Prlelogrm likums J iviem nekolineāriem vektoriem ir kopīgs sākumpunkts, t pr u vektoru summu su vektoru, kurš sāks to kopīgjā sākumpunktā un skrīt r tā prlelogrm igonāli, kur mls ir i otie vektori Šo vektoru sskitīšns pņēmienu su pr prlelogrm likumu 7 tt vektoru un summ ir vektors : + rī sskitot pē trijstūr likum, vektoru un pts vektors Ptiešām: tā kā O, t + O + O summ ir ts Tāpē i sskitīšns pņēmieni trijstūr likums un prlelogrm likums ir līzvērtīgi + O 7 tt Prlelogrm likums Vektoru summs īpšīs 1 Jekuriem iviem vektoriem un ir spēkā vienāī + + (komuttīvā īpšī) Jekuriem trim vektoriem,, ir spēkā vienāī ( + ) + + ( + ) (soitīvā īpšī) Duzstūr likums Virāku vektoru summu vr iegūt šāi: pie pirmā vektor pieskitīt otro vektoru, pie u vektoru summs pieskitīt trešo vektoru utt Piemērm, 8 tt ir ttēlot vektoru,, D, DE summ Ievērojot vektoru summs īpšīs, sskitīšnu vr veikt jekurā seīā Prktiski virākus vektorus sskit šāi: no otjiem vektoriem izveio luztu līniju, tliekot tos seīgi tā, k vien vektor glpunkts skrīt r nākmā sākumpunktu Svienojot pirmā vektor sākumpunktu r pēējā vektor glpunktu, iegūst šo vektoru summu (9 tt) + D (( + ) + ) + 8 tt + + + E je + + D + DE E E Šo virāku vektoru summs konstruēšns pņēmienu su pr uzstūr likumu Piemērm, sskitīsim tos pšus 8 tt otos vektorus,,, pē uzstūr likum (9 tt) Slīzinot 8 un 9 ttēlā iegūtos rezultējošos vektorus E, rezm, k tie ir vienāi D 9 tt Duzstūr likums E 7
prēķināsim žus virknes loekļus, sākot r trešo: + 1 1 + 1 4 + + 1 5 4 + + 5 6 5 + 4 5 + 8 7 6 + 5 8 + 5 1 8 7 + 6 1 + 8 1 9 8 + 7 1 + 1 4 utt Iegūstm skitļu virkni (1; 1; ; ; 5; 8; 1; 1; 4; ) Šo skitļu virkni su pr Fionči skitļu virkni, un tās loekļus pr Fionči skitļiem Leonro Fionči (p 1175 p 150) itāļu mtemātiķis Fionči virknes īpšī Zelt griezums J Fionči skitļu virknē (1; 1; ; ; 5; 8; 1; 1; 4; ) plūko ikvien skitļ (sākot r trešo) ttieīu pret nākmo skitli, iegūst ļs ; 5 8 5 ; 1 1 8 ; 1 ; 1 ; 4 ; Svukārt, j ktru skitli l r iepriekšējo, t iegūst ļs 5 ; 8 1 ; 1 4 5 ; 8 ; 1 ; 1 ; prēķinot šo ļu tuvinātās vērtīs rvien tālāk no virknes sākum, vr seināt, k Fionči skitļu virknē ktrs skitlis ir 1,618 reizes lielāks nekā iepriekšējis, et ktrs iepriekšējis ir 0,618 no nākmā Šie skitļi sistās rī r zelt griezum teoriju Zelt griezums je hrmoniskā līšn nozīmē, k nogriezni ( tt) sl ivās ļās tā, k nogriežņ lielākā ļ ir viējis proporionālis strp visu nogriezni un tā īsāko ļu, t i, je - lgeriski zelt griezum noteikšn reuējs uz vienāojum - ; ( ); + 0 trisināšnu ( 5-1) Vienāojum skne» 0, 618, un tāt ttieī 5-1» 0, 618 1,618 0,618 1 Šāus skitļus su pr ntipoiem Izrāās, k i skitļi 1,618 un 0,618 ir vienīgie solūtie ntipoi ritmētikā! D tt E 191
y tg glvenās īpšīs 1 D (0 + p k; p + p k), k E ( ; + ), turklāt funkiji y tg neeksistē vislielākā vērtī un neeksistē vismzākā vērtī y tg ir perioisk funkij; tās perios ir p 4 y tg ir nepār funkij; grfiks ir simetrisks ttieīā pret koorinātu sākumpunktu æ 5 Intervālos p ö 0 + p k; + p k kotngens funkijs vērtīs ø æ p ir pozitīvs, et intervālos p p p + + ö k; k negtīvs ø p 6 Punktos + p k kotngens funkijs vērtī ir 0; šjos punktos grfiks krusto O si 7 Intervālos (0 + p k; p + p k) kotngens funkij ir monotoni ilstoš tg ( + 180 k) tg tg ( + p k) tg y tg ir nepār funkij 614 Trigonometrisko funkiju vērtīu tul No pmtskols ģeometrijs kurs ir zināms trigonometrisko funkiju vērtīs 0, 45 un 60 leņķiem Ppilināsim šo vērtīu tulu, ietverot tjā rī 0, 90, 180, 70, 60 leņķus Funkij sin os tg tg 0 (0) 0 1 0 nv ef 0 1 6 ø 45 4 ø 60 ø 90 ø 1 1 1 1 0 nv ef 0 180 (p) 0 1 0 nv ef æ p ö 70 ø 1 0 nv ef 0 60 (p) 0 1 0 nv ef Piezīmes ugošā seīā uzrkstītiem I kvrnt leņķiem 0, 0, 45, 60, 90 sinus funkijs vērtīs vr viegli iegumēt, j tās pierkst šāi: 0 1 4 ; ; ; ; nlogi vr pierkstīt rī tngens funkijs vērtīs leņķiem 0, 0, 45, 60 : 0 ; 9 7 ; ; 18
Sknes un to īpšīs Kāpinātāj jēzien pplšinājums 51 n-tās pkāpes skne Sknes tršn je sknes vilkšn ir pgriezt rī kāpināšni Pmtskolā ju efinējām kvrātskni un kuskni (trešās pkāpes skni):, j ( 0);, j Līzīgi efinē skitļ n-tās pkāpes skni kā pgriezto rīu kāpināšni n-tjā pkāpē (n Î ; n ) n-tās pkāpes skni no skitļ pzīmē r simolu n Pr skitļ n-tās pkāpes skni su tāu skitli, ks, kāpināts n-tjā pkāpē, ir vienās r skitli Tāt n zemsknes skitlis sknes rāītājs kur n,, 4,, j n, skne teries! Pkāpi pierkst šāi: n, kur āze, n kāpinātājs ( n Î ), pkāpe visu izteiksmi n rī su pr pkāpi Pkāpes n prēķināšnu su pr kāpināšnu: j n pr kāpināšnu kvrātā; j n pr kāpināšnu kuā; j n 4 pr kāpināšnu eturtjā pkāpē Pierkstu ls kuskne no, pierkstu 4 ls eturtās pkāpes skne no, 1 05, 0,5, jo 0,5 0,5-15 5-5, jo ( 5) 15, jo ( ) 5 4 4-16 nv reāls skitlis, jo, jekuru reālu skitli kāpinot pār pkāpē, iegūst nenegtīvu skitli 4 5 81, jo 4 81 Vispārīgā gījumā tkrīā no sknes rāītāj n izšķir ivus gījumus: n ir pār skitlis, t i, n k un jāprēķin k ; k+ 1 n ir nepār skitlis, t i, n k + 1 un jāprēķin 1
Uzevumi 41 prēķināt sinus, kosinus, tngens un kotngens vērtīs šāiem leņķiem: ) 10 ; ) 15 ; ) 150 4 Noteikt leņķi j, j 0 j 180 ) os j ) os j- ) tg j- ) sin j 1 4 Izteikt r šurā leņķ plīzīu ) sin 170 ) os 148 ) tg 18 ) tg 115 e) sin j 44 Skrīs tisnleņķ trijstūrī Tisnleņķ trijstūrī ktete ir viējis proporionālis strp hipotenūzu un šīs ktetes projekiju uz hipotenūzs Tisnleņķ trijstūr ugstums, ks novilkts no tisnā leņķ virsotnes, ir viējis proporionālis strp ktešu projekijām uz hipotenūzs Dots (1 tt):, Ð 90 h ugstums, ks novilkts pret hipotenūzu, ktetes projekij uz hipotenūzu, ktetes projekij uz hipotenūzu Jāpierā: ; ; h Pierāījums Izmntosim trijstūru līzīu Tā kā D ~ un D ~, t ; ; ; ; ; Tā kā D ~ D, t h h ; h ; h Seinājums Tisnleņķ trijstūrī ktešu kvrāti tties tāpt kā šo ktešu tilstošās projekijs uz hipotenūzs Ptiešām, izlot skrīs un, iegūstm Þ teries! J strp nogriežņiem, y un z pstāv skrī y (*), t sk, y z k y ir viējis proporionālis je viējis ģeometriskis Skrīu (*) vr uzrkstīt rī šāi: y z je y z h D 1 tt 116
5 Definīijs, ksioms, teorēms mtemātikā Mtemātik, tāpt kā its zinātnes, ir veiot pē zināms shēms; tās glvenās sstāvļs ir pmtjēzieni, ksioms, efinīijs un teorēms 1 Vispirms uzskit pmtjēzienus, kurus neefinē Piemērm, plnimetrijs pmtjēzieni ir punkts, tisne, ttālums strp punktiem, et stereometrijs pmtjēzieni ir punkts, tisne, plkne un ttālums strp punktiem Formulē ksioms; tās ir pmttziņs, ks izsk pmtjēzienu svrīgākās īpšīs, kurs pieņem ez pierāījum Piemērm, visiem zinām šā plnimetrijs ksiom: Ktr tisne stur ezglīgi uz punktu Lietojot pmtjēzienus, ksioms un rī ju iepriekš efinētos jēzienus, pkāpeniski efinē junus jēzienus Tāt efinīij ikvienā zinātnē tklāj jun jēzien ūtīu Piemērm, jēzien prlelogrms efinēšni tiek lietots plšāks jēziens četrstūris, ppilinot to r nosījumu ik ivs pretējās mls ir prlēls 4 Pmtojoties uz efinīijām un ksiomām, pierā teorēms Teorēm ir slikts izteikums je pglvojums, kur ptiesumu pmto r pierāījumu Teorēmās tiek ptverti visi kās mtemātisks teorijs pmtfkti Tāpē teorēmu pierāīšn vienmēr ir viens no mtemātiks pmtuzevumiem Prsti ktr teorēm ir ot (formulēt) implikāijs formā, kur no pties izteikum seko ptiess izteikums Tāt teorēmu simoliski vr pierkstīt šāi: Þ Teorēms formulējumā ir ivs noteiošās ļs: Teorēms nosījums, kuru izsk izteikums Teorēms seinājums, kuru izsk izteikums 1 J prlelogrm viens leņķis ir tisns, t prlelogrms ir tisnstūris prlelogrm viens leņķis ir tisns prlelogrms ir tisnstūris J vien trijstūr ivi leņķi ir vienāi r it trijstūr iviem leņķiem, t i trijstūri ir līzīgi J nturāl skitļ ipru summ lās r 9, t pts skitlis lās r 9 teries! Plnimetrij ir māī pr plknes figūrām, et stereometrij māī pr telps figūrām ksiom no grieķu vl vār iom īmrezm ptiesī Gn plnimetrijā, gn stereometrijā ir ne vien vien, et pt vesel ksiomu sistēm Ikvien ksiomu sistēm ir izveiot tā, li tā ūtu pilnīg, netkrīg un nepretrunīg Definīij no ltīņu vl vār efinitio noteikšn teries! Implikāij Þ ir slikts izteikums j, t je no seko 96
8 Rionālu ļu pārveiošn Veiot rionālu ļu pārveiojumus, ieži nepieiešms sīsināt oto ļu Li sīsinātu oto ļu, tās skitītāju un suēju sl reizinātājos - 9 1 Sīsināsim ļu - 4 + Dotā ļ ir efinēt, j 4 + 0, t i, 1, Tāt ļs efinīijs pgls ir Î( - ; 1) È( 1; ) È (; + ) Šjā pglā rī vrm ļu pārveiot, to sīsinot: - 9-4 + ( - )( + ) ( -1)( - ) + - 1 Pirmās ivs ļs nv efinēts, j 1 un, et pēējā ļ nv efinēt tiki t, j 1 Tāt pārej no otrās uz pēējo ļu (un otrāi) iespējm, j Prsti to speiāli neuzsver, jo pārveiojumus vei u ļu kopīgjā efinīijs pglā Sīsināsim ļu 7-5 15 - J 15 0, t i, 5, t 7-5 7( - 5) 7 5 15-5- - ( - ) ( ) ( - 5) - 7 J ļs sskit vi tņem un to suēji nv vienāi, t vispirms suēji jāvienāo 1 5 y 15 y + 15 1 + + y y y y + y y y y - + + - + - y - y - y - y ( ) + - - + - ( )( ) - + y y y y y ( - y) ( - y) 0 ( - y) 0 Dļu reizinājums ir ļ, kuru iegūst, sreizinot oto ļu skitītājus un sreizinot oto ļu suējus Dlot ivs ļs, pirmo ļu reizin r otrās ļs pgriezto ļu teries! Dļs vērtī neminās, j min zīmes uz pretējām 1) ļs skitītājm un suējm; ) ļs skitītājm vi suējm un ļs priekšā - - -- - - + + : 0