0 15.03.2016 Tojas Portugal Projekts Apstiprin ts 1 31.08.2016 Tojas Portugal NFIL
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu
SīkākYOUSEND.LV PAKALPOJUMU IZMANTOŠANAS NOTEIKUMI spe ka no gada 13. februāra Noteikumos izmantotie termini un to skaidrojums 1. Porta ls - internet
YOUSEND.LV PAKALPOJUMU IZMANTOŠANAS NOTEIKUMI spe ka no 2019. gada 13. februāra Noteikumos izmantotie termini un to skaidrojums 1. Porta ls - interneta porta ls www.yousend.lv, www.yousend.lt, www.yousend.ee.
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
SīkākMicrosoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc
SIA Krāslavas nami Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā Saturs I. Ziņas par operatoru...3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošajām darbībām...4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas
SīkākSAUSZEMES TRANSPORTL DZEK U APDROŠIN ŠANAS NOTEIKUMI Nr.41.6 APSTIPRIN TI AR IF LATVIA AAS VALDES 2008.GADA 24.J LIJA L MUMU 1. NOTEIKUMOS LIETOTIE TERMINI 1.1. Apdrošin šanas sabiedr ba - If Latvia apdrošin
SīkākLatvijas Organizāciju psihologu biedrība Pētījums par profesiju segregācijas cēloņiem un stereotipiem Kvantitatīvais pētījums Atskaite Rīga 2006
Latvijas Organizāciju psihologu biedrība Pētījums par profesiju segregācijas cēloņiem un stereotipiem Kvantitatīvais pētījums Atskaite Rīga 006 Saturs Ievads... Uzdevumi... Metode... Pētījuma respondenti...
Sīkākv, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace
v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi
SīkākMicrosoft Word - Document2
The Multifunction Terminal of Relay Protection and Anti-Emergency Automation // Scientific proceedings of Riga Technical university.- 2003.- Vol. 4.- Power and Electrical Engineering No.8.- Riga Technical
SīkākDatu lapa: Wilo-TOP-Z 30/10 (1~230 V, PN 10, RG) Raksturlīknes Maiņstrāva H/m v 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 min. Wilo-TOP-Z 30/10 1~230V - Rp 1¼
Datu lapa: Wilo-TOP-Z 3/1 (1~23 V, PN 1, RG) Raksturlīknes Maiņstrāva H/m 9 8 7 6 5 4 3 v,5 1 1,5 2 2,5 3 Wilo-TOP-Z 3/1 1~23V - Rp 1¼ m/s Atļautie sūknējamie šķidrumi (citi šķidrumi pēc pieprasījuma)
SīkākO.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri
O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri O.Lauce ARITMĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI FORMULAS PIEMĒRI O lg a L a u c e ARITM ĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI, FORMULAS, PIEMĒRI
SīkākMicrosoft Word - IeskaisuGrafiks_10b.doc
Priekšmets - angļu valoda Klase 10.a,b Mācību gads 2008/09. Skolotājs - Gesja Živa Nr. tēma saturs 1. Unit 1. Dwellings, household chores, the Present Tenses, phrasal verbs. 2. Unit 2. Life events, the
SīkākMicrosoft Word - SEG_ atskaite_Bolderaja_2008.doc
SIA Bolderaja Ltd Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2008.gadā. Saturs I. Ziņas par operatoru.. 3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošām darbībām. 4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas procesiem
Sīkāk> > < < > < < Jauno matemātiķu konkurss 2016./2017. mācību gads 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši
> > < < > < < 1. kārtas uzdevumi 1. Nevienādību mīkla Tukšajās rūtiņās katrā rindā un kolonnā tieši vienu reizi ieraksti kādu naturālu skaitli no 1 līdz 5 tā, lai atzīmētās nevienādības būtu patiesas!
SīkākNr.p.k. Neapbūvētu pašvaldības nekustamo īpašumu pilsētā, kuri var tikt nodoti nomai vai atsavināšanai, saraksts Zemes vienības adrese Statuss Kadastr
Nr.p.k. Neapbūvētu pašvaldības nekustamo īpašumu pilsētā, kuri var tikt nodoti nomai vai atsavināšanai, saraksts Zemes vienības adrese Statuss Kadastra apzīmē jums Kop platība m2 Zemes lieto šanas veids
Sīkāk2008. gada 5. decembris Salaspils Vēstis Salaspils novada domes bezmaksas izdevums Nr.23 (453) Nr.23 (453) Šajā numurā: Vai star
Salaspils novada domes bezmaksas izdevums 5.12.2008. Nr.23 (453) 5.12.2008. Nr.23 (453) Šajā numurā: Vai starp bo jā gā ju ša jiem arī ir vien līdz īgie un vien līdz īgā kie? 2. lpp. Valsts svēt ki Sa
SīkākMicrosoft PowerPoint - VMF LATVIA 2018_2
SIA VMF LATVIA 2017.gada darbības rezultāti un uzdevumi 2018.gadam Jānis Buļs Valdes priekšsēdētājs SIA VMF LATVIA 23.03.2018. Esošie VMF LATVIA stratēģiskie mērķi 1. Nodrošināt efektīvu un ilgtspējīgu
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
SīkākĒku energoefektīvas renovācijas finansējumu risinājumi Ēku renovācijas finansēšana, izmantojot energotaupības pasākumus Raivo Damkevics SIA RENESCO va
Ēku energoefektīvas renovācijas finansējumu risinājumi Ēku renovācijas finansēšana, izmantojot energotaupības pasākumus Raivo Damkevics SIA RENESCO valdes loceklis Tālr.: 67027427 Fakss: 29371545 E-pasts:
SīkākLieta Nr
ADMINISTRATĪVĀ APGABALTIESA SPRIEDUMS Latvijas Republikas vārdā Lieta Nr.A420687310 143/AA43-0685-13/8 Rīgā 2013.gada 21.maijā Administratīvā apgabaltiesa šādā sastāvā: tiesnese referente I.Kaļiņina, tiesnese
SīkākPārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākoš
Pārbaudes darbs. Varbūtību teorija elementi. 1.variants Skolēna vārds,uzvārds... 1.uzdevums. ( 1punkts) Kurš no notikumiem ir drošs notikums: a) nākošais auto, kas iebrauks manā ielā, būs zilā krāsā; b)
SīkākNr
JELGAVAS PILSĒTAS PAŠVALDĪBAS 2017.GADA 24.AUGUSTA SAISTOŠAJIEM NOTEIKUMI Nr. GROZĪJUMI JELGAVAS PILSĒTAS PAŠVALDĪBAS 2017.GADA 9. FEBRUĀRA SAISTOŠAJOS NOTEIKUMOS Nr.17-3 JELGAVAS PILSĒTAS PAŠVALDĪBAS
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
Sīkāk21.gadsimta prasmju un iemaņu attīstība Zane Matesoviča, British Council pārstāvniecības Latvijā vadītāja
21.gadsimta prasmju un iemaņu attīstība Zane Matesoviča, British Council pārstāvniecības Latvijā vadītāja Mums jāizglīto bērni viņu nākotnei, nevis mūsu pagātnei Kas skolu padara par vidi, kura sekmē katras
Sīkāk'PĀRTIKAS KVALITĀTES SHĒMAS Bauska.pptx
PĀRTIKAS KVALITĀTES SHĒMAS Ginta Dzerkale Zemkopības ministrijas Veterinārā un pārtikas departamenta Biotehnoloģijas un kvalitātes nodaļa Pārtikas kvalitātes shēmas *ES pārtikas kvalitātes shēmas: Bioloģiskās
SīkākA9R1q9nsan_v63m4l_2ow.tmp
Studiju programmas raksturojums 2015./2016. a 1. uzdevumi. Programm Studiju programmas. 1. Sagatavot. 2. N. 3. N 1 2. 4. V. 5., balstoties noteikt izm Studiju programmas uzdevumi. 1.. 2. V ir. 3. Nodro.
SīkākMicrosoft Word - Latv_Gaze_SEG atskaite 2007.doc
2.pielikums Ministru kabineta 2004.gada 7.septembra noteikumiem Nr.778 Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā I. Ziņas par operatoru 1. Operators: 1.1. nosaukums vai vārds un uzvārds Akciju
SīkākFizikas valsts 64. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 11. klasei 11 1: Paātrinājums 1. (3 punkti) Lācis izdomāja nopirkt automašīnu, taču pirms pirkšanas n
Fizikas valsts 64. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 11. klasei 11 1: Paātrinājums 1. (3 punkti) Lācis izdomāja nopirkt automašīnu, taču pirms pirkšanas nolēma izpētīt, cik ātri varēs sasniegt ar to ātrumu
SīkākLaboratorijas darbi mehānikā
Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne
Sīkāk•
ATKLĀTS KONKURSS saskaņā ar Publisko iepirkumu likuma 8.panta pirmās daļas 1.punktu un Ministru kabineta 2017.gada 28.februāra noteikumu Nr.107 Iepirkuma procedūru un metu konkursu norises kārtība 2.1.apakšnodaļu
SīkākR ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis
R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā
SīkākNoraksts
NORAKSTS Lieta Nr.A420539111 (A42-00400-13/2) ADMINISTRATĪVĀ RAJONA TIESA RĪGAS TIESU NAMS S P R I E D U M S LATVIJAS TAUTAS VĀRDĀ Rīgā 2013.gada 11.martā Administratīvā rajona tiesa šādā sastāvā: tiesnese
SīkākImants Gorbāns. E-kursa satura rādītāja izveide IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Imants Gorbāns E-kursa satura rādītāja izveide Materiāls izstrādāts ESF Darbī
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Imants Gorbāns E-kursa satura rādītāja izveide Materiāls izstrādāts ESF Darbības programmas 2007. - 2013.gadam Cilvēkresursi un nodarbinātība prioritātes 1.2. Izglītība un prasmes
SīkākMicrosoft Word - PLAANS_I_sem.doc
SEPTEMBRIS Datums Laiks Pasākums Dalībnieki Vieta Atbildīgais pedagogs 01.09.2017. 13.00 Svinīgais mācību gada sākums Skolas audzēkņi, pedagogi Ulbrokas kultūras nams Vita Pinne 02.09.2017. 03.09.2017.
SīkākPROJEKTĒTĀJS: SIA CK Būvkomersanta reăistrācijas Nr R Reăistrācijas Nr Jur.adrese: Jaunliepas, Vaidavas pagasts, Kocēnu novads, LV-
PROJEKTĒTĀJS: SIA CK Būvkomersanta reăistrācijas Nr. 8563-R Reăistrācijas Nr. 44103064025 Jur.adrese: Jaunliepas, Vaidavas pagasts, Kocēnu novads, LV-4228 Biroja adrese: Beātes 23-700, Valmiera, LV-4201
SīkākKorupcijas apkarošanas bilance – notiesājoši spriedumi
Domnīca PROVIDUS Korupcijas iztiesāšanas statistika 2004-2016. gadā 1. tabula. Panti no Krimināllikuma 24. nodaļas Noziedzīgi nodarījumi valsts institūciju dienestā 317.pants. Dienesta pilnvaru pārsniegšana
SīkākNORAKSTS
NORAKSTS Lieta Nr.142196211 1-0200-13/22 ADMINISTRATĪVĀ RAJONA TIESA RĪGAS TIESU NAMS S P R I E D U M S LATVIJAS REPUBLIKAS VĀRDĀ Rīgā 2013.gada 1.februārī Administratīvā rajona tiesa šādā sastāvā: tiesnese
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
SīkākLV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši
LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši, 3 brūni klucīši, 1 spēles laukums, 1 barjera izvēlētā
SīkākEIROPAS CENTRĀLĀS BANKAS PAMATNOSTĀDNE (ES) 2018/ (2018. gada 24. aprīlis), - ar ko groza Pamatnostādni ECB/ 2013/ 23 par vald
15.6.2018. L 153/161 PAMATNOSTĀDNES EIROPAS CENTRĀLĀS BANKAS PAMATNOSTĀDNE (ES) 2018/861 (2018. gada 24. aprīlis), ar ko groza Pamatnostādni ECB/2013/23 par valdības finanšu statistiku (ECB/2018/13) EIROPAS
SīkākARI-VI SIA Pērnavas iela 35, Rīga Tālr Fakss Riteņu balansēšanas atsvariņu piedāvājums Mc 30 Uzsitamie
ARI-VI SIA Pērnavas iela 35, Rīga Tālr.67310345 Fakss. 67310346 info@mcrolls.lv Riteņu balansēšanas atsvariņu piedāvājums Mc 30 Uzsitamie atsvariņi vieglajām automašīnām tērauda diskiem (universālie) S/2
SīkākLieta Nr
Lieta Nr.A42461405 SKA 41/2009 S P R I E D U M S Rīgā 2009.gada 26.februārī sastāvā: Latvijas Republikas Augstākās tiesas Senāta Administratīvo lietu departaments šādā tiesas sēdes priekšsēdētāja senatore
SīkākMKN grozījumi
Latvijas graudu nozares attīstības tendences Rigonda Krieviņa 22.10.2015. Latvijas graudu un rapša sējumu platības, kopraža un ražība 2 Graudu kopraža (tūskt.t) un platība (tūkst.ha) Ražība, t/ha Latvijas
SīkākA.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS
DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,
SīkākMicrosoft Word - ! SkG makets 4-5. nodala.doc
1. Ekonomikas priekšmets I variants Vārds Uzvārds Klase Punkti Datums Vērtējums 1. Apvelciet pareizās atbildes burtu (katram jautājumam ir tikai viena pareiza atbilde). (6 punkti) 1. Ražošanas iespēju
SīkākEiropas Sistēmisko risku kolēģijas Lēmums (2011. gada 20. janvāris) par Eiropas Sistēmisko risku kolēģijas Konsultatīvās zinātniskās komitejas locekļu
C 39/10 Eiropas Savienības Oficiālais Vēstnesis 8.2.2011. EIROPAS SISTĒMISKO RISKU KOLĒĢIJA EIROPAS SISTĒMISKO RISKU KOLĒĢIJAS LĒMUMS (2011. gada 20. janvāris) par Eiropas Sistēmisko risku kolēģijas Konsultatīvās
Sīkāk