Algebriskās struktūras 5.lekcija

1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Algebriskās struktūras 5.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju gads

Saturs 2 1. Grupu reizinājumi 3 1.1. Tiešais reizinājums.................... 3 1.1.1. Ārējais tiešais reizinājums............ 3 1.1.2. Iekšējais tiešais reizinājums........... 7 1.2. Pustiešais reizinājums.................. 13 1.2.1. Iekšējais pustiešais reizinājums......... 13 1.2.2. Grupu automorfismi............... 15 1.2.3. Ārējais pustiešais reizinājums.......... 17 1.3. Zappa-Szep reizinājums................. 20 2. 5.mājasdarbs 22

1. Grupu reizinājumi 3 1.1. Tiešais reizinājums 1.1.1. Ārējais tiešais reizinājums Ja G, H ir grupas, tad par to (ārējo) tiešo reizinājumu sauksim (G H, ), kur operācija tiek uzdota šādi: (g, h) (g, h ) = (gg, hh ). 1.1. teorēma. (G H, ) ir grupa. PIERĀDĪJUMS Asociativitāte Visiem g, g, g G un h, h, h H izpildās ((g, h)(g, h ))(g, h ) = (gg, hh )(g, h ) = ((gg )g, (hh )h ) = (g(g g ), h(h h )) = (g, h)((g, h )(g, h )).

4 Vienības elements Visiem g G, h H izpildās (g, h)(e, e) = (ge, he) = (eg, eh) = (g, h), tāpēc (e, e) ir vienības elements. Inversais elements Visiem g G, h H izpildās (g, h)(g 1, h 1 ) = (gg 1, hh 1 ) = (e, e), tāpēc katram G H elementam eksistē inversais elements. 1.1. piezīme. Ja G un H ir komutatīvas, tad G H arī ir komutatīva. Ja G un H ir galīgas, tad G H ir galīga un G H = G H. G H H G, izomorfisms f : G H H G var tikt definēts šādi: f((g, h)) = (h, g).

5 (G H) I G (H I), izomorfisms f : (G H) I G (H I) var tikt definēts šādi: f(((g, h), i)) = (h, (g, i)). Tādējādi grupu tiešais reizinājums ir ar precizitāti līdz izomorfismam komutatīva un asociatīva operācija grupu kopā. Eksistē vienības elements - triviālā grupa E = {e}: G izpildās G E G. Tiešo reizinājumu var vispārināt uz patvaļīgas galīgas grupu kopas gadījumu: ja ir dotas n kopas G 1,..., G n, tad par to tiešo reizinājumu sauc kopu G 1... G n ar šādu operāciju: (a 1,..., a n )(a 1,..., a n) = (a 1 a 1,..., a n a n).

6 1.1. piemērs. Vektoru kopas: Taisnstūra rotācijas. Atlikumi. R n R R... R. 1.2. piezīme. Aditīvajā pierakstā (ja visas grupas G i ir komutatīvas) izmanto apzīmējumu G 1 G 2... G n. 1.3. piezīme. Ja G = N M, tad definēsim Ñ = {x G x = (n, e), kur n N}, M = {x G x = (e, m), kur m M}. Var redzēt, ka Ñ G, M G un g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = ñ m = mñ,

7 kur ñ Ñ un m M (G = Ñ M = MÑ): (n, m ) 1 (n, e)(n, m ) = (n 1 nn, m 1 em ) = (n } 1 {{ nn }, e) Ñ, N (n, m) = (n, e)(e, m) Ñ M. 1.1.2. Iekšējais tiešais reizinājums 1.2. teorēma. Ja grupa G satur n normālas apakšgrupas N 1,..., N n un g G ir viennozīmīgi izsakāms formā kur g i N i, tad g = g 1 g 2...g n, G N 1 N 2... N n. PIERĀDĪJUMS Definēsim funkciju f : N 1 N 2... N n G,

8 f(a 1,,, a n ) = a 1...a n. Pierādīsim, ka f ir grupu izomorfisms. Sirjektivitāte g G ir uzrakstāms formā g = g 1 g 2...g n, kur g i N i, tāpēc g = f(g 1,..., g n ). tad Injektivitāte Ja f(a 1,..., a n ) = f(b 1,..., b n ), a 1...a n = b 1...b n. Tā kā katrs G elements ir viennozīmīgi izsakāms reizinājuma formā, tad seko, ka a i = b i, i.

Homomorfisms No sākuma pierādīsim, ka N i N j = {e}, ja i j. 9 Ja N i N j reizinājumu: Seko, ka a = e. a, tad a var divos dažādos veidos uzrakstīt kā }{{} e...e ae...e = }{{} e...e ae...e. i 1 j 1 No viena mājasdarba uzdevuma seko, ka ja a i N i un a j N j, tad a i a j = a j a i. Tagad redzam, ka f((a 1,..., a n )(b 1,..., b n )) = f((a 1 b 1,..., a n b n )) = a 1 b 1 a 2 b 2...a n b n = a 1 a 2...a n b 1 b 2...b n = f((a 1,..., a n ))f(b 1,..., b n ).

10 1.3. teorēma. Ja N, N G, N N = {e} un G = NN, tad G N N, PIERĀDĪJUMS Jāpierāda, ka g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = hh, kur h N, h N. Tad apgalvojums sekos no iepriekšējās teorēmas. Pieņemsim, ka kur h, t N, h, t N. Redzam, ka t 1 h }{{} N g = hh = tt, = t h 1 }{{} N = e. Seko, ka h = t un h = t, tātad g ir izsakāms viennozīmīgi reizinājuma veidā.

1.4. piezīme. Iepriekšējās teorēmas terminos G ir apakšgrupu N un N iekšējais tiešais reizinājums- G = N N. 1.5. piezīme. Grupu sauc par nedalāmu, ja tā nav izsakāma kā netriviāls iekšējais tiešais reizinājums: G = N N N = {e} vai N = {e}. 11 1.4. teorēma. Ja G = N N (iekšējais reizinājums), tad G/N N. PIERĀDĪJUMS Definēsim ϕ : G/N N, ϕ(n(aa )) = a, kur a N, a N. Pierādīsim, ka ϕ ir grupu izomorfisms.

Homomorfisms ϕ((h(aa ))(Hbb )) = ϕ(h(aba b )) = a b = ϕ(h(aa ))ϕ(h(bb )). 12 Sirjektivitāte Katram a N izpildās a = ϕ(n(ea )). Injektivitāte Ja ϕ(n(aa )) = ϕ(n(bb )), tad a = b un Na = Nb. Seko, ka N(aa ) = N(bb ).

1.2. Pustiešais reizinājums 13 1.2.1. Iekšējais pustiešais reizinājums Ja N G, A G, N A = {e} un G = NA, tad saka, ka G ir N un A (iekšējais) pustiešais reizinājums (semidirect product) - G = N A. 1.2. piemērs. 1.5. teorēma. Dots, ka N G, A G. Sekojošie apgalvojumi ir ekvivalenti: 1. N A = {e} un G = NA (G = N A); 2. N A = {e} un G = AN; 3. g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = ha, kur h N, a A; 4. g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = a h, kur h N, a A;

PIERĀDĪJUMS 1. 2. Ja G = NA, tad g G izpildās nosacījums g = ha, kur h N, a A. Redzam, ka g = ha = a } a 1 {{ ha } = ah AN. N 14 Ja G = AN, tad g G izpildās nosacījums g = a h, kur h N, a A. Redzam, ka g = a h = a } h {{ a 1 } a = h a NA. N 1. 3. Pieņemsim, ka N A = {e} un G = NA. Pieņemsim, ka g G, kurš ir izsakāms kā reizinājums divos veidos: g = ha = hã, kur h, h N, a, ã A. Pārnesīsim elementus tā, lai katrā pusē būtu

15 vienas apakšgrupas elementi: Seko, ka tātad h = h un a = ã. 2. 4. Pierāda līdzīgi. ha = hã h } 1 {{ h } = ãa }{{ 1 }. N A h 1 h = ãa 1 = e, 1.6. piezīme. Ja G = N A, tad G = N A. 1.2.2. Grupu automorfismi Par grupas automorfismu sauc grupu izomorfismu G G. Visu G automorfismu kopu apzīmē ar Aut(G). Tā ir grupa ar funkciju kompozīcijas operāciju.

Grupas G automorfismu η Aut(G) sauksim par iekšēju automorfismu, ja η(g) = aga 1 = η a (g) kādam fiksētam a. Var redzēt, ka η a (gg ) = a(gg )a 1 = (aga 1 )(ag a 1 ) = η a (g)η a (g ). 16 Fakti: Visu iekšējo automorfismu kopa Inn(G) veido normālu apakšgrupu: Inn(G) Aut(G). Faktorgrupu Aut(G)/Inn(G) = Out(G) sauc par ārējo automorfismu grupu. Inn(G) G/Z(G).

17 1.2.3. Ārējais pustiešais reizinājums Dotas grupas N, A un grupu homomorfisms ϕ : A Aut(N). Apzīmēsim ϕ(a)(g) = ϕ a (g). Izpildās nosacījumi ϕ a (gg ) = ϕ a (g)ϕ a (g ), a, g, g, ϕ ab (g) = ϕ a (ϕ b (g)). Kopā N A definēsim šādu operāciju: (h, a)(h a ) = (h, ϕ a (h ), aa ). Var pierādīt, ka ar šo operāciju tiek definēta grupa, ko sauc par N un A ārējo pustiešo reizinājumu - N ϕ A. 1.6. teorēma. N ϕ A ir grupa. PIERĀDĪJUMS

18 Asociativitāte No vienas puses: ((h, a)(h, a ))(h, a ) = (hϕ a (h ), aa )(h, a ) = (hϕ a (h )ϕ aa (h ), aa a ) = (hϕ a (h )ϕ a (ϕ a (h )), aa a ). No otras puses: (h, a)((h, a )(h, a )) = (h, a)(h ϕ a (h ), a a ) = (hϕ a (h ϕ a (h )), aa a ) = (hϕ a (h )ϕ a (ϕ a (h )), aa a ). Redzam, ka ir vienādība. Vienības elements Redzam, ka (h, a)(e, e) = (hϕ a (e), ae) = (h, e), (e, e)(h, a) = (eϕ e (h), ea) = (h, a).

19 Seko, ka (e, e) ir vienības elements. Inversais elements Pierādīsim, ka (h, a) 1 = (ϕ 1 a (h 1 ), a 1 ) = (ϕ a 1(h 1 ), a 1 ). Redzam, ka (h, a)(ϕ a 1(h 1 ), a 1 ) = (hϕ a (ϕ a 1(h 1 )), aa 1 ) = (hϕ aa 1(h 1 ), e) = (hϕ e (h 1 ), e) = (hh 1, e) = (e, e). 1.7. piezīme. Ja ir dots iekšējais pustiešais reizinājums G = N A, tad šādā gadījumā ϕ a (h) = aha 1. 1.8. piezīme. Ja a A ϕ(a) = id, tad iegūsim tiešo reizinājumu.

1.3. Zappa-Szep reizinājums Ja H G, A G, H A = {e} un G = HA, tad saka, ka G ir H un A (iekšējais) Zappa-Szep reizinājums - G = H A. 1.3. piemērs. 1.7. teorēma. Dots, ka H G, A G. Sekojošie apgalvojumi ir ekvivalenti: 1. H A = {e} un G = HA (G = H A); 2. g G ir viennozīmīgi izsakāms formā g = ha, kur h H, a A. PIERĀDĪJUMS Pieņemsim, ka H A = {e} un G = HA. Pieņemsim, ka g G, kurš ir izsakāms kā reizinājums divos veidos: g = ha = hã, kur h, h H, a, ã A. Pārnesīsim elementus tā, lai katrā pusē būtu 20

21 vienas apakšgrupas elementi: Seko, ka tātad h = h un a = ã. ha = hã h } 1 {{ h } = ãa }{{ 1 }. H A h 1 h = ãa 1 = e,

2. 5.mājasdarbs 22 5.1 Atrodiet visas apakšgrupas šādām grupām: (a) (Z/2Z) (Z/2Z); (b) (Z/2Z) (Z/3Z); (c) (Z/2Z) (Z/2Z) (Z/2Z). 5.2 Izsakiet grupu Z/12Z kā netriviālu iekšējo tiešo reizinājumu. 5.3 Pierādiet, ka dotās grupas ir nedalāmas, bet ir izsakāmas kā iekšējie pustiešie reizinājumi: (a) Σ 3 ; (b) kvadrāta rotāciju grupa. 5.4 G ir grupa no uzdevuma 4.4, kurā reālo skaitļu lauks tiek aizvietots ar lauku F 2. Vai G ir izsakāma kā (a) tiešais reizinājums, (b) pustiešais reizinājums, (c) Zappa-Szep reizinājums? Pozitīvu atbilžu gadījumā atrodiet atbilstošās apakšgrupas.