Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
|
|
- Anita Purmals
- pirms 4 gadiem
- Skatījumi:
Transkripts
1 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra II 4.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju gads
2 Saturs 2 1. Lineāri izomorfismi Pamatfakti Lineāru telpu klasifikācija Lineāra operatora struktūra Invariantās apakškopas Invariantās apakštelpas Īpašvektori un īpašvērtības Pamatfakti Algoritmi mājasdarbs Obligātie uzdevumi Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 20
3 Lekcijas mērķis: apgūt lineāro izomorfismu un lineāro attēlojumu struktūras pamatfaktus. Lekcijas kopsavilkums: dimensija ir vienīgais LT invariants, var definēt LT elementus - īpašvektorus, kurus LA pārveido vienkāršā veidā. Svarīgākie jēdzieni: lineārs izomorfisms (LI), izomorfas LT, LO invarianta apakštelpa, LO īpašvektors, LO īpašvērtība, LO un matricas raksturīgais polinoms. Svarīgākie fakti un metodes: LI īpašības, LT izomorfisms ar k n, LT klasifikācija ar precizitāti līdz izomorfismam, invariantu apakštelpu īpašības, teorēma par īpašvērtību ekvivalentajām definīcijām, īpašvērtību un īpašvektoru atrašanas algoritmi. 3
4 1. Lineāri izomorfismi 4 Vienkāršākos matemātikas objektus - kopas, raksturo elementu skaits. Bijektīvās (savstarpēji viennozīmīgās) funkcijas saglabā elementu skaitu, ko var uzskatīt par svarīgu kopas raksturojošo lielumu - invariantu. Šajā lekcijā noteiksim, kādi invarianti piemīt lineārām telpām. Citiem vārdiem sakot, noteiksim, kādus lielumus saglabā bijektīvi lineāri attēlojumi Pamatfakti Bijektīvu LA sauc par lineāru izomorfismu (LI). Ja LI f : L V, tad saka, ka L un V ir izomorfas LT (L V ) piemērs. id, vektoru simetrija un rotācija.
5 1.1. teorēma. { f Hom(L, V ) - LI 1. = g f Hom(L, Z) ir LI. g Hom(V, Z) - LI 2. f Hom(L, V ) - LI f 1 Hom(V, L)- LI. 3. L un V - galīgi ǧenerētas LT. f - LI f matricas attiecībā uz bāzēm ir abpusēji invertējamas. 4. L un V - galīgi ǧenerētas LT. f - LI ar matricu F = f 1 matrica ir F 1. PIERĀDĪJUMS 1. Agrāk tika pierādīts, ka g f ir LA. Bijektīvu funkciju kompozīcija ir bijektīva funkcija = g f ir LI. 2. f : L V ir bijektīva funkcija = f 1 : V L ir bijektīva funkcija. Jāpierāda, ka f 1 ir LA. { v, v V l, l f(l) = v, f L : 1 (v) = l f(l ) = v, f 1 (v ) = l. 5
6 6 f 1 (v + v ) = f 1 (v) + f 1 (v) = f 1 (f(l) + f(l ))) = f 1 (f(l + l )) = (f 1 f)(l + l ) = id(l + l ) = l + l = f 1 (v) + f 1 (v). f 1 (λv) = f 1 (λf(l)) = f 1 (f(λl)) = λl = λf 1 (v). 3. f ir LI f 1 ir LI. Pieņemsim, ka dim L = n un dim V = m. Fiksēsim bāzes telpā L un V, attiecībā uz tām f un f 1 matricas apzīmēsim ar F un G. Tad GF = E n un FG = E m. Tas pēc definīcijas nozīmē, ka matrica F ir abpusēji invertējama. f nav LI = f nav injektīvs vai f nav sirjektīvs. f nav injektīvs Ker(f) {0} N ull(f) {0} r K (F) < n - F kolonnu rangs nav pilns F neeksistē kreisā inversā matrica. f nav sirjektīvs = F: dim Im(f) = dim k 1,..., k n < n. Bet dim k 1,..., k n = r(f) < n = F neeksistē kreisā inversā matrica.
7 7 4. f 1 matrica ir G = GF = E n = F 1 = G Lineāru telpu klasifikācija Kad divus matemātiskus objektus var uzskatīt par līdzīgiem pēc struktūras ignorējot nebūtiskas detaļas (apzīmējumus, attēlošanas veidu u.c)? skaitļi - vienādība, kopas - elementu skaits, ǧeometriskas figūras - kongruence, varbūt līdzība. Kad divas LT uzskatīt par līdzīgām pēc struktūras? laukiem jābūt vienādiem (Q-lineāra telpa un R-lineāra telpa ir dažādas), dimensijām jābūt vienādām (plakne un telpa ir dažādas), vai ar to pietiek?
8 teorēma. L - k-lineāra LT, dim(l) = n. Tad L k n. PIERĀDĪJUMS Uzrādīsim LI L kn. Izvēlēsimies LT L bāzi B L = {e 1,..., e n }. LT k n izvēlēsimies kanonisko bāzi B k n = {s 1,..., s n },kur s i = (0,..., }{{} 1,..., 0) i tajā vietā Definēsim f : L k n šādi: 1. definēsim funkciju f 0 : B L B k n: f 0 (e i ) = s i. 2. turpināsim f 0 līdz LA f : L k n : ( n ) n f(l) = f α i e i = α i f(e i ) = i=1 i=1 n α i s i. i=1
9 9 Jāpierāda, ka f ir bijektīva funkcija. Sirjektivitāte w = n β i s i k n izpildās w = n i=1 w Im(f). Injektivitāte i=1 ( n ) β i f(e i ) = f β i e i i=1 f(l) = f(l ) = f(l l ) = 0. l l = n ( n ) γ i e i = f γ i e i = n γ i s i = 0 = i=1 i=1 i=1 i γ i = 0 = l l = 0 = l = l. = 1.1. piezīme. Seko, ka k n var uzskatīt par LT struktūras etalonu teorēma. L, V - k-lineāras LT. Tad L V dim L = dim V.
10 10 PIERĀDĪJUMS Apzīmēsim dim L = n, dim { V = m. Saskaņā ar L k n teorēmu par LT izomorfismu ar vektoru telpu V k m. n = m { f : L k n LI g : V k m LI = g 1 f : L V - LI. n m, n > m f : L V - LI = dim L = dim Im(f) + dim Ker(f) }{{}}{{} =dim V =0 = n = m - pretruna.
11 2. Lineāra operatora struktūra Invariantās apakškopas ja f : A A - funkcija. S A sauc par f-invariantu apakškopu, s S : f(s) S. Simboliski to apzīmē kā f(s) S piemērs. f - A permutācija, invariantās apakškopas - cikli. f : N N : f(x) = x + 1, invariantas apakškopas ir N m = N\{1,..., m 1} Invariantās apakštelpas f End(L). V L sauc par invariantu apakštelpu (f-invariantu apakštelpu, IA), ja v V = f(v) V, citiem vārdiem - f(v ) V.
12 12 Visu f-invariantu apakštelpu kopu apzīmēsim ar Inv(f) piemērs. f End(L) vismaz divas IA - L, {0}. L = R 2, f - simetrija attiecībā uz x-asi - (1, 0) ir IA, f - rotācija par α 0 - nav citu IA teorēma. L - LT, f End(L). 1. V Inv(f) = f sašaurinājums uz V ir LA V V. 2. Ker(f), Im(f) Inv(f). PIERĀDĪJUMS 1. v V = f(v) V = f(v ) V = f sašaurinājums uz V ir korekti definēta funkcija. LA aksiomas izpildās. 2. l Ker(f) f(l) = 0 = f(f(l)) = 0 = f(ker(f)) Ker(f). l Im(f) = f(l) Im(f) = f(im(f)) Im(f).
13 2.3. Īpašvektori un īpašvērtības Pamatfakti L - LT, f End(L). l L, l 0, sauc par f īpašvektoru, ja l ir f-invarianta apakštelpa. Citiem vārdiem, sakot: λ k : f(l) = λl (bezkoordinātu formā), { l c = Fc = λc, attiecībā uz L bāzi (koordinātu f F formā). Šajos terminos λ sauc par f īpašvērtību, kas atbilst l. īpašvektoram l īpašvērtība ir noteikta viennozīmīgi. Visu īpašvektoru kopu ar īpašvērtību λ apzīmē ar L λ. L λ ir L lineāra apakštelpa: f(l) = λl = f(cl) = cf(l) = cλl = λ(cl) = l L λ = cl L λ.
14 14 l, l L λ = f(l + l ) = λl + λl = λ(l + l ). Visu f īpašvērtību kopu sauc par f spektru (Spec(f)) piemērs. L = R 2, f - simetrija attiecībā uz x-asi. e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1). f(e 1 ) = e 1 = e 1 L 1, f(e 2 ) = e 2 = e 2 L teorēma. L - LT, f End(L). Zemāk dotie apgalvojumi ir loǧiski ekvivalenti. 1. λ Spec(f). 2. Ker(f λ id) {0}. 3. det(f λe) = 0, kur F ir f matrica attiecībā uz patvaļīgu L bāzi. PIERĀDĪJUMS
15 λ Spec(f) l L : f(l) = λl = λ id(l) (f λ id)(l) = 0 l Ker(f λ id) Ker(f λ id) {0} Ker(f λ id) {0} N ull(f λe) {0} F λe ir neinvertējama matrica det(f λe) = 0. Polinomu R F (λ) = det(f λe) sauc par matricas F raksturīgo polinomu Algoritmi Gausa metodes algoritms 1. atrast f matricu F attiecībā uz patvaļīgu bāzi,
16 2. noteikt ar kādām parametra λ vērtībām LVS (F λe)x = 0 ir netriviāli atrisinājumi x, var izmantot F λe pakāpienveida formu, visu šādu λ vērtību kopa ir Spec(f). 3. atrast λ 0 Spec(f) atbilstošos īpašvektorus - atrisināt LVS (F λ 0 E)x = 0 vai Fx = λ 0 x attiecībā uz x. Raksturīgā polinoma algoritms 1. atrast f matricu F attiecībā uz patvaļīgu bāzi, 2. atrisināt raksturīgo vienādojumu R F (λ) = det(f λe) = 0, visu sakņu λ vērtību kopa ir Spec(f). 3. atrast λ 0 Spec(f) atbilstošos īpašvektorus - atrisināt LVS (F λ 0 E)x = 0 vai Fx = λ 0 x attiecībā uz x. 16
17 [ piemērs. F = 2 7 ]. Gausa metodes algoritms [ ] [ ] [ ] 4 λ 15 x1 0 (F λe)x = 0 = 2 7 λ x 2 0 { (4 λ)x1 + 15x 2 = 0. Paplašinātās matricas pakāpienveida forma ir 2x 1 + ( 7 λ)x 2 = 0 [ ] [ ] ( 7 λ) = 1 2 (4 λ)( 7 λ) (λ2 + 3λ + 2) 0 Seko, ka netriviāli LVS atrisinājumi λ 2 + 3λ + 2 = 0 λ { 2, 1}. 17 Raksturīgā polinoma algoritms [ 4 λ 15 det(f λe) = det 2 7 λ λ 2 + 3λ + 2 = 0 = λ { 2, 1}. ] = (4 λ)( 7 λ) + 30 =
18 18 Īpašvektori λ = 1 = [ ] [ x1 x 2 ] = [ 0 0 ] = x = [ 3c c ] λ = 2 = [ ] [ x1 x 2 ] = [ 0 0 ] [ ( 5/2)c = x = c ]
19 3. 4.mājasdarbs Obligātie uzdevumi 4.1 Atrast matricu raksturīgos polinomus. [ ] 3 5 (a) ; (b) Atrast matricu īpašvērtības un īpašvektorus. [ ] 5 4 (a), virs Q; (b) 3 3 1, virs Q;
20 (c) , virs R. 4.3 Atrast [ matricu ] īpašvērtības un īpašvektorus. 0 2 (a), virs Q, virs R. [ 1 0 ] 0 1 (b), virs R, virs C Atrast īpašvērtības un īpašvektorus LO polinomu telpās. (a) L = R[X] 3, f(p) = p ; (b) L = R[X] 2, f(p) = (X p) Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 4.5 Invertējamai n n matricai A ir n īpašvērtības λ 1,..., λ n (iespējams, dažas ir vienādas). Atrast LO f(m) = AMA 1 īpašvērtības.
Saturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Lineārā algebra I 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2007./2008.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 2.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 1.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2010./2011.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 7.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Maǧistra studiju programma Matemātika Studiju kurss Diskrētā matemātika 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju
SīkākMicrosoft Word - du_5_2005.doc
005, Pēteris Daugulis BŪLA (BINĀRĀS) FUNKCIJAS UN/VAI MATEMĀTISKĀ LOĢIKA Lietderīgi pētīt funkcijas, kuru argumenti un vērtības ir bināras virknes. Kopa {0,} tiek asociēta ar {jā, nē} vai {patiess, aplams}.
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/ /09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jāni
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ Projekts Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044 NESTRIKTAS KOPAS AR VĒRTĪBĀM PUSGREDZENĀ UN MONĀDES PĀR KATEGORIJU Jānis Cīrulis Latvijas Universitāte email: jc@lanet.lv
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss SKAITĻU TEORIJA 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2012./2013.studiju
SīkākNevienādības starp vidējiem
Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07 Ievads Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 3. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 3. lekcija Ģeometriski mainīgas un nemainīgas sistēmas Stieņu sistēmu struktūras analīzes uzdevums ir noskaidrot, vai apskatāmā sistēma ir ģeometriski mainīga, vai nemainīga.
SīkākSaturs Sākums Beigas Atpakaļ Aizvērt Pilns ekrāns 1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studij
1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 10.lekcija (datoriķiem) Docētājs: Dr. P.
Sīkāk1
. Ļ Uzdevumos. 5. apvelc pareizai atbildei atbilstošo burtu. 75 minūtes ir: 0.75 h.5 h. h.5 h. Sešstūra piramīdas skaldņu skaits ir: 6 7 8. Izteiksmes log vērtība ir: -. Nevienādības x 0atrisinājums ir
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Matemātikas katedra Vjačeslavs Starcevs MATEMĀTISKĀS ANALĪZES SĀKUMU ZINĀTNISKIE PAMATI (izvēles tēmas) 2008 ANOTĀCIJA Piedāvātie materiāli (izvēles tēmas) ir paredzēti matemātikas
Sīkāk7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.4): Prove that if n is a positive integer such that the equation x 3 3xy 2 + y 3 = n
7. Tēma: Polinomi ar veseliem koeficientiem Uzdevums 7.1 (IMO1982.): Prove that if n is a positive integer such that the equation x xy 2 + y = n has a solution in integers x, y, then it has at least three
SīkākMicrosoft Word - du_4_2005.doc
@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KATEDRA Armands Gricāns Vjačeslavs Starcevs Lebega mērs un integrālis (individuālie uzdevumi) 2002 . variants skaitļiem, kuri var tikt izteikti 5 skaitīšanas
SīkākSimetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 2018./2019. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu
Simetrija spēlēs Teorija un piemēri, gatavojoties Atklātajai matemātikas olimpiādei 28./29. mācību gadā Olimpiādes uzdevumu komplektā katrai klašu grupai tiek iekļauts algebras, ģeometrijas, kombinatorikas
SīkākPamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude
Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude J. Valeinis 1 1 Latvijas Universitāte, Rīga 12.marts, 2010 Valeinis Pamatelementi statistikā un Hipotēžu pārbaude p. 1 of 22 Ievads I. Pamatelementi matemātiskajā
SīkākNr. p.k.* Transporta līdzekļa marka / modelis Transporta līdzekļa veids Valsts Reģ. Nr. saraksts un sākuma cenas izsolei Stopiņu novada Lī
1 FIAT DOBLO Kravas transporta HA8036 2008 1368 Benzīns 95 159 724 2 (slikts) 1 000.00 826.45 TEC-2, Acone, 2 FIAT DOBLO Kravas transporta HA8085 2008 1368 Benzīns 95 167 599 3 (viduvējs) 1 700.00 1404.96
SīkākKrājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un a
Krājumā saīsinātā pierakstā sniegti pamatskolas ģeometrijas kursā sastopamie galvenie ģeometriskie jēdzieni, figūru īpašības, teorēmu formulējumi un aprēķinu formulas, kas nepieciešamas, risinot uzdevumus.
SīkākLatvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008
Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra Inese Bula HAOSS LEKCIJU KONSPEKTS 2008 SATURS Kursa prasības 3 Nodaļa Nr.1: Pamatjēdzieni 4 Nodaļa Nr.2: Reālu skaitļu
Sīkāk8.TEMATS RIŅĶI UN DAUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 Ar riņķa līniju saistītie leņķi Sk
8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna
SīkākKomandu sacensības informātikā un matemātikā Cēsis 2017 Izteiksmes Fināla uzdevumi Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķ
Izteiksmes Aplūkosim aritmētiskas izteiksmes, kurās tiek izmantoti deviņi atšķirīgi viencipara naturāli skaitļi un astoņas aritmētisko darbību zīmes (katra no tām var būt tikai +, -, * vai /). Iekavas
Sīkāk7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valo
7.-9. Elfrīda Kokoriša Jekaterina Semenkova- Lauce Mācību satura un valodas apguve matemātikā Mācību līdzeklis skolēnam Projekts «Atbalsts valsts valodas apguvei un bilingvālajai izglītībai» Nr. 008/000/DP/.../08/IPIA/VIAA/00
Sīkāk2012 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums
01 Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 10. klasei 1. Tā kā LM ir viduslīnija, tad, balstoties uz viduslīnijas īpašībām, trijstūra 1 laukums būs 1 4 no trijstūra ABC laukuma. Analogi no viduslīnijām
Sīkākro41_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE 5 klase 4 Dots, ka a
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā Studiju /-as, kurai/-ām tiek piedāvāts studiju kurss Statuss
SīkākESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/ /09/IPIA/VIAA/001 Pr
ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr.2009/0196/1DP/1.2.2.1.5/09/IPIA/VIAA/001 Projekta 6.posms: 2012.gada janvāris - aprīlis Balvu
Sīkāk32repol_uzd
Materiāls ņemts no grāmatas: Andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6-5 matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8 klase Pierādīt, ka neviens no skaitļiem
Sīkākskaitampuzle instrukcija
MUZLE SKAITĀMPUZLE UZDEVUMU VARIANTI ARITMĒTIKAS PAMATU APGŪŠANAI. 1. 1. Saliek pamatni ar 10 rindām (pirmajā rindā 1 kauliņš, apakšējā 10 kauliņi). Kauliņus aiz apļiem atstāj tukšus. Skaita kauliņus katrā
SīkākS-7-1, , 7. versija Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS STUDIJU KURSA PROGRAMMAS STRUKTŪRA Kursa nosaukums latviski Varbūtību teorija un matemātiskā statistika I, II Kursa nosaukums angliski A Theory of Probability and Mathematical
SīkākPowerPoint Presentation
Rīgas Tehniskās universitātes Ģeomātikas katedra LU 77. SZK sekcija «Ģeodinamika un ģeokosmiskie pētījumi 2019» Jānis Kaminskis, Mārtiņš Reiniks, Anete Kiopa 22.03.2019. 1 Atrašanās vieta 2 56 56'39.3"N
Sīkāk48repol_uzd
Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 6.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots
SīkākPrezentacija
LATVIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2016./2017. studiju gadam UZŅEMŠANAS KOMISIJA Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755,
SīkākSpeckurss materiālu pretestībā 10. lekcija
Speckurss materiālu pretestībā 10. lekcija Balstu reakciju un piepūļu aprēķins izmantojot ietekmes līnijas Ietekmes līnijas dod iespēju aprēķināt balstu reakcijas un iekšējās piepūles šķēlumā, kuram tās
Sīkāk1
8. Datu struktūras un aritmētika Nodaļas saturs 8. Datu struktūras un aritmētika...8-1 8.1. Vienkāršie datu objekti...8-1 8.2. Datu apviešana struktūrās, izmantojot funktorus...8-1 8.3. Terma jēdziena
SīkākRīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītī
Rīgas Tehniskā universitāte Apstiprinu: Studiju prorektors Uldis Sukovskis Rīga, 11.04.2019 Programmēšanas valoda JavaScript - Rīga Neformālās izglītības programmas nosaukums 1. Izglītības programmas mērķis
SīkākLatvijas 67. matemātikas olimpiādes 2. posma uzdevumi 5. klase Katru uzdevumu vērtē ar 0 10 punktiem 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs br
5. klase 1. Uz autoceļa Brauc un piesprādzējies ir trīs braukšanas joslas. Pa pirmo joslu jābrauc ar ātrumu no 50 līdz 70 kilometriem stundā, pa otro joslu ar ātrumu no 90 līdz 110 kilometriem stundā,
SīkākStudiju programmas nosaukums
Latvijas augstāko izglītības iestāžu ieguldījums mērniecības izglītībā Latvijā Jauno jomas speciālistu sagatavošana Latvijas Lauksaimniecības specialitātē Vivita Puķīte LLU VBF Zemes pārvaldības un ģeodēzijas
SīkākLU 68 Fizikas sekcija DocBook
Vispārizglītojošās e-fizikas materiālu augstas kvalitātes noformējuma izstrāde, izmantojot DocBook un LaTeX tehnoloģijas Arnis Voitkāns LU 68. konferences Fizikas didaktikas sekcija 5.02.2010. Kas ir augstas
SīkākMicrosoft Word - kompozicija.doc
Ulbrokas Mūzikas un mākslas skola profesionālās ievirzes izglītības programma Vizuāli plastiskā māksla Mācību priekšmeta Kompozīcija programma 1. Mērķi: 1.1 veicināt izglītojamā māksliniecisko, intelektuālo
SīkākSocial Activities and Practices Institute 1 Victor Grigorovich Street, Sofia 1606, Bulgaria Phone: Kas ir
Kas ir interaktīvās studijas? Iztrādāja: Nelija Petrova-Dimitrova Uzdevums 1 Interaktīvās studijas ir mijiedarbība, nevis iedarbība! Uzdevums 2 Interaktīvo studiju pamatā ir grupas dinamika! Grupa ir apmācību
SīkākKONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS
Studiju kursa nosaukums KONSTITUCIONĀLĀS TIESĪBAS Apjoms Apjoms kredītpunktos/ ECTS) 3/ 4,5 120 (stundās) Priekšzināšanas Latvijas valsts un tiesību vēsture, Valsts un tiesību teorija Zinātņu nozare Tiesību
SīkākKlientu klasifikācijas politika, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus II Mērķis Klientu klasifikācijas politikas, snied
Klientu klasifikācijas politika, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus II Mērķis Klientu klasifikācijas politikas, sniedzot ieguldījumu pakalpojumus un ieguldījumu blakuspakalpojumus
SīkākIzlases dizaina optimizācija (kopsavilkums)
LATVIJAS UNIVERSITĀTE Mārtiņš Liberts IZLASES DIZAINA OPTIMIZĀCIJA PROMOCIJAS DARBA KOPSAVILKUMS Doktora grāda iegūšanai matemātikas nozarē Apakšnozare: varbūtību teorija un matemātiskā statistika Rīga,
SīkākPowerPoint Presentation
ZANE OLIŅA, mācību satura ieviešanas vadītāja Dzīvo patstāvīgi un veselīgi Apzinās sevi, savas vēlmes un intereses, Spēj dzīvot patstāvīgi, saskaņā ar savām vērtībām, Saglabā un nostiprina savas garīgās
SīkākLatvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznāji
Latvijas 43. astronomijas atklātās olimpiādes neklātienes kārta 2015. gada 16. aprīlī 1. TESTS Izvēlies tikai vienu atbildi 1. Kurš no šiem zvaigznājiem Latvijā nekad nenoriet? (1 p) Kasiopeja Ērglis Vēršu
SīkākInformācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs
Informācijas tehnoloģiju integrēšana mācību priekšmetos J.Joksts J.Brakšs Mūsdienu tendence! Dažādas dzīves sfēras = mācību priekšmeti Arvien nozīmīgāka ir informācijas un komunikāciju tehnoloģiju pielietošanas
SīkākKomandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 sk
Komandu olimpiāde Bermudu trijstūris Katru uzdevumu vērtē ar 0 5 punktiem. Risināšanas laiks - 3 astronomiskās stundas Uzdevumi 7. klasei 1. Doti 5 skaitļi. Katru divu skaitļu summa ir lielāka par 4. Pierādīt,
SīkākLatvijas ekonomiskās attīstības resursi: cilvēkkapitāls, sociālais kapitāls, intelektuālais kapitāls, kultūras kapitāls un radošais kapitāls. Aigars P
Latvijas ekonomiskās attīstības resursi: cilvēkkapitāls, sociālais kapitāls, intelektuālais kapitāls, kultūras kapitāls un radošais kapitāls. Aigars Plotkāns no Zosēniem Vai cilvēkkapitāls ir kapitāls?
SīkākKURSA KODS
Lappuse 1 no 5 KURSA KODS Kursa nosaukums latviski Kursa nosaukums angliski Kursa nosaukums otrā svešvalodā (ja kursu docē krievu, vācu vai franču valodā) Studiju programma/-as, kurai/-ām tiek piedāvāts
SīkākKas mums izdodas un ko darīsim tālāk?
Kas mums izdodas un ko darīsim tālāk? 08.06.2016. Kā notiek aprobācijas pētījums? Pētījumos balstītu piemēru radīšana (research based design) Piemēru un modeļu izstrāde Teorētiskais pamatojums un modelis
Sīkākv, m/s Projekta numurs: /16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sace
v, m/s Projekta numurs: 8.3.2.1/16/I/002 Nacionāla un starptautiska mēroga pasākumu īstenošana izglītojamo talantu attīstībai 10 1 Velobraukšanas sacensības Fizikas valsts 68. olimpiāde Otrā posma uzdevumi
SīkākPCK34_atr_kopaa
007./008. mācību gads.nodarbības uzdevumu atrisinājumi. Skat., piem.,.zīm. - - - - -.zīm. Komentārs. Ievērosim, ka arī visu ierakstīto skaitļu summa ir. Interesanti būtu noskaidrot jautājumu: kādiem veseliem
SīkākDārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē
Dārzā Lidijas Edenas teksts Andras Otto ilustrācijas Zaķis skatās lielām, brūnām acīm. Ko tu redzi, zaķīt? Skaties, re, kur māmiņas puķu dārzs! Nē, nē, zaķīt! Māmiņas puķes nevar ēst! Zaķis lēkā mūsu dārzā.
SīkākMūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums
Mūsu programmas Programmu ilgums 1 semestris 15 nodarbības 1,5 h nodarbības ilgums Algoritmika un datorzinības (Vecums: 8 gadi) Kursa mērķis ir sniegt bērniem kopīgo izpratni par datoru un datorprogrammām.
Sīkāk2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētniecība un at
2.2/20 IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ! Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei un pētniecībai
SīkākAPSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr
APSTIPRINĀTI ar Latvijas Kultūras akadēmijas Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 4 2012. gada 17. decembrī. Grozījumi ar Senāta sēdes Nr. 1 lēmumu Nr. 8 2019. gada 21. janvārī Noteikumi par studiju kursu akadēmisko
SīkākKŪDRAS ĪPAŠĪBU PĒTĪJUMI DAŽĀDI IETEKMĒTAJĀS LAUGAS PURVA TERITORIJĀS
KŪDRAS ĪPAŠĪBU IZMAIŅAS DABAS APSTĀKĻU UN CILVĒKA DARBĪBAS IETEKMES REZULTĀTĀ Laimdota KALNIŅA 1,5, Jānis Dreimanis 1, Ilze OZOLA 2, Elīza PLATPĪRE 1,2, ReInis BITENIEKS 1, Inārs DREIMANIS 3, Ingrīda KRĪGERE
SīkākPowerPoint Presentation
Akadēmiskā personāla darba samaksa Vidzemes Augstskolā Gatis Krūmiņš Vidzemes Augstskolas rektors Iveta Putniņa Vidzemes Augstskolas administratīvā prorektore Vispārējie principi Docēšana Pētniecība Administratīvais
SīkākMicrosoft Word - Inese Polaka_kopsavilkums
RĪGAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE Datorzinātnes un informācijas tehnoloģijas fakultāte Informācijas tehnoloģijas institūts Inese POĻAKA Doktora studiju programmas Informācijas tehnoloģija studente KLAŠU BLĪVUMA
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2016
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2016 Rektors APSTIPRINU Daugavpils Universitātes A.Barševskis 2015.gada 15.decembrī Daugavpilī shēma Indeksi Struktūrvienība 1 Satversmes sapulce 2 Senāts 3
SīkākPowerPoint Presentation
Koksnes biomasas produktu uzskaite: pieejamie dati Vides un enerģētikas statistikas daļa Anna Paturska 2016.gada 15.februāris Saturs Koksnes biomasa - CSP statistikas veidlapās - gada - reizi piecos gados
SīkākPētījums Nr Datu avotu analīzes un sasaistes rīks Līgums Nr. L-KC Testēšanas rezultātu apraksts Vadošais pētnieks Zinātniskā virziena v
Pētījums Nr. 1.16. Datu avotu analīzes un sasaistes rīks Līgums Nr. L-KC-11-0003 Testēšanas rezultātu apraksts Vadošais pētnieks Zinātniskā virziena vadītāja Atis Kapenieks Renāte Strazdiņa Rīga, 2013
Sīkākro40_atr
Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais
SīkākPowerPoint Presentation
Konference Starpdisciplinaritāte, radošums un uzņēmība mūsdienu izglītības aktualitātes, 2014. gada 29. oktobris ESF projekts Atbalsts izglītības pētījumiem 2011/0011/1DP/1.2.2.3.2/11/IPIA/VIAA/001 Pētījums
SīkākPamatnostādnes Par pozīciju aprēķināšanu, ko saskaņā ar EMIR veic darījumu reģistri 28/03/2019 ESMA LV
Pamatnostādnes Par pozīciju aprēķināšanu, ko saskaņā ar EMIR veic darījumu reģistri 28/03/2019 ESMA70-151-1350 LV Satura rādītājs I. Piemērošanas joma... 3 II. Atsauces uz tiesību aktiem, saīsinājumi un
SīkākMicrosoft Word - IeskaisuGrafiks_10b.doc
Priekšmets - angļu valoda Klase 10.a,b Mācību gads 2008/09. Skolotājs - Gesja Živa Nr. tēma saturs 1. Unit 1. Dwellings, household chores, the Present Tenses, phrasal verbs. 2. Unit 2. Life events, the
SīkākGAISA TEMPERATŪRAS ĢEOGRĀFISKAIS SADALĪJUMS LATVIJĀ PIE ATŠĶIRĪGIEM GAISA MASU TIPIEM
Klimata pārmaiņu raksturs Latvijas klimata mainība A.Briede, M.Kļaviņš, LU ĢZZF Globālās klimata izmaiņas- novērojumi un paredzējumi ES mājas Sarunu istaba, 2012.gada 16.maijā Gaisa temperatūras raksturs
SīkākLV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši
LV IEVĒRO: VISAS LAPASPUŠU NORĀDES ATTIECAS UZ SPĒLES KOMPLEKTĀ IEKĻAUTO SPĒLES NOTEIKUMU GRĀMATIŅU. SPĒLES KOMPLEKTS: 12 pentamino, 5 sarkani klucīši, 3 brūni klucīši, 1 spēles laukums, 1 barjera izvēlētā
SīkākMicrosoft Word - Parskats_Kraslava_2007.doc
SIA Krāslavas nami Pārskats par siltumnīcefekta gāzu emisiju 2007. gadā Saturs I. Ziņas par operatoru...3 II. Vispārīga informācija par piesārņojošajām darbībām...4 III. Emisijas aprēķini sadedzināšanas
SīkākDAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017
DAUGAVPILS UNIVERSITĀTES LIETU NOMENKLATŪRA 2017 Rektors APSTIPRINU Daugavpils Universitātes A.Barševskis 2016.gada 19.decembrī Daugavpilī shēma Indeksi Struktūrvienība 1 Satversmes sapulce 2 Senāts 3
SīkākPAMATNOSTĀDNES PAR SFPS 9 PĀREJAS PASĀKUMU VIENOTU INFORMĀCIJAS ATKLĀŠANU EBA/GL/2018/01 16/01/2018 Pamatnostādnes par vienotu informācijas atklāšanu
EBA/GL/2018/01 16/01/2018 Pamatnostādnes par vienotu informācijas atklāšanu saskaņā ar Regulas (ES) Nr. 575/2013 473.a pantu attiecībā uz pārejas pasākumiem saistībā ar SFPS 9 par pašu kapitālu ieviešanas
SīkākPowerPoint Presentation
Šeit top veiksmīgas karjeras Galvenie nosacījumi reflektantu uzņemšanai pamatstudijās 2019./2020. studiju gadam Uzņemšanas komisija Lielā iela 2, 180.telpa, Jelgava, LV-3001 Tālr.: 20227755, e-pasts: ukom@llu.lv
SīkākStudiju programmas raksturojums
Studiju programmas raksturojums Doktora studiju programma Politikas zinātne studiju programmas nosaukums 2015./2016. akadēmiskais gads 1. Studiju programmas nosaukums, iegūstamais grāds, profesionālā kvalifikācija
SīkākA.Broks Studiju kursa DOMĀŠANAS SISTEMOLOĢIJA nodarbību shematiskie konspekti DS - PRIEKŠVĀRDS
DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 1 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 2 DS - PRIEKŠVĀRDS 2012-13 3 Komentāri par studiju kursa b ū t ī b u un s ū t ī b u Būtība veicot sistēmiskās domāšanas kā domāšanas sistēmiskuma apzināšanu,
SīkākMicrosoft Word - Abele
LATVIJAS MĀKSLAS AKADĒMIJA Kalpaka bulvāris 13, Rīga, Latvija, LV-1867; Reģ. Nr. 90000029965 tālr.+371 67332202, +371 67221770; fakss +371 67228963 Diploma pielikums ir sastādīts saskaņā ar modeli, kuru
SīkākIEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ EIROPAS SAVIENĪBA Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: Zinātne, pētn
IEGULDĪJUMS TAVĀ NĀKOTNĒ EIROPAS SAVIENĪBA Eiropas Reģionālās attīstības fonds Prioritāte: 2.1. Zinātne un inovācijas Pasākums: 2.1.1.1. Zinātne, pētniecība un attīstība Aktivitāte: 2.1.1.1. Atbalsts zinātnei
SīkākPALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM
PALĪGS SKOLĒNIEM UM STUDENTIEM JĀ Ņ A FO M IN A sakārtojums Krājumā «Matem ātikas formulas» sakopotas daudzas elementārās matemātikas un augstākās matemātikas formulas. Krājums galvenokārt paredzēts tiem,
SīkākPowerPoint Presentation
Šeit top veiksmīgas karjeras Nāc studēt Jelgavā! LLU rektore, profesore Irina Pilvere 25.08.2015 www.llu.lv Vieta virsrakstam, teksts vienā kolonnā Šeit top veiksmīgas karjeras! LLU ir ceturtā lielākā
SīkākRF PRO.pdf
CIVILS LANDSCAPING AQUA SPORT RECYFIX PRO NEW INOVATĪVA DRENĀŽAS SISTĒMA IZGATAVOTA NO PE-PP UN PA-GF MĀJAS UN KOMERCIĀLO PLATĪBU TERITORIJĀS LĪDZ C250 SLODZES KLASEI Tagad arī ar FIBRETEC resti CIVILS
Sīkāk5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta a
5.TEMATS Varbūtību teorijas elementi Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri Stundas piemērs M_11_SP_05_P1 Diofanta adatas Skolēna darba lapa M_11_LD_05_P1 Izloze Skolēna
SīkākLaboratorijas darbi mehānikā
Laboratorijas darbs Nr..1 Elektrisko mēraparātu pārbaude un mērdiapazona paplašināšana Studenta vārds, uzvārds:... Fakultāte, grupa:... Studenta apliecības numurs:... Teorētiskais pamatojums Praksē ne
SīkākStocktaking report
Bologna Stocktaking Boloņas Procesa panākumu izvērtējums Prof. Andrejs Rauhvargers, Latvija Izvērtējuma pētījuma darba grupas vadītājs QEII Konferenču centrs, Londona 2007. gada 17. & 18. maijs Eiropas
SīkākPowerPoint Presentation
Darbības programmas Izaugsme un nodarbinātība PROJEKTA SAM 8.2.1. ĪSTENOŠANA DAUGAVPILS UNIVERSITĀTĒ Starpdisciplinārais seminārs Daugavpils Universitātē, 06.11.2018. Eiropas Sociālā fonda projekta Daugavpils
SīkākAPSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PR
APSTIPRINĀTS ar LKA Senāta sēdes Nr. 9 lēmumu Nr. 8 2016. gada 19. decembrī NOLIKUMS PAR PĀRBAUDĪJUMIEM AKADĒMISKAJĀS BAKALAURA UN MAĢISTRA STUDIJU PROGRAMMĀS LATVIJAS KULTŪRAS AKADĒMIJĀ Izdots saskaņā
SīkākLATVIJAS UNIVERSITĀTE
LATVIJAS UNIVERSITĀTE ERASMUS+ PROGRAMMAS MOBILITĀTES ORGANIZĒŠANAS KĀRTĪBA LATVIJAS UNIVERSITĀTĒ Pielikums APSTIPRINĀTS ar LU 18.12.2014. rīkojumu Nr.1/363 Ar grozījumiem, kas izdarīti līdz 04.08.2015.
SīkākRiski: identificēšana un mērīšana
Risku vadība apdrošināšanā Risku identificēšana un mērīšana Jolanta Krastiņa, FAA Latvijas Aktuāru Asociācija 01.12.2011 Saturs Ievads risku vadībā mērķis, ERM, risku vadības process Risku identifikācija
SīkākAustra Avotiņa autora vai autoru grupas vārds, uzvārds Kultūras izpausmes formas. Māksla kā kultūras forma. Ievads. darba nosaukums Materiāls izstrādā
Austra Avotiņa autora vai autoru grupas vārds, uzvārds Kultūras izpausmes formas. Māksla kā kultūras forma. Ievads. darba nosaukums Materiāls izstrādāts ESF Darbības programmas 2007. - 2013.gadam Cilvēkresursi
SīkākPresentation title
Tehniskās ekspertīzes un diagnostikas dienests Daudzdzīvokļu ēku elektrotīklu testēšana Uģis Skopans, Dienesta vadītājs 23.01.2014, Jūrmala Saturs Elektrotīklu pieļaujamās slodzes noteikšana Elektroinstalācijas
SīkākSlide 1
IZM VISC Eiropas Sociālā fonda projekts Dabaszinātnes un matemātika SKOLOTĀJU STUDIJU PROGRAMMU NODARBĪBU MATERIĀLI DABASZINĀTŅU UN MATEMĀTIKAS DIDAKTIKĀ Latvijas Universitāte Liepājas Universitāte Daugavpils
SīkākPM_Izglītības _prasības_v.1.1
Valsts atbalsta programma dzīvojamās telpas iegādei vai būvniecībai PALĪGMATERIĀLS PAR IZGLĪTĪBU PAMATOJOŠAJIEM DOKUMENTIEM MĀJOKĻU GARANTIJU PROGRAMMĀ Mājokļu garantijas VAR piešķirt personām, kuras ieguvušas
SīkākR ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis
R ecenzenti: V. Ziobrovskis un D. Kriķis PRIEKŠVĀRDS Spējas m atem ātikā var attīstīt un izkopt, trenējoties dažādu uzdevumu risināšanā, pie tam īpaši svarīgi ir risināt grūtus uzdevum us. Šajā grām atā
Sīkāk