O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri

O.Lauce ARITMĒTIKAS un ALGEBRAS darbību likumi formulas piemēri

O.Lauce ARITMĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI FORMULAS PIEMĒRI

O lg a L a u c e ARITM ĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI, FORMULAS, PIEMĒRI

SATURS Priekšvārds... 5 Naturālie skaitli...... 6 Nezināmā darbības locekļa aprēķināšana...6 Darbību īpašības..... 7 Darbību secība izteiksm ēs... 8 Skaitļu dalām ība...*...8 Lielākais kopīgais dalītājs...9 Mazākais kopīgais dalāmais...9 Summas dalām ība...9 Reizinājuma dalām ība...10 Skaitļu dalāmības pazīmes...10 Parastās daļas... 10 Daļas pam atīpašība... 10 Parasto dalu saskaitīšana un atnem šana...11 Parasto dalu? reizināšana...12 _ Parasto dalu dalīšana...13 Decimāldaļas... 13 Decimāldaļu saskaitīšana un atnem šana...13 Decimāldaļu reizināšana...14 Decimāldaļu dalīšana...14 Skaitļu noapaļošana... 15 Parastās daļas pārveidošana decimāldaļā....15 Periodiskās decimāldaļas...16 P rocenti...17 Dažādi aprēķinu uzdevum i... 17 Daļas vērtības aprēķināšana no dotā skaitļa.. 17 Visa skaitļa aprēķināšana...18 Viens skaitlis kā otra skaitļa d a la... 19 Attiecība un p ro p o rcija... 19

Racionalie skaitli... 20 Saskaitīšana un atn em šan a... 21 Reizināšana un d alīšana...21 K apinašana...22 Likumi darbībām ar pakāpēm...23 Iekavu atvēršana un ieslēgšana iekavās... 24 Saknes... 24 n-tās pakāpes sakne... 24 Aritmētiskā sakne...25 Aritmētisko sakņu īpašības un to izm antošana... 26 Saknes norm ālfo rm a...28 Sakņu 9 saskaitīšana _ un atn9_ em šan a...28 Sakņu reizināšana un d alīšana...28 Kvadrātsakne... 29 Piemēri darbībām ar kvadrātsaknēm...30 Kvadrātsaknes aprēķināšana...31 Monomi un polinom i...33 M onom s...33 Polinoms... 33 Darbības ar polinom iem...34 Saīsinātās reizināšanas form ulas...34 Polinom a sadalīšana reizinātājos... 36 Algebriskas d aļas...38 Algebriskas daļas pam atīpašība... 38 Daļas skaitītāja un saucēja zīmju m a iņ a...40 Dalu 9 saskaitīšana _ un atnem _9 šana....40 Dalu 9 reizināšana un dalīšana...41 V ienādojum i... 42 Lineāri vienādojumi ar vienu nezināmo...42 Kvadrat vienādojumi...43 Nepilnie kvadrat vienādojumi....44 Pilnie kvadrat vienādojumi....45 Diskriminants...48 Par kvadrātvienādojumiem reducējami vienādojum i....50 Vienādojumu sistēmas...52 Lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmiem... 52 Lineāru vienādojumu sistēmu atrisināšanas paņēm ieni.. 53 Otrās pakāpes vienādojumu sistēm as...58 2

Funkcijas... 61 Lineāra funkcija... gļ Funkcija y '\... Funkcija y x... 53 Funkcija y=-y/x... 64 Kvadratfunkcija...54 Nevienādības... 57 Skaitļu intervāli... 57 Lineāras nevienādības... 67 Lineāru nevienādību sistēm as... 69 Otrās pakāpes nevienādības... 70 Nevienādību atrisināšana ar intervālu m e to d i...71 Progresijas...73 Aritmētiskā progresija...74 Aritmētiskās progresijas īpašības... 75 Ģeometriska progresija...75 Ģeometriskās progresijas īpašības...77 Reizinājumu ta b u la...79 Skaitļu kvadrātu tabula... 80

PRIEKŠVĀRDS Šajā b ro šū rā apkopota tikai tā pam atskolā aplūkojam ā (dažos gadījum os nedaudz plašāka) aritm ētikas u n algebras viela, kas daudzu gadu darba pieredzē ir izrādījusies pati nepieciešam ākā. B rošūra nav izm antojam a kā m ācību grām ata, jo tajā nav detalizētu paskaidrojum u, b et ir tikai galvenie darbību likum i, form ulas u n p iem ēru risinājum u paraugi. B rošūras nelielais apjom s ļaus to izm antot katru dienu gan klasē, gan mājā, risin o t uzdevum us. Sevišķi šis likum u, form ulu u n p iem ēru apkopojum s noderēs tiem vidējo m ācīb u iestāžu audzēkņiem, kuriem nav saglabājušās iepriekšējo gadu m ācību grām atas. A rī vecāki šajā b ro šū rā atradīs piem irstās form ulas.

NATURALIE SKAITLI 9 NEZINĀM Ā DARBĪBAS LOCEKĻA APREĶINAŠANA N ezin ām o saskaitam o x aprēķina, no sum m as atņem ot zinām o saskaitām o: x+a=b, x=b~a; x+ 7 = 18, x = ll; 20 = x+3, 20-3=;c, x=\7. N ezin ām o m azinām o x aprēķina, pie starpības pieskaito t m azinātaju: x-a=b, x=b+a; x 7 = 18, x = 18 + 7, x=25; 3Q = x 8, 30 + 8 = x, x=38. N ezin ām o m azinātaju x aprēķina, no m azinām a atņem ot starpību: a-x=b, x=a b; 3 0 -x = 5, x = 3 0-5, x = 25. N ezin ām o reizin ātāju s aprēķina, reizinājum u dalot ar zinām o reizinātāju: 6 a x=b, x=b:a; 8-x=24, x=24:8, x=3.

N ezinām o dalāmo x aprēķina, dalījum u reizinot ar dalītāju: x\a=b, x=b a; x:4= 10, x = 10-4, x=40; ~ =3, X 3-4, x l2. N ezin ām o d a lītā ju s aprēķina, dalām o dalot ar dalītāju: a:x=b, x=a:b; 15:x=3, 15:3, x=5; ^2 =8, oc x=32:8, x= 4. d a r b ī b u i p a s i b a s Saskaitīšanas u n reizināšanas kom utatīvā (pārvietojam ības) īpašība: a+ b-b+ a; a b=b a; 9+4 = 4 + 9 = 13. 9 4=4-9 = 36. Summa nemainās, ja saskaitāmos maina vietām. Reizinājums nemainās, ja reizinātājus maina vietām. Saskaitīšanas u n reizināšanas a s o c ia tīv ā (savienojam ī b as) īpašība: (a+ b) + c=a+(b+c); (a b) c=a (b c); (48+17)+ 13= (17 12) 5 = 17 (12 5) = = 48+ (17+ 13)= =17-60 = 1020. = 48 + 20 = 68. Reizinājums nemainās, ja reizinātājus savieno gru pās. Summa nemainās, ja saskaitāmos savieno grupās. 7

R eizināšanas distributīva (sadalam ības) īpašība: (a+ b) m=a m+b m. Pieņemtajā darbību secībā: (4 + 2+5) -3 = 11 3=33. Lietojot distributīvo īpašību: (4 + 2+ 5) 3 = 12 + 6 + 15 = 33. DARBĪBU SECĪBA IZTEIKSMES Ja skaitliskajā izteiksm ē nav iekavu, tad vispirm s jā iz dara kāpināšana, p ēc ta m reizin āšan a u n dalīšana tādā secībā, kādā tās uzrakstītas, pēc ta m saskaitīšana u n atn em šan a tā d ā secībā, k ād ā tās uzrakstītas. P ie m ē r i. 1) 2 4 0:8-3-5 + 561:17=30-15+33 = 48; 2) 3 24 12 + 62:2 = 3-16 12 + 36:2 = 48 12 + 18 = = 36 + 18=54. Iekavas m a in a d arbību secību. V ispirm s jā izp ild a darbības iekavās, p ēc ta m jā izp ild a pārējās darbības, kā n o rād īts iepriekš. A r daļsvītru apzīm ētā dalīšanas darbība izpild ām a kā pēdējā. P ie m ē r i. 1) 120:5 + (500 40) + 8 9 = 120:5 + 460 + 8 9 = = 24 + 460 + 72 = 556; 2) (102 2-2 - 75): 25 = (100 2-150): 25 = (200-150): 25 = = 50:25 2; 23 3 (24 19) 23 3-5 23-15 8 (21 + 7): 14 28:14 2 ~ 2 ~ ' SKAITĻU DALĀMĪBA P irm s k a itļi ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 u n paši ar sevi: 7; 11; 23. S a lik ti s k a itļi ir skaitļi, kas dalās ar 1, paši ar sevi u n vēl ar citiem dalītājiem: 18; 24; 230.

Savstarpēji p irm sk aitļi ir skaitļi, kuru kopīgais dalītājs ir tikai 1: 3 un 5; 4, 17 un 25. Skaitļa pirm reizinātāji ir pirmskaitļi, kuru reizinājums ir dotais skaitlis: 35=5-7; 120=2-2-2-3-5. LIELAKAIS KOPĪGAIS DALITAJS Lielākais kopīgais dalītājs (L. k. d.) ir lielākais skaitlis, ar k u ru dalās dotie skaitļi. L. k. d. ir d o to skaitļu kopīgo p irm reizin ātāju reizinājum s. 168 = 2-2-2-3-7, 210 = 2-3-5-7, L. k. d. (168; 210) = 2-3-7=42. 168:42 = 4, 210:42 = 5. MAZ AKAI S KOPĪGAIS DALAMAIS M azākais kopīgais dalām ais (M. k. d.) ir m azākais skaitlis, kas dalās ar dotajiem skaitļiem. M. k. d. a tro d šādi: no v iena skaitļa (ieteicam s no lielākā skaitļa) ņ e m visus pirm - reizinātājus, bet n o p ārējiem skaitļiem tos, k u ru nav ņ em tajā skaitlī. 210 = 2-3 5-7, 18= 2-33, M. k. d. (210; 18) = 2 3-5 7 3 = 210 3= 630. 630:210 = 3, 630:18 = 35. SUMMAS DALAMIBA Ja katrs saskaitām ais dalās ar k ād u skaitli, ta d arī su m m a dalās a r to : 42 + 84 + 210 = 336 dalās ar 21, jo 42, 84 un 210 dalās ar 21.

REIZINĀJUMĀ DALAMIBA Ja viens no reizinātājiem daļas ar k ad u skaitli, tad ari reizinājum s dalās ar šo skaitli. 38-719 dalās ar 2; 19; 38, jo 38 dalās a rtie m ; 501 45 dalās ar 3; 15; 45, jo 45 dalās ar tiem. SKAITĻU DALĀMĪBAS PAZĪMES A r 2 dalās skaitļi, k u ru pēdējais cipars ir 0; 2; 4; 6; 8. A r 5 dalās skaitļi, k u ru pēdējais cipars ir 5 vai 0. A r 4 vai 25 dalās skaitļi, k u ru pēdējie divi cipari apzīm ē skaitli, kurš dalās ar 4 vai 25. A r 8 dalās skaitļi, k u ru pēdējo trīs ciparu izveidotais skaitlis dalās a r 8. A r 3 vai 9 dalās skaitļi, k u ru ciparu sum m a dalās ar 3 vai 9. P i e m ē r i. 17328 dalās ar 2, jo 8 dalās ar 2; 17328 dalās ar 4, jo 28 dalās ar 4; 17328 dalās ar 8, jo 328 dalās ar 8; 17328 dalās ar 3, jo 1 + 7 + 3 + 2 + 8 = 21 u n 21 dalās ar 3; 36783 dalās ar 9, jo 3 + 6 + 7 + 8 + 3 = 27 u n 27 dalās ar 9. PARASTAS DAĻAS DAĻAS PAMATĪPAŠĪBA D aļas lielum s n em ain ās, ja tā skaitītāju u n saucēju reizin a vai dala ar v ie n u u n to pašu skaitli. 10 - - 1-4 ^ 12 5 20 Daļas p a p lasm asan a: - = - = 7 5! 5 = - =. 6 b lo 1 4

~ 24 12 2 21 1 Daļas saism asana: = = - ; 12 = 1 2-36 18 3 63 3 D aļas izdevīgi saīsināt ar skaitītāja u n saucēja lielāko kopīgo dalītāju. P ie m ē ri. 1) Saisinat c -. 108 360' 108 = 2-2-3-3-3 360=2-2-2-3-3-5 54 180 27 90 9 45 3 15 1 5 1 L. k. d. (108; 360)-2-2-3-3 = 36. 108 _ 3 360 ~ Ī0 ' 375 2) Saisinat -. Tā kā 375 = 3 53, 225 = 32 52 zzo Q7^ļ c o un L. k. d. (375; 225) = 3-52 = 75, tad = - =1. 225 3 3 PARASTO DAĻU SASKAITĪŠANA UN ATŅEMŠANA Saskaitot vai atņ em o t daļas, k u ra m v ie n ā d i sa u c ē ji, saskaita vai atņ em tikai skaitītājus, p atu ro t kopīgo saucēju. a b a+b + c c c 1 3 4 8 3 5 + 5 + 5 ~ 5 5' a b a b 7 4 _ 7 4 3 l - c c c 9 9 9 9 3 ii

Saskaitot vai atņem ot daļas, kuru sau cēji n av v ie n ā d i, vispirm s vienādo saucējus. Lai v ienād o tu saucējus, rīkojas šādi: a) atrod kopsaucēju (saucējus sadala pirm reizinātājos, no viena saucēja ņ em visus pirm reizinātājus u n no pārējie m - iztrūkstošos reizinātājus u n sareizina); b) atrod katrai daļai papildreizinātāju (kopsaucēju izdala ar k atras daļas saucēju); c) sareizina papildreizinātāju ar daļas skaitītāju u n saucēju. P ie m ē r i. 2 1-2 - 2 + 9-6 5 27+ 3 _ 9 ~~ 27 _ 27 * 1-1 - 3-5 18 5 13 5 ~ 3 15 15 15 2 7 + 4 5 Ž - 6 21± 1-6 31. 24 36 72 72 PARASTO DAĻU REIZINASANA 12 a c a c 2 4 2-4 8 b d = b-d* 3 5 = 3-5 = 15,2 3 8 11# 22 4 4 9 " 4-9 ~ 9 9' 1,1 a a c. c 4 4-3 4 b C~ b,j C== 1 21 21 = V 7 2 3 4 _ ļ ^ 4 _ a 2 v ai 2 3 4 = 2. 4 + 3 4 = 8 ^ = 1 0 2 5 5 5 5 5 5 5 5

,4,1 a c _ a d 8 2 $ $ 4 1 b' d~ b c 9' 3 = $ Ž = 3 = *3' 3 1 a a. c 10 10 10, : c~ -, jo c= ; :3= h b c 1 13 13-3 39 a c b. c 2 5-7 35 1 c:, = jo c= ; 5 : - = =17. b a 1 7 2 2 2 a :0 nav jēgas. PARASTO DAĻU DALĪŠANA Ja piemērā ir tikai reizināšanas un dalīšanas darbības, tās izpilda reizē uz vienas daļas svītras. a m z a m t b n ' t b n z i 2.* 1-*. 4, 0 '7-21 63 7. 7 2' '21 7-2-$ -4 8 8 1 l 44-4X 3 1 1 5 4 24 -W $ -5 _ 15 _ 3 2 3 ~~ $ 4 ~ J ~ 4' 3 i l 6 1 1 1 DECIMALDALAS 3 42 14 0,3 = :-; 0,42= -; 1,014=1. 10 100 1000 DECIMALDAĻU S AS KAIT I S AN A UN ATŅEMŠANA 3,58 + 0,235 +14,8 = 18,615; 4,627-3,927 = 0,7; 3,58 4,627 + 0,235 3,927 14 8 0,700 18,615 13

6,3-1,267 = 5,033; 6,300-1,267 5,033 28-5,75 = 22,25. 28,00 5,75 22,25 3,02 70 211,40; DECIMALDAĻU REIZINAŠANA 12,65 1,6 7590 1265 20,240; 0,245 0,03 0,00735. Skaitli reizinot ar 10; 100; 1000 u tt, kom atu pārceļ par vienu, divām utt. vietām uz labo pusi: 3,75 10 = 37,5; 3.75-100 = 375; 3.75-1000=3750. DECIMALDAĻU DALĪŠANA 2,4:75 = 0,032; 240 225 150 150 74:0,8 = =740:8 = 92,5; 2,5:0 nav jēgas. Skaitli dalot ar 10; 100 utt., kom atu p ārceļ p ar vienu, divām utt. v ie tām u z k reiso pusi: 14 3,75:10=0,375; 3,75:100 = 0,0375; 0,0418:100 = 0,000418.

SKAITĻU NOAPAĻOŠANA 1.473» 1,47, noapaļots ar precizitāti līdz 0,01; 1.473 sb 1,5, noapaļots ar precizitāti līdz 0,1; 1.473 as 1, noapaļots ar precizitāti līdz 1 veselam; 27,8 ss 30, noapaļots ar precizitāti līdz 1 desmitam. N oapaļojot decim āldaļas līdz norādītajai šķirai, jāievēro pirm ā atm etam ā cipara lielum s. Ja šis cipars ir 5 vai lielāks nek ā 5, ta d pēdējais p aliekošais cipars jā p a lie lin a p a r 1. 7 m= 0,21875 m sj 0,22 m =22 cm vai oz 0,21875 m «0,219 m =21 cm 9 mm. ^ kg = 0,(3) kg «0,333 kg = 333 g vai 0,(3) kg «0,33 kg=330 g. PARASTAS DAĻAS PARVEIDOSANA DECIMALDAĻA Galīgā decim āldaļā var pārveidot tās parastās daļas, k u rām p ēc saīsināšanas saucēja p irm reizin ātāji ir tikai 2 u n 5. 7 7-5 35 _ = - =0,35; 20 20-5 100 ^ = 1: 8=0,125; 3 3 23 3-8 24 = 0,024 vai 125 53-23 (5-2)3 1000 3_ : 125 = 0,024. 30 300 500 0 15

Ja saīsinātas parastās daļas saucējā ir k au t v iens n o 2 u n 5 atšķirigs pirm reizin ātājs, tad tā d u d aļu n ev ar pārveidot galīgā decim āldaļā, bet to var pārveidot periodiskā decim āldaļā. 9 ^ = 7:33 = 0,2121.,. =0,(21); 70 40 70 40 ^ = 5:12=0,4166... =0,41(6). JL& 50 20 80 80 PERIODISKAS DECIMĀLDAĻAS P ārv eid o jo t tīru periodisku d e c im ā ld a ļu parastajā daļā, saucējā jā ņ e m tik reižu cipars 9, cik ciparu ir periodā. = 0,6 6... =0,(6) ^ 0, ( 6 ) = = ; q 97 Q n =0,(27) ~ 0,(27)= P ārv eid o jo t ja u k tu periodisku d e c im ā ld a ļu parastajā daļā, skaitītājā no skaitļa, kas veidojas aiz kom ata, atņem skaitli, kas veidojas starp k om atu u n periodu, bet saucējā ir tik reižu cipars 9, cik ciparu ir periodā, u n tik nuļļu, cik ciparu ir starp k o m atu u n periodu. 16 ^ 0, 3 ( 7 ) ~ o, 3(7, 0,21(3) - 213-21 192 16 900 900 75

PROCENTI Par p ro c e n tu (% ) sauc skaitļa simto daļu. 5%= ^ =0,05; 4 8 % = «-0,«; 316 % = 100-3 16 0,7 % = m = umo =0 7: 0,18% =0,0018. DAZADI APRĒĶINU UZDEVUM I 9 DAĻAS VĒRTĪBAS APRĒĶINĀŠANA NO DOTA SKAITĻA Lai aprēķinātu skaitļa daļas vērtību, doto skaitli reizina ar dalu. 9 P ie m ē r i. 8 3 3 M -3 na - no 40=40- - -j- - = 24; 5 5 2 1, 1 2 27-2 n 3 n 2 2 3 2-3 _9, 0,7 no 80 = 80 0,7 = 56; 4% no 80 = 80-0,04 = 3,2; 120% no 21 = 21-1,2 = 25,2.

VISA SKAITĻA APREĶINAŠANA Lai ap rēķinātu skaitli x, ja zinām a tā daļa u n šīs daļas vērtība, tad daļas vērtība jā d ala ar daļu. P ie m ē r i. 2 1. Aprēķināt skaitli, kura ir 16. 5 2. Aprēķināt skaitli, ja 0,25 skaitļa ir 50. 0,25x=50, x = 50:0,25 = 50:1=200. 3. Pirmajā dienā tūristi nobrauca 48 km, un tas bija 12 % no visa paredzētā maršruta. Aprēķināt visa maršruta garumu. 12 % x =48 km, x= 4 8 :0,12 = 4800:12 = 400 (km), g 4. Kad izdeva visas naudas, tad atlika 35 lati. Cik latu s bija sākumā? 3 8 35 Ls 18 5 35-8 8 5 = 56 (Ls).

VIENS SKAITLIS KA OTRA SKAITĻA DAĻA Lai izteiktu v ienu skaitli ka otra skaitļa daļu, pirm ais skaitlis jā d ala ar o tru skaitli. 3. a pret b = c ; 2 3 2 pret 7= 3 pret 5= - =0,6. Pirm ajā diena apsēja 15 ha. C ik p ro c e n tu no visas platības apsēja, ja tā ir 300 ha? 15 ha pret 300 ha = 15:300 = 0,05 = 5 %. a t t i e c ī b a u n p r o p o r c i j a P ar skaitļa a a ttie c īb u pret skaitli b sauc skaitļu a u n b dalījum u. A ttiecība ir nenosaukts skaitlis. 18 m pret 3 m = 18:3 = 6; 1. 2 1 5 1 3 km pret 1 ^ km 7:14= ^ = 2 = 0,5 = 50%; 700:70 = 10. D ivu attiecību vienādību sauc p a r p r o p o rc iju. J a a :fi= m u n c:d = m, tad a'.b C'.d jeb f =. b d Proporcijas pamatīpašība: proporcijas malējo locekļu reizinājums ir vienāds ar vidējo locekļu reizinājumu: ja C,, tad a d = b c. b d

Ja 35:5 = 7 un 14:2 = 7, tad 35:5 = 14:2 un 35-2= 514. Proporcijas nezinām ā locekļa aprēķināšana: x:12=36:4, 4x= 12-36, 12 *36 x =108. 4 P ie m ē rs. Skābēšanai paredzētos gurķus pārlej ar sālsūdeni, kurā sāls un ūdens daudzumu attiecība ir 3:50. Cik kilogramu sāls jāņem uz 30 l ūdens? x - tik kilogramu sāls jāņem. Sastāda proporciju 3:50=x:30 un aprēķina nezināmo T I V 3 30 9 \ locekli: * = = - = 1- =1,8 (kg). RACIONĀLIE SKAITLI Pozitīvos u n negatīvos veselos skaitļus, pozitīvos u n negatīvos daļskaitļus, kā ari nulli sauc p a r racio n āliem skaitļiem 9. K atram ra c io n ā la m skaitlim uz k o o rd in ā tu taisnes atbilst viens noteikts punkts. P u n k tam atbilstošo skaitli sauc p a r šī p u n k ta k o o r d in ā tu. 1 1-2 - 1 1 0 + 2 + l +2+2,5 +4 -------- 1-----------------,-------------ļ,--------1-------- ļ----------- -----( _ ------------------------- 1--------------y 20 B A(2) - lasa: punkts A ar koordinātu 2, B ( - 1) - lasa: punkts B ar kordinātu mīnus 1. Pretējie skaitļi: 1 un 1; 2 un 2. Pozitīva skaitļa modulis: [ + 7 = +7; +12J=12. Negatīva skaitļa modulis: 7] =7; ļ 12] =12. Skaitļa 0 modulis ir nulle: j Oj =0. A

s a s k a i t ī š a n a u n a t ņ e m š a n a S ask aito t divus v ie n ā d z īm ju skaitļus, saskaita to m o duļus, pie ta m sum m ai paliek saskaitām o zīm e. (+ 9) + (+ 4,5) = + 13,5; ( 8) + ( 4) = 12. Lai sa sk a itītu divus d a ž ā d z īm ju skaitļus, no lielākā m oduļa jā a tņ e m m azākais, pie ta m sum m ai ir tāda zīm e, kāda ir saskaitām ajam ar lielāko m oduli. (+7) + ( -2 ) = + (7-2 ) = +5; ( 7) -t- ( + 2) (7 2) 5. Skaitļa a tņ e m š a n u var aizstāt ar ta m pretēja skaitļa pie skaitīšanu. (+ 7) ( 3) = (+7) + (+ 3) 10; ( - 3 5 ) - ( + 15) = (-35) + (-1 5 )= -5 0. REIZINAŠANA UN DALĪŠANA D ivu v ie n ā d z īm ju skaitļu re iz in ā ju m s (dalījum s) ir pozitīvs skaitlis. (+9)-(+3)=27; ( 12) ( 3)= 36; (+9):(+S)=3; (-12): 3)=4. D ivu d a ž ā d z īm ju skaitļu re iz in ā ju m s (dalījum s) ir negatīvs skaitlis. ( 9)-(+2)= 18; 3,5-(-5)= -17,5; ( 9): ( + 2)= 4,5; 1 4 ^ :(-2 )= - 7 *. Izteiksm es ar racio n āliem skaitļiem darbību secība ir 9 tāda pati kā izteiksm ēs ar n atu rāliem skaitļiem. ( 5) ( + 0,8) + (+ 60): (- 15) - ( 2) ( 3) ( 120): ( -ļ-10) = = 4 + ( 4) (+6) ( 12)= 4 4 6 + 12= = 14 + 12= 2. 21

KAPINAŠANA Simboli: am- pakāpe, a - pakāpes bāze, m - kāpinātājs. Ja n ir naturāls skaitlis, tad an= a a a... a; n reizes x3=x-xx\ 1,22 = 1,2-1,2; 05=0-0-0-0 0. Pozitīva skaitļa pakāpe ir pozitīvs skaitlis: 33 = 27; 52 = 25; 122 = 144. Negatīva skaitļa pakāpe ir pozitīvs skaitlis, ja kāpinātājs ir pāra skaitlis: ( 3)2 = ( 3)-(- 3) = 9; ( 2)4 = 16, bet - 2 4=~16. Negatīva skaitļa pakāpe ir negatīvs skaitlis, ja kāpinātājs ir nepāra skaitlis: ( 3)3 = ( 3 ) ( 3)-(~-3)= 27; ( 2)5 = 32. Ja rc = 0 un aj= 0, tad legaume! -4 = 1; 0 nav jēgas. Ja n ir naturals skaitlis una^ ū, tad Iegaumē! 0 2 nav jēgas. 22

Ja a>0, m - vesels skaitlis, n - naturāls skaitlis, tad / a»= n/am; = 4 ^ = 4 " = ^ = v ''2^=23 = 8. Iegaumē! 3 _3 0S= 0, bet 0 5 nav jēgas. Negatīvas bāzes pakāpei ar daļveida kāpinātāju, piem., 1 _1 ( - 8 ) 3, (-0,64) 2, nav jēgas. LIKUMI DARBIBAM AR PAKAPEM a4 a3= a 52-5* = 56 = 15625; 16 25 = 24 25 = 29 = 512; 1 x- 33-3 3 = 3 = l. in rļii_ m Jif X "7 iv*3 _ A --i/v j 64:62 = 62=36; 256:23 = 28:23 = 2S= 32; a _4:a3= a 4-(+3)=cT7; 125:5-z = 53_(_2) = 55; 73 73 _ y3-3_ 70 ļ (am)n=amn; (52)n= 52n; 1253 = (53)3 = 59; 9' 2 = (32)_2= 3 _4'= 81' (ab)m= a"'bm; (xy)2=x3y^] (xzy)4 =xhy Ļ; 6S= (2-3)5 = 25 35. 2N3 3, am ~ ļ m 23 35 8 27 23

IEKAVU ATVĒRŠANA UN IESLĒGŠANA IEKAVAS Ja pirm s iekāvām ir plusa zīm e, tad iekavas var atm est, saglabājot k a tra iekavās ieslēgtā lo c e k ļa zīm i: a+(b+c- d) = a+ b+ c d\ 6 + (3-1 0 + l) = 6 + 3-1 0 + l = 0. Ja pirm s iekavām ir m m u sa zīm e, ta d iekavas var atm est, m ainot katra iekavās ieslēgtā locekļa zīm i: a -(b + c -d ) = a b c+ d; 6 (30 10 + 1) = 6 30 + 10 1 = - 15. Ieslēdzot izteiksm i iekavās ar plusa zīm i to priekša, izteiksm es lo c ek ļu zīm es nem ainās: 9 a -b + c ~ d = a + (-b + c -d ); 18 7 + 4 3 = 18 + ( 7 + 4 3) = 18 + ( 6) = 12. Ieslēdzot izteiksm i iekavas ar m m u sa zīm i to priekša, izteiksm es lo c ek ļu zīm es m ainās uz pretējām : a b+ c d = a (b~c+d); 1 8-7 + 4-3 = 18 (7 4 + 3) = 18 ( + 6) = 12. SAKNES 12-TĀS PAKĀPES SAKNE P ar rc-tās pakāpes sakni n o skaitļa a sauc tādu skaitli, kura rc -tā pakāpe ir a. ^/27 = 3, jo 33 = 27; ^ /-1 2 5 = - 5, jo ( 5)3= 125; ^ 1 6 = 2 u n ^/16 = - 2, jo 24 = 16 u n a rī (~ 2 )4 = 16. Je b k u ra s pakāpes sak n e no skaitļa 0 ir 0: ^ 0 = 0; <*/0 = 0-

Ja n ir nepara skaitlis, tad izteiksmei -^fa ir jēga ar jebkuru a vērtību. 4/32 = 2, jo 25 =32; 3 2 = -2, jo (-2 ) 5= -3 2. Ja n ir pāra skaitlis, tad izteiksmei ir jēga tikai tādā gadījumā, ja a^o, pie tam pozitīva skaitļa pāra pakāpes saknei ir divas pretējas vērtības. V25 = 5 un >/25= - 5, jo 52=25 un ( -5 ) 2 = 25. 4/ 81 nav jēgas, jo nav tāda skaitļa, kura ceturtā pakāpe ir vienāda ar -81. ARITMĒTISKA SAKNE Lai novērstu n enoteik tīb u sakarā ar p āra pakāpju sakņu divējādām vērtībām, tad tiek ieviests aritm ētiskās saknes jēdzien s. N enegatīva skaitļa nenegatīvo sakni sauc p a r šī skaitļa a ritm ētisk o sakni. v/25 = 5; 4/8=2. Negatīvam skaitlim nav aritmētiskās saknes, bet tā nepāra pakāpes negatīvo sakni var aizstāt ar pretējā pozitīvā skaitļa aritmētisko sakni, kuras priekšā ir mīnusa zīme, piemēram, 4/ - 27 = 4/27 = -3. P ie m ē r i. 4/-0,027= -4/0,027= -0,3; 4 /ī= l; ^ 6 4 = 8; V - 625 nav jēgas. 25

ARITMĒTISKO SAKŅU ĪPAŠĪBAS UN TO IZMANTOŠANA T ālāk aplūkotās sakņu īpašības vispār piem īt tikai aritm ētiskām saknēm, u n tāpēc pieņem sim, ka aplūkotajos piem ēros zem saknes izteiksm ēs b u rtu vērtības ir pozitīvas (ja tas nav īpaši atrunāts). A r šādiem nosacījum iem ir pareiza identitāte 1. Saknes p a m a tīp a šīb a : ja saknes rādītāju u n zem saknes skaitļa kāpinātāju reizina vai dala ar vienu u n to pašu skaitli, tad saknes vērtība nem ainās (saknes rādītājs naturāls skaitlis).. ļļ/jj _ nkļļļink. š/ī* =^49 (sakne saīsināta ar 2); v;42 = 2 (sakne saīsināta ar 4); Šja =%/a2 (sakne paplašināta ar 2). 2. Sakne no re iz in ā ju m a : ļj a b c ļ/b -<ļ/c. P ie m ē r i. ^/36-25 -0,04 = 6-5 0,2 = 6 ; ^/27-64- 0,008 =3-4-0,2 = 2,4; V'S^SO = v '2-16 2 25 = 4-5 2 = 40; ^/64-243 = ^/26 35~= 2-34/2 =6^/2. 3. R acio n āla reizinātajā iz n e ša n a pirm s saknes zīm es u n ie n e ša n a zem saknes zīm es. 26 P ie m ē r i. V 27=V /973 = 3 V /3; 4/Ī6 = ^/872 = 2^/2; </Ī62a564 = </81 2aJ a i/ = 3ab <1/2a.

2-^/ā = 4/ 2 ^ 3 = y/2 Ā ; la2y/īb = y/72a* 2b = v/98a4'z> 4. Sakne no dalījuma: ja _ P ie m ē r i. /25 _ 5. V 64 8 /25 _ 5 _ 1 >/ Ī6 4 Ī /_ 8 _ 2 Ja8bA V 125 5 \ / Ī6~ a2b = ~2 5. Sakne no saknes: =5*/ā. P ie m ē r i. v7v a = 4/a ; V ^ 6 4 = 4 /2* = 2; V2y/3 = ^ 7 2 2-3 = ^ 1 2 ; Vp Ī/p* = = # 6. Saknes p a k a p e : P ie m ē r i. {sja )2=;y/ā? =a; Ļj5a3 )2=5 a3; (y/a2b )3=a2b\ {</x2)2=īfxi.

SAKNES NORMĀLFORMĀ Ja zem saknes izteiksm e ir atbrīvota n o saucēja, no zem saknes izteiksm es iznesti racio n āli reizinātāji, sakne ir saīsināta, tad tādu sakni sauc p ar sakni norm ālfo rm ā. Š/625aB-.f/i54a a = = ^/25a3 - a = a <J/25a. SAKŅU SAS KAITI S ANA UN ATŅEMŠANA Saknes ir līd zīg as, ja p ēc to pārveidošanas n o rm ālform ā tās atšķiras tikai ar ra c io n ā lie m reizinātājiem pirm s saknes zīm es. Līdzīgas saknes v a r saskaitīt u n atņ em t. V 5 + 4 ^ 5-2 V5 =3-s/5 ; + ^ 3 6 0 ~s/ib -3-s/ā + 6 N/a 2 +Jb = 9v 'a 2^fb\ v /27x4 -^ /8 S :i' = ^/33-x3-x -y/23-x3-x -3x^/x 2x^/x = x i/x. SAKŅU REIZINASANA UN DALĪŠANA Sareizināt u n izdalīt var saknes, k u rām vienādi sakņu 7? rādītāji. yfa-yfb =^/a b; /2 j/ā :jfb <= «j-^. v;6 V;2 = V Ī2 = v 4 3 = 2 y 3 ; 2^/Sx 0,4v/ax = 0,8^/27x2 = 2,4 ^ T. v 75 : v 3 = V75Ī3 = ^/25 =5; 5 ^ 4 x 2 : 0,2^/2x = 25^ 2x.

Ja sakņu rādītāji nav vienādi, tad pirm s darbības izpildīšanas to s v ienād o, izm antojot saknes pam atīpašību: Par skaitļa a kvadrātsakni sauc skaitli (±x), kura kvadrāts ir vienāds ar a. v'ā = ± x, ja (±Af)2 = a; V'ĪOO = ± 10, jo (± 10)2 = 100; y/ī=±l-, v'0=ū. P ar skaitļa a a ritm ē tis k o k v a d rā ts a k n i sauc pozitīvo skaitli x, kura kvadrāts vienāds ar a. V 36 =6, jo 62 = 36; v =0,2, jo 0,22 = 0,04; KVADRATSAKNE Izteiksmei ^Ja nav jēgas, ja a<0. y/ 4 nav jēgas, jo nav tāda skaitļa, kura kvadrāts būtu (-4 ). Ar katru tadu a vērtību, ar kuru izteiksmei v a ir jēga, ir pareiza vienādība (v a )2 = a. {y/rī)2=l\ (^/3x)2 = 3x; (ax/5 )2 = 5a2. Izteiksmei (v^-lo)2 nav jēgas.

PIEMĒRI DARBĪBĀM AR KVADRĀTSAKNĒM 1) ^81-0,25^ =9 0,5-^ =3 0,5 = 1,5. 2) ^/144^72 = 12^36^2 = 12 6 ^ 2 = 7 2 3) Ja daļas saucējs nav skaitļa kvadrāts, tad, izmantojot daļas pamatīpašību, to pārveido par kvadrātu un izvelk sakni. 4) A tbrīvot daļu no iracionalitates saucēja. y/5 y/e y/ķ 5 b) 3 = 3 (^ 10 + 2) _ 3(^ 1 0 + 2) _ >/Ī0 2 (V,10"-2)-(Vl0+2) ~ 10-4 3(^ 1 0 + 2) VĪO+2. 6 ~ 2 x _ Xy/x-2 _ xyjx~2 _ x J x -2 yfx^2 ~ Jx^2-jx^-2 ~ ~ \x~ 2\ Iegaumē! 4= 22; 25 = 52; bet 5 = (v/5 )2; 7= (V 7)2. d) ~ ~ ~ Ļ = - = ^ - v ^ Ķ ^ + V s) =b+ /5; b -yj 5 b~y/5 b-^j 5 el x2 2 ~^2 ~ ( )2 _ (X \ / 2 ) ( x + \/2 ) i- x+ sļ2 x+ s/2 x+*j2

5) D ivas identitātes ar kvadratsaknem : V 2 + >/3 = 3V2, / 2 4^ 2 ^ 2 2 2 KVADRATSAKNES APREĶINAŠANA K vadrātsakni no dota pozitīva vesela skaitļa aprēķina ar īpašu p aņ ēm ien u, kas parādīts p iem ēros. 4 1) V ^ ē ē = 63. - 3 6 123 36 9 3 369 0 Z em saknes skaitli sadala grupas pa diviem cip ariem no labās u z k reiso pusi. N o pirm ās grupas (39) velk sakni u n dabū rezultāta p irm o ciparu, t. i., 6. N o pirm ās grupas skaitļa (39) atņ em rezultāta p irm ā cipara kvadrātu (36). Pie atlikum a 3 pieraksta nākošo grupu, iegūstot skaitli 369. A r apostrofu atdala ta m v ienu cip aru no labās puses. Skaitlim 369 priekšā pieraksta divkāršotu rezultāta p irm o cip aru (6-2 = 12), atstājot vietu v ie n am ciparam. 31

D alo t p irm s apostro fa skaitli (36) ar 12, n o sak a rezultāta n āk o šo cip aru, t. i., 3. T o raksta blīvajā v ietā blakus skaitlim 12, u n ar 3 reiz in a izveidojušos skaitli 123 (123-3 = = 369). 3 ir a rī rezu ltāta otrais cipars. Tātad v-3969 = 63. + 2) v'5'34 37 %231; - 4 43 13 4 13:4^3; 3 129 461 53 7 53:46 «1; 1 461 76 (atlikums) 46 = 23-2 vai 46 = 43 + 3. Piezīm e. R ezu ltāta visus n āk o šo s cip aru s iegūst, rīk o jo tie s tāpat kā rīkojās, iegūstot 2. ciparu. Ja zem saknes skaitlis ir d ecim āld aļa, to sadala grupās p a 2 c ip a rie m n o k o m a ta p a labi u n p a kreisi. P ie m e r i. 1) V 9 92t25 31,5; 9 61 9 2 1 61 625 312 5 5 3125 0 9 :6 «1; 312:62 * 5. 2) x/ ū,ū9,92 25 =0,315. 3) -v/0,00 09:92 25 =0,0315. 32

MONOMI UN POLINOMI MONOMS P ar m onom u sauc algebrisku izteiksm i, kas ir skaitliska reizinātāja u n b u rtie m ap zīm ētu skaitļu reizinājum s. 3xy; 8x2yz\ -0,2 mnz. M o n o m s ir norm ālform ā, ja skaitliskais reizinātājs ir p irm ais u n m ainīgie (b u rtu reizinātāji) sak ārto ti alfabēta kārtībā, pie ta m skaitliskie reizinātāji u n v ie n ā d u b āzu pakāpes ir sareizinātas. 2,3aa3abb=6,9a3b2, 6 x2yz 3 xz3 = 18 xļyz Ļ. P ar m o n o m a pakāpi sauc visu m ain īg o kāpinātāju sum m u. 6x j 3 ir ceturtās pakāpes monoms, 5,4m5n2 ir septītās pakāpes monoms. POLINOMS P a r polinom u sauc m o n o m u algebrisko sum m u. K atru m o n o m u, kas ietilpst p o lin o m ā kā saskaitām ais, sauc p a r polinom a locek li. P o lin o m a lo cek ļu s, k am b u rtu izteiksm es ir vienādas, sauc p a r līdzīgiem locek ļiem, u n to s v a r savilkt. 5x2 + 3x+4 - līdzīgu locekļu nav; l,5a6-3b2-6 - 2ab + 7 b1 = 4 b2-0,5 ab - 6. P o lin o m s ir norm ālform ā, ja ir savilkti p o lin o m a līdzīgie locekļi. 4a2a - 3ab2 2a + 7a2 0,4b2-3ab = =4a'Ļ~6a2bz+2,8a2bz 3ab=4a Ļ 3,2a2bz~3ab. 33

d a r b ī b a s a r p o l i n o m i e m Saskaitīšana: (a+ b) + (c d)= a+ b + c d; (13o - 5 b) + (la - 4b) = 13a- 5b + la - 4b = 20a - 9b. Atņemšana: (a + b)-(c d) = a+b-c+d] (3a + 7b)-(-4b+a)=3a + lb+4b-a=2a + llb. Reizināšana ar monomu: m (a + b c) ma+mb mc; 2x(3x2-4x+2) = - 8x2 + 4x; (0,5 a - 2b) (-3 4 )= - 17a + 686. Dalīšana ar monomu: T. \ 3 b C (a+b c):m= + ; m m m (\4xiy1 2, lxzy 2 + 0,7xy): 0,1xy = 20x2y 3xy + 1. Polinoma reizināšana ar polinomu: (a+l^l}n + n)= am + an+ bm + bn; (2^3xM 4 + x) = 8 + 2x - 12x - 3x2 = 8 10x - 3x2. SAISINATAS REIZINĀŠANAS FORMULAS Summas kvadrāts un starpības kvadrāts: (a+b)2 = a2 + 2ab+ b2; (a - b)2 = a2-2 ab+ b2; (3x+2y)2 = (3x)2 + 2 3x 2y + (2y)2 = = 9x2 + I2xy+4y2; (0,2xz - 3y)2 = (0,2x2)2-2 0,2x2 3y + (3y)2 = = 0,04x4-1,2 x2y +9y2; 34

Kvadratu starpība: (a-b)(a+b)=a2 - b2; (3x - 4) (3x+ 4) = 9x2 16; (0,5m2 + n) (0,5 m1 -n) = 0,25 nf - n z. Summas kubs un starpības kubs: (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3; (a b)3 = a3 3a2b+3ab2 b3; (2a + 4)3 = (2a)3 + 3 (2a)2 4+3-2a - 42 + 43 = = 8a3 + 48a2 + 96a + 64; (x2-2y)3 = (x2)3 3 (x2)2-2y + 3-xz- (2 y)2 (2j )3 = = x6 6x4j + 12 x2y2-8^3. Kubu summa un kubu starpība: (a+ b) (a2 - ab+ b2) = a 3 + b3; (a - b) (a2 + ab+ b2)= a3 - b3; (2 + b)(4-2b + bz) = 8 + b3] (2-b)(4 + 2b + b2) = 8 -b 3. Iegaumē! az + ab+b2 ir a un b summas nepilnais kvadrāts, a 2 az? + >2 ir a un starpības nepilnais kvadrāts.

POLINOMA SADALĪŠANA REIZINĀTAJOS 1. Kopīgā reizinātāja ņemšana pirms iekavām. ain+ bm cm = m(a+ b c); 3a+36=3(a + Z>); 4x3-12x2y = 4x2 (x - 3y). Iegaumē! Kopīgais reizinātājs ir polinoma katra locekļa dalītājs. 2. Grupēšanas paņēmiens. ac + ad + bc + bd= = a(c + d)+b(c + d) = = (c + d)(a + b); 2mn-4n+4-2m = 2n(m 2) + 2(2-m) = =2n(m-2) 2(m-2)=(m 2) (2n-2)=2(n-l) (m -2). 3. Sadalīšana reizinātājos, izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas. Summas kvadrāts un starpības kvadrāts: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2; a2-2ab + b2 (a-b)2; 4x2 + 12x+ 9 = (2x+ 3)2 = (2x+3) (2x + 3); 81a2 18 ab + b2 (9a - b)2 = (9a - b) (9a - b). Kvadrātu starpība: a 2- b2 = (a b)(a + b); 25 - x2 = (5 - x) (5 + X); 0,0464-1 = (0,2 b2-1) (0,2 b2 +1). Summas kubs un starpības kubs: a 3 + 3 a 2Z>+3aZ;2 + b3 = (a + 6)3; a 3 3a2b+3ab2- b3=(a b)3; 8a3+48a2 + 96a + 64 = (2a+4)3; 27x3-27x2y + 9 xy2 y3 = (3x -> )3.

Kubu summa un kubu starpība: a 3 + 6 3 = (a + b) (a2-ab + b2); a3- b ļ = (a b)(a2 + ab+b2); l + a3 = (l + a ) ( l - a + a2); 8x3 y6-23x 3 - (y2)3 = (2x-y2) (4x2 + 2 xy2 +y4). 4. Kvadrātrinoma sadalīšana reizinātājos. Polinomu, kurš sastāv no 3 locekļiem un kura vispārīgais veids ir ax2 + hx+c, sauc par kvadrāttrinomu attiecībā pret x. Kvadrāttrinomam ir tās pašas saknes, kas attiecīgajam kvadrātvienādojumam, un, izmantojot šīs saknes, kvadrāttrinomu sadala reizinātājos šādi: ax1 + bx+c a(x-xl)(x x2y, x2+ px+ q= (x-xl) (x~x2). P iem ē ri. 1) x2 4x + 3 = (x - 1) (x - 3), jo kvadrātvienādojuma x 2-4 x + 3 = 0 saknes ir Xj = l un x 2 = 3. 2) 2x2 + 5x+ 2 = 2ļx + (x + 2) = (2x + 1) (x + 2), jo, atrisinot 2x2+ 5x+2= 0, iegūst xt = un x 2= -2. 3) O Saisinat - -*-11 dalu a2-3a+2 ----- -. a 2 + 2a -8 a2 3a+2 (a l ) ( a - 2) a 1 a 2 + 2 a -8 ~~ (a + 4 )(a -2 ) ~ a+ 4 Kvadrātvienādojuma a2-3a+2=0 saknes ir ax= 1 un a2 2, bet a 2 + 2 a -8 = 0 saknes ir a1= - 4 un a2 = 2. 5. Sadalīšana reizinātājos ar dažādiem paņēmieniem. Ieteicams rīkoties pēc šāda plāna: a) ņem pirms iekavām visu locekļu kopīgos reizinātājus, ja tādi ir;

b) ja polinoma locekļiem nav kopīgu reizinātāju, tad izpēta iespēju lietot formulas; c) ja neder neviens no minētajiem paņēmieniem, tad izmēģina grupēšanas paņēmienu. P ie m ē r i. 4a-ax2=a(4-x2)=a(2-x) (2+x); 54-2x3 = 2(27 x 3) = 2(33 * 3)= 2 (3 x)(9 + 3x + ;c2); (a - 1)2-25 = (a 1 5) (a - 1 + 5) = (a 6) (a+ 4); x 2 + 10x+25 = (x-(-5)z = (x + 5 ) (x+5); x 3 + 3x2-3 x - 9 = x 2(x + 3 )-3 ( x + 3 ) = ( x + 3 ) ( x 3-3 ); p2-2px+x2 c2=(p- x)2 - c 2 = (p-x-c)(p-x+c). ALGEBRISKAS DAĻAS Par algebrisku dalu sauc dalu, kuras skaitītājs u n saucējs ir polinom i, piem ēram, 6x2+x 4y 1 x + l y - 2 2a + b' Algebriskai daļai ir jēga tikai ar tādām mainīgā vērtībām, ar kurām daļas saucējs nav vienāds ar nulli. Tā, piemēram, + X daļa ------ ir definēta ar jebkuru x # 1; X ~I- 1,, 4x, _ dala = - nav defineta ar x = 2 un x=2\ xz-4 4x daļa 2 ir definēta ar mainīgā x jebkuru vērtību, jo X I- 4 x2 + 4 > 0. ALGEBRISKAS DAĻAS PAMATIPAŠD3A A lgebriskām daļām piem īt tāda pati pam atīpašība kā parastajām daļām : ja daļas skaitītāju u n saucēju reizina vai dala ar v ienu u n to pašu izteiksm i, kuras vērtība nav nulle, tad daļas vērtība nem ainās. 38

D aļu p a p la šin a, ja skaititaju u n saucēju reizina ar vienu u n to pašu izteiksm i, p iem ēram, 5m 5m(2 + m) _ 10m + 5m2 2 TTi (2 m) (2+m) 4 -m 2 D aļu saīsin a, ja tās skaitītāju u n saucēju dala ar vienu u n to pašu izteiksm i. D aļu var saīsināt tikai ar skaitītāja^ u n saucēja kopīgo reizinātāju. Ja daļas skaitītājs u n saucējs ir polin o m i, tad, lai noskaid ro tu iespēju daļu saīsināt, tie vispirm s jāsadala reizinātājos. Dalu '^X+2 saīsināt nevar, jo skaitītājā 5x ir saskai- 5x(x-4) tāmais, bet saucējā 5x ir reizinātājs. Dalu ^x(a + 2) var saīsināt ar skaitītājam un saucējam ' 5* (* - 4) 5x(a+2) a+2 kopīgo reizinātāju 5x: x_ 4- P iem ēri. a3-b 3 (a-bj(a2+ab+b2) a2 + ab+b2 1} (b-a)2 ~ (a-b)2 a-b a b Iegaumē! (a b)2=(b-a)2; (5 2)2= (2 5)2.. I5a2-I0ab _ 2) Vienkāršot un apreķinat izteiksmes q,ab-2b2 VGr" tību, ja a 2, b= -0,1. Ja a= 2, b~ 0,1, tad 15a2-1 0ab _ 5a(3a-2b) _ 5a?>ab-2b2 ~ b(3a-2b) b _ 5-( 2) _ 10 _ 1Q0-0,1 _ 1 10 39

DAĻAS SKAITĪTA JA UN SAUCĒJA ZĪMJU MAIŅA D aļas vērtība n em ainas, ja m a in a zīm es uz pretejam a) daļas skaitītājam u n saucējam: a a 6 6 b = -b ' 2 = - 2 = _ 3 b) daļas skaitītājam u n daļas priekšā: -a a 6 6 b = ~b' 2 3; c) daļas saucējam u n daļas priekšā: -a -a - 6-6 b ~ -b ' 2 = ~ ~ 2 = ~ DAĻU SASKAITĪŠANA UN ATŅEMŠANA A lgebriskās daļas saskaita u n atņ em līdzīgi tam, kā saskaita u n a tņ e m p arastās (aritm ētisk ās) daļas. 1. D a ļu saucēji ir vienādi. P ie m ē r i. 3x ļ jc + l 7 _ 3 x + x~f 1-7 4 x -6 2(2x~3) 2x~3 4 ^ 4 4 ~ 4 4 4 2 ^ 5x 3(x-4) + 4 5x-3x+12+4 2x+16 X 1 x - l x - l _ x - l x - l 6a+b ^ a 6a+b a 6a + &-a 5a+b a b b a a b a b a b a b (šajā piem ērā dalu saucējus vienādo, m ainot zīmi otrās daļas priekšā un saucējā).

2. D aļu s a u c ē j i ir d a ž a d i m o n o m i vai polinom i. P ie m e r i. 2y 3v 5 3v 10v 7v 1 2x 5 2x ^ 5 _ 2x + 5x 7x 7 3 ) a 2- a a + i b 5a-2U ( a - 4 r b (a-4) 25a + a - 4 26a 4 5(a~ 4 )2 5(a 4)2' DAĻU REIZINĀŠANA UN DALĪŠANA A lgebriskās daļas reizina u n dala tāpat kā parastās (aritm ētisk ās) daļas. a c a c a c a d ~b^d= b^d; 7T: < /= ž r īr P irm s skaitītajā u n saucēja izteiksm ju sareizināšanas tās sadala reizin ātājo s (ja tas iespējam s) u n d aļu saīsina. P ie m ē r i. 5x3z 18ab _ 5x3z 18ab _ 3x2 6a2b 10 xz 6a2bl0xz 2a o 3a + 3 a - 2 3(a + l) (a 2) _ 3 a 2-4 a + 1 ~~ ( a - 2 ) ( a + 2)(a + l) ~~ a + 2 x 3 + 27 12a+9 (x + 3 )(x 2-3 x + 9 )-3 (4 a + 3) _ 8a + 6 X2 3x + 9 _ 2(4a + 3) (x2-3 x + 9) 3(x+3) 3x+9 " 2 2 41

a 2 + 6a + 9 a + 3 (a + 3 )2 a + 3 a 2 2a + 4 ' 9a3 + 72 _ a 2-2 a + 4 ' 9(a3 + 23) ~~ (a + 3) (a + 3) 9(a + 2) (a2 2a + 4) (a2-2 a + 4)-(a+ 3) = 9 (a + 3) (a + 2) = 9 (a2 + 5a + 6) = 9a2 + 45a + 54; x3- l (x-l)(x2+x+l) x - l 3 x+l ' X H:XH _ (x+l)(x2+x+l) _ x+r VIENĀDOJUM I LINEĀRI VIENĀDOJUMI AR VIENU NEZINĀMO Lineāra vienādojum a a r vienu nezinām o vispārīgais veids ir ax+ b= 0, k u r a un b ir kādi reāli skaitļi. Ja a ^ o, tad ax+b 0; ax -b\ x= -. a Piemēram, 7 x -2 1 = 0; 7x=21; x=21:7; x= 3. Ja a = 0, bet b^o, tad vienādojum am atrisinājum a nav. Piemēram, 0 x +2 = 0; 0-x= -2. Nav tāda skaitļa, k u ra reizinājums a r nulli būtu 2. Ja a b 0, tad vienādojum s ir nenoteikts, jo par vienādojuma 0 x =0 sakni der jebkurš skaitlis. Piem ēram, 2,7 0=0; 4^ 0 =0 utt. P ie m ē r i. 1) A trisināt vienādojum u 9 x - 5 + 2 x + 1 4-6 x = 1 0 x -6. Jebkuru saskaitām o var pārnest no vienādojum a vienas puses uz otru, m ainot tā zīmi uz pretējo. Tātad 9 x + 2 x 6x 10x= - 6 + 5-14; 5x 15; x= 3.

3 2 6, = 1 (vienādo saucējus); 2 3 21*+15-2* 6,.... - = - (reizina vienādojum ā abas puses ar kopsaucēju); 2lx+ 15-2x= 6; 19ix= -9; 9 2x 5 4(x + 5) _ x + 5 2x - 5-4x - 20 x + 5 = ; 2x-25 x-f- 5 D aļa ir vienāda ar nulli, ja tas skaitītājs ir vienāds ar nulli, bet saucējs nav vienāds ar nulli. Tātad 5 = 0 x+5^0\ x ^ - 5 ; ~2x=25; x = 2 5 :( 2); x = -12,5. KVADRATVIENADO JUMI P ar kvadrātvienādojum u sauc k a tru ax2 + bx + c = 0 veida vienādojum u, k u r a, b, c ir jebkuri skaitļi, izņemot a = 0, bet x ir mainīgais. ax2 + bx+ c=0 ir pilnais vispārīgais kvadrātvienādojum s. 43

NEPILNIE KVADRAT VIENĀDO JUMI 1. Ja c = 0, tad ax2 + bx= 0 (vienādojum a kreiso x(co: + yf))=0; pusi sadala reizinā- Xļ = 0 vai ax+b 0; tājos); ax= b; b P ie m e r i. 1) 5x2-3 x = 0 ; x (5 x -3 )= 0 ; x a = 0 vai 5x 3=0; 3 2) 12x2 + 3x=0; ix2+x=0; x(4x + l)= 0; X ļ=0 vai 4 x + l = 0; 1 2. Ja 6 = 0, tad ax2+c= 0; ax2 = - c; 44 P ie m ē r i. 1) 7x2 28 = 0 2) 7x2 + 28 = 0 lx2= 28; xz= 4 (atrisinājum a nav). x=* i \ / 4 ; xl =2\ xz = -2. 3. Ja Z? = 0 un c 0, tad ax2 = 0; x 2 = 0; x~ ±-s/0 ; x1=x2s=0-

P ie m e r i. 1) 5.x2= 0; x 2= 0:5; x 2= 0; X1=X;; = 0. 2) - 8x 2 = 0; x 2 = 0; x1=x2=0. PILNIE KVADRATVIENADOJUMI 1. K vadratvienadojum a atrisināšana, atdalot b inom a kvadrātu. P ie m ē r i. 1) x2 8x + 15 = 0; Tā kā (a b)z=a2 2ab+b2, x 2-8 x + 16 16 + 15 = 0; tad 8x ir divkāršots abu bi- (x 4)2 1 = 0; ( x - 4 )2 = l; nom a locekļu reizinājum s: x - 4 = +->/ī; x 4= + 1; 8x=2-x-4=> binom a pirm ais x 4 = 1; x x = 5; loceklis ir x, bet otrais - 4. X 4= 1; x z = 3. 2) 2x2-9 x + 1 0 = 0 ; (abas vienādojum a puses 2.1 c x - 4 - x + 5 = 0 ; dala ar 2); La 1 / 1\2 1 1 2X+( 4 J ~ 42 4 l 1\2 / 1\2 81-2 - + 5 = 0 ; - 2 - + 5 = - + 5 = 4) V V 16 x _ 2ļ Y - l = 0; = - 5 ^ + 5 = - - Ļ 4/ 16 16 16 IV 1! 1 4) = Ī 6 X~ 4 = ~ 4 1 1 1 X~ 4 = 4 Xl = 2 2 ; x - 2 - = x, = 2. 4 4 45

2. K vadrātvienādojum a sakņu aprēķināšanas formulas. Pilnā vispārīgā kvadrātvienādojum a ax2 + bx+ c = 0 saknes aprēķina pēc form ulas P ie m ē r s. 5x2-llx + 2 = 0; x v -b±^/nbr Aac 2a - ( - l l ) ± v/īt2-4-5-2 ll + v^t 2 5 10 10 11 + 9 10 11 + 9 20 1 1-9 2 To ; X z_ ~ īo ~ ī o _0,2 Ja lineārā locekļa koeficients ir pāra skaitlis, t. i., b = 2k, tad vienādojum a ax2 + 2kx+b = 0 saknes aprēķina pēc form ulas - k + J k 2-ac x = --------- -----------. P i e m e r s. 35x2+ 2 x - l = 0; l + \ / l 35-( 1) -1 ± V 3 6-1 + 6. x= 35 35 35 1+6 5 1-1 - 6-7 1 X 1 35 ~ 35 7 2 35 35 5' Ja kvadrātlocekļa koeficients ir 1, tad šī reducētā kvadrātvienādojum a x2+px+ g = 0 saknes atrod pēc form ulas 46

P ie m ē r s. X2-8 a :-8 4 = 0; x =4±V '16 + 84 =4±V Ī0Ū = 4 + 10; x x = 14; x 2= - 6. 3. V jeta teorēm a: ja reducētā kvadrātvienādojum a x2+px+q=0 saknes ir xl u n xz, tad P ie m ē r i. x1 x2=q un xy+ x2 = -p. 1) Noteikt vienādojum a :x:2-5 x - 3 6 = 0 saknes. Sakņu reizinājum s ir <?= 36, bet sakņu sum m a ir -p = 5. Reizinājum u -3 6 iegūst, sareizinot šādus skaitļus: 6 un - 6; 3 un -12; - 3 un 12; 4 un - 9 ; - 4 un 9; 2 un -1 8 utt. Taču tikai 4 un 9 sum m a ir 5. Tātad xl = - 4 un x2 =9. 2) y2-3y+2 0] y1 y2=q= 2; ^1+^2= ~ P = 3. Vienādojum a saknes ir 3^ = 1 un;y2 = 2. Lai pēc Vjeta teorēm as noteiktu saknes vispārīgajam kvadrātvienādojum am ax2+ bx+ c= 0, to pārveido redub c ceta kvadratvienadojum a %2+ - x + - = 0 u n pēc Vjeta teore-. _, a a mas iegūst c b x. x 2= ; x.+x2= -----. 1 2 a 1 2 a Taču uzm inēt šādus skaitļus ir grūti. Tāpēc der izm antot šādu apsvērum u: kvadrātvienādojum a ax2 + bx+c=0 saknes ir vienādas a r reducētā kvadrātvienādojum a x2 + bx+ac== 0 saknēm, kas dalītas a r koeficientu a. P ie m ē r s. N oteikt kvadrātvienādojum a 3x2-16* - 12 = 0 saknes. Izmantojam reducēto kvadrātvienādojum u x2-16x - - 36 = 0, kuram sakņu reizinājum s ir - 36, bet sakņu sum m a ir 16. Viegli noteikt, ka tie ir skaitļi - 2 un 18. 47

2 Tatad dotā kvadrātvienādojum a saknes ir xt = - un 18 3 *2 = -ģ = 6. Kā redzams, 2 _, 1 16 b 3 + s = 53 = 3 - = - ā : 2. - 1 2 c x oc = - - 6= - 4 = = -. 1 2 3 3 a DISKRIMINANTS K vadrātvienādojum a sakņu skaitu nosaka zemsaknes izteiksme jeb diskrim inants ( )=62-4 ac). Ja D > 0, tad vienādojum am ir divas dažādas saknes. Ja >=0, tad vienādojum am ir divas vienādas saknes. J a D < 0, tad vienādojum am sakņu nav. P ie m ē r i. 1) x2-5 x 6 = 0; Vienādojum am ir divas dažādas xl= l] x 2-6. saknes, jo D = 6 2-4 a c = 2 5 + 24= = 49 > 0. 2) x 2+ 6x + 9 0; Vienādojum am ir divas vienādas xļr=x2 = -3. saknes, jo D = ^ - g = 9-9 = 0. 3) 2y2 y + 5 0. Vienādojum am sakņu nav, jo D= = 1 4-2-5 = 1 4 0 = 39 <0. 4) Vienādojum am x2+px 35=0 viena no saknēm ir 7. A prēķināt p vērtību un otru sakni. x 2+ p x -3 5 = 0 ; _ - jp+ V /P 2-4 -l-(-3 5 ) _ - p ± ijp1+14d X ~ 2... 2

Tā kā 7, tad 7= P + v rf + 140; 14 = - p + s/p2 + 140; Lt 14+ p = yjpz +140 (abas vienādojuma puses kāpina kvadrātā); 196 + 28p + 2 = jt?2 +140; 28p=-56; p = 2; 2 v 4 + 140 2-12 - 1 0 ocz 5. 2 2 2 2 5) Kvadrātvienadojumax2+x + c=0 sakņu starpība ir 6. Aprēķināt c. x2+x+c 0; 1 + v / l 4c "" 2 - l + v/l-4 c -v* Tā ka x 1- x 2 6, tad -1 + V 1-4 C - l - v " l ~ 4 c 2 t t =6: ^ r + x/ l - 4 c + T + V /ī - 4 c = 12; 2-v/l 4c = 12; V " l-4 c = 6 (abas vienādojuma puses kāpina kvadrātā); 1 4c=36; 4 c = -3 5 ; c= 8,75.

PAR KVAD RAT VI EN AD O J U MIE M REDUCĒJAMI VIENĀDOJUMI Trešās pakāpes vienkāršākos vienādojum us atrisina, sadalot to k reiso p u si reizinātājos. P ie m ē ri. 1) y - 3 6 j = 0; j>(>>2-36) = 0; 3^=0 vai,y2-3 6 = 0; j>2=36; y=±^/sq; y2= 6; >'3= - 6-2) X1 0,3x2-0,lx= 0; x(x2 0,3x-0,l) = 0; xj 0 vai x2-0,3 x -0,1 = 0 (vienādojuma abas puses reizina ar 10); 10x2-3x- 1 = 0; atrisinot iegūst x2 0,5; x3= -0,2. 3) 9x3 18x2 x+ 2 = 0 (izmantojot grupēšanas paņēmienu, sadala reizinātājos); 9x2(x -2 )-(x -2 ) = 0; (x~2) (9x2 1)=0; x 2 = 0 vai 9x2 1 = 0; xi ~2; (3x 1) (3x+l) 0; 3x 1 = 0 vai 3x+ 1 = 0; 1 1 * 2= 3 ; ^ = - 3- C eturtās pakāpes vienādojum u, kas satur nezinām o tikai pāra pakāpēs, sauc p ar b ik v a d rā tv ie n ā d o ju m u. Šos vienādojum us atrisina, ieviešot ja u n u m ainīgo. B ikvadrātvienādojum a vispārīgais veids u n atrisināju m s ir šāds: ax* + bx2 + c=0; 50

ieviešot jaunu mainīgo x2=z, iegūst vienādojumu az2+ bz+ c= 0, un tā saknes ir zx un z2; tā kā x2=z, tad x2= z 1; xz= z 2; ^ l;2 = Xļ-ļ=+y/z2- P ie m ē ri. 1) jc4-5x2 +4=0; apzīmē x2=z un iegūst z2-5 z + 4=0; zt = 1; 2 2 = 4; x2 = l; x2 =4; x=±s/ī; x = + v /4; Xļ = 1; x 3 = 2; x 2= 1; x 4= - 2. Tātad vienādojumam x4-5 x 2+4=0 ir 4 dažādas saknes. 2) 2x4-3x2-2=0; apzīmē x2 = z ; 2z 2 3z 2 = 0; z 1 = 2; z2= 0,5; x2 ^2; x2 = -0,5 (vienādojumam nav reālu sakņu). x= + v '2 ; x 1 = >/2 ; Tātad dotajam vienādojumam ir _ /5 A2. j tikai 2 saknes. 3) (t2-2t)2-2(t2-2t)-3=0ļ tz-2t=z; z2-2 z - 3 = 0; Zļ=3; 2 2 = - l ; t2-2t=3] tz- 2t= 1; f2 2i 3=0; *2-2*+l = 0; ^=3; f2 = - l ; 3 = 4 = 1. 51

x2+x=z; x2+ x= -7; x 2+ x + 7 = 0; Z) 1 28= 29 <0, sakņu nav. VIENĀDOJUM U SISTĒM AS LIN EĀ R U V IE N Ā D O JU M U SISEEMAS AR D IV IE M N E Z IN Ā M IE M Vienādojumu sistēmas vispārīgais veids ir f a1x+ b1y = c1 [ a2x+ b2y = c2, kur a, b, c - kaut kādi skaitļi vai burtu izteiksmes. Sistēmas vienādojumu grafiki ir taisnes. Ja ^ f, tad vienādojumu sistēmai ir tikai viens atria2 b2 sinajums un taisnes krustojas. Ja = ~ ^, tad vienādojumu sistēmai nav atrisināj i 2 ^2 juma un taisnes ir paralēlas. Ja ū- = =, tad vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi 2 Cļ daudz atrisinājumu un taisnes sakrīt. Par atrisinājumu der jebkurš skaitļu pāris (x; y), kur brīvi izraugās x, bet y aprēķina. 52

LIN EĀ R U V IE N Ā D O JU M U SISLEM U A LRISIN Ā ŠA N A S PA Ņ Ē M IE N I 1. Ievietošan as p aņ ēm ien s. P ie m ē ri. 1) 2x+3y=25 x~y= 5; f 2x + 3y 25 ļ% = j+ 5; 2Cv + 5) + 3 j-2 5 ; 2^+ 10+3^ = 25; 5j=15; jy=3; 2 3 Ta ka - ^ j, tad vienādojumu sistēmai ir tikai viens atrisinājums. No otrā vienādojuma izsaka x ar y, izteikto x = j + 5 ievieto pirmajā vienādojumā, aprēķina y vērtību un pēc tam x vērtību. x=3 + 5; x=8. Tatad sistēmas atrisinājums ir (8; 3) jeb x=8 y = 3 2) 9 x~y = 1 7 (x -l) = - ( l-j;) ; 9x-.y = 8 63x 63 = 1 y, f 9x = 8 ļ 63x+y = 64; ^ = 9x 8; 9x-jy=8 (7x-7)-9 = l -y; 9 1 Ta ka =?, tad vienādojumu 63 1 sistēmai ir tikai viens atrisinājums. 63x + 9x-8 = 64; j>=9-1 8; 72x = 72; x= l; y=l. Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir (1; 1). 53

2. S ask aitīšan as vai a tņ e m ša n a s paņem iens. P ie m ē ri. f 9x-j>=:8 9-1 ^=8; 1) + 1 63x+^=64; jv 8-9; 72x=72; y = l- x \\ Atrisinājums ir (1; 1). 2) - 5x-2^ = 4 Vienādojumu sistēmai ir tikai Ov_0-11_n- y- 3 _2 viens atrisinājums, jo - ^ -. 2x 2y ( 2y) = 4 0; 3 2 2>»=0; 2x-2j>+2j;=4; 2y=6; 2x=4; x=2; ^=3. Sistēmas atrisinājums ir (2; 3) jeb x~2 y=b 5x+ 2;y= -18 T ā k ā ^ = 2 = ^ jeb \ = \ = 3) { l5 x + 6 y = -5 4. ļ 15 6-54 3 3 = -, tad vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu. Piemēram, ja x=0, tad y= -9 ; ja x= -2, tad y= -4; ja 3, tad y= -16,5 utt. 4) K - ī s Tākā =^ * * 4=4^ 6 tad vienādojumu sistēmai nav atrisinājuma. 3. G rafisk ais paņēm iens. P ie m ē ri. 2 n 1 r 2x+3y = 7 3 ^ - - 2 x + 7 \ y=~ 3X+23 1 x - y = 6 ; \-y=-x+g; [ J= ;c_ 6 _

X -1 2 y 3 1 X 2 6 y - 4 0 Taišņu krustpunkta M koordinātas 5 un -1 ir vienādojumu sistēmas atrisif x = 5 nājums: \ *jeb (5; - 1). J 3x+y=4. ' \3 x + y = -l y= -3 x + 4 y= -3x~l.,y = -3 x + 4, y = - 3 x - l X 2 3 y - 2-5 X ~ 2 2 y 5-7 Ja lineārām funkcijām y= k1x+b1 y= k2x+b2 ir k1=k2, bet bxi^b2, tad, konstruējot funkciju grafikus, taisnes ir paralēlas. Tādai vienādojumu sistēmai nav atrisinājuma. 3) f 5x+2y 18 15x + 6j>=: -54; y -2,5 x -9 y= 2,5x 9. Abas lineāras funkcijas ir vienādas, tatad grafiki sakrīt. Tas nozīmē, ka sistēmas atrisinājums ir jebkurš skaitļu

pāris (x; y), kurā x ir brīvi izraudzīts skaitlis, bet y aprēķināts atkarībā no x vērtības. Tātad vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu. Piemēram, ja x=0, tad y = - 9; ja x = -1 0, tad.y=16 utt. 4. V ienād o ju m u sistēm as atrisinašana ar determ inantu. f alx+b1y=c1 \ a1x+b2y= c2; Ax Ay X = A y = A- Lasa: A - delta; A* - delta x, Ay - delta y. A = a 1 ū2 2 =aib2- a 2b!; A *= =Cļb2 c%bi > A v a i ge2 C, =«ic 2 c2 Ja A^O, tad vienādojumu sistēmai ir tikai viens atrisinājums. Ja A = 0, tad vienādojumu sistēmai atrisinājuma nav. Ja A = A*=A>., tad vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu. 56 P ie m ē ri. f 8x-3j> = 46 Vienādojumu sistēmai ir tikai 1}i1 5x+6y=13; viens atrisinājums, jo A^O. A= 8-3 = 8 6 5 ( 3) = 48 +15 = 63; 5 6 Ax= A,= 46-3 13 6 8 46 5 13 46 6 13 ( 3)=276 + 39 = 315; = 813 5-46 = 104 230 = 126;

A* 315 * = X =63 =5: y= 126 = - 2. A 63 Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir (5; -2). 2) A= A x= A,= 0,73c 0,9[y = 1 0,3y-0,2x= 0,2; 0,7-0,9-0,2 0,3 1-0,9-0,2 0,3 0,7 1-0,2-0,2 0,7x-0,9j = l 0,2x+ 0,3jy = 0,2; = 0,21 ( +0,18) = 0,21 0,18=0,03; = 0,3-0,18 = 0,12; = -0,14 + 0,2 = 0,06; _ Ax _ 0,12 ^ A* 0,06 * A 0,03 y A 0,03 Sistēmas atrisinājums ir (4; 2). - 2. 3) Ax= A,= f ax+2y=s co X1 3 I 3 4 - a 3 3 4 3 a cn Ne1 il a 2 1A= = - 3 a - 8 = -(3 a + 8); x= = 4a-9; y-- 3a+8 ā ^ + 6 4a- 9 9 4a (a2 + 6) a 2 + 6 ' Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir 3a+ 8 x= a 2 + 6, kur a jebkurš racionals skaitlis. 9-4 a y= a2 + 6 57

OTRAS PAKAPES VIENĀDOJUMU SISTĒMAS 1. V ie n ā d o ju m u sistēm u a trisin ašan a a r ievieto ša n a s p aņēm ien u. P ie m ē r i. 1) x 2-2 x y = 7 x-3y= - 2. No pirm ās pakāpes vienādojum a izsaka x=3y-2 (1) un ievieto o trās pakāpes vienādojum ā. (3y 2)2 2y (3y 2) = 7; y2 \2y+ 4 Gy2 + 7 = 0; 3y2 8j> - 3 = 0; atrisinot iegūst yt = 3; y2 =. 3 A prēķinātās y vērtības ievieto vienādojum ā (1) un aprēķina x vērtības: x 1 = 3-3 - 2 = 9-2 = 7; x, = 3 Y - - N) - 2 = = 1 2= 3. y x Vienādojumu sistēmas atrisinājum s ir (7; 3) un ( - 3; f 6j + 6x = x j [ 2 x - ^ = 5; y = 2 x -5 ; 6- (2 x -5 )+ 6 x = x (2 x 5); 12x - 30 + 6x = 2x2-5x; 2x2-2 3 x + 3 0 = 0 ; atrisinot iegūst x x = 10; x 2 = l,5; j>1 = 2 1 0 5=15; y a= 2 - l,5-5 = 3-5 = - 2. A trisinājum s ir (10; 15) un (1,5; 2). 2. V ie n ā d o ju m u sistēm u a tris in a š a n a.izm antojot V jeta teorēm u.

Pieņem, ka x un> ir kāda reducētā kvadrātvienādojum a saknes zxun z2. Tā kā pēc Vjeta teorēm as, ņem ot vērā doto vienādojum u sistēm u, zļ z2=g- 24 un zl+z1= p=10, tad iegūst vienādojum u z2-10z + 24 = 0. Šī vienādojum a saim es ir Zļ=4 un z 2 = 6, bet dotās sistēm as atrisinājum s ir JCļ=4 ^ = 6 un x2 6 j>2= 4. 2) x-y=7 18; f * + ( -? ) = 7 1 x-( y)= 18. Pieņem, ka x u n -y ir reducētā kvadrātvienādojum a saknes zi un z2. z2-7 z -1 8 = 0 ; Zj = - 2; z 2 = 9; xt= 2-0'i = 9; = 9-2 ^ 1 = - 9 ; x 2 = 9 -y2=- 2 ; 1^2 = 2. Dotās sistēm as atrisinājum s ir (-2 ; -9 ) un (9; 2). 3. V ie n ā d o ju m u sistēm u grafiska atrisināšana. Lai grafiski atrisin ātu vienādojum u sistēm as, k urās ir a rī otrās pakāpes vienādojum i, jāprot konstruēt dažādu funkciju grafiki. Bieži jākonstruē a rī šāda veida vienādojum u grafiki: x2 + y 2 = R2; grafiks - riņķa līnija; centrs O (0; 0); rādiuss R\ (x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = R 2; grafiks - riņķa līnija; centrs O, (a; >); rādiuss R. 59

P i e m e r i. 1) K onstruēt riņķa līniju ( x - 4 )2 + (y+2)2 = 25. 2) A trisināt grafiski vienādojum u sistēm u f X2 +yz = 25 l : y = 2* + i. Vienādojum a x2+y2 = 25 grafiks ir rin k a līnija; O (0; 0 R=5. ]ļ Vienādojum ā j; = x + 1 grafiks ir taisn e, kura kru st Z Oy asi punktā (0; 1); ja x=2, tad y= 2. Vienādojum u sistēm as atrisinājum s ir (4; 3) un 60

3) A trisināt grafiski vienādojum u sistēm u j 5x 2y=0 1 y=x2. -2y=-5x; y = 2,5x (taisne, kura iet caur O (0; 0)). X 2-1 y 5-2,5 y=x2 (parabola, V (0; 0)). X 0 ± 1 ±2 ± 3 ±4 >> 0 1 4 9 16 ;6,25) Vienādojum u sistēm as atrisinājum s ir (0; 0) un (2,5; 6,25). FUNKCIJAS LINEĀRA FUNKCUA y=kx+b, k u r k un b jebkuri skaitļi; lin e ā rā fu n k cija; grafiks - taisne, k u ra krusto Oy asi A (0; b). y=kx, k^ 0; tie š ā p ro p o rc io n a litā te ; grafiks - taisne, k u ra iet caur koordinātu sākum punktu O (0; 0). y = b; x=a; x = 0; y = 0; grafiks - taisne, paralēla Ox asij u n krusto Oy asi punktā A (0; b). grafiks - taisne, paralēla Oy asij un krusto Ox asi punktā B (a; 0). grafiks - Oy ass. grafiks - Ox ass.

P ie m ē r s. K onstruēt funkciju y= ^x+2, y -3x, y= 2, x = 4 gra- JU fikus. y= \x+2, b=2, A (0; 2); /U y=-3x, 0 ( 0; 0); X - 1 1 y 3-3 y=2, A (0; 2); x= 4, (4; 0). FUNKCIJA y = y 0, x ^ 0; a p g rie ztā p ro p o rc io n a litā te ; grafiks - līkne, k u ru sauc par hiperbolu. P ie m ē r s. 12 12 K onstruēt funkciju y u n j = ^ grafikus. X 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12 y 12 8 6 4 3 2,4 2 1.5 1 62

-1-1,5-2 - 3-4 - 5-6 - 8-12 y -12-8 - 6-4 - 3-2,4-2 -1,5-1 Abas tabulas sastad itas funkcijai y= y= x3; grafiks - līkne, k u ru sauc par kubisko parabolu. K onstruēt funkcijas y=x2, grafiku. FUNKCIJA y X 1 ± 2 ±1 ±2 ±3 y 1 ± Q ±1 ±8 ±27 63

F U N K C I J A y = yjx y = y/x ; grafiks - līkne; x e [ 0; + oc). K onstruēt funkcijas y = y/x grafiku. 0 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0 0,7 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 64 y = a x 2+ bx+c; KVADRATFUNKCIJA k v a d rā tfu n k c ija ; grafiks - līkne, k u ru sauc par parabolu. Ja a > 0, tad parabolas zari versti uz augšu. Ja a < 0, tad parabolas zari vērsti uz leju. y=ax2\ parabolas virsotne V(0; 0); y=ax2 + b ; V(0; b); y=a(x+m)2; V(-m; 0); y=a(x+m)z + n; V (-m ; ri)\ y=ax2 + bx vai y=ax2 + bx+c; V(x0;^ 0)> b b2 4ac 4ac b2 X = ~ 2 a ' >,0 = _ 4a = 4a '

K vadrātfunkcijas grafika novietojum s attiecībā pret x asi ir atkarīgs no diviem nosacījumiem: kvadrāttrinom a ax2+bx+c koeficienta a un diskrim inanta vērtības D (parabolai un x asij ir vai n u viens, vai divi kopēji punkti, vai arī tām nav kopēju punktu). P i e m e r i. 1) Zīmējumā redzam i kvadrātfunkciju y = 2x2, y = x2, y = 2 2 2 x2 un 5 y = - ^ x2 grafiki. 65

2) K onstruēt funkcijas y=x2-2 x -3 grafiku. A prēķina parabolai virsotnes V koordinātas: b -2 ~ 2a ~ _ 2 1 i; 4ac b2 J\> = 4a 4 1 -( 3) ( 2)2 4 1-1 2-4 4 ~ V(l; -4 ). A prēķina koordinātas parabolas un Ox ass k ru stpunktiem : x 2-2 x - 3 = 0; x x = - l ; x 2 = 3; M ( - 1; 0); IV (3; 0). 3) K onstruēt funkcijas y = x 2-6 x + 9 grafiku. j = (x - 3 ) 2; 1/(3; 0). X 1 2 y 4 1 66

NEVIENADIBAS SKAITĻU INTERVĀLI? x>a ---------- x x>a --------- x (a; +ū0) [a; +G0) x < a ----------------------- - x ( - 00; a) ///////// -------------------------^ ^ (-c o ;a ] a<x<b ----------^ 22222^2222^---------- ^ (a; Z?) a^x<b ---------- ^//////////^---------- ^ x [a; b) ū < X iļb ---------------^ 2222 222 222^ --------------- ^ x (a - Jļ] a^x^b -------------------------------------- >_ x ļ-a - ļjj X jebkurš ^//s////ssssssss/ssss//s//s///,> x (_oo; + oo) skaitlis LINEĀRAS NEVIENĀDĪBAS 1. Ja nevienādības abam p usēm pieskaita v ienu u n to pašu skaitli, tad nevienādības veids nem ainās. P ie m ē r i. 1) 7> -3; 2) 7> -3; 7+4> 3+4; 7 + ( 2 )> 3 + ( 2); 11 >1. 5> 5. S e c i n ā j u m s. N evienādībā je b k u ru locekli var pārnest no vienas nevienādības puses uz o tru pusi ar pretēju zīmi. 67

P ie m ē r s. 3x+2^8; o i 2 3 :0 8 2; ------ 1--------- 1---------t/z z //////////) ^ 3x^6; x > 2; xe[2; +oo). 2. ^ n e v ie n ā d īb a s abas puses reizina vai dala ar vienu u n to pasu pozitīvu skaitli, tad nevienādības veids nem ainas. P ie m e r i. 1) 18 < 10; -2 2) 18 < 10; : 2 36 < 20. 9<5. 3) 5 x -8 > x + 6 ; 5 x -x > 6 + 8; 4x>14: x>3,5; 0 -------h 3,5 x g (3,5, + oo). 3. Ja nevienādības abas puses reizina vai dala ar vienu u n to pasu negatīvu skaitli, tad nevienādības veids m ainās uz pretējo. 68 P ie m ē r i. 1) -18< 10; ( - 2) 36 > -20. 3) 5 x -8 > 7 x + 6 ; 5x 7x>6 + 8; 2x>14; ļ :( 2) x < -7 ; x e (-o o ; -7). ^ 2) 18<10; : ( - 2) 9> 5. - 7 0 2 ^ 0 ---------,-------- ^ ^

LINEĀRU NEVIENĀDĪBU SISTĒMAS P ar nevienādību sistēm as atrisinājum u k o p u sauc tās nezinām ā vērtības, ar k u rām katra no sistēm as nevienādībām ir pareiza skaitliska nevienādība. Četras raksturīgas pam atsistēm as ar divām nevienādībām. - 2 3 X Sistēmas atrisinājum s: xe(3; co). -2 3 Sistēmas atrisinājum s: x e ( co; 2], 2 3 x Sistēmas atrisinājum s: x e ( - 2 ; 3]. -2 3 o X Sistēmai atrisinajum a nav. P ie m ē r i. 0 2 Nevienādību sistēm as atrisinājum s ir 0 < x < 2 jeb x e (0; 2).

2) f 2x 9<0-18; 2x<9-3 x ig -18; :2 :( - 3 ) [ x<4,5 ļ x^6. 4,5 ^//////////////////^ x Nevienādību sistēm ai atrisinajum a nav. 3) f 0,6x + 7,2>0 [ 0,6x> 7,2 f x> 12 5,25=2,6:*:; 1 2 > x ; ļx < 2. 12 2 Sistēmas atrisinājum s: - 1 2 < x ^ 2 jeb x e ( - 12; 2]. OTRAS PAKAPES NEVIENADIBAS O trās pakāpes nevienādību ax2 + bx+ c>0 vai ax2 + + bx+ c < 0, (pie tam šīs nevienādības var būt a rī ar zīmi > vai sc) atrisināšana būtībā ir to intervālu noteikšana, kuros atbilstošās kvadrātfunkcijas vērtības ir pozitīvas vai negatīvas. 70 P i e m ē r i. 1) A trisināt nevienādību xz+4x+5<0. Funkcijas y= - x 2 + 4x+5 grafiks ir parabola, kuras zari vērsti uz leju. Vispirms nosaka tās x vērtības, kurām j;= 0. - x 2+ 4x+ 5 = 0; x 2-4 x - 5 = 0 ; Xļ = 1; x2=5. x2 + 4x+5<0, jaxe( oo; l)u(5; +oo).

2) A trisināt nevienādību 5x2 + 9 x -2 ^ 0. y=5xz + 4x 2; J y - 0, ja xl= 2, x 2 = 0,2. Parabolas zari vērsti uz augšu. A / 0,2 5x2 + 9.X'-2>0, : \ VM//M////M/ j a x e ( - o o ; - 2] u [ 0,2; +oo). 3) A trisināt nevienādību x2-3x+ 4 > 0. Funkcijas y=xz 3x+4 grafiks ir parabola, kuras zari vērsti uz augšu. x2-3x + 4 = 0,.0 = 9-1 6 = 7<0 i y i i un vienādojum am nav sakņu, tā- \ j tad parabolai a r x asi nav kopēju punktu. x 2-3% + 4> 0, ja x e (-o o ; +qo). P ie z īm e. Šajā zīm ējum ā redzams, ka nevienādībai x 2-3 x + 4 < 0 atrisinājum a nav. P i e m ē r i. NEVIENĀDĪBU ATRISINĀŠANA AR INTERVĀLU METODI 1) A trisināt ne vienādību (x + 8) (x - 5) ^ 0. N osakafunkcijas/(x) = (x + 8) ( x - 5 )nulles, t.l, - 8 u n 5. Skaitļi - 8 u n 5 sadala funkcijas definīcijas apgabalu trīs intervālos: (-o o ; - 8), ( - 8; 5), (5; + oo). Nosaka k atra reizinātāja zīmi šajos intervālos, izraugoties vienu vērtību no intervāla. Piem ēram, ja intervālā ( - oo; - 8) ņem x= -1 0, tad x +8 = - 10+ 8= 2 (tātad «-» zīme) un x 5= -1 0 5= 15 (arī «-» zīme). Ja intervālā ( 8; 5) izraugās x 0, tad x +8 = 0 + 8=8 (tātad «+» zīme) utt. 71

Zīmes sak arto tabulā. ( - 00; -8) (-8; 5) (5; + co) x +8 + + x 5 + Nosaka reizinājum a zīmi un atzīm e to uz skaitļu ass. *.-8 5 T a ta d /(x )> 0, ja x e ( oo; -8 )w (5 ; + 00); f(x)<0, ja x e ( - 8; 5). Nevienādības (x+ 8) (x - 5) > 0 atrisinājum s ir x e ( qo; 8]u[5; + 00). 2) (3 x -l)(6 x + l)> 0 ; 3 (x' 3) 6 (x + 6) >0; 18( ^ - ^ ) t + g ) > 0 1:18; 1 > Funkcijas /(x )= ( x - g j( * + nulles: * un - -. 1 X~3 1 X+ 6! 8 1 0 3 *- x ( - e - a ) (+3: +OT) + + + (3 x -l)(6 x + l)> 0, ja x e ( -co; +CG ) 72

^ _2 3) A trisināt nevienādību ^ 0. x+l Tā kā divu skaitļu dalījum a zīme sakrīt ar šo pašu skaitļu reizinājum a zīmi, ta d dotās nevienādības vietā v a r aplūkot (x..3) (x + 1)^0, izslēdzot no atrisinājum a tās x vērtības, a r kurām daļas saucējs vienāds ar 0. ^ Daļai nav jēgas, ja 1 = 0, 1. x + 1 Funkcijas f(x) = (x-3 )(x + l) nulles ir skaitļi 3 un - 1. + + 3.-' (-co; - 1) ( i; 3) (3; +oo) x-3 + X+1 + x_3 3s0, j a x e ( oo; -l) w [3 ; +oo). x~\-1 PROGRESIJAS ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA P ar aritm ētisko progresiju sauc skaitļu virkni, kuras katrs loceklis, sākot ar o tro, ir vienāds ar iepriekšējo lo cekli, k am pieskaitīts viens u n tas pats skaitlis. Simboli: ax- progresijas pirm ais loceklis, an- progresijas rc-tais (vispārīgais) loceklis, n - locekļu skaits, d - progresijas diference, S - n locekļu summa. A ritm ētiskās progresijas vispārīgo locekli aprēķina pēc form ulas a = a ^ d { n - 1). 78

Aritmētiskās progresijas n locekļu summas formulas: (aļ + all) n < (2at + d (j3 -l)) n S P ie m ē ri. 1) Dots: a : = 3; an=ax+d{n 1); d 0,7] alt= -3+0,7(11-1)= -3+0,7-10 = Ti 11. = - 3 + 7 = 4. Aprēķināt: atl; Su. S = ^ ; ( 3+4) 11 1-11 S n = = 2 =5,5. 2) Aprēķināt aritmētiskās progresijas pirmo locekli, diferenci un uzrakstīt šo progresiju, ja a5 = 27; a21 = 60. Izmanto formulu an=ay + d(n 1). a5= 27 a 27 = 60; aj+ d(5 1) = 27 f a t + 4d = 27 a, + d (2 7 -l) = 60; ļ a 1+ 26o!=60; Gtj + 1,5-4 = 27; a 1 = 27-6 = 21. Progresija: 21; 22,5; 24; 25,5;... 22g?= -33; c?=l,5; 3) Vai aritmētiskas progresijas 2; 9;... loceklis ir skaitlis a) 156; b) 295? a) d=9-2 = 7; b) 295=2 + 7(n 1); a = aļ +d(n l); 295=2 + 7/2-7; 156 = 2 + 7(n~l); 7n = 300; 156=2+7^ 7; 6 n = 42y. In=161; n=23=> ct23 = 156. Tā kā progresijas locekļa kārtas numurs var būt tikai naturāls skaitlis, tad 295 nav šīs progresijas loceklis. 74

ARITMĒTISKAS PROGRESIJAS ĪPAŠĪBAS A ritm ētiskajā progresija no galiem v ienād i attalinato lo cek ļu sum m a ir pastāvīgs lielum s. P ie m ē ri. 1) 2; 7; 12; 17; 22; 27. 2) -6 ; -4 ; -2 ; 0; 2; 4. 2 + 27 29; - 6 + 4 = -2 ; 7 + 22 = 29. 4 + 2= 2. A ritm ētiskajā progresija katrs loceklis, sakot ar o tro, ir savu blakus esošo lo c ek ļu vidējais aritm ētiskais: a. = a n - 1 + a «+ l. 1) 7 = 2+12 7 = 7; 2) - 4 = 6-2 - 4 = - 4. P ie m ē rs. Starp skaitļiem 8 un 26 ievietot 5 tādus skaitļus, lai tie kopā ar dotajiem skaitļiem veidotu aritmētisko progresiju. Dots: aļ=8; a7=26; n=l. an = a ļ + d ( n - 1); 26=8 + cf(7-l); 26=8 + 6rf; 6rf=18; d = 3. Progresija: 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; ĢEOMETRISKA PROGRESIJA Par ģeometrisko progresiju sauc skaitļu virkni, kuras pirmais loceklis ir atšķirīgs no nulles (ft^o), bet katrs loceklis, sākot ar otro, ir vienāds ar iepriekšējo locekli, kas reizināts ar vienu un to pašu skaitli. 75

Simboli: bt - pirmais loceklis, b - n-tais (vispārīgais) loceklis, n - locekļu skaits, q - kvocients, Sn- n locekļu summa. Ģeometriskās progresijas vispārīgo locekli aprēķina pēc formulas b n = b x q n l. Ģeometriskās progresijas n locekļu summas formulas: s b.g-bļ s _= W z ļ > ik u rff# L q - 1 9-1 P ie m ē ri. 1) Aprēķināt ģeometriskas progresijas septīto locekli, ja b{= -810 ung=ļ. O Dots: bi= -810= -3*10; 1 Q~ 3 n=l. Jāaprēķina bn. n 1- K = b,q Z>7= - 34 loyrv = 3M0-1 9 9 2) Uzrakstīt ģeometrisko progresiju, ja b2 6 un b5=24. &3 = 6 f blq1 = 6 b^q2 6 b5= 24; [Z?1ģ4 = 24; M 4 _ 24 g2 = 4; g= ± 2; Ģl =2j q2= ~2. 10 Z>i(72 6; 6 1-22 = 6; >1-4=6; Z?1 = - = l, 5. 76

Progresijas: 1) 1,5; 3; 6; 12;...; 2) 1,5; -3 ; 6; -12;... 3) Aprēķināt dotās ģeometriskās progresijas pirmo sešu locekļu summu: 3; 6;... Dots: bļ= 3; b2= - 6; n = 6. Jāaprēķina S6. bo bx 3 c _ w - 1). q - 1 3 (( 2)6 1) 3 -(64 1) 2-1 - 3 = -63. ĢEOMETRISKAS PROGRESIJAS ĪPAŠĪBAS Ģ eom etriskā progresijā katrs loceklis, sākot ar o tro locekli, ir savu blakus esošo lo cek ļu vidējais ģeom etriskais: P ie m ē r i. b r,= \ b, bn+ļ. 1) Ģeometriskajā progresijā: 3; 6; 12; 24.... 6 = V 3 TĪ2; 12 = -x/6-24; utt. 2) Starp skaitļiem 38 un 608 ievietot trīs tādus skaitļus, lai tie kopā ar dotajiem veidotu ģeometrisku progresiju. Dots: >1=38; b = bļ^-gn~1; bs = 608; 608 = 38-ņ4; tf4 = 16; q^ = 2; qz= - 2. n = 5. Progresijas: 1) 38; 76; 152; 304; 608;...; 2) 38; -76; 152; -304; 608;...

Ja \q\ < i, tad bezgalīgas ģeometriskas cekļu summa ir r> - 1 (/ riemers. Aprēķināt dotās bezgalīgās ģeometriskās cekļu summu: 1 1 progresijas loprogresijas lo-

REIZINĀJUMU TABULA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280 15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320 17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340 18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360 19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380 20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

SKAITĻU KVADRATU TABULA 0 l l 3 4 S б l 8 9 l l 3 4 5 100 400 900 1б00 2500 121 441 9б1 1б81 2б01 144 484 1024 17б4 2704 1б9 529 1089 1849 2809 19б 57б 115б 193б 291б 225 б25 1225 2025 3025 25б б7б 129б 211б 313б 289 729 13б9 2209 3249 324 784 1444 2304 33б4 3б1 841 1521 2401 3481 б l 8 9 10 3б00 4900 б400 8100 10000 3721 5041 б5б1 8281 10201 3844 5184 б724 84б4 10404 39б9 5329 б889 8б49 10б09 409б 547б 705б 883б 1081б 4225 5б25 7225 9025 11025 435б 577б 739б 921б 1123б 4489 5929 75б9 9409 11449 4б24 б084 7744 9б04 11бб4 47б1 б241 7921 9801 11881 ll 12 13 14 15 12100 14400 1б900 19б00 22500 12321 14б41 171б1 19881 22801 12544 14834 17424 201б4 23104 127б9 15129 17б89 20449 23409 1299б 1537б 1795б 2073б 2371б 13225 15б25 18225 21025 24025 1345б 1587б 1849б 2131б 2433б 13б89 1б129 187б9 21б09 24б49 13924 1б384 19044 21904 249б4 141б1 1бб41 19321 22201 25281 16 25600 25921 26244 26669 26896 27225 27556 27889 28224 28561 17 28900 29241 29584 29929 30276 30625 30976 31329 31684 32041 18 32400 32761 33124 33489 33856 34225 34596 34969 35344 35721 19 36100 36481 36864 37249 37636 38025 38416 38809 39204 39601 20 40000 40401 40804 41209 41616 42025 42436 42849 43264 43681 21 44100 44521 44944 45369 45796 46225 46656 47089 47524 47961 22 48400 48841 49284 49729 50176 50625 51076 51529 51984 52441 23 52900 53361 53824 54289 54756 55225 55696 56169 56644 57121 24 57600 58801 58564 59049 59536 60025 60516 61009 61504 62001 25 62500 63001 63504 64009 64516 65025 65536 66049 66564 67081 26 67600 68121 68644 69169 69696 70225 70756 71289 71824 72361 27 72900 73441 73984 74529 75076 75625 76176 76729 77284 77841 28 78400 78961 79524 80089 80656 81225 81796 82369 82944 83521 29 84100 84681 85264 85849 86436 87025 87616 88209 88304 89401 30 90000 90601 91204 91809 92416 93025 93636 94249 94864 95481 31 96100 96721 97344 97929 98596 99225 99856