1 DAUGAVPILS UNIVERSITĀTE Dabaszinātņu un matemātikas fakultāte Matemātikas katedra Bakalaura studiju programma Matemātika Studiju kurss Polinomu algebra 11.lekcija Docētājs: Dr. P. Daugulis 2008./2009.studiju gads
Saturs 2 1. Grobnera bāzu pielietojumi 5 1.1. Polinomiālo vienādojumu sistēmu risināšana...... 5 1.1.1. Polinomiālo vienādojumu sistēmas seku ideāls. 5 1.1.2. Izslēgšanas ideāli................. 6 1.1.3. Polinomiālas vienādojumu sistēmas risināšanas algoritms..................... 8 1.2. Parametriskā pieraksta pārveidošana vispārīgajā (implicitizācija)........................ 10 1.2.1. Implicitizācijas problēma............ 10 1.2.2. Polinomiālās implicitizācijas algoritms..... 11 1.2.3. Racionālās implicitizācijas algoritms...... 13 2. Grobnera bāzu teorijas darbietilpīgie pierādījumi - patstāvīgā lasīšana 16 2.1. Diksona lemma...................... 16 2.2. Buhbergera kritērijs................... 18 2.2.1. Palīgrezultāti................... 18
2.2.2. Kritērijs...................... 24 2.3. Buhbergera algoritma pareizība............. 31 2.4. Reducētās Grobnera bāzes vienīgums.......... 32 3. 11.mājasdarbs 35 3.1. Obligātie uzdevumi.................... 35 3.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 37 3
Lekcijas mērķis: apgūt polinomiālu vienādojumu sistēmu risināšanas algoritmu, kas izmanto Grobnera bāzes; ieskatīties Grobnera bāzu teorijas svarīgākajos pierādījumos. Lekcijas kopsavilkums: polinomiālai vienādojumu sistēmai var definēt ideālu, kura Grobnera bāze sniedz būtisku informāciju par tās atrisinājumiem un iespējām izslēgt nezināmos; polinomiālu vienādojumu sistēmu risināšanu var izmantot, lai pārietu no līknes/virsmas parametriskā pierakstu uz vispārīgo; Grobnera bāzu teorijas pierādījumi ir grūti, it sevišķi Buhbergera kritērijs, var mēǧināt sākt tā apgūšana ar divu ǧeneratoru speciālgadījumu. 4
1. Grobnera bāzu pielietojumi 5 1.1. Polinomiālo vienādojumu sistēmu risināšana 1.1.1. Polinomiālo vienādojumu sistēmas seku ideāls Pieņemsim, ka ir dota polinomiālu vienādojumu sistēma (PVS) g 1 (X 1,..., X n ) = 0... g m (X 1,..., X n ) = 0 Ja elementu virkne (X 1,..., X n ) apmierina PVS, tad tā apmierina arī jebkuru seku vienādojumu h 1 g 1 + h 2 g 2 +... + h m g m = 0, kur h i k[x 1,..., X n ]. Seku vienādojumu kreisās puses interpretēsim kā ideāla elementus. Ideālu I = g 1, g 2,..., g m sauc par PVS seku ideālu.
Ideālam I var atrast RGB. Izrādās, ka RGB elementiem atbilstošos vienādojumus ir ērtāk risināt nekā sākotnējos vienādojumus. 6 Vienkāršākais GB pielietojums PVS risināšanā: 1 G(I) = 1 = 0 = PVS nav atrisinājumu. 1.1.2. Izslēgšanas ideāli Viena no vēlmēm PVS risināšanā ir iegūt seku vienādojumus, kas ir atkarīgi no pēc iespējas mazākas nezināmo kopas - izslēgt nezināmos. Par j-to izslēgšanas ideālu I j (1 j < n) sauc kopu I k[x j+1,..., X n ]. Redzam, ka I j elementi nav atkarīgi no nezināmajiem X 1,..., X j.
7 1.1. teorēma. 1. j I j ir ideāls gredzenā k[x j+1,..., X n ]. 2. F = G(I) = F k[x j+1,..., X n ] = G(I j ). PIERĀDĪJUMS 1. f, f I j = f + f I j. f I j r k[x j+1,..., X n ] = rf I rf k[x j+1,..., X n ] = rf I k[x j+1,..., X n ] }{{} =I j. 2. f I j = g l F : H(g l ) H(f). H(g l ) nedalās ar X 1,..., X j = neviens g l loceklis nedalās ar X 1,..., X j, jo tie visi ir mazāki nekā H(g l ). Seko, ka g l F k[x j+1,..., X n ].
f I j g l F k[x l+1,..., X n ] tāds, ka H(g l ) H(f) = F k[x j+1,..., X n ] = G(I j ). 1.1. piezīme. No teorēmas seko, ka GB var saturēt elementus, kas saista tikai dažus argumentus: ja eksistē sakarības, kas saista nezināmos X j+1,..., X n, tad I j {0}, un šādas sakarības noteikti parādīsies kā GB elementi. Risinot PVS var būt nepieciešams mainīt argumentu kārtību - izslēgšanas kārtību. 8 1.1.3. Polinomiālas vienādojumu sistēmas risināšanas algoritms Virkni (a l, a l+1,..., a n ) k n l+1 sauksim par PVS ar n nezināmajiem P daļēju atrisinājumu, ja (a 1,..., a l 1 ) : (a 1,..., a l 1, a l,..., a n ) ir P atrisinājums. PVS risināšanai var izmantot šādu algoritmu: 1. Atrast seku ideāla I RGB.
2. Risināt PVS sākot no vienādojumiem ar mazāku nezināmo skaitu: atrast daļējos atrisinājumus un mēǧināt tos paplašināt līdz pilnajiem atrisinājumiem. 1.2. piezīme. Daļējo atrisinājumu paplašināšana ne vienmēr ir iespējama. 1.1. piemērs. Sistēmai X 2 + Y 2 + Z 2 = 1 X 2 + Z 2 = Y X = Z seku ideāls ir I = X 2 + Y 2 + Z 2 1, X 2 + Z 2 Y, X Z. Tā GB ir {X Z, Y 2Z 2, Z 4 + 1 2 Z2 1 4 }. No sākuma atrodam Z, tad Y un beigās X. Bet tā ir neveiksmīga kārtība. Labāk izvēlēties kārtību X Z Y. 9
10 Sistēmai { X 3 X Y 2 = 0 X 2 Y 3 = 0 seku ideāls ir I = X 3 X Y 2, X 2 Y 3. Tā RGB ir {X + Y 2 + Y 4 Y 7, Y 9 2Y 6 Y 4 + Y 3 }. No sākuma atrodam Y, tad X. Mainot argumentu kārtību, iegūsim vienādojumu attiecībā uz X ar deg = 8. 1.2. Parametriskā pieraksta pārveidošana vispārīgajā (implicitizācija) 1.2.1. Implicitizācijas problēma Pieņemsim, ka Dekarta telpas R n apakškopa ir uzdota parametriski ar sistēmu X 1 = ϕ 1 (t 1,..., t m )... X n = ϕ n (t 1,..., t m ).
Var uzdot šādu jautājumus: vai koordinātes X 1,..., X n ir saistītas ar polinomiālām sakarībām, kā atrast šādas sakarības. 11 1.2. piemērs. Ja X = X 0 + pt Y = Y 0 + qt Z = Z 0 + rt, tad koordinātes saista divu lineāru vienādojumu sistēma { X X0 p = Y Y 0 q X X 0 p = Z Z 0 r 1.2.2. Polinomiālās implicitizācijas algoritms Ja funkcijas ϕ i ir polinomi, tad implicitizācijas problēmu var saistīt ar atbilstošu PVS risināšanu un nezināmo t 1,..., t m izslēgšanu.
Izmantojot Grobnera bāzes implicitizācijas problēmu polinomiālu funkciju gadījumā var risināt saskaņā ar šādu algoritmu: 1. Definēt implicitizācijas ideālu I = f 1,..., f n k[t 1,..., t m, X 1,..., X n ], kur f i = X i ϕ i (t 1,..., t m ). 2. Atrast G(I) ar leksikogrāfisko sakārtojumu, kas atbilst argumentu kārtībai t 1 t 2...t }{{ m X } 1...X n. }{{} parametri koordinātes 3. Ja G(I) satur elementus, kas nesatur t 1,..., t m, tad ir iegūtas sakarības starp X 1,..., X n. 1.3. piemērs. Pieņemsim, ka telpā R 3 līkne ir uzdota parametriski ar sistēmu X = t 4 Y = t 3 Z = t 2 12
13 Šajā gadījumā implicitizācijas ideāls ir I = t 4 X, t 3 Y, t 2 Z. Tā RGB ir F = {t 2 Z, ty Z 2, tz Y, X Z 2, Y 2 Z 3 }. Redzam, ka līknes punkti apmierina divas sakarības X Z 2 = 0, Y 2 Z 3 = 0. 1.2.3. Racionālās implicitizācijas algoritms Implicitizācijas problēmu var risināt ar Grobnera bāzu palīdzību arī gadījumā, kad funkcijas ϕ i ir racionālas funkcijas: Realizēsim šādu algoritmu: X i = ϕ i (t 1,..., t m ) = P i(t 1,..., t m ) Q i (t 1,..., t m ).
1. Definēt implicitizācijas ideālu kur I = f 1,..., f n, f k[y, t 1,..., t m, X 1,..., X n ], f i = X i Q i P i, f = 1 (Q 1...Q n )Y. 2. Atrast G(I) ar leksikogrāfisko sakārtojumu, kas atbilst argumentu kārtībai Y t 1 t 2...t }{{ m X } 1...X n. }{{} parametri koordinātes 3. Ja G(I) satur elementus, kas nesatur t 1,..., t m, tad ir iegūtas sakarības starp X 1,..., X n. 1.3. piezīme. Ģenerators f = 1 (Q 1...Q n )Y ir vajadzīgs, lai saucēji Q 1,..., Q n nebūtu vienādi ar 0. 1.4. piemērs. Līkne uzdota parametriski ar sistēmu { x = 2t 1+t 2 y = 1 t2 1+t 2. 14
15 Implicitizācijas ideāla I = X(1 + t 2 ) 2t, Y (1 + t 2 ) (1 t 2 ), 1 (1 + t 2 )g GB satur ǧeneratoru X 2 + Y 2 1.
16 2. Grobnera bāzu teorijas darbietilpīgie pierādījumi - patstāvīgā lasīšana 2.1. Diksona lemma 2.1. teorēma. (Diksona lemma) Katrai kopai M N n eksistē galīga apakškopa {µ 1,..., µ k } M tāda, ka M S(µ 1 )... S(µ k ). (katru kopu M N n var pārklāt ar tās galīgas apakškopas {µ 1,..., µ k } elementu ēnām) PIERĀDĪJUMS Pielietosim matemātiskās indukcijas metodi ar parametru n. Indukcijas bāze n = 1 = M N. M minimālais elements ν 0, tādējādi M S(ν 0 ). Indukcijas solis Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess n < m un pierādīsim, ka tad tas ir patiess, ja n = m.
Definēsim π : N m N (m 1), π(x 1,..., x m ) = (x 1,..., x m 1 ). Saskaņā ar indukcijas pieņēmumu kopu π(m) var nosegt ar tās galīgas apakškopas elementu ēnām: {ν 1,..., ν l } π(m) tāda, ka π(m) S(ν 1 )... S(ν l ). ν i π(m) = µ i M : ν i = π(µ i ) = ( ) ( ) π(m) S π(µ 1 )... S π(µ l ). Definēsim M u = {(x 1,..., x m ) M x m = u}, M u = M u M u+1... = M w. w u Apzīmēsim ar N µ 1,..., µ l m-tās koordinātes maksimālo vērtību. Redzam, ka M = M 1... M N 1 M N. 17
Pierādīsim, ka M i un M N var nosegt ar galīgas kopas ēnām: i kopai M i m-tā koordināte ir fiksēta, tāpēc M i var identificēt ar N (m 1) apakškopu, saskaņā ar indukcijas pieņēmumu seko, ka M i var noklāt ar galīgas apakškopas elementu ēnām, M N S(µ 1 )... S(µ l ). Apvienojot visus elementus, kuru ēnas nosedz M i un M N iegūsim meklējamo galīgo nosedzošo kopu. 18 2.2. Buhbergera kritērijs 2.2.1. Palīgrezultāti Zemāk apzīmēsim multideg(f) ar mdeg(f). 2.2. ( teorēma. ) (redukcijas ( īpašība) Dots, ka G = {g 1,..., g m }. f G = 0 = f = ) m i=1 h ig i, kur mdeg(h i g i ) mdeg(f).
PIERĀDĪJUMS Veiksim redukcijas soļu virkni sākot ar f, kuras rezultātā rodas 0. Iegūsim vienādību m f = h i g i, i=1 kur h i ir dalījumi, katrs redukcijas solis ar g j pievieno vienu termu pie h j. Pirmā redukcija, kas samazina vecāko termu, pievienos dalījumam h j termu hg j, kuram mdeg( hg j ) = mdeg(f). Visiem pārējiem termiem mdeg<mdeg(f). 2.3. teorēma. (S-polinomu īpašības) Dots, ka H(f) = ax α, H(g) = bx β. ( ) ( ) 1. mdeg S(f, g) < mdeg MKD(X α, X β ). 2. S(f, g) = S(g, f). 3. α = β = S(f, g) = 1 a f 1 b g. 19
20 4. S(X µ f, X λ g) = X ν S(f, g), kur X ν = MKD(Xµ X α, X λ X β ) MKD(X α, X β. ) PIERĀDĪJUMS 1. S-polinomā S(f, g) = Xγ H(f) f Xγ H(g) g locekļu Xγ Xγ H(f) f un H(g) vecākie termi ir vienādi ar Xγ un saīsinās. Pāri var palikt tikai leksikogrāfiski mazāki termi. 2. Seko no S-polinoma definīcijas. 3. α = β = γ = α = β = S(f, g) = Xα ax α f Xα bx α g = 1 a f 1 b g.
4. Ievērosim, ka H(X µ f) = ax µ+α un H(X λ g) = bx λ+β. Apzīmēsim MKD(X µ+α, X λ+β ) ar X ω. Redzam, ka S(X µ f, X λ g) = MKD(Xµ+α, X λ+β ) (X µ f) ax µ+α MKD(X µ+α, X λ+β ) bx λ+β (X λ g) = Xω ax α f Xω bx β g = X ω ( X γ ) X γ ax α f Xγ bx β g = Xω X γ S(f, g) = Xω γ S(f, g) = X ν S(f, g). 21 2.4. teorēma. Dots, ka {f 1, f 2 } k[x 1,..., X n ]. Ir spēkā f 1 un f 2 vecāko monomu vienādība: mdeg(f 1 ) = mdeg(f 2 ) = δ. (Citiem vārdiem sakot, H(f 1 ) H(f 2 )). Definēsim f = c 1 f 1 + c 2 f 2, kur c i k. Tad ( ) ( ) mdeg(f) < δ = d k : f = d S(f 1, f 2 ).
PIERĀDĪJUMS Pieņemsim, ka H(f i ) = a i X µ. Tā kā H(f) H(a i X µ ), tad c 1 f 1 + c 2 f 2 vecākie termi saīsinās = c 1 a 1 + c 2 a 2 = 0 = c 1 f 1 + c 2 f 2 = c 1 a 1 f 1 a 1 + c 2 a 2 f 2 a 2 = ( 1 c 1 a 1 f 1 1 ) f 2 = α 1 a 1 S(f a 1 a 2 }{{} 1, f 2 ). =d 22 2.5. teorēma. Dots, ka {f 1,..., f m } k[x 1,..., X n ]: mdeg(f 1 ) =... = mdeg(f m ) = δ. Definēsim f = m 1 c if i, kur c i k. Tad ( ) ( mdeg(f) < δ = d ij k : f = i,j ) d ij S(f i, f j ). PIERĀDĪJUMS
Pieņemsim, ka H(f i ) = a i X µ. Tā kā H(f) H(a i X µ ), tad lineārās kombinācijas m i=1 c if i vecākie termi saīsinās = m c 1 a 1 +... + c m a m = c i a i = 0 = i=1 c 1 f 1 +... + c m f m = c 1 a 1 f 1 a 1 +... + c m a m f m a m = c 1 a 1 f 1 a 1 c 1 a 1 f 2 a 2 + c 1 a 1 f 2 a 2 + c 2 a 2 f 2 a 2 +... + c m a m f m a m = c 1 a 1 ( 1 a 1 f 1 1 a 2 f 2 ) + (c 1 a 1 + c 2 a 2 ) f 2 a 2 +... + c m a m f m a m = c 1 a 1 S(f 1, f 2 ) + (c 1 a 1 + c 2 a 2 ) f 2 f m +... + c m c m = a 2 a }{{ m } atkārtojam triku 23
c 1 a 1 S(f 1, f 2 ) + (c 1 a 1 + c 2 a 2 )S(f 2, f 3 ) +... + 2.2.2. Kritērijs ( m ) c j a j j=1 } {{ } =0 ( m 1 j=1 24 c j a j )S(f m 1, f m )+ f m a m = i,j d ij S(f i, f j ). 2.6. teorēma. (divu ǧeneratoru gadījums) Kopa G = {g 1, g 2 } ir ideāla I = g 1, g 2 GB S(g 1, g 2 ) G = 0. PIERĀDĪJUMS = S(g 1, g 2 ) I G ir GB = S(g 1, g 2 ) G = 0. = Dots, ka S(g 1, g 2 ) G = 0. Jāpierāda, ka f I izpildās f G = 0.
Pieņemsim, ka f = h 1 g 2 + h 2 g 2. Definēsim δ = max i (mdeg(h i g i )). Izvēlēsimies tādus h i, lai δ ir minimāli iespējamais. Redzam, ka mdeg(f) δ. Pierādīsim, ka mdeg(f) = δ. Pieņemsim pretējo: mdeg(f) < δ. Ir iespējami divi gadījumi: 1. tikai vienam no polinomiem h 1 g 1 un h 2 g 2 mdeg= δ, vecāko termu saīsināšanās labajā pusē nenotiek, tāpēc mdeg(f) = δ - pretruna; 2. abiem polinomiem h 1 g 1 un h 2 g 2 mdeg= δ, labajā pusē notiek vecāko termu saīsināšanās, apskatīsim šo gadījumu zemāk. Sadalīsim saskaitāmos f izvirzījumā šādā veidā: f = h 1 g 1 + h 2 g 2 = H(h 1 )g 1 + H(h 2 )g 2 + ( ) ( ) h 1 H(h 1 ) g 1 + h 1 H(h 1 ) g 1. } {{ } mdeg<δ 25
26 ) mdeg(f) < δ = mdeg (H(h 1 )g 1 + H(h 2 )g 2 < δ. Apzīmēsim H(h i ) = a i X µ i. Saskaņā ar palīgteorēmām H(h 1 )g 1 + H(h 2 )g 2 = d S(X µ1 g 1, X µ2 g 2 ) = dx δ γ S(g 1, g 2 ), kur X γ = MKD(H(g 1 ), H(g 2 )). S(g 1, g 2 ) G = 0 = S(g 1, g 2 ) = t 1 g 1 + t 2 g 2, kur mdeg(t i g i ) mdeg(s(g 1, g 2 )) saskaņā ar redukcijas īpašību. Seko, ka X δ γ S(g 1, g 2 ) = X δ γ t 1 g 1 + X δ γ t 2 g 2. Ievērosim, ka mdeg(s(g 1, g 2 )) < γ = mdeg(x δ γ t i g i ) mdeg(x δ γ S(g 1, g 2 )) < δ.
Seko, ka H(h 1 )g 1 + H(h 2 )g 2 = dx δ γ S(g 1, g 2 ) = d(x δ γ t 1 g }{{} 1 + X δ γ t 2 g 2 ). }{{} mdeg<δ mdeg<δ Ir iegūta pretruna - f = h 1 g 1 + h 2 g 2 var izteikt formā ( ) ( ) f = d(x δ γ t 1 g }{{} 1 + X δ γ t 2 g }{{} 2 ) + h 1 H(h 1 ) g 1 + h 1 H(h 1 ) g 1, }{{} mdeg<δ mdeg<δ mdeg<δ kur katram loceklim labajā pusē mdeg< δ, bet δ pēc pieņēmuma ir mazākā iespējamā maksimālā multipakāpe. 2.7. teorēma. (vispārīgais gadījums) Kopa G = {g 1,..., g m } ir ideāla I = g 1,..., g m GB S(g i, g j ) G = 0, pāriem i j. 27 PIERĀDĪJUMS = Tā kā S(g i, g j ) I un G ir GB, tad S(g i, g j ) G = 0.
= Dots, ka S(g i, g j ) G = 0. Jāpierāda, ka f I izpildās f G = 0. Pieņemsim, ka f = m i=1 h ig i. Definēsim δ = max i (mdeg(h i g i )). Izvēlēsimies tādus h i, lai δ ir minimāli iespējamais. Redzam, ka mdeg(f) δ. Pierādīsim, ka mdeg(f) = δ. Pieņemsim pretējo: mdeg(f) < δ. Sadalīsim saskaitāmos f izvirzījumā šādā veidā: f = h i g i + h i g i = mdeg(h ig i)=δ H(h i )g i + mdeg(h ig i)=δ i: mdeg(h i g i )=δ ( ) h i H(h i ) g i + i: mdeg(h i g i )<δ mdeg(h ig i)<δ 28 h i g i. Summām mdeg(h i g i )=δ ( ) h i H(h i ) g i un mdeg(h i g i )<δ h i g i
multipakāpe ir stingri mazāka nekā δ. Seko, ka arī ( ) mdeg H(h i )g i < δ. mdeg(h i g i )=δ Apzīmēsim H(h i ) = α i X µ i. Saskaņā ar palīgteorēmām H(h i )g i = d jl S(X µ j g j, X µ l g l ) = d jl X δ γ jl S(g j, g l ), mdeg(h i g i )=δ j,l j,l kur X γ jl = MKD(H(g j ), H(g l )). S(g j, g l ) G = 0 = S(g j, g l ) = m u=1 t jlug u, kur mdeg(t jlu g u ) mdeg(s(g j, g l )) saskaņā ar redukcijas īpašību. Seko, ka X δ γ jl S(g j, g l ) = X δ γ jl m u=1 t jlug u. Ievērosim, ka mdeg(s(g j, g l )) < γ jl = mdeg(x δ γ jl t jlu g u ) mdeg(x δ γ jl S(g j, g l )) < δ. 29
30 Seko, ka H(h i )g i = d jl X δ γ jl S(g j, g l ) = mdeg(h i g i )=δ j,l j,l kur j, l, u mdeg(x δ γ jl t jlu g u ) < δ. m d jl X δ γ jl t jlu g u, u=1 Ir iegūta pretruna - f = m i=1 h ig i var izteikt formā f = m d jl X δ γ jl t jlu g u + j,l u=1 }{{} mdeg(h ig i)=δ ( ) h i H(h i ) g i } {{ } mdeg<δ + mdeg<δ mdeg(h ig i)<δ h i g i. kur katram loceklim labajā pusē mdeg< δ, bet δ pēc pieņēmuma ir mazākā iespējamā maksimālā multipakāpe.
2.3. Buhbergera algoritma pareizība Dots ideāls I k[x 1,..., X n ], M I ir I elementu vecāko monomu kopa. Saskaņā ar Diksona lemmu M I var noklāt ar kādas galīgas apakškopas S elementu ēnām. 2.8. teorēma. Buhbergera algoritms apstājas pēc galīga skaita soļu izpildes un tā rezultāts ir GB. PIERĀDĪJUMS Apzīmēsim Buhberga algoritma gaitā maināmo I ǧeneratoru kopu (topošo GB) ar G. Ja algoritms ir apstājies, tad {f i, f j } G izpildās S(f i, f j ) F = 0, tāpēc saskaņā ar Buhbergera kritēriju ir iegūta GB. Vecākais loceklis katram polinomam, kas tiek pievienots algoritma rezultātā, nedalās ne ar viena iepriekš pievienota polinoma vecāko locekli, jo tas ir redukcijas rezultāts. 31
Seko, ka jauna polinoma pievienošana stingri palielina G vecāko monomu kopas veidoto ēnu. Pieņemsim, ka G (un tās ēnas) palielināšana notiek bezgalīgi. Apskatīsim visu ēnu apvienojumu Ŝ. Saskaņā ar Diksona lemmu Ŝ var noklāt ar tās galīgas apakškopas T ēnām. Bet katrs no T elementiem tiks pievienots pēc galīga skaita soļiem. Ir iegūta pretruna. 32 2.4. Reducētās Grobnera bāzes vienīgums 2.9. teorēma. ideālam I k[x 1,..., X n ] viena un tikai viena RGB. PIERĀDĪJUMS Pieņemsim, ka ideālam I eksistē divas RGB {g 1,..., g m }, {h 1,..., h l }.
1.solis m = l un H(g i ) = H(h i ) pēc atbilstošas pārkārtošanas. i : H(h i ) H(g 1 ), pārkārtosim h-bāzes elementus tā, lai i = 1. j : H(g j ) H(h 1 ) = H(g j ) H(g 1 ) = j = 1. Redzam, ka H(g 1 ) H(h 1 ) = H(g 1 ) = H(h 1 ), jo vecāko termu koeficienti RGB ir 1. Turpinot šo spriedumu iegūsim, ka H(g 2 ) = H(h 2 ),..., H(g m ) = H(h m ). 33 2.solis g i = h i. Apskatīsim g 1 h 1 I. Neviens no g 1, h 1 un tāpēc arī g 1 h 1 monomiem nedalās ne ar vienu no H(g i ), tātad g 1 h 1 = 0. Turpinot šo spriedumu, iegūsim, ka g i h i = 0 visiem i.
34 3.solis RGB eksistence. Pieņemsim, ka ir dota MGB {g 1,..., g m }. Veiksim savstarpējās redukcijas tik ilgi, kamēr tas ir iespējams. Redukcijas apstāsies pēc galīga skaita soļu izpildes, jo katra redukcija samazina polinomus leksikogrāfiskajā sakārtojumā. Veiksim otrā veida pārveidojumus, lai koeficienti pie vecākajiem monomiem būtu 1. Neviena redukcija nemaina polinomu vecākos locekļus, tāpēc rezultātā tiek iegūta RGB.
3. 11.mājasdarbs 35 3.1. Obligātie uzdevumi 11.1 Izmantojot Grobnera bāzes tuvināti atrisināt dotās PVS virs C. Ir atļauts tuvināti atrast viena argumenta polinomu saknes. (a) { X 4 + X 2 Y 2 = 0 (b) (c) X 2 Y 3 = 0 X + Y + Z = 0 XY + Y Z + ZX = 0 XY Z = 1 X 2 + Y + Z = 1 X + Y 2 + Z = 1 X + Y + Z 2 = 1
36 11.2 Virsma telpā R 3 ir uzdota parametriski ar sistēmu X = uv Y = 1 v Z = u + v uv Atrodiet sakarības starp X, Y, Z izmantojot Grobnera bāzes.
3.2. Paaugstinātas grūtības un pētnieciska rakstura uzdevumi 11.4 (Neatrisināta problēma - cyclic n-roots) n N atrisināt PVS X 0 + X 1 +... + X n 1 = 0 X 0 X 1 + X 1 X 2 +... + X n 2 X n 1 + X n 1 X 0 = 0... n 1 i=0 X ix i+1(mod n)...x i+m(mod n) = 0, m < n X 0 X 1...X n 1 = 1. 11.5 Virsma telpā R 3 ir uzdota parametriski ar sistēmu X = 3u + 3uv 2 u 3 Y = 3v + 3u 2 v v 3 Z = 3u 2 3v 2 Atrodiet sakarības starp X, Y, Z izmantojot Grobnera bāzes. 11.6 Piedāvājiet algoritmu, ar kura palīdzību līknes vai virsmas vispārīgo pierakstu (PVS) var pārveidot parametriskajā pierakstā ar polinomiālām vai racionālām funkcijām. 37