8.TEMTS RIŅĶI UN DUDZSTŪRI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M_10_SP_08_P1 r riņķa līniju saistītie leņķi Skolēna darba lapa M_10_UP_08_P1 pvilkts daudzstūris Skolēna darba lapa M_10_LD_08 Pētāmās problēmas Skolēna darba lapa Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju TRL+Home.
R I ŅĶ I RIŅĶI UN DUDZSTŪRI T E M T 106 P R K S T S pgūstot šo tematu, skolēns papildina jau tematā Leņķa jēdziens, trijstūri apgūtās zināšanas par plaknes figūrām, to īpašībām un savstarpējo novietojumu. r šo tematu planimetrijas kurss nebeidzas 11. klasē tiks apskatīti ģeometriskie pārveidojumi. Šajā tematā tiek nostiprinātas zināšanas un prasmes par figūrām, kuras skolēniem jau ir pazīstamas no pamatskolas, kā arī tiek pilnveidota prasme definēt, formulēt īpašības un pazīmes, pierādīt tās, jo ne vienmēr pamatskolā skolēns tam jau ir gatavs. Skolēni varēs izmantot tematā Matemātiskie izteikumi, pierādījumi gūtās atziņas un prasmes. Saturiski jaunie jautājumi ir: ar riņķi saistītie leņķi, teorēmas par ievilktiem un apvilktiem daudzstūriem. Svarīgi, lai skolēns pie jauniem rezultātiem un faktiem nonāk pats, tāpēc šajā tematā akcentējama skolēnu praktiskā un pētnieciskā darbība: prasme izmantot zināmās sakarības trijstūros dažādos uzdevumos par daudzstūriem, saskatīt analoģijas, vispārināt, izsakot pieņēmumu par daudzstūru, ar riņķi saistītu nogriežņu un leņķu īpašībām un pierādot tās. Jautājumi, kas ietverti šajā tematā, ir ļoti plaši, tāpēc jāpilnveido prasme atrast nepieciešamo informāciju uzziņas literatūrā. Prioritāte nav visu iespējamo formulu zināšana un algebrisku pārveidojumu veikšana, bet gan jēdzienu izpratne un tīri ģeometrisku prasmju pilnveidošana; tekstam atbilstošu zīmējumu un konstrukciju veidošana, kā arī figūru savstarpējā novietojuma analīze. U N D U D Z S T Ū R I
R I Ņ Ķ I U N D U D Z S T Ū R I MTEMĀTIK 10. klase E Ļ V E D I S Galvenie skolēnam sasniedzamie rezultāti STNDRTĀ Lieto ģeometrisko figūru īpašības (teorēmas), pamatojot ģeometrisko figūru vai to elementu īpašības un savstarpējo novietojumu, aprēķinot ģeometrisko figūru un ķermeņu elementu, virsmas laukuma, tilpuma skaitliskās vērtības. Lieto dažādus izteikumu veidus. Izprot pierādījuma nepieciešamību, būtību un struktūru, lieto dažādus pierādījumu veidus. Lieto dažādus spriedumu iegūšanas veidus (empīrisko, induktīvo, deduktīvo); vispārina, klasificē, saskata analoģijas, novērtē procesu tendences; izvirza hipotēzi, izmantojot iepriekšējās zināšanas vai darba gaitā iegūtos rezultātus. Saskata matemātikas saikni ar dabas un humanitārajām zinātnēm. PRGRMMĀ Saskata un izmanto trijstūru īpašības, sakarības starp trijstūra malām un leņķiem, pamatojot sakarības starp nogriežņiem un leņķiem daudzstūros, aprēķinot četrstūru un regulāru daudzstūru, ievilktu un apvilktu daudzstūru elementus, laukumu. Lieto teorēmas par riņķī ievilktu četrstūri un ap riņķi apvilktu četrstūri. Izmanto dažādus izteikumus (īpašības, pazīmes, definīcijas) par četrstūriem. Pierāda teorēmas, pamato aprēķina un pierādījuma uzdevumu risinājumus par riņķiem un daudzstūriem. Vispārina dažādas sakarības, izvirza hipotēzi, izmantojot zināšanas par riņķa līniju, trijstūra un daudzstūra elementiem, laukumu. Saskata riņķa līnijas, riņķa un daudzstūru lietojumu mākslā, arhitektūrā, dabaszinātnēs, inženierzinātnēs un dabā. 107 STUNDĀ VM. Leņķi riņķī. VM. Riņķim apvilkta četrstūra malu īpašība. VM. Riņķī ievilkta četrstūra leņķu īpašība. Vizualizēšana. Jautājumi un atbildes. SP. r riņķa līniju saistīti leņķi. Vizualizēšana. Jautājumi un atbildes. SP. r riņķa līniju saistīti leņķi. Izpēte. LD. Laukumi. KD. Ievilkti četrstūri. VM. Ģeometriskās figūras mums apkārt.
R I Ņ Ķ I U N D U D Z S T Ū R I U Z D E V U M U P I E M Ē R I Sasniedzamais rezultāts I II III Saskata un izmanto trijstūru īpašības, sakarības starp trijstūra malām un leņķiem, pamatojot sakarības starp nogriežņiem un leņķiem daudzstūros, aprēķinot četrstūru un regulāru daudzstūru, ievilktu un apvilktu daudzstūru elementus, laukumu. 1. Regulāra sešstūra malas garums ir 2 cm. prēķini sešstūra diagonāļu garumus! 2. Romba malas garums ir 8 cm. Leņķis starp romba augstumiem, kas novilkti no vienas virsotnes ir 60. prēķini romba augstuma garumu! 3. Taisnleņķa trapeces D diagonāle ir perpendikulāra sānu malai. Pamato, ka trijstūri un D ir līdzīgi! 1. Paralelograma malas ir 3 cm un 5 cm, bet leņķis starp tām 120. prēķini paralelograma garāko diagonāli! 2. Vienādsānu trapeces sānu mala ir 13 cm, garākais pamats 15 cm, bet diagonāle 14 cm. prēķini ap trapeci apvilktās riņķa līnijas rādiusa garumu! 3. Četrstūrim D ir apvilkta riņķa līnija tā, ka D ir tās diametrs. prēķini D laukumu, ja D=12, =60, D=45! Vienādsānu trapecē diagonāle ir 6 cm un lielākais pamats ir divas reizes garāks nekā sānu mala. prēķini trapeces augstumu, ja zināms, ka kāda trapeces leņķa kosinuss ir 0,25! 108 Veido aprakstam atbilstošus daudzstūru, ievilktu un apvilktu daudzstūru, riņķa un ar riņķi saistīto nogriežņu un leņķu zīmējumus, lietojot pieņemtos apzīmējumus. 1. Izveido zīmējumu pēc dotā teksta! tzīmē vienādos nogriežņus un vienādos leņķus! Dota dažādmalu trapece. Novelc nogriezni, kura viens galapunkts ir platā leņķa virsotnē, bet otrs uz garākā pamata, pie tam tā, lai šis nogrieznis būtu paralēls sānu malai! 2. Izveido zīmējumu pēc dotā teksta! Konstruē vienādsānu trapeci un tai apvilkto riņķa līniju! 1. Izveido zīmējumu pēc dotā teksta! Dots izliekts četrstūris D, kura leņķis D ir 90. Diagonāle ir perpendikulāra vienai no malām. 2. Izveido zīmējumu pēc dotā teksta! No paralelograma D platā leņķa novilkti augstumi E un F. Uz diagonāles D kā diametra konstruēta riņķa līnija. 3. Izveido zīmējumu pēc dotā teksta! pzīmē zīmējumā redzamos punktus ar burtiem un komentē, kā sauc katru no zīmējumā redzamajām figūrām! Uz regulāra trijstūra malas kā diametra konstruēta riņķa līnija. Riņķa līnijas centrs savienots ar trijstūra un riņķa līnijas krustpunktiem. Riņķa līnijā novilktas hordas un. Konstruē visus tos riņķa līnijas punktus, kuriem piemīt īpašība: punkti,, un konstruētais punkts ir trapeces virsotnes (virsotņu secība nav būtiska), ja: a) nav diametrs, b) ir diametrs!
R I Ņ Ķ I U N D U D Z S T Ū R I MTEMĀTIK 10. klase Sasniedzamais rezultāts I II III prēķina hordas pieskares leņķi; leņķi, ko veido divas hordas, divas sekantes, divas pieskares. 1. Dota riņķa līnija ar centru punktā un punkts uz šīs riņķa līnijas. No punkta ir novilkts 60 liels hordas pieskares leņķis. Kādā leņķī no centra ir redzama horda? 2. Hordas un D krustojas punktā E. Loka leņķiskais lielums ir 40, bet loka D leņķiskais lielums ir 70. prēķini trijstūra E leņķus! 1. Dots taisnleņķa trijstūris ( =90 ), kura šaurais leņķis =20. Riņķa līnija, kuras centrs ir punktā un kuras rādiuss vienāds ar kateti, krusto hipotenūzu punktā D. prēķini leņķi D! 2. Riņķa līnija sadalīta attiecībā 2:3:4. Dalījuma punktos novilktas pieskares. prēķini mazāko leņķi starp pieskarēm! 1. No punkta M ārpus riņķa līnijas vilktas divas sekantes, kas veido 30 leņķi. Lielākais loks, ko ietver sekantes, ir 90, un viena sekante iet caur riņķa līnijas centru. prēķini, kādās daļās horda, kuru nosaka otra sekante, sadala riņķa līniju! 2. Riņķī novilktas vienādas hordas un tā, ka loks =240. prēķini tos leņķu lielumus, kurus veido horda ar riņķa līnijas pieskarēm punktos un! Lieto teorēmas par riņķī ievilktu četrstūri un ap riņķi apvilktu četrstūri. 1. Veido patiesus apgalvojumus! Ja četrstūris ir ievilkts riņķa līnijā, tad tā leņķiem ir spēkā sakarība... Ja riņķa līnija ir ievilkta četrstūrī, tad četrstūra malām ir spēkā sakarība... 2. Izliekta četrstūra pēc kārtas ņemtu malu garumu attiecība ir 1:3:5:3. Vai šajā četrstūrī var ievilkt riņķa līniju? 3. Pabeidz teikumus! 1. Nosaki, vai dotie apgalvojumi ir patiesi! a) p jebkuru vienādsānu trapeci var apvilkt riņķa līniju. b) Eksistē tāda taisnleņķa trapece, ap kuru var apvilkt riņķa līniju. c) Eksistē paralelograms (kurš nav rombs), kurā var ievilkt riņķa līniju. 2. Vienādsānu trapeces pamati ir 6 cm un 18 cm. prēķini trapeces sānu malas garumu un trapecē ievilktās riņķa līnijas rādiusu! 1. Vienādsānu trijstūra virsotnes leņķis ir 30. Uz sānu malas kā uz diametra uzkonstruēta pusriņķa līnija tā, ka pārējās trijstūra malas sadala to trijos lokos. prēķini šo loku leņķiskos lielumus! 2. Vienādsānu trapecē, kuras šaurais leņķis ir α, ievilkta riņķa līnija ar rādiusu r. prēķini ap trapeci apvilktās riņķa līnijas rādiusu! 109 a) Daudzstūri sauc par ievilktu riņķa līnijā, ja b) Ja četrstūra visas malas ir vienas riņķa līnijas pieskares, tad. c) Ja daudzstūris ir ievilkts riņķa līnijā, tad riņķa līnijas centrs atrodas d) Ja daudzstūris ir apvilkts ap riņķa līniju, tad riņķa līnijas centrs atrodas 3. Regulārā trijstūrī novilkta bisektrise D. Tā punktā E krusto perpendikulu, kas no punkta vilkts pret malu. Pierādi, ka ap četrstūri E var apvilkt riņķa līniju!
R I Ņ Ķ I U N D U D Z S T Ū R I Sasniedzamais rezultāts I II III Lieto jēdzienus horda, pieskare, sekante, loks, centra leņķis, ievilkts leņķis, riņķa sektors, riņķa segments, hordas pieskares leņķis; leņķis, ko veido divas hordas; leņķis, ko veido divas sekantes, (pieskares), ievilkts četrstūris, apvilkts četrstūris, rombs, paralelograms, trapece, taisnstūris, regulārs sešstūris, veidojot zīmējumus un risinot uzdevumus. 1. Nosauc romba un taisnstūra kopīgās īpašības! Kādas īpašības ir atšķirīgas? 2. praksti (mutiski vai rakstiski): a) ap četrstūri apvilktas riņķa līnijas konstrukcijas gaitu, b) regulāra divpadsmitstūra konstrukcijas gaitu! 1. Kurš no apgalvojumiem ir patiess? Patiesos apgalvojumus pierādi, bet aplamos ilustrē ar pretpiemēru! a) Jebkurš četrstūris, kura diagonāles ir perpendikulāras, ir rombs. b) Jebkura trapece, kuras divi leņķi ir vienādi, ir vienādsānu trapece. c) Ja četrstūra diagonāles krustojoties dalās uz pusēm, tad tas ir paralelograms. d) Jebkura ievilkta četrstūra pretējo leņķu summa ir 180. 2. pkopo un shematiski attēlo informāciju par ar riņķi saistītu leņķu aprēķināšanu (ieskaitot pamatskolā apgūtās sakarības)! No četrstūriem matemātikā īpaši tiek izdalīti kvadrāti, taisnstūri, rombi, paralelogrami, trapeces. ez šiem četrstūriem ir vēl citi, kuriem piemīt noteiktas īpašības un pazīmes, kas tos atšķir no pārējiem. Definē četrstūri, kurš nav definēts! Izsaki hipotēzi par kādu īpašību, kas piemīt definētajam četrstūrim! 110 Plāno aprēķinu uzdevuma par riņķiem un daudzstūriem risinājumu. 1. Izveido dotā uzdevuma risinājuma plānu! Riņķī, kura laukums ir S, ievilkts kvadrāts. prēķini kvadrāta perimetru! 2. Izveido dotā uzdevuma risinājuma plānu! Rombā ievilktās riņķa līnijas rādiuss ir run romba šaurais leņķis ir 2α. prēķini romba malas garumu! Izveido dotā uzdevuma risinājuma plānu! Dota trapece, kuras pamatu garumi ir a un b, bet sānu malu garumi c un d. prēķini trapeces laukumu! Izveido dotā uzdevuma risinājuma plānu! Vienādsānu trapeces šaurais leņķis ir α. p trapeci apvilkta riņķa līnija, kuras garums ir. Riņķa līnijas centrs atrodas uz trapeces pamata. prēķini trapeces laukumu! trod uzziņas literatūrā nepieciešamās formulas, lai aprēķinātu ar riņķi saistīto nogriežņu un leņķu lielumus, četrstūru, regulāru daudzstūru elementus un laukumu. 1. Paralelograma malas ir 6 cm un 10 cm, bet viena no diagonālēm 7 cm. prēķini otras diagonāles garumu! 2. Romba diagonāļu garumi ir a un b. Sastādi plānu rombā ievilktās riņķa līnijas rādiusa aprēķināšanai vai sameklē atbilstošu sakarību formulu sarakstā! 1. Riņķī novilktas divas hordas, kas krustojas. Krustpunktā viena horda sadalās 12 dm un 7 dm garos nogriežņos, bet otras hordas viens nogrieznis ir 4 dm. trodi nepieciešamo formulu un aprēķini tās otru nogriezni! 2. Regulāra astoņstūra malas garums ir 2 cm. Izmantojot atbilstošo formulu, aprēķini šīs figūras laukumu! Izveido savu formulu lapu, kurā iekļautas tev nepieciešamās formulas, kas attiecas uz četrstūriem, regulāriem daudzstūriem, ar riņķi saistītiem leņķiem un nogriežņiem!
R I Ņ Ķ I U N D U D Z S T Ū R I MTEMĀTIK 10. klase Sasniedzamais rezultāts I II III Vispārina dažādas sakarības, izvirza hipotēzi, izmantojot zināšanas par riņķa līniju, trijstūra un daudzstūra elementiem, laukumu. Paralelogramā D uz malas atlikti punkti M, N, K. Salīdzini savā starpā trijstūru MD, ND, KD laukumus! 1. Trijstūra laukumu var aprēķināt ar formulu S=p r, kur p trijstūra pusperimetrs un r trijstūrī ievilktās riņķa līnijas rādiuss. Uzzīmē četrstūrī ievilktu riņķa līniju un pamato, ka arī četrstūrī ir spēkā šī formula. Vispārini iegūto rezultātu! 2. Uzraksti formulu, kas izsaka: 1. p riņķa līniju apvilktam četrstūrim D ir spēkā sakarība +D=D+. Kā varētu vispārināt šo sakarību: a) apvilktam sešstūrim, kura visu malu garumi ir zināmi, b) apvilktam n stūrim, kur n ir pāra skaitlis? Darba lapa (M_10_UP_08_P1). a) regulāra trijstūra malas garumu atkarībā no tam apvilktā riņķa rādiusa R; b) regulāra četrstūra malas garumu atkarībā no tam apvilktā riņķa rādiusa R; 2. Pierādi, ka izliekta četrstūra laukums ir vienāds ar abu diagonāļu un to ietvertā leņķa sinusa reizinājuma pusi! c) regulāra n stūra malas garumu atkarībā no tam apvilktā riņķa rādiusa R un n! Izmanto dažādus izteikumus (īpašības, pazīmes, definīcijas) par četrstūriem. 1. Ieraksti trūkstošos vārdus un nosaki, vai iegūtais apgalvojums ir pazīme vai īpašība! a) Ja četrstūra trīs leņķi ir taisni, tad tas ir.. b) Taisnstūra.. ir vienāda garuma. c) Taisnstūris, kura diagonāles ir perpendikulāras, ir. d) Romba diagonāles ir.. savā starpā. 2. Nosaki četrstūra veidu, ja zināms, ka tā divu paralēlo malu garumi ir a un viens no četrstūra leņķim ir taisns! 1. Dots četrstūris. Divas tā malas vienādas ar a, bet divas citas ar b. Vai var droši apgalvot, ka četrstūris ir: a) rombs, b) taisnstūris, c) paralelograms? 2. Dots, ka no paralelograma platā leņķa virsotnes vilktā diagonāle ir arī šī paralelograma augstums. Vai iespējams, ka paralelograma otra diagonāle ir šaurā leņķa bisektrise? 1. pvilkta četrstūra definīcijai doti četri varianti. tzīmē tos, kuri, tavuprāt, ir patiesi! Tiem, kurus tu uzskati par aplamiem, uzzīmē pretpiemēru! Četrstūri sauc par apvilktu ap riņķa līniju, ja: a) četrstūrim un riņķa līnijai ir tikai četri kopīgi punkti; b) katrs riņķa līnijas punkts ir četrstūra iekšējs punkts; c) tā visas malas ir šīs riņķa līnijas pieskares; d) tā visas malas atrodas vienādā attālumā no šīs riņķa līnijas centra. 2. Rombā ievilkta riņķa līnija. Pieskaršanās punkti secīgi ir savienoti. Nosaki iegūtā četrstūra veidu! 111
R I Ņ Ķ I U N D U D Z S T Ū R I Sasniedzamais rezultāts I II III Pierāda teorēmas, pamato aprēķina un pierādījuma uzdevumu risinājumus par riņķiem un daudzstūriem. p regulāru sešstūri apvilktās riņķa līnijas centrs savienots ar tā virsotnēm. Pamato, ka seši iegūtie trijstūri ir regulāri un vienādi savā starpā! 1. Izmantojot kosinusu teorēmu un sakarību cos(180 α)=cos α, pierādi formulu 2a 2 +2b 2 =d 12 +d 22, kur a un b ir paralelograma malas un d 1, d 2 ir diagonāles! 2. Dots ap riņķa līniju apvilkts četrstūris D. Pierādi, ka +D=D+! 3. Par četrstūri zināms, ka tajā var ievilkt riņķa līniju. Pierādi, ka šādu četrstūri var sagriezt vienādsānu trijstūros! 1. Pierādi teorēmu! Leņķis, ko veido divas krustiskas hordas, ir vienāds ar pusi no to divu loku leņķisko lielumu summas, no kuriem viens ir starp leņķa malām, bet otrs starp leņķa malu pagarinājumiem. 2. Uzzīmē piecstaru zvaigzni! prēķini visu staru leņķu summu (zīm.)! 1 2 5 3 4 112 Saskata riņķa līnijas, riņķa un daudzstūru lietojumu mākslā, arhitektūrā, dabaszinātnēs, inženierzinātnēs un dabā. trodi piemērus mākslā, dabaszinātnēs un inženierzinātnēs (fotogrāfijas, aprakstus utt.), kur var saskatīt riņķa, riņķa līnijas un daudzstūru lietojumu! Nosauc objektus no apkārtējās pasaules, kuros saskatāmas regulāru daudzstūru formas! Papps, 4. gadsimta matemātiķis, teicis: kaut gan Dievs devis cilvēkiem vispilnīgāko gudrības un matemātikas saprašanu, daļu no tās Viņš sniedzis arī nedomājošām radībām Šis instinkts īpaši redzams bitēs. Medus uzkrāšanai tās sagatavo traukus, ko sauc par medus šūnām. Šīs šūnas ir vienāda lieluma, cita citai pieguļošas un sešstūra formā. Izsaki savu viedokli par to, kādēļ bites instinktīvi izvēlas šo formu medus šūnām! (Dž. erijs, P. Sālbergs ktīvā mācīšanās skolas matemātikā.)
S k o l ē n a d a r b a l a p a M_10_SP_08_P1 Vārds uzvārds klase datums R RIŅĶ LĪNIJU SISTĪTIE LEŅĶI Nosaukums: Nosaukums: Mērīšana: Mērīšana: Definīcija: Definīcija: Nosaukums: Nosaukums: Mērīšana: Mērīšana: Definīcija: Definīcija: 37
S k o l ē n a d a r b a l a p a M_10_SP_08_P1 Nosaukums: Nosaukums: Mērīšana: Mērīšana: Definīcija: Definīcija: Nosaukums: Mērīšana: Definīcija: 38
S k o l ē n a d a r b a l a p a M_10_UP_08_P1 Vārds uzvārds klase datums PVILKTS DUDZSTŪRIS Uzdevums p riņķa līniju apvilktam četrstūrim D piemīt īpašība +D=D+. D a) Uzraksti līdzīgu sakarību apvilktam sešstūrim! D F E b) Vispārini šo sakarību apvilktam n stūrim, kur n ir pāra skaitlis! 39
P i e z ī m ē m 40
S k o l ē n a d a r b a l a p a M_10_LD_08 Vārds uzvārds klase datums PĒTĀMĀS PRLĒMS 1. variants Situācijas apraksts Katru trijstūra malu sadala trīs vienādās daļās. Dalījuma punktus savieno ar pretējo virsotni. Šiem nogriežņiem krustojoties, trijstūra iekšpusē veidojas sešstūris. Formulē jautājumus, uz kuriem varētu iegūt atbildes pētījuma ceļā! Pētāmās problēmas 16
S k o l ē n a d a r b a l a p a M_10_LD_08 Vārds uzvārds klase datums PĒTĀMĀS PRLĒMS 2. variants Situācijas apraksts Riņķī ievilkts četrstūris, tā virsotnēs novilktas pieskares. Šīm pieskarēm krustojoties, veidojas vēl viens četrstūris. Formulē jautājumus, uz kuriem varētu iegūt atbildes pētījuma ceļā! Pētāmās problēmas 17