48repol_uzd

Transkripts

1 Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 48. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 9. klase 48.. Ziāms, ka 48..zīm. attēlots fukcijas y = ax + bx + c vai skaitļi a; b; c; a + b + c ; a + b ir pozitīvi, egatīvi vai 0. grafiks. Noskaidrojiet, y 0 x 48.. zim Kā 48..zīm. parādītajā tabulā tukšajās rūtiņās ierakstīt pa skaitlim tā, lai visās ridās, visās koloās u abās diagoālēs ierakstīto skaitļu summas būtu savā starpā vieādas? zīm Atrast mazāko aturālo skaitli, kam vielaicīgi piemīt trīs īpašības: tas dalās ar 8, tā ciparu summa ir 8 u tā divi pēdējie cipari veido skaitli Uz kvadrāta ABCD malas AD ņemts pukts M, bet uz malas CD pukts N tā, ka DM = DN. No D ovilkts perpedikuls pret MC; perpedikula pamats ir K. Pierādīt, ka BKN = 90.

2 48.5. Fizkultūras studā klasei bija jāsadalās komadās. Vispirms skolotājs ozīmēja komadu vadītājus, starp kuriem ebija draugu; pēc tam katrs vadītājs uzaiciāja savā komadā visus savus draugus. Laimīgā kārtā izrādījās, ka skolotāja plās bija veiksmīgs: evies bērs etika uzaiciāts divās komadās, u evies epalika ārpus komadām. Nākošajā studā skolotājs ozīmēja par vieu vadītāju vairāk (starp vadītājiem atkal av draugu). Vai var gadīties, ka klase atkal veiksmīgi sadalīsies komadās? (Pieņemam, ka visas draudzības ir abpusējas u emaiās.) 0. klase Atrisiāt vieādojumu sistēmu: x y = y + = x Dots, ka p u q ir dažādi aturāli skaitļi. Pierādīt, ka vismaz vieam o vieādojumiem x + px + q = 0 u x + qx + p = 0 ir reāla sake Naturālu skaitli sauc par īpatēju, ja tam ir epāra skaits dalītāju (apskatām tikai pozitīvus dalītājus, ieskaitot u pašu skaitli.) Ziāms, ka ga, ga + 4 ir īpatēji skaitļi. Atrast Dots, ka ACB ir vieādsāu (AC = CB). Uz malām AB, BC, CA atbilstoši ņemti pukti E, F u G tā, ka EFCG ir paralelograms, pie tam AE < EB. Leņķa C bisektrise krusto ogriezi EF puktā N. Perpedikulu, kas caur puktu A vilkts pret AC, šī bisektrise krusto puktā O. a) pierādīt, ka AN GF, b) pierādīt, ka OE FG Katrs o deviņiem rūķīšiem šogad četras reizes ciemojies pie Siegbaltītes, katru reizi pavadot tur kādu laika sprīdi. Ir ziāms, ka katri divi rūķīši ir satikušies pie Siegbaltītes. Pierādīt, ka kādu brīdi pie Siegbaltītes vielaicīgi ciemojās vismaz trīs rūķīši.. klase Dots, ka a + b + c = 0. Pierādīt, ka a + b + c = 3abc.

3 48.. Dots, ka aturāls skaitlis, bet ir pirmskaitlis. Pierādīt, ka a) dalās ar, b) dalās ar 4, c) dalās ar Divas riņķa līijas ω u ω ārēji pieskaras viea otrai puktā A, bet iekšēji trešajai riņķa līijai ω atbilstoši puktos B u B. Abu pirmo riņķa līiju kopējā iekšējā pieskare krusto riņķa līiju ω divos puktos; vies o tiem ir M. Nogriezis MB krusto ω puktā C, bet ogriezis MB krusto ω puktā C. Pierādīt, ka C C ir riņķa līiju ω u ω kopējā ārējā pieskare Dots, ka > Atrast mazāko iespējamo a u ( )( ) x + + x y + + y = a. x + y vērtību Vieādmalu trijstūra katra mala sadalīta vieādos ogriežņos; dalījuma pukti savieoti ar ogriežņiem, kas paralēli trijstūra malām. Sākotējais trijstūris tādējādi sadalās mazos vieādmalu trijstūrīšos (skat zīm., kur = 4 virsotes saucam par režģa virsotēm. ). Šo trijstūrīšu zīm. Katrā iegūtā režģa virsotē atrodas pa skudrai. Skudras vielaicīgi sāk ar vieādiem u emaiīgiem ātrumiem rāpot pa režģa līijām. Skudras maia kustības virzieu tikai režģa virsotēs. Noākot kādā režģa virsotē, katra skudra pagriežas par 60 vai 0 (viealga uz kuru pusi) u turpia ceļu pa režģa līijām. a) pierādiet: ja = 6, tad dažas skudras kādreiz oteikti satiksies, b) vai tas oteikti otiks, ja = 7?. klase Kādiem aturāliem pastāv evieādība 3

4 < +998? Atrisiāt aturālos skaitļos vieādojumu 3 y = 7 x Sauksim izliektu daudzskaldi par daudzpusīgu, ja ekādām trim tā skaldēm av vieāds šķautņu skaits. a) atrast kaut vieu daudzpusīgu daudzskaldi, b) kāds ir mazākais iespējamais virsotņu skaits daudzpusīgam daudzskaldim? Pieņemsim, ka aturāls skaitlis. Fukcijas ( x y) f, argumeti u vērtības ir aturāli skaitļi, kas epārsiedz. Dots, ka katriem aturāliem x u y, kas epārsiedz, pastāv vieādības ( f ( x, y), y) x u f ( x f ( x, y) ) = y f =,. a) pierādīt, ka visiem aturāliem x u y, kas epārsiedz, pastāv vieādība ( x y) f ( y x) f, =, ; b) kādiem aturāliem šāda fukcija f eksistē? Dots, ka epāra skaitlis, 5. Regulāra -stūra katra mala u katra diagoāle okrāsota vai u balta, vai sarkaa. Ar vieu gājieu atļauts maiīt krāsojumu visiem ogriežņiem, kas iziet o vieas virsotes: baltos ogriežņus pārkrāsot sarkaus, bet sarkaos baltus. a) pierādīt, ka ar šādiem gājieiem var paākt, lai o katras virsotes izietu pāra skaits sarkau ogriežņu (tādu krāsojumu sauksim par labu), b) pierādīt, ka o katra sākotējā krāsojuma var iegūt tikai vieu labu krāsojumu. PAPILDSACENSĪBAS PAR VIETU REPUBLIKAS IZLASĒ 48.. Dots, ka ABCD ir paralelograms. Riņķa līija iet caur virsoti A u krusto malu AB puktā M, diagoāli AC puktā N u malu AD puktā K. Pierādīt, ka AC AN = AB AM + AD AK Atrisiāt aturālos skaitļos vieādojumu p x y p =, ja p ir pirmskaitlis Pierādīt evieādību 4

5 ja visi skaitļi ( )( ) ( ) a + b a + b K a + b a a Ka + b b K b, a K, b ir pozitīvi., a,, a, b, b, K Fukciju f ( t) u g ( t) argumeti u vērtības ir veseli skaitļi, pie tam fukcija g ( t) dažādām argumeta vērtībām pieņem dažādas vērtības. Ziāms, ka visiem veseliem skaitļiem x u y pastāv vieādība ( g( x) y) = g( f ( y) x) f + +. Atrast fukcijas f u g u pierādīt, ka citu bez jūsu atrastajām av Plake sadalīta vieādos kvadrātiņos kā rūtiņu lapa. Uz tās ovietoja kubu tā, ka viea kuba skalde precīzi sakrita ar vieu o rūtiņām. Kubu sāka ripiāt pa plaki, pakāpeiski pārveļot pāri kādai o atbalsta skaldes šķautēm. Kādā brīdī tika kostatēts, ka kubs balstās uz plakes ar to pašu skaldi, ar kuru sākumā, u atrodas tai pašā vietā, kur sākumā. Vai var gadīties, ka šai brīdī kubs, salīdziot ar sākotējo pozīciju, pagriezts par 90 ap vertikālo asi, kas iet caur atbalsta skaldes cetru? 5