RĪGAS EHNISKĀ UNIVERSIĀE rasporta u mašīzību fakutāte Dāa SANALOVA rasporta sstēmas tehskā odrošāuma doktora programmas doktorate PUSPARAMERISKIE REGRESIJAS MODEĻI KRAVU UN PASAŽIERU PĀRVADĀJUMU APJOMU ANALĪZEI UN PROGNOZĒŠANAI Promocas darba kopsavkums Zātskas vadītās Dr.hab.sc.g. profesors A. ANDRONOVS RU Izdevecība Rīga 009
UDK [656.05+59.33.5]043. Sa 6 p Sataova D. Sa 6 p Pusparametrske regresas modeļ kravu u pasaţeru pārvadāumu apomu aaīze u progozēšaa. Promocas darba kopsavkums. R.: RU 009. 43 p. Iespests saskaľā ar RU P-0 promocas padomes 009. gada 30.septembra ēmumu protokos Nr. 0/009. Šs darbs zstrādāts ar Eropas Socāā Foda atbastu Nacoāās programmas Atbasts doktoratūras programmu īsteošaa u pēcdoktoratūras pētīumem proekta Atbasts RU doktoratūras attīstība. Šs darbs zstrādāts ar Eropas Socāā Foda atbastu proektā Atbasts RU doktora studu īsteošaa. ISBN ХХХ
PROMOCIJAS DARBS IZVIRZĪS RĪGAS EHNISKAJĀ UNIVERSIĀĒ INŽENIERZINĀŅU DOKORA GRĀDA IEGŪŠANAI Promocas darbs ţeerzātľu doktora grāda egūšaa tek pubsk azstāvēts 009. gada 7. decembrī pkst. 4:30 Rīgas ehskās uverstātes rasportmašīu tehooģu sttūtā Lomoosova eā korpusā V 8. audtorā. OFICIĀLIE OPONENI: Profesors Dr.sc.g. Pēters Backars Rīgas ehskā uverstāte Latva As. profesors Dr.sc.g. Vktors Ļumks rasporta u teekomukācu sttūts Latva Profesors Dr.phys.math. Nkoas Ušakovs Norvēģas Zātľu u tehooģas uverstāte rodhema Norvēģa APSIPRINĀJUMS Apstpru ka esmu zstrādāus doto promocas darbu kas esegts zskatīšaa Rīgas ehskaā uverstātē ţeerzātľu doktora grāda egūšaa. Promocas darbs av esegts eveā ctā uverstātē zātskā grāda egūšaa. Dāa Sataova Datums: 009. gada 8. oktobrs Promocas darbs r uzrakstīts agļu vaodā satur evadu 7 odaļas obegumu teratūras sarakstu pekumus u gosāru. Darbā etpst 47 formuas 60 tabuas 30 zīmēum kopā 6 teksta appuses. Lteratūras sarakstā r 8 osaukum.
ANOĀCIJA Promocas darbu «Pusparametrske regresas modeļ kravu u pasaţeru pārvadāumu apomu aaīze u progozēšaa» zstrādāus Dāa Sataova ţeerzātľu doktora zātskā grāda egūšaa. Darba zātskas vadītās r Dr. hab. sc. g. profesors Aeksadrs Adroovs. Darba mērķs r daţādu trasporta vedu pasaţeru u kravu pārvadāumu apomu progozēšaa ar mūsdeu statstsko metoţu peetošaas paīdzību. Pataba vsā pasauē ovēroama ga raţošaas decetrazāca ga arī edzīvotāu mobtātes peaugums. ā rezutātā ovēroams vsu trasporta vedu pasaţeru u kravu pārvadāumu apomu epārtraukts peaugums. Šād gobāe proces osaka zvēētā pētecskā darba vrzea perspektvtāt tātad darbs r aktuās. Par prmo pētīuma vrzeu kļuva grupu modeļu zstrādāšaa u verfkāca pārvadāumu apomu progozēšaa ES vastīm. Šaā zľā ba āatrsa četr uzdevum: summāro kravu avopārvadāumu apomu progozēšaa uz parametrskā daudzdmesu modeļa bāzes; dzezceļa pasaţeru osūtīumu korespodeču matrcas ovērtēšaa ar modfcētā parametrskā gravtācas modeļa paīdzību; dzezceļa kravu apgrozīuma ovērtēšaa u progozēšaa uz pusparametrskā vea deksa modeļa bāzes; summāro pasaţeru avopārvadāumu apomu progozēšaa datu epības gadīumā ar parametrskā SURE-modeļa zmatošau. Otro vrzeu vedoa grupu pusparametrsko modeļu zstrādāšaa u zvērtēšaa pasaţeru dzezceļa osūtīumu aaīze u progozēšaa Latvas reģoem. ka pedāvātas auas modeļu ovērtēšaas metodes zstrādāt vedoamo modeļu kvatātes verfkācas krtēr. Parādītas vea deksa modeļu peetošaas prekšrocības saīdzāumā ar eārās regresas modeļem.
SAURS. PROBLĒMAS AKUALIĀE... 6. PĒĪJUMA MĒRĶI UN UZDEVUMI... 7 3. ĒMAS PAŠREIZĒJĀS IZPĒES LĪMENIS... 7 4. MEODOLOĢIJA UN PĒNIECISKĀS MEODES... 3 5. ZINĀNISKĀ NOVIĀE... 3 6. PRAKISKĀ NOZĪME UN REALIZĀCIJA... 3 7. PROMOCIJAS DARBA SRUKŪRA... 4 8. PĒĪJUMU REZULĀU KOPSAVILKUMS... 5 8.. SARPAUISKO KRAVU AVIOPĀRVADĀJUMU ANALĪZE UN PROGNOZĒŠANA ES VALSĪM UZ DAUDZDIMENSIJU MODEĻA BĀZES... 5 8.. DZELZCEĻA PASAŢIERU KORESPONDENČU IZVĒRĒŠANA SARP ES VALSĪM UZ MODIFICĒĀ GRAVIĀCIJAS MODEĻA BĀZES... 9 8.3. VIENA INDEKSA MODEĻA PIELIEOŠANA PĀRVADĀJUMU APJOMU IZPĒEI... 3 8.3.. VIENA INDEKSA MODEĻA NOVĒRĒŠANA... 3 8.3.. SARPAUISKĀ KRAVU DZELZCEĻA RANSPORA APGROZĪJUMA ANALĪZE UN PROGNOZĒŠANA ES VALSĪM... 6 8.3.3. IEKŠĒJO DZELZCEĻA PASAŢIERU PĀRVADĀJUMU ANALĪZE UN PROGNOZĒŠANA LAVIJAS REĢIONIEM... 9 8.4. SARPAUISKO PASAŢIERU AVIOPĀRVADĀJUMU PROGNOZĒŠANA ES VALSĪM UZ SURE- MODEĻA BĀZES... 34 NOBEIGUMS... 39 AUORES PUBLIKĀCIJAS... 4 DALĪBA KONFERENCĒS... 4
. PROBLĒMAS AKUALIĀE Izstrādātas promocas darbs r vetīts daţādu trasporta vedu pasaţeru u kravu pārvadāumu apomu progozēšaa Eropas Saveībā ar mūsdeu statstsko metoţu paīdzību īpaš akcetēot Latvas vast u bastotes uz parametrskem kā arī pusparametrskem regresas modeļem ar šo rezutātu pārbaud praksē u to attecīgu zvērtēšau. rasportēšaas apom vedo to aktuāo formācu uz kuras pamata r espēams zstrādāt ākotes pāus u progozes attecībā uz trasporta ozaru fukcoēšau u attīstības perspektīvām. Kokrēt trasportēšaas apom tek zmatot sekoošos oūkos: vedoot perspektīvo trasporta īdzekļu parku pāoot trasporta tīkus 3 osakot tedeces prasībās pēc audām u vestīcām trasporta īdzekļu u to kompoešu attīstībā utt. Latvas gadīumā ģeogrāfskas stāvoks vedo veu o tās acoāaām bagātībām. Latvas tertoru šķērso es kravu u pasaţeru pārvadāumu apoms. Latvas trasporta kompāas darboas stpras ārzemu kompāu kokureces apstākļos. Attecīg tka pareza u pārdomāta ekoomskā potka spē odrošāt vetēo kompāu kokureces spēas u efektvtāt. Līdz ar to kvatatīva trasporta apomu progozēšaa ābūt bastīta uz moderem matemātskem modeļem. Īpaš atzīmēsm faktu ka īdz šm pusparametrske modeļ u metodes Latvā etka zmatotas. Savukārt pasaues praksē pamata pētīum eparametrskās u pusparametrskās regresas aukā tka uzsākt dvdesmtā gadsmta begās u pataba au tek paš peetot praksē. Līdz ar to apūkoamā zību ozare uzskatāma par auu u veu o perspektīvākaām. Iegūte modeļ dos espēu defēt kād faktor u uzskatāme eum osaka trasporta pūsmu testāt u vrzeus. Kvatatīvos faktorus pemēram potsko stuācu Eropas Saveībā zāmā mērā var aprakstīt skatsk caur kvattatīvaem faktorem pemēram acoāo vaūtu maľas kursu aftas ceām u.c.. Šāda peea paīdzēs zstrādāt pasākumu kopumu kas Latva odrošās efektīvu trasporta sstēmas attīstību. Pedāvāamas pētīums var tkt edaīts dvās daļās atbstoš peetouma oma: rasportēšaas apomu aprakstošo modeļu zstrādāšaa u ovērtēšaa ES daībvastīm t..: a summāro kravu avopārvadāumu apomu aaīze u progozēšaa bastotes uz parametrsko daudzdmesu mode; b dzezceļa pasaţeru pārvadāumu korespodeču matrcas ovērtēšaa zmatoot modfcētu gravtācas mode; c dzezceļa kravu pārvadāumu apgrozīuma ovērtēšaa u progozēšaa bastotes uz pusparametrsko vea deksa mode; 6
d pasaţeru summāro avopārvadāumu apomu aaīze u progozēšaa epīgu datu gadīumā zmatoot SURE-mode; Pusparametrsko vea deksa modeļu zstrādāšaa u ovērtēšaa a aazētu u progozētu dzezceļa pasaţeru pārvadāumus o daţādem Latvas reģoem.. PĒĪJUMA MĒRĶI UN UZDEVUMI Promocas pētīuma darba gavee mērķ ba: Izstrādāt matemātskos modeļus oūkā aazēt u progozēt pasaţeru u kravu pārvadāumu apomus. Rūpīg zstrādāt metodes ar kuru paīdzību būtu espēams ovērtēt pedāvātos modeļus. 3 Izpētīt zstrādāto ovērtēšaas metoţu efektvtāt. La reazētu formuētos mērķus ba ārsa sekooš uzdevum: Apūkot probēmas sastībā ar trasportēšaas apomu progozēšau. Izpētīt mūsdeās zpatītākos modeļus u metodes ko zmato progozēšaā. 3 Izvērst to faktoru kas etekmē pasaţeru pārvadāumu u kravu trasportēšau apomu aaīz. 4 Izvedot pētīuma formācas bāz vecot statstsko datu uzkrāšau ga par Eropas Saveības daībvastīm ga par Latvas reģoem. 5 Izstrādāt daudzfaktoru eāros regresas modeļus u pusparametrskos regresas modeļus ar kuru paīdzību būtu espēams progozēt pasaţeru pārvadāumu u kravu trasportēšaas apomus. 6 Izstrādāt metodes u agortmus ar kuru paīdzību varētu vekt pedāvāto modeļu ovērtēšau. 7 Vekt zstrādāto modeļu verfcēšau u efektvtātes ovērtēšau. 8 Uzskatām parādīt pusparametrskā modeļa prekšrocības saīdzāumā ar daudzfaktoru eāro mode. 9 Modfcēt gravtācas mode ar atbstošās metodes u agortma attīstību a vektu šī modeļa ovērtēumu. 0 Peetot pedāvāto mode a zvērtētu pasaţeru osūtīumu korespodeču matrcu. Vekt SURE-modeļa formazēšau ar atbstošās metodes u agortma attīstību a vektu pedāvātā modeļa ovērtēumu. Uzskatām parādīt SURE-modeļa prekšrocības saīdzāumā ar daudzdmesu mode epīgu datu gadīumā. 3. ĒMAS PAŠREIZĒJĀS IZPĒES LĪMENIS edeces trasporta vekumā seko ekoomkas attīstība. Atbstoš EuroSA earbook 008 kamēr IKP perodā o 995. īdz 007. gadam caurmērā gadā audzs par 4% preču pārvadāumu peaugums ba īdz 85% 7
bet pasaţeru pārvadāum peauga k gadu par 7%. Pēdēā pusotra gada akā pastāvot estaba ekoomskaa stuāca pasauē evar apgavot par epārtrauktu pārvadāumu apomu zaugsm. Sevšķ rēķotes ar IKP pastāvīgu samazāšaos u bezdarbeku skata peaugumu o še faktor ruā pretī espēama trasportēšaas zaugsme. Atbstoš preses reīzēm kuras pubcētas EuroSA redzams ka Eropas Saveībā IKP 009. gada I ceturksī krtes par 5% saīdzāumā ar eprekšēo ceturks. ES 009. gada ūā bezdarbek sastādīa 94% saīdzot ar 93% 009. gada maā. ES daībvastu vdū vsaugstākas bezdarbeku procets ba Spāā 8% Latvā 7% u Igauā 70%. Gada fāca ES tka progozēta % 009. gada februārī u 06% 009. gada ūā. Augstākmēte dat kapo par pārecošu argumetu tam ka šādos ekoomsk estabos apstākļos īpaš svarīga kļūst pārvadāumu apomu progozēšaa. La egūtu kvatatīvu progoz par pārvadāumu apomu tka zstrādāta u pvedota vrke matemātsko modeļu: Parametrske modeļ: a eāre modeļ daudzfaktoru regresas modes daudzdmesu regresas modes SURE-modes; b Neeāre modeļ: vspārātas eāras modes gravtācas modes; Neparametrske modeļ: a Nadaraya-Watso ovērtētās b vea deksa modes. Raksturoot darbus kas vekt daudzdmesu statstkas u parametrskās regresas omā būtu āatzīmē sekooš darb prot N.Draper u H.Smth grāmata Apped Regresso Aayss M.Srvastava moogrāfa Methods of Mutvarate statstcs E.L.Lehma grāmatas heory of Pot Estmato u Statstca Hypothess estg u S.Wesberg darbs Apped Lear Regresso. āpat autore evar epemēt arī savu pasedzēu: A.Adroova E.Koptova u L.Grgaza darbu Varbūtības teora u matemātskā statstka krevu vaodā kā arī I.Jackvas darbu Itesīvās datormetodes statstsko datu apstrāde krevu vaodā. Vspārēā regresas modeļa forma r sekooša: m kur r atkarīgas maīgas -ā ovēroumā m r ezāma regresas fukca r eatkarīgo maīgo d -dmesoās vektors r kļūda 8
gadīumeums. urpmāk mūsu rīcībā r eatkarīgo u ekoreēto ovēroumu vrke.... Nezāmaa fukca m ābūt ovērtēta uz to bāzes. Vekāršā gadīumā tek zmatots daudzfaktoru regresas modes: X kur 0 u X d turkāt d. Gavee peľēmum E 0 Cov I r pazīstam kā Gausa-Markova osacīum. Vektora mazāko kvadrātu ovērtēums r sekoošs: ˆ X X X. 3 Daudzdmesu regresas modes tek perakstīts šādā vedā: 9 4 kur r atkarīgo maīgo ovēroumu p -matrca r eatkarīgo maīgo d -matrca r ezāmo regresas koefcetu d p -matrca r gadīuma ocekļu p -matrca p r atkarīgo maīgo skats d r eatkarīgo maīgo skats u r ovēroumu skats. Peľemts ka kļūdas r savstarpē eatkarīgas. Nezāmo koefcetu vektoru mazāko kvadrātu ovērtēum r šād: ~ k k X X X k p 5 ~ k kur r ezāmo koefcetu ovērtēums k-m atkarīgaam maīgaam. Šķetam esastīto regresas mode seemgy ureated regresso equato mode turpmāk SURE-modes var apskatīt kā daudzdmesu modeļa 4 turpāumu gadīumā kad daļa etekmēošo faktoru atbst vsem atkarīgaem maīgaem u otrā daļa eatbst. urkāt ovēroumu skats katram atkarīgaam maīgaam var atšķrtes. Šaā omā būtu āatzīmē tādu zāteku ka A.Zeer R.Veu u J.Rchards u A.Adroova egudīums. ātad tek apūkota G obektu grupa ar umurem = G. Katrs -s obekts r pārbaudīts rezes aka mometos t t... t. Katrā -ā aka m mometā t tek reģstrēts eatkarīgo maīgo vektors... kur m u atkarīgā maīgā vērtība r maīgas paīdzību:. Ir peľemts ka atkarīgas tek kostruēts ar sekoošā eārā regresas veādouma
m v v Z v 6 kur r koefcets m obektam u v m eatkarīgaam maīgaam v 0 Z r pēc ormāā sadaīuma īkuma sadaīts gadīumoceks ar ues vdēo vērtību u dspersu. āāk a dvem daţādem obektem u aka momet t u t ' ' sakrīt tad gadīuma ocekļ Z u Z ' ' u arī r koreēoše ' ' gadīumeum ar kovarācu turkāt veakus daţādem aka mometem c ' r peľemts ka te r eatkarīg Z u Z arī r eatkarīg a. ātad ' kļūdas Z r veacīg savstarpē koreēošas. Parast tek peľemts ka vsem = G = m... r zāms kostatu vektors r fksēta otekta vērtība. Pamatootes uz vsu augstāk zkāstīto tek ovērtēt regresas modeļa ezāme parametr v u ezāmā kovarāca c ' kur c. Gravtācas modem gravty mode pēc A. Wegto u E. Le pemīt šāda forma: PP K 7 D kur r pasaţeru pārvadāumu apoms starp ģeogrāfskem puktem u ; P u P r edzīvotāu skats puktos u attecīg; D r attāums starp puktem u ; K r kostate. Gravtācas modes turpmāk tka attīstīts pasaţeru avopārvadāumu apomu progozēšaa ga esošām ga pāoamām avoīām. Ievēroamu egudīumu pasaţeru avācas pūsmu progozēšaā zmatoot daţādus modfcētus gravtācas modeļus veca J.Dogas u A.Adroov et a. pagāušā gadsmta sešdesmtaos u astoľdesmtaos gados. Savukārt ODmatrcu ovērtēšaas omā āatzīmē J. de D. Ortuzar u L.G.Wumse grāmatu Modeg rasport u A.Adroova pēdēos pētīumus. Pusparametrsko u eparametrsko modeļu apskats ā kā parametrske modeļ e vemēr odroša petekam abas progozes to trūkuma ovēršaa tek peetot e- u pusparametrske modeļ. Neparametrskās regresas omā r vērts atzīmēt W.Härde M.Muer S.Sperch ad A.Werwatz grāmatu Noparametrc ad Semparametrc Modes B.W.Sverma darbu Desty Estmato for Statstcs ad Data Aayss W.Harde moogrāfu Apped Noparametrc Regresso A.Bowma ad A.Azza grāmatu Apped Smoothg echques for Data Aayss J.Smooff moogrāfu Smoothg Methods Statstcs u A.Paga u A.Uah darbu
Noparametrc Ecoometrcs. Pusparametrskās regresas vspārēos aspektus mēs rekomedēam apūkot A.atchew pētīumā Semparametrc Regresso for the Apped Ecoometrca u D.Ruppert M.P.Wad ad R.J.Carro darbā Semparametrc Regresso. Vspārātas eāras modes geerazed ear mode turpmāk GLM r vsu pusparametrsko modeļu pamats skat. P.McCuagh u J.A.Neder fudametāo darbu Geerazed Lear Modes: m G... G 8 0 d d kur ar G tek apzīmēta zāma epārtraukta fukca tas r vedmesoāā maīgā sates fukca turkāt saucas par deksa fukcu va par deksu. Vspār eksstē sekooš e- u pusparametrsko modeļu ved: adtīvas modes AM daļē eāras modes PLM vspārātas adtīvas modes GAM vspārātas daļē eāras modes GPLM vspārātas adtīvas daļē eāras modes GAPLM. Šaā promocas darbā eākotes tek pētīts vea deksa modes turpmāk VIM. Vea deksa modes r ves o GLM vspārāumem u apveo etekmēošo faktoru... d efektus veīgaā maīgaā ko sauc par deksu. Vea deksa modes tek ztekts sekoošā vedā: E m g v. 9 Peľemts ka ezāma fukca m r guda fukca. Fukca g r ezāmā sates fukca o vedmesoāā maīgā v ko sauc par deksu. Par deksa fukcu var būt paľemta ebkura fukca. W.Härde zvrzīa dvas metodes VIM ovērtēšaa t.. pusparametrsko mazāko kvadrātu metod u psedo maksmāās tcamības metod. Nadaraya-Watso kodoa ovērtētās kuru evesa Nadaraya u Watso 964. gadā: K h X mˆ h 0 K X r vspārēa kodoa ovērtētāa oģskas turpāums ezāmās regresas fukcas ovērtēšaas probēma. Izīdzāšaas parametrs h badwdth oteca fukcas mˆ h guduma īme. Nobegumā dvduāe progozēšaas modeļ apūko katru progozēšaas obektu atsevšķ. Grupu modeļu pamatā r pētāmo obektu veacīgā aaīze. Neskatotes uz to ka VIM r ves o vspopuārākaem u abāk zpētītaem pusparametrskaem modeļem tā pētīum turpās. Šaā omā būtu h
āatzīmē arī tādus zātekus kā J.S.Smooff u C.-L.sa M.Hrstache A.Judtsk u V.Spokoy L.Xue.Xa H.og E.Kog W.K.L L.Zhu H.Wog W.C.Ip u R.Zha. Varākās pārvadāumu apomu progozēšaa vetītās pubkācās r aprakstīt vekārše progozēšaas modeļ uz aka rdu metoţu bāzes va eāre regresas modeļ kas satur -3 etekmēošus faktorus kā pemērus varam zcet A.Baubys J.Butkevčus A.Cok asova N.R.Farum u L.W.Stato Ü.Hut.Šupas E.Spssu N.aea S.Wheatcroft ad G.Lpma S.Makrdaks S.Wheewrght u R.Hydma pētīumus. Veakus šaos darbos av petekoš precīz u detazēt aprakstīta edz vspārēā progozēšaas tehka edz av zvēēt progozēšaas metodes kvatātes krtēr. Pretstatītaā pētīumā autore vadīās o sekoošas pārvadāumu struktūras zkārtouma edaot to: Pēc pārvadāuma tpa: a pasaţeru; b kravu. Pēc pārvadāuma veda: a starptautske; b ekšēe. 3 Pēc trasporta veda: a dzezceļa pārvadāum; b avopārvadāum. 4 Pēc progozēšaas obekta: a vasts va vasts reģo; b OD-pārs. 5 Pēc vrzea: a eākoše; b zeoše. 6 Pēc progozēamā dkatora: a Pārvadāumu va osūtīumu apom tūkst. pasaţeru va tou; b Apgrozīums toas/km va pasaţer/km. Atkarībā o aprakstāmās formācas tpa faktor kas etekmē progozēamos dkatorus tek edaīt kvattatīvaos u kvatatīvaos. Faktor kuru eum maās o ovērouma uz ovēroumu tek attecāt uz kvattatīvaem faktorem. Kvatatīvaem faktorem sagabāas otektas vērtības ovēroumu grupām turkāt šīs vērtības var būt dskrēte eum atbstoš eprekš otektam prcpam. Atkarībā o uzrādītā formācas rakstura vsus etekmēošos faktorus var edaīt sekoošās pamatgrupās: ekoomskaās socāaās u struktūras. Pedāvātā pētīuma etvaros tka zstrādātas dvas statstskās datu bāzes. Prmā statstskā datu bāze tka ģeerēta vscaur uz he Statstca Offce of the Europea Commutes EuroSA materāu pamata u satur statstskās zľas ga par pasaţeru ga kravas pārvadāumem katra vast Eropas Saveības daībece aka perodā o 995. īdz 008. gadam. Datu bāze
saturēa arī daţādus faktorus pēc ES daībvastīm kur savukārt etekmē abus pārvadāumu vedus. Otrā statstskā datu bāze satur statstskos datus par dzezceļa pasaţeru pārvadāumem Latvā o reģoem u psētām. Šī bāze savukārt tka ģeerēta uz materāem kas egūt o Latvas Repubkas Cetrāās statstkas pārvades LR CSP u AS Latvas dzezceļš Gada grāmatas. Atkarībā o vektaem ekspermetem u o progozēama euma modeļos arī tka zmatot varāk kvatatīve faktor. 4. MEODOLOĢIJA UN PĒNIECISKĀS MEODES Vektas pētīums r bastīts uz: Mūsdeu regresas aaīzes teoru turkāt īpaša uzmaība tka pevērsta tādem vspārātās regresas modeļu vedem kā pusparametrskas regresas modes; SURE-modes u modfcētas gravtācas modes; eeārās optmzācas metodes tka zmatotas kā paīgīdzekļ. Statstkas datem kas egūt o Eropas Saveības Statstkas deesta EuroSA datu bāzes Latvas Repubkas Cetrāās Statstkas pārvades u AS Latvas dzezceļš Gada grāmatas. 3 Zātskaām pubkācām preses reīzēm pubkācām teretā kas vetītas apskatāmaām probēmām. 4 Datorpakotes Statstca 6.0 u MathCad 3 vdes odrošātām espēām aprēķu vekšaa u zstrādāto agortmu programmēšaa. 5. ZINĀNISKĀ NOVIĀE Pētīuma ovtāt vedo: Daudzdmesu regresas modes summāro kravu avopārvadāumu apomu progozēšaa. Metode u programmatūra vea deksa modeļa ovērtēšaa u tā adekvātuma u efektvtātes verfkāca pārvadāumu apomu aaīzē u progozēšaā. 3 Orģās eeārās regresas modes uz gravtācas modeļa bāzes u programmatūra trasporta tīka korespodeču matrcas ovērtēšaa. 4 SURE-modes u atbstošā ovērtēšaas procedūra summāro pasaţeru avopārvadāumu apomu progozēšaa. 6. PRAKISKĀ NOZĪME UN REALIZĀCIJA Uz egūto rezutātu pamata r sagatavota u oasīta kursa Mathematca Methods of raffc Fow Aayss ad Forecastg daļa RU. kursa ārvastu bakaaura programmas studetem Mechaca Egeerg specatātē. Autores zstrādāte modeļ u metodes dzezceļa kravu pārvadāumu o 3
ES vastīm apomu progozēšaa tka zmatot zātskaā proektā U707 Matemātsko modeļu u to ovērtēšaas metodes zstrādāšaa Batas reģoa trasporta pūsmu aaīze u progozēšaa kas vedoa daļu o zātskā proekta II IZM-RU Zātskās darbības attīstība augstskoās kas otka akā o 0.06.06. īdz 3..06. 3 Autores zstrādāte modeļ u metodes pasaţeru dzezceļa pārvadāumu apomu progozēšaa o Latvas reģoem tka zmatot zātskaā proektā U Matemātsko modeļu agortmu u datorprogrammu zstrādāšaa Latvas trasporta sstēmas aaīze attīstības progozēšaa u optmzāca kas vedoa daļu o zātskā proekta IZM-RU Zātskās darbības attīstība augstskoās kas otka akā o 0.06.08. īdz 3..08. 4 Iegūtās progozes var zmatot trasporta kompāas savas darbības optmāa pāošaa t.. zstrādāot doumu sarakstu vedoot bļešu ceas utt.; Satksmes mstra kaptāo egudīumu optmāaam sadaīumam ceļu būve dzezceļu remotam termāļu rekostrukca u.c. 7. PROMOCIJAS DARBA SRUKŪRA. odaļa. Progozēšaas probēmas pašrezēā stāvokļa apskats. ek raksturota pašrezēā stuāca Eropas Saveībā kravu u pasaţeru pārvadāumu omā. ek aprakstīta darba zpdes gatā zmatotā teratūra īs aprakstīt pēdēos gados vekte pētīum eparametrskās u pusparametrskās regresas ovērtēšaas omā.. odaļa. Progozēšaas probēmas formācas odrošāums. Šī odaļa r vetīta šaā darbā zmatoto statstsko datu vākšaas procesa aaīze. Prmkārt tek aprakstīt pārvadāumu tp kā progozēame eum. ek zkāstīta pārvadāumus etekmēošo faktoru kasfkāca. ek aprakstītas dvas statstskās datubāzes kuras zvedotas darba gatā. urkāt r raksturot statstskās formācas avot t.. EuroSA LR Cetrāā Statstkas pārvade u AS Latvas dzezceļš Gada grāmata. 3. odaļa. Matemātske modeļ progozēšaa u to ovērtēšaas metodes. ek aprakstīts darbā zmatoto regresas modeļu teorētskas pamatoums. Prmkārt segts dvduāo u grupu modeļu raksturoums; r ztrzāts tas kuros gadīumos še modeļ r peetoam. Otrkārt r pastāstīts par parametrskaem modeļem. Šaā oūkā r aprakstīts paš pazīstams u zmatoams daudzfaktoru va eāras modes. Ir zkāstīt arī parametrske bet etoumā daudz sareţģītāke daudzdmesu u SURE-modeļ. Vea o apakšodaļām r pībā vetīta gravtācas modeļem. Specāa uzmaība r pevērsta eparametrskaem u pusparametrskaem modeļem. ek pedāvāts daţādu pusparametrsko modeļu apskats. ā kā ves o darbā akcetētem aspektem sastīts ar vea deksa modeļa verfkācu tek rūpīg apskatīts Nadaraya-Watso kodoa ovērtētās u tā īpašības. 4
4. odaļa. Starptautsko kravu avopārvadāumu aaīze u progozēšaa ES vastīm uz daudzdmesu modeļa bāzes. ek uzskatīt summāro kravu avopārvadāumu t.. ekšēo u ārēo attecībā pret ES robeţām apomu aaīzes u progozēšaas rezutāt Eropas Saveības vastīm. Atbstošas daudzdmesu regresas modes satur svarīgākos ekoomskos faktorus kas etekmē ekšēos u ārēos pārvadāumus katra aazēamaa vast. Ir parādīts ārēo u ekšēo pārvadāumu summārās progozes egūšaas process otektam gadam. ka aprēķāt tcamības tervā egūtaām progozēm pe daţādām varbūtībām. 5. odaļa. Dzezceļa pasažeru korespodeču zvērtēšaa starp ES vastīm uz modfcētā gravtācas modeļa bāzes. Šet tek stāstīts par pasaţeru dzezceļa osūtīumu korespodeču matrcas ovērtēšau starp ES vastīm uz modfcētā gravtācas modeļa bāzes. Ir zkāstīts efektīvas agortms šī modeļa ezāmo parametru ovērtēšaa. ka ovērtētas pasaţeru dzezceļa korespodeces starp 3 ES vastīm 008. gadam. 6. odaļa. Vedeksa modeļa peetošaa pārvadāumu apomu zpēte. Šī odaļa r vetīta vea deksa modeļa efektvtātes zpēte. Prmkārt tka zstrādāts agortms vea deksa modeļa ezāmo parametru ovērtēšaa. Otrkārt tka zvedotas procedūras vsefektīvākā vea deksa u eārā modeļu zvēe. Pedāvātā kross-pārbaudes peea ļau zvērtēt pētāmo modeļu kvatāt e tka datu zīdzāšaā bet arī progozēšaas gadīumā. Ir pretstatīt varāku ekspermetu rezutāt kuros r uzskatām redzamas vea deksa modeļa eapšaubāmās prekšrocības saīdzāumā ar parametrskaem modeļem. 7. odaļa. Starptautsko pasažeru avopārvadāumu progozēšaa ES vastīm uz SURE-modeļa bāzes. Šaā odaļā r apskatīts ves o SURE-modeļa vspārāumem. Uzskatīts ka dvduāaos ovēroumos av ābūt formāca par vsem atkarīgaem maīgaem. Iegūts modeļa kovarācas matrcas eovrzīts ovērtēums. SURE-modeļa peetošaas prekšrocība saīdzāumā ar daudzdmesu mode statstsko datu epības gadīumā r parādīta bastotes uz summāro pasaţeru avopārvadāumu apomu progozēšaas pemēru ES vastīm. 8. PĒĪJUMU REZULĀU KOPSAVILKUMS 8.. SARPAUISKO KRAVU AVIOPĀRVADĀJUMU ANALĪZE UN PROGNOZĒŠANA ES VALSĪM UZ DAUDZDIMENSIJU MODEĻA BĀZES Uzdevuma ostāde Kravu u pasta starptautske avopārvadāum r sadaīt dvās daļās atbstoš Eropas Saveības robeţām: ekšēe u ārēe starptautske kravu u pasta avopārvadāum. Uzdevums r regresas modeļu zstrāde mēto pārvadāumu progozēšaa. ek apūkotas sekoošas probēmas: 5
. Iekšēo u ārēo avopārvadāum atsevšķā progozēšaa.. Iekšēo u ārēo avopārvadāum kopēā progozēšaa. Prmās probēmas atrsāšaa tek zmatots daudzfaktoru regresas modes otra probēma daudzdmesu modes 4. ek zvrzīts peľēmums ka apskatāme etekmēoše faktor uz ekšēem u ārēem pārvadāumem edarboas daţād. Pētīuma mērķs r kopēās progozēšaas ozīmīguma perādīums. Pētīuma obekts r kāda Eropas Saveības vasts. Par ovēroumu tek uzskatīt dat par obektu kokrētaā aka mometā t.. ārēe u ekšēe pārvadāum tūkst. tou. Ietekmēoše faktor r: t aka faktors EAR; t trdzecības īmes I % o IKP; t 3 gada vdēā EUR kme pret acoāo vaūtu EURrates; t 4 gada vdēas fācas īmes patērētāu ceu harmozētaos deksos IR; t 5 ceas uz aftas produktem PP erās par tou; t 6 IKP uz veu edzīvotāu ceu stadartos GDP_PPS; t 7 vasts gradāca pēc progozēamā euma Grad r evadīta modeī ar oūku zdaīt vasts ar eem īpatēem kometārus skatīt zemāk pārvadāumem Beļģa Vāca u Lebrtāa atsevšķā grupā; t 8 vasts gradāca pēc popuācas bīvuma GradPD; t 9 vasts gradāca pēc patības GradArea; t 0 vasts gradāca pēc īdzdaības guma Eropas Saveībā GradMember; t edzīvotāu skats tūkst. cvēku P. Sekooš faktor r progozēame eum tūkst. tou: t ekšēe kravu u pasta starptautske avopārvadāum FrM_Itra; t 3 ārēe kravu u pasta starptautske avopārvadāum FrM_Etra. Apskatāmo modeļu vspārēā struktūra u ovērtēšaas procedūra Kovarācas ovērtēums starp dvem ovērtētem vektorem: Cov ~ ~ k ~ k X X k p. ~ k ~ Vektor u tek ovērtēt atsevšķ pēc formuas 5 u ~ k r atbstošas eemets o kovarācas matrcas ~ eovrzītā ovērtēuma. ek ~ ~ ~ ~ egūtas dvas atsevšķas progozes u. Progoţu ~ ~ ~ summa r S. Šīs summas vdēā vērtība u dspersa r: ~ ~ ~ ~ ~ E S E E ~ ~ ~ ~ ~ D S D D Cov. 3 Prmas u otras formuas 3 oceks r: 6
D ~ k D ~ k Cov ~ k 4 ~ k kur Cov ~ k r vektoru u formuas 3 ocek var otekt sekooš: ~ ~ ~ ~ ~ Cov Cov E ~ ~ ~ ~ kovarācas matrcas. rešo E. 5 Pēdēas oceks r dvu koefcetu vektoru kopīgā kovarācas matrca. camības tervāa augšēā robeţa summāraa progoze E S ~ E S atbstoš varbūtība r 0 S u ~ ~ S E S D S 6 kur r stadarta ormāā sadaīuma -kvatīs. Pētāme modeļ pārvadāumu progozēšaa Vs pedāvāte modeļ r grupu modeļ. Ekspermetem tka atasītas ga ES vecās daībeces ga arī auās: Austra Beļģa Čeha Vāca Dāa Igaua Spāa Soma Fraca Greķa Ugāra Īra Itāa Letuva Hoade Poa Portugāe Sovāka u Lebrtāa. Aazēamas aka perods r o 00. īdz 006.gadam. urkāt daţ obekt esatur ovēroumus par vsu apskatāmo perodu. Prmas u otras modes r daudzfaktoru regresas modes. t Atkarīgas maīgas prmaā modeī r ekšēe kravu u pasta t starptautske pārvadāum toās daīt ar edzīvotāu skatu tūkst. cvēku t.. īpatēe pārvadāum. Ietekmēoše maīge r t t 3 t3 4 t 4 5 t5 6 t6 7 t7 8 t8 9 t9 0 t0. t3 Atkarīgas maīgas otraā modeī r ārēe kravu u pasta t starptautske pārvadāum toās daīt ar edzīvotāu skatu tūkst. cvēku. rešas modes r daudzdmesu modes 4 kas satur dvus atkarīgus 3 3 3 t 3 maīgos kur r aprakstīt ar vektoru t. t t Ietekmēošo faktoru kopas vsem modeļem sakrīt. Iekšēo u ārēo pārvadāumu atsevšķs ovērtēums Ir apstrādāt 94 ovēroum. Novērtēte modeļ r: ~ E 93 0.6 0.09 0.00 3 0.74 0.05.99 7 7.8 6. 479 7 7
R 0 = 0 R = 0.8 F = 38 F083 =.95 α = 5%. ~ E 3394.7 0.00 3 0.05 0.076 5.57 6.6 9.7 69.. 8 8 9 3 0 R 0 = 989 R = 0.95 F = 5 F083 =.95 α = 5%. Kopēo pārvadāumu ovērtēums ka aprēķāta kļūdu kovarācas matrca: ~ 9. 5.4 5.4.45. 9 āāk uz formuas 9 bāzes tek egūtas kovarācas matrcas pēc ~ ~ formuas ovērtētem regresas koefcetem u.. tabua satur summārās progozes 007. u 006. gadam kooas 007. u 006. patesus summārus pārvadāumus 006.gadam kooa 006 u tcamības tervāa augšēo robeţu 6 pe daţādām varbūtībām summāraa progoze 007.gadam.. att. vzuazē rezutātus pretstatītus. tabua.. tabua Summārās pārvadāumu progozes tūkst. tou Vasts 006 006 007 camības tervāa augšēā robeţa 60% 70% 80% 90% Austra 7.9 74. 96.60 04.77 3.73 4.09 38.47 Beļģa 4.95 74.95 78.78 788.9 796.75 805.80 88.35 Čeha 57.05 90.63 33. 36.5 40. 44.30 50.09 Vāca 367.9 33.93 3444.38 3 498.0 3556.90 364.96 379.35 Dāa 6.69 55.7 7.64 73.45 74.35 75.38 76.8 Igaua 0.05 6.08 0.96 4.03 7.40 3.9 36.69 Spāa 368.97 673.48 8. 87.36 84. 83.9 84.7 Soma 8.43 84.7 0.6 6.6 53.60 85.3 9.3 Fraca 4.4 05.8 307.0 340.66 377.59 40.7 479.47 Greķa 90.60 54.94 97.9 43.74 94.03 35.7 43.80 Ugāra 64.89 4. 8.90 84.04 86.39 89.0 9.87 Īra.64 86.8 09.44 4.88 0.86 7.77 37.35 Itāa 764.05 76.7 949.88 963.8 977.97 994.96 08.5 Letuva.67.94 36. 40.69 45.70 5.49 59.53 Hoade 6.35 499.07 545.7 577.8 6.40 653.00 709.3 Poa 3.0 04.63 93.87 97.5 00.97 05.6. Zvedra 39.48 66.4 94.66 96.93 99.4 0.9 06.8 Sovāka 5.36 50.44 6.37 68.46 76.5 85.5 97.74 Lebrtāa 48.4 044.67 48.39 89.97 335.60 388.36 46.5 Fšera krtēra aprēķa vērtība 8
ota trasportatos thousads of tos 4000 3500 3000 500 000 500 000 500 0 at be cz de dk ee es f fr gr hu e t t p se sk uk 006_true 006_forecast 007_forecast.att. Summāre ovērote u progozēte pārvadāum Iegūte rezutāt eca par pedāvātā paľēmea efektvtāt. omēr būtu abāk zmatot dvduāus progozēšaas modeļus tām atsevšķām vastīm kurām r stabas pārvadāumu tedeces. Īpaš svarīgs a atsevšķām vastīm trūkst ovēroumu. Nav rekomedēts zmatot summāro pārvadāumu apomu progozēšaa aka rdās. Šaā zľā būtu vēams turpāt esošo pētīumu ar SURE-modeļa paīdzību. 8.. DZELZCEĻA PASAŢIERU KORESPONDENČU IZVĒRĒŠANA SARP ES VALSĪM UZ MODIFICĒĀ GRAVIĀCIJAS MODEĻA BĀZES Uzdevuma ostāde u zvērtēšaas procedūra Ir dot ģeogrāfske pukt ar umurem =. Katram puktam r zāms edzīvotāu skats h u m faktor c = m kur tāpat r zāmās kostates. Ir zāms attāums d starp puktem u vsem puktu pārem. Ir zāms osūtīto pasaţeru skats o pukta par otektu aka perodu turkāt tas r gadīuma eums. Ir epecešams ovērtēt korespodeču eumus vsem puktu pārem. Leumu matrca saucas par korespodeču matrcu. Korespodeces ovērtēums tek apzīmēts ar. ek zvrzītas sekoošas prasības: 0 vsem ; 0 ; 3. Matemātskas modes atsevšķa korespodece r: 9 h h ep a c c g V 0 d kur a... u m... r ezāme regresas m parametr u r ezāme formas parametr c c... c m u g c c... c c m m r m vektor-rdas V r eatkarīg detsk
sadaīte gadīumeum ar ues vdēo u ezāmo dspersu. Ir peľemts ka V atbst ormāaam sadaīumam. ad Z ep V r sadaīts pēc og-ormāā īkuma. Atzīmēsm ka pe = u = atbst tā saucamas gravtācas modes. Izteksme kas apraksta pasaţeru osūtīumu eumu o pukta zret o modeļa 0: h h a c c g V. d ep Sekooše parametr r āovērtē uz zāmo osūtīumu vērtību bāzes: a α β u σ. ā kā veacīg detfcēt parametrus a u σ av espēams pētīumā tka evests apveotas parametrs a ~ a. Kā ovērtēumu efektvtātes krtērs tek zmatota mazāko kvadrātu svērtā summa: R w w E kur a ~ u w w w w r svaru vektors. Krtēra mmzāca tek zmatota gradeta metode u R w R R R R R. 3 a Ja w = cost gradeta metode ātr dod ovērtēumus ~a α β. urkāt E E. 4 agad parametra a ovērtēums tek aprēķāts kā ~ a a. Statstskaem datem par osūtīumem u ovērtētām korespodecēm ābūt īdzsvarotem: 0.... 5 Šm oūkam katram puktam tka evests korekcas koefcets 0. ātad ovērtēuma korekca r: ~.... 6
Skatskas pemērs Mēs peetoām pedāvāto peeu pasaţeru dzezceļa pārvadāumu ovērtēumam starp 3 vastīm ES daībecēm turpmāk vasts. Par faktorem tka peľemt sekooše katras vasts parametr: c vdēā mēešaga EUR; c vasts gradāca pēc avācas trasporta zmatošaas testātes; c 3 vasts gradāca pēc dzezceļa trasporta zmatošaas testātes; c 4 vasts gradāca pēc ūras trasporta zmatošaas testātes; c 5 vasts gradāca pēc tūrstskās pevcības; c 6 vasts gradāca pēc īdzdaības guma Eropas Saveībā. Vs gradācas maīge var peľemt ebkuras poztīvas tegras vērtības tka c 6 peľem dvas vērtības: 0 vastīm Eropas Saveības vecaām daībecēm u auaām daībecēm. Gradācas maīgo vērtības tek otektas atbstoš ekspertu vērtēumam. Pemēram maīgo vērtības Dāa r sekoošas: c = 4.34 c = 4 c 3 = 3 c 4 = 4 c 5 = c 6 = 0; Latva r c = 0.68 c = c 3 = c 4 = c 5 = 0 c 6 =. Gradācas maīgo vērtību egūšaa tka aazēt statstkas dat apskatāmaām vastīm par starptautskaem ūras dzezceļa u avopārvadāumem 007. gadā. Par attāumem starp ģeogrāfskaem puktem tka ľemt attāum starp vastu gavaspsētām. Kā ves o espēamem attāuma mērem var tkt peľemts attāums starp vastu vdēām svērtām koordātēm. ek ovērtētas korespodeces starp sākumpuktem pacešaās vasts u begu puktem osēšaās vasts uz zāmo osūtīumu bāzes o sākumpuktem. ātad vērtības r starptautske zeoše dzezceļa pārvadāum tūkst. pasaţeru o osēšaos vastīm skat.. tabuu. āpēc r epecešams ovērtēt 5 parametrus. Aprakstītā ovērtēšaas procedūra sedz sekoošus parametru ovērtēumus: 0.788 Novērtētas parametrs atradām 0.074 0.06.786 a ~ 0.077 0.0 0.063 0.078 0.33 0.97 0.94 0.5 0.054 0.097 0.04 a ~ a ~ 0.065. Izmatoot ovērtēumu a 0. 0 0.0 0.065 0.04. Novērote ovērtēte osūtīum o katras vasts tūkst. pasaţeru u korekcas koefcet r pārstāvēt. tabuā. 3. tabua satur ovērtētās u patesās korespodeces varākām vastīm. Pateso ovēroumu būtskā daļa av peeama. Pārm Fraca-Vāca ovērtētā korespodece r 53 tūkst. pasaţeru. Apgreztā korespodece r 55.
tūkst. pasaţeru. Demţē epazītes ar šā pāra pateso korespodec av espēams. Bet r eoedzams ka te ovērtēum kas egūt ar pedāvātā modeļa paīdzību av pretruā ar augstāk zkāstītem teorētskem peľēmumem u r ļot tuvu patesām korespodecēm.. tabua Novērtēšaas rezutāt Vasts Vasts ES 44 70 4 0 - Letuva 7 0.99 7.06 Beļģa 3 87 3 74 0.705 Luksemburga 333 905.88 Bugāra 68 3.040 Ugāra 63 64 3.44 Čeha 05 864. Hoade 67 3. Dāa 4 974 5 557 0.806 Austra 575 07 0.36 Vāca 5 07 5 79 0.956 Poa 353 0.487 Īra 347 78.909 Portugāe 98 4.69 Greķa 8 6.050 Rumāa 97 37 3.888 Spāa 39 64.554 Sovēa 97 37.064 Fraca 5 84 5 40 0.948 Sovāka 459 08.939 Itāa 600 890.654 Zvedra 5 03 4 59.6 Latva 0.85.354 Lebrtāa 8 08 7 875.003 3. tabua Daţ korespodeču ovērtēum Pacešaās vasts Vāca Fraca Latva Letuva Hoade Nosēšaās vasts Beļģa : 3 85 60 : 0 : 0 80 548 Bugāra : : 0. : 0 : 0 : 0 Čeha : 58 0 5 : 0 0 0 : 3 Dāa : 683 0 37 : 0 : 0 : 5 Vāca 507 0 545 55 : 0. 0 0. 807 53 Īra : 9 0 5 : 0 : 0 : 6 Greķa : : 0.4 : 0 : 0 : 0 Spāa : 5 35 7 : 0 : 0 : 4 Fraca : 53 3 0.00 : 0 : 0 50 97 Itāa : 34 777 09 : 0 : 0 : 4 Latva : 0 : 0 : 0 0. : 0 Letuva : : 0 0. 0 0 : 0 Luksemburga : 3 38 57 : 0 : 0 : 3 Ugāra : 39 : : 0 : 0 0 Hoade : 93 65 5 : 0 : 0 0 0 Austra : 36 8 6 : 0 0 0 0 Poa : 0 0 : 0. 5 0.5 : Portugāe : 0 : 0 : 0 : 0 Rumāa : 0 0 : 0 : 0 : 0 Sovēa : 7 0 : 0 0 0 : 0 Sovāka : 8 0 0 : 0 0 0 : 0 Zvedra : 56 0 6 : 0.3 : 0. : 49 Lebrtāa : 5 8 365 : 0 : 0 : 007
Novērtēta osūtīšaa o Vācas uz Vācu r veāda ar u u atbstoš fksētam modem 0 tādām korespodecēm pates r ābūt veādām ar u. Patesā korespodece r veāda ar 507 tūkst. pasaţeru kas oāk pretruā ar šo peľēmumu. Aazēot. tabuu var redzēt ka kopēā ovērtētā osūtīšaa o Vācas r ļot tuva īsta. Šs fakts perāda baces osacīuma 6 patesumu. Aazēot rezutātus r redzams ka abāke korespodeču ovērtēum atbst vastīm ES vecaām daībecēm. Iespēams ovērtēumu precztātes uzabošaa par auaām ES daībvastīm tās r āaazē atsevšķ. Ir pedāvāts orģās eeāras regresas modes kokrētās korespodeces ovērtēšaa starp dvem ģeogrāfskaem puktem. Modeļa ezāme parametr r ovērtēt ar specā zvedoto procedūru uz gradeta metodes bāzes. Nepecešamā programmatūra r zstrādāta MathCad 3 vdē. Pedāvātās peeas verfkāca pasaţeru dzezceļa korespodeču otekšaa starp Eropas Saveības vastīm orādīa uz samērā abem rezutātem. 8.3. VIENA INDEKSA MODEĻA PIELIEOŠANA PĀRVADĀJUMU APJOMU IZPĒEI 8.3.. VIENA INDEKSA MODEĻA NOVĒRĒŠANA Vea deksa modeļa vspārēā formua r sekooša: E m g v. 7 Fukca g r sates ezāmā fukca. Kā deksa fukcu zmato ebkuru pemēroto gudo fukcu. Šaā pētīumā tka zvēēta eārā kombāca: m g 0... d d g 8 kur u r osaukts par deksu. Vea deksa modeļa ovērtēšaas procedūrā etpst dv soļ. Vsprms tek ovērtēts ezāmo koefcetu vektors β. Otrā soļa gatā zmatoot egūtās deksa vērtības tek ovērtēta fukca g kā vefaktora eparametrskā regresa o. Ir āvec dvas būtskas etas: āzvēas v ˆ azvetotās ezāma sates fukca g u āosaka pemērotā mērķa fukca ezāmo koefcetu vektora β ovērtēšaa. urkāt r espēamas varākas metodes zvēētās mērķa fukcas optmzāca. Ľemot vērā veīgo peľēmumu attecībā uz ezāmo fukcu prot ta r ābūt guda kā ezāmo fukcu m var zmatot Nadaraya-Watso kodoa ovērtētāu: 3
g ~ K h 9 K h kur r deksa vērtība -ā ovēroumā r atkarīgā maīgā vērtība -ā ovēroumā u K h r kodoa fukca. Šaā pētīumā kā K h tka zmatota tka Gausa kodoa fukca: K ep h h h 30 kur h r zīdzāšaas parametrs va osa. Nezāmo koefcetu vektoru ovērtē pēc mazāko kvadrātu krtēra: R g~ m. 3 Krtēra mmzāca r zmatota gradeta metode. Atbstošā gradeta formua r sekooša: K h ~ R K K K 3 h h h h K kur u h K h ~ h K h 4 ep h 33 34 r Gausa kodoa fukcas 30 prmas atvasāums. Vsozīmīgākā vea deksa modeļa atrašaas procedūras vekāršošaa kā arī parametrsko u pusparametrsko modeļu efektvtātes saīdzāšaa r pedāvāts zmatot atkumu kvadrātu summu R 0 kura tek aprēķāta sekoošā vedā: R ˆ 0 35 d kur r ovēroumu skats d r ovērtēamo koefcetu skats r ovērotā vērtība u Ŷ r ovērtētā ga ar eāro ga ar vea deksa modeļa paīdzību. ātad ˆ var tkt attēots ar g ~ va ar ˆ paīdzību.
Zemāk r zkāstīta vsatbstīgākā vea deksa modeļa atrašaas I. Procedūra. I. Procedūras sākums.. Iekļaut modeī vsozīmīgākos faktorus pēc atbstošā abākā eārā modeļa zvērtēšaas rezutātem skat. atbstošo II. Procedūru zemāk. Notekt modeļa kārtas umuru = 0.. = +. Izvēētes sākuma vērtību zīdzāšaas parametram h uz pārecošo argumetu bāzes. Vērtību var zvēētes uz Mahaaobsa attāuma bāzes va zmatoot AMISE formuu. 3. Izvēētes adekvātu precztātes īme ε krtēra 3 optmāās vērtības aprēķam u precztātes īme η gradeta 3 optmāās vērtības aprēķam. 4. Pešķrt = 0 vērtību. Izvēētes sākuma vērtību ezāmaem koefcetem uz pārecošo argumetu bāzes. 5. Aprēķāt gradeta R vērtību. 6. Aprēķāt pārvetouma vrzea gradeta R bāzes: R 5 R R pašrezēo vērtību uz. 36 7. Aprēķāt pārvetouma soļa pašrezēo vērtību ar ebkuru pemēroto vedmesas optmzācas metod dhotomas metode zeta grezuma metode u.c.. 8. Notekt = +. Aprēķāt ezāmo koefcetu pašrezēas vērtības pēc vsstrauākās samazāšaas metodes ves o gradeta metodes varatem:. 37 9. Apstādāšaas tests. Ja R R tad otekt = + u pāret pe 6. soļa. 0. Gradeta veādības ue tests. Ja R tad otekt = + u pāret pe 5. soļa.. Atzīt pašrezēo ovērtēumu par optmāu.. Izvedot abākā zvēētā vea deksa modeļa veādoumu ar tā paīdzību aprēķāt progozēamā euma ovērtēumus. 3. Aprēķāt atkumu kvadrātu summu R 0. 4. Ja = tad pāret pe 5. soļa. Ctos gadīumos pāret pe 6. soļa. 5. Atzīt pašrezēo R 0 par atkumu kvadrātu summas optmāo vērtību t.s. rekordu RE u pāret pe. soļa. 6. Ja pašrezēas R 0 r mazāks par pēdēo rekordu RE tad atzīt to par auu rekordu otekt RE R0. 7. Ja h oproām var maīt tad pāret pe. soļa.
8. Optmāas VIM r atrasts. I. Procedūras begas. ā kā vea deksa modeļa efektvtātes zpēte ekļau sevī saīdzāšau ar eāro mode ar tādem pašem faktorem vsozīmīgākā eārā modeļa samekēšaa r zstrādāta II. Procedūra. Šī procedūra r zkāstīta promocas darba pā tekstā. Ir āuzsver tāds fakts ka augstāk zkāstītās procedūras ļau ovērtēt apskatāmo modeļu efektvtāt tka esošo datu zīdzāšaa. ādēļ āzšķr zīdzāšaas krtēr u īst progozēšaas t.. kross-pārbaudes turpmāk KP krtēr. Izīdzāšaas procedūra modeļa koefcetu ovērtēšaa tek vekta uz vsu retrospektīvo datu pamata. Pēc tam uz ovērtēto koefcetu bāzes aprēķa atkarīgā maīga vērtības Ŷ atbstoš esošem ovēroumem. Izīdzāšaas kvatāt osaka ovērtēumu Ŷ ovrzes mērs o atkarīgā maīga patesaām vērtībām. Kross-pārbaudes eemetāraā varatā datu zas daa dvās daļās. Datus o prmās daļas zmato apskatāmā modeļa ezāmo koefcetu ovērtēšaa. āāk egūtos koefcetu ovērtēumus zmato atkarīgā maīgā vērtību aprēķam atbstoš datem o otrās zases daļas. ādā vedā aprēķāto progoţu vērtību u ovēroto vērtību saīdzāšaa ļau verfcēt apskatāmā modeļa progozēšaas espēas. Paredzēta pedāvāto modeļu efektvtātes pārbaude dvos gadīumos: esošo datu zīdzāšaa u progozēšaa. Ir espēams peāgot agrāk zkāstītās procedūras arī kross-pārbaudes gadīumam. 8.3.. SARPAUISKĀ KRAVU DZELZCEĻA RANSPORA APGROZĪJUMA ANALĪZE UN PROGNOZĒŠANA ES VALSĪM Uzdevuma ostāde Apūkoamas pētīuma obekts r Eropas Saveības vasts. Par ovēroumu tek uzskatīt dat par obektu kokrētaā aka mometā. Pētīuma mērķs r zvedot daţādus regresas modeļus u zvēētes o tem vsefektīvākos dzezceļa kravu trasporta apgrozīuma progozēšaa. Progozēamas eums apzīmēts ar t 0 r starptautskas dzezceļa kravu trasporta apgrozīums moos t/km. Statstskās aaīzes prekšmets r 75 ovēroum par 5 vastīm ES o 996. gada īdz 000. gadam. Ietekmēoše faktor r sekooš: t vasts patība tūkst. km SQUARE; t IKP uz veu edzīvotāu GDP_PPS; t 3 saīdzošas ceu īmes CPL; t 4 dzezceļa īu garums tūkst. km OLEN; t 5 okomotīvu skats tūkst. LOKOM; t 6 preču vagou skats tūkst. WAGONS. t 7 vasts patības gradāca GradAREA. 6
Izvrzīte modeļ Prme dv modeļ r eāre apzīmēt ar L u L. Pārēe dv modeļ r vedeksa modeļ apzīmēt ar VIM u VIM. Atkarīgas maīgas L t. 0 Ietekmēoše maīge r t t3 3 t t3 4 t4 5 t5 6 t6. Atkarīgas maīgas L t0 t. Ietekmēoše maīge r tād paš turkāt apskatā tka evadīta gradāca pēc vasts patības 7 t7. Atkarīgas maīgas SIM t0 t. Atkarīgas maīgas SIM t0 t. Ietekmēošo maīgo kopa modeļem VIM u VIM sakrīt ar maīgo kopu modem L. Vs augstāk mēte modeļ r grupu modeļ. Izvrzīto modeļu zvērtēšaa u verfkāca tek zmatotas ga I. u II. Procedūras ga kross-pārbaudes KP paľēmes kas aprakstīts agrāk. Specā vea deksa modem tka vekta ekspermetu sēra a otektu optmāās vērtības zīdzāšaas parametru h. Leāro modeļu ovērtēšaa Novērtēamo modeļu L u L veādoum r sekooš: Eˆ L 373 R = 0.98 F = 384. 8 6 769 3 879 4 549 5 58. 38 6 Eˆ L R = 0.98 F = 34. 0.4..4 0.3 0.4 5.9. 39 5 0.36 9. 7 Vedeksa modeļa ovērtēšaa Koefcetu ovērtēum tka egūt pe optmāaām osām h = 7 modem VIM u h = 6 modem VIM. Novērtētas modes tek perakstīts sekoošā vedā: K ˆ h E 40 K ˆ kur SIM var peľemt vērtības SIM va. Novērtēte koefcetu vektor r ˆ SIM 70 3 0 8 5 0 758 55 3 0 u ˆ SIM 76 0 4 853 6 87. Kross-pārbaudes aaīze Koefcet tek ovērtēt uz apskatāmā peroda o 996.g. īdz 999.g. bāzes pēc tam tek egūtas progozes vērtības aazēamaam 000.gadam. Modeļu L u L veādoum r sekooše: h 7
Eˆ L 454 98 45 0556 3 899 4 53 5 48. 4 6 Eˆ L 0 8..43 04 0.. 4 5 66 0. 3 7 Iegūte koefcetu ovērtēum atbst optmāaām osām h = 7 u h 0 = 8 modem VIM u h = 6 modem VIM. Novērtēte koefcetu vektor r ˆ SIM 3360 40 566 9870 3996 5630 u ˆ SIM 345 96 4 5 357 ; u ˆ 963 0 3 SIM 604 49 690. 4. tabua satur krtēra R 0 vērtības apskatāmaem modeļem. Novērote u progozēte dzezceļa kravu apgrozīuma apom tek parādīt. u 3. attēā. Krtēra R 0 vērtības Modes L L VIM VIM Izīdzāšaa 543 065 4 830 576 894 65 565 407 KP 8 509 464 8 94 875 894 37 896 87 4. tabua.att. Progozēšaa ar mode L 3.att. Progozēšaa ar mode VIM 8
Ba zvedot u zvērtēt četr regresas modeļ dv o tem eāre u dv vea deksa modeļ. Modeļu efektvtāte tka pētīta bastotes uz datem par kravu apgrozīumu 5 Eropas Saveības vastīs. Pētīuma rezutāt eca par to ka vea deksa modes sedz precīzākas progozes ekā eāras atbstoš krtēra R 0 vērtībām. urkāt ekspermetā r egūta zīdzāšaas parametra h optmāā vērtība aazēamaam vea deksa modem. 8.3.3. IEKŠĒJO DZELZCEĻA PASAŢIERU PĀRVADĀJUMU ANALĪZE UN PROGNOZĒŠANA LAVIJAS REĢIONIEM Pētīuma mērķs r grupu parametrsko u pusparametrsko modeļu kostruēšaa u pvedošaa kas dotu espēu veād ab aprakstīt ga mazus ga eus dzezceļa pasaţeru pārvadāumus Latvas reģoos. Gaveā probēma r pārvadāumu evemērīgs sadaīums. Pārvadāum eākem reģoem varākās kārtās pārsedz pārvadāumus pārēem reģoem. Ves o espēamem emesem r tas ka edzīvotā zmato dzezceļa trasportu atšķrīgos oūkos. Leu reģou edzīvotā zmato eektrovceus kā parasto psētas trasportu bet mazo reģou edzīvotā zmato vceus tka tāaem brauceem. Sakarā ar to tka vekt varāk pētīum kuros esošā statstka tka edaīta dvās grupās atkarībā o pārvadāumu euma. Ba zstrādāts modes kas domāts tka mazu pārvadāumu aprakstam. Labāke progozēšaas rezutāt ba egūt pēc zecošo ovēroumu zsēgšaas atbstoš Mahaaobsa attāumam. Uzdevuma ostāde Apskata obekts r Latvas reģos kurā tek vekt otekt dzezceļa pasaţeru pārvadāum turpmāk reģos. Par ovēroumu tek uzskatīt dat par obektu kokrētaā aka mometā. Progozēamas eums apzīmēts ar t 0 r ekšēo dzezceļa pasaţeru pārvadāumu apoms tūkst. pasaţeru Latvas zāmaam reģoam. Statstskās aaīzes prekšmets r 3 ovēroum pēc 33 Latvas reģoem par perodu o 000.g. īdz 003.g. Ietekmēoše faktor r sekooš: t edzīvotāu bīvums tūkst. uz patības veību P/000SQUARE; t uzľēmumu bīvums uz patības veību NE/SQUARE; t 3 uzľēmumu bīvums uz tūkst. edzīvotāu NE/000P; t 4 estrādāošo edzīvotāu bīvums tūkst. uz patības veību UP/SQUARE; t 5 vspārzgītoošo estāţu bīvums uz patības veību NGEI/SQUARE; t 6 autobusu bīvums uz patības veību NB/SQUARE; t 7 autobusu bīvums uz tūkst. edzīvotāu NB/000P; t 8 dzezceļa stacu skats NRS. Abos modeļos atkarīge maīge u r t 0. Ietekmēoše maīge abos modeļos r vs 8 augstākmēte. Katrs ekspermets sastāv o abu modeļu ovērtēšaas zīdzāšaas procesā. Pēc tam ab modeļ r zvērtēt progozēšaa zmatoot krosspārbaudes paľēmeu: ezāme koefcet tek vērtēt uz apskatāmā peroda 9
bāzes o 000. gada īdz 00. gadam. Izmatoot egūtos ovērtēumus tek progozēt pārvadāum aazēamaam perodam 003. gadam. āāk tks parādīt gavee rezutāt bez ekem kometārem. Pās statstkas zases aaīzes rezutāt ka apstrādāt vs 3 ovēroum vsos 33 reģoos. urkāt daļa reģou statstkas par vsu apskatāmo perodu trūkst. Izīdzāšaa. Labākaam eāraam modem atbst sekoošas veādoums: E ˆ 75 4 33 68 476 46. 43 3 7 8 R = 0.94 F = 358. Koefcetu ovērtēšaa vedeksa modem ba vekta pe osas h daţādām vērtībām. Labākas zvēētas vedeksa modes atbst optmāaa osa h = u var tkt prezetēts formā 40 pe ovērtētā koefcetu vektora ˆ 983 395 7375 353 0.. Kross-pārbaude. Veādoums zvēētaam eāraam modem r sekoošs: Eˆ CV 67 3.9 3 44 406 40. 44 3 7 8 R = 0.94 F = 45. Šs modes sedz egatīvas progozes 7 reģoem t.. apmēram 30% ovēroumu. Labākas zvēētas vedeksa modes atbst optmāaa osa h = 30 pe ovērtētā koefcetu vektora ˆ CV 34500 3975 873 87 470. Krtēra R 0 vērtības abem aazētaem modeļem zīdzāšaas u kross-pārbaudes KP gadīumā r apkopot 5. tabuā. 6. tabuā etpst ar abu modeļu paīdzību ovērote u ovērtēte pārvadāumu apom KP gadīumā aazēamam perodam u reatīvu kļūdu katram reģoam %. 5. tabua Krtēra R 0 vērtības Izīdzāšaa KP LM 884 4 8 086 VIM 33 556 466 06 Nepīgu datu aaīzes rezutāt ka apstrādāt 88 ovēroum o reģoem. ka ľemt vērā reģo kurem peeama statstka par vsu apskatāmo perodu. Izīdzāšaa. Labākā zvēētā eārā modeļa veādoums r: E ˆ 094 9 389 83 75995 886 55. 45 3 5 6 8 R = 0.95 F = 306. Labākas zvēētas vea deksa modes atbst optmāaa osa h = pe ovērtētā koefcetu vektora 30
ˆ 848 73 6 0. 88 Kross-pārbaude. Labākā ovērtētā eārā modeļa veādoums r: 0.. Eˆ CV 35 380 75 86963 98 46. 46 3 5 6 8 R = 0.96 F = 5. Labākas zvēētas vea deksa modes atbst optmāaa osa h = 30 pe ovērtētā koefcetu vektora ˆ CV 60 35 6 3 3 75. Krtēra R 0 vērtības r apkopotas 7. tabuā. 6. tabua Kross-pārbaudes rezutāt Novērote Progozes Reatīvā kļūda % pārvadāum LM VIM LM VIM Rīga 333.05 0067.43 370.00 3.96 4.09 Daugavps 59.85 979.57 30.83-76.98-6.6 Jegava 676. 6.3 4.00 3.87 5.76 Jūrmaa 6436. 3360.9 468.00 47.78 7.6 Rēzeke 9.50 53. 93.77-695.95-0.66 Azkraukes r. 795.4 47.85 0.98 46. 84.79 Cēsu r. 7.5 33.88 74.9 -.3 35.73 Daugavps r. 47.7-68.34 7.59 395.97-5.4 Dobees r. 43.0 78.08 4.96-8.7-3.7 Gubees r. 0.5 83.36 94.47-689.53-8.0 Jegavas r. 67.40 35.4 3.57-7.85 50.4 Jēkabps r. 5.74 5.49 6.90-07.55 49.59 Lmbaţu r. 96.3-7.44 85.70 74.3 0.85 Ludzas r. 90.78-5.40 84.9 67.88 7.6 Madoas r. 66.30-65.4 30.8 349.50-97.33 Ogres r. 408.3 69.00 49.00 44.77 47.69 Preļu r. 04.37 55.95 00.04-49.43 4.4 Rēzekes r. 53.34-9.3 8.3 33.67-5.46 Rīgas r. 69.64 5660.0 483.00 9.00.6 Sadus r. 9.36-49.69 5.56 768.5-34.99 ukuma r. 698.9 33.84 49.75 5.38 78.57 Vakas r. 74.60-97.4 89.5 30.34-9.50 Vameras r. 86.74 6.98 85.40 7.39-3.74 Krtēra R 0 vērtības Izīdzāšaa KP LM 83 3 335 774 VIM 7 435 909 0 7. tabua Demţē eāras modes sedz egatīvas progozes 8 reģoem t.. apmēram 36% ovēroumu. Vedeksa modes apraksta mazos pārvadāumus efektīvāk ekā eāras. Šs fakts rada prekšotekumu vedot atšķrīgus 3
modeļus mazo u eo pārvadāumu apomu aaīze u progozēšaa. Mazo pārvadāumu atsevšķa aaīze u progozēšaa ka apstrādāt 95 ovēroum o 8 reģoem t.. maze pārvadāum. Izīdzāšaa. Veādoums abākaam ovērtētaam eāraam modem r: E ˆ 55 8 6 34 3033 8. 47 3 4 5 8 R = 0.48 F = 7. Labākas zvēētas vea deksa modes atbst optmāaa osa h = 0.5 pe ovērtētā koefcetu vektora ˆ 65 78 0.3 0.. Kross-pārbaude. Labākas eārās regresas veādoums r sekoošs: Eˆ CV 3 74 4 8 58 6. 48 3 4 5 8 R = 0.4 F = 0. Labākas zvēētas vea deksa modes atbst optmāaa osa h = pe ovērtētā koefcetu vektora ˆ CV 38 555 80 0. 56. Krtēra R 0 vērtības r apkopotas 8. tabuā. 8. tabua Krtēra R 0 vērtības Izīdzāšaa KP LM 4 430 79 09 VIM 8 877 40 99 Izecošo ovēroumu zsēgšaa atbstoš Mahaaobsa attāumam ka apstrādāts 9 ovēroums. ka zdarīt sekooš esošā modeļa uzaboum: kvatatīvā maīgā evadīšaa modeī; zecošo ovēroumu zsēgšaa atbstoš Mahaaobsa attāumam. Izīdzāšaa. Veādoums abākaam ovērtētaam eāraam modem r: Eˆ 0 436 633 6448 5 734 6 3987 478. 49 R = 0.96 F = 58. agad kvatatīvas maīgas GRAD r evadīts modeī. as peľem vērtību tem reģoem kurem apror raksturīg ee pārvadāum u vērtību 0 vsem pārēem reģoem. Pēc uzabošaas eārā modeļa veādoums var tkt perakstīts sekoošā formā: Eˆ G 0 68 83 4 38555 9 6 638 7439. 50 R = 0.97 F = 339. Labākas zvēētas vea deksa modes atbst optmāaa osa h = pe ovērtētā koefcetu vektora 3
Coveyaces thousa ˆ 8959 386 795 0. 3437 0.. Regresas veādoums pēc zecošo ovēroumu zsēgšaas r: Eˆ M 307 593 393 4 07 6 367 88. 5 R = 0.9 F = 9. Labākas zvēētas vea deksa modes atbst optmāaa osa h = pe koefcetu vektora ˆ M 56 80 4 4 4 0.. Kross-pārbaude. Leārās regresas veādoumam r sekoošā formā: Eˆ CV 69 3863 554 703 5 46 7 08. 5 R = 0.9 F = 94. Labākas zvēētas vea deksa modes atbst optmāaa osa h = pe ovērtētā koefcetu vektora ˆ CV 83 380 4 709 0.. Krtēra R 0 vērtības r savāktas 9. tabuā. Novērote u progozēte pārvadāumu apom r pretstatīt 4. u 5. attēā. 9. tabua Krtēra R 0 vērtības Izīdzāšaa Modes prms pēc KP zecošo ovēroumu zsēgšaas LM 80 / 546 895 59 096 739 5 VIM 65 843 0 053 47 80 8000 6000 4000 000 0-000 -4000 Daugavps Jūrmaa Azkraukes r. Cēsu r. Daugavps r. Dobees r. Gubees r. Jegavas r. Jēkabps r. rue Lmbažu r. Ludzas r. Madoas r. Ogres r. Preļu r. Rēzekes r. Forecasted Rīgas r. Sadus r. ukuma r. Vakas r. Vameras r. 4.att. Progozēšaa ar Leāro Mode eskatot maīgo GRAD 33
Coveyaces thousa 8000 6000 Jūrmaa Azkraukes r. Cēsu r. Daugavps r. Dobees r. Gubees r. Jegavas r. Jēkabps r. Lmbažu r. Ludzas r. Madoas r. Ogres r. 4000 000 0-000 Daugavps -4000 rue Forecasted Preļu r. Rēzekes r. Rīgas r. Sadus r. ukuma r. Vakas r. Vameras r. 5.att. Progozēšaa ar vea deksa mode ka egūt regresas modeļ kur ļau otekt svarīgo ekoomsko u socāo faktoru etekm uz pasaţeru dzezceļa pārvadāumu apomem Latvas reģoos. Rezutātā r saīdzāt dv grupu modeļ: daudzfaktoru eāras regresas modes u vedeksa modes. Izecošo ovēroumu zsēgšaa o statstkas datem atbstoš Mahaaobsa attāumam samaza zīdzāšaas kļūdu u savukārt paea progozēšaas precztāt. Aaīzes rezutāt eca par vedeksa modeļa prekšrocībām zīdzāšaas u progozēšaas gadīumos. 8.4. SARPAUISKO PASAŢIERU AVIOPĀRVADĀJUMU PROGNOZĒŠANA ES VALSĪM UZ SURE-MODEĻA BĀZES SURE-modes kuru pedāvāa A.Zeer 96. gadā r pemērots u etderīgs īdzeks pašam uzdevumu kāstam ekoometrkā oģstkā u.c. Šaā darbā tek pētīts ves o espēamaem SURE-modeļa vspārāumem. Peľem ka atsevšķe ovēroum esatur formācu par vsem atkarīgaem maīgaem. Ir egūts kovarācas matrcas eovrzītas ovērtēums. Perādīta SURE-modeļa peetošaas prekšrocība saīdzāumā ar daudzdmesu mode statstkas datu epības gadīumā uz kopēo pasaţeru avopārvadāumu progozēšaas pemēra kā arī uz S.Bogdaovas maģstra darba praktsko rezutātu bāzes zpdīta kaddātes vadībā. Uzdevuma ostāde SURE-modes 6 u tā svarīgākās atšķrības o daudzdmesu modeļa 4 r aprakstītas esošā kopsavkuma 3. odaļā. ātad mērķs r egūt progoz summas Wt G G m v t v t Z t 53 v matemātskaa cerība ākamaam aka mometam t. Nezāme koefcet v tek ovērtēt pēc zāmās formuas 34