Ekstrēmu uzdevumu risināšanas metodes

LU A. Lieps Neklātienes mtemātiks skol A. Vsiļevsk, L. Rmān, A. Andžāns EKSTRĒMU UZDEVUMU RISINĀŠANAS METODES Rīg, 997

Sturs Ievds.... Kvdrātfunkcij... Uzdevumi.... Skrī strp divu skitļu vidējo ritmētisko un vidējo ģeometrisko... Uzdevumi... 0. Džs specifisks lgerisks funkcijs..... Funkcij c... c.. Cits funkcijs... Uzdevumi.... Trigonometriskās funkcijs.... 6.. Džādi piemēri.... 6.. Funkcij = cos+ sin... 0.. Funkcij =cos +sin cos+csin... Uzdevumi..... Ekstrēmu tršn, pmtojoties uz vispārīgo nevienādīu strp vidējo ritmētisko un vidējo ģeometrisko... Uzdevumi.... 0 6. Trešās pkāpes funkcijs = + +c+d, 0 ekstrēmi... 0 Uzdevumi.... 7. Ekstrēmu uzdevumu risināšns metožu minimums mtemātiks olimpiādēs... Litertūr... 0

IEVADS Svā drīā cilvēks vienmēr cenšs ssniegt iespējmi lāku rezultātu r iespējmi mzu līdzekļu (mteriālo, grīgo, finnsiālo) ptēriņu. Li netērētu liku un enerģiju, pūloties uzlot to, ks nv uzlojms, svrīgi iemācīties noteikt mūsu iespēju roežs. Veidojot ds, siedrīs un tehniks modeļus mtemātiskā formā, minētis uzdevums kļūst pr mtemātisku uzdevumu - trst funkcijs vi funkcionāļ ekstrēmus. Atkrīā no pētāmās prolēms ds un lietojmā mtemātiskā prāt šāds uzdevums vr tikt ttiecināts uz džādām mtemātiks nozrēm; r līdzīgiem jutājumiem nodrojs vriāciju rēķini, optimizācijs teorij (gn nepārtruktā, gn diskrētā), lgoritmu srežģītīs teorij utt. Arī skols mtemātiks kursā iespējmo lielāko un mzāko vērtīu tršns uzdevumiem tiek veltīt pienācīg uzmnī gn lgers, gn ģeometrijs priekšmetos; tie sstopmi gn pmtkurs, gn profilkurs ietvros, mtemātiks olimpiādēs u. tml. Ievērojmi tšķirs mtemātiskis prāts, ko džādu skolu skolēni vr izmntot ekstrēmu uzdevumu risināšnā. Tie, ks pgūst profilkursu, vr lietot spēcīgo mtemātiskās nlīzes ieroci - tvsinājumu; tiem, ks pgūst tiki pmtkursu, šāds iespējs nv. Šjā drā izstrādāts mācīu līdzeklis vidusskolām, li plīdzētu skolēniem pgūt ekstrēmu uzdevumu risināšns vienkāršākās metodes ez mtemātiskās nlīzes pņēmienu pielietošns. Atzīmēsim, k iepzīšnās r te plūkotjām metodēm lietderīg rī tiem, ks pguvuši ekstrēmu tršns pņēmienu r tvsinājumu plīdzīu; elementārās metodes džreiz ļuj iegūt rezultātu ātrāk un vienkāršāk, kā rī ļuj lāk ssktīt prolēms risinājum "virzošos mehānismus", piemērm, džādu izoperimetrisko uzdevumu risinājumā. Mācīu līdzekļ struktūr un izveides principi. Mācīu līdzeklis iedlīts 7 prgrāfos. Pr to sturu vr spriest pēc nosukumiem stur rādītājā. Ktrs no pirmjiem sešiem prgrāfiem stur nepieciešmo teorētisko mteriālu, virkni piemēru, kuros demonstrēt šī mteriāl pielietošn, un uzdevumus ptstāvīgi risināšni. Lielis virums piemēru un uzdevumu ir oriģināli; dži izgūti no litertūrs srkstā norādītjiem votiem. Mteriāl skārtošnā ievēroti principi: ) pēctecī; piemēri izkārtoti sērijās tādā secīā, li ktrs nākošis sērijs piemērs svā risinājumā tālāk ttīstītu idejs, ks ssktāms iepriekšējo piemēru risinājumos, ) pkāpeniskums; uzdevumu grūtīs pkāpe monotoni pieug prgrāfu ietvros, lietojmā teorētiskā mteriāl grūtīs pkāpe pieug no pirmjiem prgrāfiem uz tālākjiem, c) skols kurs integrēšn; vienviet plūkoti lgers un ģeometrijs uzdevumi, d) cikliskums; tēm pr Košī nevienādīs lietošnu ekstrēmu uzdevumos plūkot divreiz - vienkāršākā vrintā. un ttīstītākā pkāpē.. Drā iekļutis mteriāls pārudīts virāku gdu likā Rīgs Vlsts. ģimnāzijā, sgtvošns kursos un nodrīās r mtemātiks olimpiāžu dlīniekiem.

. KVADRĀTFUNKCIJA Teorēm. Kvdrātfunkcij = ++c ( 0) ssniedz svu ) mzāko vērtīu, j un >0 ) lielāko vērtīu, j un <0 Pierādījums. Atdlīsim pilno kvdrātu. c c c c Redzm, k sstāv no diviem sskitāmjiem, kur otris nv tkrīgs no.. J >0, td pirmis sskitāmis ir tiki nenegtīvs un tā mzākā vērtī ir 0, j 0, t.i.,. Tādā gdījumā mzākā vērtī ir c un lielākā vērtī neeksistē.. J <0, td pirmis sskitāmis ir negtīvs vi 0 un tā lielākā vērtī ir 0, j c 0, t.i.,. Tātd lielākā vērtī ir un mzākā vērtī neeksistē.. Piemērs. Noteikt kvdrāttrinom -8+9 mzāko vērtīu. -8+9=( -8+6)-6+9=(-) -7 Izteiksmes mzākā vērtī ir -7, j =.. Piemērs. Noteikt kvdrāttrinom - -+ lielāko vērtīu. - -+=-( +-)=-( ++6-6-)=-((+6) -0)= = - (+6) +0 Izteiksmes lielākā vērtī ir 0, j =-6.. Piemērs. Aprēķināt funkcijs = +6+7 mzāko vērtīu. = +6+7=( ++ 7 )=( ++-+ 7 )=((+) + )= =(+) + Funkcijs mzākā vērtī ir, j =-.. Piemērs. Noteikt, pie kādām vērtīām polinom P ()=(+)(+)(+) vērtī ir vismzākā. Aprēķināt to. P ()=(+)(+)(+)=( +)( ++)=t(t+)=t +t+-= =(t+) -, kur +=t. Funkcijs mzākā vērtī ir -, j t=-. Noskidrosim, kāds vērtīs tilst t vērtīi -: c

+=- ++=0. Piemērs. Noteikt to vērtīu, pie kurs funkcij =(-) +(-) +(-c) (;;c - reāli skitļi) ssniedz svu mzāko vērtīu. =(-) +(-) +(-c) = -+ + -+ + -c+c = = -(++c)+ + +c. >0, tāpēc kvdrātfunkciji ir mzākā vērtī, j, ks šjā gdījumā ( c) c ir. 6 6. Piemērs. Aprēķināt kvdrāttrinom ++c koeficientus, zinot, k tā vērtī ir 0, j =-, un vislielāko vērtīu ts ssniedz, j =. J =-, td -+c=0 () Kvdrāttrinom c c c, j =- () c () Tātd c-= c=+ () Li iegūtu skitlisko vērtīu, () un () ievieto (). +++=0 - ; - - c - Iegūstm kvdrāttrinomu c -. lielākā vērtī ir ; 7. Piemērs. Noteikt kvdrāttrinom ++c koeficientus, j pie =0 tā vērtī ir 7 un tā lielākā vērtī ir 9, j =. J =0, td 0+ 0+c=c=7 () Kvdrāttrinom c c c 9 (), j =- () () un () skrīu ievieto () un prēķin vērtīu 7 6 9 7-9 - -, -, c 7 lielākā vērtī ir

Iegūstm kvdrāttrinomu ++c=- ++7. 8. Piemērs. Aprēķināt kvdrāttrinom ++c koeficientus, j zināms, k tā mzākā vērtī ir -6, j =-, un tā skņu ) kvdrātu summ ir ) kuu summ ir -98. Kvdrāttrinom c c c 6 (),, tātd = () c Izmntojot Vjet teorēmu - un c ( ) - - - c mzākā ) c pēc dotā - c=- () () un () skrīs ievieto () ( ) 6 = td ==; c=-=- Kvdrāttrinoms ++c= +-. ) + =( + )( - + )=( + )(( + ) - )= c - c - vērtī c c c pēc dotā - - -98-9 - c=- un peidz kā ) gdījumā. 9. Piemērs. Kādām vērtīām vienādojum -+-=0 skņu kvdrātu summ ir vismzākā? Pēc Vjet t. + = un =- + =( + ) - = -(-)= -+= -++=(-) + Izteiksmes mzākā vērtī ir, j =. 0. Piemērs. Doto skitli 70 uzrkstīt kā divu sskitāmo summu tā, li to reizinājums ūtu vislielākis. Pieņemm, k ir viens sskitāmis, td otrs ir 70-. Au sskitāmo reizinājums (70-)=- +70=-( -70)=-( -.+ - )=-(-) + Au sskitāmo reizinājums ūs vislielākis, j -=0, = un 70- =. Tātd reizinājums ūs vislielākis, j i sskitāmie ir vienādi.. Piemērs. Doti skitļi p un q; p+q=. Noteikt ) p +q mzāko vērtīu, ) pq lielāko vērtīu. Izskām p=-q. 6

) p q (- q) q - q q Izteiksmes mzākā vērtī ir, j q un ) pq (- q)q q - q - q q 8. Reizinājum lielākā vērtī ir 8, j q un q p. p. - q q -.. Piemērs. Noteikt funkcijs = + + vismzāko un vislielāko vērtīu, j -. 9 Funkcijs mzākā vērtī ir tkrīg no tā, cik liels ir pirmis sskitāmis: 9 (jo 0) min Šo vērtīu funkcij ssniedz pie + += ( +)=0 =0; =- O Ievērosim, k dotā funkcij ir pār: (-)=(-) +(-) += = + +=(), tātd tās grfiks ir simetrisks pret O si. Funkcijs lielākā vērtī ūs punktā = : ()=0.. Piemērs. Aprēķināt funkcijs pzīmē ( ) Funkcijs minimālā vērtī ir, j mzāko vērtīu. ( ) -, -=-, =-, ks pieder D.A.. Piemērs. Atrst funkcijs vērtīu., j -, vislielāko un vismzāko 7

) sucējs ir vismzākis:, j -, tāpēc dļs vērtī (pgrieztis lielums) ir vislielākā:. ) tā kā sucējs ir kvdrātfunkcij, kurs virsotnes scis -, td tās grfiks ir simetrisks pret šo tisni un sucējm ūs lielākā vērtī intervāl [-;] glpunktā =. Tāpēc pgrieztis lielums ūs mzākis:. Piemērs. Noteikt funkcijs =- lielāko un mzāko vērtīu intervālā [;]. - Kvdrātfunkcij ssniedz svu mksimumu 9 punktā, et ;. Tā kā intervālā ; funkcij ir dilstoš, td svu lielāko vērtīu tā ssniedz intervāl glpunktā =, td =-=, un mzāko vērtīu - intervāl glpunktā =, td =8-=-. 6. Piemērs. Kāds ir lielākis lukums tisnstūrim, kur trīs mlu summ ir 00m? Tisnstūr mls pzīmējm r un. 9 9 Pēc dotā +=00, td =00- un lukums tisnstūrim S==(00-)=- +00=-( -00+00-00)= =-(-0) +000 Vislielākā lukum vērtī ir 000m, j =0m un =00m. 7. Piemērs. Pusriņķī ievilkts tisnstūris tā, k vien ml trods uz dimetr. Noteikt tā tisnstūr izmērus, kur lukums ir mksimālis. Riņķ rādiusu pzīmē r r=oc; OD=, td AD=. Apsktot OCD redzm, k CD r. Td tisnstūr lukums S= r. S ssniedz svu mksimālo vērtīu, kd to ssniedz S. Tāpēc S = (r - )= r - =-( -r +r -r )=-( -r )+r 8

Lukums ir mksimālis r, j =r r r un AD r ; CD r r r r r r. 8. Piemērs. Dots regulārs trijstūris r mlu. Kāds ir lielākis lukums tisnstūrim, kurš ievilkts trijstūrī tā, k viss tisnstūr virsotnes trods uz trijstūr mlām? Tisnstūr mlu grumus pzīmē r un. CGH: HC ctg60 Tisnstūr lukums S 0 Lielākā lukum vērtī ir., td - 6 6 - HC - -, j mlu grumi ir 8 8 un 9. Piemērs. Kvdrātveid finier plāksnē r mls grumu 0 cm izgriez tisnstūrveid curumu, kur digonāle ir cm. Curum mlām piestiprināj stieplīti, kurs cm sver 7 grmus. Finier cm svrs ir grmi. Kādiem jāūt curum izmēriem, li tlikušās plāksnes svrs ūtu mksimālis? Izgrieztā tisnstūr mlu grumus pzīmējm r un ; td no ABC + = () Plāksnes svrs ir Q=00 -+7 (+)=00-+(+) 9

Skrīs () kreisjā pusē tdlām pilno kvdrātu (+) -= un izskām =(+) - Q=00-(+) ++(+)=-(+) +(+)+ Esm ieguvuši kvdrātfunkciju += Q=- ++ Šī funkcij ssniedz svu mksimumu, j =-:(-)=7 Iegūstm vienādojumu sistēmu 7 ( ) 7 Tātd mksimālis svrs ūs plāksnei, kurā izgrieztā curum izmēri ir un cm. 0. Piemērs. Plknē doti punkti A; B; C, kuri netrods uz viens tisnes. Noteikt uz tisnes BC punktu K, li ttālumu kvdrātu summ no K līdz A; B un C ūtu vismzākā. 7 vi Novelkm AD BC un pzīmējm: AD=, DB=, DC=c, K ptvļīgis punkts. Tātd jānosk funkcijs = AK +BK +CK mzākā vērtī. Apzīmējm KD=, td =( + )+( ) +(c+) = = ( c)+ + +c Pārveidojm kvdrātfunkciju funkcij svu mzāko vērtīu c c c, j c c. c. Tātd. Piemērs. P tisn leņķ mlām kusts ķermeņi r noteiktiem ātrumiem v un v m/s virzienā uz leņķ virsotni. Sākot kustīu, pirmis ķermenis trods ttālumā, otris ķermenis ttālumā no leņķ virsotnes. Pēc cik sekundēm no kustīs sākum rīž ttālums strp ķermeņiem ūs vismzākis? AO=, OB=. Pieņemsim, k pēc sekundēm ttālums strp iem ķermeņiem ūs vismzākis. sekundēs pirmis ķermenis ir norucis ttālumu AC=v, otris BD=v. Td ķermeņu ttālumi līdz leņķ virsotnei ir 0

OC= v un OD= v. Attālums strp iem ķermeņiem v CD v. Ts ūs mzākis, j CD ūs vismzākis. Tāpēc plūkosim funkciju =(-v ) +(-v ) =(v +v ) -(v +v )+ + = v v v v v v v v Tā kā v +v >0, td ttālums strp ķermeņiem ir vismzākis pēc v v v v sekundēm un vienāds r. v v v v. Piemērs. No ļķ, kur rādiuss ir R, jāizgtvo tisnstūr prlēlskldnis tā, li mteriāl zudumi ūtu pēc iespējs mzāki. v v v v v (v v v v v ) Tā kā ļķ grums ir neminīgs, td ir jānoskidro, kādi ir pmt riņķ līnijā ievilktā tisnstūr izmēri, li tā lukums ūtu mksimālis. Apzīmē riņk līnijs rādiusu r R, tisnstūr izmērus r un. Tisnstūr ABCD lukums S=; izskot no ACD, un S R S = (R - )=- + R =-( -R ) +R S ssniedz lielāko vērtīu td, j S ir lielākā vērtī, et S lielākā vērtī ir R, j =R ; t.i:, R un R. Tātd, li mteriāl zudumi ūtu vismzākie, pmtā jāievelk kvdrāts.. Piemērs. Jāizgtvo tisnstūr prlēlskldņ forms kste, kurs pmt lukums ir. Visu šķutņu grumu summ ir 0. Kādiem jāūt kstes izmēriem, li tās pilns virsms lukums ūtu vislielākis? AD R Apzīmējm tšķirīgo šķutņu grumus r,, z. Pēc dotā ++z=0, td ++z= () un pmt lukums =. Aprēķinām lukumu pilni virsmi: S=+z+z=+z(+)=+(+)(-(t))=-(+) +0(+)+ Ir iegūt kvdrātfunkcij; j +=, td S=- +0+.

Ti eksistē mksimums, j sistēmu Aprēķinām z - ( ) - je un tālāk. Vislielākis pilns virsms lukums ir S vi -. Iegūstm vienādojumu 0. 9. Uzdevumi. Noteikt kvdrāttrinom lielāko vi mzāko vērtīu:. Aprēķināt polinom P()=(+)(+)(+)(+6) mzāko vērtīu.. Noteikt tās vērtīs, pie kurām dotā funkcij ssniedz svu lielāko vi mzāko vērtīu: ) =( ) +( 7) ) =( ) +(+) ) = (t ) ( t). Noteikt kvdrāttrinom ++c koeficientus, j tā vērtī ir 0, j =8, un vismzākā vērtī ir, j =6.. Aprēķināt kvdrāttrinom ++c koeficientus, j tā mzākā vērtī ir 7 pie = un, j =0, td kvdrāttrinom vērtī ir. 6. Dot funkcij f()= ++c. Noteikt koeficientus, un c, j zināms, k punktā = ti ir minimums 9, et j =, td funkcijs vērtī ir 0. 7. Noteikt kvdrāttrinom ++c koeficientus, j zināms, k tā lielākā vērtī ir, j =, un tā skņu kuu summ ir 9. 8. Kādām vērtīām vienādojum ) +( ) =0 ) +( ) =0 ) +( 6)+=0 skņu kvdrātu summ ir vismzākā?

9. Doti reāli skitļi ; ; c; d; +c 0. Pie kāds vērtīs funkciji =(+) +(c+d) ir vismzākā vērtī? Noteikt to! 0. Tisnstūr trīs mlu grumu summ ir. Aprēķināt, pie kādiem tisnstūr mlu grumiem tā lukums ir mksimālis.. Noteikt vislielāko un vismzāko vērtīu funkciji ) = + +, j [ ; ] ). 7. Aprēķināt funkcijs mzāko vērtīu.. Tisnleņķ trijstūrī, kur šuris leņķis ir 60 0 un hipotenūz 6 cm, ievilkts tisnstūris, kur vien ml trods uz hipotenūzs. Kādiem jāūt tisnstūr izmēriem, li tā lukums ūtu mksimālis?. Kā r sētu, kurs grums ir, vr ieroežot mksimālo lukumu, kurš trods tisn jūrs krst mlā, j sēts form ir ) tisnstūris, ) trijstūris?. Figūr sstāv no tisnstūr un vienādmlu trijstūr, kurš kā uz pmt konstruēts uz tisnstūr mls. Kāds ir lielākis iespējmis šīs figūrs lukums, j tās perimetrs ir P? 6. Noteikt summs + lielāko un mzāko vērtīu, j +=, 0; 0. 7. Regulārs trijstūr pirmīds vis šķutņu grumu kvdrātu summ ir. Kāds ir mksimālis sānu virsms lukums? 8. Prlelogrm digonāļu grumu summ ir 6 cm. Aprēķināt vismzāko iespējmo prlelogrm mlu grumu kvdrātu summu. 9. Pozitīvu skitļu un summ ir. Aprēķināt, kādu mzāko vērtīu vr pieņemt izteiksme ) ) +. 0. Konusā r pmt rādiusu R un ugstumu H ievilkts cilindrs. Aprēķināt tā cilindr ugstumu un pmt rādiusu, kur sānu virsms lukums ir vislielākis.. No visiem trijstūriem, kuru pltis leņķis ir 0 0 un mlu, kurs veido šo leņķi, ir 6, noteikt to, kurm ir vislielākis lukums.

. SAKARĪBA STARP DIVU SKAITĻU VIDĒJO ARITMĒTISKO UN VIDĒJO ĢEOMETRISKO Teorēm. J un ir nenegtīvi skitļi, td Pārveidojm nevienādīu. 0 0 0. Vienādī ir spēkā tiki td, j =. Bieži šo nevienādīu lieto formā. Nevienādīu vr izmntot rī funkcijs, j >0 un >0, pētīšni. Teorēm. Funkcijs, kur >0 un >0, vismzākā vērtī ir, kuru tā iegūst, j. To pierād, izmntojot skrīu strp vidējo ritmētisko un vidējo ģeometrisko: - izteiksmes mzākā vērtī ir. Noskidrosim, pie kāds vērtīs to iegūst: 0 Acīmredzot 0 0 un kvdrāt mzākā vērtī ir pie - 0, t.i., j. Gdījumā, j <0, td izmnto, k dotā funkcij ir nepār, t.i., f ( ) f () un tās grfiks ir simetrisks pret (0;0). Tāpēc simetriskjā punktā - - funkciji ir lielākā vērtī. Aplūkosim piemērus.. Piemērs. Noteikt funkcijs =+ 6, j >0, mzāko vērtīu. 6 6 8. Mzākā vērtī ir 8.. Piemērs. Noteikt funkcijs 6, j >, mzāko vērtīu.

Ljā pusē pieskit un tņem : - 6. Pirmo divu sskitāmo summs mzākā vērtī: 6 6 ( ) 8 Mzākā vērtī ir 8, j -=. Tāpēc 8+=.. Piemērs. Pie kāds vērtīs izteiksmes Noteiksim izteiksmes mzāko vērtīu: lg lg vērtī ir mzākā? lg lg lg lg lg lg. Tā ir. Mzāko vērtīu izteiksme iegūst, j lg= je =00.. Piemērs. Aprēķināt izteiksmes, j >0, mzāko vērtīu. 9 Ievērosim, k. Izteiksmes mzākā vērtī ir 9.. Piemērs. Noteikt funkcijs 7 7 ekstrēmus. 7 Acīmredzot jāūt 0. J >0, td 7. Funkcijs minimālā vērtī 7 7 ir. Noteiksim, kādi vērtīi tā tilst: 9 9 ( 7) 0. 7 7 7 Vienādī ir spēk, j =7 Funkciji minimums ir punktā (7,). J <0, ievērosim, k funkcij ir nepār, t.i. 7 7 f ( ) f (), 7 7 tās grfiks ir simetrisks pret koordinātu su krustpunktu, un punktā (-7,-) ir mksimums. 6. Piemērs. Aprēķināt funkcijs ( - 0 9), j >0, mzāko vērtīu. 9 ( - 0 9) - 0 9 ( 9-6 9) ( ) (*) Pirmis sskitāmis (-) 0, tā mzākā vērtī ir pie -=0, =; otris 9 sskitāmis 6, tā mzākā vērtī ir 6, j =.

Tāpēc (*) 0+6+=7. Funkcijs mzākā vērtī ir 7, j =. Aplūkosim piemērus (7., 8.), kuros, li vieglāk vrētu noteikt ekstrēmus, izpēt nevis pšu funkciju, et ti pgriezto. 7. Piemērs. Noteikt funkcijs, j >0, mksimumu. 9 9 9 Aplūkojm pgriezto funkciju 6 Ti mzākā vērtī ir 6, j =. Tātd dotji funkciji šjā punktā = ir mksimums (). 6 8. Piemērs. Aprēķināt funkcijs lielāko vērtīu, j zināms, k tā eksistē. c c Apsktām c sskitāmo summs mzāko vērtīu c c * - esm ieguvuši funkcijs lielākā vērtī ir. c c, kur,, c ir pozitīvi skitļi, (*). Noskām pirmo divu c c mzāko vērtīu. Tātd dotās 9. Piemērs. Pie kāds vērtīs funkcij f () ssniedz mzāko vērtīu? f (). Tiešām, tā kā 0, td ; mzākā vērtī ir, kuru iegūst, j, ; +=0; -. 0. Piemērs. Jāuzūvē sēt p tisnstūrveid sport lukumu, kur pltī ir 0,9 h; divs prlēlās mls r kok žogu, otrs divs r stiepļu žogu. Vien metr kok žog izmks ir Ls, stiepļu žog - Ls. Sēts celtniecīi iedlīti 00 Ls. Vi r šo nuds summu pietiek, li uzūvētu sētu, un kādiem jāūt lukum izmēriem? 0,9 h=9000 m. Lukum mls pzīmējm r un. Td 9000 S==9000. Žog izmks 6

9000 90000 90000 A 00. Mzākā nuds summ, kur nepieciešm, ir 00 Ls. Ar šo nuds summu pietiek, li uzūvētu sētu. Noteiksim, kādiem jāūt lukum izmēriem. 90000 00-00 0 0 Vienādī ir spēkā, j =0m un =60m. Tātd īsākjām mlām jāūvē stiepļu, et grākjām - kok žogs.. Piemērs. Riņķ sektor perimetrs,ir p. Kādm jāūt šī sektor centr leņķim, li sektor lukums ūtu vislielākis? Sektor perimetrs p=r+l=r+r, kur ir centr leņķis rdiānos. p p=r(+ ) R Lukums sektorm S=R p p ( ), kur p - konstnte. Tāpēc pētīsim funkciju. Šoreiz ir ērti plūkot pgriezto funkciju 8. Pirmjiem diviem sskitāmjiem pielietojm skrīu strp vidējo ritmētisko un vidējo ģeometrisko:. Funkciji mzākā vērtī ir 8, tāpēc funkciji lielākā vērtī ir 8 pie = (rdiāni).. Piemērs. Dots divs prlēls tisnes un, ttālums strp tām R. Novilkts pusriņķis, kur dimetrs trods uz ; ts pieskrs tisnei. Noteikt vienādsānu trpeces ABCD pmtus (tie trods uz un, sānu mls pieskrs pusriņķim), tā, li trpeces lukums ūtu vismzākis. E un G - punkti, kuros pusriņķis pieskrs trpeces sānu mlām. ) Apzīmējm BF=; AE= BC un BA ir no B vilkts pieskres riņķ līniji, tāpēc BF=BE= ) Novelk BO FBO= BOA (iekšējie šķērsleņķi) 7

ABO= FBO (BO ir B isektrise). No šejienes seko, k ABO= BOA. Tātd ABO ir vienādsānu, t.i., AB=AO=+ AD BC ) S R R ( )R () ) Ievērosim, k AB ir pieskre; AN - seknte, tātd AE =AM AN=(AO-OM)(AO+ON) =(+-R)(++R)=(+) -R () ievieto () un iegūst S = ++ -R, td R R R R R R R R R Tā kā >0, td R R R R () R R Lukum mzākā vērtī S R, kuru iegūst, j R R R un trpeces pmti BC, AD ( ). R R. Td. Piemērs. Jāizgtvo tisnstūr prlēlskldņ forms kstīte, li tās pmt lukums ūtu dm, et sānu virsms lukums 8 dm. Kādiem jāūt kstītes izmēriem, li visu šķutņu grumu summ ūtu minimāl? Atšķirīgās šķutnes pzīmējm r,,z. Td pēc dotā = un z+z=8 9 z. Visu šķutņu grumu summ ir 9 L z ( z) 6 9 9 Novērtējm 6 8

Tātd šķutņu grumu summs minimālā vērtī ir, kuru tā ssniedz, j +=. Esm ieguvuši vienādojumu sistēmu, kurs trisinājumi ir (;) vi (;). Td z=. Tisnstūr prlēlskldņ izmēri ir ;; dm.. Piemērs. Tisns prizms pmts ir tisnleņķ trijstūris r m lielu lukumu, et prizms ugstums ir vienāds r pmt hipotenūzs grumu. Kādiem jāūt pmt mlu grumiem, li prizms sānu virsms lukums ūtu mzākis? Pmt trijstūr mlu grumi ir ; ; c; pēc dotā rī prizms ugstums ir c. pmt lukums () pēc Pitgor teorēms + =c c () Noskām sānu virsms lukumu un tā mzāko vērtīu. S c c c ( c) c () () 6 6 8 8 (*) Lukum vērtī ūs mzākā, j mzāko vērtīu iegūs izteiksme +. Tās mzākā vērtī ir, j =. (*) 6 8 6 8 8 (m ) Pmt izmēri =, = un c.. Piemērs. Tisns prizms pmts ir tisnleņķ trijstūris r 0 cm gru hipotenūzu. Prizms sānu virsms lukums ir 0,96 m. Cik grām jāūt pmt trijstūr ktetēm, li prizms visu šķutņu grumu summ ūtu mzākā? Trijstūr mlu grumus pzīmējm r ;;c, prizms ugstumu r Pēc dotā c=0 cm. Sānu virsms lukums 0,96m m. L c h ( ) h Ievērosim, k h h (*) 9

(*) Visu šķutņu grumu summ ir mzākā:, j Tātd esm ieguvuši vienādojumu sistēmu 7 0 m m trisinājums ir 0 vi 0. m m 0 0 Trijstūr ktetes ir 0 cm un 0 cm grs. 7 0. 7 0, kurs 00 Uzdevumi. Noteikt funkcijs ), j >0, mzāko vērtīu; 7 ), j >0, >0, mzāko vērtīu. 7. Noteikt mzāko vērtīu funkcijām ) 9, j >, 80 ), j >, 8 ).. Aprēķināt mzāko vērtīu funkciji intelvālā [;].. Pie kāds vērtīs izteiksmes 9 lg lg vērtī ir mzākā iespējmā?. Aprēķināt izteiksmes, j >0, mzāko vērtīu. 6. Pie kāds vērtīs dļs vērtī ir minimālā? 7. Noteikt funkcijs ekstrēmus. 0

8. Noskidrot, pie kāds >0 vērtīs funkciji Q c vērtī. ir vismzākā 9. Noteikt ekstrēmus funkcijām ), j >0 6 ) ), j >0. 0. Aprēķināt funkcijs, j >-, mzāko vērtīu.. Riņķ sektor lukums ir S. Kādm jāūt centr leņķim, li sektor perimetrs ūtu vismzākis?. No grnīt jāizkļ tisnstūr prlēlskldnis, kur ugstumm jāūt vienādm r pmt digonāli, et pmt lukumm - m. Kādiem jāūt šķutņu grumiem, li prlēlskldņ pilns virsms lukums ūtu mzākis?. DAŽAS SPECIFISKAS ALGEBRISKAS FUNKCIJAS.. FUNKCIJA c c Li noteiktu šād veid funkcijs ekstrēmus, plīdz prsme noteikt funkcijs vērtīu pglu. Doto funkcijs vienādojumu pārveidosim pr kvdrātvienādojumu ttiecīā pret : ( - ) +( - )+(c -c )=0 Li šim vienādojumm eksistētu reāls sknes, jāūt D 0.. Piemērs. Noteikt funkcijs ekstrēmus. Jāūt -+ 0, Tā kā D<0, td der visi R. Pārveidosim funkcijs vienādojumu pr kvdrātvienādojumu pret : -+=-; (+)+(+)=0 Li šim vienādojumm ūtu trisinājumi, jāūt D 0: D=(+) -(+)=- ++ 0 - Esm prēķinājuši funkcijs vērtīu pglu, tāpēc min - un m =. Noteiksim, kādām vērtīām tilst šīs vērtīs: ) min -

) m = Funkcij ssniedz minimumu punktā - -+=-+ =0 =0 -+=- -+=0 = 0,-, et mksimumu punktā (;).. Piemērs. Aprēķināt funkcijs mzāko vērtīu. D.A.: ++ 0 - Rīkojoties kā iepriekš, ++= ++ (-) -(-)+-=0 Vienādojumm ūs trisinājumi, j D 0: D=(+) -(-) =- 0. Minimālā vērtī ir. Aprēķinām vērtīu: Funkcijs mzākā vērtī -+=0 =, j =. min. Piemērs. Noteikt funkcijs ekstrēmus. D.A. -+ 0, D<0, R Iegūstm kvdrātvienādojumu ttiecīā pret : -+= - (-) +(-)+=0 D=(-) -(-)=- +0+ D 0 - +0+ 0 Iegūstm funkcijs vērtīu pglu, kur Noteiksim tilstošās vērtīs: min - un m =

Funkciji mksimum nv un minimums ir punktā ;... CITAS FUNKCIJAS. Piemērs. Aprēķināt funkcijs =c- mzāko vērtīu. D.A.: Ievērosim, k ritmētiskā kvdrātskne ir nenegtīvs lielums 0, tās mzākā vērtī ir 0, tādēļ viss funkcijs mzākā vērtī ir =0-=-, j =.. Piemērs. Noteikt funkcijs D.A.: + >0 R lielāko vērtīu. Izteiksmes mzākā vērtī ir, j =0, tāpēc pgrieztjm lielumm lielākā vērtī ir, j =0. 6. Piemērs. Aprēķināt funkcijs D.A.: 9-0 - 9 lielāko un mzāko vērtīu. 9 lielākā vērtī ir, j =0; tātd funkcijs lielākā vērtī ir =+ =8 9 mzākā vērtī ir 0, j =±; tātd funkcijs mzākā vērtī =+ 0=. 7. Piemērs. Aprēķināt funkcijs = + + lielāko vērtīu, j tās grfiks iet cur punktiem A(;0) un B(-;). 0 Punkti A un B pieder grfikm, tātd no kurienes =- un =. Tātd =- + +. Tā kā + 0, td - + 0 un funkcijs lielākā vērtī ir, j =-. 8. Piemērs. Aprēķināt funkcijs z=- lielāko un mzāko vērtīu, j 6 +6 =9. =z+ 6 +6(z+) =9 6 +6(z +z+ )-9=0 00 +6z+6z -9=0 Esm ieguvuši kvdrātvienādojumu pret ; tm ūs trisinājums, j D 0. D=(6z) - 00(6z -9)=6 9(-6z ) 0 Atrisinot nevienādīu -6z 0, iegūstm, k iespējmās z vērtīs ir z, tātd mzākā z vērtī ir -, lielākā. Aprēķināsim, kāds ir tilstošās un vērtīs: j z 6z 6z 00 -, td un 9-0

j z, td - un 9 0 9. Piemērs. Skitļi, un z ir tādi, k + +z =. Kād ir lielākā iespējmā izteiksmes +-z vērtī? Apzīmējm +-z= un izskām z=+-. Td + +(+-) =; vienādojumu pārveidojm pr kvdrātvienādojumu pret : +(-)+ + --=0 Li ūtu trisinājumi, td jāūt D 0: D=(-) -6( + --)=(-6 +- +8) 0 Tātd 6 -+ -8 0. Li ši nevienādīi eksistētu trisinājums, jāūt D 0: D= -6( -8)=-8 + 0 - +8 0 6 Tātd izteiksmes =+-z lielākā iespējmā vērtī ir 6. 0. Piemērs. Kāds ir mzākis tilpums konusm, kuru vr pvilkt p lodi r rādiusu R? Apzīmējm DC=r; BD=h. ) DBC ~ EBO (ll). Tāpēc BD DC ) Aprēķinām BE DBC, BC BE EO. h r DC=EC=r BE h r hr hr Kāpinām kvdrātā un izskām r : h R +Rhr +r =r (h +r ) h R =r h Rhr r h h R hr hr h R BC r r h h r R r h r h r r r r r

Konus tilpums V r h h R. Tā kā ir konstnte, td plūkojm (h R) h R funkciju. Pārveidosim to pr kvdrātfunkciju pret h: h R R h h+r=0. Jāūt D= 8R 0. Iegūstm 0 (neder) vi 8R. Minimālā funkcijs vērtī =8R h R. Noteiksim, pie kād h ts izpildās: 8R, h R h 8Rh+6R =0, h=r. 8 Tātd mzākis iespējmis konus tilpums ir V 8R R. Uzdevumi. Noteikt funkcijs ), ) 9 ekstrēmus.. Aprēķināt funkcijs vērtīu pglu un tās mksimumu.. Noteikt funkcijs mzāko vērtīu.. Atrst izteiksmes mzāko vērtīu, j >0.. Aprēķināt funkcijs mzāko vērtīu, j 0< <. 6. Aprēķināt funkcijs - lielāko vērtīu, lielāko un mzāko vērtīu, mzāko vērtīu. 7. Noteikt mzāko no vērtīām, kurām eksistē tāds un z vērtīs, k + +z +-z-z=. 8. Aprēķināt funkcijs = - + lielāko vērtīu, j tās grfiks iet cur punktiem A(;-) un B(;). 9. Noteikt funkcijs = + + mzāko vērtīu, j tās grfiks krusto 0 si punktos - un.

.. DAŽĀDI PIEMĒRI.. TRIGONOMETRISKĀS FUNKCIJAS.. Piemērs. Noteikt funkcijs sin sin lielāko un mzāko vērtīu. Ievērosim, k dotā funkcij ir kvdrātfunkcij un tāpēc tdlīsim pilno kvdrātu. sin sin (sin sin ) sin * Funkcij ssniegs mzāko vērtīu, j sin 0 min * Noteiksim funkcijs lielāko vērtīu to iegūsim, j pirmis sskitāmis ūs lielākis. Izmntosim funkcijs = sin vērtīu pglu ( sin ). Tā kā meklējm lielāko vērtīu, td sin sin tā kā nevienādīs s puses ir nenegtīvs, td sin 9 sin 9. Funkcijs lielākā vērtī ir.. Piemērs. Aprēķināt funkcijs f()=sin+cos+ lielāko vērtīu intervālā [ 0; ]. Pārveidosim funkciju pr kvdrātfunkciju un tdlīsim pilno kvdrātu f()= sin+cos+= sin +sin+ = (sin sin )= = sin Funkcij iegūst lielāko vērtīu 9, j sin. Pārliecināsimies, kāds ir funkcijs vērtīs intervāl glpunktos =0 un = : ) =0, td f(0)= sin0+cos 0+=, 9 ) =, td f( )= sin +cos +=.. Tātd funkcijs lielākā vērtī ir 9. 9.. Piemērs. Atrst funkcijs f()=cos sin mzāko vērtīu intervālā [ 0; ]. f()=cos sin= sin sin += (sin+) +. No šī pār-veidojum cīmredzmi vr nolsīt funkcijs lielāko vērtīu. Funkcij pieņems mzāko vērtīu, j (sin+) ūs vislielākis. Lielākā sin vērtī ir : sin=, td (sin+) = = un funkcijs mzākā vērtī ir +=. Slīdzināsim to r funkcijs vērtīām intervāl glpunktos =0 un =. 6

f(0)=cos 0 sin0= un f( )=cos sin =( ) =. Funkcijs mzākā vērtī ir.. Piemērs. Noteikt funkcijs =sin cos sin cos lielāko vērtīu. =sin cos sin cos=sin cos(cos sin )= sin cos= sin. Tā kā vērtīu pgls ir sin, td dotās funkcijs lielākā vērtī ir.. Piemērs. Noteikt funkcijs mzāko vērtīu. sin cos. pņēmiens. Apzīmējm sin = ; sin cos sin sin plūkojm pgriezto funkciju ( ). Šīs funkcijs lielākā vērtī ir, j ; tāpēc pgrieztjm liekumm pie tās pšs vērtīs ir mzākā vērtī..pņēmiens. Izmntojm pkāpes pzemināšns skrīs (+cos =cos, cos =sin ) sin cos cos cos cos Ievērosim, k 0 cos un dļs mzākā vērtī ir.. pņēmiens. sin cos (sin ) 6. Piemērs. Noteikt funkcijs sin sin 6 lielāko vērtīu. Kādām vērtīām tā tilst? Pārveidosim funkciju izmntojot skrīu Funkcijs vērtī ūs vislielākā, j ūs vismzākis, t. i., To ssniedz, j. 7

7. Piemērs. Noteikt tos vienādojum trisinājumus, r kuriem izteiksmes 6 vērtī ūtu vislielākā. Aprēķināsim izteiksmes 6 to vērtīu, pie kurs tās vērtī ir lielākā: 6 = (+) +0. Izteiksmes lielākā vērtī ir 0; izteiksme to iegūst, j =, un vērtī smzinās, + pieugot. Atrisinām vienādojumu Izmntojm skrīu Viegli pārudīt, k skitlim ( ) tuvākā vērtī no šiem ir. 8. Piemērs. Aprēķināt izteiksmes sin+cos mzāko vērtīu. sin+cos= = ( sin cos ) (cos sin sin cos ) sin( ). sin( ) mzākā vērtī ir, tātd izteiksmes mzākā vērtī ir. 9. Piemērs. Noteikt funkcijs =sin+cos sincos lielāko vērtīu. Pieskitām un tņemm sin un cos : =sin+cos sincos=(sin+cos) sincos sin cos +sin +cos =(sin+cos) (sin+cos) +(sin +cos )= = (sin+cos) +(sin+cos)+. Apzīmē sin+cos=. Td = ++; esm ieguvuši kvdrātfunkciju, kur ssniedz lielāko vērtīu, j. Viegli sprst, k sin+cos vr pieņemt 9 9 šādu vērtīu. Tāpēc lielākā vērtī ir. 6 8 0. Piemērs. Aprēķināt funkcijs =sin tg+cos ctg+sin ekstrēmus. DA: n, n Z. sin cos Pārveidojm sin cos cos sin sin cos sin cos. sin cos sin cos sin Mksimālā vērtī lielumm sin ir, tāpēc ssniedz lokālos minimumus, j n, n Z. 8

Minimālā vērtī lielumm sin ir mksimumus, j n, n Z., tāpēc ssniedz lokālos sin DA: R. Preizin skitītāju un sucēju r :.Piemērs. Aprēķināt funkcijs sin sin mzāko vērtīu. ( sin ) ( sin ) sin ( sin ) ( sin ) Ievērojm, k sin>0, tāpēc pirmjiem diviem sskitāmjiem pielietojm skrīu strp vidējo ritmētisko un vidējo ģeometrisko: sin ( Funkcijs mzākā vērtī ir sin ). ( sin ) sin sin sin. Piemērs. Noteikt izteiksmes lielāko un mzāko vērtīu. sin sin DA: sin sin. ) Tā kā sin, td ( sin )( sin ) 0 sin sin +sin sin 0 +sin sin sin +sin Ievērojm, k +sin sin > 0, tāpēc r to, izdlot nevienādīs s sin sin puses, iegūstm. () sin sin ) Līdzīgi sin un sin, td (+sin )(+sin ) 0 +sin +sin +sin sin 0 sin +sin (+sin sin ). Dlm s nevienādīs puses r +sin sin >0, iegūstm sin sin. () sin sin sin sin Aplūkojm rezultātus () un ():. Esm ieguvuši, k sin sin izteiksmes mzākā vērtī ir (j =0+ n; k ) un lielākā vērtī ir (j =0+ n; k ); n, k Z.. Piemērs. Kādm šurm leņķim izteiksmei T=sin cos ir vislielākā vērtī? T ssniegs lielāko vērtīu, j T pieņems lielāko vērtīu:. 9

T =sin cos =sin ( sin ). T ssniegs lielāko vērtīu, j T ūs vislielākis: T =sin ( sin ) sin sin T sin Summ sin sin Iegūstm cos sin sin sin sin, tāpēc lielāko vērtīu ssniegs, j, td sin cos., tg =, tg (jo šurs) rctg.. Piemērs. Noteikt lielāko vērtīu funkciji =sin sin 6. =sin ( sin ). Tā kā sin + sin =, td funkcij ssniegs lielāko vērtīu, j sin = sin sin = sin = un =... FUNKCIJA Y=A COSX+B SINX Li noteiktu funkcijs plīgleņķi, t.i., ) prēķin, cos sin lielāko un mzāko vērtīu, izmnto ) izteiksmi reizin un dl r. Tiešām, kur cos sin = (sin cos+cos sin)= sin(+ ), cos un sin. Šī funkcij ssniedz lielāko vērtīu vērtīu min -, j sin(+ )=-. m, j sin(+ )=, un mzāko. Piemērs. Noteikt izteiksmes A=sin-cos lielāko un mzāko vērtīu. kur cos un ssin. 0

A lielākā vērtī ir, j sin(- )=, un mzākā vērtī ir -, j sin(- )=-. 6. Piemērs. Noteikt funkcijs =sin-cos vērtīu pglu. lielākā vērtī ir, mzākā vērtī ir -. Tātd [-;]... FUNKCIJA Y=ACOS X+BSINX COSX+CSIN X Izmntojot pkāpes pzemināšnu un formulu sin=sin cos, iegūstm cos sin cos cos sin cos csin c = cos sin c c cos ( c ( - c)cos sin) Apzīmē =(-c)cos+sin un noteiksim tās lielāko un mzāko vērtīu: ( c) ( c) c cos ( c) sin Tāpēc ( c) ( c ( c) sin ). J sin(+ )=, td m c ( c) ; j sin(+)=-, td min c ( c). sin. 7. Piemērs. Aprēķināt izteiksmes B=sin +sin cos+cos lielāko un mzāko vērtīu. ( cos ) cos B sin cos sin =+sin-cos cos C sin - cos ( sin - cos) sin( ) Tāpēc B=+ sin(- ) J sin(- )=, td C lielākā vērtī ir un B lielākā vērtī ir ; j sin(- )=-, td C mzākā vērtī ir un B mzākā vērtī ir -. 8. Piemērs. Uz viens tisnā leņķ mls ir dots nogrieznis AB. Aprēķināt, cik tālu uz otrs leņķ mls ir jātzīmē punkts, li AB no tā ūtu redzms vislielākjā leņķī.

Pieņemm, k meklētis punkts ir D Apzīmējm BC=; AC=; CD= ADC= ; BDC= Td ADB= - =. Aprēķināsim tg un izmntosim īpšīu: jo lielāks tg, jo lielāks leņķis). ( šurs No BCD tg = ; no ACD tg = tg tg tg tg( ) tg tg Dļs vērtī ir vislielākā, j sucējs ir vismzākis. Tāpēc noskidrosim, kādām vērtīām sucējs ir mzākis: Sucēj vērtī ir vismzākā, j ūs lielākis. CB AC, pie kurs tg un tātd rī 9. Piemērs. Riņķī ievilkts trijstūris. Kādā gdījumā mlu kvdrātu summ ir vislielākā? Izmntosim sinusu teorēmu c sin sin sin R =Rsin ; =Rsin ; c=rsin Mums jāprēķin + +c =R sin +R sin +R sin = =R (sin +sin +sin )=* Ievērosim, k + + =, = -( + ) un sin ( -( + ))=sin ( + ). Tāpēc *=R (sin +sin +sin ( + ))=

R cos cos cos Iekvu vērtī ūs lielākā, j cos ( - )= un Tātd Vislielākā mlu kvdrātu summ ir vienādmlu trijstūrim.. Uzdevumi.. Atrst funkcijs f()=cos-sin lielāko vērtīu.. Noteikt funkcijs ) f()=sin -sin mzāko vērtīu, ) f()=sin-cos - mzāko vērtīu, c) f()=sin-cos + lielāko vērtīu, d) f()=cos -cos- mzāko vērtīu, e) f()=cos+sin+ lielāko un mzāko vērtīu, f) f()=sin +cos- lielāko un mzāko vērtīu.. Aprēķināt lielāko un mzāko vērtīu funkciji: ) =sin +cos ) =sin 6 +cos 6. Noteikt izteiksmes cos+sin lielāko vērtīu.. Aprēķināt lielāko un mzāko vērtīu izteiksmēm ) sin + cos ) cos -sin c) sin -cos d) cos - sin

e) 7cos 0 6. Aprēķināt izteiksmes (sin cos) sin cos mzāko vērtīu. 7. Aprēķināt funkcijs =(sin+cos) vērtīu kopu. 8. Aprēķināt funkcijs ) =6cos+8sin ) vērtīu pglu. 9. Noteikt funkcijs ekstrēmus. 0. Aprēķināt funkcijs cos vērtīu pglu. cos sin. Aprēķināt sin, li izteiksmei cos sin ūtu vislielākā iespējmā vērtī.. Noteikt lielāko vērtīu funkciji =-cos +cos.. Atrst funkcijs ) = sin ) =-log cos lielāko un mzāko vērtīu.. Atrst funkcijs log (cos +cos +6) lielāko vērtīu.. Noteikt funkcijs lielāko vērtīu. 6. Noteikt izteiksmes sin sin sin sin lielāko un mzāko vērtīu. 7. Atrst funkcijs f() sin vērtīu pglu.. EKSTRĒMU ATRAŠANA, PAMATOJOTIES UZ VISPĀRĪGO NEVIENĀDĪBU STARP VIDĒJO ARITMĒTISKO UN VIDĒJO ĢEOMETRISKO Li pzīstm ir tā suktā Košī nevienādī: j,,..., n - pozitīvi skitļi, td n n n, n pie tm vienādī ir spēkā td un tiki td, j = =...= n.

Plši pzīstms tās speciālgdījums diviem pozitīviem skitļiem: Prādīsim, kā trod ekstrēmus, lstoties uz šīm teorēmām. Teorēm. Divu pozitīvu skitļu reizinājums, kuru summ ir konstnts skitlis, ir vislielākis, j i reizinātāji ir vienādi.. pierādījums. Pieņemm, k S ir u skitļu summ, j - viens reizinātājs, td otrs ir S-. Aplūkojm reizinājumu (S-)=- +S. Šis kvdrātrinoms ssniedz lielāko vērtīu, j S S un Un šī reizinājum - S - S - S S - S - S, tātd, j i reizinātāji ir vienādi. S lielākā vērtī ir S. pierādījums. Aplūkosim identitāti (( ) - ( - ) ). J summ + ir konstnts skitlis, td lielāko vērtīu ssniegs, j (-) ūs pēc iespējs mzāks. Bet, tā kā (-) o, td tā mzākā iespējmā vērti ir pie -=0, t.i., j =.. pierādījums. Atliek uz tisnes nogriezni AB=+=S un konstruē pusrinķi, km AB ir dimetrs.. S Atliek OC AB; AO OB OC ; ABC - tisnleņlķ, S OC AO OB. Novelk DE OC; AD= un DB=. Td AD DB=DE, et DE<OC. Šo teorēmu vr vispārināt rī ptvļīgm skitm reizinātāju. Teorēm. Virāku pozitīvu skitļu reizinājums n, j šo reizinātāju summ + +...+ n =S ir konstnt, ssniedz lielāko vērtīu vienādi. Ts ir tiešs secinājums no Košī nevienādīs. S n n, j visi skitļi ir. Piemērs. Noteikt funkcijs lielāko vērtīu ) =(-) Ievērosim, k u reizinātāju summ ir konstnts skitlis +- -=, tāpēc funkcij ssniegs lielāko vērtīu, j i reizinātāji vienādi: =- =

un lielākā vērti. ) =(-) Li ūtu lielākā vērtī, ri jāūt lielākji vērtīi: =(-) => +- 9 =, tāpēc lielākā vērtī ir, j =-; td un - 8. c) =(-n) ssniegs lielāko vērtīu, j rī n ssniedz lielāko vērtīu: n=n(-n) n n+-n=, tāpēc n=-n, n=, un - n n n n d) = (9- ) +9- =9, tāpēc =9-9,, un lielākā vērtī ir 9 9 8. e) = (9- ) ssniegs lielāko vērtīu, j rī ssniegs lielāko rērtīu: = (9- ) => +9- =9, tāpēc =9-9, un lielākā vērtī 0 9 9 8 0 0. f) ssniegs lielāko vērtīu pie tās pšs vērtīs, kur : = ( - ) un ssniegs lielāko vērtīu, j ssniegs lielāko vērtīu: ( - ),. Ievērosim, k, tāpēc lielākā vērtī ūs, j,, un.. Piemērs. Aprēķināt izteiksmes A= lielāko vērtīu, j +=. Izskot =-, iegūstm A= = (-). A ssniegs lielāko vētīu, j rī A ssniegs lielāko vērtīu: A= (-). Ievērosim, k +++(-)=, tāpēc lielākā vērtī izteiksmei ūs, j =(-):. Piemērs. Kvdrātveid skārd loksnei r mls grumu 6 no stūriem izgriezti vienādi kvdrāti un mls tlocīts, izveidojot kāriņu ez vāk. Kādm jāūt izgrieztā kvdrāt mls grumm, li kārs tilpums ūtu vislielākis? 6

Apzīmējm nogrieztā kvdrātiņ mls grumu r, td kāriņs pmt mls grums ir 6- un tilpums V=(6-). V ūs lielākis.td, j rī V ūs vislielākis: V=(6-). Summ +(6-)+(6-)= ir konstnt, tāpēc V ūs lielākis, j =6-, = un V=6.. Piemērs. Lodē r rādiusu R ievilkts cilindrs. Aprēķināt tā cilindr izmērus, kur sānu virsms lukums ir lielākis. Apzīmējm cilindr pmt rādiusu r r un ugstumu r H. (R) =(r) +H => H R r. Cilindr sānu virsms lukums. Bet ir konstnte, tāpēc plūkosim funkciju r R r ; ūs lielākā vērtī, j ūs lielākā vērtī: =r (R -r ). Au reizinātāju summ ir r +R -r+=r - konstnte, tāpēc funkcijs lielākā vērtī ūs, j r+=r -r R R, r un r ;.. Piemērs. Noteikt, kur trijstūr iekšpusē trods punkts, kur ttālumu līdz mlām reizinājums ir lielākis. ; z. Pieņemsim, k meklētis punkts ir D un ttālumi no tā līdz trijstūr mlām ir ; Svienojm D r trijstūr virsotnēm un prēķinām S ABC =S ADB +S BCD +S ADC c z S ABC S=c++z. 7

Tātd summ c++z ir konstnte S, tāpēc reizinājums c z ūs lielākis, j S S chc h h visi sskitāmie ir vienādi: c z, tātd c ; ; c c h z. Tātd meklējmis punkts D ir mediānu krustpunkts. Teorēm. Virāku pozitīvu skitļu summ, kuru reizinājums ir konstnte, ir vismzākā, j visi skitļi ir vienādi. Teorēmu vr pierādīt līdzīgi prgrāf sākumā dotji teorēmi, kā rī, tieši tsucoties uz to. Viens pierādījums divu skitļu gdījumā lstās uz identitāti ( ). Citus pierādījumus trodiet ptstāvīgi. 6. Piemērs. Aprēķināt mzāko vērtīu funkciji ), >0 Ievērojm, k, tāpēc funkcij svu mzāko vērtīu iegūs, j i sskitāmie vienādi:, =, = (jo > 0). Tātd mzākā vērtī ir =. ) Ievērosim, k, tāpēc pie, =6, =± funkcij ssniegs mzāko vērtīu =. c), j >. Izteiksmes lji pusei pieskit un tņem :. Šo sskitāmo reizinājums - konstnte, tādēļ mzākā vērtī ir, j -, (-) =, =, ūs =. d) j > 0. I. Pārveidojm funkciju:. Visu sskitāmo reizinājums, tātd to summ ūs mzākā, j, = un =6. II. Šo piemēru vr trisināt rī, izmntojot skrīu strp vidējo ritmētisko un vidējo ģeometrisko, j ir doti virāki sskitāmie: Kā redzms, mzākā iespējmā funkcijs vērtī ir 6. 8

7. Piemērs. Noteikt izteiksmes mzāko vērtīu. Pārveidojm izteiksmi: reizinājums un ievērojm, k, tātd mzākā vērtī izteiksmei ūs, j tātd izteiksmes mzākā vērtī ir., 8. Piemērs. Figūr sstāv no cilindr, kurš ir noslēgts r pussfērām. Aprēķināt figūrs izmērus, j tās tilpums ir V un virsms lukums ir mzākis iespējmis. Apzīmējm cilindr pmt un pussfērs rādiusu r R un cilindr ugstumu r H. Td tilpums Figūrs virsms lukums Ievērosim, k visu sskitāmo reizinājums ir konstnte, tāpēc virsms lukums ir mzākis, j visi sskitāmie vienādi, t.i.,, R =V,,, mzākis Figūrs virsms lukums ir mzākis, j figūr sstāv tiki no pussfērām, t.i., tā ir lode. 8 9. Piemērs. Aprēķināt funkcijs - - lielāko vērtīu. 9

- 8-8. Vispirms plūkosim funkciju reizinājums, tāpēc mzākā vērtī tiks iegūt, j, 0 =, = vi = -, un tā ir. Tātd funkciji =-( 8 +) vērtī - ūs lielākā. Uzdevumi.. Aprēķināt mzāko vērtīu funkciji 6. TREŠĀS PAKĀPES FUNKCIJAS Y=AX +BX +CX+D, A 0 EKSTRĒMI Li noteiktu šīs funkcijs mksimumus un minimumus, plūkojm plīgtisni =t. Ar džādām t vērtīām dotās funkcijs grfikm r tisni =t vr ūt vi nu, vi krustpunkti, vi rī krustpunkts un pieskršnās punkts. Mūs interesē tieši pēdējā iespēj. Iegūstm vienādojumu sistēmu 0

c d t un vienādojumu + +c+d=t + +c+d-t=0 (*) J r 0 pzīmējm dotā grfik un tisnes krustpunkt scisu, td 0 ir vienādojum (*) skne. Tāpēc vienādojumu (*) vr izdlīt r - 0, tādējādi pzeminot vienādojum pkāpi. Esm ieguvuši dlījumu +(+ 0 )+(c+ 0 + 0 ) un tlikumu d+c 0 + 0 + 0 -t. Tā kā 0 ir vienādojum skne, td tlikumm jāūt 0, je d+c 0 + 0 + 0 -t=0. Dlījumā iegūtjm polinomm +(+ 0 )+(c+ 0 + 0 ) ir jāūt divām vienādām sknēm, tātd jāūt D=0: D=( 0 +) -( 0 + 0 +c)=0 0 + 0 + - 0-0 -c=0-0 - 0 + -c=0 0 + 0 +c- =0, no kurienes vr prēķināt c 0. Pie šīm 0 vērtīām ( 0 c ) c. c J -c >0, td ir divs 0 vērtīs, ks tilst mksimum un minimum tišņu krustpunktu scisām (skt..zīm.) J -c=0, grfikm ir pārliekum punkts; j -c<0, tm nv lokālo ekstrēmu punktu. Šjos gdījumos ekstrēmu nv (skt..,.zīm.).

. Piemērs. Kāds ir lielākis tilpums konusm, kuru vr ievilkt lodē r rādiusu R? Azīmējm konus pmt rādiusu r r un ugstumu r h. COA: OC=h-R; AO=R; AC=r. Pēc Pitgor teorēms OC +AC =AO (h-r) +r =R, td r =Rh-h Konus tilpums ir tāpēc plūkojm funkciju =Rh -h. Ši trešās pkāpes funkciji =-, =R, c=0, d=0 h c R R R R. Te V ir konstnte, r R R 6R 9 8R Lielākis iespējmis tilpums ir V 6R 9 8R 9 8R R 9 R 8.. Piemērs. No visiem cilindriem, kuru pilns virsms lukums ir cm, noteikt to, kurm ir lielākis tilpums. Apzīmē cilindr pmt rādiusu r R, ugstumu r H. Pilns virsms lukums: S= R + RH= R +RH= R H R Cilindr tilpums: pkāpes funkciju, kurs koeficienti ir = R c 6,; tātd R=, H=. Esm ieguvuši trešās, =0, c=, d=0. Iegūstm. Piemērs. Noteikt funkcijs = ( )+ lielāko un mzāko vērtīu intervālā [0;].

Pārrkstām funkciju kā = +; koeficienti ir =; = ; c=0; d=. Tātd svu mksimumu un minimumu šī funkcij ssniedz, j 9, = un =0: j =, td min =, un, j =0, td m =. Aprēķināsim funkcijs vērtīs intervāl glpunktos. Glpunkts =0 ju plūkots; j =, td =. Tātd funkcijs lielākā vērtī ir, mzākā. Uzdevumi.. Jāizgtvo konuss, kur veidule ir cm gr. Kādm jāūt konus ugstumm, li tā tilpums ūtu vislielākis?. Noteikt funkcijs f()=( )( +) ekstrēmus. 7. EKSTRĒMU UZDEVUMU RISINĀŠANAS METOŽU MINIMUMS MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDĒS Šjā prgrāfā konspektīvi plūkoti pugstināts grūtīs pkāpes lgerisk rkstur uzdevumi pr vienrgument un virākrgumentu funkciju lielāko un mzāko vērtīu tršnu, kurus izdods īsi un skisti trisināt, nelietojot mtemātiskās nlīzes metodes. Turklāt mēs psktām gn noscīto, gn nenoscīto ekstrēmu meklēšnu. Te netiek iekļuti pēc ūtīs diskrēt rkstur uzdevumi, kuru risināšni lieto speciāls komintorisks metodes (Dirihlē principu, vidējās vērtīs metodi utt.). Glvenās metodes, kurs izdods izdlīt litertūrā sstopmjos uzdevumos, ir sekojošs.. Ekstrēmu uzdevumu risināšn, izmntojot nevienādīs... Nevienādī 0.. Nevienādī strp vidējo ritmētisko un vidējo ģeometrisko... Nevienādīs strp citiem vidējiem lielumiem... Košī-Bunjkovsk nevienādī... Čeišev nevienādī..6. Jensen nevienādī.. Ģeometrisks interpretācijs lietošn... Luzts līnijs grums... Attālumu summ... Lukums.. Funkcijs vērtīs pkāpenisk monoton minīšn, izvēloties piemērotā veidā rgument vērtīs.. Funkcijs izstāšn r to mžorējošu funkciju.. Ekstrēm tršn, konstruējot lgoritmu tā meklēšni. 6. Ekstrēm tršn, lietojot zināms funkciju īpšīs (sevišķi kvdrāttrinom īpšīs). 7. Ekstrēm tršn, izmntojot nturālu skitļu un to nevienādīu īpšīs. 8. Ekstrēm pētīšn, izmntojot funkciju vērtīs speciālā veidā izvēlētos punktos.

Aplūkosim džus rksturīgākos piemērus... uzdevums. Dots, k + +c +d. Atrst izteiksmes (+) +(+c) +(+d) +(+c) +(+d) +(c+d) lielāko iespējmo vērtīu. Atrisinājums. Viegli pārudīt, k ir spēkā identitāte (-) +(-c) +(-d) +(-c) +(-d) +(c-d) +(+) +(+c) + +(+d) +(+c) +(+d) +(c+d) =6( + +c +d ) (tā pzīstm no skitļu teorijs; Lgrnžs r tās plīdzīu pierādījis, k ktru nturālu skitli vr izscīt ne virāk kā veselu skitļu ceturto pkāpju summs formā). No šīs identitātes mēs viegli secinām, k (+) +(+c) +(+d) +(+c) +(+d) +(c+d) 6, un izteiksme vr pieņemt vērtīu 6 td un tiki td, j c d... uzdevums. Dots, k,, z, u 0 un ++z+zu=. Atrst lielāko iespējmo izteiksmes z u vērtīu. Atrisinājums. Ievērojm, k dotās vienādīs kreisās puses sskitāmo reizinājums tiki r konstntu koeficientu tšķirs no pētāmā reizinājum. Ts uzvedin uz domām pētīt šo reizinājumu r summs plīdzīu. Glvenā skrī strp nenegtīvu skitļu reizinājumu un summu ir nevienādī strp to vidējo ritmētisko un vidējo ģeometrisko. Tiešām, iegūstm, tātd. Vērtī tiek ssniegt, j ; no šejienes, =,,. Tātd meklējmis mksimums tiešām ir... uzdevums. Dots, k + + +...+ n =n. Pierādīt, k lielum + +...+ n mzākā iespējmā vērtī ir n. Atrisinājums. Viegli sprst: j = =...= n, td vērtī n tiek ssniegt. To, k tā ir mzākā vērtī, pierādīsim divos džādos veidos. I. Sskņā r nevienādīu strp vidējo ritmētisko un vidējo kvdrātisko iegūstm... n... n, n n no kurienes seko vjdzīgis. II. Apzīmējm i =+ i, i=;;...;n. Td S= + +...+ n = =(+ ) +(+ ) +...+(+ n ) = n+( + +...+ n )+ ( + +...+ n ). Tā kā n= + +...+ n = n+( + +...+ n ), td + +...+ n =0. Tāpēc iegūstm S=n+( + +...+ n ) n, ko rī vjdzēj pierādīt.... uzdevums. Atrst lielāko iespējmo izteiksmes sin + cos vērtīu. Atrisinājums. Sskņā r Košī- Bunjkovsk nevienādīu sin cos. sin cos. Vērtī tiek ssniegt, j, piemērm, sin un cos. Tātd meklējmis mksimums ir.... uzdevums. Dots, k,, c - pozitīvi skitļi un c. Atrst izteiksmes mzāko iespējmo vērtīu. ( c) ( c) c ( )

Atrisinājums. Acīmredzot, j c, td izteiksmes vērtī ir. Apzīmēsim,, z. Td izteiksme pārveidojs pr c z S, kur z, 0, 0, z 0. z z Sskņā r Košī - Bunjkovsk nevienādīu ( z) ( z) ( ) S ( z), no kurienes seko, k z S z. Tātd meklējmis minimums ir. n.. uzdevums. Atrst vismzāko izteiksmes... vērtīu, j n ( ; ;...; n ) ir skitļu (;;...;n) kut kād permutācij. Atrisinājums. Sskņā r Čeišev nevienādīu minētās izteiksmes vismzākā vērtī tiek ssniegt, j tilstošjos vektoros ( ; ;...; n ) un ; ;...; n skitļu izkārtojumi pēc lielum ir pretēji. Tāpēc tā ir n...... n n..6. uzdevums. Atrst izteiksmes sin sin... sin n vislielāko vērtīu, j 0,,..., n un... n. Atrisinājums. Apzīmēsim f ( t) sin t. Td f ( t) cos t, f ( t) sin t ; intervālā 0; f ( t) 0, tātd funkcij f ( t) tjā izliekt uz ugšu. Sskņā r Jensen nevienādīu izliektām funkcijām pstāv skrī f ( ) f ( )... f ( n)... n f, turklāt nevienādī ir spēkā td un n n tiki td, j... n. Tāpēc meklējmis mksimums ir n sin n un tiek ssniegts, j... n. n.. uzdevums. Atrst izteiksmes 0 09 mzāko iespējmo vērtīu. Atrisinājums. Aplūkojm zīmējumu. Te AB=0, AM=, BN=, AO=. Viegli pārudīt, k psktāmā izteiksme ir luzts līnijs MON grums; tiešām, to vr uzrkstīt kā ( 0 ).

Ts ir vismzākis, j punkti M, O, N trods uz viens tisnes; ts svukārt nozīmē, k AO:OB=:, t.i., =. Iegūstm, k meklējmā mzākā vērtī ir... uzdevums. Atrst izteiksmes - + - + - +...+ -99 mzāko iespējmo vērtīu. Atrisinājums. Apsktām uz skitļu ss punktus ;;...;99 un ptvļīgu punktu. Apsktāmā izteiksme ir punkt ttālumu summ līdz punktiem ;;...;99. Psekosim, kā tā minās, j pārvietojs p skitļu si no līdz. Pārvietojoties no līdz, visi ttālumi smzinās pr vienu un to pšu lielumu. Pārvietojoties no līdz, smzināsies 98 ttālumi, et plielināsies viens; viss izmiņs notiek pr vienu un to pšu lielumu, tātd summ smzinās. Pārvietojoties strp un, pr vienu un to pšu lielumu plielinās ttālumi, et smzinās 97, tātd summ smzinās. Līdzīgi turpinot, konsttējm: summ smzinās, punktm pārvietojoties no līdz 0, un plielinās tālāks kustīs gitā. tāpēc meklējmis minimums tiek ssniegts punktā =0, un tā vērtī ir (++...+9)=9 0=0... uzdevums. Atrst izteiksmes (+-c)(-+c)(-++c) lielāko iespējmo vērtīu, j,, c - pozitīvi skitļi, kuru summ ir. Atrisinājums. J kād no iekvām ir 0, td izteiksmes vērtī ir 0, j kād iekv ir negtīv, td tād ir tiki vien (tā, kurā lielākis no skitļiem,, c ir r mīnus zīmi), un izteiksmes vērtī nv pozitīv. J viss iekvs ir pozitīvs, td,, c vr uzsktīt pr tād trijstūr mlu grumiem, kur perimetrs ir. Kā zināms, lielākis lukums strp trijstūriem r konstntu perimetru ir regulārm trijstūrim, tāpēc sskņā r Hēron formulu c c c c Ceļot nevienādīs s puses kvdrātā un ievērojot, k ++c=, iegūstm, k ( - c)( - c)(- c), turklāt vienādī pstāv td un tiki td, j 7 c.. uzdevums. Zināms, k ; ;...; 00 [0; ]. Atrst izteiksmes i j i j lielāko iespējmo vērtīu. Atrisinājums. Aplūkosim ptvļīgus ; ;...; 00 [0; ]. Pieņemsim, k tie izvietojs intervālā kārtīā 0... 99 00. Pārīdīsim no pšreizējās pozīcijs uz 0. Pārīdes rezultātā viss strpīs, ks stur, pēc moduļ pieugs. Pēc tm tāpt pārīdīsim ; šīs pārīdes rezultātā vien strpī pēc moduļ smzināsies, et 98 - pieugs, tāpēc meklējmā summ pieugs. Līdzīgi pārīdām uz 0 rgumentus ; ;... ; 0, et uz - rgumentus 00 ; 99 ;... ; (tieši šādā secīā); pētāmās izteiksmes vērtī pieug. Tieši secinām, k lielākā vērtī tiek ssniegt, j = =...= 0 =0 un =...= 00 =. Td šī vērtī ir 0 0=00. 6

. uzdevums. Zināms, k +...+ 00 =un visi skitļi,,..., 00 ir nenegtīvi. Atrst izteiksmes S= + +...+ 98 99 + 99 00 lielāko iespējmo vērtīu. Atrisinājums. Viegli sprst, k S... 99... 00. Svukārt no nevienādīs strp vidējo ritmētisko un vidējo ģeometrisko tālāk seko, k S Vērtī... 99 00 meklējmis mksimums ir. tiek ssniegt, piemērm, j. un = =...= 00 =0. Tātd. uzdevums. A, B, C, D, E, F, G, H ir pilsēts. Zīmējumā dotjā tulā ierkstītie skitļi rād, cik tūkstošus ruļu mksā ceļ uzūvēšn no viens pilsēts uz otru. Piemērm, rūtiņ, ks trods C rindiņs un E kolonns krustojumā, rād, k ceļ uzūvēšn no C uz E mksā 7 tūkst. rļ. Kādi ceļi jāuzūvē, li p tiem no ktrs pilsēts vrētu izrukt uz ktru un kopējās ūves izmkss ūtu vismzākās iespējmās? ( No vien ceļ uz otru vr nogriezties tiki pšās pilsētās, ceļu krustojumu strp pilsētām nv.) Pmtojiet svu izvēli. Atrisinājums. Šjā uzdevumā tiki tieši no viens pilsēts uz otru (ez strppilsētām) uzūvējmu ceļu suksim pr ceļu. Tādu ceļu sistēmu, p kurā ieejošjiem ceļiem no ktrs pilsēts vr izrukt uz ktru un ks ir vislētākā no sistēmām r šādu īpšīu, suksim pr vislētāko sistēmu. Ievērosim, k visi uzūvējmie ceļi ir r džādām izmksām. Lemm. Vislētākā sistēm noteikti stur vislētāk uzūvējmo ceļu. Pieņemsim, k vislētāk uzūvējmis ceļš svienotu pilsēts X un Y, et vislētākjā sistēmā ts neietilpst. Td no X uz Y šjā sistēmā vr izrukt p citiem ceļiem cur pilsētām Z,...,Z n. 7

Uzūvēsim ceļu strp X un Y, et likvidēsim jekuru no ceļiem XZ, Z Z,... Z n Y. Iegūtā sistēm ir lētāk pr iepriekšējo (jo ceļš XY ir lētāks pr likvidēto ceļu), un p tās ceļiem vr izrukt no jekurs pilsēts uz jekuru. (Pierādīsim, k junjā sistēmā tiešām no jekurs pilsēts vr izrukt uz jekuru. Ņemsim divs pilsēts U un V. Pieņemsim, k likvidētis ceļš ir Z k Z k+. J vecjā sistēmā no U uz V vrēj izrukt, nerucot p ceļu Z k Z k+, td junjā to vr izdrīt, posm Z k Z k+ vietā izmntojot posmu Z k Z k-...z XY Z n... Z k+.) Tātd sākumā sākumā ņemtā sistēm nv ijusi vislētākā, ks ir pretrunā r pieņēmumu. Lemm pierādīt. Tātd vislētākjā sistēmā jāietilpst vislētākjm ceļm. Kd ts uzūvēts, s pilsēts, kurs ts svieno, vrm uzsktīt pr vienu pilsētu. Tātd esm ieguvuši pilsētu sistēmu, kurā ir pr vienu pilsētu mzāk nekā sākotnējā. Ši sistēmi tkl vrm pielietot lemmu, utt. Jāievēro tiki, k, pielietojot lemmu junji, reducētji pilsētu sistēmi, nv jāņem vērā vēl neuzūvētie ceļi, ks svieno tāds pilsēts, kurs svieno ju uzūvēto ceļu virknes; tāds pilsēts tiek uzsktīts pr vienu. Rīkojoties pēc šāds metodes, iegūstm sekojošu ceļu sistēmu: Pie ceļiem pievienotie cipriņi rād kārtīu, kādā tos iegūst pēc iepriekš prkstītās metodes. 6. uzdevums. Atrst lielāko vērtīu, kādu nenegtīviem vr pieņemt izteiksme f ( ) 00 Atrisinājums. Aplūkosim funkciju 00 f () 00 00 00 00 Tā kā 00 ir ugoš funkcij pie 0 un pieņem pozitīvs vērtīs, td tās minimums ir punktā =0, ks ir funkcijs f() mksimum punkts. Tātd f() lielākā vērtī ir 0, un tā tiek ssniegt punktā =0. Risinājumā izmntot funkcijs 00 monotonā ugšn un funkcijs monotonā dilšn psktāmjā pglā. f ( ) n 7. uzdevums. Atrst izteiksmes 6 m mzāko iespējmo vērtīu, j m un n - nturāli skitļi. Atrisinājums. Ievērosim, k 6 n visiem nturāliem n eidzs r cipru 6, et m n visiem nturāliem m eidzs r cipru. Tāpēc 6 m eidzs r vi r 9. J n= 00. 8

un m=, td izteiksmes vērtī ir. Li pierādītu, k ts ir minimums, jāpmto, kāpēc šī vērtī nevr ūt ne, ne 9. n Pieņemsim, k 6 m =, td jāūt 6 n - m =, ks pārveidojs pr 6 n -= m un tālāk pr (6 n -) (6 n +)= m. Sskņā r ritmētiks pmtteorēmu skitļiem 6 n - un 6 n + iem jāūt no skitļu virknes ; ; ; ;... ; k ;... Bet tā nevr ūt, jo šjā virknē nv divu skitļu, ks viens no otr tšķirs pr. Tātd izteiksme nevr pieņemt vērtīu. n Pieņemsim, k 6 m =9; td jāūt 6 n - m =9 un m =9+6 n. Tā nevr ūt, jo iegūtās vienādīs lā puse dlās r, et kreisā - nē. Tātd psktāmās izteiksmes minimums tiešām ir. 8. uzdevums. Dots, k,, c - reāli skitļi un visiem no intervāl [0;] pstāv skrī ++c. Atrst izteiksmes + + c lielāko iespējmo vērtīu. Atrisinājums. Izmntojm uzdevum noscījumos doto fktu pie =0; =/; =. Iegūstm nevienādīs f, f, f, kur c f c f c f Atrisinot šo lineāro vienādojumu sistēmu, iegūstm =f -f +f, tāpēc 8 =-f +f - f, tāpēc 8 c=f, tāpēc c. Tātd + + c 7. Piemērs 8-8+=(-) - prād, k vērtī 7 ir ssniedzm. Tātd meklējmis mksimums ir 7. 9