9 Pieskitot pierādāmās vienādīs L()+L()+L(3)=L(4) ām pusēm L(5)+L(6)+L(), iegūstm ekvivlentu vienādīu L()+L()=L(NM), ks cīmredzmi izriet no trijstūr un prlelogrm lukumu formulām L = h un L=h 9 ) =7, =7 7=89, =897 ) Vr ņemt = 7007007007007 4444 44443 n reizes 7 Ltvijs 55mtemātiks olimpiāde c) pzīmēsim ptvļīg nturāl skitļ X cipru summu r S(X) Tā kā = + 4443 + + 4, td, 7 reizes reizinot skitli r 7, rods pārnesumi(citādi ūtu S()=7 S()) Tāpēc S()=S()=7 S()-9 k (k pārnesumu skits) Iegūstm 5 S()=9 k, tātd S() dlās r 9 Tāpēc S()=S()+S()=S()+S()=3S() rī dlās r 9 tāpēc dlās r 9 d) nē Piemērm, vr ņemt =7, =89, =897 93 Uzdevum pglvojums ūs pierādīts, j pierādīsim: ktrm ērnm ir nepār skits konfekšu pzīmēsim ērniem esošo konfekšu skitus, kā prādīts zīmējumā Pēc dotā ++c, d+e+f, g+h+ ir nepār skitļi Td rī (++c)+(d+e+f)+(g+h+) ir nepār skitlis ts nozīmē, k +(+c+d+e+f+g+h) ir nepār skitlis Tātd g h c (+c+d)+(e+f+g)+h ir nepār tātd h ir nepār Līdzīgi pierād, k g ir f e d nepār 94 pzīmēsim +=n Td ( + )=(+) +(-) n, tāpēc n =4 un n=0 ± ± Risinot + = ± + = ± + = 0 vienādojumu sistēms,,, iegūstm meklētos pārus ( ), + = + = + = + 3 3 + + 3 (- -), ( -), (- ),,,, 3 + 95 tilde: 6 krāss Risinājums Nekādi 3 no skitļiem 4 8 6 3 64 8 56 5 04 nevr ūt nokrāsoti vienā krāsā Tātd krāsu skits ir vismz :=5,5, tātd vismz 6 r 6 krāsām vr iztikt Ievērosim, k neviens no psktāmjiem skitļiem nestur virāk pr 0 pirmreizinātājiem, jo =048>005 Krāsojm krāsā vieninieku un pirmskitļus otrjā krāsā divu un triju pirmskitļu reizinājumus (vrūt reizinājumā pirmskitļi tkārtojs), trešjā krāsā četru un piecu pirmskitļu reizinājumus, utt 5 M 4 6 3 N 0 Viegli ievērot, k G iegūstms no E, pgriežot to pr 90 pretēji pulksteņ rādītāj kustīs virzienm Tāpēc rī trijstūr mediān M iegūstm no trijstūr mediāns šjā pgriezienā No tā seko vjdzīgis 0 ) x= y=- z=000 t=000 ) No dotā seko, k ( x + y + z) + + = Šī vienādī ekvivlenti pārveidojs pr x y z (x+y)(x+z)(y+z)=0 J x=-y, td x 3 +y 3 +z 3 =z 3 =000 3, z=000, t=(x+y)+z=000 un x+y+z+t=000 its iespējs, kd x+z=0 vi y+z=0, pskt līdzīgi 004/05mg wwwliislv/nms/
Ltvijs 55mtemātiks olimpiāde 03 Tā kā xf(x)+yf(y) un xf(y)+yf(y) dlās r x+y, td rī strpī x(f(y)-f(x)) dlās r x+y Pie y=x+ iegūstm, k x(f(x+)-f(x)) dlās r x+ (x= 9) Tā kā LK(x, x+)=, td f(x+)-f(x) dlās r x+ Tā kā f(t) ir ugoš funkcij, td f(x+)-f(x) x+ Summējot šīs nevienādīs pie x= 9, iegūstm f(0)-f() 3+5++9=99 Tā kā f(0) 00 un f(), td f()= un f(0)=00 ez tm f(x+)-f(x)=x+ (x= 9), no kurienes seko, k f(x)=x Pārude prād, k šī funkcij der 04 Šķirojm divus gdījumus tkrīā no tā, vi un O pieder vienm un tm pšm vi džādiem O pvilktās riņķ līnijs lokiem O O= = + (ārējs leņķis) et = O =, tāpēc rī = No tā seko = O Tgd = 80 O = + et =80 - O, tāpēc 80 O = 80 - O +, no kurienes = O Svukārt = 80 = 80 80 O = O Tātd = un = 05 pzīmējm profesorus r P, P,, P 7 Klusītāju kops vr ūt šāds: P : P, P 3, P 4 P 4 : P, P 6, P 7 P 6 : P, P 3, P 7 P : P 3, P 5, P 6 P 5 : P, P 4, P 6 P 7 : P, P, P 5 P 3 : P 4, P 5, P 7 J n profesoriem prsītās kops ir konstruēts, td, pievienojot vēl vienu profesoru, kuru klusās visi iepriekšējie n, iegūstm klusīšnās sistēmu n+ profesoriem Tātd vr ūt n=8 9 0 Pierādīsim, k noteikti jāūt n 7 Vispirms pmtosim, k ktru klusās vismz 3 citi profesori Tiešām, j profesoru klusītos tiki, td neviens profesors neklusītos un j profesoru klusītos tiki un, td un vrētu klusīties tiki, et un tiki, tātd un klusītos viens otru pretrun Tātd ir vismz n 3 pāri (, ) r īpšīu klusās lekcijs No otrs puses, šādu pāru nv n( n ) virāk pr, jo nv divu profesoru, ks klusītos viens otru Tāpēc 3n n( n ), no kurienes n- 6 un n 7 004/05mg wwwliislv/nms/
Ltvijs 55mtemātiks olimpiāde 3 Viegli pārudīt, k der visi skitļi 0 n +, n=0 0 3 Tiešām, 0n + = 00n + 6n +, 69, tāpēc 0n + = 0, 69 un 0 n + = 0, 3 0 0 0 Ppildinām līdz kvdrātm E pzīmējm Q krustpunktu r E r N ) Tā kā M= N, td M= N (hl) Tāpēc N=M=P Tāpēc PQ= NQ (mlm) Tāpēc PQ= NQ= Q Q Q ) Tā kā Q~ RQ, td = No šejienes seko, k RQ Q RQ~ Q Tāpēc RQ= Q=45 P N Q M R E 3 pzīmējm x =y un iegūstm y -( +3-)y+3 3 - =0, y>0 Vienādojumu tālāk pārveido pr (y- )(y-3+)=0 Pie =0 pozitīvu skņu nv Pie 0 ir pozitīv skne y = Otrā skne y =3- Mūs pmierin noscījumi y 0 vi y =y Iegūstm, k meklējmās vērtīs ir ( 0) 0 { } 3 4 J p=, td ievērojm: x +x=x(x+) ir pār skitlis, tāpēc i pglvojumi ir plmi Jp=3, ievērojm, k ++3 dlās r 3 un ++5 dlās r 3, tātd i pglvojumi ir ptiesi Pieņemm, k p>3 J + + 3M p, td rī 9 + 9 + 7M p et 9 +9+7=(3+) +(3+)+5 Tātd, j ptiess ir pirmis pglvojums, td ptiess ir rī otris J + + 5M p, td rī ( + p) + ( + p) + 5M p un ( + p) + ( + p) + 5M p Ievērojm, k skitļi, +p un +p dod džādus tlikumus, dlot r 3, jo p>3 Tātd viens no tiem ir formā 3c+, c Z Iegūstm, k (3c + ) + (3c + ) + 5M p je 9( c + c + 3) M p Tā kā p>3, no šejienes seko, k c + c + 3M p Tātd, j ptiess ir otris pglvojums, td ptiess ir rī pirmis 5 tilde: to vr izdrīt td un tiki td, j vieninieki nv ku viens skldnes pretējās virsotnēs J vieninieki ir ku digonāles glpunktos, izdrām divus gājienus, izvēloties pr X vispirms vienu, et pēc tm otru no šiem glpunktiem J vieninieki ir ku šķutnes glpunktos, izdrām divus gājienus, izvēloties pr X šiem glpunktiem pretējās ku virsotnes J vieninieki sākotnēji trods ku skldnes digonāles pretējos glos, td sākumā strpī strp melnjās un ltjās virsotnēs ierkstīto skitļu summām ir Tā kā r ktru gājienu vien no šīm summām plielinās pr 3, et otr neminās, td tās nekd nevr kļūt vienāds 004/05mg wwwliislv/nms/
Ltvijs 55mtemātiks olimpiāde Pieņemsim no pretējā, k x y Td 3 x 3 y un 5 x 5 y No 3 x +3 y =7 x seko, k 3 x +3 x 7 x je 3 7 x + 7 x No eksponentfunkcijs īpšīām seko, k x< Svukārt no 5 x +7 y = y līdzīgi y y iegūstm, k 5 y +7 y y 5 7, + un y> Nevienādīs x<<y ir pretrunā r sākotnējo pieņēmumu + c No li zināms tisnleņķ trijstūrī ievilktās riņķ līnijs rādius grum formuls r = (skt zīm) iegūstm, k pierādāmā vienādī ekvivlent r + + = + + ( zīm) Svukārt šīs vienādīs preizī kļūst cīmredzm, j cur P novelk tisnes prlēli mlām P r r zīm zīm 3 ) Kut kur uz riņķ līnijs ir, kut kur n psktām vienu no lokiem, ks svieno šos skitļus J uz tā trods vēl skitļi x x x k, td summ uz šī lok ir x + x x + + n xk x + x x + + n xk = n Līdzīgi spriežm pr otru loku Tātd vis psktāmā summ nv mzāk pr (n-) Summu (n-) iegūstm, izrkstot skitļus p riņķ līniju pēc kārts ) j pēc kārts uzrkstītie skitļi ir x, x,, x n, td psktāmā summ ir S= x -x + x -x 3 ++ x n - -x n + x n -x Tā kā =±, td S sstāv no n sskitāmjiem, no kuriem n ir r + zīmi un n r zīmi n J n pār skitlis, td S ūs vislielākā, j tā sturēs + n + n ktru divs reizes r + n n zīmi, et ktru divs reizes r zīmi Td summ ūtu Šādu summu vr n n ssniegt, izrkstot skitļus secīā n n- + n + 3 ktrs ūs divs reizes r + n + ktrs ūs divs reizes r zīmi, et ūs vienu reizi r + zīmi, et n Šādu summu vr ssniegt, izvēloties secīu n J n nepār skitlis, td S ūs vislielākā, j n n- n- zīmi, 3 n otru reizi r zīmi Td summ ūtu n- n + 3 n + 004/05mg wwwliislv/nms/
Ltvijs 55mtemātiks olimpiāde 4 cīmredzmi, visi virknes locekļi ir pozitīvi Tāpēc x n >, et x n+ < (n N, n ) No šejienes seko, k vienādi vrētu ūt tiki divi locekļi r vienāds pritātes indeksiem, ks pie tm lielāki pr Viegli sprst, k no x k =x m seko x k- =x m- pie nepār indeksiem k un m vi x = pie pār k x m indeksiem k un m utt, ks glu glā noved pie pretruns (kd viens no locekļiem šjā vienādīā kļūst x ) Tgd pierādīsim, k ktrs pozitīvs rcionāls skitlis sstopms šjā virknē Pierādīsim to r mtemātisko indukciju pēc k, k, tādiem pozitīviem nesīsināmiem rcionāliem skitļiem r, k r =, un +=k Pie k= ir tiki viens tāds skitlis r = =, un x = Pieņemsim, r =, LK(, )=, +=t+ Skidrs, k k pglvojums preizs pie k= 3 t, un psktīsim r Šķirojm divus gdījumus: r> psktām skitli r = Tā kā LK(-, )=LK(, )= un -+= t, td eksistē tāds n, k x n = et td x n = + xn =, kj 0<r< psktām skitli r = Tā kā LK(-, )=LK(, )= un -+= t, td eksistē tāds n, k x n = Td x n =+ xn = un xn + = =, kj x 5 pzīmēsim krāss r 0 Pierādīsim vispirms divs lemms Lemm J trīs no četrām sekojošām virsotnēm ir vienā krāsā, td vr pnākt, li tās viss ūtu ceturtās virsotnes krāsā, neminot citu virsotņu krāsojumu Pietiek psktīt divus gdījumus: 0 00 0 00 0000 0 00 0000 Lemm Jekurs četrs sekojošs virsotnes vr nokrāsot vienā krāsā Sdlām virsotnes divos lkus virsotņu pāros un pnākm, li ktrā pārī krāss ūtu vienāds J tās viss vienāds, viss OK Pretējā gdījumā rīkojmies pēc shēms 00 0 00 0000 Sskņā r lemmu vr pnākt, li 3 4 ūtu vienā krāsā, pieņemsim 0, un rī 5 6 7 8 ūtu vienā krāsā J rī 5 6 7 8 ir krāsā 0, nogidām J nē, psktām 4 5 6 7 Pēc lemms vrm pnākt, k 4 5 6 7 ir krāsā 0 Līdzīgi pievienojot p 3 virsotnēm, iegūstm, k 997 ir krāsā 0 psktām 998 999 000 Pārkrāsojm tās vienā krāsā ( lemm) J tā ir krās 0, viss kārtīā Pieņemsim, k tā ir krās psktām 997 998 999 000 un sskņā r lemmu pārkrāsojm tās krāsā 0 Tgd ir krāsā, cits virsotnes krāsā 0 Tgd pkāpeniski pārkrāsojm krāsā virsotnes 3 4 5 6 7 998 999 000, lietojot lemmu Ievērosim, k pieļutie gājieni 0 0 0 0 00 00 sglā visu numuru summs tlikumu, dlot r 3 et šis tlikums vienāds r glā iegūtās krāss numuru, jo 000x x (mod 3) No šejienes seko otris pglvojums n 004/05mg wwwliislv/nms/