Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republias 6.-. matemātias olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 0. OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 0.. Vieādojumu pārveidojam formā ( x + ) = 0 x = x + Atbilde: x =. x. 0.. Tā ā ABM = AND u BAM = NAD pēc dotā, tad trijstūri ABM u ADN BM ND ir līdzīgi. Apzīmējot AB = CD = x, AD = BC = y, iegūstam =, jeb AB AD y x x =. No šejiees atrodam prasīto attiecību x y y =. B M N C A D 0.. Ja diferece ir 0, tad pirmie vires loceļi ir a, a + 0 u a + 0. Vies o tiem dalās ar, u tas var būt pirmsaitlis tiai, ja ir vieāds ar. Tātad iegūstam progresiju,,. Otru gadījumu aplūo aaloģisi, bet šajā gadījumā prasīto viri eiegūst, jo 0 av pirmsaitlis. 0.. Apzīmēsim AB = x, BC = y, AC = z. No dotā iegūstam vieādību: ( ) ( ) x + y = z,. No trijstūra evieādības izriet, a z x + y. Tātad ( x) ( y) x y ( x ) ( y ) + + + + 0. Abiem vadrātiem jābūt vieādiem ar 0. Iegūstam x =, 9 y =, z =. 0.. a) Saitļus var ierastīt tā, lai visās oloās ierastīto saitļu summas būtu vieādas (parādiet ā!). 0.. zīm.
b) Ierastīt saitļus tā, lai visās ridiņās ierastīto saitļu summas būtu vieādas evar. Tiešām, pieņemsim, a atrā ridiņā ierastīto saitļu summa ir S. 0 Tad 6S = + + + L 0 = S =, bet S jābūt veselam saitlim. 0.6. To, a šādi pārveidojumi ir iespējami parāda atram saitlim o dotā itervāla. Piemēram, 6 6, utt. 0.7. Apzīmēsim x x a b x + = +, x =. Tad a ab + b = 0. Dalot ar b u a risiot vadrātvieādojumu, iegūstam b = vai a =. Ievietojot a u b vietās b atbilstošās izteismes, iegūstam stadarta vieādojumus, urus atrisiot iegūstam atbildi: x { 0 ± 7} ;. 0.8. Atzīmēsim, a ( ) ( = + + ) u ( ) ( ) Ievērojot vieādību ( ) ( ) loceļi, izņemot pirmos u pēdējos. Iegūstam + = + +. + + = + + + dotajā reiziājumā saīsiās visi + + lim a = = + +. N E F M G B C A D 0.. zī m. 0.9. Trijstūri CBE papildiām līdz paralelogramam CBNE. No dotā redzams, a trijstūri CBN u DCG ir vieādi (vieādas malas DC = CB, CG = BN u leņķi starp tām). Šie trijstūri pagriezti vies pret otru 90 leņķī. Tātad CM DG u CM ir divas reizes īsās par DG. 0.0. a) Nē, evar. Ierāsosim mazos ubiņus šahveida ārtībā (blausstāvošie dažādās rāsās). Veidojas meli u balti ubiņi. Lai figūra apietu visus ubiņus tai jāizdara 7 gājiei atru reizi pārejot uz pretējās rāsas ubiņu. Bet tādā gadījumā
pēc 7 gājiea tā evarēs atgriezties sāotējā ubiņā, jo tā atradīsies pretējās rāsas ubiņā. b) To var izdarīt. 0.. Vieādojumu pārveidojam formā: si x si7x π = cos9 x = 0; x = ( + ), Z. Taču vērtības cosx cos7x 8 = 9 + eder, jo tad av defiēti sāotējie tagesi. 0.. Izpildot pārveidojumus, doto fuciju pārveidojam formā ( ) si x. Tātad tās lielāā iespējamā vērtība ir, uru tā pieņem visos putos, ad si x =. 0.. Ja saitļus a, b, c, d, e izvēlēsimies formā 9 +, tad uzdevuma osacījumi izpildīsies, jo fatisi tā ir piecu vieiieu summa ar dažādām zīmēm (pēc moduļa 9). Šādus piecus pirmsaitļus var izvēlēties, piemēram, šādi: 9, 7, 7, 09, 7. 0.. Par putu opu plaē, as apmieria uzdevuma osacījumus, var ņemt, piemēram, regulāra sešstūra virsotņu opu. Putu opu, as visa eatrodas vieā plaē, var iegūt, piemēram, ā divu regulāru sešstūru virsotņu opu, ja tiem viea galveā diagoāle ir opīga, bet plaes esarīt. 0.. Apzīmēsim vadrātveida tabulas virsotes ar ABCD, u pieņemsim, a mums jāvel lauztas līijas o A uz C. Aplūosim mezglu putus, as atrodas uz diagoāles BD. Tādu putu saits ir +. Katra o lauztajām līijām var saturēt tiai vieu o šiem putiem. Tātad lauzto līiju saits ir e mazās ā +. Viegli ostruēt piemēru, ad lauzto līiju saits ir +. 0.6. Vieādojumu pārveidojam si x + = cos x + si x cos x = si x si x si x = si xcos x ( ) si x si x + cos x = 0. π π π Atbilde: x + π + π + π Z 6 7,,,. 6 0.7. Apzīmējot log x = y, iegūstam y + y y + 9 + + = 0. y y 6
To var pārveidot formā y + y y + + + = 0. y Pastāv divas iespējas : y + y y = + y =,. Abos gadījumos vieādojumiem av atrisiājumu. 0.8. Šī telpas daļa sastāv o diviem ousiem, uru virsotes atrodas uba virsotēs. Tās tilpums ir π 8. 0.9. Pierādīsim, a ciparu grupa 67 evar atrasties eur šādas daļas pierastā. Pieņemsim o pretējā, a m = 0, aaka 67K. Tad 0 m aaka r = = 0,67K r Tas ozīmē, a 0,67 0, 68.. 6r 6r Pareiziot šo evieādību ar 6, iegūstam,00, 008. Tā ā, 00, tad 6 r >, tātad 6 r > ; tā ā u 6r ir veseli saitļi, tad 6 r + u 6r + 6 r = + >,0 (jo < 00). Tas ir pretruā ar to, a <, 008. 0.0. Pieņemsim o pretējā, a Jāim izdevies aizpildīt daudzstūra iešējās rūtiņas ar saitļiem divos dažādos veidos. Atņemsim o vieas tabulas saitļiem otras tabulas saitļus (o atras atbilstošās rūtiņas pirmās tabulas saitļa atņem otrās tabulas saitli). Iegūsim tabulu, uras malējās rūtiņās ierastītas ulles, bet esistē iešējā rūtiņa, urā ir ierastīts eulles saitlis. Uzsatīsim, a tas ir pozitīvs. Starp visiem tabulas saitļiem izvēlēsimies vislielāo. Aplūosim rūtiņu, urā ierastīts šis saitlis a. Tad šai rūtiņai blausstāvošajās rūtiņās arī visiem saitļiem jābūt vieādiem ar a. Tiešām, vidējais saitlis ir blausstāvošo saitļu vidējais aritmētisais, bet tie visi epārsiedz a, tātad ir vieādi ar a. Tas ozīmē, a atrai rūtiņai, urā ierastīts saitlis a, blausstāvošajās rūtiņās arī ierastīs saitlis a. Tā ā o jeburas rūtiņas var aiziet uz jeburu rūtiņu, vairāas reizes pārejot uz blausstāvošo, tad visi saitļi tabulā ir vieādi ar a. Iegūta pretrua, jo tabulas malējās rūtiņās ierastītas ulles. 0.. Acīmredzot sistēmai ir atrisiājums pozitīvos saitļos (,, ). Pierādīsim, a cita atrisiājuma pozitīvos saitļos av.
Pieņemsim o pretējā, a tai ir atrisiājums (x, y, z) pozitīvos saitļos, as ir atšķirīgs o (,, ). Saidrs, a āds o šiem saitļiem ir lielās par u āds mazās par. Tā ā sistēma ir simetrisa attiecībā pret maiīgo x, y, z cilisu samaiīšau, tad varam pieņemt, a x >. Apsatīsim vairāus gadījumus (atceroties, a vai u 0 < y <, vai 0 < z < ).. y, 0 < z <. Tā ā > x, y y, z z, tad. u. Vieādojumi ir pretruīgi. x > Līdzīgas pretruas iegūst arī pārējos gadījumos. 0.. Fucijas ax + bx + c f. Tad f f f = c = a + = a + b + c b + c vērtības putos 0,, apzīmēsim atbilstoši ar f, f, Atrisiot sistēmu, iegūstam a = f f + f b = f + f f c = f Tā ā f, tad a 8, b 8, c, u izteismes a + b + c vērtība epārsiedz 7. Vērtība 7 realizējas triomam 8x 8x +.
0.. Pierādīsim, a vismazāās izmasas, ar urām tas paāams ir 0000 rubļi.. Parādīsim, a ar 0000 rubļiem pietie. Strādiei A B C D E F G H Darbagaldi * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ja strādiei apmācīti tā, ā orādīts tabulā, tad opējās izmasas ir 0000 rubļu.. Pierādīsim, a ar mazā ā 0000 rubļiem uzdevuma prasības av izpildāmas. Tiešām, pieņemsim, a pietie ar 9 apmācību procesiem. Tad atradīsies darbagalds, uz ura apmācījušies e vairā par strādieiem. Ja šie trīs strādiei eierodas darbā, tad uz attiecīgā darbagalda evies evarēs strādāt. 0.. A N B C K M 0.. zīm Tā ā AKM = ANM = 90, tad ap četrstūri AKMN var apvilt riņķa līiju ar diametru AM. Apzīmēsim tās diametru ar R. Apzīmēsim fisēto leņķi KAN ar α. Tad KN = Rsiα = AMsiα, tātad KN būs vislielāais tad, ad vislielāais būs AM, t.i., ad A u M būs sāotējās riņķa līijas diametrāli pretējie puti.
0.. Brīdī, ad būs ovilti visi iespējamie ogriežņi, vadrāts būs sadalīts trijstūros, uru virsotes atradīsies vadrāta virsotēs vai dotajos putos. Pieņemsim, a ir ovilti x ogriežņi. Katrs o tiem ir divu trijstūru mala. Piesaitot arī dotā vadrāta malas, iegūstam, a opā trijstūriem ir x + malas. To iešējo leņķu x + summa ir 80. No otras puses, visu trijstūru iešējie leņķi opā veido 00 pilus leņķus ar virsotēm dotajos putos u vadrāta leņķus, tātad 60 00 + 60. No vieādības ( x + ) 60 = 60 00 + 60 iegūstam, a x = 0. 0.6. Starpība starp diviem blaus esošu saitļu vadrātiem ir ( + ) = + Tāpēc virē. 0,, K,990 starpība starp blaus esošajiem loceļiem ir mazāa par 0 990 980. Tas ozīmē, a virē,, K, blausstāvošie saitļi ir vai 980 980 980 u vieādi, vai atšķiras par. Tā ā pirmais locelis virē ir 0, bet pēdējais 9, tad pavisam virē ir 96 dažādi saitļi. 0.7. Jā esistē. Kostruēsim viri šādi: ) ) a =, a = a = a = L = a =. + + + ( + ) ( + ) Vires s robeža ir 0, jo otrās grupas loceļi ompesē pirmās grupas loceļus. Vire eierobežota. t ir eierobežota, jo ziāms, a aturālo saitļu apgriezto lielumu summa ir 0.8. Nē, eesistē. Pieņemsim o pretējā, a tāds daudzsaldis esistē. Aprēķiāsim tā visu saldņu visu leņķu vidējo aritmētiso L. ) Aplūosim vieu saldi. Tā ir stūris, uram 6. Tātad tās leņķu vidējais aritmētisais 80 ( ) 60 = 80 0. Tātad arī lielums L ir e mazās par 0. ) Katrā virsotē saiet vismaz leņķi, uru summa ir mazāa par 60 (jo daudzsaldis ir izliets). Tātad atrā virsotē leņķu vidējais aritmētisais ir mazās par 0 ; tātad arī L ir mazās par 0. Iegūtā pretrua pierāda mūsu apgalvojumu.
0.9. Jāiedomājas, a mēs ostruējam tetraedra MNLK zīmējumu plaē, ura divas malas NL u MK atrodas uz dotajām taisēm, bet pārējās (tās veido četru posmu prasīto līiju) iet caur dotajiem putiem. 0.0. Aizstāsim atru traipu ar mazāu traipu, ura lauums ir tieši. Acīmredzot, uzdevuma apgalvojumu pietie pierādīt jauajai traipu sistēmai. Apzīmēsim tās daļas lauumu, o pārlāj tieši traipi, ar x. Tātad x + x + x + x + x + x (lapas opējais lauums), 0 = x + x = (traipu opējais lauums). x + x + x + Aplūosim visus iespējamos divu traipu šķēlumus (tādu pavisam ir 0). To lauumu summa ir x + x + 6x + 0 x + x + x + 7x ( x + x + x + x + x ) ( x + x + x + x + x + x ) = = 0 x + x 0 Ja 0 šķēlumu lauumu summa ir, tad vismaz vieam o šiem šķēlumiem lauums ir vismaz. Piemēru, ad visu šķēlumu lauumi ir iegūst šādi. Lapu sadala 0 vieādās daļās. Katrā rāsā ierāso 0 daļas tā, lai eādas divas rāsas eatrastos vairā ā daļās. 0.. Pieņemsim, a x >. Izdalot dotās evieādības abas puses ar x, iegūstam evivaletu evieādību + x + x + L + x + x + x + L x > m = m Nevieādības reisajā pusē ir augošas ģeometrisas progresijas, x, x,, K x pirmo m loceļu summa, bet otrajā šīs progresijas pirmo loceļu summa. Ja vire aug, tad palieliās arī tās pirmo loceļu vidējais aritmētisais. Gadījumu, ad 0 < x <, apsata aaloģisi. 0.. Uzdevuma atrisiājums seo o divām lemmām. Lemma. Katrs o oviltajiem ogriežņiem tā rustputos ar citiem dalās vieādās daļās. Pierādījums izmato smaguma cetra jēdzieu. Lemma. Ja BE = EF = FG u AG = GH = HD, tad četrstūra GEFH lauums ir viea trešdaļa o četrstūra ABCD lauuma.
B E F C A G H D 0.. zīm. Pierādījums seo o tā, a trijstūru AEG, GFH, HCD (arī BAE, EGF, FHC) lauumi veido aritmētisu progresiju. 0.. Atzīmēsim bez pierādījuma seojošu vispārziāmu lemmu. Lemma. Ja 6 puti atrs ar atru savieoti ar ogriežņiem, uri orāsoti vieā o divām dotajām rāsām, tad atradīsies puti, as savā starpā savieoti ar vieas rāsas ogriežņiem. Izvēlēsimies patvaļīgas 6 omadas (uzsatīsim tās par putiem plaē). Savieosim tās ar zilu ogriezi, ja tās savā starpā abās ārtās ospēlēja vieādi, u ar sarau ogriezi pretējā gadījumā. No lemmas seo, a starp šīm omadām var izvēlēties, as savā starpā savieotas ar vieas rāsas ogriežņiem. Acīmredzot, šīm omadām izpildās uzdevuma prasības. 0.. Uzdevuma atrisiājums seo o lieāro vieādojumu teorijas. 0.. Sasaitot visus vieādojumus, iegūstam x + y + z + t = xyzt. Tātad x + y + z + t = x y z t. No evieādības par saitļu vidējo aritmētiso u vidējo ģeometriso seo, a šī vieādība var izpildīties tiai, ja visi saitļi x, y, z, t ir vieādi, bet tad x 7 y 7. Tātad sistēmai av atrisiājumu.