@ 2004 Pēteris Dugulis 1 KOPU APJOMS Kā slīdzināt kops vi skitīt elementus kopās? Dbisks kopu slīdzināšns veids ir ttēlot vienu kopu otrā jeb konstruēt unkcijs no viens kops uz otru. DEFINĪCIJA Divs kops A un B suc pr izomorām vi ekvivlentām vi vienlielām (pzīmē r pierkstu A B ) td un tiki td j eksistē bijektīv unkcij : A B. TEORĒMA 1 Attiecīb ttieksme. ir ekvivlences PIERĀDĪJUMS. Attiecīb ir releksīv jo ktri kopi A vienībs ttēlojums id A : A A ir bijektīvs ttēlojums tātd A A. J A B td eksistē bijektīv unkcij : A B kuri ir deinēt inversā unkcij 1 : B A ks rī ir bijektīv tātd B A un ttiecīb ir simetrisk. A B un B C A B J unkcijs td eksistē bijektīvs : un g : B C kuru
@ 2004 Pēteris Dugulis 2 kompozīcij g o : A C ir bijektīv unkcij tātd A C un ttieksme ir trnzitīv. DEFINĪCIJA Pr kops A pjomu (elementu skitu krdinlitāti) c (A) suc kops ekvivlences klsi ttiecībā uz ttiecību. Glīgs kops TEORĒMA 2 J A un B ir glīgs kops td A B td un tiki td j A = B. PIERĀDĪJUMS J unkcij : A B ir bijektīv td tā ir sirjektīv (ktrm elementm kopā B eksistē netukšs inversis ttēls) tātd A B. Bijektīv unkcij ir rī injektīv (ktr kops B element inversis ttēls stur tieši vienu elementu) tātd A B. Apvienojot nevienādībs A B un A B iegūstm vienādību A = B. Pieņemsim tgd k kops A un B pmierin noscījumu A = B. Snumurēsim kopu A un B elementus ptvļīgā kārtībā: A = { 1... n} B = { b1... bn}. Deinēsim unkciju : A B r šādu ormulu: ktrm i A izpildās noscījums ( i ) = bi. Acīmredzmi
@ 2004 Pēteris Dugulis 3 unkcij ir injektīv un surjektīv tātd bijektīv. QED. J kop A ir glīg td sskņā r Teorēmu 2 tās pjomu vr identiicēt r tās elementu skitu A ks ir nturāls skitlis. Bezglīgs kops Visvienkāršākā bezglīgā kop ks ir vienlicīgi vēsturiski pirmis bezglīgs kops piemērs r kuru ir nācies sstpties mtemātiķiem ir nturālo skitļu kop N = {123...} - visi skitļi kurus vr iegūt dbiskā skitīšns rezultātā. Kops N konstrukcijs vienkāršīb motivē slīdzināt bezglīgās kops r šo kopu. DEFINĪCIJA J kop A ir vienliel visu nturālo skitļu kopi N td to suc pr snumurējmu. Nosukum izvēle ir sistīt r to k bijektīv unkcij : A N ks eksistē sskņā r kopu vienlielum deinīciju ktrm kops A elementm piekārto nturālu skitli () ko vr interpretēt kā element numuru unkciju : A N vi tās inverso unkciju bieži suc pr kops A numurējošo unkciju.
@ 2004 Pēteris Dugulis 4 Snumurējmu kopu piemēri: pti nturālo skitļu N visu pozitīvo pār skitļu kop visu veselo skitļu kop Z visu rcionālo skitļu kop Q m visu kops N elementu kop kur m ir nturāls skitlis u.c. Pierādīsim k visu pozitīvo pār skitļu kop 2 N ir snumurējm: li to izdrītu ir jāuzrād bijektīv unkcij : N 2N deinēsim šādu unkciju r ormulu ( x) = 2x viegli redzēt k tā ir bijektīv. TEORĒMA 3 Ktr snumurējms kops pkškop ir glīg vi snumurējm. PIERĀDĪJUMS Pieņemsim k A ir snumurējm kop un B A. Snumurēsim kops A elementus: A = { 1 2...} pieņemsim k B = { i...} 1 i2 kur i k < i k + 1 ktrm k. J kop B nv glīg td unkcij : B N ks deinēt r ormulu ( bi ) = k k ir kops B numurējošā unkcij. TEORĒMA 5 Pieņemsim k ir dot glīg vi snumurējm kop { Ai } i N kur ktrs elements ir
@ 2004 Pēteris Dugulis 5 snumurējm kop. Apvienojums U snumurējm kop. PIERĀDĪJUMS Uzsktīsim k Ai I A j = j i j jo pretējā gdījumā mēs vrm pāriet uz n 1 1 U i= 1 kopu { A A2 \ A1 A3 \ ( A1 U A2 )... A n \ ( A i )..}. elementu pvienojums ir vienāds r U divu elementu šķēlums ir tukš kop. i N A i i N A i ir kurs bet ktru Ktrā kopā A i snumurēsim elementus: A i = { i1 i2...} un ierkstīsim visu kopu elementus tbulā šādā veidā: 11 12 13... 21 22 23... 31 32 33............... Tbul turpinās bezglīgi pr lbi un uz leju. Ievērosim k ktrs psktāmā pvienojum elements šjā tbulā tiek ierkstīts vienu un tieši vienu reizi. Snumurēsim tbuls elementus šādā veidā: sāksim r elementu 11 iesim p lbi uz elementu 12 p digonāli uz leju un p kreisi uz elementu 21 uz leju uz elementu 31 p digonāli uz ugšu un p
@ 2004 Pēteris Dugulis 6 lbi uz elementiem 22 un 13 pēc tm p lbi uz elementu 14. Deinēsim tgd nākošo numurējmo elementu vispārīgā gdījumā izmntosim pzīmējumu ij kl ks nozīmē to k elements kl seko elementm ij. Pārejs ir šāds: 1 n 1 n + 1 j n ir nepār skitlis 1 n 2 n 1 j n ir pār skitlis n 1 n + 11 j n ir pār skitlis n 1 n 1 2 j n ir nepār skitlis i. j i 1 j + 1 j ne i ne j nv vienādi r 1 un i + j ir pār skitlis i. j i + 1 j 1 j ne i ne j nv vienādi r 1 un i + j ir nepār skitlis. Konstruētā numerācij pierād k psktāmis pvienojums ir snumurējm kop. TEORĒMA Glīg skit snumurējmu kopu Dekrt reizinājums ir snumurējm kop. PIERĀDĪJUMS Ir dots snumurējms kops A A 1 2... A n jāpierād k A 1 A2... An ir snumurējm kop. TEORĒMA 6 Ktr bezglīg kop stur snumurējmu pkškopu.
@ 2004 Pēteris Dugulis 7 PIERĀDĪJUMS Pieņemsim k A ir bezglīg kop. Izvēlēsimies ptvļīgu kops A elementu un pzīmēsim to r 1. Tā kā kop A ir bezglīg td tjā eksistē elements ks nv vienāds r 1 pzīmēsim to r 2. Tā kā kop A ir bezglīg td tjā eksistē elements ks nv vienāds ne r 1 ne r 2 pzīmēsim šo elementu r 3 un yā tālāk. Šis elementu pzīmēšns process nevr pārtrukties tā kā kopā A ir bezglīgi dudz elementu. Rezultātā iegūsim pkškopu { 1 2...} ks ir snumurējm. KONTINUĀLĀS KOPAS Vi eksistē kops ks nv ne glīgs ne snumurējms? Atbilde ir pozitīv un vienkāršākis nesnumurējms kops piemērs bezglīgu virkņu kop. TEORĒMA J A ir snumurējm kop un B 2 td Fun ( A nv snumurējm kop.
@ 2004 Pēteris Dugulis 8 PIERĀDĪJUMS metodi. Izmntosim digonlizācijs Skārtosim kops A tbilstoši numerāciji. Funkcij : A B ir bezglīg virkne 1 2... kur i B. Pieņemsim k kop Fun ( A ir snumurējm td skārtosim tās elementus kādā noteiktā kārtībā... : 11 21... k1 12 22 k 2 13 23 k 3............ 1 2 Konstruēsim unkciju 0 tā li 0 i ii td 0 i i un tātd Fun ( A elementus nevr snumurēt. Bez nturāliem un rcionāliem skitļiem mtemātikā plši izmnto rī reālos skitļus kurus vr deinēt kā bezglīgus ne obligāti periodiskus dļskitļus. Reālo skitļu kops vr interpretēt rī ģeometriski piemērm reālo skitļu intervālu [ 01] vr interpretēt kā tisnes nogriezni.
@ 2004 Pēteris Dugulis 9 DEFINĪCIJA Kopu ks ir ekvivlent reālo skitļu kops pkškopi I = [01] suc pr kontinuumu vi kontinuālu kopu. TEORĒMA 7 Kop I nv snumurējm. PIERĀDĪJUMS (Kntor digonlizācijs process) Pierādīsim k nekād snumurējm kop nevr sturēt visus reālos skitļus intervālā I = [01]. Atgādināsim k visu reālo skitļu kops pkškopu I = [01] vr interpretēt kā kopu ks stur visus pozitīvus bezglīgus decimāldļskitļus kuru veselā dļ ir 0 un vēl skitļus 0 un 1. Pieņemsim pretējo: eksistē kop A I ks ir snumurējm un A = I. Snumurēsim visus kops A elementus un srkstīsim tos stbiņā: 1 2 3 = 0. = 0. = 0.... n = 0. Konstruēsim reālu skitli x = 0. x1x2 x3... sskņā r šādu konstrukciju: xi ii. Viegli redzēt k 11 21 31 n1 12 22 32 n2 13 23 33... n3.........
@ 2004 Pēteris Dugulis 10 nekādm n skitlis x nv vienāds r n jo x tšķirs no n n tjā pozīcijā. Tātd kop A nevr sturēt visus kops I elementus. Kontinuālu kopu piemēri: vis reālo skitļu kop visu ircionālo skitļu kop visu jebkurs nepārtrukts līknes punktu kop plknes un telps punktu kop plknes vi telps pgbl punktu kop Dži pmtkti pr kopu pjomu TEORĒMA (Kntor-Bernštein teorēm) 8 Dots divs kops A un B. J eksistē injektīv unkcij : A B un injektīv unkcij g : B A td B A. PIERĀDĪJUMS Uzsktīsim k A I B =. Fiksēsim elementu A un konstruēsim elementu virkni { 0 1...} šādā veidā: 0 = j n ir pār skitlis td n +1 B j eksistē pmierin noscījumu g ( ) n + 1 = n j n ir nepār skitlis td n+ 1 j eksistē pmierin noscījumu ( ) n + 1 = n. Ir iespējmi divi vrinti: ) eksistē n tāds k n+ 1 neeksistē citiem vārdiem skot virkne { 0 1...} ir glīg šjā gdījumā suksim
@ 2004 Pēteris Dugulis 11 n pr element kārtu; b) virkne...} { 0 1 ir bezglīg šjā gdījumā teiksim k element kārt ir bezglīg. Deinēsim trīs pkškops kopā A : A P - visu to elementu kop kuru kārt ir pār skitlis A N - visu to elementu kop kuru kārt ir nepār skitlis A - visu to elementu kop kuru kārt ir bezglīg. Acīmredzmi šīs pkškops deinē kops sdlījumu: A = AP U AN U A. A Līdzīgā veidā ktrm elementm b B konstruēsim elementu virkni { b b 0 1...} kur b 0 = b j n ir pār skitlis td b n +1 A j eksistē pmierin noscījumu ( b ) n + 1 = bn j n ir nepār skitlis td b n+ 1 j eksistē pmierin noscījumu g ( b ) n + 1 = b n. Deinēsim element kārtu tāpt kā kops A gdījumā deinēsim tbilstošo kops B sdlījumu: B = BP U BN U B. Viegli redzēt k AP ir sirjektīv unkcij no A P uz B N ir sirjektīv unkcij no A uz B 1 g AN A ir sirjektīv unkcij no A N uz B P.
@ 2004 Pēteris Dugulis 12 1 Funkcij ' = ( A ) U ( ) ( ) P A U g A N ir bijektīv unkcij no A uz B un līdz r to teorēm ir pierādīt. Kopām A un B ir iespējmi 4 gdījumi: ) eksistē injektīv unkcij : A B un injektīv unkcij g : B A b) eksistē injektīv unkcij : A B un neeksistē injektīv unkcij g : B A b) neeksistē injektīv unkcij : A B un eksistē injektīv unkcij g : B A c) neeksistē injektīv unkcij : A B un neeksistē injektīv unkcij g : B A. J ir spēkā gdījums ) td sskņā r Teorēmu kops ir ekvivlents. Vr pierādīt k gdījums d) nekd nerelizējs. Gdījumi b) un c) relizējs j kopām ir džādi pjomi. J eksistē injektīv unkcij : A B td sk k kops A pjoms ir mzāks vi vienāds nekā kops B pjoms (pzīmē r pierkstu c( A) c( ). J eksistē injektīv unkcij : A B un neeksistē injektīv unkcij g : B A td sk
@ 2004 Pēteris Dugulis 13 k kops A pjoms ir stingri mzāks nekā kops B pjoms (pzīmē r pierkstu c ( A) < c( ). Viegli redzēt k jebkuri glīgi kopi A un jebkuri bezglīgi kopi B izpildās noscījums c ( A) < c(. J A ir snumurējm un B ir jebkur bezglīg kop td no Teorēms 6 seko k c( A) c(. J kop B ir kontinuāl td ko Teorēms T.9 seko k c ( A) < c(. TEORĒMA 9 Jebkuri kopi A izpildās noscījums c ( A) < c( P( A)). PIERĀDĪJUMS Tā kā A P(A) td dbiskā immersij i : A P( A) ir injektīv unkcij no A uz pkškopu A P(A). Atliek pierādīt k neeksistē injektīv unkcij no (A) P uz kopu A. Pieņemsim pretējo: eksistē injektīv unkcij : P( A) A. Konstruēsim kops A pkškopu C šādā veidā: c C td un tiki td j c 1 ( c ) un 1 ( c).
@ 2004 Pēteris Dugulis 14 Apsktīsim kops A elementu x = (C). J x C td sskņā r kops C konstrukciju x C jo x = (C). J x C td x C jo tkl jāievēro ts kts k x = (C). Mēs esm ieguvuši pretrunu ks nozīmē to k nv iespējm konstruēt injektīvu unkciju P( A) A. Kā mēs noskidrojām iepriekš j kop A ir glīg n kop un A = n td P( A) = 2. Šis novērojums džreiz stimulē pzīmēt kopu P (A) r pierkstu A 2. (Vr pierādīt k kop P (N) kur N - nturālo skitļu kop ir kontinuāl ts ir tās pjoms ir vienāds r kops I = [01] pjomu). Krdinālie skitļi un drbībs r tiem Kopu pjomu suc rī pr kops krdinālo skitli jo ts vispārin skitļ jēdzienu. Vr mēģināt deinēt operācijs r krdināljiem skitļiem ks vispārin operācijs r prstjiem skitļiem.
@ 2004 Pēteris Dugulis 15 Krdinālo skitli (KS) m suksim pr KS n 1 un n 2 summu n 1 + n2 j m ir vienāds r n 1 un n 2 pjomu kopu pvienojum pjomu. Krdinālo skitli (KS) r suksim pr KS n 1 un n 2 reizinājumu n 1n2 j r ir vienāds r n 1 un n 2 pjomu kopu Dekrt reizinājum pjomu. Krdinālo skitli (KS) e suksim pr KS n 1 un n2 n 2 pkāpi n 1 j e ir vienāds r jebkurs kops Fun(A pjomu kur A pjoms ir n 2 un B pjoms ir n 1. TEORĒMA (krdinālo skitļu īpšībs) 1) +b=b+ b=b; 2) (+b)+c=+(b+c); 3) (+b)c=c+bc; b+ c b c 4) =.