9. IDEALAI IR K ç UNAI. 1. Elementas a 2 R dalijasi içs b 2 R, jeigu egzistuoja toks c 2 R, kad

9. IDEALAI IR K ç UNAI Içssiaiçskinsime, koks bçuti komutatyviojo çziedo R su vienetu idealas I, kad faktorçziedis R I integralumo sritis arba kçunas. tur_etu` bçutu` 7.21 apibr_eçzimas. Tegu R yra komutatyvusis çziedas su vienetu. 1. Elementas a 2 R dalijasi içs b 2 R, jeigu egzistuoja toks c 2 R, kad a = b c. Elementas b vadinamas a dalikliu èraçsoma b j aè. Vieneto dalikliai çziede yra elementai, turintys atvirkçstinius. 2. Elementai a ir b vadinami asocijuotais elementais, jeigu egzistuoja toks vieneto daliklis ", kad a = "b. 3. Elementas c vadinamas pirminiu çziedo R elementu jeigu, pirma, jis n_era vieneto daliklis, antra, visi elemento c dalikliai yra arba vieneto dalikliai, arba asocijuoti su c elementai èiçs lygyb_es c = df gauname, kad d ir f arba vieneto dalikliai, arba asocijuoti su c; çsie dalikliai vadinami trivialiaisè. 7.22 içsvados. 1. a j a. 2. a j b, b j c è a j c. 3. a j b, b j a èè a asocijuotas su b. 4. Sa`ryçsis fèa; bè j a asocijuotas su bg yra ekvivalentumo sa`ryçsis çziede R. 5. Vieneto dalikliai çziede èr; +; è sudaro multiplikacinè grupè. çsiuos teiginius ìrodyti paliekame skaitytojui. 7.23 apibr_eçzimas. 1. ç Ziedo R idealas P 6= R vadinamas pirminiu, jeigu içs a b 2 P, a; b 2 R içsplaukia arba a 2 P, arba b 2 P. 2. ç Ziedo R idealas M 6= R vadinamas maksimaliuoju, jeigu su visais idealais I, tenkinançciais sàlygà M ç I, galioja arba I = M, arba I = R. 7.24 teiginys. Tegu R yra komutatyvusis çziedas su vienetu. 1. Idealas M maksimalus tada ir tik tada, kai faktorçziedis R M yra kçunas. 1

2. Idealas P pirminis tada ir tik tada, kai faktorçziedis R P yra integralumo sritis. 3. Tegu R yra pagrindiniù idealù sritis. Faktorçziedis R èaè yra kçunas tada ir tik tada, kai a í pirminis çziedo R elementas. Irodymas. 1. Tegu M yra maksimalus idealas ir tod_el M 6= R; a + ` M 6= 0+M í nenulinis faktorçziedçzio R M elementas, a =2 M. Rasime çsiam elementui atvirkçstinì. Aib_e I = far+m j r 2 R; m 2 Mg yra çziedo R idealas èpatikrinkite!è. Kadangi M ç I, I 6= M, tod_el I = R. Taigi çziedo R vienetinì galima içsreikçsti elementa` 1=a r + m; r 2 R; m 2 M: Tada èa + M è èr + M è=ar + M =è1, mè +M =1+M ir r + M yra elemento a + M atvirkçstinis. Tegu R M yra kçunas ir I toks çziedo idealas, kad M ç I, I 6= M. Jei a 2 I, a=2 M, tai a + M í nenulinis kçuno R M elementas, tod_el jis turi atvirkçstinì r + M :èa + M èèr + M è=1+m, ar + M =1+M. Kadangi 1=ar 2 I + m 2 I, tod_el I = R. Taigi M yra maksimalus idealas. 2 I 2. Jeigu P yra pirminis idealas, tai R P íkomutatyvusis çziedas su vienetu: 1 =2 P ir 1 + P 6= 0+P. èa + P èèb + P è=0+p èè ab + P =0+P èè ab 2 P èè a 2 P; arba b 2 P èè arba a + P =0+P; arba b + P =0+P: arba Taigi R neturi nulio ir tod_el yra integralumo sritis. dalikliu` 3. Tegu a 2 R. 1è Jeigu a yra elementas, turintis atvirkçstinì, tai èaè = è1è = R. Tada R èaè = frg í aib_e içs vieno elemento í negali bçuti kçunu. 2è Jeigu a yra elementas, neturintis atvirkçstinio, bet ir ne pirminis, tai a turi daliklì b èa = b c; c 2 Rè, içssiskiriantì savyb_emis: netrivialu` èiè b 6= 0 èjeigu b = 0, tai a = b =0ira asocijuotas su bè; bçutu` èiiè b=2 èaè èjeigu b 2 èaè è b = ar = bcr;r2 R è bè1,crè =0;b6= 0 è 1 = crèr,integralumo sritisè è c,elementas, turintis atvirkçstinì è a, asocijuotas su b è prieçstaraè. Taigi èaè ç èbè ç R, èbè 6= èaè, èbè 6= R, tod_el èaè n_era maksimalus idealas ir R èaè n_era kçunas. 3è a yra pirminis ir tod_el èaè 6= è1è = R. 2

Tegu I yra toks çziedo R idealas, kad I ç èaè. Bet R í pagrindiniu` idealu` sritis, tod_el I =èbè, b 2 R ir èbè ç èaè, t.y. a 2 èbè ira = b r, r 2 R. a yra pirminis elementas, tod_el b yra trivialus a daliklis: jeigu b í elementas, turintis atvirkçstinì, tai èbè = è1è = R; jeigu b yra asocijuotas su elementu a, tai èbè = èaè. Taigi èaè yra maksimalus çziedo R idealas ir tod_el R èaè íkçunas. 4 7.25 pavyzdys. çziedas Zyra Sveiku`ju` skaiçciu` pagrindiniu` idealu` sritis. Vieneto dalikliai çziede Zí tai 1, o pirminiai skaiçciai í tai pirminiai çziedo Zelementai. Tod_el faktorçziedis Z ènè yra kçunas tada ir tik tada, kai n = p í pirminis skaiçcius; Z èpè = GF èpè. 7.26 pavyzdys. Tegu K yra kçunas ir Këxë í polinomu` çziedas virçs kçuno K. Vieneto dalikliai polinomu` çziede Këxë í tai visi nenuliniai kçuno K elementai. Kitu` vieneto dalikliu` n_era, nes içs f 1 f 2 =1,f 1 ;f 2 2 Këxë, gautume deg f 1 + deg f 2 = 0 ir deg f 1 = deg f 2 =0. Polinomai f ir g yra asocijuoti tik tada, kai f = c g su kuriuo nors kçuno K elementu c. Pirminiai çziedo Këxë elementai vadinami neredukuojamais polinomais. Neredukuojami polinomai polinomu` çziedo dalumo teorijoje vaidina ta` patì vaidmenì kaip ir pirminiai skaiçciai sveiku`ju` skaiçciu` dalumo teorijoje. Kiekvienas teigiamo laipsnio polinomas fèxè 2 Këxë virçs kçuno K gali bçuti vienareikçsmiçskai içsreikçstas sandauga f = ap 1 1 p2 2 :::pn n ; çcia: a 2 K, p 1 ;p 2 ;:::;p n í skirtingi unitarieji neredukuojami polinomai; 1 ; 2 ;:::; n í natçuralieji laipsnio rodikliai. Neredukuojamu` polinomu` pavyzdçziai: 1è x 2 + 2 neredukuojamas virçs R, bet redukuojamas virçs C : x 2 +2=, p, p x + i 2 x, i 2 ; 2è x 2, 2 neredukuojamas virçs Q, bet redukuojamas virçs R: x 2, 2=, p, p x + 2 x, 2. paieçska í vienas içs klausimu`, Neredukuojamu` polinomu` pagrindiniu` su çziedu Këxë. Zinome, susijusiu` polinomu` ç kad çziedas Këxë yra polinomu` sritis. Tod_el 7.24 teiginio 3 dalis polinomams skamba pagrindiniu` idealu` taip: Tegu fèxè 2 Këxë. Faktorçziedis Këxë èfèxèè yra kçunas tada ir tik tada, kai f í neredukuojamas virçs kçuno K polinomas. 3

Içstirsime faktorçziedçzio Këxë èfèxèè struktçura`. Tegu fèxè polinomas virçs kçuno K, 0 6 n = deg fèxè. Faktorçziedis Këxë èfèxèè = gèxè +èfèxèè j gèxè 2 Këxë : Tegu deg gèxè é n. Pritaikè dalumo algoritma` polinomu` porai gèxè ir fèxè, gausime gèxè =qèxè fèxè +rèxè, deg rèxè é deg fèxè =n. gèxè +, fèxè = qèxèfèxè 2, fèxè +rèxè+,, fèxè = rèxè+ fèxè ir Këxë èfèxèè = rèxè+, fèxè j rèxè 2 Këxë; deg rèxè én : Aibè rèxè+, fèxè çzym_esime rèxè fèxè, arba tiesiog rèxè. Jeigu deg fèxè = 0, tai polinomas f yra vieneto daliklis, fèxè =a 2 K ir tod_el Këxë èfèxèè = Këxë Këxë = Këxë = ë0ë : Tegu deg fèxè é 1. Ì K galima çziçur_eti kaip ì çziedo Këxë kçuna` èfèxèè pokçunì: K ç Këxë èfèxèè, kuriame, jei a; b 2 K, tai ëaë fèxè =ëbë fèxè èè a,b dalijasi içs fèxè èè a,b =0 èè a = b: Taigi funkcija f : K! Këxë èfèxèè, fèaè =ëaë, yra injekcija. Tegu ëxë fèxè =. Bet kurì içs Këxë elementa` èfèxèè galima uçzraçsyti an,1 x n,1 + a n,2 x n,2 + :::+ a 1 x + a 0 = a n,1 x n,1 + a n,2 x n,2 + :::+ a 1 ëxë+ a0 = a n,1 ëxë n,1 + a n,2 ëxë n,2 + :::+ a 1 ëxë+a 0 = a n,1 n,1 + a n,2 n,2 + :::+ a 1 + a 0 : Taigi faktorçziedçzio Këxë èfèxèè elementai yra K-tiesin_es 1;; elementu` 2 ;:::; n,1 kombinacijos ir tod_el çsiuos elementus patogu ìsivaizduoti kaip 4

polinomu` içs Këxë reikçsmes =ëxë fèxè èkai fèè = 0, nes fèè = fèxèë fèxè = ë0ë fèxè è. 7.27 pavyzdys. 1. Tegu K yra kçunas, o fèxè =ax + b, a; b 2 K, a 6= 0. Elementas x =,ba,1 yra polinomo f çsaknis, tod_el Këxë èax + bè = c + a 1 x + :::+ a n x n j ax + b =0 = c + a 1 è,ba,1 è+:::+ a n è,ba,1 è n j c; a 1 ;:::;a n 2 K; n 2 N ç K: 2. Tegu K = Zyra sveiku`ju` skaiçciu` çziedas, o fèxè =10x, 1. Faktorçziedis Zëxë è10x, 1è = a 0 + a 1 x + :::+ a n x n j 10x, 1=0 = a 0 + a 1 x + :::+ a n x n j 10x =1 = a 0 + a 1 x + :::+ a n x n j 0 6 a i é 10; 1 6 i 6 n; a 0 2 Z;n2 N;x=;; 1 10 ë n ç a 0 + a 1 10 + a 2 10 + :::+ a n 2 10 j n 0 6 a i é 10; a 0 2 Z;n2N o í çziedas. baigtiniu` deçsimtainiu` trupmenu` Zëxë è10x, 1è n_era izomorçskas Z. Pasteb_esime, kad çsiuo atveju 7.28 pavyzdys. Polinomas fèxè =x 2 + 1 yra neredukuojamas polinomas virçs R. ç Zinome, kad Rëxë èx 2 +1è = a + bëxë èx 2 +1è j a; b 2 R : Paçzym_ekime ëxë èx 2 +1è = i. Tada i 2 =ëxë 2 èx 2 +1è =ëx2 ë èx 2 +1è = x 2 +1, 1 èx 2 +1è = x 2 +1 èx 2 +1è, ë1ë èx 2 +1è =,1: Veiksmai çsiame kçune turi çsias savybes: 1è èa + ibè+èc + idè =èa + cè+ièb + dè. 2è èa + ibè èc + idè =ac + ièad + bcè+i 2 bd =èac, bdè+ièad + bcè. 5

3è Jeigu a + ib 6= 0, tai èa + ibè,1 = a, ib èa + ibèèa, ibè : : a 2 + b2 a 2 + b 2 Kçunas Rëxë èx 2 +1è izomorçskas kçunui: izomor- kompleksiniu` skaiçciu` zmas iz : Rëxë èx 2 +1è! C ; iz, a + bëxë èx 2 +1è = a + ib; a; b 2 R: Pasteb_esime, jei kçunas K yra baigtinis, o m í jo elementu` skaiçcius, tai elementu` skaiçcius faktorçziedyje Këxë èfèxèè yra lygus mn ;çcia n = deg f. 7.29 pavyzdçziai. 1. Tegu K = GF è2è, o fèxè =x + 1. Elementu` skaiçcius faktorçziedyje GF è2èëxë èx +1è yra 21 = 2: GF è2èëxë èx +1è = ë0ë; ë1ë ç GF è2è. 2. Tegu K = GF è3è, o fèxè =x 2 +1. skaiçcius faktorçziede GF è3èëxë Elementu` èx 2 +1è yra 32 =9ir GF è3èëxë èx 2 +1è = ë0ë; ë1ë; ë2ë; ëxë; ëx +1ë; ëx +2ë; ë2xë; ë2x +1ë; ë2x + 2ë = fëabë j ëabë =ëax + bë;a;b=0; 1; 2g. Veiksmu` lentel_es komutatyviame faktorçziedyje GF è3èëxë èx 2 +1è yra 6

+ ë00ë ë01ë ë02ë ë10ë ë11ë ë12ë ë20ë ë21ë ë22ë ë00ë ë00ë ë01ë ë02ë ë10ë ë11ë ë12ë ë20ë ë21ë ë22ë ë01ë ë01ë ë02ë ë00ë ë11ë ë12ë ë10ë ë21ë ë22ë ë20ë ë02ë ë02ë ë00ë ë01ë ë12ë ë10ë ë11ë ë22ë ë20ë ë21ë ë10ë ë10ë ë11ë ë12ë ë20ë ë21ë ë22ë ë00ë ë01ë ë02ë ë11ë ë11ë ë12ë ë10ë ë21ë ë22ë ë20ë ë01ë ë02ë ë00ë ë12ë ë12ë ë10ë ë11ë ë22ë ë20ë ë21ë ë02ë ë00ë ë01ë ë20ë ë20ë ë21ë ë22ë ë00ë ë01ë ë02ë ë10ë ë11ë ë12ë ë21ë ë21ë ë22ë ë20ë ë01ë ë02ë ë00ë ë11ë ë12ë ë10ë ë22ë ë22ë ë20ë ë21ë ë02ë ë00ë ë01ë ë12ë ë10ë ë11ë ë00ë ë01ë ë02ë ë10ë ë11ë ë12ë ë20ë ë21ë ë22ë ë00ë ë00ë ë00ë ë00ë ë00ë ë00ë ë00ë ë00ë ë00ë ë00ë ë01ë ë00ë ë01ë ë02ë ë10ë ë11ë ë12ë ë20ë ë21ë ë22ë ë02ë ë00ë ë02ë ë01ë ë20ë ë22ë ë21ë ë10ë ë12ë ë11ë ë10ë ë00ë ë10ë ë20ë ë02ë ë12ë ë22ë ë01ë ë11ë ë21ë ë11ë ë00ë ë11ë ë22ë ë12ë ë20ë ë01ë ë21ë ë02ë ë10ë ë12ë ë00ë ë12ë ë21ë ë22ë ë01ë ë10ë ë11ë ë20ë ë02ë ë20ë ë00ë ë20ë ë10ë ë01ë ë21ë ë11ë ë02ë ë22ë ë12ë ë21ë ë00ë ë21ë ë12ë ë11ë ë02ë ë20ë ë22ë ë10ë ë01ë ë22ë ë00ë ë22ë ë11ë ë21ë ë10ë ë02ë ë12ë ë01ë ë20ë Içs daugybos lentel_es matome, kad faktorçziedyje GF è3èëxë èx 2 +1è n_era nulio dalikliu`, tod_el baigtin_e integralumo sritis GF è3èëxë èx 2 +1è yra kçunas ir polinomas fèxè =x 2 + 1 neredukuojamas virçs GF è3è. 3. Tegu K = GF è2è, o fèxè =x 2 +1. skaiçcius faktorçziedyje GF è2èëxë Elementu` èx 2 +1è yra 22 =4ir GF è2èëxë èx 2 +1è = ë0ë; ë1ë; ëxë; ëx +1ë. Veiksmu` lentel_es çsiame çziede yra 7

+ ë0ë ë1ë ëxë ëx +1ë ë0ë ë0ë ë1ë ëxë ëx +1ë ë1ë ë1ë ë0ë ëx +1ë ëxë ëxë ëxë ëx +1ë ë0ë ë1ë ëx +1ë ëx +1ë ëxë ë1ë ë0ë ë0ë ë1ë ëxë ëx +1ë ë0ë ë0ë ë0ë ë0ë ë0ë ë1ë ë0ë ë1ë ëxë ëx +1ë ëxë ë0ë ëxë ë1ë ëx +1ë ëx +1ë ë0ë ëx +1ë ëx +1ë ë0ë Matome, kad faktorçziedis GF è2èëxë èx 2 +1è n_era kçunas, nes jame yra nulio daliklis ëx + 1ëëx + 1ë = ë0ë. Taigi polinomas x 2 +1 n_era neredukuojamas. Içs x tikru`ju` 2 +1=èx +1è 2 virçs GF è2è. Daugybos lentel_e faktorçziedyje Këxë èfèxèè,çcia K í baigtinis kçunas, leidçzia sprèsti, redukuojamas ar neredukuojamas polinomas fèxè. Tiesa, çsis bçudas n_era patogiausias. 7.30 apibr_eçzimas. Tegu K yra kçunas, o fèxè 2 Këxë. Kçuno elementas a 2 K vadinamas polinomo fèxè çsaknimi, jeigu fèaè = 0. Polinomo fèxè çsaknies a kartotinumu vadinsime tokì natçuralùjì skaiçciù k, kad fèxè dalijasi içs èx, aè k, bet nesidalija içs èx, aè k+1. Pagrindin_es polinomo çsaknu` savyb_es: 1. a 2 K yra polinomo fèxè 2 Këxë çsaknis tada ir tik tada, kai fèxè dalijasi içs x, a. 2. Tegu a 1 ;a 2 ;:::;a m 2 K í skirtingos polinomo fèxè 2 Këxëçsaknys, kuriu` kartotinumai atitinkamai lygçus k 1 ;k 2 ;:::;k m. Tada fèxè dalijasi içs èx, a 1 è k1 èx, a 2 è k2 :::èx, a m è km ir tod_el k 1 + k 2 + :::+ k m 6 deg fèxè. 3. Polinomo fèxè 2 Këxë çsaknis a yra kartotin_e tada ir tik tada, kai a yra taip pat polinomo fèxè içsvestin_es f 0 èxè çsaknis. 7.31 teiginys. Tegu K yra kçunas, o fèxè 2 Këxë. 1. Pirmojo laipsnio polinomai neredukuojami virçs K ir turi po vienà paprastàjà çsaknì. 8

2. Tegu deg fèxè =2arba 3; fèxè neredukuojamas virçs K tada ir tik tada, kai fèxè neturi çsaknù kçune K. 3. Tegu deg fèxè é 4. Ne visada polinomas fèxè, neturintis çsaknù virçs K, yra neredukuojamas. Irodymas. 1 yra içsvada. ` apibr_eçzimu` 2. Neredukuojamas polinomas fèxè neturi çsaknu` kçune K èçzr. 7.30 1 savybèè. Jeigu fèxè neturi çsaknu`, ofèxè redukuojamas virçs K, tai fèxè = gèxèhèxè; çcia min, deg gèxè; deg hèxè =1. Tegu deg gèxè =1. Tada gèxè =ax + b, a; b 2 K, a 6= 0irgèxè çsaknis yra elementas,ba,1. ç Sis elementas yra ir fèxè çsaknis. Prieçstara ìrodo teiginì. 3. Tegu K = GF è2è, polinomas fèxè =èx 2 + x + 1èèx 2 + x + 1è neturi çsaknu` kçune GF è2è, bet yra redukuojamas. 4 9

7.32 pavyzdys. Pasinaudojè 7.31 teiginio 1 ir 2 dalimis, nesunkiai sudarysime pirmojo, antrojo ir treçciojo laipsnio neredukuojamu` polinomu` virçs kçunu` içs 2 ir 3 elementu` lenteles: fèxè =ax 3 + bx 2 + cx + d a b c d 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 GF è2è a b c d 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 2 0 1 2 2 GF è3è a b c d 1 0 2 1 1 0 2 2 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 0 1 1 2 1 1 1 2 2 1 10