Nevienādības starp vidējiem

Nevienādības starp vidējiem Mārtin, š Kokainis Latvijas Universitāte, NMS Rīga, 07

Ievads

Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus un pierādīt, ka citu atrisinājumu nav. Pierādīt nevienādību ar vienu vai vairākiem mainīgajiem nozīmē pamatot, ka nevienādība ir patiesa pie jebkurām piel, aujamajām mainīgo vērtībām.

Galvenās nevienādību pierādīšanas metodes Ekvivalenti pārveidojumi: algebriski pārveidojumi (nevienādības vienas puses vai abu pušu sadalīšana reizinātājos); pilno kvadrātu atdalīšana; Nevienādību pastiprināšana: saskaitāmo / reizinātāju novērtēšana; sakarība starp vidējo aritmētisko un vidējo ǧeometrisko; klasisko nevienādību izmantošana (Košī, Jensena, utt).

Pilno kvadrātu atdalīšana Ja A, A,..., A n ir algebriskas izteiksmes un c,..., c n ir nenegatīvas izteiksmes, tad c A c A... c n A n 0.

Daudzas sarežǧītākas nevienādības būtu grūti pierādīt, neizmantojot speciālas nevienādības un teorēmas.

Daudzas sarežǧītākas nevienādības būtu grūti pierādīt, neizmantojot speciālas nevienādības un teorēmas. Klasiskākā un visnozīmīgākā ir t.s. nevienādība starp nenegatīvu skaitl, u vidējo aritmētisko un vidējo ǧeometrisko.

Vide jo lielumu definı cijas

Vide jais aritme tiskais (arithmetic mean, AM) Par n skaitl,u a, a,..., an vide jo aritme tisko sauc lielumu a a... an an. n Vide jais g eometriskais (geometric mean, GM) Par n nenegatı vu skaitl,u a, a,..., an vide jo g eometrisko sauc n-ta s paka pes sakni no šo skaitl,u reizina juma, t.i., lielumu n a a... an an.

Skaitl, u, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir 3 4 4 = 6 4 = 3.

Skaitl, u, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir 3 4 4 = 6 4 = 3. Vidējais ǧeometriskais nav definēts, jo starp dotajiem ir arī nenegatīvi skaitl, i (ceturtās pakāpes sakne no negatīva skaitl, a??)!

Skaitl, u, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir 3 4 4 = 6 4 = 3. Vidējais ǧeometriskais nav definēts, jo starp dotajiem ir arī nenegatīvi skaitl, i (ceturtās pakāpes sakne no negatīva skaitl, a??)! Cits piemērs: ja doti skaitl, i, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir 3 4 4 = 0 4 = 5 =.5.

Skaitl, u, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir 3 4 4 = 6 4 = 3. Vidējais ǧeometriskais nav definēts, jo starp dotajiem ir arī nenegatīvi skaitl, i (ceturtās pakāpes sakne no negatīva skaitl, a??)! Cits piemērs: ja doti skaitl, i, 3, un 4, tad to vidējais aritmētiskais ir 3 4 4 = 0 4 = 5 =.5. Šo skaitl, u vidējais ǧeometriskais ir 4 3 4 = 4 4.3.

. uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; ; 5; 45; 54.

. uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; Vide jais aritme tiskais: ; 5; 45; 54.

. uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; ; 5; 45; 54. Vide jais aritme tiskais: 0.04 0.5 5 45 54 5.54 54 = = 9 9.5666. 6 6 600

. uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; ; 5; 45; 54. Vide jais aritme tiskais: 0.04 0.5 5 45 54 5.54 54 = = 9 9.5666. 6 6 600 Vide jais g eometriskais:

. uzdevums Apre k, ina t vide jo aritme tisko un vide jo g eometrisko šiem skaitl,iem: 0.04; 0.5; ; 5; 45; 54. Vide jais aritme tiskais: 5.54 54 0.04 0.5 5 45 54 = = 9 9.5666. 6 6 600 Vide jais g eometriskais: 6 0.04 0.5 5 45 54 = r 6 (3 5) (3 5) (33 ) = = 5 6 = 36 = 3.

AM-GM neviena dı ba

AM-GM neviena dı ba Ja a, a,..., an ir nenegatı vi skaitl,i, tad a a... an an n a a... an an, n t.i., nenegatı vu skaitl,u vide jais aritme tiskais ir liela ks vai viena ds ar šo skaitl,u vide jo g eometrisko, turkla t viena dı ba ir tad un tikai tad, ja visi skaitl,i ir viena di, t.i., a = a =... = an.

AM-GM nevienādība gadījumā n = Ja n =, tad iegūstam: visiem nenegatīviem a, a izpildās a a a a jeb a a a a.

AM-GM nevienādība gadījumā n = Pierādījums Apzīmē x = a un y = a, tad ir jāpierāda x y xy.

AM-GM nevienādība gadījumā n = Pierādījums Apzīmē x = a un y = a, tad ir jāpierāda x y xy. Taču šī nevienādība ir patiesa, jo tā ir ekvivalenta nevienādībai (x y) 0, kas ir patiesa, tā kā tās kreisajā pusē ir reāla skaitl, a kvadrāts. Ievērosim, ka (x y) = 0 tikai gadījumā, ja x = y, t.i., a = a!!

AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Ja n = 3, tad iegūstam: visiem nenegatīviem a, a izpildās a a a 3 3 3 a a a 3 jeb a a a 3 3 3 a a a 3.

AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Pierādījums Apzīmē x = 3 a un y = 3 a un z = 3 a 3, tad ir jāpierāda x 3 y 3 z 3 3xyz.

AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Pierādījums Apzīmē x = 3 a un y = 3 a un z = 3 a 3, tad ir jāpierāda x 3 y 3 z 3 3xyz. Izmantosim identitāti ( (x y) x 3 y 3 z 3 3xyz = (x y z) (y z) ) (z x).

AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Pierādījums Apzīmē x = 3 a un y = 3 a un z = 3 a 3, tad ir jāpierāda x 3 y 3 z 3 3xyz. Izmantosim identitāti ( (x y) x 3 y 3 z 3 3xyz = (x y z) (y z) ) (z x). Tā kā x, y, z 0, tad x y z 0. Arī katrs no saskaitāmajiem (x y), (y z), (z x) ir nenegatīvs.

AM-GM nevienādība gadījumā n = 3 Pierādījums Apzīmē x = 3 a un y = 3 a un z = 3 a 3, tad ir jāpierāda x 3 y 3 z 3 3xyz. Izmantosim identitāti ( (x y) x 3 y 3 z 3 3xyz = (x y z) (y z) ) (z x). Tā kā x, y, z 0, tad x y z 0. Arī katrs no saskaitāmajiem (x y) (y z), (z x), ir nenegatīvs. Secinām, ka x 3 y 3 z 3 3xyz 0, kas ir ekvivalenti pierādāmajai nevienādībai. Vienādība pastāv tikai tad, ja x = y = z.

. pieme rs Piera dı t, ka pozitı viem x un y pasta v neviena dı ba x y x y xy 4xy.

. pieme rs Piera dı t, ka pozitı viem x un y pasta v neviena dı ba x y x y xy 4xy. No AM-GM neviena dı bas seko, ka p x y y x y = xy. un xy x p x y = xy.

. pieme rs Piera dı t, ka pozitı viem x un y pasta v neviena dı ba x y x y xy 4xy. No AM-GM neviena dı bas seko, ka p x y y x y = xy. un xy x p x y = xy. Ta tad x y x y xy 4xy, kas arı bija ja piera da.

. pieme rs Piera dı t, ka jebkura pozitı va skaitl,a summa ar ta apgriezto skaitli ir vismaz!

. pieme rs Piera dı t, ka jebkura pozitı va skaitl,a summa ar ta apgriezto skaitli ir vismaz! Pien, emsim, ka x > 0; ja piera da x. x

. pieme rs Piera dı t, ka jebkura pozitı va skaitl,a summa ar ta apgriezto skaitli ir vismaz! Pien, emsim, ka x > 0; ja piera da x. x No AM-GM neviena dı bas seko, ka r x x = =, x x kas arı bija ja piera da.

. uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a ir ne maza ki par 3. un a b c c a b

. uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a un a b c c a b ir ne maza ki par 3. Pielietosim AM-GM neviena dı bu skaitl,iem ba, b c c, a:

. uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a un a b c c a b ir ne maza ki par 3. Pielietosim AM-GM neviena dı bu skaitl,iem ba, a b b c 3 c a r 3 a b c. b c a b c c, a:

. uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a un a b c c a b ir ne maza ki par 3. Pielietosim AM-GM neviena dı bu skaitl,iem ba, a b b c c a r b c c, a: a b c. 3 b c a Iegu ta s neviena dı bas labaja puse ir 3 = ; reizina neviena dı bu ar 3, iegu stot... 3

. uzdevums Piera dı t, ka visa m pozitı va m a, b, c ve rtı ba m abi skaitl,i a b c b c a a b c c a b un ir ne maza ki par 3. Pielietosim AM-GM neviena dı bu skaitl,iem ba, a b b c c a r b c c, a: a b c. 3 b c a Iegu ta s neviena dı bas labaja puse ir 3 = ; reizina neviena dı bu ar 3, iegu stot... a b c 3. b c a Analog iski pamato, ka arı a c 3 b a c b 3.

3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8.

3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Dala abas neviena dı bas puses ar 8, iegu stot ekvivalentu neviena dı bu: ab bc c a.

3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Dala abas neviena dı bas puses ar 8, iegu stot ekvivalentu neviena dı bu: ab bc c a. No AM-GM seko neviena dı bas ab ab; bc bc; c a ca.

3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Sareizinot šı s neviena dı bas, iegu stam ab bc c a ab bc ca = abc.

3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Sareizinot šı s neviena dı bas, iegu stam bc c a ab ab bc ca = abc. Izmantojot nosacı jumu abc =, secina m ab bc c a abc =.

3. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba (a b) (b c) (c a) 8. Piera dı ta neviena dı ba ab bc c a ; ta tad arı sa kotne ja, ekvivalenta neviena dı ba ir patiesa.

4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a

4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a Apzı me x = a b, y = b c, z = c a, tad piera da ma neviena dı ba kl,u st x y z jeb, ekvivalenti, x. y z x Reizina m iegu to neviena dı bu ar pozitı vu skaitli (x )(y )(z ), iegu stot...

4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a Reizina m iegu to neviena dı bu ar pozitı vu skaitli (x )(y )(z ), iegu stot (z )(x ) (y )(x ) x(y )(z ) jeb x y z xyz. Atgriežamies pie mainı gajiem a, b, c, iegu stot...

4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a Atgriežamies pie mainı gajiem a, b, c, iegu stot... (a b c) (a b)(b c)(c a) jeb (a b c) a b ab a c ac b c bc abc. No dota abc = izriet, ka dota neviena dı ba ir ekvivalenta ar...

4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a No dota abc = izriet, ka dota neviena dı ba ir ekvivalenta ar... (a b c) a b ab a c ac b c bc. No AM-GM neviena dı bas izriet, ka a b a c...

4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a No AM-GM neviena dı bas izriet, ka 3 3 a b a c 3 a b a c = 3 a3 abc = 3a. Lı dzı gi iegu st b c b a 3b un c a c b 3c. Ta tad piera da ma s neviena dı bas laba puse a b ab a c ac b c bc apmierina a b ab a c ac b c bc 3(a b c) 3. Vai var para dı t, ka (a b c) 3(a b c) 3?

4. pieme rs Dots, ka a, b un c ir ta di pozitı vi skaitl,i, kas apmierina viena dı bu abc =. Piera dı t, ka izpilda s neviena dı ba. ab bc c a Pietiekami para dı t, ka 3 a b c. Taču tas izriet no AM-GM neviena dı bas: abc 3 abc =. 3 Ta tad (abc) 3(abc) 3 a bab a c ac b c bc, un arı sa kotne ja neviena dı ba, kas ir ekvivalenta iegu tajai, ir patiesa.

3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y.

3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Pa rveido: P(x, y ) = (x y )x y Šk, irosim divus gadı jumus: x y un x y <.. 7

3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Ja x y, tad (x y ) 0 pe c pien, e muma; x y = (xy ) 0 ka rea la skaitl, a kvadra ts; /7 > 0, ta tad P(x, y ) > 0.

3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Apskata gadı jumu x y <.

3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Apskata gadı jumu x y <. Pielietosim AM-GM neviena dı bu reizina jumam ( x y )x y.

3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. No AM-GM neviena dı bas izriet, ka q ( x y ) x y 3 =, ( x y )x y 3 3 t.i., ( x y )x y. 7

3. uzdevums Dots polinoms P(x, y ) = x 4 y x y 4 x y. 7 Piera dı t, ka P(x, y ) 0 visiem rea liem skaitl,iem x, y. Taču tad P(x, y ) = ( x y )x y 0, 7 k.b.j. Ve rts atzı me t, ka P(x, y ) nevar izteikt ka vaira ku polinomu (ar rea liem koeficientiem) kvadra tu summu: P(x, y ) 6= (Q (x, y )) (Q (x, y ))... (Qn (x, y )).

5. pieme rs Piera dı t neviena dı bu n n! (n )n, kur n! nozı me skaitl,a n faktoria lu: n! = 3... n.

5. pieme rs Piera dı t neviena dı bu n n! (n )n, kur n! nozı me skaitl,a n faktoria lu: n! = 3... n. Pielietosim AM-GM neviena dı bu pirmajiem n natura liem skaitl,iem:... n n... n. n

5. pieme rs Piera dı t neviena dı bu n n! (n )n, kur n! nozı me skaitl,a n faktoria lu: n! = 3... n. Pielietosim AM-GM neviena dı bu pirmajiem n natura liem skaitl,iem:... n n... n. n Pirmo n natura lo skaitl,u summa ir... n = n(n ), ta tad pamatota neviena dı ba n n n!.

5. pieme rs Piera dı t neviena dı bu n n! (n )n, kur n! nozı me skaitl,a n faktoria lu: n! = 3... n. Reizina iegu to neviena dı bu ar un ka pina n-taja paka pe, iegu stot n n (n )n n! = n n!, kas bija ja piera da.

min mean max

Ja n skaitl,u a, a,..., an vide jais aritme tiskais ir A, tad maza kais no skaitliem a,..., a ir maza ks vai viena ds ar A;, n liela kais no skaitliem a,..., a ir liela ks vai viena ds ar A., n Citiem va rdiem, min {a, a,..., an } a a... an max {a, a,..., an }. n Viena dı ba pasta v tad un tikai tad, ja a = a =... = an.

Ja n nenegatı vu skaitl,u a, a,..., an vide jais g eometriskais ir G, tad maza kais no skaitl,iem a,..., an ir maza ks vai viena ds ar G ; liela kais no skaitl,iem a,..., an ir liela ks vai viena ds ar G. Citiem va rdiem, min {a, a,..., an } n a a... an max {a, a,..., an }. Viena dı ba pasta v tad un tikai tad, ja a = a =... = an.

Ja n nenegatı vu skaitl,u a, a,..., an vide jais g eometriskais ir G, tad maza kais no skaitl,iem a,..., an ir maza ks vai viena ds ar G ; liela kais no skaitl,iem a,..., an ir liela ks vai viena ds ar G. Citiem va rdiem, min {a, a,..., an } n a a... an max {a, a,..., an }. Viena dı ba pasta v tad un tikai tad, ja a = a =... = an. Analog isks apgalvojums spe ka arı citiem vide jiem (QM, HM, mα ), sk. na kamo nodal,u.

6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7.

6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7. No AM-GM neviena dı bas seko, ka 3 a b c 3 abc jeb, saskan, a ar doto, 3 abc 3 abc.

6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7. No AM-GM neviena dı bas seko, ka 3 a b c 3 abc jeb, saskan, a ar doto, 3 abc 3 abc. Apzı me x = 3 abc, tad x ir pozitı vs skaitlis, kas apmierina neviena dı bu x 3 3x.

6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7. No AM-GM neviena dı bas seko, ka 3 a b c 3 abc jeb, saskan, a ar doto, 3 abc 3 abc. Apzı me x = 3 abc, tad x ir pozitı vs skaitlis, kas apmierina neviena dı bu x 3 3x. Ta tad x 3 un x 3 (jo x ir pozitı vs!!). Secina m, ka 3 abc 3.

6. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c = abc. Piera dı t, ka vismaz viens no skaitl,iem a, b, c ir liela ks par,7. Skaitl,u a, b, c vide jais g eometriskais ir vismaz 3; ta tad arı liela kais no skaitl,iem a, b, c ir vismaz 3 >.89 =.7, kas arı bija ja piera da.

Citi vide jie lielumi

Vide jais harmoniskais (harmonic mean, HM) Par n pozitı vu skaitl,u a, a,..., an vide jo harmonisko sauc lielumu a a n... an an. Vide jais kvadra tiskais (quadratic mean, QM) Par n skaitl,u a, a,..., an vide jo kvadra tisko sauc lielumu s a a... an an. n

n pozitı viem skaitl,iem a, a,..., an ir spe ka neviena dı bas QM AM GM HM, t.i., r a a... an a a... an n n a a... an n a a... an n n a a... an a a n... an QM AM AM GM GM HM

Pien, emsim, ka a,..., an ir pozitı vi skaitl,i, bet α ir rea ls skaitlis. α-vide jais (α-mean) Ja α 6= 0, par šo skaitl,u α-vide jo sauc lielumu mα, kas define ts ka α α a aα... an anα α mα =. n Ja α = 0, par doto skaitl,u 0-vide jo sauc šo skaitl,u vide jo g eometrisko: m 0 = n a a... an. Neviena dı bas starp vide jiem Ja α > β, tad mα mβ, turkla t viena dı ba pasta v tad un tikai tad, ja a = a =... = an.

Ievērosim: ja α =, tad m = ir vidējais kvadrātiskais; ja α =, tad ( a a... a n a n m = a a... a n a n n ir vidējais aritmētiskais; ja α = 0, tad m 0 ir vidējais ǧeometriskais; ja α =, tad m = ir vidējais harmoniskais. n ) / ( a a... an ) a n n

7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu b c a. ab bc c a

7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a Ekvivalenti pa rveidojam doto neviena dı bu: bc ca ab b c ; a ab bc c a

7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a Ekvivalenti pa rveidojam doto neviena dı bu: ab bc ca a b c ; ab bc c a ab bc ca abc = ; ab bc c a

7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a Ekvivalenti pa rveidojam doto neviena dı bu: ab bc ca a b c ; ab bc c a ab bc ca abc = ; ab bc c a ab bc ca. ab bc c a

7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a No neviena dı bas starp vide jo aritme tisko un vide jo harmonisko izriet, ka visiem pozitı viem x, y izpilda s x y x y jeb xy x y. x y Ievietojot šaja neviena dı ba x un y vieta skaitl,us a un b; b un c; c un a, iegu stam, ka...

7. pieme rs Dots, ka a, b, c ir pozitı vi skaitl,i, turkla t a b c =. Piera dı t neviena dı bu a b c. ab bc c a... iegu stam, ka ab ab, ab bc bc, bc ca c a. c a Saskaitot šı s trı s neviena dı bas, secina m, ka ir patiesa arı neviena dı ba ab bc ca ab bc c a =. ab bc c a Ta tad arı sa kotne ja, tai ekvivalenta neviena dı ba ir patiesa.

4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8.

4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. Ieve rosim, ka ab ac ad bc bd cd var izteikt ka starpı bu (a b c d) (a b c d ).

4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. Ieve rosim, ka ab ac ad bc bd cd var izteikt ka starpı bu (a b c d) (a b c d ). Ta tad ja piera da neviena dı ba (a b c d) 3 a b c d 8.

4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. No AM - QM neviena dı bas seko, ka r a b c d abc d 4 4 jeb (a b c d) a b c d. 4

4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. No AM - QM neviena dı bas seko, ka r abc d a b c d 4 4 jeb (a b c d) a b c d. 4 Ta tad 3 3 a b c d (a b c d). 8

4. uzdevums Dots, ka a b c d = 8. Piera dı t, ka ab ac ad bc bd cd a b c d 8. Secina m, ka ab ac ad bc bd cd a b c d = (a b c d) 3 = a b c d (a b c d) 3 (a b c d) = 8 8 3 = 8 = 8, 8 kas arı bija ja piera da.

Citas neviena dı bas

Košı Švarca (Cauchy-Schwarz inequality) Visiem rea liem skaitl,iem a, a,..., an un b, b,..., bn ir spe ka ša da neviena dı ba: (a b a b... an bn ) a a... an b b... bn.

Košı Švarca (Cauchy-Schwarz inequality) Visiem rea liem skaitl,iem a, a,..., an un b, b,..., bn ir spe ka ša da neviena dı ba: (a b a b... an bn ) a a... an b b... bn. Pa rka rtojuma neviena dı ba (Rearrangement inequality); Jensena neviena dı ba; Čebiševa un Bernulli neviena dı bas;...

Paldies par uzmanību!