Mateiāls ņemts no gāmatas:andžāns Agnis, Bēziņa Anna, Bēziņš Aivas "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kātas (ajonu) uzdevumi un atisinājumi" LATVIJAS RAJONU 4 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 4 I jāapēķina -ais loceklis aitmētiskā pogesijā, kuas pimais loceklis i 5 un otais 4 Tātad difeence i 5 Tas nozīmē, ka -ais loceklis būs vienāds a ( ) 5 49 5 + 4 Skaitļus sagupēsim gupās: no līdz 9, no līdz 9, no līdz 9,, no 9 līdz 99 un skaitlis Visās gupās, izņemot pimo un pēdējo i vienāds skaits skaitļu, kuiem cipau summa i pāa vai nepāa; bet pimajā un pēdējā gupās skaitļu, kuiem cipau summa i nepāa skaitlis i pa vienu lielāka, nekā skaitļu, kuiem cipau summa i pāa Tātad kopīgais skaits skaitļu, kam cipau summa i nepāa skaitlis i pa lielāka, nekā skaitļu, kam cipau summa i pāa skaitlis 4 To va izdaīt, piemēam, tā ka paādīts 44 zīmējumā [ 6] [ ] + [ ] [ ] [ ] [ ] [ 5] [ ] + + + 8 7 : + 8 7 4 44 zīm 44 To va izdaīt, piemēam, tā, kā paādīts 45 zīmējumā 45 zīm
45 Kopējā glāzes ietilpība i 7 kaotes Jānis izdzēa 7 kaotes kafijas un + + 6 kaotes piena; tātad izdzēa vaiāk kafiju 46 Ja a b, tad tiek atzīmēts punkts Ja a, b vai b, a, tad tiek atzīmēti 4 punkti Ja a ± b, tad tiek atzīmēti 4 punkti Pāējos gadījumos tiek atzīmēti 8 punkti 47 Ja kaut vienā no vienādībām (piemēam x y + z ) skaitļu zīmes i petējas, tad uzeiz iegūstam pasīto vienādību: x y + z x + y + z Ja visās vienādībās skaitļu zīmes i vienādas, tad saskaitot šīs vienādības, iegūstam pasīto x y + z, y x + z, z x + y ; 48 Pieņemsim, ka ģimeņu skaits i n Katā ģimenē i vismaz viens dēls Tātad zēnu skaits i vismaz n Tā kā meiteņu i ne mazāk kā zēnu, tad kopā bēnu i vismaz n, bet vecāku i tieši n Tātad pieaugušo mājā nav vaiāk pa bēniem 49 Locījuma līnijas attēlotas 46 zīmējumā 46 zīm 4 Kopējais piecu taišņu kustpunktu skaits i Kats kustpunkts tiek ieskaitīts četos apgabalos Tātad jebkuā gadījumā pasītā summa būs vienāda a 4 4 Ja a, tad b vai b c Ja b, tad a ; un atkal iegūta petuna Tātad c ; tagad no vienādības ; bet tā i petuna a b seko, ka > b ; līdz a to a < 4 Ja x y, tad ( x + y + x y ) ( x + y + x y) x max( x, y) Ja x < y, tad ( x + y + x y ) ( x + y x + y) y max( x, y) Fomula, kas izsaka mazāko no skaitļiem i šāda: ( x + y x y ) Pieādījums i analoģisks iepiekšējam
4 Nē, neva Ja šīs diagonāles kustotos vienā punktā, tad tām būtu galapunktu, kas i daudzstūa visotnes; bet desmitstūim i tikai visotnes 44 Apzīmēsim A B Tā kā B dalās a, tad aī B cipau summa ( B) S dalās a Tā kā skaitļu A un B cipau summas i vienādas, tad aī skaitļa A cipau summa dalās a ; tātad A dalās a Tas nozīmē, ka B dalās a 9; tātad B cipau summa S ( B) dalās a 9 un aī skaitļa A cipau summa dalās a 9 Tātad A dalās a 9 45 To va izdaīt, piemēam, tā, kā paādīts 47 zīmējumā 7 8 6 5 4 9 47 zīm 46 Skat 48 zīmējumu A D O B C 48 zīm No dotā seko, ka OAB OCD ; tātad nogiežņi AB un CD i paalēli Tāpat pieāda, ka nogiežņi AD un BC i paalēli Tātad ABCD i paalelogams Tāpēc BC AD, OAD OCB, ODA OBC ; no šejienes seko tijstūu BOC un DOA vienādība 6 4 7 6 8 47 Jā, va; piemēam, ( ), ( ), 5 ( 5 ) Ja tijnieku skaits būtu, tad to izdaīt neva, jo šo skaitļu eizinājumam jābūt kvadātam, bet pakāpē 48 Aplūkosim 49 zīmējumu 6 5 nav kvadāts, jo pimskaitlis ieiet šajā skaitlī nepāa
C Y X A P Q B 49 zīm Novilksim pependikulus PY un QX pet tijstūa katešu malām Tad no Talesa teoēmas seko, ka CY CA b, YP CB a, CX CB a, QX AC b Tālāk, izmantojot Pitagoa teoēmu, iegūstam: CP 5 9 + PQ + CQ ( a + b ) + c c 9 ( a) + ( b) + ( c) + ( a) + ( b) 49 Va izveidot 6 pimskaitļus:,, 5, 4, 67, 89 Vaiāk pa 6 pimskaitļiem izveidot neva Ja pimskaitļu būtu ne mazāk pa 7, tad vismaz 6 no tiem būtu nepāa skaitļi (jo i tikai viens pāa pimskaitlis ) Bet mums i tikai 5 nepāa cipai, a kuiem būtu jābeidzas nepāa skaitļiem 4 Aplūkosim visu uzakstīto skaitļu summu Ievēosim, ka ( b + ) + ( b c ) + ( c a + ) ( a + b + c) + a Tāpēc katā gājienā uzakstīto skaitļu summa palielinās pa Tas nozīmē, ka mēs nekad neiegūsim sākotnējo skaitļu komplektu 4 Atņemot no otā vienādojuma pimo, iegūstam x + x 4 Ievietojot x 4 y pimajā vienādojumā, iegūstam 5y 57y + 6, no kuienes iegūstam atbildes: x, y 5 un x,, y 6, 4 Atbildes jāpābauda 4 4 Aplūkosim 4 zīmējumu 4
C B O Pieņemsim, ka AOB A D BOC COD 4 zīm S S S No tijstūu AOB un BOC vienādības seko, ka AO OC Tijstūiem AOB un BOC i kopīgs augstums un vienādi laukumi; tātad aī vienādi pamati Līdzīgi pieāda, ka BO OD Tas nozīmē, ka četstūa ABCD diagonāles kustojoties dalās uz pusēm; tātad tas i paalelogams 4 Skaitļi,, 4 apmieina uzdevuma nosacījumus Pieādīsim, ka citu atisinājumu nav Apzīmēsim dotos skaitļus a n, n +, n + 4 a) Ja ( mod ) b) Ja ( mod ) c) Ja ( mod ) n, tad n va būt pimskaitlis tikai, ja n n, tad n + dalās a, un nav pimskaitlis n, tad n + 4 dalās a, un nav pimskaitlis 44 Apzīmēsim dotos skaitļus a x < x < L < x69 No uzdevuma nosacījumiem seko, ka x (Ja x, tad x 4, x 5, K, x69 ; tā i petuna) Apskatīsim 67 savā stapā atšķiīgus skaitļus x + x, x + x, K, x + x68 un 67 savā stapā atšķiīgus skaitļus x69 x, x69 x, K, x69 x68 Tie visi atodas intevālā no līdz Tā kā aplūkojamo skaitļu kopskaits i 4, tad kaut kādi divi no tiem i vienādi; ti x + xi x69 x j No šejienes iegūstam pasīto atisinājumu x + xi + x j x69 45 Skat zīm 44 zīm C X B A Y O A C 44 zīm 5
No tijstūu AA B un CC B līdzības seko, ka BAC un B AC līdzība Tātad BC A BCA BC BA BC BA Novilksim pependikulu OY no punkta O pet taisni AB Tā kā leņķis, tad BOY BOA BCA BC X No šejienes seko tijstūu BCA i ievilktais Tā kā leņķis B tijstūiem BYO un BXC i kopīgs, tad no divu leņķu vienādības seko, ka tie i līdzīgi Tātad 9 BYO BXC, no kuienes seko pasītais 46 Skat 45 zīm B P C T A D X Q B C M R S Y A D 45 zīm Viegli edzēt, ka taisne XY paalēla plaknei paalēli XY (ti paalēli CB ) Apzīmējam BB C C Tātad šķēluma līnija PQ Jāvelk M PQ BC Velkam taisni MY Tā piede šķēluma plaknei Tās kustpunktus a nogiežņiem AB un CD apzīmējam atbilstoši a S un R Velkam taisni SX Tās kustpunktu a nogiezni A B Apzīmējam a T Pasītais šķēlums i piecstūis PQRST 47 No dotā seko, ka ( x x) sin7x cosx cos7x sin sin 4x sin 7 x Līdzīgi tālāk iegūstam sin 9x sin x 4x sin x sin ( ) sin 5x sin(9x 4x), ( 5x 4x) sinx cos 4x cosx sin 4x, Tālāk a matemātisko indukciju pieādām, ka visiem natuāliem n sin nx Bāze: ja n, tad apgalvojums jau pieādīts Induktīvā pāeja: pieņemsim, ka sin kx ; Tad sin ( + ) x sin( kx + x) sin kx cos x + cos kx sin x k Apgalvojums pieādīts 48 Atzīmēsim lielākā kopīgā dalītāja pamatīpašību: 6
( a b) ( a, b + ka),, ku k -- patvaļīgs vesels skaitlis Tātad ( a989, a99 ) ( a989, a99 a989 ) ( a989, a988 ) ( a989 a988, a988 ) ( a, a ) L ( a, a ) ( 9, 9) 987 988 49 Aplūkosim 46 zīmējumu B M K P Tā kā AKMC -- ievilkts četstūis, tad pieāda, ka un MKC MAC A C N 46 zīm BKM 8 AKM ACM Līdzīgi AKN ACM No ievilkto leņķu īpašības seko, ka NKC NBC No teoēmas pa kustojošos hodu nogiežņu eizinājumiem seko vienādības Tātad AP PM CP PK un CP PK BP PN AP BP AP PM BP PN un ; tāpēc tijstūi APN un BPM i līdzīgi un PN PM PAN PBM No šejienes AKC BKC 9 un CK i augstums Tā kā PAN PKN, tad ap četstūi AKPN va apvilkt iņķa līniju; tāpēc ANP 8 AKP 9 un aī BN i augstums Līdzīgi pieāda, ka AM i augstums 4 Pēc viena gājiena visu uzakstīto skaitļu kvadātu summa palielinās pa b a a + b a b + ( a b ) +, 4 ti pa nenegatīvu skaitli Tā kā sākumā neviens skaitlis nav, tad pimajā gājienā šī summa pieaug; tālāk tā nesamazinās Tātad atgiezties pie izejas pozīcijas nav iespējams 4 Nē neeksistē Polinoma F (x) pakāpi apzīmēsim deg F ( x) Ja polinoms F (x) nav konstante, tad tā atvasinājuma pakāpe i pa mazāka nekā polinoma F (x) pakāpe Tad no dotajām vienādībām iegūstam deg P ( x) degq( x) deg F( x) deg P( x) 7
Iegūta petuna 4 a) Ja no Q un meklējamā punkta Q attiecīgi plaknēs α un β novilkts pependikuls pet taisni t, tad to pamati atadīsies vienā punktā -- tajā, ku uz taisnes t pojicēsies punkts Q Tas seko no tīs pependikulu teoēmas Tāpēc konstukcijas gaita i sekojoša: ) velkam no Q pependikulu Q Q plaknē α pet taisni t, ) no punkta Q plaknē β velkam pependikulu pet taisni t; tā kustpunkts a A B i Q b) Konstukcijas gaita i sekojoša ) Plaknē α atodam M ÅP CB un N CP A B ) No M un N a M un N ) Plaknē β no M un N velkam pependikulus pet taisni t; to pamatus apzīmēsim velkam pependikulus pet taisni līdz to kustpunktiem M un N attiecīgi a B C un A B 4) Tad P AM C N 4 Papildinām tijstūi ABC līdz vienādsānu tapecei ABCD; tad P atodas uz tās simetijas ass (skat 47 zīm) D A B C P Apzīmējam 47 zīm ABC α ; tad BCA α, DAC 8 α Tā kā DAB ABC α, tad BAC 8 α No vienādības DBA DBC ABC ACB ABC α α α DAB seko, ka tijstūis BDA i vienādsānu; tātad BD DA No šejienes seko, ka tijstūis PDA i egulās ( PA PD no simetijas; PA AC BD DA ); tātad BAP 6 α BAC, ko aī vajadzēja pieādīt 44 Vienādojumu sistēmu pāveidojam fomā 8
Tātad y x y x x+ y 6 x+ y x+ y 6 x+ y x x Ja x, tad no dotās sistēmas seko, ka aī y Ja x, tad t 6 t x + y 6 ; apzīmējot x + y t un atisinot vienādojumu x + y, iegūstam x + y vai x + y 6 ) Ja x + y, tad atisinājumu pozitīvos skaitļos nav ) Ja x + y 6, tad iegūstam vienādojumu sistēmu 6 x y 6 6 y x y x + y 6 x y y x x + y 6 x + x 6 Tās atisinājumi i x ; y 4 un x ; y 9 (nede, jo x < ) Atisinājumi i jāpābauda Atbilde: {(, ), (, 4) } 45 No četiem pēc kātas ņemtiem skaitļiem viens, dalot a 4, dod atlikumu Tātad tas dalās a, bet nedalās a 4; tātad nav natuāla skaitļa pakāpe, jo natuāla skaitļa k-tā pakāpe satu katu pimeizinātāju vismaz k eizes 46 Apzīmēsim sin x a un cos x b Dots, ka a + b < a + b < Tiešām ( b) a + < a + b < a < b a < b ; jāpieāda, ka 47 Atisinot vienādojumu sistēmu a + b c + d a + b c + d (uzskatām a un b pa mainīgajiem), iegūstam, ka Abos gadījumos pasītā vienādība izpildās a c, b d vai a d, b c 48 Riņķa līnijas ω un ω i homotētiskas a homotētijas centu punktā M No MX šejienes seko vienādība MN Līdzīgi seko vienādība MN YN Tā kā YN 4 un MX, tad 4 Saeizinot iegūtās vienādības, iegūstam YN MX 4 9
Tātad 4 4 MX MN MN YN YN MX M X Y N 49 Apskatām funkcijas y sin t 48 zīm gafiku intevālā [, α] t Y α n α n nα n 48 zīm Pieādāmā nevienādība izsaka faktu, ka pakāpienveida figūas laukums lielāks pa laukumu zem funkcijas gafika, kas i vienāds a α sin t dt cosα Potams šeit tiek izmantots fakts, ka funkcija y sin t dotajā intevālā i augoša 44 Rodas egulāas tijstūa piamīdas un 4 egulāi oktaedi Visām daļām šķautņu gaumi i tešdaļa no dotās piamīdas šķautnes gauma