Komndu olimpiāde mtemātikā Atrisinājumi 9. klsei 1. Arūz sstāvā ir 99% ūdens, tomēr, kd to tstāj sulē uz stundu, dļ ūdens iztvikoj, un tgd tiki 98% rūz ir ūdens. Kādu dļu sākotnējās mss rūzs ir zudējis? Risinājums 1: Pieņemsim, k rūz ms ir rūzēni, sīsināsim kā z (mērvienī ir izdomāt, et tā, kā mums interesē tiki msu ttiecīs, td mērvienīs nv tik svrīgs). Tātd sākumā ūdens sver 99 z un susis tlikums sver 1 z. Pēc izžūšns, mums ir 98% ūdens, un tātd % susnes. Susnes ms nv minījusies, tātd % = 1 z 98% = ūdens pēc sules Reizinm šķērsām un iegūstm, k ūdens pēc sules = 1 98 = 9 z. Tātd rūzs tgd sver 9 + 1 = 50 z, tātd pzudēj 50 z, ks tilst 50% no sākotnējās mss. Risinājums : - rūz kopējā ms u - ūdens ms rūzā sākumā z - zudētā ūdens ms tātd zudumi z ir puse no sākotnējās mss. Risinājums : - rūz kopējā ms - rūz susnes ms z - zudētā ūdens ms u = 99 u = 99 u z z = 98 u z = 98 98z u 98 = z 99 98 = z = z 0.5 = z Ts nozīmē, k z = = 1 99 = 1 z z = = 1 1 z = 1 z = 1. Veiklā pārdod trīs veidu ugļus: āolus, nānus un citronus. Cik veidos vr nopirkt tieši trīs ugļus? Ar pzīmēsim āolu, r - nānu, r c - citronu. Ar virāku urtu virkni pzīmēsim pirkumu. Piemērm, tilst pirkumm, kurā ir divi āoli un viens nāns. Ievērosim, k un ir viens un ts pts pirkums, jo nv svrīgi, kādā secīā mēs pērkm ugļus. 1
Ievērosim, k, j visi nopirktie ugļi ir vienādi, td ir iespējmi džādi veidi, kā iepirkties -,, ccc). J visi ugļi ir džādi, td ir 1 veids - c. J divi ugļi ir vienādi un viens tšķirās, td ir 6 veidi, kā tos nopirkt -,, cc,, cc, c. Tātd ir kopā + 6 + 1 = 10 džādi veidi, kā nopirkt tieši trīs ugļus.. Atim ir ļoti dudz zķu. Viņš izdomāj tos izskitīt, džādos veidos sdlot tos p ūrīšiem, ūrīšu ir dudz virāk nekā zķu. J zķus liek urīšos p diviem zķiem ktrā, viens zķis pliek pāri. J liek urīšos p trim, rī viens pliek pāri. J liek p četriem, pieciem vi sešiem, td visos gdījumos viens pliek pāri. Svukārt, liekot p septiņiem, nv zķ, ks pliktu pāri. Zināms, k Atim ir mzākis iespējmis zķu skits, ks pmierin noscījumus. Cik zķu ir Atim? Apzīmēsim prsīto skitli r n. Td n 1 dlās gn r, gn r, gn r, gn r 5, gn r 6, jo, j vienu zķi noņem, td zķi tieši sliekās veselā skitā ūrīšu ktrā r ttiecīgo skitu zķu. J skitlis dlās r, td ts noteikti dlās rī r. J skitlis dlās gn r gn r, td ts noteikti dlās rī r 6. Līdz r to pietiek, k n 1 vienicīgi dlās r, un 5, līdz r to ts dlās rī r 5 = 60. Pirmie pāris 60 dudzkārtņi ir 60, 10, 180, 0, 00. Tātd sešs mzākās iespējmās n vērtīs ir: 61, 11, 181, 1, 01. Pārudot dlāmīu r 7 (n dlās r 7 jo zķus vr tieši slikt ūrīšos p septiņiem ktrā) iegūstm, k tiki 01 dlās. Līdz r to ir 01 zķis un vienlikus esm pierādījuši k tā ir mzākā vērtī.. Plknē tzīmēti pieci srkni punkti, ks veido izliektu piecstūri. Ārpus piecstūr tzīmēts viens zils punkts.pierādīt, k vr trst tādu trijstūri r divām srknām un vienu zilu virsotni, k viens no trijstūr leņķiem nepārsniedz 5 grādus. Nosuksim zilo punktu pr Z un srknos punktus snumurēsim secīā, kādā tos redz punkts Z no lās uz kreiso kā S 1, S... S 5. Ievērosim, k j punkts trods ārpus izliekt piecstūr, td noteikti eksistē tād tisne l, ks iet curi punkm Z, k visi punkti S1, S..S5 trods vienā pusē no tisnes (vr ūt, k dži punkti trods uz tisnes). Piemērm, j mēs pgrinm ktru piecstūr mlu līdz tisnei, td jekur no šīm tisnēm pmierin noscījumu, k visi piecstūr punkti trods vienā pusē no tisnes, jo piecstūris ir izliekts. Tā kā punkts Z trods ārpus piecstūr, td noteikti eksistē vismz vien mls pgrinājum tisne, k visi srknie punkti trods vienā tisnes pusē (vi uz tisnes) un punkts Z trods otrā pusē (jo pretējā gdījumā Z ūtu iekš piecstūr). J mēs pīdm šo tisni, neminot tās virzienu, līdz tā iet curi Z, td skidrs, k visi srknie punkti vēl izvien ir vienā tisnes pusē. Ts nozīmē, k leņķis S 1 ZS 5 < 180 grādiem. Bet No otrs puses S 1 ZS 5 = S 1 ZS + S ZS + S ZS + S ZS 5 ir četru leņķu summ, līdz r to šo leņķu vidējis ritmētiskis ir 180 = 5 grādu. Līdz r to vismz viens leņķis nepārsniedz 5 grādus, et ts nozīmē, k j mēs pņemm šo leņķi veidojošos punktus kā trijstūr virsotnes, td mēs esm trduši vjdzīgo trijstūri. Ks ij jāpierād. 5. Ks ir lielāks 016 017 + 017 018 + 018 016 Pierādīsim, k 016 017 + 017 018 + 018 016 > 017 016 + 018 vi 017 + 016 018. Pārnesot ttiecīgos lielumus uz vienu vi otru pu- Izmntojot kvdrātu strpīs formulu Atliek vien pmnīt, k kreisji pusei piereizinot si nevienādī pārrkstās kā 1 018 + 1 016 > 017 iegūstm, k nevienādī pārrkstās kā 017 017 1 > 017 017 016 + 018 017 + 016 018 018+016 018 016 > 017 1 = 017 017 nevienādī neminās: 017 017 1 > 017 017 Pēdējā nevienādī ir cīmredzm (dlot to pšu r mzāku skitli iegūst lielāku vērtīu). 6. Konfekšu kste ir tisnstūr rūtiņu režģis, ks ir 5 rūtiņs ugsts un 7 rūtiņs plts. Ktrā rūtiņā ir p vieni konfektei. Mkss un Morics spēlē sekojošu spēli: Svā gājienā zēns izvēls vienu konfekti un pēd gn to, gn viss lkusesošās konfektes (pr lkusesošu suc konfekti, ks trods rūtiņā, kuri ir kopīg ml r izvēlētās konfektes mlu). Pēc tm ir otr zēn gājiens. Spēle turpinās, līdz ir pēsts viss konfektes.?
Pēc spēles, protms, mmm ūs ļoti dusmīg, tomēr i zēni vienojs, k vinu uzņemsies ts, kurš ūs pēdis virāk konfekšu. J Mkss sāk, vi Morics vr grntēt to, k viņš pēdīs mzāk konfekšu nekā Mkss? Svu gājienu nv tļuts izlist. Jā, Morics vr grntēt to, k viņš pēdīs mzāk konfekšu. Ievērosim, k, j Morics vienmēr dr gājienus, ks ir centrāli simetriski pret centrālo rūtiņu, td viņš nekd neūs pirmis, ks pēdīs centrālo rūtiņu. No otrs puses, tā kā visi viņ gājieni ir simetriski, td viņš vienmēr ūs pēdis tikpt konfekšu kā Mkss, līdz rīdim, kd viens no viņiem pēdīs centrālo konfekti. Līdz r to Moricss ūs pēdis mzāk konfekšu kā Mkss. (Tā kā ir nepār skits konfekšu, td situācij, kur i ūtu pēduši vienādu skitu konfekšu ir neiespējm. 7. Andž griēj uzzināt, cik lā ir melnu un cik ltu murkšķu. Alā ir ļoti tumšs, et Andž ir pārliecināts, k lā melno murkšķu ir mzāk pr 5 visu murkšķu. Pēkšņi lā ieskrien vēl melni murkšķi. Andž tkl kārtīgi izpēt lu un nonāk pie secinājum, k tgd lā melno murkšķu ir virāk nekā visu murkšķu. Cik lā ij murkšķu sākumā? Ar m pzīmēsim melno murkšķu skitu, r v - visu murkšķu skitu, td skidrs, k izpildās sekojošās nevienādīs: m < 5 v un m + > (v + ), ks pārrkstās kā m > v. Ievērosim, k ts nozīmē, k 5 v > v, ks pārrkstās kā 10 > v, līdz r to, tā kā kopējis murkšķu skits ir vesels, td 1 v 9. Tālāk sstādm tuliņu: v 1 5 6 7 8 9 5 v 5 1 1 5 1 5 5 5 1 5 5 5 5 v 0 1 1 1 5 1 Vi eksistē vesels m, k 5 v > m > v? nē m = 1 nē nē nē nē nē nē nē No kurienes seko, k lā sākumā ij 1 melns un 1 lts ( kopā) murkšķis. Pieilde: Uzdevums ļoti skisti risinās, j uzzīmē grfiku, un meklē režģ punktus tjā. 8. Dots septiņs vienāds riņķ līnijs r rādiusu 1 cm, ks pieskrs vien otri kā prādīts 1. zīmējumā. Aprēķināt iekrāsotās dļs lukumu. 1. zīm.
. zīm. Sgriežm dotās figūrs riņķ līnijs trešdļās un pārvietojm tās, kā prādīts. zīmējumā, iegūstot regulāru sešstūri r mls grumu cm. Tālāk, ievērosim, k regulārs sešstūris sstāv no sešiem regulāriem trijstūriem r mls grumu cm. Tālāk, izmntojm regulār trijstūr lukum formulu S = = cm. Tātd sešstūr lukums ir 6 cm un līdz r to rī sākotnējās iekrāsotās dļs lukums ir 6 cm. 9. Uz tāfeles uzrkstīts dļskitlis. Ktrā gājienā drīkst r dļskitli veikt vienu no sekojošjām drīām: 1) Apgriezt to, ) Pieskitīt 1 un pēc tm izdlīt r, +1 J sākumā uzrkstīts 5 0, vi iespējms tkārtoti pielietojot drīs nonākt līdz ) 8 ) 0 vr iegūt, piemērm, r sekojošo drīu virkni: 5 1) drī 8 ) drī 1 ) drī 1) drī 0 8 5 10 0 ) Apsktīsim strpīu strp skitītāju un sucēju. Ievērosim, k izpildot pirmo drīu, strpī nomin zīmi. Izpildot otro drīu +1 minījusies. = + ) 71?, mēs iegūstm, k junā strpī ir + =, proti tā nv Tātd strpī strp skitītāju un sucēju ir invrints (neminās) izpildot iespējmās drīs, izņemot, iespējms, tā nomin zīmi. Tātd, j mēs sākm r 5 8, td sākotnējā strpī ir 5 8 =, līdz r to jekur dļ, kuru vr iegūt izmntojot drīs, ūs r sucēj skitītāj strpīu + vi. Bet 71 strpī strp sucēju un skitītāju ir 71 = 8. Tātd 71 nevr iegūt, ks ij jāpierād. 10. Pilsētā ir 71 māj. Zināms, k no ktrs mājs iziet tieši viens ceļš, ktrā krustojumā stieks tieši trīs ceļi un no ktrs mājs vr iziet līdz jekuri citi māji pārvietojoties tiki p ceļiem. Vi kādā no krustojumiem vr uzūvēt veiklu tā, li no jekurs mājs ejot p ceļu vrētu nokļūt līdz veiklm, šķērsojot ne virāk kā 5 krustojumus? Prsīto nevr izpildīt. Ievērosim sekojoš veid pilsētu, kur A un B ir mājs, svukārt tzīmētie punkti ir krustojumi:. zīm.
Ievērosim, k šjā pilsētā ir tiki divs mājs, toties ir 8 krustojumi. Ppildus, ievērosim, k iespējms pgrināt doto kostrukciju r ptvļīgu skitu krustojumu, vienkārši tkārtojot doto krustojumu ķēdi, turklāt vēlizvien pliek tieši mājs. Līdz r to, j mēs iedomājmies, k ķēde tiek pgrināt, līdz strp A un B trods 8000 krustojumi, td skidrs, k ttālums vi nu no A vi no B līdz jekurm krustojum punktm ūs vismz 6, et td, j mēs punktā B pieūvējm vēl pāris mājs, līdz to skits ir 71 kopā (tā li uzdevum noscījumi tiktu ievēroti, ks, protms, ir iespējms) td mums ir pilsēt, kurā nevr uzūvēt veiklu kādā no krustojumiem tā, li ttālums līdz jekuri māji ūtu ne virāk kā 5 krustojumi.. zīm. 11. Pr stotniecisku kvdrātu suksim tādu nturāl skitļ kvdrātu, kurm ir tieši stoņi cipri un tā pēdējo četru cipru veidotis skitlis ir stoņs reizes lielāks nekā pirmo četru cipru veidotis skitlis (piemērm, 9807 pmierin pēdējo prsīu, jo 807 = 8 9, et nv nturāl skitļ kvdrāts). Atrst, r pmtojumu, vienu stotniecisku kvdrātu. Apzīmēsim pirmo (no kreisās puses) četru cipru veidoto skitli r n, skidrs, k n 0, jo ts ir četrcipru skitlis, kur pirmis ciprs nevr ūt 0, jo td sākotnējis skitlis neūtu stoņcipru skitlis. Ievērosim, k meklētie kvdrāti izskās formā 00n + 8n = 08n = n 6 78 = 6 78n. Tā kā 6 ir kvdrts, td li 6 78 n ūtu kvdrāts, rī 78 n ir jāūt kvdrātm. Ievērosim, k j n = 78 = 111, td 78 n = ( 78) ir nturāl skitļ kvdrāts, līdz r to 1118896 ir stotniecisks kvdrāts. 1. Uz trpeces ABCD grākā pmt AD tlikts punkts E tā, k DE = BC. Mlu AB un CD pgrinājumu krustpunkts ir F. Uz CD pgrinājum tlikts punkts G tā, k CG = BE. Pierādīt, k BEC + BFG = FBG. Diemžēl uzdevums tik noformulēts nepreizi un jēgpilns trisinājums neeksistē. 1. Ktrā no 5. zīmējumā esošjiem tukšjiem luciņiem ierkstiet skitli tā, li ktrā plītī ierkstītis skitlis ūtu visu lkusesošo luciņu vidējis ritmētiskis! Luciņus suc pr lkusesošiem, j tie ir svienoti r tisnu līniju zīmējumā. 5. zīm. 6. zīm. Piemērm, vr pārudīt, k 6. zīmējumā dotie skitļi pmierin prsīu, k ktrā plītī ierkstītis skitlis ir visu lkusesošo luciņu vidējis ritmētiskis. Veigli pārudīt, k 7. zīmējumā ttēlotie skitļi pmierin uzdevum prsīs. 5
7. zīm. Prsītos skitļus viegli vr iegūt, j pzīmē centrāljā plītī ierkstīto skitli r x, un ievēro, k pkārt tm izvietojušies x+8, x+0, x+0, x+0, ks nozīmē, k x = x+8 + x + x + x x = x + 8 8 Kd iegūts centrāli skitlis, iegūt pārējos kļūst ļoti vienkārši. x = 1. Jānim ir 99 flīzes, r kurām viņš vēls noklāt vnns ists sienu. Kāds ir mzākis skits flīžu, kādu viņm ir jānokrāso, oligāti jānokrāso vismz vien flīze, li ūtu iespējms r flīzēm izklāt tisnstūr lukumu tā, li visās rindās ūtu vienāds skits nokrāsoto flīžu un visās kolonās ūtu vienāds nokrāsoto flīžu skits? Flīžu skitm rindā un flīžu skitm kolonnā ne oligāti jāskrīt. Flīze vienmēr tiek nokrāsot pilnīā, un flīzes nedrīkst pārgriezt. Tisnstūr izmērus Jānis izvēls pts, et tisntūrī ir jāūt izmntotām visām 99 flīzēm. Apzīmēsim minimālo skitu r skitli n. Ar x pizīmēsim risnstūr rindu skitu un r y kolonnu skitu. Ievērojm to, k x k 1 = y k, kur k 1, k ir nokrāsoto flīžu skits ttiecīgi kolonnā un rindā. Ievērojm vēl, k n = x k 1 un n = y k, kur n ir kopējis nokrāsoto flīžu skits. Tātd n mkd(x, y), kur mkd(x, y) ir mzākis kopīgis x un y dlāmis, jo x dl n un y dl n. Ievērosim vienādīu mkd(x, y) = xy lkd(x,y), kur lkd(x, y) ir skitļu x un y lielākis dlītājs. Tātd mums pietiek trst lkd(x, y) lielāko iespējmo vērtīu li trstu n mzāko iespējmo vērtīu, jo x y = 99 ir fiksēts. lkd(x, y) lielākā vērtī ir (ts seko no dlījum pirmreizinātājos 99 = 11, un to vr pierādīt sstādot mzu tuliņu r visiem iespējmjiem dlītāju pāriem). Tātd n 99 =. Pr limi eksistē tieši konstrukcij šim gdījumm. Pņemm x = ; un y =. Td izpildm visu tisnstūri kā prādīts zemāk: 15. Pierādīt, k trijstūrī pret grāko mlu trods ) īsākis ugstums; ) īsākā mediān! ) Ievērosim, k trijstūr lukums izskās kā S = 1 S h. Līdz r to vrm izteikt h =. Tā kā S ir neminīgs lielums jekurm trijstūrim, td vismzāko vērtīu ugstums h ssniedz td, kd ir vislielākis (dlot r lielāku skitli iegūstm mzāku skitli). Tātd visīsākis ugstums tiešām trods pret grāko mlu. ) Trijstūrī ABC novilksim viss trīs mediāns AP, BQ, QR, to krustpunktu pzīmēsim r M. Nezudējot vispārīu pieņemsim, k CB ir grākā ml. Nv grūti pierādīt, k mediāns dl trijstūri sešos vienlielos (r vienādu lukumu) trijstūros. 6
No P novilksim ugstumu PS pret mlu MB, un no R novilksim ugstumu RT pret mlu MB. Tā kā trijstūru MPB un MRB lukumi ir vienādi, td, tā kā pmts MB ir kopējs, td ugstumi skrīt PS = RT. Pielietojot Pitgor teorēmu, iegūstm, k SB = PB PS = 1 CB PS un TB = BR RT = 1 AB PS, un, tā kā BC AB pēc pieņēmum, td SB = 1 CB PS 1 AB PS = TB, līdz r to SB TB. No tā seko, k SM = MB SB MB TB = MT, svukārt no tā seko, k MP = SM + SP TM + SP = TM + TR = MR. Līdz r to MP MR. Līdzīgi, psktot MPQC, pierādm, k MP MQ. Novilksim gstumu AU pret mlu MR un gstumu BV pret MR. Līdzīgi kā iepriekš, iegūstm, k AU = BV kā ugstumi, ks lstā uz vienu un to pšu pmtu vienlielos trijstūros. Ievērosim, k, tā kā AC CB pēc pieņēmum, td CU = CA AU CB AU = CB BV = CV. Līdz r to CU CV, tātd rī MU = CU CM CV CM = MV, tādēļ MA = MU + AU MV + AU = MV + BV = MB, līdz r to MA MB. Līdzīgi, psktot AMC, iegūstm, k AM CM. Apvienojot MP MR un AM MC, iegūstm, k AP = AM + MP CM + MR = CR. Līdzīgi iegūstm, k AP BQ. Tātd AP ir īsākā mediān, un ptiesi tā trods pret grāko mlu CB, ks ij jāpierād. 7