Microsoft Word - geom_psk_origami.doc

Transkripts

1 git ERKMNE, gnis NDŽĀNS ĢEOMETRIJS PMTSKOLS KURS MODELĒŠN R PPĪR LOĪŠNS PLĪDZĪU Rīg, 2005

2 notācij Drā izklāstīt ģeometrijs pmtskols kurs vizulizēšn r ppīr lps locīšnu. Tjā plūkots pmtelementu locīšn, figūru konstrukcij. Drā ir pierādīts, k viss konstrukcijs, kurs vr veikt r lineālu un cirkuli, ir iespējms veikt rī r ppīr lps locīšnu. STURS Ievds... 3 Ģeometrijs vizulizēšn... 4 Vienāds figūrs... 5 Ģeometrijs pmtelementu vizulizēšn... 6 Strs un nogrieznis... 8 Tišņu novietojums plknē Tisnes dļs Leņķis Leņķ isektrise Tisnstūr locīšn Kvdrāt locīšn Trijstūris Prlēlā pārnese Pgriešn pr leņķi Regulār stoņstūr locīšn Riņķ līnij Riņķ līnijs krustpunkti r tisni Divu riņķ līniju krustpunkti Locījumi, kurus veic r ppīr strēmeli Vienādsānu tisnleņķ trijstūris Vienādsānu trpece Prlelogrms Regulārs sešstūris Regulārs piecstūris Locījumi, kurus veic no riņķveid ppīr lps Riņķ dimetrs un rādiuss Regulārs sešstūris Ģeometrisko konstrukciju relizēšn r ppīr lps locīšnu Ģeometrisku figūru locīšn ģeometrijs stundās tsuces Izmntotā litertūr

3 Ievds Šī dr mērķis ir plīdzēt vizulizēt un tdzīvināt ģeometrijs pguvi skolā, pdrīt to urtiskā ziņā tustāmāku. Prsti skolā šim mērķim tiek izmntot zīmēšn, li ūtu vieglāk uztvert pgūstmo mācīu sturu. Kā vrētu mācīties pr tisnēm, ģeometriskām figūrām, tās uzsktāmi nettēlojot, es nespēju iedomāties. Ir ieži dzirdēts, k zīmējums ir puse no risinājum, et es vēlos iet tālāk un pdrīt ģeometriju tustāmāku. J cilvēks ir kut ko redzējis, ts pliek spilgtāk tmiņā nekā tiki izlsītis vi dzirdētis. Es izvirzīju pr mērķi ļut ktrm ne tiki dzirdēt vi redzēt, et pšm r svām rokām rī veidot ģeometriju, li rstos spēcīgāks iespids un redzētis, ptustītis dudz ilgāk pliktu tmiņā. Sākumā izstāstīšu pr izmntojmo mteriālu ppīru. Mūsdienās ppīrs ir kļuvis pr vienu no ikdiens precēm. Ppīrs ir mums vispkārt. To izmnto gn informācijs izpltīšnā (grāmts, žurnāli, vīzes, reklāms, u.c.), gn kā dekortīvu elementu, gn kā ietinmo mteriālu, gn kā tpetes un vēl dudzos citos veidos. et no kurienes ts nāk? Ppīrs nv rdies pts no sevis, et ir cilvēk roku drs. Ppīr izsākumi meklējmi Ķīnā. Ilgu liku uzsktīj, k ppīru pirmo reizi no luptām un mizām izgtvojis i Luns 105. gdā. Tču rheoloģiskjos izrkumos trsts ppīrs r mūsu ērs g. rkstītiem tekstiem. Domājms, k i Luns ūs ijis ppīr ržošns pilnveidotājs. (...) Ppīr ržošn no džādu ugu šķiedrām plši ttīstījās, sākot p 4.gs., kd ts izpltījās rī Jpānā Vidusāzijā un Persijā. Krust kru likā ppīr gtvošns tehnoloģiju iepzin rī Eiropā (Vācijā p g., Frncijā g., Itālijā g.). ([1], 337. lpp.) Grūti iedomāties, cik sen un izkopt ir ppīr locīšn. Kādu ppīr strēmelīti mēs pārlokām gndrīz ktru dienu: džreiz vienkārši tāpt, ez īpš mērķ vi nolūk, et džreiz, veidojot srežģīts figūrs. Šo māksls nozri suc pr origmi. Ppīr locīšn kā māksls veids rdusies Jpānā. izsākumā origmi ij juks lik kvēklis impertor glmā. Gdsimtu gitā origmi kļuv pzīstms rī ārpus glm. (...) Origmi pmzām sāk iepzīt visā psulē. ([2], 5. lpp.) Mūsdienās origmi izmnto pt ērnu dārzā, kur ērni no ppīr mācās locīt džāds figūrs, šādā veidā ttīstot pirkstu veiklīu un pcietīu. Esmu pti kādu liku nodrojusies r šo rīnišķīgo māksls veidu un zinu interesnto iespidu, kādu ts tstāj uz cilvēku. Kd ir slocīt kād figūr, pārņem priek sjūt kā pēc li pdrīt dr un rods vēlme šo figūru slocīt vēlreiz. Vrūt tieši šādā veidā vrētu ienest juns vēsms skols ģeometrijā, pdrot mācīu procesu izrujošāku, et ne mzāk sturisku. Mnuprāt, r ppīr locīšnu vr rdīt skolēnos lielāku interesi pr ģeometriju. Li ssniegtu drā izvirzīto mērķi, sīkāk prkstīšu pšu vizulizācijs metodi. Ju šorīd ģeometrij skolā tiek vizulizēt divos veidos. Pirmkārt, r zīmēšns plīdzīu, kd skolēni zīmē plūkojmās figūrs un, otrkārt, pkārtējā telpā meklējot ģeometrijs elementus. Visiežāk tās ir prlēls vi perpendikulārs tisnes (tāfeles prlēlās un perpendikulārās mls, sliedes), džāds ģeometrisks figūrs (tisnstūrveid glds, pļis Sules disks, pilnmēness). Svā drā es prkstīšu, kā skolēnm izveidot ģeometrijs pmtelementus un figūrs. Glvenis instruments ir ppīr lp, kur pieejm ikvienm. Netiek izmntoti tādi plīglīdzekļi kā lineāls, trnsportieris, tiki retos gdījumos, li 3

4 nesrežģītu pšu locīšns procesu, tiek tļuts izmntot rkstāmrīkus, et rī ez tiem vrētu iztikt. Tie ir ērti gdījumos, kd no viens ppīr lps ir jāslok kād figūr, kurs uzlocīšni ir nepieciešms dudzs plīglīnijs. Rkstāmo vr izmntot, li tliktu punktu, et, protms, šo punktu ir iespējms uzlocīt. Tātd, ez rkstāmā vr rī iztikt. Svā drā es plūkošu pmtskols ģeometriju, pt tiki pšus tās pmtus. Dru esmu iedlījusi trijās dļās. Pirmjā dļā plūkošu ģeometrijs pmtskols kurs modelēšnu, izmntojot ezglīgs ppīr lps locīšnu. Tiks plūkot ģeometrijs pmtfigūru un elementu locīšn. Otrjā dr dļā es plūkošu locījumus, kurus vr veikt no džādu formu lpām, precīzāk, tisnstūrveid un riņķveid ppīr lpām. Trešjā dļā es prkstīšu personīgo pieredzi šīs metodes izmntošnā skolā un to, kā skolēni uztver locīšnu ģeometrijs stundās, vi tā viņiem plīdz vi trucē. Drā tiek prkstīt ppīr lps locīšn. Ir izmntoti virāki jēdzieni, ks ir specifiski tiki locīšns gdījumā. Piemērm, uzlocīt, nolocīt, locījums, ielocījums utt. Šie jēdzieni nv jāuztver kā pilnīgi tšķirīgi, et gn kā sinonīmi, kuru ninses prādās tiki konkrētjā gdījumā, et pmtnozīme tiem visiem ir kopīg. Ģeometrijs vizulizēšn Ģeometrij ir mtemātiks nozre, ks plūko figūru telpiskās ttiecīs un forms un pētī tās, strhējoties no citām reālu priekšmetu īpšīām (līvum, mss, krāss u.c.). ([23], 713.lpp.) Dr mērķis ir vizulizēt un tdzīvināt ģeometrijs pguvi skolā. Ģeometrijā tiek plūkots strkts figūrs. Ne visiem cilvēkiem ir li ttīstīt telpiskā domāšn, ks ir nepieciešm vidusskols kursā, li pgūtu stereometrijs pmtus. Tieši tāpt rī pmtskolā tiek plūkots strkts figūrs, kurs dļi ir grūti iztēloties. Tātd ģeometrijs pguvi skolā iespido rī ktr individuālās spējs uztvert strktus ģeometriskus tēlus je figūrs. Uztvere ir nepieciešms izziņs proces noscījums. Nozīmīg viet uztverē ir iegūtji pieredzei (..) Uztvere ir ktīvs process, nevis psīvs tspoguļojums. ([24], 185.lpp.) Li tvieglotu uztveri, un līdz r to rī pšu izziņs procesu, ģeometrij tiek vizulizēt. To dr, pirmkārt, zīmējot, ks ir glvenis ģeometrijs vizulizēšns pņēmiens. strktās prkstītās figūrs vispirms uzzīmē, li tās kļūtu skidrāks, jo dzirdot vārdu stoņstūris ne visiem uzreiz rods ttiecīgā sociācij je vizuālis tēls. To vieglāk uztvert, j ts ir uzzīmēts. Ts it kā kļūst sprotmāks. et uztvere pēc sv formulējum ir ktīvs process, tādēļ rī pšm uzzīmējot kādu figūru, tās tēls spilgtāk pliks tmiņā. Jāņem rī vērā ts, k redzētis pliek spilgtāk tmiņā nekā tiki dzirdētis. No visām cilvēku sjūtām redze visciešāk sist cilvēku r pkārtējo psuli. Lāk vienreiz redzēt, nekā simts reizes dzirdēt, - pglvo skāmvārds. Lūk kādēļ zinātnieku centieni vienmēr vērsti uz to, li pētāmo prādīu pdrītu redzmu. ([25], 16.lpp) Otrkārt, ģeometrij tiek vizulizēt, meklējot ttiecīgās figūrs, skrīs pkārtējā telpā, dā. Piemērm, prlēlās un perpendikulārās tisnes, džāds forms figūrs, piemērm, trijstūrus, kvdrātus, tisnstūrus u.c. 4

5 Treškārt, ir rūpnieciski izstrādāti džādi modeļi, ks tvieglo ģeometrijs, it īpši stereometrijs, pguvi un figūru uztveri. et, mnuprāt, pš izstrādāts modelis plīdz lāk uztvert, sprst un tcerēties konkrēto ģeometrisko figūru. Tādēļ es plūkoju veidu kā vrētu vizulizēt ģeometriju skolā r ppīr lps locīšnu. Vienāds figūrs Ģeometrijā tiek plūkots vienādu figūru jēdziens. Vizulizējot ģeometriju r ppīr locīšns plīdzīu, nozīmīgi ir izskidrot, ko nozīmē vienāds figūrs. Pēc definīcijs divs figūrs suc pr vienādām, j tās vr uzlikt vienu uz otrs tā, k s figūrs pilnīgi skrīt. Lokot ppīr lpu, ir jāņem vērā ts, k locījum līniji ir rī svs iezums. Vispārīgā gdījumā pieņemts, k locījum līnij ir ezglīgi tiev, et, j reāli ir jāpārliecinās pr figūru vienādīu, ir nepieciešms precīzāk formulēt figūru vienādīu. Vizulizējot ģeometriju r ppīr lps locīšnu, divs figūrs ir svstrpēji vienāds, j tās tiek locīts kā vienāds figūrs, t.i., visi locījumi tiek veikti vienādi un vien figūr uz otrs tiek uzlocīt virsū. Piemērm, j pārlok doto nogriezni uz pusēm, td s šīs dļs ir svstrpēji vienāds pēc konstrukcijs noscījumiem. et, j ir dots nogrieznis un uz tā tlikts punkts, td nevr pglvot, k s nogriežņ dļs ptiešām ir identisks. To precīzi pglvot trucē locījum līnijs un punkt iezums. Vienāds figūrs veidojs rī td, j uzliek vienu lpu uz otrs, td locījumi, kuri tiek veikti vienā ppīr lpā, veidojs rī otrā lpā. rī šie locījumi ir vienādi pēc konstrukcijs. Šād vienādu figūru konstrukcij drā ir prkstīt virākās vietās. Piemērm, lokot regulāru stoņstūri, ppīr lp tiek slocīt uz pusēm un locījumi, kurus veic vienā lps pusē, ir identiski locījumiem, kuri veidojs otrā lps pusē. Tātd tie ir svstrpēji vienādi pēc konstrukcijs. Ņemot vērā to, k r ppīr lps locīšnu tiek vizulizēt pmtskols kurs ģeometrij, vr rī prkstīt veidu, kādā vr ilustrēt, ko nozīmē vienāds figūrs. Viennozīmīgi tie neūs pierādījumi figūru vienādīi, et tiki to ilustrācij: 1. Visvienkāršākis veids, kā vrētu pārudīt vi dotās figūrs vrētu ūt vienāds, ir tļut šjā gdījumā izmntot šķēres. Pieņem, k ir uzlocīts divs figūrs. Li pārudītu vi tās skrīt, šīs figūrs izgriež. J tās, urtiskā ziņā, ir iespējms uzlikt vienu uz otrs tā, k tās pilnīgi skrīt, vr pglvot, k figūrs vrētu ūt vienāds. 2. Protms, divu figūru vienādīu ir iespējms vizulizēt rī r locīšns plīdzīu, izmntojot prlēlo pārnesi vi pgriešnu pr leņķi, et ts ir drietilpīgāks process un rd lpā dudzus liekus locījumus. (Skt. nodļs pgriešn pr leņķi, prlēlā pārnese.) Šo metodi nv izdevīgi izmntot, j r doto ppīr lpu ūs jāveic vēl dudzi citi locījumi. Šeit prādās vien no ppīr locīšns nepilnīām j veic ļoti dudzus locījumus, ppīr lp pārklājs r tiem un grūti ir tšķirt plīglīnijs no konkrētā locījumā svrīgjām līnijām. 3. Trešis veids, kā ilustrēt figūru vienādīu, ir u iepriekšējo vrintu pkopojums. Figūru, ks ir vienā lpā, vr ērti pārnest uz citu lpu. To veic pvism vienkārši: pieņemsim, k figūr ir uzlocīt vienā lpā, uz šīs lps uzliek virsū otru lpu un tkārto visus dotās figūrs locījumus. Piemērm, j ir uzlocīts trijstūris, uz tā uzliek virsū junu ppīr lpu un ielok viss dotā trijstūr mls. Ktrā no šīm lpām, tās plūkojot tsevišķi, ir uzlocīts 5

6 konkrētis trijstūris. J ir jāpārliecinās pr divu figūru vienādīu, vr izmntot prkstīto metodi. J ir jāslīdzin figūrs F 1 un F 2, figūru F 1 pārnes uz citu lpu. Tgd ez griešns vr uzlikt dotās figūrs vienu uz otrs un pārliecināties vi tās ir vienāds. Vienkāršāk to vr izdrīt, pirms slīdzināšns lpu ielocīt p dotās figūrs rksturīgjām līnijām. Piemērm, j ir jāslīdzin divi trijstūri, td s ppīr lps ielok p visām trijstūr mlām. Visgrūtāk to izdrīt riņķu slīdzināšnā, tātd ktrā gdījumā ir jāizvēls dotji figūri ērtākis slīdzināšns veids, kur izvēli nv iespējms prkstīt visos gdījumos. Protms, k izpildās rī vienādu figūru īpšīs: 1. Vienāds figūrs vr svietot, t.i., uzlikt vienu uz otrs tā, k figūrs skrīt. Šo slīdzināšnu mēs veicm urtiskā veidā uzliekot vienu figūru uz otrs. Šjā gdījumā vizulizēt ģeometriju ir vienkāršāk, jo grūtāk ir iedomāties kā ūtu, j šīs figūrs uzliktu vienu uz otrs, nekā reāli to izdrīt, ko ļuj locīšn. 2. J ktr no divām figūrām ir vienād r trešo figūru, td tās s ir rī svstrpēji vienāds. Šo īpšīu vr pārudīt pvism vienkārši. Uzliekot virsū viss trīs figūrs vienu uz otrs. Ģeometrijs pmtelementu vizulizēšn Ir trīs Eiklīd ģeometrijs pmtelementi, kuri netiek definēti. Tie ir punkts, tisne un plkne. r locīšns plīdzīu vr vizulizēt šos trīs pmtelementus. 1) Pirmis un glvenis Eiklīd ģeometrijs pmtelements ir plkne. Tās vizulizācij ir pti ppīr lp, r kurs plīdzīu tiek veikti visi locījumi. Plkne ir neieroežot. Protms, k ppīr lp ir ieroežot, ti ir svs lukums, svs mls grums, iezums, form. Vispārīgā gdījumā pieņemsim, k ppīr lp ir ezglīg. Tātd viss locīšns, pr kurām stāstīšu šjā nodļā, veiksim r plknes dļu ppīr lpu. 2) Otris Eiklīd ģeometrijs pmtelements ir tisne. J tisne tiek vizulizēt r ppīr lps locīšnu, to suc pr locījum līniju. Locījum līniju vr iegūt pvism vienkārši: slok ppīr lpu un tkl to tlok vļā, ir skidri redzms ielocījums je locījum līnij. 6

7 Rods pirmis jutājums: vi tā tiešām ir tisne? Tā ir tisne, un pr to vr pārliecināties pvism vienkārši: 1. Pārlok ppīr lpu uz pusēm un tliek uz tās rīvi izvēlētu punktu (pr punkt tlikšnu prkstīšu nedudz vēlāk). 2. tlok vļā ppīr lpu. Ir skidri redzm locījum līnij un divi punkti un. 3. Jekurš punkts, li rī kuru izvēlētos uz locījum līnijs, vienmēr trdīsies vienādā ttālumā no punktiem un. Ts seko no locīšns gits, precīzāk, no punktu un tlikšns gits. 4. J punkts trods vienādā ttālumā no nogriežņ glpunktiem, td punkts pieder pie šī nogriežņ vidusperpendikul ([3], 64.lpp.). Vr secināt, k locījum līnij ir nogriežņ vidusperpendikuls (nogriežņ jēdzienu plūkošu nedudz vēlāk). 5. Pr nogriežņ vidusperpendikulu suc tisni, ks perpendikulār šim nogrieznim un iet cur tā viduspunktu([4], 64.lpp.). Vidusperpendikuls ir tisne, tātd rī dotā locījum līnij ir tisne. 7

8 Ir vēl vien prolēm ppīr lps locīšnā, un tā ir ppīr lps iezums. Rods jutājumi, cik iez ir locījum līnij, cik liels ir punkts, kur locīšnu plūkosim nedudz vēlāk. J pņem plānu zīdppīru, td locījum līnij tiešām ir ļoti tiev, et, j izvēls iezu krtonu, locījum līnij ūs dudzreiz iezāk. Tātd locījumos jāizvēls pēc iespējs plānāk ppīr lp, li locījumi snāktu pēc iespējs precīzāki. Vispārīgā gdījumā pieņem, k iegūtā locījum līnij ir ezglīgi plān. 3) Trešis Eiklīd ģeometrijs pmtelements ir punkts. Lokot ppīr lpu, punktu vr iegūt kā vismz divu locījum līniju krustpunktu. Piezīme: Džos srežģītākos locījumos vienosimies, k ērtīs un pārsktāmīs dēļ tļusimies punktu tlikt r mums ierstāku metodi - r rkstāmā plīdzīu. Ir plūkoti un vizulizēti trīs Eiklīd ģeometrijs pmtelementi, kuri netiek definēti. Strs un nogrieznis Punkts, ks trods uz tisnes, sdl to divās dļās. Ktru no šīm dļām kopā r minēto punktu suc pr stru, et minēto punktu pr str sākumpunktu ([5], 16.lpp.). Str locīšn: 1. Pārlok ppīr lpu un uz tās locījum veic vēl vienu locījumu nepieciešmjā vietā, t.i., tliek punktu. 8

9 2. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k uz locījum līnijs ir tlikts punkts stru sākumpunkts, ks kopā r ktru locījum līnijs dļu veido stru. Nogrieznis ir tisnes dļ, ks trods strp diviem punktiem, ks trods uz tisnes ([6], 17.lpp). Nogriežņ locīšn: 1. Pārlok ppīr lpu un uz tās locījum veic vēl divus locījumus nepieciešmjās vietās, t.i., tliek divus punktus. 2. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k uz locījum līnijs ir tlikti divi punkti, ks kopā r locījum līnijs dļu strp šiem punktiem rī veido nogriezni. Jātzīmē, k šis nv vienīgis veids, kā ir iespējms uzlocīt nogriezni. 9

10 Tišņu novietojums plknē Divs tisnes plknē, kurām ir viens kopīgs punkts, suc pr krustiskām tisnēm. Krustisku tišņu locīšn: 1. Pārlok ppīr lpu un tlok to vļā. 2. Veic vēl vienu locījumu tā, li junā locījum līnij krustotos r iepriekš uzlocīto. Ppīr lpu tlok vļā. Vr redzēt, k ir uzlocīts divs krustisks tisnes. Šorīd ieroežotā ppīr lp rd prolēmu, jo ir iespējm tād situācij, k šīs tisnes ir krustisks, et tās krustojs ārpus lps mlām. Šeit ir jāpieņem, k lp ir neieroežot. Pārudīt, vi tisnes krustosies, vr, pārudot, vi tisnes nv prlēls. J tisnes nv prlēls, td tās ir krustisks. Tišņu prlelitāti plūkosim mzliet vēlāk. Krustisks tisnes, kurs krustojoties veido tisnu leņķi, suc pr perpendikulārām tisnēm. (Leņķ jēdzienu un rī tisn leņķ jēdzienu es plūkošu nedudz vēlāk.) Perpendikulāru tišņu locīšn: 1. Pārlok ppīr lpu p vēlmo locījum līniju, pret kuru vēls novilkt perpendikulāru tisni. 2. Pārlok locījum līniju uz pusēm. J perpendikulārā locījum līnij jānolok pret konkrētu punktu, td pārlok locījum līniju cur šo punktu. 10

11 3. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k ir nolocīts divs svstrpēji perpendikulārs locījum līnijs un. Divs džāds tisnes plknē, kurs nekrustojs, suc pr prlēlām. Li vrētu uzlocīt divs prlēls tisnes, tiek izmntots perpendikulārs tisnes. Prlēlu tišņu locīšn: 1. Sākumā locīšnu veic tādā pšā veidā, kā lokot perpendikulārs tisnes. Konstruē divs perpendikulārs locījum līnijs un, et ppīr lpu netlok vļā (skt. perpendikulāru tišņu locīšn 1., 2. punktu). 2. Pret locījum līniju nolok vēl vienu perpendikulāru locījum līniju c, t.i., pārlok locījum līniju. c 11

12 3. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k ir uzlocīts divs svstrpēji prlēls locījum līnijs un c. c ur punktu ārpus locījum līnijs ir iespējms uzlocīt tiki vienu locījum līniju, ks prlēl dotji. To vr izdrīt šādā veidā: 1. Ir dot tisne un punkts, ks netrods uz. 2. Pārlok lpu p doto locījum līniju. Pārlok iegūto locījum līniju cur doto punktu, t.i., nolok dotji locījum līniji perpendikulu cur doto punktu. Tgd punkts trods uz junās locījum līnijs. 3. Locījum līniju vēlreiz pārlok uz pusēm cur doto punktu, t.i., nolok locījum līniji perpendikulāru locījum līniju c cur punktu. 4. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k cur punktu ārpus locījum līnijs ir uzlocīt dotji prlēl locījum līnij c. Ir uzlocīt dotji locījum līniji prlēl locījum līnij. Prlelitāte seko no locīšns konstrukcijs. c 12

13 Tisnes dļs Mērīšni Eiklīd ģeometrijā izmnto lineālu vi trnsportieri, et, lokot ppīr lpu, vr tiki slīdzināt, vi dotis nogrieznis vi leņķis ir lielāks, mzāks vi tikpt liels kā dotis. Vr ktrā lpā ieviest svu grum mēru, turklāt to rīvi izvēlēties. J, lokot kādu figūru, izmnto virāks ppīr lps, td gn ūtu jāievēro, li locījum mēri visās ppīr lpās tiktu ņemti vienādi. J mēs esm izvēlējušies kādu nogriezni pr grum vienīu, td vrm rī uzlocīt divreiz, trīsreiz, utt. grāku nogriezni nekā dotis. Divreiz grāk nogriežņ locīšn: 1. Uz ppīr lps tliek vienīs nogriezni. 2. Pārlok lpu p tisni, uz kurs trods vienīs nogrieznis. 3. Nolok perpendikulāru locījum līniju cur vienu no nogriežņ glpunktiem un vēlreiz ielok otru nogriežņ glpunktu. 4. tlokot vļā lpu, vr redzēt, k ir uzlocīts vēl viens nogrieznis. Šie nogriežņi ir svstrpēji vienādi pēc konstrukcijs. Tādā pšā veidā vr turpināt locīšnu un iegūt trīsreiz, četrreiz utt. grāku nogriezni. 13

14 Ir rī iespējms trst nogriežņ viduspunktu. Nogriežņ viduspunkt locīšn: 1. Uz ppīr lps tliek nogriezni. 2. Pārlok lpu p tisni, uz kurs trods dotis nogrieznis. 3. Pārlok lpu uz pusēm tā, li i nogriežņ glpunkti skrīt. To visprecīzāk vr izdrīt, nolokot perpendikulus pret doto nogriezni cur tā glpunktiem un tiki td lokot uz pusēm pšu nogriezni tā, li i perpendikuli skristu. 4. tlokot lpu vļā, vr redzēt, k dotis nogrieznis ir sdlīts divās dļās. s dļs ir svstrpēji vienāds, ks seko no konstrukcijs. Ir trsts dotā nogriežņ viduspunkts. J vr trst nogriežņ viduspunktu un vr uzlocīt divs perpendikulārs locījum līnijs, td tgd vr nolocīt rī vidusperpendikulu. Nogriežņ vidusperpendikul locīšn: 1. Nolok locījum līniju cur doto nogriezni. 14

15 2. ur ktru no nogriežņ glpunktiem un nolok perpendikulārs locījum līnijs un c. c 3. Nolok ppīr lpu p locījum līniju, td p locījum līnijām un c. Pārlok locījum līniju tā, li skristu perpendikuli un c. 4. tlokot vļā ppīr lpu vr redzēt, k cur doto nogriezni ir nolocīt locījum līnij d. Tā pēc locīšns konstrukcijs ir perpendikulār dotjm nogrieznim, turklāt krusto to nogriežņ viduspunktā, ks rī seko no konstrukcijs. Tātd uzlocītā locījum līnij d ir dotā nogriežņ vidusperpendikuls. d 15

16 Leņķis Divi stri, kuriem ir kopējs sākumpunkts, sdl plkni divās dļās. Ktru no šīm dļām kopā r iem striem suc pr leņķi. ([7], 71.lpp.) Li uzlocītu leņķi, pietiek uzlocīt divs krustisks tisnes. Lokot neizmnto lineālu, gluži tāpt netiek izmntots trnsportieris. Tādēļ nevr izmērīt grādus. Locīšnā leņķus vr iedlīt tādā pšā veidā kā Eiklīd ģeometrijā. 1. Tisns leņķis. Ir iespējms uzlocīt perpendikulārs locījum līnijs, tātd vr iegūt tisnu leņķi. 2. Šurs leņķis. J ir uzlocīts tisns leņķis, td mzāks pr tisnu ir šurs leņķis. 3. Izstiepts leņķis. Pr izstieptu leņķi suc leņķi, kur mls ir pretēji vērsti stri. 4. Plts leņķis. J leņķis ir lielāks pr šuru un mzāks pr izstieptu leņķi, td to suc pr pltu leņķi. 5. Pilns leņķis. Leņķi, kur mls skrīt, suc pr pilnu leņķi. 6. tvērts leņķis. Leņķi, kurš ir lielāks pr izstieptu un mzāks pr pilnu, suc pr tvērtu leņķi. Leņķ isektrise. Pr leņķ isektrisi suc stru, kur sākumpunkts ir leņķ virsotnē un kurš dl šo leņķi divās vienādās dļās. ([8], 82.lpp.) isektrises locīšn: 1. Uzlok leņķi, kurm nepieciešms novilkt isektrisi. 16

17 2. Ielok ppīr lpu p ām leņķ mlām. 3. Uzlok leņķ mls vienu uz otrs. 4. tlokot vļā lpu, vr redzēt, k ir uzlocīt dotā leņķ isektrise. Ts, k tā tiešām ir isektrise, seko no konstrukcijs. s leņķ mls tik uzlocīts vien uz otrs, tātd rī i leņķi skrīt un ir vienādi. Ktrm leņķim vr novilkt tiki vienu isektrisi. Ts izriet no isektrises konstrukcijs, jo leņķ mls uzlocīt virsū vienu otri vr tiki vienā vienīgā veidā. Tāpt kā Eiklīd ģeometrijā, rī, lokot ppīr lpu, vr uzlocīt krustleņķus, lkusleņķus. Izpildās rī to īpšīs: krustleņķi ir vienādi, un lkusleņķi veido izstieptu leņķi (izriet no konstrukcijs). Krustleņķu locīšn ir pvism vienkārš: tie veidojs, uzlokot divs svstrpēji krustisks tisnes. lkusleņķu locīšn: 1. Ir dots leņķis. 17

18 2. Pgrin vienu tā mlu (cur doto mlu nolok ppīr lpu). 3. tlokot lpu vļā, vr redzēt uzlocītu lkusleņķi. 4. Kā zināms, divi leņķi ir lkusleņķi, j tiem vien ml ir kopēj, et s pārējās mls ir svstrpēji pretēji stri. Mūsu gdījumā: locījum līnij ir tisne, un dotā leņķ virsotne sdl šo tisni divos pretējos stros. Turklāt vien šo leņķu ml tiem ir kopēj. Tātd uzlocītie leņķi tiešām ir lkusleņķi. Tisnstūr locīšn Li uzlocītu tisnstūri, vispirms ielok rīvi izrudzītu locījum līniju. Td ši līniji nolok perpendikulu, km svukārt nolok vēl vienu perpendikulu. Vēlmā ttālumā pēdēji locījum līniji nolok vēl vienu perpendikulu. Ir iegūts tisnstūris. 18

19 Kvdrāt locīšn. Ir divi veidi, kā uzlocīt kvdrātu. Pirmis veids ir ļoti līdzīgs tisnstūr locīšni: 1. Dots nogrieznis kvdrāt mls grums. Pārlok lpu p locījum līniju, uz kurs trods dotis nogrieznis, un ktrā nogriežņ glpunktā nolok perpendikulus un c. Ppīr lpu netlok vļā. c 2. tliek dotā nogriežņ grumu uz nolocītā perpendikul. (Fiksē punktu. Pgriež nogriezni tā, li punkts trstos uz perpendikul, un vēlreiz ielok nogriežņ glpunktu.) 3. tlokot vļā lpu, vr redzēt, k uz perpendikul ir tlikts punkts. ur šo punktu pret perpendikulu nolok vēl vienu perpendikulāru locījum līniju d. D d 4. tlokot vļā ppīr lpu vr redzēt, k ir uzlocīts kvdrāts D. Ts, k ts tiešām ir kvdrāts, seko no locīšns konstrukcijs. Visi leņķi ir 90 0 lielo, jo tik locīti perpendikuli. = pēc konstrukcijs, jo nogrieznis tik tlikts uz perpendikul. d un c, tātd =D un D=. Seko, k viss uzlocītā četrstūr mls ir svstrpēji vienāds, tātd šis četrstūris ir kvdrāts. Otrs kvdrāt locīšns veids: 1. Tāpt kā iepriekšējā gdījumā ir dots nogrieznis. Tm os glos nolok perpendikulārs locījum līnijs un c. c 19

20 2. Tisnjm leņķim, nolok isektrisi k. Tā r perpendikulu c izveido krustpunktu D. k D c 3. ur šo krustpunktu D nolok perpendikulm c perpendikulāru locījum līniju d. k d D c 4. Perpendikuls d krusto locījum līniju punktā. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k ir izveidojies kvdrāts. Kāpēc vr locīt šādi? Ir zināms, k kvdrāt digonāle dl leņķi uz pusēm. Tātd isektrise ir rī kvdrāt digonāle. Ir prkstīti divi kvdrāt locīšns veidi. Li gn šie locījumi šķiet līdzīgi, tie tomēr tšķirs. Šī tšķirī tklāj kādu ūtisku ģeometrijs vizulizēšns ninsi. Otrjā gdījumā viss konstruētās locījum līnijs ir stingri nolocīts, et pirmjā gdījumā tā nv. Kvdrāt locīšnā šī ninse prādās pirmā veid locīšns otrjā punktā. Li tliktu nogriežņ grumu, netiek nolocīt isektrise (kvdrāt digonāle). Tātd šī locīšns metode ļuj tlikt nogriezni (vi kādu citu punktu), nenolokot lieks locījum līnijs. Li skidrāk prkstītu šo locīšnu, plūkosim gdījumu, kd nogriežņ glpunkts jātliek uz tisnes. 1. Nolok ppīr lpu p tisni un nogriezni. 2. Fiksē punktu un uzliek nogriežņ glpunktu uz tisnes, nenolokot isektrisi. Ielok punktu. (isektrises vietā veidojs ppīr lps līkums, nevis locījums.) 20

21 3. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k uz tisnes ir tlikts punkts, et nv rdušās lieks locījum līnijs. Trijstūris Pr trijstūri suc dudzstūri r trim virsotnēm. ([9], 16.lpp.) Trijstūr locīšn: J ir jāuzlok jekāds trijstūris (t.i., nv prsīti konkrēti mlu grumi vi leņķu lielumi), td uzlok trīs svstrpēji krustisks tisnes. Pr trijstūr mediānu suc nogriezni, ks svieno trijstūr virsotni r pretējās mls viduspunktu. ([10], 17.lpp) Trijstūr mediāns locīšn: 1. Pārlok ppīr lpu p trijstūr mlu, pret kuru vēls novilkt mediānu. 2. Uzlok perpendikulus nogriežņ glpunktos un. 3. Pārlok nogriezni uz pusēm (trod nogriežņ viduspunktu D) 21

22 4. tlok vļā lpu un nolok locījum līniju cur trijstūr virsotni un mls viduspunktu D. Ir iegūt mediān D. D Pr trijstūr ugstumu suc perpendikulu, ks novilkts no trijstūr virsotnes pret tisni, ks stur pretējo mlu. ([11], 17.lpp.) Trijstūr ugstum locīšn: 1. Pārlok ppīr lpu p locījum līniju, uz kurs trods ml, pret kuru vēls novilkt ugstumu. 2. ur trijstūr virsotni nolok locījum līniji perpendikulāru locījum līniju. 3. Locījum līnij krusto locījum līniju punktā D. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k ir iegūts trijstūr ugstums D. J ir jānolok ugstums pltleņķ trijstūrī, td rīkojs ju pēc prkstītās trijstūr ugstum locīšns shēms. Pr trijstūr isektrisi suc trijstūr leņķ isektrises nogriezni, ks trods trijstūr iekšpusē. ([12], 17.lpp.) Trijstūr isektrises locīšn: 1. Nolok ppīr lpu p ām trijstūr mlām un, kurs ieroežo leņķi, kur isektrisi vēls nolocīt. 22

23 2. Uzlok s nolocītās locījum līnijs vienu otri virsū un tlok ppīr lpu vļā. 3. Ir iegūt trijstūr isektrise D. Tā tiešām ir isektrise, jo leņķis pēc konstrukcijs tik sdlīts divos vienādos leņķos. D Trijstūri, kurm divs mls ir svstrpēji vienāds, suc pr vienādsānu trijstūri. Vienādās mls suc pr sānu mlām, trešo mlu pr pmtu. ([13], 52.lpp.) Vienādsānu trijstūr īpšīs: 1. Vienādsānu trijstūrī mediān, ks novilkt pret pmtu, ir rī šī trijstūr ugstums un isektrise. 2. Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pmt ir svstrpēji vienādi. Vienādsānu trijstūr īpšīs vr vizulizēt šādi: 1. Nolok mediānu pret trijstūr pmtu, uzlokot sānu mls vienu uz otrs. Izveidojs divi trijstūri D un D. D 23

24 2. Šie trijstūri ir svstrpēji vienādi, jo to viss mls pēc konstrukcijs p pāriem skrīt. 3. No tā, k šie trijstūri ir vienādi, seko, k to visi ttiecīgie leņķi rī ir vienādi. Tātd nolocītā mediān ir rī isektrise, jo D = D. Un šī isektrise ir rī ugstums, jo D = D un tisni (Izstieptis leņķis D ir sdlīts divos vienādos leņķos un tie vr ūt tiki tisni). Vienādsānu trijstūr locīšn, j dot sānu ml un rīvi vr izvēlēties pmtu: 1. Nolok locījum līniju. Uz tās tliek nogriezni - vienu trijstūr sānu mlu. 2. ur vienu no trijstūr mls glpunktu nepieciešmjā leņķī nolok locījum līniju. 3. Nolok ppīr lpu p ām locījum līnijām un uzliek tās vienu uz otrs. Vēl vienu reizi ielok mls grumu. 4. tlok vļā ppīr lpu. Uz ām locījum līnijām ir tlikti vienād grum nogriežņi. Svieno to glpunktus tā, li izveidotos trijstūris. Vienādsānu trijstūr locīšn, j dots pmts un rīvi vr izvēlēties sānu mlu: 1. Nolok locījum līniju. Uz tās tliek nogriezni trijstūr pmtu. Nolok pmt vidusperpendikulu. 24

25 2. Uz vidusperpendikul tliek punktu un svieno to r ktru pmt nogriežņ glpunktu. 3. Izveidojs vienādsānu trijstūris. Vienādsānu trijstūr locīšn, j dots trijstūr pmt nogrieznis un sānu mls nogrieznis. 1. Nolok locījum līniju. Uz tās tliek punktu. Uz locījum līnijs punktā ktru uz svu pusi tliek doto trijstūr pmt nogriezni un sānu mls nogrieznis. 2. Nolok nogriežņ vidusperpendikulu. (skt. Nogriežņ vidusperpendikul locīšn nodļā tisnes dļs.) 3. Nolok lpu p locījum līnijām un. Fiksē punktu. Pgriež nogriezni tā, li punkts trstos uz locījum līnijs. Vēlreiz ielok nogriežņ glpunktu. 25

26 4. tlok vļā ppīr lpu. Uz locījum līnijs ir tlikts punkts. Nolok locījum līnijs cur punktiem un. Ir uzlocīts vienādsānu trijstūris. Trijstūri, kurm viss mls ir vienāds, suc pr vienādmlu trijstūri. Vienādmlu trijstūr īpšīs: 1. Vienādmlu trijstūrī ktr mediān ir rī isektrise un ugstums 2. Vienādmlu trijstūr visi leņķi ir svstrpēji vienādi. Pārudīt šīs īpšīs vr tādā pšā veidā, kā to izdrījām vienādsānu trijstūr gdījumā. Vienādmlu trijstūr locīšn, j dot tā ml. 1. Nolok locījum līniju. Uz tās tliek punktu. No šī punkt uz ām pusēm tliek nogriežņus un, ks vienādi r doto trijstūr mls nogriezni. 2. Nolok nogriežņ vidusperpendikulu. (skt. Nogriežņ vidusperpendikul locīšn nodļā tisnes dļs.) 3. Nolok lpu p locījum līnijām un. Fiksē punktu. Pgriež nogriezni tā, li punkts trstos uz locījum līnijs. Vēlreiz ielok nogriežņ glpunktu. 26

27 4. tlok vļā ppīr lpu. Uz locījum līnijs ir tlikts punkts. Nolok locījum līnijs suc punktiem un. Ir uzlocīts vienādmlu trijstūris. Prlēlā pārnese Šjā nodļā prkstīts, kā jāveic prlēlā pārnese. Ktrā tsevišķā gdījumā plūkot prlēlā pārnese r divām džādām figūrām nogriezni un trijstūri, ks ilustrtīvi prād, kā ts ūtu jādr vispārīgā gdījumā r jekuru ģeometrisku figūru. Pieņem, k ir dots nogrieznis un ir jāveic tā prlēlā pārnese. plūko divus gdījumus - j nogrieznis un punkts, kurā jāttēlo viens no nogriežņ glpunktiem, trods uz viens locījum līnijs un j tie netrods uz viens locījum līnijs. 1. Dots nogrieznis un punkts, kurš trods uz tās pšs locījum līnijs, uz kurs trods nogrieznis. Ir jāveic prlēlā pārnese tā, li kāds no nogriežņ glpunktiem ttēlotos dotjā punktā. 1. Nolok lpu p tisni, uz kurs trods dotis nogrieznis. Nolok perpendikulus cur nogriežņ glpunktiem un un cur punktu. 2. Slok ppīr lpu tā, li perpendikuls pret punktu skristu r dotā punkt perpendikulu. Un vēlreiz ielok nogriežņ grumu. 27

28 3. tlokot ppīr lpu vļā, vr redzēt, k dotjā punktā ir tlikts nogrieznis D. Šis nogrieznis ir vienāds r doto, ks seko no konstrukcijs. D Pēc prkstītās shēms vr rīkoties, j nv svrīgi, kurm nogriežņ glpunktm ir jāttēlojs dotjā punktā. Veikt prlēlā pārnese, un nogriežņ glpunkts ir ttēlojies dotjā punktā. plūko gdījumu, j ir dots nogrieznis un punkts, kurš trods uz tās pšs locījum līnijs, uz kurs trods dotis nogrieznis. Ir jāveic prlēlā pārnese tā, li viens no nogriežņ glpunktiem ttēlotos dotjā punktā, turklāt, ir nepieciešms sglāt nogriežņ virzienu, t.i., dotjā punktā ir jāttēlojs punktm, td rīkojs šādi: 1. No dotā punkt tliek divreiz grāku nogriezni nekā dotis nogrieznis. 2. ur punktiem un nolok perpendikulus, uzliek tos vienu uz otr un vēlreiz ielok dotā nogriežņ grumu. 3. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k dotjā punktā ir tlikts nogrieznis. Pēc konstrukcijs dotis nogrieznis ir vienāds r iegūto nogriezni, tātd ir veikt prlēlā pārnese. Punkts ir ttēlojies pr punktu un punkts ir ttēlojies pr punktu. Ērtāk locīšnu ir veikt, j sākumā nolok ppīr lpu p līniju, uz kurs trods dotis nogrieznis, un cur ktru punktu, ks trods uz dotās līnijs, nolok perpendikulu. plūko gdījumu, j ir dots trijstūris un ts jāttēlo tā, li trijstūr virsotne trstos punktā. Turklāt, punkts trods uz tās pšs locījum līnijs, uz kurs trods trijstūr ml. Tādā gdījumā rīkojs šādi: 1. Locīšnu sāk no punkt, tliekot divreiz grāku nogriezni nekā dotā trijstūr pmt nogrieznis. ur punktiem un nolok 28

29 perpendikulus. Uzlok šos perpendikulus vienu uz otr un ielok rī pārējās trijstūr locījum līnijs. Ir tlikt rī virsotne. Izveidojs trijstūris. 2. Nolok perpendikulus cur punktiem un. Uzlok šos perpendikulus vienu uz otr un vēlreiz ielok trijstūr locījum līnijs. 3. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k dotis trijstūris ir tlikts punktā, turklāt virsotne ttēlojs pr virsotni, virsotne pr un virsotne pr. 2. Dots nogrieznis un punkts, kurš netrods uz tās pšs locījum līnijs, uz kurs trods nogrieznis. Ir jāveic prlēlā pārnese tā, li kāds no nogriežņ glpunktiem ttēlotos dotjā punktā. Li to izdrītu, rīkojs sekojošā veidā: 1. Dotis nogrieznis trods uz locījum līnijs. ur doto punktu nolok locījum līniji prlēlu locījum līniju. 2. Uzlok s locījum līnijs un vienu uz otrs un ielok nogriezni. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k uz tisnes ir tlikts nogrieznis. Šis nogrieznis pēc konstrukcijs ir vienāds r doto nogriezni. 29

30 3. Li ttēlotu kādu no nogriežņ glpunktiem vi dotjā punktā, rīkojs pēc iepriekš prkstītās shēms, kd tiek veikt prlēlā pārnese, j dotis nogrieznis un dotis punkts trods uz viens tisnes. plūko gdījumu, j ir dots trijstūris un ts jāttēlo tā, li trijstūr virsotne trstos punktā. Turklāt, punkts netrods uz tās pšs locījum līnijs, uz kurs trods trijstūr ml. Tādā gdījumā rīkojs šādi: 1. Dotā trijstūr ml trods uz locījum līnijs. ur doto punktu nolok locījum līniji prlēlu locījum līniju. 2. Nolok ppīr lpu p locījum līniju un vēlreiz ielok visus trijstūr locījumus. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k simetriski locījum līniji ir tlikt trijstūr virsotne. 3. Locījum līnijs un uzlok vienu uz otrs un vēlreiz ielok viss trijstūr mls. Iegūts trijstūris. Šis trijstūris pēc konstrukcijs ir vienāds r doto trijstūri. 30

31 4. Li trijstūr virsotni ttēlotu dotjā punktā, rīkojs pēc ju iepriekš prkstītās shēms, kd trijstūr ml un dotis punkts trods uz viens locījum līnijs. Pgriešn pr leņķi Šjā nodļā ir prksts, kā jāveic pgriešn pr leņķi. Tāpt kā veicot prlēlo pārnesi, ktrā tsevišķā gdījumā plūko, kā pgriezt nogriezni un trijstūri. Pēc shēmām, kurs ir prkstīts, vr pgriezt jekuru citu ģeometrisku figūru. Sākumā prkst vienkāršāko gdījumu: j ir dots nogrieznis un viens no nogriežņ glpunktiem jāttēlo uz kāds locījum līnijs, turklāt šī locījum līnij nv prlēl dotjm nogrieznim. J ir jāttēlo konkrētā punktā, td ppildus jāveic prlēlā pārnese, ks ir prkstīt iepriekš. 1. Dots nogrieznis un tisne, uz kurs jātliek dotis nogrieznis. ur nogriezni nolok locījum līniju, līdz tā krusto tisni. 2. Nolok ppīr lpu p ām locījum līnijām, un tās uzlok vienu uz otrs. Vēlreiz ielok doto nogriezni. 3. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k uz dotās tisnes ir tlikts nogrieznis. Nogriežņi un ir svstrpēji vienādi pēc konstrukcijs. Tālāk prkstīts, kā jāveic trijstūr pgriešn pr leņķi. Šis piemērs ilustrtīvi prādīs, kā vrētu pgriezt pr leņķi jekuru citu ģeometrisku figūru. 31

32 1. Dots trijstūris un locījumu līnij, uz kurs jātliek dotā trijstūr ml. ur trijstūr mls nogriezni nolok locījum līniju, līdz tā krusto doto tisni. Tātd locīšnu veic gdījumā, j dotā tisne un trijstūr ml nv svstrpēji prlēls. 2. Nolok lpu p ām locījum līnijām un uzlok tās vienu uz otrs, li tās skristu. Vēlreiz ielok visus trijstūr locījumus (mls). 3. tlok vļā ppīr lpu. Vr redzēt, k trijstūris ir uzlocīts uz pretējo pusi. Nolok lpu p locījum līniju un vēlreiz ielok visus trijstūr locījumus (mls). 4. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k dotis trijstūris ir tlikts uz dotās locījum līnijs. J trijstūris ij jāpgriež pr leņķi un jāttēlo konkrētā punktā, ks trods uz locījum līnijs, td ppildus vēl veic trijstūr prlēlo pārnesi pēc shēms, ks ju ir prkstīt iepriekšējā nodļā pr prlēlo pārnesi. Izmntojot prkstītās shēms (gn prlēlo pārnesi, gn pgriešnu pr leņķi), vr veikt jekād veid konstrukcijs. Piemērm, j dotis trijstūris ir jāpgriež pr leņķi p punktu, ks trods uz viens no dotā trijstūr mlām. Tādā gdījumā locīšnu veic pēc šāds shēms: 32

33 1. Nolok ppīr lpu p locījum līniju, uz kurs trods dotā trijstūr ml, un locījum līniju, uz kurs jātliek konkrētā ml. (Trijstūris ir jāpgriež p punktu D, li dotā trijstūr ml trstos uz locījum līnijs ). D 2. s locījum līnijs un uzlok vienu uz otrs un uz locījum līnijs tliek punktus un. Ktr punkt tlikšnu veic tsevišķi, ktrā pusē dotjm punktm D, pgriežot pr leņķi nogriezni D, ks ttēlojs uz locījum līnijs pr nogriezni D, un nogriezni D, ks ttēlojs uz locījum līnijs pr nogriezni D. D 3. Fiksē punktu D un nogriežņus D un D uzliek vienu uz otr, ielok leņķ mlu un vēlreiz ielok nogriežņ grumu. D 4. Ir tlikts punkts. Nolok locījum līniju cur punktiem un. Izveidojs trijstūris. Nolok ppīr lpu p locījum līniju, un vēlreiz ielok viss trijstūr mls. 5. Dotis trijstūris ir pgriezts pr leņķi p punktu D, ks trods uz dotā trijstūr mls. D D 33

34 Regulār stoņstūr locīšn Regulār stoņstūr locīšnu sāk r kvdrātveid ppīr lpu. Vr izmntot rī ppīr lpu, kurā ir ielocīts kvdrāts. Kvdrātā nolok digonāles un svieno pretējo mlu viduspunktus. E H O F K D G ==D=D =D EG=HF plūko trijstūri D (ΔD = ΔD). Šjā trijstūrī O ir ugstums pret mlu D. plūko trijstūri O (ΔO = ΔOD). Šjā trijstūrī OF ir ugstums pret mlu. Pārlok doto kvdrātu uz pusēm p digonāli D. Pārlok iegūto trijstūri uz pusēm p ugstumu O. Pārlok ΔO uz pusēm p ugstumu OF. ΔOF nolok leņķ OF isektrisi OK. Uz mls OK tliek punktu N. ON ūs stoņstūr grākās digonāles puse. N K O M ur punktu N velk perpendikulu NM pret mlu O tlokot vļā ppīr lpu vr redzēt, k ir izveidojies stoņstūris. pzīmēsim stoņstūr virsotnes r skitļiem 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Pēc konstrukcijs viss locījum līnijs krustojs punktā O. J ppīr lpu pārlok uz pusēm, td locījumi, kuru veic vienā lps pusē, ir vienādi r locījumiem, kuri izveidojs otrā lps pusē. Lokot stoņstūri ppīr lp tik virāks reizes pārlocīt uz pusēm, tātd locījumi, kuri tik veikti trijstūrī OF, ir tādi pši kā trijstūros OF, OE, OE, OH, DOH, DOG un OG. Vr secināt, k O1 =O3 = O5 = O7 = O9 = O11 = O13 = O15 O2 = O4 = O6 = O8 = O10 O12 = O14 = O = 4 6 = 6 8 = 8 10 = = = =

35 Tātd viss stoņstūr mls ir svstrpēji vienāds. plūko trijstūrus 2O4, 4O6, 6O8, 8O10, 10O12, 12O14, 14O16, 16O2. Šie vienādsānu trijstūri ir svstrpēji vienādi. (Tie ir vienādsānu trijstūri, jo O2 = O4 = O6 = O8 = O10 O12 = O14 = O16.) Vienādsānu trijstūrim leņķi pie pmt ir vienādi. Ktrs pmt leņķis pēc konstrukcijs ir puse no ttiecīgā stoņstūr leņķ. Tātd rī visi leņķi stoņstūrī ir vienādi. Seko, k uzlocītis stoņstūris ir regulārs Riņķ līnij Riņķ līnij locīšnā ir vissrežģītākā figūr, jo drī notiek r locījum līnijām, kurs, kā pierādīts, ir tisnes. Ir divi veidi, kā tuvināti uzlocīt riņķ līniju. 1. Izvēls lpā kādu punktu, ks ūs riņķ līnijs centrs. Izvēls nogriezni, ks ūs riņķ līnijs rādiuss. tliek to tā, li viens tā glpunkts skristu r riņķ līnijs centru un, pgriežot to pr nelielu leņķi, tliek tā grumu. tkārtojot šo locīšnu pēc iespējs virāk reižu, iegūst punktu kopu, ks tuvināti prkst riņķ līniju. 2. Ir iespējms uzlocīt regulāru stoņstūri. (skt. nodļu regulār stoņstūr locīšn). Turpinot locīt pēc prkstītās shēms, ir iespējms iegūt regulāru sešpdsmitstūri. Šjā gdījumā prolēms sgādā lps iezums. Lokot stoņstūri, ppīr lp tik pārlocīt uz pusēm četrs reizes. ūtu nepieciešms nolocīt isektrisi, et snāk, k locīšn ūtu jāveic r 16 kopā sliktām lpām, ks ievērojmi 35

36 pgrūtin dru, to prktiski nv iespējms izdrīt. Tādēļ locīšnu veic ktrā trijstūrī tsevišķi, nevis visos uzreiz. Locīšns git kļūst drietilpīgāk, et sešpdsmitstūri vēl ir iespējms uzlocīt. Pēc šīs shēms turpināt locīšnu ir iespējms tiki teorētiski, jo prktiski ir gndrīz neiespējms pārlocīt uz pusēm ktru iegūto leņķi, li nolocītu tā isektrisi. Riņķ līnijs krustpunkti r tisni Šjā nodļā prkstīts veids, kā iegūt riņķ līnijs krustpunktus r tisni, j dots riņķ līnijs centrs O, rādiuss R un tisne. ur riņķ līnijs centru O nolok tisnei perpendikulāru tisni. Uz tisnes no centr O tliek doto rādiusu. O R Ir iespējmi četri gdījumi: 1. Rādiuss nekrusto doto tisni. Vr secināt, k riņķ līniji nv krustpunktu r doto tisni. R O 2. Rādiuss ir tikpt grš kā ttālums no riņķ līnijs centr līdz tisnei. Šjā gdījumā vr secināt, k r riņķ līniju doti tisnei ir viens vienīgs krustpunkts un ts ir tišņu un krustpunkts. R O 3. Riņķ līnijs centrs trods uz tisnes. Šjā gdījumā riņķ līniji r doto tisni ir divi krustpunkti. Tos vr trst šādā veidā: uz tisnes uz ām pusēm to riņķ līnijs centr O tliek doto rādiusu R. i tliktie punkti rī ūs riņķ līnijs krustpunkti r doto tisni. 36

37 R O R 4. Rādiuss krusto tisni. Šjā gdījumā riņķ līniji r doto tisni rī ir divi krustpunkti, kurus vr trst sekojošā veidā. ) Uz ām pusēm no riņķ līnijs centr O uz tisnes tliek doto rādiusu. Izveidojs punkti R un R 1. R O R 1 ) ur punktu R 1 novelk tisnei perpendikulāru tisni c. R O R 1 c c) Nolok ppīr lpu p tisnēm, un c norādītjā secīā. d) Fiksējot riņķ līnijs centru, pgriež nogriezni OR 1, kmēr punkts R 1 skrīt r kādu tisnes punktu. tzīmē šo punktu, ielokot ppīr lpu. e) tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k uz dotās tisnes ir tlikti divi punkti, ks rī ir meklētie riņķ līnijs krustpunkti r doto tisni. Šo locīšns gitu vrētu prkstīt rī svādāk. Ir jākonstruē tisnleņķ trijstūris, kurm vien ktete ir OR. Otr ktete jātliek uz tisnes, et hipotenūz ir vienād r OR 1. R O R 1 c 37

38 Divu riņķ līniju krustpunkti Šjā nodļā prkstīts veids, kā iegūt divu riņķ līniju krustpunktus, j doti divu riņķ līniju centri O un O 1 un to rādiusi R un R 1. Li trstu riņķu līniju krustpunktus, cur riņķ līniju centriem novelk locījum līniju. O O 1 No ktr riņķ līnijs centr uz locījum līnijs tliek ttiecīgos rādiusus tā, li tie ūtu vērsti viens pret otru. Ir iespējmi trīs gdījumi: 1. Riņķ līnijs rādiusiem nv kopīgu punktu. Ts nozīmē, k rī pšām riņķ līnijām nv kopīgu punktu. O R R 1 O 1 2. Riņķ līniju rādiusiem R un R 1 ir viens vienīgs kopīgs punkts, t.i., punkti R un R 1 skrīt. Vr secināt, k riņķ līnijām ir viens vienīgs krustpunkts, ks ir R vi R 1 (R = R 1 ). O R R 1 O 1 3. Riņķ līniju rādiusi vi to dļs skrīt, t.i. punkts R 1 tiek tlikts uz rādius OR, et punkts R uz rādius OR 1. Šjā gdījumā riņķ līnijs krustojs divos punktos. Šos punktus trod sekojošā veidā: ) Uz locījum līnijs tliek riņķ līniju rādiusus R un R 1 uz ām pusēm no ttiecīgo riņķ līniju centriem O un O 1. tliktos rādius R punktus pzīmē r un, et rādius R 1 punktus r un D. O O 1 D 38

39 ) ur punktiem un D nolok locījum līniji perpendikulārs locījum līnijs un c. O O 1 D c c) Nolok ppīr lpu p locījum līnijām, un c norādītjā secīā. Fiksē riņķ līniju centrus O un O 1. Pgriež nogriežņus O un O 1 D, līdz to punkti un D skrīt. tzīmē šo punktu, ielokot ppīr lpu. d) tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k ir tlikti divi punkti E un F, ks rī ir doto riņķ līniju krustpunkti. E O O 1 D F c 39

40 Locījumi, kurus veic r ppīr strēmeli Līdz šim prkstīti locījumi, kuros ir pieņemts, k ppīr lp ir ezglīg, gluži tāpt kā plkne. Šjā nodļā plūkoti locījumi, kurus vr veikt, izmntojot ppīr strēmeli je tisnstūrveid ppīr lpu. Locījumus, kurus iegūst, izmntojot konkrēts forms lps (pļveid, kvdrātveid, tisnstūrveid u.c.) nepieciešmīs gdījumā vr pārnest ielocīt pierstjā ezglīgjā ppīr lpā. Pārnešnu veic uzliekto vienu ppīr lpu uz otrs lps. Veicot locījumus vienā ppīr lpā, tie veidosies rī otrjā lpā, turklāt tie ūs p pāriem vienādi. Vienādsānu tisnleņķ trijstūris 1. Dot ppīr strēmele. Uz tās izvēls kādu punktu un cur šo punktu nolok perpendikulu D. Ppīr lpu tlok vļā. D 2. Viens ppīr strēmeles puses s mls pielok pie perpendikul D. Izveidojs vienādsānu tisnleņķ trijstūris. D Ts tiešām ir vienādsānu tisnleņķ trijstūris pēc konstrukcijs. Li to pierādītu, vēlreiz plūko locīšns gitu. Tik novilkts perpendikuls D, tātd strp to un ppīr strēmeles mlu ir tisns leņķis. Td kd strēmeles viens puses s mls pielok pie perpendikul D, tiek nolocīts tisnā leņķ isektrises. Locīšn tkārtot identiski ās perpendikul D pusēs, tātd i trijstūr leņķi D un D ir vienādi, turklāt 45 0 lieli. Ir uzlocīts tisns leņķis. Tātd ts ir tisnleņķ trijstūris. Ts, k uzlocītis trijstūris ir rī vienādmlu, seko no locīšns: perpendikul ās pusēs veikti identiski locījumi nolocīts isektrises un vienādiem 90 0 lieliem leņķiem. Tātd ttiecīgās trijstūr mls un ir vienāds. Vr secināt, k uzlocītis trijstūris tiešām ir tisnleņķ vienādsānu trijstūris. Vienādsānu trpece Li no ppīr strēmeles uzlocītu vienādsānu trpeci, rīkojs līdzīgi kā lokot vienādsānu tisnleņķ trijstūri. 40

41 1. Dot ppīr strēmele. Uz tās izvēls kādu punktu un cur šo punktu nolok perpendikulu LE. L E 2. Ppīr strēmeli pārlok uz pusēm p perpendikulu LE. Uz ppīr strēmeles mls tliek punktu, et uz ppīr strēmeles mls tliek punktu D. Nolok locījum līniju cur punktiem un D. 3. Uz ppīr strēmeles mls tliek punktu, et uz ppīr strēmeles mls tliek punktu D. Nolok locījum līniju cur šiem punktiem un D. 4. tlokot vļā ppīr lpu, vr redzēt, k ir uzlocīt vienādsānu trpece D. L E D Tā tiešām ir vienādsānu trpece, jo mls D un ir prlēls, kā dotās ppīr strēmeles prlēlās mls. =D pēc konstrukcijs, jo ppīr strēmele ij pārlocīt uz pusēm, un locījumm D, kuru veidoj vienā ppīr strēmeles pusē, veidojās identisks locījums otrā ppīr strēmeles pusē. Prlelogrms 1. Dot ppīr strēmele. Uz tās izvēls kādu punktu un cur šo punktu novelk perpendikulu. tlok ppīr lpu vļā. 2. Ppīr strēmeles mlu pielok klāt pie perpendikul no viens puses, et mlu no otrs puses. 41

42 Dotā figūr ir prlelogrms, ks seko no locīšns. Ir zināms, k četrstūris ir prlelogrms, j divs tā mls ir vienāds un prlēls. Mls D un ir prlēls kā dotās ppīr strēmeles prlēls mls. Turklāt, s šīs mls D un ir vienāds r ppīr strēmeles pltumu. Tātd šis četrstūris ir prlelogrms. Regulārs sešstūris Li uzlocītu regulāru sešstūri, vr izmntot divs vienād pltum ppīr strēmeles. Rīkojs šādi: 1. No ktrs ppīr strēmeles izveido cilps kāds prādīts zīmējumā, et ir svrīgi uzreiz nenolocīt šīs figūrs mls. 2. s šīs cilps simetriskā veidā ieliek vienu otrā tā, li ktrs ppīr strēmeles gli ieietu otrā cilpā 3. Tiki tgd vr s cilps svilkt stingrāk un ielocīt locījumu viets. Izveidojs regulārs sešstūris. 42

43 O F E D Ts tiešām ir regulārs sešstūris, jo: Pieņemsim, k punkts O trods sešstūr centrā. Tātd O D, O E un O F. F un D kā doto ppīr strēmeļu prlēlās mls =O un =O D un E D kā doto ppīr strēmeļu prlēlās mls =OD un O=D D E un ED F kā doto ppīr strēmeļu prlēlās mls O=ED un D=OE ED F un EF D kā doto ppīr strēmeļu prlēlās mls ED=FO un FE=OD FE D un F E kā doto ppīr strēmeļu prlēlās mls FE=O un F=EO. No tā izriet, k =O=ED=FO, =OD=FE=O un O=D=OE=F. plūko trijstūrus O, O, DO, DEO, EFO un FO. Tie ir svstrpēji vienādi pēc trijstūru vienādīs pzīmes. Šie trijstūri ir rī vienādmlu trijstūri, jo visi to ugstumi ir vienādi r doto ppīr strēmeļu pltumu. Tātd pieņēmums, k punkts O trods sešstūr centrā, ir ijis preizs. Ktru sešstūr leņķi veido divi vienādmlu trijstūr leņķi. Tātd visi sešstūr leņķi rī ir vienādi. Vr secināt, k uzlocītis sešstūris tiešām ir regulārs. Regulārs piecstūris Locīšnu sāk no ppīr strēmeles je tisnstūrveid lps. Ši strēmelei jāūt gri un vēlms ne pārāk plti. To ssien visprstākjā mezglā. Precīzi nogludinot tā mls, iegūst piecstūri. Ts tiešām ir regulārs piecstūris. Pr to vr pārliecināties sekojošā veidā. plūkosim piecstūri DE. 43

44 M L E H D D seko no locīšns, jo ppīr loksnes mls ir prlēls E seko no locīšns, jo ppīr loksnes mls ir prlēls H E H H D H Tātd H ir prlelogrms, et ts ir rī roms, jo ugstumi tjā ir vienādi r ppīr loksnes pltumu. Seko, k ==H=H. E seko no locīšns, jo ppīr loksnes mls ir prlēls E D - seko no locīšns, jo ppīr loksnes mls ir prlēls L E EL L D L E Tātd LE ir prlelogrms, et ts ir rī roms, jo ugstumi tjā ir vienādi r ppīr loksnes pltumu. Seko, k =L=LE=E. D seko no locīšns, jo ppīr loksnes mls ir prlēls D E seko no locīšns, jo ppīr loksnes mls ir prlēls M D MD M E M D Tātd MD ir prlelogrms, turklāt kā iepriekš ts ir rī roms, jo ugstumi tjā ir vienādi r ppīr loksnes pltumu. Seko, k M==D=DM. Ir svrīgi, k visi plūkotie romi ir svstrpēji vienādi, jo viss to mls ir svstrpēji vienāds un visi ugstumi ir vienādi r dotās ppīr strēmeles pltumu. Ir pierādīts, k dotjā piecstūrī E===D. E D kā dotās ppīr loksnes prlēlās mls. Divi loki, ks ietverti strp divām prlēlām tisnēm ir vienādi. ([14], 70.lpp.) Tātd, ED =. 44

45 Vienā riņķī vi divos vienādos riņķos vienādiem lokiem tilst vienāds hords, un otrādāk. ([15], 71.lpp.) Konkrētā gdījumā ED = ED=. Tātd viss piecstūr mls ir svstrpēji vienāds. plūko četrstūri DE: E D - kā dotās ppīr loksnes prlēlās mls. ED= - kā piecstūr vienādās mls. Tātd šis četrstūris ir trpece. plūko četrstūri DE: E D - kā dotās ppīr loksnes prlēlās mls. =ED - kā piecstūr vienādās mls. Tātd šis četrstūris ir trpece. DE=DE, jo ED=E===D=DE, kā piecstūr vienādās mls, un E=D, kā vienādo romu EL un DM grākās digonāles. <DE=<E un <D=<DE kā leņķi pie vienādu vienādsānu trpeču pmtiem. <=<D kā vienādo romu H un DM pltie leņķi. Tātd visi piecstūr leņķi ir vienādi < = < = < = <D = <E. Ir pierādīts, k uzlocītis piecstūris ir regulārs, jo viss tā mls ir svstrpēji vienāds un visi tā leņķi rī ir svstrpēji vienādi. Locījumi, kurus veic no riņķveid ppīr lps Šjā nodļā ir plūkoti locījumi, kurus veic, j ir dot ppīr lp riņķ formā. Figūru, ks sstāv no visiem tiem plknes punktiem, kuri trods vienā un tjā pšā ttālumā no kād dotā plknes punkt, suc pr riņķ līniju. Minēto punktu, suc pr riņķ līnijs centru. ([16], 60.lpp.) Nogriezni, ks svieno divus riņķ līnijs punktus, suc pr hordu. ([17], 61.lpp.) Hords locīšn ir pvism vienkārš: pārlok doto riņķveid ppīr lpu tā, li locījum līnij svienotu divus riņķ līnijs punktus. 45

46 Riņķ dimetrs un rādiuss Dimetr locīšn: 1. Uz riņķ līnijs izvēls kādu punktu. Šjā punktā nolok divs svstrpēji perpendikulārs locījum līnijs un. 2. Locījum līnij krusto riņķ līniju punktā, et locījum līnij krusto riņķ līniju punktā. Nolok locījum līniju cur punktiem un. Šī locījum līnij ir dotā riņķ dimetrs, jo ievilkt tisnleņķ trijstūr dimetrs iet cur riņķ centru. ([18], 60.lpp.) Riņķ centr tršn. J ir iespējms uzlocīt dimetru, td vr trst rī riņķ centru. Ir divi veidi, kā trst riņķ līnijs centru: 1. Uzlok divus krustiskus dimetrus un D. Šo dimetru krustpunkts O rī ir riņķ centrs. 2. Uzlok dimetru un pārlok to uz pusēm. Dimetr viduspunkts ir rī riņķ centrs. O ttālumu no riņķ līnijs centr līdz rīvi izrudzītm riņķ līnijs punktm suc pr riņķ līnijs rādiusu. ([19], 60.lpp.) D 46

47 Iepriekšējā zīmējumā riņķ rādiusi ir nogriežņi O, OD, O un O. Tātd, rādiusu vr uzlocīt, j uzlok divus krustiskus dimetrus vi uzlok vienu dimetru un trod tā viduspunktu, kuru svieno r kādu riņķ līnijs punktu. Regulārs sešstūris Li uzlocītu regulāru sešstūri, j ir dot riņķveid lp, rīkojs sekojoši: 1. Pārlok lpu uz pusēm p tās dimetru. trod riņķ centru. 2. Fiksē riņķ centru. Nolocītos rādiusus vienlicīgi griež pr leņķi tā, li viens no tiem pietu zem otr. Šo griešnu turpin, līdz viens no nogriežņiem tdurs pret iekšējo pusriņķ mlu (veido konusveidīgu figūru). Ielok locījum līnijs. 3. tlok vļā ppīr lpu. Ir nolocīti trīs dimetri (seko no konstrukcijs). Ktru dimetr glpunktu svieno r nākmo dimetr glpunktu. Izveidojs regulārs sešstūris Ts tiešām ir regulārs sešstūris, jo viss tā mls ir vienāds. Ts seko no locīšns konstrukcijs. Un dudzstūris, kurm ir vienāds mls un kurm ir pvilkt riņķ līnij, ir regulārs. Tātd uzlocītis sešstūris ir regulārs. Šādā veidā vr sdlīt jekuru leņķi trijās vienādās dļās. Piemērm, lokot sešstūri tik izmntots pusriņķis. ij jānolok riņķ dimetrs, jātrod tā viduspunkts, ks ir rī pšs riņķ līnijs centrs. Šis centrs, kopā r dimetru veido izstieptu leņķi. Šis leņķis, lokot sešstūri, tik sdlīts trijās vienādās dļās. Ir dudzs figūrs, kurs vr uzlocīt, izmntojot šo sešstūri un leņķ dlīšnu divās vi trijās dļās. 1. No sešstūr vr iegūt 12-stūri, ktru sešstūr centr leņķi sdlot uz pusēm un svienojot secīgos dimetru glpunktus. Ts tiešām ūs regulārs 12-stūris, ks seko no konstrukcijs gits. entr leņķis tiek sdlīts divās vienādās dļās, tātd rī loks tiek sdlīts vienādās dļās un veidojs vienāds hords, ks ir šī dudzstūr mls. p dudzstūri, kur viss mls ir vienāds, ir 47