1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Veselo skaitļu teorija 3.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2009./2010.studiju gads
Saturs 2 1. Kongruence, atlikumu klases un to īpašības 4 1.1. Kongruence........................ 4 1.1.1. Definīcija..................... 4 1.1.2. Kongruences īpašības.............. 5 1.2. Atlikumu klases...................... 13 1.2.1. Attiecības..................... 13 1.2.2. Ekvivalences attiecība un sadalījumi...... 14 2. 3.mājasdarbs 17 2.1. Obligātie uzdevumi.................... 17 2.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 18
3 Lekcijas kopsavilkums: apgūt veselo skaitļu salīdzināmības teorijas pamatus, apgūt atlikumu (modulārās) aritmētikas pamatus. Svarīgākie jēdzieni: kongruence/salīdzināmība mod m, ekvivalences attiecība un ekvivalences klases. Svarīgākie fakti un metodes: kongruences īpašības (ar fiksētu moduli, ar mainīgu moduli, aritmētiskās).
4 1. Kongruence, atlikumu klases un to īpašības 1.1. Kongruence 1.1.1. Definīcija Fiksēsim m Z. Teiksim, ka a, b Z ir salīdzināmi vai kongruenti pēc moduļa m (mod m) a un b dalījumā ar m dod vienādu atlikumu. Apzīmē ar pierakstu a b(mod m). 1.1. piemērs. 2 5(mod 3), 4 3(mod 7), 1.1. teorēma. a b(mod m) m a b. PIERĀDIJUMS a = q1 m + r b = q 2 m + r = a b = m(q 1 q 2 ) = m a b.
a = q 1 m + r 1 b = q 2 m + r 2 }} = a b = m(q 1 q 2 ) + (r 1 r 2 ). }} r 1 0 5 Pieņemsim, ka r 1 > r 2. 0 r1 m 1 = r 0 r 2 m 1 = r 1 r 2 m 1. = atl(a b, m) = r 0 = m a b. 1.1.2. Kongruences īpašības 1.2. teorēma. (īpašības ar fiksētu moduli) 1. a = b = a b(mod m), m Z. 2. m = ±1 = a b(mod m), a, b. ( ) 3. m = 0 = a b(mod m) a = b, 4. a a(mod m) (refleksivitāte),
5. a b(mod m) = b a(mod m) (simetrija), a b(mod m) 6. = a c(mod m) (tranzitivitāte). b c(mod m) d a ) 7. d b = (a b(mod m) = ad bd (mod m) LKD(d, m) = 1 PIERĀDĪJUMS 1. a b = 0, m 0. 2. ±1 a b. 3. 0 a b a b = 0. 4. m a a. 5. m a b = a b = qm un b a = ( q)m = m b a. 6
7 6. m a b m b c = a b = qm b c = q m Saskaitot šīs vienādības, iegūsim a c = (q + q )m, tāpēc m a c. 7. Pieņemsim, ka a = da, b = db. a b(mod m) = a b = qm = d(a b ) = qm = m d(a b ) LKD(d, m) = 1 = m a b = a b (mod m). 1.1. piezīme. Teorēmas 1.apgalvojuma apgrieztā forma: m Z : a b (mod m) = a b. Šī forma ir lietderīga risinot vienādojumus veselos skaitļos.
1.3. teorēma. (īpašības ar mainīgu moduli) 1. a b(mod m) a b(mod ( m)) (var mainīt moduļa zīmi). 2. a b(mod m) = ak bk(mod mk), k Z (modulārās vienādības abas puses un moduli var reizināt ar vienu un to pašu skaitli). 3. d a d b d m = ) (a b(mod m) = ad bd (mod md ) (abas kongruences puses un moduli var dalīt ar kopīgu dalītāju) ( ) 4. m m = a b(mod m) = a b(mod m ) (var pārnest kongruenci uz moduļa dalītājiem). a b(mod m) 5. a b(mod m a b(mod MKD(m, m ) )) (ja skaitļi ir kongruenti pēc vairākiem moduļiem, tad tie ir kongruenti arī pēc moduļu MKD). 8
9 PIERĀDĪJUMS 1. a b(mod m) a b = qm = ( q)( m) a b(mod m). 2. a b(mod m) = a b = qm = ak bk = q(mk) = ak bk(mod mk) a = da 3. Definēsim b = db m = dm. a b(mod m) = a b = qm = da db = q(dm ) = a = b = qm = a b (mod m ). a b(mod m) 4. m m = a b(mod m ). = a b = qm m = q m = a b = qq m 5. a b(mod m) a b(mod m ) m a b m a b
10 MKD(m, m ) a b a b(mod MKD(m, m )). 1.2. piemērs. 1.4. teorēma. (īpašības ar aritmētiskajām operācijām) 1. a b(mod m) a + c b + c(mod m), c Z. 2. a b(mod m) = ac bc(mod m), c Z. a b(mod m) 3. a b = a + a (mod m) b + b (mod m) a b(mod m) 4. a b = aa (mod m) bb (mod m) 5. a b(mod m) = a n b n (mod m), n N. 6. a b(mod m) = f(a) f(b)(mod m), f Z[X]. PIERĀDĪJUMS 1. a b = qm (a + c) (b + c) = qm.
11 2. a b = qm = ac bc = (qc)m ac bc(mod m). m a b 3. m a b = m (a + a ) (b + b ) = a + a b + b (mod m). m a b 4. m a b = m b (a + a ) a(b + b ) = m aa bb = aa bb (mod m). 5. Seko no iepriekšējiem apgalvojumiem. 6. Seko no iepriekšējiem apgalvojumiem. 1.3. piemērs. 1.2. piezīme. Pierādītā teorēma kopā ar apgalvojumu - m : a b (mod m) = a b
- ir viens no veidiem kā pierādīt, ka vienādojumam vai vienādojumu sistēmai neeksistē atrisinājums veselos skaitļos. Ja ir iespējams atrast m Z: vienādojumam f(x) 0 (mod m) nav atrisinājumu, tad vienādojumam f(x) = 0 nav atrisinājumu. Teorēma apgalvo, ka, lai pierādītu, ka vienādojumam f(x) 0 (mod m) nav atrisinājumu, pietiek apskatīt galīgu skaitu variantu - 0 x m 1. Diemžēl ne vienmēr šāds pierādījums ir iespējams - eksistē Diofanta vienādojumi, kas ir atrisināmi pēc visiem moduļiem, bet nav atrisināmi veselos skaitļos. 1.4. piemērs. Pierādīsim, ka vienādojumam x 2 + y 2 = 4n + 3 nav veselu atrisinājumu, pētot redukciju pēc mod 4. 12
1.2. Atlikumu klases 13 1.2.1. Attiecības Bināra attiecība - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt kopas (vai divu dažādu kopu) sakārtotiem elementu pāriem. Ja elementu pārim (x, y) piemīt šī īpašība, tad teiksim, ka tie ir saistīti ar attiecību (kuru apzīmēsim ar kādu atdalošo simbolu, piemēram ρ, +, < u.c.) un pierakstīsim to formā xρy, pretējā gadījumā - x ρy. 1.5. piemērs. Attiecību piemēri: reālo skaitļu sakārtojums ρ =, veselo skaitļu dalāmības attiecība ρ =. Attiecību ρ sauksim par refleksīvu, ja a A : aρa. Attiecību ρ sauksim par simetrisku, ja a, b A: aρb = bρa.
Attiecību sauc par tranzitīvu, ja a, b, c A (ne obligāti dažādiem): aρb un bρc = aρc. 14 1.2.2. Ekvivalences attiecība un sadalījumi Attiecību sauc par ekvivalenci, ja tā ir 1. refleksīva, 2. simetriska, 3. tranzitīva. Klasiski ekvivalenču piemēri: skaitļu un, vispārīgāk, matemātisku objektu vienādība, ǧeometrisku figūru līdzība. Par kopas A sadalījumu sauc A apakškopu kopu ℵ = A α } α I ar šādām īpašībām: A α A α = A α Aα =, α I A α = A.
Par sadalījuma ℵ projekcijas funkciju vai projekciju sauksim funkciju π ℵ : A ℵ, kas katram elementam a piekārto to ℵ apakškopu, kuram tas pieder. 15 Kopu ℵ var uzskatīt par kopas A vienkāršotu modeli. sauc par A faktorizāciju, ℵ sauc par A faktorkopu. Šādu pāreju 1.5. teorēma. 1. kopas A sadalījumam var piekārtot A ekvivalenci, kuras ekvivalences klases ir A sadalījuma elementi. 2. kopas A ekvivalencei atbilstošās ekvivalences klases veido A sadalījumu. PIERĀDĪJUMS 1. Dots kopas A sadalījums A = A α } α I, definēsim tam atbilstošu ekvivalenci : a b a un b pieder vienai un tai pašai sadalījuma apakškopai A x.
2. Dota ekvivalence, parādīsim, kā tai piekārtot A sadalījumu. a A definēsim A a = x A x a} (elementa a ekvivalences klasi). a izpildās a A a = A a un a A A a = A = A a } a A ir kopas A pārklājums. 16 Var pierādīt, ka A a A b = A a A b =.
2. 3.mājasdarbs 17 2.1. Obligātie uzdevumi 3.1 Atrodiet atlikumus pēc dotā moduļa: a) 10!(mod 7), b) 100 100 (mod 13), 3.2 Atrisiniet vienādojumus atlikumu klasēs: a) x 3 + x + 1 0(mod 7), b) x 3 + y 2 2(mod 5). 3.3 Pierādiet, ka visiem naturāliem skaitļiem n izpildās 3.4 Pierādiet, ka vienādojumam 1 + 2 2n + 2 2n+1 0(mod 7). x 2 2 = 5y 2 nav veselu atrisinājumu. (Norādījums: risiniet šo vienādojumu mod 4 vai mod 5)
2.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 3.5 x 0,..., x m 1 } Z veido PAK mod m. Kādiem jābūt a, b Z, lai ax 0 + b,..., ax m 1 + b} arī veidotu PAK. 3.6 Dots p P. Ar ko var būt kongruents p (a) mod 3, (b) mod 6, (c) mod 10, (d) mod 12. 18