50. SAGATAVOŠANĀS OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ 999./000. m.g. ATRISINĀJUMI 00.. Trīscipru skitļi, kuru cipru reiziājums vieāds r 0, ir 56, 65, 56, 56, 65, 65, 5, 5, 5, 5, 5, 5. 00.. Jā. Skt., piemērm,. zīm..zīm. 00.. ) Jā; piemērm, 5; ; 4; ; 6;. b) Nē, jo g 7, g 5 vr trsties blkus tiki r. Tātd vies o šiem skitļiem etrdīsies rids glā, tču skitļiem 7 u 5 blkus vr stāvēt tiki vieiieks u evr būt divu kimiņu; iegūt pretru. 00.4. Nē. Skitlim vr būt blkus tiki 4 u 5, skitlim tiki 5 u 6. Tātd u trods stūros, u tiem diviem blkus ir 5, bet tā evr būt. 00.5. Ne oteikti (kut rī 5 cilvēkiem iespējmi tiki 4 džādi vecumi). Piemērm, cilvēki vr būt dzimuši 965.g. decembrī, 966.g. ovembrī, 967.g. oktobrī, 968.g. septembrī u 969.g. jvārī, u td 000. gd mrtā viņiem būs ttiecīgi 4; ; ; ; gds. 00.6. Skitlis dlās r, j tā cipru summ dlās r td u tiki td, kd pts skitlis 00 dlās r. Strp pirmjiem 00 skitļiem tādu ir 66. 00.7. Jā. Skt., piemērm, 4.zīm.
4.zīm. 00.8. Uzrkstīto cipru summ ir. Nevr izsvītrot cipru, li iegūtu summu, ks dlās r 9 (td rī skitlis dlīsies r 9). Divus ciprus tā vr izsvītrot. Tiem jābūt diviekm u vieiiekm. Vjg, li rezultātā skitļ pirmie cipri būtu iespējmi lieli, tāpēc jāizsvītro pirmis divieks u pirmis vieiieks. Rezultātā iegūstm skitli 444. 00.9. Mums pvism ir 5 epār skitļi. Summ ir epār td u tiki td, jo tjā ir epār skits epār sskitāmo. 5. zīm. redzm, kā izvietot epār skitļus (ievietosim tos iekrāsotjās rūtiņās), li tbilstoši divs, četrs u sešs summs būtu epār. 5.zīm. Tā kā visu skitļu summ + + L + 9 45 ir epār skitlis, td epār dudzumā ridu u epār dudzumā kolou ir epār summs. Tāpēc epār summu skits būs pār skitlis. Nepār summu skits evr būt ulle, jo pretējā gdījumā ktrā ridiņā ierkstīto skitļu summ būtu pār skitlis, rī viss tbuls skitļu summ būtu pār skitlis, bet šī summ ir 49. Tāpēc citu iespēju bez miētjām v. 00.0. Vr okrāsot 0 ogriežņus, piemērm, visus tos, ks prlēli viei o divām izvēlētām trijstūr mlām. J okrāso virāk pr 0 ogriežņiem, td vismz vieā o 6. zīm. ttēlotjiem 5 trijstūrīšiem būs okrāsots virāk ekā divs, t.i., vismz mls, bet tā ir pretru r uzdevum oscījumiem.
6. zīm. 00.. Der skitļi 7, 7, 7, 7, 7, 7 (tie visi dlās r, tāpēc v pirmskitļi), kā rī 76, jo 76 6. 00.. Jā. Skt., piemērm, 7. żīm. 7.zīm. 00.. Vieādojum kreisās puses izteiksme ir lieār fukcij f ( x) x + b. Viegli pārbudīt, k f ( ) ; tātd ir dotā vieādojum ske. Skidrs, k f () ir pār skitlis; tātd ( ) f, u ( x) f v kostt fukcij. Ts ozīmē, k dotjm vieādojumm ir tieši vies trisiājums x. 00.4. To vr izdrīt, piemērm, tā:,,0, 0,,,,,,,, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9. 00.5.. metode. Nē, evr. Pēc jebkur gājie uz tāfeles ir pār u epār skitlis.. metode. Pēc jebkur gājie uz tāfeles ir uzrkstīts skitļu trijieks, b, + b. Acīmredzmi skitļi 997, 999, 00 šādu trijieku eveido.
00.6. Ir virāks risiāšs iespējs: dļsvītrs", b) ) ievieto izteiksmē z ( x + y) u svelk līdzīgos locekļus "uz vies ( x + y + z) x y z x + y + z xy xz yz + +. yz xz xy xyz xyz z y x 00.7. Jā, vr. Piemērm, šādi:,, 5,, 4, 6, 8, 0, 7, 9,,, 5,, 4, 6, 8, 0, 7, 9,,, 5,, 4, 00.8. Skt., piemērm, 8. zīm. 8.zīm. 00.9. Vr būt visi vieādi skitļi, piemērm, x y z. Vr būt divi vieādi skitļi u trešis tšķirīgs o tiem: x y, z. x x Visi skitļi evr būt tšķirīgi. Pieņemsim pretējo, k x < y < z. Td u ir y z x x veseli skitļi mzāki pr ; tātd. No šejiees seko, k y z, bet tā ir y z pretru. 00.0. Ievērosim, k 9 x 0x x x0 x. Apzīmējot x L u ievērojot, k cipru virke ir ugoš, iegūstm u rezultātā cipru summ ir L L L ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + 0 9. L + 00.. 0 0 4
( b) + ( b c) ) + ( c ) ( b + b c) ( b) ( b)( b c) + ( b c) ( ) ( c ) ( c)( b + b b + c + b bc + b bc + c c + c ) ( b b + c bc) ( c)( b c)( c ). 00.. Vrm izscīt + 4, kur epār skitlis,. Td ( + 4) + 8 + 6 + ( + ) + 5( + ). 5 00.. Trīs vieglākās zivis svēr 65% 5% o lom. Tātd "vidējās" zivis svēr 40% o lom. J to ir trīs vi mzāk, rods pretru r fktu, k trīs smgākās zivis svēr 5% lom. Pieņemsim, k "vidējo" zivju ir 5 vi virāk. Apzīmēsim mss (procetos) piecām vieglākjām o tām r x y z e f. Td x + y + z + e + f 40. Jābūt x + y + z 5, tāpēc z 5, z 8 ; td rī e 8 u f 8. Izāk, k x + y + z + e + f ( x + y + z) e + f 5 + 8 > 4. Tā ir pretru. Tātd "vidējo" zivju ir mzāk pr 5. Tā kā to ir virāk pr, td to ir 4, u zivju pvism ir 0. 00.4. Hords pieskres leņķis BMN ietver loku lielums ir MωN. Mω N (Skt. 9.zīm.), tāpēc tā B S M ω N A K C 9. zīm. 5
J MS ir BMN bisektrise, td ievilktis leņķis SMN ir puse o BMN, tāpēc k blstās uz puses o Mω N ; tāpēc šī bisektrise iet cur Mω N viduspuktu. Tāpt cur šo viduspuktu iet BMN bisektrise. Tātd MBN bisektrišu krustpukts ievilktās riņķ līijs cetrs ir pierād līdzīgi. Mω N viduspukts. Apglvojumu pr AMK u CNK 00.5. Apvieosim vispirms cilvēkus pāros, kā pgdās. Suksim pāri pr sliktu, j tjā ir ieidieki u pr lbu pretējā gdījumā. Pieņemsim, k ir kāds slikts pāris ( A, B). Pieņemsim, k eksistē tāds pris ( X, Y ) ieidā r Y. Td, izveidojot pāri ( A, B) u ( X, Y ) vietā pārus ( A, X ) u ( Y ), k A v ieidā r X u B v B,, slikto pāru skits smziās. Atkārtojot šādu operāciju vēl u vēl, vrm pākt, k slikto pāru virs v, u mūsu mērķis ssiegts. Atliek pierādīt tād pār ( X, Y ) eksisteci. JA tād pār ebūtu, td: tjos pāros, kur A ir divi drugi, B v evie drug, tjos pāros, kur A ir vies drugs, B ir ugstākis vies drugs (ts pts, ks ir A drugs). Tātd A u B kopā 4 citos pāros būtu e virāk kā 8 drugi, bet viņiem tur vismz 0 drugi pretru. Tātd vjdzīgis pierādīts. ( ) < ( + b) ( b) ) b. 00.6. ( x + y) ( x y) xy 4 4 Ievērojiet, k o šī uzdevum izriet ļoti oderīgs seciājums: j divu skitļu summ ir kostt, td to reiziājums ir jo mzāks, jo virāk šie skitļi tšķirs vies o otr. 00.7. Sskņā r doto + b c xy + xz x + yx + yz y xz yz + z xy x y + z z ( x y) > 0, No kosiusu teorēms seko, k cos γ > 0. Līdzīgi pierād, k cos α > 0 u cos β > 0, tātd trijstūrim r mlu grumiem, b, c visi leņķi ir šuri 00.8. Apzīmēsim šos skitļus r x, x, K, x0, bet to summu r S. No dotjiem skitļiem pvism vr sstādīt 0 summs p deviņiem skitļiem. Tā kā šīs summs pieņem tiki 9 džāds vērtībs, td divs o tām ir vieāds. Apzīmēsim to summu, ks tkārtojs divreiz, r M. Td S x + S x + L + S x S x + L+ x 9 tātd dlās r 9. No ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 S S x L L + Tā kā 78 + + S x0 + + + + + M M otrs puses, ( ) ( ) 8 8 9 9 78. 6
dlās r 9, td rī M jādlās r 9; vieīgā iespēj ir, k M 90. Ts ozīmē, k 9 S 78 + 90 87 u S 97. Tātd uz lpiņām uzrkstītie skitļi ir 5; 4; ; ; 0; 8; 7; 7; 6; 5. 00.9. Apzīmēsim tises CH otru krustpuktu r vieu riņķ līiju r C. J mēs pierādīsim, k SH SC, td AHB ACB (simetriski pret AB) u td to pvilkto riņķ līiju rādiusi rī būs vieādi. (Atzīmēsim, k p trijstūri ABC pvilktā r.l. skrīt r p trijstūri ABC pvilkto r.l.). Skt. 0. zīm. C H A S B C 0. zīm. Ievērojm, k ACS HBS (bi vieādi r 90 α ) u ACS SBC (ievilkti leņķi, ks blstās uz vieu u to pšu loku). Tāpēc HBS SBC, o kuriees seko, k SH SC. 00.0. Izkrāsosim tisstūr 5 rūtiņs kā prādīts. zīmējumā.. zīm. Pvism ir 45 mels rūtiņs. Ktr o 5 figūriņām stur ugstākis melās rūtiņs (pierād pārbudot figūrs izvietojum vritus). Tā kā figūru pvism ir 5, td tām visām jāstur tieši mels u blts rūtiņs. Pārbudot visus pricipiāli džādos figūrs ovietojumus, redzm, k bs bltās rūtiņs trods vieā ridā. Tātd bltā rid sstāv o blto rūtiņu pāriem, bet tā ir pretru, jo tā stur 5 rūtiņs. 7
00.. Ņemm vieu policistu A; tm vr piekomdēt jebkuru o tlikušjiem policistiem (t.i. izdrīt to 7 veidos). Kd ts izdrīts, ņemm jebkuru o tlikušjiem policistiem B; tm vr piekārtot pāriieku 5 veidos. Tālāk ņemm jebkuru o tlikušjiem policistiem C; tm vr piekārtot pāriieku veidos. Atlikušie divi policisti veido ceturto pāri. No reiziāšs likum kombitorikā seko k džādo iespēju skits kā izvēlēties 4 policistu pārus ir 7 5 05. 00.. Skt.. zīm. B K K R A C N. zīm. Apzīmēsim BK BM β, AK AN α, CM CN γ. Td α + β + γ 80, u ARC BM + ANC ( β + α + γ ) 90. Tātd AR ir trijstūr ABC ugstums, u tise AM stur šo ugstumu. Līdzīgi spriežm pr tisēm BN u CK. Uzdevum pglvojums tgd seko o fkt, k trijstūr ugstumi krustojs vieā puktā. 00.. Der visi pirmskitļi, jo tiem ir tiki dlītāji u, u >. 6 Der rī skitlis, jo šjā gdījumā evr sstādīt reiziājumu o diviem džādiem skitļ dlītājiem; bet ts ozīmē, k jebkurm reiziājumm (fktiski tādu v) izpildās prsītā evieādīb (uzmīgi izlizējiet šo spriedumu). J ir slikts skitlis, td tm eksistē dlītājs d, kurš epārsiedz. Tātd d > < 6. 6 8
Pārbudot sliktos skitļus, ks mzāki pr 6, trodm, k vēl der rī šādi slikti skitļi: 4, 6, 8, 9, 0, 5, 5. 00.4. J x 0 vi y 0, evieādīb ir cīmredzm. J x 0 u y 0, dotā e vieādīb ir ekvivlet r šādu evieādību: x + y +. x y To pierād, izmtojot evieādību strp trīs skitļu vidējo ritmētisko u vidējo ģeometrisko: x + y + x y x y x y. Preiziot šo evieādību r, iegūstm prsīto. 00.5. Aprkstīsim otrā spēlētāj strtēģiju, ks grtē, k viņš ezudēs. Uz pirmā spēlētāj kārtējo gājieu otris spēlētājs tbild šādi: J iespējms izveidot trijieku EHE, veido to u uzvr. J tāds iespējs v, td tbild r burt ierkstīšu simetriskjā (pret riņķ cetru) virsotē), rkstot to pšu burtu, ko pirmis spēlētājs ierkstīj pēdējā gājieā ( to vr izdrīt, jo pirms pēdējā pirmā spēlētāj gājie burtu izvietojums bij cetrāli simetrisks). No pretējā viegli pierādīt: j pieņemm, k kādā gājieā pirmis spēlētājs vr uzvrēt, td ju svā iepriekšējā gājieā to vrēj izdrīt otris.. 00.6. ) Pkāpeiski iegūstm: cos x cos y 4x ± 4y + 8π x ± y + π cos 4x cos 4x. b) Nē, e oteikti. Piemērm, ņemot x 0, y 50, iegūstm si x si y, bet si 4x si0, si 4y si 600. 00.7. Skidrs, k der visi vieādu skitļu pāri: ( r, r), kur r R. Pieņemsim, k ( x y) ; iegūstm: x x 4 + xy x y, u izdlīsim dotās vieādojumu sistēms viss izteiksmes r + xy + y + x y + xy + y Otro vieādojumu pārveidojm formā 4. 9
( x + y )( x + xy + y ) x y, o kuriees, ņemot vērā, k x + xy + y, iegūstm ( x )( ) 0 x + y x y y. No šejiees trodm vēl 6 trisiājumus: ( ±, 0), ( 0, ± ), (, ), (, ). 00.8. Ievērosim, k 8 7 9. Mums jāoskidro kādiem turāliem dotās izteiksmes vērtīb dlās r 7 u 9 vielicīgi. J k, td 6 + 0 9 7 9 + 0 9 7 0 6 0 k k k ( 0) 0 ( mod7) + 0 9 7 7 + 0 k ( 0) 0 ( mod9)., 9 7 Tātd, j ir pār skitlis, dotās izteiksmes vērtīb dlās r. J k +, td 6 + 0 9 7 9 + 0 9 7 0 k + + ( 0) 0 0 ( mod7). k+ k Tātd, j ir epār skitlis, td dotās izteiksmes vērtīb edlās r 7 u, protms, rī r. Atbilde: pār skitlis. 00.9. Skt.. zīm. A R z P y S x B C T. zīm. No dotā seko, k PS PT PT PR. Tā kā četrstūru BRPT u CTPS tbilstošie leņķi ir vieādi, ievērojot iepriekšējo proporciju, seciām, k šie četrstūri ir līdzīgi. Tāpēc 0
PBA PBR TCP BCP CBA + CPB ( CBP + PBA) + CPB CBP + PCB + CPB 80. 00.40. ) Jā, vr. Skitļus vr p riņķi ierkstīt šādā secībā:, 9,, 0,, 6, 4, 7, 5, 8. b) Nē, evr. Aplūkosim divs pretējās dudzstūr mls (skt. 4. zīm.). x y b 4. zīm. Iegūstm x + y + b x b y, t.i., bultiņu uzrādītās strpībs strp skitļiem, ks ierkstīti dimetrāli pretējos puktos, ir vieāds. Izsekojot pēc kārts bultiņu virzieus uz visiem 6 ''dimetriem'', iegūstm pretruu.